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结构动力学课后习题答案结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。
它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。
课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。
以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案，供参考：习题1：单自由度系统自由振动分析解答：对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]其中，\( k \) 是系统的刚度，\( m \) 是系统的总质量。
系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述，其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算：\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]习题2：单自由度系统受迫振动分析解答：当单自由度系统受到周期性外力作用时，其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算：\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \] 其中，\( F_0 \) 是外力的幅值，\( \omega \) 是外力的角频率。
习题3：多自由度系统模态分析解答：对于多自由度系统，可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。
特征值问题通常表示为：\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]其中，\( [K] \) 是系统的刚度矩阵，\( [M] \) 是系统的质量矩阵，\( \lambda \) 是特征值，\( {\phi} \) 是对应的特征向量，即模态形状。
习题4：结构的冲击响应分析解答：对于结构的冲击响应分析，通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。
结构的冲击响应可以通过冲击响应谱（IRF）来分析，它描述了结构在不同频率下的响应。
冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。
习题5：疲劳分析解答：结构的疲劳分析需要考虑结构在重复载荷作用下的寿命。
结构动力学习题答案在结构动力学中，习题答案通常涉及对结构在动态载荷下的行为进行分析和计算。
这些习题可能包括自由振动分析、受迫振动分析、随机振动分析、模态分析、响应谱分析等。
以下是一些典型的结构动力学习题答案示例。
习题一：单自由度系统的自由振动问题：一个单自由度系统具有质量m=2kg，阻尼系数c=0.5N·s/m，弹簧刚度k=800N/m。
初始条件为位移x(0)=0.1m，速度v(0)=0。
求该系统自由振动的位移时间历程。
答案：首先，确定系统的自然频率ωn：\[ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{800}{2}}\text{ rad/s} \]然后，计算阻尼比ζ：\[ \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}} = \frac{0.5}{2\sqrt{2 \cdot 800}} \]由于ζ < 1，系统将进行衰减振动。
可以使用以下公式计算位移时间历程：\[ x(t) = A e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t + \phi) \] 其中，\( \omega_d = \sqrt{\omega_n^2 - \zeta^2 \omega_n^2} \) 是阻尼频率，A是振幅，\( \phi \)是相位角。
初始条件给出x(0)=0.1m，v(0)=0，可以解出A和\( \phi \)。
最终位移时间历程的表达式为：\[ x(t) = 0.1 e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t) \]习题二：单自由度系统的受迫振动问题：考虑上述单自由度系统，现在施加一个简谐力F(t)=F_0sin(ωt)，其中F_0=100N，ω=10 ra d/s。
求系统的稳态响应。
答案：稳态响应可以通过傅里叶级数或直接应用受迫振动的公式来求解。
对于简谐力，系统的稳态响应为：\[ x_{ss}(t) = \frac{F_0}{k - m\omega^2} \sin(\omega t + \phi) \]其中，\( \phi \) 是相位差，可以通过以下公式计算：\[ \phi = \arctan\left(\frac{2\zeta\omega}{\omega_n^2 -\omega^2}\right) \]习题三：多自由度系统的模态分析问题：考虑一个二自由度系统，其质量矩阵M和刚度矩阵K如下：\[ M = \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix},\quad K = \begin{bmatrix} k_1 & -k_c \\ -k_c & k_2\end{bmatrix} \]其中，\( m_1 = 2kg \)，\( m_2 = 1kg \)，\( k_1 = 800N/m \)，\( k_2 = 1600N/m \)，\( k_c = 200N/m \)。
习 题2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值12.41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。
解：由题意，可求出系统的运动微分方程为t mxn x p x n 3cos 36022=++ 得到稳态解)3cos(α-=t B x其中m kB B B 45.03604)1(022220==+-=λζλ222122tg λζλωωα-=-=n p n 由d nT i iA A e 2.41===+η489.3π2797.0ln 8.1ln ======dd dd dT p T n T nT ηη 又22n p p n d -=有579.3222=+=n d n p n p p45.51255.1298.0374.0838.01838.0223.02tg 103.1408.045.0838.0223.04)838.01(45.0223.0579.3797.0838.0579.332222===-⨯⨯===⨯⨯+-=======ααζωλB p n p n n所以 x ＝1.103 cos(3t －51︒27')2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。
解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由m kp n =，共振时m kp n ==1ω 所以 mk =6 ①又由 当 86.512=+==m kp n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。
习 题2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值12.41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。
解：由题意，可求出系统的运动微分方程为t mxn x p x n 3cos 36022=++ 得到稳态解)3cos(α-=t B x其中m kB B B 45.03604)1(022220==+-=λζλ222122tg λζλωωα-=-=n p n 由d nT i iA A e 2.41===+η489.3π2797.0ln 8.1ln ======dd dd dT p T n T nT ηη 又22n p p n d -=有579.3222=+=n d n p n p p45.51255.1298.0374.0838.01838.0223.02tg 103.1408.045.0838.0223.04)838.01(45.0223.0579.3797.0838.0579.332222===-⨯⨯===⨯⨯+-=======ααζωλB p n p n n所以 x ＝1.103 cos(3t －51︒27')2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。
解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由m kp n =，共振时m kp n ==1ω 所以 mk =6 ①又由 当 86.512=+==m kp n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。
第一章 单自由度系统1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有: 牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1. 牛顿第二定律法适用范围: 所有的单自由度系统的振动。
解题步骤: （1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
2. 动量距定理法适用范围: 绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤: （1） 对系统进行受力分析和动量距分析；（2） 利用动量距定理J ∑=M θ,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
3. 拉格朗日方程法:适用范围: 所有的单自由度系统的振动。
解题步骤: （1）设系统的广义坐标为 , 写出系统对于坐标 的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式: L=T-U ；（2）由格朗日方程 =0, 得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
4. 能量守恒定理法适用范围: 所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤: （1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即 , 进一步得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个: 衰减曲线法和共振法。
方法一: 衰减曲线法。
求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线, 并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值 、 。
（2）由对数衰减率定义 , 进一步推导有,因为 较小, 所以有πδζ2=。
单自由度振动系统的运动方程及其解析解单自由度振动系统是指只有一个自由度的振动系统，其运动方程可以用一个二阶常微分方程表示。
在这篇文章中，我们将讨论单自由度振动系统的运动方程及其解析解。
1. 引言振动是自然界中一种常见的现象，也是物体在受到扰动后产生的周期性运动。
单自由度振动系统是研究振动现象的基本模型，它可以用来描述弹簧振子、摆锤等物理系统的振动。
2. 运动方程的建立对于单自由度振动系统，其运动方程可以通过牛顿第二定律推导而来。
假设系统的质量为m，位移为x，系统受到的外力为F，弹性系数为k，则可以得到如下的运动方程：m*x'' + k*x = F3. 简谐振动的解析解当外力为零时，即F=0，单自由度振动系统的运动方程简化为：m*x'' + k*x = 0这是一个常系数线性齐次二阶常微分方程，可以通过特征方程的方法求解。
假设解为x(t) = A*cos(ωt + φ)，代入方程中可以得到：-m*ω^2*A*cos(ωt + φ) + k*A*cos(ωt + φ) = 0整理得到：(ω^2*m - k)*A*cos(ωt + φ) = 0由于A*cos(ωt + φ)不为零，所以可以得到特征方程：ω^2*m - k = 0解特征方程可以得到系统的固有频率：ω = sqrt(k/m)因此，单自由度振动系统的解析解为：x(t) = A*cos(ωt + φ)其中A和φ为待定常数，分别表示振幅和相位。
4. 非简谐振动的解析解当外力不为零时，即F≠0，单自由度振动系统的运动方程为：m*x'' + k*x = F这是一个非齐次线性二阶常微分方程，可以通过特解和通解的方法求解。
首先求解齐次方程，得到通解：x_h(t) = A*cos(ωt + φ)然后求解非齐次方程的特解，可以通过待定系数法或者复数法得到特解。
最后将通解和特解相加，得到系统的解析解：x(t) = x_h(t) + x_p(t)其中x_h(t)为齐次方程的通解，x_p(t)为非齐次方程的特解。
习 题1-1 一物体放在水平台面上，当台面沿竖直方向作频率为5Hz 的简谐振动时，要使物体不跳离台面，试问对台面的振幅有何限制？解：物体做简谐运动，设系统运动方程为：)sin()(ϕω+=t a t u对物体分离作受力分析: Fs mg t um -=)( 要使物体不条离台面，要求0≥Fs ，即： mg t um ≤)( 也就是2max )(ωa t ug =≥ m fg ga 0099.0422==≤∴πω1-2 求简谐运动u t t 1540()cos =和u t t 2339()cos =合成运动的最大振幅与最小振幅，并求其拍频和周期。
解：最大振幅为8最大振幅为21-4 图中简支梁长l =4m 、抗弯刚度EI =⨯1961062.Nm ，且k =⨯49105.N /m ，m =400kg 。
分别求图示两种系统的固有频率。
题1-4图解：简支梁的等效刚度 m N lEIk e 53107.1448⨯==左图系统等效于弹簧并联：m N k k k e 51106.19⨯=+=系统固有频率为：s rad mk n /701==ω 右图系统等效于弹簧串联：m N k k kk k ee68.32=+=系统固有频率为：s r a d mk n /3.302==ω 1-5 钢索的刚度为4105⨯N /m ，绕过定滑轮吊着质量为1000kg 的物体以匀速0.5m/s 下降。
若钢索突然卡住，求钢索内的最大张力。
解：此问题等效于单自由度无阻尼系统的自由振动固有频率s rad mkn /20==ω 初始条件是：s m uu 5.0)0(,0)0(== 则系统的振幅025.0)0()0(222=+=n uu a ω故由振动引起的最大动张力N ka mg T T T 421102⨯=+=+=1-6 图示重物挂在弹簧上使弹簧静变形为δs 。
现重新将重物挂在未变形弹簧的下端，并给予向上的初速度 u0，求重物的位移响应和从开始运动到它首次通过平衡位置的时间。
y sy(t)s=-k(y+y s )w=mg F(t)=-m y§1 单自由度体系的自由振动一、无阻尼的自由振动：如下图，以单自由度体系为例，设此梁上的集中质量为m ，其重量为W mg =，梁由于质量的重力引起的质量处的静力位移用s y 表示，与s y 相应的质量位置称为质量的静力平衡位置。
若此质量受到扰动离开了静力平衡位置，当扰动除去后，则体系将发生振动，这样的振动称为体系的自由振动。
由于振动的方向与梁轴垂直，故称为横向振动。
在此，只讨论微小振幅的振动，由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内，用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。
1、建立运动方程建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理（亦称惯性力法或动静法）。
今考虑在振动过程的某一瞬时t ，设质量在此瞬时离开其平衡位置的位移为y ，取质量为隔离体，则在质量上作用有三种力：质量的重量W ，杆件对质量的弹性恢复力S 和惯性力F(t)。
根据达朗伯原理，这三个力应成平衡，即 W+S+F(t)＝0 （1） 在弹性体系中，弹性恢复力S 为 ()s k y y s =-+上式中的K 为一常数，称为刚度系数，代表简支梁上使质量在运动方向产生单位位移时需要加在质量上的沿质量运动方向的集中力的量值。
式中负号表示s 的指向和位移的方向相反。
而 1y s W k=⋅ 即 y s W k =⋅因此，将()s k y y s =-+和y s W k =⋅代入式（1）得()0F t ky =-+ （2）上式表明，如果以静力平衡位置作为计算位移的起点，则建立体系的运动方程时，可以不考虑重力W 的影响。
这对其他体系的振动（包括受迫振动）也同样适用。
将22()d yF t m dt =-代入式（2）得：22()0d ym ky t dt+= 令2k m ω= dyy dt= （速度） 22d y y dt =（加速度） 则 22()0d ym ky t dt+= 可变为 20y y ω+= （3）此为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，它反映了这种振动的一般规律。
题目1 质量m1悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡状态，质量m2从高度h处自由下落到m1上且没有弹跳。
求：（1）碰撞后m2的运动规律；（20％）（2）m2下降的最大距离。
（25％）题目1图题目2 图示刚性曲臂绕铰点O的转动惯量为I，求：（1）系统的振动微分方程；（20％）（2）系统的固有频率。
（10％）题目2图题目3 无阻尼单自由度系统受到图示力作用（假设初始条件为0），求系统的强迫振动响应。
（30％）题目3图1、解：振动微分方程：()021=++kx xm m 式中x 原点为两个质量m 1和m 2同时悬挂在弹簧k 上时的平衡位置。
初始条件：初始位移：kg m x 20-=；初始速度：21202m m gh m x +=运动响应：t b t a x n n ωωcos sin +=根据初始条件获得方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==-=n a m m gh m x b k g m x ω2120202 得到()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=n m m ghm a k g m b ω21222 运动响应：()t kgm t m m gh m t b t a x n n n n n ωωωωωcos sin 2cos sin 2212-+=+=m 1和m 2同时下降的最大距离：()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=g m m kh k g m m m gh m k g m k g m A k g m h n 21222122222max 2112ω m 1和m 2同时下降的最大距离的能量法：()()()2121max 2122122max 2212121m m gh m V kg m gh m m V m m k h k +==+++=-+δδδ()221221max 22max 22⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+=-m m gh m m m gh m kh()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+++=g m m khk g m m m gh m k m m k g m k g m k m m gh m m m k g m g m h 212221221222221221222max2112224222、解：建立绕O 点的角度θ，则⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb x l x a x 321（1）力学分析方法 取隔离体受力分析： 刚性臂：02130=++⋅+l F a F b b k I θθ 质量m1：011111=-+F x k xm 质量m2:022222=-+F x k xm 则：()()022********=++++⋅+l x k x m a x k x m b b k I θθ [][]02211230=+++++l l k l m a a k a m b k I θθθθθθ 微分方程：()()023222122210=+++++θθb k l k a k l m a m I固有频率：（2）能量法 总动能：()()22212022221120221212121212121θθθθθ l m a m I x m x m I m e ++=++= 则：22210l m a m I m e ++=总势能：()()()232221233222211221212121212121θθθθb k l k a k x k x k x k k e ++=++= 则：232221b k l k a k k e ++=振动微分方程为：0=+θθee k m 固有频率：een m k =ω3、解：微分方程：()t P kx xm =+ 激振力：()⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≤≤=22121100t t t t t P t t P t P 根据杜哈梅积分有：()()()τττd t h P t x t⋅-⋅=⎰0()t h 根据方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+m x x kx x m 10000确定为()t m t h n nωωsin 1=则：()()()()()ττωτωτττd t P m d t h P t x ntnt⋅-⋅=⋅-⋅=⎰⎰sin 10则解为：()()()()()()()()()()()()[]()()()()[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥---+--≤≤--+--≤≤-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅+⋅-⋅≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅+⋅-⋅≤≤⋅-⋅=⋅-⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰21221121121111220121201101cos cos cos cos cos 1cos cos 0cos 1sin sin 1sin sin 10sin 1sin 121111t t t t t t kP t t t kP t t t t t k P t t t k Pt t t k P t t d t P d t P m t t t d t P d t P m t t d t P m d t P m t x n n n n n n n n n t t n t n n t t n t n nt n ntnωωωωωωωωττωττωωττωττωωττωωττωτω。
