新北师大版高中数学必修四综合测试题(附答案)

本册综合测试一本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx 的值为( )A ．3B ．－3C ．33D ．－33[答案] B[解析] 由三角函数的定义知yx ＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－ 3.2．(2014·陕西文，2)函数f (x )＝cos(2x ＋π4)的最小正周期是( )A ．π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] B[解析] T ＝2π2＝π，选B.y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，ω>0，A >0的最小正周期为2πω. 3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫2，72B ．⎝⎛⎭⎫2，－12C ．(3,2)D ．(1,3) [答案] A[解析] 本题主要考查平面向量的坐标运算． BC →＝(3＋1,1＋2)＝(4,3)， 2AD →＝2(x ，y －2)＝(2x,2y －4) ∵BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x3＝2y －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝72，故选A.4．函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2[答案] C[解析] 本题考查了正弦型函数图像的对称轴问题． 函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的对称轴是x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 当k ＝－1时，x ＝－π＋3π4＝－π4.要清楚函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的对称轴，其本质是sin(ωx ＋φ)＝±1时解出的． 5．设向量a 和b 的长度分别为4和3，夹角为60°，则|a ＋b |等于( ) A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 [答案] C[解析] |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2|a ||b |cos60°＋|b |2＝16＋2×4×3×12＋9＝37，|a ＋b |＝37，故选C.6．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫π3，π2B ．⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫4π3，3π2C ．⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，4π3D ．⎝⎛⎭⎫π3，4π3 [答案] D[解析] 当α∈[0，π2)时，由sin α>3cos α，得sin αcos α＝tan α>3，解得α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2；当α∈[π2，π]时，cos α≤0，显然原式成立；当α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2时，易得tan α<3，解得α∈⎝⎛⎭⎫π，4π3；当α∈⎣⎡⎭⎫3π2，2π时，sin α<0，cos α≥0，原式不成立，综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，4π3. 7．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值为( )A ．13B ．3C ．6D ．9[答案] C[解析] 由题意得：π3为函数f (x )＝cos ωx 的最小正周期的正整数倍，∴π3＝k ·2πω(k ∈N ＋)， ∴ω＝6k (k ∈N ＋)，∴ω的最小值为6.8．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →的值为( )A ．32B ．3C ．3D ．2 3[答案] C[解析] 如图所示，取BC 边中点M ，由2OA →＋AB →＋AC →＝0，可得2AO →＝AB →＋AC →＝2AM →， 则点M 与点O 重合．又由|OB →|＝|OC →|＝|OA →|＝|AB →|＝1， 可得|AC |＝|BC |·sin60°＝2×32＝3， 则CA →·CB →＝|CA →||CB →|·cos C ＝|CA →|2＝3.9．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)cos(ωx ＋φ)(ω>0)，以2为最小正周期，且能在x ＝2时取得最大值，则φ的一个值是( )A ．74πB ．－54πC ．－34πD ．π2[答案] C[解析] f (x )＝12sin(2ωx ＋2φ) T ＝2π2ω＝2∴ω＝π2，∴f (x )＝12sin(πx ＋2φ)，当x ＝2时，πx ＋2φ＝2π＋2φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－3π4，k ∈Z .10．已知f (x )＝sin(x ＋π2)，g (x )＝cos(x －π2)，则下列结论中不正确的是( )A ．函数y ＝f (x )g (x )的最小正周期为πB ．函数y ＝f (x )g (x )的最大值为12C ．函数y ＝f (x )g (x )的图像关于点(π4，0)成中心对称D ．将函数f (x )的图像向右平移π2个单位后得到函数g (x )的图像[答案] C[解析] f (x )＝cos x ，g (x )＝sin x ， y ＝f (x )g (x )＝cos x sin x ＝12sin2x ，∴最小正周期T ＝π，最大值为12，∴选项A ，B 正确．当x ＝π4时，y ＝12sin(2×π4)＝12≠0，∴y ＝f (x )g (x )的图像不关于点(π4，0)对称，选项C 错误．将f (x )的图像向右平移π2个单位后得y ＝cos(x －π2)，即g (x )的图像，选项D 正确．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．已知α为直线x ＋3y ＝0的倾斜角，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为________． [答案] 12[解析] 因为直线x ＋3y ＝0的斜率为－13，所以tan α＝－13，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan α·tan π4＝－13＋11＋13＝12. 12．(2014·重庆文，12)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________.[答案] 10[解析] 此题考查向量数量积的运算． ∵a ＝(－2，－6)，∴|a |＝4＋36＝210， ∴a ·b ＝210×10×cos60°＝10.13.下图是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像，则其解析式为________．[答案] y ＝3sin(2x ＋π3)[解析] 由图知T ＝11π6＋π6＝2π，∴ω＝1且A ＝2.由图像过(－π6，0)，得1×(－π6)＋φ＝0，又0<φ<π2，∴φ＝π6.∴y ＝2sin(x ＋π6)．14．已知cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°，则cos2α＝__________.[答案] －725[解析] 由cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°， 所以sin(α－β)＝35，sin(α＋β)＝－35，所以cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)·cos(α＋β)－sin(α－β)·sin(α＋β) ＝－45×45－35×⎝⎛⎭⎫－35＝－725. 15．设f (x )＝cos xcos (30°－x )，则f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝________.[答案]5932[解析] f (x )＋f (60°－x ) ＝cos xcos (30°－x )＋cos (60°－x )cos (x －30°)＝cos x ＋cos (60°－x )cos (30°－x )＝3sin (60°＋x )cos (30°－x )＝3，∴f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝[f (1°)＋f (59°)]＋[f (2°)＋f (58°)]＋…＋[f (29°)＋f (31°)]＋f (30°)＝5932. 三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知π6<α<2π3，sin(α－π3)＝m ，求tan(4π3－α)的值．[解析] ∵π6<α<2π3，∴－π6<α－π3<π3.∴cos(α－π3)＝1－m 2.∴tan(α－π3)＝sin (α－π3)cos (α－π3)＝m1－m 2. ∴tan(4π3－α)＝tan[π－(α－π3)]＝－tan(α－π3)＝－m 1－m 2.17．(本小题满分12分)OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，在OC →上是否存在点M ，使MA →⊥MB →？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] 设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)， ∴MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)． ∴45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴OM →＝(2,1)或OM →＝(225，115)．∴存在M (2,1)或M (225，115)满足题意．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x ).(1)求f (－11π12)的值；(2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝12f (x )＋sin2x 的最大值和最小值．[解析] (1)f (x )＝(1＋cos2x )2－2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x )＝cos 22xsin (π4＋x )cos (π4＋x )＝2cos 22x sin (π2＋2x )＝2cos 22x cos2x ＝2cos2x ，∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝ 3.(2)g (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)，∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g max (x )＝2，当x ＝0时，g min (x )＝1.19．(本小题满分12分)已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |；②|4a －2b |. (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )? [解析] 由已知可得a ·b ＝4×8×(－12)＝－16.(1)①|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝16＋2×(－16)＋64＝48， 所以|a ＋b |＝4 3.②|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2 ＝16×16－16×(－16)＋4×64 ＝3×162，所以|4a －2b |＝16 3. (2)若(a ＋2b )⊥(k a －b )，则 (a ＋2b )·(k a －b )＝0，所以k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0， 16k －16(2k －1)－2×64＝0， 故k ＝－7.20．(本小题满分13分)(2014·重庆理，17)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f (α2)＝34(π6<α<2π3)，求cos(α＋3π2)的值．[解析] (1)因f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2，又因f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…，因－π2≤φ<π2得k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f (α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34.所以sin(α－π6)＝14.由π6<α<2π3得0<α－π6<π2. 所以cos(α－π6)＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154.因此cos(α＋3π2)＝sin α＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝14·32＋154·12 ＝3＋158. 21．(本小题满分14分)设函数f (x )＝a ·(b ＋c )，其中向量a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(sin x ，－3cos x )，c ＝(－cos x ，sin x )，x ∈R .(1)求函数f (x )的单调减区间；(2)函数y ＝f (x )的图像可由函数y ＝sin x 的图像经过怎样变化得出？ (3)若不等式|f (x )－m |<2在x ∈[π8，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)由题意得f (x )＝a ·(b ＋c )＝(sin x ，－cos x )·(sin x －cos x ，sin x －3cos x )＝sin 2x －2sin x cos x ＋3cos 2x ＝2＋cos2x －sin2x ＝2＋2sin(2x ＋3π4)．由2k π＋π2≤2x ＋3π4≤2k π＋3π2，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )．故f (x )的单调减区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z )．(2)先将y ＝sin x 的图像上所有点向左平移3π4个单位，再将所得的图像上所有点横坐标压缩到原来的12，然后再将所得的图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，最后将所得图像上所有点向上平移2个单位即可得y ＝f (x )的图像．(3)∵|f (x )－m |<2在x ∈[π8，π2]上恒成立，∴f (x )－2<m <f (x )＋2，∴m >[f (x )]max －2且m <[f (x )]min ＋2， 即m >0且m <4－2，∴0<m <4－ 2.。

（新教材）北师大版精品数学资料第一章综合能力检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·全国大纲文，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A ．45B ．35C ．－35D ．－45[答案] D[解析] 由条件知：x ＝－4，y ＝3，则r ＝5，∴cos α＝x r ＝－45.要熟练掌握三角函数的定义．2．集合M ＝{x |x ＝sin n π3，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝cos n π2，n ∈Z }，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,0,1} B ．{0,1} C ．{0} D ．∅ [答案] C[解析] ∵M ＝{x |x ＝sinn π3，n ∈Z }＝{－32，0，32}，N ＝{－1,0,1}， ∴M ∩N ＝{0}，应选C.3．(2014·辽宁理，9)若点A (x ，y )是600°角终边上异于原点的一点，则yx 的值是( )A ．33B ．－33C ．3D ．－ 3[答案] C[解析] 由三角函数定义知，yx＝tan600°，而tan600°＝tan240°＝tan60°＝3，∴yx ＝ 3.4．下列说法中错误的是( )A ．y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )上是减函数B ．y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数C ．y ＝cos x 在第一象限是减函数D ．y ＝sin x 和y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上都是减函数 [答案] C[解析] ∵y ＝cos x 的单调减区间为[2k π，2k π＋π]，k ∈Z ，∴在⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2上y ＝cos x 是减函数，但在第一象限不是减函数． 5．已知角α的终边上一点的坐标为(sin 2π3，cos 2π3)，则角α的最小正值为( )A ．5π6B ．2π3C ．5π3D ．11π6[答案] D[解析] ∵sin 2π3>0，cos 2π3<0，∴点(sin 2π3，cos 2π3)在第四象限．又∵tan α＝cos2π3sin 2π3＝－33，∴α的最小正值为2π－16π＝116π.6．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是( ) A ．y ＝4sin(4x ＋π6)B ．y ＝2sin(2x ＋π3)＋2C ．y ＝2sin(4x ＋π3)＋2D ．y ＝2sin(4x ＋π6)＋2[答案] D[解析] 由四个选项可以看出A >0，ω>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧A ＋m ＝4，－A ＋m ＝0，解得A ＝m ＝2.又周期T＝2πω＝π2，解得ω＝4，则y ＝2sin(4x ＋φ)＋2.排除选项A 和B ；又直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则当x ＝π3时，函数取得最值，排除选项C.7．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图像如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)＝( )A ．－23B ．23C ．－12D ．12[答案] B[解析] 考查正弦型函数的振幅、周期、初相的求法． 由图知T 2＝π3⇒T ＝23π，由2πω＝T ⇒ω＝3.∴设y ＝A cos(3x ＋φ)，当x ＝712π时，y ＝0⇒3×712π＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，φ＝2k π－9π4，当k ＝1时，φ＝－π4.∴y ＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4， 当x ＝π2时，y ＝－23得－23＝A ·cos ⎝⎛⎭⎫32π－π4， －22A ＝－23⇒A ＝223. ∴y ＝223cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4， 当x ＝0时，f (0)＝223·cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝23，∴选B. 8．将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间[π12，7π12]上单调递减B ．在区间[π12，7π12]上单调递增C ．在区间[－π6，π3]上单调递减D ．在区间[－π6，π3]上单调递增[答案] B[解析] 本题考查三角函数的图像平移、三角函数的单调区间． y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x ＋π3－π)＝－3sin(2x ＋π3)．2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，2k π－5π6≤2x ≤2k π＋π6，k π－5π12≤x ≤k π＋π12，∴[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )是减区间，[k π＋π12，k π＋7π12](k ∈Z )是增区间．9．对于函数y ＝f (x )＝sin x ＋1sin x (0<x <π)，下列结论正确的是( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值[答案] B[解析] 令t ＝sin x ，t ∈(0,1]，则y ＝1＋1t ，t ∈(0,1]是一个减函数，则f (x )只有最小值而无最大值． 另外还可通过y ＝1＋1sin x，得出sin x ＝1y －1，由sin x ∈(0,1]也可求．故选B.10．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )[答案] C[解析] 由∀x ∈R ，有f (x )≤|f (π6)|知，当x ＝π6时，f (x )取最值．∴f (π6)＝sin(π3＋φ)＝±1，∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )．又∵f (π2)>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)．∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0， ∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin(2x －5π6)．令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )． ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为[π6＋k π，2π3＋k π](k ∈Z )．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．若tan α＝2，则2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________；2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝________.[答案] －1 57[解析]2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1；2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝2tan 2α－34tan 2α－9＝2×4－34×4－9＝57.12．已知函数f (x )＝a sin3x ＋b tan x ＋1满足f (5)＝7，则f (－5)＝________. [答案] －5[解析] 易知f (5)＋f (－5)＝2，∴f (－5)＝－5.13．函数y ＝－52sin(4x ＋2π3)的图像与x 轴的各个交点中，离原点最近的一点是________．[答案] (π12，0)[解析] 由4x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π4－π6，k ∈Z .k ＝0时，x ＝－π6；k ＝1时，x ＝π12.所以离原点最近的点是(π12，0)．14．函数f (x )＝lg(2cos x －3)的单调增区间为____________． [答案] (2k π－π6，2k π]，(k ∈Z )[解析] 2cos x －3>0即cos x >32.由图像观察 2k π－π6<x ≤2k π，k ∈Z 时，为增函数．15．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R )，有下列命题： (1)y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋43π为偶函数；(2)要得到函数g (x )＝－4sin2x 的图像，只需将f (x )的图像向右平移π3个单位长度；(3)y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－π12对称；(4)y ＝f (x )在[0,2π]内的增区间为⎣⎡⎦⎤0，512π和⎣⎡⎦⎤1112π，2π.其中正确命题的序号为________． [答案] (2)(3)[解析] (1)f ⎝⎛⎭⎫x ＋43π＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋83π－π3＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋73π，所以y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋43π不是偶函数，所以(1)不正确；(2)把函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像向右平移π3个单位长度，得到函数f 1(x )＝4sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3－π3＝4sin(2x －π)＝－4sin2x ＝g (x )的图像，所以(2)正确；(3)当x ＝－π12时，f (x )取得最小值，所以(3)正确；(4)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋512π，k ∈Z ，代入k ＝0,1，可知(4)错误．故选(2)(3)．三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设f (θ)＝2cos 3θ－cos 2(2π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－22＋2cos 2(π＋θ)＋cos (－θ)，求f ⎝⎛⎭⎫π3的值．[解析] f (θ)＝2cos 3θ－cos 2θ＋cos θ－22＋2cos 2θ＋cos θ＝2(cos 3θ－1)－(cos 2θ－cos θ)2＋2cos 2θ＋cos θ＝(cos θ－1)(2cos 2θ＋cos θ＋2)2＋2cos 2θ＋cos θ＝cos θ－1.所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3－1＝12－1＝－12. 17．(本小题满分12分)设f (x )＝23cos(2x ＋π6)＋3.(1)求f (x )的最大值及单调递减区间．(2)若锐角α满足f (α)＝3－23，求tan 45α的值．[解析] (1)f (x )的最大值为23＋3.令2k π≤2x ＋π6≤2k π＋π，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，∴函数f (x )的单调递减区间是[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )．(2)由f (α)＝3－23，得23cos(2α＋π6)＋3＝3－23，故cos(2α＋π6)＝－1.又由0<α<π2，得π6<2α＋π6<π＋π6，故2α＋π6＝π.解得α＝512π.从而tan 45α＝tan π3＝ 3.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )在一个周期内的图像如图所示，求直线y ＝3与函数f (x )图像的所有交点的坐标．[解析] 由图可知，函数f (x )的A ＝2，T ＝2πω＝4π，∴ω＝12，此时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝2， 得sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，∴φ＝2n π＋π4，n ∈Z ， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋2n π＋π4， 即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4当f (x )＝3，即2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4＝3， 即sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4＝32∴12x ＋π4＝2k π＋π3或12x ＋π4＝2k π＋2π3，k ∈Z ∴x ＝4k π＋π6或x ＝4k π＋5π6，k ∈Z∴所求交点的坐标为⎝⎛⎭⎫4k π＋π6，3或⎝⎛⎭⎫4k π＋5π6，3，其中k ∈Z . 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝lgsin(π3－2x )．(1)求f (x )的定义域及值域； (2)求f (x )的单调增区间．[解析] (1)由sin(π3－2x )>0得sin(2x －π3)<0，∴2k π－π<2x －π3<2k π(k ∈Z )，∴2k π－2π3<2x <2k π＋π3(k ∈Z )，∴k π－π3<x <k π＋π6(k ∈Z )，即f (x )的定义域为(k π－π3，k π＋π6)(k ∈Z )．∵0<sin(π3－2x )≤1，∴f (x )≤0，即f (x )的值域为(－∞，0]． (2)∵10>1，∴求f (x )的单调增区间即求sin(π3－2x )的单调增区间，即求sin(2x －π3)的单调减区间．由⎩⎨⎧k π－π3<x <k π＋π6(k ∈Z )，2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋2π3<x <k π＋11π12(k ∈Z )．∴函数的单调增区间为(k π＋2π3，k π＋11π12)(k ∈Z )． 20．(本小题满分13分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图像向右平移π4个单位，得函数y ＝f 2(x )的图像，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的集合，并写出该函数的增区间．[解析] (1)由题图知，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2.将y ＝A sin2x 的图像向左平移π12， 得y ＝A sin(2x ＋φ)的图像，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，得A ＝2. 故f 1(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)依题意，f 2(x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴y ＝f 2(x )的最大值为2. 当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z .∵y ＝cos x 的减区间为x ∈[2k π，2k π＋π]，k ∈Z ， ∴f 2(x )＝－2cos(2x ＋π6)的增区间为{x |2k π≤2x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z }，解得{x |k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z }， ∴f 2(x )＝－2cos(2x ＋π6)的增区间为x ∈[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .21．(本小题满分14分)已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)上的一个最高点的坐标为(π8，2)，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点(38π，0)．(1)求出此函数的解析式并求出此函数的单调递增区间； (2)设g (x )＝f (x ＋π8)是偶函数，证明：g (x )是偶函数．[解析] (1)由已知：T 4＝3π8－π8＝π4，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2.又由最高点坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2知：A ＝2， ∴y ＝2sin(2x ＋φ)，代入点⎝⎛⎭⎫π8，2，得sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1， ∴π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋2k π，k ∈Z ，∴|φ|<π2，∴φ＝π4，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z 得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z ， ∴函数y 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z . (2)g (x )＝f (x ＋π8)＝2sin[2(x ＋π8)＋π4]＝2sin(2x ＋π2)＝2cos2x .∵g (－x )＝2cos(－2x )＝2cos2x ＝g (x )， 定义域为R ，∴g (x )是R 上的偶函数．。

北师大版高一数学必修四复习测试全套及答案北师大版高一数学必修四复习测试全套及答案第一章章末分层突破[自我校对]①弧度制②负角③零角④y＝cos x⑤y＝tan x三角函数的定义及三角函数函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．(1)点P 从点(2,0)出发，沿圆x 2＋y 2＝4逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为；(2)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为．【精彩点拨】(1)先求∠POQ ，再利用三角函数定义求出Q 点坐标；(2)先列出三角函数的不等式组，再利用三角函数线求解．【规范解答】 (1)设∠POQ ＝θ，则θ＝π32＝π6，设Q (x ，y )，根据三角函数的定义，有x ＝2cos π6＝3，y ＝2sin π6＝1，即Q 点的坐标为(3，1)．(2)要使函数有意义，必须有 ??2sin x －1>0，1－2c os x ≥0，即sin x >12，cos x ≤12，解得π6＋2k π<5<="" p="">6π＋2k π(k ∈Z )，π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤x <5π6＋2k π(k ∈Z )．故所求函数的定义域为π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )．【答案】 (1)(3，1) (2)π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )[再练一题]1．求函数f (x )＝－sin x ＋tan x －1的定义域．【解】函数f (x )有意义，则－sin x ≥0，tan x －1≥0，即sin x ≤0，tan x ≥1. 如图所示，结合三角函数线知2k π＋π≤x ≤2k π＋2π(k ∈Z )，k π＋π4≤x <="" p="" π＋π2(k="" ∈z="">∴2k π＋5π4≤x <2k π＋3π2(k ∈Z )．故f (x )的定义域为2k π＋5π4，2k π＋3π2(k ∈Z )．用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，也可以实现正弦与余弦、正切与余切之间函数名称的变换．2k π＋α，π±α，－α，2π±α，π2±α的诱导公式可归纳为：k ×π2＋α(k ∈Z )的三角函数值．当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数k 的奇偶．已知f (α)＝sin ? ????－α＋π2cos ? ??3π2－αtan (α＋5π)tan (－α－π)sin (α－3π)，(1)化简f (α)；(2)若α＝－25π3，求f (α)的值．【精彩点拨】直接应用诱导公式求解．【规范解答】(1)f (α)＝cos α·(－sin α)·tan α(－tan α)·sin (π＋α)＝cos α·sin α·sin αcos α－sin αcos α·sin α＝－cos α.(2)f ? ????－25π3＝－cos ? ????－25π3＝－cos ? ?8π＋π3 ＝－cos π3＝－12. [再练一题]2．若sin ? ????3π2＋θ＝14，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ).【解】因为sin ? ????3π2＋θ＝14，所以cos θ＝－14.所以cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ)＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝cos θcos θ(cos θ＋1)－cos θcos θ(cos θ－1)＝1cos θ＋1－1cos θ－1＝1－14＋1－1－14－1＝3215.考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．如图1-1是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋kA >0，ω>0，φ<π2的一段图像．图1-1(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的．【精彩点拨】(1)先确定A ，k ，再根据周期求ω，最后确定φ.(2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移．【规范解答】(1)由图像知，A ＝－12－? ???－322＝12，k ＝－12＋? ???－322＝－1，T ＝2×? ????2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6. ∴所求函数解析式为y ＝12sin ? ??2x ＋π6－1. (2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ? ????x ＋π6，然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ? ?2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin ? ????2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ? ????2x ＋π6的图像向下平移1个单位，得到y ＝12sin ? ?2x ＋π6－1的图像．[再练一题]3．若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为3，求函数f (x )的解析式，并说明怎样变换f (x )的图像能得到g (x )＝3sin ? ?2x －π6的图像．【解】因为函数f (x )最大值为3，所以A ＝3，又当x ＝π6时函数f (x )取得最大值，所以sin ? ??π3＋φ＝1.因为0<φ<π，故φ＝π6，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ? ?2x ＋π6，将f (x )的图像向右移π6个单位，即得g (x )＝3sin2?x －π6＋π6＝3sin ? ????2x －π6的图像．奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的周期性、单调性和最值(值域)，应引起重视．已知函数f (x )＝2sin ? ?2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求f (x )取最大值时，x 的取值集合．【精彩点拨】 (1)将2x ＋π6看成一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间求解．(2)先求x ∈0，π2时，2x ＋π6的范围，再根据最值求a 的值． (3)先求f (x )取最大值时2x ＋π6的值，再求x 的值．【规范解答】 (1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调增区间为－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调减区间为π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ? ??2x ＋π6≤1，∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1. (3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )．∴2x ＝π3＋2k π，∴x ＝π6＋k π(k ∈Z )．∴当f (x )取最大值时， x的取值集合是x ?x ＝π6＋k π，k ∈Z . [再练一题]4．已知函数f (x )＝2sin ? ?2x －π4，(x ∈R ) (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间π8，34π上的最大值和最小值．【解】(1)∵f (x )＝2sin ? ?2x －π4，∴T ＝2πω＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.(2)f (x )＝2sin ? ????2x －π4在区间π8，3π8上是增函数，在区间3π8，3π4上是减函数，∴函数f (x )在x ＝3π8处取得最大值，在两端点之一处取得最小值．又f ? ????π8＝0，f ? ??3π8＝ 2.F ? ????34π＝2sin ? ??3π2－π4＝－2cos π4＝－1. 故函数f (x )在区间π8，3π4上的最大值为2，最小值为－1.问题转化为数量关系去求解，体现了数与形的联系．在三角函数中可以利用单位圆中的三角函数线或三角函数图像研究三角函数的求值、大小比较、最值、解三角不等式、单调区间、对称性等问题，其特点是直观形象．若集合M ＝?θsin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝?θcos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .【精彩点拨】本题主要考查已知三角函数值范围求角，可以根据正弦函数图像和余弦函数图像，作出集合M 和N ，然后求M ∩N ，或利用单位圆中三角函数线确定集合M ，N .【规范解答】法一：首先作出正弦函数与余弦函数的图像以及直线y ＝12，如图：结合图像得集合M ，N 分别为M ＝?θ π6≤θ≤5π6，N ＝θπ3≤θ≤π，得M ∩N ＝θπ3≤θ≤56π. 法二：作出单位圆的正弦线和余弦线．如图：由单位圆三角函数线知：M ＝?θ π6≤θ≤5π6，N ＝θπ3≤θ≤π，得M ∩N ＝θπ3≤θ≤56π. [再练一题]5．(1)求满足不等式cos x <－12的角x 的集合； (2)求y ＝2sin x ? ??－π3≤x ≤2π3的值域．【解】 (1)作出函数y ＝cos x 在[0,2π]上的图像，如图所示：由于cos 2π3＝cos 4π3＝－12，故当2π3<－1<="" p="" x="">2.由于y ＝cos x 的周期为2π，∴适合cos x <－12的角x 的集合为x2π3＋2k π<="" ＝sin="">由图像可知，当－π3≤x ≤2π3时，－32≤sin x ≤1，∴－3≤2sin x ≤2，因此函数y ＝2sin x ? ??－π3≤x ≤2π3的值域为[－3，2].1．要得到函数y ＝sin ? 4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位【解析】由y ＝sin ? ????4x －π3＝sin 4? ?x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B.【答案】 B2．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图1-2所示，则f (x )的单调递减区间为( )A ．? ?k π－14，k π＋34，k ∈ZB.? ?2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C ．? ????k －14，k ＋34，k ∈ZD.? ?2k －14，2k ＋34，k ∈Z 【解析】由图像知，周期T ＝2? ????54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ? ?πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<="">4，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为? ?2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.【答案】 D3．如图1-3，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ? ????π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图1-3A ．5B ．6D ．10【解析】根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 【答案】 C4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)? ?ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在? ??π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5【解析】因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个零点为x ＝－π4，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，所以T 4·k ＝π2(k 为奇数)．又T ＝2πω，所以ω＝k (k 为奇数)．又函数f (x )在? ????π18，5π36上单调，所以π12≤12×2πω，即ω≤12.若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4，此时，f (x )＝sin ? ????11x －π4，f (x )在? ????π18，3π44上单调递增，在? ??3π44，5π36上单调递减，不满足条件．若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin ? ????9x ＋π4，满足f (x )在? ????π18，5π36上单调的条件．故选B.【答案】 B5．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)? ?ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)．．．．．．．．．．．)的解析式； (2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图像．若y ＝g (x )图像的一个对称中心为? ??5π12，0，求θ的最小值．【解】 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ? ???2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ? ?2x －π6，则g (x )＝5sin ? ?2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图像的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图像关于点? ????5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.第二章章末分层突破[自我校对]①单位向量②坐标表示③数乘向量④坐标⑤夹角公式。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四章末综合测评(一) 三角函数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若α＝－6，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵－2π<－6<－3π2，∴角α在第一象限，故选A．【答案】 A2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】由条件可知，tan α<0且cos α<0，∴α是第二象限角．【答案】 B3．已知角α的终边经过点(3a，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α等于( )A．15B．75C ．－15D ．－75【解析】 r ＝(3a )2＋(－4a )2＝－5a ，∴sin a ＝－4a －5a ＝45，cos a ＝3a －5a ＝－35，∴sin a ＋cos a ＝45－35＝15.【答案】 A4．(2016·阜阳高一检测)已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( )【导学号：66470036】A ．π3B ．1C.2π3D ．3【解析】 因为弧长l ＝3r －2r ＝r ， 所以圆心角α＝lr＝1.【答案】 B5．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2x ＋π3，则下列不等式中正确的是( )A ．f (1)<f (2)<f (3)B ．f (2)<f (3)<f (1)C ．f (3)<f (2)<f (1)D ．f (2)<f (1)<f (3)【解析】 ∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2x ＋π3，∴f (1)＝3sin 5π6＝32，f (2)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝－3sin π3＝－332，f (3)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π＋π3＝－3cos π3＝－32.∴f (2)<f (3)<f (1)． 【答案】 B6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图像如图1所示，则函数f (x )的解析式为( )图1A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －3π4【解析】 由图像知A ＝2，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π＋π2＝4π，∴ω＝2π4π＝12.∵函数在x ＝－π2时取到最大值，∴12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2＋φ＝π2， 即φ＝34π，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋34π.【答案】 B7．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图2所示，则( )图2A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝1，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6【解析】 由题图可知T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫712π－π3＝π.又T ＝2πω，ω＝2ππ＝2，∴y ＝sin(2x ＋φ)，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23π＋φ＝1，又|φ|<π2，∴φ＝－π6.【答案】 D8．(2016·宿州高一检测)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4且x ≠0的值域为( )A ．[－1,1]B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4且x ≠0，∴π2－x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，3π4且π2－x ≠π2， 即π2－x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4，当π2－x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π4，π2时，y ≥1； 当π2－x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4时，y ≤－1， ∴函数y 的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 【答案】 B9．(2016·蜀山高一检测)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A ．13B ．3C ．6D ．9【解析】 由题可知π3＝2πω·k (k ∈Z )，解得ω＝6k ，令k ＝1，即得ωmin ＝6. 【答案】 C10．(2016·合肥高一检测)函数y ＝sin x2的图像沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数的图像的一个对称中心是( )A ．(0,0)B ．(π，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0【解析】 函数y ＝sin x2的图像沿x 轴向左平移π个单位后得到函数y ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(x ＋π)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋π2＝cos 12x 的图像，它的一个对称中心是(π，0)．【答案】 B11．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数【解析】 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π2＝－cos x ，所以T ＝2π，A 正确；y ＝cos x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是减函数，y ＝－cos x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是增函数，B 正确；由图像知y ＝－cos x 关于直线x ＝0对称，C 正确；y ＝－cos x 是偶函数，D 错误．故选D. 【答案】 D12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x <cos x ，下列说法正确的是( )A ．该函数值域为[－1,1]B ．当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数取最大值1C ．该函数是以π为最小正周期的周期函数D ．当π＋2k π<x <2k π＋3π2(k ∈Z )时，f (x )<0【解析】 画出函数y ＝f (x )图像如图：由图像可知，值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22，1，A 错；当x ＝2k π或x ＝2k π＋π2，(k ∈Z )时，f (x )取最大值1，B 错；周期T ＝5π4－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3π4＝2π，C 错．故选D.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________．【解析】 由题意知，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为T ＝2π2＝π.【答案】 π14．设f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在闭区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3上的最大值为2，则ω的值为________.【导学号：66470037】【解析】 ∵0<ω<1，∴T ＝2πω，∴T 4＝π2ω>π2，∴f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3上为增函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＝2sin π3ω＝2，∴sin π3ω＝22，即π3ω＝π4，∴ω＝34.【答案】 3415．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2 cos(2x ＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．【解析】 如果两个函数的图像对称轴完全相同，那么它们的周期必须相同，∴ω＝2，即f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6，∴x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，56π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，1，故f (x )∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，3.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，316．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π3(ω>0)的图像向左平移π3ω个单位得到函数y＝g (x )的图像，若y ＝g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为________．【解析】 由题意得y ＝g (x )＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3ω－π3＝2sin ωx (ω>0)．∵y ＝g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π4上递增，且ω>0，∴－ω6π≤ωx ≤ωπ4且有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－ω6π，ωπ4⊆⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ω6π≥－π2，ω4π≤π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω≤3，ω≤2，∴ω≤2，∴ω的最大值为2. 【答案】 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知角x 的终边过点P (1，3)．求：(1)sin(π－x )－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋x 的值；(2)写出角x 的集合S . 【解】 ∵x 的终边过点P (1，3)，∴r ＝|OP |＝12＋(3)2＝2，∴sin x ＝32，cos x ＝12.(1)原式＝sin x －cos x ＝3－12.(2)由sin x ＝32，cos x ＝12.若x ∈[0,2π]，则x ＝π3，由终边相同角定义，∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝2k π＋π3，k ∈Z. 18．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图像可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图像经过怎样的变换得到？ 【解】 (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π3≤x ≤kπ＋π6(k ∈Z )．所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)变换情况如下：19．(本小题满分12分)(2016·北海高一检测)函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＝2，求α的值．【解】 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋1.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＋1＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＝12.∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3.20．(本小题满分12分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像过点(0,1)，如图3所示．图3(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图像向右平移π4个单位长度，得函数y ＝f 2(x )的图像，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的集合．【解】 (1)由题图知，T ＝π，于是ω＝2πT＝2.将y ＝A sin 2x 的图像向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图像，于是φ＝2·π12＝π6. 将(0,1)代入y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，得A ＝2.故f 1(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6.(2)依题意，f 2(x )＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，当2x ＋π6＝2k π＋π，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2，x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z .21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6，ω>0，x ∈R 的最小正周期为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α4＋π12＝95，求cos α的值．【解】 (1)∵T ＝2πω＝π2⇒ω＝4.∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π6.(2)列表：4x ＋π60 π2 π 3π22πx －π24π125π24 π311π24 f (x )0 3 0－3图像如图所示：(3)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α4＋π12＋π6＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π2＝95⇒cos α＝35.22．(本小题满分12分)已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＋20，x ∈[4,16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15°C 到25°C 之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？【解】 (1)由函数易知，当x ＝14时函数取最大值，此时最高温度为30°C ，当x ＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 °C ，所以最大温差为30 °C －10°C ＝20°C.(2)令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＋20＝15，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＝－12，而x ∈[4,16]，所以x ＝263.令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＋20＝25，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＝12，而x ∈[4,16]，所以x＝343. 故该细菌能存活的最长时间为343－263＝83(小时)．。

本册综合测试一本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y x 的值为( )A ． 3B ．－ 3C ．33D ．－33[答案] B[解析] 由三角函数的定义知yx＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－ 3.2．(2015·山东理，3)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位[答案] B[解析] 因为y ＝sin(4x －π3)＝sin[4(x －π12)]所以要得到y ＝sin[4(x －π12)]的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位．故选B ．3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫2，72B ．⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)[答案] A[解析] 本题主要考查平面向量的坐标运算． 设点D 的坐标为(x ，y )， BC →＝(3＋1,1＋2)＝(4,3)， 2AD →＝2(x ，y －2)＝(2x,2y －4) ∵BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x 3＝2y －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝72，故选A ．4．函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2[答案] C[解析] 本题考查了正弦型函数图像的对称轴问题． 函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的对称轴是x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 当k ＝－1时，x ＝－π＋3π4＝－π4.要清楚函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的对称轴，其本质是sin(ωx ＋φ)＝±1时解出的． 5．设向量a 和b 的长度分别为4和3，夹角为60°，则|a ＋b |等于( ) A ．37 B ．13 C ．37 D ．13[答案] C[解析] |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2|a ||b |cos60°＋|b |2＝16＋2×4×3×12＋9＝37，|a ＋b |＝37，故选C ．6．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图像，只需将函数y ＝sin x 的图像( )A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位[答案] C[解析] y ＝cos(x ＋π3)＝sin[π2＋(x ＋π3)]＝sin(x ＋5π6)，则只需将函数y ＝sin x 的图像向左平移5π6个长度单位即得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图像． 7．已知sin2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( )A ．16B ．13C ．12D ．23[答案] A[解析] 本题考查半角公式及诱导公式．由半角公式可得，cos 2(α＋π4)＝1＋cos (2α＋π2)2＝1－sin2α2＝1－232＝16，故选A ．8．(2015·四川理，4)下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x [答案] A[解析] 对于选项A ，因为y ＝－sin 2x ，T ＝2π2＝π，且图像关于原点对称，故选A ．9．(2015·陕西理，7)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b|≤|a||b | B ．|a －b|≤||a|－|b|| C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 [答案] B[解析] A 项，|a·b|＝|||a||b|cos α(α为a 、b 夹角)，因为cos α≤1，所以|a·b|＝|||a||b|cos α≤|a||b|，故A 项不符合题意；B 项，两边平方得a 2＋b 2－2a·b ≤a 2＋b 2－2|a||b|，即|a||b|≤a·b ＝|a||b|cos α(α为a 、b 夹角)，当α不为0时，此式不成立，应该为|a||b|≥a·b ，故B 项符合题意；C 项，由向量的运算性质可知，(a ＋b )2＝|a ＋b |2恒成立，故C 项不符合题意；D 项，由向量的数量积运算可知，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2恒成立，故D 项不符合题意．故本题正确答案为B ．10．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)cos(ωx ＋φ)(ω>0)，以2为最小正周期，且能在x ＝2时取得最大值，则φ的一个值是( )A ．74πB ．－54πC ．－34πD ．π2[答案] C[解析] f (x )＝12sin(2ωx ＋2φ) T ＝2π2ω＝2∴ω＝π2，∴f (x )＝12sin(πx ＋2φ)，当x ＝2时，πx ＋2φ＝2π＋2φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－3π4，k ∈Z .11．在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是( ) A ．|AC →|2＝AC →·AB → B ．|BC →|2＝BA →·BC → C ．|AB →|2＝AC →·CD →D ．|CD →|2＝(AC →·AB →)·(BA →·BC →)|AB →|2[答案] C[解析] ∵AC →·AB →＝AC →·(AC →＋CB →)＝AC →2＋AC →·CB →＝AC →2， ∴|AC |→2＝AC →·AB →成立；同理|BC →|2＝BA →·BC →成立； 而AC →·AB →|AB →|·BA →·BC →|BA →|＝|AD →|·|BD →|＝|CD |2＝|CD →|2.故选C ．12．已知f (x )＝sin(x ＋π2)，g (x )＝cos(x －π2)，则下列结论中不正确的是( )A ．函数y ＝f (x )g (x )的最小正周期为πB ．函数y ＝f (x )g (x )的最大值为12C ．函数y ＝f (x )g (x )的图像关于点(π4，0)成中心对称D ．将函数f (x )的图像向右平移π2个单位后得到函数g (x )的图像[答案] C[解析] f (x )＝cos x ，g (x )＝sin x ， y ＝f (x )g (x )＝cos x sin x ＝12sin2x ，∴最小正周期T ＝π，最大值为12，∴选项A ，B 正确．当x ＝π4时，y ＝12sin(2×π4)＝12≠0，∴y ＝f (x )g (x )的图像不关于点(π4，0)对称，选项C 错误．将f (x )的图像向右平移π2个单位后得y ＝cos(x －π2)，即g (x )的图像，选项D 正确．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知α为直线x ＋3y ＝0的倾斜角，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为________． [答案] 12[解析] 因为直线x ＋3y ＝0的斜率为－13，所以tan α＝－13，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan α·tan π4＝－13＋11＋13＝12. 14．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝______. [答案] 2[解析] ∵|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°， ∴a ·b ＝12，|b |2＝1，∵b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )b ＝12t ＋(1－t )＝1－12t ＝0，∴t ＝2.15.右图是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像，则其解析式为________．[答案] y ＝2sin(x ＋π6)[解析] 由图知T ＝11π6＋π6＝2π，∴ω＝1且A ＝2.由图像过(－π6，0)，得1×(－π6)＋φ＝0，又0<φ<π2，∴φ＝π6.∴y ＝2sin(x ＋π6)．16．设f (x )＝cos xcos (30°－x )，则f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝________.[答案]5932[解析] f (x )＋f (60°－x )＝cos xcos (30°－x )＋cos (60°－x )cos (x －30°)＝cos x ＋cos (60°－x )cos (30°－x )＝3sin (60°＋x )cos (30°－x )＝3，∴f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝[f (1°)＋f (59°)]＋[f (2°)＋f (58°)]＋…＋[f (29°)＋f (31°)]＋f (30°)＝5932. 三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2015·北京理，15)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．[解析] (1)f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2＝2·12sin x －2·1－cos x 2＝22sin x ＋22cos x －22＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22. f (x )的最小正周期为T ＝2π1＝2π；(2)∵－π≤x ≤0，∴－3π4≤x ＋π4≤π4，当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值为：－1－22.18．(本小题满分12分)如图所示，M ，N ，P 分别是△ABC 三边上的点，且BM →＝14BC →，CN →＝14CA →，AP →＝14AB →，设AB →＝a ，AC →＝b ，试将MN →，MP →，PN →用a ，b 表示，并计算MP →＋PN→－MN →.[解析] 由题设得AP →＝14AB →＝14a ，CN →＝14CA →＝－14AC →＝－14b ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，BM→＝14BC →＝14(b －a )，所以MN →＝MC →＋CN →＝34BC →＋14CA →＝34(b －a )－14b ＝－34a ＋12B ．同理可得MP →＝－12a －14b ，PN →＝－14a ＋34B ．将它们代入得MP →＋PN →－MN →＝0.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x ).(1)求f (－11π12)的值；(2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝12f (x )＋sin2x 的最大值和最小值．[解析] (1)f (x )＝(1＋cos2x )2－2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x )＝cos 22xsin (π4＋x )cos (π4＋x )＝2cos 22x sin (π2＋2x )＝2cos 22x cos2x ＝2cos2x ，∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝ 3.(2)g (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)，∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g max (x )＝2，当x ＝0时，g min (x )＝1.20．(本小题满分12分)已知点A 、B 、C 的坐标分别为A (3,0)、B (0,3)、C (cos α，sin α)，α∈(π2，3π2)．(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin2α1＋tan α的值．[解析] (1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)，∴|AC →|＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， |BC →|＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α. 由|AC →|＝|BC →|，得sin α＝cos α. 又∵α∈(π2，3π2)，∴α＝5π4.(2)由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1. ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝2sin α(sin α＋cos α)1＋sin αcos α＝2sin αcos α.由①式两边平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝－59.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图像关于直线x＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)若f (α2)＝34(π6<α<2π3)，求cos(α＋3π2)的值．[解析] (1)因f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2，又因f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…，因－π2≤φ<π2得k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f (α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34.所以sin(α－π6)＝14.由π6<α<2π3得0<α－π6<π2.所以cos(α－π6)＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154.因此cos(α＋3π2)＝sin α＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝14·32＋154·12＝3＋158. 22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a ·(b ＋c )，其中向量a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(sin x ，－3cos x )，c ＝(－cos x ，sin x )，x ∈R .(1)求函数f (x )的单调减区间；(2)函数y ＝f (x )的图像可由函数y ＝sin x 的图像经过怎样变化得出？ (3)若不等式|f (x )－m |<2在x ∈[π8，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)由题意得f (x )＝a ·(b ＋c )＝(sin x ，－cos x )·(sin x －cos x ，sin x －3cos x ) ＝sin 2x －2sin x cos x ＋3cos 2x ＝2＋cos2x －sin2x ＝2＋2sin(2x ＋3π4)．由2k π＋π2≤2x ＋3π4≤2k π＋3π2，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )．故f (x )的单调减区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z )．(2)先将y ＝sin x 的图像上所有点向左平移3π4个单位，再将所得的图像上所有点横坐标压缩到原来的12，然后再将所得的图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，最后将所得图像上所有点向上平移2个单位即可得y ＝f (x )的图像．(3)∵|f (x )－m |<2在x ∈[π8，π2]上恒成立，∴f (x )－2<m <f (x )＋2，∴m >[f (x )]max －2且m <[f (x )]min ＋2， 即m >0且m <4－2，∴0<m <4－ 2.。

北师大版数学精品教学资料阶段性测试题一(第一章综合测试题)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．(2014·山东济南一中高一月考)下列角与－750°角终边不同的是( ) A ．330° B ．－30° C ．680° D ．－1 110°[答案] C[解析] －750°＝－2×360°＋(－30°)， 330°＝360°＋(－30°)， 680°＝2×360°＋(－40°)， －1 110°＝－3×360°＋(－30)°， 故680°角与－750°角终边不同.2．(2014·山东德州高一期末测试)sin(－116π)＝( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32 [答案] B[解析] sin(－11π6)＝－sin 11π6＝－sin(2π－π6)＝sin π6＝12.3．(2014·浙江嘉兴一中高一月考)下列不等式中，正确的是( ) A ．tan 13π4<tan 13π5B ．sin π5>cos(－π7)C ．sin(π－1)<sin1°D ．cos 7π5<cos(－2π5)[答案] D[解析] tan 13π4＝tan(3π＋π4)＝tan π4＝1，tan 13π5＝tan(2π＋3π5)＝tan 3π5<0，∴tan 13π4>tan 13π5，排除A ；cos(－π7)＝cos π7，∵π5＋π7<π2，∴π5<π2－π7， ∴sin π5<sin(π2－π7)＝cos π7，排除B ；sin(π－1)＝sin1>sin1°，排除C ；cos 7π5＝cos(π＋2π5)＝－cos 2π5<0，cos(－2π5)＝cos 2π5>0，故选D.4．若α是钝角，则θ＝k π＋α，k ∈Z 是( ) A ．第二象限角B ．第三象限角C ．第二象限角或第三象限角D ．第二象限角或第四象限角[答案] D[解析] ∵α是钝角，∴π2<α<π，∵θ＝k π＋α(k ∈Z )，∴令k ＝0，则θ＝α是第二象限角，令k ＝1，则θ＝π＋α是第四象限角，故选D. 5．下列命题中不正确的个数是( ) ①终边不同的角的同名三角函数值不等； ②若sin α>0，则α是第一、二象限角；③若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－x x 2＋y 2.A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] π4和3π4终边不同，但正弦值相等，所以①错．sin π2＝1，但π2不是一、二象限角，是轴线角所以②错，对于③由定义cos α＝x x 2＋y2，所以③错，故选D.6．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则|tan α|tan α＋sin α1－cos 2α的值等于( )A ．2或－2B ．－2或0C ．2或－2D ．0或2[答案] B[解析] 由题意知α终边可在第二或第四象限． 当α终边在第二象限时，tan α<0，sin α>0， ∴原式＝－1＋1＝0.当α终边在第四象限时，tan α<0，sin α<0， ∴原式＝－1＋(－1)＝－2.7．(2014·河南洛阳市八中高一月考)为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x的图象( )A ．向左平移5π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位[答案] A[解析] y ＝sin(x ＋5π6)＝sin[π2＋(x ＋π3)]＝cos(x ＋π3)，故选A.8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[答案] A[解析] 由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，知f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，即3cos ⎝⎛⎭⎫8π3＋φ＝0，∴8π3＋φ＝k π＋π2.(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z )．|φ|的最小值为π6.9．(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)函数y ＝cos(x －π2)在下面某个区间上是减函数，这个区间为( )A ．[0，π]B ．[－π2，π2]C ．[π2，π]D ．[0，π4][答案] C[解析] y ＝cos(x －π2)＝cos(π2－x )＝sin x ，故选C.10．函数y ＝|sin(13x －π4)|的最小正周期为( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π [答案] A[解析] ∵y ＝sin(13x －π4)的周期T ＝6π，∴y ＝|sin(13x －π4)|的周期为T ＝3π.11．已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 [答案] B[解析] ∵f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cosπx －1，∴周期T ＝2ππ＝2，又f (－x )＝－cos(－πx )－1＝－cos x －1＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．12．如果函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋32＋a 在区间[－π3，5π6]的最小值为3，则a 的值为( )A ．3＋12B ．32C ．2＋32D ．3－12[答案] A[解析] ∵－π3≤x ≤5π6，∴0≤x ＋π3≤7π6，∴－12≤sin(x ＋π3)≤1，∴f (x )的最小值为－12＋32＋a ，∴－12＋32＋a ＝3，∴a ＝3＋12.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2014·江西九江外国语高一月考)点P (－1,2)在角α的终边上，则tan αcos 2α＝________. [答案] －10[解析] 由三角函数的定义知，sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，∴tan α＝－2.∴tan αcos 2α＝－215＝－10. 14．cos π3－tan 5π4＋34tan 2⎝⎛⎭⎫－π6＋sin 11π6＋cos 27π6＋sin 7π2＝________. [答案] －1[解析] 原式＝cos π3－tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4＋34tan 2π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos 2⎝⎛⎭⎫π＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫3π＋π2 ＝cos π3－tan π4＋34tan 2π6－sin π6＋cos 2π6－sin π2＝12－1＋34×13－12＋34－1＝－1. 15．函数y ＝cos x 的单调递减区间是________． [答案] ⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) [解析] 由cos x ≥0得，－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )，要求y ＝cos x 的单调递减区间，即求y ＝cos x 在定义域范围内的单调递减区间． 故所求函数的单调递减区间为[2k π，2k π＋π2](k ∈Z )．16．若函数y ＝f (x )同时具有性质： ①是周期函数且最小正周期为π； ②在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数； ③对任意x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＋x .则函数y ＝f (x )的解析式可以是________．(只需写出满足条件的函数y ＝f (x )的一个解析式即可)[答案] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 [解析] 由①知ω＝2.由③知x ＝π3为对称轴，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6(答案不惟一)． 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .[解析] 解法一：可根据正弦函数图象和余弦函数图象，作出集合N 和集合M ，然后求M ∩N .首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y ＝12.如图．结合图象得集合M 、N 分别为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 解法二：如图所示，由单位圆中的三角函数线知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 由此可得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 18．(本小题满分12分)是否存在实数m ，使sin x ＝11－m ，cos x ＝mm －1成立，且x 是第二象限角？若存在，请求出实数m ；若不存在，试说明理由．[解析] 假设存在m ∈R ，使sin x ＝11－m ，cos x ＝mm －1，∵x 是第二象限角，∴sin x >0，cos x <0，∴0<m <1.由sin 2x ＋cos 2x ＝1(1－m )2＋m 2(m －1)2＝1，解得m ＝0，这时sin x ＝1，cos x ＝0，x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，不是第二象限角，故m 不存在．19．(本小题满分12分)已知sin α、cos α是关于x 的方程 8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根，求1sin α＋1cos α的值． [解析] ∵sin α、cos α是方程 8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根， ∴sin α＋cos α＝－3m4，sin αcos α＝2m ＋18.∴(－3m 4)2－2×2m ＋18＝1，整理得 9m 2－8m －20＝0，即(9m ＋10)(m －2)＝0. ∴m ＝－109或m ＝2.又sin α、cos α为实根，∴Δ＝36m 2－32(2m ＋1)≥0.即9m 2－16m －8≥0，∴m ＝2不合题意，舍去． 故m ＝－109.∴1sin α＋1cos α＝sin α＋cos αsin αcos α＝－3m42m ＋18＝－6m 2m ＋1＝－6×(－109)2×(－109)＋1＝－6011.20．(本小题满分12分)如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的一段图象，已知A >0，ω>0，φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，求函数f (x )的解析式．[解析] 由图知A ＝2，T ＝8，ω＝2πT ＝π4.当x ＝7时，有0＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4·7＋φ， ∴φ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪θ＝k π－7π4，k ∈Z . 又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， 所以φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos(2x －π4)，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．[解析] (1)∵f (x )＝2cos(2x －π4)，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，故函数f (x )的单调递增区间为[－3π8＋k π，π8＋k π](k ∈Z )．(2)∵f (x )＝2cos(2x －π4)在区间[－π8，π8]上为单调递增函数，在区间[π8，π2]上为单调递减函数，且f (－π8)＝0，f (π8)＝2，f (π2)＝－1，故函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最大值为2，此时，x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝m 在(0，π)内有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围． [解析] (1)观察图象，得A ＝2，T ＝(11π12－π6)×43＝π，∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．∵函数图象经过点(π6，2)，∴2sin(2×π6＋φ)＝2，即sin(π3＋φ)＝1.又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴函数的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)∵0<x <π，∴f (x )＝m 的根的情况，相当于f (x )＝2sin(2x ＋π6)与g (x )＝m 在(0，π)内的交点个数情况，∴在同一坐标系中画出y ＝2sin(2x ＋π6)和y ＝m (m ∈R )的图象如图所示．由图可知，当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线y ＝2sin(2x ＋π6)有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，∴m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.。

模块综合测试卷时间：90分钟 分值：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知角α的终边上有一点M (11，－5)，则sin α等于( )A ．－57B ．－56C ．－58D ．－115答案：B解析：∵|OM |＝(11)2＋(－5)2＝6，∴sin α＝－56. 2．若向量MN →＝(－1,3)，NP →＝(3，t )，且MN →∥NP →，则MP →等于( )A ．(1,3)B ．(2，－6)C ．(－3,2)D ．(3,2)答案：B解析：∵MN →∥NP →，∴－t －9＝0，∴t ＝－9，NP →＝(3，－9)，∴MP →＝MN →＋NP →＝(2，－6)．3．下列函数中，周期是π2的偶函数是( ) A ．y ＝sin4x B ．y ＝cos 22x －sin 22xC ．y ＝tan2xD ．y ＝cos2x答案：B解析：A 选项中y ＝sin4x 的周期是π2，但是是奇函数．B 选项中y ＝cos 22x －sin 22x ＝cos4x ，是偶函数，且周期T ＝π2.C 选项中y ＝tan2x 的周期是π2，但是是奇函数．D 选项中y ＝cos2x 是偶函数，但周期是π.4．已知向量a ＝(3,2)，b ＝(x,4)，且a ∥b ，则x 的值为( )A ．6B ．－6C ．－83 D.83答案：A解析：2x －12＝0 ∴x ＝6，故选A.5．已知tan α2＝3，则cos α的值为( )A.45 B ．－45C.415 D ．－35答案：B解析：将cos α表示成tan α2的关系式，代入求值． cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－321＋32＝－45. 6．在△ABC 中，AB →＝(3，－1)，BC →＝(1，－3)，则sin B 等于( )A.53B.32C.23D.12答案：D解析：∵在△ABC 中，BA →＝(－3，1)，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝－232×2＝－32，∴sin B ＝12. 7．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)等于( )A ．－8 B.92C ．－92D ．8 答案：C解析：(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋7e 1·e 2－2e 22，由e 1、e 2为单位向量知|e 2|2＝|e 1|2＝1，e 1·e 2＝12， ∴原式＝－6＋7×12－2＝－92.故选C. 8．函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin2x －2B ．y ＝2cos3x －1C ．y ＝sin(2x －π5)－1 D ．y ＝1－sin(2x －π5) 答案：D解析：把x ＝π10，y ＝1；x ＝7π20，y ＝0代入检验知y ＝1－sin(2x －π5)． 9．若函数y ＝f (x )的图像和函数y ＝sin(x ＋π4)的图像关于P (π2，0)对称，则f (x )解析式为( )A ．f (x )＝sin(x －π4) B ．f (x )＝－sin(x －π4) C ．f (x )＝－cos(x ＋π4)D ．f (x )＝cos(x －π4) 答案：B解析：设函数y ＝f (x )的图像上任意点为(x ，y )，由对称性可得：－y ＝f (π－x )，y ＝－f (π－x )＝－sin(π－x ＋π4)＝－sin(x －π4)． 10．已知α、β∈(0，π2)，满足tan(α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是( ) A.14 B.34C.3 24D.32答案：B解析：因为1tan β＋4tan β≥4， 所以tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)·tan β＝3tan β1＋4tan 2β＝31tan β＋4tan β≤34， 所以当且仅当tan β＝12时，等号成立． 二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上．11．设向量a ，b 满足|a |＝2，a ·b ＝32，|a ＋b |＝22，则|b |＝________. 答案：1解析：|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4＋3＋b 2＝8，∴|b |＝1.12．函数y ＝2sin x cos x －1(x ∈R )的值域是______．答案：[－2,0]解析：y ＝2sin x cos x －1＝sin2x －1，∵x ∈R ，∴sin2x ∈[－1,1]，∴y ∈[－2,0]．13．给出下列命题：(1)f (x )＝－2cos(72π－2x )是奇函数； (2)若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tan α＞tan β；(3)x ＝－38π是函数y ＝3sin(2x －34π)的图像的一条对称轴； (4)已知函数f (x )＝3sin 2π2x ＋1，使f (x ＋c )＝f (x )对任意x ∈R 都成立的正整数c 的最小值是2.其中正确命题的序号是________．答案：(1)(3)(4)解析：必须逐个解决才能得出正确答案．(1)f (x )＝－2cos(72π－2x )＝2sin2x 是奇函数，∴(1)正确． (2)α＝30°，β＝－300°时，α＞β，但tan α＜tan β，∴(2)错误．(3)将x ＝－38π代入y ＝3sin(2x －34π)后，y 取最大值3.∴(3)正确． (4)f (x )＝3×1－cosπx 2＋1＝52－32cosπx .f (x )的最小正周期是2，而f (x ＋c )＝f (x )对任意x ∈R 都成立，则说明正整数c 是f (x )的周期，∴c 的最小值是2.∴(4)正确．三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值． 解：∵tan α＝y x ＝－34∴cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α) ＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34. 15．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个实根，且α，β∈(π2，3π2)，求α＋β的值．解：由于tan α，tan β是方程x 2＋3 3x ＋4＝0的两个实根，于是⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－3 3 ①tan α·tan β＝4 ② ∵α，β∈(π2，3π2)，由②知tan α与tan β同号，结合①知tan α<0，tan β<0， ∴π2<α<π，π2<β<π， ∴π<α＋β<2π而tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3 31－4＝3，∴α＋β＝4π3. 16．已知OA →＝(－1,1)，OB →＝(0，－1)，OC →＝(1，m )(m ∈R )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值；(2)证明：对任意实数m ，恒有CA →·CB →≥1成立．解：(1)CA →＝(－2,1－m )，AB →＝(1，－2)，∵A ，B ，C 三点共线，∴－2＝1－m －2，∴m ＝－3.(2)∵CA →＝(－2,1－m )，CB →＝(－1，－1－m )，∴CA →·CB →＝2－(1－m 2)＝m 2＋1≥1，∴恒有CA →·CB →≥1成立．17．已知cos x ＋cos y ＝13，求cos x －sin 2y 的最大值和最小值． 解：∵cos y ＝13－cos x ， cos x ＝13－cos y ≥13－1， ∴－23≤cos x ≤1， 由cos x －sin 2y ＝cos x －(1－cos 2y )＝cos x ＋(13－cos x )2－1 ＝cos 2x ＋13cos x －89＝(cos x ＋16)2－1112. ∴当cos x ＝－16时，cos x －sin 2y 的最小值为－1112；当cos x ＝1时，cos x －sin 2y 的最大值为49. 18．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移π4个单位后，得到函数y ＝g (x )的图像，求方程g (x )＝1在x ∈[0，π]上的解集．解：(1)f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋1，由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )得：k π－3π8≤x ≤k π＋π8， ∴f (x )的单调递增区间是[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )． (2)由已知，g (x )＝2sin(2x －π4)＋1，由g (x )＝1，得2sin(2x －π4)＝0， ∴x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，∵x ∈[0，π]，∴x ＝π8或5π8，∴方程的解集为{π8，5π8}．。

本册综合测试二本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝cos x 3＋cos x 的定义域是( )A ．RB ．{x |x ≠2k π，k ∈Z }C ．{x |x ≠2k π＋π，k ∈Z }D ．{x |x ≠k π2，k ∈Z }[答案] A[解析] 要使函数有意义，则需3＋cos x >0， 又因为－1≤cos x ≤1，显然3＋cos x >0，所以x ∈R .2．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －b (k ∈R )，且c ⊥d ，那么k 的值为( )A ．－6B ．6C ．－145D ．145[答案] D[解析] a ·b ＝1×2×cos60°＝1，∵c ⊥d ，∴c ·d ＝(2a ＋3b )·(k a －b )＝2k a 2－2a ·b ＋3k a ·b －3b 2＝2k －2＋3k －12＝0. ∴k ＝145.3．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2C ．3＋1D ．3＋2[答案] B[解析] 因为f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2cos(x －π3)，当x ＝π3时，函数取得最大值为2.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(－3，－4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,2[答案] B[解析] 因为c ＝λ1a ＋λ2b ，则有(－3，－4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝－3，2λ1＋3λ2＝－4，解得λ1＝1，λ2＝－2.5．下列函数中，周期为1的奇函数是( ) A ．y ＝1－2sin 2πx B ．y ＝sin(2πx ＋π3)C ．y ＝tan π2xD ．y ＝sinπx cosπx [答案] D[解析] 选项A 中函数y ＝cos2πx 为偶函数，排除选项A ； 选项B 中函数为非奇非偶函数，排除选项B ； 选项C 中函数的周期为2，排除选项C ； D 中函数y ＝12sin2πx 周期为1，且为奇函数．6．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫π3，π2B ．⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫4π3，3π2 C ．⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，4π3 D ．⎝⎛⎭⎫π3，4π3[答案] D[解析] 当α∈[0，π2)时，由sin α>3cos α，得sin αcos α＝tan α>3，解得α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2；当α∈[π2，π]时，cos α≤0，显然原式成立；当α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2时，易得tan α<3，解得α∈⎝⎛⎭⎫π，4π3；当α∈⎣⎡⎭⎫3π2，2π时，sin α<0，cos α≥0，原式不成立，综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，4π3.另解：sin α－3cos α，即sin(α－π3)>0，∴0<α－π3<π，即π3<α<π4，故选D ．7．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值为( )A ．13B ．3C ．6D ．9[答案] C[解析] 由题意得：π3为函数f (x )＝cos ωx 的最小正周期的正整数倍，∴π3＝k ·2πω(k ∈N ＋)， ∴ω＝6k (k ∈N ＋)，∴ω的最小值为6. 8.3－sin70°2－cos 210°＝( )A ．12B ．22C ．2D ．32 [答案] C[解析] 原式＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝2(3－sin70°)3－cos20°＝2(3－cos20°)3－cos20°＝2.9．(2015·四川理，7)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6[答案] C[解析] AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，所以AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×36－9×16)＝9，选C ．10.如图所示的半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点B 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5[答案] A[解析] ∵1min 旋转4圈，∴1圈需14min ，即T ＝604＝15(s)．又∵T ＝2πω，∴2πω＝604＝15，∴ω＝2π15.又∵P 到水面的最大距离为5 m ， ∴函数最大值为5 m ，故A ＝3.11．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos(2x ＋π6)，④y ＝tan(2x －π4)中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③[答案] C[解析] 本题考查三角函数的奇偶性． ①y ＝cos|2x |＝cos2x ，T ＝2π2＝π，②y ＝|cos x |由图像可知T ＝π， ③y ＝cos(2x ＋π6)，T ＝2π2＝π，④y ＝tan(2x －π4)，T ＝π2.故选C ．12．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在(0，π2)单调递减B ．f (x )在(π4，3π4)单调递减C ．f (x )在(0，π2)单调递增D ．f (x )在(π4，3π4)单调递增[答案] A[解析] 本题主要考查三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期性、奇偶性、单调性以及辅助角公式．依题意：f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π4)，又T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ＋π4)又f (x )为偶函数，∴φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π4.又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos2x .又y ＝cos x 在x ∈[0，π)单调递减，则由0<2x <π得0<x <π2.即f (x )＝2cos2x 在(0，π2)单调递减，故选A ．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________. [答案] 10[解析] ∵a ＝(－2，－6)，∴|a |＝4＋36＝210， ∴a ·b ＝210×10×cos60°＝10.14．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________． [答案] 78[解析] 由题设易知，等腰三角形的腰长是底边长的2倍，如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边的中点，设∠BAD ＝θ，∵AB ＝4BD ，∴sin θ＝14，故cos ∠BAC ＝cos2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×(14)2＝78.15．已知cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°，则cos2α＝__________.[答案] －725[解析] 由cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°， 所以sin(α－β)＝35，sin(α＋β)＝－35，所以cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)·cos(α＋β)－sin(α－β)·sin(α＋β) ＝－45×45－35×⎝⎛⎭⎫－35＝－725. 16．已知函数f (x )＝cos 2x 5＋sin 2x5(x ∈R )，给出以下命题：①函数f (x )的最大值是2； ②周期是5π2；③函数f (x )的图像上相邻的两条对称轴之间的距离是5π2；④对任意x ∈R ，均有f (5π－x )＝f (x )成立； ⑤点(15π8，0)是函数f (x )的图像的一个对称中心．其中正确命题的序号是________． [答案] ③⑤[解析] f (x )＝cos 2x 5＋sin 2x 5＝2sin(2x 5＋π4)，则函数f (x )的最大值是2，所以①不正确；周期T ＝2π25＝5π，所以②不正确；函数f (x )的图像上相邻的两条对称轴之间的距离是12T ＝5π2，所以③正确；令2x 5＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，不能得函数f (x )的图像中有一条对称轴是直线x ＝5π2，则对任意x ∈R ，均有f (5π－x )＝f (x )不成立，所以④不正确；f (15π8)＝2sin(25×15π8＋π4)＝2sinπ＝0，所以⑤正确．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知sin x ＝513，x ∈(π2，π)，求cos2x 和tan(x ＋π4)的值．[解析] cos2x ＝1－2sin 2x ＝1－2×(513)2＝119169.因为sin x ＝513，x ∈(π2，π)，所以cos x ＝－1－(513)2＝－1213.tan x ＝sin x cos x ＝－512.所以tan(x ＋π4)＝tan x ＋11－tan x ＝717.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值． [解析] (1)AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →|的大小． 由AB →＋AC →＝(2,6)，得|AB →＋AC →|＝210， 由AB →－AC →＝(4,4)，得|AB →－AC →|＝4 2. (2)OC →＝(－2，－1)，∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2，易求AB →·OC →＝－11，OC →2＝5，∴由(AB →－tOC →)·OC →＝0得t ＝－115.19．(本小题满分12分)(2015·湖北文，18)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π3 5π6 A sin(ωx ＋φ)5－5(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )图像，求y ＝g (x )的图像离原点O 最近的对称中心．[解析] (1)根据表中已知数据可得：A ＝5，π3ω＋φ＝π2，5π6ω＋φ＝3π2，解得ω＝2，φ＝－π6. 数据补全如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 1312π A sin(ωx ＋φ)5－5且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .令2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图像的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0. 20．(本小题满分12分)已知向量a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a 与b 共线时，求2cos 2x －sin2x 的值； (2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的值域．[解析] (1)向量a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)，当a 与b 共线时，－sin x ＝32cos x ，即tan x ＝－32.2cos 2x －sin2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2－2tan x tan 2x ＋1＝2013.(2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝(sin x ＋cos x ，12)·(cos x ，－1)＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin(2x ＋π4)． 因为－π2≤x ≤0，所以－3π4≤2x ＋π4≤π4，所以－1≤sin(2x ＋π4)≤22.所以f (x )在[－π2，0]上的值域为[－22，12]．21．(本小题满分12分)(2014·山东理，16)已知向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(sin2x ，n )，设函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点(π12，3)和(2π3，－2)．(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．[解析] (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin2x ＋n cos2x . 因为y ＝f (x )的图像过点(π12，3)和(2π3，－2)，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)．由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin(2x ＋2φ＋π6)．设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0,2)， 由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0， 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin(2φ＋π6)＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos2x ，由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得 k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为[k π－π2，k π]，k ∈Z .22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos(x －π3)＋2sin(3π2－x )．(1)求函数f (x )的单调减区间；(2)求函数f (x )的最大值并求f (x )取得最大值时的x 的取值集合； (3)若f (x )＝65，求cos(2x －π3)的值．[解析] f (x )＝2cos x cos π3＋2sin x sin π3－2cos x ＝cos x ＋3sin x －2cos x ＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)．(1)令2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋32π(k ∈Z )，∴2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z )，∴单调递减区间为[2k π＋2π3，2k π＋5π3](k ∈Z )．(2)f (x )取最大值2时，x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )．∴f (x )的最大值是2，取得最大值时的x 的取值集合是{x |x ＝2k π＋2π3，k ∈Z }． (3)f (x )＝65即2sin(x －π6)＝65，∴sin(x －π6)＝35.∴cos(2x －π3)＝1－2sin 2(x －π6)＝1－2×(35)2＝725.。

全新北师大版高中数学必修四课时同步测试题（全册共147页附答案）目录第一章三角函数Array§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式§5正弦函数的图像与性质5.1正弦函数的图像5.2正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质§7正切函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质7.3正切函数的诱导公式§8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质第1课时函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换第2课时函数y=Asin(ωx+φ)的性质第3课时函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质习题课§9三角函数的简单应用第一章检测第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量§2从位移的合成到向量的加法2.1向量的加法2.2向量的减法§3从速度的倍数到数乘向量3.1数乘向量3.2平面向量基本定理01第一章三角函数§1周期现象课时过关·能力提升1.下列变化是周期现象的是()A.地球自转引起的昼夜交替变化B.某同学每天上学的时间C.某交通路口每次红灯亮时等待通行的车辆数D.某同学每天打电话的时间解析:某同学每天上学的时间是可以变化的,不是周期现象;某交通路口每次红灯亮时等待通行的车辆数是随意变化的,不是周期现象;某同学每天打电话的时间可长可短,也不具有规律性,不是周期现象.故选A.答案:A20..428 571 428 571…的小数点后第545位上的数字是()A.5B.4C.8D.7解析:由题意知,数字重复出现的周期为6,而545=6×90+5,故小数点后第545位上的数字是7.答案:D3.按照规定,奥运会每4年举行一次.2008年夏季奥运会在北京举办,则下列年份中不举办夏季奥运会的应该是()A.2012B.2016C.2019D.2020解析:2 019=2 008+4×2+3,显然,2 019不是4的倍数,故选C.答案:C4.小明今年17岁了,与小明属相相同的老师的年龄可能是()A.26B.32C.36D.41解析:属相每12年循环一次,41=12×2+17,故选D.答案:D5.下列变量y关于变量x的散点图中,可能是周期现象的是()答案:D6.我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号,2016年是猴年,则1949年是()A.牛年B.虎年C.兔年D.龙年解析:2 016-1 949=67,67÷12=5……7,从猴年往前数第7个即可,也就是牛年.答案:A7.把一批小球按2个红色、5个白色的顺序排列,则第30个小球是色.解析:小球的排列每隔7个呈周期变化,30=4×7+2,故第30个小球是红色.答案:红8.已知函数y=f(x),x∈N+,且f(1)=2,f(2)=4,f(3)=2,f(4)=4,f(5)=2,f(6)=4,f(7)=2,f(8)=4,……,试猜想f(2 018)=.解析:易知当自变量x为奇数时,f(x)=2;当自变量x为偶数时,f(x)=4.故猜想f(2 018)=4.答案:49.分析下面诗句中有哪些是周期现象.东升西落照苍穹,影短影长角不同.昼夜循环潮起伏,冬春更替草枯荣.解太阳东升西落,昼夜循环,潮涨潮落,冬去春来(四季更替),草枯草绿都是周期现象.10.设钟摆每经过1.7 s回到原来的位置,在右图中从钟摆达到最高位置时开始计时,经过2 min后,请你估计钟摆在铅垂线的左边还是右边.解因为2×60=70×1.7+1,所以钟摆在铅垂线的右边.★11.下表是某日在泰山山顶每隔2 h测得的温度(单位:℃).(1)以时刻为x轴,以气温为y轴,画出图像;(2)若山顶的温度与时刻t具有周期现象,试估计泰山山顶一天中的最大温差.解(1)如图.(2)由图表知,泰山山顶一天中的最大温差约为28-(-2)=30(℃).§2角的概念的推广课时过关·能力提升1.下列命题中正确的是()A.终边相同的角一定相等B.{α|α是锐角}⫋{β|0°≤β<90°}C.第一象限的角都是锐角D.大于90°的角都是钝角解析:对于A,终边相同的角不一定相等,它们可能相差若干“圈”;对于B,α是锐角,即0°<α<90°,故{α|α是锐角}⫋{β|0°≤β<90°};对于C,第一象限的角是指终边在第一象限的角,如390°的终边在第一象限,而390°>90°,不是锐角;对于D,360°>90°,但不是钝角.答案:B2.-1 122°角的终边所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:因为-1 122°=-4×360°+318°,而318°角的终边在第四象限,所以-1 122°角的终边所在的象限是第四象限.答案:D3.在[360°,1 440°]内,与-21°26'终边相同的角有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:所有与-21°26'终边相同的角,连同-21°26'在内,可表示为α=k×360°-21°26',k∈Z.当k=2时,α=698°34';当k=3时,α=1 058°34';当k=4时,α=1 418°34'.答案:C4.如图,终边落在阴影部分的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k×360°≤α≤120°+k×360°,k∈Z}D.{α|120°+k×360°≤α≤315°+k×360°,k∈Z}解析:注意角的范围不能局限于0°~360°,故在-360°~360°范围内,阴影部分表示-45°到120°范围内的角(包括-45°和120°).又终边相同的角一般相差360°的整数倍,于是所求集合为选项C中的集合.故选C.答案:C5.如果角α与角γ+45°的终边重合,角β与角γ-45°的终边重合,那么角α与角β的关系为()A.α+β=0°B.α-β=90°C.α+β=2k×180°(k∈Z)D.α-β=2k×180°+90°(k∈Z)解析:由条件知α=γ+45°+k1×360°(k1∈Z),β=γ-45°+k2×360°(k2∈Z),将两式相减得α-β=(k1-k2)×360°+90°,等价于α-β=2k×180°+90°(k∈Z).故选D.答案:D★6.设角α的终边为射线OP,射线OP1与OP关于y轴对称,射线OP2与OP1关于直线y=-x对称,则以OP2为终边的角的集合是()A.{β|β=k×360°+α,k∈Z}B.{β|β=(2k+1)×180°+α,k∈Z}C.{β|β=k×360°+90°+α,k∈Z}D.{β|β=k×360°+270°+α,k∈Z}解析:依题意,射线OP1所对应的角γ满足α+γ=k1×360°+180°,k1∈Z,①射线OP2所对应的角β满足γ+β=k2×360°-90°,k2∈Z,②②-①得β-α=(k2-k1)×360°-270°,即β=k×360°+90°+α,k∈Z.答案:C7.角α与角β的终边关于原点对称,则α与β的关系为.答案:β-α=k×360°+180°(k∈Z)8.若角α的终边与240°角的终边相同,则角α2的终边在第象限.答案:二或四9.已知角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,则角α=.解析:∵5α与α的始边和终边分别相同,∴这两角的差应是360°的整数倍,即5α-α=4α=k·360°(k∈Z).∴α=k·90°(k∈Z).又180°<α<360°,令180°<k·90°<360°(k∈Z),则2<k<4(k∈Z),∴k=3,α=270°.答案:270°10.已知角α=-1 910°.(1)把角α写成β+k×360°(0°≤β<360°,k∈Z)的形式,并判断它是第几象限角;(2)求角θ,使角θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.解(1)设α=-1 910°=β+k×360°(k∈Z),则β=-1 910°-k×360°(k∈Z).令0°≤-1 910°-k×360°<360°,解得-61136<k≤-51136.故k=-6,相应的β=250°.于是α=250°-6×360°,它是第三象限角.(2)令θ=250°+k×360°(k∈Z),取k=-1,-2,得到符合-720°≤θ<0°的角θ为250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.故θ=-110°或θ=-470°.11.在与1 030°角终边相同的角中,求满足下列条件的角:(1)最大负角;(2)最小正角;(3)360°~720°的角.解与1 030°角终边相同的角的集合为{α|α=k×360°+1 030°,k∈Z}.(1)令k=-3,得与1 030°终边相同的角中最大负角为-50°.(2)令k=-2,得最小正角为310°.(3)令k=-1,得α=670°.★12.如图,一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动,若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,若红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14秒末回到A点,并且在第2秒末均位于第二象限,求α,β的值.解根据题意可知14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=m·360°,m∈Z,14β=n·360°,n∈Z,从而可知α=m 7×180°,β=n7×180°,m,n∈Z.∵两只蚂蚁在第2秒末均位于第二象限,∴2α,2β的终边在第二象限.又0°<α<β<180°,故90°<2α<2β<180°.于是45°<α<90°,45°<β<90°.∴45°<m7×180°<90°,45°<n 7×180°<90°,即74<m<72,74<n<72.又α<β,∴m<n.∴m=2,n=3,即α=(3607)°,β=(5407)°.§3弧度制课时过关·能力提升1.将分针拨快15分,则分针转过的弧度数是()A.−π3B.π3C.−π2D.π2解析:分针拨快15分钟相当于顺时针旋转90°,由-90°=−π2,得转过的弧度数为−π2.答案:C2.集合{α|kπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案:C3.若α是第四象限角,则π-α是第()象限角.A.一B.二C.三D.四解析:∵2kπ−π2<α<2kπ(k∈Z),∴-2kπ<-α<-2kπ+π2(k∈Z),∴-2kπ+π<π-α<-2kπ+3π2(k∈Z),故π-α是第三象限角.答案:C4.已知圆弧的长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长,则该圆弧所对圆心角的弧度数为()A.π3B.2π3C.√3D.2如图,设圆弧所在圆的半径为r,则圆的内接正三角形的边长为√3r,所以圆弧的长度为√3r.由l=|α|r得,该圆弧所对的圆心角的弧度数|α|=√3rr=√3.答案:C5.已知集合M={x|x=k·π2,k∈Z},N={x|x=kπ±π2,k∈Z},则()A.集合M是集合N的真子集B.集合N是集合M的真子集C.M=ND.集合M与集合N之间没有包含关系解析:因为kπ±π2=(2k±1)π2=(2k±1)·π2,它是π2的奇数倍,所以集合N是集合M的真子集.答案:B6.一圆内切于圆心角为π3,半径为R的扇形,则该圆的面积与该扇形的面积之比为() A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3圆内切于扇形是指该圆与扇形的两条半径和弧都相切,如图,由圆半径r=(R-r)si nπ6,得r=13R,故[π·(13R)2]∶(12·π3R2)=2∶3.答案:B7.若三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则此三角形的最小内角的弧度数为.解析:设最小内角为α,则α+2α+3α=π,故α=π6.答案:π68.若角α的终边与角π6的终边关于直线y=x对称,且α∈(-4π,4π),则α=.解析:设角π6的终边为OA,OA关于直线y=x对称的射线为OB,则以OB为终边的角的集合为{α|α=2kπ+π3,k∈Z}.∵α∈(-4π,4π),∴-4π<2kπ+π3<4π.∴−136<k<116.∵k∈Z,∴k=-2或-1或0或1.∴α=−11π3或−5π3或π3或7π3.答案:−11π3或−5π3或π3或7π39.若角θ的终边与角8π5的终边相同,则在[0,2π]内终边与角θ4的终边相同的是.解析:由题意,θ=2kπ+8π5(k∈Z),∴θ4=kπ2+2π5(k∈Z).∵0≤kπ2+2π5≤2π,∴−45≤k≤165,∴k=0或1或2或3.故θ4依次为2π5或9π10或7π5或19π10.答案:2π5或9π10或7π5或19π10★10.半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,按照逆时针方向沿圆周匀速旋转,已知点P在1 s内转过的角度为θ(0<θ<π),经过2 s到达第三象限,经过14 s又回到出发点A处.求:(1)角θ的大小;(2)线段OP每秒扫过的扇形的面积.解(1)∵0<θ<π,∴0<2θ<2π.又2kπ+π<2θ<2kπ+3π2(k∈Z),∴k=0.∴π2<θ<3π4.①又14θ=2nπ(n∈Z),∴θ=nπ7(n∈Z).②由①②可得θ=4π7或θ=5π7.(2)由(1)知θ=4π7或θ=5π7,∵S扇形=12θr2=12θ,∴S扇形=2π7或S扇形=5π14.即线段OP每秒扫过的面积是2π7或5π14.11.已知两个圆心角相同的扇形,它们的面积之比为1∶2,求它们的周长比.解设两圆的半径分别为r,R,圆心角α所对的弧长分别为l1,l2,则两扇形的周长之比为2r+l12R+l2=2r+r|α|2R+R|α|=rR=√12r2|α|12R2|α|=√12=√2即它们的周长比为1∶√2.★12.设集合A={x|2kπ+π3<x<2kπ+5π3,k∈Z},B={x|−4≤x≤4},求A∩B.解∵A={x|2kπ+π3<x<2kπ+5π3,k∈Z},∴当k=-1时,−5π3<x<−π3;当k=0时,π3<x<5π3.∵B={x|-4≤x≤4},∴A∩B={x|-4≤x<-π3或π3<x≤4}.在数轴上表示为如图中的阴影部分.§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性课时过关·能力提升1.已知角α的终边与单位圆相交于点P(-√32,12),则cos α=()A.−√32B.−12C.12D.√32答案:A2.若1 140°角的终边上有一点(4,a),则a的值是()A.4√3B.−4√3C.±4√3D.√3解析:∵x=4,y=a,r=√16+a2,∴sin 1 140°=sin(3×360°+60°)=sin 60°=√32=√16+a2解得a=4√3.答案:A3.下列函数是周期函数的有()①y=sin x;②y=cos x;③y=x2.A.①③B.②③C.①②D.①②③解析:y=sin x和y=cos x都是周期函数.函数y=x2的图像不是重复出现的,故函数y=x2不是周期函数.答案:C4.若α为象限角,则式子|sinα|sinα+|cosα|cosα有()个不同值.A.1B.2C.3D.4解析:若α为第一象限角,原式=1+1=2;若α为第二象限角,原式=1-1=0;若α为第三象限角,原式=-1-1=-2;若α为第四象限角,原式=-1+1=0.答案:C5.若sin αcos α<0,则α的终边在()A.第一或第二象限B.第一或第三象限C.第一或第四象限D.第二或第四象限解析:∵sin αcos α<0,∴sin α与cos α异号,∴α的终边在第二或第四象限.答案:D6.在△ABC中,若sin A·cos B<0,则此三角形必为三角形.解析:在△ABC中,∵0<∠A<π,∴sin A>0.又sin A·cos B<0,∴cos B<0,∴∠B为钝角.故△ABC为钝角三角形.答案:钝角7.已知角θ的终边过点P(sin2π3,cos2π3),则角θ可以是.(只填一个满足条件的即可)解析:si n2π3=√32,cos2π3=−12,即点P(√32,-12),从而点P在第四象限.因此,只需找到一个第四象限的角θ使得sin θ=−12,cos θ=√32即可,显然θ=−π6满足条件,故填−π6.答案:−π6(答案不唯一)8.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且sin α>0,cos α≤0,则a的取值范围是.解析:∵sin α>0,cos α≤0,∴{a+2>0,3a-9≤0,解得-2<a≤3.答案:-2<a≤3★9.已知cos α<0,且sin α<0.(1)求角α的集合;(2)求角α2终边所在的象限;(3)试判断si nα2·co sα2的符号.解(1)由cos α<0,得角α的终边在第二或第三象限或在x轴的非正半轴上;由sin α<0,得角α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上.故满足cos α<0,且sin α<0的角α在第三象限.所以角α的集合为{α|2kπ+π<α<2kπ+32π,k ∈Z}.(2)由2k π+π<α<2k π+32π(k ∈Z ),得k π+π2<α2<kπ+34π(k ∈Z ),所以角α2的终边在第二或第四象限.(3)当角α2的终边在第二象限时,si n α2>0,cos α2<0,所以si n α2·co s α2<0;当角α2的终边在第四象限时,si n α2<0,cos α2>0, 所以si n α2·co s α2<0. 综上所述,si n α2·co s α2的符号为负. 10.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的非负半轴.若P (4,y )是角θ终边上一点,且sin θ=−2√55,求y 的值. 解根据题意,sin θ=−2√55<0及P (4,y )是角θ终边上一点,可知θ为第四象限角,所以y<0.由三角函数的定义,√4+y 2=−2√55,解得y=-8.11.已知角α的终边经过点P (-3cos θ,4cos θ),其中θ∈(2kπ+π2,2kπ+π)(k ∈Z ),求角α的正弦函数值和余弦函数值. 解∵θ∈(2kπ+π2,2kπ+π)(k ∈Z ),∴cos θ<0.又x=-3cos θ,y=4cos θ, ∴r =√x 2+y 2=√(-3cosθ)2+(4cosθ)2=−5cos θ.∴sin α=−45,cos α=35.★12.已知α是第三象限角,试判断sin(cos α)·cos(sin α)的符号.解∵α是第三象限角,∴-1<sin α<0,-1<cos α<0.∴sin(cos α)<0,cos(sin α)>0.∴sin(cos α)·cos(sin α)<0.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课时过关·能力提升1.已知函数y=sin x ,x ∈[π6,2π3],则y 的取值范围是( )A .[-1,1]B .[12,1]C.(12,√32)D.(√32,1)解析:由单位圆可知正弦函数y=sin x 在[π6,π2]上是增加的,在[π2,2π3]上是减少的,所以当x =π2时取得最大值1,当x =π6时取得最小值12.答案:B 2.已知函数y=sin x 的定义域为[a ,b ],值域为[-1,12],则b −a 的最大值和最小值之和等于( )A .4π3B.8π3C.2πD.4π解析:利用正弦函数的性质知(b-a )min =2π3,(b −a)max =4π3,故b-a 的最大值和最小值之和等于2π. 答案:C3.函数y =√1-12sinx 的值域是( )A .[12,1]B.[0,12]C .[1,32]D.[√22,√62]解析:∵-1≤sin x ≤1,∴12≤1−12sin x ≤32,√22≤√1-12sinx ≤√62.因此函数y =√1-12sinx 的值域是[√22,√62],故选D .答案:D4.函数y =√1+2cosx 的定义域是( )A .[-2π3,2π3]B .[2kπ-2π3,2kπ+2π3],k ∈ZC .[-π3,π3]D.[2kπ-π3,2kπ+π3],k∈Z解析:∵1+2cos x≥0,∴cos x≥−12,∴x∈[2kπ-2π3,2kπ+2π3],k∈Z,此即为所求函数的定义域,故选B.答案:B5.函数y=√1-cosx的单调增区间是.解析:∵y=cos x的递减区间是[2kπ,2kπ+π],k∈Z,它与y=-cos x的单调性相反,∴原函数的递增区间为[2kπ,2kπ+π],k∈Z.答案:[2kπ,2kπ+π],k∈Z6.函数y=1-x1+cosx的定义域是;函数y=√2sinx-1的定义域是.解析:∵1+cos x≠0,∴cos x≠-1,∴x∈{x|x≠2kπ+π,k∈Z}.∵2sin x-1≥0,∴sin x≥12,∴x∈{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6,k∈Z}.答案:{x|x≠2kπ+π,k∈Z}{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6,k∈Z}7.函数y=-sin x,x∈(-3π4,π3]的最大值为,最小值为.解析:当x=−π2时,函数y=-sin x,x∈(-3π4,π3]取得最大值1;当x=π3时,函数y=-sin x,x∈(-3π4,π3]取得最小值−√32.答案:1−√328.函数y=2-sin x的值域是,递增区间是,最小正周期是.答案:[1,3][2kπ+π2,2kπ+3π2](k∈Z)2π9.下列说法正确的有.(只填序号)①y=|sin x|的定义域为R;②y=3sin x+1的最小值为1;③y=sin x-1的递增区间为[2kπ+π2,2kπ+3π2](k ∈Z ).解析:∵y=sin x 的定义域为R ,∴y=|sin x|的定义域为R ,故①正确;当sin x=-1时,y min =-2,故②错;y=sin x-1的递增区间为[2kπ-π2,2kπ+π2],k ∈Z ,故③错. 答案:①10.已知函数y=a sin x+b 的最大值为0,最小值为-4,求a ,b 的值.解由题意知,{|a |+b =0,-|a |+b =-4,解得{a =2,b =-2或{a =-2,b =-2.11.若0<α<2π,求使sin α<√32和cos α>12同时成立的α的范围. 解利用单位圆及正弦函数的性质,在(0,2π)内,由sin α<√32,得α∈(0,π3)∪(2π3,2π). 同理,由cos α>12,得α∈(0,π3)∪(5π3,2π).故所求α的范围是(0,π3)∪(5π3,2π).★12.函数f (x )=-sin 2x+sin x+a ,若1≤f (x )≤174对一切x ∈R 恒成立,求a 的取值范围. 解f (x )=−(sinx -12)2+14+a,当sin x=-1时,y min =a-2; 当sin x =12时,y max =14+a,∴f (x )的值域为[a -2,14+a].∴{a -2≥1,14+a ≤174,∴{a ≥3,a ≤4,即3≤a ≤4. ∴a 的取值范围是[3,4].4.4 单位圆的对称性与诱导公式课时过关·能力提升1.已知f (cos x )=cos 2x ,则f (sin 15°)=( )。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四模块综合测评(教师用书独具)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与－457°角终边相同角的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}【解析】－457°＝－360°－97°，而－97°＝－360°＋263°.∵－457°＝－2×360°＋263°，∴应选C.【答案】 C2．已知扇形的圆心角为23π弧度，半径为2，则扇形的面积是( )A．83πB．43C．2πD．4 3π【解析】 由S 扇形＝12|α|R 2，可得S 扇形＝12×23π×22＝43π.【答案】 D3．(2015·福建高考)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α 的值等于( )A ．125B ．－125C.512D ．－512【解析】 法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.【答案】 D4．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )A ．－1B ．－22C.22D ．1【解析】 将等式sin α－cos α＝2两边平方，得到2sin αcos α＝－1，整理得1＋2sin αcos α＝0，即 sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝0， 得(sin α＋cos α)2＝0， 所以sin α＋cos α＝0. 又sin α－cos α＝2，故tan α＝sin αcos α＝－1.【答案】 A5．已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，若|a ·b |＝|a |·|b |，则tan x 的值( )【导学号：66470078】A ．1B ．－1C. 3 D ．22【解析】 由|a ·b |＝|a ||b |，得a ∥b ， ∴sin 2x ＝2sin 2x ， 即2sin x cos x ＝2sin 2x ， ∴cos x ＝sin x ， ∴tan x ＝1. 【答案】 A6．设A 是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A 2，则A 2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【解析】 ∵A 为第三象限角， ∴2k π＋π<A <2k π＋32π，k ∈Z ，∴k π＋π2<A 2<k π＋34π，k ∈Z ，∴A2为第二象限角或第四象限角． 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A 2，∴sin A 2<0，故A2为第四象限角． 【答案】 D7．在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，且BD →＝12DC →，则AD →＝( )A ．43a －13bB ．23a ＋13bC.13a －43b D ．13a ＋23b【解析】 因为BD →＝12DC →，所以AD →－AB →＝12(AC →－AD →)，即32AD →＝AB →＋12AC →， 亦即AD →＝23AB →＋13AC →＝23a ＋13b .【答案】 B8．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A ．π4B ．π3C.π2D ．3π4【解析】 由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，所以f (x )＝sin(x ＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4，因为0<φ<π，所以φ＝π4.【答案】 A9．设O ，A ，B ，M 为平面上四点，OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →，λ∈(0,1)，则( ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，B ，M 四点共线【解析】 因为OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →， 所以OM →－OB →＝λ(OA →－OB →)， 即BM →＝λBA →. 又0<λ<1，所以点M 在线段AB 上． 【答案】 A10．(2016·宝鸡高一检测)已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－B 2＋cos 2B ，若f (B )－m <2恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m <1B ．m >－3C ．m <3D ．m >1【解析】 f (B )＝4sin B cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－B 2＋cos 2B＝4sin B 1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－B 2＋cos 2B＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B ) ＝2sin B ＋1.∵f (B )－m <2恒成立，即m >2sin B －1恒成立． ∵0<B <π，∴0<sin B ≤1， ∴－1<2sin B －1≤1，故m >1.【答案】 D11．已知点A 的坐标为(43，1)，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )A ．332 B ．532C.112 D ．132【解析】 设直线OA 的倾斜角为α，B (m ，n )(m >0，n >0)，则直线OB 的倾斜角为π3＋α，因为A (43，1)，所以tan α＝143，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＋α＝n m ，n m ＝3＋1431－3·143＝1333，即m 2＝27169n 2.因为m 2＋n 2＝(43)2＋12＝49，所以n 2＋27169n 2＝49，所以n ＝132或n ＝－132(舍去)，所以点B 的纵坐标为132.【答案】 D12．(2016·合肥高一检测)在平面上，AB →1⊥AB →2，|OB 1→|＝|OB →2|＝1，AP →＝AB→1＋AB →2.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，52B ．⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤52，72 C.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤52，2 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤72，2 【解析】 ∵AB 1→⊥AB 2→，∴AB 1→·AB 2→＝(OB 1→－OA →)·(OB 2→－OA →)＝OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＋OA →2＝0，∴OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＝－OA 2→. ∵AP →＝AB 1→＋AB 2→∴OP →－OA →＝OB 1→－OA →＋OB 2→－OA →， ∴OP →＝OB 1→＋OB 2→－OA →. ∵|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，∴OP 2→＝1＋1＋OA 2→＋2(OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OB 2→·OA →) ＝2＋OA 2→＋2(－OA 2→)＝2－OA 2→. ∵|OP →|<12，∴0≤|OP →|2<14，∴0≤2－OA 2→<14，∴74<OA 2→≤2，即|OA →|∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤72，2. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)图113．y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的一段如图1所示，它的解析式是________． 【解析】 由图像可知A ＝23，T ＝2×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π12－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－712π＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴y ＝23sin (2x ＋φ)，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π12，23，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6＋φ＝1，∴φ＝23π，∴y ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋23π.【答案】 y ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋23π14．(2016·银川高二检测)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.【导学号：66470079】【解析】 ∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，sin α≠0，∴cos α＝－12.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，∴α＝23π，∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝tan π3＝3.【答案】315．(2016·南宁高一检测)已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4的值为________．【解析】 由题意知sin α－cos α＝12，两边平方可得sin 2α＝34，所以(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝74. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以sin α＋cos α＝72，cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142.【答案】 －14216．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°，如图2，点C 在以O 为圆心的圆弧AB →上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．图2【解析】 建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B (cos 120°，sin 120°)，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32.设∠AOC ＝α，则OC →＝(cos α，sin α)．∵OC →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－y 2，32y ＝(cos α，sin α)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)．∵0°≤α≤120°， ∴30°≤α＋30°≤150°.∴当α＝60°时，x ＋y 有最大值2. 【答案】 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝2cos ωx (ω＞0)，且函数y ＝f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间．【解】 (1)∵f (x )的周期T ＝π， 故2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝2cos 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8＝2cos π4＝2.(2)将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 4－π6的图象，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－π3.当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z )， 即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减，因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z )．18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，A (1,2)，B (－3,4)．(1)求向量AB →的坐标及|AB →|； (2)求向量OA →与OB →的夹角的余弦值．【解】 (1)因为A (1,2)，B (－3,4)，所以AB →＝OB →－OA →＝(－3,4)－(1,2)＝(－4,2)，所以|AB →|＝－42＋22＝2 5.(2)设OA →与OB →的夹角为θ. 因为OA →·OB →＝5，|OA →|＝5，|OB →|＝5，所以cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝55×5＝55.19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2，2π，且a ⊥b .(1)求tan α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＋π3的值．【解】 (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 故a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0. 由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0， 解得tan α＝－43或tan α＝12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2，2π，tan α<0，∴tan α＝－43.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2，2π，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4，π.由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)．由⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧tan α2＝sin α2cos α2＝－12，sin 2α2＋cos 2α2＝1，∴sin α2＝55，cos α2＝－255，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510.图320．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ∈R ，ω>0，0<φ<π2的部分图像如图3所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12的单调递增区间．【解】 (1)由题设图像知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫11π12－5π12＝π， 所以ω＝2πT＝2.因为点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π12，0在函数图像上，所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π6＋φ＝0.又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图像上，所以A sin π6＝1，解得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6.(2)g (x )＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12＋π6＝2sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＝2sin 2x －2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .21．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 的长AD ＝23，宽AB ＝1，A ，D 两点分别在x ，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限，求OB 2的最大值．【解】 过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H . 设∠OAD ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0<θ<π2，则∠BAH ＝π2－θ，OA ＝23cos θ，BH ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－θ＝cos θ，AH ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－θ＝sin θ，所以B (23cos θ＋sin θ，cos θ)，OB 2＝(23cos θ＋sin θ)2＋cos 2θ ＝7＋6cos 2θ＋23sin 2θ＝7＋43sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2θ＋π3.由0<θ<π2，知π3<2θ＋π3<4π3，所以当θ＝π12时，OB 2取得最大值7＋4 3.22．(本小题满分12分)(2014·四川高考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．【解】 (1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4·(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0， 此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.。

阶段性测试题三(第一、二章综合测试题)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．下列各式中，不能化简为AD →的是( ) A ．(AB →＋CD →)＋BC →B ．(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →) C ．MB →＋AD →－BM → D ．OC →－OA →＋CD →[答案] C[解析] A 中，(AB →＋CD →)＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →； B 中，(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)＝AD →＋MB →＋BM →＝AD →. C 中，MB →＋AD →－BM →＝MB →＋AD →＋MB →＝2MB →＋AD →； D 中，OC →－OA →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，故选C. 2．设a 、b 、c 是非零向量，下列命题正确的是( ) A ．(a·b )·c ＝a·(b·c )B ．|a －b|2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2C ．若|a|＝|b|＝|a ＋b|，则a 与b 的夹角为60°D ．若|a|＝|b|＝|a －b|，则a 与b 的夹角为60° [答案] D[解析] 对于A ，数量积的运算不满足结合律，A 错；对于B ，|a －b|2＝|a|2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2|a||b |·cos<a ，b>＋|b |2，B 错，对于C 、D ，由三角形法则知|a |＝|b |＝|a －b |组成的三角形为正三角形，则<a ，b >＝60°，∴D 正确．3．(2014·山东曲阜师范附属中学高一模块测试)已知一个扇形的半径为1，弧长为4，则该扇形的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 扇形的面积S ＝12lR ＝12×4×1＝2.4．(2014·湖北长阳一中高一月考)下列说法正确的是( ) A ．第三象限的角比第二象限的角大B ．若sin α＝12，则α＝π6C ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D ．不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关 [答案] D[解析] －120°是第三象限角，120°是第二象限角，而－120°<120，排除A ；若sin α＝12，则α＝π6＋2k π或α＝5π6＋2k π(k ∈Z )，排除B ；当三角的内角等于90°时，它既不是第一象限，也不是第二象限，排除C ，故选D.5．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( ) A ．23B ．43C ．－3D ．0[答案] D[解析] CD →＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →， ∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →，∴32CD →＝AB →－AC →， ∴CD →＝23AB →－23AC →，又AC →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0，故选D.6．在△ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则MA →＋MB →－MC →等于( )A ．0B ．4MD →C ．4MF →D ．4ME →[答案] C [解析] 如图，由已知得，MA →＋MB →＝2MF →，又∵M 为△ABC 的重心， ∴|MC |＝2|MF |，∴－MC →＝CM →＝2MF →， ∴MA →＋MB →－MC →＝4MF →.7．如图所示，点P 在∠AOB 的对角区域MON 内，且满足OP →＝xOA →＋yOB →，则实数对(x ，y )可以是( )A ．(12，－13)B ．(14，12)C ．(－23，－13)D ．(－34，25)[答案] C[解析] 向量OP →用基底OA →、OB →表示具有惟一性，结合图形知x <0，y <0，故选C. 8．(2014·江西九江外国语高一月考)已知sin(α＋75°)＝12，则cos(α－15°)＝( )A ．32B ．－32 C ．12D ．－12[答案] C[解析] ∵cos(15°－α)＝sin(α＋75°)＝12，∴cos(α－15°)＝cos(15°－α)＝12.9．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的图象相邻的两个零点之间的距离是( ) A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．2π[答案] B[解析] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的图象相邻的两个零 点之间的距离为半个周期，又T ＝2π32＝4π3，∴T 2＝2π3.10．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π3的一个对称中心为( ) A ．⎝⎛⎭⎫π6，0 B ．⎝⎛⎭⎫π3，0 C ．⎝⎛⎭⎫5π18，0 D ．⎝⎛⎭⎫π2，0[答案] C[解析] y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π3， 令3x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π3＋5π18(k ∈Z )．当k ＝0时，x ＝5π18，故选C.11．已知向量OA →＝(4,6)，OB →＝(3,5)，且OC →⊥OA →，AC →∥OB →，则向量OC →等于( ) A ．(－37，27)B ．(－27，421)C ．(37，－27)D ．(27，－421)[答案] D[解析] 设OC →＝(x ，y )，则AC →＝OC →－OA →＝(x －4，y －6)．∵OC →⊥OA →，AC →∥OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝0x －43＝y －65，解得⎩⎨⎧x ＝27y ＝－421.∴OC →＝(27，－421)．12．△ABC 为等边三角形，且边长为2，点M 满足BM →＝2AM →，则CM →·CA →＝( ) A ．6 B ．3 C ．15 D ．12[答案] A [解析] 如图，∵BM →＝2AM →，∴AB ＝AM ＝2， 又∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC ＝60°，即∠CAM ＝120°.又AM ＝AC ，∴∠AMC ＝∠ACM ＝30°，∴∠BCM ＝90°. ∴CM ＝BM 2－BC 2＝16－4＝2 3. ∴CM →·CA →＝|CM →|·|CA →|cos30°＝23×2×32＝6.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知sin α、cos α是方程2x 2－x －m ＝0的两根，则m ＝________. [答案] 34[解析] 由题意，得⎩⎨⎧sin α＋cos α＝12sin αcos α＝－m2，解得m ＝34，又m ＝34时满足方程2x 2－x －m ＝0有两根．14．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________． [答案] (1)(31010，1010) (2)－255[解析] (1)2a ＋b ＝2(1,0)＋(1,1)＝(3,1)，∴与2a ＋b 同向的单位向量为(31010，1010)．(2)cos 〈a ，b －3a 〉＝a ·(b －3a )|a |·|b －3a |＝(1，0)·(－2，1)5＝－255.15．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )的图象的一条对称轴方程为x ＝π12，则a 的值为________．[答案]33[解析] 由题意，得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π6，即a sin0＋cos0＝a sin π3＋cos π3，∴32a ＝12，∴a ＝33. 16．设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m ⊥b ，则|x ＋2y |＝________. [答案]5[解析] 本题考查了向量垂直，坐标运算、数量积等．由m ⊥b 知m ·b ＝0，即2x －y ＝0①，又由m 为单位向量，所以|m |＝1，即x 2＋y 2＝1 ②，由①②联立解得⎩⎨⎧x ＝55y ＝255或⎩⎨⎧x ＝－55y ＝－255，所以|x ＋2y |＝ 5.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2014·安徽合肥市撮镇中学高一月考) (1)已知A (1,2)、B (3,5)、C (9,14)，求证：A 、B 、C 三点共线； (2)已知|a |＝2，|b |＝3，(a －2b )·(2a ＋b )＝－1，求a 与b 的夹角． [解析] (1)AB →＝(2,3)，AC →＝(8,12)， ∴AC →＝4AB →， ∴AC →与AB →共线． 又∵AC →与AB →有公共点A ， ∴A 、B 、C 三点共线. (2)设a 与b 的夹角为θ，则(a －2b )·(2a ＋b )＝2a 2－3a ·b －2b 2＝2×4－3×2×3×cos θ－2×9＝－10－18cos θ＝－1，∴cos θ＝－12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.18．(本小题满分12分)已知两个非零向量a 、b 满足(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，求a 与b 的夹角的余弦值．[解析] 由(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )·(2a －b )＝0，(a －2b )·(2a ＋b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a ·b －b 2＝0，①2a 2－3a ·b －2b 2＝0.② 由①×3＋②得a 2＝58b 2，∴|a |2＝58|b |2，即|a |＝58|b |.③由①得a ·b ＝b 2－2a 2＝|b |2－2×58|b |2＝－14b 2，④由③④可得cos θ＝a ·b|a |·|b |＝－14|b |258|b |·|b |＝－1010.∴a 、b 的夹角的余弦值为－1010. 19．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈(0，π2)，f (α2)＝2，求α的值．[解析] (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2.故函数f (x )的解析式为y ＝2sin(2x －π6)＋1.(2)∵f (α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，即sin(α－π6)＝12，∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，故α＝π3.20．(本小题满分12分)已知a ＝3i －4j ，a ＋b ＝4i －3j ， (1)求向量a 、b 的夹角；(2)对非零向量p 、q ，如果存在不为零的常数α、β使αp ＋βq ＝0，那么称向量p 、q 是线性相关的，否则称向量p 、q 是线性无关的．向量a 、b 是线性相关还是线性无关的？为什么？[解析] (1)b ＝(a ＋b )－a ＝i ＋j ，设a 与b 夹角为θ，根据两向量夹角公式： cos θ＝a ·b |a ||b |＝3－452＝－210.故夹角θ＝π－arccos210. (2)设常数α，β使得αa ＋βb ＝0，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 3α＋β＝0－4α＋β＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧α＝0β＝0，所以不存在非零常数α，β，使得αa ＋βb ＝0成立．故a 和b 线性无关．21．(本小题满分12分)如图所示，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|≤π2)的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫5π12，3和⎝⎛⎭⎫11π12，－3，求该函数的解析式．[解析] 由题意知A ＝3，设最小正周期为T ， 则T 2＝11π12－5π12＝π2， ∴T ＝π，又T ＝2πω，∴ω＝2.∴函数解析式为y ＝3sin(2x ＋φ)． ∵点⎝⎛⎭⎫5π12，3在图象上， ∴3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ， ∴sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1. ∴5π6＋φ＝2k π＋π2， ∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .∵|φ|≤π2，∴φ＝－π3.∴函数的解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝23sin(3ωx ＋π3)，其中ω>0.(1)若f (x ＋θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ的值； (2)若f (x )在(0，π3]上是增函数，求ω的最大值．[解析] (1)由函数解析式f (x )＝23sin(3ωx ＋π3)，ω>0整理可得f (x ＋θ)＝23sin[3ω(x ＋θ)＋π3]＝23sin(3ωx ＋3ωθ＋π3)，由f (x ＋θ)的周期为2π，根据周期公式2π＝2π3ω，且ω>0，得ω＝13，∴f (x ＋θ)＝23sin(x ＋θ＋π3)， ∵f (x ＋θ)为偶函数，定义域x ∈R 关于原点对称， 令g (x )＝f (x ＋θ)＝23sin(x ＋θ＋π3)，∴g (－x )＝g (x )，23sin(x ＋θ＋π3)＝23sin(－x ＋θ＋π3)，∴x ＋θ＋π3＝π－(－x ＋θ＋π3)＋2k π，k ∈Z ，∴θ＝k π＋π6，k ∈Z .∴ω＝13，θ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)∵ω>0，∴2k π－π2≤3ωx ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴2k π3ω－15π18ω≤x ≤π18ω＋2k π3ω，k ∈Z ，若f (x )在(0，π3]上是增函数，∴(0，π3]为函数f (x )的增区间的子区间，∴π18ω≥π3，∴ω≤16，∴ωmax ＝16.。

新北师大版高中数学必修四综合测试题(附答案)XXX版高中数学必修四综合测试题一、选择题1.若sinθ·tanθ>0，则θ所在的象限是（。

）。

A。

二、四 B。

一、二 C。

一、四 D。

二、三2.如果cosα=（m+4）/4m有意义，那么m的取值范围是（）。

A。

m4 D。

m≠43.函数y=2-sin^2x是（）。

A。

周期为π的奇函数 B。

周期为π的偶函数C。

周期为2π的奇函数 D。

周期为2π的偶函数4.函数y=3sinx+2cosx的最小值是（）。

A。

-3 B。

-5 C。

-13 D。

5.设k∈Z，函数y=sin(πx/2+kπ)+sin(πx/2-kπ)的单调递增区间为（）。

A。

[(2k+1)π,2(k+1)π] B。

[(k+1)π,kπ] C。

[kπ,(k+1)π] D。

[2kπ。

(2k+1)π]6.已知tanα,tanβ是方程x^2+33x+4=0的两根，且-π/2<α<π/2，-π/2<β<π/2，则α+β等于（）。

A。

π B。

2π/3 C。

π/3 D。

-π/37.要得到函数y=sin（2x-π/3）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）。

A。

向右平移π/3 B。

向右平移π/6 C。

向左平移π/3 D。

向左平移π/68.已知|a|=63,|b|=1,a·b=-9，则a与b的夹角是（）。

A。

30° B。

60° C。

120° D。

150°9.设a,b是两个非零向量，则下列说法中正确的是（）。

A。

a⊥b与a·b=0是一致的 B。

a·b=|a|·|b| C。

|a|>|b|与a>b=0是一致的 D。

a·b=-|a|·|b|10.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则OA+BC+AB等于（）。

A。

CD B。

-CO C。

DA D。

CO11.设i=(1,0),j=(0,1),a=2i+3j,b=ki-4j,若a⊥b，则实数k的值为（）。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四章末综合测评(三) 三角恒等变形(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算sin 21°·cos 9°＋sin 69°·sin 9°的结果是( ) A ．32B ．12C ．－12D ．－32 【解析】 sin 21°·cos 9°＋sin 69°·sin 9°＝sin 21°·cos 9°＋cos 21°·sin 9°＝sin(21°＋9°)＝sin 30°＝12.【答案】 B2．(2016·贺州高一检测)cos 4π8－sin 4 π8等于( )A ．0B ．22 C ．1 D ．－22【解析】 原式＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos 2π8－sin 2π8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 2π8＋sin 2π8＝cos 2π8－sin 2π8 ＝cos π4＝22. 【答案】 B3．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3【解析】 依题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31－2＝－3.【答案】 A4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( )A ．1925B ．1625C.1425D ．725 【解析】 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫352＝725. 【答案】 D 5.2－sin 22＋cos 4的值等于( )A ．sin 2B ．－cos 2 C.3cos 2D ．－3cos 2【解析】 原式＝2－sin 22＋1－2sin 22＝3(1－sin 22) ＝3|cos 2|.∵π2<2<π，∴cos 2<0， ∴原式＝－3cos2.【答案】 D6．tan (α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝322，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫β－π4＝( )A ．15B ．1318C.14D ．1322【解析】 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫β－π4＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π41＋tan (α＋β)·tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝25－3221＋25×322＝14. 【答案】 C7．(2016·西安高一检测)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )【导学号：66470076】A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝6.【答案】 D8．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2【解析】 由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α，因为－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B. 【答案】 B9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235B ．235C ．－45D ．45【解析】 由条件可知32cos α＋12sin α＋sin α＝453.所以32(cos α＋3sin α)＝453， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋76π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝－45.【答案】 C10．在△ABC 中，已知tan A ＋B 2＝sin C ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【解析】 在△ABC 中，tanA ＋B 2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sinA ＋B 2cosA ＋B 2，所以2cos 2A ＋B 2＝1，所以cos(A ＋B )＝0.从而A ＋B ＝π2，△ABC 为直角三角形． 【答案】 C11．设α，β，γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cosα，则β－α等于( )A ．－π3B ．π6 C.π3或－π3D ．π3【解析】 由已知得， sin γ＝sin β－sin α，① cos γ＝cos α－cos β，②由①2＋②2，得1＝2－2cos(β－α)， ∴cos(β－α)＝12.又sin α＋sin γ＝sin β，且α，β，γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，∴sin α<sin β. ∴α<β， ∴β－α＝π3.【答案】 D12．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋θ＝26⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0<θ<π2，则sin 2θ的值为( ) A ．23B ．73C.76D ．346【解析】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋θ＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θ.由已知得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θ＝26，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－2θ＝23，即cos 2θ＝23.∵0<θ<π2，∴0<2θ<π，∴sin 2θ＝73.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知1＋tan α1－tan α＝2 016，那么1cos 2α＋tan 2α＝________.【解析】1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 016. 【答案】 2 01614．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋θ＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋θ的值是________．【解析】 ∵tan π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－θ＋π6＋θ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋θ1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋θ＝3，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋θ＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋θ＝3.【答案】315．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，那么log5tan αtan β＝________.【解析】 由题意有sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，两式相加得sin αcos β＝512，两式相减得cos αsin β＝112， 则tan αtan β＝5，故log5tan αtan β＝2. 【答案】 216．已知α，β均为锐角，sin α＝35，cos β＝513，则tan(α－β)的值是________.【导学号：66470077】【解析】 由α为锐角，sin α＝35，得cos α＝45⇒tan α＝34.由β为锐角，cos β＝513，得sin β＝1213⇒tan β＝125，故tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－3356.【答案】 －3356三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x ＝35，求sin 2x －2sin 2x 1－tan x 的值．【解】 sin 2x －2sin 2x1－tan x＝cos x ·2sin x cos x －2sin 2 x cos x cos x －sin x ＝sin 2x＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4＋1＝－2×925＋1＝725. 18．(本小题满分12分)求值：cos 40°＋sin 50°(1＋3tan 10°)sin 70°1＋sin 50°.【解】cos 40°＋sin 50°(1＋3tan 10°)sin 70°1＋sin 50°＝cos 40°＋sin 50°⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°cos 20°1＋cos 40°＝cos 40°＋cos 40°·2sin(10°＋30°)cos 10°2cos220°＝cos 40°＋sin 80°cos 10°2cos220°＝cos 40°＋12cos220°＝ 2.19．(本小题满分12分)已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin 2β，求证：tan α＋tan β＝2tan 2β.【证明】因为tan(α－β)＝sin 2β，tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，sin 2β＝2sin βcos β＝2sin βcos βsin2β＋cos2β＝2tan α1＋tan2β，所以tan α－tan β1＋tan αtan β＝2tan β1＋tan2β，整理得：tan α＝3tan β＋tan3β1－tan2β.所以tan α＋tan β＝3tan β＋tan3β＋tan β－tan3β1－tan2β＝2×2tan β1－tan2β＝2tan 2β.20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝32sin ωx－sin2ωx2＋12(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值及函数f (x )的单调增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的取值范围． 【解】 (1)f (x )＝32sin ωx －1－cos ωx 2＋12＝32sin ωx ＋12 cos ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6. 因为f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)因为x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，7π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6≤1. 所以函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，1. 21．(本小题满分12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－β2＝－277，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＝12且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2.求： (1)cos α＋β2；(2)tan(α＋ β)．【解】 (1)∵π2<α<π，0<β<π2， ∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－β2＝217， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＝32. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－β2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－β2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－277×32＋217×12＝－2114. (2)∵π4<α＋β2<34π， ∴sin α＋β2＝1－cos 2α＋β2＝5714，∴tan α＋β2＝sin α＋β2cos α＋β2＝－533， ∴tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝5311. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x .(1)若f (x )＝2f (－x )，求cos 2x －sin x cos x 1＋sin 2x的值； (2)求函数F (x )＝f (x )f (－x )＋f 2(x )的最大值和单调增区间．【解】 (1)∵f (x )＝sin x ＋cos x ，∴f (－x )＝－sin x ＋cos x .又f (x )＝2f (－x )，∴sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )，∴3sin x ＝cos x ，即tan x ＝sin x cos x ＝13， ∴cos 2x －sin x cos x 1＋sin 2x＝cos 2x －sin x cos x 2sin 2x ＋cos 2x＝1－tan x 2tan 2x ＋1＝1－132×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132＋1＝611. (2)由题意知，F (x )＝(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )＋(cos x ＋sin x )2 ＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x＝cos 2x ＋sin 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4＋1. ∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4＝1时， F (x )max ＝2＋1.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z . 得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z . ∴F (x )的单调增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四阶段性检测时间：90分钟 分值：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．cos 113π的值为( )A.12 B ．－12 C.32D ．0答案：A解析：cos 113π＝cos(4π－π3)＝cos π3＝12.2．已知角α的终边经过点P (－7a,24a )(a ＜0)，则sin α＋cos α等于( ) A.1725 B.3125 C ．－1725 D ．－3125答案：C解析：求出|OP |，利用三角函数定义求值． ∵点P 坐标为(－7a,24a )(a ＜0)， ∴点P 是第四象限角且|OP |＝－25a . ∴sin α＝24a－25a ＝－2425，cos α＝－7a －25a ＝725，∴sin α＋cos α＝－2425＋725＝－1725.3．设M 和m 分别表示函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( )A.23 B ．－23 C ．－43 D ．－2答案：D解析：M ＝13－1，m ＝－13－1，∴M ＋m ＝－23－43＝－2.4．函数y ＝cos(2x ＋π2)的图像的一条对称轴方程是( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8 D ．x ＝π答案：B解析：y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x .函数图像的对称轴位置就是函数取最值的位置，验证即得．5．sin2cos3tan4的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不确定 答案：B解析：∵sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，∴sin2cos3tan4＜0. 6．函数y ＝3tan(π3－2x )的最小正周期为( )A.π4B.π2 C ．π D ．2π 答案：B解析：对于正切型函数T ＝π|ω|＝π2，故选B.7．为了得到函数y ＝2sin(x 3＋π6)(x ∈R )的图像，只需把函数y ＝2sin x (x ∈R )的图像上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)B ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)答案：C8．已知点(tan 5π4，sin(－π6))是角θ终边上一点，则tan θ等于( )A ．2B ．－32C ．－12 D ．－2答案：C解析：点(tan 5π4，sin(－π6))可化为点(1，－12)，则tan θ＝－12.9．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R )的部分图像如下图所示，则函数表达式为( )A ．y ＝－4sin(π8x ＋π4)B ．y ＝4sin(π8x －π4)C ．y ＝－4sin(π8x －π4)D ．y ＝4sin(π8x ＋π4)答案：A解析：先确定A ＝－4，由x ＝－2和6时y ＝0可得T ＝16，ω＝π8，φ＝π4.10．已知集合E ＝{θ|cos θ＜sin θ，0≤θ≤2π}，F ＝{θ|tan θ＜sin θ}，那么E ∩F 为区间为( ) A ．(π2，π) B ．(π4，3π4)C ．(π，3π2)D ．(3π4，5π4)答案：A解析：如图，由图像可知集合E ＝{θ|π4＜θ＜5π4}，又因为θ在第一象限时，sin θ＜tan θ，θ在第二象限时，sin θ＞0＞tan θ， θ在第三象限时，tan θ＞0＞sin θ，θ在第四象限时，sin θ＞tan θ(由三角函数线可知)，∴F ＝{θ|2k π＋π2＜θ＜2k π＋π或2k π＋3π2＜θ＜2k π＋2π，k ∈Z }，故E ∩F ＝(π2，π)，应选A.二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上． 11．若sin α＝2cos α，则sin α－cos αsin α＋2cos α＝________.答案：14解析：sin α－cos αsin α＋2cos α＝2cos α－cos α2cos α＋2cos α＝14.12．函数y ＝tan(2x ＋π3)的递增区间是________．答案：(k π2－5π12，k π2＋π12)(k ∈Z ) 解析：由k π－π2＜2x ＋π3＜k π＋π2，得k π2－5π12＜x ＜k π2＋π12(k ∈Z )．13．函数f (x )＝1－sin 2x ＋sin x在(π4，7π6]上的值域是________． 答案：[14，54]解析：f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ＝－(sin x －12)2＋54.∵π4＜x ≤7π6，∴－12≤sin x ≤1，则当sin x ＝12时，f (x )max ＝54；当sin x ＝－12时，f (x )max ＝14.三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°. 解：原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan945° ＝－sin120°·cos210°＋cos60°·sin30°＋tan225° ＝(－32)2＋12×12＋1＝2. 15．已知函数f (x )＝2cos(π3－x2)．(1)求f (x )的最小正周期T ； (2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)由已知f (x )＝2cos(π3－x 2)＝2cos(x 2－π3)，则T ＝2πω＝4π.(2)当2k π－π≤x 2－π3≤2k π(k ∈Z ), 即4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )时，函数f (x )单调递增，∴函数f (x )的单调递增区间为{x |4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )}．16．已知f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1，(a ∈R )．(1)若x ∈[0，π2]时，f (x )最大值为4，求a 的值；(2)在(1)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 的集合． 解：(1)f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]，∴f (x )在[0，π2]上的最大值为a ＋3，所以a ＝1.(2)f (x )＝1，∴sin(2x ＋π6)＝－12，即2x ＋π6＝2k π－π6或2x ＋π6＝2k π－5π6，此时x ＝k π－π6或x ＝k π－π2，又因为x ∈[－π，π]， 所以x ∈{－π2，－π6，π2，5π6}．17．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数在区间[－2,4]上的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1)由题可知A ＝2，T2＝6－(－2)＝8，∴T ＝16，∴ω＝2πT ＝π8，则f (x )＝2sin(π8x ＋φ)．又图像过点(2，2)，代入函数表达式可得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )．又|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin(π8x ＋π4)．(2)∵x ∈[－2,4]，∴π8x ＋π4∈[0，3π4]，当π8x ＋π4＝π2，即x ＝2时，f (x )max ＝2；当π8x ＋π4＝0，即x ＝－2时，f (x )min ＝0. 18．设函数y ＝f (x )＝sin(2x ＋φ)，－π＜φ＜0，y ＝f (x )的图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间； (3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像．解：(1)因为x ＝π8是函数y ＝f (x )的图像的一条对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1，所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．因为－π＜φ＜0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4.由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )．所以k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．即函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．(3)由y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4知x 0 π83π85π87π8π y－22－11－22故函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像如图所示．。

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列各数中,与sin(-331°)的值最接近的是()A.−√32B.−12C.12D.√32解析:sin(-331°)=sin 29°≈sin 30°=1 2 .答案:C2.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于点P(12,y0),则cos 2α的值为()A.−12B.12C.−√32D.1解析:由题意知y0=±√32,∴cos α=12,sin α=±√32,∴cos 2α=cos2α-sin2α=−1.答案:A3.设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=()A.2B.3C.4D.6解析:由a=(2,4),b=(x,6)共线,可得4x=12,即x=3.答案:B4.若cos(π+α)=12,π<α<3π2,则sin(5π−α)=()A.−12B.±√32C.√32D.−√32解析:∵cos(π+α)=12,∴cos α=−12.∵π<α<3π2,∴sin α=−√32.故sin(5π-α)=sin(π-α)=sin α=−√32.答案:D5.已知电流I=3sin ωt ,电压U=4si n (ωt +π2)(t >0),且电功率P =IU,则电功率P 的最大值是( ) A .12B .6C .3D .4解析:P=IU=3sin ωt ·4si n (ωt +π2)=12sin ωt cos ωt=6sin 2ωt ,∴P max =6.答案:B6.设D 为△ABC 所在平面内一点,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −43AC ⃗⃗⃗⃗⃗C .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:如图:∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +43BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗. 答案:A7.若sin α=3,α∈(-π,π),则cos (α+5π)=( ) A.−√210B.√210 C.−7√210D.7√210解析:∵α∈(-π2,π2),sin α=35,∴cos α=4.∴co s (α+5π4)=−√22(cos α-sin α)=−√210. 答案:A8.设D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:由于D ,E ,F 分别是BC ,CA ,AB 的中点,所以EB⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12×2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选A . 答案:A9.在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.5 B.4C.3D.2解析:AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2)+(2,1)=(3,−1),所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)·(3,-1)=2×3+1×(-1)=5. 答案:A10.已知定义域为R 的函数f (x )=2a+acosx+3sinx2+cosx(a ∈R )有最大值和最小值,且最大值与最小值的和为6,则a 等于( ) A .1 B .2C .3D .4解析:f (x )=a +3sinx ,令g (x )=3sinx,则g (x )为奇函数,所以g (x )max +g (x )min =0,f (x )max +f (x )min =a+g (x )max +a+g (x )min =2a=6.∴a=3. 答案:C11.已知函数y=ta n (π4x −π2)的部分图像如图,则(OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A .6B .4C .-4D .-6解析:由ta n (π4x -π2)=0,得π4x −π2=kπ(k ∈Z ),即x=4k+2(k ∈Z ),结合图形可知点A 的坐标为(2,0).由ta n (π4x -π2)=1,得π4x −π2=π4+kπ(k ∈Z ),即x=3+4k (k ∈Z ),结合图形可知点B 的坐标为(3,1),故(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,1)·(1,1)=6. 答案:A12.已知函数y=A cos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图像如图,则函数y=Acos(ωx+φ)的递减区间是()A.[2kπ+π4,2kπ+5π4](k∈Z)B.[2kπ-π4,2kπ+3π4](k∈Z)C.[kπ+π8,kπ+5π8](k∈Z)D.[kπ-π4,kπ+3π4](k∈Z)解析:由图像可知A=1,周期T=(7π8-3π8)×2=π,∴2πω=π,∴ω=2,即y=cos(2x+φ).将点(3π8,0)代入,得2×3π8+φ=π2,∴φ=−π4.∴y=cos(2x-π4).令2kπ≤2x−π4≤2kπ+π(k∈Z),解得kπ+π≤x≤kπ+5π(k∈Z).答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2).若(a-c)⊥b,则k=.解析:a-c=(3-k,-1).∵(a-c)⊥b,∴(a-c)·b=0.∴(3-k)-3=0,解得k=0.答案:014.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内是增加的,且函数y=f(x)的图像关于直线x=ω对称,则ω的值为.解析:f (x )=sin ωx+cos ωx =√2sin (ωx +π4),由2k π−π2≤ωx +π4≤2k π+π2,k ∈Z , 解得2kπω−3π4ω≤x ≤2kπω+π4ω,k ∈Z , 即f (x )的递增区间是[2kπω-3π4ω,2kπω+π4ω](k ∈Z ), 而f (x )在区间(-ω,ω)内是增加的,所以{2kπω-3π4ω≤-ω(k ∈Z ),2kπω+π4ω≥ω(k ∈Z ),解得{ω2≤-2kπ+3π4(k ∈Z ),ω2≤2kπ+π4(k ∈Z ).因为ω2>0,所以只能取k=0,这时有0<ω2≤π4.① 又因为函数f (x )的图像关于直线x=ω对称, 所以ω2+π=kπ+π(k ∈Z ), 即ω2=k π+π4(k ∈Z ). ②由①②知ω2=π4.故ω=√π2.答案:√π215.已知e 1,e 2是平面单位向量,且e 1·e 2=12.若平面向量b 满足b ·e 1=b ·e 2=1,则|b |= . 解析:因为b ·e 1=b ·e 2=1,|e 1|=|e 2|=1,由数量积的几何意义,知b 在e 1,e 2方向上的投影相等,且都为1,所以b 与e 1,e 2所成的角相等.由e 1·e 2=1知e 1与e 2的夹角为60°,所以b 与e 1,e 2所成的角均为30°,即|b |cos 30°=1,所以|b |=1cos30°=2√33. 答案:2√3316.已知平面向量a ,b ,|a |=1,|b |=2,a ·b =1.若e 为平面单位向量,则|a ·e |+|b ·e |的最大值是 . 解析:由已知得<a ,b >=60°,不妨取a =(1,0),b =(1,√3). 设e =(cos α,sin α),则|a ·e|+|b ·e|=|cos α|+|cos α+√3sin α|≤|cos α|+|cos α|+√3|sin α|=2|cos α|+√3|sin α|, 取等号时cos α与sin α同号.所以2|cos α|+√3|sin α|=|2cos α+√3sin α|=√7|√7+√3√7=√7|sin(α+θ)|(其中sinθ=√7cosθ=√3√7取θ为锐角).显然√7|sin(α+θ)|≤√7.易知当α+θ=π2时,|sin(α+θ)|取最大值1,此时α为锐角,sin α,cos α同为正,因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为√7.答案:√7三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|.解(1)由(2a-3b)·(2a+b)=61,得4|a|2-4a·b-3|b|2=61.∵|a|=4,|b|=3,代入上式,求得a·b=-6,∴cos θ=a·b|a||b|=-64×3=−12.又0≤θ≤π,∴θ=2π3.(2)∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=13,∴|a+b|=√13.18.(12分)已知函数f(x)=sin x-2√3sin2x2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[0,2π3]上的最小值.解(1)因为f(x)=sin x+√3cos x−√3=2sin (x+π3)−√3,所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为0≤x≤2π3,所以π≤x+π≤π.当x+π3=π,即x=2π3时,f(x)取得最小值.所以f(x)在区间[0,2π3]上的最小值为f(2π3)=−√3.19.(12分)已知函数f(x)=si n(π2-x)sin x−√3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在[π6,2π3]上的单调性.解(1)f(x)=si n(π2-x)sin x−√3cos2x=cos x sin x−√32(1+cos 2x)=12sin 2x−√32cos 2x−√32=sin(2x-π3)−√32,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为2-√32.(2)当x∈[π6,2π3]时,0≤2x−π3≤π,从而当0≤2x−π3≤π2,即π6≤x≤5π12时,f(x)是增加的,当π2≤2x−π3≤π,即5π12≤x≤2π3时,f(x)是减少的.综上可知,f(x)在[π6,5π12]上是增加的,在[5π12,2π3]上是减少的.20.(12分)若m=(1,√3),n=(sin(ωx+φ),cos(ωx+φ))(ω>0,0<|φ|<π2),f(x)=m·n,已知点P(x1,y1),Q(x2,y2)是函数f(x)图像上的任意两点,若|y1-y2|=4时,|x1-x2|的最小值为π2,且函数f(x)为奇函数.(1)求f(π6)的值;(2)将函数f(x)的图像向右平移π6个单位长度后,得到函数y=g(x)的图像,求函数g(x)的递增区间.解(1)因为m=(1,√3),n=(sin(ωx+φ),cos(ωx+φ)),所以f(x)=sin(ωx+φ)+√3cos(ωx+φ)=2[12sin(ωx+φ)+√32cos(ωx+φ)]=2sin(ωx+φ+π3).因为f(x)为奇函数,所以f(0)=2sin(φ+π3)=0,又0<|φ|<π2,可得φ=-π3,所以f(x)=2sin ωx.因为当|y 1-y 2|=4时,|x 1-x 2|的最小值为π2, 所以T 2=π2, 故T=π,又T=2πω,所以ω=2.故f (x )=2sin 2x. 因此f (π6)=2sin π3=√3.(2)将f (x )的图像向右平移π6个单位长度后,得到f (x -π6)的图像,所以g (x )=f (x -π6)=2sin [2(x -π6)]=2sin (2x -π3).当2k π-π2≤2x-π3≤2k π+π2(k ∈Z ),即k π-π12≤x ≤k π+5π12(k ∈Z )时,g (x )是增加的, 因此函数g (x )的递增区间为[kπ-π12,kπ+5π12] (k ∈Z ).21.(12分)设函数f (x )=√2cos (2x +π)+sin 2x. (1)求f (x )的最小正周期;(2)设函数g (x )对任意x ∈R ,有g (x +π2)=g (x ),且当x ∈[0,π2]时,g (x )=12-f (x ),求g (x )在区间[-π,0]上的解析式.解(1)f (x )=√2cos (2x +π)+sin 2x=√2(cos2xcos π-sin2xsin π)+1-cos2x=1-1sin 2x ,故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈[0,π2]时,g (x )=12-f (x )=12sin 2x.故 ①当x ∈[-π2,0]时,x+π2∈[0,π2].由于对任意x ∈R ,g (x +π2)=g (x ),从而g (x )=g (x +π2)=12sin [2(x +π2)]=12sin(π+2x )=-12sin 2x. ②当x ∈[-π,-π2)时,x+π∈[0,π2).从而g (x )=g (x +π2)=g (x+π)=12sin[2(x+π)]=12sin 2x. 综合①②,得g (x )在[-π,0]上的解析式为g (x )={12sin2x ,x ∈[-π,-π2),-12sin2x ,x ∈[-π2,0].22.(12分)已知函数f (x )=a ·(b +c ),其中向量a =(sin x ,-cos x ),b =(sin x ,-3cos x ),c =(-cos x ,sin x ),x ∈R . (1)求函数f (x )的递减区间.(2)函数f (x )的图像可由函数y=sin x 的图像经过怎样的变化得到? (3)若不等式|f (x )-m|<2在x ∈[π8,π2]上恒成立,求实数m 的取值范围. 解(1)由题意,得f (x )=a ·(b +c )=(sin x ,-cos x )·(sin x-cos x ,sin x-3cos x ) =sin 2x-2sin x cos x+3cos 2x =2+cos 2x-sin 2x =2+√2sin (2x +3π4).由2k π+π≤2x+3π≤2k π+3π(k ∈Z ), 得k π-π8≤x ≤k π+3π8(k ∈Z ).故f (x )的递减区间为[kπ-π8,kπ+3π8](k ∈Z ).(2)先将y=sin x的图像上所有的点向左平移3π4个单位长度,再将所得的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),然后将所得的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的√2倍(横坐标不变),最后将所得图像上所有的点向上平移2个单位长度即可得f(x)的图像.(3)∵|f(x)-m|<2在x∈[π8,π2]上恒成立,∴f(x)-2<m<f(x)+2恒成立,∴m>[f(x)]max-2,且m<[f(x)]min+2.又f(x)在x∈[π8,π2]上的最大值和最小值分别为2和2-√2,∴m>0,且m<4-√2,∴0<m<4-√2.。

北师大版高一数学必修四复习测试全套及答案第一章章末分层突破[自我校对]①弧度制②负角③零角④y＝cos x⑤y＝tan x三角函数的定义及三角函数函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．(1)点P 从点(2,0)出发，沿圆x 2＋y 2＝4逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为；(2)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为．【精彩点拨】 (1)先求∠POQ ，再利用三角函数定义求出Q 点坐标；(2)先列出三角函数的不等式组，再利用三角函数线求解．【规范解答】 (1)设∠POQ ＝θ，则θ＝π32＝π6，设Q (x ，y )，根据三角函数的定义，有x ＝2cos π6＝3，y ＝2sin π6＝1，即Q 点的坐标为(3，1)．(2)要使函数有意义，必须有 ⎩⎨⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12，解得⎩⎪⎨⎪⎧π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z )，π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤x <5π6＋2k π(k ∈Z )．故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )．【答案】 (1)(3，1) (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )[再练一题]1．求函数f (x )＝－sin x ＋tan x －1的定义域．【解】 函数f (x )有意义，则⎩⎨⎧ －sin x ≥0，tan x －1≥0，即⎩⎨⎧sin x ≤0，tan x ≥1. 如图所示，结合三角函数线知⎩⎪⎨⎪⎧2k π＋π≤x ≤2k π＋2π(k ∈Z )，k π＋π4≤x <k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π＋5π4≤x <2k π＋3π2(k ∈Z )．故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋5π4，2k π＋3π2(k ∈Z )．用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，也可以实现正弦与余弦、正切与余切之间函数名称的变换．2k π＋α，π±α，－α，2π±α，π2±α的诱导公式可归纳为：k ×π2＋α(k ∈Z )的三角函数值．当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数k 的奇偶．已知f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan (α＋5π)tan (－α－π)sin (α－3π)，(1)化简f (α)；(2)若α＝－25π3，求f (α)的值．【精彩点拨】 直接应用诱导公式求解．【规范解答】 (1)f (α)＝cos α·(－sin α)·tan α(－tan α)·sin (π＋α)＝cos α·sin α·sin αcos α－sin αcos α·sin α＝－cos α.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3 ＝－cos π3＝－12. [再练一题]2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝14，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ).【解】 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝14，所以cos θ＝－14.所以cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ)＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝cos θcos θ(cos θ＋1)－cos θcos θ(cos θ－1)＝1cos θ＋1－1cos θ－1＝1－14＋1－1－14－1＝3215.考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．如图1-1是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋kA >0，ω>0，φ<π2的一段图像．图1-1(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的．【精彩点拨】 (1)先确定A ，k ，再根据周期求ω，最后确定φ. (2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移． 【规范解答】 (1)由图像知，A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6. ∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. (2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图像．[再练一题]3．若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为3，求函数f (x )的解析式，并说明怎样变换f (x )的图像能得到g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像．【解】 因为函数f (x )最大值为3，所以A ＝3， 又当x ＝π6时函数f (x )取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1.因为0<φ<π，故φ＝π6，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，将f (x )的图像向右移π6个单位，即得g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像．奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的周期性、单调性和最值(值域)，应引起重视．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求f (x )取最大值时，x 的取值集合．【精彩点拨】 (1)将2x ＋π6看成一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间求解． (2)先求x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6的范围，再根据最值求a 的值． (3)先求f (x )取最大值时2x ＋π6的值，再求x 的值．【规范解答】 (1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， ∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1. (3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )． ∴2x ＝π3＋2k π，∴x ＝π6＋k π(k ∈Z )． ∴当f (x )取最大值时， x的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z . [再练一题]4．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，(x ∈R ) (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，34π上的最大值和最小值．【解】 (1)∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，∴T ＝2πω＝2π2＝π， 故f (x )的最小正周期为π.(2)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，3π4上是减函数，∴函数f (x )在x ＝3π8处取得最大值，在两端点之一处取得最小值． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝ 2.F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－ π4＝－2cos π4＝－1. 故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的最大值为2，最小值为－1.问题转化为数量关系去求解，体现了数与形的联系．在三角函数中可以利用单位圆中的三角函数线或三角函数图像研究三角函数的求值、大小比较、最值、解三角不等式、单调区间、对称性等问题，其特点是直观形象．若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .【精彩点拨】 本题主要考查已知三角函数值范围求角，可以根据正弦函数图像和余弦函数图像，作出集合M 和N ，然后求M ∩N ，或利用单位圆中三角函数线确定集合M ，N .【规范解答】 法一：首先作出正弦函数与余弦函数的图像以及直线y ＝12，如图：结合图像得集合M ，N 分别为M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤π， 得M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤56π. 法二：作出单位圆的正弦线和余弦线． 如图：由单位圆三角函数线知：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤π， 得M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤56π. [再练一题]5．(1)求满足不等式cos x <－12的角x 的集合； (2)求y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤2π3的值域． 【解】 (1)作出函数y ＝cos x 在[0,2π]上的图像，如图所示：由于cos 2π3＝cos 4π3＝－12，故当2π3<x <4π3时，cos x <－12.由于y ＝cos x 的周期为2π，∴适合cos x <－12的角x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z . (2)作出y ＝sin x 的简图，如图所示：由图像可知，当－π3≤x ≤2π3时，－32≤sin x ≤1， ∴－3≤2sin x ≤2，因此函数y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤2π3的值域为[－3，2].1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位【解析】 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B.【答案】 B2．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图1-2所示，则f (x )的单调递减区间为( )图1-2A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 【解析】 由图像知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4， ∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.【答案】 D3．如图1-3，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图1-3A ．5B ．6C ．8D ．10【解析】 根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 【答案】 C4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5【解析】 因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个零点为x ＝－π4，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴， 所以T 4·k ＝π2(k 为奇数)．又T ＝2πω，所以ω＝k (k 为奇数)． 又函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以π12≤12×2πω，即ω≤12.若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4，此时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足条件． 若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调的条件．故选B.【答案】 B5．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)．．．．．．．．．．．)的解析式； (2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图像．若y ＝g (x )图像的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．【解】 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪⎫2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图像的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.第二章章末分层突破[自我校对]①单位向量②坐标表示③数乘向量④坐标⑤夹角公式1.2．向量线性运算的结果仍是一个向量．因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面．3．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．4．题型主要有证明三点共线、两直线平行、线段相等、求点或向量的坐标等．已知△OAB 中，延长BA 到C ，使AB ＝AC ，D 是将OB 分成2∶1的一个分点，DC 和OA 交于E ，设OA →＝a ，OB →＝b (如图2-1)，图2-1(1)用a ，b 表示向量OC →，DC →；(1)若OE→＝λOA →，求实数λ的值. 【精彩点拨】 (1)根据平行四边形法则求解．(2)结合三角形法则与平行四边形法则及向量共线定理求解． 【规范解答】 (1)∵A 为BC 的中点， ∴OA→＝12(OB →＋OC →)， ∴OC→＝2OA →－OB →＝2a －b ， DC→＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b . (2)若OE →＝λOA →，则CE →＝OE →－OC →＝λOA →－OC →＝λa －(2a －b ) ＝(λ－2)a ＋b .∵CE→与CD →共线，∴存在实数m ，使得CE →＝mCD →， 即(λ－2)a ＋b ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋53b ，∴(λ＋2m －2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－53m b ＝0.∵a ，b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2m －2＝0，1－53m ＝0，解得λ＝45.[再练一题]1．(1)若a ，b 是不共线的两个向量，且a 与b 的起点相同，则实数t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三个向量的终点在一条直线上？(2)已知A (－1,1)，B (1,5)，C (x ，－5)，D (4,7)，AB →与CD →共线，求x 的值．【解】 (1)由题易知，存在唯一实数λ.使得 a －t b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13(a ＋b )＝23λa －13λb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧23λ＝1，－13λ＝－t .∴t ＝12，即当t ＝12时，三向量共线． (2)AB→＝(2,4)，CD →＝(4－x,12)． ∵AB →∥CD →，∴2×12＝4(4－x )， ∴x ＝－2.向量的夹角、垂直及长度问1.求夹角问题求向量a ，b 夹角θ的步骤：(1)求|a |，|b |，a·b ；(2)求cos θ＝a·b|a||b|(夹角公式)；(3)结合θ的范围[0，π]确定θ的大小．因此求向量的夹角先转化为求向量夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定夹角的大小．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 2．垂直问题这类问题主要考查向量垂直的条件：若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.3．向量的模 (1)|a |2＝a 2，|a |＝a 2.(2)若a ＝(x ，y )，则a 2＝x 2＋y 2， |a |＝x 2＋y 2.(1)已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |＝.(2)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为． (3)若|a |＝1，|b |＝2，(2a －b )⊥b ，求a 与b 的夹角． 【精彩点拨】 (1)利用模与数量积进行转化求解． (2)结合已知条件利用向量的夹角公式计算． (3)利用垂直关系结合数量积运算求解．【规范解答】 (1)因为|a ＋b |＝13，所以|a ＋b |2＝13，即(a ＋b )2＝13，|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝13.又因为a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，所以9＋2×3×|b |·cos 120°＋|b |2＝13，|b |2－3|b |－4＝0，解得|b |＝4或|b |＝－1(舍)．(2)设a 与b 的夹角为θ，依题意有(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，所以θ＝π3.【答案】 (1)4 (2)π3(3)由(2a －b )⊥b ，则(2a －b )·b ＝0， 即2a ·b －b 2＝0，所以2|a ||b |cos θ－|b |2＝0， 即2×2cos θ－2＝0，所以cos θ＝22. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. [再练一题]2．已知c ＝m a ＋n b ，c ＝(－23，2)，a ⊥c ，b 与c 的夹角为23π，b·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.【解】 ∵c ＝(－23，2)，∴|c |＝4. ∵a ⊥c ，∴a·c ＝0.∵b·c ＝|b ||c |cos 23π＝|b |×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.∴|b |＝2.∵c ＝m a ＋n b ，∴c 2＝m a·c ＋n b·c ， ∴16＝n ×(－4)，因此n ＝－4. 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以a ， 得0＝8m －4a·b .①在c ＝m a ＋n b 两边同乘以b ，得m a·b ＝12. ② 由①②，得m ＝±6， ∴a·b ＝±26， ∴cos θ＝±2622·2＝±32.∵θ∈[0，π]， ∴θ＝π6或56π.1.运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．2．向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程． 3．在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．已知e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，今有动点P 从P 0(－1,2)开始，沿着与向量e 1＋e 2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e 1＋e 2|；另一动点Q 从Q 0(－2，－1)开始，沿着与向量3e 1＋e 2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e 1＋2e 2|，设P ，Q 在t ＝0 s 时分别在P 0，Q 0处，问当PQ →⊥P 0Q 0→时，所需的时间为多少？【精彩点拨】 求出t s 后P ，Q 两点的坐标，结合数量积运算建立方程求解． 【规范解答】 e 1＋e 2＝(1,1)，|e 1＋e 2|＝2，其单位向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22；3e 1＋2e 2＝(3,2)，|3e 1＋2e 2|＝13，其单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫313，213，如图．依题意，|P 0P →|＝2t ，|Q 0Q →|＝13t ， ∴P 0P →＝|P 0P →|⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22＝(t ，t )， Q 0Q →＝|Q 0Q →|⎝ ⎛⎭⎪⎫313，213＝(3t,2t )． 由P 0(－1,2)，Q 0(－2，－1)， 得P (t －1，t ＋2)，Q (3t －2,2t －1)， ∴P 0Q 0→＝(－1，－3)，PQ →＝(2t －1，t －3)． 由于PQ →⊥P 0Q 0→，∴P 0Q 0→·PQ →＝0， 即2t －1＋3t －9＝0， 解得t ＝2，即当PQ →⊥P 0Q 0→时，所需时间为2 s. [再练一题]3.如图2-2，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，垂足为E ，延长BE 交AC 于F ，连接DF ，求证：∠ADB ＝∠FDC ．图2-2【证明】 如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设A (0,2)，C (2,0)，则D (1,0)，AC →＝(2，－2)． 设AF→＝λAC →， 则BF→＝BA →＋AF →＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)． 又因为DA→＝(－1,2)，由题设BF →⊥DA →，所以BF →·DA→＝0，所以－2λ＋2(2－2λ)＝0，所以λ＝23， 所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23， 所以DF→＝BF →－BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 又因为DC→＝(1,0)，所以cos ∠ADB ＝DA →·DB →|DA →||DB →|＝55，cos ∠FDC ＝DF →·DC →|DF →||DC →|＝55.又因为∠ADB ，∠FDC ∈(0，π)， 所以∠ADB ＝∠FDC ．待定系数法在向量中的应1.的某种形式，则可引入一些尚待确定的系数(参数)来表示该结果，通过变形比较，建立含有参数(待定字母)的方程(组)进行求解．2．待定系数法在向量中有着广泛的应用，如两向量平行，垂直或平面向量基本定理等就是这种形式的体现．如图2-3，在△ABC 中，M 是BC 的中点，N 在AC 上且AN ＝2NC ，AM 与BN 交于点P ，求AP ∶PM 的值．图2-3【精彩点拨】 本题主要考查三角形法则、平面向量共线基本定理，适当选取基底表示出AP→，PM →，因为点A ，P ，M 共线，若有AP →＝λPM →，则λ为AP ∶PM 的值． 【规范解答】 设BM →＝e 1，CN →＝e 2，∴AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 共线且B ，P ，N 共线，∴AP →＝λAM →＝－λ(e 1＋3e 2)，BP →＝μBN →＝μ(2e 1＋e 2)． ∵BA →＝BP →＋P A →＝BC →＋CA →， ∴μ(2e 1＋e 2)＋λ(e 1＋3e 2)＝2e 1＋3e 2， ∴⎩⎨⎧2μ＋λ＝2，μ＋3λ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35，∴AP→＝45AM →，∴AP ∶PM ＝4∶1. [再练一题]4．设平面内给定的三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值．【解】 ∵a ＝m b ＋n c ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(4n －m,2m ＋n )， ∴⎩⎨⎧4n －m ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.1．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【解析】 根据a·b ＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A 恒成立．当向量a 和b 方向不相同时，|a －b |>||a|－|b||，B 不恒成立．根据|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝(a ＋b )2，C 恒成立．根据向量的运算性质得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，D 恒成立．【答案】 B2．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC→【解析】 在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.【答案】 D3．已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC→的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19D ．21【解析】 ∵AB→⊥AC →，故可以A 为原点，AB ，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系(略)，不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1t ，C (t,0)，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1t 1t ＋4(t ，0)t ＝(4,1)，故点P 的坐标为(4,1).PB →·PC→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，1t －1·(t －4，－1)＝－4t －1t ＋17＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ＋1t ＋17≤－24＋17＝13. 当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时(负值舍去)取得最大值13. 【答案】 A4．如图2-4，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE→的值是．图2-4【解析】 由题意，得BF →·CF →＝(BD →＋DF →)·(CD →＋DF →)＝(BD →＋DF →)·(－BD →＋DF →)＝DF →2－BD →2 ＝|DF→|2－|BD →|2＝－1， ①BA →·CA →＝(BD →＋DA →)·(CD →＋DA →) ＝(BD →＋3DF →)·(－BD →＋3DF →) ＝9DF→2－BD →2 ＝9|DF→|2－|BD →|2＝4. ② 由①②得|DF→|2＝58，|BD →|2＝138.∴BE →·CE →＝(BD →＋DE →)·(CD →＋DE →)＝(BD →＋2DF →)·(－BD →＋2DF →)＝4DF →2－BD →2 ＝4|DF→|2－|BD →|2＝4×58－138＝78. 【答案】 78第三章章末分层突破[自我校对]①sin2α＋cos2α＝1②sin αcos α＝tan α③Cα＋β④S2α⑤T2α1．给角求值：这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用．2．给值求值：这类题目的解法较上类题目灵活、多变，主要解答方法是利用三角恒等变形中的拆角变形及同角三角函数的基本关系式，和、差、倍、半角公式的综合应用．由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时乃至高考考查的一个热点．3．给值求角：这类问题的解法规律是根据已知条件，求出该角的某种三角函数值，并根据条件判断出所求角的范围，然后确定角的大小，其难点在于有时不但要看角的三角函数值的符号，还要看其大小，以缩小角的范围．已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值． 【精彩点拨】 因为2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，由已知条件3sin β＝sin(2α＋β)，即可求得tan(α＋β)．【规范解答】 ∵3sin β＝sin(2α＋β)， ∴3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]， 即2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. 又4tan α2＝1－tan 2α2， ∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12，∴tan(α＋β)＝2tan α＝1. 又∵0<α<π4，0<β<π4， ∴α＋β＝π4. [再练一题]1．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15. (1)求sin 2x 和cos x －sin x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x的值．【解】 (1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得1＋sin 2x ＝125，所以sin 2x ＝－2425.因为－π2<x <0，所以cos x >sin x ，所以cos x －sin x ＝1－2sin x cos x ＝75. (2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－sin x cos x＝2sin x (cos x ＋sin x )cos x －sin x cos x＝sin 2x cos x ＋sin x cos x －sin x＝－2425×17＝－24175.公式；②对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”、“复角化复角”等具体手段．以实现三角函数式的化简．化简： (1)2sin 130°＋sin 100°(1＋3tan 370°)1＋cos 10°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .【精彩点拨】 (1)把“切化弦”然后逆用和差公式及二倍角公式求解． (2)利用同角三角函数关系及两角和与差的正切公式化简． 【规范解答】 (1)原式＝2sin 50°＋sin 80°(1＋3tan 10°)2·cos 5°＝2sin 50°＋sin 80°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°2cos 5°＝2sin 50°＋2sin 40°2cos 5°＝2(sin 50°＋cos 50°)2cos 5°＝22sin (50°＋45°)2cos 5°＝2.(2)原式＝1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 1＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝tan π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 1＋tan π4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4－x ＝－tan x .[再练一题]2．化简sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2αcos 2β.【解】 原式＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(4cos 2αcos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1) ＝sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2αsin 2β＋cos 2α(1－cos 2β)＋cos 2β－12 ＝sin 2αsin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12 ＝sin 2β(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2β－12 ＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12.构上的差异，这些差异有以下几个方面：①角的差异；②三角函数名称的差异；③三角函数式结构形式上的差异．针对上面的差异，选择合适的方法进行等价转化．证明三角恒等式的常用方法有：左右互推、左右归一、恒等变形、分析法、综合法． 三角恒等式的证明可分为两类：不附条件的三角恒等式的证明和附条件的三角恒等式的证明．不附条件的三角恒等式的证明多用综合法、分析法、恒等变形等．附条件的三角恒等式的证明关键在于恰当、合理地运用条件，或通过变形观察所给条件与要证等式之间的联系，找到问题的突破口，常用代入法或消元法证明．求证：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝tan x2.【精彩点拨】 等式两边涉及到的角有4x,2x ，x ，x 2等角，故可将左边4x,2x ，x 化为x2的形式．【规范解答】 左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 2cos 2x ·cos x 2cos 2 x 2＝2sin 2x ·cos 22x ·cos x 2cos 22x ·2cos 2x ·2cos 2x 2＝sin 2x2cos x ·2cos 2x 2＝2sin x ·cos x2cos x ·2cos 2x 2＝2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝sin x2cos x 2＝tan x2＝右边． ∴等式成立． [再练一题]3．求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.【证明】 原式等价于1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ，即1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝tan 2θ，而上式左边＝1＋2sin 2θ·cos 2θ－ 1－2sin 22θ 1＋2sin 2θ·cos2θ＋ 2cos 22θ－1 ＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ ＝2sin 2θ cos 2θ＋sin 2θ2cos 2θ sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＝右边， 所以原式得证.三角函数与平面向量的综合应求值与证明的结合，向量与三角函数的图像与性质的结合等几个方面．此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图像与性质，以及三角函数的化简、求值．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4.(1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．【精彩点拨】 本题主要考查向量的数量积的坐标运算、向量的模及两角和与差的三角函数．(1)按向量数量积与向量加法运算结合三角函数知识求解、化简；(2)化简f (x )，并参照x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，求出最大值和最小值． 【规范解答】 (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos 2x ， |a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cos x >0， 即|a ＋b |＝2cos x .(2)∵f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－32， 且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1.∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32； 当cos x ＝1时，f (x )取得最大值为－1. [再练一题]4．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3A cos x ，A 2cos 2x (A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域． 【解】 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x ＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)得f (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像；再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图像．因此g (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3,6].关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．转化与化归思想是三角恒等变形应用最广泛，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变形的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用．已知向量a ＝(2sin x ，cos x )，b ＝(3cos x ，2cos x )，定义函数f (x )＝a·b －1. (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)画出函数g (x )＝f (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12的图像，由图像写出g (x )的对称轴和对称中心．【精彩点拨】 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、三角公式及三角函数图像和性质，化简函数式为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后求解．【规范解答】 f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(1)T ＝2π2＝π.(2)2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2⇔k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．(3)列表及图像如下：从图像可以看出，此函数有一个对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0，无对称轴．[再练一题]5．已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值． 【解】 (1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，所以A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π3＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝－2sin α＝－3017，所以sin α＝1517，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，所以cos β＝45，因为β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sinβ＝35，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.1．若tan α＝13，tan(α＋β )＝12，则tan β＝( ) A ．17B ．16 C ．57 D.56【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12－131＋12×13＝17. 【答案】 A2．函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π【解析】 法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π.故选B. 【答案】 B3．函数f (x )＝1－3sin 2x 的最小正周期为．【解析】 因为2sin 2x ＝1－cos 2x ，所以f (x )＝1－32(1－cos 2x )＝－12＋32cos 2x ，所以函数f (x )的最小正周期为2π2＝π.【答案】 π4．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是． 【解析】 由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. 【答案】 －15．函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图像至少向右平移个单位长度得到．【解析】 因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图像． 【答案】 2π3。

数学必修（4）综合测试姓名得分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若sinQtanft>0,则。

所在的的象限是( )A.二、四B. 一、二C. 一、四D.二、三2.如果cosa= 有意义，那么m的取值范围是()A. m<4B. m=4C. m>4D.3.函数y=2-sii?x 是()A.周期为勿的奇函数B.周期为”的偶函数C.周期为2力的奇函数D.周期为2TZ■的偶函数4.函数y=3sinx+2cosx的最小值是()A. 0B. -3C. -5D. -V135 .设K Z,瞰y=sin（- + - ）sin（---）的单调递增区间为()A. [(2上+1)力,2(上+1)汩B.[(妇■(妇■1)兀]C. [kji,(k+—) ?r]D. [2灼r, (2妇4)汩2 26.已知tana,tan”是方程/+3 0x+4=O的两根，且<a<^.-y <"<：,则a+月等于（A.号B. fC.:或号D.号或学7.要得到函数y=sin（2x-；）的图象，只需将函数y=sin2.r的图象（）A.向右平移生B.向右平移三3C.向左平移生 D.向左平移生3 68.已知I A I= 6^/3 ,IZ>l=l.a /»=-9,则a 与。

的夹角是( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°9.设a力是两个非零向量，则下列说法中正确的是（）A. aA_b与nb=0是一致的C. \a\>\b\与a>b=0是一致的B. ab=\a\\b\ 4 〃D. ab=-\a\ \b\10.如图，四边形ABCD是梯形，AD//BC，贝U方+而+而等于( 匕/”A. CDB. -COC. DAD. CO g ------------------------- ■11.设1=( 1,0)!/=(0,1 ),a=2i+3j,b=ki-4j,-^ alb,则实数k 的值为( )A. -6B. -3C. 3D. 612.已知/XABC的顶点A（2,3）和重心G的坐标为（2,-1）,则BC边上的中点坐标为（）A. (2,-9)B. (2,-5)C. (2,-3)D. (2,0)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）13.函数y=—-—的定义域为.1一tan 2x14.已知sina= L ,2兀viv3兀，那么sing+cosg= .3 2 21 ?15.已知0=301=5,且向量Q在向量万方向上的投影为；，贝也0=.16.将函数y=cosx的图象按向量》=（2S+：,1）06Z）平移，得到函数的图象.三、解答题（本大题共6小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）、〒口口tan。