高中数学第二章参数方程21直线的参数方程学案北师大版4

2．1 直线的参数方程对应学生用书P24][自主学习]1．有向线段的数量如果P ，M 是l 上的两点，P 到M 的方向与直线的正方向一致，那么PM 取正值，否则取负值．我们称这个数值为有向线段2．直线参数方程的两种形式(1)经过点P (x 0，y 0)、倾斜角是α的直线的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是从点P 到M的位移，可以用有(2)经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ(λ为参数，λ≠－1)．其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是：动点M 量比QM MP.①当λ>0时，M 为内分点；②当λ<0且λ≠－1时，M 为外分点； ③当λ＝0时，点M 与Q 重合．[合作探究]1．如何引入参数求过定点P (x 0，y 0)且与平面向量a ＝(a ，b )⎝⎛⎭⎪⎫或斜率为b a平行的直线的参数方程？提示：在直线l 上任取一点M (x ，y )，a，＝(x －x 0，y －y 0)，可得x －x 0a ＝y －y 0b ，设这个比值为t ，即：x －x 0a ＝y －y 0b＝t ，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t ∈R )．2．问题1中得到的参数方程中参数何时与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t ∈R )中参数t 具有相同的几何意义？提示：当a 2＋b 2＝1时．对应学生用书P24][例1] (1)写出直线l 的参数方程；(2)求直线l 与直线x －y ＋1＝0的交点．[思路点拨] 本题考查如何根据已知条件确定直线的参数方程及运算求解能力，解答此题需要将条件代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α得到直线的参数方程，然后与x －y ＋1＝0联立可求得交点．[精解详析] (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos 120°，y ＝4＋t sin 120°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－12t ，y ＝4＋32t (t 为参数)．(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t 代入x －y ＋1＝0，得3－12t －4－32t ＋1＝0，得t ＝0.把t ＝0代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t ，得两直线的交点为(3,4)．1．已知直线经过的定点与其倾斜角，求参数方程利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．2．已知直线过两点，求参数方程利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λλ为参数且λ≠－3．已知直线经过的定点与其方向向量a ＝(a ，b )(或斜率ba)，则其参数方程可为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋ta ，y ＝y 0＋tb(t 为参数)．1．已知两点A (1,3)，B (3,1)和直线l ：y ＝x ，求过点A ，B 的直线的参数方程，并求它与直线l 的交点M 分AB 的比．解：设直线AB 与l 的交点M (x ，y )，且AMMB＝λ，则直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3λ1＋λ，y ＝3＋λ1＋λ(λ为参数且λ≠－1)．①把①代入y ＝x 得1＋3λ1＋λ＝3＋λ1＋λ，得λ＝1，所以点M 分AB 的比为1∶1.[例2] 写出经过点M 0(－2,3)，倾斜角为4的直线l 的参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标．[思路点拨] 本题考查直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)的应用，特别是参数几何意义的应用．解答此题需先求出直线上与点M 0相距为2的点对应的参数t ，然后代入参数方程求此点的坐标．[精解详析] 直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 3π4，y ＝3＋t sin 3π4(t 为参数)．①设直线l 上与已知点M 0相距为2的点为M 点，M 点对应的参数为t ，则|M 0M |＝|t |＝2， ∴t ＝±2.将t 的值代入①式：当t ＝2时，M 点在M 0点上方，其坐标为(－2－2，3＋2)； 当t ＝－2时，M 点在M 0点下方，其坐标为(－2＋2，3－2)．1．过定点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，|t |P 与M 间的距离．2．过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a ，b 为常数，t为参数)．当a2＋b 2＝1时，|t |a 2＋b 2≠1时，|t |的长度的1a 2＋b 2.2．过点A (1，－5)的直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－5＋3t(t 为参数)，它与方程为x－y －23＝0的直线l 2相交于一点P ，求点A 与点P 之间的距离．解：将直线l 1的参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t(t 为参数)．⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1且32＞0，令t ′＝2t ，则将t ′代入上述方程得直线l 1的参数方程的标准式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ′，y ＝－5＋32t ′(t ′为参数)．代入x －y －23＝0得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋32t ′－23＝0，解得t ′＝43， ∴|AP |＝|t ′|＝4 3.[例3] 已知直线l 过点P (1,0)，倾斜角为3，直线l 与椭圆3＋y 2＝1相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M .(1)求P ，M 两点间的距离； (2)求线段AB 的长|AB |.[思路点拨] 本题考查直线的参数方程在解决直线与圆锥曲线相交中的中点、弦长等问题中的应用，解答此题需要求出直线的形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)的方程，然后利用参数的几何意义求解．[精解详析] (1)∵直线l 过点P (1,0)，倾斜角为π3，cos α＝12，sin α＝32.∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．①∵直线l 和椭圆相交，将直线的参数方程代入椭圆方程 并整理得5t 2＋2t －4＝0，Δ＝4＋4×5×4>0.设这个二次方程的两个实根为t 1，t 2.由根与系数的关系得：t 1＋t 2＝－25，t 1t 2＝－45，由M 为AB 的中点，根据t 的几何意义， 得|PM |＝|t 1＋t 22|＝15. (2)|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝8425＝2215.1．在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求解，比利用直线l 的普通方程来解决更为方便．2．在求直线l 与曲线C ：f (x ，y )＝0的交点间的距离时，把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α代入f (x ，y )＝0，可以得到一个关于t 的方程f (x 0＋t cos α，y 0＋t sin α)＝0.假设该方程的解为t 1，t 2，对应的直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，那么由参数t 的几何意义可得|AB |＝|t 1－t 2|.(1)弦AB 的长|AB |＝|t 1－t 2|. (2)线段AB 的中点M 对应的参数t ＝t 1＋t 22(解题时可以作为基本结论使用)．3．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.本课时常考查直线参数方程的确定与应用，同时考查运算、转化及求解能力，高考、模拟常与极坐标方程及圆锥曲线的参数方程交汇命题．[考题印证](湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．[命题立意] 本题主要考查对参数方程的理解、两直线的位置关系，以及平面直角坐标系下由两直线的位置关系确定参数值的方法．[自主尝试] 先把两直线的参数方程化成普通方程．直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：2x －ay －a ＝0.因为两直线平行，所以1×(－a )＝－2×2，故a ＝4，经检验，符合题意．[答案] 4对应学生用书P26]一、选择题1．已知直线l 过点A (1,5)，倾斜角为π3，P 是l t 为参数，则直线l 的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12t ，y ＝5－32tB.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－12t ，y ＝5＋32tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5－32t解析：选D t t .则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋－t π3，y ＝5＋－tπ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5－32t .故选D.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t sin 20°，y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角是( )A ．20°B ．70°C ．110°D ．160°解析：选C 法一：将原方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝t sin 20°，－y ＝t cos 20°，消去t ，得y ＝tan 110°(x －3)，所以直线的倾斜角为110°.法二：将原参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋－t ，y ＝－t ，令－t ＝t ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ′cos 110°，y ＝t ′sin 110°，所以直线的倾斜角为110°. 3．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)解析：选C 设直线上的点Q (－2－2t,3＋2t )与点P (－2,3)的距离等于2， 即d ＝－2－2t ＋2＋＋2t －2＝ 2.解得t ＝±22.当t ＝22时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2×22＝－3，y ＝3＋2×22＝4，∴Q (－3,4)．当t ＝－22时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1，y ＝3＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝2，∴Q (－1,2)．综上，符合题意的点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．4．直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于点M ，则|MM 0|等于( )A.3＋1 B ．6(3＋1) C ．6＋ 3D ．63＋1解析：选B 由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1)．根据参数t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)． 二、填空题5．过P (－4,0)，倾斜角为5π6的直线的参数方程为________． 解析：∵直线l 通过P (－4,0)，倾斜角α＝5π6，所以直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t cos 5π6，y ＝0＋t sin 5π6，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4－32t ，y ＝t 2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4－32t ，y ＝12t6．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 解析：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t的斜率为－32，∴－4k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－1，k ＝－6.答案：－67．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin θ，y ＝－2＋t cos θ(t 为参数)，其中角θ的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则直线l 的倾斜角是________．解析：将原参数方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t sin θ，y ＋2＝t cos θ，消去参数t ，得y ＋2＝(x －1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π和倾斜角的范围可知直线l 的倾斜角为3π2－θ. 答案：3π2－θ8．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝1有两个交点A ，B ，若点P 的坐标为(2，－1)，则|PA |·|PB |＝________.解析：把直线的参数方程代入圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－1＋12t 2＝1， 即t 2－6t ＋8＝0，解得t 1＝2，t 2＝4，∴A (1,0)，B (0,1)．∴|PA |＝12＋12＝2，|PB |＝22＋22＝2 2.∴|PA |·|PB |＝2×22＝4.答案：4三、解答题9．已知P 为半圆C ：x 2＋y 2＝1(0≤y ≤1)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3. (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求点M 的极坐标；(2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3， 故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3. (2)M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t (t 为参数)． 10．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6. (1)写出直线l 的参数方程； (2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于点A 和点B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 解：(1)因为直线l 过P (1,1)，且倾斜角α＝π6，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数分别为t 1，t 2.将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝4， 整理，得t 2＋(3＋1)t －2＝0.因为t 1，t 2是方程t 2＋(3＋1)t －2＝0的根，所以t 1t 2＝－2.故|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝2.所以点P 到A ，B 两点的距离之积为2. 11．已知圆锥曲线⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0，3)，F 1，F 2是圆锥曲线的左、右焦点． (1)求经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．解：(1)圆锥曲线⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ化为普通方程是x 24＋y 23＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，于是经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝33，直线l 的倾斜角是30°，所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t cos30°，y ＝0＋t sin30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t －1，y ＝12t (t 为参数)． (2)法一：直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，倾斜角是120°，设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点，则根据正弦定理得ρsin60°＝1－θ， 即ρsin(120°－θ)＝sin60°， 即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3. 法二：直线AF 2的直角坐标方程是y ＝－3(x －1)，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得直线AF 2的极坐标方程：ρsin θ＝－3ρcos θ＋3，即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.。

§1 参数方程的概念1．理解参数方程的概念，了解参数方程的几何意义和物理意义． 2．能够根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程．3．理解参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握它们的互化法则．1．参数方程的概念一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t ，①并且对于t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的________，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作______，简称____．相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的________．【做一做1－1】已知参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ∈[0,2π))．判断点A (1，3)和B (2,1)是否在方程的曲线上．【做一做1－2】P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则x －2＋y ＋2的最大值为__________．2．参数的取值范围在参数方程中，应明确参数t 的取值范围．对于参数方程x ＝f (t )，y ＝g (t )来说，如果t 的取值范围不同，它们表示的曲线可能是不相同的．如果不明确写出其取值范围，那么参数的取值范围就理解为x ＝f (t )和y ＝g (t )这两个函数的自然定义域的____．参数方程不一定局限在平面直角坐标系当中，其他的坐标系也可以采用参数方程．【做一做2】化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4t 2，y ＝t ＋1(t 为参数，t ≥0)为普通方程，并说明方程的曲线是什么图形．曲线的参数方程的特点剖析：曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x ，y 间的间接联系．在具体问题中，参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义．曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值．在具体问题中，如果要求相应曲线的参数方程，首先就要注意参数的选取．一般来说，选择参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x ，y )都能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x ，y 之间的相互关系比较明显，容易列出方程．参数的选取应根据具体条件来考虑．可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角，动直线的斜率、倾斜角、截距，动点的坐标等．有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程．但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数的个数一般应尽量少．答案：1．参数方程 参变数 参数 普通方程【做一做1－1】分析：把A ，B 两点的坐标分别代入方程验证即可． 解：把A ，B 两点的坐标分别代入方程， 得⎩⎨⎧1＝2cos θ，3＝2sin θ，① ⎩⎪⎨⎪⎧2＝2cos θ，1＝2sin θ，②在[0,2π)内，方程组①的解是θ＝π3，而方程组②无解，故点A 在方程的曲线上，而点B 不在方程的曲线上．【做一做1－2】6 由题意，设d 2＝(x －5)2＋(y ＋4)2＝(2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝8sin α－6cos α＋26＝10sin(α－φ)＋26，其中φ为锐角，tan φ＝34.∴d 2max ＝10＋26＝36，从而d max ＝6， 即x －2＋y ＋2的最大值为6. 2．交集【做一做2】分析：把参数t 消掉，注意范围．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4t 2，y ＝t ＋1消去t ，得x ＝－4(y －1)2(y ≥1)．即(y －1)2＝－14x (y ≥1)．所以方程的曲线是顶点为(0,1)，对称轴平行于x 轴，开口向左的抛物线的一部分．题型一 求曲线的参数方程【例1】如图，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，点A 是x 轴上的一个定点，坐标为(12,0)，当点P 在圆上运动时，求线段PA 的中点M 的轨迹．分析：写出圆的参数方程，利用中点坐标公式得到点M 的参数方程，从而求出其轨迹． 反思：解答本题时，应先写出圆的参数方程，然后利用中点坐标公式求解，对轨迹的判断也要特别注意．题型二 参数方程的应用【例2】已知点P (x ，y )是曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2＋3sin θ上的任意一点，求3x ＋y 的取值范围．反思：利用参数方程求最值，可以把问题直接转化成三角函数问题，从而使整个运算过程得到了简化．题型三 易错题型【例3】将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为 ( )．A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)错解：将参数方程中sin 2θ消去，得y ＝x －2，故选A.错因分析：忽略了参数方程中0≤sin 2θ≤1的限制．反思：参数方程与普通方程互化时，要注意参数的取值范围． 答案：【例1】解：设点M 的坐标为(x ，y )，圆x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ.∴可设点P 坐标为(4cos θ，4sin θ)．由中点坐标公式得，点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ，y ＝2sin θ.∴点M 的轨迹是以(6,0)为圆心，2为半径的圆．【例2】解：设P (3＋cos θ，2＋3sin θ)， 则3x ＋y ＝3(3＋cos θ)＋(2＋3sin θ)＝11＋3cos θ＋3sin θ＝11＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3， ∴3x ＋y 的最大值为11＋23，最小值为11－23，取值范围是[11－23，11＋23]． 【例3】C 正解：消参得y ＝x －2，又∵0≤sin 2θ≤1，∴2≤2＋sin 2θ≤3，即x ∈[2,3]．∴普通方程为y ＝x －2(2≤x ≤3)．故选C.1下列的点在曲线sin2,cos sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)上的是( )．A ．1,2⎛ ⎝B ．31,42⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(－2，3)D ．(12若点M(x ，y )在曲线13cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)上，则x 2＋y 2的最大值与它的最小值的差为( )．A ．．C ．3把方程sin cos ,sin21x y θθθ=+⎧⎨=-⎩化为普通方程为__________．4一架救援飞机以100 m/s 的速度做水平直线飞行，在离灾区指定目标的水平距离还有1 000 m 时投放救灾物资(不计空气阻力，g ＝9.8 m/s 2)，问此时飞机的飞行高度约是多少？(精确到1 m)答案：1．B 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ＝2sin θcos θ，y ＝cos θ＋sin θ化为普通方程是y 2＝1＋x ，把A ，B ，C ，D 各项中点的坐标代入，验证等式是否成立即可．2．B x 2＋y 2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2＝11＋62sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴x 2＋y 2的最大值为11＋62，最小值为11－6 2.∴最大值与最小值的差为11＋62－(11－62)＝12 2.3．y ＝x 2－2(－2≤x ≤2) 将x ＝sin θ＋cos θ两边平方，然后与y ＝sin 2θ－1相减，得y ＝x 2－2.又x ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4， ∴－2≤x ≤ 2.4．解：在时刻t 时飞机在水平方向的位移量x ＝100t .离地面高度y ＝0＋12gt 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ， ①y ＝0＋12gt 2. ②令1 000＝100t ，得t ＝10，代入②得y ＝12×9.8×100＝490.即此时飞机的飞行高度约是490 m.。

2．1 直线的参数方程对应学生用书P24][自主学习]1．有向线段的数量如果P ，M 是l 上的两点，P 到M 的方向与直线的正方向一致，那么PM 取正值，否则取负值．我们称这个数值为有向线段2．直线参数方程的两种形式(1)经过点P (x 0，y 0)、倾斜角是α的直线的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是从点P 到M的位移，可以用有(2)经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ(λ为参数，λ≠－1)．其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是：动点M 量比QM MP.①当λ>0时，M 为内分点；②当λ<0且λ≠－1时，M 为外分点； ③当λ＝0时，点M 与Q 重合．[合作探究]1．如何引入参数求过定点P (x 0，y 0)且与平面向量a ＝(a ，b )⎝⎛⎭⎪⎫或斜率为b a平行的直线的参数方程？提示：在直线l 上任取一点M (x ，y )，a，＝(x －x 0，y －y 0)，可得x －x 0a ＝y －y 0b ，设这个比值为t ，即：x －x 0a ＝y －y 0b＝t ，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t ∈R )．2．问题1中得到的参数方程中参数何时与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t ∈R )中参数t 具有相同的几何意义？提示：当a 2＋b 2＝1时．对应学生用书P24][例1] (1)写出直线l 的参数方程；(2)求直线l 与直线x －y ＋1＝0的交点．[思路点拨] 本题考查如何根据已知条件确定直线的参数方程及运算求解能力，解答此题需要将条件代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α得到直线的参数方程，然后与x －y ＋1＝0联立可求得交点．[精解详析] (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos 120°，y ＝4＋t sin 120°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－12t ，y ＝4＋32t (t 为参数)．(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t 代入x －y ＋1＝0，得3－12t －4－32t ＋1＝0，得t ＝0.把t ＝0代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t ，得两直线的交点为(3,4)．1．已知直线经过的定点与其倾斜角，求参数方程利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．2．已知直线过两点，求参数方程利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λλ为参数且λ≠－3．已知直线经过的定点与其方向向量a ＝(a ，b )(或斜率ba)，则其参数方程可为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋ta ，y ＝y 0＋tb(t 为参数)．1．已知两点A (1,3)，B (3,1)和直线l ：y ＝x ，求过点A ，B 的直线的参数方程，并求它与直线l 的交点M 分AB 的比．解：设直线AB 与l 的交点M (x ，y )，且AMMB＝λ，则直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3λ1＋λ，y ＝3＋λ1＋λ(λ为参数且λ≠－1)．①把①代入y ＝x 得1＋3λ1＋λ＝3＋λ1＋λ，得λ＝1，所以点M 分AB 的比为1∶1.[例2] 写出经过点M 0(－2,3)，倾斜角为4的直线l 的参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标．[思路点拨] 本题考查直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)的应用，特别是参数几何意义的应用．解答此题需先求出直线上与点M 0相距为2的点对应的参数t ，然后代入参数方程求此点的坐标．[精解详析] 直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 3π4，y ＝3＋t sin 3π4(t 为参数)．①设直线l 上与已知点M 0相距为2的点为M 点，M 点对应的参数为t ，则|M 0M |＝|t |＝2， ∴t ＝±2.将t 的值代入①式：当t ＝2时，M 点在M 0点上方，其坐标为(－2－2，3＋2)； 当t ＝－2时，M 点在M 0点下方，其坐标为(－2＋2，3－2)．1．过定点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，|t |P 与M 间的距离．2．过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a ，b 为常数，t为参数)．当a2＋b 2＝1时，|t |a 2＋b 2≠1时，|t |的长度的1a 2＋b 2.2．过点A (1，－5)的直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－5＋3t(t 为参数)，它与方程为x－y －23＝0的直线l 2相交于一点P ，求点A 与点P 之间的距离．解：将直线l 1的参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t(t 为参数)．⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1且32＞0，令t ′＝2t ，则将t ′代入上述方程得直线l 1的参数方程的标准式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ′，y ＝－5＋32t ′(t ′为参数)．代入x －y －23＝0得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋32t ′－23＝0，解得t ′＝43， ∴|AP |＝|t ′|＝4 3.[例3] 已知直线l 过点P (1,0)，倾斜角为3，直线l 与椭圆3＋y 2＝1相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M .(1)求P ，M 两点间的距离； (2)求线段AB 的长|AB |.[思路点拨] 本题考查直线的参数方程在解决直线与圆锥曲线相交中的中点、弦长等问题中的应用，解答此题需要求出直线的形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)的方程，然后利用参数的几何意义求解．[精解详析] (1)∵直线l 过点P (1,0)，倾斜角为π3，cos α＝12，sin α＝32.∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．①∵直线l 和椭圆相交，将直线的参数方程代入椭圆方程 并整理得5t 2＋2t －4＝0，Δ＝4＋4×5×4>0.设这个二次方程的两个实根为t 1，t 2.由根与系数的关系得：t 1＋t 2＝－25，t 1t 2＝－45，由M 为AB 的中点，根据t 的几何意义， 得|PM |＝|t 1＋t 22|＝15. (2)|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝8425＝2215.1．在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求解，比利用直线l 的普通方程来解决更为方便．2．在求直线l 与曲线C ：f (x ，y )＝0的交点间的距离时，把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α代入f (x ，y )＝0，可以得到一个关于t 的方程f (x 0＋t cos α，y 0＋t sin α)＝0.假设该方程的解为t 1，t 2，对应的直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，那么由参数t 的几何意义可得|AB |＝|t 1－t 2|.(1)弦AB 的长|AB |＝|t 1－t 2|. (2)线段AB 的中点M 对应的参数t ＝t 1＋t 22(解题时可以作为基本结论使用)．3．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.本课时常考查直线参数方程的确定与应用，同时考查运算、转化及求解能力，高考、模拟常与极坐标方程及圆锥曲线的参数方程交汇命题．[考题印证](湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．[命题立意] 本题主要考查对参数方程的理解、两直线的位置关系，以及平面直角坐标系下由两直线的位置关系确定参数值的方法．[自主尝试] 先把两直线的参数方程化成普通方程．直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：2x －ay －a ＝0.因为两直线平行，所以1×(－a )＝－2×2，故a ＝4，经检验，符合题意．[答案] 4对应学生用书P26]一、选择题1．已知直线l 过点A (1,5)，倾斜角为π3，P 是l t 为参数，则直线l 的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12t ，y ＝5－32tB.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－12t ，y ＝5＋32tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5－32t解析：选D t t .则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋－t π3，y ＝5＋－tπ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5－32t .故选D.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t sin 20°，y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角是( )A ．20°B ．70°C ．110°D ．160°解析：选C 法一：将原方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝t sin 20°，－y ＝t cos 20°，消去t ，得y ＝tan 110°(x －3)，所以直线的倾斜角为110°.法二：将原参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋－t ，y ＝－t ，令－t ＝t ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ′cos 110°，y ＝t ′sin 110°，所以直线的倾斜角为110°. 3．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)解析：选C 设直线上的点Q (－2－2t,3＋2t )与点P (－2,3)的距离等于2， 即d ＝－2－2t ＋2＋＋2t －2＝ 2.解得t ＝±22.当t ＝22时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2×22＝－3，y ＝3＋2×22＝4，∴Q (－3,4)．当t ＝－22时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1，y ＝3＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝2，∴Q (－1,2)．综上，符合题意的点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．4．直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于点M ，则|MM 0|等于( )A.3＋1 B ．6(3＋1) C ．6＋ 3D ．63＋1解析：选B 由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1)．根据参数t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)． 二、填空题5．过P (－4,0)，倾斜角为5π6的直线的参数方程为________． 解析：∵直线l 通过P (－4,0)，倾斜角α＝5π6，所以直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t cos 5π6，y ＝0＋t sin 5π6，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4－32t ，y ＝t 2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4－32t ，y ＝12t6．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 解析：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t的斜率为－32，∴－4k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－1，k ＝－6.答案：－67．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin θ，y ＝－2＋t cos θ(t 为参数)，其中角θ的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则直线l 的倾斜角是________．解析：将原参数方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t sin θ，y ＋2＝t cos θ，消去参数t ，得y ＋2＝(x －1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π和倾斜角的范围可知直线l 的倾斜角为3π2－θ. 答案：3π2－θ8．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝1有两个交点A ，B ，若点P 的坐标为(2，－1)，则|PA |·|PB |＝________.解析：把直线的参数方程代入圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－1＋12t 2＝1， 即t 2－6t ＋8＝0，解得t 1＝2，t 2＝4，∴A (1,0)，B (0,1)．∴|PA |＝12＋12＝2，|PB |＝22＋22＝2 2.∴|PA |·|PB |＝2×22＝4.答案：4三、解答题9．已知P 为半圆C ：x 2＋y 2＝1(0≤y ≤1)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3. (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求点M 的极坐标；(2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3， 故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3. (2)M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t (t 为参数)． 10．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6. (1)写出直线l 的参数方程； (2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于点A 和点B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 解：(1)因为直线l 过P (1,1)，且倾斜角α＝π6，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数分别为t 1，t 2.将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝4， 整理，得t 2＋(3＋1)t －2＝0.因为t 1，t 2是方程t 2＋(3＋1)t －2＝0的根，所以t 1t 2＝－2.故|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝2.所以点P 到A ，B 两点的距离之积为2. 11．已知圆锥曲线⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0，3)，F 1，F 2是圆锥曲线的左、右焦点． (1)求经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．解：(1)圆锥曲线⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ化为普通方程是x 24＋y 23＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，于是经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝33，直线l 的倾斜角是30°，所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t cos30°，y ＝0＋t sin30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t －1，y ＝12t (t 为参数)． (2)法一：直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，倾斜角是120°，设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点，则根据正弦定理得ρsin60°＝1－θ， 即ρsin(120°－θ)＝sin60°， 即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3. 法二：直线AF 2的直角坐标方程是y ＝－3(x －1)，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得直线AF 2的极坐标方程：ρsin θ＝－3ρcos θ＋3，即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.。

精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

§2 直线和圆锥曲线的参数方程2.1 直线的参数方程1．掌握直线参数方程的标准形式，理解参数t 的几何意义．2．能依据直线的几何性质，写出它的两种形式的参数方程，体会参数的几何意义． 3．能利用直线的参数方程解决简单的实际问题．1．经过点P (x 0，y 0)、倾斜角是α的直线的参数方程经过点P (x 0，y 0)、倾斜角是α的直线的参数方程为________________．其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是______________，可以用有向线段PM →的数量来表示．【做一做1－1】经过点M (－2,3)，倾斜角为3π4的直线l 的参数方程是__________．【做一做1－2】直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 30°，y ＝3－t sin 60°(t 为参数)的倾斜角α等于( )．A ．30°B ．60°C ．－45°D ．135°2．经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程 经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程为_________________．其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是动点M 分有向线段QP →的数量比QM MP.当______时，M 为内分点；当λ＜0且λ≠－1时，M 为外分点； 当λ＝0时，____________.直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λ(λ为参数，λ≠－1)可以表示点Q (x 1，y 1)(λ＝0时)，但不能表示点P (x 2，y 2)．如果遇到与点P (x 2，y 2)有关的问题时，可对点P 进行单独检验．【做一做2】经过点Q (1,2)，P (3,7)的直线的参数方程为( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋3λ1＋λ，y ＝1＋7λ1＋λ(λ为参数，λ≠－1)B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋3λ1＋λ，y ＝2＋7λ1＋λ(λ为参数，λ≠－1)C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋3λ1＋λ，y ＝－2＋7λ1＋λ(λ为参数，λ≠－1)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－3λ1＋λ，y ＝2－7λ1＋λ(λ为参数，λ≠－1)由直线的参数方程求直线的倾斜角剖析：如果直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θ，y ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)的形式，由方程直接可得出倾斜角，即方程中的角θ，例如，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 15°，y ＝1＋t sin 15°，则直线的倾斜角为15°.如果不是上述形式，例如直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin 15°，y ＝1＋t cos 15°(t 为参数)的倾斜角就不能直接判断了．第一种方法：把参数方程改写为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t sin 15°，y －1＝t cos 15°，消去t ，有y －1＝1tan 15°(x －1)，即y －1＝tan 75°(x －1)，故倾斜角为75°.第二种方法：把原方程化为标准形式，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos75°，y ＝1＋t sin 75°，可以看出直线的倾斜角为75°.答案：1．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 从点P 到M 的位移【做一做1－1】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－22t ，y ＝3＋22t (t 为参数) 根据互化关系，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 3π4，y ＝3＋t sin 3π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)．【做一做1－2】D 由参数方程知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋32t ，y ＝3－32t ，两式相加，得直线的普通方程x ＋y ＝1，倾斜角为α，则tan α＝－1，∴α＝135°.2．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λ(λ为参数，λ≠－1) λ＞0 点M 与Q 重合【做一做2】B 设直线PQ 上动点M (x ，y )，参数λ＝QMMP，则直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3λ1＋λ，y ＝2＋7λ1＋λ(λ为参数，λ≠－1)．题型一 参数方程与普通方程互化【例1】把下面直线的参数方程化为普通方程式，普通方程化为参数方程． (1)化l 1：x ＋3y －1＝0为参数方程；(2)化l 2：⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)为普通方程．分析：利用直线方程转化公式求解．反思：在(1)(2)中t 的几何意义是不同的．在(1)中，t 的几何意义是有向线段M 0M →(其中M 0为(1,0)，M (x ，y )为直线l 1上任意一点)的长．(2)中t 的几何意义是M 0M →(其中M 0为(－3,1)，M (x ，y )为直线l 2上任意一点)长的一半．题型二 直线的参数方程与倾斜角【例2】直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t sin 20°，y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角是( )．A ．20°B ．70°C ．110°D ．160°反思：只有在⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θ，y ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)中，θ才表示直线的倾斜角．如果不是这种形式，则需要进行转化．题型三 直线参数方程的应用【例3】已知直线l ：x ＋y －1＝0与抛物线y ＝x 2交于A ，B 两点，求线段AB 的长和点M (－1,2)到A ，B 两点的距离之积．反思：本题涉及普通方程和参数方程的互化，在解题过程中，注意参数t 的几何意义的应用．答案：【例1】解：(1)令y ＝0，得x ＝1.∴直线l 1过定点(1,0)，k ＝－13＝－33.设倾斜角为α，则tan α＝－33，α＝5π6，cos α＝－32，sin α＝12.∴l 1参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－32t ，y ＝12t(t 为参数)．(2)原方程可化为⎩⎨⎧ x ＋3＝t ，y －1＝3t ，①②把①代入②得y －1＝3(x ＋3)，即l 2普通方程为3x －y ＋33＋1＝0. 【例2】C 方法一：将原方程改写成 ⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝t sin 20°，－y ＝t cos 20°，消去t ，得y ＝ta n 110°(x －3)， 所以直线的倾斜角为110°.方法二：将原参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋－t cos 110°，y ＝－t sin 110°，令－t ＝t ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ′cos 110°，y ＝t ′sin 110°，所以直线的倾斜角为110°.【例3】解：∵l 过定点M ，且l 的倾斜角为3π4，所以它的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos3π4，y ＝2＋t sin 3π4(t 为参数)．即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)．①把①代入抛物线方程，得t 2＋2t －2＝0.解得t 1＝－2＋102，t 2＝－2－102.由参数t 的几何意义，得|AB |＝|t 1－t 2|＝10，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2.1已知直线l 的参数方程是1sin ,2cos x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，其中角θ的范围是π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则直线l 的倾斜角是( )．A ．3π2θ- B ．θ C ．π2θ- D ．π－θ 2直线2x －y ＋1＝0的参数方程为( )．A ．51,52535x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)B ．15,35x t y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)C ．2,32x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)D ．51,353x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)3一条直线的参数方程是124x ty t =-+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，则点(3,6)到这条直线的距离是__________．4已知两点A (2,1)，B (－1,2)和直线l ：x ＋2y －5＝0.求过点A ，B 的直线的参数方程，并求它与直线l 的交点的坐标．答案：1．A 将原参数方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t sin θ，y ＋2＝t cos θ，消去参数t ，得y ＋2＝(x －1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π和倾斜角的范围可知直线l 的倾斜角为3π2－θ. 2．A 根据直线的普通方程可知斜率是2，设直线的倾斜角为α，则tan α＝2，sin α＝255，cos α＝55，所以直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋55t ，y ＝3＋255t (t 为参数)．3．201717 根据参数方程可得4x ＋y ＋2＝0，则d ＝|4×3＋6＋2|42＋12＝2017＝201717. 4．解：设直线AB 上动点P (x ，y )，选取参数λ＝APPB，则直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－λ1＋λ，y ＝1＋2λ1＋λ(λ为参数)．①把①代入x ＋2y －5＝0得λ＝－12.1 2代入①得⎩⎪⎨⎪⎧x＝5，y＝0，即交点坐标为(5,0)．把λ＝－。

选修4-4 第二章 参数方程【课标要求】1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。

2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。

3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。

第一课时 参数方程的概念一、教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

三、教学方法：启发诱导，探究归纳四、教学过程（一）．参数方程的概念1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为0ν，与地面成α角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？2．分析探究理解：（1）、斜抛运动： 为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα （2）、抽象概括：参数方程的概念。

（见课本第27页）说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

（3）平抛运动：【课本P27页例题】为参数）t gt y t x (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-==（4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。

（二）、应用举例：例1、（课本第28页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数)（1）判断点1M (0,1), 2M (5,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点3M (6,a )在曲线C 上，求a 的值。

分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。

学生练习。

反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。

高中数学第二章 参数方程【课标要求】1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。

2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。

3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。

第一课时 参数方程的概念 一、教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

三、教学方法：启发诱导，探究归纳 四、教学过程（一）．参数方程的概念1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为0ν，与地面成α角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？2．分析探究理解： （1）、斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα（2）、抽象概括：参数方程的概念。

（见课本第27页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

（3）平抛运动：【课本P27页例题】为参数）t gt y t x (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-==（4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。

（二）、应用举例：例1、（课本第28页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数)（1）判断点1M(0,1),2M (5,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点3M (6,a)在曲线C 上，求a 的值。

分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。

学生练习。

反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。

2．1直线的参数方程[对应学生用书P24][自主学习］1．有向线段的数量如果P，M是l上的两点，P到M的方向与直线的正方向一致，那么PM取正值，否则取负值．我们称这个数值为有向线段PM的数量．2．直线参数方程的两种形式（1)经过点P(x0，y0)、倾斜角是α的直线的参数方程为：错误!(t为参数）．其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数t的几何意义是从点P到M的位移,可以用有向线段PM的数量来表示．(2）经过两个定点Q(x1，y1），P(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的参数方程为错误!(λ为参数，λ≠－1）．其中M(x,y）为直线上的任意一点,参数λ的几何意义是：动点M分有向线段QP的数量比错误!.①当λ>0时，M为内分点；②当λ<0且λ≠－1时，M为外分点；③当λ＝0时，点M与Q重合．错误!1．如何引入参数求过定点P(x0,y0）且与平面向量a＝（a,b)错误!平行的直线的参数方程？提示：在直线l上任取一点M（x，y)，因为PM∥a，由两向量共线的充要条件以及PM ＝（x－x0，y－y0)，可得错误!＝错误!,设这个比值为t，即：错误!＝错误!＝t,则有：错误! (t∈R）．2．问题1中得到的参数方程中参数何时与错误!（t∈R)中参数t具有相同的几何意义?提示:当a2＋b2＝1时．［对应学生用书P24]直线参数方程的确定[例1］lθ（1)写出直线l的参数方程；(2）求直线l与直线x－y＋1＝0的交点．[思路点拨］本题考查如何根据已知条件确定直线的参数方程及运算求解能力，解答此题需要将条件代入错误!得到直线的参数方程，然后与x－y＋1＝0联立可求得交点．[精解详析］(1）直线l的参数方程为错误!(t为参数),即错误!（t为参数)．(2)把错误!代入x－y＋1＝0，得3－错误!t－4－错误!t＋1＝0，得t＝0。

把t＝0代入错误!得两直线的交点为(3,4)．1．已知直线经过的定点与其倾斜角，求参数方程利用错误!（t为参数）．2．已知直线过两点，求参数方程利用错误!3．已知直线经过的定点与其方向向量a＝（a，b)(或斜率错误!)，则其参数方程可为:错误!(t为参数）．1．已知两点A（1,3），B(3,1）和直线l：y＝x，求过点A，B的直线的参数方程,并求它与直线l的交点M分AB的比．解：设直线AB与l的交点M(x,y)，且错误!＝λ，则直线AB的参数方程为错误!(λ为参数且λ≠－1）．①把①代入y＝x得错误!＝错误!，得λ＝1，所以点M分AB的比为1∶1。

2．1 直线的参数方程对应学生用书P24][自主学习]1．有向线段的数量如果P ，M 是l 上的两点，P 到M 的方向与直线的正方向一致，那么PM 取正值，否则取负值．我们称这个数值为有向线段2．直线参数方程的两种形式(1)经过点P (x 0，y 0)、倾斜角是α的直线的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是从点P 到M的位移，可以用有(2)经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ(λ为参数，λ≠－1)．其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是：动点M 量比QM MP.①当λ>0时，M 为内分点；②当λ<0且λ≠－1时，M 为外分点； ③当λ＝0时，点M 与Q 重合．[合作探究]1．如何引入参数求过定点P (x 0，y 0)且与平面向量a ＝(a ，b )⎝⎛⎭⎪⎫或斜率为b a平行的直线的参数方程？提示：在直线l 上任取一点M (x ，y )，a，＝(x －x 0，y －y 0)，可得x －x 0a ＝y －y 0b ，设这个比值为t ，即：x －x 0a ＝y －y 0b＝t ，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t ∈R )．2．问题1中得到的参数方程中参数何时与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t ∈R )中参数t 具有相同的几何意义？提示：当a 2＋b 2＝1时．对应学生用书P24][例1] (1)写出直线l 的参数方程；(2)求直线l 与直线x －y ＋1＝0的交点．[思路点拨] 本题考查如何根据已知条件确定直线的参数方程及运算求解能力，解答此题需要将条件代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α得到直线的参数方程，然后与x －y ＋1＝0联立可求得交点．[精解详析] (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos 120°，y ＝4＋t sin 120°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－12t ，y ＝4＋32t (t 为参数)．(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t 代入x －y ＋1＝0，得3－12t －4－32t ＋1＝0，得t ＝0.把t ＝0代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t ，得两直线的交点为(3,4)．1．已知直线经过的定点与其倾斜角，求参数方程利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．2．已知直线过两点，求参数方程利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λλ为参数且λ≠－3．已知直线经过的定点与其方向向量a ＝(a ，b )(或斜率ba)，则其参数方程可为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋ta ，y ＝y 0＋tb(t 为参数)．1．已知两点A (1,3)，B (3,1)和直线l ：y ＝x ，求过点A ，B 的直线的参数方程，并求它与直线l 的交点M 分AB 的比．解：设直线AB 与l 的交点M (x ，y )，且AMMB＝λ，则直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3λ1＋λ，y ＝3＋λ1＋λ(λ为参数且λ≠－1)．①把①代入y ＝x 得1＋3λ1＋λ＝3＋λ1＋λ，得λ＝1，所以点M 分AB 的比为1∶1.[例2] 写出经过点M 0(－2,3)，倾斜角为4的直线l 的参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标．[思路点拨] 本题考查直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)的应用，特别是参数几何意义的应用．解答此题需先求出直线上与点M 0相距为2的点对应的参数t ，然后代入参数方程求此点的坐标．[精解详析] 直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 3π4，y ＝3＋t sin 3π4(t 为参数)．①设直线l 上与已知点M 0相距为2的点为M 点，M 点对应的参数为t ，则|M 0M |＝|t |＝2， ∴t ＝±2.将t 的值代入①式：当t ＝2时，M 点在M 0点上方，其坐标为(－2－2，3＋2)； 当t ＝－2时，M 点在M 0点下方，其坐标为(－2＋2，3－2)．1．过定点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，|t |P 与M 间的距离．2．过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a ，b 为常数，t为参数)．当a2＋b 2＝1时，|t |a 2＋b 2≠1时，|t |的长度的1a 2＋b 2.2．过点A (1，－5)的直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－5＋3t(t 为参数)，它与方程为x－y －23＝0的直线l 2相交于一点P ，求点A 与点P 之间的距离．解：将直线l 1的参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t(t 为参数)．⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1且32＞0，令t ′＝2t ，则将t ′代入上述方程得直线l 1的参数方程的标准式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ′，y ＝－5＋32t ′(t ′为参数)．代入x －y －23＝0得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋32t ′－23＝0，解得t ′＝43， ∴|AP |＝|t ′|＝4 3.[例3] 已知直线l 过点P (1,0)，倾斜角为3，直线l 与椭圆3＋y 2＝1相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M .(1)求P ，M 两点间的距离； (2)求线段AB 的长|AB |.[思路点拨] 本题考查直线的参数方程在解决直线与圆锥曲线相交中的中点、弦长等问题中的应用，解答此题需要求出直线的形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)的方程，然后利用参数的几何意义求解．[精解详析] (1)∵直线l 过点P (1,0)，倾斜角为π3，cos α＝12，sin α＝32.∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．①∵直线l 和椭圆相交，将直线的参数方程代入椭圆方程 并整理得5t 2＋2t －4＝0，Δ＝4＋4×5×4>0.设这个二次方程的两个实根为t 1，t 2.由根与系数的关系得：t 1＋t 2＝－25，t 1t 2＝－45，由M 为AB 的中点，根据t 的几何意义， 得|PM |＝|t 1＋t 22|＝15. (2)|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝8425＝2215.1．在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求解，比利用直线l 的普通方程来解决更为方便．2．在求直线l 与曲线C ：f (x ，y )＝0的交点间的距离时，把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α代入f (x ，y )＝0，可以得到一个关于t 的方程f (x 0＋t cos α，y 0＋t sin α)＝0.假设该方程的解为t 1，t 2，对应的直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，那么由参数t 的几何意义可得|AB |＝|t 1－t 2|.(1)弦AB 的长|AB |＝|t 1－t 2|. (2)线段AB 的中点M 对应的参数t ＝t 1＋t 22(解题时可以作为基本结论使用)．3．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.本课时常考查直线参数方程的确定与应用，同时考查运算、转化及求解能力，高考、模拟常与极坐标方程及圆锥曲线的参数方程交汇命题．[考题印证](湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．[命题立意] 本题主要考查对参数方程的理解、两直线的位置关系，以及平面直角坐标系下由两直线的位置关系确定参数值的方法．[自主尝试] 先把两直线的参数方程化成普通方程．直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：2x －ay －a ＝0.因为两直线平行，所以1×(－a )＝－2×2，故a ＝4，经检验，符合题意．[答案] 4对应学生用书P26]一、选择题1．已知直线l 过点A (1,5)，倾斜角为π3，P 是l t 为参数，则直线l 的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12t ，y ＝5－32tB.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－12t ，y ＝5＋32tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5－32t解析：选D t t .则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋－t π3，y ＝5＋－tπ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5－32t .故选D.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t sin 20°，y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角是( )A ．20°B ．70°C ．110°D ．160°解析：选C 法一：将原方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝t sin 20°，－y ＝t cos 20°，消去t ，得y ＝tan 110°(x －3)，所以直线的倾斜角为110°.法二：将原参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋－t ，y ＝－t ，令－t ＝t ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ′cos 110°，y ＝t ′sin 110°，所以直线的倾斜角为110°. 3．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)解析：选C 设直线上的点Q (－2－2t,3＋2t )与点P (－2,3)的距离等于2， 即d ＝－2－2t ＋2＋＋2t －2＝ 2.解得t ＝±22.当t ＝22时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2×22＝－3，y ＝3＋2×22＝4，∴Q (－3,4)．当t ＝－22时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1，y ＝3＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝2，∴Q (－1,2)．综上，符合题意的点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．4．直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于点M ，则|MM 0|等于( )A.3＋1 B ．6(3＋1) C ．6＋ 3D ．63＋1解析：选B 由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1)．根据参数t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)． 二、填空题5．过P (－4,0)，倾斜角为5π6的直线的参数方程为________． 解析：∵直线l 通过P (－4,0)，倾斜角α＝5π6，所以直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t cos 5π6，y ＝0＋t sin 5π6，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4－32t ，y ＝t 2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4－32t ，y ＝12t6．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 解析：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t的斜率为－32，∴－4k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－1，k ＝－6.答案：－67．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin θ，y ＝－2＋t cos θ(t 为参数)，其中角θ的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则直线l 的倾斜角是________．解析：将原参数方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t sin θ，y ＋2＝t cos θ，消去参数t ，得y ＋2＝(x －1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π和倾斜角的范围可知直线l 的倾斜角为3π2－θ. 答案：3π2－θ8．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝1有两个交点A ，B ，若点P 的坐标为(2，－1)，则|PA |·|PB |＝________.解析：把直线的参数方程代入圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－1＋12t 2＝1， 即t 2－6t ＋8＝0，解得t 1＝2，t 2＝4，∴A (1,0)，B (0,1)．∴|PA |＝12＋12＝2，|PB |＝22＋22＝2 2.∴|PA |·|PB |＝2×22＝4.答案：4三、解答题9．已知P 为半圆C ：x 2＋y 2＝1(0≤y ≤1)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3. (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求点M 的极坐标；(2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3， 故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3. (2)M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t (t 为参数)． 10．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6. (1)写出直线l 的参数方程； (2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于点A 和点B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 解：(1)因为直线l 过P (1,1)，且倾斜角α＝π6，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数分别为t 1，t 2.将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝4， 整理，得t 2＋(3＋1)t －2＝0.因为t 1，t 2是方程t 2＋(3＋1)t －2＝0的根，所以t 1t 2＝－2.故|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝2.所以点P 到A ，B 两点的距离之积为2. 11．已知圆锥曲线⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0，3)，F 1，F 2是圆锥曲线的左、右焦点． (1)求经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．解：(1)圆锥曲线⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ化为普通方程是x 24＋y 23＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，于是经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝33，直线l 的倾斜角是30°，所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t cos30°，y ＝0＋t sin30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t －1，y ＝12t (t 为参数)． (2)法一：直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，倾斜角是120°，设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点，则根据正弦定理得ρsin60°＝1－θ， 即ρsin(120°－θ)＝sin60°， 即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3. 法二：直线AF 2的直角坐标方程是y ＝－3(x －1)，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得直线AF 2的极坐标方程：ρsin θ＝－3ρcos θ＋3，即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.。