北师大版数学必修四：《简单的三角恒等变换》导学案(含解析)

第6课时简单的三角恒等变换能运用和角公式、差角公式和二倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).前面我们学习了和角、差角及二倍角公式,初步体会到三角恒等变换在解题中的作用,本节课我们将在之前的基础上继续探究公式在更多方面的运用,体会学习公式的重要意义.问题1:代数式变换与三角变换有什么不同呢?代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于三角变换,由于不同的三角函数不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角恒等变换的重要特点.问题2:三角恒等变换的要求是什么?(1)化简:要求使三角函数式化为最简,项数尽量少,名称尽量少,次数尽量低,分母尽量不含三角函数,根号内尽量不含三角函数,能求值的要求值.(2)求值:要注意角的范围,三角函数值的符号之间的联系与影响,较难的问题需要根据三角函数值进一步缩小角的范围.(3)证明:是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边,或右边变同于左边,或将左右都进行变换使其左右相等.问题3:三角恒等变换有哪些技巧?(1)常值的代换:如“1”的代换就是一种特殊的常值代换.(2)切化弦:当化简式中既含有正弦、余弦,又含有正切,利用同角的基本三角函数关系式将正切化为正弦和余弦,这就是“切化弦”的思想方法,切化弦的好处在于减少了三角函数名称.(3)升幂与降幂公式:sin2α= ,cos2α= ,运用它就是降幂.反过来,直接运用倍角公式或变形公式1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,就是升幂.(4)角的变换:角的变换把已知角与未知角联系起来,使公式顺利运用,解题过程中常见的角的代换有:α=()-β,α=β-(),α=[(α+β)+(α-β)],α+β=( )-α.问题4:三角应用问题解答的一般步骤是什么?(1):审读题意,分清已知与未知,理解数学关系,画出示意图.(2):根据已知条件与求解目标,设角建立三角式,选择适当三角函数模型.(3):利用三角变换,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论,即求得数学模型的解.(4):检验上述所求的解是否符合实际意义,把数学结论还原为实际问题的解答,从而得出实际问题的解.1.cos cosπ的值是().A.B.C.-D.12.若cos α=-,α是第三象限的角,则=().A.2B.C.-2D.-3.若sin(+θ)=,则cos 2θ= .4.已知0<α<,0<β<,且3sin β=sin(2α+β),4tan=1-tan2,求α+β的值.恒等式的证明已知5sin α=3sin(α-2β),求证:tan(α-β)+4tan β=0.与平面向量的综合运用已知向量m=(sin,1),n=(cos,cos2),若m·n=1,求cos(-x)的值.二倍角、半角公式在解三角形中的运用在△ABC中,设sin A+sin C=2sin B,A-C=,求sin B的值.求证:=.已知向量m=(sin x,1),n=(A cos x,cos 2x)(A>0),函数f(x)=m·n的最大值为6.(1)求A;(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.求g(x)在[0,]上的值域.已知角A、B、C为△ABC的三个内角,=(sin B+cos B,cos C),=(sin C,sin B-cosB),·=-.(1)求tan 2A的值;(2)求的值.1.·等于().A.tan αB.tan 2αC.1D.2.若f(tan x)=sin 2x,则f(-1)的值是().A.-1B.-sin 2C.D.13.已知sin α=+cos α,且α∈(0,),则的值为.4.若cos θ+sin θ=1①,且sin θ-cos θ=1②,求证:+=2.(2013年·陕西卷)已知向量a=(cos x,-),b=(sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在[0,]上的最大值和最小值.考题变式(我来改编):答案第6课时简单的三角恒等变换知识体系梳理问题3:(2)tan α=(3)(4)α+ββ-α2α+β问题4:(1)分析(2)建模(3)求解(4)检验基础学习交流1.A原式=·2sin cos cos=·2sin cosπ=sinπ=.2.C依题意得sin α=-,则=====-2.3.-由sin(+θ)=可知,cos θ=,则cos 2θ=2cos2θ-1=2×()2-1=-.4.解:由4tan=1-tan2得tan α==.由3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],得tan(α+β)=2tan α,∴tan(α+β)=1.又∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<,∴α+β=.重点难点探究探究一:【解析】因为5sin α=3sin(α-2β),所以5sin[(α-β)+β]=3sin[(α-β)-β],所以5sin(α-β)cos β+5cos(α-β)sin β=3sin(α-β)cos β-3cos(α-β)sin β,所以2sin(α-β)cos β+8cos(α-β)sin β=0,即tan(α-β)+4tan β=0.【小结】证明三角恒等式,一般要考虑三个“统一”:①统一角度,即化为同一个角的三角函数;②统一名称,即化为同一种三角函数;③统一结构形式.探究二:【解析】(1)∵m·n=sin·cos+cos2=sin+=sin(+)+=1,∴sin(+)=,∴cos(x+)=1-2sin2(+)=,cos(-x)=-cos(x+)=-.【小结】向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.探究三:【解析】∵sin A+sin C=2sin B,即2sin cos =4sin cos ,∴sin=cos =,∴cos =±,∴sin B=2sin cos =2××(±)=±.[问题]sin B=-吗?[结论]sin B≠-,∵B是△ABC的一个内角,∴B∈(0,π),∴sin B>0.于是,正确解答如下:∵sin A+sin C=2sin B,即2sin cos =4sin cos ,∴sin =cos =,而0<<,∴cos =,∴sin B=2sin cos =2××=.【小结】在解三角形问题中,不仅要考虑题中角度的范围,还需考虑三角形内角的范围,有时要根据三角函数值的符号和三角形内角的范围将角的范围适当缩小,再确定三角函数值或角度.思维拓展应用应用一:因为左边=========右边,所以原等式成立.应用二:(1)f(x)=m·n=A sin x cos x+cos 2x=A(sin 2x+cos 2x)=A sin(2x+).因为A>0,由题意知A=6.(2)由(1)知f(x)=6sin(2x+),将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后得到y=6sin[2(x+)+]=6sin(2x+)的图象;再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到y=6sin(4x+)的图象.因此g(x)=6sin(4x+).因为x∈[0,],所以4x+∈[,],故g(x)在[0,]上的值域为[-3,6].应用三:(1)∵·=(sin B+cos B)sin C+cos C(sin B-cosB)=sin(B+C)-cos(B+C)=-,∴sin A+cos A=-,①两边平方整理得:2sin A cos A=-,∵-<0,∴A∈(,π),∴sin A-cos A==.②联立①②得:sin A=,cos A=-,∴tan A=-,∴tan 2A===-.(2)∵tan A=-,∴====13.基础智能检测1.B·==tan 2α.2.A(法一)由sin 2x==,知f(tan x)=,∴f(-1)==-1.(法二)f(-1)=f[tan(-)]=-sin=-1.3.-由sin α=+cos α得sin α-cos α=,∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,∴2sin αcos α=.∴==-(sin α+cos α),而(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,又∵0<α<,∴sin α+cos α=,∴原式=-.4.解:①×cos θ-②×sin θ得,=cos θ+sin θ.③①×sin θ-②×cos θ得,=sin θ-cos θ.④③2+④2得+=2.全新视角拓展f(x)=(cos x,-)·(sin x,cos 2x)=cos x sin x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=cos sin 2x-sin cos 2x=sin(2x-).(1)f(x)的最小正周期为T===π,即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤,∴-≤2x-≤.由正弦函数的性质知,当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值1,当2x-=-,即x=0时,f(0)=-,当2x-=π,即x=时,f()=,∴f(x)的最小值为-.因此,f(x)在[0,]上的最大值是1,最小值是-.思维导图构建±±±。

3. 2 简单的三角恒等变换三维目标1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高推理能力.2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.3.通过例题的解答，引导对变换对象目标进行对比、分析，形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高推理能力.重点难点教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点. 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.教学过程引言：三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.应用：例1、 试以cos α表示sin 22a ,cos 22a , tan 22a . 例2、 练习：求证tan 2a =ααααsin cos 1cos 1sin -=+。

例2、证明(1)sin αcos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)sin θ+sin φ=2sin 2cos 2ϕθϕθ-+. 练习：课后练习2（2）、3（2）、题例3、 求函数x x y cos 3sin +=的周期，最大值和最小值。

练习：求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值。

（！）x x y 2cos 2sin = （2）12cos 22+=x y （3）x x y 4sin 4cos 3+= 阅读内容： 函数y=asinx+bcosx 的变形与应用（辅助角公式）函数y=asinx+bcosx=22b a +（2222sin b a b x b a a +++cosx ）, ∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++b a b b a a b a b b a a ϕ从而可令φ, 则有asinx+bcosx=22b a +（sinxcos φ+cosxsin φ） =22b a +sin （x+φ）.因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=22b a +sin （x+φ），其中tan φ=ab . 例4、 如图,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.课堂小结 1、回顾前面学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.2、本节课还研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学.作业课本习题3.2 A 组1（2） （4）、3、5、题。

第六节简单的三角恒等变换[知识能否忆起]半角公式(不要求记忆)1．用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2α2＝1＋cos α2；tan 2α2＝1－cos α1＋cos α. 2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝± 1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝± 1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. [小题能否全取]1．(教材习题改编)已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α2等于( )A.63 B ．－63 C.33D ．－33解析：选B ∵cos α＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1＋132＝－63.2．已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π12等于( ) A.12B ．－12C.32D ．－32解析：选B f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－sin 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝－sin π6＝－12. 3．已知tan α＝12，则cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α等于( )A ．3B ．6C ．12D.32解析：选A cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α＝2cos 2α＋2sin α·cos αcos 2α＝2＋2tan α＝3. 4.sin 20°cos 20°cos 50°＝________.解析：sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.答案：125．若1＋tan α1－tan α＝2 013，则1cos 2α＋tan 2α＝________.解析：1cos 2α＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos2α－sin2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 013.答案：2 013三角恒等变换的常见形式三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．典题导入[例1] 化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x .[自主解答] 原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝12(1－sin 22x )2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝12cos 2x . 由题悟法三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．以题试法1．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2. 解：法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cos α2＝cos 2α2－sin 2α2sin α2·cos α2·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcos α2＝2cos αsin α·cos ⎝⎛⎭⎫α－α2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cosα2cos αcosα2＝2sin α. 法二：原式＝1－tan 2α2tan α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αsin α2cos αcos α2＝2tan α·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cos α2cos α·cosα2＝2sin α.典题导入[例2] (1)(2012·重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32. (2)已知α、β为锐角，sin α＝35，cos ()α＋β＝－45，则2α＋β＝________.[自主解答] (1)原式＝sin (30°＋17°)－sin17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.(2)∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝45，∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝35×⎝⎛⎭⎫－45＋45×35＝0. 又2α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，3π2. ∴2α＋β＝π. [答案] (1)C (2)π由题悟法三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．以题试法2．(2012·广州一测)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π9的值；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，若f ⎝⎛⎭⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π4的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π9＝tan ⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝tan π3＋tanπ41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f ⎝⎛⎭⎫α3＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tan α＝2， 所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②解得cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255. 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝⎛⎭⎫－255×22＝－31010.典题导入[例3] (2011·四川高考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.[自主解答] (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加得2cos βcos α＝0.∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.在本例条件不变情况下，求函数f (x )的零点的集合． 解：由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝0，∴x －π4＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π＋π4(k ∈Z )．故函数f (x )的零点的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π4，k ∈Z .由题悟法三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．以题试法3．已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f (α)＝1，求α的值．解：(1)因为f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2 x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以最小正周期T ＝π.(2)由f (α)＝1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1， 又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π3， 所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.1．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4 B.3π4 C.π3D.π6解析：选A tan A ＝tan [π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C＝－－2＋131－(－2)×13＝1.故A ＝π4.2.sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α解析：选D 原式＝(－sin 2α)·cos 2α(1＋cos 2α)·(－sin α)＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α.3．(2013·深圳调研)已知直线l: x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73B.73C.57D ．1解析：选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1， 即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.4．(2012·山东高考)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A.35B.45C.74D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π， 所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.5．(2012·河北质检)计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α ＝cos 2αcos 2α＝1. 6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β ＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3.7．若tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝3，则cos 2θ1＋sin 2θ＝________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝3， ∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1－tan 2θtan 2θ＋2tan θ＋1＝1－1414－1＋1＝3.答案：38．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π39．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________.解析：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝2(sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10°)2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.答案： 210．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的值域． 解：(1)由题意可知，f ′(x )＝cos x －sin x ＝－2·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，所以y ＝f ′(x )的最小正周期为T ＝2π. (2)F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1. ∴函数F (x )的值域为[0,1＋ 2 ]．11．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值． 解：(1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1， 解得sin α＝45⎝⎛⎭⎫sin α＝－45舍去. (2)由(1)知cos α＝1－sin 2α ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210， ∴sin(β－α)＝1－cos 2(β－α)＝ 1－⎝⎛⎭⎫2102＝7210， 于是sin β＝sin[α＋(β－α)] ＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22. 又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴β＝3π4.12．已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析式．解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β， 得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy ＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x1＋2x 2.1．(2012·郑州质检)已知曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|15P P |等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选B 注意到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋sin 2x ，又函数y ＝1＋sin 2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin 2x 的图象(如图所示)可知，|15P P |＝2π.2.3－sin 70°2－cos 210°等于( )A.12B.22 C ．2D.32解析：选C3－sin 70°2－cos 2 10°＝3－cos 20°2－cos 210°＝3－(2cos 210°－1)2－cos 210°＝2(2－cos 210°)2－cos 210°＝2.3．(2012·江西重点高中模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3cos 2x －m ，若f (x )的最大值为1.(1)求m 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若f (B )＝3－1，且3a ＝b ＋c ，试判断三角形的形状．解：(1)f (x )＝2sin 2x ·cos π3＋3cos 2x －m ＝sin 2x ＋3cos 2x －m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－m . 又f (x )max ＝2－m ，所以2－m ＝1，得m ＝1. 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得到k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． (2)由f (B )＝3－1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3－1＝3－1，所以B ＝π6.又3a ＝b ＋c ，则3sin A ＝sin B ＋sin C ， 3sin A ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ，即sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12， 所以A ＝π3，C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．1．求证：tan α＋1tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝1cos α.证明：左边＝sin αcos α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝sin αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＋cos αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2－αcos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝1cos α＝右边． 故原式得证．2．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．解：(1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45.cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤54π. 故－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1，则0≤f (x )≤2＋12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.。

数学必修4教学案：3.2 简单的三角恒等变换（教学案）数学必修4教学案：3.2简单的三角恒等变换（教、学案）3.2简单三角恒等式变换【教学目标】能够用所学公式简化、评估和证明三角函数公式，引导学生推导半角公式、和差公式和和差积公式（公式不需要记忆），使学生进一步提高运用变换、变换、方程等数学思想解决问题的能力。

【教学重点、难点】教学重点：引导学生学习三角变换的内容、思想和方法，了解三角变换的特点，在现有公式的基础上提高其推理和计算能力，并以半角公式、和差公式和和差积公式的推导为基础训练。

教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。

【教学过程】回顾介绍：回顾角度倍增公式s2?、c2、t2?首先，让学生写下三倍角度的公式，注意等号两侧角度之间的关系，并特别注意C2？。

既然我们可以用单角度来表示双角度，我们可以用双角度来表示单角度吗？半角公式的推导和理解：例1、试以cos?表示sin2?2,cos2?2,tan22?2．分析：我们可以通过双角度cos？？2cos角度公式？第二代？，21和cos??1?2sin2?2来做此题．（二倍（一代人？）22解决方案：cos？？1.因为什么？？2cos2？2.你能得到sin2吗？2.1.余弦？；2.2.1.你能得到Cos2吗？2.1.因为？。

2.你能用两个公式除以Tan 2吗？2.2.1.因为？。

？1.余弦？cos22sin2？Sin评论：⑴ 上述结果也可以表示为：21cos21cos2cos2tan21cos1cos并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2角的象限决定。

⑵ 在三角函数公式的简化、求值和证明中，广泛使用了降幂和增幂公式以及降幂和增幂公式。

⑶ 代数变换通常侧重于公式的子结构形式的变换。

三角恒等式变换通常首先寻找公式中包含的角度之间的联系，并在此基础上选择合适的公式来联系它们，这是三角恒等式变换的一个重要特征。

第1课时同角三角函数的关系式1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系,理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1;=tan x,体会由特殊到一般的数学思想方法.2.能利用同角三角函数的基本关系解题,例如已知某个任意角的正弦、余弦、正切值中的一个,求其余两个.3.通过简单运用,理解公式的结构及其功能,提高三角恒等变形的能力.“物以类聚,人以群分”,之所以“分群”“分类”是因为同类之间有很多的共同点,彼此紧密联系.我们现在研究的三角函数,如角的正弦、余弦、正切之间有什么联系?问题1:同角三角函数基本关系式sin2α+cos2α= ;tan α= ;tan α²=1.问题2:在上述问题中,“同角”的含义:(1)角相同;(2)角α是使得函数有意义的角,关系式都成立,与角的表达式.问题3:常用的同角三角函数关系式中平方关系和商数关系的变形有哪些?1-cos2α= ,1-sin2α= ,(sin α+cos α)2=1+ ,(sin α-cos α)2=1- ,sin α= ,cos α= .问题4:同角三角函数关系式可以解决什么问题?利用这两个公式,可以由已知的个三角函数值求出同角的其余个三角函数值,还可以进行同角三角函数式的恒等变换,化简三角函数式或证明三角恒等式.1.下列各项中可能成立的一项是().A.sin α=且cos α=B.sin α=0且cos α=-1C.tan α=1且cos α=-1D.α在第二象限时,tan α=-2.若cos(2π-α)=,且α∈(-,0),则sin(π-α)=().A.-B.-C.-D.±3.已知tan α=-3,则的值为.4.化简.平方关系在求值中的应用已知-<x<0,sin x+cos x=.求sin x cos x和sin x-cos x的值.同角三角函数式的化简与证明(1)化简:.(2)求证:=.同角三角函数关系式的综合运用已知sin α+cos α=,α∈(0,π),求tan α.若cos x-sin x=,则cos3x-sin3x= .化简:.已知sin θ cos θ=,求sin θ+cos θ的值.1.若sin αcos α=,0<α<,则sin α+cos α的值是().A.B.C.-D.2.已知sin α,cos α是方程2x2-x-m=0的两根,则m=().A. B. C. D.43.已知α为第二象限角,则cos α²+sin α²= .4.已知cos α=,α∈(0,π),求的值.已知α是第三象限角,sin α=-,则tan α= .考题变式(我来改编):答案第1课时同角三角函数的关系式知识体系梳理问题1:1cot α问题2:(2)任意无关问题3:sin2αcos2α2sin α²cos α2sin α²cos αtan α²cos α问题4:一两基础学习交流1.B A中不满足平方关系;C中由tan α=1且cos α=-1得,sin α=-1,不满足平方关系;D中不满足商数关系.2.B cos(2π-α)=cos α=,又α∈(-,0),∴sin α=-=-=-.∴sin(π-α)=sin α=-.3.2由tan α=-3,知cos α≠0,所以====2.4.解:原式====-1.重点难点探究探究一:【解析】(法一)由sin x+cos x=,平方可得sin2x+2sin x cos x+cos2x=,即2sin x cos x=-,∴sin x cos x=-,∴(sin x-cos x)2=1-2sin x cos x=.又∵-<x<0,∴sin x<0,cos x>0,∴sin x-cos x<0,sin x-cos x=-.(法二)联立方程解得cos x=-或cos x=,∵-<x<0,∴∴sin x cos x=-,sin x-cos x=-.【小结】在三角函数求值中,已知sin x+cos x,sin x cos x,sin x-cos x中的一个可利用方程的思想求出另外两个的值,即“知一求二”.解题时,要特别注意开方后对正负的取舍.探究二:【解析】(1)原式====cos 80°.(2)(法一)由cos x≠0知1+sin x≠0,于是左=====右,证毕.(法二)由1-sin x≠0,cos x≠0,于是右=====左,证毕.(法三)左-右=-===0,所以=.【小结】①脱掉根号的过程就是同角三角函数关系公式的应用过程;②对于去掉根号后的含绝对值的式子,需根据绝对值内的式子符号的正负情况,做好分类讨论,去掉绝对值符号.探究三:【解析】由sin α+cos α=,得sin αcos α=-,∴=-,∴=-,∴60tan2α+169tan α+60=0,解得tan α=-或tan α=-.[问题]上述解法正确吗?[结论]不正确.从sin α+cos α与sin αcos α的值可知,sin α与cos α应为异号,而结合α∈(0,π)与sin α+cos α=,可知sin α>0,故必有cos α<0,且|sin α|>|cos α|,故tan α<0,且|tan α|>1,这种已知条件隐含着角的范围的问题,很容易被忽视,应引起充分重视.于是,正确解法如下:由sin α+cos α=得,sin αcos α=-.又α∈(0,π),∴sin α>0,cos α<0.而(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,∴sin α-cos α=.由sin α+cos α=和sin α-cos α=,解得sin α=,cos α=-,∴tan α==-.【小结】已知sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ中任何一个都可以结合平方关系求出另外两个值,在求解过程中注意乘方、因式分解和配方的应用.思维拓展应用应用一:由cos x-sin x=得sin x cos x=,cos3x-sin3x=(cos x-sin x)(1+sin x cosx)=²(1+)=.应用二:(法一)原式===.(法二)原式======.(法三)原式=====.应用三:∵sin θ cos θ=,∴1+2sin θ cos θ=,∴sin2θ+cos2θ+2sin θ cos θ=,即(sin θ+cos θ)2=,∴sin θ+cos θ=±.基础智能检测1.D∵0<α<,∴sin α>0,cos α>0,∴sin α+cosα====.2.A由韦达定理得①式两边平方得1+2sin α cos α=,把②代入得1+2²(-)=,即m=.3.0原式=cos α+sin α=cos α+sin α=cos α+sin α=0.4.解:由题意知sin α=,∴==.全新视角拓展cos α=-=-,所以tan α==.思维导图构建sin2α+cos2α=1tan α²cot α=1。

简单的三角恒等变换一．教学目标1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。

2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。

学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。

3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 二、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，推导半角公式、积化和差、和差化积公式。

教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。

三、教学过程 1、复习公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ()c o s c o sc o ss i n s i nαβαβαβ+=- ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ()s i n s i n c o s c o s s i nαβαβαβ-=- ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+()t a n t a n t a n 1t a n t a n αβαβαβ++=- sin 22sin cos ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-公式变形：ααα2sin 21cos sin =←——→ ←——→ 2、例1：试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解：由21c o s 2s i n 2αα-=，可以得到21cos sin 22αα-=；由 ，可以得到21cos cos 22αα+=．所以222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．总结：掌握各个公式的推导过程，是理解和运用公式的首要环节，熟练地运用公式进行升幂和降幂。

某某省某某育才中学高中数学第3章《三角恒等变形》小结导学案北师大版必修4【学习目标】1．复习回顾本章内容，掌握同角三角函数的基本关系以及和角、差角、倍角、半角公式，并运用公式进行三角函数的化简、求值和证明.2．掌握三角恒等变形的常用方法，提高分析问题和解决问题的能力.【重点难点】重点：同角三角函数的基本关系以及和角、差角、倍角、半角公式的运用.难点：选择恰当的公式进行三角恒等变形.【使用说明】回顾所学公式，注意公式之间的相互联系和公式的结构特征，选择恰当的公式进行三角函数的化简、求值和证明．【自主学习】1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：__________________；(2)商数关系：_________________．2．和角、差角、倍角、半角公式导出的图【合作探究】1． 化简：2cos1701cos 170+-．2． 利用两角和与差的正弦、余弦公式证明： 1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-; 1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--； 1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-;1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--.3． 若sin 8,0180,5sin 2ααα=<<求cos ,sin ,tan 24ααα的值．【课堂检测】1． 已知tan()34πθ+=，求2sin 22cos θθ-的值．2． 已知1sin()2αβ+=，1sin()3αβ-=，求tan tan αβ的值．3． 求证：(1) 222222sin sin sin sin cos cos 1αβαβαβ+-+=；(2)tan sin tan sin tan sin tan sin A A A A A A A A +=-．【课后训练】1． 已知3tan ,4α=-计算： (1) 3sin 2cos sin 4cos αααα+-； (2)222sin 3sin cos cos αααα+-．2． 选择题：(1)若tan110a =，则tan 50的值为( )A ．313a a ++B ．313a a -+C ．313a a --D ．313a a -+(2)若sin()cos cos()sin ,m αβααβα---= 且β为第三象限角，则cos β的值为( )A ．21m -B ．21m --C ．21m -D ．21m --。

第2课时三角恒等变换的应用1．掌握三角恒等变换的方法．2．会利用三角恒等变换解决三角函数问题．三角恒等变换(1)a sin α＋b cos α＝______sin(α＋θ)（ab≠0），其中tan θ＝____，a和b的符号确定θ所在的象限．仅仅讨论错误!＝±1、±错误!、±错误!的情况．(2）sin2x＝错误!，cos2x＝错误!,sin x cos x＝__________.(3)讨论三角函数的性质时，通常经过三角恒等变换，将三角函数的解析式化为f（x)＝__________的形式来解决．【做一做1－1】sin x－cos x等于（）A．sin 2x B。

错误!sin错误!C。

错误!sin错误!D．sin错误!【做一做1－2】函数y＝sin 2x cos 2x的最小值等于__________．答案:(1）错误!错误!(2)错误!sin 2x(3)A sin(ωx＋φ)【做一做1－1】C 原式＝错误!错误!＝错误!sin错误!.【做一做1－2】－错误!y＝错误!sin 4x，则最小值为－错误!.三角恒等变换问题剖析:三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换．三角恒等变形是解决有关三角问题的重要环节,它以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍角公式，和差化积和积化和差公式为基础．在恒等变形中要注意三角函数式中的“角"的特点，即有没有特殊角，有没有与特殊角相关联的角,有没有互余、互补的角,角与角之间有没有和、差、倍、半的关系,什么角需要保留，什么角需要化掉等．在恒等变形中，化简三角函数式是核心，而化简的要求是:尽量减少三角函数式中角的个数（最好只含有相同的角）；尽量减少三角函数式中函数名称的种类（最好只含有同名函数)；在函数名称较多的情况下，最好只保留正弦和余弦;在选择使用三角变换公式时,应根据三角函数式中角的特点选择恰当的公式；在化简过程中，要合理使用代数手段，诸如整式、分式、根式运算以及因式分解．对化简的结果，应该尽量减少项数；尽量减少函数种类和次数；尽量化为整式；对含有特殊角的三角函数要求写出其值来．题型一讨论三角函数的性质【例1】已知函数f（x）＝sin2x＋a sin x cos x－cos2x，且f错误!＝1.（1)求常数a的值及f（x)的最小值；(2)当x∈错误!时，求f（x)的单调增区间．分析：(1）利用f错误!＝1求得a，再将函数f（x)的解析式化为f(x）＝A sin(ωx＋φ)的形式后求出最小值；（2）利用(1)求出函数f(x）在R 上的单调增区间，再与错误!取交集．反思：解答此类综合题的关键是利用三角函数的和、差、倍角、半角公式化成f（x)＝A sin（ωx＋φ)的形式，然后借助于三角函数的图象及性质去研究f(x)的相应性质，解答过程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失误．题型二在实际中的应用【例2】要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样截取，才能使长方形截面面积最大？分析:用三角函数表示长方形的面积,转化为求三角函数式的最大值．反思:本题中，将长方形面积表示为三角函数式，利用三角恒等变换转化为讨论函数y＝A sin（ωx＋φ）＋b的最值问题，从而使问题得到简化．这个过程蕴涵了化归思想．题型三易错辨析【例3】当函数y＝sin x＋错误!cos x，x∈R取最大值时，求自变量x的取值集合S。

第3课时两角和与差的正切1.能够根据两角和与差的正弦公式和余弦公式导出两角和与差的正切公式,了解各个公式之间的内在联系.2.能够利用和差角的三角函数公式进行简单的三角恒等变换.同学们好,上节课我们学习了两角差的余弦公式,并知道将公式进行适当的变形或变换后,可得到两角和与差的正弦、余弦公式.这节课我们将继续学习这种技巧,并由此推导出两角和与差的正切公式,以及正切公式的变形和有关的角度变换.问题1:在下列空白处填写适当的式子:cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β,①sin(α+β)=sin α·cos β+cos α·sin β.②当时,得tan(α+β)==,当时,分子分母同时除以,得:tan(α+β)=;在上式中,以代换得:tan(α-β)=.问题2:在公式tan(α+β)=中,α、β、α+β均不等于;在公式tan(α-β)=中,α、β、α-β均不等于.问题3:你能写出两角和与差的三角函数的6个公式的逻辑联系框图吗?问题4:由公式tan(α-β)=、tan(α+β)=可得下列变形公式:(1)tan α+tan β=tan(α+β)·;(2)tan α-tan β=tan(α-β)·;(3)tan(α+β)-(tan α+tan β)=;(4)tan(α-β)-(tan α-tan β)=.1.不查表,求的值为().A.1B.C.D.2.tan θ=2,则tan(θ-)的值是().A.B.8-5C.5-8 D.3.若tan(α+)=,则tan α=.4.求tan 15°,tan 75°的值.直接利用两角和与差的正切公式进行化简或求值求tan(-θ)+tan(+θ)+tan(-θ)tan(+θ)的值.已知角的某种三角函数值求角已知tan(+α)=2,tan β=.(1)求tan α的值;(2)求的值.两角和与差的正切公式的综合运用方程x2+3ax+3a+1=0(a>2)的两根为tan A,tan B,且A,B∈(-,),则A+B=.求值:(1+tan 1°)(1+tan 2°)(1+tan 3°)…(1+tan 45°).已知0<α<<β<π,tan α=,cos(β-α)=.(1)求sin α的值;(2)求β的值.已知角A是△ABC的一个内角,若sin A+cos A=,则tan(A+)等于().A.-B.C.-D.1.已知sin x=,x∈(,),则tan(x-)的值为().A.0B.C.-3D.-2.若cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tan αtan β=().A.B.-C.D.-3.已知tan(α+β)=,tan(β-)=,那么tan(α+)=.4.求下列各式的值:(1);(2)tan 17°+tan 28°+tan 17°tan 28°.(2010年·新课标全国Ⅰ卷)已知α为第三象限的角,cos 2α=-,则tan(+2α)=.考题变式(我来改编):答案第3课时两角和与差的正切知识体系梳理问题1:cos(α+β)≠0cos αcos β≠0cos αcos β-ββ问题2:kπ+,k∈Z kπ+,k∈Z问题3:-ββ诱导公式-ββ诱导公式相除-ββ相除问题4:(1-tan αtan β)(1+tan αtan β)tan(α+β)tan αtan β-tan(α-β)tan αtan β基础学习交流1.A==tan(60°-15°)=tan 45°=1.2.C∵tan θ=2,∴tan(θ-)===5-8,故选C.3.-tan(α+)==,∴5tan α+5=2-2tan α,∴7tan α=-3,∴tan α=-.4.解:tan 15°=tan(45°-30°)====2-.tan 75°=tan(45°+30°)====2+.重点难点探究探究一:【解析】原式=tan[(-θ)+(+θ)][1-tan(-θ)·tan(+θ)]+tan(-θ)tan(+θ)=.【小结】在三角函数求值的问题中,要注意“三看”口诀,即(1)看角,把角尽量转化为特殊角或可计算的角,合理拆角,化异为同;(2)看名称,把算式尽量化成同一名称或相近的名称,例如把所有的切都转化为弦,或把所有的弦都转化为切;(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足则直接使用,如果不满足则需转化一下角或转换一下名称.探究二:【解析】(1)由tan(+α)=2,得=2,即1+tan α=2-2tan α,∴tan α=.(2)====-tan(α-β)=-=-=.【小结】对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数的值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“所求角”变为“已知角”,若角所在象限没有确定,则应分类讨论.注意公式的灵活运用,掌握其结构特征,学会拆角、拼角等技巧.探究三:【解析】由题意知tan A+tan B=-3a,tan A·tan B=3a+1,∴tan(A+B)===1,∵A,B∈(-,),∴A+B∈(-π,π),∴A+B=或-.[问题]A+B=成立吗?[结论]∵tan A+tan B=-3a<-6,tan A·tan B=3a+1>7,∴tan A<0,tan B<0,又∵A,B∈(-,),∴A,B∈(-,0),∴A+B∈(-π,0).于是,正确解答如下:由题意知tan A+tan B=-3a<-6,tan A·tan B=3a+1>7,∴tan A<0,tanB<0,∵A,B∈(-,),∴A,B∈(-,0),∴A+B∈(-π,0),tan(A+B)===1.∵A+B∈(-π,0),∴A+B=-.【答案】-【小结】涉及三角函数值是二次方程的根,除了要考虑二次方程有根的条件,还要注意根据根的符号和三角函数的意义确定角的范围.思维拓展应用应用一:若α+β=45°,则1=tan 45°=tan(α+β)=,∴tan α+tan β+tan α·tan β=1,即(1+tan α)(1+tan β)=2,∴(1+tan 1°)(1+tan 44°)=(1+tan 2°)(1+tan 43°)=…=(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2,∴原式=222(1+tan 45°)=222×2=223.应用二:(1)∵0<α<,tan α=,∴sin α=.(2)∵0<α<,sin α=,∴cos α=.又0<α<<β<π,∴0<β-α<π.由cos(β-α)=,得sin(β-α)=.∴sin β=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cos α+cos(β-α)sin α=×+×==.由<β<π,得β=π(或求cos β=-或tan β=-1,得β=π).应用三:A由得或(舍去),∴tan A=-,∴tan(A+)===-,故选A.基础智能检测1.C∵sin x=,x∈(,),∴cos x=-=-,∴tan x=-.∴tan(x-)===-3,故选C.2.A由已知,得cos αcos β-sin αsin β=,cos αcos β+sin αsin β=,则有cos αcos β=,sin αsin β=,所以=,即tan αtan β=.3.tan(α+)=tan[(α+β)-(β-)]==.4.解:(1)原式==tan(45°+75°)=tan 120°=-.(2)∵tan(17°+28°)=,∴tan 17°+tan 28°=tan(17°+28°)(1-tan 17°tan 28°)=1-tan 17°tan 28°,∴原式=1-tan 17°tan 28°+tan 17°tan 28°=1.全新视角拓展-∵cos 2α=cos(α+α)=cos2α-sin2α=-,又cos2α+sin2α=1且α为第三象限的角,∴cos α=-,tan α=2,tan 2α=tan(α+α)==-,∴tan(2α+)==-.思维导图构建tan(α+β)tan(α-β)。

第1课时三角恒等变换1．了解半角公式（不要求记忆)的推导过程及其应用．2．能将函数y＝a sin x＋b cos x（ab≠0）化为y＝A sin（ωx＋φ)的形式．1．半角公式（不要求记忆)sin错误!＝______，cos错误!＝______，tan错误!＝______＝错误!＝错误!。

符号由错误!所在的象限决定．（1)积化和差公式(不要求记忆和应用)sin αcos β＝错误![sin(α＋β)＋sin(α－β）]，cos αsin β＝错误![sin(α＋β)－sin（α－β)］，cos αcos β＝错误![cos(α＋β）＋cos(α－β)］，sin αsin β＝－错误!［cos(α＋β）－cos（α－β)］．(2）和差化积公式（不要求记忆和应用）sin x＋sin y＝2sin错误!cos错误!，sin x－sin y＝2cos错误!sin错误!，cos x＋cos y＝2cos错误!cos错误!,cos x－cos y＝－2sin错误!sin错误!。

【做一做1－1】若cos α＝错误!,且α∈(0，π),则cos错误!的值为( ）A。

错误!B．－错误!C．±错误!D．±错误!【做一做1－2】已知sin α＝错误!，cos α＝错误!错误!，则tan错误!等于（)A．2－错误!B．2＋错误!C。

错误!－2D．±(错误!－2)【做一做1－3】已知cos α＝错误!，α∈错误!,则sin错误!等于（）A．－错误! B.错误! C.错误!错误!D．－错误!2．常见的三角恒等变换（1)a sin x＋b cos x＝______sin(x＋φ）（ab≠0），其中tan φ＝错误!，φ所在象限由a和b的符号确定．仅仅讨论错误!＝±1，±错误!，±错误!的情况．（2）sin2x＝错误!，cos2x＝______，sin x cos x＝错误!________.【做一做2－1】3sin x－错误!cos x＝( ）A．sin错误!B．3sin错误!C。

简单的三角恒等变换教学目标：能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换.教学重点：1.利用公式变换，进行三角函数式的化简是本节考查的热点．2.常与实际应用问题、函数等结合命题．3.主要以解答题的形式进行考查. 教学过程：基础知识：半角公式(不要求记忆)1.用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α2sin 2α2＝ ； cos 2α2＝ ； tan 2α2＝2．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝双基自测1．(教材习题改编)已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α2等于( )A.63 B ．－63 C.33 D ．－332．已知函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12等于 ( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－323．已知tan α＝12，则cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α等于 ( )A ．3B ．6C ．12 D.324．(2011·大纲全国卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________. 5．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α， 则tan(α＋β)＝__________.关键点点拨：三角恒等变换的常见形式三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简，二是求值，三是三角恒等式的证明．(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为条件求值与非条件求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解． (3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可． 考点一：三角函数式的化简[例1] (2010·上海高考)已知0<x <π2，化简：lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ·tan x ＋1－2sin 2x 2＋lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－lg(1＋sin 2x )．[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·宁波模拟)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan α2－tan α2·1－cos 2αsin 2α＝________. 2．(2012·温州模拟)已知tan 2θ＝－22，π＜2θ＜2π，化简 2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.[冲关锦囊]三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定 使用的公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等.考点二：三角函数式的求值（角）[例2] (2011·重庆高考)已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．解：依题意得sin α－cos α＝12，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝2，故(sin α＋cos α)2＝74；又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，因此有sin α＋cos α＝72，所以cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)3．(2012·嘉兴调研)计算1tan 10°－4cos10°＝________.4．(2012·湖州一中模拟)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，(1)求tan 2α的值； (2)求β.5．(2012·潍坊模拟)如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP ·OQ ＝0，求sin(α＋β)．[冲关锦囊]三角函数求值有三类 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面 上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有 一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公 式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解． (2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外 一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角 相同或具有某种关系． (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某 一函数值，再求角的范围，确定角. 考点三：三角恒等变换的综合应用[例3] (2011·四川高考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.在本例条件不变情况下，求函数f(x)的零点的集合．[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)6．(2012·金华质检)已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为 ( )A ．{x |k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z}B ．{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z}C ．{x |k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z}D ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z}7．[文](2012·济南调研)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)若函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位后，得到函数g (x )的图象关 于y 轴对称，求实数m 的最小值．[理](2012·烟台模拟)已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x .(1)求f (x )的周期和单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．[冲关锦囊] 利用a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)把形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的函数化为一个角的某种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对称轴等．数学思想 分类讨论思想在三角函数求值中的应用(12分)(2011·重庆高考)设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，求函数 f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值和最小值． 解：f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a2sin 2x －cos 2x . (2分)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π 3＝f (0)得－32·a 2＋12＝－1，解得a ＝2 3. (3分)因此f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (5分)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，f (x )为增函数； (6分) 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，11π24时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4，f (x )为减函数，(7分) 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2.(9分)又因f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2， (11分)故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝ 2. (12分)[题后悟道]本题是运算需要型的分类讨论，在求解三角函数单调性和最值时，由于区间不同，函数的单调性也不同，从而要分类讨论，解决分类讨论问题的基本步骤： (1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论． (2)对所讨论的对象进行合理的分类．(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决．(4)归纳总结：将各类情况总结归纳．一、选择题1.sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α2．(2011·福建高考)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33 C. 2 D. 3 3．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12 B.12 C ．2 D ．－24．函数y ＝12sin 2x ＋3cos 2x －32的最小正周期等于( )A ．πB ．2π C.π4 D.π25．化简sin 235°－12cos 10°cos80°＝( )A ．－2B ．－12 C ．－1 D ．1二、填空题6．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 7．设sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)的值为________． 三、解答题8．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (3,0)、B (0,3)、C (cos α，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2.若AC ·BC ＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．解：AC ＝(cos α－3，sin α)，BC＝(cos α，sin α－3)， 由AC ·BC ＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，∴sin α＋cos α＝23，2sin α·cos α＝－59，又2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α＝－59，故所求的值为－59.9．已知f (x )＝cos x (cos x －3)＋sin x (sin x －3)， (1)若x ∈[2π，3π]，求f (x )的单调递增区间； (2)若x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4且f (x )＝－1，求tan 2x 的值．。

5.5.2简单的三角恒等变换（基础知识+基本题型）知识点一 半角公式 1.半角公式sin2α=；cos2α=tan2a =. 2.半角公式的推导(1)2cos212sin αα=-2αααα−−−−→代替2代替2cos 12sin sin22ααα=-→=； (2)222cos 22cos 1αααααα=-−−−−→代替代替2cos 2cos 1cos22ααα=-→=(3)sin2tan2cos 2ααα==【拓展】半角公式根号前符号的确定(1)当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角的函数值的符号(2)当给出角α的范围(即某一区间)时，可先求2的范围，再根据2的范围来确定各函数值的符号. (3)若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号. 3.半角公式的变形(1)sin sin2cos222tan2cos cos 2cos222ααααααα⋅==⋅2sin sin 1cos 2cos 2αααα==+；(2)sin 2sin sin 222tan2cos 2sincos222ααααααα⋅==⋅22sin 1cos 2sin sin αααα-==. 所以sin 1cos tan21cos sin ααααα-==+. 【提示】(1)重视得到结果的过程，从思考α与2α之间的关系入手，理解角的倍、半的相对性，思考cos α与2sin 2α之间的关系.(2)使用公式时要深刻体会α与2α的含义，如2α与α，αβ+与2αβ+等都可看成倍半关系.知识点二 积化和差与和差化积公式 1.积化和差公式1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.2.积化和差公式的推导由sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+， sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-，得 1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-，① 1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.②由cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-. cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，得 1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-，③1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--.④上面的①②③④四个式子统称为积化和差公式. 3.和差化积公式 sin sin 2sincos 22αβαβαβ+-+=； sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=； cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=； cos cos 2sinsin22αβαβαβ+--=-.4.和差化积公式的推导在积化和差公式中，设,αβθαβϕ+=-=，则有2θϕα+=，2θϕβ-=，把,αβ代入①②③④，就得到sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=； ⑤ sin sin 2cossin22θϕθϕθϕ+--=； ⑥ cos cos 2coscos22θϕθϕθϕ+-+=； ⑦ cos cos 2sinsin22θϕθϕθϕ+--=-.⑧上面的⑤⑥⑦⑧四个式子统称为和差化积公式. 注意公式推导过程中换元思想与方程思想的应用. 【提示】(1)积化和差公式的记忆口诀前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差. (2)和差化积公式的记忆口诀 正加正，正在前；余加余，余并肩. 正减正，余在前；余减余，负正弦.考点一 半角公式的应用【例1】 已知角α为钝角,β为锐角,且4sin 5α=,12sin 13β=,求cos 2αβ-与tan 2αβ-的值.解:因为角α为钝角,β为锐角,且4sin 5α=,12sin 13β=,所以3cos 5α=-,5cos 13β=. 所以()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+35412513513⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪⎝⎭3365=. 又因为2παπ<<,且02πβ<<,所以0αβπ<-<,即022αβπ-<<.所以cos2αβ-===. 方法1:由022αβπ-<<,得sin2αβ-==. 所以tan2αβ-sin2cos2αβαβ-=-47=. 方法2：由330,cos()65αβπαβ<-<-=，得 56sin()65αβ-==. 所以56sin()465tan .3321cos()7165αβαβαβ--===+-+对于含有半角的求值问题,一定要判断角的取值范围,以免产生增根. 考点二 积化和差与和差化积公式的应用【例2】 在ABC 中,A C >,且60B =,能否利用44log sin log sin 1A C +=-求出A 和C 的大小?若能,请求出;若不能,请说明理由.解:在ABC 中,因为60B =,所以120A C +=. 因为44log sin log sin 1A C +=-,所以1sin sin 4A C =. 因为()()1sin sin cos cos 2A C A C A C =--+⎡⎤⎣⎦, 所以()()11cos cos 24A C A C --+=⎡⎤⎣⎦. 所以()()11cos cos cos120022A C A C -=++=+=. 又因为0180A C <-<,所以90A C -=.由①②,得105,15A C ==. 考点三 三角恒等式的证明【例3】 在ABC 中,求证:222sin sin sin 2sin sin cos A B C A B C +-=. 证明:因为左边()21cos 21cos 2sin 22B CB C --=++-① ()()21sin cos 2cos 22B C C B =++- ()()()2sinsin sin B C B C B C =+++- ②()()()sin sin sin B C B C B C =+++-⎡⎤⎣⎦ ()sin 2sin cos B C B C =+• ③ 2sin sin cos A B C ==右边 所以原命题成立.证明三角恒等式的基本思路:根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，当分式不好证时，可变形为整式来证。

《简单的三角恒等变换》导学案一、学习目标1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式。

2、能运用上述公式进行简单的三角恒等变换，包括化简、求值、证明等。

二、学习重难点1、重点（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用。

（2）二倍角公式的应用。

（3）三角恒等变换的基本思路和方法。

2、难点（1）公式的灵活运用和变形使用。

（2）角的合理变换和整体代换思想的运用。

三、知识梳理1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）（2）＼（＼sin(＼alpha ＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＼cos\alpha\sin\beta\）（3）＼（＼cos(＼alpha ＋＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＼sin\alpha\sin\beta\）（4）＼（＼cos(＼alpha ＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＋＼sin\alpha\sin\beta\）（5）＼（＼tan(＼alpha ＋＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＋＼tan\beta}｛1 ＼tan\alpha\tan\beta}＼）（6）＼（＼tan(＼alpha ＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＼tan\beta}｛1 ＋＼tan\alpha\tan\beta}＼）2、二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）＼（＼sin 2\alpha ＝ 2\sin\alpha\cos\alpha\）（2）＼（＼cos 2\alpha ＝＼cos^2\alpha ＼sin^2\alpha ＝2\cos^2\alpha 1 ＝ 1 2\sin^2\alpha\）（3）＼（＼tan 2\alpha ＝＼frac{2\tan\alpha}｛1 ＼tan^2\alpha}＼）3、辅助角公式＼（a\sin\alpha ＋ b\cos\alpha ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼sin(＼alpha ＋＼varphi)＼），其中\（＼tan\varphi ＝＼frac{b}｛a}＼）四、典型例题例 1 化简：＼（＼sin 15^｛＼circ}＼cos 75^｛＼circ} ＋＼cos 15^｛＼circ}＼sin 75^｛＼circ}＼）解：＼＼begin{align}＆＼sin 15^｛＼circ}＼cos 75^｛＼circ} ＋＼cos 15^｛＼circ}＼sin 75^｛＼circ}＼＼＝＆＼sin(15^｛＼circ} ＋ 75^｛＼circ}）＼＼＝＆＼sin 90^｛＼circ}＼＼＝＆1＼end{align}＼例 2 已知\（＼sin\alpha ＝＼frac{3}｛5}＼），＼（＼alpha\）为第二象限角，＼（＼cos\beta ＝＼frac{5}｛13}＼），＼（＼beta\）为第三象限角，求\（＼cos(＼alpha ＼beta)＼）的值。

第2课时 简单的三角恒等变换必备知识预案自诊考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)y=3sin x+4cos x 的最大值是7.( ) (2)在斜三角形ABC 中,tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C.( ) (3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的. ( ) (4)存在实数α,使tan 2α=2tan α. ( )2.化简:sinα-2cos 2α2sin(α2-π4)=( )A.2√2cos α2B.cosB √2α2C.2√2sin α2D.sinD √2α2 3.已知sinπ6-α=√23,那么cos 2α+√3sin 2α= ( )A.109B.-B 109C.-C 59 D .594.若tan α=-3,则1cos 2α+2sinαcosα的值为( ) A.103B.53C.23D.-D25.设α1,α2∈R ,且12+sinα1+20182+sin2α2=2 019,则tan(α1+α2)= .?关键能力学案突破考点三角函数式的化简【例1】(1)sin (π+2α)1+cos2α·cos 2αcos(π2+α)等于( )A.-sin αB.-cosB αC.sinC αD.cosD α (2)化简:sin (2α+β)sinα-2cos(α+β).解题心得1.三角函数式化简、求值的一般思路:异名三角函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化等.2.三角化简的标准:三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不含分母,能求值的尽量求值.3.化简、求值的主要技巧:(1)寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角;(2)正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值.对点训练1(1)化简:sin2α-2cos 2αsin(α-π4)= .?(2)化简:2cos 2α-12tan(π4-α)cos 2(π4-α).考点三角函数式的求值(多考向探究)考向1 给角求值 【例2】cos10°(1+√3tan10°)cos50°的值是 .?解题心得三角函数给角求值问题的解题策略一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题,另外此类问题也常通过代数变形(比如:正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值.对点训练2求值:cos20°cos35°√1-sin20°=( ) A.1 B.2 C.√2D.√3考向2 给值求值 【例3】已知sin α+π4=√210,α∈π2,π.求:(1)cos α的值; (2)sin 2α-π4的值.解题心得三角函数给值求值问题的基本步骤 (1)先化简所求式子或已知条件;(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手); (3)将已知条件代入所求式子,化简求值.对点训练3(1)(2020河北保定二模,文6,理6)已知sin π3+α=cos π3-α,则cos 2α=( )A.0B.1C.√22D.√32(2)设α为锐角,若cos α+π6=45,则sin 2α+π12的值为 .? 考向3 给值求角【例4】(1)(2020湖南师大附中一模,理7)已知α为锐角,且cos α(1+√3tan 10°)=1,则α的值为( ) A.20° B.40° C.50° D.70° (2)若sin 2α=√55,sin(β-α)=√1010,且α∈π4,π,β∈π,3π2,则α+β的值是( ) A.7π4 B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4解题心得解决“给值求角”问题的一般思路从给的条件中先求出角的某种三角函数的值;然后根据已知条件确定角的范围;最后根据角的范围写出所求的角.在求角的某种三角函数值时,选函数的原则:(1)已知正切函数值,选正切函数;(2)已知正弦、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是0,π2,选正弦、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为-π2,π2,选正弦较好.对点训练4(1)已知锐角α,β满足sin α=√55,cos β=3√1010,则α+β等于( )A.3π4B.π4或3π4C.π4D.2k π+π4(k ∈Z )(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17,则2α-β的值为 .?考点三角恒等变换的综合应用【例5】(2020江西名校大联考,理17)已知函数f (x )=2a sin π2-x cos (x -2π3),且f (π3)=1. (1)求a 的值及f (x )的最小正周期; (2)若f (α)=-13,α∈(0,π2),求sin 2α.解题心得解决三角函数图像与性质综合问题的方法先将y=f (x )化为y=a sin x+b cos x 的形式,然后用辅助角公式化为y=A sin(ωx+φ)的形式,再借助y=A sin(ωx+φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.对点训练5(2019浙江,18)设函数f (x )=sin x ,x ∈R . (1)已知θ∈[0,2π),函数f (x+θ)是偶函数,求θ的值;(2)求函数y=f x+π122+f x+π42的值域.1.三角恒等变换主要有以下四变:(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其方法通常是“配凑”.(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其方法通常有切化弦、正弦与余弦互化等. (3)变幂:通过“升幂与降幂”,把三角函数式的各项变成同次,目的是有利于应用公式.(4)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其方法通常有:常值代换、逆用或变用公式、通分与约分、分解与组合、配方与平方等. 2.三角函数恒等变换“四大策略”:(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin 2θ+cos 2θ=tan45°等. (2)角的配凑:如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),α=12[(α+β)+(α-β)]. (3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化:一般是切化弦.三角变换的应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换先把函数化为最简形式y=A sin(ωx+φ),再研究其性质,解题时注意观察角、三角函数名、式子结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.第2课时 简单的三角恒等变换必备知识·预案自诊考点自诊1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√2.A 原式=2sin α2cos α2-2cos 2α2√22(sin α2-cos α2)=2√2cos α2.3.A ∵cos2α+√3sin2α=2sin 2α+π6=2sinπ2−π3+2α=2sinπ2-2π6-α=2cos [2(π6-α)]=2-4sin 2π6-α=109. 4.D tan α=-3,即1cos 2α+2sinαcosα=sin 2α+cos 2αcos 2α+2sinαcosα=tan 2α+11+2tanα=9+11-6=-2.故选D .5.1 ∵α1,α2∈R ,且12+sinα1+20182+sin2α2=2019,∴sin α1+2=1,2+sin2α2=1,求得sin α1=-1,sin2α2=-1,∴α1=2k π-π2,且2α2=2n π-π2,k ,n ∈Z ,∴α2=n π-π4,n ∈Z ,∴α1+α2=(2k+n )π-3π4,n ,k ∈Z , ∴tan(α1+α2)=tan (-3π4)=1.关键能力·学案突破例1(1)Dsin (π+2α)1+cos2α·cos 2αcos(π2+α)=-sin2αcos 2α2cos 2α(-sinα)=-2sinαcosα·cos 2α2cos 2α(-sinα)=cos α.(2)解原式=sin (2α+β)-2sinαcos (α+β)sinα=sin [α+(α+β)]-2sinαcos (α+β)sinα=sinαcos (α+β)+cosαsin (α+β)-2sinαcos (α+β)sinα=cosαsin (α+β)-sinαcos (α+β)sinα=sin [(α+β)-α]sinα=sinβsinα.对点训练1(1)2√2cos α 原式=2sinαcosα-2cos 2α√22(sinα-cosα)=2√2cos α.(2)解原式=cos2α2sin(π4-α)cos(π4-α)=cos2αsin(π2-2α)=cos2αcos2α=1.例22 原式=cos10°+√3sin10°cos50°=2sin (10°+30°)cos50°=2sin40°sin40°=2.对点训练2C 原式=cos20°cos35°|sin10°-cos10°|=cos 210°-sin 210°cos35°(cos10°-sin10°)=cos10°+sin10°cos35°=√2(√22cos10°+√22sin10°)cos35°=√2cos (45°-10°)cos35°=√2cos35°cos35°=√2.例3解(1)由sin α+π4=√210,得sin αcos π4+cos αsin π4=√210, 化简得sin α+cos α=15, ① 又sin 2α+cos 2α=1, ②且α∈π2,π,解得cos α=-35. (2)∵α∈π2,π,cos α=-35,∴sin α=45,∴cos2α=1-2sin 2α=-725,sin2α=2sin αcos α=-2425,∴sin 2α-π4=sin2αcos π4-cos2αsin π4=-17√250.对点训练3(1)A (2)17√250(1)由sinπ3+α=cos π3-α,得√32cos α+12sin α=12cos α+√32sin α,所以sin α=cos α,cos2α=cos 2α-sin 2α=0.(2)∵α为锐角,且cos α+π6=45>0,∴α+π6∈π6,π2,∴sin α+π6=35. ∴sin 2α+π12=sin 2α+π6-π4=sin2α+π6cos π4-cos2α+π6sin π4=√2sin α+π6cos α+π6-√222cos 2α+π6-1=√2×35×45−√222×452-1=12√225−7√250=17√250. 例4(1)B (2)A (1)由cos α(1+√3tan10°)=1可得cos α·√3sin10°+cos10°cos10°=1,即cos α·2sin40°cos10°=1, ∴cos α=cos10°2sin40°=sin80°2sin40°=2sin40°cos40°2sin40°=cos40°.∵α为锐角,∴α=40°.故选B .(2)∵α∈π4,π,∴2α∈π2,2π.∵sin2α=√55,∴2α∈π2,π,∴α∈π4,π2,且cos2α=-2√55. 又sin(β-α)=√1010,β∈π,3π2, ∴β-α∈π2,5π4,cos(β-α)=-3√1010, ∴cos(α+β)=cos[(β-α)+2α] =cos(β-α)cos2α-sin(β-α)sin2α =-3√1010×-2√55-√1010×√55=√22, 又α+β∈5π4,2π,∴α+β=7π4. 对点训练4(1)C (2)-3π4(1)由sin α=√55,cos β=3√1010,且α,β为锐角,可知cos α=2√55,sin β=√1010, 故cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=2√55×3√1010−√55×√1010=√22, 又0<α+β<π,故α+β=π4. (2)因为tan α=tan[(α-β)+β] =tan (α-β)+tanβ1-tan (α-β)·tanβ=12-171+12×17=13>0,所以0<α<π2. 又因为tan2α=2tanα1-tan 2α=2×131-(13)?2=34>0,所以0<2α<π2.所以tan(2α-β)=tan2α-tanβ1+tan2αtanβ=34+171-34×17=1.因为tan β=-17<0, 所以π2<β<π,-π<2α-β<0, 所以2α-β=-3π4.例5解(1)由已知f (π3)=1,得2a×12×12=1,解得a=2.所以f (x )=4cos x√32sin x-12cos x=2√3sin x cos x-2cos 2x=√3sin2x-cos2x-1=2sin (2x -π6)-1.所以f (x )=2sin (2x -π6)-1的最小正周期为π.(2)f (α)=-13,2sin (2α-π6)-1=-13,sin (2α-π6)=13,因为α∈(0,π2),所以2α-π6∈(-π6,5π6).又因为sin (2α-π6)=13<12,所以2α-π6∈(0,π6). 所以cos (2α-π6)= √1-sin 2(2α-π6)=2√23, 则sin2α=sin (2α-π6)+π6=sin (2α-π6)cos π6+cos (2α-π6)sin π6 =13×√32+2√23×12=√3+2√26. 对点训练5解(1)因为f (x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x 都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sin x cos θ+cos x sin θ=-sin x cos θ+cos x sin θ,故2sin x cos θ=0,所以cos θ=0.又θ∈[0,2π),因此θ=π2或3π2.(2)y=fx+π122+fx+π42=sin 2x+π12+sin 2x+π4=1-cos(2x+π6)2+1-cos(2x+π2)2=1-12√32cos2x-32sin2x =1-√32cos2x+π3.因此,函数的值域是1-√32,1+√32.。

简单的三角恒等变换__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、会利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换；2、能根据问题的条件进行公式变形，体会在变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法.一、降幂公式： ααααααα2cos 12cos 1tan ,22cos 1sin ,22cos 1cos 222+-=-=+=1、公式推导：试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．二、积化和差、和差化积公式：1、公式推导： （１）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．三、本章节公式汇编：()tantan tan tan tan tan tan tan 22112ααααβαβαβαβ=-=←−−−±=±μcos cos sin cos sin sin sin cos 22112222222αααααααα=-=-=-= αβ=←−−−S S C C αβαβαβαβ+-+-↑↑↓()()[]()()[]()()[]()()[]sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos cos αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=-+--12121212令 A B =+=-⎧⎨⎩αβαβsin sin sincos sin sin cos sincos cos cos coscos cos sin sinA B A B A BA B A B A BA B A B A BA B A B A B+=+--=+--=+--=-+-222222222222相除相除移项αα→2相加减 12212222+=-=cos cos cos sin αααα 变形sincos coscos αααα212212=±-=±+相除tan cos cos sin cos cos sin ααααααα21111±-+=+=-例1 已知1sin sin cos cos :1sin sin cos cos 24242424=+=+ABA B B A B A 求证.练习： 在锐角三角形ABC 中,ABC 是它的三个内角,记S=BA tan 11tan 11+++,求证:S<1. 例2 证明xx cos sin 1+=tan(4π+2x).练习： 已知α,β∈(0,2π)且满足:3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值.例3 求证:αββαβαβ2222tan tan 1cos sin )sin()sin(-=-+a. 练习： 1.求证:θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1sin 24cos 4sin 1-++=-+.2.已知sinβ=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=mm-+11tanα.3.若sinα=135,α在第二象限,则tan 2a的值为( ) A.5 B.-5 C.51 D.51-4.设5π<θ<6π,cos 2θ=α,则sin 4θ等于( )A.21a + B.21a - C.21a +- D.21a -- 5.已知sinθ=53-,3π<θ<27π,则tan 2θ_________________. 例4（1） 化简:.cos sin 1cos sin 1xx xx ++-+.（2）化简:sin50°(1+3tan10°).例5 已知sinx-cosx=21,求sin 3x-cos 3x 的值.变式训练(2007年高考浙江卷,12) 已知sinθ+cosθ=51,且2π≤θ≤43π,则cos2θ的值是______________.一、选择题1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f (x )＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π4)，x ∈R ，则函数f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数(理)(2010·辽宁锦州)函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x 的最小正周期T ＝( ) A ．2πB ．πC.π2D.π32．(2010·重庆一中)设向量a ＝(cos α，22)的模为32，则cos2α＝( ) A ．－14B ．－12C.12D.323．已知tan α2＝3，则cos α＝( )A.45B ．－45C.415D ．－354．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形5．(2010·绵阳市诊断)函数f (x )＝2sin(x －π2)＋|cos x |的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π6．(2010·揭阳市模考)若sin x ＋cos x ＝13，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( )A ．±173B ．－173C.13D.1737．(文)在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x ，y 的大小关系是( ) A ．x ≤y B ．x ＜y C ．x ≥yD ．x ＞y(理)(2010·皖南八校)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，如果cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，那么a 、b 、c 满足的关系是( )A ．2ab >c 2B ．a 2＋b 2<c 2C ．2bc >a 2D ．b 2＋c 2<a 28．(2010·吉林省调研)已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π2个单位长度D ．向右平移π4个单位长度9．(2010·浙江金华十校模考)已知向量a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，若a ·b ＝25， 则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A.13B.27C.17D.2310．(2010·湖北黄冈模拟)若5π2≤α≤7π2，则1＋sin α＋1－sin α等于( ) A ．－2cos α2B ．2cos α2C ．－2sin α2D ．2sin α2二、填空题11．(2010·广东罗湖区调研)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos2θ＝________.12．(2010·江苏无锡市调研)函数y ＝tan x －tan 3x 1＋2tan 2x ＋tan 4x 的最大值与最小值的积是________．13．(2010·浙江杭州质检)函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)，(x ∈R )的最大值是________． 14．(文)如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB 于点D ，且AD ＝3DB ，设∠COD ＝θ，则tan 2θ2＝________.(理)3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________.三、解答题15．(文)(2010·北京理)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．(理)(2010·广东罗湖区调研)已知a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x,2cos x )，设f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值及最小值．16．(文)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f (C 2)＝－14，且C 为锐角，求sin A 的值．(理)已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．17．(文)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax (a >0)的图象与直线y ＝m 相切，相邻切点之间的距离为π2.(1)求m 和a 的值；(2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求点A 的坐标．(理)(2010·广东佛山顺德区检测)设向量a ＝(sin x,1)，b ＝(1，cos x )，记f (x )＝a ·b ，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的最大值和最小正周期； (2)若f (x )＝2f ′(x )，求1＋2sin 2xcos 2x －sin x cos x的值．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．若cos θ>0，sin2θ<0，则角θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角2．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin2θ＝( )A ．15B ．14C ．13D ．123．函数f (x )＝cos 4x －sin 4x 的最小正周期是( ) A ．π2B ．πC ．2πD ．4π4．若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．65．计算1＋cos100°－1－cos100°等于( ) A ．－2cos5° B ．2cos5° C ．－2sin5°D ．2sin5°6．2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α＝( ) A ．tan α B ．tan2α C ．1 D ．12二、填空题7．若tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ＝________.8．tan π12－1tan π12的值等于________．三、解答题9．已知cos α＝－1213，α∈(π，3π2)，求sin2α，cos2α，tan2α的值．能力提升一、选择题1．设a ＝(32，sin α)，b (cos α，13)，且a ∥b ，则锐角α为( )A ．30°B ．60°C ．75°D ．45° 2．若α∈⎣⎡⎦⎤5π2，7π2，则1＋sin α＋1－sin α的值为( ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α23．设a ＝22(sin17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32， 则( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c4．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是( ) A ．459B ．259C ．－459D ．－259二、填空题5．函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是________． 6．已知θ为第三象限角，sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin2θ＝________. 三、解答题7．若cos(π4＋x )＝35，17π12<x <7π4，求： (1)cos x ＋sin x 的值；(2)sin2x ＋2sin 2x 1－tan x的值．8．(2014·江苏，15)已知α∈(π2，π)，sin α＝55. (1)求sin(π4＋α)的值； (2)求cos(5π6－2α)的值．9．(2014·天津理，15)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．课程顾问签字： 教学主管签字：。

- 1 -3.2简单的三角恒等变换学案【学习目标】掌握降次公式（半角公式）的降次作用,能正确运用三角公式进行三角恒等变换。

【重点、难点】灵活的运用将次公式进行三角恒等变换 【基础梳理】1、 )sin(βα+= )sin(βα-= =+)cos(βα =-)cos(βα =+)tan(βα =-)tan(βα2、辅助角公式： x b x a cos sin +=3、α2sin = =α2cos = =4、降幂升角 2sin α= 2cos α= 5．用αcos 表示下列三角函数式：2sin2α= ；2cos2α= 2tan2α=【预习自测】1.75sin 15sin 的值是 。

2.化简：2cos 2sinxx = x x sin cos -= 3.证明：（1）2(sin cos )1sin 2θθθ-=-；（2）44cos sin cos 2ααα-=. 4. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A1010 B 1010- C 10103 D 10103- 【典例探讨】1.倍角或半角公式的简单应用 例1、 试以αcos 表示2tan ,2cos ,2sin 222ααα。

分析：α是2α的二倍角，在二倍角的余弦公式中以α代替2α，以2α代替α， 即得222sin,cos ,tan 222ααα相除得. 探讨：你能进一步求出sin,cos,tan222ααα的值吗？变式1：已知43sin -,(,2)52πααπ=∈，sin ,cos ,tan 222ααα的值。

变式2：已知α是钝角，β是锐角，且4sin 5α=，12sin 13β=，求-cos 2αβ的值. 2．倍角或半角公式的灵活应用：三角函数式的求值例2：已知：sin 22sin()sin()4242απαπα=-+，求25sin 23sin cos ααα-的值. 分析：4242παπα-+与的和为2π，所以sin()=cos()4222παπα+-，代入化简；给值、求值的关键是找出已知的式子与欲求的式子之间的关系，适当变换已知的式子和欲求的式子，即可. 变式3：已知tan 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求2sin 22cos θθ-的值. 【课堂检测】1.已知135sin =α，且α在第二象限，求2sin α ，2tan α的值。