2009年第二十届“希望杯”全国高二数学邀请赛(第2试)

第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试1990年3月18日 上午8：30—10：00一、选择题1、等差数列的第p 项是1990，第1990项是p ，那么第p + q （q ≥ 1991）项（ ）（A ）是正数 （B ）是负数 （C ）是零 （D ）符号不能确定2、设S k =11k ++12k ++ (12)，则（ ） （A ）S k + 1 = S k +122k + （B ）S k + 1 = S k +121k ++122k + （C ）S k + 1 = S k +121k +–122k + （D ）S k + 1 = S k –121k ++122k +3、函数y ）（A ）有最小值没有最大值 （B ）有最大值没有最小值（C ）有最小值也有最大值 （D ）没有最小值也没有最大值4、a ，b ∈R ，那么| a + b | = | a | – | b |是a b ≤ 0的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）不充分也不必要条件5、α ≠2k π( k ∈ Z )，那么sec α与sin 2 α tan 2α的符号（指正负号）（ ） （A ）总是相同 （B ）总是相异（C ）在第一、三象限时，它们同号，在第二、四象限时，它们异号（D ）在第一、三象限时，它们异号，在第二、四象限时，它们同号6、正四面体内切球的体积是V ，则它的外接球的体积是（ ）（A ）8V （B ）27V （C ）64V （D ）4V7、一个平面最多把空间分为两部分，两个平面最多把空间分为四部分，三个平面最多把空间分为八部分，那么，四个平面最多把空间分成（ ）（A ）16部分 （B ）14部分 （C ）15部分 （D ）20部分8、设a = arcsin ( sin 17)，b = arccos ( –17)，c = arcsin ( –17)，则（ ） （A ）a > b > c （B ）b > a > c （C ）c > a > b （D ）b > c > a9、方程arccot x + arcsin x = π的实数根的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）310、在四个数12，中，与等的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3二、填空题11、方程arcsin ( sin x ) + arccos ( cos x ) =2π的解集是 。

第二十届“希望杯”全国数学邀请赛(2009年)初二第一试一、选择题（每小题4分，共40分）1．在一次视力检查中，初二（1）班的50人中只有8人的视力达标．用扇形图表示视力检查结果，则表示视力达标的扇形的圆心角是（）A．64.8ºB．57.6ºC．48ºD．16º2．如图，已知点B在反比例函数y＝kx的图象上．从点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、C．若△ABC的面积是4，则反比例函数的解析式是（）A．y＝－8x B．y＝8x C．y＝－4x D．y＝4x3．如果a＋2ab＋b＝2，且b是有理数，那么（）A．a是整数B．a是有理数C．a是无理数D．a可能是有理数，也可能是无理数4．复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4等，它们有如下的关系：将上一个型号（例如A3）的复印纸在长的方向对折后得到两张下一型号（A4）的复印纸，且各种型号的复印纸的长与宽的比相等，那么这些型号的复印纸的长与宽的比约为（）A．1.141∶1 B．1∶1 C．1∶0.618 D．1.732∶15．The number of integer solutions for the syetem of inequalities⎩⎨⎧x－2a≥0，3－2x＞－1about x is just 6，then the range of value for real number a is （）A．－2.5＜a≤－2 B．－2.5≤a≤－2 C．－5＜a≤－4 D．－5≤a≤－4(integer solutions 整数解syetem of inequalities 不等式组the range of value 取值范围)6．若分式|x|－23x－2的值是负数，则x的取值范围是（）A．23＜x＜2 B．x＞23或x＜－2C．－2＜x＜2且x≠23D．23＜x＜2或x＜－27．在100到1000的整数中(含100和1000)，既不是完全平方数，也不是完全立方数的有（）A．890个B．884个C．874个D．864个8．如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，点F在BC上，∠EAF＝∠DAE，则下列结论中正确的是（）A．∠EAF＝∠F AB B．BC＝3FCC．AF＝AE＋FC D．AF＝BC＋FC9．计算：33)7411()7411(-++，结果等于（）A．58 B．387C．247D．32710．已知在代数式a＋bx＋cx2中，a、b、c都是整数，当x＝3时，该式的值是2008；当x＝7时，该式的值是2009，这样的代数式有（）A CBD A ．0个 B ．1个 C ．10个 D ．无穷多个二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．某地区有20000户居民，从中随机抽取200户，调查是否已安装电话，结果如右表所示，则该地区已安装电话的户数大约是 ．12．若14x ＋5－21x 2＝－2，则6x 2－4x ＋5＝ ．13．不等式x －1＞2 x 的最大整数解是 ．14．已知m 是整数，以4m ＋5、2m －1、20－m 这三个数作为同一个三角形三边的长，则这样的三角形有个．15．当x 依次取1，2，3， (2009)1 2， 1 3， 1 4，…， 1 2009时，代数式 x 21＋x 2的值的和等于 ．16．由直线y ＝x ＋2、y ＝－x ＋2和x 轴围成的三角形与圆心在点(1，1)、半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等于 ． 17．在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，斜边AB 边上的高为h ，则两直角边的和a ＋b 与斜边及其高的和c ＋h 的大小关系是a ＋b c ＋h （填“＞”、“＝”、“＜”）． 18．The figure on the right is composed of square ABCD and triangle BCE ，where ∠BEC is right angle ．Supposethe length of CE is a ，and the length of BE is b ，then the distance between point A and line CE equals to ．(be composed of 由…组成 right angle 直角 length 长度 distance 距离)19．如图，在△ABC 中，AB ＞BC ，BD 平分∠ABC ，若BD 将△ABC 的周长分为4∶3的两部分，则△ABD与△BCD 的面积比等于 ．20．如果将n 个棋子放入10个盒子内，可以找到一种放法，使每个盒子内都有棋子，且这10个盒子内的棋子数都不同；若将(n ＋1)个棋子放入11个盒子内，却找不到一种放法，能使每个盒子内都有棋子，并且这11个盒子内的棋子数都不同，那么整数n 的最大值等于 ，最小值等于 ．三、B 组填空题（每小题8分，共40分）21．如果自然数a 与b (a ＞b )的和、差、积、商相加得27，那么a ＝ ，b ＝ ． 22．若 a b ＋c ＝ b c ＋a ＝ ca ＋b ，则2a ＋2b ＋c a ＋b －3c＝ 或 ．23．若关于x 的方程 1 x －1－ a2－x ＝ 2(a ＋1) x 2－3x ＋2无解，则a ＝ 或 或 ．24．对于正整数k ，记直线y ＝－k k ＋1x ＋ 1k ＋1与坐标轴所围成的直角三角形的面积为S k ，则S k ＝ ，S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝ ．25．将 1 2， 1 3， 1 4，…， 1100这99个分数化成小数，则其中的有限小数有 个，纯循环小数有 个(纯循环小数是指从小数点后第一位开始循环的小数)．【部分详解】1、解：扇形的圆心角=8÷50×360°=57.6°．故选B．2、解：由题意得：三角形的面积等于1/ 2 |k|，∴|k|=8，又∵反比例函数图象在四象限．∴k＜0，∴k=-8，∴反比例函数的解析式是y=-8/ x ．故选A．3、4、5、这六个整数解为1,0，-1，-2，-3，-4-5<2a<=-4,故选A6、7、解：在100到1000中（包括100和1000），完全平方的有100、121、144、169、196、225、256、289、324、361、400、441、484、529、576、625、676 729、784、841、900、961，共22个，完全立方的有125、216、343、512、729、1000，共6个，729既是完全平方数，又是立方数，∴既不是完全平方数，也不是完全立方数个数为901-22-6+1=874．故选C．8、9、10、解：根据题意，得a+3b+9c=2008，①a+7b+49c=2009，②，由②-①，得4b+40c=1，③∵a、b、c都是整数，∴③的左边是4的倍数，与右边不等，所以，这样的代数式不存在；故选A．11、解：安装的频率=95/ 200 ，∴该地区已安装电话的户数大约=20000×95 /200 =9500．故答案为：9500．12、13、14、解：根据三角形两边之和大于第三边，可得（4m+5）+（2m-1）＞20-m，7m＞16①；（4m+5）+（20-m）＞2m-1，m＞-26②；（2m-1）+（20-m）＞4m+5，3m＜14③．整理16/7 ＜m＜14/ 3 ．∵m取整数∴m=3或4．故这样的三角形有2个．故答案为：2．15、16、17、18、19、20、解：①对于n值为最大的情况，从已知n值最小为出发点，在增加一个盒子之后若出现使得各个盒子中的棋子数不相同，则应该有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11．而1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66，如果n=65，n+1=66，就能够找到11个不重复且不为0的方法了，所以最大值是64个②对于n值最小的情况，必有一盒子中放有1棋子，而其它的也都各不相同，为使总棋子数最小则其它应依次为2、3、4、5、6、7、8、9、10，共有55 颗，若再添一颗棋子则找不到各个不同的方法，所以n值最小为55．故答案为：64、55．21、22、23、24、25、解：分母中只含有质因数2的数是：2，4，8，16，32，64；分母中只含有质因数5的数是：5，25；分母中只含有质因数2和5的数是：10，20，40，50，80，100；一共有：6+2+6=14（个）；答：能化成有限小数的分数有14个．故答案为：14．1/2,1/4,1/5,1/8,1/10.1/16.1/20,1/25,1/32,1/40,1/50,1/64,1/80,1/100分母分解的质因数中不含2或5，则该分数为纯循环小数100以内的质数为25个，去掉2和5还有13个还有9,21,33,39,49,51,57,63,69,77,87,91,93,99共14个所以共有39个。

第二十届希望杯全国数学邀请赛章程Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】第二十届“希望杯”全国数学邀请赛章程(发第二试初审点)1. 主办单位中国科学技术协会普及部,中国优选法统筹法与经济数学研究会,华罗庚实验室,《数理天地》杂志社，《中青在线》网站。

2. 宗旨通过邀请赛活动，引导中学生学好中学数学课程中最主要的内容并适当地拓宽知识面，鼓励他们探索数学在其它学科和社会活动中的应用，激发他们钻研和应用数学的兴趣和热情，培养他们科学的思维能力，同时也为中学数学教师提供新的信息和资料，以促进我国数学教育水平的提高。

3. 对象普通中学的初一、初二、高一、高二年级的学生。

4. 考试按初一、初二、高一、高二四个年级分年级命题，每个年级组都进行两试。

所有报名参赛的学生都参加第一试，其中成绩优秀的选手参加第二试。

第一试：考查教学进度内现行中学数学课本里应掌握的内容，对知识和能力的考查并重。

初、高中满分均为120分。

时间：2009年3月14日(星期六) 上午8∶30至10∶00。

地点：原则上安排在各参赛学校。

第二试：试题内容同第一试，能力上比第一试要求高，初、高中满分均为120分。

时间：2009年4月11日(星期六) 上午9∶00至11∶00。

由地、市级教研室(或教科院、所，教育学院，教师进修学校，师大数学系，青少年活动中心)或本地区“希望杯”组委分会及《数理天地》编委分会统一组织，必须：统一考场，统一监考。

5．命题由数学家、数学教育专家、大中学数学教师组成命题委员会负责命题。

欢迎各地数学教研员，大、中学数学教师编拟备选题。

备选题须在2008年11月15日前向邀请赛组委会寄出。

题目被选用的命题人将获得“希望杯命题奖”及奖金。

本届试题及培训题将汇编至《“希望杯”数学竞赛系列丛书》中，于2009年10月出版。

6．试卷第一、第二两试试卷均由组委会在北京统一印制，在考试前一个月向各考点负责人挂号寄出。

历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选题详析(四)题31 Let point M move along the ellipse 18922=+y x ,and point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of Mis .(ellipse 椭圆；focus 焦点；coordinate 坐标)（第十四届高二第二试第18题）译文：点M 是椭圆18922=+y x 上一点，点F 是椭圆的右焦点，点P （6，2），那么3|MF|-|MP|的最大值是 ，此时点M 的坐标是 .解 在椭圆18922=+y x 中，8,922==b a ，则1,12==c c ，所以椭圆的右焦点F 的坐标 为（1，0），离心率31==a c e ，右准线9:2==ca x l ，显然点P （6，2）在椭圆18922=+y x 的外部.过点P 、M 分别作PG ⊥l 于G ，MD ⊥l 于D ，过点P 作PQ ⊥MD 于Q ，由椭圆的定义知，3|MF|-|MP|=|MD|-|MP|≤|MD|-|MQ|=|QD|=|PG|=9-6=3，当且仅当点P 位于线段MD 上，即点P 与Q 点重合时取等号.由点P 位于线段MD 上，MD ⊥l 及点P （6，2），知点M 的纵坐标为2，设M 的横坐标为0x ，即M （0x ，2），则有184920=+x ，解得2230±=x ，因此3|MF|-|MP|的最大值是3，此时点M 的坐标是（223±，2）. 评析 若设点M 的坐标为(x,y)，则可将3|MF|-|MP|表示成x 、y 的二元无理函数，然后再求其最大值，可想而知，这是一件相当麻烦的事，运用椭圆的定义，将3|MF|-|MP|转化为||MD|-|MP|，就把无理运算转化为有理运算，从而大大简化了解题过程.拓展 将此题引伸拓广，可得定理 M 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 上的动点，F 是椭圆E 的一个焦点，c 为椭圆E 的半焦距，P （m,n ）为定点.1、 若点P 在椭圆E 内，则当F 是右焦点时，e 1|MF|+|MP|的最小值是m ca -2；当F 是左焦点时，e 1|MF|+|MP|的最小值是m ca +2. 2、 若点P 在椭圆E 外，则F 是右焦点，且0≤m≤c a 2，|n|≤b 时，e 1|MF|-|MP|的最大值是m c a -2. F 是右焦点，且m>c a 2，|n|≤b 时，|MP|-e 1|MF|的最小值是c a m 2-.F 是左焦点，且c a 2-≤m≤0，|n|≤b 时，e 1|MF|-|MP|的最大值是m c a +2. F 是左焦点，且m≤c a 2-，|n|≤b 时，|MP|-e 1|MF|的最小值是ca m 2--.简证 1、如图1，作MN ⊥右准线l 于N ，PQ ⊥l 于Q ，由椭圆定义，|MN|=e1|MF|. ∴e 1|MF|+|MP|=|MN|+|MP|≥|PQ|=m c a -2，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之间时取等号.如图2，同理可证e 1|MF|+|MP||=|MN|+|MP|≥|PQ|=m ca +2，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之间时取等号.2、 如图3，e 1|MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=m ca -2，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号.m图1图2如图4，|MP|-e 1|MF|=|MP|-|MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|=ca m 2-，当且仅当P 位于直线MN上，即点P 与Q 重合时取等号.如图5，e 1|MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=m ca +2，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号.如图6，|MP|-e 1|MF|=|MP|-|MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|=ca m 2--，当且仅当P 位于直线MN上，即点P 与Q 重合时取等号.题32 已知双曲线k y x =-22关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，则k 的值等于（ ）A 、32 B 、34 C 、45 D 54 （第十五届高二培训题第19题）解 设点P （x 0,y 0）是双曲线k y x =-22上任意一点，点P 关于直线x-y=1的对称点为图3 图4图5图6P’（x,y ）,则12200=+-+y y x x ①，又10-=--x x y y ②，解①、②联立方程组得 0011x y y x =+⎧⎨=-⎩③.∵P 点在双曲线k y x =-22上，∴k y x =-2020 ④.③代入④，得k x y =--+22)1()1( ⑤，此即对称曲线的方程，由x+2y=1，得x=1-2y`,代入⑤并整理，得01232=-+-k y y .由题意，△=4-12（k-1）=0，解得k=34，故选B. 评析 解决此题的关键是求出对称曲线的方程.由于对称曲线与直线相切，故由△=0便可求得k 的值.拓展 关于直线的对称，我们应熟知下面的结论 1、点（x 0,y 0）关于x 轴的对称点是（x 0,-y 0）. 2、点（x 0,y 0）关于y 轴的对称点是（-x 0, y 0）. 3、点（x 0,y 0）关于y=x 的对称点是（y 0,x 0）. 4、点（x 0,y 0）关于y=-x 的对称点是（-y 0,-x 0）.5、点（x 0,y 0）关于y=x+m 的对称点是（y 0-m,x 0+m ）.6、点（x 0,y 0）关于y=-x+n 的对称点是（n-y 0,n-x 0）.7、点（x 0,y 0）关于直线Ax+By+C=0的对称点是（x,y ），x,y 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++⋅++⋅)()(022********x x B y y A c y y B x x A 的解. 根据以上结论，不难得到一曲线关于某直线对称的曲线的方程，比如曲线f(x,y)=0关于直线y=x+m 对称的曲线的方程是f(y-m,x+m)=0.题33 21,F F 是双曲线3322=-y x 的左、右焦点，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，则11F A F B +的最小值是____________-.（第四届高二第二试第15题）解 双曲线3322=-y x ,即1322=-y x ，如图，B A ,在双曲线右支上，3221=-AF AF ,3221=-BF BF ,故当22BF AF +取得最小值时，11BF AF +也取最小值.设l 是双曲线对应于2F 的准线，l BD l AC ⊥⊥,,垂足为D C ,，则由双曲线定义可知BD e BF AC e AF ==22,，而MN BD AC 2=+，其中MN 是梯形ACDB 的中位线，当21F F AB ⊥时，MN取最小值21232=-，这时，22BF AF +取得最小值322=MN e ,从而11BF AF +取最小值33143234=+. 评析 解决此题的关键是灵活运用双曲线的第一、第二定义，发现22BF AF +，即)(BD AC e +，亦即MN e 2最小时，B F A F 11+也最小，并能知道21F F AB ⊥时MN最小（这点请读者自己证明）.本题虽然也有其他解法，但都不如此法简单，双曲线定义及平几知识的运用在简化本题解题过程中起了决定性的作用.拓展 将本题中的双曲线一般化，便得定理 1F 、2F 是双曲线12222=-b y a x 的左、右焦点，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，则B F A F 11+的最小值是ab a 224+.仿照本题的解法易证该定理（证明留给读者）. 用此定理可知本题中的最小值为3314312342=⨯+⋅. 题34 方程()()|3|2222+-=-+-y x y x 表示的曲线是( )A 、直线B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线（第十二届高二培训题第23题）解法1 由()()|3|2222+-=-+-y x y x 的两边平方并整理得012102=-+-y x xy .令v u y v u x -=+=,，则()()()()012102=--++--+v u v u v u v u ，整理得91812288222-=---+-v v u u ，即()()9322222-=+--v u ，故已知方程表示双曲线，选C.解法2 已知方程就是()()2|3|22222+-⋅=-+-y x y x ，由双曲线的第二定义，可知动点P ()y x ,到定点（2，2）的距离与到定直线03=+-y x 的距离比为2，因为12>，所以选C.评析 根据选择支，可知解决本题的关键是将已知方程化为某二次曲线的标准方程或直线方程.显然，平方可去掉根号与绝对值符号，但却出现了乘积项xy .如何消去乘积项便成了问题的关键.解法1表明对称换元是消去乘积项的有效方法.解法2从已知方程的结构特征联想到两点距离公式与点线距离公式，发现方程表示的曲线是到定点（2，2）的距离与到定直线03=+-y x 的距离之比为2的动点()y x ,的轨迹，根据双曲线定义选C.显示了发现与联想在解题中的作用. 拓展 将此题一般化，我们有下面的定理 若()()||22C By Ax b y a x ++=-+-（b a C B A 、、、、为常数，且BA 、不全为零），则（1）当1022<+<B A 时，方程表示()b a ,为一个焦点，直线0=++C By Ax 为相应准线的椭圆.（2）当122>+B A 时，方程表示()b a ,为一个焦点，直线0=++C By Ax 为相应准线的双曲线.（3）当122=+B A 且0=++c Bb Aa 时，方程表示过点()b a ,且与直线0=++C By Ax 垂直的直线.（4）当122=+B A 且0≠++c Bb Aa 时，方程表示()b a ,为焦点，直线0=++C By Ax 为准线的抛物线.读者可仿照解法2，运用二次曲线的第二定义自己证明该定理. 题 35 已知1≥x ，则动点A ⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x 1,1与点B（1，0）的距离的最小值是_________-.（第七届高二第一试第23题）解法1 由已知得2222111101AB x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+--=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦214x x ⎡⎤⎛⎫++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2111723222x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦将此式看作以xx 1+为自变量的二次函数，111,22x x x x x≥∴+≥=,这表明该二次函数的定义域是[)+∞,2. 该函数在[)2,+∞上是增函数，∴当21=+xx 时，1,1272122m i n 22mi n=∴=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AB AB .解法 2 令24,tan πθπθ<≤=x ，则112tan 2csc 22tan sin 2x x θθθθ+=+==≥ 112,x x x ⎛⎫≥⇒+≥ ⎪⎝⎭112tan 2cot 2.tan tan 2x x θθθθ--=-==-AB ∴=== ∴当12csc =θ，即4πθ=时，12741182min=-⎪⎭⎫⎝⎛-=AB .解法 3 设11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 1≥）,两式平方并相减，得),0,2(422≥≥=-y x y x 即动点A 的轨迹是双曲线422=-y x 的右半支在x 轴上方的部分（含点（2，0）），由图知|AB|min =1.评析 所求距离|AB|显然是x 的函数，然而它是一个复杂的分式函数与无理函数的复合函数，在定义域[)+∞,1上的最小值并不好求，解法1根据|AB|≥0，通过平方，先求2min ||AB ，再求|AB|min =2min ||AB ，并将xx 1+看作一个整体，将原问题化为求二次函数在[)+∞,2上的最值问题；解法2通过三角换元，把求|AB|min 的问题转化为求关于θ2csc 的二次函数在[)+∞,2的最小值问题，整体思想、转化思想使得问题化繁为简，化生为熟；解法3则求出点A 的轨迹，从图形上直观地看出答案，简捷得让人拍案叫绝，这应当归功于数形结合思想的确当运用.许多最值问题，一旦转化为图形，往往答案就在眼前.题36 抛物线2x y =上到直线02=++y x 的距离最小的点的坐标是________．（第九届高二培训题第27题）解法1 设抛物线2x y =上的点的坐标是()2,xx ，则它到直线02=++y x 的距离是271()24x d ++==，当12x =-时d 最小，此时14y =.故所求点的坐标是()11,24-. 解法 2 如图，将直线02=++y x 平移至与抛物线2x y =相切，则此时的切点即为所求点.设切线方程为k x y +-=，代入2x y =，得02=-+k x x .由o =∆，即041=+k ，得14k =-.解214y x y x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩得1214x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.故所求点的坐标是()11,24-.解法3 设所求点的坐标为P ()00,y x ，则过点P 的抛物线的切线应与直线02=++y x 平行.而其切线方程为02y y x x +=，故120-=x ，012x =-.20014y x ∴==. 故所求点的坐标为()11,24-. 评析 解法1由点线距离公式将抛物线上的任意一点()2,x x 到直线02=++y x 的距离d 表示成x 的二次函数，再通过配方求最值，体现了函数思想在解析几何中的运用.解法2运用数形结合思想发现与直线02=++y x 平行的抛物线2x y =的切线的切点就是所求点，设切线方程为k x y +-=后运用方程思想求出k ，进而求出切点坐标.解法3则设切点为P ()00,y x ，直接写出过二次曲线()0,=y x f 上一点P ()0,0y x 的切线方程，由切线与已知直线平行.两斜率相等，求出切点坐标.解法2、3不仅适用于求抛物线上到直线的距离最小的点的坐标，同样也适用于求椭圆、双曲线上到直线的距离最小的点的坐标，故为通法.解法3涉及到过抛物线上一点的抛物线的切线方程，下面用导数证明一般情形的结论：定理 过抛物线c bx ax y ++=2上一点P ()00,y x 的切线方程是00022y y x x ax x b c ++=++. 证明 设过点P ()00,y x 的抛物线c bx ax y ++=2的切线的方程为()00x x k y y -=-①. b ax y +=2/，b ax y k x x +===0/20，代入①得()()0002x x b ax y y -+=-，()()000022222ax b x x y y y +-+=+，200000022y y x x ax x b y ax bx ++=++--②. 点()00,y x 在抛物线c bx ax y ++=2上，c bx ax y ++=∴0200，c bx ax y =--0200，代入②，得切线方程为000y y x x ax x b c ++=++. 拓展 观察切线方程的特征，就是同时将曲线方程中的22,y x 分别换成x x 0，y y 0，把y x ,分别换成00,22x x y y++便得切线方程.事实上，对于一般二次曲线，有下面的定理. 定理 过二次曲线022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 上一点Ρ()00,y x 的该曲线的切线方程是0000000222x y xy x x y yAx x BCy y D E F ++++++++=. 运用该定理必须注意点Ρ()00,y x 在曲线上.例 求过点()3,2的曲线2223448300x xy y x y ++---=的切线的方程.解 经验证，点()3,2在曲线2223448300x xy y x y ++---=上，根据上面的定理，所求切线方程为23322234348300222y x yx x y +++⋅+⋅+⋅-⋅-⋅-=，即0922213=-+y x .题37 在抛物线x y 42=上恒有两点关于直线3+=kx y 对称,则k 的取值范围是 .(第十五届高二培训题第71题)解法1 设两点B ()11,y x 、C ()22,y x 关于直线3+=kx y 对称，直线BC 的方程为m ky x +-=，将其代入抛物线方程x y 42=，得0442=-+m ky y .若设BC 的中点为M ()00,y x ，则k y y y 22210-=+=.因为M 在直线3+=kx y 上，所以 ()3222++=-m k k k .kk k k k k m 32223232++-=-+-=，因为BC 与抛物线相交于两个不同点，所以016162>+=∆m k .再将m 的式子代入，经化简得0323<++kk k ，即 ()()0312<+-+kk k k ，因为032>+-k k ，所以01<<-k .解法2 由解法1，得k y y 421-=+，k k k m y y 12884321++=-=.因为212212y y y y >⎪⎭⎫ ⎝⎛+，所以k k k k 1288432++>，解得01<<-k . 解法3 设B ()11,y x 、C ()22,y x 是抛物线x y 42=上关于直线3+=kx y 对称的两点，且BC 中点为M ()00,y x .因为2221214,4x y x y ==，所以()1221224x x y y -=-，即()4211212=+⋅--y y x x y y ，所以k y y k 2,42100-==⋅-.又300+=kx y ,所以k k x 320+-=,因为M ()00,y x 在抛物线x y 42=的内部，所以0204x y <，即()⎪⎭⎫⎝⎛+-<-k k k 32422，解得01<<-k .解法4 设B 、C 是抛物线x y 42=上关于直线3+=kx y 对称的两点， M 是BC 中点.设M()00,y x ，B()y x ,，C()y y x x --002,2,则xy 42=①，()()x x y y -=-020242②.①-②，得0220200=-+-x y y y x ③.因为点M ()00,x y 在直线3+=kx y 上，003y kx ∴=+④.④代入③得直线BC的方程为()()023320200=-+++-x kx y kx x ，故直线BC 的方向向量为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32,000kx x x ，同理得直线3+=kx y 的方向向量()00,kx x v =.因为直线BC 与直线3+=kx y 垂直，所以0=⋅，即()0,32,00000=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+kx x kx x x ，化简得 ()03320020=+++kx k kx x ，得0320=++k kx 或020=x （舍去）.显然0≠k ，解得k kx y kk x 23,32000-=+=+-=.因为M ()00,y x 在抛物线x y 42=的内部，所以0204x y <，即()⎪⎭⎫⎝⎛+-<-k k k 32422，3223(1)(3)0,0,k k k k k k k +++-+<<又032>+-k k ，所以01<<-k .评析 定（动）圆锥曲线上存在关于动（定）直线对称的两点，求直线（圆锥曲线）方程中参数的取值范围.这是解析几何中一类常见的问题.解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围.解法1运用二次方程根的判别式，解法2运用均值不等式，解法3、4运用抛物线弦的中点在抛物线内部，分别成功地构造了关于k 的不等式，这其中，韦达定理、曲线与方程的关系、两垂直直线的方向向量的数量积为零等为构造关于k 的不等式起了积极作用.练习 若抛物线12-=ax y 上总存在关于直线0=+y x 对称的两个点，则实数a 的取值范围是（ ）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,41B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,43C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0D 、⎪⎭⎫⎝⎛-43,41 答案：B题38 抛物线x y 42=的一条弦的倾斜角是α,弦长是α2csc 4,那么这种弦都经过一定点,该定点是 ．（第十三届高二培训题第73题）解法1 设弦过点)0,(a M ，则弦所在的直线是)(a x k y -=，αtan =k ，︒≠90α，代入抛物线方程，消去x 得)4(2a y k y -=，即042=--ak y y k ． (弦长)2=)cot 1(2α+()222416161cot 16tan a a k αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()22csc 16cot 16a αα=+ =α4csc 16，即2216cot 1616csc a αα+=21616cot α=+，由此得1=a ．当︒=90α时，弦所在直线方程为)0(>=a a x ，弦长为4．由⎩⎨⎧==x y ax 42，得⎩⎨⎧==a y a x 2或⎩⎨⎧-==ay ax 2．又由弦长44=a ，得1=a ． 综上，这些弦都经过点（1，0）．解法2 由题意，对任意α都得同一结论，故运用特殊化思想解． 令2πα=，则弦长为42csc42=π，此时弦所在直线方程为)0(>=a a x ，代入x y 42=，得a y 42=，a y 2±=．由题设，44=a ，即1=a ．所以2πα=时，弦所在直线方程为1=x ．再令4πα=，则弦长为84csc42=π，设此时弦所在直线方程为1-=-x b y ，得b y x -+=1，代入x y 42=并整理，得04442=-+-b y y ，弦长⋅+=11212214)(y y y y -+8)44(4162=--⋅=b ，解得0=b ，所以4πα=时，弦所在直线方程为1-=x y ．解⎩⎨⎧-==11x y x ，得定点为（1，0）．评析 题目本身反映了对于一条确定的抛物线，若α确定，则以α为其倾斜角的弦的长也确定，α变化，则以α为其倾斜角的弦的长也变化．但不论α怎样变化，这样的弦都过一个定点，这反映了客观世界运动变化中的相对不变因素的存在．由题设可知0≠α，故解法1设弦过点)0,(a ，并分直线的斜率存在与不存在两类情形，根据弦长是α2csc 4，直接求出1=a ．从而说明不论α为何值，弦总过定点（1，0）．这是合情合理的常规思维．然而，根据题意，这些弦过定点肯定是正确的，这就意味着满足题设的任意两弦的交点就是所求定点．这就具备了运用特殊化思想解题的前提．解法2分别令2πα=与4πα=，得到两个相应的弦所在直线的方程，解其联立方程组得其交点为(1,0)，即为所求．这种解法的逻辑依据是“若对一般正确，则对一般中的特殊也正确．”至于解法2中为什么令2πα=与4πα=，而不令713πα=与325πα=，主要是为了计算的方便，这也是用此法解题时应当十分注意的．应当指出，凡解某种一般情形下某确定结论是什么的问题都可用这种方法解．拓展 原题中弦长α2csc 4中的4恰好为抛物线方程中的p 2，而答案中的定点(1,0)又恰好为抛物线x y 42=的焦点．这是偶然的巧合，还是普遍规律呢？经研究，这 并非巧合，而是一个定理.定理 若抛物线)0(22>=p px y 的弦PQ 的倾斜角为θ，则θ2c s c 2p PQ =的充分必要条件是PQ 经过抛物线的焦点)0,2(pF ． 证明 先证必要性:由已知，可设PQ 的方程为)90,tan ()(︒≠=-=θθk a x k y ，代入px y 22=，得-22x k)(2222=++a k x p a k ①．由已知及弦长公式得[]21221224)()1(x x x x k PQ -+⋅+=②．将①的两根之和与积代入②，得()2242241c s c 2k p p a p k kθ+=+，从而得2442csc tan sec p θθθ=（222tan p ap θ+），解得2p a =，即知PQ 过焦点(,0)2p F ．容易验证当90θ︒=时，结论也成立．再证充分性：由已知可设PQ 的方程为()(tan ,90)2py k x k θθ︒=-=≠，代入2y =2px ，得 22244(2)k x p k x -+22k p +0=③，将③的两根之和与积代入②得22csc PQ p θ=．容易验证当90θ︒=时，结论也成立．应用该定理，可解决下面的问题：1．斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．2．PQ 是经过抛物线24(0)y ax a =>焦点F 的弦，若PQ b =，试求△POQ 的面积（O 是坐标原点）．（91年全国高中联赛题）3．PQ 是经过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是抛物线的顶点，若△POQ 的面积为4，求PQ 的倾斜角α．（98年上海高考题）答案：1. 82. 3.30︒或150︒题39 长为)1(<l l 的线段AB 的两端在抛物线2x y =上滑动，则线段AB 的中点M 到x 轴的最短距离等于 .（第13届高二第二试第20题）解 设AB 的中点为M （y x ,），点A 的坐标为（βα++y x ,），由对称性知B 的坐标为(),x y αβ--，于是有以下关系成立：22222()()()2y x y x l βαβααβ⎧+=+⎪⎪-=-⎨⎪⎪+=⎩ ①+②，得22α+=x y ④，-②，得x αβ2= ⑤.将④、⑤代入③，得4)41)((222l x x y =+-，即2222221[(14)1]4(14)4(14)l l y x x x x =+=++-++，因为2(0,0),a u x a x x =+>>当x a =时, u 有最小值,当x a >时, u 是单调增加的.又214(1),x l l y +><关于2x 是单调增加的,所以,当0x =时, y 取得最小值24l .评析 点M 到x 轴的最短距离显然就是点M 的纵坐标的最小值.巧妙利用对称性，设出点M 、A 、B 的坐标后，利用曲线与方程的关系及平几知识，可以得到三个关系式，这又有何用处呢？我们要求的是y 的最小值，现在却出现了四个 变量βα、、、y x ，能否消去βα、从而得到)(x f y =，再求其最小值呢？果然，可以消去βα、，得到①, ②, ③.222)41(4x x l y ++= ⑥（这里用到了“设而不求”及函数的思想方法）.若变形为2422164164xx x l y +++=，再令2x u =，得到 22416416l u u y u++=⇒+)0(04)164(1622≥=-+-+u y l u y u ⑦，则可由方程⑦有非负实数解求出y 的最小值，但方程⑦有非负实数解的充要条件很复杂.能否用别的什么方法呢？考虑到⑥式中的0412>+x ，故将⑥式变形为]1)41(41[41222-+++=x xl y ⑧，由于2241x l +与241x +的积是定值，故当2241xl +=241x +，即214x l +=时,有y 最小值..然而，因为1<l ，所以l x >+241，即214x +取不到l ，故由函数⑧为2x 的单调增函数，可知当时，0=x 42minl y =. 注：形如)0()(2>+=a xa x x f 的函数，若0,x >则当x a =时, ()f x 取得最小值2a ；若(0)x ab b ≥+>,则()f x 单调递增, min ()()f x f a b =+；若0(0)x a b b a <≤-<<,则()f x单调递减，)()(min b a f x f -=.(请读者自己证明该结论)拓展 将此题推广，可得定理1 长为l 的线段AB 的两端在抛物线)0(22>=p py x 上滑动，线段AB 的中点M 到x 轴的距离为d ，则（1） 当;8202minpl d p l =≤<时， （2） pl d p l d p l 8,222max min=-=>时，当. 证明 由题意，直线AB 的斜率k 存在.设),,(),2,(),2,(00222211y x M px x B p x x A 则22121222ABx x p pk x x -=- 0122x x x p p +==，所以直线AB 的方程为)(000x x p x y y -=-，由20002()x pyx y y x x p ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，消去y ，得22x -2000220x x x py +-=，因为点M 在抛物线的内部，即202x y p>，所以200420py x ∆=->（），又212012002,22x x x x x x py +==-，所以12|l x x =-=.于是,2)(82020220p x x p pl y d ++==对x 求导数，得2'2220001(1)()2282x pl d p x x x p -=-++2202220[1]4()x p l p p x =-+ 22002220[2()]4()x p x pl p p x =+++])(2[202pl x p -+. （1）若02l p <≤（抛物线的通径长），令0'0x d =，得00x =，易知00x =，是d的唯一极小值点，所以当 00x =（即AB y ⊥轴）时，2min8l d p=； （2）若2l p >，令0'0x d =，得00x =或0x =，易知当00x =时，2ma x 8l d p=；当0x =2min p l d -=. 令定理中的21p =，由定理的结论（1）可知本赛题的答案为24l .此定理尽管也可以用均值不等式加以证明，但配凑的技巧性很强.这里，运用高中数学的新增内容导数进行证明，显得较为简洁.用导数研究函数的最值问题，顺理成章，不必考虑特殊技巧，易被大家接受，应当加以重视并大力提倡.此定理还可进一步拓广到椭圆、双曲线的情形，便得如下：定理2 已知A 、B 两点在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上滑动，|AB| =l ，线段AB 的中点M 到y 轴的距离为d ，则（1）22max 22)2(22b a l a a d a l a b --=≤≤时，当； （2）当bl b a d a b l 24222max 2-=<时，. 定理3 已知A 、B 两点同在双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的右（或左）分支上滑动，|AB| =l ，线段AB 的中点M 到y 轴的距离为d ，则（1）22min 22)2(2b a l a a d a b l ++=≥时，当； （2）当bl b a d a b l 24222min 2+=<时， . 为证定理2、3，可以先证引理 在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短. 证明 设圆锥曲线的极坐标方程为θρcos 1e ep-=，其中e 表示圆锥曲线的离心率，p 表示焦点F 到对应准线l 的距离，设AB 是圆锥曲线过焦点F 的弦，且A ),(),,(21θπρθρ+B ，因为12,1cos 1cos()1cos ep ep epe e e ρρθπθθ===--++，所以12||AB ρρ=+1cos ep e θ=-+θcos 1e ep +=θ22cos 12e ep-.当2πθ=，即当AB 与对称轴x 轴垂直时，ep AB 2||min =，故在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短.下面运用引理证明定理2 .证明 （1）不妨设椭圆的右焦点为F （0,c ），A 、M 、B 三点到右准线ca x 2=的距离分别是,22121t t t t t t +=，则、、由椭圆的第二定义知：|AF|=1et ，|BF|=)(2a ce et =，|AF|+|BF|≥|AB|=l ，所以e l t 2≥.又过焦点的弦最小值为时，当ab l a b 222,2≥线段AB 可以过焦点F ，当AB 过焦点F 时，t 有最小值2l e ，因此222max 2)2(2)2(2ba l a a c l a a e l c a d --=-=-=. （2）时，当ab l 22<线段AB 不可能过焦点F ，但点M 总可以在过F 垂直于x 轴的椭圆的弦的右侧，如右图，在△AFM 中，设∠AMF=α，由余弦定理知222||||||2||||cos AF FM AM FM AM α=+-22211||cos 42FM l l α=+-，在△BFM 中，222211||||cos 42BF FM l l α=++，所以22221||||2||2AF BF FM l +=+，所以||FM =22||a b FM t c c c+≥-=，所以cb l BF AF t 2222||||221≥-++）（ ①，无论线段AB 在什么位置，不等式①都成立.又222||||2l BF AF -+）（2221222)(||||l t t e l BF AF -+=-+≥）（,4222l t e -=故c b l t e t 222241≥-+ ②.解此不等式，得bl b a c a t 24222--≥③，当线段AB 垂直 于x 轴且在焦点F 的右侧时，不等式①、②、③都取等号，此时b l b a c a t 24222mi n --=，bl b a b l b a c a c a d 24)24(222222max-=---=. 仿此亦可证明定理1、3，不再赘述.题40 动圆M 过定点A 且与定圆O 相切，那么动圆M 的中心的轨迹是 （ ）A 、圆B 、圆，或椭圆C 、圆，或椭圆，或双曲线D 、圆，或椭圆，或双曲线，或直线（第三届高二第二试第10题）解 动圆M 、定点A 、定圆O ,这三者的位置关系有5种可能，如图⑴～⑸：在情形⑴：A 在圆O 上，这时动圆M 与定圆O 相切于A ，所以M 点的轨迹是过A O ,的一条直线. 在情形⑵：A 与O 重合，这时动圆M 在定圆O 的内部，与它内切，所以M 点的轨迹是以O 为圆心，以定圆O 的半径的一半为半径的圆.在情形⑶：A 在定圆O 的内部但不重合于O 点，动圆M 过A 且与定圆O 内切，这时动点M 与定点O 、A 的距离的和是R x x R MA MO =+-=+)(（定值），其中的R 、x 分别表示定圆O 、动圆M 的半径.可知点M 的轨迹是以O 、A 为焦点，R 为长轴长的椭圆. 在情形⑷：A 在定圆O 的外部，动圆M 过A 且与定圆O 外切，这时R x x R MA MO =-+=-)(（定值）.可知M 的轨迹是以O 、A 为焦点，R 为实轴长的双曲线的一支.在情形⑸：A 在定圆O 的外部，动圆M 与定圆O 内切，这时R R x x MO MA =--=-)(（定值）.可知M 点的轨迹也是以A O ,为焦点.R 为实轴长的双曲线的一支（和情形4对应的另一支）.综上，可知选D.评析 分类讨论是参加高考与竞赛必须掌握的数学思想.分类要注意标准的统一，不可重复，也不能遗漏.此题的关键是要搞清全部情形有5种，然后再分别求动圆中心的轨迹.运用二次曲线的定义大大简化了解题过程.应当指出，当点A 在圆O 上时，动圆M 的中心的轨迹是直线OA ，但应除去点O 、A . 另外，讨论完第一种情形后就可排除,,,C B A 而选D ，这样就更快捷了.O。

希望杯第二十届(2009年) 初二第二试一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.1．篆刻是中国独特的传统艺术,篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中镂空的）（ ）2．如果1-<<y x ，那么代数式xyx y -++11的值是（ ） （A ） 0 （B ） 正数 （C ）负数 （D ）非负数3．将x 的整数部分记为[x ]，x 的小数部分记为{x }，易知=x [x ]+{x }（{}10<<x ）．若5353+--=x ，那么[x ]等于（ ）（A ） 2- （B ）1- （C ） 0 （D ）1 4．某种产品由甲、乙、丙三种元件构成．根据图2，为使生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是（ ）（A ）120°，180°，60°（B ）108°，144°，108° （C ）90°，180°，90° （D ） 72°，216°，72°5．面积是48的矩形的边长和对角线的长都是整数，则它的周长等于 ( ) （A ）20 （B ） 28 （C ） 36 （D ）406．In the rectangular coordinates,abscissa and ordinate of the intersection pointofthe lines k x y -= and 2+=kx y are integers for imteger k ,then the number of the possible values of k is （ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（英汉小词典：abscissa 横坐标；ordinate 纵坐标；intersection point 交点；integer 整数）7．将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图3所示．用这四张小纸片一定可以拼成（ ）（A ）梯形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）平行四边形 8．若不等式组⎩⎨⎧>++<+-m x x m x 1104的解集是4>x ，则（ ）（A ）29≤m （B ）5≤m （C ）29=m （D ）5=m9．如图4，四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD 的长等于（ ）（A ） 134 （B ）38 （C ）12 （D ）31010．任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解q p n ⨯=（q p ≤）可称为正整数n 的最佳分解，并规定qpn F =)(．如：12=1×12=2×6=3×4，则43)12(=F ． 则在以下结论 ①21)2(=F ②2(24)3F = ③若n 是一个完全平方数，则1)(=n F④若n 是一个完全立方数，即3a n =（a 是正整数），则an F 1)(=． 中，正确的结论有（ ）（A ） 4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个二、填空题（每小题4分，共40分）11．将一根钢筋锯成a 段,需要b 分钟,按此速度将同样的钢筋锯成c 段(a ，b ，c 都是大于1的自然数)，需要 分钟．12．给机器人下一个指令[s ，A ]（0≥s ，1800<≤A ），它将完成下列动作： ①先在原地向左旋转角度A ；②再朝它面对的方向沿直线行走s 个单位长度的距离． 现机器人站立的位置为坐标原点，取它面对的方向为x 轴的正方向，取它的左侧为y 轴的正方向，要想让机器人移动到点（5-，5）处，应下指令： ．13．已知实数x ，y ，z 满足3321zy x z z y y x x ++=+=+=+，则_________或=++z y x ． 14．已知实数x ，y 满足432=-y x ，并且0≥x ，1≤y ，则y x -的最大值是 ，最小值是 ．15．汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费税每升提高0.8元．若某车一年的养路费是1440元,百公里耗油8升,在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图5中的1l 、2l 所示，则1l 与2l 的交点的横坐标=m .(不考虑除养路费和燃油费以外的其它费用)16．Given d cx bx ax x f +++=23)(,if when x takes the value of its inverse number ，the corresponding value of )(x f is also the inverse number,and0)2(=f ，then=++ba dc ．（英汉小词典：inverse number 相反数） 17．8人参加象棋循环赛,规定胜1局得2分.平1局得1分,败者不得分,比赛结果是第二名的得分与最后4名的得分之和相同,那么第二名得 分．18．若正整数a ,b 使等式20092)1)((=-+++b a b a a 成立,则=a ,=b ．19．如图6,长为2的三条线段'AA 、'BB 、'CC 交于O 点，并且OB C OA B ''∠=∠=∠=OC A '60°，则这三个三角形的面积的和321S S S ++3．（填“<”、“=”、“>”）20．已知正整数x ，y 满足2492y x =+，则=x ，=y ．三、解答题（每题都要写出推算过程） 21．（本题满分10分）在分母小于15的最简分数中，求不等于52但与52最接近的那个分数．22．（本题满分15分）如图7，一次函数33+-=x y 的函数图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt △ABC ，且使∠ABC=30°．（1）求△ABC 的面积；（2）如果在第二象限内有一点P （m ，23），试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当△APB 与△ABC 面积相等时m 的值；（3）是否存在使△QAB 是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q ？若存在，请写出点Q 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题满分15分）点A （4，0），B （0，3）与点C 构成边长分别为3，4，5的直角三角形，如果点C 在反比例函数xky =的图象上，求k 可能取的一切值．第二十届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准初二第2试（每小题4分）（每小题4分，含两个空的小题，每空2分）【详解】1解：易得“望”字应在左边，字以外的部分为镂空部分，故选D．23、4、5、解：∵假设面积是48的矩形的边长分别为x，y，且边长和对角线的长都是整数，∴xy=48，∴x，y，中一定有一个偶数，∴可能是：2×24，3×16，4×12，6×8，四种可能．∵对角线的长是整数，∴只有6×8符合要求；即矩形的边长为6，8，∴它的周长等于28．故选：B．6、7、解：四边形JFCG绕点F顺时针旋转180°，四边形HAEJ绕点E顺时针旋转180°，余下的四边形DHJG沿着DB方向进行平移，刚好构成一个平行四边形．故选D．8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、从最后4名选手来分析，他们共要比赛6场，每一场的得分时2分，结果4场下来，就是12分，所以答案是12。

2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2试）一、选择题1、=（）A．B．C．D．2、每只玩具熊的售价为250元．熊的四条腿上各有两个饰物，标号依次为1，2，3，…，8．卖家说：“1，2，3，4，…，8号饰物依次要收1，2，4，8，…，128元．如果购买全部饰物，那么玩具熊就免费赠送．”若按这样的付费办法，这只熊比原售价便宜了（）A．5元B．-5元C．6元D．-6元3、如图，直线MN∥PQ．点O在PQ上．射线OA⊥OB，分别交MN于点C和点D．∠BOQ=30°．若将射线OB绕点O逆时针旋转30°，则图中60°的角共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个4、如果有理数a，b使得，那么（）A．a+b是正数B．a-b是负数C．a-b2是正数D．a-b2是负数5、As in figure 2．In the circular ring of which center is point O．if AO⊥BO，and the area of the shadowy part is 25cm2，then the area of the circuiar ring equals to（）（π≈3.14）A．147cm2B．157cm2C．167cm2D．177cm26、已知多项式p1（x）=2x2-5x+1和p2（x）=3x-4，则p1（x）×p2（x）的最简结果为（）A．6x3-23x2+23x-4B．6x3+23x2-23x-4 C．6x3-23x2-23x+4D．6x3+23x2+23x+47、若三角形的三边长a，b，c满足a＜b＜c，且a2+bc=t12，b2+ca=t22，c2+ab=t32，则t12、t22、t32中（）A．t12最大B．t22最大C．t32最大D．t32最小8、如图，边长20m的正方形池塘的四周是草场，池塘围栏的M、N、P、Q处各有一根铁桩，QP=PN=MN=4m，用长20m的绳子将一头牛拴在一根铁桩上，若要使牛的活动区域的面积最大，则绳子应拴在（）A．Q桩B．P桩C．N桩D．M桩9、电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（）A．20张B．15张C．10张D．5张10、将图中的正方体的表面展开到平面内可以是下列图形中的（）A．B．C．D．二、填空题11、据测算，11瓦节能灯的照明效果相当于80瓦的白炽灯．某教室原来装有100瓦的白炽灯一只．为了节约能源，并且保持原有的照明效果，可改为安装__________瓦（取整数）的节能灯一只．12、将五个有理数，，，，每两个的乘积由小到大排列，则最小的是__________；最大的是__________．13、十进制的自然数可以写成2的方幂的降幂的多项式，如：19（10）=16+2+1=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=10011（2），即十进制的数19对应二进制的数10011．按照上述规则，十进制的数413对应二进制的数是__________．14、如图，点P在正方形ABCD外，PB=10，△APB的面积为60，△BPC的面积为30，则正方形ABCD的面积为__________．15、已知x2+2x+5是x4+px2+q的一个因式，那么pq的值等于__________．16、若abc≠0．则的最大值是__________；最小值是__________．17、已知F（x）表示关于x的运算规律：F（x）=x3，（例如F（2）=23=8，F（3）=33=27，…）．又规定△F（x）=F（x+1）-F（x），则△F（a+b）=__________．18、一条公交线路从起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．则从前6站上车而在终点站下车的乘客有__________人．19、If the product of a simple binomial x+mand a quadratic （x-1）2 is a cubic multinomial x3+ax+b，then a=__________，b=__________，m=__________．若（x+m）（x-1）2=x3+ax+b，则a=__________，b=__________，m=__________．20、方程x+…+=2009的解是x=__________．三、解答题21、如果两个整数x，y的和、差、积、商的和等于100．那么这样的整数有几对？求x与y的和的最小值，及x与y的积的最大值．22、某林场安排了7天的植树工作．从第二天起每天都比前一天增加5个植树的人，但从第二天起每人每天都比前一天少植5棵树，且同一天植树的人，植相同数量的树．若这7天共植树9947棵，则植树最多的那天共植了多少棵树？植树最少的那天，有多少人在植树？23、5个有理数两两的乘积是如下的10个数：-12，0.168，0.2，80，-12.6，-15，-6000，0.21，84，100．请确定这5个有理数，并简述理由．2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2试）的答案和解析一、选择题1、答案：A试题分析：先根据平方差公式分别对分子、分母进行因式分解，然后计算即可．试题解析：，=，=，=．故选A．2、答案：B试题分析：求出购买全部饰物所花的钱数，用每只玩具熊的售价减去购买全部饰物所花的钱数即可求解．试题解析：1+2+4+8+16+32+64+128=255元．250-255=-5元．则这只熊比原售价便宜了-5元．故选B．3、答案：D试题分析：可先作出简单的旋转后的图形，进而结合平行线的性质以及对顶角相等即可得出结论．试题解析：旋转后的图形如图，∵OA⊥OB，∠BOQ=30°，∴∠AOP=60°，∵MN∥PQ，∴∠OCD=∠AOP=60°，即∠ACM=∠OCD=60°，∵OA⊥OB，且OB逆时针旋转30°，∴∠AOB=60°，∠BOQ=60°，在△COD中，则∠ODC=60°，即∠BDN=60°．∴题中等于60°的角共有7个．故选D．4、答案：D试题分析：根据分式的值为0的条件列出不等式组，再根据a、b的取值范围进行解答即可．试题解析：∵，∴，解得，A、当b＜-1时，a+b是负数，故A选项错误；B、因为b＜-1，所以a-b是正数，故B选项错误；C、因为b＜-1，a=1，所以b2＞1，a-b2是负数，故C选项错误；D、因为b＜-1，所以b2，＞1，a-b2是负数，故D选项正确．故选D．5、答案：B试题分析：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，根据阴影的面积为两个直角三角形的面积之差，可得R2-r2=50，又知圆环的面积为两个圆的面积之差，据此即可解得答案．试题解析：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，∵AO⊥BO，∴阴影的面积为两个直角三角形的面积之差，∴R2-r2=50，∵圆环的面积为两个圆的面积之差，∴圆环的面积=π（R2-r2）=50π=157cm2．故选B．6、答案：A试题分析：先根据题意，得出p1（x）×p2（x）=（2x2-5x+1）（3x-4），再根据多项式的乘法法则计算即可．试题解析：∵p1（x）=2x2-5x+1，p2（x）=3x-4，∴p1（x）×p2（x）=（2x2-5x+1）（3x-4），=6x3-8x2-15x2+20x+3x-4，=6x3-23x2+23x-4．7、答案：C试题分析：作差法得出t12-t22=a2+bc-（b2+ca）=a2-b2+bc-ca=（a+b）（a-b）-c（a-b）=（a-b-c）（a-b），t32-t22=c2+ab-（b2+ca）=c2-b2+ab-ca=（c+b）（c-b）-a（c-b）=（c+b-a）（c-b），t32-t12=c2+ab-（a2+bc）=c2-a2+ab-bc=（c+a）（c-a）-b（c-a）=（c+a-b）（c-a），根据已知和三角形三边关系即可得出t12、t22、t32中最大的数．试题解析：∵t12-t22=a2+bc-（b2+ca）=a2-b2+bc-ca=（a+b）（a-b）-c（a-b）=（a-b-c）（a-b）＞0，t 32-t22=c2+ab-（b2+ca）=c2-b2+ab-ca=（c+b）（c-b）-a（c-b）=（c+b-a）（c-b）＞0，t 32-t12=c2+ab-（a2+bc）=c2-a2+ab-bc=（c+a）（c-a）-b（c-a）=（c+a-b）（c-a）＞0，∴t32＞t12＞t22．故选C．8、答案：C试题分析：可看出，绳子拴在M、P处时，牛的活动区域的面积相同，则分别计算绳子拴在N、P、Q处时的活动面积即可．试题解析：绳子拴在N处时的活动面积：π×202=300πm2；绳子拴在P处时的活动面积：π×202+π×42+π×162=268πm2；绳子拴在Q处时的活动面积：π×202+π×82+π×122=252πm2；∵300＞268＞252，∴应拴在N柱上．故选C．9、答案：C试题分析：设三种票分别买了x、y、z张．则根据题意列出关于x、y、z的三元一次方程组，然后解z-x的值即可．试题解析：分别设三种票买了x、y、z张．则根据题意，得由②，得y=30-x-z，③将③代入②，得z-x=10，所以，20的比10块得多10张．10、答案：D试题分析：正方体的侧面展开图共11种，本题要掌握正方体侧面展开图中相邻的面和相对的面．试题解析：A、希应在左上角，不符合题意；B、汉字的位置不对，不符合题意；C、不是正方体的侧面展开图，不符合题意；D、符合题意．故选D．二、填空题11、答案：试题分析：根据题意，设改为安装 x瓦（取整数）的节能灯一只．然后根据比例的性质列出关于x的一元一次方程，解方程即可．试题解析：设为了节约能源，并且保持原有的照明效果，可改为安装 x瓦（取整数）的节能灯一只．则根据题意，得11：80=x：100，解得，x=，∵x是整数，∴x=≈14．故答案是：14．12、答案：试题分析：将乘积由小到大排列，由于有负数，故最小一定是负数，最大一定是正数，找出相乘得负数的与相乘得正数的比较即可．试题解析：∵＜＜＜＜，∴数与相乘的积最小，为，∴×=，（）×（）=，＞．故答案为：，．13、答案：试题分析：仿照例子，首先把413写成2的方幂的降幂的多项式的形式，然后确定二进制数．试题解析：413=256+128+16+8+4+1，=1×28+1×27+0×26+0×25+1×24+1×23+1×22+0×21+1×20，=110011101．（2）故答案为：110011101．14、答案：试题分析：由两个三角形的面积可知：P到AB的距离是P到BC的距离的2倍．设P到BC的距离为x，利用勾股定理，求出BC，则可求出正方形的面积．试题解析：因为△APB的面积为60，△BPC的面积为30，P到AB的距离是P到BC的距离的2倍设P到BC的距离为x，则x2+（2x）2=102x=2，所以•BC•2=30，BC=6故BC2=180，即正方形ABCD的面积为180．故答案为180．15、答案：试题分析：先设x4+px2+5q的另一个因式是（x2+mx+n），那么有（x2+2x+5）（x2+mx+n）=x4+px2+5q，把左边展开，并合并同类项，然后利用等式的对应相等性，可得到关于m、n、p、q的方程组，解即可求m、n、p、q，从而可求p+q的值．试题解析：设x4+px2+5q的另一个因式是（x2+mx+n），那么有（x2+2x+5）（x2+mx+n）=x4+px2+5q，即有x4+（2+m）x3+（5+2m+n）x2+（5m+2n）x+5n=x4+px2+5q，∴，解得，∴pq=30．故答案为：30．16、答案：试题分析：由题意可知，当a、b、c都取正数时，代数式有最大值为4，当a、b、c都取负数时，代数式的最小值为-4．试题解析：由题意知abc≠0，当a、b、c都取正数时，代数式有最大值为4，当a、b、c都取负数时，代数式有最小值为-4，故答案为4，-4．17、答案：试题分析：先利用△F（x）=F（x+1）-F（x），对△F（a+b）展开，得△F（a+b）=F（a+b+1）-F（a+b），再利用F（x）=x3展开式子的右边，然后结合立方公式计算即可．试题解析：∵△F（x）=F（x+1）-F（x），∴△F（a+b）=F（a+b+1）-F（a+b），又∵F（x）=x3，∴△F（a+b）=F（a+b+1）-F（a+b），=（a+b+1）3-（a+b）3，=（a+b）3+3（a+b）2×1+3（a+b）×12+13-（a+b）3，=3（a+b）2+3（a+b）+1．故答案是：3（a+b）2+3（a+b）+1．18、答案：试题分析：前6站上车100人，包含前6站下车人数和第6站停车后仍然在车上人数，前7站下车80人包含6站下车人数和第6站没下车的人但在第7站下车的人数，由此列出等式，进一步解答即可．试题解析：前7站下车的人数，一定是在第一站到第六站上车的人数，前6站上车100人=前6站下车人数+第6站停车后仍然在车上人数①，前7站下车80人=前6站下车人数+第6站没下车的人但在第7站下车的人数②，①②两者相减为：第6站停车后仍然在车上人数-第6站没下车的人但在第7站下车=20人，这时候这些人都会在终点下车了．故答案为：20．19、答案：试题分析：已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件即可求出a，b，m的值．试题解析：（x+m）（x-1）2=（x+m）（x2-2x+1）=x3-（2-m）x2+（1-2m）x+m=x3+ax+b，可得2-m=0，1-2m=a，m=b，解得：a=-3，b=2，m=2．故答案为：-3，2，2．20、答案：试题分析：本题将原方程变形，将大部分系数消掉，便可解答．试题解析：原方程可化为：=2009；即；提取公因式，得；化简得：2x（1-）=2009；解得：x=1005．三、解答题21、答案：试题分析：由题意得出关于x、y的不定方程，再根据x，y为整数可得出x+y，x-y，xy都是整数，再由它们与的和是整数100，也是整数，进行讨论即可．试题解析：由题意得，（y≠0），即，亦即，∵x，y为整数，∴x+y，x-y，xy都是整数，又∵它们与的和是整数100，∴也是整数，（1）=25，（y+1）2=22时，y+1=±2，则或；（2）=4，（y+1）2=52时，y+1=±5，则或；（3）=1，（y+1）2=102时，y+1=±10，则或；（4）=100，（y+1）2=12时，y+1=±1，则（舍去）或；由上可知，满足题意的整数x，y共7对；其中x+y的最小值为-200+（-2）=-202；xy的最大值为：（-200）×（-2）=400．故答案为：7对；-202；400．22、答案：试题分析：假设出第4天的植树棵数与植树人数，从而表示出其他6天的植树棵树与人数，从而得出有关总数9947的方程，得出mn=1521，进而分析得出m=n=39．因为第4天植树的棵数为39×39=1521，其它各天植树的棵数为（39-a）（39+a），可以得出植树最多与最少是哪一天．试题解析：设第4天有m人植树，每人植树n棵，则第4天共植树mn棵．于是第3天有（m-5）人植树，每人植树（n+5）棵，则第3天共植树（m-5）（n+5）棵．同理，第2天共植树（m-10）（n+10）棵；第1天共植树（m-15）（n+15）棵；第5天共植树（m+5）（n-5）棵；第6天共植树（m+10）（n-10）棵；第7天共植树（m+15）（n-15）棵．由7天共植树9947棵，知：（m-15）（n+15）+（m-10）（n+10）+（m-5）（n+5）+mn+（m+5）（n-5）+（m+10）（n-10）+（m+15）（n-15）=9947．化简得7mn-700=9947，即mn=1521因为1521=32×132，又每天都有人植树，所以m＞15，n＞15．故m=n=39．因为第4天植树的棵数为39×39=1521．其它各天植树的棵数为（39-a）（39+a）=392-a2=1521-a2＜1521，①（其中a=5或10或15）．所以第4天植树最多，这一天共植树1521棵．由①知，当a=15时，392-a2的值最小．又当a=15时，植树人数为39+15=54或39-15=24，所以植树最少的那天有54人或24人植树．23、答案：试题分析：首先将将5个有理数两两的乘积由小到大排列，由5个有理数的两两乘积中有4个负数且没有0，可得这5个有理数中有1个负数和4个正数，或者1个正数和4个负数．再分别从若这5个有理数是1负4正，不妨设为x1＜0＜x2＜x3＜x4＜x5，可得x1x5＜x1x4＜x1x3＜x1x2＜0＜x2x3＜x2x4＜＜x3x5＜x4x5，（其中x2x5和x3x4的大小关系暂时还不能断定），若这5个有理数是4负1正．不妨设为：x1＜x2＜x3＜x4＜0＜x 5，则x1x5＜x2x5＜x3x5＜x4x5＜0＜x3x4＜x2x4＜＜x1x3＜x1x2，（其中x1x4和x2x3的大小关系暂时还不能断定），去分析求解即可求得答案．试题解析：将5个有理数两两的乘积由小到大排列：-6000＜-15＜-12.6＜-12＜0.168＜0.2＜0.21＜80＜84＜100．∵5个有理数的两两乘积中有4个负数且没有0，∴这5个有理数中有1个负数和4个正数，或者1个正数和4个负数．（1）若这5个有理数是1负4正，不妨设为x1＜0＜x2＜x3＜x4＜x5，则x1x5＜x1x4＜x1x3＜x1x2＜0＜x2x3＜x2x4＜＜x3x5＜x4x5，（其中x2x5和x3x4的大小关系暂时还不能断定），∴x1x5=-6000，x1x4=-15，x4x5=100，三式相乘，得（x1x4x5）2=9×106，又∵x1＜0，x4＞0，x5＞0，∴x1x4x5=-3000，则x1=-30，x4=0.5，x5=200．再由x1=-30，x1x2=-12，x1x3=-12.6，得x2=0.4，x3=0.42．经检验x1=-30，x2=0.4，x3=0.42，x4=0.5，x5=200满足题意．（2）若这5个有理数是4负1正．不妨设为：x1＜x2＜x3＜x4＜0＜x5，则x1x5＜x2x5＜x3x5＜x4x5＜0＜x3x4＜x2x4＜＜x1x3＜x1x2，（其中x1x4和x2x3的大小关系暂时还不能断定），∴x1x5=-6000，x2x5=-15，x1x2=100，三式相乘，得（x1x2x5）2=9×106，又∵x1＜0，x2＜0，x5＞0，解得x1x2x5=3000，∴x1=-200，x2=-0.5，x5=30，再由x5=30，x3x5=-12.6，x4x5=-12，得x3=-0.42，x4=-0.4．经检验，x1=-200，x2=-0.5，x3=-0.42，x4=-0.4，x5=30满足题意．综上可得：这5个有理数分别是-30，0.4，0.42，0.5，200或-200，-0.5，-0.42，-0.4，30．。

第二十三届 希望杯 全国数学邀请赛高二㊀第2试试题一㊁选择题(每小题4分,共40分.)1.已知集合P ={x |0ɤx ɤ5,x ɪZ },Q ={y |y =|x 2-1|,x ɪP },则P ɘQ 中元素的个数是()(A )3.(B )6.(C )8.(D )9.2.方程l o g 13|x |=s i n (π2-12x )的实根的个数是()(A )2.(B )4.(C )6.(D )8.3.命题p :不经过第一象限的图象所对应的函数一定不是幂函数.命题q :函数y =x +2x的单调递增区间是[-2,0)ɣ[2,+ɕ),则下列命题中,真命题是()(A )p ɡq .(B )(ʏp )ᶱq .(C )(ʏp )ɡ(ʏq ).(D )p ɡ(ʏq ).4.设a ,c 是正实数,则对于每个实数t ,抛物线y =a x 2+t x +c 的顶点在x O y 平面内组成的图形是()(A )一条直线.(B )一条抛物线.(C )一条抛物线的一部分而不是全部.(D )双曲线的一支.5.T h em i n i m u mv a l u e o f t h e f u n c t i o n y =x 2-2x +5+x 2+4i s ()(A )4.(B )32.(C )25.(D )17.6.若对于任意实数x ,都有t 2+5t ɤ|2x -4|-|x +2|恒成立,则t 的取值范围是()(A )[1,4].(B )[-4,-1].(C )(-ɕ,1]ɣ[4,+ɕ).(D )(-ɕ,-4]ɣ[-1,+ɕ).7.已知数列{a n }的通项公式为a n =(49)n -1-(23)n -1(n ɪN ∗),则数列{a n }()(A )有最大项,没有最小项.(B )有最小项,没有最大项.(C )既有最大项又有最小项.(D )既没有最大项也没有最小项.8.已知函数f (x )=(1-t a n 2x 1+t a n 2x )2,则f (x )的最小正周期是()(A )2π.(B )32π.(C )π.(D )π2.9.双曲线x 2-y 22=1在点(-2,2)处的切线的方程是()(A )y =-x +2.(B )y =-x +32.(C )y =-2x -2.(D )y =-2x +32.10.已知向量O A ң=(-2,0),O B ң=(2,2),B C ң=(2c o s θ,2s i n θ)(0ɤθ<2π),则向量O A ң与O C ң的夹角的取值范围是()(A )[7π6,11π6].(B )[7π12,11π12].(C )[2π3,5π3].(D )[5π4,7π4].二㊁填空题(每小题4分,共40分.)11.函数f (x )=l n x x -1的定义域是.12.三角式6t a n 10ʎ+42c o s 80ʎ的值等于.13.已知数列{a n }中,a 1=2,a n +1=1+a n 1-a n .记数列{a n }的前n 项的乘积为ᵑn ,则ᵑ2012=.14.H o w m a n yp o s i t i v e r o o t sd o e s t h ee q u a t i o n (x +12)2012-x 2012+2x +12=0h a v e ?.15.不等式c o s 2θ+22c o s θ>1的解集是.16.已知向量a ,b ,c 是三个具有公共起点的非零向量,且|a |=2|b |=2,又a ㊃b =-1, a -c ,b -c ⓪=π3,则当|a -c |=7时,向量a 与c 的夹角是.17.若数列{x n }满足条件x 1=3,x n +1=x 2n +12x n,则该数列的通项公式x n =.18.已知点M 是әA B C 所在平面内的一点,且满足MA 2+M B 2+M C 2=4,那么әA B C 三条边长之积A B ㊃B C ㊃C A的最大值是.图119.如图1,正方体A B C D A ᶄB ᶄC ᶄD ᶄ中,E E ᶄʊF F ᶄʊB B ᶄ,平面A E E ᶄA ᶄ与平面A B B ᶄA ᶄ成15ʎ角,平面A F F ᶄA ᶄ与平面A D D ᶄA ᶄ成30ʎ角.如果正方体的棱长为1,那么几何体A E F A ᶄE ᶄF ᶄ的体积等于.20.已知A ,B 是抛物线y 2=4x 上的两个动点,且|A B |=3,则当A B 的中点M 到y 轴的距离最短时,点M 的横坐标是.三㊁解答题每题都要写出推算过程.21.(本题满分10分)解不等式l o g a (x 2+1+x )+l o g a (x 2-2x +10+x -1)ȡl o g a 3(a >0且a ʂ1).22.(本题满分15分)已知正三棱锥底面的一个顶点与它所对的侧面的重心的距离为4,求此正三棱锥的体积的最大值.23.(本题满分15分)图2椭圆C :x 2+y 24=1(0ɤx ɤ1,0ɤy ɤ2)在第一象限内的一段弧记为A B ,点P (x ,y )在弧A B 上,如图2.(1)用t (P )表示椭圆C 在P 点处的切线的单位向量,方向是依椭圆的逆时针走向.求向量t (P )的解析式;(2)令函数f (P )=t (P )㊃O P ң,写出函数f (P )ʉf (x )的解析式;(3)求函数f (P )的最大值及取得最大值时的点P 的坐标,并确定函数f (P )ʉf (x )的值域.。

第二十四届 希望杯 全国数学邀请赛高二㊀第2试试题一㊁选择题(每小题4分,共40分.)1.已知函数y =f (x )是偶函数,且f (4+x )=f (4-x ),则函数f (x )()(A )是周期为2的函数.(B )是周期为4的函数.(C )是周期为8的函数.(D )不是周期函数.2.两个非零向量a 和b 满足|a |=|b |=|a +b |,则向量a 和b 的夹角等于()(A )60ʎ.(B )90ʎ.(C )120ʎ.(D )150ʎ.3.若函数y =x 2+a x +a 2+52a -2有4个单调区间,则实数a 的取值范围是()(A )(-ɕ,-4).(B )(-4,23).(C )(23,+ɕ).(D )[-4,23].4.当0<x <π2时,下列命题中正确的是()(A )s i n (c o s x )>c o s (s i n x ).(B )s i n (c o s x )<c o s (s i n x ).(C )s i n (c o s x )=co s (s i n x ).(D )s i n (c o s x ),c o s (s i n x )的大小不确定.5.直线3a x -2b y -3=0(a >0,b >0)与曲线x 2+y 2-2x +6y +1=0相交于A ㊁B 两点,若A B =6,则1a +1b的最小值是()(A )22.(B )3.(C )32.(D )3+22.6.若关于x 的不等式1<2c o s x -3a2a -c o s x<2有解,则参数a 的取值范围是()(A )(-47,0)ɣ(0,47).(B )(-47,0)ɣ(0,35).(C )(-35,0)ɣ(0,35).(D )(-35,0)ɣ(0,47).7.已知集合A ={(x ,y )|y =-x 2},B ={(x ,y )|(x -5)2+(y -1)2=4},M ɪA ,N ɪB ,则|MN |m i n =()(A )25-2.(B )2.(C )23-2.(D )23+1.8.已知椭圆C 的两个焦点分别是F 1(-1,0)和F 2(1,0),且C 与直线x +y -3=0有公共点,则C 的离心率的最大值是()(A )612.(B )55.(C )66.(D )510.9.L e t A B C D b ea t e t r a h e d r o n w i t he d g e l e n gt h7,13,18,27,36,a n d 41.I f A B =41,t h e n C D =()(A )7.(B )13.(C )18.(D )27.10.在平面直角坐标系中,过点A (2,3)且与单位圆O 相切的圆的圆心轨迹是()(A )圆.(B )椭圆.(C )双曲线.(D )抛物线.二㊁填空题(每小题4分,共40分.)11.已知关于x 的函数y =l g[x 2+2(a +1)x +1]的定义域是R ,则a 的取值范围是.12.已知f (x )=x +2x,则函数y =f (f (x ))的单调递增区间是.13.若关于θ的不等式c o s 22θ-2c o s 2θ+4-m 2<0的解集为{θθʂk π+π2,k ɪZ },则实数m 的值是.14.S u p p o s e f (x )=12x +5+l g 1-x 1+x ,t h e n t h e s o l u t i o n s e t f o r t h e i n e q u a l i t y f [x (x -12)]<15w i l lb e .15.已知直线l :y =k x -1与圆C :x 2+y 2-8x -6y +21=0交于A ㊁B 两点(C 为圆心),若C A ң㊃C B ң=0,则k =.16.已知三棱锥A B C D 的侧棱长都是6,且A B ʅA C ,A B ʅA D ,øC A D =60ʎ,点E ㊁F 分别在A C ㊁A D 上,C E E A =A FF D=2,则V F B D E =.17.若关于x 的方程3c o s 2x -2kc o s x=25有解,则参数k 的取值范围是.18.已知抛物线C :x 2=4y 的焦点是F ,直线l 与C 交于A ㊁B 两点,若A F =2,B F =5,则满足条件的直线l 的条数是.19.有一个正四棱锥V A B C D ,侧面都是边长为1的正三角形,设点P 在侧面V A B 的边A B 的高线上,且点P 到点V 与到边A B 的距离比为1ʒ3,M 是边B C 的中点,则在棱锥表面上从点P 到点M 的最短距离是.20.以棱长为1的正方体的一个顶点,以及与它不共面的三个面的中心组成一个三棱锥,则这个三棱锥的体积是.三㊁解答题每题都要写出推算过程.21.(本题满分10分)已知函数y =f (x )=2-1x,数列{a n }满足:a 1=2,a n +1=f (a n ).(1)证明:存在一个等差数列{b n },使得当n >1时,a n =b nb n -1成立;(2)求{a n }的通项公式.22.(本题满分15分)已知四棱锥P A B C D 的底面是正方形,P D =A D =4,P D 与底面成60ʎ角,点H 在A D 上,且PH ʅ底面A B C D ,点M 是P C 的中点.求:(1)DM 与B C 所成角的余弦值;(2)直线P C 与H B 间的距离.23.(本题满分15分)在平面直角坐标系x O y 中,曲线C 的方程是x 29+(|y |-1)24=1,内接于曲线C 的矩形D 的边都平行于坐标轴.(注:矩形D 的顶点在曲线C 上,且矩形D 的边上的任意一点(x 0,y 0)在曲线C 内,即x 209+(|y 0|-1)24ɤ1.)(1)求矩形D 的周长L 和面积S 关于x 的函数表达式;(2)求周长L 的最大值.高二第2试答案21.（1）略.（2）数列{a n}的通项公式是1 nnan+=.22.（1）4.（2）31.23.（1）.。

第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试1990年4月15日 上午8：30—10：30一、选择题1、直线A x + B y + C = 0（A ，B 不全为零）的倾斜角是（ ）（A ）B = 0时，倾斜角是2π，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –A B )（B ）A = 0时，倾斜角是2π，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –BA )（C ）A = 0时，倾斜角是0，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –B A ) （D ）B = 0时，倾斜角是0，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –AB)2、数列{ a n }：a 1 = p ，a n + 1 = q a n + r （p ，q ，r 是常数），则r = 0是数列{ a n }成等比数列的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）不充分也不必要条件 3、f 是R → R 上的一一映射，函数y = f ( x )严格递增，方程x = f ( x )的解集为P ，方程x = f [ f ( x )]的解集为Q ，则（ ）（A ）P ⊂ Q （B ）P = Q （C ）P ⊃ Q （D ）以上都不对4、点( x ，y )的坐标x ，y 都是有理数时，该点称为有理点，在半径为r ，圆心为( a ，b )的圆中，若a ∈Q ，b ∈Q ，则这个圆上的有理点的数目（ ）（A ）最多有一个 （B ）最多有两个 （C ）最多有三个 （D ）可以有无穷多个5、以某些整数为元素的集合P 具有以下性质：（1）P 中元素有正数也有负数；（2）P 中元素有奇数也有偶数；（3）– 1 P ；（4）若x ，y ∈P ，则x + y ∈P 。

对于集合P ，可以断定（ ） （A ）0∈P ，2 P （B ）0 P ，2∈P （C ）0∈P ，2∈P （D ）0 P ，2 P 二、填空题6、方程arcsin ( sin x ×||x 的实根个数是 。

“希望杯”全国数学邀请赛简介 这⼀邀请赛⾃1990年以来，已经连续举⾏了⼆⼗⼆届。

22年来，主办单位始终坚持⽐赛⾯向多数学校、多数学⽣，从命题、评奖到组织⼯作的每个环节，都围绕着⼀个宗旨：激发⼴⼤中学⽣学习的兴趣，培养他们的⾃信，不断提⾼他们的能⼒和素质。

这⼀活动只涉及初⼀、初⼆、⾼⼀、⾼⼆四个年级，不涉及初三、⾼三，不与奥赛重复，不与中考、⾼考挂钩，不增加师⽣负担，因此受到⼴⼤师⽣的欢迎。

该竞赛⼀直受到原国家教委的肯定，并被列⼊原国家教委批准的全国性竞赛活动的名单中，同时愈来愈多的数学家、数学教育家对邀请赛给予热情的关⼼和⽀持。

到第⼗届为⽌，参赛城市已超过500个，参赛学⽣累计598万。

“希望杯”全国数学邀请赛已经成为中学⽣中规模、影响最⼴的学科课外活动之⼀。

据介绍，该竞赛活动分两试进⾏。

第⼀试（每年三⽉进⾏）以各地（省、市、县、〔区〕、学校）为单位组织参赛学⽣，在全国各参赛学校同时进⾏，各测试点按命题委员会下发的评分标准进⾏阅卷、评分，从中按七分之⼀的⽐例按成绩择优选拔参加第⼆试的选⼿。

第⼆试（每年四⽉进⾏）由当地《数理天地》编委分会或地、市级教研室或教育学院、教科所、教师进修学校统⼀组织，测试结束后，各测试点将试卷密封，向组委会挂号寄出，由命题委员会阅卷，从中按⼋分之⼀的⽐例按成绩评定⼀、⼆、三等奖，分别授予⾦、银、铜奖牌及获奖证书。

对组织⼯作做得出⾊的地区或学校，组委会颁发“希望杯”数学邀请赛组织奖。

⽇本国算数奥林匹克委员会对此项赛事⾮常关注，该委员会事务局局长若杉荣⼆先⽣专程来华同邀请赛组委会洽谈参赛事宜，并从1996年开始，已连续三年组织⽇本部分中学⽣参加了竞赛活动，由此开创了我国社会团体举办同类竞赛⾛出国门的先例。

近年来，美国、德国的有关组织也与组委会联系合作事宜。

希望杯杯徽 ★圆形，表⽰⼴阔的天空。

★英⽂hope（希望）形如⼀只展翅飞翔的鸟。

喻义：“希望杯”全国数学邀请赛为⼴⼤的青少年在科学思维能⼒上的健康发展开辟了⼀个⼴阔的空间，任他们⾃由翱翔。

第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．）1．篆刻是中国独特的传统艺术，篆刻出来的艺术品叫印章，印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中镂空的部分） A 。

B 。

C 。

D 。

2．如果1x y <<-，那么代数式11y yx x+-+的值是（） A ．0B ．正数C ．负数D ．非负数 图1 3．将x 的整数部分记为[]x ，x 的小数部分记为()x ，易知[]{}{}()01x x x x =+<<．若3535x =--+，那么[]x 等于（） A ．-2 B ．-1C ．0D ．14．某种产品由甲、乙、丙三种元件构成．根据图2，为使生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人的数量所对应的扇形的圆心角的大小依次是（）组装一件成品需要的元件的数量1名工人1小时生产某种元件的数量202040305050种类丙乙甲数量A ．12018060︒︒︒，，B ．108144108︒︒︒，，C ．9018090︒︒︒，，D ．7221672︒︒︒，，5．面积是48的矩形的边长和对角线的长都是整数，则它的周长等于（ ）A ．20B ．28C ．36D ．406．In the rectangular coordinates ，abscissa and ordinate of the intersection point of the lines y x k =- and 2y kx =+ are integers for integer k ，then the number of the possible values of k is （）A ．4B ．5C ．6D ．7（英汉词典：abscissa 横坐标，ordinate 纵坐标，intersection point 交点，integer 整数） 7．将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图3所示．用这四张小纸片一定可拼成一个（ ） A ．梯形 B ．矩形 C ．菱形D ．平行四边形8．若不等式组4101x m x x m -+<+⎧⎨+>⎩，的解集是4x >，则（）A ．92m ≤B ．5m ≤C ．92m =D ．5m =9．如图4所示，四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，410AD CD ==，，则BD 的长等于（）A ．413B ．83C ．12D ．10310．任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解()n p q p q =⨯≤可称为正整数n 的最佳分解，并规定()pF n q=.如：12=1⨯12=2⨯6=3⨯4，则3(12)4F =． 则以下结论图3104DCBA图4①1(2)2F =； ②3(24)8F =；③若n 是一个完全平方数，则()1F n =；④若n 是一个完全立方数，即3n a =（a 是正整数），则1()F n a=．中，正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11．将一根钢筋锯成a 段，需要b 分钟，按此速度将同样的钢筋锯成c 段（a b c ，，都是大于1的自然数），需要__________________分钟．（用a b c ，，表示）12．给机器人下一个指令[]()00s A s A ︒︒，，≥≤≤180，它将完成下列动作： ①先在原地向左旋转角度A ；②再朝它面对的方向沿直线行走s 个单位长度的距离．现以机器人站立的位置为坐标原点，取它面对的方向为x 轴的正方向，取它的左侧为y 轴的正方向．要想让机器人移动到点（-5，5）处，应下指令：___________________． 13．已知实数x y z ，，满足1233x y z x y zx y z ++===+++，则x y z ++=_________________或______________．14．已知实数x y ，满足234x y -=，并且01x y ，≥≤，则x y -的最大值是_____________，最小值是_________________．15．汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费税每升提高0．8元．若某车一年的养路费是1440元，百千米耗油8升，在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图5中的12l l 、所示，则1l 与2l 的交点的横坐标m =___________．（不考虑除养路费和燃油费以外的其他费用）16．Given 32()f x ax bx cx d =+++，if when x takes the value of its inverse number ，theOl 1l 2m 图5年支出/元1440年行驶里程/千米corresponding value of ()f x is also the inverse number ，and (2)f =0，thenc da b+=+_______________． （英汉词典：inverse number 相反数）17．8人参加象棋循环赛，规定胜1局得2分，平1局得1分，败者不得分，比赛结果是第二名的得分与最后4名的得分之和相同，那么第二名得__________________分． 18．若正整数a b ，使等式()()12a b a b a ++-+=2009成立，则a =____________，b =_____________．19．如图6所示，长为2的三条线段'AA ，''BB CC ，交于O 点，并且'''60B OA C OB A OC ∠=∠=∠=︒，则三个三角形的面积的和123S S S ++_______________3．（填“<”、“=”或“>”） 20．已知正整数x y ，满足2249x y +=，则x =_____________，y=________________．三、解答题（每题都要写出推算过程．）21．在分母小于15的最简分数中，求不等于25但与25最接近的那个分数．22．如图7哀兵必胜示，一次函数33y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A B ，，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt ABC △，且使30ABC ∠=︒．⑴求ABC △的面积；图6S 3S 2S 1O C'C AB'BA'yxPO CBA30°图7⑵如果在第二象限内有一点32P m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，， 试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当APB △与ABC △面积相等时m 的值； ⑶是否存在使QAB △是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q ？若存在，请写出点Q 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．23．点(40)(03)A B ，，，与点C 构成边长分别是3，4，5的直角三角形，如果点C 在反比例函数ky x=的图像上，求k 可能取的一切值．参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 DCABBADCAC提 示1．印章在纸上盖出的效果与印章的图形成镜面对称，如图8所示，右侧的印章图形沿轴翻转180︒后，将与左侧的效果重合．故选D ．2．因为 1x y <<-， 所以 0100x x x y <+<-<，，， 则101(1)(1)y y xy x xy y x yx x x x x x ++----==<+++， 即该代数式的值是负数，选C ．3．因为()2516255135222±±±±===，所以 515122 1.41222x -+-=-==-≈-，所以 []2x =-，选A ．4．为使生产效率最高，在相同的时间内生产甲、乙、两两件的数量之比是5：4：2，而1名工人在单位时间内生产这三种元件的数量之比是5：3：2，所以生产甲、乙、丙元件的工人数量之比是542::532，即41::13，也即3：4：3，在扇形图中对应的扇形的圆心角依次是108︒，144︒，108︒．故选B ．5．5．设矩形的边长分别是a b ，，对角线的长是c ，则222a b c +=已知矩形的面积是44832ab ==⨯，a b ，都是整数，不妨设a b ，≤则()a b ，可能是 （1，48），（2，24），（3，16），（4，12），（6，8），分别代入222a b c +=，只有当68a b ==，时，c 才是整数10，其他情况得到的c 的值都不是整数． 所以，矩形的边长分别是6，8，周长是28，选B ．。

历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析题 1 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 .（第十一届高二第一试第11题）解法1 b b a a b b a x ++=-+=，ab b aa b b y -+=--=.y x a b b b b a b a <∴-+>++∴<<,,0 .解法2bb a ab b a b b b b a y x ++-+=---+=，y x y x a b b a <∴<∴->+,1, . 解法3a ab b a b b a ab b b b a y x -+-++=----+=-1111 =y x yx a a b b a <∴>-∴>--+,011,0.解法4 原问题等价于比较a b b a -++与b 2的大小.由,2)(222y x y x +≥+得b a b b a a b b a 4)(2)2=-++≤-++（，b a b b a 2≤-++∴. y x b a b b a a b b a <∴<-++∴-≠+,2, .解法5 如图1，在函数x y =的图象上取三个不同的点A （a b -，a b -）、B （b ，b ）、C （b a +，b a +）.由图象，显然有AB BCk k <，即)()(a b b ab b b b a b b a ----<-+-+， 即a b b b b a --<-+，亦即y x <.解法6 令()f t =tt a at f ++=)( 单调递减，而a b b ->，)()(a b f b f -<∴，即a b b b b a --<-+，y x <∴.解法7 考虑等轴双曲线)0(22>=-x a y x .图1如图2，其渐近线为x y =.在双曲线上取两点 A （b ，a b -）、B （a b +，b ）. 由图形，显然有1>ABk ，即1>-+--bb a ab b ，从而y x <.解法8 如图3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，BC=a ，AC=b ，BD=b ，则AB=b a +，DC=a b -. 在△ABD 中，AB-AD<BD ，即-+b a AD b <，从而-+b a AD-DC<-b DC ， 即a b b b b a --<-+，故y x <.评析 比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方法是作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法1通过分子有理化（处理无理式常用此法）将问题转化成比较两个分母的大小.解法2直接作商与1比较大小，顺理成章，也很简洁.要注意的是：0,>b a 时，1a a b b >⇔>；0,<b a 时，1aa b b>⇔<.此题直接作差难以确定差与0的大小，解法3对y x ,的倒数作差再与0比较大小，使得问题顺利获解，反映了思维的灵活性.解法6运用函数的单调性解题，构造一个什么样的函数是关键.我们认为构造的函数应使得y x ,恰为其两个函数值，且该函数还应是单调的（最起码在包含y x ,对应的自变量值的某区间上是单调的）.解法5与解法7分别构造函数与解几模型，将y x ,的大小关系问题转化成斜率问题加以解决，充分沟通了代数与几何之间的内在联系，可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的几何背景，构造平面图形，直观地使问题得到解决，这也是解决大小关系问题和证明不等式的常用方法.有人对此题作出如下解答：取,2,1==b a 则12112,23123+=-=+=-=y x，32+>10+>，.,121231y x <∴+<+可再取两组特殊值验证，都有y x <.故答案为y x <. 从逻辑上讲，取2,1==b a ，得y x <.即使再取无论多少组值（也只能是有限组值）验证，都得y x <，也只能说明y x >或y x ≥作为答案是错误的，而不能说明y x <一定是正确的,因为这不能排除x y =的可能性.因此答案虽然正确，但解法是没有根据的.当然，如果将题目改为选择题：已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是图2图3（ ）A 、y x >B 、y x ≥C 、y x =D 、y x <此时用上述解法，且不用再取特殊值验证就可选D ，并且方法简单，答案一定正确. 总而言之，特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷，那是因为选择支中的正确答案是唯一的，从而通过特殊值排除干扰支，进而选出正确答案.但特殊值法只能排除错误结论，而不能直接肯定正确答案，因此，用此法解填空题（少数特例除外）与解答题是没有根据的.当然，利用特殊值指明解题方向还是十分可取的.题 2 设c b a >>N n ∈,，且11na b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值为 （ ）A 、2B 、3C 、4D 、5（第十一届高二第一试第7题）解法1 原式n c b c a b a c a ≥--+--⇔．mina c a c n ab bc --⎡⎤∴≤+⎢⎥--⎣⎦．而b a c a --+c b c a -- =b ac b b a --+-+b c a b b c -+--=2+b a c b --+c b b a --≥4，且当b ac b --=cb ba --，即bc a 2=+时取等号．mina c a c ab bc --⎡⎤∴+⎢⎥--⎣⎦4=．4n ∴≤．故选C ． 解法2 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ，已知不等式化为()()()2a c n a b b c -≤--．由()()()()22242a c a c ab bc a b b c --≥=---+-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()()4min2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---c b b a c a ，故由已知得4≤n ，选C ．解法3由cb a >>，知,0,0>->->-c a c b b a ，有()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11．又()()()[]()41111112=+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c b b a c b b a c a ，即()411min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a ，由题意，4≤n ．故选C ．解法4 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ．∴已知不等式可变形为()()()2a c n a b b c -≤--．记()()()2a c k ab bc -=--，则()()[]()()()()[]()()4222=----≥---+-=c b b a c b b a c b b a c b b a k ．由题意，4≤n ．故选C ．解法5 c b a >>110,0.a b b c∴>>--于是 ()()ca cb b ac b b a -=-+-≥-+-4411．比较得4≤n ．故选C ． 评析 由已知，可得()⎪⎭⎫⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11恒成立．根据常识“若()a f x ≤恒成立，则()min x f a ≤；若()x f a ≥恒成立，则()max a f x ≥,”()⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值就是所求n 的最大值，故问题转化为求()⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值，上述各种解法都是围绕这一中心的，不过采用了不同的变形技巧，使用了不同的基本不等式而已．解法1运用了2,,b a a b R a b ++≥∈“”；解法2运用了”“22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ；解法3运用了()”“411≥⎪⎭⎫⎝⎛++b a b a ；解法4运用了()”“+∈≥+R b a ab b a ,2；解法5运用了()”“+∈+≥+R b a ba b a ,411．虽解法异彩纷呈，但却殊途同归． 此题使我们联想到最新高中数学第二册（上）P 30第8题： 已知c b a >>，求证：0111>-+-+-ac c b b a ． 证：令()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．()22111111x y xya b b c c a x y x y xy x y ++∴++=+-=---++．0,0x y >>， 0111>-+-+-∴ac c b b a ． 此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式，使得推证更简单了．运用这一思路，又可得本赛题如下解法：设()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．ca nc b b a -≥-+-11恒成立，就是y x ny x +≥+11恒成立．也就是()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤y x y x n 11恒成立．()411≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x y x 恒成立，∴由题意得4≤n ．故选C ．再看一个运用这一思想解题的例子．例 设+∈R c b a ,,，求证：2222cb a b ac a c b c b a ++≥+++++． （第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）证明 设,,,z b a y a c x c b =+=+=+则()()0,,21>++=++z y x z y x c b a ． ()()()02222≥+-=++-+y x xy bx ay y x b a y b x a ，()222a b a b x y x y +∴+≥+ ①， ()()()()222222222a b a b c a b c a b c c a b c x y z x y z x y z a b c +++++++∴++≥+≥==+++++,即 2222c b a z c y b x a ++≥++，2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++∴． 本赛题还可直接由下面的命题得解．命题 若021>>>>n a a a ，则()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+--12132211111 ． 证明 021>>>>n a a a ，n n a a a a a a ---∴-13221,,, 都大于0．反复运用①式，可得: “若,(1,2,,)i i x y R i n +∈=,则22111n i ni i n i iii x x y y ===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑,当且仅当1212n nx x x y y y ===时取等号”.故有()()22122311223111111111n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a --+++-+++≥=----+-++--． 也可以这样证明：021>>>>n a a a ，12231,,,0n n a a a a a a -∴--->．故由柯西不等式，得()()()1223112231111()n n n na a a a a a a a a a a a --+++-+-++-⎡⎤⎣⎦---()()211111n -≥+++个()21n =-，即()()21132211)111(-≥--++-+--n a a a a a a a a n nn ．01>-n a a ，()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+-∴-12132211111 ． 由此可得本赛题的如下解法：cb a >>，,0,0>->->-∴c a c b b a ，()ca cb b ac b b a -=-+-+≥-+-∴411112．由 题意，4≤n ．故选C ． 由此命题还可直接解决第七届高二培训题第8题：设12320002001a a a a a >>>>>，并且122320002001111m a a a a a a =+++---，200116104a a n -⨯=，则m 与n 的大小关系是 ( )A 、n m <B 、n m >C 、n m ≥D 、n m ≤解12320002a a a a a >>>>>，2001162001121042000a a a a m -⨯=-≥∴．故选C ． 题 3 设实数y x n m ,,,满足a n m =+22，b y x =+22，则ny mx +的最大值为( )A 、21()b a + B 、2122b a + C 、222b a + D 、ab（第十一届高二培训题第5题）解法1 设,sin ,cos ααa n a m ==,sin ,cos ββb y b x ==则,)cos(sin sin cos cos ab ab ab ab ny mx ≤-=+=+βαβαβα即)(ny mx +max =ab .故选D ．解法2b n ab m a b a n m =+⇒=+2222,又b y x =+22,+=+∴mx abny mx ab)(≤ny ab 2222()()2b m n x y a +++==.2b b a a b=+⋅ny mx +∴,ab ab b =≤当且仅当x =且,y =即my nx =时取等号，max )ny mx +∴（.ab =解法3 2222222222222()2mx ny m x mxny n y m x m y n x n y +=++≤+++()()2222,m n x y ab =++=mx ny ∴+≤当且仅当m y n x =时取等号，故()max mx ny +.解法4设()(),,,,p m n q x y →→==则cos ,p q p q p q θ→→→→→→⋅=⋅⋅≤⋅222,p q p q →→→→∴⋅≤⋅()()222mx ny m n +≤+即()22,xyab +=当且仅当,p q →→共线，即my nx =时取等号，故()max mx ny +.解法5 若设mx ny k +=，则直线mx ny k +=与圆22x y b +=有公共点，于是≤()max k mx ny mx ny =+≤∴+=解法6设12,z m ni z x yi=+=-,则()()()()12,z z m ni x yi mx ny nx my i =+⋅-=++-∴1212,z z mx ny mx ny mx ny z z ⋅=≥=+≥+∴+≤12z z =⋅==当且仅当m y n x =时取等号，故()m a mx n y a b+． 解法7 构造函数()()()222222f X m nXmx ny X x y =+++++，则()()()220.f X mX x nX y =+++≥故()()()2222244mx ny m nxy ∆=+-++()2440,mx ny ab =+-≤即()max mx ny mx ny +≤∴+.ab =解法8 由2222,m n a x y b +=+=还可构造图形（如图），其中90,ACB ADB ︒∠=∠=,AC =,BC =,,BD x AD y AB ===为圆的直径，由托勒密定理,AD BC BD AC ⋅+⋅2,AB CD AB =⋅≤得,x y b ⋅+⋅≤，从而得m x n a b +≤my nx =且0mx >时取等号．()max mx ny ∴+=评析 解法1抓住已知条件式的结构特征，运用三角代换法，合情合理，自然流畅，也是解决此类型问题的通法之一．解法2运用基本不等式222b a ab +≤将ny mx +放大为关于22n m +与22y x +的式子，再利用条件求出最大值．值得注意的是，稍不注意，就会得出下面的错误解法：()()()22222222max ,22222m n x y m x n y a b a bmx ny mx ny ++++++++≤+==∴+=．故选A ．错误的原因就在于用基本不等式求最值时未考虑等号能否取到．上述不等式取等号的条件是x a =①且y b =②，而若①，②式同时取得，则2222m n x y +=+，即,a b =这与题设矛盾！即当a b ≠时，mx ny +取不到2a b+．解法2是避免这种错误的有效方法． 由于向量与复数的模的平方是平方和形式，与已知形式一致，故解法4与解法6分别运用了构造向量与构造复数的方法，新颖而简洁．解法5设k ny mx =+后，将其看作动直线，利用该直线与定圆b y x =+22有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，得ab ny mx k ≤+=，充分体现了等价转化的解题功能．解法7运用的是构造函数法．为什么构造函数()()()2222f X m n X mx ny X =+++2x +2y +呢？主要基于两点：①()f X 为非负式（值大于等于0），②由于()0≥X f ，故有0≤∆，而∆沟通了已知与未知的关系，故使问题得到解决．解法8抓住已知两条件式的特征，构造了两个有公共边的直角三角形，利用托勒密定理及圆的弦小于等于半径使问题获解，充分揭示了这一代数问题的几何背景．拓展 此题可作如下推广 若2222221212,,n n a a a p b b b q +++=+++=则()1122max n n a b a b a b +++=()1,2,,i i b i n ==时取得最大值）.证明 2222221212n n q q q a a a p a a a p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⇒+++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.q = 1122a b a b ∴+++1122n n n nqa bb b a b p ⎫=⋅⋅++⋅⎪⎪⎭≤p ⎝++⎢⎥⎢⎥⎣⎦=(),22222222122221pq qp p q q p b b b a a a pq q p n n=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++ 当且仅当()().,,2,1max 2211pq b a b a b a n i b a pqn n i i =+++∴== 时取等号，本推广实际就是由著名的Cauchy （柯西）不等式()()()222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a +++⋅+++≤+++ （当且仅当nn b a b a b a === 2211时取等号）直接得到的一个结论． 推广有十分广泛的应用，现举一例：例 已知123,,,,,,234,8.a b c x y zR a bc x y z +∈++=++=且求最大值．解2221232344,8a b c b cx y z ++==++=22⇒+2+＝8．由推广知=≤=当且仅当===即12ax by cz===时取等号．max∴=.24题4对于1≤m的一切实数m，使不等式221(1)x m x->-都成立的实数x的取值范围是＿＿＿＿（第十三届高二培训题第63题）解法1题设等价于⎪⎩⎪⎨⎧--<>-112122xxmx或⎪⎩⎪⎨⎧--><-112122xxmx或⎩⎨⎧>-=-1212xx，即⎪⎩⎪⎨⎧--<>-1121122xxx或⎪⎩⎪⎨⎧-->-<-1121122xxx或⎩⎨⎧>-=-1212xx,所以21<<x或113<<-x或1=x，即)2,13(-∈x.解法2 已知不等式即()()01212<---xmx，令()()121)(2---=xmxmf，则当012≠-x，即1±≠x时，)(mf是m的一次函数，因为1≤m，即11≤≤-m时不等式恒成立，所以)(mf在[]1,1-上的图象恒在m轴的下方，故有⎩⎨⎧<+--=<+-+-=-121)1(121)1(22xxfxxf，即⎩⎨⎧<->-+22222xxxx，解得213<<-x)1(≠x.又当1=x时，1)(-=mf，适合题意，当1-=x时，()3f m=不合题意.故x的取值范围是213<<-x.评析解决本题的关键是如何根据条件构建关于x的不等式或不等式组.解法1运用分离参数法，为了达到分离参数的目的，又对12-x分大于0、小于0、等于0三类情形分别构建关于x的不等式组，从而通过解不等式组解决了问题.解法2则转换思维角度，把已知不等式看成关于m的不等式，从而将原问题转化为函数()()121)(2---=xmxmf在[]1,1-上的图象恒在m轴下方的问题.这种方法称为变更主元法.用此方法，使得此题的解决显得既简捷，又直观易懂.题5 当0x a <<时,不等式2)(1122≥-+x a x 恒成立,则a 的最大值是________. (第十一届高二培训题第45题)解法 1 当0x a <<时, 2≥-+-x a x x x a ①,又有2)()(2222≥-+-x a x x x a ②,②+①×2,得6)(222222≥--+-x a x ax x x a ,6)()(122222≥---+-x a x a a x a ,8)(2222≥-+x a a x a ,即2228)(11a x a x ≥-+.由282≥a,得02a <≤,2max =∴a . 解法 2 2222)11()11()(112x a x x a x x a x--+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+ , 又 =-+x a x 11 +a 4(1a2)x a x x x a ---, 222)4()(112a x a x≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∴, 即2228)(11a x a x ≥-+, 当且仅当x a x x x a -=- 且 x a x -=11, 即 2ax = 时取等号. 2)(1122≥-+x a x 恒成立, ∴282,02a a ≥<≤. 于是2max =a . 解法 3 原不等式等价于12)(1122≥-+x a x ,由 0x a <<,可知10,x >10a x >-. 由 “两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”, 可知只需1)(2≥-+x a x , 即2≤a 即可, 故02a <≤, 于是2max =a .解法 422)(11x a x -+2≥ 即 2)(112222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++x x a x x ①成立，又2122≥+x x恒成立， ∴a 只要满足22)(1x x a --0≥②就能使①恒成立.由②式，得2x 2)(x a -1≤，1)(≤-x a x ，012≤-+-ax x ③.由于对称轴),0(2a ax ∈=，由二次函数的性质，当),0(a x ∈时，要③式恒成立，则24002a a ∆=-≤∴<≤ 2max =∴a .解法5 设αα22sin ,cos =-=a x a a x （0x a <<），则22)(11x a x -+=α42cos 1a + α42sin 1a ==+⋅αααα44442cos sin cos sin 1a =-⋅αα2sin 1612sin 2111422aαα2sin 2sin 28422-⋅a .)22(sin 2+αα2(sin 2－1）0≤，即2－αα2sin 2sin 42≥，则αα2s i n 2s i n 242-1≥)12s i n (2时取等号当=α，于是2228)(11ax a x ≥-+，由已知，得282,02,a a≥∴<≤2max =∴a . 解法6 设11,(0,0),X Y X Y x a x==>>-则222X Y +≥表示在XOY 坐标系第一象限内以原点为圆心，2为半径的圆及其外部.由11,,X Y x a x==-得,aXY X Y =+又aXY X Y =+,4,22aXY XY ≥∴≥它表示双曲线24a XY =位于第一象限内的一支及其上方部分.依题意，双曲线2224(0)200XY X X Y X Y a=>+=>>与圆弧（，）相切或相离，从而282≥a，即02a <≤ 2max =∴a .解法7 运用结论“如果),,2,1(,n i R y x i i =∈+，则≥+++nn y x y x y x 2222121),()(21221*++++++nn y y y x x x 当且仅当k y x y x y x n n ==== 2211（常数）时取等号.”0x a<<，∴0.a x ->由柯西不等式，有22222)11())(11)(11(x a x x a x -+≥-++①，由)(*得xa x -+11a4≥②.故O2 xO,)4())(11(2222a x a x ≥-+得2228)(11a x a x ≥-+，当且仅当2a x =时取等号，由282≥a，得02a <≤ 2max =∴a .解法8运用结论“212122311111(1),,n n n nn a a a a a a a a a a a -->>>+++≥----若则当且仅当n a a a ,,,21 成等差数列时取等号.”2222111122()(0)()x a x x a x ⎡⎤⎡⎤+=+≥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦2110x a x ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭222160)13(a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≥.∴2228)(11a x a x ≥-+，当且仅当x a x -=，即2a x =时取等号.令282≥a，得02a <≤ 2max =∴a . 评析2)(1122≥-+x a x 恒成立，∴2)(11min22≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x a x .故问题的实质就是求22)(11x a x -+的最小值（关于a 的式子）大于等于2的解.因而在0x a <<的条件下，如何求22)(11x a x -+的最小值成了问题的关键.解法1运用“两个互为倒数的正数的和大于等于2”, 解法2运用配方再放缩, 解法3运用均值不等式及“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,解法5运用三角代换，解决了这一关键问题.解法4巧妙地将原问题转化为一个含参（a ）一元二次不等式恒成立，求参数的范围问题，从而运用二次函数的性质解决问题.解法6将原问题转化为解析几何问题处理.解法7、8则是运用一些现成的结论（读者可自己证明），各种解法异彩纷呈，都值得细细品味.拓展 此题可作如下推广：推广1 若1210n x x x a -<<<<<，则≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x 23a n ，当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号.证明 由已知，1210n x x x a -<<<<<，则12x x -0>，23x x -0>，, 1--n x a 0>.根据柯西不等式及解法7运用的不等式（*）,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x n≥21211111n x x x a x -⎛⎫+++≥ ⎪--⎝⎭2242,n n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭故≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x 23a n . 当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号.推广2 若1210n x x x a -<<<<<，,),,,2,1(++∈=∈N k n i R b i 则++kk x b 111kk n k n k n k k ab b b x a b x x b 121111212)()()(+-+++++≥-++- ，当且仅当∑==n i ii i b ab a 1时取等号. 证明 不妨设112211,,,--=-==n n x a a x x a x a ，=M ,)(11+=∑k ni i b 由已知得i a 0>且),,2,1(n i =,1a a ni i =∑=令a a c i i =，则∑=ni i c 1=111=∑=ni i a a .由均值不等式，++k i k i c b 1≥+++个k i i i Mc Mc Mc ,)1(11+++k k ik b M k 即k ik ic b 1+kn i b b b k kMc ))(1(21++++≥+ ib ⋅，则11111(1)()k nnn k i i iki i i i b kM c k bc ++===+≥+∴∑∑∑1111()k nn k i i k i i i b b c ++==≥∑∑，即11k nki k i ib a a +=≥∑11()n k i i b +=∑，11111()nk k i ni i k k ni ii i b b a a ++===≥⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑，当且仅当=i a ∑∑∑====⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n i i i i n i i n i i b ab b b a 111时取等号. ∴++kk x b 111++kk x b 212kn kn x a b )(1--+ k k n a b b b 121)(++++≥ . 题6 已知()⎪⎭⎫⎝⎛∈=2,0,log sin πθθx x f ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos sin θθf a ，()θθcos sin ⋅=fb ，⎪⎭⎫⎝⎛+=θθθcos sin 2sin f c ，那么c b a 、、的大小关系是 （ ）A 、b c a ≤≤B 、a c b ≤≤C 、a b c ≤≤D 、c b a ≤≤（第八届高二第一试第10题） 解法1 设p =θsin ，q =θcos .pq qp ≥+2，而()x f 是减函数，()pq fq p f ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴2，即b a ≤.2qp pq +≤，()2pq q p pq +≤∴，pq qp pq≤+2.()pq fq p pq f ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∴2，即b c ≥.故c b a ≤≤.选D.解法2 由题意，令6πθ=，则21sin =θ，cos θ=，4312cos sin +=+θθ ，23cos sin 4=θθ，233cos sin cos sin 2cos sin 2sin -=+=+θθθθθθθ，()1,021sin ∈=θ ，()x f ∴是减函数，又233234314->>+，()⎪⎭⎫⎝⎛+<<⎪⎭⎫⎝⎛+∴θθθθθθθcos sin 2sin cos sin 2cos sin f ff ，即c b a <<.故选D.评析 这是一个比较函数值大小的问题，通常利用函数的单调性.若函数()x f 单调递增（减），则当21x x <时，()()()()()2121x f x f x f x f ><，当21x x >时，()()21x f x f >()()()21x f x f <.因此解决问题的关键有两个：一是确定函数的单调性，二是确定自变量的大小关系.解法1就是这样解决问题的.因为正确答案应对一切⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ都正确，故又可以运用特殊值法.对⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内的某个角不正确的选择支都是错误的，由正确选择支的唯一性，也可选出正确答案.解法2便是取特殊值6πθ=，排除了A 、B 、C 、而选D 的.当然，此题也可用作差比较法来解：⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ ，()1,0sin ∈∴θ，()x f ∴是单调减函数，0sin >θ，0cos >θ.=⋅-+=-∴θθθθθθcos sin log 2cos sin log sin sin b a01log cos sin 2cos sin log sin sin =≤⋅+θθθθθθ，b a ≤∴.又-⋅=-θθθcos sin log sin c b 01log cos sin 2cos sin log cos sin cos sin 2cos sin log cos sin 2sin log sin sin sin sin =≤+=+⋅=+θθθθθθθθθθθθθθθθθ，即c b ≤，c b a ≤≤∴.选D.题7 已知21=a ，不等式49321log <⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a的解是 . （第三届高二第二试第13题）解 原不等式即2log 32321-⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛-x a. 指数函数x⎪⎭⎫⎝⎛32是减函数，21=a ，∴原不等式化为2log 121->-x ，即22121121loglog -⎪⎪⎭⎫⎝⎛->x .又对数函数log x 是减函数，2211-⎪⎭⎫⎝⎛<-∴x ，即21<-x ，解得31<<-x . 对数函数121log-x 的定义域是1≠x 的实数，∴原不等式的解是11<<-x 或31<<x .评析 此题涉及到指数不等式、对数不等式、绝对值不等式的解法.解指数不等式与对数不等式的基本方法是同底法，即先将不等式两边的指数式或对数式化成底数相同的指数式或对数式，然后根据底数所属区间是()1,0或()+∞,1，确定以该底数为底的指数函数或对数函数的单调性，再去掉底数或对数符号，转化成别的不等式.主要依据如下：⑴若01a <<,则()()()()f x g x a af xg x <⇔>；⑵若1a >,则()()()()f x g x aaf xg x <⇔<； ⑶若01a <<,则()()()()log log 0f x g x a af xg x <⇔>>；⑷若1a >,则()()()()log log 0f x g x aaf xg x <⇔<<.有时需要将常数化为指数式或对数式，其化法如下： ⑴ac ca log =（,0,0>>c a 且1≠c ）；（化为指数式）⑵log ac a c =（,0>c 且1≠c ）.（化为对数式） 例如，23log 32=将常数2化为3为底的指数式，233log 2=将常数2化为3为底的对数式.解指数不等式不需检验，但解对数不等式必须保证解使得对数式有意义，这点常被忽略. 若一个指数不等式的指数部分是对数式，常常采用取对数法求解. 例 不等式()x x x>lg的解集是 .（第十一届高二培训题第40题）解 两边取常用对数，得()x xlg lg2>，即0lg ,0lg 4lg ,0lg lg 4122<>->-x x x x x 或10,4lg <<∴>x x 或410>x .故所求解集是()()+∞,101,04.应当指出，两边取对数后，不等号的方向变不变，关键看取的是什么底数.如果底数大于1，则不等号方向不变，如果底数大于0且小于1，则不等号方向改变.关于绝对值不等式，主要是根据绝对值的几何意义求解.下列结论应当理解并熟记（a 为常数）.⑴()0≤<a a x 的解集是φ； ⑵()0><a a x 的解集是()a a ,-； ⑶()0<>a a x 的解集是R ；⑷()0x a a >>的解集是()()+∞-∞-,,a a . 下列题目供练习：⑴已知常数⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πθ，则不等式()()8103cot tan 2--->x x x θθ的解集是 .（第八届高二第一试第16题）⑵若函数()⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=4222log log x x x f 的定义域是不等式211222log 7log 30x x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭的解集，则()x f 的最小值= ；最大值= .（第十届高二第一试第23题）⑶不等式22222log 2log x x x x x x ++>的解集是 .（第九届高二培训题第23题）⑷不等式1323>--x 的解是（ ）（A ）6>x 或232<≤x （B ）6>x 或2<x （C ）6>x （D ）2<x答案 ⑴(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∞-1374,52, ⑵43 ；2 ⑶⎪⎭⎫⎝⎛2,21 ⑷A题8 不等式t x x +≥-21 的解集是∅ ,实数t 的取值范围(用区间形式)是 .(第一届高二第一试第18题)解法1 由t x x +=-21两边平方并整理得012222=-++t tx x ,此方程无实根,故()084184222<+-=--=∆t t t ,22>t .又0>t ,2>∴t .故填()+∞,2.解法2 作出函数21x y -=的图象(即图中的半圆)及函数t x y +=的图象(即图中斜率为1的直线系).由题意,直线应在半圆的上方,由图象可知直线t x y +=在y 轴上的截距2>t .故填()+∞,2.解法3 由012≥-x ,得11≤≤-x .故设θc o s =x ,[]πθ,0∈,则已知不等式就是t +≥θθcos sin ,即θθcos sin -≤t .⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-4sin 2cos sin πθθθ ,又⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,44πππθ,()sin cos [1θθ∴-∈-.由题意得2>t . 故填()+∞,2.评析 这是一道蕴含着丰富数学思想方法的好题.解法1﹑2﹑3分别运用方程思想﹑数形结合思想﹑化归转换思想,从不同的角度解决了问题,体现了这道题的丰富内涵.解法2揭示了本题的几何背景.解法3的依据是:不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21恒成立.有人认为不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21有解,这种观点是错误的.事实上,21=t 时,不等式x x t -->21就有解(比如53=x 就是其一个解),而21=t 时,不等式t x x +≥-21即2112+≥-x x 的解集却不是∅ (比如0就是它的一个解).拓展 通过上面的分析,并作进一步的研究,我们便有下面的 结论 已知t 为参数, ()f x 的值域是[],a b . (1) 若()t f x ≤恒成立,则t a ≤. (2) 若()t f x ≥恒成立,则t b ≥.(3) 若()t f x ≤的解集是∅,则t b >. (4) 若()t f x ≥的解集是∅,则t a <. (5) 若()t f x ≤有解,则t b ≤. (6) 若()t f x ≥有解,则t a ≥.若将()f x 的值域改为[),a b 、(],a b 、(),a b 等，也会有相应的结论，限于篇幅，不再一一列出．根据这一结论，请回答下列问题：1.t +的解集是∅，则实数t 的取值范围是 ． 2.t +的解集是∅，则实数t 的取值范围是 ． 3.t +有解，则实数t 的取值范围是 ． 4.t +有解，则实数t 的取值范围是 ． 5.t >+恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 6.t +恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 答案 1. ()2,+∞2.(,-∞3.)⎡+∞⎣4.(],2-∞5.(,-∞6.()2,+∞题9不等式3422≥+---x x x 的解集是（ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-255,253 C 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-,255253,D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-253,255 （第十三届高二第二试第8题）解法1 当0342≥+-x x ，即1≤x 或3≥x 时，原不等式就是,03422≥-+--x x x 即0552≤+-x x ，解得2553.255255+≤≤∴+≤≤-x x . 当2430,13x x x -+<即<<时，原不等式就是，03422≥+-+-x x x 即，0132≥+-x x 解得253-≤x或3x x ≥≤<.综上，所求解集为355,33,,22⎡⎫⎡+⎪⎢⎢⎪⎣⎭⎣⎦即⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253.故选A. 解法2 如图，作函数2-=x y 和342+-=x x y 的图象.要求的解集就是21y y ≥，即1y 在2y 上方时x 的区间，即图中线段AB 上的点所对应的横坐标所组成的区间[]B A x x ,.又(),1234222--=+-=x x x y 当32<<x 时，().2122--=x y 由()2212-=--x x 可解得253+=A x .当3>x 时，(),1222--=x y 由()2122-=--x x 可解得255+=Bx ，∴所求不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253，故选A.解法 3 同解法2画出图形后，可知解集为一个闭区间[]b a ,，且()3,2∈a ，对照 选择支.可知选A.解法4 当5.1=x 时，03422<+---x x x 时，故1.5不是原不等式的解，从而排除含1.5的B 、C 、D ，故选A.评析 解含绝对值的不等式，一般是先去掉绝对值符号，然后再求解.解法1正是运用分类讨论思想这样解决问题的，也是一种通法.我们知道，方程()()x g x f =的解就是函数()x f y =与()x g y =的图象交点的横坐标；若图象无交点，则方程无解.而不等式()()x g x f >的解集则是函数()x f y =的图象在()x g y =的图象上方部分的点的横坐标的集合；若()x f y =的图象都不在()x g y =的图象的上方，则不等式无解.解法2正是运用这种数形结合思想解决问题的.许多超越不等式的近似解或解的所属范围也都运用此法解决.选择题的正确答案就在选择支中，只是要求我们把它选出来而已.因此,不是非要求出答案再对照选择支选择答案不可的.基于此，解法3运用估算的方法选出了正确答案(注意：估算能力是高考明确要求要考查的能力之一).而解法4则运用特殊值排除了干扰支，进而选出了正确答案.类似这种不等式（方程）的解集是什么的选择题几乎都可用这种方法解，而且1 A B十分方便.值得注意的是，特殊值只能否定错误结论，根据正确选择支的唯一性才能肯定正确答案.另外，如何选取特殊值也是很有讲究的，读者可在解题实践中体会并加以总结.题10 不等式199920003224>-+-x x 的解集是 . （第十一届高二培训题第41题）解 设y=x x -+-3224 ，由⎩⎨⎧≥-≥-03024x x ，得定义域为[21，3]. 1999200010,106144410)3)(24(4)3(42422>≥∴≥-+-+=--+-+-=y x x x x x x y 即原不等式在定义域内恒成立，故所求解集为[21，3].评析 解无理不等式，通常是通过乘方去掉根号，化为有理不等式后再解.但从此题中不等式右边的数可以想象该有多么复杂，若将题目改为“276.571623.93224+>-+-πx x 的解集是 ”，还会有谁想通过平方化为有理不等式去解呢？显然，常规方法已难以解决问题，怎么办呢？考虑到不等式中的x ∈[21，3]，从而左边1999200010>≥，故解集就是定义域，这就启示我们，当常规思维受阻或难以奏效时，就应积极开展非常规思维，另辟蹊径，寻求解决问题的新方法.拓展 根据上面的分析，并加以拓广，我们可得结论 设a,b,c 是常数，若[,],()[,],()[,]x a b f x m n g x p q ∈∈∈,则当m c >时,不等式()f x c >的解集是[,],()a b f x c ≤的解集是φ；当n c <时, 不等式()f x c ≥的解集是φ,()f x c <的解集是[,]a b ;当n p >时, 不等式()()f x g x ≥的解集是φ, ()()f x g x <的解集是[,]a b ;当m q >时，不等式()()f x g x >的解集是[,]a b ，()()f x g x ≤的解集是φ.根据这一结论，不难求得下列不等式的解集：1、2、 2sinx+3cosx>4;3、 322163-->-x x ;4、 x x x -<-+-433)1(log 4;5、 sinx-cosx<32+x .答案：1、φ2、[2，+∞)3、φ4、R。

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毕业论文文献综述数学与应用数学“希望杯”全国数学邀请赛高二试题的研究举办“希望杯”全国数学邀请赛有助于鼓励和引导中小学生学好数学课程中最主要的内容，适当地拓宽知识面；启发他们注意数学与其它课程的联系和数学在实际中的应用；激励他们去钻研和探究；培养他们科学的思维能力、创新能力和实践能力；高二参赛学生作为一个特殊的参赛群体，既可以暂时避开来自高考的压力，又作为“希望杯”全国数学邀请赛参赛队伍中年级最高的一个群体，此赛事对这批学生来讲意义更为重大。

他们对初高中知识掌握较全面，命题人可供选择的知识点更宽泛，同时又因为他们即将面临高考，此赛事在锻炼高二参赛学生的思维，拓宽他们的解题思路方面有很大贡献。

因此有很多学者致力于研究“希望杯”全国数学邀请赛的高二试题部分。

高二“希望杯”全国数学邀请赛第一届是在1990年举行的，至今已成功举办了21届。

21年的发展历程，让“希望杯”倍受关注。

众多学者对高二“希望杯”的研究主要可以分为以下几个方面：（一）寻求高二“希望杯”试题的一题多解（二）探讨高二“希望杯”中同类题型，或给出统一解法（三）找出高二“希望杯”试题与高考试题间联系关于“希望杯”试题的一题多解的研究方明（湖南省长沙雅礼中学）发表于《数理天地》高中版2006年第6期第23页，第42页《换元法解第十七届“希望杯”试题》中，作者选取了“希望杯”高二第17届（2006年）第1试试题18向我们展示一题多解的魅力。

尽管解题思想不同，用换元或是用基本不等式，却是殊途同归。

王钦茹赵平礼（山东苍山县卞庄二中）发表于《中学数学教学》1999年第4期第34页上《一道“希望杯”赛题的几何证法》中，作者针对第七届全国数学“希望杯”高二年级第2试试题22（1），在不利用未编入教材的微积分知识的前提下，提出一种初等解法，其中主要用到三角形及扇形的面积公式。

知识点粗浅，方便理解。

王成维吴杰夫（天津市现代联合咨询中心高考研究室）发表于《数理天地》高中版2006年第6期20-21页《第17届“希望杯”高二2试解答题的别解》中，作者仅选取该届试题的2试试题，另辟蹊径地给出了自己较为简便的算法，该算法切入口明显，向下行走顺畅自然，易于理解。

第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试2000年4月23日 上午8：30—10：30一、选择题（每小题6分，共60分）1、函数f ( x ) = log 13( 2 x 2 + 2 + 1 ) x 是（ ）（A ）偶函数 （B ）奇函数 （C ）奇且偶函数 （D ）非奇非偶函数 2、△ABC 中，BC = 6，BC 上的高为4，则AB ∙ AC 的最小值是（ ）（A ）24 （B ）25 （C ） （D ）263、If l 1 : x + 3 y – 7 = 0 , l 1 : k x – y – 2 = 0 and positive x – axis and positive y – axis make a quadrilateral , which has a circumcircle , then k =（ ）（A ）– 6 （B ）– 3 （C ）3 （D ）6 （英汉小字典：positive 正的；quadrilateral 四边形；circumcircle 外接圆） 4、直线y = x + 3和曲线 –||4x x +29y= 1的交点的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 5、若f ( x + y ) = f ( x ) ∙ f ( y )，且f ( 1 ) = 2，则(2)(1)f f +(4)(3)f f +(6)(5)f f + … +(2000)(1999)f f =（ ）（A ）1999 （B ）2000 （C ）2001 （D ）20026、定义在R 上的偶函数f ( x )在[ 0，+ ∞ )上是增函数，且f (13) = 0，则不等式f ( log 18x ) > 0的解是（ ） （A ）(12，1 ) （B ）( 2，+ ∞ ) （C ）( 0，12)∪( 2，+ ∞ ) （D ）(12，1 )∪( 2，+ ∞ )7、将圆x 2 + ( y – 1 ) 2 = 1的中心到直线y = k x 的距离记为d = f ( k )，给出以下三个判断： ⑴数列{ n f ( n ) }是递增数列；⑵数列{21()f n }的前n 项和是2(237)6n n n ++；⑶ lim n →+∞(1(1)f n +–1()f n ) – 1 = 1其中，正确的个数是（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）08、设计一条隧道，要使高3.5米，宽3米的巨型载重车辆能通过，隧道口的纵断面是抛物线状的拱，拱宽是拱高的4倍，那么拱宽的最小整数值是（ ）（A ）14 （B ）15 （C ）16 （D ）17 9、已知x 、y 、z ∈R +，且1x+2y+3z= 1，则x +2y +3z 的最小值是（ ）。

B C D AE B CF 2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛初一 第一试一、选择题（每小题4分，共40分）1．在2005、2007、2009这三个数中，质数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．如图，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，AC ≠BC ，则图中与∠BAC 互余的角有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．在数轴上，坐标是整数的点称为“整点”．设数轴的单位长度是1cm ，若在这条数轴上随意画出一条长为2008cm 的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有（ ）A ．2006个B ．2007个C ．2008个D ．2009个 4．若x 2＋x －2＝0，则x 3＋2x 2－x ＋2007＝（ ）A ．2009B ．2008C ．－2008D ．－2009 5．在△ABC 中，2∠A ＝3∠B ，且∠C －30º＝∠A ＋∠B ，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．有一个角是30º的直角三角形 D ．等腰直角三角形6．设M ＝(|x ＋2|－|x |＋2)(|x ＋2|－|x |－2)，则M 的取值范围表示在数轴上是（ ）7．The coordinates of the three points A ，B ，C on the plane are (－5，－5)，(－2，－1) and (－1，－2)，respectively ，the triangle ABC is （ ） A ．a right triangle B ．an isosceles triangle C ．an equilateral triangle D ．an obtuse triangle(英汉词典：right 直角的，isosceles 等腰的，equilateral 等边的，obtuse 钝角的)8．用一根长为a m 的细绳围成一个等边三角形，测得它的面积是b m 2．在这个等边三角形内任取一点P ，则点P 到等边三角形三边的距离的和等于（ ）A ． 2b a mB ． 4b a mC ． 6b a mD ． 8b am9．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复的三位数中，是9的倍数的数有（ ） A ．12个 B ．18个 C ．20个 D ．30个10．如图，平面上有A 、B 、C 、D 、E 五个点，其中B 、C 、D 及A 、E 、C 在同一条直线上，那么以这五个点中的三个点为顶点的三角形有（ ） A ．4个 B ．6个 C ．8个 D ．10个二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．当a ＝－1，b ＝0，c ＝1时，代数式a 2007＋b 2008－c 2009a 2010－b 2011＋c2012的值为 ． 12．《全国土地利用总体规划纲要（2006—2020）》明确，全国耕地保有量到2010年保持在18.18亿亩．用科学记数法表示此数，是 ．13．如图，点E 、F 、G 、H 分别是正方形ABCD 各边的中点，点I 、J 、K 、L 分别是四边形EFGH 各边的中点，点M 、N 分别是IJ 、IL 的中点．若图中阴影部分的面积是10，则AB 的长是 ． 14．古代科举考试以四书五经为主要考试内容．据统计，《论语》11705字，《孟子》34685字，《易经》24107字，《书经》25700字，《诗经》39234字，《礼记》99010字，《左传》196845字．根据以上数据计算，《论语》字数占这7本书字数的 %(保留两个有效数字)．15．Let a ，b and c be rational numbers and b ＝ 12 5－ 135a ， c ＝ 13 5－ 12 5a ，then a 2－b 2＋c 2＝ ． (英汉词典：rational numbers 有理数)16．如图，半圆O 的直径AB ＝2，四边形CODA 为正方形．连接AC ，若正方形内三部分的面积分别记为S 1、S 2、S 3，则S 1∶S 2∶S 3＝ ．17．方程 x 2＋ x 6＋ x 12＋…＋ x2008×2009＝2008的解是x ＝ ．18．如果 a ＋1 20＝ b ＋1 21＝ a ＋b 17，那么 ab＝ ．19．（中国古代问题）唐太宗传令点兵，若一千零一卒为一营，则剩余一人；若一千零二卒为一营，则剩余四人．此次点兵至少有 人．20．如图，要输出大于100的数，则输入的正整数x 最小是 ．y三、B组填空题（每小题8分，共40分）21．小明写出了50个不等于零的有理数，其中至少有一个是负数，而任意两个数中总有一个是正数，则小明写出的这50个数中正数有个，负数有个．22．若a、b、c都是正整数，且a＋b＋c＝55，a－bc＝－8，则abc的最大值为，最小值为．23．记有序的有理数对x、y为(x，y)．若xy＞0，|x|y－x＝0且|x|＋|y|＝3，则满足以上条件的有理数对(x，y)是或．24．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于O点，过点O作EF∥CB，交AC于E，交AB于F，作OD⊥AB于D，OD＝m．若CE＋FB＋CB＝n，则梯形BCEF的面积等于；若AE＋AF＝n，则△AEF 的面积等于(用m、n表示)．25．如图，正方形中的每个小图形表示一个数字，相同的图形表示相同的数字，不相同的图形表示不同的数字，正方形外的数字表示该行(或列)的数字的和，则x＝，y＝．第二十届(2009年)希望杯初一年级第二试试题word版初一第2试一、选择题（每小题4分，共40分）1．=--222239614753（）（A）113（B）115（C）117（D）1192．每只玩具熊的售价为250元．熊的四条腿上各有两个饰物，标号依次为1，2，3，…，8．卖家说：“1，2，3，4，…，8号饰物依次要收1，2，4，8，…，128元．如果购买全部饰物，那么玩具熊就免费赠送．”若按这样的付费办法，这只熊比原售价便宜了（）（A）5元（B）-5元（C）6元（D）-6元3．如图1，直线MN∥PQ．点O在PQ上．射线OA⊥OB，分别交MN于点C和点D．∠BOQ=30°．若将射线OB绕点O逆时针旋转30°，则图中60°的角共有（）（A）4个（B）5个（C）6个（D）7个4．如果有理数a，b使得011=-+ba，那么（）（A）ba+是正数（B）ba-是负数（C）2ba+是正数（D）2ba-是负数5．As in figure 2．In the circular ring of which center is point O．if AO⊥BO，and thearea of the shadowy part is 25cm2，then the area of the circuiar ring equals to ( ) ()14.3≈π（A）147cm2（B）157cm2（C）167cm2（D）177cm26．已知多项式152)(21+-=xxxp和43)(2-=xxp，则)()(21xpxp⨯的最简结果为（）（A）42323623-+-xxx（B）42323623--+xxx（C）42323623+--xxx（D）42323623+++xxx7．若三角形的三边长a，b，c满足cba<<，且212tbca=+，222tcab=+，232tabc=+，则21t、22t、23t中（）（A）21t最大（B）22t最大（C）23t最大（D）23t最小8．如图3，边长20m的正方形池塘的四周是草场，池塘围栏的M、N、P、Q处各有一根铁桩，QP=PN=MN=4m，用长20m的绳子将一头牛拴在一根铁桩上，若要使牛的活动区域的面积最大，则绳子应拴在（）（A）Q桩（B）P桩（C）N桩（D）M桩图3ONM图1PDCBA9．电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（）（A）20张（B）15张（C）10张（D）5张10．将图4中的正方体的表面展开到平面内可以是下列图形中的（）(D)(C)(B)(A)图4二、填空题（每小题4分，共40分）11．据测算，11瓦节能灯的照明效果相当于80瓦的白炽灯．某教室原来装有100瓦的白炽灯一只．为了节约能源，并且保持原有的照明效果，可改为安装瓦（取整数）的节能灯一只．12．将五个有理数32，85-，2315，1710-，1912每两个的乘积由小到大排列，则最小的是；最大的是．13．十进制的自然数可以写成2的方幂的降幂的多项式，如：)2(1234)10(1001121212221121619=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++=，即十进制的数19对应二进制的数10011．按照上述规则，十进制的数413对应二进制的数是．14．如图5，点P在正方形ABCD外，PB=10cm，△APB的面积是60cm2，△BPC的面积是30cm2,则正方形ABCD 的面积是cm2．15．若522++xx是qpxx++24的一个因式，则pq的值是．16．若0≠abc，则abcabcccbbaa+++的最大值是；最小值是．17．已知)(xF表示关于x的运算规律：3)(xxF=，（例如 ,273)3(,82)2(33====FF）．又规定)()1()(xFxFxF-+=∆，则=+∆)(baF．18．一条公交线路从起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．则从前6站上车而在终点站下车的乘客有人．19．If the product of a simple binomial mx+and a quadratic 2)1(-x is a cubic multinomial baxx++3，then a= ，b= ，m= ．20．方程200920092132121=++++++++++xxxx的解是=x．三、解答题（每题都要写出推算过程）21．（本题满分10分）如果两个整数x，y的和、差、积、商的和等于100．那么这样的整数有几对？求x与y的和的最小值，及x与y的积的最大值．22．（本题满分15分）某林场安排了7天的植树工作．从第二天起每天都比前一天增加5个植树的人，但从第二天起每人每天都比前一天少植5棵树，且同一天植树的人，植相同数量的树．若这7天共植树9947棵，则植树最多的那天共植了多少棵树？植树最少的那天，有多少人在植树？23．（本题满分15分）5个有理数两两的乘积是如下的10个数：10-，168.0，2.0，80，6.12-，15-，6000-，21.0，84，100．请确定这5个有理数，并简述理由．2010年第21届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第1试）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1、设a ＜0，在代数式|a|，-a ，a 2009，a 2010，|-a|，（+a ），（-a ）中负数的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、在2009年8月，台风“莫拉克”给台湾海峡两岸人民带来了严重灾难，台湾当局领导人马英九在追悼“八八水灾”罹难民众和救灾殉职人员的大会的致辞中说到，大陆同胞购款金额约50亿新台币，是台湾接到的最大一笔捐款，展现了两岸人民血浓于水的情感．50亿新台币折合人民币约11亿多元．若设1.1=m ，则11亿这个数可表示成（ ）A 、9mB 、m 9C 、m×109D 、m×10103、If m=2，then )](31[)41(])1([|12|)1()(22243m m m m -⨯-+-⨯---÷---⨯-=（ ）A 、-2B 、-1C 、1D 、24、如图所示，A 是斜边长为m 的等腰直角三角形，B ，C ，D 都是正方形则A ，B ，C ，D 的面积的和等于（ ） A 、m 2B 、m 2C 、m 2D 、3m 25、8个人用35天完成了某项工程的，此时又增加6个人，那么要完成剩余的工程，还需要的天数是（ ） A 、18 B 、35 C 、40 D 、606、若∠AOB 和∠BOC 互为邻补角，且∠AOB 比∠BOC 大18°，则∠AOB 的度数是（ ） A 、54°B 、81°C 、99°D 、162°7、若以x 为未知数的方程x-2a+4=0的根是负数，则（ ）A 、（a-1）（a-2）＜0B 、（a-1）（a-2）＞0C 、（a-3）（a-4）＜0D 、（a-3）（a-4）＞0 8、设a 1，a 2，a 3是三个连续的正整数，则（ ）A 、a 13|（a 1a 2a 3+a 2）B 、a 23|（a 1a 2a 3+a 2）C 、a 33|（a 1a 2a 3+a 2）D 、a 1a 2a 3|（a 1a 2a 3+a 2）（说明：a 可被b 整除，记作b|a ．）9、由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的左视图是（ ）A 、B 、C 、D 、10、已知a 和b 是有理数，若a+b=0，a 2+b 2≠0，则在a 和b 之间一定（ ） A 、存在负整数B 、存在正整数C 、存在负分数D 、不存在正分数 二、填空题（共15小题，满分80分）11、已知多项式2ax 4+5ax 3-13x 2-x 4+2021+2x+bx 3-bx 4-13x 3是二次多项式，则a 2+b 2= 12、如图所示，直线AB 、CD 相交于点O ．若OM=ON=MN ，那么∠APQ+∠CQP=13、在数轴上，点A 表示的数是3+x ，点B 表示的数是3-x ，且A 、B 两点的距离为8，则|x|= 14、In right Fig ．，if the length of the segment AB is 1，M is the midpoint of the segment AB ，and point C divides the segment MB into two partssuch that MC ：CB=1：2，then the length of AC is （英汉词典：length 长度；segment 线段；midpoint 中点；divides…into 分为，分成） 15、若以x 为未知数的方程3x-2a=0与2x+3a-13=0的根相同，则a=16、甲乙两人沿同一条路骑自行车（匀速）从A 站到B 站，甲需要30分钟，乙需要40分钟，如果乙比甲早出发5分钟去B 站，则甲出发后经 ______分钟可以追上乙．17、一个两位的质数，如果将它的十位数字与个位数字交换后，仍是一个两位的质数，这样的质数可称为“特殊质数”，这样的“特殊质数”有______个．18、如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2．则∠1+∠2=19、如果a ，b ，c 都是质数，且b+c=13，c 2-a 2=72，则a+b+c=20、设x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7是自然数，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5＜x 6＜x 7，x 1+x 2=x 3，x 2+x 3=x 4，x 3+x 4=x 5，x 4+x 5=x 6，x 5+x 6=x 7，又x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7=2010，那么x 1+x 2+x 3的值最大是 21、当|x-2|+|x-3|的值最小时，|x-2|+|x-3|-|x-1|的值最大是_____，最小是 ______． 22、边长为1cm 的8个小正方形拼成如图所示的长4cm 、宽2cm 的长方形．将外围的格点从1号编到12号．最初，点A 、B 、C 分别位于4、8、12号格点上，现以逆时针方向同时移动A 、B 、C 三点，每次各移动到下一个格点，绕了一周回到原先的位置，这过程中，△ABC 有______次成为直角三角形；△ABC 的面积最大是________cm 2． 23、若两个数的最小公倍数为2010，这两个数的最大公约数是最小的质数，则这两个数的和的最大值是_______，这两个数的差的最小值是_________．24、图中的正五角星有_______条对称轴，图中与∠A 的2倍互补的角有_______个． 25、整数x ，y 满足方程2xy+x+y=83，则x+y= _______或 _______．答案：BCDAC CBBBC11、13 12、240度 13、4 14、2/3 15、3 16、15 17、9 18、45度 19、20 20、236 21、0、-1 22、6、4 23、2012、104 24、5、10 25、83、-85第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛初一 第2试一、选择题（每小题4分，共40分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．1．若a-b 的相反数是2b-a ，则b=( )(A)-1. (B)0. (C)1. (D)2.2．某工厂3月份的产值比2月份增加10%，4月份的产值比3月份减少10%，则( )(A)4月份的产值与2月份相等． (B)4月份的产值比2月份增加991．(C)4月份的产值比2月份减少991． (D)4月份的产值比2月份减少1001．3．如图1，△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的外角分别记为α，β，γ，．若α：β:γ，=3:4:5， 则∠A ：∠B ：∠C=( )(A)3:2:1. (B)1:2:3. (C)3:4:5. (D)5:4:3.4．若m=22011201020102009⨯+⨯，则m 是( )(A)奇数，且是完全平方数． (B)偶数，且是完全平方数． (C)奇数，但不是完全平方数． (D)偶数，但不是完全平方数．5．有两个两位数的质数，它们的差等于6，且它们平方的个位数字相同， 这样的两位质数的组数是( )(A)1． (B)2． (C)3． (D)4．6.As in figure 2,the area of square ABCD is l69cm 2,and the area ofthombus BCPQ is 156cm 2. Then the area of the shadow part is ( )(A) 23cm 2. (B) 33cm 2. (C) 43cm 2. (D) 53cm 2. （英汉词典：square 正方形；thombus 菱形）7．要将40kg 浓度为16%的盐水变为浓度为20%的盐水，则需蒸发掉水( ) (A) 8kg. (B) 7kg. (C) 6kg. (D) 5kg.8．如图3，等腰直角△ABC 的腰长为2cm.将△ABC 绕C 点逆时针旋转90。

2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第1试2009年3月15日 上午8∶30至10∶00一、选择题（每小题4分，共40分）1．在一次视力检查中，初二（1）班的50人中只有8人的视力达标。

用扇形图表示视力检查结果，则表示视力达标的扇形的圆心角是（ ） （A ）64.8º（B ）57.6º（C ）48º（D ）16º2．如图1，点B 在反比例函数y ＝xk 的图像上，从点B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别是A 、C 。

若△ABC 的面积是4，则反比例函数的解析式是（ ） （A ）y ＝－x8（B ）y ＝x8（C ）y ＝－x 4（D ）y ＝x43．如果a ＋2ab ＋b ＝2且b 是有理数，那么（ ） （A ）a 是整数 （B ）a 是有理数（C ）a 是无理数（D ）a 可能是有理数，也可能是无理数4．复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们有如下的关系：将上一个型号（如A3）的复印纸在长的方向对折后就得到两张上一个型号（得到A4）的复印纸且各种型号的复印纸的长与宽的比相等，那么这些型号的复印纸的长与宽的比约为（ ） （A ）1.414：1（B ）2：1（C ）1：0.618（D ）1.732：15．The number of integer solutions for the system of inequalities ⎩⎨⎧->-≥-12302x a x aboutx is just 6，then the range of value for real number a is （ ）（A ）－2.5＜a ≤－2 （B ）－2.5≤a ≤－2 （C ）－5＜a ≤－4 （D ）－5≤a ≤－4 （英汉词典：integer solution 整数解；system of inequalities 不等式组；the range of value 取值范围）6．若分式232||--x x 的值是负数，则x 的取值范围是（ ）（A ）32＜x ＜2 （B ）x ＞32或x ＜－2ECDA FB（C ）－2＜x ＜2且x ≠32（D ）32＜x ＜2或x ＜－27．从100到1000的整数中（含100和1000），既不是完全平方数也不是完全立方数的数有（ ） （A ）890个（B ）884个（C ）874个（D ）864个8．如图2，在正方形ABCD 中，E 是DC 的中点，点F 在BC 上，∠EAF＝∠DA E ，则下列结论中正确的是 （ ）（A ）∠EAF＝∠FAB （B ）FC ＝31BC（C ）AF ＝AE ＋FC （D ）AF ＝BC ＋FC9．计算：()237411+＋()237411-，结果等于 （ ）（A ）58（B ）387（C ）247（D ）32710．已知在代数式a ＋bx ＋cx 2，a 、b 、c 都是整数，当x ＝3时，该式的值是2008；当x ＝7时，该式的值是2009，这样的代数式有 （ ） （A ）0个（B ）1个（C ）10个（D ）无穷多个二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．某地区有20000户居民，从中随机抽取200户，调查是否已安装电话，结果如右表所示，则该地区已安装电话的户数大约是________．12．若14 x ＋5－21x 2＝―2，则6x 2―4x ＋5的值等于________． 13．不等式x －1＞2x 的最大整数解是________．14．已知m 是整数，以4m ＋5，2m ―1，20―m 这三个数作为同一个三角形的边长，则这样的三角形有 个．15．当x 依次取1，2，3，…，2009，21，31，41，…，20091，时，代数式221x x +的值的和等于 ．16．由一次函数y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2和x 轴围成的三角形与圆心在（1，1）、半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等于________．17．在Rt△ABC 中，∠C＝90º，斜边AB 上的高为h ，则两条直角边的和为a ＋b 与斜边及其高的和为c ＋h 的大小关系是：a ＋b c ＋h ．（填“＞”、“＜”或“＝”）A BC DE BD A C18．Figure 3 is composed of square ABCD and triangle BEC ，where ∠BEC is aright angle ．Suppose the length of CE is a ，and the length of BE is b ， then the distance between point A and line CE equals to ． （英汉词典：be composed of 由…组成；right angle 直角；length 长度；distance 距离）19．如图4，在△ABC 中，AB ＞AC ，BD 平分∠ABC，若BD 将△ABC 的周长分为4：3的两部分，△ABD 和△DBC 的面积之比等于 ．20．将n 个棋子放入10个盒子内，可以找到一种放法，使每个盒子内都有棋子 且这10个盒子内的棋子数都不相同。