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一维波动方程的达郎贝尔公式1达郎贝尔公式在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。
考虑无限长弦的自由振动问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂==)(|),(|0, ,0022222x tu x u t x xu a t u t t φϕ ① 作自变量的代换⎩⎨⎧-=+=atx atx ηξ 利用复合函数的微分法有：ηξ∂∂-∂∂=∂∂uau a t u )2(22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u a t u 同理有：22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂uu u x u 将①化为：02=∂∂∂ηξu并将它两端对η进行积分得：)(0ξξf u=∂∂ 其中)(0ξf 是ξ的任意函数，再将此式对ξ积分)()()()(),(2120ηξηξξf f f d f t x u +=+=⎰=)()(21at x f at x f -++ ②其中21f f 、是任意两次连线可微函数，式②即为方程①的含有两个任意函数的通解。
由初始条件可得：)()()(21x x f x f ϕ=+)()()(2''1x x f x af φ=+通过积分可得：⎰+-+-++=atx at x d aat x at x t x u ξξϕφϕ)(21)]()([21),(称此式为一维波动方程的达郎贝尔公式。
2解的物理意义由于波动方程的通解是两部分)(1at x f +与)(2at x f -。
)(22at x f u -=表示了以速度a 向x 轴正方向传播的行波，称为右行波。
同理，)(11at x f u +=表示了以速度a 向x 轴负方向传播的行波，称为左行波。
由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x-平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。
常微分方程的达朗贝尔公式和Green公式常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学的一个分支，研究的是只依赖于一维自变量的函数和它们的导数。
常微分方程是各个领域中最重要的数学工具之一，广泛应用于物理、工程、经济和生物等领域。
在解常微分方程时，达朗贝尔公式和Green公式是两个非常重要的公式。
本文将对它们的定义、性质和应用进行详细介绍。
达朗贝尔公式达朗贝尔公式（D'Alembert's formula）是解一维波动方程（Wave Equation）的经典公式。
一维波动方程是描述一维波动传播的方程，形式为：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$u(x,t)$是波函数，$c$是波速，$x$和$t$分别表示空间和时间。
由于常微分方程只有一个自变量，因此我们需要对时间或空间变量进行临时的剖分才能解决这类方程。
达朗贝尔公式给出了波函数在任意时刻和任意位置的解析表达式，形式为：$$u(x,t)=\frac{1}{2}[f(x+ct)+f(x-ct)]+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(y)dy$$其中，$f(x)$是初始波形（Initial Waveform），$g(x)$是初始速度（Initial Velocity），$c$是波速。
这个公式的第一项表示波源在$t=0$时刻释放的波形在$x$处的振幅随时间的变化，第二项表示波源在$t=0$时刻释放的波速在$x$处的振幅随时间的变化。
达朗贝尔公式的一个重要性质是线性叠加性。
如果有多个波源在不同位置、不同时刻释放波形和波速，那么它们的叠加波形可以通过将它们对应的达朗贝尔公式相加而得到。
这样，我们就可以用达朗贝尔公式求解复杂的波动问题。
Green公式Green公式（Green's formula）是解各种常微分方程的一个通用技巧。
第十章波动方程的达朗贝尔解(9)一、内容摘要1．行波法达朗贝尔公式行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有。
一维无界弦自由振动（即无外力）定解问题为：()()()()()()()20,,0,0,,0.tt xx t u a u x t u x x x u x x x ϕψ⎧-=-∞<<∞≥⎪=-∞<<∞⎨⎪=-∞<<∞⎩ 可以证明，原问题具有如下形式的通解：()(),u x t f x t α=+将该通解代入泛定方程得到该方程的附加方程：220a α-=； 且解为a α=±。
原方程的通解可以表示为:()()()12,u x t f x at f x at =++-．原方程满足初始条件的特解可以表示为:()()()()11,[]+''22x at x at u x t x at x at x dx aϕϕψ+-=++-⎰，这个式子就是达朗贝尔公式()(),x x ϕψ为任意二次可微函数.达朗贝尔解可以理解为扰动在弦上总是以行波的形式沿相反的两个方向传播出去，因此该解发又称为行波法或传播波法。
2．行波法要点行波法始原于研究行进波，其解题要领为：（1）引入变量代换，将方程化为变量可积的形式，从而求得其通解；（2）用定解条件确定通解中的任意函数（或常数），从而求得其特解。
由于大多偏微分方程的通解难以求得，用定解条件定任意常数或函数也绝非易事，故行波法有较大局限性，但对于研究波动问题而言，有它的特殊优点。
二、习题1．求解初值问题（1）()()()()()2,,,0,;,0cos ,,0 2.,.tt xx t u a u x t u x x u x x ⎧=∈-∞∞∈∞⎪⎨==∈-∞∞⎪⎩．（2）()()()()(),0,,,.tt xx u u x t u x x x u x x x ϕψ=-∞<<∞>⎧⎪⎨-==⎪⎩．（3）()()()()22,,,0,;1,00,,0.1+tt xx t u a u x t u x u x x ⎧=∈-∞∞∈∞⎪⎨==⎪⎩． （4）()()()()()()2,,,0,;,0,,0'.tt xx t u a u x t u x x u x a x ϕϕ⎧=∈-∞∞∈∞⎪⎨==-⎪⎩．2．验证()()(),3u x y x y x y ϕψ=-++是偏微分方程230xx xy yy u u u +-=的解，其中,ϕψ是充分光滑的任意函数。
