数学人教版九年级下册反比例函数的图象与性质

60° 缩小 A1 60°
B
C B1
C1
∠A =∠A1，∠B =∠B1， ∠C =∠C1 AB = BC = AC ， A1B1 = B1C1 = A1C1
对应角相等
AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 对应边成比例
对应角有什么关系？
正六边形 AF
120° B
放大 B1 E
y= k
K>0
K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象 当k＜0时，函数图象
性 的两个分支分别在第 的两个分支分别在第
质
一、三象限，在每个 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 象限内，y随x的增大
而减小.
而增大.
1.反比例函数y= -
5 x
的图象大致是（
D）
y
y
A.
o
x B.
o x
y
y
C.
o
x D.
y
6
6y
5 4
y
=
6 x
3
y=
6 x
5 4
3
2
2
1
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
-6
-6
你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？
1.列表时,选取的自变量的值,既要易于计算,又要便于描点, 尽量多取一些数值(取互为相反数的一对一对的数),多描一 些点,这样既可以方便连线，又可以使图象精确． 2.描点时要严格按照表中所列的对应值描点，绝对不能把 点的位置描错． 3.线连时一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线,连 线时必须用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接． 4.图象是延伸的，注意不要画的有明确端点． 5.曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交.

人教版九年级数学下册：26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案2一. 教材分析《反比例函数的图象和性质》是人教版九年级数学下册第26章第1节的内容。

本节课主要介绍了反比例函数的图象和性质，是学生在学习了正比例函数和一次函数的基础上进行学习的。

通过本节课的学习，使学生能理解反比例函数的概念，会绘制反比例函数的图象，掌握反比例函数的性质，并能应用于实际问题中。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了正比例函数和一次函数的相关知识，对函数的概念、图象和性质有一定的了解。

但反比例函数的概念和性质与前两者存在较大差异，需要学生在已有的知识基础上进行迁移和拓展。

同时，学生需要理解反比例函数图象的特点，如双曲线、渐近线等，这对学生的空间想象能力有一定要求。

三. 教学目标1.了解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质。

2.学会绘制反比例函数的图象，并能分析反比例函数图象的特点。

3.能将反比例函数应用于实际问题中，提高解决问题的能力。

4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.反比例函数的概念和性质。

2.反比例函数图象的绘制和分析。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法。

通过设置问题引导学生思考，分析案例使学生理解反比例函数的应用，小组合作讨论促进学生交流和拓展思维。

六. 教学准备1.准备反比例函数的相关案例和问题。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

3.准备反比例函数图象的素材，如图片、图表等。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如购物时商品的单价和数量的关系，引出反比例函数的概念。

让学生思考并讨论这些问题，引导学生发现其中的规律。

呈现（10分钟）教师通过多媒体展示反比例函数的图象和性质，引导学生观察和分析。

同时，教师给出反比例函数的定义，并解释反比例函数的性质。

操练（10分钟）教师提出一些有关反比例函数的问题，让学生独立解答。

教师选取部分学生的解答进行讲解和分析，引导学生掌握反比例函数的性质。

反比例函数的图象和性质（二）三维目标一、知识与技能进一步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质．二、过程与方法1．经历用反比例函数的图象和性质解决数学问题的过程．2．进一步体会分类讨论思想特别是数形结合思想的运用．三、情感态度与价值观1．积极参与数学活动、注意多与同伴交流看法．2．在参与数学活动的过程中，体会探索、创新的乐趣，养成乐于探索的习惯．教学重点用反比例函数的图象和性质解决数学中的简单问题．教学难点数形结合的思想在解题中的应用．教具准备多媒体课件．教学过程创设问题情境，引入新课活动11．•作反比例函数图象的基本步骤是：•（•1）•________；•（•2）•_________；•（•3）_________．2．反比例函数y=kx的图象是由_______组成的，通常称为_______，当k>0•时______位于________；当k<0时，_________位于________．3．反比例函数y=kx的图象，当k>0时，在每一个象限内，y的值随x值的增大而________;当k<0时，在每一个象限内，y的值随x的增大而________．4．反比例函数y=kx的图象上任取一点，过这一点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形的面积是________．5．知识结构反比例函数的图象与性质(1)⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩反比例函数的图象是__________(1)当k>0时_________ (2)性质(2)当k<0时__________设计意图：帮助学生回忆节上节课研究过的反比例函数的图象和性质，进一步让学生体会数形结合的思想．师生行为：由学生回答，教师引导学生进一步归纳总结．此活动中，教师应重点关注：①学生能否顺利地完成填空；②学生是否能由反比例函数的图象和性质整合起来理解．二、讲授新课活动2问题：【例3】已知反比例函数的图象经过点A（2，6）．（1）这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化？（2）点B（3，4），C（-212，-445）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？设计意图：根据已知条件确定反比例函数的解析式，并根据函数解析式判断点是否在函数图象上．师生行为：学生独立思考，自己解答．教师巡视解答过程并给予引导．在此活动中，教师应重点关注：①是否理解反比例函数解析式的确定就是k值的确定．②点是否在图象上，只需将点的横、纵坐标代入解析式，看是否符合解析式，即可判断． 生：解：（1）设这个反比例函数为y=k x ，因为它经过点A ，把点A 的坐标（2，6）代入函数式，得6=2k ，解得k=12． 这个反比例函数的表达式为y=12x． 因为k>0，所以这个函数的图象在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．（2）把点B 、C 和D 的坐标代入y=12x，可知点B 、点C 的坐标满足函数关系式．点D•的坐标不满足函数关系式，所以点B 、点C 在函数y=12x 的图象上，点D 不在这个函数的图象上．活动3问题：【例4】如下图是反比例函数y=5m x的图象的一支，根据图象回答下列问题：（1）图象的另一支在哪个象限？常数m 的取值范围是什么？（2）如上图的图象上任取点A （a ，b ）和点B （a ′，b ′）如果a>a ′，那么b 和b ′有怎样的大小关系？设计意图：熟练运用反比例函数的图象和性质解答数学问题，特别强调让学生注意数形结合思想的应用．师生行为：让学生先观察图象，然后结合反比例函数的性质完成此题．教师应给学生充分交流的时间和空间．在此活动中，教师应重点关注：①学生能否从图象的特点得到m-5的符号；②学生能否从图象的特点，结合函数的性质解决问题；③学生能否独立思考问题．生：解：（1）反比例函数的图象的分布只有两种可能，分布在第一、•第三象限，或者分布在第二、四象限，在这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限．因此这个函数的图象分布在第一、三象限，所以m-5>0，解得m>5．（2）由函数的图象可知，在双曲线的一支上，y 随x 的增大而减小．所以当a>a ′时，b<b ′．三、巩固提高活动4练习：1．练习反比例函数的图象经过点A （3，-4）．（1）这个函数的图象分布在哪些象限？在图象的每一支上，y 随x 的增大如何变化？（2）点B （-3，4），点C （-2，6）和点D （3，4）是否在这个函数的图象上？2．如下图是反比例函数y=7n x的图象的一支，根据图象回答下列问题：（1）图象的另一支在哪个象限？常数n 的取值范围是什么？（2）在图象上任取一点A （a ，b ）和B （a ′，b ′），如果a<a ′，那么b 和b ′有怎样的大小关系？设计意图：进一步熟悉由数得到形的特点，由形得到数的特点，渗透数形结合的思想．师生行为：由学生独立思考完成，教师进一步根据学生的情况进行评析．在此活动中，教师应重点关注：①学生是否具有数形结合的意识．②学生能否有独立思考问题的习惯．生：解：1．（1）设这个反比例函数为y=k x ，因它经过点A （3，-4），把点A 的坐标代入函数式，得-4=3k ．解得k=-12．这个反比例函数的表达式为y=-12x．因为k<0，所以这个函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．（2）把点B、C、D的坐标代入y=-12x，可知点B、点C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B，点C在函数y=-12x的图象上，点D不在这个函数图象上．2．（1）因为反比例函数的图象的分布只有两种可能，分布在第一、三象限，•或者分布在第二、四象限，这个函数的图象的一支在第二象限，则另一支必在第四象限．因此这个函数的图象分布在第二、第四象限，所以n+7<0，n<-7．（2）由函数的图象可知，在双曲线的一支上，y随x的增大而增大，所以当a<a′时，b<b′．活动5问题：如下图，点A、B在反比例函数y=kx的图象上，且点A、B的横坐标分别为a，2a（a>0），AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为2．（1）求该反比例函数的解析式．（2）若点（-a，y1），（-2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小．设计意图：综合函数与几何知识，提高学生综合运用知识的能力．师生行为：先由学生独立思考，寻找解题的途径．教师应给予适当的引导，特别对于“学困生”．在此活动中，教师应重点关注：①综合运用数学知识的能力；②学生面对困难，有无面对困难的勇气和克服困难的坚强意志；③学生能否借助于新旧知识的联系，转化迁移旧知识．师生共析：通过Rt△AOC的面积S=12OC·AC=2，可知x A·y A=4．又因为点A在双曲线上，所以x A·y A=k，•可求出函数的解析式，再根据反比例函数的性质，k>0，y随x的增大而减小知，•自变量x 越大，函数值反而小，通过比较-a与-2a的大小可知y1与y2的大小．生：（1）解：因为点A在反比例函数y=kx的图象上，设点A的坐标为（a，ka）．∵a>0，k>0，∴AC=ka，OC=a，又∵S△AOC=12OC·AC=2．∴12·a·ka=2，k=4，y=4x．即此反比例函数的解析式为y=．（2）∵A点，B点横坐标分别为a；2a（a>0）∴2a>a，即-2a<-a<0．由于点（-2a，y1），（-a，y2）在双曲线上，根据反比例函数的性质k>0，y随x•增大而减小知y1<y2．四、课时小结活动6谈谈你本节课有什么新的收获？掌握反比例函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式．设计意图：这种形式的小结，激发学生主动参与的意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要．师生行为：让学生小组讨论、交流本节课的收获．教师根据学生的情况汇总．在活动中，教师应重点关注：①不同层次学生对本节知识的认识程度；②学生独立面对困难和克服困难的能力．板书设计17．1．2反比例函数的图象和性质（二）1．反比例函数①定义②图象③主要性质2．反比例函数的图象和性质的应用例3例43．练习4．小结活动与探究已知力F 所做的功是15焦，则力F 与物体在力的方向上通过的距离s 的图象大致是（） 过程：在物理学中，功W=F ·s ，所以F=W s，又因为W=15为定值，所以F 是s 的反比例函数，因为W=15>0，s>0，所以其图象在第一象限．结果：应选B ．习题详解习题17．11．（1）S=V h，此函数为反比例函数． （2）y=S x．此函数为反比例函数．2．B 是反比例函数，k=-3 3．（1）>，减小．（2）<，增大，（3）k=3，减小．4．如果y 是x 的反比例函数，那么x 也是y 的反比例函数．5．y 与x 具有正比例函数关系．6．y 与x 具有反比例函数关系．7．（1）设正比例函数y=x 的图象与反比例函数y=k x的图象的交点坐标为（a ，2），则 2,2,4.2;a a k k a =⎧=⎧⎪⎨⎨==⎩⎪⎩解得 所以反比例函数的解析式为y=4x ． 当x=-3时，y=-43． （2）反比例函数y=4x 的图象在第三象限函数值y 随x 的增大而减小． 当x=-3时，y=-43；当x=-1时，y=-4． 所以-3<x<-1时，y 的取值范围是-4<y<-43． 8．BD9．（1）y=m x的图象的一支在第一象限，图象的另一支在第三象限，所以>0，得（2）的图象在第一、三象限，所以在每个象限y 随x 的增大而减小，所以b>b ′，•有a<a ′．备课资料参考练习1．如果k>0，那么函数y=k x的图象大致是下图中的（ ）2．已知y=（a-1）x a 是反比例函数，则它的图象在（ ）A ．第一，三象限B ．第二，四象限C ．第一，二象限D ．第三，四象限3．对于反比例函数y=-2x，下列结论错误的是（ ） A ．当x>0时，y 随x 的增大而增大B ．当x<0时，y 随x 的增大而增大C ．x=-1时的函数值小于x=1时的函数值D ．在函数图象所在的每个象限内，y 随x 的增大而增大4．对于函数y=-12x，当x>0时，函数的这部分图象在第______象限． 5．若点（-2，-1）在反比例函数y=k x 的图象上，•则当x>•0•时，•y•值随x•值的增大而______．6．如果函数y=kx 222k k +-的图象是双曲线，且在第二、四象限内，那么k=_______．7．已知点P （1，a ）在反比例函数y=k x （k ≠0）的图象上，其中a=m 2+2m+3（m 为实数），•则这个函数的图象在第________象限．8．设函数y=（m-2）x 255m m -+．当m 取何值时，它是反比例函数？它的图象位于哪些象限？•在每个象限内，y 随x 的增大而增大还是减小？画出其图象；并利用图象求当12≤x ≤2时，•y 的取值范围． 答案：1．C2．B3．C4．第四象限5．减小6．k=-17．第一、三象限8．m=3时，它是反比例函数，当m=3时，它的图象位于第一、三象限，在每一个象限y 随x•的增大而减小．图略，12≤y ≤2．。

关于实践活动，我觉得学生的参与度还是不错的，但有些小组在讨论过程中可能过于依赖课本，缺乏独立思考。在今后的教学中，我会鼓励学生从更多角度去思考问题，培养他们的创新意识和解决问题的能力。
此外，学生小组讨论的环节，我发现有些学生发言不够积极。为了提高他们的参与度，我可以在分组时更加注意成员的搭配，让每个学生都有机会发表自己的观点。
a.当x > 0时，y随x的增大而减小；当x < 0时，y随x的增大而增大。
b.反比例函数图象在第一、三象限单调递减，在第二、四象限单调递增。
c.反比例函数图象关于原点对称。
4.反比例函数在实际问题中的应用。
二、核心素养目标
1.理解反比例函数的定义，培养学Байду номын сангаас数学抽象能力。
2.通过观察和分析反比例函数图象，提升学生几何直观和空间想象能力。
五、教学反思
在今天的课程中，我们探讨了反比例函数的图象和性质。通过教学，我发现有几个地方值得反思和改进。
首先，关于反比例函数的定义，我意识到需要让学生更深入地理解常数k的意义。虽然他们在课本上看到了k ≠ 0的条件，但并不是所有学生都能理解这一条件的重要性。在今后的教学中，我可以举例说明当k等于0时，函数会变成什么样子，从而让学生更好地把握这一概念。
b.反比例函数图象的识别：掌握反比例函数图象的形状、位置及渐近线特点。
c.反比例函数的性质：掌握反比例函数的单调性、对称性等性质，并能够运用性质解决问题。
d.实际问题中的应用：运用反比例函数解决实际问题，体会数学与生活的联系。
举例：讲解反比例函数定义时，通过具体例子（如速度与时间的关系）说明k的取值对函数性质的影响，强调k ≠ 0这一条件。
3.掌握反比例函数的性质，培养学生逻辑推理和数学建模能力。