条件概率、乘法公式和独立性(doc 10页)

条件概率、乘法公式和独立性(doc 10页)
§3．条件概率、乘法公式、独立性
前面讲到随机事件时，说到随机事件是在一定条件S下，进行随机试验而可能发生或可能不发生的事件．当我们计算事件A的概率P(A)时，如果除了条件S外，不再加上其它条件的限制，我们称此种概率为无条件的概率。

但是在许多实际问题中，还存在着要求一个事件B在某一事件A 已经发生的条件下的概率．我们称它条件的概率。

一．【例1】设箱中有100件同型产品。

其中70件(50件正品，20件次品)来自甲厂，
30件(25件正品，5件次品)来自乙厂。

现从中任取一件产品。

(1)求取得甲厂产品的概率；
(2)求取得次品的概率；
(3)已知取得的是甲厂产品，求取得的是次品的概率。

分析：为了直观，我们将产品情况列成表
上面的问题，可用古典概率计算法求得。

解：
则（1）（2），
，，
（3）在“已知取得的是甲厂产品”这一条件下任取一件产品，实际上是从甲厂70件产品(50件正品，20件次品)中任取一件。

这时样本空间只含70个基本事件(是原的样本空间的一部分)。

由古典概率知：
为了给出条件概率的数学定义，我们对
{例1}的条件概率问题进行分析：
即有
二。

条件概率：设A,B是条件S下的两个随机事件，P(A)＞0，则称在事件4发生的条件下事件B发生的概率为条件概率,
且
【例1】从带有自标号1，2，3，4，5，6的六个球中，任取两个，如果用A表示事件“取出的两球的自标号的和，为6”，用B表示事件“取出的两球的自标号都处偶数”，试求：
【例】
φ
解；（ⅰ）∵ABφ
=，
三．概率的乘法公式：
乘法公式：两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。

即
【例2】盒中有10件同型产品。

其中8件正品，2件次品，现从盒中无放回地连取2
件，求第一次、第二次都取得正品的
概率。

因为在第一次已取得正品下，第二次再取产品时，盒中只剩9件产品，其中正品只有7件。

【例3】10个考签中有4个难签，3人参加抽签(不放回)，甲先、乙次、丙最后。

求甲
抽到难签，甲、乙都抽到难签，甲没抽
到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽
到难签的概率。

解：设事件A，B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签，则
【例4】
【例5】袋中有三个阄，其中仅有一阄为有物之阄，三人排队抓阄，每人取一个，记
从此例看出，抓阄时虽排队，但三人是等概的，否则这个办法就不会被人类采纳达数千年之久。

三．事件的独立性：
如果
则 表示事件A 发生并不影响事件B 发生的概率。

即 ()()()()()P B A P B P AB P A P B =⇔= 1．定义：设A ，B 是两个随机事件，如果
2．性质： 若 四对事件 A
与B ；A 与B ；A 与B ；A
与B 中有一对相互独立，
则其余三对也相互独立．即下面四个命题是等价的：
３．定义２：
应用独立性概念，可以简化概率的计算．
【例6】在不超过100个自然数里任取一数，则它能被2或能被5整除的概率为多少？
3
5
【例】袋中放有a个白球和b个黑球，随机取出一个，然后放回，并同时再放进与取出的球同色的球c个，再取第二个，这样连续取3次，问取出的3个球中头两个是黑球，第3个是白球酌概率是多少?
解：
【例】
【例８】已知每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0．4％，且他们是否含有肝炎病毒是相
互独立的．今混合100个人的血清，试求混
合后的血清中含有肝炎病毒的概率．
现在我们知道对１００人的血清作检验．用新方法要检验l01次的可能性为0．33，而只需检验一次的可能性为１—o．33＝o．67．由此，可以知道，只做一次检验的可能性远大于t01次检验的可能性．以后我们将知道：用新方法对100个人平均需做34次检验，当然这比老方法要做too次检验确实减少了工作量．
【例】
【例】甲、乙两人同时向一敌机炮击，已知甲击中的概率为o．6，乙击中的概率为o．5，求敌机
被击中的概率。

【例１１】（１）两门火炮同时向一敌机射击，
每门火炮的命中率为０．6，求敌
机被击中的概率．
（２）现若干门炮同时向向一敌机炮击，问欲以９９％的把握击中这敌机，至少需要几门炮？
（２）解：设至少n门炮同时向向一敌机炮击，
i A =
“第i 门炮击中这敌机” (1,2,,)
i n =，
A =
“敌机被击中”，
则
12n
A A A A =++
+，
（∵
12,,,n
A A A 不是两两互不相容，Ｐ（Ａ）
计算量太大，可以考虑A 的逆事件）
∵ 12
n
A A A A =， 且1
2
,,
,n
A A A 是相互独
立的，
∴ 12()()()
()10.60.4n n
n P A P A P A P A ==-=，
()1()10.40.99
n P A P A =-=-≥
因而
5.026
n ≥，
可见， 至少需要６门炮才能以９９％的把握击中这敌机。

【例】 若n 次独立试验中，A 至少出现一次的概率为 ,, 求一次试验中Ａ出现的概率。

四．习题：
Ｐ。

２９―――１，２，３，４。