2018年度数学希望杯3100题目,可下载

第十六届（2018年）小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级培训题1、 计算：201891.1 1.91 1.991 1.99991++++个．【答案】原式2018020.920.0920.00920.00009=-+-+-++-个 201920180201920.99994037.00001=⨯-=个9个2、 计算：123201620172016321++++++++++． 【答案】原式()123201622017=++++⨯+ ()()12016201620172017201620171201720161201720174068289=+⨯+=⨯+⨯=⨯+=⨯=3、 计算：2015.20152016.20162017.20172018.20181934.1934++++．【答案】原式2015 1.00012016 1.00012017 1.00012018 1.00011934 1.0001=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ()1.0001201520162017201819341.00011000010001=⨯++++=⨯=4、 已知201300.0000125a =个，201700.00008b =个．求a b a b ⨯+÷．【答案】因为2013020170403000.00001250.000080.00001a b ⨯=⨯=个个个， 20130201700.00001250.000081250081562.5a b ÷=÷=÷=个个，所以40300402900.000011562.51562.500001a b a b ⨯+÷=+=个个． 5、 定义：()a b a b a b ⊕=⨯-+，求()345⊕⊕．【答案】根据题设定义，得()3434345⊕=⨯-+=，()55555515⊕=⨯-+=，所以 ()34515⊕⊕=．6、 定义：a b a b ⊕=⨯，c d d d d d =⨯⨯⨯⨯◎（c 个d 相乘），求()()5837⊕⊕◎．【答案】根据题设定义，得585840⊕=⨯=，37777343=⨯⨯=◎，所以()()5837403434034313720⊕⊕=⊕=⨯=◎．7、定义：1000b a b a b =⨯+个0△，10a b a b=⨯+□（其中，a ，b 都是自然数），求()20181234□△． 【答案】根据题设定义，得原式()2018123100004=⨯+□2018123000420181012300042018012300041250184==⨯+=+=□．8、观察下列数表的规律，求2018是第几行的第几个数?123456789101112131415，，，，，，，，，， 【答案】由数表可知行数即是该行所有数的个数，因为()123631636322016++++=+⨯÷=，即前63行有2016个数，且第63行的最后一个数是2016，所以2018是第64行的第2个数．9、观察下列数的规律，求第2018个数．1201820171201620151，，，，，，【答案】将题设中的数重新分组，每3个数一组．因为201836722÷=，所以第2018个数是第673组的第2个数，于是，第2018个数是201867221675-⨯+=．10、根据下列算式的规律，求第2018个算式的和．23+，37+，411+，515+，619+，【答案】观察发现，第n 个算式是()()141n n ++⨯-，所以，第2018个算式是()()2018142018110090++⨯-=．11、计算机上编程序打印出前10000个大于0的自然数：1，2，3，，10000时，不幸打印机有故障，每次打印数字7或9时，它都打印出x ，其中被打印错误的共有多少个数?【答案】将1~10000想象成四位密码0001、0002~9999、0000，那么恰好每个数位上都有10种变化，共计1010101010000⨯⨯⨯=种变化．现10个数字中去掉了7和9，那么还有8种变化，能够组成正常打印的数有88884096⨯⨯⨯=（个），因此打印错误的有1000040965904-=（个）．12、桌上有一些纸片，每张纸片上都有编号（不是按顺序编的），马小虎同学错把6和69拿倒了，导致这些编号的平均数多出1，问这些纸片共有多少张?【答案】把6拿倒了，变成9；把69拿倒了，还是69，所以马小虎同学把总数多算了3．由于编号的平均数增加1，所以这些纸片共有3张．13、有一串数，最前面的4个数是2，0，1，8，从第5个数起，每一个数都是它前面相邻4个数之和的个位数字，问在这一串数中，会依次出现2，0，1，7这4个数吗?【答案】根据规律，这串数是2，0，1，8，1，0，0，9，0，9，8，6，3，6，3，8，0，7，8，3，呈现的规律是偶偶奇偶奇，而2，0，1，7是偶偶奇奇，按照上述 规律两个奇数不可能相邻，所以不会依次出现2，0，1，7这4个数．14、某工人每小时内需先生产2个A 产品，再生产3个B 产品，最后生产1个C 产品，则第725个产品是哪种产品?【答案】容易得这个工人每小时需生产产品2316++=（个），因为72512065=⨯+，所以，第725个产品是生产第121个小时生产的第5个产品，故它是B 产品．15、著名的哥德巴赫猜想可以陈述为：任意大于2的偶数，都可表示成两个质数之和．将偶数88表示成两个质数的和，有几种表示方法?（a b +和b a +视为同一种表示方法）【答案】88583177129594147=+=+=+=+，共有4种表示方法．16、小华将连续奇数1，3，5，7，9逐个相加，结果是2018．验算时发现漏加了一个数，那么，这个漏加的数是多少?【答案】设题中有n 个数相加，则因为1，3，5，7，9，21n -依次相加，得()1212n n n n +-⨯÷=⨯．而444419362018⨯=＜，454520252018⨯=＞，所以至少有45个数．当有45个数时，最大的是89，202520187-=，所以漏加的数是7．当有46个数时，最大的数是91，464620189891⨯-=＞．所以漏加的数是7．17、A 、B 、C 、D 、E 五个数，每次去掉一个数，将其余下的4个数求平均数，这样计算了5次，得到下面5个数：23，26，30，33，38．求A 、B 、C 、D 、E 的平均数．【答案】5次计算中，A 、B 、C 、D 、E 分别使用了4次，所以A 、B 、C 、D 、E 五个数的和是()2342643043343844150⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=，所以，A 、B 、C 、D 、E 的平均数是150530÷=．18、A 、B 、C 、D 是四个不同的自然数，它们的平均数是8．对它们两两求和，得到5个不同的和：12，15，17，20，x ．求x ．【答案】对A 、B 、C 、D 两两求和，可得到六个和A B +，A C +,A D +，B C +，B D +，C D +．将这四个数两两相加得出六个和数的过程中，A 、B 、C 、D 各用了3次，所以六个和数之和是()84396⨯⨯=，由题设知A 、B 、C 、D 两两求和，得到5个和，这说明①所表示的六个和中有两个和是相等的．用y 表示这个相等的和，则y 只能是12，15，17，20，x 中的一个，且1215172096x y +++++=，从而32x y +=，当y 取12，15，17，20中的一个时，x 也在这四个数中，不符合题意，所以只能是x y =得16x =．19、已知甲和乙的最大公约数是6，最小公倍数是264，求甲、乙两数和的最小值．【答案】因为甲和乙的最大公约数是6，所以甲和乙可分别表示为6a 和6b ，且a 和b 互质，因为甲和乙的最小公倍数是264，且26462211=⨯⨯⨯，所以2211a b ⨯=⨯⨯，若1a =，44b =，则甲、乙两数的和是61644270⨯+⨯=；若4a =，11b =，则甲、乙两数的和是6461190⨯+⨯=．比较可知，甲、乙两数和的最小值是90．20、求201620172018⨯⨯的所有不同质因数的和．【答案】因为522016237=⨯⨯，2017是个质数，201821009=⨯，所以201520162017⨯⨯的不同质因数有：2，3，7，1009，2017，共5个．它们的和是237100920173038++++=．21、将一个自然数的各位数字反次序排列所得的自然数称为原数的反序数．如5位数13245的反序数为54231，11722的反序数是22711等．如果一个5位数n 的反序数是4的倍数，则这样的n 最小的一个是多少，最大的一个是多少． 【答案】五位数abcde 被4整除的充要条件是de 能被4整除．故n 最小的一个是21001，最大的一个是88999．22、求能写成四个连续自然数的和的最小三位数．【答案】设第一个自然数为a ，则这4个自然数为a ，1a +，2a +，3a +，其和为 ()()()123442a a a a a ++++++=++，即这四个连续自然数的和减去2所得的差是4的倍数，因为100425÷=，所以，能写成四个连续自然数的和的最小三位数是102．23、已知三位数1ab 和1ab 的差是639，求ab ． 【答案】根据题设，得1ab 比1ab 大，所以()()1110010110010ab ab a b a b -=++-++ 90999a b =+-，于是90999639a b +-=，整理得1082a b +=，即82ab =．24、3333312320172018+++++的个位数字是多少?（注：3a a a a =⨯⨯）【答案】当一个数的尾数依次是1，2，3，4，5，6，7，8，9，0时，3个这样的数相乘所得的商的个位数字依次为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0，将这10个数作为一组，这组数的和的个位数字是5．因为2018102018÷=，且 ()2015187456321041⨯++++++++=，所以3333312320172018+++++的个位数字是1． 25、20182018201820182018⨯⨯⨯个的个位数字是多少?【答案】2018的个位数字是8；2个2018相乘，乘积的个位数字是4；3个2018相乘，乘积的个位数字是2；4个2018相乘，乘积的个位数字是6；5个2018相乘，乘积的个位数字是8；所以，n 个2018相乘，n 取1，2，3，4，5，时，所得积的个位数字分别是8，4，2，6，8，即所得积的个位数字每4个为一周期，重复出现，因为20184=5042÷，所以，“2018个2018相乘所得积的个位数字”与“2个2018相乘所得积的个位数字”相同，即为4．26、31008A B =⨯，其中A 、B 均为自然数，B 的最小值是多少?（注：3A A A A =⨯⨯）【答案】因为421008237=⨯⨯，所以，B 的最小值是22237588⨯⨯=．27、求有16个约数的最小的自然数．【答案】要使这个数尽量小，所取的质因数应该尽量小．若这个数只有一个质因数，则最小的数是152，若这个数有2个质因数，且162844=⨯=⨯，则这个数可能是723⨯，或3323⨯，若这个数有3个质因数，且16224=⨯⨯，则这个数可能是3235⨯⨯，若这个数有4个质因数，且162222=⨯⨯⨯，则这个数可能是2357⨯⨯⨯，比较可知3235120⨯⨯=是最小的．28、若4037位数201852018955559999a 个个能被7整除，求a ．【答案】因为111111158737=⨯，所以5555555111111=⨯，9999999111111=⨯都能被7整除，又201863362÷=，所以201655555个和201699999个能被7整除，因为201852018920165202102016020169555599995555100005599100009999a a =⨯+⨯+个个个个个个，所以5599a 能被7整除，因为995544a a -=，所以44a 能被7整除，因为644792=⨯，所以6a =．29、若五位数1624□能被11整除，求□所表示的数字．【答案】若一个数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差是11的倍数，则这个数是11的倍数．因为五位数1624□偶数位上数字和是628+=，奇数位上数字和是145++=+□□，它们的差是3-□，或3-□，所以，3-□，或3-□是11的倍数，只能是3=□．故□所表示的自然数是3．30、求2018位数201855555个除以13所得的余数．【答案】因为5555551342735÷=，且201863362÷=，所以201855555个除以13所得的余数与55除以13所得的余数相同，因为551343÷=，所以201855555个除以13所得的余数是3． 31、求12342019+++++除以9所得的余数．【答案】因为()1234201920191201922039190+++++=+⨯÷=，且 203919092265766÷=．另解任意连续9个自然数的和都能被9整除，201992243÷=，余数必然是1236++=．32、求2017位数201777777个除以30所得的余数．【答案】因为30235=⨯⨯，故先考虑201777777个除以2，3，5所得的余数．易得201777777个除以2所得的余数是1，因为201777777个的各位数字之和为72017⨯，所以201777777个除以3所得的余数是1，又201777777个除以5所得的余数等于7除以5所得的余数，所以201777777个除以5所得的余数是2，又因为在小于30的数中，同时满足除以2所得的余数是1，除以3所得的余数是1，除以5所得的余数是2的数只有7，所以201777777个除以30所得的余数是7．33、某一个自然数分别去除25，38，43，所得的三个余数之和为18，求这个自然数．【答案】由题设，得这个自然数显然小于26，否则25除以这个自然数所得的余数是25，大于18，又由1836÷=，可知这个自然数大于6．因为2543381888++-=，所以，88是所求自然数的整数倍，而88大于6，小于26的约数有8，11或22．经验算，只有11满足条件，故这个自然数是11．34、六位数2018ab ，被5除余1，被11除余8，求ab ．【答案】因为2018ab 被5除余1，所以20181ab -是5的倍数，所以b 只能取1或6；又2018ab 被11除余8，所以20183ab +是11的倍数，所以()()2018311201803111011ab a b +÷=÷+⨯+÷()1834510811a b =+⨯++÷，所以 108a b ⨯++是11的倍数，当1b =时，109a ⨯+是11的倍数，此时，a 只能取9，当6b =时，1014a ⨯+是11的倍数，此时，a 只能取3，故91ab =，或36ab =．35、已知四位数abcd 除以2，3，4，5，6，7所得的余数互不相同（都不是0），求abcd 的最小值．【答案】因为在除法运算中，余数一定比除数小， 所以四位数abcd 除以2，所得的非零余数只能是1，除以3，所得的非零余数可能是1或2，因为四位数abcd 除以2，3所得的余数互不相同， 所以四位数abcd 除以3，所得的余数只能是2． 同理可得，四位数abcd 除以4，5，6，7，所得的余数依次为3，4，5，6， 于是有1abcd +可以同时被2，3，4，5，6，7整除，即1abcd +是2，3，4，5，6，7的倍数，[2，3，4，5，6，7]420=，4202840⨯=，42031260⨯=，所以abcd 的最小值是126011259-=．36、若两位数xy xy AABB ⨯=，求xy ．【答案】因为110AABB A B =⨯，所以AABB 是11的倍数，因为11是质数，所以xy 也是11的倍数，又xy xy AABB ⨯=，所以0A B 也是11的倍数． 设011A B ab =⨯，则ab 是完全平方数，且10a b +=，满足条件的ab 只有64，所以 0704A B =，88xy =．验算88887744⨯=，满足条件．37、字母W 、M 、T 、C 分别代表4个不同的数字，并且2017WW MM WT C ⨯++=，求W M T C +++的值． 【答案】由2017WW MM WT C ⨯++=，得()11112017W M WT C ⨯⨯⨯++=，又()201711111681÷⨯=，所以7W =，11T C +=，16W M ⨯=，或8W =，1T C +=，16W M ⨯=，可推出2882W M ⨯=⨯=⨯，故8W =，2M =，1T C +=，因此82111W M T C +++=++=．38、字母a ，b ，c 表示3个不同的非零数字，若724abc bc c ++=，求a b c ++．【答案】因为724abc bc c ++=，即1001010724a b c b c c ⨯+⨯++⨯++=，也即100203724a b c ⨯+⨯+⨯=，因为3只有与8的积的个位数字是4，所以c 必是8， 于是1002024724a b ⨯+⨯+=，因此10020700a b ⨯+⨯=，即10270a b ⨯+⨯=，又2与0，5的积的个位数字都是0，所以5b =（舍去0b =），对应地6a =，从而65819a b c ++=++=，故所求和是19．39、已知()()()12143S n n n k =⨯-⨯-⨯⨯++，若k 是1至200之间的自然数，n 是大于2的自然数，则有多少个不同的k ，使得S 是两个相同自然数的乘积．【答案】当3n =时，49S k =+，设S x x =⨯，则()()()94334k x x x x =⨯-÷=+-÷，由k 是自然数，得x 是大于3的奇数，因为()()2732734180200+-÷=＜，()()2932934208200+-÷=＞，所以，x 可取的值有()273212-÷=（个），对应地，当3n =时，满足条件的k 的值有12个； 当3n ＞时，因为432124⨯⨯⨯=，所以()()121n n n ⨯-⨯-⨯⨯是4的倍数， 记()()1214n n n p ⨯-⨯-⨯⨯=（p 是大于等于6的自然数），则()43S k p =++， 因为任何自然数的4倍加上3都不能写成两个相同自然数的乘积，所以，当3n ＞时，不存在满足条件的k ．综上，有12个不同的k ，使得S 是两个相同自然数的乘积．40、用一块橡皮泥捏一个表面积是64的长方体，使它的长、宽、高都是整数，则可以捏出多少种不同的长方体?【答案】设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则由题设得64222a b a c b c =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯，即32a b a c b c =⨯+⨯+⨯，因为长方体的长、宽、高都是整数，所以，若1a =，则32b c b c =++⨯，经试验，只有当2b =，10c =，或10b =，2c =时，满足条件，①注意到长、宽、高互换时，是同一长方体，故记为一种长方体；若2a =，则3222b c b c =⨯+⨯+⨯，经试验，只有当1b =，10c =，或10b =，1c =时，满足条件，与①是同一种长方体；若3a =，则3233b c b c =⨯+⨯+⨯，经试验，不存在整数宽和高满足条件；若4a =，则3244b c b c =⨯+⨯+⨯，经试验，只有当2b =，4c =或4b =，2c =时，满足条件；②若5a =，则3255b c b c =⨯+⨯+⨯，经试验，不存在整数宽和高满足条件；若6a =，则3266b c b c =⨯+⨯+⨯，经试验，不存在整数宽和高满足条件；若7a =，则3277b c b c =⨯+⨯+⨯，经试验，只有当2b =，2c =时，满足条件；③ 若8a =，则3288b c b c =⨯+⨯+⨯，经试验，不存在整数宽和高满足条件；若9a =，则3299b c b c =⨯+⨯+⨯，经试验，不存在整数宽和高满足条件；若10a =，则321010b c b c =⨯+⨯+⨯，经试验，只有当1b =，2c =或2b =，1c =时，满足条件，与①是同一长方体；当a 取其它值时，不存在整数宽和高满足条件．综上，满足条件的长方体有3种．41、已知两位数ab 与ba 的差是45，求满足条件的ab 的个数．【答案】因为()()()1010945ab ba a b b a a b -=+-+=-=，所以5a b -=， 因此，满足条件的ab 有16，61，27，72，38，83，49，94，共8个．42、五位数273ab 既能被3整除，又能被7整除，求满足条件的五位数的个数．【答案】因为27300211300÷=，所以两位数ab 也能被21整除，所以，满足条件的五位数有27300，27321，27342，27363，27384，共5个．43、若1009abc cba +=，则这样的abc 有多少个?【答案】因为()()()1001010010101201009abc cba a b c c b a a c b+=+++++=++=，所以()101a c +的个位数是9，只能是9a c +=，所以20100b =，于是5b =，这样的abc 有8个：158，257，356，455，554，653，752，851．44、6个互不相同的非零自然数的平均数是12，若将其中一个两位数ab 换为ba （a ，b 是非零数字），那么这6个数的平均数变为18，求满足条件的ab 的个数．【答案】由题设得()()()101018126b a a b +-+=-⨯，即()936b a -=，所以4b a -=，于是当1a =时，5b =，15ab =，51ba =，当2a =时，6b =，26ab =，62ba =，当3a =时，7b =，37ab =，73ba =，当4a =时，8b =，48ab =，84ba =，当5a =时，9b =，59ab =，95ba =，又因为6个自然数互不相同，所以ab 最大为()1261234557⨯-++++=， 同理，得ba 最大为()1861234593⨯-++++=， 所以，满足题设的ab 有15，26，37，48，共4个．45、在1~300（包括1和300）的自然数中，既不能写成两个相同自然数的乘积，也不能写成三个相同自然数的乘积的数有多少个?【答案】因为111⨯=，224⨯=，4416⨯=，1717289⨯=，1818324⨯=，且1111⨯⨯=，2228⨯⨯=，33327⨯⨯=，666216⨯⨯=，777343⨯⨯=，即在1~300的自然数中，能写成两个相同自然数的乘积的数有17个，能写成三个相同自然数的乘积的数有6个，其中，即能写成两个相同自然数的乘积，也能写成三个相同自然数的乘积的数有2个，即1和64，所以，满足条件的数共有3001762279--+=（个）．46、已知四位数abcd ，b c a d ＜＜＜，10a b c d +++=，a ，d 和abcd 都是质数，求这个四位数．【答案】因为a 是一位数字，并且是质数，所以a 是2，3，5，7之一．如果2a =，则由b c a ＜＜，知0b =,1c =,由10a b c d +++=，得7d =，于是2017abcd =． 如果3a =，则由b c a ＜＜，得1b =，2c =，或0b =，2c =或0b =，1c =，又10a b c d +++=，所以4d =，或5d =，或6d =，因为d 也是质数，于是3a =，0b =，2c =，5d =，因此3025abcd =，3025是合数．如果5a =，则由a d ＜，得d 最小是6，此时1110a d +=＞，与10a b c d +++=矛盾，所以5a =不合题意．同理，7a =也不合题意．综上可知，2017abcd =．47、已知□、○、△分别代表不等于0的不同数字，若等式77⨯+⨯□□○△□2018=恒成立，求□+○+△的值．【答案】先估算一个接近2018的数，以减少试算的次数．因为703021002018⨯=＞，所以□代表的数字应该小于3，即□代表的数字只能是1或2． 当□=1时，7117112072018⨯+⨯=+=○△○△，则811=○△，○△表示两位数，而811是三位数，矛盾；当2=□时，72272194422018⨯+⨯=+⨯=○△○△，则37=○△，因此2=□，3=○，7=△，故23712=++=□+○+△．48、数一数，图1中共有多少个三角形?【答案】由1个三角形构成的三角形有16个，由1个三角形和1个四边形构成的三角形有16个，由2个三角形和1个四边形构成的三角形有16个，由5个三角形、2个四边形和1个八边形构成的三角形有8个，所以，图中共有三角形161616856+++=（个）．49、图2中共有多少个三角形?【答案】易得图中共有12个彼此没有重合部分的小三角形，由2个小三角形构成的三角形有8个，由3个小三角形构成的三角形有12个，由4个小三角形构成的三角形有4个，由6个小三角形构成的三角形有4个，所以，图中共有三角形128124440++++=(个)．50、图3中有6个11⨯的小正方形，它们共有12个顶点．从中取出3个，作为三角形的顶点，问：这些三角形中，面积是1的有多少个?【答案】首先，由面积公式12112S=⨯⨯=，可知（1）以图17中的粗线段为底边时，顶点可以选4个黑点中的任意一个，此时，有4个这样的三角形，将底边向右移动一个单位，又有4个这样的三角形，，此图中共有42⨯个这样的三角形．同理，底边在大长方体的最上边的橫边上，又有42⨯个这样的三角形．而图中这样的大长方形有2个，所以共有三角形422232⨯⨯⨯=（个）．（2）如图18，类似（1），长方形如果竖起来，共有三角形32318⨯⨯=（个）．（3）以图19中的粗线段为底边时，去掉与（2）重复的，顶点可以选2个黑点中的任意一个，此时，有2个这样的三角形，将底边向右移动一个单位，又有2个这样的三角形，，此图中共有23⨯个这样的三角形．同理，底边在大长方形的最上边的橫边上，又有23⨯个这样的三角形，所有共有三角形23212⨯⨯=（个）．（4）以图20中的粗线段为底，去掉与（1）重复的，顶点只有1种选法，有1个这样的三角形，将底边往下移一个单位，又有1个这样的三角形，此图中共有2个这样的三角形．同理，如果将大正方形的最右边的边作为底，有2个三角形．而图中这样的大正方形有2个，所以共有三角形2228⨯⨯=（个）．故32⨯的正方形中，面积为1的三角形共有321812870+++=（个）．51、如图4，在正方形网格中有一个三角形，问图中含有三角形的正方形有几个?【答案】由1个小正方形构成的有三角形的正方形有1个；由4个小正方形构成的有三角形的正方形有4个；由9个小正方形构成的有三角形的正方形有4个；由16个小正方形构成的有三角形的正方形有4个；由25个小正方形构成的有三角形的正方形有1个．故含有三角形的正方形共有14个．52、把一副三角尺ABC与BDE按如图5所示拼在一起，其中A、D、B三点在同一直线上．BM为ABC∠的平分线，BN为CBE∠的平分线，求MBN∠的度数．【答案】因为60ABC∠=︒，且BM为ABC∠的平分线，所以260230CBM MBA ABC ∠=∠=∠÷=︒÷=︒，因为6090150CBE ABC DBE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，所以150275CBN NBE ∠=∠=︒÷=︒，故753045MBN CBN CBM ∠=∠-∠=︒-︒=︒．53、如图6，从左到右六个三角形的面积分别是1，2，3，4，5，6，相邻的两个三角形有部分重合，求灰色区与黑色区的面积的差．【答案】灰色区的面积加上5块白色三角形的面积，即为面积为1，3，5的3个三角形的面积和，黑色区的面积加上5块白色三角形的面积，即为面积为2，4，6的3个三角形的面积和．所以，灰色区与黑色区的面积的差是()()2461353++-++=．54、如图7，将一个正方形分割成两个相同的，若分成的两个可以组成一个周长是26的长方形，求这个正方形的面积．【答案】如图21所示，正方形分割后可以拼成一个长方形ABCD ，根据题意可知AE GH FC ==，EG HF =，BE BC HF =+,所以23AE FH =．因为长方形的周长是26，所以()226AE BE BC ++=，所以1326FH =，所以正方形的边长为36FH =，故所求正方形的面积是6636⨯=．55、如图8，小正方形的面积是1，求图中阴影部分面积．【答案】阴影部分的面积等于正方形的面积减去3个三角形的面积，即44142332342 3.5⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=．56、如图9，AD DC =，3EB CE =，若3CDPE S =四边形，4PBE DAP S S -=△△，求折线APBCA 所围成的图形的面积．【答案】如图22，连接CP ．因为AD DC =，3EB CE =，所以CDP DAP S S =△△，3PBE PEC S S =△△，设DAP S a =△，PEC S b =△，则3CDPE S a b =+=四边形，34PBE DAP S S b a -=-=△△，两式相加，得47b =，即 1.75b =，所以33 1.75 1.25a b =-=-=，故阴影部分的面积为33 1.253 1.7539.5DAP PBE CDPE S S S a b ++=++=++⨯=△△四边形．57、如图10，正方形ABCD 中，正方形AEFG 的面积是4，长方形EBHF 的面积是8，长方形IHCJ 的面积是6，求FID △的面积．【答案】正方形AEFG 的面积是4，可知正方形AEFG 的边长是2，所以，正方形ABCD 的边长是2826+÷=，从而，长方形IHCJ 的长是624-=，宽是64 1.5÷=，因此62 1.5 2.5FI =--=，FID △在FI 上的高等于长方形IHCJ 的长，即为4，故FID △的面积 2.5425=⨯÷=．58、如图11，在ABC △中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，且图中两个阴影部分（甲和乙）的面积差是504.25，求ABC S △．【答案】如图23，记BE 与CD 相交于O 点，因为504.25S S -=甲乙，所以()()504.25COE COE S S S S +-+=甲△乙△，即504.25BCE DCE S S -=△△．又D 、E 是中点，即12BCE ABC S S =△△，1124DCE ADC ABC S S S ==△△△，所以 11504.2524ABC ABC S S -=△△，故4504.252017ABC S =⨯=△．59、如图12所示，一个多边形的每条边长是1cm ，一共有12条边；空白部分是正三角形，一共有12个．求阴影部分的面积．【答案】如图24，阴影部分可以分为12个完全相同的平行四边形：每个平行四边形的面积为10.50.5⨯=（平方厘米），因此阴影部分的总面积为0.5126⨯=（平方厘米）．60、一张圆形纸沿直径对折后，在它上面画三条直线，按照所画直线切三刀．由于所画直线不同，可以把圆纸切成的块数也不同．那么这张纸片最少被切成了多少块，最多被切成了多少块?【答案】至少4块，至多13块，切法如图25．61、一组积木组成的图形，从正面看是，从侧面看是，若这组积木是用n 块相同的正方体木块摆出来的，则n有几种取值?【答案】如图26，根据题设条件，n最小是3，最大是9，则n的取值可以是3，4，5，6，7，8，9，共7种．62、如图13的几何体是由8个棱长是1的正方体小立方体搭成的，求几何体的表面积（包括底面）．【答案】从前面、后面、左面、右面、上面和下面看，这个几何体的表面积都是5，且从前面、后面、左面、右面看，都隐藏了1个面，所以，这个几何体的表面积是⨯+⨯=．56143463、如图14是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对两个面上的数值的和都等于34，求a b c-⨯．【答案】由题意，得32177410321934c=，b=，1a b a b c++=-+=+-+=，解得5a=，4所以5411a b c -⨯=-⨯=．64、如图15，矩形ABCD 中，F 为BC 的中点，2CE DE =，矩形ABCD 的面积为3，求阴影部分的面积．【答案】设DE a =，CF b =，则2CE a =，所以11222CEF S CE CF a b ab ==⨯⨯=△， 12322BCD CEF S S S b a ab ab =-=⨯⨯-=△△阴影．而326S a b ab =⨯=矩形，故矩形面积是阴影面积的3倍，阴影面积为1．65、在边长是1米的正六边形内任意丢放7颗小石子，则总有两颗小石子的距离不大于1米，请说出理由．【答案】如图28，连接正六边形的对角线，将这个正六边形分为6个边长都是1米的小等边三角形．把7颗小石子丢进这6个小等边三角形，则必有一个小等边三角形中至少有两颗小石子．这两颗小石子之间的距离不会超过小等边三角形的边长．故总有两颗小石子的距离不大于1米．66、某次考试共有10道判断题．小张划了5个钩和5个叉，结果对了8道；小李划了2个钩和8个叉，结果对了6道；小王一道不会，索性全部打叉，那么他至少可以蒙对多少道题?【答案】小张只错了2道题，那么他的5个叉里，至少有3个是对的，小李错了4道题，那么他的8个叉里，至少有4个是对的，因此小王全部打叉，至少可以蒙对4道题．67、两个瓶中小球的数量相等，且都只有黑、白两种颜色．已知第一个瓶子中白球的个数是黑球的4倍，第二个瓶子中黑球的个数是白球的7倍，若两个瓶中一共有111个白球，则第二个瓶中有黑球多少个?【答案】已知第一个瓶子中白球的个数是黑球的4倍，第二个瓶子中黑球的个数是白球的7倍，所以可设每个瓶中小球为()()141740+⨯+=（份），则第一个瓶中有白球()4014432÷+⨯=（份），第二个瓶中有白球()401715÷+⨯=（份）， 两个瓶中一共有白球32537+=（份），为111个，所以，1份有小球111373÷=（个），故第二个瓶中有黑球()401773105÷+⨯⨯=（个）．这五位同学了解的情况，每人只有1项是正确的，请判定这位新同学的情况．【答案】若这位新同学姓季，由班干A 、C 两人了解的后三种情况一样，则这位新同学姓陈，互相矛盾，所以这位新同学不姓季，也不姓陈．若这位新同学姓张，则他不是女生，上学期语数英总成绩不是220分，也不是240分，不擅长跳舞，也不擅长唱歌，那么这位新同学是男生，上学期语数英总成绩260分，擅长画画，这样班干A 和C 了解的情况两项都是正确，产生矛盾．因此，这位新同学姓黄，由班干D 了解的情况，这位新同学是男生，对照班干A 、D 了解的情况可知，上学期语数英总成绩不是220分和260分，不擅长画画，也不擅长唱歌． 综上，这位新同学姓黄，男生，上学期语数英总成绩240分，擅长跳舞．69、若2017abcd abc ab a +++=，求四位数abcd ．【答案】根据题设列竖式：2017a b c da b ca b a+由和的千位数字是2，可知1a =（百位进位）或2a =（百位不进位），但和的百位数字是0，故百位一定会产生进位，于是1a =；当1a =时，由和的百位数字是0，可知8b =（舍去9b =，这和十位需向百位进位矛盾）；进一步可得1c =，7d =．所以1817abcd =．70、如图16的加法竖式中共有9个空格，在每个空格中填入6，7，8，9四个数字中的一个，使得竖式成立．共有多少种不同的填法?201716□□□□□□+□□□图【答案】加法竖式中共有3个加数，这3个加数个位上都取6时，个位上的数字和最小，为18，个位上都取9时，个位上的数字和最大，为27，所以，这3个加数个位上的数字和是18~27的自然数，同理，这3个加数十位和百位上的数字和也是18~27的自然数，由于3个加数的总和是2017，所以个位数字和为27，十位数字和为19，百位数字和为18． 根据整数分拆27999=++，19667=++，18666=++，所以，个位的填法只有()999，，1种；十位的填法有()667，，，()676，，，()766，，，共3种；百位的填法只有()6661，，种；所以，这三个数不同的的的填法有1313⨯⨯=（种）．71、今年，爸爸的年龄是小林年龄的11倍；7年后，爸爸的年龄是小林年龄的4倍．求今年爸爸和小林的年龄．【答案】因为()()⨯=，所以今年爸爸33岁，小林3岁．⨯-÷-=，11333741114372、用数字1，2，3和小数点可以组成多少个小数?要求三个数字都用上．若三个数字允许不全取呢?【答案】若三个数字都用上，且先不考虑小数点，则可组成6个数：123，132，213，231，312，321．加上小数点后，123可以变为1.23或12.3，其它各数亦如此．故此情况下，可组成2612⨯=个小数；若三个数字允许不全用，有以下几种情况：（1）三个数字都取，则由上分析可得12个数；（2）若取两个数字可组成6个数：12，21，13，31，23，32，加上小数点，可组成6个小数；（3）取一个数字无法加小数点，共可组成12618+=个小数．综合以上可知，前一个答案为12，后一个答案为18．73、7只猴子分一箱栗子，每只猴子所得彼此不同，分得最多的猴子得了50颗，那么这箱栗子最多有多少颗?【答案】因为这箱栗子有7只猴子分，每只猴子所得彼此不同，最多分得50颗，所以最少应分得507144-+=颗．于是这箱栗子最多有()++=+⨯÷=（颗）．50494450447232974、某架天平秤，只有整千克数的砝码，称三个青苹果或五个黄苹果或7个红苹果，其质量恰好都是整千克数，要是1个青苹果、1个黄苹果、1个红苹果这三个苹果的质量就不是整千克数了，如果按四舍五入法取近似值约是1.16千克，那么3个青苹果、5个黄苹果和7个红苹果的质量分别是多少千克．【答案】设3个青苹果重a千克，5个黄苹果重b千克，7个红苹果重c千克．则根据题意1.155357 1.165≤÷+÷+÷＜，a b c即()()a b c≤⨯+⨯+⨯÷⨯⨯＜，1.155352115357 1.165即121.275352115122.325≤⨯+⨯+⨯＜．a b c又根据题意a，b，c均为整千克数，所以352115122a b c⨯+⨯+⨯=，经试验1c=，a=，2b=，3即3个青苹果1千克，5个黄苹果2千克，7个红苹果重3千克．75、2017年首届“希望杯”总决赛，这次的参赛人数不足千人．如果按3人，5人，7人一组分组，均多出1人；如果按23人一组分组正好分完，求参赛人数．【答案】人数分别除以3，5，7均余1，则这个数可以表示为1051x+，因为这个数小于1000，所以10511000x+＜，于是x只能取1，2，3，，9，经验证，只有当7x=，即这个数是736时，这个数是23的倍数，故参赛人数为736人．76、王老师买来了132支铅笔、75本作业本和37个削笔器，将它们分成完全相同的若干份奖品，最后铅笔、作业本和削笔器剩余的数量相同．那么，王老师最多分了多少份奖品? 【答案】由题设条件，得132，75，37三个数的差都是奖品份数的倍数，即57，95，38都是奖品份数的倍数，因为57，95，38的最大公约数是19，所以王老师最多分了19份奖品，且每份奖品有6支铅笔、3本作业本和1个削笔器．77、王处长从东北捎来一袋苹果，如果分给甲、乙两个科室的人员，每人可分得6个；如果只分给甲科室的人员，每人可分得10个．问：如果只分给乙科室的人员，每人能分得多少个?。

第16届希望杯五年级考前训练100题学前知识点梳理“希望杯”全国数学邀请赛进行考前特训，主要学习内容有：1、整数的四则运算，运算定律，简便运算，等差数列求和。

2、基本图形，图形的拼组合（分、合、移、补），图形的变换，折叠与展开。

3、角的概念与度量，长方形、正方形的周长和面积，平行四边形、梯形的概念和周长计算。

4、整除概念，数的整除特征，带余数除法，平均数。

5、小数意义和性质，分数的初步认识（不要求运算）。

6、应用题（植树问题、年龄问题、鸡兔同笼、盈亏问题、行程问题）。

7、几何计数（数图形），找规律，归纳，统计，可能性。

8、数谜，分析与推理，数位，十进制表示法。

9、生活数学（钟表、时间、人民币、位置与方向、长度、质量的单位）。

考前100题选讲1.计算:1.1+1.91+1.991+……+201891.99个991。

2.计算:1+2+3+…+2016+2017+2016+…+3+2+1。

3.计算:2015.2015+2016.2016+20172017+2018.2018+1934.1934。

4.已知a=20130.125个00000，b=20170.8个00000。

求a ×b+a ÷b 。

5.定义:a ⊕b=a ×b 一（a+b)，求（3⊕4)⊕5。

6.定义:a ⊕b=a ×b.c ◎d=d ×d ×d ×…×d （c 个d 相乘），求（5⊕8)⊕（3◎7）。

7.定义a △b=a ×b 1个00000+b ，a 口b=a ×10+b （其中，a ，b 都是自然数），求2018口（123△4)8.观察下列数表的规律，求2018是第几行的第几个数？9.观察下列数的规律，求第2018个数。

10.根据下列算式的规律，求第2018个算式的和。

2+3，3+7，4+11，5+15，6+19，…11.计算机上编程序打印出前10000个大于0的自然数:1，2，3…，10000时，不幸打印机有故障，每次打印数字7或9时，它都打印出x。

第 16 届希望杯考前训练100 题学前知识点梳理“希望杯”全国数学邀行考前特，主要学内容有：1、整数的四运算，运算定律，便运算，等差数列求和。

2、基本形，形的拼合（分、合、移、），形的，折叠与张开。

3、角的看法与胸襟，方形、正方形的周和面，平行四形、梯形的看法和周算。

4、整除看法，数的整除特色，余数除法，平均数。

5、小数意和性，分数的初步（不要求运算）。

6、用（植、年、兔同、盈、行程）。

7、几何数（数形），找律，，，可能性。

8、数，解析与推理，数位，十制表示法。

9、生活数学（表、、人民、地址与方向、度、量的位）。

考前 100 题选讲1. 算 :1.1+1.91+1.991+ ⋯⋯ +991。

142 432018 个 92. 算 :1+2+3+ ⋯ +2016+2017+2016+⋯+3+2+1。

3. 算。

4.已知a=0.00L 00125 ，b=0.00L 008。

求a×b+a÷b。

14243142432013个 02017 个 0 5. 定 :a ⊕b=a× b 一（ a+b) ，求（ 3⊕ 4) ⊕ 5。

6.定 :a ⊕b=a× b.c ◎ d=d×d× d×⋯× d（ c 个 d 相乘），求（ 5⊕8) ⊕（ 3◎ 7）。

7. 定 a△b=a×100L00+b，a口b=a×10+b（其中，a，b都是自然数），求2018 口（ 123△ 4)14 243b个 08. 察以下数表的律，求2018 是第几行的第几个数？9. 察以下数的律，求第2018 个数。

1， 2018， 2017， 1，2016， 2015， 1，⋯10. 依照以下算式的律，求第2018 个算式的和。

2+3， 3+7，4+11， 5+15， 6+19，⋯11.算机上程序打印出前 10000 个大于 0 的自然数 :1 ， 2， 3⋯， 10000 ，不幸打印机有故障，每次打印数字7 或 9 ，它都打印出x。

第十六届（2018年）小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级培训题1、 计算：201891.1 1.91 1.991 1.99991++++个．【答案】原式2018020.920.0920.00920.00009=-+-+-++-个 201920180201920.99994037.00001=⨯-=个9个2、 计算：123201620172016321++++++++++． 【答案】原式()123201622017=++++⨯+ ()()12016201620172017201620171201720161201720174068289=+⨯+=⨯+⨯=⨯+=⨯=3、 计算：2015.20152016.20162017.20172018.20181934.1934++++．【答案】原式2015 1.00012016 1.00012017 1.00012018 1.00011934 1.0001=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ()1.0001201520162017201819341.00011000010001=⨯++++=⨯=4、 已知201300.0000125a =个，201700.00008b =个．求a b a b ⨯+÷．【答案】因为2013020170403000.00001250.000080.00001a b ⨯=⨯=个个个， 20130201700.00001250.000081250081562.5a b ÷=÷=÷=个个，所以40300402900.000011562.51562.500001a b a b ⨯+÷=+=个个． 5、 定义：()a b a b a b ⊕=⨯-+，求()345⊕⊕．【答案】根据题设定义，得()3434345⊕=⨯-+=，()55555515⊕=⨯-+=，所以 ()34515⊕⊕=．6、 定义：a b a b ⊕=⨯，c d d d d d =⨯⨯⨯⨯◎（c 个d 相乘），求()()5837⊕⊕◎．【答案】根据题设定义，得585840⊕=⨯=，37777343=⨯⨯=◎，所以()()5837403434034313720⊕⊕=⊕=⨯=◎．7、定义：1000b a b a b =⨯+个0△，10a b a b=⨯+□（其中，a ，b 都是自然数），求()20181234□△． 【答案】根据题设定义，得原式()2018123100004=⨯+□2018123000420181012300042018012300041250184==⨯+=+=□．8、观察下列数表的规律，求2018是第几行的第几个数?123456789101112131415，，，，，，，，，， 【答案】由数表可知行数即是该行所有数的个数，因为()123631636322016++++=+⨯÷=，即前63行有2016个数，且第63行的最后一个数是2016，所以2018是第64行的第2个数．9、观察下列数的规律，求第2018个数．1201820171201620151，，，，，，【答案】将题设中的数重新分组，每3个数一组．因为201836722÷=，所以第2018个数是第673组的第2个数，于是，第2018个数是201867221675-⨯+=．10、根据下列算式的规律，求第2018个算式的和．23+，37+，411+，515+，619+，【答案】观察发现，第n 个算式是()()141n n ++⨯-，所以，第2018个算式是()()2018142018110090++⨯-=．11、计算机上编程序打印出前10000个大于0的自然数：1，2，3，，10000时，不幸打印机有故障，每次打印数字7或9时，它都打印出x ，其中被打印错误的共有多少个数?【答案】将1~10000想象成四位密码0001、0002~9999、0000，那么恰好每个数位上都有10种变化，共计1010101010000⨯⨯⨯=种变化．现10个数字中去掉了7和9，那么还有8种变化，能够组成正常打印的数有88884096⨯⨯⨯=（个），因此打印错误的有1000040965904-=（个）．12、桌上有一些纸片，每张纸片上都有编号（不是按顺序编的），马小虎同学错把6和69拿倒了，导致这些编号的平均数多出1，问这些纸片共有多少张?【答案】把6拿倒了，变成9；把69拿倒了，还是69，所以马小虎同学把总数多算了3．由于编号的平均数增加1，所以这些纸片共有3张．13、有一串数，最前面的4个数是2，0，1，8，从第5个数起，每一个数都是它前面相邻4个数之和的个位数字，问在这一串数中，会依次出现2，0，1，7这4个数吗?【答案】根据规律，这串数是2，0，1，8，1，0，0，9，0，9，8，6，3，6，3，8，0，7，8，3，呈现的规律是偶偶奇偶奇，而2，0，1，7是偶偶奇奇，按照上述 规律两个奇数不可能相邻，所以不会依次出现2，0，1，7这4个数．14、某工人每小时内需先生产2个A 产品，再生产3个B 产品，最后生产1个C 产品，则第725个产品是哪种产品?【答案】容易得这个工人每小时需生产产品2316++=（个），因为72512065=⨯+，所以，第725个产品是生产第121个小时生产的第5个产品，故它是B 产品．15、著名的哥德巴赫猜想可以陈述为：任意大于2的偶数，都可表示成两个质数之和．将偶数88表示成两个质数的和，有几种表示方法?（a b +和b a +视为同一种表示方法）【答案】88583177129594147=+=+=+=+，共有4种表示方法．16、小华将连续奇数1，3，5，7，9逐个相加，结果是2018．验算时发现漏加了一个数，那么，这个漏加的数是多少?【答案】设题中有n 个数相加，则因为1，3，5，7，9，21n -依次相加，得()1212n n n n +-⨯÷=⨯．而444419362018⨯=＜，454520252018⨯=＞，所以至少有45个数．当有45个数时，最大的是89，202520187-=，所以漏加的数是7．当有46个数时，最大的数是91，464620189891⨯-=＞．所以漏加的数是7．17、A 、B 、C 、D 、E 五个数，每次去掉一个数，将其余下的4个数求平均数，这样计算了5次，得到下面5个数：23，26，30，33，38．求A 、B 、C 、D 、E 的平均数．【答案】5次计算中，A 、B 、C 、D 、E 分别使用了4次，所以A 、B 、C 、D 、E 五个数的和是()2342643043343844150⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=，所以，A 、B 、C 、D 、E 的平均数是150530÷=．18、A 、B 、C 、D 是四个不同的自然数，它们的平均数是8．对它们两两求和，得到5个不同的和：12，15，17，20，x ．求x ．【答案】对A 、B 、C 、D 两两求和，可得到六个和A B +，A C +,A D +，B C +，B D +，C D +．将这四个数两两相加得出六个和数的过程中，A 、B 、C 、D 各用了3次，所以六个和数之和是()84396⨯⨯=，由题设知A 、B 、C 、D 两两求和，得到5个和，这说明①所表示的六个和中有两个和是相等的．用y 表示这个相等的和，则y 只能是12，15，17，20，x 中的一个，且1215172096x y +++++=，从而32x y +=，当y 取12，15，17，20中的一个时，x 也在这四个数中，不符合题意，所以只能是x y =得16x =．19、已知甲和乙的最大公约数是6，最小公倍数是264，求甲、乙两数和的最小值．【答案】因为甲和乙的最大公约数是6，所以甲和乙可分别表示为6a 和6b ，且a 和b 互质，因为甲和乙的最小公倍数是264，且26462211=⨯⨯⨯，所以2211a b ⨯=⨯⨯，若1a =，44b =，则甲、乙两数的和是61644270⨯+⨯=；若4a =，11b =，则甲、乙两数的和是6461190⨯+⨯=．比较可知，甲、乙两数和的最小值是90．20、求201620172018⨯⨯的所有不同质因数的和．【答案】因为522016237=⨯⨯，2017是个质数，201821009=⨯，所以201520162017⨯⨯的不同质因数有：2，3，7，1009，2017，共5个．它们的和是237100920173038++++=．21、将一个自然数的各位数字反次序排列所得的自然数称为原数的反序数．如5位数13245的反序数为54231，11722的反序数是22711等．如果一个5位数n 的反序数是4的倍数，则这样的n 最小的一个是多少，最大的一个是多少． 【答案】五位数abcde 被4整除的充要条件是de 能被4整除．故n 最小的一个是21001，最大的一个是88999．22、求能写成四个连续自然数的和的最小三位数．【答案】设第一个自然数为a ，则这4个自然数为a ，1a +，2a +，3a +，其和为 ()()()123442a a a a a ++++++=++，即这四个连续自然数的和减去2所得的差是4的倍数，因为100425÷=，所以，能写成四个连续自然数的和的最小三位数是102．23、已知三位数1ab 和1ab 的差是639，求ab ． 【答案】根据题设，得1ab 比1ab 大，所以()()1110010110010ab ab a b a b -=++-++ 90999a b =+-，于是90999639a b +-=，整理得1082a b +=，即82ab =．24、3333312320172018+++++的个位数字是多少?（注：3a a a a =⨯⨯）【答案】当一个数的尾数依次是1，2，3，4，5，6，7，8，9，0时，3个这样的数相乘所得的商的个位数字依次为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0，将这10个数作为一组，这组数的和的个位数字是5．因为2018102018÷=，且 ()2015187456321041⨯++++++++=，所以3333312320172018+++++的个位数字是1． 25、20182018201820182018⨯⨯⨯个的个位数字是多少?【答案】2018的个位数字是8；2个2018相乘，乘积的个位数字是4；3个2018相乘，乘积的个位数字是2；4个2018相乘，乘积的个位数字是6；5个2018相乘，乘积的个位数字是8；所以，n 个2018相乘，n 取1，2，3，4，5，时，所得积的个位数字分别是8，4，2，6，8，即所得积的个位数字每4个为一周期，重复出现，因为20184=5042÷，所以，“2018个2018相乘所得积的个位数字”与“2个2018相乘所得积的个位数字”相同，即为4．26、31008A B =⨯，其中A 、B 均为自然数，B 的最小值是多少?（注：3A A A A =⨯⨯）【答案】因为421008237=⨯⨯，所以，B 的最小值是22237588⨯⨯=．27、求有16个约数的最小的自然数．【答案】要使这个数尽量小，所取的质因数应该尽量小．若这个数只有一个质因数，则最小的数是152，若这个数有2个质因数，且162844=⨯=⨯，则这个数可能是723⨯，或3323⨯，若这个数有3个质因数，且16224=⨯⨯，则这个数可能是3235⨯⨯，若这个数有4个质因数，且162222=⨯⨯⨯，则这个数可能是2357⨯⨯⨯，比较可知3235120⨯⨯=是最小的．28、若4037位数201852018955559999a 个个能被7整除，求a ．【答案】因为111111158737=⨯，所以5555555111111=⨯，9999999111111=⨯都能被7整除，又201863362÷=，所以201655555个和201699999个能被7整除，因为201852018920165202102016020169555599995555100005599100009999a a =⨯+⨯+个个个个个个，所以5599a 能被7整除，因为995544a a -=，所以44a 能被7整除，因为644792=⨯，所以6a =．29、若五位数1624□能被11整除，求□所表示的数字．【答案】若一个数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差是11的倍数，则这个数是11的倍数．因为五位数1624□偶数位上数字和是628+=，奇数位上数字和是145++=+□□，它们的差是3-□，或3-□，所以，3-□，或3-□是11的倍数，只能是3=□．故□所表示的自然数是3．30、求2018位数201855555个除以13所得的余数．【答案】因为5555551342735÷=，且201863362÷=，所以201855555个除以13所得的余数与55除以13所得的余数相同，因为551343÷=，所以201855555个除以13所得的余数是3． 31、求12342019+++++除以9所得的余数．【答案】因为()1234201920191201922039190+++++=+⨯÷=，且 203919092265766÷=．另解任意连续9个自然数的和都能被9整除，201992243÷=，余数必然是1236++=．32、求2017位数201777777个除以30所得的余数．【答案】因为30235=⨯⨯，故先考虑201777777个除以2，3，5所得的余数．易得201777777个除以2所得的余数是1，因为201777777个的各位数字之和为72017⨯，所以201777777个除以3所得的余数是1，又201777777个除以5所得的余数等于7除以5所得的余数，所以201777777个除以5所得的余数是2，又因为在小于30的数中，同时满足除以2所得的余数是1，除以3所得的余数是1，除以5所得的余数是2的数只有7，所以201777777个除以30所得的余数是7．33、某一个自然数分别去除25，38，43，所得的三个余数之和为18，求这个自然数．【答案】由题设，得这个自然数显然小于26，否则25除以这个自然数所得的余数是25，大于18，又由1836÷=，可知这个自然数大于6．因为2543381888++-=，所以，88是所求自然数的整数倍，而88大于6，小于26的约数有8，11或22．经验算，只有11满足条件，故这个自然数是11．34、六位数2018ab ，被5除余1，被11除余8，求ab ．【答案】因为2018ab 被5除余1，所以20181ab -是5的倍数，所以b 只能取1或6；又2018ab 被11除余8，所以20183ab +是11的倍数，所以()()2018311201803111011ab a b +÷=÷+⨯+÷()1834510811a b =+⨯++÷，所以 108a b ⨯++是11的倍数，当1b =时，109a ⨯+是11的倍数，此时，a 只能取9，当6b =时，1014a ⨯+是11的倍数，此时，a 只能取3，故91ab =，或36ab =．35、已知四位数abcd 除以2，3，4，5，6，7所得的余数互不相同（都不是0），求abcd 的最小值．【答案】因为在除法运算中，余数一定比除数小， 所以四位数abcd 除以2，所得的非零余数只能是1，除以3，所得的非零余数可能是1或2，因为四位数abcd 除以2，3所得的余数互不相同， 所以四位数abcd 除以3，所得的余数只能是2． 同理可得，四位数abcd 除以4，5，6，7，所得的余数依次为3，4，5，6， 于是有1abcd +可以同时被2，3，4，5，6，7整除，即1abcd +是2，3，4，5，6，7的倍数，[2，3，4，5，6，7]420=，4202840⨯=，42031260⨯=，所以abcd 的最小值是126011259-=．36、若两位数xy xy AABB ⨯=，求xy ．【答案】因为110AABB A B =⨯，所以AABB 是11的倍数，因为11是质数，所以xy 也是11的倍数，又xy xy AABB ⨯=，所以0A B 也是11的倍数． 设011A B ab =⨯，则ab 是完全平方数，且10a b +=，满足条件的ab 只有64，所以 0704A B =，88xy =．验算88887744⨯=，满足条件．37、字母W 、M 、T 、C 分别代表4个不同的数字，并且2017WW MM WT C ⨯++=，求W M T C +++的值． 【答案】由2017WW MM WT C ⨯++=，得()11112017W M WT C ⨯⨯⨯++=，又()201711111681÷⨯=，所以7W =，11T C +=，16W M ⨯=，或8W =，1T C +=，16W M ⨯=，可推出2882W M ⨯=⨯=⨯，故8W =，2M =，1T C +=，因此82111W M T C +++=++=．38、字母a ，b ，c 表示3个不同的非零数字，若724abc bc c ++=，求a b c ++．【答案】因为724abc bc c ++=，即1001010724a b c b c c ⨯+⨯++⨯++=，也即100203724a b c ⨯+⨯+⨯=，因为3只有与8的积的个位数字是4，所以c 必是8， 于是1002024724a b ⨯+⨯+=，因此10020700a b ⨯+⨯=，即10270a b ⨯+⨯=，又2与0，5的积的个位数字都是0，所以5b =（舍去0b =），对应地6a =，从而65819a b c ++=++=，故所求和是19．39、已知()()()12143S n n n k =⨯-⨯-⨯⨯++，若k 是1至200之间的自然数，n 是大于2的自然数，则有多少个不同的k ，使得S 是两个相同自然数的乘积．【答案】当3n =时，49S k =+，设S x x =⨯，则()()()94334k x x x x =⨯-÷=+-÷，由k 是自然数，得x 是大于3的奇数，因为()()2732734180200+-÷=＜，()()2932934208200+-÷=＞，所以，x 可取的值有()273212-÷=（个），对应地，当3n =时，满足条件的k 的值有12个； 当3n ＞时，因为432124⨯⨯⨯=，所以()()121n n n ⨯-⨯-⨯⨯是4的倍数， 记()()1214n n n p ⨯-⨯-⨯⨯=（p 是大于等于6的自然数），则()43S k p =++， 因为任何自然数的4倍加上3都不能写成两个相同自然数的乘积，所以，当3n ＞时，不存在满足条件的k ．综上，有12个不同的k ，使得S 是两个相同自然数的乘积．40、用一块橡皮泥捏一个表面积是64的长方体，使它的长、宽、高都是整数，则可以捏出多少种不同的长方体?【答案】设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则由题设得64222a b a c b c =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯，即32a b a c b c =⨯+⨯+⨯，因为长方体的长、宽、高都是整数，所以，若1a =，则32b c b c =++⨯，经试验，只有当2b =，10c =，或10b =，2c =时，满足条件，①注意到长、宽、高互换时，是同一长方体，故记为一种长方体；若2a =，则3222b c b c =⨯+⨯+⨯，经试验，只有当1b =，10c =，或10b =，1c =时，满足条件，与①是同一种长方体；若3a =，则3233b c b c =⨯+⨯+⨯，经试验，不存在整数宽和高满足条件；若4a =，则3244b c b c =⨯+⨯+⨯，经试验，只有当2b =，4c =或4b =，2c =时，满足条件；②若5a =，则3255b c b c =⨯+⨯+⨯，经试验，不存在整数宽和高满足条件；若6a =，则3266b c b c =⨯+⨯+⨯，经试验，不存在整数宽和高满足条件；若7a =，则3277b c b c =⨯+⨯+⨯，经试验，只有当2b =，2c =时，满足条件；③ 若8a =，则3288b c b c =⨯+⨯+⨯，经试验，不存在整数宽和高满足条件；若9a =，则3299b c b c =⨯+⨯+⨯，经试验，不存在整数宽和高满足条件；若10a =，则321010b c b c =⨯+⨯+⨯，经试验，只有当1b =，2c =或2b =，1c =时，满足条件，与①是同一长方体；当a 取其它值时，不存在整数宽和高满足条件．综上，满足条件的长方体有3种．41、已知两位数ab 与ba 的差是45，求满足条件的ab 的个数．【答案】因为()()()1010945ab ba a b b a a b -=+-+=-=，所以5a b -=， 因此，满足条件的ab 有16，61，27，72，38，83，49，94，共8个．42、五位数273ab 既能被3整除，又能被7整除，求满足条件的五位数的个数．【答案】因为27300211300÷=，所以两位数ab 也能被21整除，所以，满足条件的五位数有27300，27321，27342，27363，27384，共5个．43、若1009abc cba +=，则这样的abc 有多少个?【答案】因为()()()1001010010101201009abc cba a b c c b a a c b+=+++++=++=，所以()101a c +的个位数是9，只能是9a c +=，所以20100b =，于是5b =，这样的abc 有8个：158，257，356，455，554，653，752，851．44、6个互不相同的非零自然数的平均数是12，若将其中一个两位数ab 换为ba （a ，b 是非零数字），那么这6个数的平均数变为18，求满足条件的ab 的个数．【答案】由题设得()()()101018126b a a b +-+=-⨯，即()936b a -=，所以4b a -=，于是当1a =时，5b =，15ab =，51ba =，当2a =时，6b =，26ab =，62ba =，当3a =时，7b =，37ab =，73ba =，当4a =时，8b =，48ab =，84ba =，当5a =时，9b =，59ab =，95ba =，又因为6个自然数互不相同，所以ab 最大为()1261234557⨯-++++=， 同理，得ba 最大为()1861234593⨯-++++=， 所以，满足题设的ab 有15，26，37，48，共4个．45、在1~300（包括1和300）的自然数中，既不能写成两个相同自然数的乘积，也不能写成三个相同自然数的乘积的数有多少个?【答案】因为111⨯=，224⨯=，4416⨯=，1717289⨯=，1818324⨯=，且1111⨯⨯=，2228⨯⨯=，33327⨯⨯=，666216⨯⨯=，777343⨯⨯=，即在1~300的自然数中，能写成两个相同自然数的乘积的数有17个，能写成三个相同自然数的乘积的数有6个，其中，即能写成两个相同自然数的乘积，也能写成三个相同自然数的乘积的数有2个，即1和64，所以，满足条件的数共有3001762279--+=（个）．46、已知四位数abcd ，b c a d ＜＜＜，10a b c d +++=，a ，d 和abcd 都是质数，求这个四位数．【答案】因为a 是一位数字，并且是质数，所以a 是2，3，5，7之一．如果2a =，则由b c a ＜＜，知0b =,1c =,由10a b c d +++=，得7d =，于是2017abcd =． 如果3a =，则由b c a ＜＜，得1b =，2c =，或0b =，2c =或0b =，1c =，又10a b c d +++=，所以4d =，或5d =，或6d =，因为d 也是质数，于是3a =，0b =，2c =，5d =，因此3025abcd =，3025是合数．如果5a =，则由a d ＜，得d 最小是6，此时1110a d +=＞，与10a b c d +++=矛盾，所以5a =不合题意．同理，7a =也不合题意．综上可知，2017abcd =．47、已知□、○、△分别代表不等于0的不同数字，若等式77⨯+⨯□□○△□2018=恒成立，求□+○+△的值．【答案】先估算一个接近2018的数，以减少试算的次数．因为703021002018⨯=＞，所以□代表的数字应该小于3，即□代表的数字只能是1或2． 当□=1时，7117112072018⨯+⨯=+=○△○△，则811=○△，○△表示两位数，而811是三位数，矛盾；当2=□时，72272194422018⨯+⨯=+⨯=○△○△，则37=○△，因此2=□，3=○，7=△，故23712=++=□+○+△．48、数一数，图1中共有多少个三角形?【答案】由1个三角形构成的三角形有16个，由1个三角形和1个四边形构成的三角形有16个，由2个三角形和1个四边形构成的三角形有16个，由5个三角形、2个四边形和1个八边形构成的三角形有8个，所以，图中共有三角形161616856+++=（个）．49、图2中共有多少个三角形?【答案】易得图中共有12个彼此没有重合部分的小三角形，由2个小三角形构成的三角形有8个，由3个小三角形构成的三角形有12个，由4个小三角形构成的三角形有4个，由6个小三角形构成的三角形有4个，所以，图中共有三角形128124440++++=(个)．50、图3中有6个11⨯的小正方形，它们共有12个顶点．从中取出3个，作为三角形的顶点，问：这些三角形中，面积是1的有多少个?【答案】首先，由面积公式12112S=⨯⨯=，可知（1）以图17中的粗线段为底边时，顶点可以选4个黑点中的任意一个，此时，有4个这样的三角形，将底边向右移动一个单位，又有4个这样的三角形，，此图中共有42⨯个这样的三角形．同理，底边在大长方体的最上边的橫边上，又有42⨯个这样的三角形．而图中这样的大长方形有2个，所以共有三角形422232⨯⨯⨯=（个）．（2）如图18，类似（1），长方形如果竖起来，共有三角形32318⨯⨯=（个）．（3）以图19中的粗线段为底边时，去掉与（2）重复的，顶点可以选2个黑点中的任意一个，此时，有2个这样的三角形，将底边向右移动一个单位，又有2个这样的三角形，，此图中共有23⨯个这样的三角形．同理，底边在大长方形的最上边的橫边上，又有23⨯个这样的三角形，所有共有三角形23212⨯⨯=（个）．（4）以图20中的粗线段为底，去掉与（1）重复的，顶点只有1种选法，有1个这样的三角形，将底边往下移一个单位，又有1个这样的三角形，此图中共有2个这样的三角形．同理，如果将大正方形的最右边的边作为底，有2个三角形．而图中这样的大正方形有2个，所以共有三角形2228⨯⨯=（个）．故32⨯的正方形中，面积为1的三角形共有321812870+++=（个）．51、如图4，在正方形网格中有一个三角形，问图中含有三角形的正方形有几个?【答案】由1个小正方形构成的有三角形的正方形有1个；由4个小正方形构成的有三角形的正方形有4个；由9个小正方形构成的有三角形的正方形有4个；由16个小正方形构成的有三角形的正方形有4个；由25个小正方形构成的有三角形的正方形有1个．故含有三角形的正方形共有14个．52、把一副三角尺ABC与BDE按如图5所示拼在一起，其中A、D、B三点在同一直线上．BM为ABC∠的平分线，BN为CBE∠的平分线，求MBN∠的度数．【答案】因为60ABC∠=︒，且BM为ABC∠的平分线，所以260230CBM MBA ABC ∠=∠=∠÷=︒÷=︒，因为6090150CBE ABC DBE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，所以150275CBN NBE ∠=∠=︒÷=︒，故753045MBN CBN CBM ∠=∠-∠=︒-︒=︒．53、如图6，从左到右六个三角形的面积分别是1，2，3，4，5，6，相邻的两个三角形有部分重合，求灰色区与黑色区的面积的差．【答案】灰色区的面积加上5块白色三角形的面积，即为面积为1，3，5的3个三角形的面积和，黑色区的面积加上5块白色三角形的面积，即为面积为2，4，6的3个三角形的面积和．所以，灰色区与黑色区的面积的差是()()2461353++-++=．54、如图7，将一个正方形分割成两个相同的，若分成的两个可以组成一个周长是26的长方形，求这个正方形的面积．【答案】如图21所示，正方形分割后可以拼成一个长方形ABCD ，根据题意可知AE GH FC ==，EG HF =，BE BC HF =+,所以23AE FH =．因为长方形的周长是26，所以()226AE BE BC ++=，所以1326FH =，所以正方形的边长为36FH =，故所求正方形的面积是6636⨯=．55、如图8，小正方形的面积是1，求图中阴影部分面积．【答案】阴影部分的面积等于正方形的面积减去3个三角形的面积，即44142332342 3.5⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=．56、如图9，AD DC =，3EB CE =，若3CDPE S =四边形，4PBE DAP S S -=△△，求折线APBCA 所围成的图形的面积．【答案】如图22，连接CP ．因为AD DC =，3EB CE =，所以CDP DAP S S =△△，3PBE PEC S S =△△，设DAP S a =△，PEC S b =△，则3CDPE S a b =+=四边形，34PBE DAP S S b a -=-=△△，两式相加，得47b =，即 1.75b =，所以33 1.75 1.25a b =-=-=，故阴影部分的面积为33 1.253 1.7539.5DAP PBE CDPE S S S a b ++=++=++⨯=△△四边形．57、如图10，正方形ABCD 中，正方形AEFG 的面积是4，长方形EBHF 的面积是8，长方形IHCJ 的面积是6，求FID △的面积．【答案】正方形AEFG 的面积是4，可知正方形AEFG 的边长是2，所以，正方形ABCD 的边长是2826+÷=，从而，长方形IHCJ 的长是624-=，宽是64 1.5÷=，因此62 1.5 2.5FI =--=，FID △在FI 上的高等于长方形IHCJ 的长，即为4，故FID △的面积 2.5425=⨯÷=．58、如图11，在ABC △中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，且图中两个阴影部分（甲和乙）的面积差是504.25，求ABC S △．【答案】如图23，记BE 与CD 相交于O 点，因为504.25S S -=甲乙，所以()()504.25COE COE S S S S +-+=甲△乙△，即504.25BCE DCE S S -=△△．又D 、E 是中点，即12BCE ABC S S =△△，1124DCE ADC ABC S S S ==△△△，所以 11504.2524ABC ABC S S -=△△，故4504.252017ABC S =⨯=△．59、如图12所示，一个多边形的每条边长是1cm ，一共有12条边；空白部分是正三角形，一共有12个．求阴影部分的面积．【答案】如图24，阴影部分可以分为12个完全相同的平行四边形：每个平行四边形的面积为10.50.5⨯=（平方厘米），因此阴影部分的总面积为0.5126⨯=（平方厘米）．60、一张圆形纸沿直径对折后，在它上面画三条直线，按照所画直线切三刀．由于所画直线不同，可以把圆纸切成的块数也不同．那么这张纸片最少被切成了多少块，最多被切成了多少块?【答案】至少4块，至多13块，切法如图25．61、一组积木组成的图形，从正面看是，从侧面看是，若这组积木是用n 块相同的正方体木块摆出来的，则n有几种取值?【答案】如图26，根据题设条件，n最小是3，最大是9，则n的取值可以是3，4，5，6，7，8，9，共7种．62、如图13的几何体是由8个棱长是1的正方体小立方体搭成的，求几何体的表面积（包括底面）．【答案】从前面、后面、左面、右面、上面和下面看，这个几何体的表面积都是5，且从前面、后面、左面、右面看，都隐藏了1个面，所以，这个几何体的表面积是⨯+⨯=．56143463、如图14是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对两个面上的数值的和都等于34，求a b c-⨯．【答案】由题意，得32177410321934c=，b=，1a b a b c++=-+=+-+=，解得5a=，4所以5411a b c -⨯=-⨯=．64、如图15，矩形ABCD 中，F 为BC 的中点，2CE DE =，矩形ABCD 的面积为3，求阴影部分的面积．【答案】设DE a =，CF b =，则2CE a =，所以11222CEF S CE CF a b ab ==⨯⨯=△， 12322BCD CEF S S S b a ab ab =-=⨯⨯-=△△阴影．而326S a b ab =⨯=矩形，故矩形面积是阴影面积的3倍，阴影面积为1．65、在边长是1米的正六边形内任意丢放7颗小石子，则总有两颗小石子的距离不大于1米，请说出理由．【答案】如图28，连接正六边形的对角线，将这个正六边形分为6个边长都是1米的小等边三角形．把7颗小石子丢进这6个小等边三角形，则必有一个小等边三角形中至少有两颗小石子．这两颗小石子之间的距离不会超过小等边三角形的边长．故总有两颗小石子的距离不大于1米．66、某次考试共有10道判断题．小张划了5个钩和5个叉，结果对了8道；小李划了2个钩和8个叉，结果对了6道；小王一道不会，索性全部打叉，那么他至少可以蒙对多少道题?【答案】小张只错了2道题，那么他的5个叉里，至少有3个是对的，小李错了4道题，那么他的8个叉里，至少有4个是对的，因此小王全部打叉，至少可以蒙对4道题．67、两个瓶中小球的数量相等，且都只有黑、白两种颜色．已知第一个瓶子中白球的个数是黑球的4倍，第二个瓶子中黑球的个数是白球的7倍，若两个瓶中一共有111个白球，则第二个瓶中有黑球多少个?【答案】已知第一个瓶子中白球的个数是黑球的4倍，第二个瓶子中黑球的个数是白球的7倍，所以可设每个瓶中小球为()()141740+⨯+=（份），则第一个瓶中有白球()4014432÷+⨯=（份），第二个瓶中有白球()401715÷+⨯=（份）， 两个瓶中一共有白球32537+=（份），为111个，所以，1份有小球111373÷=（个），故第二个瓶中有黑球()401773105÷+⨯⨯=（个）．这五位同学了解的情况，每人只有1项是正确的，请判定这位新同学的情况．【答案】若这位新同学姓季，由班干A 、C 两人了解的后三种情况一样，则这位新同学姓陈，互相矛盾，所以这位新同学不姓季，也不姓陈．若这位新同学姓张，则他不是女生，上学期语数英总成绩不是220分，也不是240分，不擅长跳舞，也不擅长唱歌，那么这位新同学是男生，上学期语数英总成绩260分，擅长画画，这样班干A 和C 了解的情况两项都是正确，产生矛盾．因此，这位新同学姓黄，由班干D 了解的情况，这位新同学是男生，对照班干A 、D 了解的情况可知，上学期语数英总成绩不是220分和260分，不擅长画画，也不擅长唱歌． 综上，这位新同学姓黄，男生，上学期语数英总成绩240分，擅长跳舞．69、若2017abcd abc ab a +++=，求四位数abcd ．【答案】根据题设列竖式：2017a b c da b ca b a+由和的千位数字是2，可知1a =（百位进位）或2a =（百位不进位），但和的百位数字是0，故百位一定会产生进位，于是1a =；当1a =时，由和的百位数字是0，可知8b =（舍去9b =，这和十位需向百位进位矛盾）；进一步可得1c =，7d =．所以1817abcd =．70、如图16的加法竖式中共有9个空格，在每个空格中填入6，7，8，9四个数字中的一个，使得竖式成立．共有多少种不同的填法?201716□□□□□□+□□□图【答案】加法竖式中共有3个加数，这3个加数个位上都取6时，个位上的数字和最小，为18，个位上都取9时，个位上的数字和最大，为27，所以，这3个加数个位上的数字和是18~27的自然数，同理，这3个加数十位和百位上的数字和也是18~27的自然数，由于3个加数的总和是2017，所以个位数字和为27，十位数字和为19，百位数字和为18． 根据整数分拆27999=++，19667=++，18666=++，所以，个位的填法只有()999，，1种；十位的填法有()667，，，()676，，，()766，，，共3种；百位的填法只有()6661，，种；所以，这三个数不同的的的填法有1313⨯⨯=（种）．71、今年，爸爸的年龄是小林年龄的11倍；7年后，爸爸的年龄是小林年龄的4倍．求今年爸爸和小林的年龄．【答案】因为()()⨯=，所以今年爸爸33岁，小林3岁．⨯-÷-=，11333741114372、用数字1，2，3和小数点可以组成多少个小数?要求三个数字都用上．若三个数字允许不全取呢?【答案】若三个数字都用上，且先不考虑小数点，则可组成6个数：123，132，213，231，312，321．加上小数点后，123可以变为1.23或12.3，其它各数亦如此．故此情况下，可组成2612⨯=个小数；若三个数字允许不全用，有以下几种情况：（1）三个数字都取，则由上分析可得12个数；（2）若取两个数字可组成6个数：12，21，13，31，23，32，加上小数点，可组成6个小数；（3）取一个数字无法加小数点，共可组成12618+=个小数．综合以上可知，前一个答案为12，后一个答案为18．73、7只猴子分一箱栗子，每只猴子所得彼此不同，分得最多的猴子得了50颗，那么这箱栗子最多有多少颗?【答案】因为这箱栗子有7只猴子分，每只猴子所得彼此不同，最多分得50颗，所以最少应分得507144-+=颗．于是这箱栗子最多有()++=+⨯÷=（颗）．50494450447232974、某架天平秤，只有整千克数的砝码，称三个青苹果或五个黄苹果或7个红苹果，其质量恰好都是整千克数，要是1个青苹果、1个黄苹果、1个红苹果这三个苹果的质量就不是整千克数了，如果按四舍五入法取近似值约是1.16千克，那么3个青苹果、5个黄苹果和7个红苹果的质量分别是多少千克．【答案】设3个青苹果重a千克，5个黄苹果重b千克，7个红苹果重c千克．则根据题意1.155357 1.165≤÷+÷+÷＜，a b c即()()a b c≤⨯+⨯+⨯÷⨯⨯＜，1.155352115357 1.165即121.275352115122.325≤⨯+⨯+⨯＜．a b c又根据题意a，b，c均为整千克数，所以352115122a b c⨯+⨯+⨯=，经试验1c=，a=，2b=，3即3个青苹果1千克，5个黄苹果2千克，7个红苹果重3千克．75、2017年首届“希望杯”总决赛，这次的参赛人数不足千人．如果按3人，5人，7人一组分组，均多出1人；如果按23人一组分组正好分完，求参赛人数．【答案】人数分别除以3，5，7均余1，则这个数可以表示为1051x+，因为这个数小于1000，所以10511000x+＜，于是x只能取1，2，3，，9，经验证，只有当7x=，即这个数是736时，这个数是23的倍数，故参赛人数为736人．76、王老师买来了132支铅笔、75本作业本和37个削笔器，将它们分成完全相同的若干份奖品，最后铅笔、作业本和削笔器剩余的数量相同．那么，王老师最多分了多少份奖品? 【答案】由题设条件，得132，75，37三个数的差都是奖品份数的倍数，即57，95，38都是奖品份数的倍数，因为57，95，38的最大公约数是19，所以王老师最多分了19份奖品，且每份奖品有6支铅笔、3本作业本和1个削笔器．77、王处长从东北捎来一袋苹果，如果分给甲、乙两个科室的人员，每人可分得6个；如果只分给甲科室的人员，每人可分得10个．问：如果只分给乙科室的人员，每人能分得多少个?。

第16 届希望杯考前训练100 题学前知识点梳理“希望杯”全国数学邀请赛进行考前特训，主要学习内容有：1、整数的四则运算，运算定律，简便运算，等差数列求和。

2、基本图形，图形的拼组合（分、合、移、补），图形的变换，折叠与展开。

3、角的概念与度量，长方形、正方形的周长和面积，平行四边形、梯形的概念和周长计算。

4、整除概念，数的整除特征，带余数除法，平均数。

5、小数意义和性质，分数的初步认识（不要求运算）。

6、应用题（植树问题、年龄问题、鸡兔同笼、盈亏问题、行程问题）。

7、几何计数（数图形），找规律，归纳，统计，可能性。

8、数谜，分析与推理，数位，十进制表示法。

9、生活数学（钟表、时间、人民币、位置与方向、长度、质量的单位）。

考前100 题选讲1. 计算：1.1 + 1.91 + 1.991+ .. +1・99L 991。

2018个92. 计算：1+2+3+ …+2016+2017+2016+…+3+2+1。

3. 计算：2015.2015+2016.2016+20172017+2018.2018+1934.1934 。

4.已知a=o.opLz30125，匕=0.002石08。

求a x b+a + b。

2013个0 2017 个05. 定义:a ® b=a x b 一( a+b)，求(3 ® 4) ® 5。

6. 定义:a ® b=a x b.c ◎ d=d x d x d x —x d （c 个d 相乘），求（5 ® 8）®（3© 7）。

7. 定义a△ b=a x 100L 4g0+b, a 口b=a x 10+b （其中，a, b 都是自然数），求2018 口（123^4）b个08. 观察下列数表的规律，求2018是第几行的第几个数?2,34, 5, 6L 8, 9, 1011, 12, 13^ 14）15• II9. 观察下列数的规律，求第2018个数。

第十六届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第1试试题1.计算：（1+3+5+…+2019）-（2+4+6+…+2018）= .2.如图1所示，若阴影部分的面积是54，则小正方形的面积是。

3.把一根木棍锯成5段要8分钟，假设每次锯断所用时间相同，那么，将这根木棍锯成25段需要分钟。

4.两个质数的和是70，则这两个质数的乘积的最大值是。

5.小敏的房号是三位数abc，若abc+a+b+c=638,则a×b×c= 。

6.小明计算两个数相乘时，将其中一个乘数123看成了132，计算的结果比正确答案大540，则正确答案是。

7.若四位数8△5△能被2，3，5整除，则这个四位数最大是。

8.2018年六一儿童节是星期五，则2019年六一儿童节是星期。

9.已知从大到小排列的六个自然数依次是100，a，b，c，d，78。

若这六个数的平均数是93，则b的最小值是。

10.父子二人今年的年龄和为40岁，已知两年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，那么两年前父亲的年龄是岁。

11.五（1）班发故事书，若每人发4本，则剩余12本；若每人发5本，则少18本，那么该班有名学生。

12、有4根长度都是37厘米的铁丝，将其中每一根铁丝都分成3段，且每一段的长度（单位：厘米）都是自然数。

用这12根铁丝焊接成一个长方体框架，则该长方体表面积的最大值是_____平方厘米。

13、有白棋子和黑棋子共2018枚，按图2所示的排列方法从左到右排成一行，其中黑棋子有_____枚。

14、两块等腰直角三角形的三角板ABC和CDE如图3所示放置，直角边BC和CE的长分别是10和8。

则阴影部分的面积是______。

15、用红、白、黑三种颜色给如图4所示的3×n的网格中的每一个小方格随机染一种颜色。

当n最小取______时，才能保证至少有两列染色方式完全一样。

（横排称为行，竖排称为列）16、一架天平，只有5克和20克两个砝码。

要把100克盐分成两等份，若天平的左侧只能放砝码，最少称_____次。

第十六届（2018年）小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级培训题1、 计算：201891.1 1.91 1.991 1.99991++++个．2、 计算：123201620172016321++++++++++．3、 计算：2015.20152016.20162017.20172018.20181934.1934++++．4、 已知201300.0000125a =个，201700.00008b =个．求a b a b ⨯+÷．5、 定义：()a b a b a b ⊕=⨯-+，求()345⊕⊕．6、 定义：a b a b ⊕=⨯，c d d d d d =⨯⨯⨯⨯◎（c 个d 相乘），求()()5837⊕⊕◎．7、定义：1000b a b a b =⨯+个0△，10a b a b=⨯+□（其中，a ，b 都是自然数），求()20181234□△．8、观察下列数表的规律，求2018是第几行的第几个数?123456789101112131415，，，，，，，，，，9、观察下列数的规律，求第2018个数．1201820171201620151，，，，，，10、根据下列算式的规律，求第2018个算式的和．23+，37+，411+，515+，619+，11、计算机上编程序打印出前10000个大于0的自然数：1，2，3，，10000时，不幸打印机有故障，每次打印数字7或9时，它都打印出x ，其中被打印错误的共有多少个数?12、桌上有一些纸片，每张纸片上都有编号（不是按顺序编的），马小虎同学错把6和69拿倒了，导致这些编号的平均数多出1，问这些纸片共有多少张?13、有一串数，最前面的4个数是2，0，1，8，从第5个数起，每一个数都是它前面相邻4个数之和的个位数字，问在这一串数中，会依次出现2，0，1，7这4个数吗?14、某工人每小时内需先生产2个A 产品，再生产3个B 产品，最后生产1个C 产品，则第725个产品是哪种产品?15、著名的哥德巴赫猜想可以陈述为：任意大于2的偶数，都可表示成两个质数之和．将偶数88表示成两个质数的和，有几种表示方法?（a b +和b a +视为同一种表示方法）16、小华将连续奇数1，3，5，7，9逐个相加，结果是2018．验算时发现漏加了一个数，那么，这个漏加的数是多少?17、A 、B 、C 、D 、E 五个数，每次去掉一个数，将其余下的4个数求平均数，这样计算了5次，得到下面5个数：23，26，30，33，38．求A 、B 、C 、D 、E 的平均数．18、A 、B 、C 、D 是四个不同的自然数，它们的平均数是8．对它们两两求和，得到5个不同的和：12，15，17，20，x ．求x ．19、已知甲和乙的最大公约数是6，最小公倍数是264，求甲、乙两数和的最小值．20、求201620172018⨯⨯的所有不同质因数的和．21、将一个自然数的各位数字反次序排列所得的自然数称为原数的反序数．如5位数13245的反序数为54231，11722的反序数是22711等．如果一个5位数n 的反序数是4的倍数，则这样的n 最小的一个是多少，最大的一个是多少．22、求能写成四个连续自然数的和的最小三位数．23、已知三位数1ab 和1ab 的差是639，求ab ．24、3333312320172018+++++的个位数字是多少?（注：3a a a a =⨯⨯）25、20182018201820182018⨯⨯⨯个的个位数字是多少?26、31008A B =⨯，其中A 、B 均为自然数，B 的最小值是多少?（注：3A A A A =⨯⨯）27、求有16个约数的最小的自然数．28、若4037位数201852018955559999a 个个能被7整除，求a ．29、若五位数1624□能被11整除，求□所表示的数字．30、求2018位数201855555个除以13所得的余数．31、求12342019+++++除以9所得的余数．32、求2017位数201777777个除以30所得的余数．33、某一个自然数分别去除25，38，43，所得的三个余数之和为18，求这个自然数．34、六位数2018ab ，被5除余1，被11除余8，求ab ．35、已知四位数abcd 除以2，3，4，5，6，7所得的余数互不相同（都不是0），求abcd 的最小值．36、若两位数xy xy AABB ⨯=，求xy ．37、字母W 、M 、T 、C 分别代表4个不同的数字，并且2017WW MM WT C ⨯++=，求W M T C +++的值．38、字母a ，b ，c 表示3个不同的非零数字，若724abc bc c ++=，求a b c ++．39、已知()()()12143S n n n k =⨯-⨯-⨯⨯++，若k 是1至200之间的自然数，n 是大于2的自然数，则有多少个不同的k ，使得S 是两个相同自然数的乘积．40、用一块橡皮泥捏一个表面积是64的长方体，使它的长、宽、高都是整数，则可以捏出多少种不同的长方体?41、已知两位数ab 与ba 的差是45，求满足条件的ab 的个数．42、五位数273ab 既能被3整除，又能被7整除，求满足条件的五位数的个数．43、若1009abc cba +=，则这样的abc 有多少个?44、6个互不相同的非零自然数的平均数是12，若将其中一个两位数ab 换为ba （a ，b 是非零数字），那么这6个数的平均数变为18，求满足条件的ab 的个数．45、在1~300（包括1和300）的自然数中，既不能写成两个相同自然数的乘积，也不能写成三个相同自然数的乘积的数有多少个?46、已知四位数，b c a d ＜＜＜，10a b c d +++=，a ，d 和都是质数，求这个四位数．47、已知□、○、△分别代表不等于0的不同数字，若等式77⨯+⨯□□○△□2018=恒成立，求□+○+△的值．48、数一数，图1中共有多少个三角形?49、图2中共有多少个三角形?50、图3中有6个11的小正方形，它们共有12个顶点．从中取出3个，作为三角形的顶点，问：这些三角形中，面积是1的有多少个?51、如图4，在正方形网格中有一个三角形，问图中含有三角形的正方形有几个?52、把一副三角尺ABC 与BDE 按如图5所示拼在一起，其中A 、D 、B 三点在同一直线上．BM 为ABC ∠的平分线，BN 为CBE ∠的平分线，求MBN ∠的度数．53、如图6，从左到右六个三角形的面积分别是1，2，3，4，5，6，相邻的两个三角形有部分重合，求灰色区与黑色区的面积的差．54、如图7，将一个正方形分割成两个相同的，若分成的两个可以组成一个周长是26的长方形，求这个正方形的面积．55、如图8，小正方形的面积是1，求图中阴影部分面积．56、如图9，AD DC =，3EB CE =，若3CDPE S =四边形，4PBE DAP S S -=△△，求折线APBCA 所围成的图形的面积．57、如图10，正方形ABCD 中，正方形AEFG 的面积是4，长方形EBHF 的面积是8，长方形IHCJ 的面积是6，求FID △的面积．58、如图11，在ABC △中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，且图中两个阴影部分（甲和乙）的面积差是504.25，求ABC S △．59、如图12所示，一个多边形的每条边长是1cm ，一共有12条边；空白部分是正三角形，一共有12个．求阴影部分的面积．60、一张圆形纸沿直径对折后，在它上面画三条直线，按照所画直线切三刀．由于所画直线不同，可以把圆纸切成的块数也不同．那么这张纸片最少被切成了多少块，最多被切成了多少块?61、一组积木组成的图形，从正面看是，从侧面看是，若这组积木是用n 块相同的正方体木块摆出来的，则n 有几种取值?62、如图13的几何体是由8个棱长是1的正方体小立方体搭成的，求几何体的表面积（包括底面）．63、如图14是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对两个面上的数值的和都等于34，求a b c -⨯．64、如图15，矩形ABCD 中，F 为BC 的中点，2CE DE =，矩形ABCD 的面积为3，求阴影部分的面积．65、在边长是1米的正六边形内任意丢放7颗小石子，则总有两颗小石子的距离不大于1米，请说出理由．66、某次考试共有10道判断题．小张划了5个钩和5个叉，结果对了8道；小李划了2个钩和8个叉，结果对了6道；小王一道不会，索性全部打叉，那么他至少可以蒙对多少道题?67、两个瓶中小球的数量相等，且都只有黑、白两种颜色．已知第一个瓶子中白球的个数是黑球的4倍，第二个瓶子中黑球的个数是白球的7倍，若两个瓶中一共有111个白球，则第二个瓶中有黑球多少个?68、五年级某班要转来一位新同学，五位同学了解了一些这位新同学的情况，现列表如下：这五位同学了解的情况，每人只有1项是正确的，请判定这位新同学的情况．69、若2017abcd abc ab a +++=，求四位数abcd ．70、如图16的加法竖式中共有9个空格，在每个空格中填入6，7，8，9四个数字中的一个，使得竖式成立．共有多少种不同的填法?201716□□□□□□+□□□图71、今年，爸爸的年龄是小林年龄的11倍；7年后，爸爸的年龄是小林年龄的4倍．求今年爸爸和小林的年龄．72、用数字1，2，3和小数点可以组成多少个小数?要求三个数字都用上．若三个数字允许不全取呢?73、7只猴子分一箱栗子，每只猴子所得彼此不同，分得最多的猴子得了50颗，那么这箱栗子最多有多少颗?74、某架天平秤，只有整千克数的砝码，称三个青苹果或五个黄苹果或7个红苹果，其质量恰好都是整千克数，要是1个青苹果、1个黄苹果、1个红苹果这三个苹果的质量就不是整千克数了，如果按四舍五入法取近似值约是1.16千克，那么3个青苹果、5个黄苹果和7个红苹果的质量分别是多少千克．75、2017年首届“希望杯”总决赛，这次的参赛人数不足千人．如果按3人，5人，7人一组分组，均多出1人；如果按23人一组分组正好分完，求参赛人数．76、王老师买来了132支铅笔、75本作业本和37个削笔器，将它们分成完全相同的若干份奖品，最后铅笔、作业本和削笔器剩余的数量相同．那么，王老师最多分了多少份奖品?77、王处长从东北捎来一袋苹果，如果分给甲、乙两个科室的人员，每人可分得6个；如果只分给甲科室的人员，每人可分得10个．问：如果只分给乙科室的人员，每人能分得多少个?78、某电影院，甲种票每张24元，乙种票每张18元．若某班35名学生购买两种票恰好花了750元，则甲、乙两种票各买了多少张?79、某公司彩电按原价格销售，每台获利润60元，现在降价销售，结果彩电销量增加一倍，获得的总利润增加了0.5倍，则每台彩电降价多少元?80、小笨有一天讲了一个笑话，除小笨本人外，教室里有五分之四的同学听到了，但是只有四分之三的同学笑了．已知听到笑话的同学有六分之一没有笑，那么没听到笑话的同学里有几分之几的人笑了?81、甲、乙共有26张卡片．甲先拿走乙的一半，乙发现后，也拿走了甲的一半．甲不服气，又悄悄拿了乙的5张卡片，此时甲比乙多2张，问：乙刚开始时有多少张卡片?82、某服装厂要生产某种型号的学生校服，已知3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，库内存有这种布料600m，则最多能做多少套校服?83、某单位招待所有若干间房间，现安排一支运动员的队伍住宿．若每间住4人，则有3人无房可住；若每间住5人，则有一间房间不空也不满，则该招待所的房间最多有多少间?84、有面值1角、5角和1元的硬币共30枚，总面值是10元整．问:三种硬币各多少枚?85、2个练习本和3支碳素笔等价，买3个练习本和2支碳素笔需付7元8角，则买1个练习本和1支碳素笔需付多少钱?86、一辆客车和一辆卡车同时从A地出发在同一公路上沿同方向行驶，客车的行驶速度是km h，客车比卡车早1h经过B地，A、B两地间的路程是km h，卡车的行驶速度是60/70/多少?87、A、B、C三人同时从跑道起点出发追正在跑道上奔跑的D．已知A追上D需50分钟，B追上D需30分钟，C追上D需要75分钟，A、B两人的速度分别是100米/分钟，120米/分钟，求C同学的速度．88、小龙、小伟在环形小操场跑步，小龙每8.4分钟跑一圈，小伟每12分钟跑一圈．如果他们同时从跑道的同一点顺时针开始跑步，当他们第一次同时跑回起点时，小龙和小伟共跑了多少圈?89、一辆长途汽车M从A地出发，行驶6.5小时到达相距525千米的B地．已知M在高速路段行驶了2小时，在其它路段的平均速度是70千米/小时，求M在高速路段的平均速度．90、某天爸爸开车送小红到距学校1000米的地方后，让她步行去学校，结果小红这天从家到学校用了22.5分钟．若小红骑自行车从家去学校需40分钟，她平均每分钟步行80米，骑自行车比爸爸开车平均每分钟慢800米，求小红家到学校的距离．91、同一段水路，甲船顺流行驶需要2小时，逆流行驶需要3小时；乙船顺流行驶需要3小时，求乙船逆流行驶需要的时间．92、小杰家的时钟比标准时间每小时慢2分钟．若小杰用他家的时钟计时，做作业用了2小时25分钟，问小杰做作业实际用了多少分钟?93、诗歌讲座持续了2小时m分钟，结束时钟表的时针和分针的位置刚好跟开讲时的位置对调．若用[]x表示小数x的整数部分，求[]m．94、有一根木条上有两种刻度：第一种刻度将木条分成12等份；第二种刻度将木条分成15等份．如果沿每条刻度线将木条锯断，请问木条被锯成了多少段?95、在一根长木棍上有二种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份，第二种刻度线将木棍分成m等份，如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成20段．可能的m有多少个?96、加工一批零件，如果甲先做5小时，乙再加入一起做，完成时甲比乙多做400个，如果乙先做5小时，甲再加入一起做，完成时乙比甲多做40个．如果一开始甲乙就一起做，那么，完成时甲比乙多做多少个?97、某车间加工一批零件，计划每天加工50个，为提高质量，放缓了加工速度，实际每天少加工6个，这样超过计划时间2天，还有32个零件没有完成，求这批零件有多少个?98、小壮加工一批产品，他每加工出一件正品，得报酬7.5元，每加工出一件次品，罚款12.5元，这天他加工的正品是次品的6倍，得到的报酬是130元．那么他这天加工出几件次品?99、有若干人参加射箭比赛，第一轮有18人射中箭靶，第二轮有15人射中箭靶，第三轮有10人射中箭靶，若三轮都射中箭靶的有3人，那么至少有多少人参加射箭比赛?100、为举办校园文化艺术节，甲、乙两班准备给参加合唱的同学每人购买一套演出服装．若两班共92人，且甲班人数比乙班人数多，甲班人数不足90人，下面是供货商给出的演出服如果两班单独给各自班的同学购买服装，那么一共应付元．（1）甲、乙两班合并给两班同学购买服装，比他们单独购买可以节省多少钱?（2）甲、乙两班各有多少名同学?第16届希望杯五年级培训100题每天进步一点点。

第十八届（2018年）“希望杯”全国数学邀请赛培训题“希望杯”命题委员会（未署名的题，均为命题委员会命题）初中一年级一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内）1．在2001，2003，2005，2007四个数中，质数有（）个．（A）1 （B）2 （C）3 （D）42．边长为1的正方形是轴对称图形，它共有（）条对称轴．（A）1 （B）2 （C）4 （D）83．已知a1，a2，…，a100均为整数，则│a1-a2│，│a2-a3│，│a3-a4│，…，│a99-a100│，│a100-a1│中必有（）（A）奇数个奇数，奇数个偶数（B）偶数个奇数，奇数个偶数（C）奇数个奇数，偶数个偶数（D）偶数个奇数，偶数个偶数4．若A<b<D<C<-b，则│a-b│+│c+b│=（）（A）a+b （B）-a-c （C）│a│+c （D）│a-c│5．在89°，126°，180°，216°这4个角中，共有（）个钝角．（A）1 （B）2 （C）3 （D）46．In a hundred integers from 1 to 100，the number of those which •aredivisable by 2，3 and 5 simui taneously is（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5（英汉词典：integer整数；•number•数，•个数；•divisable •by •可能…除尽的；7．In Fig．1，there are（）rays．（A）2 （B）3 （C）4 （D）5．（英汉词典：ray线）8．有5个分数：25151012,,,,38231719，将它们按从小到大的顺序排列是（）1512105210512152(),,,,(),,,,2319178317819233A B2510121525151012(),,,,(),,,,3817192338231719C D9．“射击名将在金牌争夺战中也会脱靶”是（）（A）不可能的（B）必然的（C）可能性很小的（D）可能性很大的10．“美丽奥运”这4个艺术字中有（）个不是轴对称图形．美丽奥运（A）1 （B）2 （C）3 （D）411．观察图中三角形个数的变化规律，当图中横线增加到一定数量时，可能有（ •）个三角形．（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007（拟题：万黎明河北省承德市民族中学067000）12．2007有（）个约数．（A）2 （B）4 （C）6 （D）813．一个体积为V的圆柱体锯掉一块后所成物体的三视图如图3所示，则锯掉部分的体积为（）（A ）()()()46812VVVV B C D 14．a ，b 均为有理数，则（ ）（A ）（a+6）2一定是正数 （B ）a 2+0.01b 2一定是非负数（C ）a+（2b ）2一定是正数 （D ）ab+12一定是非负数 15．已知a ，b 均为有理数，且b<D ，关于x 的方程（2007a+2008b ）x+2007=0无解，则a+b是（ ）（A ）正数 （B ）负数 （C ）非正数 （D ）非负数16．有如下4个判断性语句：①符号相反的数是互为相反数；②任何有理数的绝对值都是非负数；③一个数的相反数一定是负数；④如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数，其中正确的有（ ）个．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）417．我国最新居民身份证的编号有18位，含义是：前两个数字表示所在省份，第三、四两个数字表示所在市，第五、六两个数字表示所在县、乡，•接下来的四个数字是出生的年份，后两个数是出生的月份，再后两个数是出生的日期，最后四位是编码．若韩光同学的身份证编号是：110106************，则韩光出生的时间是（ •）（A ）1995年8月15日 （B ）1977年2月6日（C ）1995年8月1日 （D ）1981年5月7日18．汽车站A 到火车站F 有四条不同的路线，如图4所示，其中路程最短的是（ ）（A ）AB →BME →EF （B ）AB →BE →EF（C）ABC→CEF （D）ABCD→DE→EF19．李先生以一笔资金投资甲、乙两个企业，若从对甲、•乙企业的投资额中各抽回10%和5%，则总投资额减少8%；若从对甲、乙企业的投资额中各抽回15%和10%，•则总投资额减少130万元，李先生投资的这笔资金为（）（A）600万元（B）800万元（C）900万元（D）1000万元20．若关于z的方程（a-4）x+b=-bx+a-2有无穷多个解，则（ab）4等于（）（A）0 （B）1 （C）81 （D）25621．如果a，b，c是△ABC三边的长，且a2+b2-ab=c（a+b-c），那△ABC是（）（A）等边三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）形状不确定22．At 3：30，the acute angle formed by hour tand and minute hand on •aclock is （）（A）70°（B）75°（C）85°（D）90°[英汉词典：acute angle锐角；to form作成、形成；•hour •hand•指针；•minutehand 分针）23．由两个角的和组成的角与由这两个角的差组成的角互补，则这两个角（）（A）都是钝角（B）都是直角（C）必有一个是直角（D）一个角是锐角，另一个角是钝角24．已知a，b是质数，且3a+2b是小于20的质数．则满足条件的数组（a，b）共有（）组（A）1 （B）2 （C）3 （D）425．关于x的不等式│x-3│≤│x+a│的解包含了不等式x≥a，则实数a的取值范围是（）（A）a≥-3 （B）a≥-1且a=-3 （C）a≥1或a=-3 （D）a≥2或a=-3 （拟题：俞倾萱上海市浦江教育培训中心200434）26．已知代数式│x-3│+│x-7│=4，则下列三条线段一定能构成三角形的是（ •）（A）1，x，5 （B）2，x，5 （C）3，x，5 （D）3，x，4（拟题：徐伟建浙江省龙游华茂外国语学校324400）27．两个有理数a，b在数轴上对应的点A、B如图5所示，数c表示的点C在A、B两点之间，则下列关系式中一定成立的是（）ab（A）│a-c│<│b-c│（B）a+b<b（C）a+b+c>0 （D）│a-c│=b+c28．若a是有理数，给出下列判断：①2a是偶数；②-a2<0；③a2>a；④│a│是正数；⑤（-a）3=-a3其中，正确的个数是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）429．在数轴上，点A对应的数是-2007，点B对应的数是+19，点C对应的数是-4032，•记A、B两点间的距离为d1，A、C两点间的距离为d2，B、C两点间的距离为d3，则有（）（A）d1>d2（B）d2>d3（C）d1>d3（D）d3=2d1+130．命题甲：a，b是两个相邻的正整数，则a与b互质．命题乙：两个正整数a与b互质，则a，b是相邻的，则（）（A）甲真，乙真（B）甲真，乙不真（C）甲不真，乙真（D）甲不真，乙不真二、填空题31．孔子出生于公元前551年，如果用-555表示，那么（1）司马迁出生于公元前145元，应表示为_________年；（2）李白出生于公元701年，应表示为________年．32．In Fig．6，if M is the •mid-•point •of •the •line •segment •AB •anddivides segment MB into two parts such that MC：CB=1：2，•then •the •lengthof AC is（英汉词典：mid-point 中点；line segment 线段；to divide …into 分为、•分成；length 长度）33．下图是一个数值转换机的示意图，若输入x 的值为3，y 的值为-2，则输出结果为___________．34．已知a=200520072006200820072009,,200620072008b c ⨯⨯⨯==，则a ，b ，c 的大小关系是____________．35．已知，在数轴上的位置如图所示．化简制的值是|1|||1a a +-的值是________． a （拟题：徐伟建浙江省龙游华茂外国语学校324400）36．若灯泡瓦数是a ，使用t 小时，则耗电量是1000at 度．如果平均每天使用3小时，用一个15瓦的灯泡比用一个40瓦的灯泡每月（按30天计）可节约________度电．37．若a b b +=-58，则b a=__________． 38．当b=-1时，多项式3a 2+4a 2b-3b 2与-3a 2-4a 2b+2b 2+1的和等于________．39．如图，在直角坐标系中，右边的不倒翁图是由左边的不倒翁图案经过平移得到的，左图案中两眼的坐标分别是（-4，2），（-2，2），右图案中一只眼睛的坐标是（3，4），则另一只眼睛的坐标是________．（拟题：王定海江苏省金湖县涂沟镇唐港初中211643）40．大小相同的小球不超过40个，将它们紧挨着可以摆成一个正方形，•还可以摆成一个等边三角形，则小球的个数是________．41．把两根毛线从中间打结系在一起，然后由4名同学分别抓住一端拉紧，若最多能形成a对对顶角，最少能形成b 对邻补角，则a+b 的值为_________．（拟题：王可民山东省梁山县梁山镇二中272600）42．224682008123420061234200512342007-⨯的值是________． 43．若a+b=3，a 2b+ab 2=-30，则a 2+b 2的值是________．44．已知211n n x x+=，x 5n +x n +2=________． （拟题：俞颂萱 上海市浦江教育培训中心200434）45．多项式4x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，•则可以加上的单项式共有_____个．（拟题：夏建平 江苏省江阴市要塞中学214432）46．工厂要用长方形的铁皮制作易拉罐．一张长方形铁皮根据图中的数据下料，假设焊接的部分忽略不计，则这个易拉罐的容积是________立方厘米．（π=3.14）(第46题) (第48题) (第50题)47．小林每天下午5点放学时，爸爸总是从家开车按时到达学校接他回家，有一天学校提前一个小时放学，小林自己步行回家，在途中遇到开车来接他的爸爸，•结果比平时早20分钟到家，则小林步行________分钟遇到来接他的爸爸．（拟题：陈武海南省海口市义龙中学570206）48．如图，两个正方形ABCD与CEFG并排放在一起，连结AG交CE于M，连结HF，则图中阴影部分的面积为_________平方厘米．49．在1，3，5，…，101这51•个奇数中的每个数的前面任意添加一个正号或一个负号，则其代数和的绝对值最小为_________．50．如图，一条东西走向的公路修到某自然保护区边缘时，要拐弯绕道而过，若第一次拐的角是∠是100°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐弯后的公路CD•仍是东西走向，则第三次拐的角∠C=________．（拟题：王可民山东省梁山县梁山镇二中272600）51．设P=a2b2+5，Q=2ab-a2-4a，若P=Q，则实数a=_______；b=_______．52．如图，在数轴上有若干个点，每相邻个点之间的距离是1个单位长，•有理数a，b，d，d所表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示，如果3a=4b-3，那么∠c+2d=_______．dcba53．已知m+n=3，m2+n2=7，则m3+n3=______．54．若实数x，y满足│x-y+1│+│x+y-2007│=0，则[-xy]=_______．（其中[-xy]表示：不超过-xy的最大整数）55．若2│3a-2b│+（4b-12）2=0，则代数式14a2b-1-（a3+127b b+4）的值为_______．56．若以x为未知数的方程43x-a=25x+140有正整数解，则a的最小整数值是_____．57．设x-y=1，则y3+3xy-x3=________．58．已知x，y，z均不为0，并且x2+4y2+9z2=x3+2y3+3z3=x4+y4+z4，则（2x-1）2+（2y-2）2+（2z-3）2的值等于_________．59．计算： 33333333333333332468101214163691215182124-+-+-+--+-+-+-=__________． 60．远望巍巍塔七层，灯光点点倍加增，共灯六百三十五，请问顶层几盏灯？答：___________．61．国际上公认的男女出生时的性别比例为男：女=0．517：0．483，•我国某地区出生的性别比例为男：女=160：70，这个比值是公认的比值的_________倍．62．数码0，1，2，…，9中的四个：a ，b ，c ，d 使等式成立，则21377111313,b a a b c de d c -=⨯⨯⨯-成立则=•___________． 63．若1立方米的水重1000千克，而1吨97#汽油是1374升，那∠1升水与1升97#•汽油的重量之比为__________．64．2006年北京密云水库鱼王节上一条34斤的胖头鱼拍出23.6万元的价钱，若按180元可买1克黄金来折算，1两黄金可买胖头鱼_________两．65．计算220076200772008-⨯-=__________． 66．已知有理数a ，b 满足-1<a<0，0<b<1，那么，-ab ，a 2b 2，-a 3b 3中，最大的是________，最小的是_______．67．能使不等式│2m │>m+1成立的m 的取值范围是________．68．如图所示，有一只蜗牛从直角坐标系的原点O 向y 轴正方向出发，它前进1厘米后，右转90°，再前进1厘米后，左转90°，再前进1厘米后，右转90°，……当它走到点P （n ，n ）时，左边碰到障碍物，就直行1厘米，再右转90°，前进1厘米，再左转90°，前进1厘米，……最后回到x 轴上，则蜗牛所走过的路程s 为________厘米．（拟题：蔡世英福建省晋江市南岳中学362272）(第68题) (第71题) (第73题)69．一个两位数ab是质数，而ba是合数，且ab+ba是完全平方数，这样的两位数ab是________；•若一个两位数ab是合数，且ba也是合数，ab+ba是完全平方数，这样的两位数ab是_____．70．满足方程│x-2007│-1│=2007的x的值是________．71．如图所示，在4×4的方格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=______．72．In △ABC，the degrees of∠A，∠B and ∠C are α，βand γ•respectively．•If the degree of∠B is two times of that of ∠A，and the •exterior •angleof ∠C is equal to 120°，thenα：β：γ=__________．（英语词典：degree度、度数；respectively分别地；time倍数；exterior •angle 外角）73．两条平行直线L1，L2被第三条直线L3所截，如图所示，图中的8个角中，•互为补角的共有______对，互为邻补角的共有_______对．74．某校初一气象小组在整个暑假期间不间断地观察天气变化，最后有如下一些资料：75．甲乙丙丁四人参加某商场的抽奖活动，现知道：（1）如果甲中奖，那么乙也中奖．（2）如果乙中奖，那么丙中奖或甲不中奖．（3）如果丁不中奖，那么甲中奖，丙不中奖．（4）如果丁中奖，那么甲也中奖．则这四个人中有_______人中奖．（拟题：陈武海南省海口市义龙中学570206）76．有位诗人这样赞美桂林的山：云中的神啊，雾中的仙，神姿仙态桂林的山．•翻译出版的诗集中这段话的英译文是：“Gods in the cloud and fairies in the •mist，•The •Hills •in •Guilinlook like．”请统计这段英文诗句中26个英文字母出现的次数，则26•个英文字母中出现次数最少的共有_____个字母；出现次数最多的字母的频率是________．77．已知p，q都是质数，且x-1满足关于x的一元一次方程p3x+q p=11，则p=______．（拟题：蔡世英福建省江市南岳中学362272）三、解答题78．奥地利数学家皮克发现了一个计算正方形网格纸中多边形面积的公式：S=a+12b-1，其中a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如：在图？中，方格纸中每个小正方形的边长为1cm，点A、B、C、D都正好在格点上，那么四边形ABCD的面积S=7+12×4-1=8（cm2）．运用上述知识回答：（1）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1cm，点A、B、C、D都正好在格点上，求四边A、B、C、D的面积；（2）如图，横向或纵向的两个相邻格点的距离都是1，若多边形（•可以是凸的或凹的）的面点都在格点上，且面积为6，请画出这样三个形状不同的多边形（•多边形的边数≥6）．（拟题：蔡风山江苏省兴化市明升双语学校225700）79．如图，在一块周长为2007米的正六边形场地上，小明位于AB边（点A、B除外）上任意一点P，小明首先由P沿平行于BC的方向跑到CD边上的P1点，再由P1沿平行于DE的方向跑到EF边上的P2点，再由P2沿平行于FA的方向跑到AB边上的P3点……此后按上述规律一直跑下去，问小明能否返回到P点？如果能回到，他至少要跑多少米？（拟题：袁林春深圳市新世纪阶梯教室518101）80．小明向母校捐赠语文、数学、英语三种书共40册，总价值391元，这三种书的单价分别为：语文每册7元，数学每册8元，英语每册10元，那么语文、数学、英语课本分别有多少册？81．已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值．（拟题：俞颂萱上海市浦江教育培训中心200434）82．如图?，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，它延长后交BC延长线于M，求证：∠M=12（∠ACB-∠ABC）．83．右边5×5的表中的文字代表有理数，而表中的数字分别是各行、各列的文字所代表的有理数的和，试求出这些文字所代表的数值．84．甲、乙、丙完成某工程，甲单独完成所需时间是乙、•丙合作所需时间的4倍，乙单独完成工作所需时间是甲、丙合作所需时间的3倍，•问：丙单独完成所需时间是甲、乙合作所需时间的几倍？85．能否找到五个不同的正整数，它们中任意三个数的和是3的倍数；任意四个数的和是4的倍数，并且这五个正整数之和恰等于2007？若能找到，试举出一个例子；•若不能找到，请说明理由．第十八届（2007年）“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题（1～85题）答案．解析一、选择题1．由于3│2001，5│2005，9│2007，所以2001，2005，2007都是合数．经检验知，2，3，5，7，11，13，15，17，19，23，29，31，37，41，43都不是2003的约数，所以，2003是质数，选（A）．2．正方形有4条对称轴，其中2条是对角线，另两条是对边中点的连线，选（C）．3．│a1-a2│，│a2-a3│，│a3-a4│，…，│a99-a100│，│a100-a1│中各数的奇偶性分别与a1-a2，a2-a3，a3-a4，…，a99-a100，a100-a1中各数的奇偶性相同．又（a1-a2）+（a2-a3）+（a3-a4）+…+（a99-a100）+（a100-a1）=0，故这组数中有偶数个奇数．又这组数共有100个，故其中也有偶数个偶数，故选（D）．4．因为 a<b，所以 a-b<0，│a-b│=-（a-b）又因为 b<0<c<-b，│a-b│+│c+b│，因此 =-（a-b ）-（c+b ）=-a-c 选（B ）．5．大于90°，且小于180°的角叫钝角，所以度数为89°，126°，180°，216•°的4个角中只有126°的角是钝角，选（A ）．6．译文：在1～100这100个自然数中，能同时被2，3，5整除的数共有（ ）个． （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 7．译文：图1中共有（ ）条射线．（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5以A 为端点的射线有2条，以B 为端点的射线有3条，共有5条，选（D ）． 8．分子的最小公倍数是60，题给的5个分数依次是260560159010601260,,,,3908962392171021995===== 分子相同的分数，分母较大的分数值较小，所以题给的5•个分数按从小到大的顺序排列是10512152,,,,17819233，选（B ）． 9．由上次奥运会中美国射击名将失利可知，•“可能性很小”的事件也是可以出现的，选（C ）． 10．观察图形知，“丽”、“运”两字不是轴对称图形．选（B ）．11．每增加一条横线，就增加6个三角形，则三角形个数是6的倍数，故选（A ）． 12．2007=32×223，所以2007的约数是1，3，9，223，669，2007，共计6个，选（C ）． 13．这个圆柱体最上面的三分之一的圆柱锯掉了四分之一，所以锯掉部分的体积为12V．选（D ）． 14．当a=-b 时，a+b=0，排除（A ）；当a=-1，b=0时，a+（2b ）2=-1<0，排除（C ）； 当a=1，b=-1时，ab+12=-12<0，排除（D ），故选（B ）．事实上，由于a 2≥0，0.01b 2≥0， 所以a 2+0.01b 2≥0．15．已知关于x 的方程（2007a+2008b ）x+2007=0无解， 故可知 2007a+2008b=0，于是 a+b=2007b， 由b<0，知2007b->0，即a+b>0，选（A ）．16．2与-1为符号相反的两个数，但2与-1不互为相反数，易知①错误； 0的相反数与绝对值都是0，但是0既不是正数也不是负数，故③和④错误． 只有②正确，故选（A ）．17．由题意可知，出生时间应该是身份证编号中的第7到第14位，所以韩光出生的时间是1995年8月15日选（A ）．18．根据两点之间线段最短，知选（B ）．19．“从对甲、乙企业的投资额中各抽回15%和10%”与“从对甲、•乙企业的投资额中各抽回10%和5%”，相比，前者比后者各多抽回5%，即从对甲、乙企业的投资额中各抽回5%+8%-13%，总投资额减少130万元，所以李先生投资的这笔资金为130•÷13%=1000（万元），故选（D ）． 20．原方程整理为 （a+b-q ）x=a-b-2，由于此方程有无穷多个解，所以4020a b a b +-=⎧⎨--=⎩解得 a=3，b=1，所以（ab ）4=81，选（C ）．21．已知关系式可化为 a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca=0，即112（2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac ）=0， 所以112[（a-b ）2+（b-c ）2+（a-c ）2]=0，故 a=b ，b=c ，a=c ． 即 a=b=c ．选（A ）．22．译文：在3点半时，钟表上的时针和分针所成的锐角是（）（A）70°（B）75°（C）85°（D）90°钟表在3点时，时针与分针成90°角，再过半小时，分针转过180°指向“6”，•而时针转了36012×12=15°，所以在3点半时，钟表上的时针和分针所成的锐角是90°-15°=75°，选（B）．23．设这两个角为α和β（α>β），则（α+β）+（α-β）=180°，所以a=90°，选（C）．24．因为 a是质数，b是质数，3a+2b是质数，3a+2b<20．所以 a只能取3，5，b只能取2，5，经检验，只有（3，2），（3，5），（5，2）适合，故选（C）．25．由已知得（x-3）2≤（x+a）2，（a+3）[2x+（a-3）]≥0．当a=-3时，解是一切实数，包含x≥a；当a>-3时，x≥32a -，要包含x≥a，则必有 a≥32a -，则 a≥1；当a<-3时，x≤32a-，不能包括x≥a．所以 a≥1或a=-3，选（C）．26．如图所示，x当3≤x≤7时，│x-3│+│x-7│=4若三条线段能构成三角形，那么各选项中x的范围应能包含3≤x≤7，选（C）．27．令c=0，则可排除（A），（C），（D），所以选（B）．事实上，由图知a<0，b>0．若0<c<b，又a<0，相加得a+c<；右a<c≤0，得a+c<0<b．所以总有 a+c<b．28．若a不是整数，则2a不是偶数，①不成立；当a=0时，-a2=0，②不成立；当0≤a≤1时，a2≤a，③不成立；当a=0时，│a│=0，④不成立；（-a）3=（-1）3，（a）3=a3，⑤成立，选（A）．29．计算得d1=│-2007-（+19）│=2026；d2=│-2007-（-4032）│=2025；d3=│（+19）-（-4032）│=4051，比较知，选（A）．30．由“a、b是两个相邻的正整数”必能推得“a与b互质”，甲真；但反过来，•知3，7两个数互质，但3与7不是两个相邻正整数，乙不真，选（B）．二、填空题31．-149；+697 32．8 33．-1 34．a<b<c 35．1 36．2.25 37．-81338．039．（5，4） 40．36 41．2 42．24682008 43．29 44．1 45．5 46．100.4847．50 48．32 49．1 50．130º 51．-2；-1252．-2 53．-18 54．-1 55．-556．14 57．-1 58．14 59．82760．5 61．2.135 62．3 63．1.374；1 64．1365．2000 66．-ab；-ab 67．m<-23或m>2 68． 69．29，47，83；56，6570．4015；-1 71．315º 72．2：4：3 73．16；8 74．39 75．4 76．9；105777．8解析:31．司马迁出生于公元-149元；李白出生于公元+697年．32．译文：如图6，长度为12的线段AB的中点为M，点C将AB分成MC：CB=1：2，•则线段AC的长度是________．AC=AM+MC=6+13MB=6+2=8．33．（2x+y3）÷2=[2×3+（-2）3]÷2=（6-8）÷2=-1．34．a=2(20061)(20061)2006120062006-+-==2006-12006．同理可得 b=2007-12007，c=2008-12008．显然 a=2006-12006<2006-12006<2007-12007<2007-12007=b<2007-12008即 a<b<c．35．由图知a<-1所以a+1<0原式11aa----=136．15瓦的灯泡每月耗电：153301000⨯⨯=135100（度）40瓦的灯泡每月耗电：40330100⨯⨯=360100（度）每月可节约用电：360100-135100=2.25（度）37．由a bb+=-58，得ab+1=-58即ab=-138所以ba=-81338．（3a2+4a2b-3b2）+（-3a2-4a2b+2b2+1）]=-b2+1=-（-1）2+1=039．（5，4）40．摆成等边三角形时第1排1个，第2排2个，第3排3个，……，第8排8个．而(81)82+⨯=36．又 6×6=36．所以，小球的个数是36．41．两根毛线从中间打结后拉紧，相当于有公共端点的四条线段．易知，最多能形成2对对顶角，最少能形成0对邻补角，即a=2，b=0． 所以a+b=242．以n 表示12342006，则原分数的分母=n 2-（n-1）（n+1）=n 2-n 2+1=1． 所以原式的值是24682008．43．因为 a+b=3，a 2b+ab 2-ab （a+b ）=-30， 所以 ab=-10，则 a 2+b 2=（a+b ）2-2ab=32-2×（-1）=29． 44．由211nnx x +=． 得x 3n -x 2n +1=0，从而原式 -（x 3n -x 2n +1）（x 2n +x n +1）+1=1．45．可以加上的单项式有-4x 2，-1，4x ，-4x ，4x 4，共5个．46．设易拉罐底面圆的半径为r 厘米，则EF•等于4r ，•所以船应等于27πr ，•故有2r+27πr=AB=16.56，解得 r=2． 所以易拉罐的容积是πr 2×EF=3.14×2×4×2=100.48（立方厘米）． 47．如图，小林学校在A ，家在B ，下午4点他步行从A 出发，与按时从B 来接他的车相遇于C ，结果汽车由C 返回B 比往常提前了20分钟，表明汽车由C-A-C 共需20分钟，•因此汽车由C 到A 需10分钟，则汽车在4：50与小林相遇，即小林步行50分钟遇到来接他的爸爸．48．连结AC 、EG ，如图，则AC ∥EG ．即ACGE是梯形，△AHE的面积等于△CHG的面积．△AHE的面积+△EHF的面积=△CHG的面积+△EHF的面积=正方形CEFG的面积-△HFG的面积=8×8-882=32（平方厘米）．49．由于1+3+5+…+101=512为奇数，最小的正奇数为1，所以前3个奇数添加符号如下-1-3+5=1，而其余48个连续奇数按每连续四个添加符号如下，使其结果为0，即（2n+1）-（2n+3）-（2n+5）+（2n+7）=0．于是推知和的绝对值的最小值是1．50．由题意知AE∥CD．过点B在∠ABC内部作BF∥AE，则BF∥CD，所以∠ABF=∠A=100°，∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-100°=50°．所以∠C=180°-∠FBC=180°-50°=130°．51．由P-Q=a2b2+5-2ab+a2+4a=（ab-1）2+（a+2）2=0，所以ab=1，a=-2，b=-12．52．易知b=a+2，代入3a=4b-3中，得3a=4（a+2）-3，解得a=-5，于是b=-3，c=-2，d=0，所以C+2d=-2．53．（m+n）2=m2+2mn+n2=9，mn=1，（m+n）3=m3+3m2n+3mn2+n3=m3+n3+3mn（m+n）=-27，所以m3+n3=-27+9=-18．54．因为│x-y+1│≥0，│x+y-2007│≥0，所以│x-y+1│+│x+y-2007│≥0．又由题设知│x-y+1│+│x+y-2007│=0，所以│x-y+1│+│x+y-2007│=0．解方程组10,1003,200701004.x y x x y y -+==⎧⎧⎨⎨+-==⎩⎩得 于是[-x y ]=[-10031004]=-1 55．因为│3a-2b │≥0，（4b-12）2≥0，又2│3a-2b │+（4b-12）2=0，所以 3a-2b=4b-12=0，于是a=2，b=3．所以，原式=14×22×3-1-（23+127×33+4）=-5． 56．由原方程，得a=1415x-140，因为a 为正整数，所以1415x>140，所以x>150． 又因为1415x 为整数，所以x 是15的倍数，所以=x min =165，所以a min =1415×165-140=14． 即 a 的最小正整数值是14．57．Y 3+3xy-x 3=（y-x ）（y 2+xy+x 2）+3xy=-（y 2+xy+x 2）+3xy=-y 2+2xy-x 2=-（y-x ）2=-1．58．由已知等式，得x 4+y 4+z 4+x 2+4y 2+9z 2-2（x 3+2y 3+3z 3）=0，即x 2（x-1）2+y 2（y-2）2+z 2（z-3）2=0，由于x 2（x-1）2，y 2（y-2）2，z 2（z-3）2均为非负数，•所以x 2（x-1）2=y 2（y-2）2=z 2（z-3）2=0，因为x ，y ，z≠0，所以x=1，x=2，z=3．因此，原式=（4x 2-4x+1）+（4y 2-8y+4）+（4z 2+12z+9）=1+4+9=14．59．原式=333333333333333333332(12345678)283(12345678)327-+-+-+-==-+-+-+- 60．设顶层有灯x 盏，则有x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=635，即127x=635，解得x=561．公认比值为0.5170.483=1.0704，而该地区出生的性别比例为16070=2.2857，•这个比值是公认比值的2.28571.0704≈2.135倍． 62．因为7×11×13=1001，一个六位数137a b c 等于1001乘以一个三位数13d ，这恰好是将此三位数13d 重写一遍，即1313d d ，所以c=3，d=7，b=1，a=7，因此3b a d c--=3． 63．1升水重1千克，1升97#汽油重（1000÷1374）千克，它们的比是1.374：1． 64．1两鱼价值236000÷（34×10）=694.1（元），1两黄金价值180×50=9000（元）． 故9000÷694.1=13．65．令a=2007，则原式=22267(1)(66)(1)(1)6(1)111a a a a a a a a a a ----++--+==+++=a-7=2007-7=2000． 66．由已知得-1<ab<0，因此0<1+ab<1，因而-1<ab （1+ab ）<0，a 2b 2-（-ab ）=ab （•ab+1）<0，所以a 2b 2<-ab ．又a 2b 2-（-a 3b 3）=a 2b 2（1+ab ）>0，所以-a 3b 3<a 2b 2．因此，在-1<a<0，0<b<1•的条件下，-ab ，a 2b 2，-a 3b 3中最大的是-ab ，最小的是-a 3b 3． 此题也可以用特殊值法来检验判断．67．当m ≥0时，原不等式化为2m-1>m+1，解得m>2，当m<0时，原不等式化为-2m-•1>m+1，解得m<-23， 所以m 的取值范围是m<-23m>2． 68．显然，蜗牛所走过的路线是一个轴对称图形，所以S=2n ×2=4n （cm ）．69．设ab =10a+b ，ba =10b+a ，其中1≤a ，b ≤9， 于是ab +ba =（10a+b ）+（10b+a ）=11（a+b ），且2•≤a+b ≤18．因为ab +ba 是完全平方数，只须a+b=11，其中29，47，83均为质数，而92，74，38是合数；另外56与65均为合数．70．原方程等价于│x-2007│-1=±2007，因为│x-2007│≥0，所以│x-2007│=2007，即│x-2007│=2008，那么x-2007=±2008，所以x=4015或x=1．71．由题图可知∠4=45°，∠1+∠7=90°，∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°．四式相加得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=3×90°+45°=315°．72．译文：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数分别为α，β，γ，已知β是a的2倍，∠C•的外角等于120°，则α：β：γ=_______．由已知得β=2a，a+β=120°，所以α+β=120°，解得a=40°．因此β=80°，γ=60°，故有α：β：γ=2：4：3．73．互为补角的有∠1，∠2；∠2，∠3；∠3，∠4；∠4，∠1；∠5，∠6；∠6，∠7；∠7，∠8；∠8，∠5；∠1，∠6；∠1，∠8；∠2，∠5；∠2，∠7；∠3，∠6；∠3，∠8；∠4，∠5；∠4，∠7，共计16对．其中∠1，∠2；∠2，∠3；∠3，∠4；∠4，∠1；∠5，∠6；∠6，∠7；∠7，∠8；∠8，•∠5共8对互为邻补角．74．设有x天的上午下雨，则暑假有（30+x）天，则依题意列出方程：13+（35-x）=30+x，解得x=9，即这个暑假有39天．75．假设③成立，则与①、②矛盾，故④成立，由此可知甲、乙、丙、丁4•人均中奖．76．依统计26个英文字母出现的次数为：其中，一次都未出现的字母有9个（b，j，p，q，v，w，x，y，z）；出现次数最多的字母为i，共出现10次，其频率为10 57．77．将x=1代入p3x+q=11得p3+q=11，则p3，q必为一奇一偶．若p=2，则p3-8，q=3，此时p，q都是质数，符合题意；若q=2，则p3=9，此时不存在符合条件的质数p．故p3=23=8．三、解答题78．（1）通过观察可知a=5，b=6，则S=a+12b-1=5+12×6-1=7（cm 2）． （2）由题意知S=6，根据公式S=a+12b-1，可列出关于a ，b 的二元一次方程a+12b-1=6，其中b ≥6．不妨设b=6，则a=4，可画出如图25的四种图形．79．若P 与AB 中点重点，如左图，易知P 3就与P 重合，则小明的路程为六边形周长的34，即为34×2007=60214（米）．? 若P 与A 中点不重合，如右图，由PP 1∥EF ∥P 3P 4，P 1P 2∥DE ∥P 4P 5，P 2P 3∥CD ∥P 4P 5， 所以P•与P 重合，小明的总路程为3（PP+PP ）=3（BC+AD ）=60212（米）． 80．设语文、数学、英语分别有x 册、y 册、z 册． 则40,7810391.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①×10-②得，3x+2y=9，所以x=923y -， 因为x ，y 是正整数，所以y 只能等于3，此时x=1，z=36．即语文、数学、英语课本分别有1，3，36册．81．由a-c=1-b ，①d-c=b-2，②d=a-c+3．③①代入③得d=4-b ，再代入②得c=6-2b ，从而由①得a=7-3b ．所以 a+b+c+d=（7-3b ）+b+（6-2b ）+（4-b ）=17-5b ．因为b ≥0，所以a+b+c+d 的最大值为17．82．由EF ⊥AD 于P ，所以∠1+∠AEP=90°，∠2+∠AFP=90°，已知∠1=∠2，•所以∠AEP=∠AFP ．由三角形外角的性质得∠ACB=∠CFM+∠M=∠AFP+∠M=∠AEP+∠M=∠ABC+∠M+∠M ， 因此2∠M=∠ACB-∠ABC ，所以∠M=12（∠ACB-∠ABC ）． 83．从第2列 京+京+奥+京=8， 第3行 京+奥+京+奥=16，即38,2216,⨯+=⎧⎨⨯+⨯=⎩京奥京奥，解得 京=0，奥=8． 再从第1行 北+0+8+运=36.8，即 北+运=28.8，从第4列 运+运+8+北=45.6，即 北+2×运=37.6，解得 北=20，运=8.8． 再从第1列 北+在+京+在=60，即 20+在+0+在=60，可得 在=20，从第2行 在+京+•开+运=36.8，即 20+0+开+8.8=36.8，可得 开=8，最后从第4行 在+京+之+北=48；即 20+0+之+20=48，可得 之=8． 即表中文字代表的数值如下：北=20，京=0，•奥=8，运=8.8，在=20，开=8，之=8．84．设甲、乙、丙单独完成工程所需时间分别为x ，y ，z ，丙单独完成工程所需时间是甲、乙合作所需时间的a 倍，依题意可得 411,311,11.x y z y x za z x y ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩①×②＋③，得12a=222222 ()()()2x y y z z x xyz x y y z z x y x zx yz xyz xyz+++++++++==2+x（1y+1z）+y（1x+1z）+z（1x+1y）=2+4+3+a，所以a=911．85．假定存在这样的五个正整数，设它们分别是x，y，z，u，v．由于“它们中任意三个数的和是3的倍数”，可知x，y，z，u，v被3•除的余数相同．由于“它们中任意四个数的和是4的倍数”，可知x，y，z，u，v被4除的余数也相同．由于（3，4）=1，因此x，y，z，u，v被12除的余数相同，由x+y+z+u+v=2007．而上式右边的2007被12除余3．左边的x，y，z，u，v被12除的余数都相同，所以，满足题设要求的五个正整数x，y，z，u，v都应是被12除余3的数．如3，15，27，39，1923即是满足题设要求的一组数．。