怎样推导梁的应力公式、变形公式

梁的弯曲正应力公式在我们学习力学的奇妙世界里，梁的弯曲正应力公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。

先来说说梁是啥吧。

想象一下，你家里的房梁，或者是一座桥上的大梁，它们都是承受各种力量的重要结构。

梁在受到外力作用时，会发生弯曲，而这时候梁内部就会产生应力。

那梁的弯曲正应力公式到底是啥呢？它其实就是用来计算梁在弯曲时，不同位置处的应力大小的。

公式是：σ = My / I 。

这里的σ就是正应力，M 是弯矩，y 是所求应力点到中性轴的距离，I 是惯性矩。

咱们来具体讲讲这个公式里的每个部分。

先说弯矩 M ，它就像是一个大力士，决定了梁弯曲的程度和力量大小。

比如说，在一个建筑工地上，一根钢梁要承受上面重重的建筑材料的压力，这个压力让钢梁产生弯曲，而这个弯曲的力量大小就是弯矩。

再看 y ，也就是所求应力点到中性轴的距离。

中性轴就像是梁的“平衡线”，上面的部分受压，下面的部分受拉。

比如说，你拿一根竹条弯曲，中间不怎么变形的那一条线就类似中性轴。

而应力点到中性轴的距离越大，应力也就越大。

惯性矩 I 呢，它反映了梁横截面的形状和尺寸对抗弯能力的影响。

比如说，同样长度的钢梁，如果一个是实心的粗钢梁，一个是空心的细钢梁，那实心的粗钢梁惯性矩就大，抗弯能力也就更强。

我记得有一次去工厂参观，看到工人们正在加工一批钢梁。

工程师拿着图纸，嘴里不停地念叨着梁的弯曲正应力公式，计算着每根钢梁在不同工作条件下的应力情况。

他们神情专注，一丝不苟，因为哪怕一点点的误差，都可能导致钢梁在使用过程中出现问题，造成严重的后果。

在实际应用中，梁的弯曲正应力公式用处可大了。

比如在设计桥梁的时候，工程师得根据车辆的通行量、桥的跨度等因素，利用这个公式准确计算出桥梁中各个部位的应力，确保桥梁的安全稳固。

又比如在机械制造中，要设计一个能承受特定载荷的传动轴，也得靠这个公式来确定轴的尺寸和材料。

总之，梁的弯曲正应力公式虽然看起来有点复杂，但它可是力学世界里的宝贝，能帮助我们解决很多实际问题，让我们的生活更加安全和便捷。

影响梁变形的因素公式
在结构设计中，梁主要承受垂直于其轴线的荷载作用，柱主要承受平行于其轴线的荷载所用。

柱主要是轴向拉伸变形或压缩变形。

假设材料是线弹性，服从胡克定律。

若应力超出弹性范围，材料中就会出现塑性变形。

在这种情况下，平截面假设仍然有效，但应力与应变关系不再是线性，且在加载和卸载过程中遵循不同的规律。

在考虑塑性变形的基础上研究梁的弹塑性弯曲问题，会得出一些不同的结果。

影响梁变形的主要因素有：
1、构件的材料性能：与材柚弹性模量E成反比；
2、构件的跨度：与跨度L的n次方成正比，此因素影响最大；
3、构件的截面尺寸：与截面的惯性矩I成反比。

根据梁挠度变形公式，f=5qLLLL除以(384EJ)，构件的变形与构件跨度L的n次方成正比。

因此，梁的跨度因素影响最大。

梁的变形公式跨度越大，影响越大，截面的惯性矩越大，影响越小，外荷载越大，影响越大。

例如：两个矩形截面梁a和b除了截面不同，其他条件相同。

a的截面宽和高分别为：2和2，面积为4，惯性矩=2×2×2×2/12=16/12；
b的截面宽和高分别为：5和1，面积为5，惯性矩=5×1×1×1/12=5/12；
所以，a的截面积比b的截面积小，可是a的惯性矩比b的惯性矩大，所以根据梁变形公式，a的变形比b的变形小。

悬臂梁受集中载荷的应力变形计算悬臂梁是一种常见的结构，在工程中应用广泛。

在设计和分析悬臂梁时，经常需要计算受集中载荷作用下的应力和变形。

本文将对悬臂梁受集中载荷的应力和变形计算进行详细阐述。

一、悬臂梁受集中载荷的应力计算1.弯曲应力计算当悬臂梁受到集中荷载作用时，会产生弯曲应力。

弯曲应力是由于载荷作用引起梁的弯曲变形而产生的。

计算弯曲应力可使用弯曲应力公式：σ=(M*y)/I其中，σ为弯曲应力，M为弯矩，y为弦纤维上离中轴线的距离，I 为截面转动惯量。

在悬臂梁上的集中荷载作用下，弯矩可通过以下公式计算：M=F*L其中，M为弯矩，F为集中荷载，L为悬臂梁的长度。

对于矩形截面的悬臂梁，截面转动惯量I可通过以下公式计算：I=(b*h^3)/12其中，I为截面转动惯量，b为矩形截面的宽度，h为矩形截面的高度。

2.剪切应力计算除了弯曲应力外，悬臂梁还会受到剪切应力的作用。

剪切应力是指梁截面内部不同层次之间的相对滑动所产生的应力。

计算剪切应力可使用剪切应力公式：τ=(V*Q)/(b*I)其中，τ为剪切应力，V为剪力，Q为梁截面的截面模量，b为截面的宽度，I为截面转动惯量。

悬臂梁上的剪力可通过以下公式计算：V=F其中，V为剪力，F为集中荷载。

悬臂梁的截面模量Q可通过以下公式计算：Q=(b*h^2)/6其中，Q为截面模量，b为截面的宽度，h为截面的高度。

二、悬臂梁受集中载荷的变形计算1.弯曲变形计算悬臂梁受到集中载荷作用时，会产生弯曲变形。

弯曲变形是指悬臂梁由于受到集中载荷作用发生的弯曲现象。

计算弯曲变形可使用弯曲变形公式：δ=(M*L^2)/(2*E*I)其中，δ为弯曲变形，M为弯矩，L为悬臂梁的长度，E为弹性模量，I为截面转动惯量。

2.剪切变形计算悬臂梁除了弯曲变形外，还会受到剪切变形的作用。

剪切变形是指梁截面内部不同层次之间的相对滑动所产生的变形。

计算剪切变形可使用剪切变形公式：θ=(V*L)/(G*Q)其中，θ为剪切变形，V为剪力，L为悬臂梁的长度，G为剪切模量，Q为截面模量。

梁的应力计算公式全部解释应力是材料受力时产生的内部力，它是描述材料内部抵抗外部力的能力的物理量。

在工程领域中，计算材料的应力是非常重要的，可以帮助工程师设计和选择合适的材料，以确保结构的安全性和稳定性。

梁的应力计算公式是计算梁在受力时产生的应力的公式，它可以帮助工程师了解梁在不同条件下的应力情况，从而进行合理的设计和分析。

梁的应力计算公式是由弹性力学理论推导而来的，它可以根据梁的几何形状、受力情况和材料性质来计算梁的应力。

在工程实践中，梁的应力计算公式通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力三种类型的应力。

下面将分别对这三种类型的应力计算公式进行详细解释。

1. 弯曲应力计算公式。

梁在受到外部力的作用时，会产生弯曲应力。

弯曲应力是由于梁在受力时产生的弯曲变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = M c / I。

其中，σ表示梁的弯曲应力，单位为N/m^2；M表示梁的弯矩，单位为N·m；c表示梁截面内的距离，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4。

弯曲应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的弯曲应力大小，从而进行合理的设计和分析。

在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的弯曲应力计算公式进行计算。

2. 剪切应力计算公式。

梁在受到外部力的作用时，会产生剪切应力。

剪切应力是由于梁在受力时产生的剪切变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：τ = V Q / (I b)。

其中，τ表示梁的剪切应力，单位为N/m^2；V表示梁的剪力，单位为N；Q 表示梁的截面偏心距，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4；b表示梁的截面宽度，单位为m。

剪切应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的剪切应力大小，从而进行合理的设计和分析。

在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的剪切应力计算公式进行计算。

3. 轴向应力计算公式。

梁在受到外部力的作用时，会产生轴向应力。

轴向应力是由于梁在受力时产生的轴向变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = N / A。

梁的应变计算公式梁是工程中常见的结构元素，用于支撑和承载荷载。

在设计和分析梁的过程中，了解梁的应变是非常重要的。

梁的应变计算公式是一种用于计算梁在受力时产生的应变的公式，它可以帮助工程师们更好地理解梁的性能和行为。

本文将介绍梁的应变计算公式的基本原理和应用，希望能对读者有所帮助。

梁的应变计算公式是根据梁的几何形状和受力情况推导出来的。

在工程中，梁通常受到弯曲、剪切和拉伸等多种受力形式，因此需要综合考虑这些受力情况来计算梁的应变。

首先，我们来看一下梁的应变是如何产生的。

当梁受到外部荷载作用时，梁内部会产生应力，而应变则是由应力引起的。

梁的应变可以分为正应变和剪应变两种。

正应变是指梁在受到拉伸或压缩时产生的应变，而剪应变是指梁在受到剪切力作用时产生的应变。

在实际工程中，我们通常关注的是梁的正应变，因为它直接反映了梁的变形情况。

梁的应变计算公式可以根据梁的几何形状和受力情况来推导。

对于受弯梁来说，其应变可以通过以下公式来计算：ε = -y κ。

其中，ε表示梁的应变，y表示梁截面上的某一点到中性轴的距离，κ表示梁的曲率。

这个公式说明了梁的应变与梁的曲率成正比，与梁截面上的某一点到中性轴的距离成反比。

这个公式的推导过程比较复杂，需要通过弹性力学理论和微分方程来进行推导，这里就不展开讨论了。

在实际工程中，我们可以通过这个公式来计算梁在受力时产生的应变。

首先需要确定梁的几何形状和受力情况，然后通过这个公式来计算出梁在不同位置的应变分布。

这样可以帮助工程师们更好地了解梁的变形情况，从而指导设计和分析工作。

除了受弯梁，对于受拉伸或压缩的梁来说，其应变计算公式也有所不同。

在这种情况下，梁的应变可以通过以下公式来计算：ε = ΔL / L。

其中，ε表示梁的应变，ΔL表示梁的长度变化量，L表示梁的原始长度。

这个公式说明了梁的应变与梁的长度变化量成正比，与梁的原始长度成反比。

这个公式的推导过程也比较复杂，需要通过应变-应力关系和材料力学理论来进行推导。

梁变形与梁应力部分小结一、梁的应力与变形公式1、平面弯曲的正应力σ公式 y Ey I M Zρσσ==研究方法：平面弯曲、纯弯曲平面假设、单向受力假设①变形几何关系（条件、方程）ρεy=（应变沿截面高度的分布规律）y ——截面上某点到中性轴的距离 ②物理关系（条件、方程）ρσyE εE ⋅=⋅= （应力沿截面高度的分布规律）③静力学关系（条件、方程）dAy Ey σdA M0ydA EσdA F A2AZAAN ⎰⎰⎰⎰=⋅====⊗ρρ⎪⎩⎪⎨⎧=⎰中性轴—Z dA y I A 2Z ()4m()⎰=⋅=→AZ Z 0dA y S S 3m 静矩 （中性轴Z 轴通过形心）2、弯曲变形基本公式（方程）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±==22Zdx y d EIM ρρ1（ρ1曲率）3、任一点处弯曲正应力的表达式（对同一截面而言）y I M Z=σ ZI ——截面对中性轴的惯性M ——该截面上的弯矩值 y ——该截面上某点至中性轴之矩 4、平面弯曲剪应力公式 ①基本公式：bI S Fs Z Z *=τ 式中：b ——横截面上要计算剪应力之点处的宽度Z I ——整个截面对中性（形心）轴的惯性矩*ZS ——横截面上距中性轴为y 的横线以外部分截面对中性轴Z 的静矩②横截面上最大剪应力（危险点在中性轴上各点）记忆⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====2maxmax 3ππ16Fs A Fs 34τbh Fs 1.5A Fs23τ查表Z I ：m ax Z S 值（应用）二、平面弯曲强度条件与刚度条件1、弯曲正应力强度条件 []σσ≤=ZW M m ax （对称）[][][][])() ( 2m ax m ax σy y I M y I M Zl 1Z 压拉压拉σσσσσ≤=≤=（不对称）2、弯曲剪应力强度条件 []ττ≤=bI S Fs Z Zmaxmax m ax 危险点均在危险截面的中性轴各点处应力沿截面高度的成抛物线分布规律3、刚度条件（用叠加法求出梁中最大转角与挠度）转角[]θθ≤m ax 、()角度弧度⇒⋅πθ180m ax rad挠度[] max max ωω≤(m) 满足刚度条件三、提高弯曲强度与弯曲刚度的措施1、选择合理的截面（考虑材料力学性质） ①AW Z一般情况该比值越大越合理 工＞＞②铸铁[]压σ＞[]拉 σ，中性轴偏于受拉边 Z (中性轴) 2、合理布置梁的支座和载荷①合理布置梁的支座 ②合理布置梁的载荷 ③等强度梁（变截面梁）m ax m ax τ矩形梁 圆截面梁 工字梁危险点均在危险截面的上、下边缘点处应力沿截面高度成线性分布四、用变形比较法求解超静定（静不定）梁1、确定静定基。

梁的应力及强度计算梁是一种常见的结构元件，用于承受或分配荷载。

在设计和分析梁的过程中，计算梁的应力及强度是非常重要的。

本文将详细介绍梁的应力及强度计算方法。

首先，梁的应力定义为单位面积上的力，用公式表示为：σ=M*y/I其中，σ表示梁的应力，M表示梁的弯矩，y表示距离中性轴的垂直距离，I表示梁的截面惯性矩。

梁的应力通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力。

弯曲应力是由于弯曲力引起的应力，计算公式为：σ_b=M*y/I其中，σ_b表示弯曲应力。

剪切应力是由于纵向剪力引起的应力，计算公式为：τ=V*Q/(b*t)其中，τ表示剪切应力，V表示纵向剪力，Q为形状系数，b为梁的宽度，t为梁的厚度。

轴向应力是由于轴向力引起的应力，计算公式为：σ_a=N/A其中，σ_a表示轴向应力，N表示轴向力，A表示梁的截面积。

梁的强度是指在给定的荷载下梁能够承受的最大应力。

在计算梁的强度时，通常需要将不同种类的应力进行合并。

弯曲强度是指梁在弯曲荷载下的抗弯矩能力。

根据材料的弯曲性能和形状，可以采用破坏理论或变形理论计算梁的弯曲强度。

剪切强度是指梁在剪切荷载下的抗剪切能力。

根据材料的剪切性能和梁的几何形状，可以计算出梁的剪切强度。

轴向强度是指梁在轴向荷载下的抗轴向力能力。

轴向强度的计算通常基于材料的抗拉性能。

在进行梁的应力及强度计算时，还需要考虑其他因素，如材料的弹性模量、断裂韧性和安全系数等。

总之，梁的应力及强度计算是结构设计和分析中必不可少的一部分。

通过合理的计算方法，可以确保梁在荷载下的正常工作和安全使用。

梁的应力公式梁是工程结构中常见的构件，比如桥梁的大梁、房屋的横梁等等。

要了解梁的性能和安全性，就得搞清楚梁的应力公式。

先来说说啥是应力。

应力就好比是梁内部的“力量分布”，它反映了梁在受力时内部各点的受力强度。

想象一下，一根梁被重物压着，它内部的每一部分都在努力抵抗这个压力，而应力就是描述这种抵抗强度的指标。

梁的应力公式有好几种，咱们先从最简单的说起。

对于矩形截面的梁，在受到垂直于轴线的弯矩作用时，正应力的公式是：σ = M*y / I 。

这里的σ就是正应力，M 是弯矩，y 是所求应力点到中性轴的距离，I 是截面惯性矩。

举个例子吧，有一次我去一个建筑工地，看到工人们正在搭建一个厂房的框架。

其中有一根大梁，看上去很粗壮，但我心里就在想，这根梁到底能不能承受住上面的重量呢？这时候我就想到了梁的应力公式。

我走近仔细观察了一下这根梁的截面形状，大致估计了一下它的尺寸。

然后假设上面的重物产生了一个特定大小的弯矩，根据我所知道的公式和估计的参数，试着算了算梁内部的应力分布。

这一算可不得了，我发现如果重物再重一点，或者放置的位置再偏一点，某些部位的应力可能就会超过材料的承受极限，那可就危险啦！再来说说圆形截面的梁。

它的应力公式和矩形截面的有所不同，但原理是类似的。

对于圆形截面，应力的计算也要考虑到弯矩、到圆心的距离以及截面的惯性矩等因素。

在实际工程中，梁的受力情况往往很复杂，可能同时受到弯矩、剪力、扭矩等多种力的作用。

这时候，就得综合运用各种应力公式来进行分析。

比如说，在设计一座钢结构的桥梁时，工程师们不仅要考虑车辆行驶时产生的弯矩，还要考虑风力、地震力等因素产生的影响。

他们会运用先进的计算软件，输入各种参数，然后根据梁的应力公式来计算出每一个部位的应力情况。

如果发现某些部位的应力过大，就需要调整设计，比如增加梁的截面尺寸、改变材料或者优化结构形式。

总之，梁的应力公式是结构工程中的重要工具，它帮助我们设计出安全可靠的梁结构，确保建筑物和各种设施的稳定和安全。