北师大高中数学必修四知识点非常详细)

北师大高中数学必修四知识点非常详细1.函数函数是数学中非常重要的概念之一、函数是一种特殊的关系，将一个集合的每个元素映射到另一个集合的元素上。

在数学中，函数通常用公式表示，例如y=f(x)。

函数有多种形式，常见的包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

2.直线与圆直线和圆是几何中的基本图形。

直线是由一系列点组成的，这些点在同一条直线上。

圆由一个固定点（圆心）和所有到该点距离相等的点组成。

直线和圆有许多重要的性质和定理。

3.平面向量平面向量是数学中的一种工具，用于表示空间中的有向线段。

平面向量有大小和方向，可以进行加法、减法、数乘等运算。

平面向量还可以用坐标表示，例如向量AB可以表示为AB=<x,y>。

4.三角函数三角函数是数学中的重要工具，用于研究角和周期现象。

常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。

三角函数有一系列的性质和公式，可以用于求解各种数学问题。

5.导数与微分导数是微积分中的重要概念。

导数描述了函数在特定点处的变化率。

微分是导数的一种特殊情况，表示函数在特定点的小变化量。

导数和微分有许多重要的应用，例如求函数的极值、描绘函数的图像等。

6.不定积分与定积分不定积分和定积分是微积分的两个重要分支。

不定积分是导数的逆运算，可以用来求解函数的原函数。

定积分表示函数在一些区间上的面积或曲线下的定积分函数值。

不定积分和定积分有许多重要的性质和定理，可以用于求解各种数学问题。

7.数列与数学归纳法数列是数学中一个重要的概念。

数列是一系列按照一定规律排列的数的集合。

常见的数列有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。

数学归纳法是一种证明方法，常用于证明数学命题，特别适用于证明关于数列的命题。

8.排列与组合排列和组合是数学中的一个重要分支，研究对象是从给定集合中选择元素进行排列或组合的方法。

排列是有序选择元素，组合是无序选择元素。

排列和组合有许多重要的性质和公式，可以用于解决各种计数问题。

高一数学小结复习北师大版必修四【本讲教育信息】一、教学内容：必修四小结复习 二、学习目标1、通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用；2、了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力；3、运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。

三、知识要点1、任意角——将一条射线绕着它的一个端点旋转并规定了旋转方向（沿着逆时针方向为正方向）所形成的图形，有正角、负角和零角之分；2、弧度制——规定：长度等于半径的弧所对的圆心角为1弧度，记作：1rad 。

3、任意角的三角函数——在坐标系中，利用角的终边上任意一点的坐标来定义；4、三角函数线与诱导公式——借助三角函数线推导诱导公式5、三角函数图像与性质——通过函数线作图、变换作图（平移、伸缩、对称）6、同角三角函数的基本关系式——平方关系、商数关系7、函数) sin(ϕω+=x A y 的图像与性质——观察参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响； 8、平面向量的实际背景与基本概念——物理学背景；向量、相等向量、相反向量、共线向量、零向量、单位向量等；9、向量的线性运算——加、减、数乘10、平面向量的基本定理与坐标表示——平面向量的基本定理是建立向量坐标平面的理论依据；向量运算的坐标表示11、平面向量的数量积及其应用——求线段长度与夹角；证明垂直关系12、两角和与差的三角函数公式——由两角差的余弦公式导出和角公式与差角公式，进而导出积化和差公式、和差化积公式、二倍角公式、半角公式 四、考点解析与典型例题 考点一：求角 例1、已知]13,3[,21sin ∈-=x x ，求x 的值。

【解】由题意，ππk x 26+-=或Z k k x ∈+-=，ππ265。

因为]13,3[∈x ，故619465672656234661126ππππππππππππ=+-==+-==+-==+-=x x x x 或或或。

高中数学北师版必修四全册知识点含例题分析第一章 三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。

第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角，连同角α在内，都可以表示为集合{Z k k ∈⋅+=,360|αββ} 4、弧度制：（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。

半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． （2）度数与弧度数的换算：π=180 rad ，1 rad '185730.57)180(=≈=π（3）若扇形的圆心角为α（α是角的弧度数），半径为r ，则：弧长公式：r l ||α= ；扇形面积：2||2121r lr S α===5、三角函数:（1）定义:①设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (那么v 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α= v ; u 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=u ; 当α的终边不在y 轴上时，uv 做α的正切，记作tan α, 即tan α=uv . ②设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y，它与原点的距离是()0r OP r ==>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠ （2）三角函数值在各象限的符号：口诀：第一象限全为正；二正三切四余弦.6()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ．口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等．()()2sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()3sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．αsinx y ++ _ _ O x y + + _ _ αcos Oαtan x y++__ O()()4sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()5sin 2sin παα-=-，()cos 2cos παα-=，()tan 2tan παα-=-．口诀：函数名称不变，正负看象限．()6sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，tan cot 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()7sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，tan cot 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正弦与余弦互换，正负看象限．sin y x =cos y x = tan y x =图 象定义域RR,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域值域： []1,1-当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 值域：[]1,1-当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 值域：R既无最大值也无最小值周期性sin y x =是周期函数；周期为2,T k k Z π=∈且0k ≠； 最小正周期为2π cos y x =是周期函数；周期为2,T k k Z π=∈且0k ≠； 最小正周期为2πtan y x =是周期函数；周期为,T k k Z π=∈且0k ≠；最小正周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．8、函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA b x A y 的相关知识：（1）()sin y x b ωϕ=A ++的图象与x y sin =图像的关系：①振幅变换：x y sin = x A y sin =②周期变换：x y sin =x y ωsin =③相位变换：x y sin =)sin(ϕ+=x y④平移变换：)sin(ϕω+=x A y ()sin x b ωϕ=A ++先平移后伸缩：函数sin y x =的图象整体向左（0>ϕ）或向右（0<ϕ）平移ϕ个单位，得到函数()sin y x ϕ=+ 的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上每个点的横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上每个点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变，得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象整体向上（0>b ）或向下（0<b ）平移b 个单位，得到函数()sin y x b ωϕ=A ++．先伸缩后平移：函数sin y x =的图象上每个点的横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象整体向左（0>ϕ）或向右（0<ϕ）平移ϕω图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍图象上每个点的横坐标变为原来的ω1倍，纵坐标不变图象整体向上（）或向下（）个单位，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上每个点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变，得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象整体向上（0>b ）或向下（0<b ）平移b 个单位，得到函数()sin y x b ωϕ=A ++．（2）函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA bx A y 的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 定义域：R值域：[],A b A b -++当22x k πωϕπ+=+()k ∈Z 时，max y A b =+； 当22x k πωϕπ+=-()k ∈Z 时，min y A b =-+．周期性：函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA b x A y 是周期函数；周期为ωπ2=T单调性：x ωϕ+在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上时是增函数； x ωϕ+在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上时是减函数． 对称性：对称中心为(),0k k πϕω-⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭；对称轴为x ωϕ+()2k k ππ=+∈Z第二章 平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作；零向量的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量平行的单位向量：||a =．4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作//；规定0与任何向量平行．5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。

北师大高中数学必修四知识点非常详细修订版第一章函数的概念与性质1.1函数的概念1.2函数的基本性质函数的基本性质包括奇偶性、周期性、单调性和有界性等。

根据图像和函数表达式可以判断函数的性质。

第二章三角函数与解三角形2.1三角函数的概念与性质三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

它们的定义域和值域，以及图像和周期都有一定的规律。

2.2三角函数的运算三角函数之间可以进行各种运算，如加减乘除、复合函数、反函数等。

这些运算可以通过公式和性质来推导。

2.3解三角形解三角形是指根据给定的一些条件来确定三角形的各个角度和边长。

解三角形的方法有余弦定理、正弦定理、辅助角等。

第三章平面解析几何3.1向量的概念与运算向量是具有大小和方向的量，可以进行加减乘除等运算。

向量的基本性质有共线、共面、平行、垂直等。

3.2平面上的点与直线平面上的点与直线有一些基本的性质和关系。

可以使用两点式、点斜式、一般式等来表示直线。

3.3圆的概念与性质圆是由平面上与特定点的距离相等的所有点组成的集合。

圆的中心、半径、切线、弦等都有特定的性质。

第四章导数与微分4.1导数的概念与性质导数表示函数在其中一点处的变化率。

导数的性质有加法性、乘法性、链式法则等。

4.2导数的计算可以通过定义法、基本导数公式和导数运算法则等方法来计算导数。

常见的导数有多项式函数、指数函数、对数函数等。

4.3微分与微分中值定理微分是导数的一种近似。

微分中值定理是指在区间内存在特定点，使得该点的斜率等于该区间上的平均斜率。

第五章积分5.1不定积分与定积分不定积分是指求解原函数的过程，定积分是对函数在给定区间上的面积（或弧长等）进行求解。

5.2积分的性质与基本公式积分具有线性性质、区间可加性以及换元积分法等。

常见的积分有多项式积分、三角函数积分等。

5.3定积分的应用定积分可以应用于计算曲线下面的面积、旋转体的体积、弧长、质量、质心等问题。

这些知识点是北师大高中数学必修四的核心内容，对学生的数学能力培养具有重要意义。

北师大版高中数学必修知识点总结高中数学是高中阶段的一门重要学科，对学生的思维逻辑能力、数学分析能力以及解决实际问题的能力有很大的帮助。

下面是北师大版高中数学必修的知识点总结。

一、函数与方程1.函数的定义与性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。

2.初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。

3.函数的图像与性质：函数图像的平移、翻折和缩放等。

4.方程与不等式：一元一次方程、一元一次不等式、二次方程、二次不等式等。

二、数列与数学归纳法1.数列的概念与表示：等差数列、等比数列、等差数列与等比数列的相互转化。

2.数列的通项公式：求通项公式、求和公式等。

3.数列的前n项和与无限项和：有限等差数列求和、有限等比数列求和、无限等差数列求和、无限等比数列求和等。

4.数学归纳法的基本思想与应用。

三、平面向量1.向量的概念与运算：向量的表示、向量的加法、向量的数乘、数量积、向量积等。

2.向量的模、方向角、坐标与坐标运算：向量的模、方向角与坐标之间的关系、向量的坐标运算等。

3.平面向量的应用：向量的共线性、向量的法则等。

四、三角函数与解三角形1.角度与弧度制：角度与弧度的转化、正角和负角等。

2.三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。

3.三角函数的诱导公式：和角公式、差角公式、倍角公式、半角公式等。

4.三角函数的图像与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像、最小正周期与变换等。

5.解三角形：海伦公式、正弦定理、余弦定理等。

6.三角函数的应用：三角函数的模型求解等。

五、平面几何和立体几何1.平面几何基本概念：点、直线、线段、射线、角的概念与性质等。

2.平面几何的证明方法：直接证明、间接证明、反证法等。

3.圆的性质与判定：圆的定义、弧、弦、切线、正切、割线、弓形与线段的关系等。

4.圆锥曲线：椭圆、双曲线的定义与性质。

5.空间几何基本概念：点、直线、平面、直线与平面的位置关系等。

6.空间几何的投影：点到线的距离、点到平面的距离、线到平面的距离等。

高中数学必修4 知识点总结第一章：三角函数§1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α. 3、弧长公式：R Rn l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π.§1.2.1、任意角的三角函数1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设r =sin y r α=，cos x r α=，tan y xα= 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、 特殊角0°，30°，45°，60°，§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、 商数关系：αααcos sin tan =. §1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈）1、 诱导公式一： ()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 2、 诱导公式二： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+3、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- 4、诱导公式四： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-5、诱导公式五： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛- 6、诱导公式六： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.§1.4.3、正切函数的图象与性质12、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.① 先平移后伸缩：sin y x = 平移||ϕ个单位 ()sin y x ϕ=+（左加右减） 横坐标不变 ()sin y A x ϕ=+纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变 ()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的1||ω倍平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）② 先伸缩后平移：sin y x = 横坐标不变 sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍 纵坐标不变 sin y A x ω=横坐标变为原来的1||ω倍()sin y A x ωϕ=+平移||B 个单位()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈与()x k k Z ωϕπ+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征：max min 2A =，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,ϕ要用图像的关键点来求.§1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- 3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=. 6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、αααcos sin 22sin =， 变形： 12sin cos sin 2ααα=. 2、ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=α α2sin 21-=. 变形如下：升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩ 3、ααα2tan 1tan 22tan -=.4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ §3.2、简单的三角恒等变换1、 注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y（其中辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.2++.§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下：⑴= ⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反. 2、 平面向量共线定理：向量()≠与 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使λ=. §2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x y x ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+，⑵()2121,y y x x --=-， ⑶()11,y x λλλ=， ⑷1221//y x y x =⇔. 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x AB --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θ=⋅.2、 在θcos .3、 2=.4、=.5、 0=⋅⇔⊥.§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x y x ==，则：⑴2121y y x x b a +=⋅2121y x +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= ⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-= 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x -+-=.3、 两向量的夹角公式 2cos a b a bx θ⋅==+4、点的平移公式平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=，则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==． ④根据法向量定义建立方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量. （如图）2 用向量方法判定空间中的平行关系设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈. 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线.⑵线面平行①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=. 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可. ⑶面面平行若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线. 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=. 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直.⑵线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=.②（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、，若0,.0a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩则 即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直. ⑶面面垂直若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ⋅=. 即：两平面垂直两平面的法向量垂直. 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BDθ⋅=⑵求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ， 则θ为ϕ的余角或ϕ的补角 的余角.即有：cos s .ina ua uϕθ⋅==①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.如图：②求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、，再设m n 、的夹角为ϕ，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、的夹角ϕ或其补角.πϕ- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角： ◆如果θ是锐角，则cos cos m n m nθϕ⋅==；◆ 如果θ是钝角，则cos cos m n m nθϕ⋅=-=-.5、利用法向量求空间距离⑴点Q 到直线l 距离若Q 为直线l 外的一点,P 在直线l 上，a 为直线l 的方向向量，b =PQ ，则点Q 到直线l 距离为1(||||h a b a =⑵点A 到平面α的距离若点P 为平面α外一点，点M 为平面α内任一点，平面α的法向量为n ，则P 到平面α的距离就等于MP 在法向量n 方向上的投影的绝对值.即cos ,d MP n MP =n MP MP n MP⋅=⋅n MP n⋅=⑶直线a 与平面α之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.即.n MP d n⋅=⑷两平行平面,αβ之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.即.n MP d n⋅=⑸异面直线间的距离高中数学必修四 知识梳理 10设向量n 与两异面直线,a b 都垂直，,,M a P b ∈∈则两异面直线,a b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向上投影的绝对值.即.n MP d n⋅=6、三垂线定理及其逆定理⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于射影就垂直于斜线.⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC 是平面α内的任一条直线，AD 是α的一条斜线AB 在α内的射影，且BD ⊥AD ，垂足为D.设AB 与α (AD)所成的角为1θ， AD 与AC 所成的角为2θ， AB 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.8、 面积射影定理已知平面β内一个多边形的面积为()S S 原，它在平面α内的射影图形的面积为()S S '射，平面α与平面β所成的二面角的大小为锐二面角θ，则'cos =.S S S S θ=射原9、一个结论长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++= 222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.。

高中数学必修4知识点(完美版)高中数学必修4第一章三角函数角是指由两条射线（或直线）共同端点所组成的图形。

按照旋转方向，角可以分为正角、负角和零角。

其中，正角是按逆时针方向旋转形成的角，负角是按顺时针方向旋转形成的角，零角是不作任何旋转形成的角。

如果一个角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角。

各象限角的集合可以表示为：第一象限角的集合为：α ∈ {α | k360° < α < k360° + 90°，k∈Z}；第二象限角的集合为：α ∈ {α | αk360° + 90° < α < k360° + 180°，k∈Z}；第三象限角的集合为：α ∈ {α | αk360° + 180° < α < αk360° + 270°，k∈Z}；第四象限角的集合为：α ∈ {α | αk360° + 270° < α < αk360° + 360°，k∈Z}；终边在x轴上的角的集合为：α ∈{α | α = k180°，k∈Z}；终边在y轴上的角的集合为：α ∈ {α | α = k180° + 90°，k∈Z}；终边在坐标轴上的角的集合为：α ∈ {α | α = k90°，k∈Z}。

根据终边所在的象限，可以将角分为四个象限。

第一象限角的终边落在第一象限，第二象限角的终边落在第二象限，以此类推。

在第一象限，角的值在0°到90°之间；在第二象限，角的值在90°到180°之间；在第三象限，角的值在180°到270°之间；在第四象限，角的值在270°到360°之间。

高中数学必修4知识点总结
三角函数：这是必修4的重要内容，包括正角、负角和零角的概念，以及角度的象限划分。

此外，还有任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系、正余弦诱导公式、两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切等内容。

平面向量：平面向量的基本概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标计算、线段的定比分点、平面向量的数量积与运算律等也是必修4的重要知识点。

复数：复数的表示、复数的代数形式、复数的实部和虚部、以及复数的周期性等也是必修4的一部分内容。

集合：集合的基本性质、子集、真子集、集合的相等、空集等概念也是必修4的重要知识点。

以上就是高中数学必修4的主要知识点，需要学生在理解的基础上熟练掌握，并能够应用到解题中。

轻松识别几个易混概念识别一：向量与有向线段的区别（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，又称为自由向量．只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量．（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．有向线段是具有向量两要素的最简单的几何图形．故向量可以用有向线段表示．（3）对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以自由平行移动的，因此，在用有向线段表示向量时，可以自由选择起点，所以任何一组平行向量都可以移到同一直线上． 识别二：零向量、单位向量概念（1）长度为0的向量叫零向量，记作0．0的起点和终点重合，因此0向量有两个特征：一是长度为0（注意0与0的含义与书写区别）；二是方向不确定，或者说任何方向都是0向量的方向．（2）长度为1个单位长度的向量，叫单位向量．说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小．对于单位向量的认识：有无数个单位向量，在统一的单位长度下，所有的单位向量的大小都是一个单位，所以单位向量的大小都相等，但单位向量不一定相等．因为不同的单位向量有不同的方向，即使是共线的单位向量，它们也不一定相等，因为它们有可能方向相反．例1下列命题中不正确的是 （ ）A ．零向量没有方向B ．零向量只与零向量相等C ．零向量的模为0D ．零向量与任何向量共线解：零向量有方向，它的方向可以是任意的，应选A ．评注：零向量是指长度为0的向量，并规定“0与任一向量平行”，说明零向量的方向不确定．例2判断下列命题的正误：（1）单位向量都共线；（2）单位向量都相等；（3）共线的单位向量必相等；（4）与非零向量a 共线的单位向量是||a a ． 解：（1）（2）（3）（4）均不正确．因为共线向量的方向可能相同或相反，所以（4）中与共线的单位向量有两个：||a a ． 评注：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量．注意这里并未强调向量的方向．识别三：平行向量、共线向量、相等向量由于三者联系较为紧密，所以不少同学经常将三者混为一谈，给解题带来了一些不必要的麻烦，但如果我们能准确识别三者及其关系并应用其知识进行解题，也会给解题带来很大的方便．（1）平行向量①概念：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．②表示方法：如果a 、b 、c 是非零向量且方向相同或相反(向量所在的直线平行或重合)，则可记为////a b c ．③注意点：任一向量都与它自身是平行向量，并且规定：零向量与任一向量是平行向量．（2）共线向量①概念：共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，其所在直线可以平行也可以重合．②含义：“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义．实际上，共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．因此，任意一组共线向量都可以移到同一条直线上．（3）相等向量①概念：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．②识别依据：两个向量只有当它们的模相等，同时方向又相同时，才能称它们相等．如=a b ，就意味着||||=a b ，且a 与b 的方向相同．③理解拓展：由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的，都可以用同一条有向线段表示，因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点．（4） 平行向量、共线向量、相等向量三者的异同点①共线向量即为平行向量；②共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．例3下列命题正确的是 （ ）A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a 与b都是非零向量，所以应选C．。