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第四节一、条件概率 二、乘法公式条件概率三、全概率公式与贝叶斯公式一、条件概率在许多问题中,我们往往会遇到事件 B 已经出 现的条件下求事件A的概率. 这时由于有了附加条 件, 因此称这种概率为事件B发生的条件下，事件 A的条件概率，记作 P(A|B) 同理P(Ｂ|Ａ)表示：事件Ａ发生的条件下，事件 Ｂ发生的概率例1 一个家庭中有两个小孩，已知两个小孩其中一个 是女孩，问两个小孩都是女孩的概率是多少？ （假定生男生女是等可能的） 解 由题意，样本空间为Ω = { (男，男)， (男，女)， (女，男)， (女，女) }A 表示事件“至少有一个是女孩”， B 表示事件“两个都是女孩”，则有 A＝{ (男，女)， (女，男)， (女，女) } B = { (女，女) } 由于事件A已经发生，所以这时试验的所有可能结果 只有三种，而事件B包含的基本事件只占其中的一 1 种， 所以有 P ( B A) =3(1)在这个例子中，若不知道事件A已经发生的信息，那 么事件B 发生的概率为 这里1 P( B) = 4 P( B)≠ P( B A)其原因在于事件 A的发生改变了样本空间，使它由原 来的Ω 缩减为Ω A = A，而 P( B A)是在新的样本空间 Ω A 中由古典概率的计算公式而得到的．上例中计算 P(B|A)的方法并不普遍适用．如果回 到原来的样本空间Ω 中考虑，显然有3 P( A) = 4从而即1 P ( AB) = 4 1 1 P ( B A) = = 4 3 3 4 P ( AB) P( B A ) = P ( A)(2)关系式（2）不仅对上述特例成立，对一般的古典概 型和几何概型问题，也可以证明它是成立的．定义1 设A, B是两个事件，且P( A) > 0，称P ( AB) P( B A ) = P ( A)(3)事件A发生的条件下事件B 发生的条件概率 性质： 设A是一事件，且P(A)>0，则 (1) 对任一事件B，0≤P(B|A)≤1; (2) P(Ω| A) =1 ； 1 1 非负性 非负性 2 2 规范性 规范性 3 3 可列可加性 可列可加性(3) 设B1, B2 ,··· 两两互不相容，则 P[(B1∪B2∪ ···)| A] = P(B1|A)+P(B2|A) + ···(4) P (φ A) = 0.(5) P(B1 ∪ B2 A) = P(B1 A) + P(B2 A) − P(B1 B2 A);(6) P ( B A) = 1 − P ( B A).条件概率的计算根据具体的情况，可选用下列两种方法之一来计算 条件概率P(B|A) （1）在缩减后 ΩA 的样本空间中计算； （2）在原来的样本空间Ω 中，直接由定义计算．条件概率 P(B|A)的样本空间ΩABAB样本空间ΩP( AB) P( B A ) = P( A)缩减的样本空间（即事件A）P( B | A)例2 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球， 依次从袋中不放回取两球． （ 1 ）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的 仍是黑球的概率； （ 2 ）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的 也是黑球的概率． 解 记 Ai = { 第 i 次取到黑球 } ( i = 1, 2) （1）可以在缩减的样本空间 ΩA 上计算。
概率公式大全概率公式大全（上篇）概率公式在概率论中起着非常重要的作用，它们用于描述随机事件的发生概率以及事件之间的关系。
本文将介绍一些常见的概率公式，帮助读者更好地理解和应用概率论。
1. 基本概率公式1) 事件的概率公式：在概率论中，事件的概率通常用P(A)表示，其中A表示一个事件。
事件A的概率可以用下述公式计算：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间S 中的总次数。
2) 样本空间的概率公式：当样本空间S的每个样本点发生的概率相同且为1/N(S)时，我们可以使用下述公式计算事件A的概率：P(A) = N(A) / N(S)这个公式在实际问题中应用广泛，是基本的概率公式之一。
2. 条件概率公式1) 条件概率的定义：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为A在B 条件下的条件概率，用P(A|B)表示。
条件概率的计算公式如下：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A与事件B同时发生的概率。
2) 乘法公式：乘法公式是条件概率的推广形式，用于计算两个事件同时发生的概率。
根据乘法公式，我们可以得到：P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B)这个公式在计算复杂事件的概率时非常有用。
3. 全概率公式全概率公式用于计算一个事件发生的总概率，它假设事件发生的样本空间可以划分为若干个互斥事件。
全概率公式如下：P(A) = Σi P(A|Bi) * P(Bi)其中，Bi表示样本空间S的一个划分，P(A|Bi)表示在Bi条件下事件A发生的概率。
这个公式可以在一些复杂问题中计算事件发生的概率，非常实用。
4. 贝叶斯公式贝叶斯公式是条件概率公式的逆运算，用于通过已知的条件概率反推出相反的条件概率。
根据贝叶斯公式，可以得到：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
概率论与数理统计基本公式第一部分 概率论基本公式1、A BA B AAB; A BA(B A) 2、对偶率： AB A B ；ABA B .3、概率性率：P ( A B ) P( A) P(AB ), 特别， BA 时有：P( A B) P( A) P(B); P(A) P(B)有限可加： A 1、 A 2 为不相容事件，则 P( A 1A 2 ) P( A 1)P(A 2 )对任意两个事件有：P( AB)P( A) P( B)P( AB)4、古典概型例： n 双鞋总共 2n 只，分为 n 堆，每堆为 2只，事件 A 每堆自成一双鞋的概率 解：分堆法： C 22 n（ (2n)!,自成一双为： n ！，则 P( A)n!！！22n - 2) 2C2n5、条件概率P(B | A)P( AB), 称为在事件 A 条件下，事件 B 的条件概率， P( B)称为无条件概率。
P( A)乘法公式： P(AB)P(A)P(B | A) P(AB)P(B)P(A | B)全概率公式： P(B)P(A i )P(B | A i )i贝叶斯公式： P(A i | B)P( A i B)P( A i )P(B | A i )P( B) P( A j )P( B | A j )j例：有三个罐子， 1 号装有 2 红1黑共 3个球，2号装有 3红1黑 4个球，3 号装有 2 红 2黑 4 个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球， （ 1）求取得红球的概率； （ 2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？解： 设B i { 球取自 i 号罐 } ， i。
{ 取得是红球 } ，由题知、、是一个完备事件(1) 1,2,3 AB 1B 2B 3由全概率公式 P( B)P( A i )P( B | A i )，依题意，有： P( A | B 1 )2;P(A|B 2)3;P(A|B 3) 1 .i342P( B 1)P(B 2 ) P( B 3 )1， P( A) 0.639.3(2)由贝叶斯公式： P(B 1 | A)P( A | B 1)P(B 1)0.348.P( A)6、独立事件（ 1） P(AB)=P(A)P(B), 则称 A 、 B 独立。
