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第二课时台体与球的体积课标要求素养要求1.掌握台体和球的体积公式.2.会计算台体、球的体积，利用体积公式解决有关组合体问题. 运用台体、球的体积公式进行计算，培养学生的直观想象素养和逻辑推理素养，提升学生的数学运算素养.教材知识探究街道旁，随时能见到用大理石磨成的光滑的大球.问题球的体积如何计算？提示V球＝43πR3.1.台体的体积若圆台的上、下底面半径分别为r，R，高为h，则V圆台＝13πh(R2＋Rr＋r2).棱台与圆台统称为台体.台体的体积的计算公式是V台体＝13h(S＋SS′＋S′)，其中，S，S′分别是台体上、下底面的面积，h为台体的高.2.球的体积球的半径为R，则V球＝43πR3.3.组合体由几个柱、锥、台、球等组合而成的几何体称为组合体.求组合体的体积(表面积)时，只需要算出其中每个几何体的体积(表面积)，然后再处理即可.教材拓展补遗[微判断]1.台体的体积公式中令S＝S′，则得到柱体的体积公式V＝S·h.(√)2.球的体积与球的半径成正比，球的体积越大，半径越大.(×)提示球的体积与球的半径的立方成正比，半径越大，体积越大.3.在台体的体积公式中令S′＝0，即可得锥体的体积公式V＝13S·h.(√)[微训练]1.若棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为________.解析V台＝13h(S＋SS′＋S′)＝13×3(4＋4×16＋16)＝28.答案282.一个球的表面积是16π，则它的体积是________.解析设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的体积V＝43πR3＝323π.答案32 3π[微思考]1.组合体的体积，就是各个几何体的体积之和吗？提示不一定.要看这几个几何体如何组合，也可能为体积的差.2.柱体、锥体、台体的体积之间有何联系？提示V＝Sh V＝13(S′＋S′S＋S)h V＝13Sh.柱体台体锥体所以柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例.题型一台体的体积【例1】已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.解如图所示，作轴截面A1ABB1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r，R，l，高为h.作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3.又∵∠A1AB＝60°，∴AD＝A1D，tan 60°，∴R－r＝ 3.即R－r＝33又∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°.∴BD＝A1D·tan 60°，即R＋r＝3×3，∴R＋r＝33，∴R＝23，r＝3，而h＝3，∴V圆台＝12＋Rr＋r2)3πh(R＝12＋23×3＋(3)2]3π×3×[(23)＝21π.所以圆台的体积为21π.规律方法求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系.【训练1】已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积.解如图所示，正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，连接E1E，则E1E是侧面ABB1A1的高.设O1，O分别是上、下底面的中心，连接O1E1，O1O，OE，则四边形EOO 1E 1是直角梯形.由S 侧＝4×12(10＋20)·E 1E ＝780，得EE 1＝13. 在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5， OE ＝12AB ＝10， ∴O 1O ＝E 1E 2－（OE －O 1E 1）2＝12，V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm 3). 故正四棱台的体积为2 800 cm 3. 题型二 球的体积【例2】 过球面上三点A ，B ，C 的截面到球心O 的距离等于球的半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝3 cm ，求球的体积和表面积.解 如图，设过A ，B ，C 三点的截面为圆O ′，连接OO ′，AO ，AO ′.∵AB ＝BC ＝CA ＝3 cm ， ∴O ′为正三角形ABC 的中心， ∴AO ′＝33AB ＝3(cm). 设OA ＝R ，则OO ′＝12R .∵OO ′⊥截面ABC ，∴OO ′⊥AO ′， ∴AO ′＝32R ＝3(cm)，∴R ＝2 cm ，∴V 球＝43πR 3＝323π(cm 3)，S 球＝4πR 2＝16π(cm 2)， 即球的体积为323π cm 3，表面积为16π cm 2.规律方法 球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法.【训练2】 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________.解析 设正方体棱长为a ，则6a 2＝18，∴a 2＝3，a ＝ 3.外接球直径为2R ＝3a ＝3，∴R ＝32，∴V ＝43πR 3＝43π×278＝92π. 答案 9π2题型三 组合体体积(表面积)【例3】 如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积.(其中∠BAC ＝30°) 解 如图所示，过C 作CO 1⊥AB 于O 1.在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R ， 故旋转所得几何体的体积为 V 几何体＝V 球－V 圆锥AO 1－V 圆锥BO 1 ＝43πR 3－13×π·⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2·AO 1－13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2·BO 1＝43πR 3－13×π·⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2·2R ＝56πR 3，即体积为56πR 3.规律方法 先判断由哪些几何体组合得到的组合体，分别求出各几何体的体积(表面积)，再结合图形进行计算.【训练3】 如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积、体积分别为多少？ 解 几何体的表面积为S ＝6×22－π×0.52×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π. V ＝V 正方体－V 圆柱＝23－π×0.52×2＝8－0.5π.一、素养落地1.通过台体、球及有关组合体的体积的计算，培养直观想象素养和逻辑推理素养，提升数学运算素养.2.台体棱台V ＝13h (S ＋SS ′＋S ′) 圆台 V ＝13πh (r 2＋rR ＋R 2)球V ＝43πR 3其中S ′，S 的半径，R 表示球的半径. 二、素养训练1.若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的( ) A.2倍 B.4倍 C.8倍D.16倍解析 设气球原来的半径为r ，体积为V ，则V ＝43πr 3，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的23＝8倍. 答案 C2.设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为( ) A.2πa 3 B.6πa 3 C.66πa 3D.186πa 3解析 由于长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ， 则长方体的体对角线长为（2a ）2＋a 2＋a 2＝6a ，又长方体的外接球的直径2R 等于长方体的体对角线长， 所以2R ＝6a ，则V 球＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫62a 3＝6πa 3.答案 B3.如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________.解析 设圆台的上底半径为r ，则下底半径为4r ，高为4r .由母线长为10可知10＝（3r ）2＋（4r ）2＝5r ，∴r ＝2.故圆台的上、下底半径和高分别为2，8，8.∴V ＝13×8·(4π＋64π＋16π)＝224π. 答案 224π4.圆台的高是4，母线长是5，侧面积是45π，则它的体积是________. 解析 作圆台的轴截面.设上底面半径为r ，则下底面半径为r ＋3， 则侧面积45π＝π(r ＋r ＋3)×5，∴r ＝3，∴V 圆台＝13×4(9π＋36π＋18π)＝84π.答案84π基础达标一、选择题1.正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是()A.43π B.83π C.43π D.323π解析设正方体的棱长为a，则6a2＝24，∴a＝2，其外接球的直径为23，半径为3，∴其体积为43π(3)3＝43π.答案 C2.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为9π2，则正方体的棱长为()A.62 B.32 C.3 D.1解析设正方体棱长为a，球半径为R，则43πR3＝92π，∴R＝32，∴3a＝3，∴a＝ 3.答案 C3.若一个球的直径为d，体积为V球，一个正方体的棱长为a，体积为V正，且它们的表面积相同，则有()A.d＞a，V球＞V正B.d＞a，V球＜V正C.d＜a，V球＞V正D.d＜a，V球＜V正解析球直径为d，则表面积S＝πd2.正方体棱长为a，则表面积为6a2.由πd2＝6a2，∴d2＞a2，即d＞a，又V球＝43π·⎝⎛⎭⎪⎫d38＝πd36＝a2·d，V正＝a3，∴V球＞V正.答案 A4.如图所示，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面的边A1B1作平行于棱AB的平面A1B1EF，这个平面分三棱台成两部分的体积之比为()A.1∶2B.2∶3C.3∶4D.4∶5解析设棱台上底面面积为S，由上、下底面边的比为1∶2，可知下底面面积为4S.设棱台的高为h，则V台＝13h(S＋S·4S＋4S)＝73Sh.∵棱柱A1B1C1－FEC的体积为V柱＝S·h，∴V柱V台－V柱＝Sh73Sh－Sh＝34.答案 C5.球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3∶4，则球的体积与圆台的体积之比为()A.6∶13B.5∶14C.3∶4D.7∶15解析如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形ABCD.设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1＋r2.∵∠AOB＝90°，OE⊥AB(E为切点)，∴R2＝OE2＝AE·BE＝r1·r2.由已知S球∶S圆台侧＝4πR2∶π(r1＋r2)2＝3∶4，∴(r1＋r2)2＝163R2.∴V球∶V圆台＝43πR313π（r21＋r1r2＋r22）·2R＝2R 2（r 1＋r 2）2－r 1r 2＝2R 2163R 2－R 2＝613. 答案 A二、填空题6.将一钢球放入底面半径为3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm ，则钢球的半径是________cm.解析 设球的半径为r ，则π×32×4＝43πr 3，可得r ＝3(cm).答案 37.圆台上、下底面面积分别为π，4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积是________. 解析 设圆台的上、下底半径分别为r ，R ，母线长为l ，高为h ，则πr 2＝π，πR 2＝4π，∴r ＝1，R ＝2.∴π(1＋2)·l ＝6π，∴l ＝2.∵h ＝l 2－（R －r ）2＝22－（2－1）2＝3，∴V 台＝13πh (r 2＋r ·R ＋R 2)＝13π×3×(1＋2＋22)＝733π.答案 733π8.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14 cm 3，则棱台的高度为________cm.解析 由题意设正四棱台的斜高与上、下底面边长分别为5x ，2x ，8x ，则高h ＝（5x ）2－（4x －x ）2＝4x .由棱台的体积公式，得13·4x ·(4x 2＋16x 2＋64x 2)＝14，解得x ＝12，故h ＝2(cm).答案 2三、解答题9.正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm 和4 cm ，侧棱长为2 cm ，求该棱台的体积.解 如图，正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 1，O 分别为上、下底面的中心，上、下底面边长分别为2 cm 和4 cm ，则O 1B 1＝2cm ，OB ＝2 2 cm. 过点B 1作B 1M ⊥OB 于点M ，那么B 1M 为正四棱台的高.在Rt △BMB 1中，BB 1＝2 cm ，MB ＝(22－2)＝2(cm)，根据勾股定理得MB 1＝BB 21－MB 2＝22－（2）2＝2(cm).S 上＝22＝4(cm 2)，S 下＝42＝16(cm 2)，∴V 正四棱台＝13×2×(4＋4×16＋16)＝13×2×28＝2832(cm 3).10.如图所示，几何体上半部分是母线长为5，底面半径为3的圆锥，下半部分是下底面圆半径为2，母线长为2的圆台，计算该几何体的表面积和体积.解 该几何体是一个组合体，上半部分为圆锥，底面半径为r ＝3，母线长为l ＝5，可以求出高为h 1＝52－32＝4.下半部分是圆台，上底面半径为r ＝3，下底面半径为r ′＝2，母线长为l ′＝2，可以求出高为h 2＝22－12＝ 3.圆锥侧面积为S 1＝πrl ＝15π，圆台的侧面积为S 2＝π(r ＋r ′)l ′＝10π，圆台的下底面面积为S 下底＝πr ′2＝4π，所以该几何体的表面积为S ＝S 1＋S 2＋S 下底＝15π＋10π＋4π＝29π.圆锥的体积为V 1＝13πr 2h 1＝12π，圆台的体积为V 2＝13πh 2(r 2＋rr ′＋r ′2)＝1933π，所以该几何体的体积为V ＝V 1＋V 2＝12π＋1933π.能力提升 11.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.解析 设球的半径为R ，则V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 柱∶V 锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.答案 3∶1∶212.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm 的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？解 设圆锥形杯子的高为h cm ，要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须V 圆锥≥V 半球，而V 半球＝12×43πr 3＝12×4π3×43，V 圆锥＝13Sh ＝13πr 2h ＝π3×42×h ，依题意：π3×42×h ≥12×4π3×43，解得h ≥8， 即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm ，高大于或等于8 cm 时，冰淇淋融化后不会溢出杯子.又因为S 圆锥侧＝πrl ＝πr h 2＋r 2，当圆锥高取最小值8时，S 圆锥侧最小，所以高为8 cm 时，制造的杯子最省材料.创新猜想13.(多空题)正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切，则内切球的表面积为________，体积为________.解析 ∵正三棱锥的高为1，底面边长为22，∴V 锥＝13×34×(26)2×1＝2 3.设内切球的半径为r ，以球心O 为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥.又正三棱锥的斜高为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13×32×262＝3，∴13×34×(26)2·r ＋3·13×12×26×3·r ＝23，∴r ＝6－2.∴S 球＝4(6－2)2π，体积V ＝43(6－2)3π.答案 4(6－2)2π 43(6－2)3π14.已知正四面体ABCD 的外接球的体积为43π，求正四面体的体积.解 法一 将正四面体ABCD 置于正方体中，如图所示，则正四面体的外接球即为正方体的外接球，正方体的对角线即为球的直径.设外接球的半径为R ，由V 球＝4π3R 3＝43π得R ＝3， 所以正方体的棱长为2，所以AB ＝22，所以S △BCD ＝12×22×22×32＝2 3.因为点A 到平面BCD 的距离h ＝23×2R ＝433，所以V ＝13S △BCD ×h ＝83.法二 如图所示，设正三角形BCD 的中心为O 1，O 为球心，正四面体ABCD 外接球的半径为R ，连接O 1D ，DE . 由已知得43πR 3＝43π，故R ＝ 3.因为AE 为球的直径，所以AD ⊥DE ，AE ⊥O 1D .设AD ＝a ，则O 1D ＝23×32a ＝33a ，故AO 1＝AD 2－O 1D 2＝63a .所以O 1E ＝2R －AO 1＝23－63a .由Rt △AO 1D ∽Rt △DO 1E ，得O 1D 2＝AO 1·O 1E ，解得a ＝2 2.故V ＝13S △BCD ·AO 1＝13×34a 2×63a ＝83.。
小学数学课堂教学中“问题解决”在小学数学课堂教学中，问题解决是非常重要的一个环节。
通过问题解决，学生可以培养自主学习能力、培养分析和解决问题的能力，同时也能够将所学知识运用到实际生活中。
一、问题解决的重要性：1. 培养学生的自主学习能力：通过问题解决，学生需要自己思考和分析问题的解决思路和方法，培养学生的自主学习能力，提高学生的学习兴趣和主动性。
3. 将数学知识运用到实际生活中：通过问题解决，学生能够将所学的数学知识运用到实际生活中，帮助学生理解数学的应用，并且能够培养学生的实践能力和动手能力。
二、问题解决的实施方法：1. 情境启发式问题：通过给学生提供一个具体的实际情境，让学生在这个情境中思考和解决问题，帮助学生将数学知识运用到实际生活中。
例如：小明去菜市场买水果，他手上有30元钱，请问小明最多可以买几斤苹果？如果他不买苹果，他可以买到哪些其他水果？2. 探究性问题：通过给学生一个问题，引导学生自己去思考和探索问题的解决方法，培养学生的问题解决能力和创新思维。
例如：小明设计了一个游戏，要求两个人轮流掷骰子，每次掷出的点数相加，先到100点的人赢。
请问小明需要准备多少个骰子？3. 平行问题：通过给学生一系列相似的问题，让学生通过分析和比较这些问题的共同点和不同点，解决问题，提高学生的问题解决能力。
例如：小明每天骑自行车上学，他发现今天花了10分钟骑到学校，昨天花了20分钟骑到学校，请问今天比昨天快了多少分钟？三、问题解决的实施步骤：1. 题目阅读和理解：学生需要认真阅读题目，理解题目内容和要求，思考问题的解决思路。
2. 分析问题解决方法：学生需要运用所学的数学知识和思维方式，分析和解决问题，确定问题的解决方法。
3. 选择解决方案：学生需要根据问题的特点和解决方法，选择合适的解决方案。
5. 检查解决结果：学生需要检查解决结果是否符合问题的要求，如果不符合，需要重新检查和修改解决方法。
通过问题解决，能够培养学生的自主学习能力和问题解决能力，提高学生的数学应用能力，同时还能够提高学生的实践能力和动手能力。
人教版数学八年级上册《11.1.3三角形的稳定性》教案一. 教材分析《11.1.3三角形的稳定性》是人教版数学八年级上册的一章，主要介绍三角形的稳定性原理。
本节内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念和性质的基础上进行教学的，旨在让学生通过观察和操作，理解三角形的稳定性，并能运用这一原理解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识，对三角形有一定的了解。
但是，他们可能对抽象的稳定性概念难以理解，需要通过具体的操作和实践来加深理解。
同时，学生可能对实际问题的解决能力有待提高，需要教师通过实例进行引导和培养。
三. 教学目标1.理解三角形的稳定性原理。
2.能够运用三角形的稳定性原理解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：三角形的稳定性原理。
2.难点：如何运用三角形的稳定性原理解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、操作实践法和实例教学法，引导学生通过观察、操作和思考，理解三角形的稳定性原理，并能运用到实际问题中。
六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规。
2.课件：相关的图片和实例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾三角形的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）讲解三角形的稳定性原理，让学生通过观察和思考，理解三角形的稳定性。
3.操练（10分钟）让学生分组进行操作实践，用三角板、直尺和圆规画出不同形状的三角形，并观察它们的稳定性。
4.巩固（10分钟）让学生通过解决实际问题，运用三角形的稳定性原理。
如：为什么三角形的结构更稳定？在实际生活中有哪些应用？5.拓展（10分钟）引导学生思考：除了三角形，还有哪些形状具有稳定性？它们在实际生活中有哪些应用？6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调三角形的稳定性原理及其在实际问题中的应用。
7.家庭作业（5分钟）布置一道关于三角形稳定性原理的应用题，让学生课后思考和解答。
因式分解教学谈因式分解是整式变形的重要内容，也是解决某些数学问题的重要手段．学习多项式的因式分解，首先要明确因式分解与整式乘法的区别和联系．事实上，整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；而因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘，其基本格式如：知道了这种区别和联系，即明白了因式分解实质上就是把整式乘法的过程倒过来，为使同学们更好地掌握因式分解的技巧，形成能力，笔者以为从以下三个方面入手进行教学，可望取得较好的效果．一、熟悉分解方法1．提公因式法，只要所给多项式的各项有公因式，就先把各项的公因式提出来．例1 分解因式：56x3yz+14x2y2z-21xy2z2解原式=7xyz(8x2+2xy-3yz)2．以所给多项式的项数为线索，确定分解方法，一般来说，二项式、三项式采用公式法或十字相乘法；四项以上的采用分组分解法．例2 分解因式：a4b-ab4分析提取公因式后，运用立方差公式．解原式=ab(a3-b3)=ab(a-b)(a2+ab+b2)有一些题目从表面上看不是二项式或三项式，这时可把几项看作一项，归结为二项式或三项式．例3 分解因式：x2-y2-z2-2yz.分析把-y2-z2-2yz看成一项，利用平方差公式就可以分解．解原式=x2-(y2+2yz+z2)=x2-(y+z)2=(x+y+z)(x-y-z)例4 分解因式：a3-6a2b+12ab2-8b3分析考虑用分组分解法，注意从各种分组方法中找出比较合适的，以达到能将整个多项式分解之目的．解原式=(a3-8b3)-(6a2b-12ab2)=(a-2b)(a2+2ab+4b2)-6ab(a-2b)=(a-2b)(a2-4ab+4b2)=(a-2b)33．有时所给多项式有多种合适的分组方法例5 分解因式：x5-x4+x3-x2+x-1解法1 原式=(x5-x2)-(x4-x)+(x3-1)=x2(x3-1)-x(x3-1)+(x3-1)=(x3-1)(x2-x+1)=(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)解法2 原式=(x5-x4+x3)-(x2-x+1)=x3(x2-x+1)-(x2-x+1)=(x2-x+1)(x3-1)=(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)二、掌握变形技巧1．去掉括号，重新分组例6 分解因式：ab(c2+d2)+cd(a2+b2)解原式=abc2+abd2+a2cd+b2cd=(abc2+a2cd)+(abd2+b2cd)=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)=(ac+bd)(bc+ad)例7 分解因式：(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16 解设x2+3x=y，则原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(y-4)将y=x2+3x代回上式，则原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)=(x2+3x+6)(x-1)(x+4)2．拆项添项，重新整理例8 分解因式：x3+3x2-4解法1 原式=(x3+2x2)+(x2-4)=x2(x+2)+(x+2)(x-2)=(x+2)(x2+x-2)=(x+2)(x+2)(x-1)=(x+2)2(x-1)解法2 原式=(x3-1)+(3x2-3)=(x-1)(x2+x+1)+3(x+1)(x-1)=(x-1)(x2+4x+4)=(x+2)2(x-1)解法3 原式=(x3+3x2-4x)+(4x-4)=x(x2+3x-4)+4(x-1)=x(x+4)(x-1)+4(x-1)=(x-1)(x2+4x+4)=(x+2)2(x-1)三、规范分解结果对因式分解的结果必须注意以下几点：1．必须是几个因式的乘积．如分解x2+3x-4=(x+2)(x-2)+3x，此结果不是乘积的形式，应分解为：x2+3x-4=(x+4)(x-1)2．每个因式必须都是整式x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+2y2)2-4x2y2=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy)3．必须分解到不能再分解为止．如：422232(2)(1)x x x x-+=--，其中因式21x-还可以分解为(1)(1)x x+-发；若规定在实数范围内分解的话，则继续分解为(2)(2)x x；又如分解(x+y)2-(xy+1)2=(x+y+xy+1)(x+y-xy-1)并不是最后结果，应继续分解，结果为(x+1)(x-1)(y+1)(1-y)．3 绝对值1．了解相反数的概念，会求一个数的相反数．2．理解绝对值的含义，会求一个数的绝对值．3．会利用绝对值比较两个负数的大小．重点理解绝对值的含义，会求一个数的绝对值．难点能利用绝对值比较两个负数的大小．一、情境导入教师：3与－3有什么相同点？32与－32，5与－5呢？ 学生：每组数中的两个数只有符号不同．教师：对！像这样，如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0.二、探究新知1．绝对值的定义教师：将上面三组数用数轴上的点表示出来，每组数对应的点，在数轴上有什么关系？学生小组讨论交流，教师点评，并进一步讲解：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．例如，＋2的绝对值等于2，记作|＋2|＝2；－3的绝对值等于3，记作|－3|＝3. 教师：想一想，互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？学生思考后举手回答，教师点评．2．绝对值的性质课件出示填空题：|5|＝________；|－5|＝________；|＋7|＝________；|－7|＝________；|4|＝________；|－4|＝________；|＋1.7|＝________；|－1.7|＝________；|0|＝________．让学生完成填空，并提出问题：同学们能从中得到什么规律吗？教师引导学生思考：通过对具体数的绝对值的讨论，观察正数的绝对值有什么特点，负数的绝对值有什么特点．学生分类讨论，归纳出数a 的绝对值的一般规律：(1)一个正数的绝对值是它本身；(2)负数的绝对值是它的相反数；(3)0的绝对值是0.即：若a>0，则|a|＝a ；若a<0，则|a|＝－a ；若a ＝0，则|a|＝0.总结：由绝对值的定义可知：不论有理数a取何值，它的绝对值总是正数或0(通常也称非负数)，绝对值具有非负性，即|a|≥0.3．利用绝对值比较两个负数的大小教师：利用数轴我们已经会比较有理数的大小了，同学们试比较－8和－3的大小．学生完成后举手回答．教师：我们能否用今天所学的绝对值来比较这两个数的大小呢？学生思考后回答问题，教师引导学生得出结论：两个负数比较大小，绝对值大的反而小．三、举例分析例1(课件出示教材第30页例1)学生独立完成后汇报答案，教师点评．例2(课件出示教材第31页例2)学生独立完成后汇报答案，教师点评．教师进一步提问：此例题能用别的方法进行比较吗？学生分小组讨论后汇报答案，教师要求写出解题过程．四、练习巩固教材第32页“随堂练习”第1～3题．五、小结这节课学习的主要内容有哪些？你有哪些收获？六、课外作业教材第32页习题2.3第1～3题．本节课是在认识了数轴及如何把一个有理数在数轴上表示出来的基础上学习的．首先通过相反数知识，引入绝对值概念，理解相反数、绝对值之间的联系；进而讲解绝对值的相关性质，并能用符号语言来表示，即讨论︱a︱与a之间的关系；最后利用绝对值比较两个负数的大小．教学中初步渗透了数形结合的重要数学思想．教师思路清晰，让学生形成环环相扣的知识系统，轻松地接受新知识．乘法公式乘法公式是两个特殊的多项式相乘，而乘法公式在这一章乃至初中数学中的地位和作用是非常重要的，因此这一部分内容的教学应以学生自主活动为主．第一课时平方差公式1．通过一般的两个二项式相乘引发学生思考什么样的二项式相乘得到的结果是二项式。
小学数学问题解决的理论与实践内容简介
问题解决学习是义务教育数学课程的重要内容，学生通过问题解决的学习，有利于巩固所学习的知识，培养他们发现与提出问题、分析与解决问题的能力，增强学生的数学应用意识与实践能力。
因此，《义务教育数学课程标准（２０１１年版）》明确提出了问题解决的课程目标，并将这一目标贯穿在数学课程内容与教学的全领域与全过程。
从教学研究与教师培训的角度讲，加强问题解决的教学研究，帮助教师树立新的课程理念，提高教师对问题解决教学理论的理解和教学实践能力，有利于教师更好地开展问题解决的教学，促进学生问题解决能力的培养。
本专题主要包括以下内容：一是数学问题及问题解决的含义，以及影响学生问题解决的主要因素；二是数学问题解决的课程目标、教育价值及教材呈现形式；三是数学问题解决教学的一般程序集策略；
通过本专题的学习，应力求达成以下学习目标：一是了解问题解决的课程价值；二是初步理解数学问题、问题解决的含义；三是了解影响现实问题解决的因素；四是初步理解问题解决的课程目标，知道教材对问题解决的安排情况；五是掌握问题解决教学中的一般步骤及策略。
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．2．柱体、锥体、台体和球的体积公式其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．(1)夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．( ) (2)锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关． ( ) (3)由V 锥体＝13S·h ，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为( ) A ．15πB ．30C ．12πD ．36πC [圆锥的高h ＝52－32＝4，故V ＝13π×32×4＝12π.]3．若圆锥的高扩大为原来的3倍，底面半径缩短为原来的12，则圆锥的体积( )A ．缩小为原来的34B ．缩小为原来的23C ．扩大为原来的2倍D ．不变A [设圆锥的高为h ，底面半径为r ， 则圆锥的体积V ＝13πr 2×h ，当圆锥的高扩大为原来的3倍， 底面半径缩短为原来的12时，圆锥的体积V ′＝13π×⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2×3h ＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫13πr 2×h . 所以圆锥的体积缩小为原来的34.故选A ．]4．若一个球的直径是12 cm ，则它的体积为________cm 3.288π [由题意，知球的半径R ＝6 cm ，故其体积V ＝43πR 3＝43×π×63＝288π(cm 3)．]求柱体的体积【例1】 3 cm ，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm ，高为2 cm ，现从中间挖去一个直径为2 cm 的圆柱，求此几何体的体积．[解] V 六棱柱＝34×42×6×2＝483(cm 3)， V 圆柱＝π·32×3＝27π(cm 3)， V 挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm 3)，∴此几何体的体积：V ＝V 六棱柱＋V 圆柱－V 挖去圆柱＝(483＋22π)(cm 3)．柱体体积问题的处理方法求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高．棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个面的距离都相等，都是高．圆柱的高是其母线长．具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关元素．[跟进训练]1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．[解] 设正方体边长为a ，圆柱高为h ，底面半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝πr 2，2πrh ＝4a 2，①②由①得r ＝ππa ， 由②得πrh ＝2a 2，∴V 圆柱＝πr 2h ＝2ππa 3，∴V 正方体∶V 圆柱＝a 3∶⎝⎛⎭⎪⎫2ππa 3＝π2∶1＝π∶2. 求锥体的体积【例2】 111111三棱锥B A 1B 1C ，三棱锥C A 1B 1C 1的体积之比．[思路探究] AB ∶A 1B 1＝1∶2―→S △ABC ∶S △A 1B 1C 1―→ 计算VA 1－ABC ―→计算VC －A 1B 1C 1―→计算VB －A 1B 1C[解] 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，∵AB ∶A 1B 1＝1∶2，则S △A 1B 1C 1＝4S . ∴VA 1ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴VB A 1B 1C ＝V 台VA 1ABC VC A 1B 1C 1 ＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ， ∴三棱锥A 1ABC ，B A 1B 1C ，C A 1B 1C 1的体积比为1∶2∶4.割补法与等积法求锥体体积三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．另外等积法也是常用的求锥体体积的一种方法．[跟进训练]2．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D ACD 1的体积是( ) A ．16 B ．13 C ．12D ．1A [三棱锥D ACD 1的体积VD ACD 1＝VD 1ACD ＝13S △ADC ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝13×12＝16.] 求台体的体积【例3】 780 cm 2.求正四棱台的体积．[思路探究] 可以尝试借助四棱台内的直角梯形，求出棱台底面积和高，从而求出体积．[解] 如图所示，正四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20 cm.取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，则E 1E 是侧面ABB 1A 1的高．设O 1，O 分别是上、下底面的中心，则四边形EOO 1E 1是直角梯形．由S 侧＝4×12(10＋20)·E 1E ＝780，得EE 1＝13，在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5，OE ＝12AB ＝10，∴O 1O ＝E 1E 2－OE －O 1E 12＝12，V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800 (cm 3)．故正四棱台的体积为2 800 cm 3.本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm 和4 cm ，侧棱长为2 cm ，”求该棱台的体积．[解] 如图，正四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，上、下底面边长分别为2 cm 和4 cm ， 则O 1B 1＝ 2 cm ，OB ＝2 2 cm ，过点B 1作B 1M ⊥OB 于点M ，那么B 1M 为正四棱台的高，在Rt△BMB 1中，BB 1＝2 cm ，MB ＝22－2＝ 2 (cm)．根据勾股定理MB 1＝BB 21－MB 2＝22－22＝2(cm)．S 上＝22＝4 (cm 2)，S 下＝42＝16(cm 2)，∴V 正四棱台＝13×2×(4＋4×16＋16)＝13×2×28＝2823(cm 3)． 求台体体积的技巧求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．求球的体积【例4】 AB ＝BC ＝CA ＝3 cm ，求球的体积和表面积．[思路探究] 解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径、截面圆半径和球心距构成的直角三角形．[解] 如图，设过A ，B ，C 三点的截面为圆O ′，连接OO ′、AO 、AO ′.∵AB ＝BC ＝CA ＝3(cm)， ∴O ′为正三角形ABC 的中心， ∴AO ′＝33AB ＝ 3 (cm)． 设OA ＝R ，则OO ′＝12R ，∵OO ′⊥截面ABC ， ∴OO ′⊥AO ′， ∴AO ′＝32R ＝ 3 (cm)，∴R ＝2(cm)， ∴V 球＝43πR 3＝323π(cm 3)，S 球＝4πR 2＝16π(cm 2)．即球的体积为323π cm 3，表面积为16π cm 2.计算球的表面积或体积的关键是确定球的半径R ，一般题目不直接给出球的半径，而是隐藏在某些条件中，解题过程中，一定要注意挖掘隐含条件.[跟进训练]3．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm.4 [设球的半径为r ，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r . 则有πr 2·6r ＝8πr 2＋3·43πr 3，即2r ＝8， 所以r ＝4 cm.] 知识：1．对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明 (1)等底、等高的两个柱体的体积相同．(2)等底、等高的锥体和柱体的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的柱体的体积是锥体的体积的3倍．(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系(4)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积．2．球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.方法：不规则几何体的体积问题的求解策略：若几何体是组合体，可将其分解为若干个“柱、锥、台、球”的基本型，再根据相关公式求解．还有很多的题型主要应用化归与转化的思想化不规则为规则，以“分割”“补形”为工具将不规则图形转化为常见的几何体的形式．1．已知球O 的表面积为16π，则球O 的体积为( ) A ．43π B ．83π C ．163πD ．323πD [因为球O 的表面积是16π，所以球O 的半径为2，所以球O 的体积为4π3×23＝323π，故选D ．]2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B．2π C．4π D．8π B [设轴截面正方形的边长为a ，由题意知S 侧＝πa ·a ＝πa 2.∴4π＝πa 2，a ＝2. ∴V 圆柱＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22×a ＝2π.]3．若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积之比为( )A ．1∶3∶4B ．1∶3∶2C ．1∶2∶4D ．1∶4∶2B [设球的半径为R ，则V 圆锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 球＝43πR 3.所以V 圆锥∶V 圆柱∶V 球＝23∶2∶43＝1∶3∶2.]4．如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，CE ＝2EP ，若三棱锥P EBD 的体积为V 1，三棱锥P ABD 的体积为V 2，则V 1V 2的值为________．13[设四棱锥P ABCD 的高为h ，底面ABCD 的面积为S ， 则V 2＝V P ABD ＝13×12Sh ＝16Sh .因为CE ＝2EP ，所以EP ＝13PC ，所以V 1＝V P EBD ＝V E PBD ＝13V C PBD ＝13V P BCD ＝13×16Sh ＝118Sh ，所以V 1V 2＝118Sh16Sh ＝13.]5．一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥体积． [解] 如图所示，正三棱锥S ABC ．设H 为正三角形ABC 的中心，连接SH ，则SH 的长即为该正三棱锥的高．连接AH 并延长交BC 于E ，则E 为BC 的中点，且AE ⊥BC ．∵△ABC 是边长为6的正三角形， ∴AE ＝32×6＝33.∴AH ＝23AE ＝2 3. 在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝9 3.在Rt△SHA 中，SA ＝15，AH ＝23， ∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝ 3. ∴V 正三棱锥＝13S △ABC ·SH ＝13×93×3＝9.。
