历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析(一)

历届“希望杯”全国数学邀请赛100题精选（高二） 题一、已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 .（第十一届高二第一试第11题）题二、设c b a >>N n ∈,，且11n a b b c a c+≥---恒成立，那么n 的最大值为 （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 （第十一届高二第一试第7题）题3、设实数y x n m ,,,知足a n m =+22，b y x =+22，那么ny mx +的最大值为 （ ） A 、21()b a + B 、2122b a + C 、222b a + D 、ab （第十一届高二培训题第5题）题4、关于1≤m 的一切实数m ，使不等式221(1)x m x ->-都成立的实数x 的取值范围是 . （第十三届高二培训题第63题） 题5、当0x a <<时,不等式2)(1122≥-+x a x 恒成立,那么a 的最大值是________. (第十一届高二培训题第45题)题6、已知()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=2,0,log sin πθθx x f ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos sin θθf a ，()θθcos sin ⋅=f b ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θθθcos sin 2sin f c ，那么c b a 、、的大小关系是 （ ） A 、b c a ≤≤ B 、a c b ≤≤ C 、a b c ≤≤ D 、c b a ≤≤（第八届高二第一试第10题）题7、已知21=a ，不等式49321log <⎪⎭⎫⎝⎛-x a 的解是 .（第三届高二第二试第13题） 题8、不等式t x x +≥-21 的解集是∅ ,实数t 的取值范围(用区间形式)是 .(第一届高二第一试第18题)题9、不等式03422≥+---x x x 的解集是 （ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-255,253 C 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-,255253, D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-253,255 （第十三届高二第二试第8题）题10、不等式199920003224>-+-x x 的解集是 . （第十一届高二培训题第41题） 题11、使不等式x a x arccos 2>-的解是121≤<-x 的实数a 的取值范围是（ ） A 、21π- B 、3222π- C 、6522π- D 、π-21 （第十一届高二第一试第6题）题12、已知b a ,是正数，而且1996199619981998b a b a +=+，求证222≤+b a .(第十届高一培训题第74题)题13、设1x ，2x ，3x ，1y ，2y ，3y 是实数，且知足1232221≤++x x x ，证明不等式)1)(1()1(2322212322212332211-++-++≥-++y y y x x x y x y x y x .（第十届高二第二试第22题）题14、已知0x y z >、、，而且2222222111x y z x y z ++=+++， 求证：2111222≤+++++z z y y x x . （第一届备选题） 题15、求所有的正实数a ，使得对任意实数x 都有22sin 22cos ≤+x x a a（第十一届高二第二试第23题）题16、函数()()122222>-+-=x x x x x f 的最小值为 ( ) A 、-1 B 、1 C 、-2 D 、2 （第七届高一培训题第2题）题17、已知,,x y z R +∈，且1231x y z ++=，那么23y z x ++的最小值是 （ ） A 、5 B 、6 C 、8 D 、9（第十一届高二第二试第9题、高二培训题第14题）题18、设b a y x ,,,为正实数，b a ,为常数，且1=+yb x a ,那么y x +的最小值为_______. （第十一届高二培训题第36题）题19、若是1=++c b a_______．（第八届高二第一试第19题）题20、若10<<c b a 、、，而且2=++c b a ，那么222c b a ++的取值范围是 （ ） A 、43⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B 、423⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C 、423⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D 、4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ （第九届高二第一试第10题）题21、假设0,>y x ，且12=+y x ，那么⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y y x x u 411的最小值是 . （第一届高二第一试第20题）题22、已知+∈R b a ,，且1=+b a ，那么1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 . (第八届高二培训填空题第6题) 题23、设R y x ∈,，且221x y +≤，那么xy y x ++的最大值是 ，最小值是 ．（第六届高二培训解答题第2题、第八届高二第一试第23题）题24、假设223x xy 3y 20-+=，那么228x 23y +的最大值是 ．（第十三届高二培训题第68题）题25、函数xx x y sin 1cos sin ++=的最大值是＿＿＿＿． （第九届高二培训题第43题） 题26、函数1212y sin x cos x =+的值域是 . （第十一届高二培训题第46题）题27、设+∈N n ，那么|2001||1950||1949|-+⋯+-+-n n n 的最小值是 ．（第九届高二培训题第53题）题28、6110s =+++，那么s 的整数部份是 （ ）A 、１９９７ Ｂ、１９９８ C 、１９９９ D 、２０００（第八届高二第二试第１０题）题 29、求函数4803224+++-=x x x y 的最小值和取最小值时x 的值（第十三届高二培训题第81题） 题30、函数223223x x x x y -+++-=的最大值是 ,最小值是 .(第十四届高二第二试第16题) 题31、已知+∈R z y x 、、，求函数()222,,xy yz u x y z x y z +=++的最大值. （第九届高二培训题第61题）题32、已知a,b R ∈，且a b 10++=，那么()()2223a b -+-的最小值是 .（第十届高二培训题第44题）题33、实数x ，y 知足方程94622--=+y x y x ，那么y x 32-的最大值与最小值的和等于_______. （第十届高二第二试第17题） 题34、线段AB 的端点坐标是A （-1，2），B （2，-2），直线y=kx+3与线段AB 相交的充要条件是 （ ） A 、125≤≤-k B 、251≤≤k C 、125≤≤-k 且k ≠0 D 、125≥-≤k k 或 （第八届高二培训题第2题）题35、过点()1,1P 且与两条坐标轴围成面积为2的三角形的直线的条数是 .(第十届高二第一试第18题)题36、某工厂安排甲、乙两种产品的生产.已知每生产1吨甲产品需要原材料A 、B 、C 、D 的数量别离为1吨、2吨、2吨、7吨；每生产1吨乙产品需要原材料A 、B 、D 的数量别离为1吨、4吨、1吨.由于原材料的限制，每一个生产周期只能供给A 、B 、C 、D 四种原材料别离为80吨、80吨、60吨、70吨.假设甲、乙产品每吨的利润别离为2百万元和3百万元.要想取得最大利润，应该在每一个生产周期安排生产甲产品 吨，期望的最大利润是 百万元.（第十三届高二第一试第25题）题37、点M ()00,y x 是圆()0222>=+r r y x 内圆心之外的一点，那么直线200r y y x x =+与该圆的位置关系是 （ ）（A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）相切或相交（第七届高二第一试第5题） 题38、过圆016222=+-++y x y x 与圆0176622=+--+y x y x 的交点的直线方程是 . （第二届高二第二试第15题） 题39、假设实数x 、y 适合方程014222=+--+y x y x ，那么代数式2+x y 的取值范围是 . （第九届高二第一试第17题）题40、圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,都使不等式0≥++c y x 成立，那么C 的取值范围是 （ ）A 、(]0,∞-B 、)+∞C 、1,)+∞D 、[1)+∞ （第七届高二第一试第10题）题41、E 、F 是椭圆22x y 142+=的左、右核心，l 是椭圆的准线，点P l ∈，那么EPF ∠的最大值是 （ ）A 、15°B 、30°C 、45°D 、60° （第十三届高二培训题第21题）题42、椭圆()012222>>=+b a by a x 的两核心是1F 、2F ，M 为椭圆上与1F 、2F 不共线的任意一点，I 为21F MF ∆的内心，延长MI 交线段1F 2F 于点N ，那么IN MI :的值等于 ( )A 、b aB 、c aC 、c bD 、a c （第十三届高二培训题第19题） 题43、过椭圆左核心F 作直线交椭圆于B A 、两点，假设3:2:=BF AF ，且直线与长轴的夹角为4π，那么椭圆的离心率为 （ ） A 、51 B 、52 C 、53 D 、52 （第十一届高二第一试第8题） 题44、若是点A 的坐标为(1,1)，1F 是椭圆459522=+y x 的左核心，点P 是椭圆上的动点，那么1PF PA +的最小值为_________________.（第十一届高二培训题第66题） 题45、设1F 、2F 是椭圆的两个核心，假设椭圆上存在点P ，使oPF F 12021=∠，那么椭圆离心率e 的范围是______. （第十二届高二第一试第20题）题46、1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个核心， P 是椭圆上任意一点，那么21PF PF ⋅的最小值是＿＿＿＿. （第七届高二第一试第19题）题47、21,F F 是椭圆()012222>>=+b a by a x 的核心，P 是椭圆上的一点，且︒=∠9021PF F ，那么21PF F ∆的面积是 . （第四届高二第一试第30题）题48、椭圆12222=+by a x 的内接三角形的最大面积是＿＿＿. （第九届高二第二试第20题） 题49、Rt △ABC 中，AB=AC ，以C 点为一个核心作一个椭圆，使那个椭圆的另一个核心在边AB 上，且椭圆过A ，B 两点.求那个椭圆的离心率. （第二届高二第二试第21题）题50、设点1F 是椭圆12322=+y x 的左核心，弦AB 过该圆的右核心2F ，试求AB F 1∆的面积的最大值. （第六届高二第二试`第21题）题51、Let point M move along the ellipse 18922=+y x ,and point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of M is . (ellipse 椭圆；focus 核心；coordinate 坐标)（第十四届高二第二试第18题）题52、已知双曲线k y x =-22关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，那么k 的值等于 （ ）A 、32B 、34C 、45D 54 （第十五届高二培训题第19题） 题53、21,F F 是双曲线3322=-y x 的左、右核心，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，那么11F A F B +的最小值是____________. （第四届高二第二试第15题）题54、方程()()|3|2222+-=-+-y x y x 表示的曲线是 ( ) A 、直线 B 、椭圆 C 、双曲线 D 、抛物线（第十二届高二培训题第23题） 题 55、已知1≥x ，那么动点A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x 1,1与点B （1，0）的距离的最小值是_________.（第七届高二第一试第23题）题56、抛物线2x y =上到直线02=++y x 的距离最小的点的坐标是________．（第九届高二培训题第27题）题57、在抛物线x y 42=上恒有两点关于直线3+=kx y 对称,那么k 的取值范围是 .(第十五届高二培训题第71题)题58、抛物线x y 42=的一条弦的倾斜角是α,弦长是α2csc 4,那么这种弦都通过必然点,该定点是 ． （第十三届高二培训题第73题） 题59、长为)1(<l l 的线段AB 的两头在抛物线2x y =上滑动，那么线段AB 的中点M 到x 轴的最短距离等于 . （第13届高二第二试第20题） 题60、动圆M 过定点A 且与定圆O 相切，那么动圆M 的中心的轨迹是 （ ）A 、圆B 、圆，或椭圆C 、圆，或椭圆，或双曲线D 、圆，或椭圆，或双曲线，或直线（第三届高二第二试第10题） 题61、设直线n m ,都是平面直角坐标系中椭圆72x +32y =1的切线，且n m ⊥，m 、n 交于点P ，那么点P 的轨迹方程是 ． （第十二届高二培训题第47题） 题62、已知曲线C 上任意一点到定点A （1，0）与定直线4=x 的距离之和等于5.关于给定的点()0,b B ，在曲线上恰有三对不同的点关于点B 对称，求b 的取值范围.（第十二届高二第二试第23题）题63、已知k ∈R ，关于x,y 的方程y 4+4y 3+(2x+2kx-kx 2)y 2+8xy+(4kx 2-2kx 3)=0表示一组曲线，其中有一条是固定的抛物线，试讨论k 值与曲线形状的关系. （第三届高二第二试第21题） 题64、已知点)0,1(A 和直线3:=x l ，动点M 到A 的距离与到l 的距离之和为4.(1)求M 点的轨迹T ;(2)过A 作倾斜角为α的直线与T 交于P ，Q 两点,设||PQ d =，求)(αf d =的解析式.（第十二届高二培训题第78题）题65、已知定点M （-3,0），P 和Q 别离是y 轴及x 轴上的动点，且使MP ⊥PQ ，点N 在直线PQ 上，分有向线段的比为23-. （1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）过点T （-1,0）作直线l 与轨迹C 交于两点A ，B ，问在x 轴上是不是存在一点D ，使△ABD 为等边三角形；假设存在，求点的坐标；假设不存在，请说明理由.（第十五届高二培训题第80题）D ABE C FG P 题66、已知异面直线a 与b 所成角为θ，P 为空间一点，过点P 作直线l 使l 和a ，b 所成角相等，此等角记为(()0,90⎤ββ∈⎦，那么直线l 的条数组成的集合为 .（第十五届高二培训题第38题）题67、空间给定不共面的D C B A ,,,四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：D C B A ,,,中有三个点到α的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，如此的平面α的个数是 （ ）A 、15B 、23C 、26D 、32 （第三届高一第二试第6题） 题68、O 为空间一点，射线OA 、OB 、OC 交于点O ，∠AOB=∠BOC=60︒，∠COA=90︒，那么二面角A-OB-C 的平面角的余弦函数值是________. （第五届高一第一试第15题） 题69、在四面体ABCD 中，面BAC 、CAD 、DAB 都是以A 为极点的等腰直角三角形，且腰长为a .过D 作截面DEF 交面ABC 于EF ，假设EF ∥BC ，且将四面体的体积二等分，那么面DEF 与面BCD 的夹角等于________. （第十三届高二第二试第19题）题70、如图，四边形ABCD 是矩形，⊥PA 面ABCD ，其中4,3==PA AB .假设在PD 上存在一点E ，使得CE BE ⊥.试求AD 的范围，及有且只有一个知足条件的点时，二面角A BC E --的大小. (第十四届高二培训题第78题) 题71、△ABC 是边长为1的正三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA=46，A 点关于平面PBC 的对称点为A ’，求直线A ’C 与AB 所成角的余弦值. （第九届高一第二试第22题） 题72、已知正方体的棱长为a ，它的体对角线和与它不共面的面对角线之间的最小距离等于________. (第十五届高二培训题第49题) 题73、点P 在ABC ∆所在的平面α外，,PA PB PC α⊥==3tan ,2PBC ∠=则A 到平面PBC 的距离的最大值是_________.（第二届高一第一试第30题） 题74、如图，ABCD-EFGH 是单位正方体，P 是AF 上的动点，那么GP+PB 的最小值是 ． （第十二届高一第一试第20题） 题75、以四个全等的正三角形为面拼合成的空间图形叫正四面体.正三角形边长叫正四面体的棱长.设正四面体棱长为1. 求互为异面的正三角形的中线（所在直线）间的距离. （可利用下面的结论：正四面体ABCD 中，A 到面BCD 的A B CD EF GH P距离为d ，面BCD 的面积为S ，那么四面体ABCD 的体积V=sd 31） （第八届高一培训解答题第3题）题76、四面体ABCD 中，R Q P ,,别离在棱DA CD BC ,,上，且,2,2QD CQ PC BP ==,RA DR =则B A ,两点到过R Q P ,,的平面的距离之比为_____.（第十届高一培训题第38题）题77、在棱长为2的正四面体内任取一点P ，P 到四面体四个面的距离别离记为1PP ，2PP ，3PP ，4PP ，那么=+++4321PP PP PP PP ＿＿＿＿. （第三届高二第一试第16题） 题78、某水准仪是封锁的正四面体,体内装有水,当正四面体的一个面放置于水平地面时, 体内水面高度为体高的12，现将它倒置，现在水的高度是体高的 ． （第十一届高一第一试第20题）题79、正四面体SABC ，点M 、E 、F 别离在棱SA ，AB ，BC 上，且2===FCBF EA BE MA SM .过M 、E 、F 三点的平面将四面体分成两部份，这两部份的体积比为＿＿＿＿（取较小部份与较大部份的体积之比） （第十三届高二培训题第75题） 题80、正四面体的侧面三角形的高线中，其“垂足”不在同一侧面上的任意两条所成角的余弦值是 （ ）31)(A 21)(B 32)(C 43)(D （第十二届高二第二试第3题） 题81、过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 的中点E 、F 作一个截面，使截面与底面ABCD 所成的角为450，那么此截面的形状为 （ ）A 、 三角形或五边形B 、三角形或六边形C 、六边形D 、三角形或四边形（第六届高一第二试第5题）题82、正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 的中点，F 为1CC 的中点，异面直线EF 与1AC 所成角的余弦值是 （ ）A 、32B 、322 C 、43 D 、63 (第十五届高二第二试第9题) 题83、多面体表面上三个或三个以上平面的公共点称为多面体的极点，用一个平面截一个n 棱柱，()N n n ∈≥,3截去一个三棱锥，剩下的多面体极点的数量是 （ ）A 、12,12+-n nB 、22,12,2,12++-n n n nC 、22,12,12++-n n nD 、22,12++n n （第四届高一第二试第10题） 题84、在长方体1111D C B A ABCD --中，1,,()AB a BC b CC c a b c ===>>, 过1BD 的截面的面积为S ，求S 的最小值，并指出当S 取最小值时截面的位置（即指出截面与有关棱的交点的位置）. （第五届高一第二试第22题） 题85、从凸四边形ABCD 的对角线交点O 作该四边形所在平面的垂线段SO ，使3SO =，假设22,S AOD S BOC V a V b --==.当S ABCD V -最小时，ABCD 的形状是＿＿＿＿.（第十四届高二培训题第67题）题86、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1底面的边长和高都是2cm ，过AB 作一个截面，截面与底面ABC 成600角，那么截面的面积是 .（第六届高一第一试第30题） 题87、如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是AA 1的中点，那么BC 1与CD 所成的角是 ，面BCD 与面CDB 1所成二面角等于 .（第十一届高二第一试第22题）题88、如图，设111C B A ABC -是直三棱柱，AC AB =，090=∠BAC ，Q M ,别离是1CC ，BC 的中点.P 点在11B A 上且2:1:11=PB P A .若是AB AA =1，那么AM 与PQ 所成的角等于 （ ） A 、090 B 、31arccos C 、060 D 、030（第十三届高二第一试第５题）题89、在三棱锥ABC S -中，SA ，SB ，SC 两两垂直，那么BAC ∠（ ）A 、必然是锐角B 、必然不是锐角C 、必然是钝角D 、必然是直角（第八届高二培训题第3题）题90、图1是以4个腰长为1的等腰直角三角形为侧面的棱锥，其中的四个直角是,,,PBC APB APD ∠∠∠ PDC ∠，求棱锥的高. （第十届高一第二试第22题）题91、三棱锥P ABC -中，90APB BPC CPA D ∠=∠=∠=︒，为底面ABC 内的一点， A C BE D B 1 A 1C 1 A B CAB 1C 1PQ M45,60APD BPD ∠=︒∠=︒，那么CPD ∠的余弦值为______.（第九届高一第二试第20题） 题92、有一个侧棱都是l 的三棱锥，极点处的三个面角中，有两个都是α，另一个是x .将该棱锥的体积V 表示成x 的函数并求出当x 取什么值时，V 达到最大或最小.（第二届高一第二试第21题）题93、设M 为正三棱锥S ABC -的底面ABC 内的任意一点，过M 引底面的垂线与这棱锥的三个侧面所在平面别离交于P,Q,R 三点，假设正三棱锥的高为2.试求MP MQ MR ++的长.（第十二届高一培训题第81题）题94、There are two travel projects from Beijing to Santiago, Chile: (A)Flying westward(向西) to New York, then flying southward to Santiago; (B) Flying southward from Beijing to Friemander, Australia , then flying westward to Santiago. The geographic positions of these four cities may be approximately considered as: Beijing (1200 east longitude, 400 north latitude ), New York (700 west longitude , 400 north latitude ), Friemander (1200 east longitude, 300 south latitude) , Santiago(700 west longitude , 300 south latitude ).Suppose that the air lines go along the spherical distance , then the project of the shorter distance is ________. （第十三届高二第一试第20题） 题95、如下图，矩形ABCD 中，P b AD a AB ,,==为CD 上的任一点，以AB 所在直线为轴，将PAB ∆旋转而成一个旋转体，求旋转体表面积的最大值，并指出当表面积最大时P 点位置. （第十一届高一培训题第79题）题96、ABCD 是一个正方形，M 为AB 上一点，N 为BC 上一点，且AM=BN.连DM 、DN 别离交对角线AC 于点P 、Q ，剪掉△MNB.求证：①以DM 、DN 为折痕，将DA 与DC 重合，能够组成一个三棱锥的侧面.②以线段AP 、PQ 、QC 为边恰可组成一个内角为600的三角形.（第一届高一第二试第五题） 题97、正ABC ∆的边长为a ，用任意直线l 截ABC ∆与两边交于F E 、，将ABC ∆沿l 折起作成二面角，由此可形成四棱锥ABEF C -，求此四棱锥的最大体积，并证明之.（第十二届高二培训题第77题）题98、给定一个三角形纸片（如图），你可否用它为原料剪拼成一个正三棱柱（正三棱柱的全面积等于原三角形的面积）？说明你的方式.那个地址“剪拼”的意思是：依直线剪裁，边对边拼接. （第十四届高二第二试第22题）题99 设在空间给出了20个点.其中某些点涂黄色，其余点涂红色.已知在任何一个平面上的同种颜色的点可不能超过三个.求证：存在一个四面体，它的四个极点同色，而且至少有一个侧面内不含另一种颜色的点. （第一届高一第二试第四题）题100、用四个边长别离为 a ， b ， c (a>b>c>0)的锐角三角形能够拼成一个四面体.把拼成的任何一个四面体的各棱用红、黄、蓝三色染色，每条棱染一色，每种色染两条棱，考A BC D P虑一切通过如此染色的四面体，若是通过适当转动，两个染色四面体完全重合，而且重合的对应棱同色时，称如此的两个四面体是同一染色类.问：所有如此的染色四面体可分为几种染色类？ （第四届高一第2试第22题） 参考答案：1、y x < 2、C 3、D 4、)2,13(- 五、2 六、D 7、11<<-x 或31<<x 八、()+∞,2 九、A 10、[21，3] 1一、B 12－14、略 1五、1215≤≤-a 1六、B17、D 1八、ab b a 2++ 1九、23 20、C 2一、825 2二、9 23、1-，221+ 24、1602五、1 2六、1,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 27、702 28、B 2九、1x =时, y 取得最小值12 30、22，2 3一、22 3二、18 33、24 34、D 3五、3 3六、13830,13100 37、C 3八、()()032=-+-y x μλ，其中μλ,为参数 3九、⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0 40、C 4一、B 4二、B 43、B 44、26- 4五、123<≤e 4六、1 47、2b 4八、ab 433 4九、36- 50、334 5一、译文：点M 是椭圆18922=+y x 上一点，点F 是椭圆的右核心，点P （6，2），那么3|MF|-|MP|的最大值是3，现在点M 的坐标是（223±，2）. 5二、B 53、3314 54、C 5五、1 5六、()11,24- 57、01<<-k5八、（1，0） 5九、24l 60、D 6一、1022=+y x 6二、425<<b 63－65、略 6六、}{1,2,3,4 67、D 6八、13- 6九、7625arctan - 70、34≥AD ，21arctan 7一、0 7二、a 6673 74、22+ 7五、1010或35 7六、4:1 77、332 7八、273 7九、20:780、C 8一、B 8二、B 83、B 84、22222c b a c b bc +++ 8五、当22a b =时，ABCD 是平行四边形，当22a b ≠时，ABCD 是梯形 8六、)(93162cm 87、900，410arcsin8八、A 8九、A 90、215-=h 9一、12 9二、当2sin arcsin 2α=x 时，V 最大 93、694、译文:从北京前去智利的圣地亚哥,有两种旅行方案可供选择.方案(A):由北京向西飞抵纽约，再向南飞抵圣地亚哥; 方案(B):由北京向南飞抵澳大利亚的弗里曼特尔,再向西飞抵圣地亚哥.上述4个城市的地理位置可近似看做:北京(东经1200,北纬400),纽约(西经700,北纬400), 弗里曼特尔(东经1200,南纬300), 圣地亚哥(西经700,南纬300). 假设飞机航线都是球面距离,那么飞行距离较短的方案是A.9五、)(222b a b b ++π，现在P 与D 或C 重合 9六、略 97、3363a 98－99、略 100、考虑到a,b,c 按逆时针方向排布的四面体，共有9+⨯(6+12)2=54种.。

第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二 第1试3月11日 上午8：30至10：00 得分一、 选择题（每小题4分，共40分.）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请1. 集合{|1,},{11,}P x x x R Q x x Z =≤∈=≤∈，则P Q = （ ）()(0,1).A (){0,1}.B ()[0,1].C()[1,1].D -2. 已知340,log (1log x A B x >==，则A 与B 的大小关系是（ ）().A A B > ().B A B = ().C A B < ()D 随x 的值而定.3. 有若干个同心圆，其半径是公比为(1)q q >的等比数列，相邻的两个圆组成一个圆环，则这些圆环的面积（ ）()A 不是等比数列. ()B 是等比数列，公比为.q()C 是等比数列，公比为2.q()D 是等比数列，公比为2 1.q - 4. 设,a b 是两个非零向量，则“a 和b 同向”是“2()()()a b a a b b =”的（ ） ()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件()C 充分且必要条件 ()D 既不充分也不必要条件5. 已知,x y R ∈，且3535x y y x --+≤+，则下列关系式中成立的是（ ）() 1.x y A e -≥ () 1.y x B e -≥ ()ln()0.C x y -≥()ln(1) 1.D y x -+≥6. The range of values for the function y x =is （ ）()[A ()(B ()[1C - ()(1D -7. 方程2(0x y y +-+-=的正整数解的个数是（ ）()1.A ()2.B ()5.C ()D 无穷多个.已知正三棱柱111ABC A B C -中，1AA a =，2AB a =，M 、N 、E 分别是AB 、AC 、11A B 的中点，那么平8. 面BCE 与平面MNE 所成的二面角的余弦值是（ ）(A(B(C(D 9. 椭圆2214y x +=的内接正方形的面积和内接矩形的最大面积的比等于（ ） 3().4A 4()5B 5()6C 7()8D 10. 定义：过双曲线焦点的直线与双曲线交于A 、B 两点，则线段AB 称为该双曲线的焦点弦。

历届希望杯高中试题及答案希望杯数学竞赛是一项在中国高中生中广泛参与的数学竞赛，它旨在激发学生对数学的兴趣，提高他们的数学素养。

以下是历届希望杯高中数学竞赛的一些试题及答案的示例：试题一：已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + b \)，当\( x = 1 \)时，\( f(x) \)取得最大值4。

求\( a \)和\( b \)的值。

答案：首先，我们对函数\( f(x) \)求导得到\( f'(x) = 6x^2 - 6x + a \)。

由于函数在\( x = 1 \)时取得最大值，这意味着\( f'(1) = 0 \)。

将\( x = 1 \)代入导数中，我们得到：\[ 6(1)^2 - 6(1) + a = 0 \]\[ 6 - 6 + a = 0 \]\[ a = 0 \]接下来，我们需要找到\( b \)的值。

由于\( f(1) = 4 \)，我们将\( x = 1 \)代入原函数中：\[ f(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 0(1) + b = 4 \]\[ 2 - 3 + b = 4 \]\[ b = 5 \]所以，\( a = 0 \)和\( b = 5 \)。

试题二：在平面直角坐标系中，点A(-1, 2)和点B(4, -1)，求直线AB的方程。

答案：首先，我们计算线段AB的斜率\( m \)：\[ m = \frac{-1 - 2}{4 - (-1)} = \frac{-3}{5} \]然后，使用点斜式方程，以点A为例，写出直线AB的方程：\[ y - 2 = -\frac{3}{5}(x + 1) \]将方程化简，得到：\[ y = -\frac{3}{5}x - \frac{3}{5} + 2 \]\[ y = -\frac{3}{5}x + \frac{7}{5} \]这就是直线AB的方程。

试题三：已知三角形ABC的三个内角A、B、C的度数分别为40°、70°和70°，求三角形ABC的外接圆半径。

第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试1990年3月18日 上午8：30—10：00一、选择题1、等差数列的第p 项是1990，第1990项是p ，那么第p + q （q ≥ 1991）项（ ）（A ）是正数 （B ）是负数 （C ）是零 （D ）符号不能确定2、设S k =11k ++12k ++ (12)，则（ ） （A ）S k + 1 = S k +122k + （B ）S k + 1 = S k +121k ++122k + （C ）S k + 1 = S k +121k +–122k + （D ）S k + 1 = S k –121k ++122k +3、函数y ）（A ）有最小值没有最大值 （B ）有最大值没有最小值（C ）有最小值也有最大值 （D ）没有最小值也没有最大值4、a ，b ∈R ，那么| a + b | = | a | – | b |是a b ≤ 0的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）不充分也不必要条件5、α ≠2k π( k ∈ Z )，那么sec α与sin 2 α tan 2α的符号（指正负号）（ ） （A ）总是相同 （B ）总是相异（C ）在第一、三象限时，它们同号，在第二、四象限时，它们异号（D ）在第一、三象限时，它们异号，在第二、四象限时，它们同号6、正四面体内切球的体积是V ，则它的外接球的体积是（ ）（A ）8V （B ）27V （C ）64V （D ）4V7、一个平面最多把空间分为两部分，两个平面最多把空间分为四部分，三个平面最多把空间分为八部分，那么，四个平面最多把空间分成（ ）（A ）16部分 （B ）14部分 （C ）15部分 （D ）20部分8、设a = arcsin ( sin 17)，b = arccos ( –17)，c = arcsin ( –17)，则（ ） （A ）a > b > c （B ）b > a > c （C ）c > a > b （D ）b > c > a9、方程arccot x + arcsin x = π的实数根的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）310、在四个数12，中，与等的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3二、填空题11、方程arcsin ( sin x ) + arccos ( cos x ) =2π的解集是 。

第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试1999年3月21日上午8：00 —9：30一、选择题（每题6分，共60分）1、arcsin13+ arccos13+ arctan ( –13) + arccot ( –13) =（）（A）0 （B）π（C）2 π（D）–π2、若无穷等比数列{ a n }的公比q = –12，则limn→+∞12242nna a aa a a++++++=（）（A）- 1 （B）1 （C）–43（D）4153、某等差数列共2 n + 1项，其中奇数项的和为95，偶数项的和为90，则第n + 1项是（）（A）7 （B）5 （C）4 （D）24、若点M( a，1b )和点N( b，1c)都在直线l：x+ y = 1上，则点P( c，1a)和点Q(1c，b )（）（A）都在l上（B）都不在l上（C）点P在l上，点Q不在l上（D）点Q在l上，点P不在l上5、不等式log12x ) < 2的解集是（）（A）[ - 1，54) （B）( - 1，54) （C）22（D）[ - 126、双曲线y =kx( k > 0 )的离心率用e = f ( k )来表示，则f ( k )（）（A）在( 0，+ ∞ )上是增函数（B）在( 0，+ ∞ )上是减函数（C）在( 0，1 )上是增函数，在( 1，+ ∞ )上是减函数（D）是常数7当a，b均为有理数时，称点P ( a，b )为有理点，又设0 )，B ( 0，则直线AB上有理点的个数是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）无穷多个8、方程lg | x | = sin x的根的个数是（）（A）4 （B）5 （C）6 （D）79、河中的船在甲、乙两地往返一次的平均速度是V，它在静水中的速度是u，河水的速度是v( u > v > 0 )，则（）（A）V = u（B）V > u（C）V < u（D）V与u的大小关系不确定10、若函数f ( x ) = x 3– 3 x 2 + 6 x – 6，且f ( a ) = 1，f ( b ) =- 5，则a + b =（）（A）- 2 （B）0 （C）1 （D）2二、A组填空题（每题6分，共60分）11、F 1，F 2是椭圆212x+23y= 1的两个焦点，点P 在椭圆上，且∠F 1PF 2 = 60︒，则△F 1PF 2的面积是 。

橙子奥数工作室 教学档案 非卖品第七届“希望杯”全国数学邀请赛高二 第1试一、选择题1．以下四个函数中，在区间上(,0)−∞是减函数的是 A．()cot()f x arc x =− D．0.5()log g x x = C．()2xq x −=− D．15()r x x =−2．当133x ≤≤时，函数1y x x =+的值域是 A．1[2,3]3B．[2,)+∞ C．1[3,)3+∞ D．(0,)+∞3．已知不等式|||3|1x a x −+−<的解集是空集，则实数a 的取值范围是 A．(0,1) B．(1,)+∞ C．(,2]−∞ D．(,2][4,)−∞+∞∪ 4．函数csc cos3csc cos5y x x x x =−的最小正周期是 A．4πB．2πC．π D．2π5．点00(,)M x y 是圆222x y r +=内圆心以外的一点，则直线200x x y y r +=与该圆的位置关系是A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交6．已知,a b R +∈，则“x y a b +>+且xy ab >”是“x a >且y b >”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件7．函数1()arccos arc cot 2f x x x =+的值域是 A．(0,)πB．(0,)2πC．11[,]44ππD．11[,88ππ8．已知圆台的母线长是上、下底面半径长的等差中项，侧面积8S π=，则母线的长是A．4 B．9．集合{(,)|arctan arctan }M x y x y π=+=，22{(,)|sec csc }N x y x y π=+=，则 A．M N = B．M N ⊂ C．N M ⊂ D．以上都不对10．圆22(1)1x y +−=上任一点(,)P x y 都满足0x y c ++≥，则c 的取值范围是A．(,0]−∞ B．)+∞ C．1,)−+∞ D．[1)+∞ 二、A 组填空题1x >−的解集是_____.12．圆22222cos 2sin sin 0x y ax by a θθθ+−−−=在x 轴上截得的弦的长是_____.13．α是sin cos αα+=的最小正根，则cos cos 2cos3cos8αααα++++ 的值等于_____.14．先将函数1()ln2f x +=的图象作关于原点的对称变换，然后向右平移1个单位，再作关于y x =的对称变换，则此时的图象所对应的函数的解析式是_____.15．若1cot 2x =，则cos 2()4x π+的值是_____.16．等差数列{}n a 的项数m 是奇数，并且1344m a a a +++= ，24133m a a a −+++= 则m =_____.17．梯形12A BA C 中011290CA B A BA ∠=∠=，1211,54AC CA A B AC ==，M 是1A B 的中点，N 是2BA 上的动点，将三角形1A CM 沿MC 折起，将三角形2CNA 沿CN 折起，使1A 和2A 重合为A 点，则AC 和平面CMN 所成的最大角的正切值是_____.18．二次函数()f x 的二次项系数是负数，对任何x R ∈，都有(3)(1)f x f x −=−，设(arcsin(sin 4)]M f =，(arccos(cos 4)]N f =，则M 和N 的大小关系是_____. 19．12,F F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，则12||||PF PF 的最小值是_____.20．已知点{(,)|,0}A x y y x ∈=>，点{(,)|,0}B x y y x ∈=>，||AB l =（定值），O 是直角坐标原点，则三角形OAB 的面积的最大值是_____. 三、B 组填空题21．数列{81,}n n N ++∈的前m 项中，恰有10项的值是平方数，则m 的值最小是_____. 22．一个棱锥的全面积和底面积的比是m ，且各侧面与底面所成的角相等，则侧面与底面所成的角是_____.23．已知1x ≥，则动点11(,A x x x x+−与点(1,0)B 的距离的最小值是_____. 24．在三角形ABC 中，090C ∠=，两条中线,AD CE 互相垂直，则B ∠=_____.25．关于x px =有4个不同的实数根，则p 的取值范围是_____.。

2022年高中竞赛必备资料第十一届“希望杯”全国数学邀请赛高二第二试一、选择题（每小题6分，共60分）1、函数f = og 132 21是（ ）（A ）偶函数 （B ）奇函数 （C ）奇且偶函数 （D ）非奇非偶函数 2、△ABC 中，BC = 6，BC 上的高为4，则AB ∙ AC 的最小值是（ ） （A ）24 （B ）25 （C ）（D ）263、If 1 : 3 – 7 = 0 , 1 : – – 2 = 0 and||4x x 29y (2)(1)f f (4)(3)f f (6)(5)f f (2000)(1999)f f 131812121221()f n 2(237)6n n n ++limn →+∞1(1)f n +1()f n 3.5米3米1x2y3z2y 3z 2π3π2π2π143π 2a 22x a 22y b 110003322413151324539513222223r r r++-2xπ12232313891312231213128912131223122l n l n l n 3l n 2l n l n 4l n 3l n l n11Vn k k -=∑n lim→∞11V n k k -=∑23k k n +11V n k k -=∑333n nn -n lim →∞11V n kk -=∑13cos2xa a 1a 1a 22001年4月23日13122334222222100x x y y x y --⎧+≥+⎪⎨+≤⎪⎩121161161161162π1sin θ1cosθ2πcos a θsin b θ2a 4 a 2π12nn n a a++z13Z 2x y k k ππ=⎧⎪⎨=+∈⎪⎩ ()1(1)(2)n n ++F EDC BAGGFECAPQ第3题图第7题图kkk⎧⎪⎨⎪-⎩(21)(42)(4)n kn kn k=-=-=2112221212416802yxy xy yxx b⎧=⎪=-+⎪⎨+=⎪⎪+=⎩2023b-2023b-522000年4月21日1212122sin22sinxx+121212121222xa222ya3234d , et b n be theength of the ine egment cut b the 2a limn→∞1da12da13da14damon difference 公差；2 a2π211zz+-4π2 222baab+42123224l2nda214n nda a-11na-1nalimn→∞11na-1na14da132xπ1313132xπ22(2)24xππ-22(2)24xππ-13131313234 a⎪⎩⎪⎨⎧>>=+--=)0,0(,16)4(4222yxyaxaxy2 a8a2 a8 a64a1212422x xx ay yy+⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩2a 2a a a211x+12limx→∞211x+211m+211m+211m+211x+2m2m211()2m+2m211()2m+2m211()2m+ 211m+211()2m+22222(8)(1)(4)m mm m-++2003年4月13日C1121121122x127514575 14AB AC111π2x2y6π4π3π13HG FED1C1A1DCBAB1P第6题图图1第8题图14131F1G 5456cos sin sin k k θθθ+⎧⎨⎩212n k n k =+=365145164a b a b +-c d c d+-ac bd ad bc -+a b a b +-c d c d +-()()()()()()a b c d a b c d a b c d +-+-+--2()()()ac bd a b c d ---a b a b +-c d c d+-()()()()()()a b c d a b c d a b c d ++-----2()()()ad bc a b c d +--2()()()ad bc a b c d +--ac bd ad bc -+2()()()ac bd a b c d ---3127λ3127λ3127λ3127λ13133127λ3127λ2004年4月18日u v w u v u v uw v w 2π2π4π54π74π94π1Ctan 1tan1x x +-1613123a1211023191831a a a --⎧⎪⎪+⎨⎪-⎪⎩43443343a a a ⎧<-⎪⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩323m16132x 4π6π11x x +-11xxe e +-11x x e e +-29x 24y 29x 24y 2005年4月17日2π76π61x-x2π2π121a 1b c +21021232x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩332523213x 21639y 213x 23y 28x 21339y 28x 26y11a q -1214M 22M 329x 24y CP CQ 22x a 22y b 35OA OB AP BP123155411b +11b +233b 3b 14383min143835235232ac2a第8题图P 1P 2P 3M 3M 2M 1第14题图ABCPD H AB CE F 第20题图GAPBPm m n+m m n+m m n+m m n +m m n +FHEH3x 23x3a第23题图2151224x n 2yn 1443n -228x 27y 228x 22y b 2227mb b +2247mb b +2227mb b +227mbb +2227mb b +2227mb b +2006年4月16日1x12116π76π6π76π6π6π2π2π2π2π2π22x a 22y bPM PNx6π4π4π123π2x xe e -⎧+⎪⎪(0)(02)x x ≤<≤ mon term of { a n } , { b n } , { c n } in their origina order Then the genera term of d n i________ , the um of itfirt n term i__________． （英汉词典：genera term 通项；remon term 公共项；origina order 原来的顺序） 14、记F ， = – 22x 2y2（ ≠ 0），则F ， 的最小值是 。

第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试1998年3月22日 上午 8：00—9：30一、选择题（每小题6分） 1、直线3x +2y = 1的倾斜角是（ ）（A ）arctan 23（B ）arctan ( –23) （C ）π + arctan23（D ）π + arctan ( –23)2、函数y = arccos (12– x 2 )的值域是（ ）（A ）[ –2π，6π] （B ）[ –2π，3π] （C ）[6π，π ] （D ）[3π，π ]3、以T 1，T 2，T 3分别表示函数| cos x |，sin3x ( sin 3x + cos3x )的最小正周期，那么（ ）（A ）T 1 < T 2 < T 3 （B ）T 3 < T 2 < T 1 （C ）T 2 < T 1 < T 3 （D ）T 2 < T 3 < T 1 4、不等式| 3 | > 1的解集是（ ） （A ）[23，2 ])∪( 6，+ ∞ ) （B ）( – ∞，2 )∪( 6，+ ∞ ) （C ）( 6，+ ∞ ) （D ）( – ∞，2 )5、已知函数⑴ y = arcsin ( 2 x )，⑵ y = sin ( π x ) + cos ( π x )，⑶ y = log 2 x + log 12( 1 + x )，其中，在区间[12，1 ]上单调的函数是（ ）（A ）⑴⑵⑶ （B ）⑵⑶ （C ）⑴⑵ （D ）⑴⑶ 6a 的最大值是（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）11 （D ）10 7、有以下几个数列：⑴ a n，⑵ S n = n ( 2 – 3 n )，⑶ a n + a n +1 = 2 a n + 2，⑷ a n =1n，⑸ a n an + 2 = a 21n +，⑹a n =1nlog 2 6 n ，其中是等差数列的有（ ）（A ）⑴⑶ （B ）⑵⑷ （C ）⑶⑸ （D ）⑵⑹8、在平面直角坐标系内，方程x 2 + y 2 + x | x | + y | y | – 2 = 0表示的曲线是（ ）(C)9、P 是椭圆上任意一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，离心率e =12，则∠F 1PF 2的最大值是（ ）（A ）60° （B ）90° （C ）120° （D ）135° 10、若0 < a ，b ，c < 1，并且a + b + c = 2，则a 2 + b 2 + c 2的取值范围是（ ） （A ）[43，+ ∞ ) （B ）[43，2 ] （C ）[43，2 ) （D ）(43，2 )二、A 组填空题（每小题6分）11、不等式log sin x 2 x > log sin x x 2在区间( 0，2 π )上的解是 。

第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试2000年4月23日 上午8：30—10：30一、选择题（每小题6分，共60分）1、函数f ( x ) = log 13( 2 x 2 + 2 + 1 ) x 是（ ）（A ）偶函数 （B ）奇函数 （C ）奇且偶函数 （D ）非奇非偶函数 2、△ABC 中，BC = 6，BC 上的高为4，则AB ∙ AC 的最小值是（ ）（A ）24 （B ）25 （C ） （D ）263、If l 1 : x + 3 y – 7 = 0 , l 1 : k x – y – 2 = 0 and positive x – axis and positive y – axis make a quadrilateral , which has a circumcircle , then k =（ ）（A ）– 6 （B ）– 3 （C ）3 （D ）6 （英汉小字典：positive 正的；quadrilateral 四边形；circumcircle 外接圆）4、直线y = x + 3和曲线 –||4x x +29y= 1的交点的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 5、若f ( x + y ) = f ( x ) ∙ f ( y )，且f ( 1 ) = 2，则(2)(1)f f +(4)(3)f f +(6)(5)f f + … +(2000)(1999)f f =（ ） （A ）1999 （B ）2000 （C ）2001 （D ）20026、定义在R 上的偶函数f ( x )在[ 0，+ ∞ )上是增函数，且f (13) = 0，则不等式f ( log 18x ) > 0的解是（ ）（A ）(12，1 ) （B ）( 2，+ ∞ ) （C ）( 0，12)∪( 2，+ ∞ ) （D ）(12，1 )∪( 2，+ ∞ )7、将圆x 2 + ( y – 1 ) 2 = 1的中心到直线y = k x 的距离记为d = f ( k )，给出以下三个判断：⑴数列{ n f ( n ) }是递增数列；⑵数列{21()f n }的前n 项和是2(237)6n n n ++；⑶ lim n →+∞(1(1)f n +–1()f n ) – 1 = 1其中，正确的个数是（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）08、设计一条隧道，要使高3.5米，宽3米的巨型载重车辆能通过，隧道口的纵断面是抛物线状的拱，拱宽是拱高的4倍，那么拱宽的最小整数值是（ ）（A ）14 （B ）15 （C ）16 （D ）17 9、已知x 、y 、z ∈R +，且1x +2y +3z = 1，则x +2y +3z 的最小值是（ ）。

2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试一、选择题1. 否定结论“至少有两个解”的正确说法是( )A 、至少有三个解B 、至多有一个解C 、至多有两个解D 、只有一个解2. 点P (ln (2x ＋2－x －tan π6)，cos 2)(x ∈R )位于坐标平面的( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 3. 已知y ＝f (x )是定义在R 上的函数条件甲：y ＝f (x )没有反函数；条件乙：y ＝f (x )不是单调函数. 则条件甲是条件乙的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 4. 已知sin θ＋cos θ＝13，θ∈(－π2，π2)，则θ的值等于( )A 、－arccos21＋19 B 、－arccos 21－19 C 、－arccos 17＋19 D 、－17－195. Suppose that a ∈R ，line (1－a )x ＋(a ＋1)y －4(a ＋1)＝0，always passes through a fixed pointP ，and point Q is on the curve x 2－xy ＋1＝0，Then the range of slope of a line passing through P and Q is ( )A 、[－2，＋∞)B 、[－3，＋∞)C 、(1，＋∞)D 、(3，＋∞) (英汉词典：fixed point 固定点；range 范围；slope 斜率；to pass through 通过) 6. 函数y ＝5－4x －x 2＋log 12(cos 2x ＋sinx －1)的定义域是( )A 、(0，12)B 、[－5，－7π6)∪(0，π6)C 、(－7π6，－π)∪(0，π6)D 、(0，π6)7. 关于方程x 2sin α＋y 2cos α＝tan α(α是常数且α≠k π2，k ∈Z )，以下结论中不正确的是( )A 、可以表示双曲线B 、可以表示椭圆C 、可以表示圆D 、可以表示直线8. F 1、F 2为椭圆的焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝90°，且|PF 2|＜|PF 1|，已知椭圆的离心率为63，则∠PF 1F 2∶∠PF 2F 1＝( ) A 、1∶5 B 、1∶3 C 、1∶2 D 、1∶19. 关于x 的方程|e |lnx |－2|＝t (0＜t ＜1)，其中t 是常数，则方程根的个数是( )A 、2B 、3C 、4D 、不能确定的 10. 若双曲线x 2－y 2＝a 2(a ＞0)关于直线y ＝x －2对称的曲线与直线2x ＋3y －6＝0相切，则a 的值为( )A 、455B 、855C 、1255D 、1655二、A 组填空题11. 直线3x ＋2y ＝1上的点P 到点A (2，1)，B (1，－2)的距离相等，则点P 的坐标是__________. 12. 已知向量a →与b →满足|a →|＝2，|b →|＝1，且夹角为60°，则使向量a →＋λb →与λa →－2b →的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________________.13. 已知|ax －3|≤b 的解集是[－12，72]，则a ＋b ＝_______________.14. 不等式(2＋3)x ＋(2－3)x ＞8的解集是_________________.15. 方程(arccosx )2＋(2－t )arccosx ＋4＝0有实数解，则t 的取值范围是________________. 16. △ABC 的三个内角为A 、B 、C ，且2C －B ＝180°，又△ABC 的周长与最长边的比值为m ，那么m 的最大值为__________________.17. 双曲线x (y ＋1)＝1的准线方程为_________________. 18. 不等式x ＋22xy ≤a (x ＋y )对于一切正数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为___________.19. 一只小船与10m /s 的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20m /s 的速度前进，如图，现在小船在水面P 点以南的40米处，汽车在桥上Q 点以西30米处(其中PQ ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为____________米(不考虑汽车和小船本身的大小).20. 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体表面上与点A 距离为233的点的集合形成一条曲线(此曲线不一定在同一平面上)，则此曲线的长度为_______________. 三、B 组填空题21. Let S n be the sum of the first n terms of an arithmetic sequence . Assume that S 3＝9，S 20＞0，and S 21＜0 . Then the range of the common difference d is ___________，the maximum term of the sequence S 1，S 2，S 3，……，is ____________. (英汉词典：term 项；arithmetic sequence 等差数列；common difference 公差；maximum term 最大(值)项) 22. 若x ，y ∈R ，且满足x ＋2＋y －5＝6，则x ＋2y 的最小值是________，最大值是_______.23. 经过点E (－p2，0)的直线l ，交抛物线C :y 2＝2px (p ＞0)于A 、B 两点，l 的倾斜角为α，则α的取值范围是______________；F 为抛物线的焦点，△ABF 的面积为___________(用p ，α表示)24. 球面上有十个圆，这十个圆可将球面至少分成___________个区域，至多分成___________个区域. 25. 点P (x ，y )的坐标满足关系式⎩⎨⎧2x ＋y ≥15x ＋3y ≥27x ≥2y ≥3且x ，y 均为整数，则x ＋y 的最小值为__________，此时P 点坐标是____________.2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)答案选择题：BDADBCDACB。

历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析题 1 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 .（第十一届高二第一试第11题）解法1 b b a a b b a x ++=-+=，ab b aa b b y -+=--=.y x a b b b b a b a <∴-+>++∴<<,,0 .解法2bb a ab b a b b b b a y x ++-+=---+=，y x y x a b b a <∴<∴->+,1, . 解法3a ab b a b b a ab b b b a y x -+-++=----+=-1111 =y x yx a a b b a <∴>-∴>--+,011,0.解法4 原问题等价于比较a b b a -++与b 2的大小.由,2)(222y x y x +≥+得b a b b a a b b a 4)(2)2=-++≤-++（，b a b b a 2≤-++∴. y x b a b b a a b b a <∴<-++∴-≠+,2, .解法5 如图1，在函数x y =的图象上取三个不同的点A （a b -，a b -）、B （b ，b ）、C （b a +，b a +）.由图象，显然有AB BCk k <，即)()(a b b ab b b b a b b a ----<-+-+， 即a b b b b a --<-+，亦即y x <.解法6 令()f t =tt a at f ++=)( 单调递减，而a b b ->，)()(a b f b f -<∴，即a b b b b a --<-+，y x <∴.解法7 考虑等轴双曲线)0(22>=-x a y x .图1如图2，其渐近线为x y =.在双曲线上取两点 A （b ，a b -）、B （a b +，b ）. 由图形，显然有1>ABk ，即1>-+--bb a ab b ，从而y x <.解法8 如图3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，BC=a ，AC=b ，BD=b ，则AB=b a +，DC=a b -. 在△ABD 中，AB-AD<BD ，即-+b a AD b <，从而-+b a AD-DC<-b DC ， 即a b b b b a --<-+，故y x <.评析 比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方法是作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法1通过分子有理化（处理无理式常用此法）将问题转化成比较两个分母的大小.解法2直接作商与1比较大小，顺理成章，也很简洁.要注意的是：0,>b a 时，1a a b b >⇔>；0,<b a 时，1aa b b>⇔<.此题直接作差难以确定差与0的大小，解法3对y x ,的倒数作差再与0比较大小，使得问题顺利获解，反映了思维的灵活性.解法6运用函数的单调性解题，构造一个什么样的函数是关键.我们认为构造的函数应使得y x ,恰为其两个函数值，且该函数还应是单调的（最起码在包含y x ,对应的自变量值的某区间上是单调的）.解法5与解法7分别构造函数与解几模型，将y x ,的大小关系问题转化成斜率问题加以解决，充分沟通了代数与几何之间的内在联系，可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的几何背景，构造平面图形，直观地使问题得到解决，这也是解决大小关系问题和证明不等式的常用方法.有人对此题作出如下解答：取,2,1==b a 则12112,23123+=-=+=-=y x，32+>10+>，.,121231y x <∴+<+可再取两组特殊值验证，都有y x <.故答案为y x <. 从逻辑上讲，取2,1==b a ，得y x <.即使再取无论多少组值（也只能是有限组值）验证，都得y x <，也只能说明y x >或y x ≥作为答案是错误的，而不能说明y x <一定是正确的,因为这不能排除x y =的可能性.因此答案虽然正确，但解法是没有根据的.当然，如果将题目改为选择题：已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是图2图3（ ）A 、y x >B 、y x ≥C 、y x =D 、y x <此时用上述解法，且不用再取特殊值验证就可选D ，并且方法简单，答案一定正确. 总而言之，特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷，那是因为选择支中的正确答案是唯一的，从而通过特殊值排除干扰支，进而选出正确答案.但特殊值法只能排除错误结论，而不能直接肯定正确答案，因此，用此法解填空题（少数特例除外）与解答题是没有根据的.当然，利用特殊值指明解题方向还是十分可取的.题 2 设c b a >>N n ∈,，且11na b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值为 （ ）A 、2B 、3C 、4D 、5（第十一届高二第一试第7题）解法1 原式n c b c a b a c a ≥--+--⇔．mina c a c n ab bc --⎡⎤∴≤+⎢⎥--⎣⎦．而b a c a --+c b c a -- =b ac b b a --+-+b c a b b c -+--=2+b a c b --+c b b a --≥4，且当b ac b --=cb ba --，即bc a 2=+时取等号．mina c a c ab bc --⎡⎤∴+⎢⎥--⎣⎦4=．4n ∴≤．故选C ． 解法2 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ，已知不等式化为()()()2a c n a b b c -≤--．由()()()()22242a c a c ab bc a b b c --≥=---+-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()()4min2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---c b b a c a ，故由已知得4≤n ，选C ．解法3由cb a >>，知,0,0>->->-c a c b b a ，有()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11．又()()()[]()41111112=+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c b b a c b b a c a ，即()411min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a ，由题意，4≤n ．故选C ．解法4 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ．∴已知不等式可变形为()()()2a c n a b b c -≤--．记()()()2a c k ab bc -=--，则()()[]()()()()[]()()4222=----≥---+-=c b b a c b b a c b b a c b b a k ．由题意，4≤n ．故选C ．解法5 c b a >>110,0.a b b c∴>>--于是 ()()ca cb b ac b b a -=-+-≥-+-4411．比较得4≤n ．故选C ． 评析 由已知，可得()⎪⎭⎫⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11恒成立．根据常识“若()a f x ≤恒成立，则()min x f a ≤；若()x f a ≥恒成立，则()max a f x ≥,”()⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值就是所求n 的最大值，故问题转化为求()⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值，上述各种解法都是围绕这一中心的，不过采用了不同的变形技巧，使用了不同的基本不等式而已．解法1运用了2,,b a a b R a b ++≥∈“”；解法2运用了”“22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ；解法3运用了()”“411≥⎪⎭⎫⎝⎛++b a b a ；解法4运用了()”“+∈≥+R b a ab b a ,2；解法5运用了()”“+∈+≥+R b a ba b a ,411．虽解法异彩纷呈，但却殊途同归． 此题使我们联想到最新高中数学第二册（上）P 30第8题： 已知c b a >>，求证：0111>-+-+-ac c b b a ． 证：令()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．()22111111x y xya b b c c a x y x y xy x y ++∴++=+-=---++．0,0x y >>， 0111>-+-+-∴ac c b b a ． 此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式，使得推证更简单了．运用这一思路，又可得本赛题如下解法：设()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．ca nc b b a -≥-+-11恒成立，就是y x ny x +≥+11恒成立．也就是()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤y x y x n 11恒成立．()411≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x y x 恒成立，∴由题意得4≤n ．故选C ．再看一个运用这一思想解题的例子．例 设+∈R c b a ,,，求证：2222cb a b ac a c b c b a ++≥+++++． （第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）证明 设,,,z b a y a c x c b =+=+=+则()()0,,21>++=++z y x z y x c b a ． ()()()02222≥+-=++-+y x xy bx ay y x b a y b x a ，()222a b a b x y x y +∴+≥+ ①， ()()()()222222222a b a b c a b c a b c c a b c x y z x y z x y z a b c +++++++∴++≥+≥==+++++,即 2222c b a z c y b x a ++≥++，2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++∴． 本赛题还可直接由下面的命题得解．命题 若021>>>>n a a a ，则()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+--12132211111 ． 证明 021>>>>n a a a ，n n a a a a a a ---∴-13221,,, 都大于0．反复运用①式，可得: “若,(1,2,,)i i x y R i n +∈=,则22111n i ni i n i iii x x y y ===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑,当且仅当1212n nx x x y y y ===时取等号”.故有()()22122311223111111111n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a --+++-+++≥=----+-++--． 也可以这样证明：021>>>>n a a a ，12231,,,0n n a a a a a a -∴--->．故由柯西不等式，得()()()1223112231111()n n n na a a a a a a a a a a a --+++-+-++-⎡⎤⎣⎦---()()211111n -≥+++个()21n =-，即()()21132211)111(-≥--++-+--n a a a a a a a a n nn ．01>-n a a ，()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+-∴-12132211111 ． 由此可得本赛题的如下解法：cb a >>，,0,0>->->-∴c a c b b a ，()ca cb b ac b b a -=-+-+≥-+-∴411112．由 题意，4≤n ．故选C ． 由此命题还可直接解决第七届高二培训题第8题：设12320002001a a a a a >>>>>，并且122320002001111m a a a a a a =+++---，200116104a a n -⨯=，则m 与n 的大小关系是 ( )A 、n m <B 、n m >C 、n m ≥D 、n m ≤解12320002a a a a a >>>>>，2001162001121042000a a a a m -⨯=-≥∴．故选C ． 题 3 设实数y x n m ,,,满足a n m =+22，b y x =+22，则ny mx +的最大值为( )A 、21()b a + B 、2122b a + C 、222b a + D 、ab（第十一届高二培训题第5题）解法1 设,sin ,cos ααa n a m ==,sin ,cos ββb y b x ==则,)cos(sin sin cos cos ab ab ab ab ny mx ≤-=+=+βαβαβα即)(ny mx +max =ab .故选D ．解法2b n ab m a b a n m =+⇒=+2222,又b y x =+22,+=+∴mx abny mx ab)(≤ny ab 2222()()2b m n x y a +++==.2b b a a b=+⋅ny mx +∴,ab ab b =≤当且仅当x =且,y =即my nx =时取等号，max )ny mx +∴（.ab =解法3 2222222222222()2mx ny m x mxny n y m x m y n x n y +=++≤+++()()2222,m n x y ab =++=mx ny ∴+≤当且仅当m y n x =时取等号，故()max mx ny +.解法4设()(),,,,p m n q x y →→==则cos ,p q p q p q θ→→→→→→⋅=⋅⋅≤⋅222,p q p q →→→→∴⋅≤⋅()()222mx ny m n +≤+即()22,xyab +=当且仅当,p q →→共线，即my nx =时取等号，故()max mx ny +.解法5 若设mx ny k +=，则直线mx ny k +=与圆22x y b +=有公共点，于是≤()max k mx ny mx ny =+≤∴+=解法6设12,z m ni z x yi=+=-,则()()()()12,z z m ni x yi mx ny nx my i =+⋅-=++-∴1212,z z mx ny mx ny mx ny z z ⋅=≥=+≥+∴+≤12z z =⋅==当且仅当m y n x =时取等号，故()m a mx n y a b+． 解法7 构造函数()()()222222f X m nXmx ny X x y =+++++，则()()()220.f X mX x nX y =+++≥故()()()2222244mx ny m nxy ∆=+-++()2440,mx ny ab =+-≤即()max mx ny mx ny +≤∴+.ab =解法8 由2222,m n a x y b +=+=还可构造图形（如图），其中90,ACB ADB ︒∠=∠=,AC =,BC =,,BD x AD y AB ===为圆的直径，由托勒密定理,AD BC BD AC ⋅+⋅2,AB CD AB =⋅≤得,x y b ⋅+⋅≤，从而得m x n a b +≤my nx =且0mx >时取等号．()max mx ny ∴+=评析 解法1抓住已知条件式的结构特征，运用三角代换法，合情合理，自然流畅，也是解决此类型问题的通法之一．解法2运用基本不等式222b a ab +≤将ny mx +放大为关于22n m +与22y x +的式子，再利用条件求出最大值．值得注意的是，稍不注意，就会得出下面的错误解法：()()()22222222max ,22222m n x y m x n y a b a bmx ny mx ny ++++++++≤+==∴+=．故选A ．错误的原因就在于用基本不等式求最值时未考虑等号能否取到．上述不等式取等号的条件是x a =①且y b =②，而若①，②式同时取得，则2222m n x y +=+，即,a b =这与题设矛盾！即当a b ≠时，mx ny +取不到2a b+．解法2是避免这种错误的有效方法． 由于向量与复数的模的平方是平方和形式，与已知形式一致，故解法4与解法6分别运用了构造向量与构造复数的方法，新颖而简洁．解法5设k ny mx =+后，将其看作动直线，利用该直线与定圆b y x =+22有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，得ab ny mx k ≤+=，充分体现了等价转化的解题功能．解法7运用的是构造函数法．为什么构造函数()()()2222f X m n X mx ny X =+++2x +2y +呢？主要基于两点：①()f X 为非负式（值大于等于0），②由于()0≥X f ，故有0≤∆，而∆沟通了已知与未知的关系，故使问题得到解决．解法8抓住已知两条件式的特征，构造了两个有公共边的直角三角形，利用托勒密定理及圆的弦小于等于半径使问题获解，充分揭示了这一代数问题的几何背景．拓展 此题可作如下推广 若2222221212,,n n a a a p b b b q +++=+++=则()1122max n n a b a b a b +++=()1,2,,i i b i n ==时取得最大值）.证明 2222221212n n q q q a a a p a a a p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⇒+++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.q = 1122a b a b ∴+++1122n n n nqa bb b a b p ⎫=⋅⋅++⋅⎪⎪⎭≤p ⎝++⎢⎥⎢⎥⎣⎦=(),22222222122221pq qp p q q p b b b a a a pq q p n n=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++ 当且仅当()().,,2,1max 2211pq b a b a b a n i b a pqn n i i =+++∴== 时取等号，本推广实际就是由著名的Cauchy （柯西）不等式()()()222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a +++⋅+++≤+++ （当且仅当nn b a b a b a === 2211时取等号）直接得到的一个结论． 推广有十分广泛的应用，现举一例：例 已知123,,,,,,234,8.a b c x y zR a bc x y z +∈++=++=且求最大值．解2221232344,8a b c b cx y z ++==++=22⇒+2+＝8．由推广知=≤=当且仅当===即12ax by cz===时取等号．max∴=.24题4对于1≤m的一切实数m，使不等式221(1)x m x->-都成立的实数x的取值范围是＿＿＿＿（第十三届高二培训题第63题）解法1题设等价于⎪⎩⎪⎨⎧--<>-112122xxmx或⎪⎩⎪⎨⎧--><-112122xxmx或⎩⎨⎧>-=-1212xx，即⎪⎩⎪⎨⎧--<>-1121122xxx或⎪⎩⎪⎨⎧-->-<-1121122xxx或⎩⎨⎧>-=-1212xx,所以21<<x或113<<-x或1=x，即)2,13(-∈x.解法2 已知不等式即()()01212<---xmx，令()()121)(2---=xmxmf，则当012≠-x，即1±≠x时，)(mf是m的一次函数，因为1≤m，即11≤≤-m时不等式恒成立，所以)(mf在[]1,1-上的图象恒在m轴的下方，故有⎩⎨⎧<+--=<+-+-=-121)1(121)1(22xxfxxf，即⎩⎨⎧<->-+22222xxxx，解得213<<-x)1(≠x.又当1=x时，1)(-=mf，适合题意，当1-=x时，()3f m=不合题意.故x的取值范围是213<<-x.评析解决本题的关键是如何根据条件构建关于x的不等式或不等式组.解法1运用分离参数法，为了达到分离参数的目的，又对12-x分大于0、小于0、等于0三类情形分别构建关于x的不等式组，从而通过解不等式组解决了问题.解法2则转换思维角度，把已知不等式看成关于m的不等式，从而将原问题转化为函数()()121)(2---=xmxmf在[]1,1-上的图象恒在m轴下方的问题.这种方法称为变更主元法.用此方法，使得此题的解决显得既简捷，又直观易懂.题5 当0x a <<时,不等式2)(1122≥-+x a x 恒成立,则a 的最大值是________. (第十一届高二培训题第45题)解法 1 当0x a <<时, 2≥-+-x a x x x a ①,又有2)()(2222≥-+-x a x x x a ②,②+①×2,得6)(222222≥--+-x a x ax x x a ,6)()(122222≥---+-x a x a a x a ,8)(2222≥-+x a a x a ,即2228)(11a x a x ≥-+.由282≥a,得02a <≤,2max =∴a . 解法 2 2222)11()11()(112x a x x a x x a x--+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+ , 又 =-+x a x 11 +a 4(1a2)x a x x x a ---, 222)4()(112a x a x≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∴, 即2228)(11a x a x ≥-+, 当且仅当x a x x x a -=- 且 x a x -=11, 即 2ax = 时取等号. 2)(1122≥-+x a x 恒成立, ∴282,02a a ≥<≤. 于是2max =a . 解法 3 原不等式等价于12)(1122≥-+x a x ,由 0x a <<,可知10,x >10a x >-. 由 “两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”, 可知只需1)(2≥-+x a x , 即2≤a 即可, 故02a <≤, 于是2max =a .解法 422)(11x a x -+2≥ 即 2)(112222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++x x a x x ①成立，又2122≥+x x恒成立， ∴a 只要满足22)(1x x a --0≥②就能使①恒成立.由②式，得2x 2)(x a -1≤，1)(≤-x a x ，012≤-+-ax x ③.由于对称轴),0(2a ax ∈=，由二次函数的性质，当),0(a x ∈时，要③式恒成立，则24002a a ∆=-≤∴<≤ 2max =∴a .解法5 设αα22sin ,cos =-=a x a a x （0x a <<），则22)(11x a x -+=α42cos 1a + α42sin 1a ==+⋅αααα44442cos sin cos sin 1a =-⋅αα2sin 1612sin 2111422aαα2sin 2sin 28422-⋅a .)22(sin 2+αα2(sin 2－1）0≤，即2－αα2sin 2sin 42≥，则αα2s i n 2s i n 242-1≥)12s i n (2时取等号当=α，于是2228)(11ax a x ≥-+，由已知，得282,02,a a≥∴<≤2max =∴a . 解法6 设11,(0,0),X Y X Y x a x==>>-则222X Y +≥表示在XOY 坐标系第一象限内以原点为圆心，2为半径的圆及其外部.由11,,X Y x a x==-得,aXY X Y =+又aXY X Y =+,4,22aXY XY ≥∴≥它表示双曲线24a XY =位于第一象限内的一支及其上方部分.依题意，双曲线2224(0)200XY X X Y X Y a=>+=>>与圆弧（，）相切或相离，从而282≥a，即02a <≤ 2max =∴a .解法7 运用结论“如果),,2,1(,n i R y x i i =∈+，则≥+++nn y x y x y x 2222121),()(21221*++++++nn y y y x x x 当且仅当k y x y x y x n n ==== 2211（常数）时取等号.”0x a<<，∴0.a x ->由柯西不等式，有22222)11())(11)(11(x a x x a x -+≥-++①，由)(*得xa x -+11a4≥②.故O2 xO,)4())(11(2222a x a x ≥-+得2228)(11a x a x ≥-+，当且仅当2a x =时取等号，由282≥a，得02a <≤ 2max =∴a .解法8运用结论“212122311111(1),,n n n nn a a a a a a a a a a a -->>>+++≥----若则当且仅当n a a a ,,,21 成等差数列时取等号.”2222111122()(0)()x a x x a x ⎡⎤⎡⎤+=+≥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦2110x a x ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭222160)13(a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≥.∴2228)(11a x a x ≥-+，当且仅当x a x -=，即2a x =时取等号.令282≥a，得02a <≤ 2max =∴a . 评析2)(1122≥-+x a x 恒成立，∴2)(11min22≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x a x .故问题的实质就是求22)(11x a x -+的最小值（关于a 的式子）大于等于2的解.因而在0x a <<的条件下，如何求22)(11x a x -+的最小值成了问题的关键.解法1运用“两个互为倒数的正数的和大于等于2”, 解法2运用配方再放缩, 解法3运用均值不等式及“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,解法5运用三角代换，解决了这一关键问题.解法4巧妙地将原问题转化为一个含参（a ）一元二次不等式恒成立，求参数的范围问题，从而运用二次函数的性质解决问题.解法6将原问题转化为解析几何问题处理.解法7、8则是运用一些现成的结论（读者可自己证明），各种解法异彩纷呈，都值得细细品味.拓展 此题可作如下推广：推广1 若1210n x x x a -<<<<<，则≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x 23a n ，当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号.证明 由已知，1210n x x x a -<<<<<，则12x x -0>，23x x -0>，, 1--n x a 0>.根据柯西不等式及解法7运用的不等式（*）,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x n≥21211111n x x x a x -⎛⎫+++≥ ⎪--⎝⎭2242,n n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭故≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x 23a n . 当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号.推广2 若1210n x x x a -<<<<<，,),,,2,1(++∈=∈N k n i R b i 则++kk x b 111kk n k n k n k k ab b b x a b x x b 121111212)()()(+-+++++≥-++- ，当且仅当∑==n i ii i b ab a 1时取等号. 证明 不妨设112211,,,--=-==n n x a a x x a x a ，=M ,)(11+=∑k ni i b 由已知得i a 0>且),,2,1(n i =,1a a ni i =∑=令a a c i i =，则∑=ni i c 1=111=∑=ni i a a .由均值不等式，++k i k i c b 1≥+++个k i i i Mc Mc Mc ,)1(11+++k k ik b M k 即k ik ic b 1+kn i b b b k kMc ))(1(21++++≥+ ib ⋅，则11111(1)()k nnn k i i iki i i i b kM c k bc ++===+≥+∴∑∑∑1111()k nn k i i k i i i b b c ++==≥∑∑，即11k nki k i ib a a +=≥∑11()n k i i b +=∑，11111()nk k i ni i k k ni ii i b b a a ++===≥⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑，当且仅当=i a ∑∑∑====⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n i i i i n i i n i i b ab b b a 111时取等号. ∴++kk x b 111++kk x b 212kn kn x a b )(1--+ k k n a b b b 121)(++++≥ . 题6 已知()⎪⎭⎫⎝⎛∈=2,0,log sin πθθx x f ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos sin θθf a ，()θθcos sin ⋅=fb ，⎪⎭⎫⎝⎛+=θθθcos sin 2sin f c ，那么c b a 、、的大小关系是 （ ）A 、b c a ≤≤B 、a c b ≤≤C 、a b c ≤≤D 、c b a ≤≤（第八届高二第一试第10题） 解法1 设p =θsin ，q =θcos .pq qp ≥+2，而()x f 是减函数，()pq fq p f ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴2，即b a ≤.2qp pq +≤，()2pq q p pq +≤∴，pq qp pq≤+2.()pq fq p pq f ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∴2，即b c ≥.故c b a ≤≤.选D.解法2 由题意，令6πθ=，则21sin =θ，cos θ=，4312cos sin +=+θθ ，23cos sin 4=θθ，233cos sin cos sin 2cos sin 2sin -=+=+θθθθθθθ，()1,021sin ∈=θ ，()x f ∴是减函数，又233234314->>+，()⎪⎭⎫⎝⎛+<<⎪⎭⎫⎝⎛+∴θθθθθθθcos sin 2sin cos sin 2cos sin f ff ，即c b a <<.故选D.评析 这是一个比较函数值大小的问题，通常利用函数的单调性.若函数()x f 单调递增（减），则当21x x <时，()()()()()2121x f x f x f x f ><，当21x x >时，()()21x f x f >()()()21x f x f <.因此解决问题的关键有两个：一是确定函数的单调性，二是确定自变量的大小关系.解法1就是这样解决问题的.因为正确答案应对一切⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ都正确，故又可以运用特殊值法.对⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内的某个角不正确的选择支都是错误的，由正确选择支的唯一性，也可选出正确答案.解法2便是取特殊值6πθ=，排除了A 、B 、C 、而选D 的.当然，此题也可用作差比较法来解：⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ ，()1,0sin ∈∴θ，()x f ∴是单调减函数，0sin >θ，0cos >θ.=⋅-+=-∴θθθθθθcos sin log 2cos sin log sin sin b a01log cos sin 2cos sin log sin sin =≤⋅+θθθθθθ，b a ≤∴.又-⋅=-θθθcos sin log sin c b 01log cos sin 2cos sin log cos sin cos sin 2cos sin log cos sin 2sin log sin sin sin sin =≤+=+⋅=+θθθθθθθθθθθθθθθθθ，即c b ≤，c b a ≤≤∴.选D.题7 已知21=a ，不等式49321log <⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a的解是 . （第三届高二第二试第13题）解 原不等式即2log 32321-⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛-x a. 指数函数x⎪⎭⎫⎝⎛32是减函数，21=a ，∴原不等式化为2log 121->-x ，即22121121loglog -⎪⎪⎭⎫⎝⎛->x .又对数函数log x 是减函数，2211-⎪⎭⎫⎝⎛<-∴x ，即21<-x ，解得31<<-x . 对数函数121log-x 的定义域是1≠x 的实数，∴原不等式的解是11<<-x 或31<<x .评析 此题涉及到指数不等式、对数不等式、绝对值不等式的解法.解指数不等式与对数不等式的基本方法是同底法，即先将不等式两边的指数式或对数式化成底数相同的指数式或对数式，然后根据底数所属区间是()1,0或()+∞,1，确定以该底数为底的指数函数或对数函数的单调性，再去掉底数或对数符号，转化成别的不等式.主要依据如下：⑴若01a <<,则()()()()f x g x a af xg x <⇔>；⑵若1a >,则()()()()f x g x aaf xg x <⇔<； ⑶若01a <<,则()()()()log log 0f x g x a af xg x <⇔>>；⑷若1a >,则()()()()log log 0f x g x aaf xg x <⇔<<.有时需要将常数化为指数式或对数式，其化法如下： ⑴ac ca log =（,0,0>>c a 且1≠c ）；（化为指数式）⑵log ac a c =（,0>c 且1≠c ）.（化为对数式） 例如，23log 32=将常数2化为3为底的指数式，233log 2=将常数2化为3为底的对数式.解指数不等式不需检验，但解对数不等式必须保证解使得对数式有意义，这点常被忽略. 若一个指数不等式的指数部分是对数式，常常采用取对数法求解. 例 不等式()x x x>lg的解集是 .（第十一届高二培训题第40题）解 两边取常用对数，得()x xlg lg2>，即0lg ,0lg 4lg ,0lg lg 4122<>->-x x x x x 或10,4lg <<∴>x x 或410>x .故所求解集是()()+∞,101,04.应当指出，两边取对数后，不等号的方向变不变，关键看取的是什么底数.如果底数大于1，则不等号方向不变，如果底数大于0且小于1，则不等号方向改变.关于绝对值不等式，主要是根据绝对值的几何意义求解.下列结论应当理解并熟记（a 为常数）.⑴()0≤<a a x 的解集是φ； ⑵()0><a a x 的解集是()a a ,-； ⑶()0<>a a x 的解集是R ；⑷()0x a a >>的解集是()()+∞-∞-,,a a . 下列题目供练习：⑴已知常数⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πθ，则不等式()()8103cot tan 2--->x x x θθ的解集是 .（第八届高二第一试第16题）⑵若函数()⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=4222log log x x x f 的定义域是不等式211222log 7log 30x x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭的解集，则()x f 的最小值= ；最大值= .（第十届高二第一试第23题）⑶不等式22222log 2log x x x x x x ++>的解集是 .（第九届高二培训题第23题）⑷不等式1323>--x 的解是（ ）（A ）6>x 或232<≤x （B ）6>x 或2<x （C ）6>x （D ）2<x答案 ⑴(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∞-1374,52, ⑵43 ；2 ⑶⎪⎭⎫⎝⎛2,21 ⑷A题8 不等式t x x +≥-21 的解集是∅ ,实数t 的取值范围(用区间形式)是 .(第一届高二第一试第18题)解法1 由t x x +=-21两边平方并整理得012222=-++t tx x ,此方程无实根,故()084184222<+-=--=∆t t t ,22>t .又0>t ,2>∴t .故填()+∞,2.解法2 作出函数21x y -=的图象(即图中的半圆)及函数t x y +=的图象(即图中斜率为1的直线系).由题意,直线应在半圆的上方,由图象可知直线t x y +=在y 轴上的截距2>t .故填()+∞,2.解法3 由012≥-x ,得11≤≤-x .故设θc o s =x ,[]πθ,0∈,则已知不等式就是t +≥θθcos sin ,即θθcos sin -≤t .⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-4sin 2cos sin πθθθ ,又⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,44πππθ,()sin cos [1θθ∴-∈-.由题意得2>t . 故填()+∞,2.评析 这是一道蕴含着丰富数学思想方法的好题.解法1﹑2﹑3分别运用方程思想﹑数形结合思想﹑化归转换思想,从不同的角度解决了问题,体现了这道题的丰富内涵.解法2揭示了本题的几何背景.解法3的依据是:不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21恒成立.有人认为不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21有解,这种观点是错误的.事实上,21=t 时,不等式x x t -->21就有解(比如53=x 就是其一个解),而21=t 时,不等式t x x +≥-21即2112+≥-x x 的解集却不是∅ (比如0就是它的一个解).拓展 通过上面的分析,并作进一步的研究,我们便有下面的 结论 已知t 为参数, ()f x 的值域是[],a b . (1) 若()t f x ≤恒成立,则t a ≤. (2) 若()t f x ≥恒成立,则t b ≥.(3) 若()t f x ≤的解集是∅,则t b >. (4) 若()t f x ≥的解集是∅,则t a <. (5) 若()t f x ≤有解,则t b ≤. (6) 若()t f x ≥有解,则t a ≥.若将()f x 的值域改为[),a b 、(],a b 、(),a b 等，也会有相应的结论，限于篇幅，不再一一列出．根据这一结论，请回答下列问题：1.t +的解集是∅，则实数t 的取值范围是 ． 2.t +的解集是∅，则实数t 的取值范围是 ． 3.t +有解，则实数t 的取值范围是 ． 4.t +有解，则实数t 的取值范围是 ． 5.t >+恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 6.t +恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 答案 1. ()2,+∞2.(,-∞3.)⎡+∞⎣4.(],2-∞5.(,-∞6.()2,+∞题9不等式3422≥+---x x x 的解集是（ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-255,253 C 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-,255253,D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-253,255 （第十三届高二第二试第8题）解法1 当0342≥+-x x ，即1≤x 或3≥x 时，原不等式就是,03422≥-+--x x x 即0552≤+-x x ，解得2553.255255+≤≤∴+≤≤-x x . 当2430,13x x x -+<即<<时，原不等式就是，03422≥+-+-x x x 即，0132≥+-x x 解得253-≤x或3x x ≥≤<.综上，所求解集为355,33,,22⎡⎫⎡+⎪⎢⎢⎪⎣⎭⎣⎦即⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253.故选A. 解法2 如图，作函数2-=x y 和342+-=x x y 的图象.要求的解集就是21y y ≥，即1y 在2y 上方时x 的区间，即图中线段AB 上的点所对应的横坐标所组成的区间[]B A x x ,.又(),1234222--=+-=x x x y 当32<<x 时，().2122--=x y 由()2212-=--x x 可解得253+=A x .当3>x 时，(),1222--=x y 由()2122-=--x x 可解得255+=Bx ，∴所求不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253，故选A.解法 3 同解法2画出图形后，可知解集为一个闭区间[]b a ,，且()3,2∈a ，对照 选择支.可知选A.解法4 当5.1=x 时，03422<+---x x x 时，故1.5不是原不等式的解，从而排除含1.5的B 、C 、D ，故选A.评析 解含绝对值的不等式，一般是先去掉绝对值符号，然后再求解.解法1正是运用分类讨论思想这样解决问题的，也是一种通法.我们知道，方程()()x g x f =的解就是函数()x f y =与()x g y =的图象交点的横坐标；若图象无交点，则方程无解.而不等式()()x g x f >的解集则是函数()x f y =的图象在()x g y =的图象上方部分的点的横坐标的集合；若()x f y =的图象都不在()x g y =的图象的上方，则不等式无解.解法2正是运用这种数形结合思想解决问题的.许多超越不等式的近似解或解的所属范围也都运用此法解决.选择题的正确答案就在选择支中，只是要求我们把它选出来而已.因此,不是非要求出答案再对照选择支选择答案不可的.基于此，解法3运用估算的方法选出了正确答案(注意：估算能力是高考明确要求要考查的能力之一).而解法4则运用特殊值排除了干扰支，进而选出了正确答案.类似这种不等式（方程）的解集是什么的选择题几乎都可用这种方法解，而且1 A B十分方便.值得注意的是，特殊值只能否定错误结论，根据正确选择支的唯一性才能肯定正确答案.另外，如何选取特殊值也是很有讲究的，读者可在解题实践中体会并加以总结.题10 不等式199920003224>-+-x x 的解集是 . （第十一届高二培训题第41题）解 设y=x x -+-3224 ，由⎩⎨⎧≥-≥-03024x x ，得定义域为[21，3]. 1999200010,106144410)3)(24(4)3(42422>≥∴≥-+-+=--+-+-=y x x x x x x y 即原不等式在定义域内恒成立，故所求解集为[21，3].评析 解无理不等式，通常是通过乘方去掉根号，化为有理不等式后再解.但从此题中不等式右边的数可以想象该有多么复杂，若将题目改为“276.571623.93224+>-+-πx x 的解集是 ”，还会有谁想通过平方化为有理不等式去解呢？显然，常规方法已难以解决问题，怎么办呢？考虑到不等式中的x ∈[21，3]，从而左边1999200010>≥，故解集就是定义域，这就启示我们，当常规思维受阻或难以奏效时，就应积极开展非常规思维，另辟蹊径，寻求解决问题的新方法.拓展 根据上面的分析，并加以拓广，我们可得结论 设a,b,c 是常数，若[,],()[,],()[,]x a b f x m n g x p q ∈∈∈,则当m c >时,不等式()f x c >的解集是[,],()a b f x c ≤的解集是φ；当n c <时, 不等式()f x c ≥的解集是φ,()f x c <的解集是[,]a b ;当n p >时, 不等式()()f x g x ≥的解集是φ, ()()f x g x <的解集是[,]a b ;当m q >时，不等式()()f x g x >的解集是[,]a b ，()()f x g x ≤的解集是φ.根据这一结论，不难求得下列不等式的解集：1、2、 2sinx+3cosx>4;3、 322163-->-x x ;4、 x x x -<-+-433)1(log 4;5、 sinx-cosx<32+x .答案：1、φ2、[2，+∞)3、φ4、R。

毕业论文文献综述数学与应用数学“希望杯”全国数学邀请赛高二试题的研究举办“希望杯”全国数学邀请赛有助于鼓励和引导中小学生学好数学课程中最主要的内容，适当地拓宽知识面；启发他们注意数学与其它课程的联系和数学在实际中的应用；激励他们去钻研和探究；培养他们科学的思维能力、创新能力和实践能力；高二参赛学生作为一个特殊的参赛群体，既可以暂时避开来自高考的压力，又作为“希望杯”全国数学邀请赛参赛队伍中年级最高的一个群体，此赛事对这批学生来讲意义更为重大。

他们对初高中知识掌握较全面，命题人可供选择的知识点更宽泛，同时又因为他们即将面临高考，此赛事在锻炼高二参赛学生的思维，拓宽他们的解题思路方面有很大贡献。

因此有很多学者致力于研究“希望杯”全国数学邀请赛的高二试题部分。

高二“希望杯”全国数学邀请赛第一届是在1990年举行的，至今已成功举办了21届。

21年的发展历程，让“希望杯”倍受关注。

众多学者对高二“希望杯”的研究主要可以分为以下几个方面：（一）寻求高二“希望杯”试题的一题多解（二）探讨高二“希望杯”中同类题型，或给出统一解法（三）找出高二“希望杯”试题与高考试题间联系关于“希望杯”试题的一题多解的研究方明（湖南省长沙雅礼中学）发表于《数理天地》高中版2006年第6期第23页，第42页《换元法解第十七届“希望杯”试题》中，作者选取了“希望杯”高二第17届（2006年）第1试试题18向我们展示一题多解的魅力。

尽管解题思想不同，用换元或是用基本不等式，却是殊途同归。

王钦茹赵平礼（山东苍山县卞庄二中）发表于《中学数学教学》1999年第4期第34页上《一道“希望杯”赛题的几何证法》中，作者针对第七届全国数学“希望杯”高二年级第2试试题22（1），在不利用未编入教材的微积分知识的前提下，提出一种初等解法，其中主要用到三角形及扇形的面积公式。

知识点粗浅，方便理解。

王成维吴杰夫（天津市现代联合咨询中心高考研究室）发表于《数理天地》高中版2006年第6期20-21页《第17届“希望杯”高二2试解答题的别解》中，作者仅选取该届试题的2试试题，另辟蹊径地给出了自己较为简便的算法，该算法切入口明显，向下行走顺畅自然，易于理解。

绝密★启用前高二“希望杯”全国数学邀请赛试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：135分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知X y且bx.,lnx 成等比列，则xy 的A ．最大值是B ．最大值是C ．最小值是D ．最小值是2、已知函数则函数的反函数是A ．y=B ．y=C ．y="2X+5"D ．y=2X+23、设０，则a 和b 的大小关系是A ．aB ．C ．aD ．不确定的。

4、如图1、一个正方体的容器ABCD-中盛满了油后，在相邻两侧面的中心处出现了两个小孔，若恰当地将容器放置。

可使流出的油量达到最小，这个最小值是正方体容器容量的。

A ．B ．C ．D ．5、 函数y=的最小值是 A ．B ．C ．D ．6、Ahyperbola(双曲线)wjthvertices(顶点)（-2，5）and(-2,-3),has an asynptote(渐近线)that passes the point(2.5) Then an equarionk of the hyperbola isA ．B ．C ．D ．7、等差数列中有两项和，满足、，则该数列前mk 项之和是A ．B ．C ．D ．8、当x.yi 满足条件时，变量U=的取值范围是A ．B ．C ．D ．9、设为椭圆上一点，且,，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e 的值等于A ．B ．C ．D ．10、Suppose the least distance fron poinrs of the xurve(曲线)tothe y-axis isthen the velue of a isA ．B ．C ．orD ．or第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、延长平行四边形ABCD 的边BC 到F ，AF 依次交DB 、DC 于E 、G ，AE 比EG 大2，GF=5，则EG=________________。

历届希望杯高中试题及答案尊敬的教师和同学们，以下是历届希望杯高中数学竞赛的部分试题及答案，供参考和练习。

# 历届希望杯高中试题及答案一、选择题1. 题目：若函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求\( f(x) \)在区间[1,3]上的最大值。

答案：首先求导\( f'(x) = 2x - 4 \)，令\( f'(x) = 0 \)得\( x = 2 \)，为极值点。

计算\( f(1) = 0 \)，\( f(3) = 2 \)，\( f(2) = -1 \)。

由于\( f(x) \)在[1,3]上开口向上，所以最大值为\( f(3) = 2 \)。

2. 题目：设\( a, b \)为实数，若\( a^2 + b^2 = 1 \)，求\( a +b \)的最大值。

答案：根据柯西-施瓦茨不等式，有\( (a^2 + b^2)(1 + 1) \geq (a + b)^2 \)，即\( 2 \geq (a + b)^2 \)。

因此，\( a + b \)的最大值为\( \sqrt{2} \)。

二、填空题1. 题目：若\( x \)为实数，求\( \sqrt{x^2 + 4} - \sqrt{x^2 - 4} \)的最小值。

答案：当\( x \geq 2 \)时，\( \sqrt{x^2 + 4} - \sqrt{x^2 - 4} = \frac{x^2 + 4 - (x^2 - 4)}{\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{x^2 - 4}} = \frac{8}{\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{x^2 - 4}} \)。

由于分母随着\( x \)的增大而增大，所以该表达式随着\( x \)的增大而减小，其最小值为\( 2 \)。

2. 题目：若\( a, b \)为正整数，且\( a^2 + b^2 = 10 \)，求\( a \)和\( b \)的所有可能值。

高中竞赛必备资料第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试一、选择题1、直线A x + B y + C = 0（A ，B 不全为零）的倾斜角是（ ）（A ）B = 0时，倾斜角是2π，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –A B )（B ）A = 0时，倾斜角是2π，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –BA )（C ）A = 0时，倾斜角是0，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –B A ) （D ）B = 0时，倾斜角是0，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –AB)2、数列{ a n }：a 1 = p ，a n + 1 = q a n + r （p ，q ，r 是常数），则r = 0是数列{ a n }成等比数列的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）不充分也不必要条件 3、f 是R → R 上的一一映射，函数y = f ( x )严格递增，方程x = f ( x )的解集为P ，方程x = f [ f ( x )]的解集为Q ，则（ ）（A ）P ⊂ Q （B ）P = Q （C ）P ⊃ Q （D ）以上都不对4、点( x ，y )的坐标x ，y 都是有理数时，该点称为有理点，在半径为r ，圆心为( a ，b )的圆中，若a ∈Q ，b ∈Q ，则这个圆上的有理点的数目（ ）（A ）最多有一个 （B ）最多有两个 （C ）最多有三个 （D ）可以有无穷多个5、以某些整数为元素的集合P 具有以下性质：（1）P 中元素有正数也有负数；（2）P 中元素有奇数也有偶数；（3）– 1 P ；（4）若x ，y ∈P ，则x + y ∈P 。

对于集合P ，可以断定（ ） （A ）0∈P ，2 P （B ）0 P ，2∈P （C ）0∈P ，2∈P （D ）0 P ，2 P 二、填空题6、方程arcsin ( sin x 的实根个数是 。

7、使不等式| ( x – 1 ) ( x + 1 ) | + | ( x – 2 ) ( x + 2 ) | + | ( x – 3 ) ( x + 3 ) | < ( t – x ) ( t + x )的解集为空集的实数t 形成一个集合，把这个集合用区间形式写出来，就是 。

高中数学希望杯典型例题100道（91-100）题91 三棱锥P ABC -中，90APB BPC CPA D ∠=∠=∠=︒，为底面ABC 内的一点，45,60APD BPD ∠=︒∠=︒，则CPD ∠的余弦值为______.（第九届高一第二试第20题）解法1 设D 在PA PB PC 、、三边上的投影分别是E F G 、、，则由于45,APD ∠=︒60BPD ∠=︒，1cos 45,cos 60.2PE PD PD PF PD PD ∴=︒==︒= 2222,PE PF PG PD ++= 12PG PD ∴=，即60CPD ∠=︒，它的余弦值为12.解法2 如图1，以P A P B P C、、为棱，PD 的延长线为对角线长作长方体AFCP GEHB -，设,45,,.PA x APD PA AE AE PA x =∠=︒⊥∴== 又设,PB y = 60,,BPD PB BE ∠=︒⊥2,cos 45PAPE y ∴===︒222.x y PC GE ∴====∴在Rt PEC ∆中，1cos ,2PCCPE PE ∠==== 即CPD ∠的余弦值为12. 解法3 如图2，过D 作平面α垂直于PD ，分别交PA PB PC 、、于A B C '''、、，由已知有90,A PB B PC C PA C P '''''''∠=∠=∠=︒∴⊥平面,PA B A B ''''⊂平面PA B ''，,C P A B '''∴⊥从而A B ''⊥平面PDC '，连结C D '并延长交A B ''于E ，连结PE ,显然有,.A B PE A B C E '''''⊥⊥连结A D'、B D'.不妨设1,PD =45A P D A P D '∠=∠=︒902.PD A A P ''∠=︒∴=又B PD BPD'∠=∠60,=︒90,PDB '∠=︒ 2.PB '∴=在Rt A B P ''∆中，A B ''==由,PE A B A P B P ''''⋅=⋅得图1ABD CP F G EH PABCDEA’C’B’图2A PB P PE A B ''⋅===''ED ∴===于是1tan tan 60,cos cos .2PD DPC PED DPC CPD DPC ED '''∠=∠==∠=︒∴∠=∠= 评析 由已知条件画出的图形，CPD ∠的余弦值可在CPD ∆中由余弦定理求得，然而，三边都不知道，这就是本题的难点之所在.如何突破？解法2根据已知90APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒这一特点，将已知三棱锥补成长方体，这样就有45,60cos .CPAPD APE BPD BPE CPD CPE CPD PE∠=∠=︒∠=∠=︒∠=∠∠=，，问题归结为解直角三角形，这就容易多了.解法3则通过过D 作平面与PD 垂直，从而使得APD ∠（即A PD '∠）、BPD ∠（即B PD '∠）、及CPD ∠（即C PD '∠）都成为直角三角形的一个内角，同样起到了化难为易的作用.解法1中用到结论2222PE PF PG PD ++=,其依据是：PD 恰为以PE PF PG 、、为棱的长方体的对角线.拓展 因为222211cos cos 45,cos cos 60,24APD BPD ∠=︒=∠=︒=又知结论 1cos 2CPD ∠=，即21cos 4CPD ∠=，所以有222cos cos cos 1APD BPD CPD ∠+∠+∠=，将三个角一般化，我们可得定理 三棱锥P ABC -中，90,APB BPC CPA D ∠=∠=∠=︒为底面ABC 内的一点，PD 与PA AB PC 、、所成的角分别是αβγ、、，则222cos cos cos 1.αβγ++=简证 如图1，222222cos cos cos PA PB PC PD PD PD αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222PA PB PC PD ++= 221.PD PD==推广 P A P B P C 、、是两两垂直的三条射线，PD 与PA PB PC 、、所成的角分别是αβγ、、，则222cos cos cos 1.αβγ++= 题92 有一个侧棱都是l 的三棱锥，顶点处的三个面角中，有两个都是α，另一个是x .将该棱锥的体积V 表示成x 的函数并求出当x 取什么值时，V 达到最大或最小.（第二届高一第二试第21题）解 设所给的棱锥是α=∠=∠===-ASB ASC l SC SB SA ABC S ,,（定值），x BSC =∠（变量），以BSC ∆所在平面为底面，作⊥AO 底面于O ，作SB OD ⊥于D ，连结AD .（如图）由三垂线定理，SB AD ⊥,于是αc o s c o s ⋅=∠⋅=l A S D SA SD .⊥∠=∠AO BSA ASC , 面BSC ，O ∴在BSC ∠的平分线上.2,xOSD x BSC =∠∴=∠ . ,OD SB ⊥ cos cos cos 2SD l SO x OSD α⋅∴==∠，于是2cos cos 12cos cos 22222222x l x l l SO SA AO αα-⋅=⋅-=-=.又BSC ∆的面积∴=∠⋅⋅=,s in 21s in 212x l B S C SB SC P 三棱锥BS C A -的体积2sin cos 4sin 612cos cos 1sin 61312223223xx l x x l AO P V ⋅-=-⋅⋅=⋅⋅=αα. 设)0(2sin 2>=y y x，则根号内的这部分可以表示为αα222sin 44)(cos 4)1(4)(y y y y y y f +-=--=，当2sin )4(2sin 422αα=--=y 时，)(y f 最大，同时V 也最大.2sin ,2sin 22α=∴=y x y ，即2,2s i n 2s i n 22x x α=是锐角，2sin arcsin2,2sin arcsin 2,2sin 2sin),,0(αααπα===∴∈x x x . 答：当2sin arcsin2α=x 时，V 最大.评析 这是一道立几、函数综合题，涉及的知识面广，方法多.破解此题的关键，一是把A 看成顶点，把面SBC 看成底面；二是写出函数关系式)(x f V =；三是求V 的最值.把A 看成顶点后，x l S h S V SBC SBC sin 21,312=⋅=∆∆是显然的，关键是如何将高h 用x 表示.而要解决这个问题，必须知道由ASC ASB ∠=∠，可得到AS 在底面BSC 上的射影是BSC ∠的平分线这一重要结论（立几中常常用到这一结论）.另外，作SB OD ⊥，由三垂线定理得SB AD ⊥，这就沟通了AO 与x l ,,α之间的关系，使得AO 用x l ,,α表示成为可能.求得的2sin cos 4sin 612223xx l V α-=是较复杂的，如何求其最值也是问题之一.分析出SABCDO只需求2s i nc o s 4s i n )(222xx x g α-=的最值是一个进步；将其变形为2sin cos 4)2sin 1(2sin 4)(2222x x x x g α--=又是一个进步.接着换元，令y x=2sin 2，得α22s in 44)()(y y y f x g +-==，这是一个二次函数在(0,1)上的最值问题，太熟悉了，于是大功告成.其答案也可表示成2sin 2arccos 22α-或αα2sin 2sin arctan 2-.该题重点考查了转化问题的能力，综合运用多种知识解决问题的能力.题93 设M 为正三棱锥S ABC -的底面ABC 内的任意一点，过M 引底面的垂线与这棱锥的三个侧面所在平面分别交于P,Q,R 三点，若正三棱锥的高为2.试求MP MQ MR ++的长.（第十二届高一培训题第81题）解 如图，过M 作MD BC ⊥于D ，作ME AC ⊥于E ，作M F A B⊥于F ，连结P D ,Q E ,R F .显然PDM ∠、QEM ∠、RFM ∠都等于这个正三棱锥的侧面与底面所成的二面角α，MP MQ MR MDtan ME tan ∴++=α+αMFtan (MD ME MF)tan +α=++α.易知M D M E ++为底面正三角形的高h ，因为正三棱锥高为h 2'=，所以有h t a n 1h 3'α=，h tan 3h α='=6，即MP MQ MR 6++=.评析 首先用特殊点指明解题方向：由于M 是正ABC ∆内的任意一点，故不妨使其为正ABC ∆的中心，则此时的P,Q,R 与正三棱锥的顶点S 重合，从而MP MQ MR ++为正在棱锥高的3倍，也就是6.若将此题改为选择题，则已可选出正确答案.然而，这是解答题，又该如何求呢？解决此题遇到的第一个难点就是正确地画出图形.图画出后的关键问题是如何利用正三棱锥这一条件，由于MP MQ MR ++都垂直于底面，且P,Q,R 分别在三个侧面内，故分别过P,Q,R 在三个侧面内作底边的垂线PD,QE,RF ，则MD,ME,MF 为三条射影.由正三棱锥，可知PDM QEM RFM ∠=∠=∠=α，则MP MQ MR (MD ME MF)tan ++=++α.运用正三角P QAESMF D BCR形内任一点到三边距离之和为其一边上的高，设MD ME MF h ++=，正三棱锥的高为h 2'=，则h tan 1h 3'α=，这就得到MP MQ MR 3h ++='=6.这里，发现h tan 1h 3'α=也是解决问题的关键之一，它将三棱锥的高h 2'=与MD ME MF ++，进而与MP MQ MR ++建立了联系，从而最终解决了问题.拓展 此题就是下面定理的特殊情形.定理 若M 是高为h 的正三棱锥S ABC -的底面内的任意一点，过M 引底面的垂线与该棱锥的三个侧面所在平面分别交于P,Q,R 三点，则MP MQ MR 3h ++=.证明留给读者.题94 There are two travel projects from Beijing to Santiago, Chile: (A)Flying westward(向西) to New York, then flying southward to Santiago; (B) Flying southward from Beijing to Friemander, Australia , then flying westward to Santiago. The geographic positions of these four cities may be approximately considered as: Beijing (1200 east longitude, 400 north latitude ), New York (700 west longitude , 400 north latitude ), Friemander (1200 east longitude, 300 south latitude) , Santiago(700 west longitude , 300 south latitude ).Suppose that the air lines go along the spherical distance , then the project of the shorter distance is ________(第十三届高二第一试第20题)译文:从北京前往智利的圣地亚哥,有两种旅行方案可供选择.方案(A):由北京向西飞抵纽约，再向南飞抵圣地亚哥; 方案(B):由北京向南飞抵澳大利亚的弗里曼特尔,再向西飞抵圣地亚哥.上述4个城市的地理位置可近似看作:北京(东经1200,北纬400),纽约(西经700,北纬400), 弗里曼特尔(东经1200,南纬300), 圣地亚哥(西经700,南纬300). 假设飞机航线都是球面距离,那么飞行距离较短的方案是_______.解 用BN d 表示北京与纽约的球面距离, NS d 表示纽约与圣地亚哥的球面距离, BF d 表示北京与弗里曼特尔的球面距离, FS d 表示弗里曼特尔与圣地亚哥的球面距离.则有:(A)方案的航程为BN d + NS d ， (B)方案的航程为BF d + FS d ，而向南飞是沿着经度线(球大圆)飞行，所以NS d =BF d . 又由余弦定理计算直线距离得)170cos 1()40cos (2)]70120(360cos[)40cos (2)40cos (202000020202-=+--=R R R BN 022085sin )40cos (4⋅=R .因此0085sin 40cos 2⋅=R BN (R 为地球半径). 同理，0085sin 30cos 2⋅=R FS .于是BN<FS.又BN d 和FS d 都是小于地球赤道(长)的1/2 , 所以BN d <FS d . 故方案(A)的航程更短些 . 评析 地球表面两点间的最短距离是这两点的球面距离(过这两点及球心的平面截球面所得大圆上的劣弧的长).同一经线上两点间的弧长就是这两点间的球面距离,但同一纬线圈上两点间的劣弧长并不是这两点间的球面距离,因此,此题的关键是为何求得BN d 与FS d ,并比较其大小.当两点间的直线距离小于地球赤道长的一半时，两点间的直线距离小的，这两点间的球面距离也小.运用这一结论可简化运算.拓展 如果直接求北京与纽约间的球面距离BN d '及弗里曼特与圣地亚哥间的球面距离FS d '，又该如何求呢？我们可以运用下面的定理 设地球半径为R ，B A 、是纬度为⎪⎭⎫⎝⎛<≤20πϕϕ的同一纬线圈上两点，这两点的经度差为()πθθ≤<0，则B A 、间的球面距离⎪⎭⎫⎝⎛-=2sincos 21arccos 22θϕR d AB . 证明 设地球的球心为O ，B A 、所在纬度圈的圆心为'O ，则ϕ=∠=∠''OBO OAO，θ=∠B AO '，⊥'OO 平面AB O '，''AO OO ⊥∴，B O OO ''⊥，ϕcos ''R B O A O ==∴.在ABO '∆中，由余弦定理得θϕϕcos cos 2cos 222222R R AB -==()θϕcos 1cos 222-R =2sincos 4222θϕR .在OAB ∆中，222222224cos sin 2cos 12cos sin 22R R AOB R θϕθϕ-∠==-，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∠∴2sin cos 21arccos 22θϕAOB （弧度）. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴2sin cos 21arccos 22θϕR d AB .证毕.将0170,40==θϕ代入上式，便得题中的BN d '，将0170,30==θϕ代入上式便得题中的FS d '，由于03040>，0222285sin 30cos 2185sin 40cos 21->-∴，又x arccos 是减函数，()()020220285sin 30cos21arccos 85sin 40cos 21arccos ->-∴，FS BN d d ''<∴.故方案(A)的航行路程更短些.AB O ’R O题95 如图1所示，矩形ABCD 中，P b AD a AB ,,==为CD 上的任一点，以AB 所在直线为轴，将PAB ∆旋转而成一个旋转体，求旋转体表面积的最大值，并指出当表面积最大时P 点位置.（第十一届高一培训题第79题）解法1 如图2，设P l PB l PA ,,21==到AB 的距离是b ，则旋转体表面积)(21l l b S +=π.为求21l l +的最大值，不妨设PC PD ≤.作B 关于直线CD 的对称点'B ，连结DB DB PB AB ,,,'''，则P 在D AB '∆内部或边界上，延长AP 交'DB 于E ，则≤+'PB PA 'EB PE PA ++=++≤+=''EB DE AD EB AE 'DB AD +，所以DB AD DB AD PB PA +=+≤+'.所以)(,)(222max max 21b a b b S DB AD l l ++=+=+π.此时P 与D 或C 重合.解法2 由解法1，可知只须求PB PA +的最大值.设x PD =，则=+-=PB PA x a PC,2=，表示直角坐标系x o y 内x 轴上的动点))(,(a x o o x P ≤≤到两点),(),,(b a B b o A -的距离之和（如图3）.由平几知识，显然当点P 位于AB 与x 轴的交点M 处时，PB PA +最小，当点P 由点M 处沿x 轴移向点O 时，PB PA +越来越大，当点P 达到点O 时，PB PA +达到最大，为22b a b ++；同样地，当点P 由点M 处沿x 轴移到点),(o a N 处时，PB PA +达到最大，为22ba b ++.故22max )(b a b PB PA ++=+.从而)(222max b a b b S ++=π.评析 此题的难点是求PB PA +的最大值.解法1在作出点B 关于DC 的对称点'B 后，反复利用三角形两边之和大于第三边突破了这一难点；解法2运用函数思想，将PB PA +表示成DP 的长x 的函数，而求这种无理函数的最大值无常规方法，故又将PB PA +看作动点B ’P图2ABCDE A ’图3 图1ABCDP))(,(a x o o x P ≤≤与两定点),(),,(b aB b o A -的距离之和，再利用平几知识求出了最大值.平几知识、转化思想的灵活运用是破解此题的关键.拓展 不难知道，当点P 为DC 的中点时，22m i n 4)(b a PB PA +=+,从而22m i n 4b a b S +=π，进而旋转体表面积的取值范围是2(b ππ⎡⎤+⎣⎦. 题96 ABCD 是一个正方形，M 为AB 上一点，N 为BC 上一点，且AM=BN.连DM 、DN分别交对角线AC 于点P 、Q ，剪掉△MNB.求证：①以DM 、DN 为折痕，将DA 与DC 重合，可以构成一个三棱锥的侧面.②以线段AP 、PQ 、QC 为边恰可构成一个内角为600的三角形.（第一届高一第二试第五题） 解 ①如图1，由于AM=BN ，则CN=BM.以DM 、DN DA 与DC 重合.下面证明AM ，MN ，CN AM=BN <MN ，CN=BM<MN ，所以MN 为AM ，MN ，CN MN<MB+BN=AM+CN ，所以AM ，MN ，CN 可构成一个三角形.故将DA 与DC 重合后，面DAM ，面DMN ，面DNC 锥的侧面.②如图2，在棱锥D-A(C)MN 中，AP 在面ADM 内，PQ 在面DMN QA 在面DAN 内.AP-PQ-QA(C)形成封闭折线构成△APQ ，所以AP ，QC 可构成△APQ 的三条边.现在只须证∠PAQ=600.由于棱锥底面△AMN ≌△BMN （三边对应相等），∴∠MAN=900，又∠DAM=900，∠DA(C)N=900，AP 为∠DAM 的平分线，AQ 为∠DAN 的平分线.作PP 1⊥DA 于P 1，过P 1作P 1S ∥AN 交AQ 于S ，则∠PP 1S=900，P 1A=P 1P=P 1S ，所以PA=SA=SP ，即△PSA 为正三角形，所以∠PAQ=600.评析 这是一个典型的折叠问题，解决此类问题的关键是要搞清楚折叠前的各种量在折叠后是否发生了变化，并画出正确的图形，再根据图形寻求解题的路子.第①小题的核心是证明线段AM 、MN 、CN 可以构成一个三角形.上述证法是证明了最长的线段MN 比两条较短的线段CN 与AM 的和小，故三条线段能构成一个三角形.其实，因为AM=BN ，所以CN=BM.而BN 、MN 、BM 显然构成△BMN ，故AM 、MN 、CN 当然也能构成三角形 .第②小题要证明线段AP 、PQ 、QC 为边可构成一个三角形是很容易的，难就难在要证明此三角形的一个内角是60 0，到底哪一个内角是600？这在直观图上是不易看出的 .瞎猜一通，将会浪费大量时间，且不易得到证明.怎么办呢？我们可以用图1中的三条线段AP 、PQ 、QC 为边画一个三角形，量出一个最接近600的角（若不明显，还可将图1中M 、N 的位置适当移动后再如此操作），然后再去证明，这是一个有效的方法.要证明∠PAQ=60O也并非易事.一般来说，是通过解△PAQ ，求得∠PAQ=600.这就需要知道△PAQ 的三边或一些边与角.我们可以设正方形的边长为1，AM=BN=x ，设∠ADP=θ，则∠APD=1800-450-θ=1350-θ，sin θ=21xx DM AM +=,在△APD 中，)135sin(sin 0θθ-=ADAP ，)135sin(sin 0θθ-=AP ，类似地可在△DCQ 中设∠CDQ=ϕ，则CQ 可用ϕ的三角函数表示出来，再得PQ=2-AP-CQ.然后再用余弦定理，应当说是可以得到∠PAQ=600的，但是太繁了！于是上面的解法抓住∠DAM=∠DAN=∠MAN=900，作PP 1⊥DA 于P 1，，作P 1S ∥AN 交AQ 于S ，又由AP 、AQ 分别是Rt ∠DAM ，Rt ∠DAN 的平分线，得到△P 1AP 、△P 1PS 、△P 1SA 为全等的等腰直角三角形，得AP=PS=SA ，故∠PAQ=600.这就有效地避免了繁琐的运算.这也启示我们，当常规思路（比如通过解三角形求角）难以奏效时，应当改变思考方向，寻求新的解法.题97 正ABC ∆的边长为a ，用任意直线l 截ABC ∆与两边交于F E 、，将ABC ∆沿l 折起作成二面角，由此可形成四棱锥ABEF C -，求此四棱锥的最大体积，并证明之.（第十二届高二培训题第77题）解 由棱锥的体积公式sh V 31=，可知 （1）当l 固定时，CEF ∆折起与平面ABEF 垂直时，所成四棱锥有最大体积，此时，CEF ∆的高CD 即为棱锥的高.（2）当高CD h =固定时，所有的直线l 皆以与C 为圆心，h 为半径的圆相切，由此可知棱锥的体积要最大，必须四边形 ABEF 的面积S 最大，CEF ∆有最小面积.因而只要考虑 与AB 平行的这些直线l .（3）设EF ∥CG AB CG AB ,,⊥交EF 于H ，记a CG x x CH 230,=<<=，则EF = x 32，四棱锥ABEF C -的体积为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2222439332434331x a x x a x V . （4）由⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222222224322127143271x a x x a x V 212714322⨯≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a 63232222216271221271343432a a xa x a x ⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+，当且仅当=22x -243a 2x ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<=a x a x 232时取等号.所以3max 363a V =.评析 此题解法中的4个步骤恰好解决了本题的4个关键问题：（1）当l 固定时，折成什么样的二面角体积最大？（2）当高CD h =固定时，l 处于什么样的位置时底面积最大？认识到底面ABEF 的面积最大时CEF ∆的面积最小也是至关重要的.DBCGF H Ell（3）在认识了l 必须与AB 平行，设x CH =后，如何将V 表示成x 的函数？ （4）如何求（3）中函数)(x f V =的最小值？这种高与底面积都在变化，即影响体积V 的两个量都在变化时，先固定一个变量再加以分析的方法在解一些较为复杂的多元函数问题时常常用到，我们应细心体会，并能在实践中自如操作.拓展 将此题略加变动，我们便得下面的定理 若D 是边长为a 的正ABC ∆的BC 边上的动点，将ACD ∆沿AD 折起作成二面角，则由此形成的三棱锥ABD C -的体积的最大值是3483a . 证明 如图，设()a x x CD <<=0，则x a BD -=. ()︒∆-⋅=60sin 21x a a S ABD =()43x a a -.在ACD ∆中，由 余弦定理，求得22a ax x AD +-=.作AD CH ⊥于H ，则==⋅+-=⋅∆ACD S CH a ax x CH AD 222121 4360sin 21axax =︒，所以CH =显然，若ABD ∆固定，则当ACD ∆沿AD 折成直二面角时三棱锥ABD C -的体积最大，此时，CH 就是此三棱锥的高.故()()⋅=+--=+-⋅-⋅=⋅=∆-8823433131222222a aax x x a x a a ax x ax x a a CH S V ABD ABDC()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+-=+-+--222222222228aax x aax x a aa ax x a ax x a .令=+-22a ax x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛≥a t t 23，则易证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-t t a a V ABD C 228在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,23a 上单调递减，所以m ax )(ABD C V -= 32248323238a a a a a =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-.题98 给定一个三角形纸片（如图1），你能否用它为原料剪拼成一个正三棱柱（正三棱柱的全面积等于原三角形的面积）？说明你的方法.这里“剪拼”的意思是：依直线剪裁，边对边拼接.（第十四届高二第二试第22题）ABCDHaaxx a -解 可以剪拼成一个正三棱柱，下面分两步证明：（1）设A ∠是最大角之一，取AC AB 、中点F E 、F E 、作BC 的垂线，垂足N M 、一定在BC 内.过A 作的平行线PQ ，分别交两垂线于点Q P 、.由BME ∆AQE ∆，CNF ∆≌APF ∆，可见矩形MNPQ 可由ABC ∆拼而成（如图2）.（2）设矩形MNPQ 中，NP MN ≤，以MN 为边，向内作正MNT ∆，T 与MN 的距离等于NP MN <23,故T 在矩形MNPQ 内.过T 作MN 的平行线RS ，如图3剪拼，即成一个正三棱柱.证毕.评析 正三棱柱的三个侧面是全等的矩形，两底面是全等的正三角形，将正三角形平分后又能拼成矩形，三个全等的侧面矩形总有一边等于底面正三角形的边长.因此，意识到任何一个矩形都可按图3那样剪拼成一个正三棱柱是破解此题的关键之一.在此基础上，如何将任何一个正三角形剪拼成矩形又是一个关键问题，运用平几知识很容易解决这一问题.拓展 对此题作进一步研究，可得命题1 一个三角形可剪拼成任意形状的等积三角形.证明 设已知三角形为ABC ∆，各边长分别为c b a ,,，所求三角形为'''C B A ∆，各边长为'a ，'b ，'c .1、不妨设c b a ≥≥，'''c b a ≥≥.我们先将ABC ∆剪拼成一个边长为2a的矩形MNPQ （如图2）. 2、将矩形MNPQ 剪拼成一组对边长为2'a 的平行四边形.若22'aa >，将矩形MNPQ 作如图4的处理，FE 、分别为PQ MN 、的中点，4''a EM =（倘若EQ a EM >=4''，我们就将矩形MNPQ 截成两个全等的矩形EFQM 与EFPN ，如图5，将E F Q M 接到EFPN ，重复这个操作，直至EQ a <4'），延长E M '交PN 于'N ，''P Q 过F 且平行于''N M ，易知可拼成平行四边形''''Q P N M 且2'''a N M =. 若22'a a <，仍作图5处理，直至MN a >2'（矩形在竖直方向的边长）为止，再进行上述操作.3、因为'''''''11'''22A B C M N P Q a c S S a h ∆>==，所以h c >'（h 为平行四边形的高）.如图6，F E 、分别是''''P N Q M 、的中点，过E 的直线交''Q P 于'A ，交''N M 于'B ，且'''c B A =（由前所证，这样的''B A 存在）连接F A '并延长交''N M 于'C .如图7，若'A 在''P Q 的延长线上，可先将''N FC ∆剪拼到''P FA ∆，再将''A EQ ∆剪拼到''B EM ∆，'A 在''Q P 的延长线上，同理可得.因为在剪拼的过程中，面积始终不变，所以当''c a 、确定时'b 也唯一确定，故'''C B A ∆ 即为所求三角形.命题2 一个三角形可剪拼成任意形状的等积多边形.把要求的多边形看成有限个三角形的组合，设为n ∆∆∆∆,,3,2,1 ，则++=∆∆∆21S S S A B Cn S ∆+ .将ABC ∆底边分成n 份，长度比为n S S S S ∆∆∆∆::::321 ，再依端点将ABC ∆剪成n 个面积依次为n S S S ∆∆∆、、、 21的三角形.由命题1，依次将面积为n S S S ∆∆∆、、、 21的三角形剪拼成n ∆∆∆∆,,3,2,1 .最后将n ∆∆∆∆,,3,2,1 拼起来即得所求多边形.命题3 一个多边形可剪拼成任意形状的等积多边形. 将命题扩展到空间，又得命题4 一个多面体可切拼成任意形状的等积多面体.题99 设在空间给出了20个点.其中某些点涂黄色，其余点涂红色.已知在任何一个平面上的同种颜色的点不会超过三个.求证：存在一个四面体，它的四个顶点同色，并且至少有一个侧面内不含另一种颜色的点.（第一届高一第二试第四题）解 因为20=n ，这20个点涂红、黄两种颜色，所以至少有四个点是同色的.由于任一平面上同色点不会超过三个，所以上述四个同色点不共面，组成四个顶点同色的四面体.于是可知，四个顶点同色的四面体必定存在.由于点数有限（20个），其中四个顶点同色的四面体只能有有限个，所以可选取其中一个体积最小者.这个体积最小的四个顶点同色的四面体即合要求——其中至少有一个侧面内不含另一种颜色的点，如若不然,若它的四个面内都有涂另一种颜色的点,则这四个点必不共面，将形成一个体积更小的四个顶点同色的四面体，于是会产生矛盾.故命题得证.评析 这是最简单、形象、直观的染色——点的染色问题.将空间20个点染成黄色、红色（任何平面上不同色点不超过3个）后，要求证明具有某种性质的对象（四个顶点同色，且至少有一个侧面内不含另一种颜色的点的四面体）存在，这类问题的证明，通常要用到抽屉原理，重叠原理等组合学中的基本原理，或利用奇数偶性分析，有时还用到构造法、递归法、数学归纳法等数学方法.本题中利用抽屉原理，立即证得四个顶点同色的四面体的存在性.再在存在的有限个四顶点同色的四面体中取一个体积最小的，再用反证法证明这个体积最小的四面体就是四个顶点同色，并且至少有一个侧面内不含另一种颜色的点的四面体.题100 用四个边长分别为 a ， b ， c (a>b>c>0)的锐角三角形可以拼成一个四面体.把拼成的任何一个四面体的各棱用红、黄、蓝三色染色，每条棱染一色，每种色染两条棱，考虑一切经过这样染色的四面体，如果经过适当转动，两个染色四面体完全重合，并且重合的对应棱同色时，称这样的两个四面体是同一染色类.问：所有这样的染色四面体可分为几种染色类？（第四届高一第2试第22题）解：所构成的四面体对棱长度相等，图中AB=CD,AC=BD,BC=AD .从四面体外部看，任何一个表面三角形三条边都包含 a ， b ， c 三种长度，按它们的配置顺序看，可分为两类：一类是边长为 a ， b ， c 的三边按顺时针方向排布，另一类是按逆时针方向排布.如果有两个四面体分别属于这两类，那么无论如何转动，这两个四面体都不会重合.因此，只要把 a ， b ， c 三边顺时针方向排布的染色四面体的染色类数弄清楚了，就可以把这个数乘以2，得到全部染色类的数目.以下设 a ， b ， c 顺次按顺时针方向排布，按染色方法可分成三种不同方式：①三组对棱对应同色，即图中 AB 与 CD 、 AC 与 BD 、 BC 与 AD 同色.容易看出，只要一个顶点处的三条棱所占的三种颜色确定后，整个四面体的染色也就确定了.这种方式下，有⨯⨯321=6类.②恰有一组对棱同色，设长为 a 的对棱同色，另外两组对棱对应异色.当长为 a 的这组对棱的颜色确定后，不论另外四条棱怎样染色（但要使另外两组对棱对应异色），都可以经过适当旋转，使这样染色的两个四面体重合，且对应棱同色，也就是说：长为 a 的对棱同色时，可划分为3个染色类.同理，长为 b ，长为 c 的对棱同色也是这样，在这种染色方式下，共可划分为3⨯3=9类.③任何两条对棱都异色，这时有且仅有一个三角形，它的三边是三种不同颜色，设∆ABC 中， BC 染了红色， AC 染了黄色， AB 染了蓝色这时，只要 AD 染色确定后，整个四面体的染色就确定了. AD 可染黄色，也可染蓝色.这样形成的两个染色四面体不同类.因此，这种染色方式下，A B CD3212=12类.有⨯⨯⨯(6+12)2=54种.综上分析，考虑到a,b,c按逆时针方向排布的四面体，共有9+⨯评析显然不是所有染色四面体经过适当转动后两个四面体都能完全重合且重合的对应棱是同色的，于是必须对所有染色四面体进行分类.染色问题的本质就是分类.分类应注意既不能重复又不能遗漏.要做到这一点，分类标准必须一致.因此，如何分类？分哪几类？分类以后怎么办？就成了解决问题的关键.由于本题中的四面体的任何一个表面三角形三边都包含 a， b， c三种长度，故可按其配置顺序分为两类：一类是边长为 a， b， c的三边按顺时针方向排布，另一类是按逆时针方向排布.认识分属这两类的两个四面体都不会是同一染色类也是十分重要的，在此基础上，我们只须把 a， b， c顺时针方向排布的染色四面体的染色类数弄清楚了，而 a， b， c按逆时针方向排布的染色四面体的染色类数与其相同，故问题也就解决了.于是又对 a， b， c按顺时针方向排布时按染色方法分为三类，并逐一求出同一染色类数，便最终解决了问题.。

6 , n
②
2 即 x = r 时等号成立 . 当 x =2 r -2 x, 3 所以圆椎的内接正 n 棱柱的体积的最大值是
π 2 2 2 2 2 ㊃ r l -r s i n , = n n 2 7
[
x +x + ( r -2 x) 2 3
2 2 2 π 2 2 ) ㊃ 1 2分) n ȡ3 n r l -r .( s i n ( 2 7 n 此时 , 正 n 棱柱的底面正n 边形的边长
2 2 圆锥的高 h = l -r , 于是圆锥的内接正 n 棱柱的高
π . 2
h H =h -x t a n α =h -x ㊃ r
= 1-
圆锥的内接正 n 棱柱的体积为
( )
x 2 2 ㊃ l -r , r
( 6分)
x2 y2 ì - 2 =1, a2 b 由í 得 a, y =x +5 2 î b a2 , =3
第二十六届 希望杯 全国数学邀请赛
参考答案及评分标准
) 每小题 4 分 . 一㊁ 选择题 ( 号 1 案 A 2 C
高二 ㊀㊀ 第 2 试
4 D 5 B 1 3 - 2 1 8 6 B
题 答
3
题 答
) 每小题 4 分 . 二㊁ 填空题 ( 号 1 1 案 [2 -1, + ɕ) 1 6 1 2 52 π 3
所以 即 2 . 7 ( )直线 A 2 B 的方程为
, , 则有 设 A( x1 , B( x2 , y1) y2)
x2 -5 a x -1 a2 =0, 4 或 x =7 x =-2 a, a.
( 5分)
y2( y2 +x2 y1 x2 -x1) x1 , x =x2 = y2 +y1 y2 +y1 即 Q 点的横坐标为 y2 +x2 y1 x1 xQ = . y2 +y1 可得 由点 A 在双曲线上 , x1 a2