异面直线夹角练习-普通用卷

异面直线夹角的计算1.如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, ∠ACB=90。

,AA 1=2,AC=BC=1,则异面直线A 1B 与AC 所成角的大小是＿＿.2. 如图,在四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD ⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=√2,底面ABCD 为直角梯形,其中BC ∥AD,AB ⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为AD 中点. 求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值.3. 如图,正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中, AA 1=2AB,则异面直线与所成角的余弦值为＿＿.4.如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点,则异面直线EF 与GH 所成的角等于＿＿.BA CA 1C 1B 1PCDBAOABCD A 1B 1C 1D 1D ABCA 1B 1C 1D 1EFH G5. 如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2√2, ∠PAB=60。

. 求异面直线PC 与AD 所成角的大小.6. 如图，在Rt △AOB 中，∠OAB=π/6，斜边AB=4，Rt △AOC 可以通过以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B-AO-C 是直二面角，D 是AB的中点.求异面直线AO 与CD 所成角的大小.7. 如图,在四棱锥O-ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的菱形, ∠ABC=π/4,OA ⊥底面ABCD,OA=2,M 为OA 的中点. 求异面直线AB 与MD 所成角的大小.8.如图，α和β为平面，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，AB=5，A 、B 在棱l 上的射影分别为A ′、B ′，AA ′=3，BB ′=2，若二面角α-l-β的大小为2π/3.求异面直线l 与AB 所成的角.(用反三角函数表示)A DBCPACODB OBCDAMB ′ ABβA ′αl。

异面直线所成的角专题训练1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC和XXX所成的角为多少度？答案：90度。

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是多少度？答案：60度。

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AC的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为多少度？答案：无法确定，题目中缺少信息。

4.在三棱锥ABC-A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，AB=4，AA1=6.若E是棱BB1上的点，且BE=B1E，则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为多少？答案：1/3.5.在三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA=PC=4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为多少？答案：-1/2.6.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，直线AM与CN所成角的余弦值是多少？答案：-3/5.7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，且CA=CC1=10，则直线B1C与直线AB1所成角的余弦值为多少？答案：5/13.8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，A1B1=2，AB⊥BC，点M是AC1的中点，则异面直线MB与AA1所成角的余弦值为多少？答案：-1/3.9.正三棱锥A-PBC的侧棱两两垂直，D，E分别为棱PA，BC的中点，则异面直线PC与DE所成角的余弦值为多少？答案：-3/5.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1D所成角的大小为多少度？答案：无法确定，题目中缺少信息。

中，ABCD是正方形，E是AD的中点，F是BC的中点，异面直线EF与AC所成的角的正弦值为(。

)A．12B．13C．23D．110.在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BC的中点，异面直线EF与直线AC所成的角的正切值为(。

时间：二O 二一年七月二十九日时间：二O 二一年七月二十九日1．如图,在正方体1111ABCD A B C D 中,异面直线1A D 与1BC 所成的角为之阿布丰王创作A ．30B ．45C ．60D ．90 【谜底】D 【解析】试题分析：如图所示,连接B1C,则B1C∥A1D,B1C⊥BC1,∴A1D⊥BC1,∴A1D 与BC1所成的角为90°． 故选：D ．考点：异面直线及其所成的角2．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD 是边长为1的正方形,AA1＝2,∠A1AB＝∠A1AD＝120°,则异面直线AC1与A1D 所成角的余弦值（ ）A ．3．7C ．5D ．5【谜底】B 【解析】 试题分析：设向量1,,AB a AD b AA c===,则11,AC a b c A D b c =++=-,112,7AC A D ∴==,11111114cos ,7AC A D AC A D AC A D⋅<>==. 考点：空间向量的集合运算及数量积运算.3．正方体1111ABCD A B C D -中,,,,E F G H 分别是1AA ,AB ,1BB ,11B C 的中点,则直线EF 与GH 所成的角是（ ） A ．30°B．45°C．60°D．90° 【谜底】C 【解析】试题分析：由三角形中位线可知11,EF A B GH BC ,所以异面直线所成角为11A BC ∠,年夜小为60° 考点：异面直线所成角4．在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是11B C 的中点,则异面直线1DC 与BE 所成角的余弦值为（ ）A ．5B ．5C ．510-D ．5-【谜底】B 【解析】试题分析：取BC 中点F ,连结1,FD FC ,则1DC F ∠为异面直线所成角,设边长为2,11C F DC DF ∴===1cos DC F ∴∠= 考点：异面直线所成角5．如图,正四棱柱ABCD A B C D ''''-中（底面是正方形,侧棱垂直于底面）,3AA AB '=,则异面直线A B '与AD '所成角的余弦值为（ ） A 、910B 、45C 、710D 、35【谜底】A 【解析】试题分析：连结'BC ,异面直线所成角为''A BC ∠,设1AB =,在''A BC ∆中时间：二O 二一年七月二十九日时间：二O 二一年七月二十九日''''2,10AC A B BC ===考点：异面直线所成角6．点P 在正方形ABCD 所在平面外,PA ⊥平面ABCD ,AB PA =,则PB 与AC 所成的角是A ．︒60B ．︒90C ．︒45D ．︒30 【谜底】A 【解析】试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2,．所以PB 与AC 所成的角就是FEA ∠,由题意可知：2===AF AE EF , 所以 60=∠FEA ．考点：异面直线的位置关系．7．如图所示,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,M 是棱CD 的中点,则→M A 1与→1DC 所成角的余弦值为（） A.62-B.62C.1010-D.1010 【谜底】A 【解析】试题分析：以D 为原点,分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz ,由棱长为1,则111(0,0,0),(1,0,1),(0,,0),(0,1,1)2D A M C ,所以111(1,,1),2A MDC (0,1,1),故11cos ,A M DC 101223622,故选A.考点：空间向量所成角的余弦值.8．在正方体1111D C B A ABCD -中,F E 、分别为BC AB 、中点,则异面直线EF 与1AB 所成角的余弦值为 A ．23B ．33C ．22D ．21 【谜底】D 【解析】试题分析：联结AC 、1B C 则1B AC ∠即为所成的角.1B AC 为等边三角形,所以11cos cos602B AC ∠== 考点：异面直线所成的角9．在正方体ABCD －A1B1C1D1中,点P 在线段AD1上运动,则异面直线CP 与BA1所的θ角的取值范围是（ ）A. B. C. D.【谜底】D【解析】如图,连结CD',则异面直线CP 与BA'所成的角θP时间：二O 二一年七月二十九日时间：二O 二一年七月二十九日即是∠D'CP,由图可知,当P 点与A 点重合时,θ＝3π 当P 点无限接近D'点时,θ趋近于0.由于是异面直线,故θ≠0. 选D考点：空间几何体,异面直线所成角10．如图,正方体1111ABCD A B C D -,则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时,三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时,直线AP 与平面1ACD 所成角的年夜小不变；③P 在直线1BC 上运动时,二面角1P AD C --的年夜小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点,则M 点的轨迹是过1D 点的直线其中真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3D ．4 【谜底】C 【解析】试题分析：①∵1BC ∥平面1AD ,∴1BC ∥上任意一点到平面C AD 1的距离相等,所以体积不变,正确．②P 在直线1BC 上运动时,直线AB 与平面C AD 1所成角和直线1AC 与平面C AD 1所成角不相等,所以不正确．③当P 在直线1BC 上运动时,AP 的轨迹是平面1PAD ,即二面角C AD P --1的年夜小不受影响,所以正确．④∵M 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点,∴M 点的轨迹是一条与直线1DC 平行的直线,而111C D DD =,所以正确,故谜底为：C.考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题.11．如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB 的中点为M,DD1的中点为N,则异面直线B1M 与CN 所成的角是（ ） A. 0 B. 45 C. 60 D. 90 【谜底】D 【解析】试题分析：解：取1AA 的中点E ,连接EN ,BE 交M B 1于点O , 则BC EN //,且BC EN =∴四边形BCNE 是平行四边形BOM ∠ 就是异面直线M B 1与CN 所成的角,而ABE Rt M BB Rt ∆≅∆1M BB ABE 1∠=∠∴,AEB BMB ∠=∠1,090=∠∴BOM ．故选D ．考点：异面直线所成角12．如图,直四棱柱1111-ABCD A B C D 的底面是边长为1的正方形,侧棱长1AA 则异面直线11A B 与1BD 的夹角年夜小即是 【谜底】60° 【解析】试题分析：由直四棱柱1111-ABCD A B C D 的底面是边长为1的正方形,侧棱长1AA 12,BD =由11AB A B 知1ABD ∠就是异面直线11A B 与1BD 的夹角,且111cos ,2AB ABD BD ∠==所以1ABD ∠=60°,即异面直线11A B时间：二O 二一年七月二十九日时间：二O 二一年七月二十九日与1BD 的夹角年夜小即是60°． 考点：1正四棱柱；2异面直线所成角13．如果直线AB 与平面α相交于B,且与α内过点B 的三条直线BC,BD,BE 所成的角相同,则直线AB 与CD 所成的角=_________. 【谜底】090 【解析】试题分析：因为,直线AB 与平面α相交于B ,且与α内过点B 的三条直线,,BC BD BE 所成的角相同,所以,直线AB 在平面α内的射影应是,BC BD 夹角的平分线,同时也应是,BD BE 夹角及,BC BE 的平分线,因此,直线AB 在平面α内的射影是点B ,即AB α⊥,而CD α⊂,所以AB CD ⊥,直线AB 与CD 所成的角为090考点：直线与直线、直线与平面的位置关系.14．平行六面体ABCD —A1B1C1D1中,以极点A 为端点的三条棱长度都为2,且两两夹角为60°,则1DB 和11C A 所成角年夜小为____________.【谜底】【解析】试题分析：由于AD AB C A AD AA AB DB +=-+=1111,,而=⋅111A C DB ADAB AB AD AB AD AA AB ⋅+=+⋅-+21)(][ABAD AD AA AB AA ⋅-⋅+⋅+11-2AD4=,同理求1112AA AB AA ⋅AD AA AD AB ⋅-⋅-1122=8,1DB =22,32,设1DB 和11C A 所成角年夜小为θ,则6632224,cos cos 111=⋅<=A C DB θ,66arccos=θ. 考点：1.向量的加法和减法；2.向量的数量积；3.向量的模；4.异面直线所成的角；15．已知四面体ABCD 中,DA DB DC ===,且,,DA DB DC 两两互相垂直,点O 是ABC ∆的中心,将DAO ∆绕直线DO 旋转一周,则在旋转过程中,直线DA 与直线BC 所成角的余弦值的最年夜值是____【解析】试题分析：那时BC OA //,直线DA 与直线BC 所成角最小,对应的余弦值最年夜,即OAD ∠cos ； 易知：6===BC AC AB ,32336=⨯=OA ,362332cos ===∠DA OA OAD . 考点：异面直线所成的角.16．如图所示,1111D C B A ABCD -为正方体,给出以下五个结论： ①//BD 平面11D CB ； ②1AC ⊥平面11D CB ；③1AC 与底面ABCD ④二面角111C D B C --；⑤过点1A 且与异面直线AD 和1CB 均成70°角的直线有2条． 其中,所有正确结论的序号为________． 【谜底】①②④时间：二O 二一年七月二十九日时间：二O 二一年七月二十九日【解析】试题分析：如下图,正方体ABCD ﹣A1B1C1D1中,由于BD∥B1D1,由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1,故①正确．由正方体的性质可得B1D1⊥A1C1,CC1⊥B1D1,故B1D1⊥平面ACC1A1,故B1D1⊥AC1．同理可得B1C⊥AC1．再根据直线和平面垂直的判定定理可得,AC1⊥平面CB1D1,故②正确．AC1与底面ABCD所成角的正切值为12CC AC ==,故③不正确． 取B1D1的中点M,则∠CMC1即为二面角C ﹣B1D1﹣C1的平面角,Rt△CMC1中,tan∠CMC1=11CC C M ==故④正确． 如下图,由于异面直线AD 与CB1成45°的二面角,过A1作MN∥AD、PQ∥CB1,设MN 与PQ 确定平面α,∠PA1M=45°,过A1在面α上方作射线A1H,则满足与MN 、PQ 成70°的射线A1H 有4条：满足∠MA1H=∠PA1H=70°的有一条,满足∠PA1H=∠NA1H=70°的有一条,满足∠NA1H=∠QA1H=70°的有一条,满足QA1H=∠MA1H=70°的有一条．故满足与MN 、PQ 成70°的直线有4条,故过点A1与异面直线AD 与CB1成70°角的直线有4条,故⑤不正确． 故谜底为①②④．考点：二面角的界说及求法；直线和平面平行的判定；直线和平面垂直的判定；异面直线的判定.17．如图,正方体ABCD —A1B1C1D1中,E,F 分别是正方形ADD1A1和ABCD 的中心,G 是CC1的中点.设GF,C1E 与AB 所成的分别为βα,,则=+βα 【谜底】2π 【解析】试题分析：取正方形B1C1CB 的中点为点O,连结,1OC ,OE 取BC 的中点为点A ,连结,GH FH ,通过分析可知//1OC ,GH //OE FH得平面//1EO C 平面,GFH 设正方形边长为2,在GFH ∆中,,2=GH 1=FH ,3=GF ,则,31cos ,32sin ==αα在EOC 1∆中,,2=OE ,6!=E C 21=OC ,则,3162sin ==β,3262cos ==β所以=+βα2π. 考点：直线与平面所成角,面面平行问题.18．如图所示,在三棱柱ABC —A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB ＝BC ＝AA1,∠ABC＝90°,点E 、F 分别是棱AB 、BB1的中点,则直线EF 和BC1的夹角是 【谜底】3π 【解析】试题分析：如图所示,建立空间直角坐标系．由于AB=BC=AA1,无妨取AB=2,则E （0,1,0）,F （0,0,1）,C1（2,0,2）．∴EF =（0,﹣时间：二O 二一年七月二十九日时间：二O 二一年七月二十九日1,1）,1BC =（2,0,2）．∴1111cos ,2||||2EF BC EF BC EF BC ⋅<>===⋅．∴异面直线EF 和BC1的夹角为3π．故谜底为:3π．考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角． 19．如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,0190,2,1ACB AA AC BC ∠====,则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________． 【谜底】6【解析】试题分析：由于AC ∥11A C ,所以11BA C ∠（或其补角）就是所求异面直线所成的角,在11BA C ∆中,1A B=,111AC =,1BC =,11cos BAC ∠== 考点：异面直线所成的角．20． 在正三棱柱111C B A ABC -中,各棱长均相等,C B BC 11与的交点为D ,则AD 与平面C C BB 11所成角的年夜小是_______． 【谜底】60o【解析】试题分析：如图所示取BC 中点E,连接AE,DE,易得AD 与平面C C BB 11所成角为ADE ∠,设正三棱柱棱长为2,则等边三角形ABC,边上的中线AE =,1DE =,直角三角形中60oADE ∠=考点：直线与平面所成的角.21．如图,直三棱柱ABC­A1B1C1中,AB ＝AC ＝1,AA1＝2,∠B1A1C1＝90°,D 为BB1的中点,则异面直线C1D 与A1C 所成角的余弦值为__________．【解析】试题分析：求异面直线所成的角,关键是作出这个角,一般把异面直线的一条平移后与另一条相交,获得要求的角（固然异面直线所成的角不年夜于90︒）本题中我们就可以把1C D 向下平移到过点C （实际作图时,是延长1B B 到E ,使1BE B D =,则有1CE C D ∥,然后在1A CE ∆中求出1A CE ∠,就可得出题中要求的角． 考点：异面直线所成的角．22．四棱锥P —ABCD底面ABCD 是边长为2的正方形,则CD 与PA 所成角的余弦值为. 【谜底】55【解析】试题分析：∵正方形ABCD 中,CD∥AB,∴∠PAB 或其补角就是异面直线CD与PA所成的角,△PAB中 考点：1.余弦定理的应用；2.异面直线及其所成的角23．如图所示,正方形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,将此正方形沿EF 折成直二面角后,异面直线AF 与BE 所成角的余弦值为 .时间：二O 二一年七月二十九日时间：二O 二一年七月二十九日【谜底】12【解析】试题分析：过F 做FH //DC ,过A 做AG EF ⊥,连接GH , 在三角形AGH 中,AH =,AFH ∠即为异面直线AF 与BE 所成角.设正方形ABCD 的边长为2,则在AFH 中,AF 1FH 2AH ===，， ∴1cos AFH 2∠=,故谜底为12. 考点：异面直线所成的角的计算 【谜底】23 【解析】如图,由AD BC DAE ⇒∠∥是异面直线AE 与BC 所成角,连结DE ,则DE ⊂平面1CD 中设正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,则25．有一中多面体的饰品,其概况右6个正方形和8各正三角形组成（如图）,AB 与CD 所成的角的年夜小是_____________【谜底】3π 【解析】AB 与CD 是正方形的边,则//AB EF ,//CD FG ,ABDC因为EF 和FG 是正三角形EFG 的两边,则AB 与CD 所成的角为3π． 26．如图,在空间直角坐标系中的正方体ABCD-A1B1C1D1,棱长为1,已知B1E1=D1F1=.4311B A 则BE1与DF1所成的角的余弦值为.【谜底】257【解析】略 27．图2是正方体的展开图,其中直线AB 与CD 在原正方体中的成角的年夜小是_______. 【谜底】60度 【解析】28．如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M 在A 上,且AM=31AB,点P 在平面ABCD 上,且动点P 到直线A1D1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1,在平面直角坐标系xAy 中,动点P 的轨迹方程是.【谜底】91322-=x y【解析】【思路分析】过P 点作PQ⊥AD 于Q,再过Q 作QH⊥A1D1于H,连PH,利用三垂线定理可证PH⊥A1D1. 设P （x,y ）,∵|PH|2 - |PH|2 = 1,∴x2 +1- [(x 13-)2+y2]=1,化简得91322-=x y . 【命题分析】以空间图形为载体,考查直线与平面的位置关系以及ABCDA 1B 1D 1 C 1xy MP时间：二O二一年七月二十九日轨迹方程的求法.时间：二O二一年七月二十九日。

第1页，总2页异面直线练习题一、选择题：1.已知,a b 是异面直线，直线c ∥直线a ，那么c 与b A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线2.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形的各边中点，所成的四边 形是 A.梯形B.矩形C.平行四边形D.正方形3．正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，异面直线AA ′与BC 所成的角是（ ） A ． 30° B ． 45° C ． 60° D ． 90° 4．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与B 1C 所成的角是（ ） A ． 30° B ． 45° C 60° D ． 90° 5空间四边形ABCD 中，,M N 分别是AB 和CD 的中点，6,32AD BC MN ===, 则AD 和BC 所成的角是 A.︒120B.︒90C.︒60D.︒306．（2003•北京）如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE 、DE 的中点．将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为（ ）A ． 90°B ． 60°C ． 45°D ． 0°7．（2007•福建）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、BC 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ）A ． 45°B ． 60°C ． 90°D ． 120° 8．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，正方体AC 1中，E 、F 分别是DD 1、BD 的中点，则直线AD 1与EF 所成的角余弦值是（ ）．第2页，总2页A ．B ．C ．D ．10．如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是正方形ABCD 的中心，则直线A 1D 与直线B 1M 所成角大小为（ ）A ． 300B ． 450C ． 600D ． 900二、填空题：11.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的 矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为A ．2πB ．52π C ．4π D ．5π12一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm )如图所示，则该几何体的侧面积为_______cm 2.13在空间四边形ABCD ,,M N 分别是,AB CD 的中点,6, 33AD BC MN ===,则AD 与BC 所成的角的大小是___________.三、解答题：14.如图，正三棱柱111ABC A B C -的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，,M N 分别 是BC 和11AC 的中点 求MN 与1CC 所成角的余弦值.BM ACNC 1A 1B 1俯视图正(主)视图 855 8侧(左)视图855。