数学：4.3《向量与实数相乘》课件(湘教必修二)

4．3向量与实数相乘以下是生活中我们常见的实例．1．在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为在同一方向上光速远远大于声速，经测量，光速大小约为声速的8.7×105倍．2．一重物由高空自由落下，由自由落体运动的速度公式v t＝gt可知，它在1 s末和2 s 末的速度，大小分别为v1＝9.8 m/s和v2＝19.6 m/s.显然v2＝2v1，并且方向都是竖直向下．以上两个问题反映了向量的何种运算呢？实数与向量相乘的法则1．将向量v乘以一个正数λ，得到一个向量λv，它的方向与v相同，长度|λv|是|v|的λ倍．2．将向量v乘以一个负数λ，得到一个向量λv，它的方向与v相反，长度|λv|是|v|的|λ|倍．3．向量v乘以0得到的0v是零向量．1．已知λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题有()①λ＜0，a≠0，λa与a的方向一定相反；②λ＞0，a≠0，λa与a的方向一定相同；③λ≠0，a≠0，λa与a是共线向量；④λμ＞0，a≠0，λa与μa的方向一定相同；⑤λμ＜0，a≠0，λa与μa的方向一定相反．A．2个B．3个C．4个D．5个[提示]由λa方向的规定易知，命题①②③正确；对于命题④与⑤，当λμ＞0时，λ与μ同为正或同为负，所以λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，因而λa与μa同向，故命题④正确；当λμ＜0时，λ与μ异号，则λa 与μa 中，一个与a 同向，一个与a 反向，因而λa 与μa 反向，故命题⑤正确．故选D.2．化简：4(a －b )－3(a ＋b )－b . [提示] a －8b .1．当非零向量a ，b 方向相同或相反时，我们既称a ，b 共线，也称a ，b 平行． 2．零向量与所有的向量平行．3．两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍．由向量AB ―→＝λAC ―→可否得出A ，B ，C 三点共线？反过来成立吗？[提示] 由AB ―→＝λAC ―→，又AB ―→，AC ―→有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，反之也成立，这是证明三点共线的常用方法．1．向量与实数的乘法满足以下运算律 (1)设a 是任意向量，x ，y 是任意两个实数，则 (x ＋y )a ＝xa ＋ya ，x (ya )＝(xy )a .(2)设a ，b 是任意两个向量，λ是任意实数，则λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 2．单位向量：长度为1的向量称为单位向量．[例1] 计算：(1)8(2a －b ＋c )－6(a －2b ＋c )－2(2a ＋c )； (2)13⎣⎡⎦⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b )； (3)(m ＋n )(a －b )－(m ＋n )(a ＋b )．[思路点拨] 利用数乘向量的运算可化简．[边听边记] (1)原式＝16a －8b ＋8c －6a ＋12b －6c －4a －2c ＝(16－6－4)a ＋(－8＋12)b ＋(8－6－2)c ＝6a ＋4b .(2)原式＝13[](a ＋4b )－(4a －2b )＝13(－3a ＋6b )＝2b －a . (3)原式＝(m ＋n )a －(m ＋n )b －(m ＋n )a －(m ＋n )b ＝－2(m ＋n )b .1．(1)化简23⎣⎡⎦⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )； (2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ， 求⎝⎛⎭⎫13a －b －⎝⎛⎭⎫a －23b ＋(2b －a )． 解：(1)原式＝23⎣⎡⎦⎤4a －3b ＋13b －32a ＋74b ＝23⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4－32a ＋⎝⎛⎭⎫－3＋13＋74b ＝23⎝⎛⎭⎫52a －1112b ＝53a －1118b . (2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝⎛⎭⎫13－1－1a ＋⎝⎛⎭⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j )＝⎝⎛⎭⎫－5＋103i ＋⎝⎛⎭⎫－103－53j ＝－53i －5j .[例2] 两个不共线的向量e 1，e 2，若向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与向量c 共线？[思路点拨] 根据向量共线定理，若存在实数k ，使d ＝kc ，则d ，c 共线．反之，则不共线．[边听边记] d ＝λa ＋μb ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2.要使d 与c 共线，则存在实数k ，使d ＝kc ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2＝2ke 1－9ke 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，3μ－3λ＝－9k . 解得λ＝－2μ.故存在这样的实数λ和μ，只要λ＝－2μ就能使d 与c 共线.2．如图，平行四边形ABCD 中，点M 在AB 的延长线上，且BM ＝12AB ，点N 在BC上，且BN ＝13BC .求证：M ，N ，D 三点共线．证明：设AB ―→＝e 1，AD ―→＝e 2，则BC ―→＝AD ―→＝e 2. ∵BN ―→＝13BC ―→＝13e 2，BM ―→＝12AB ―→＝12e 1，∴MN ―→＝BN ―→－BM ―→＝13e 2－12e 1.又∵MD ―→＝AD ―→－AM ―→＝e 2－32e 1＝3⎝⎛⎭⎫13e 2－12e 1＝3MN ―→， ∴向量MN ―→与MD ―→共线．又M 是公共点，∴M ，N ，D 三点共线．[例3] 在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于点G ，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，试用a ，b 表示AG ―→.[思路点拨] 在△ABG 中用a ，b 表示AG ―→在△AGC 中用a ，b 表示AG ―→的两个表达式相等→参数值→AG ―→的表达式．[边听边记] 在△ABG 中，AG ―→＝AB ―→＋BG ―→＝AB ―→＋λBE ―→＝AB ―→＋λ2(BA ―→＋BC ―→)＝AB ―→＋λ2(－AB ―→＋AC ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λ2AC ―→＝(1－λ)a ＋λ2b ，在△AGC 中，AG ―→＝AC ―→＋CG ―→＝AC ―→＋m CF ―→＝AC ―→＋m 2(CA ―→＋CB ―→)＝AC ―→＋m 2(－AC ―→＋AB ―→－AC ―→)＝(1－m )AC ―→＋m 2AB ―→＝m2a ＋(1－m )b ，∴⎩⎨⎧1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴AG ―→＝13a ＋13b .3.如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ―→＝13AB ―→＋25AC ―→，BQ ―→＝15AB ―→＋25AC ―→. 求证：四边形APQB 为梯形．证明：因为PQ ―→＝PA ―→＋AB ―→＋BQ ―→＝－13AB ―→－25AC ―→＋AB ―→＋15AB ―→＋25AC ―→＝1315AB ―→，所以PQ ―→∥AB ―→.又|AB ―→|＝15，所以|PQ ―→|＝13，故|PQ ―→|≠|AB ―→|，于是四边形APQB 为梯形．1．已知m ∈R ，下列说法正确的是( ) A ．若ma ＝0，则必有a ＝0B ．若m ≠0，a ≠0，则ma 与a 方向相同C ．若m ≠0，a ≠0，则|ma |＝m |a |D ．若m ≠0，a ≠0，则ma 与a 共线解析：若ma ＝0，则a ＝0或m ＝0，故A 错误；若m ≠0，a ≠0，则|ma |＝|m ||a |，ma 与a 共线，方向相同或相反，故B ，C 错误，D 正确．答案：D2．已知a ，b 是不共线的非零向量，实数x ，y 满足(xa ＋2b )－(a －yb )＝0，则( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝1 B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝－1C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2解析：∵a ，b 为不共线的非零向量，(xa ＋2b )－(a －yb )＝(x －1)a ＋(2＋y )b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.答案：C3．已知△ABC 和点M 满足MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0.若存在实m 使得AB ―→＋AC ―→＝mAM ―→成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0知，点M 为△ABC 的重心． 设点D 为底边BC 的中点，则AM ―→＝23AD ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13(AB ―→＋AC ―→)，∴AB ―→＋AC ―→＝3AM ―→，故m ＝3. 答案：B4．化简25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )＝________.解析：原式＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b ＝⎝⎛⎭⎫25－23＋415a ＋⎝⎛⎭⎫－25－43＋2615b ＝0a ＋0b ＝0. 答案：05.如图，在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：MN ―→＝CN ―→－CM ―→＝14CA ―→－12CB ―→＝12BC ―→－14AC ―→＝12AD ―→－14(AB ―→＋AD ―→)＝14AD ―→－14AB ―→＝14(b －a )． 答案：14(b －a )6．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝ke 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．解：∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ， ∴2e 1－e 2＝λ(ke 1＋e 2)＝λke 1＋λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λk ＝2，λ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，λ＝－1， ∴k ＝－2.通过这节课的学习，谈谈你对向量共线定理的认识？由a ＝λb ⇒a ∥b 中，若λ＝0，则a ＝0，零向量与任一向量都平行；若λ>0，则a 与b 同向；若λ<0，则a 与b 反向．由a ∥b ⇒a ＝λb 中，由λ的唯一性，得b ≠0.该定理有两方面的应用，一是一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行，进而证明三点共线，三角形相似，两线段平行以及用来判定图形的形状等；二是若两向量平行，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示，可以用来求参数，它是坐标轴上向量坐标化的依据．一、选择题1.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则BE ―→＝( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：BE ―→＝BA ―→＋AD ―→＋DE ―→＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .答案：A2．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP ―→＝ 13⎝⎛⎭⎫12OA ―→＋12 OB ―→＋2OC ―→ ，则点P 一定为( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．BC 边中线的中点D ．AB 边的中点解析：∵O 是△ABC 的重心，∴OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，∴OP ―→＝13⎝⎛⎭⎫－12 OC ―→＋2OC ―→ ＝12OC ―→，∴点P 是线段OC 的中点，即AB 边中线的三等分点(非重心)．故选B. 答案：B3.如图，在平行四边形ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，则BN ―→＝( )A.14a －34b B ．34a －14bC.14b －34a D ．34b －14a解析：BN ―→＝BA ―→＋AN ―→＝BA ―→＋34AC ―→＝－AB ―→＋34(AB ―→＋AD ―→)＝－14AB ―→＋34AD ―→＝－14a ＋34b .答案：D4．在△ABC 中，点P 是BC 上的一点，BP ―→＝2PC ―→，AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则( ) A ．λ＝2，μ＝1 B ．λ＝1，μ＝2 C ．λ＝13，μ＝23D ．λ＝23，μ＝13解析：∵BP ―→＝2PC ―→，∴AP ―→－AB ―→＝2(AC ―→－AP ―→)， ∴AP ―→＝13AB ―→＋23AC ―→，∴λ＝13，μ＝23.答案：C二、填空题5．已知AM ―→＝14AB ―→＋34AC ―→，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．解析：根据AM ―→＝14AB ―→＋34AC ―→可知，M 是BC 边上的一点．设BM ∶CM ＝λ，则AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋λλ＋1BC ―→＝AB ―→＋λλ＋1(AC ―→－AB ―→)＝1λ＋1AB ―→＋λλ＋1AC ―→，∴⎩⎨⎧14＝1λ＋1，34＝λλ＋1，解得λ＝3，∴BM ∶CM ＝3，即BM ∶BC ＝3∶4.∵两个三角形等高，∴两个三角形面积比为3∶4.答案：3∶46.如图，在△ABC 中，延长CB 到D ，使BD ＝BC ，当点E 在线段AD上移动时，若AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则t ＝λ－μ的最大值是________．解析：设AE ―→＝k AD ―→,0≤k ≤1，则AE ―→＝k (AC ―→＋2CB ―→)＝k [AC ―→＋2(AB ―→－AC ―→)]＝2k AB ―→－k AC ―→，∵AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ，μ＝－k ，∴t ＝λ－μ＝3k .又0≤k ≤1，∴当k ＝1时，t 取得最大值3. 故t ＝λ－μ的最大值为3. 答案：3 三、解答题7．已知向量e 1，e 2不共线，判断下列向量a ，b 是否共线． (1)a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2；(2)a ＝2e 1－e 2，b ＝e 1－2e 2.解：(1)设a ＝λb ，则12e 1－13e 2＝λ(3e 1－2e 2)＝3λe 1－2λe 2，∴⎩⎨⎧12＝3λ，－13＝－2λ，解得λ＝16，故a 与b 共线．(2)设a ＝λb ，则2e 1－e 2＝λ(e 1－2e 2)＝λe 1－2λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，－1＝－2λ，λ无解，故a 与b 不共线． 8.如图，在△ABC 中，AN ―→＝13NC ―→，P 是BN 上的一点，若AP ―→＝m AB ―→＋211AC ―→，求实数m 的值．解：AP ―→＝AN ―→＋NP ―→＝14AC ―→＋NP ―→＝m AB ―→＋211AC ―→，∴NP ―→＝m AB ―→－344AC ―→.又NB ―→＝NC ―→＋CB ―→＝34AC ―→＋(AB ―→－AC ―→)＝AB ―→－14AC ―→，设NP ―→＝λNB ―→(0≤λ≤1)，则λAB ―→－14λAC ―→＝m AB ―→－344AC ―→，∴m ＝λ＝311.。

实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义一般的，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n 表示n 个a 相加；用a n -表示n 个a -相加.又当m 为正整数时，a m n 表示与a 同向且长度为a mn 的向量. 要点诠释：设P 为一个正数，P a 就是将a 的长度进行放缩，而方向保持不变；—P a 也就是将a 的长度进行放缩，但方向相反. 2.向量数乘的定义一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定如下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a =；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向； （2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka =，ka 的方向任意.实数k 与向量a 相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；（3）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律 设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）； （3）m （+b ）=m a a mb + （向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：任意非零向量a 与它同方向的单位向量0a 的关系：0a a a =，01a a a=.（2）平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =.要点诠释： （1）定理中，b m a=，m 的符号由b 与a 同向还是反向来确定.（2）定理中的“a 0≠”不能去掉，因为若a 0=，必有b 0=，此时m 可以取任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b ma =，则向量b 与非零向量a 平行.（4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b ma =. （5）A 、B 、C 三点的共线⇔AB//BC ⇔若存在实数λ，使 AB BC λ=.要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+. 要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底12,e e 表示为1122a e e λλ=+形式，叫做向量的分解，当12,e e 相互垂直时，就称为向量的正分解.每家都会装修，我们可以用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也可以用两根绳将这盏电灯吊在同一位置。