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等式的基本性质教案引言：等式是数学中非常重要的概念之一，是指两个数或两个代数式用等号连接起来的关系。
等式的基本性质是指在进行等式计算时应该遵循的一些基本规律和原则。
通过学习等式的基本性质，我们可以更好地理解和运用等式，进一步提高我们的数学能力。
本文将介绍等式的基本性质，包括等式的可逆性、等式的传递性、等式的对称性和等式的消去性。
一、等式的可逆性等式的可逆性指的是一个等式两边可以交换位置而不改变等式的真值。
即如果等式A=B成立，那么交换位置后的等式B=A也成立。
这是因为等式的两边具有相等的值，将它们交换位置并不改变它们的值。
例如，如果我们有3+2=5，那么5=3+2也成立。
二、等式的传递性等式的传递性指的是如果等式A=B和等式B=C都成立，那么等式A=C也成立。
这是因为等式的两边具有相等的值，将它们按照传递的顺序连接起来并不改变它们的值。
例如，如果我们有2+3=5和5-1=4，那么2+3=5和5=5-1可以推出2+3=4。
三、等式的对称性等式的对称性指的是一个等式两边可以互换位置而不改变等式的真值。
即如果等式A=B成立，那么等式B=A也成立。
这是因为等式的两边具有相等的值，将它们互换位置并不改变它们的值。
例如，如果我们有a+b=10，那么10=a+b也成立。
四、等式的消去性等式的消去性指的是在等式的两边同时加上（或减去）相同的数（或代数式），所得的新等式仍然成立。
这是因为等式的两边具有相等的值，对它们都加上（或减去）相同的数（或代数式）并不改变它们的值。
例如，如果我们有x+3=8，那么我们可以在两边同时减去3，得到x=5。
结论：通过学习等式的基本性质，我们可以更加灵活地运用等式进行数学计算。
等式的基本性质包括等式的可逆性、等式的传递性、等式的对称性和等式的消去性。
等式的可逆性使我们能够交换等式两边的位置；等式的传递性使我们能够用多个等式推导出新的等式；等式的对称性使我们能够互换等式两边的位置；等式的消去性使我们能够同时加上（或减去）相同的数（或代数式）来简化等式。
◎等式的性质接下来介绍的是化简算式和解方程的知识．一个复杂的算式怎么样化简呢？这就要求我们重新认识等号及加减乘除的概念．我们先来认识一下等式的性质．我们曾经详细地解释过1＋1＝2中的秘密，这个等式中隐藏着我们看待世界的三个重要的规律：第一，它表示在不同的事物中隐藏着相同的概念；第二，它表示在变化之中总有不变的规律；第三，它表示我们可以通过过程准确地预知结果．接下来，我们就从这些基本规律出发，进一步分析一下等式的性质．我们曾经说过，带有未知数的等式叫作方程，而程的意思就是天平．如果我们把等式看作一架天平的话，很容易就能够根据天平的特征得出等式的三个基本性质：第一，如果我们把等式的左右两边翻转过来，等式依然成立．比如2＋3＝5，把等式左右反转，得到的是5＝2＋3．同理，如果a＝x，那么x也就等于a．为什么呢？因为等式是天平，把天平左右两侧的东西交换一下位置，天平当然会保持平衡了．我们把等式左右可以相互交换的这种性质，叫作等式的对称性，或者叫作反身性．第二，如果两个数量都跟第三个数相等，那么这两个量也彼此相等．2＋3是等于5的，1＋4也是等于5的，所以2＋3就等于1＋4．如果a＝c，b＝c，那么a＝b，这个性质叫作等式的传递性．这个也很容易理解，我们在使用天平的时候，如果称出的两个物体的重量都等于两千克，那么，它们两者的重量肯定是相等的．反身性和传递性都是等式的最基本的性质，那么接下来，我们再看看等式的第三个基本性质．在小学的时候，我们曾经做过这样的题目：有一架天平始终保持着平衡，在天平的左边放着三个桃子，天平右边放着两个桃子和两个橘子，问：一个桃子的重量等于几个橘子的重量？我们知道，在题目中左边的桃子和右边的桃子加橘子的重量是一样的，而天平是一个平衡的杠杆机构．我们在天平的两边同时加上同样重量的东西，或者同时减去同样重量的东西，天平仍然可以保持平衡．现在，在天平的左侧放着三个桃子，右侧放着两个桃子和两个橘子，如果我们把天平两侧同时拿走两个桃子，天平仍然可以保持平衡．这样，在天平的左侧就剩下了一个桃子，而右侧就剩下两个橘子了，这样我们就得到了最终答案：一个桃子的重量等于两个橘子的重量．这个题目在小学阶段我们就非常熟悉了，我们应该从中发现什么规律呢？那就是，在等式的两边经过了相同的运算，结果仍然是相等的．这是等式的最重要的一个性质，任何等式，无论经过了怎样的计算，只要过程相同，那么结果一定是相等的．因为等式两边要经过相同的变化过程，所以这个性质又叫协变性．实际上，这个性质不仅仅存在于天平上，也不仅仅存在于等式中，它是我们这个世界的一个普遍规律．也就是说，从相同的起点出发，经过了相同的方向和相同的路程，最终到达的目的地也一定是相同的；几个相同的事物，经过了相同的变化过程，最终的结果也一定是一样的．比如，几个一模一样的皮球，从一模一样的高度掉落下来，它们掉到了一模一样的地板上，那么我们就可以知道，这几个皮球弹起来的速度、高度及所用的时间一定都是相同的．再比如，几条相同的鱼，经过了相同的烹饪方法，最后色、香、味也会是一模一样的．我们原来所说的，变化的事物里隐藏着不变的东西，这是这个世界的静态原理；现在我们说，相同的事物，经过了相同的运动变化，必然会得到相同的结果，这是这个世界的动态变化原理．这个原理表现在数学上，就是等式的协变性．一切解方程的具体方法，全部都是从这个基本原理中演化出来的．比如：x＋3＝5．这个算式在小学的时候我们就学过，可是小学的时候是怎么求解的呢？我们当时的思路是，一个东西加一个数以后就变成5了，说明这个数字肯定比5小．那么就用减法，所以x就等于5－3了．结果算对了，可是这个过程是小学的算术思维．那么，当我们学习了等式运算的基本原理以后，要怎么做呢？我们首先要看现在这个算式是什么，希望得到的算式是什么，然后再考虑一下怎么从现在的算式变成我们希望的算式．比如刚才的问题：我们现在的算式是x＋3＝5，我们希望得到的算式是等号左边只有一个x，右边只有一个得数，那么怎么样从现在的算式得到最终的算式呢？那我们就要看看等号左右两边多什么，怎么样把它去掉．回头再看x＋3＝5，右边倒是挺简单的，左边除了x外，还多一个＋3，那怎么把左边多余的3去掉呢？此时，我们可以使用加减乘除任何的计算方法，也可以随便地使用世界上任何一个数字，但是只有一个要求，那就是：等号左边怎么做了，右边也得同步操作．怎么做可以把左边的加3去掉呢？很简单，再减去一个3就可以了．那左边－3了，右边是不是也得－3呢．对！我们把算式写下来吧：x＋3－3＝5－3左边的＋3－3相互抵消了，就变成了x＝5－3，这个时候，等号左边的算式已经干干净净了，右边还多一个减3，那就把它再算出来，5－3＝2，最后得到结果：x＝2．等式有三个基本性质，第一，等式具有反身性，也就是说等式的左右两边相互对换位置以后，等式仍然成立；第二，等式具有传递性，也就是说，两个式子都和第三个式子相等，那么这两个式子也相等；第三，等式具有协变性，也就是说，等式两边经过了相同的运算以后，等式仍然成立．。
从等式到方程一、等式的基本性质1、等式的两边同加（或同减）同一个数，结果仍然相等；即：若则,b a =.c b c a ±=±2、等式的两边同乘同一个数，结果仍然相等；即：若.,bc ac b a ==则3、等式的两边同除以一个数（不为零），结果仍然相等。
即：若cb c a c b a =≠=则且,0, 4、等式的对称性：即：若a b b a ==则,5、等式的传递性：（等量代换）即：若c a c b b a ===则,,典型例题1、（考查等式的性质及其变形）判断下列说法，并说明理由。
（1）若c b b a +=+，则c a =；（2）若bc ab =，则c a =； （3）若bc b a =，则c a =； （4）若b c b a -=-，则c a =； （5）若1=xy ，则yx 1=； （6）若y xy =，则1=x 。
（7）若31x =，则31=x 。
（8）若z y y x 3,2==，则32x z =。
说明：①在使用等式的性质3时，一定要注意除数不为0的条件，②还要注意题目中的隐含条件，比如1=xy 隐含着0≠y ；而y xy =中则没有。
例2 用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据哪条性质以及怎样变形的：（1）如果853=+，那么-=83 ；（2）如果632=-x ，那么+=62x ；（3）如果123--=x x ，那么+x 3 1-=；（4）如果521=x ，那么=x ； （5）如果21231-=-x x ，那么-x 31 +-=21 ； （6）如果2)32(4=-x ，那么32-x = ； （7）如果22-=-y x ，那么=x ；（8）如果32y x =，那么=x 3 ． 说明：本题是等式性质的应用，可以结合小学加减乘除的逆运算来加深理解。
二、方程：含有未知数的等式叫方程。
1、一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的指数是一次的整式方程。
等式的性质
1、在等式两边同时加上或减去同一个值，等式依然成立。
如果a=b，则a±c=b±c（c为任意实数）。
反之也成立，即：如果a±c=b±c（c为任意实数），则a=b。
【注】特别地，在等式两边同时加上或减去同一个代数式，等式也成立。
2、在等式两边同时乘以或除以（除数不为0）同一个值等式仍然成立。
如果a=b，则a×c=b×c，a÷d=b÷d（d≠0）。
反之，若a×c=b×c（c≠0），则a=b；若a÷d=b÷d（d≠0），则a=b。
【注】特别地，在等式两边同时乘以或除以（除数不为0）同一个代数式，等式也成立。
3、在等式有意义的前提下，在等式两边同时取任意次方，等式仍然成立。
4、在等式有意义的前提下，在等式两边同时开任意次方，等式仍然成立。
5、在等式有意义的前提下，等式两边同时取倒数、相反数，等式仍然成立。
6、（等式的对称性）a=b，则b=a。
7、（等式的传递性）若a=b，b=c，则有a=c。
8、（等式的可加、可减性）若a=b，c=d，则a+c=b+d，a-c=b-d。
9、（等式的可乘性）若a=b，c=d，则a×c=b×d。
10、（等式的可除性）若a=b，c=d，则a÷c=b÷d。
（c、d都不为0）
【注】等式的性质既是解方程、化简等式时而进行等式的等价变形的理论依据，也是日后学习“不等式的基本性质”的重要基础。
等式的性质及定义《等式的性质及定义》绝大多数的知识体系学科都可以概括成数学和物理，数学作为证明和表达问题的方式之一，可能使得物理实验及运用关系更有效率。
其表达通常采用等式记号。
等式是指左右两个数值或符号相三角，平衡性质，它可以在数学和物理中继续应用。
本文讨论等式的定义、性质和运用。
一、等式的定义等式是由两个数值或符号构成的对称关系，在数学中，等式是表达等值概念的记号。
等式的定义，可以分为三个层次：简单关系、同余关系和等价关系。
1、简单关系简单关系也称为简单等式，即把两个对象放在等号两边，两个对象可以是一组数字、一组符号、一组函数、一组抽象的概念等，表达了两边表达式的等价性。
如：a = b，表示a和b等价。
2、同余关系同余关系属于等价关系，也称为复合等式，它表示两个数之间的同余关系，它通过一组操作等号两边对象，使得等式由“a = b”变为“a″ = b″”。
如：a + 2 = b + 2，则a = b。
3、等价关系等价等式，也称等号等式，是将两个不同表达式放在等号两边，它表示两个表达式，具有某种形式上的等价性，即它们的值相等，在问题中可以通过一组操作，使得等号两边对象最终变为完全一样(由“a + 2 = b + 2”变为“a = b”，是一种等价关系)。
二、等式的性质等式是在数学和物理中继续应用的一种表达方式，具有一定的性质和特征，具体如下：1、可组合性当同一条等式的左右两边的数值的含义相同的时候，它可以进行组合，而不是左右两边的数值有关时不能进行组合。
如：a + 2 = b + 2，可以把两个等式组合为a + b = 2 + 2。
2、可分解性当等式的左右两边的数值有关联时，可以进行分解，如：a + b = 2 + 2，可以分解为a = 2和b = 2。
3、可改变性当等式左右两边，具有相同含义时，它可以进行改变，改变其左右两边的内容和形式，而其结果仍保持一致。
如：a + 2 = b + 2，可以把a + 2改变为b - 2，原本等式变为b - 2 + 2 = b + 2，仍为一条有效的等式。
等式的性质
1．了解等式的两条性质．
2．会用等式的性质解简单的一元一次方程．
阅读教材P 81～82，思考下列问题．
1．等式的性质有哪几条？用字母怎样表示？字母代表什么？
2．解方程的依据是什么？
知识探究
1．如果a ＝b ，那么a±c ＝b±c(字母a 、b 、c 可以表示具体的数，也可以表示一个式子)．
2．如果a ＝b ，那么ac ＝bc.
3．如果a ＝b(c ≠0)，那么a c ＝b c .
自学反馈
1．已知a ＝b ，请用“＝”或“≠”填空：
(1)3a ＝3b ；(2)a 4＝b 4；(3)－5a ＝－5b.
2．利用等式的性质解下列方程：
(1)x ＋7＝26；
(2)－5x ＝20；
(3)－2(x ＋1)＝10.
解：(1)x ＝19.(2)x ＝－4.(3)x ＝－6.
注意用等式的性质对方程进行逐步变形，最终可变形为“x ＝a ”的形式．
活动1 小组讨论
例 利用等式的性质解下列方程并检验：
(1)x －9＝6；
(2)－0.2x ＝10；
(3)3－13x ＝2；
(4)－2x ＋1＝0；
(5)4(x ＋1)＝－20.
解：(1)x ＝15.(2)x ＝－50.(3)x ＝3.(4)x ＝12.(5)x ＝－6.
运用等式的性质解方程不能漏掉某一边或某一项．
活动2 跟踪训练
利用等式的性质解下列方程并检验：
(1)x ＋5＝8；
(2)－x －1＝0；
(3)－2－14x ＝2；
(4)6x －2＝0.
解：(1)x ＝3.(2)x ＝－1.(3)＝－16.(4)x ＝13.
活动3 课堂小结
1．等式有哪些性质？
2．在用等式的性质解方程时要注意什么？
会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次方程解决电话计费等有关方案决策的问题．
阅读教材P104～105探究3的内容，思考题中所提出的问题．知识探究
方案决策问题解题的基本方法是求得每种方案的结果，再结合结果做出判断
自学反馈
某市乘公交车(非空调)每次需投币1.5元或者购买IC卡，每次刷卡扣款1.35元，但办理IC卡时需付工本费15元．问需乘坐公交车多少次时两种收费方式的收费一样？当超过这个次数后哪种收费方式较合算？
解：100次，购买IC卡合算．
活动1小组讨论
例(教材P104探究3)电话计费问题
下表中有两种移动电话计费方式．
考虑下列问题：
(1)设一个月用移动电话主叫为t min(t是正整数)．根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费；
(2)观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．
活动2跟踪训练
某厂招聘运输工，有两种方法来结算工资，一种是每月基本工资300元，每运1吨货给15元；另一种是没有基本工资，每运1吨货给20元．问每月运多少吨货时两种结算方法给的工资一样多？如果某工人每月可运货70吨，那么用哪种结算方法可多拿工资？
解：60吨，用第二种结算方法可多拿工资．
活动3课堂小结
电话计费等有关的方案决策问题．。
