空间中的异面直线及其夹角

例谈异面直线夹角的几种常见求解方法发表时间：2021-01-05T07:11:47.229Z 来源：《学习与科普》2020年14期作者：王慧[导读] 求空间中两条异面直线的夹角问题是立体几何教学的重点与难点，本文以高考真题为范例载体，从异面直线定义着手，给出了向量法、平移法、补形法、公式法等四种异面直线夹角的求法.相关方法渗透了向量、动态几何、线面点面的转化化归和数学结合的思想.为学生解决该类问题提供了很好的示范引导，促进了学生的思维发散，培养了他们的数学核心素养.王慧榆林市第三中学摘要：求空间中两条异面直线的夹角问题是立体几何教学的重点与难点，本文以高考真题为范例载体，从异面直线定义着手，给出了向量法、平移法、补形法、公式法等四种异面直线夹角的求法.相关方法渗透了向量、动态几何、线面点面的转化化归和数学结合的思想.为学生解决该类问题提供了很好的示范引导，促进了学生的思维发散，培养了他们的数学核心素养.关键词：异面直线；夹角；平移；核心素养异面直线夹角的是空间几何的重要概念之一，其求解也是中学生在该板块学习时的难点.而在数学教学中，例题是极其重要的一个学习与教学方式，通过典例，能引导学生运用所学数学知识去分析、思考、解决数学问题，从而达到及时巩固新学知识的目的.因此，我们以一道高考题为例，来谈谈异面直线的几种常见求解方法：解法三（平移法）：将过点B作BM//CF交AE于点M，则∠BME为所求异面夹角（或补角）.由解法一二可知，在△BME中，BM=，ME=，BE=，作BN⊥ME于点N，则MN=，在RT△BMN中，cos∠BME=coscos∠BMN=4.公式法：由两条异面直线的距离公式可得到求两条异面直线夹角的一个公式，即，其中的d是两条异面直线的距离，若优化一下：在两条异面直线上各取两点，以这四点为顶点的四面体中，不在异面直线上的两组对棱的平方和之差的绝对值，与在异面直线上的一组对棱之积的2倍的比，等于这两条异面直线夹角的余弦值.具体地，如图一，若异面直线与的夹角为，AB=m，CD=n，AD=a，BC=b，AC=c，BD=d，则，进而参考文献：[1]王胜林.求异面直线夹角的一个简单公式[J].数学通讯，2006（17）.[2]赵存正.异面直线间距离求法探讨[J].运城学院学报，2003，21（3）：66-67.[3]张长明.空间两条异面直线夹角的求法[J].数理化研究，2011.5.作者简介：王慧，1988年4月出生，女，中教一级，陕师大教育硕士，数学专业。

异面直线夹角公式有几种基本的几何形体，例如圆形、矩形、三角形等，其中，直角夹角是比较重要的一个概念，也是学习几何的基础。

角夹角的基本概念是指夹角的两个边同时垂直于一条垂直线，比如，在一个矩形中，所有的角都是直角夹角。

在几何中，夹角是一个关于角度、边长、斜率之间关系的重要概念。

角的值有三种：直角夹角、锐角夹角和钝角夹角。

夹角的两边都垂直于一条垂直线时，夹角就是直角夹角，其值为90°。

直角夹角有两种计算方法，一种是直接计算，另一种是用公式法计算。

几何中，最常用的直角夹角公式是勾股定理，该定理指出：在一个三角形中，如果三边的长度等于两边的平方和，则该三角形肯定是直角三角形。

此，可以用勾股定理来计算一个三角形的直角夹角，即：c2=a2+b2，其中c是斜边，a和b分别是两个直角边的长度。

另外，还有一种计算直角夹角的方法，即直接测量角度。

例如，如果要计算一个三角形的垂直角，可以用一个尺子将三角形的底边分为两块，然后用一个角规测量它们之间的夹角，从而得到三角形的直角夹角。

此外，在空间几何中，也有一些复杂的夹角，它们也可以用公式法或直接测量法来计算。

例如，异面直角夹角是一种复杂的夹角，它指的是在一组平面之间存在直角夹角，这个夹角可以用公式法计算，即：cosα=ABAC，其中α是两条直线之间的夹角，AB和AC分别是这两条直线的单位向量。

总之，几何中的直角夹角是一个重要的概念，它可以用公式法或直接测量法来计算，也可以用勾股定理来计算三角形的直角夹角，而在空间几何中，还有一些比较复杂的夹角，比如异面直角夹角。

在几何学中，直角夹角是一种重要的概念，有助于对几何空间的理解，学习直角夹角的重要性不容忽视。

计算机可视化中，夹角的计算也很重要，比如用于三维模型的渲染，这些都需要通过计算直角夹角来实现。

综上所述，直角夹角是几何的重要概念，也是很多科学技术领域的基础，其计算也是几何学的重要课题，可以用公式法、直接测量法以及勾股定理来计算夹角，异面直角夹角也可以用公式来计算。

异面直线求角度向量公式
在三维空间中，我们经常需要计算两条异面直线之间的夹角。

这种情况下，我们可以利用向量的知识来求解。

假设我们有两条异面直线，分别用向量a和b来表示，我们可以通过以下公式来求解它们之间的夹角：
cos(θ) = |a·b| / (|a| |b|)。

其中，θ表示两条直线的夹角，|a·b|表示a和b的点积（数量积），|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。

这个公式的推导过程其实并不复杂。

两条异面直线的夹角可以通过它们的方向向量来求解。

假设两条直线的方向向量分别为a和b，那么它们之间的夹角θ可以通过它们的点积和模长来表示。

点积可以表示向量之间的夹角关系，而模长则可以表示向量的大小。

通过这两个量的关系，我们可以求解出两条异面直线之间的夹角。

通过这个公式，我们可以在三维空间中轻松求解两条异面直线之间的夹角，这对于很多几何和物理问题都有着重要的应用。

希望这个公式对你有所帮助！。

“异面直线所成的角”（第二课时）教学设计双流中学数学组 邱国界教材分析：异面直线及异面直线的夹角这一节设置为两课时，这是第二课时的教学设计．异面直线的夹角是由两条相交直线的夹角扩充而生成的，由平移原理可知，当两条异面直线在空间的位置确定后，它们的夹角的大小也就随之确定了．这对于初学立体几何的学生来说，是较难理解的，对“异面直线还有夹角”这一概念感到陌生和新鲜，是学习的一个难关．教学中应通过现实生活中的例子，说明如何抽象出异面直线的夹角概念．强调异面直线的夹角的存在性和学习的必要性．异面直线的夹角的范围是000~90，不含00．最后，通过教科书中正方体的练习，逐步深入理解异面直线及其夹角，使学生较好地掌握这一内容．要计算异面直线a b 、的夹角的大小，必须通过平移转化为相交直线''a b 、的夹角．如何实现“转化”是学习中的一个难关．根据异面直线夹角的定义，在空间任取一点O 实现转化固然可以，而在实际操作中，可将点O 取在a 或b 上．两条异面直线互相垂直，即它们的夹角是直角，这是两条直线是异面直线时的一种特殊位置情况．应向学生指出：今后如果说两条直线互相垂直，它们可能相交，也可能异面．对于本节的学习，仍然应注意概念的形成过程，让学生去完成意义建构，而决不单纯以记忆结论为目的，要注重空间想象能力的形成过程，并有意识地加以引导、培养.教学目标：1、知识目标：（1）掌握异面直线所成角的概念；（2）能求出一些较特殊的异面直线所成的角； （3）了解异面直线垂直． 2、能力目标：（1）空间能力的进一步形成； （2）平面向空间的推广能力； （3）空间向平面的转化能力．3、情感目标：通过理论与实际的结合，培养学生实事求是的态度；同时在实际生活中不断发现问题，解决问题，培养学生的创新精神，为自己的人生垫定扎实的基础．学情分析：学生已有知识：空间四大公理、等角定理、异面直线的概念与判断；已有能力：立体空间的想象、抽象思维能力（但这种能力欠缺）；情感定位：初步接触立体几何，有较强的兴趣，对一门新的数学分支充满了激情．教学重点：异面直线所成的角概念的形成及应用教学难点：异面直线所成的角的发现与概念形成，将异面直线所成角转化为平面角 授课类型：新授课授课方式：探索法、引导法、讨论法教法设计：创设问题的现实情境，通过启发、引导学生发现异面直线所成的角的存在性，通过由特殊到一般、从具体到抽象，培养学生观察、分析、归纳、抽象、概括等逻辑思维能力与空间想象课时安排：1课时教 具：FLASH多媒体课件、实物投影仪、实物教具 教学过程： 一、创设情境：多媒体课件给出嫦娥奔月的轨迹图，通过动画说明空间中异面直线的方向存在差异，也即空间异面直线的“角度”的存在性，即本节课的课题：异面直线所成的角（异面直线的夹角）．（设计意图：建构主义教学模式在高中数学中的力能否吸引到教学内容上的关键所在．嫦娥奔月刚刚成功，中国人所拍摄的第一幅月球照片也刚刚公布，这是中国人的骄傲，也是每个中国人所熟知的事情，也是这段时间人们谈论最多的话题，因此，以此为情境引入，能一下抓住学生的注意力，激发学生的学习热情，引导学生积极主动地参与学习、思考．）二、新知形成过程：1、质疑一：平移会改变这两条异面直线原有的方向吗？2、质疑二：怎样度量异面直线的方向的差异呢？3、质疑三：相交直线中，选取哪个角作为度量结果呢？4、质疑四：两直线交点的位置会影响这个度量值吗？5、提问：你可以怎样定义异面直线夹角呢？（设计意图：这一版块属于建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概念课中的教性学习是一种以问题为载体、以主动探究为特征的学习活动，是学生在教师的指导下在学习和社会生活中自主地发现问题、探究问题、获得结论的过程．在这个环节中，既让学生独立思考与学习，同时也采用协作学习的方式来解决所提出的问题，最后形成异面直线夹角的概念．问题5的提出就目的是培养学生的归纳总结能力，并体会到学习的乐趣．）三、形成新知：1、形成异面直线所成角的定义．异面直线所成的角：已知两条异面直线a b 、，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，''a b 、所成的角的大小与点O 的选择无关，我们把''a b 、所成的锐角（或直角）叫异面直线a b 、所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在两条异面直线中的一条上．2、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a b 、 垂直，记作a b ⊥．两直线垂直含异面垂直与共面垂直．3、两条异面直线所成角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦． （设计意图：异面直线概念的得出在前面三步的进行下也就成了顺理成章的事了，只有用严格的数学语言来对一个知识下了定义才能方便我们对该知识的使用，也正是将一个数学概念顺理成章的学生自己构建在了自己的已有的知识体系中，这正是建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概四、新知应用：正方体ABCD A B C D ''''-中： （1）求直线AB 与B C ''夹角的度数；（2）求直线BA '与CC '夹角的度数； （3）求直线BA '与'AD 夹角的度数． 学生活动：讨论、思考、求解；教师活动：参与讨论共同解决；强调解题的思维与书写步骤的完整．解：（1）由//B C BC ''，可知ABC ∠等于异面直线AB 与B C ''的夹角，易知ABC ∠=090，所以异面直线AB 与B C ''的夹角为90；（2）由//BB CC ''，可知B BA ''∠等于异面直线BA '与CC '的夹角，所以异面直线BA '与CC '的夹角为45；（3）连结',''BC A C ，则'//'AD B C ，则''C BA ∠等于异面直线BA '与'AD 的夹角，易知''A BC ∆为正三角形，所以异面直线BA '与'AD 的夹角为60． 形成能力：1、点O 通常取为两条异面直线中的一条线段的端点或中点；2、求异面直线所成的角的方法： （1）平移直线相交——作； （2）确定角——证； （3）求解角——求．D'C'B'A'DCBA（了能解题，能用，在解题中体会概念的精妙之处，在用中反思概念的合理性．独立思考与合作学习，既发挥了个人的能力也共享了集体的智慧，让每个学生在学习过程中都学有所长，愉快地学习；在建构主义理论下，以任何一种学习模式组织教学，都有一个学习效果的评价，其中包括是否完成对所学知识的意义建构，即是说学以致用，异面直线的夹角来源于生活，形成了数学概念，同时还要回到生活中去，能解决实际问题．故设计的这组练习题是检查学生对异面直线的夹角的掌握情况的，同时也是对异面直线夹角概念的巩固．）六、巩固提高：1、教材16P 练习题第4题：如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中：（1）哪些棱所在直线与直线'AA 成异面直线且互相垂直？ （2）已知'1AB AA ==，求异面直线'BA 与'CC 所成角的度数．2、空间四边形ABCD 中，AD BC ==，,E F 分别是,AB CD 的中点，6EF =，求异面直线AD 与BC 所成的角．注：此题所给的解法是利用余弦定理求解，这是常用也是通用方法，称为解三角形，而此题数据特殊，EGF ∆为等腰三角形，故也可在直角三角形中求解EGF ∠的大小．解：取AC 中点G ，连结,,EG FG EF ，∵,E F 分别是,AB CD 的中点，∴//,//,EG BC FGAD 且1122EG BC FG AD ==== ∴异面直线,AD BC 所成的角即为,EG FG 所成的角，在EGF ∆中，2221cos 22EG FG EF EGF EG FG +-∠==-⋅， ∴120EGF ∠=，异面直线,AD BC 所成的角为60． 形成能力：(1)异面直线所成的角是锐角或直角，当EGF ∆内角EGF ∠是钝角时，则异面直线AD BC 、所成的角是它的补角．(2)此题在平移时用到的是“双移”，手段是利用三角形中位线与底边平行，从而达到平移直线的目的．（3）在平移直线时，合理选择平移点→确定平面→找、移或连．（设计意图：对一个概念的真正撑握必然是经过反复再反复的过程，在实践中把握本质，故在此GFED CBAD'C'B'A'DC B A设计了这个环节．概念不变，但题目千变万化，在这个问题上，采用随机进入式教学；由于事物的复杂性和问题的多面性，要做到对事物内在性质和事物之间相互联系的全面了解和掌握、即真正达到对所学知识的全面而深刻的意义建构是很困难的．往往从不同的角度考虑可以得出不同的理解．为克服这方面的弊病，在教学中就要注意对同一教学内容，要在不同的时间、不同的情境下、为不同的教学目的、用不同的方式加以呈现．换句话说，学习者可以随意通过不同途径、不同方式进入同样教学内容的学习，从而获得对同一事物或同一问题的多方面的认识与理解．让学生思考、探索、讨论，获得多种解题思路，再展现出来，教师引导完成解法，并比较各种做法的差异与优缺点，从而提升学生的题解能力．）七、小结升华：本节课你有什么收获？异面直线夹角的概念及用平移的方法求异面直线所成的角，步骤是：作、证、算；异面直线夹角是二维到三维的推广，而求解异面直线夹角是三维向二维的转化．（设计意图：识升华，最终完成知识建构的重要环节，课后延伸可帮助学生建立自己的知识网络，对本节课起到辅助与延伸的作用，在建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概念课中的教学模式中必不可少．）八、课后巩固：1、教材16P 习题第6、7题．2、（选做）在长方体D C B A ABCD '''-中，4AB =，2BC =，'2AA =，求异面直线B D '与AC 所成的角的余弦值．九、板书设计十、教学反思 （见前面网页处）D'C'B'A'DCBA。

异面直线教案【篇一：异面直线及其夹角(教案与反思)】课题：异面直线及其夹角温江中学许桃教学目标：1、知识与技能(1)理解异面直线及其夹角的概念，会画空间两条异面直线的图形，能在空间几何体，中判断两直线是否为异面直线.能在具体几何体中求出一些较简单的异面直线所成的角.(2)初步培养学生由图到物，由物到图的观察想像力;把空间中的角转化为平面上的角的降维能力;根据图形特征选择恰当的平移方式求异面直线所夹角的动手实践能力.2、过程与方法努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑的氛围，提高学学习的兴趣和课堂效率．让学生经历知识的探究过程, 体会类比的数学思想．3、情感目标让学生领悟数学思想观点；体会数学来源于实际又服务于实际，激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神,会用联系的观点，运动变化的思想去分析问题和解决问题教学重点：异面直线所成角的概念, 能求出一些较简单的异面直线所成的角教学难点：如何依托载体选择恰当的点将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角教学过程：一、复习引入，问题呈现，导入主题（1）创设情境，感知异面教师活动：创设情境，感知异面学生活动：小实验:请用手中的两支笔当着直线,在空间能摆出两条直线有哪几种位置关系?设计意图：通过简单的动手操作让学生发现问题，培养学生思维的主动性（2）总结概括完善认知教师活动：从公共点个数与是否共面概括空间中两条直线的位置关系学生活动：填写表格（3）问题引导，剖析定义教师活动：例举教室中的两直线是否异面，从大梁和讲台下方的两条直线位置关系的分析中引导学生得出异面直线的定义学生活动：分析问题设计意图：剖析异面直线的定义二、合作交流，探究发现，共论主题（1）例举实例，感知异面直线教师活动：让学生例举生活中的异面直线，展示生活中的异面直线学生活动：例举生活中的异面直线设计意图：从生活实例中感知异面直线（2）异面直线的判定定理教师活动：给出命题，引导学生用反正法证明判定定理学生活动：在引导下根据异面直线的定义证明判定定理设计意图：获取判定定理，掌握异面直线的判定方法。

异面直线夹角取值范围异面直线指的是位于不同平面上的两条直线，其在三维空间中的夹角的取值范围可以在以下三种情况下讨论：1. 直线相交的情况下：当异面直线相交时，它们在三维空间中的交点可以视为共同的起点。

此时，两条直线围成了一个锐角和一个钝角。

具体的夹角取值范围如下：- 锐角：夹角在 0 到 90 度之间，即 $0<\\theta<\\frac{\\pi}{2}$。

- 钝角：夹角在 90 到 180 度之间，即 $\\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\pi$。

2. 直线平行但不共面的情况下：当异面直线平行但不共面时，它们之间的夹角为零，即 $\\theta=0$。

3. 直线不相交也不平行的情况下：当异面直线既不相交也不平行时，它们之间的夹角可以通过向法线投影的方式求解。

具体来说，我们可以使用以下公式计算夹角：$$\\cos \\theta=\\frac{\\vec{n_1}\\cdot\\vec{n_2}}{\\left |\\vec{n_1} \\right |\\left |\\vec{n_2} \\right |},$$其中 $\\vec{n_1}$ 和 $\\vec{n_2}$ 分别为两条直线所在平面的法向量，$\\left |\\vec{n_1} \\right |$ 和 $\\left |\\vec{n_2} \\right |$ 分别为两个法向量的模长。

在这种情况下，夹角的取值范围为 $0<\\theta<\\pi$。

需要注意的是，在实际应用中，在使用上述公式计算夹角时，由于计算精度的限制，$\\cos \\theta$ 可能会略微大于 1 或小于 -1。

因此，在计算 $\\cos \\theta$ 值时，可能需要对其进行修正，以确保它落在 [-1, 1] 的范围内，从而避免由于精度问题导致的计算错误。

空间异面直线夹角公式是一个重要的数学概念，它可以用来计算两条不同平面上的直线之间的夹角。

这个公式最初是由法国数学家埃尔文·德·拉斐尔在1822年发明的，他将它命名为“拉斐尔夹角”。

该公式表明，如果在三维空间中有两条不同平面上的相交直线l1和l2，则它们之间的夹角α可以通过如下方法来表述：α=arccos[(u1•u2)/(|u1||u2|)]。

其中u1和u2是l1和l2的单位法向量。

该公式也可用于测量三维物体上不同面之间的夹角。

例如：当我们想要测量一个立方体上A、B、C、D四个面之间的夹角时（A、B、C属于一平面内部而D属于另一平面内部)；我们可以使用该公式来测量ABCD四者之间所形成的夹角大小。

此外，该公式也常常应用在几何学中寻找物体表面上不同区域之间所形成的几何形态时使用。

例如:我们想要测量一个球体表面上A,B,C,D四者所形成几何形态时;我们也能使用该公式来得出ABCD四者之前所形成几何彩态大小.
总而言之：空闲异面直线夹角具有很好应电力能力;它能帮助人们快速有效计算三庭物理对象中不各化化郭勇气员已前所生样子大尊;这样人士便能快速有效获得想要信息.。