异面直线夹角

异面直线所成角的判定方法异面直线是三维空间中的两条直线，它们不在同一个平面内。

在数学中，我们经常需要判断两条异面直线之间的角度，下面将详细介绍异面直线所成角的判定方法。

我们需要了解两条异面直线的基本概念。

两条异面直线可以用它们的方向向量来表示。

在三维空间中，一条直线可以由一点和一个方向向量确定。

因此，如果我们知道了两条异面直线上的任意一点和它们的方向向量，就可以完全确定这两条直线。

接下来，我们来研究两条异面直线之间的角度。

首先，我们需要找到这两条直线的公垂线。

公垂线是垂直于两条直线的线段，它们的交点就是两条直线的最短距离。

我们可以通过向量积来求出两条直线的公垂线。

具体地，我们可以先求出两条直线的方向向量的向量积，然后再将得到的向量与其中一条直线的方向向量再次求向量积，即可得到公垂线的方向向量。

接下来，我们可以通过余弦定理来求出两条异面直线之间的夹角。

具体地，我们可以用两条直线的方向向量和公垂线的方向向量来求出两条直线之间的夹角的余弦值，然后再通过反余弦函数求出夹角的大小。

需要注意的是，由于反余弦函数的定义域是[0,π]，因此我们需要判断两条异面直线之间的夹角是否大于π/2，如果大于π/2，则需要用π减去这个夹角来得到最终的夹角大小。

除了上述方法外，我们还可以通过向量投影来求解两条异面直线之间的夹角。

向量投影是指将一个向量投影到另一个向量上得到的一个标量值。

具体地，我们可以求出两条直线的方向向量在对方上的投影，然后通过余弦定理求出它们之间的夹角。

需要注意的是，这种方法只适用于两条直线的方向向量都是单位向量的情况。

除了以上两种方法外，我们还可以通过点和直线之间的距离公式来求解两条异面直线之间的夹角。

具体地，我们可以先求出两条直线上的任意两个点，然后通过点和直线之间的距离公式求出它们到另一条直线的距离，最后通过余弦定理求出它们之间的夹角。

需要注意的是，这种方法的计算量较大，不太实用。

我们可以通过向量积、余弦定理、向量投影以及点和直线之间的距离公式来判断两条异面直线之间的夹角。

异面直线所成角的求解方法
向量相交所产生的两个平面夹角，可以用叉乘来求解，结果可以用两种方式计算：第一种求解方法：
假定两个向量u和v 是两个不同的平面所给定的向量，它们可以表示为：
u= (u1, u2, u3)
叉乘满足：u X v = (u2v3-u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1)
使用叉乘向量的结果，可以计算出 u 与 v 的夹角为：
β =arccos[(u X v) / (|u|*|V|)]
其中，|u| 与|v| 分别为u 向量与v 向量的模。

可以利用两个向量的内积来求夹角。

内积的运算公式为：
总的来说，利用叉乘或内积来计算两条直线所成的角度，可以将求解过程简化，并让求解结果更加准确。

最后要注意的是，当实际求解时，应先把两个向量方向向量化，然后用叉乘或内积公式计算夹角，以便得出精确的解决方案。

高中数学空间向量经典例题及解析一、引言空间向量是高中数学的一个重要知识点，它涉及到三维空间中向量的加法、数乘、数量积和向量积等运算。

这些运算在解决实际问题中有着广泛的应用，因此学好空间向量对于学生来说至关重要。

本篇文章将通过经典例题的方式，对空间向量的相关知识点进行深入解析，以期帮助学生更好地掌握这一知识点。

二、经典例题及解析【例题1】在空间四边形中，已知两个向量，，求异面直线的夹角(锐角或直角)。

【解析】本题考查空间向量的夹角问题，需要利用两个向量的夹角公式。

【解答】首先根据向量的定义，可得到向量，的坐标分别为(, )。

根据向量的加法，可得向量的坐标为(, )。

又因为两个向量垂直，所以它们的数量积为0，即，所以。

根据异面直线夹角公式，可得异面直线的夹角为。

【例题2】在长方体中，已知三个向量，，求异面直线的夹角(锐角或直角)。

【解析】本题除了需要用到向量的加法、数乘、数量积和向量积等运算，还需要用到长方体的性质。

【解答】首先根据向量的定义，可得到向量的坐标分别为(, , )。

又因为长方体中，所以可以表示为和的线性组合，即或。

设所在直线的方向向量，所在平面的法向量，则的坐标分别为(, )。

根据向量夹角公式和向量垂直的条件，可得垂直于平面，所以。

又因为两个向量垂直，所以它们的数量积为0，即，所以。

根据异面直线夹角公式，可得异面直线AB与CD的夹角为。

【例题3】已知长方体，设点，求与平面之间的距离。

【解析】本题需要利用长方体的性质和向量的数量积求解。

【解答】设平面的法向量，则所在直线的方向向量。

因为点在平面内，所以点在平面外，所以向量，即。

又因为向量与平面共线，所以向量，即。

根据向量的数量积和点到平面的距离公式，可得与平面之间的距离为。

三、总结空间向量是高中数学的一个难点也是重点，通过经典例题的解析，我们可以更好地掌握空间向量的相关知识点。

在解决实际问题时，我们需要灵活运用向量的加法、数乘、数量积和向量积等运算，同时还要注意向量的表示和坐标的确定。

异面直线夹角万能公式好的，以下是为您生成的关于“异面直线夹角万能公式”的文章：在咱们学习立体几何的时候，异面直线夹角这一概念可真是个让人又爱又恨的“家伙”。

今天咱就来好好唠唠异面直线夹角万能公式这个神奇的工具。

还记得我当年上高中的时候，有一次数学课，老师在黑板上画了两条看起来“八竿子打不着”的异面直线，然后神秘兮兮地说：“同学们，今天咱们来搞定这俩家伙的夹角问题！”当时我心里就犯嘀咕：“这可咋整啊？”老师开始讲解异面直线夹角万能公式，那场面，就像在破解一道神秘的密码。

公式看起来有点复杂，但是在老师一步一步的拆解下，我发现其实也没那么可怕。

这个万能公式啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开异面直线夹角这个神秘的大门。

它的原理其实就是通过向量的运算来得出夹角。

想象一下，向量就像是一个个有方向的小箭头，我们通过计算这些小箭头之间的关系，就能算出异面直线的夹角啦。

比如说，我们有两条异面直线 a 和 b，分别找到它们的方向向量 m和 n 。

那这两条直线的夹角θ 就可以通过公式cosθ = |(m·n) / (|m|×|n|)|来计算。

这里的“·”表示向量的点积，|m|和|n|分别表示向量 m 和 n 的模。

咱们来具体讲讲这个公式里的门道。

先看分子 m·n ，这其实就是两个向量对应分量相乘再相加。

比如说 m = (x1, y1, z1) ，n = (x2, y2, z2) ，那 m·n = x1×x2 + y1×y2 + z1×z2 。

再看分母 |m|×|n| ，|m| 就是√(x1² +y1² + z1²) ，|n| 就是√(x2² + y2² + z2²) 。

为了更好地理解这个公式，咱们来做道题试试。

假设直线 a 的方向向量 m = (1, 2, -1) ，直线 b 的方向向量 n = (2, -1, 3) ，那先算 m·n =1×2 + 2×(-1) + (-1)×3 = -3 ，|m| = √(1² + 2² + (-1)²) = √6 ，|n| = √(2² + (-1)²+ 3²) = √14 ，代入公式cosθ = |(-3) / (√6×√14)| ，经过计算就能得出夹角的余弦值，再根据余弦值就能求出夹角啦。

空间角1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。

异面直线所成的角的范围：]2,0(π几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。

基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。

常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

例1在正方体ABCD A B C D ''''-中，E 是AB 的中点，（1）求BA /与CC /夹角的度数. （2）求BA /与CB /夹角的度数． (3)求A /E 与CB /夹角的余弦值．例2：长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的余弦值。

直接平移：常见的利用其中一个直线a 和另一个直线b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a 的平行线。

解法一：如图④，过B 1点作BE ∥BC 1交CB 的延长线于E 点。

则∠DB 1E 就是异面直线DB 1与BC 1所成角，连结DE 交AB 于M ，DE=2DM=35，cos ∠DB 1E=734170解法二：如图⑤，在平面D 1DBB 1中过B 点作BE ∥DB 1交D 1B 1的延长线于E ，则∠C 1BE 就是异面直线DB 1与BC 1所成的角，连结C 1E ，在△B 1C 1E 中，∠C 1B 1E=135°，C 1E=35，cos ∠C 1BE=734课堂思考：1.如图，PA ⊥矩形ABCD ，已知PA=AB=8，BC=10，求AD 与PC 所成角的余切值为。

2.在长方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，若棱B B 1=BC=1，AB=3，求D B 和AC 所成角的余弦值.例3 如图所示，长方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，∠ABA 1=45°,∠A 1AD 1=60°,求异面直线A 1B 与AD 1所成的角的度数.课堂练习如图空间四边形ABCD 中，四条棱AB ，BC ，CD ，DA 及对角线AC ，BD 均相等，E 为AD 的中点，F 为BC 中， （1） 求直线AB 和CE 所成的角的余弦值。

立体几何篇（异面直线夹角专题）异面直线夹角专题：1、常见的六个夹角的范围①线线夹角：≤θ900≤②异面直线夹角：<θ900≤③向量直线夹角：≤θ0≤180④线面夹角：≤θ900≤⑤面面夹角：≤θ0≤180⑥倾斜角：≤θ0<1802、异面直线夹角平行移动异面直线至两条相交直线，所夹的线面角为原异面直线的夹角。

例1、已知正四面体ABCD中，E为AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为_________60，且BD=AC=1，例2、四面体A-BCD中，E、F分别是AB、CD的中点，若BD、AC所成的角为则EF=______________求线面角的方法：1、定义法（垂线法）2、公式法3、等体积转化法4、向量法1、定义法（垂线法）例1、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2。

（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值21cos cos cos θθθ= 其中1θ为线面角， 最小角公式、三余弦定理例1、三棱柱111C B A ABC -，1,,AA AC AB 两两成 60，则侧棱1AA 与底面111C B A 所成的线面角的余弦值为_______3、等体积转化法：例3、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，AD=AB=1，AC交BD于O点．（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）求PA与平面PBD所成角的正弦值；（3）求CD与平面PBD所成角的正弦值；。

异面直线及其夹角教学目标：了解异面直线及其夹角的概念、学会判定两条异面直线。

了解两条异面直线互相垂直的概念。

教学重点：异面直线及其夹角的概念。

教学过程：一、复习：1.平行线的传递性（公理4）2．定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

3．平移的概念4．空间四边形的概念二、新授：1．异面直线我们知道：平面内的两条直线的位置关系只有相交和平行两种；在空间还有既不平行也不相交的情况，这时两条直线一定不会共面，我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

如图的直线AA'与BC 就是异面直线。

2．异面直线的判定如图，直线AB与平面α相交于点B，点A在直线L在α内但不过点B，这时直线AB和L直线（否则，AB与L共面，可推得点A在α内，这与已知点A在α外矛盾）。

由此可得：个平面内不经过此点的直线是异面直线。

3．异面直线的夹角：已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，由于a'和b'所成的角的大小与点O的选择无关，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b所成的角（或夹角）。

为了简单，点O的选取应有利于解决问题，如，点O常取在两条异面直线中的一条上。

Ａ4．两条直线互相垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条直线互相垂直。

如图直线A A '和BC 互相垂直。

例2、如图表示一个正方体。

（1）哪些棱所在直线与直线A B '是异面直线？ （2）求直线A B '和C C '的夹角的度数。

（3）哪些棱所在直线与直线A A '垂直？ 解：略三、做练习：第14页第1、2、3、4题 四、小结：1.异面直线的概念2．异面直线的判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。

3．异面直线夹角的概念。

4．异面直线垂直的概念。

异面直线的夹角-线面角(含答案)空间角1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。

异面直线所成的角的范围：]2,0(π几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。

基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。

常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

例1在正方体ABCD A B C D ''''-中，E 是AB 的中点，（1）求BA /与CC /夹角的度数. （2）求BA /与CB /夹角的度数．(3)求A /E 与CB /夹角的余弦值．例2：长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的余弦值。

直接平移：常见的利用其中一个直线a 和另一个直线b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a 的平行线。

解法一：如图④，过B 1点作BE ∥BC 1交CB 的延长线于E 点。

则∠DB 1E 就是异面直线DB 1与BC 1所成角，连结DE 交AB 于M ，DE=2DM=35，cos∠DB1E=734解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=35，cos∠C1BE=734170课堂思考：1.如图，PA 矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。

DC1B1A1CD2.在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=3，求D B和AC所成角的余弦值.例3 如图所示，长方体A1B1C1D1-ABCD中，∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°,求异面直线A1B与AD1所成的角的度数.课堂练习如图空间四边形ABCD中，四条棱AB，BC，CD，DA及对角线AC，BD均相等，E为AD的中点，F为BC中，（1）求直线AB和CE 所成的角的余弦值。

两条异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角与二面角讲义前言：立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线 线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成 角等。

考点一：两条异面直线所成的夹角范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。

向量求法：设直线,a b 的方向向量为a,b ，其夹角为θ，则有cos ___________.θ= 点A ，B ∈直线a,C ，D ∈直线b 。

构成向量CD AB ,。

><⋅>=<CD AB CDAB CD AB CD AB ,,,cos 所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角。

随堂练习：1. 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1， 则 BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1030 B ．21 C ．1530 D ．10153、 如图1－6，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.图1－6(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)设E 为BC 的中点，求AE →与DB →夹角的余弦值．考点二：直线与平面所成的角定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。

范围：直线和平面所夹角的取值范围是 。

向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与法向量所成角的余弦值为 |c o s |________θ=直线与平面所成的角为ϕ，则有sin ___________.ϕ=或在平面内任取一个向量m ，则|cos |___________.θ=.AP 与平面α的法向量n 所成的角所对应的锐角的余角或直角即为直线AP 与平面α所成的角θ，所以AP 与n 的角的余弦值的绝对值为直线AP 与平面α所成的角的正弦值。

异面直线的夹角范围
《异面直线的夹角范围》
异面直线是指两条直线在同一平面上，互相垂直，不共线的两条直线。

它们之间的夹角范围是90°到180°。

90°是一个特殊的夹角，也叫垂直夹角。

当两条直线互相垂直时，它们之间的夹角就是90°。

180°是一个特殊的夹角，也叫水平夹角。

当两条直线平行时，它们之间的夹角就是180°。

在90°到180°之间，可以分为三种不同的夹角：小于90°的锐角，等于90°的直角，大于90°小于180°的钝角。

这三种夹角的角度都是以90°为基准的。

异面直线的夹角范围是90°到180°，其中90°是垂直夹角，180°是水平夹角，而在90°到180°之间的夹角可以分为三种：锐角、直角和钝角。

异面直线所成角的取值范围
1. 异面直线是指不在同一个平面上的两条直线。

2. 异面直线所成角的取值是从0到180度之间。

异面直线是指两条直线不在同一个平面上，它们不会相交而是在一定的距离上平行或者呈现一定的夹角。

因为不在同一平面上，所以这些直线的相交角应该是“体角”而不是“平面角”。

异面直线的角度取值范围从0到180度。

当两条异面直线平行时，它们之间的角度是0度，当两条异面直线相互垂直时，它们之间的角度是90度。

而当两条异面直线互相交叉时，它们之间的夹角在0度和180度之间。

要计算两条异面直线的角度，通常可以使用向量的方法，即对两条异面直线分别求其方向向量，然后通过向量的点积来计算它们之间的夹角。

其中，夹角的值可以使用余弦函数或正弦函数来计算。

在实际应用中，处理异面直线的问题通常会涉及到三维建模、人工智能、机器视觉等领域。

例如，在三维建模中，需要计算三维模型中不同面之间的夹角，就需要处理异面直线的问题。

总的来说，异面直线所成角的取值范围从0到180度之间，它们之间
的夹角可以使用向量的方法来计算，这在实际应用中具有重要的意义。

异面直线位置关系
异面直线位置关系:
1、平行：异面直线互相平行，两条直线从无穷远处一直延伸，永远不
会相交。

2、垂直：异面直线垂直，两条垂直异面直线之间距离为0，即它们运
动时只能走直线，不能改变方向，因此也不会相交。

3、互相垂直：异面直线互相垂直，也就是一条直线的端点在另一条直
线的垂线上，例如正方形的四边形可以由两条异面直线互相垂直构成。

4、夹角：异面直线的夹角，其实指的是这两条直线的夹角的大小，也
就是由它们的位置关系而定的，常见的有锐角、直角、钝角等，分别
用α、90度、180度表示。

5、平分线：异面直线的一个重要特征是它们之间可以有平分线，即垂
足在异面直线之间，当两条异面直线相对比较远时，它们之间可以先
再垂线上肯定出一个垂足，然后由垂足代表他们之间的连线，即为平
分线。

6、等分线：等分线指的是以设定的比例将两条异面直线进行划分，从
而将一个空间按照指定比例大小进行划分，分割出不同的区域。

7、对称轴：当异面直线的夹角变换为180°，也就是变成直角后，它们之间的中间部分就构成了一条直线，这条直线就是他们的对称轴。

8、重合：异面直线重合，指的是两条直线从初始位置移动或者旋转，使得它们后来都处于同一位置，也就是说两条直线后来重合。

12.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系第三课时 异面直线的夹角（一）【学习目标】1、异面直线所成角的定义、范围及应用；2、特殊几何体中异面直线所成角的计算。

【重难点】异面直线所成角的计算 【学习过程】复习引入：1、空间直线的位置关系； 2、平行公理及等角定理 知识点一：异面直线夹角的概念1、如图，已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a'∥a ，b'∥b ，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a ，b 所成的角（或夹角）。

2、如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作a ⊥b 。

3、思考：异面直线所成角的范围是________4、结论：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 知识点二：求异面直线夹角（一）例1：（教材P47例3）如图，已知正方体D C B A ABCD ''''-中。

（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？ （2）直线BA' 和CC' 的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？巩固练习：在上图中，求（1）直线A B '和D C '的夹角；（2）直线A B '和D A '的夹角例2：（教材P48练习2）如图,已知长方体D C B A ABCD ''''-中，23232='==A A AD AB ，，(1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度?求异面直线夹角的一般步骤：（1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法。

若图中有中点，一般用中位线； （2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形求出所找的角；（3）结论——设（2）所求角的大小为θ，若0900≤<θ，则θ即为所求，若018090<<θ，则θ-0180即为所求。