八年级|上学期定理知识点汇总第|一章 勾股定理※直角三角形两直角边的平和等于斜边的平方 .即：222c b a =+(由直角三角形得到边的关系 )如果三角形的三边长a ,b ,c 满足222c b a =+ ,那么这个三角形是直角三角形 .满足条件222c b a =+的三个正整数 ,称为勾股数 .常见的勾股数组有： (3 ,4 ,5 )； (6 ,8 ,10 )；(5 ,12 ,13 )； (8 ,15 ,17 )； (7 ,24 ,25 )； (20 ,21 ,29 )； (9 ,40 ,41 )；…… (这些勾股数组的倍数仍是勾股数 )第二章 实数※算术平方根：一般地 ,如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2 =a ,那么正数x 叫做a 的算术平方根 ,记作a .0的算术平方根为0；从定义可知 ,只有当a≥0时,a 才有算术平方根 .※平方根：一般地 ,如果一个数x 的平方根等于a ,即x 2 =a ,那么数x 就叫做a 的平方根 .※正数有两个平方根 (一正一负 )；0只有一个平方根 ,就是它本身；负数没有平方根 .※正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数 .())0,0(0,0>≥=≥≥=⨯b a b a b a b a ab b a第三章 图形的平移与旋转平移：在平面内 ,将一个图形沿某个方向移动一定距离 ,这样的图形运动称为平移 .平移的根本性质：经过平移 ,对应线段、对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等 .旋转：在平面内 ,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度 ,这样的图形运动称为旋转 .这个定点叫旋转中|心,转动的角度叫旋转角.旋转的性质：旋转后的图形与原图形的大小和形状相同；旋转前后两个图形的对应点到旋转中|心的距离相等；对应点到旋转中|心的连线所成的角度彼此相等.(例：如下图,点D、E、F分别为点A、B、C的对应点,经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中|心沿相同方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中|心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中|心的距离相等. )第四章四平边形性质探索※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线.※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分.※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.※平行线之间的距离：假设两条直线互相平行,那么其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等.这个距离称为平行线之间的距离.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角.菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴.※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.四条边都相等的四边形是菱形.※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形.矩形是特殊的平行四边形.※矩形的性质：具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角. (矩形是轴对称图形,有两条对称轴)※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义) .对角线相等的平行四边形是矩形.四个角都相等的四边形是矩形.※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形.※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质. (正方形是轴对称图形,有两条对称轴)※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形.正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形.※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形.※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形.※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等.同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形.※多边形内角和：n边形的内角和等于(n－2 )·180°※多边形的外角和都等于360°※在平面内,一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转前后的图形互相重合,那么这个图开叫做中|心对称图形.※中|心对称图形上的每一对对应点所连成的线段被对称中|心平分.第五章位置确实定※平面直角坐标系概念：在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系,水平的数轴叫x轴或横轴；铅垂的数轴叫y轴或纵轴,两数轴的交点O称为原点.※点的坐标：在平面内一点P ,过P向x轴、y轴分别作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫P点的横坐标和纵坐标,那么有序实数对(a、b )叫做P点的坐标.※在直角坐标系中如何根据点的坐标 ,找出这个点 (如图4所示 ) ,方法是由P (a 、b ) ,在x 轴上找到坐标为a 的点A ,过A 作x 轴的垂线 ,再在y 轴上找到坐标为b 的点B ,过B 作y 轴的垂线 ,两垂线的交点即为所找的P 点 .※如何根据条件建立适当的直角坐标系 ?根据条件建立坐标系的要求是尽量使计算方便 ,一般地没有明确的方法 ,但有以下几条常用的方法：①以某点为原点 ,使它坐标为 (0,0 )；②以图形中某线段所在直线为x 轴 (或y 轴 )；③以线段中点为原点；④以两直线交点为原点；⑤利用图形的轴对称性以对称轴为y 轴等 .※图形 "纵横向伸缩〞的变化规律:A 、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变 ,而横坐标分别变成原来的n 倍时 ,所得的图形比原来的图形在横向：①当n>1时 ,伸长为原来的n 倍；②当0<n<1时 ,压缩为原来的n 倍 .B 、将图形上各个点的坐标的横坐标不变 ,而纵坐标分别变成原来的n 倍时 ,所得的图形比原来的图形在纵向：①当n>1时 , 伸长为原来的n 倍；②当0<n<1时 ,压缩为原来的n 倍 .※图形 "纵横向位置〞的变化规律:A 、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变 ,而横坐标分别加上a ,所得的图形形状、大小不变 ,而位置向右 (a>0 )或向左(a<0)平移了|a|个单位 .B 、将图形上各个点的坐标的横坐标不变 ,而纵坐标分别加上b ,所得的图形形状、大小不变 ,而位置向上 (b>0 )或向下(b<0)平移了|b|个单位 .※图形 "倒转与对称〞的变化规律:A 、将图形上各个点的横坐标不变 ,纵坐标分别乘以 -1 ,所得的图形与原来的图形关于x 轴对称 .B 、将图形上各个点的纵坐标不变 ,横坐标分别乘以 -1 ,所得的图形与原来的图形关于y 轴对称 . ※图形 "扩大与缩小〞的变化规律:将图形上各个点的纵、横坐标分别变原来的n 倍 (n>0 ) ,所得的图形与原图形相比 ,形状不变；①当n>1时 ,对应线段大小扩大到原来的n 倍；②当0<n<1时 ,对应线段大小缩小到原来的n 倍 .第六章 一次函数假设两个变量x,y 间的关系式可以表示成y =kx +b(k≠0)的形式,那么称y 是x 的一次函数(x 为自变量,y 为因变量) .特别地,当b =0时,称y 是x 的正比例函数 .()()()321000.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=><b b b ※正比例函数y =kx 的图象是经过原点(0,0)的一条直线 .()()()321000.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=>>b b b※在一次函数y =kx +b 中: 当k>0时,y 随x 的增大而增大; 当k<0时,y 随x 的增大而减小 .第七章 二元一次方程组※含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程 . 两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组 .※解二元一次方程组：①代入消元法； ②加减消元法 (无论是代入消元法还是加减消元法 ,其目的都是将 "二元一次方程〞变为 "一元一次方程〞 ,所谓之 "消元〞 )※在利用方程来解应用题时 ,主要分为两个步骤：①设未知数 (在设未知数时 ,大多数情况只要设问题为x 或y ；但也有时也须根据条件及等量关系等诸多方面考虑 )；②寻找等量关系 (一般地 ,题目中会含有一表述等量关系的句子 ,只须找到此句话即可根据其列出方程 ) .※处理问题的过程可以进一步概括为： 解答检验求解组方程抽象分析问题→→)(第八章 数据的代表※加权平均数：一组数据n x x x ,,21的权分加为n w w w ,,21 ,那么称n n n w w w w x w x w x ++++++ 212211为这n 个数的加权平均数 . (如：对某同学的数学、语文、科学三科的考查 ,成绩分别为72 ,50 ,88 ,而三项成绩的 "权〞分别为4、3、1 ,那么加权平均数为：134188350472++⨯+⨯+⨯ )※一般地 ,n 个数据按大小顺序排列 ,处于最|中间位置的一个数据 (或最|中间两个数据的平均数 )叫做这组数据的中位数 .※一组数据中出现次数最|多的那个数据叫做这组数据的众数 .※众数着眼于对各数据出现次数的考察 ,中位数首|先要将数据按大小顺序排列 ,而且要注意当数据个数为奇数时 ,中间的那个数据就是中位数；当数据个数为偶数时 ,居于中间的两个数据的平均数才是中位数 ,特别要注意一组数据的平均数和中位数是唯一的 ,但众数那么不一定是唯一的 .八年级|上学期各章知识要点回忆第|一章：勾股定理1、勾股定理：直角三角形中 ,两直角边的平方和等于斜边的平方 .222c b a =+ (直角三角形的一个性质 )2、勾股定理的逆定理：在一个三角形中 ,它的三边分别是a 、b 、c ,假设三边满足222c b a =+ ,那么这个三角形是直角三角形 .(直角三角形的一个判别方法)第二章：实数1、无理数：无限不循环小数2、平方根：(1 )性质：a 、正数有2个平方根 ,一正一负 ,其中我们把正的平方根叫做算术平方根 .2个平方根互为相反数 .b 、0的平方根是它本身 .c 、负数没有平方根 (2 )⎪⎩⎪⎨⎧-=<===>=a a a a a a ,00,0,02()a a =2(3 )a ±：a 的平方根 . a ：a 的算术平方根 . a -：a 的负的平方根 .(4 )平方根等于其本身的数是：0算术平方根等于其本身的数是：0、13、立方根：(1 )性质：a 、正数的立方根是正数 .b 、0的立方根是0c 、负数的立方根是负数 . (2 )a a =33 ()a a =33 33a a -=-(3 )立方根等于其本身的数是：0、 +1、－14、实数：(1 )分类方法：1、有理数、无理数2、正实数、0、负实数(2 )实数和数轴上的点是一一对应的关系 .每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示 ,数轴上的每一个点都代表一个实数 .(3 )实数中相反数、绝|对值、倒数的意义和有理数相同(4 )加法及乘法的各种运算律在实数范围同样可以使用 .(5 )实数的加减运算 同类根式：化简后被开方数相同 ,根指数相同(6 )实数的乘除运算：)0,0(≥≥=•b a ab b a)0,0(>≥=b a b a ba (7 )实数的化简：a 、将一个数分成2个因数的乘积 ,一个可以被完全开方 ,另一个那么不能被开方 .当数比拟大时 ,我们可以利用分解因数的方法 ,逐步分解 .b 、分母有理化第三章：平移与旋转1、平移(1 )平移的概念：在平面内 ,将一个图形沿着某个方向移动一定的距离 ,这样的图形运动叫做平移 . (2 )平移的性质：a 、平移不改变图形的形状和大小 ,改变的是图形的位置 .b 、对应点之间所连的线段平行且相等 .c 、对应线段平行且相等 ,对应角相等 .(3 )平移的作图a 、平移2个要素：方向 ,距离b 、关键是找对应点 ,方法可以利用对应点之间所连的线段平行且相等；也可利用对应线段平行且相等 .2、旋转 (1 )旋转的概念：在平面内 ,,这样的图形运动叫做旋转 .(2 )旋转的性质：a、旋转也不改变图形的形状和大小 ,改变的是图形的位置 .b、对应线段相等、对应角相等 .c、对应点与旋转中|心的连线所成的角叫旋转角 .旋转角相等 .(3 )旋转的作图a、旋转的3个要素：旋转中|心、旋转方向、旋转角度 .b、关键也是找对应点 ,紧扣旋转角相等和对应线段相等这一性质 .3、常见的图形变换方式：平移 ,旋转 ,对称 (或折叠 )第四章：四边形1、平行四边形(1 )性质：边：对边平行且相等 . AB =CD AB∥CDBC =AD BC∥AD角：对角相等 ,邻角互补 .∠A =∠C ∠A +∠B =180°∠B =∠D ∠C +∠D =180°对角线：对角线互相平分 . A0 =CO BO =DO(2 )判别方法：a、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 .b、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .c、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .或d、两组对角分别相等的四边形是平行四边形 .e、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 .2、菱形(1 )菱形的性质边：四条边都相等 . AB =CD =BC =AD对角线：对角线互相垂直平分 ,且每条对角线平分一组对角 .AC⊥BD A0 =CO BO =DOAC平分∠DAB和∠DCB； BD平分∠ADC和∠ABC(2 )菱形的判别方法：a、一组邻边相等的平行四边形是菱形 . (菱形的定义 )b、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .(对角线互相垂直平分的四边形是菱形 )c、四条边都相等的四边形是菱形 .3、矩形(1 )矩形的性质：角：四个角都相等.∠A =∠B =∠C =∠D =90°对角线：对角线相等且平分 .AC =BD A0 =CO BO =DO 直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半 .(2 )矩形的判别方法：a、有一个角是直角的平行四边形是矩形 .b、对角线相等的平行四边形是矩形 .(对角线相等且平分的四边形是矩形 )c、有三个角是直角的四边形是矩形 .4、正方形(1 )正方形的性质：具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质 .(2 )正方形的判别方法：思路一：先判断它是菱形 ,再判断它是矩形 .思路二：先判断它是矩形 ,再判断它是菱形 .a、有一个角是直角的菱形是正方形 .b、对角线相等的菱形是正方形 .c、有一组邻边相等的矩形是正方形 .d、对角线互相垂直的矩形是正方形 .由b、d可以转换一种表述形式：对角线相等、垂直且平分的四边形是正方形 .5、等腰梯形(1 )等腰梯形的性质：边：上下底边平行 ,两腰相等 .AD∥BC AB＝CD角：同一底边的两个底角相等 ,邻角互补 .∠A＝∠D；∠B＝∠C；∠A＋∠B＝180°；∠C＋∠D＝180°对角线：对角线相等 . AC＝BD(2 )判别方法：a、两腰相等的梯形是等腰梯形 .b、同一底上两个底角相等的梯形是等腰梯形 .或c、对角线相等的梯形是等腰梯形 .6、中|心对称图形概念：将一个图形绕着某个点旋转180°后 ,能和原来的图形重合 ,这样的图形叫中|心对称图形 .常见的中|心对称图形：平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆、线段等 .补充：常见的轴对称：等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、线段、角等 .第五章：平面直角坐标系1、位置确实定(1 )平面内确定一个物体的位置至|少需要2个数据如：单层电影院内座位的位置：排号 ,座号地图上某个城市的位置：维度 ,经度大海中某个海轮相对于灯塔的位置：方向 ,距离 (极坐标 )(2 )空间内确定一个物体的位置至|少需要3个数据如：多层电影院内座位的位置：层数 ,排号 ,座号2、平面直角坐标系(1 )概念：在平面内 ,2条互相垂直且有公共原点的数轴组成的图形叫做平面直角坐标系 .a、水平的数轴称为横轴 (或x轴 ) ,取向右为正方向 .b、铅直的数轴称为纵轴 (或y轴 ) ,取向上为正方向 .c 、和数轴一样也具有三要素：原点 ,单位长度 ,正方向 .(2 )平面直角坐标系把平面分成四个象限 .从右上角开始按逆时针方向 ,依次为：第|一象限 ,第二象限 ,第三象限 ,第四象限 .注 意:坐标轴上的点不属于任何象限 .(3 )点的坐标的表示 .a 、经过点向x 轴和y 轴分别做垂线 ,垂足分别交x 轴和y 轴于a ,b 两点 ,此时点P 的坐标为 (a ,b ) .b 、点P 到y 轴的距离是该点的横坐标 ,点P 到x 轴的距离是该点的纵坐标 .c 、第|一象限内点的坐标是 ( + , + ) ,第二象限内点的坐标是 (－ , + ) ,第三象限内点的坐标是 (－ ,－ ) ,第四象限内点的坐标是 ( + ,－ ) .d 、位于x 轴上的点的纵坐标为0 ,位于y 轴上的点的横坐标为0 .e 、与x 轴平行的直线上所有点的纵坐标相同 ,与y 轴平行的直线上所有点的横坐标相同 .3、图像的变换(1 )拉伸和缩小a 、当横坐标×n (n>1 ),纵坐标不变 ,图像横向拉伸到原来的n 倍 ,纵向不变 .b 、当横坐标×n 1 (0<n 1<1 ),纵坐标不变 ,图像横向缩小到原来n1倍 ,纵向不变 . c 、当横坐标不变,纵坐标×n (n>1 ) ,图像横向不变 ,纵向拉伸到原来的n 倍 .d 、当横坐标不变,纵坐标×n 1 (0<n 1<1 ) ,图像横向不变 ,纵向缩小到原来n1倍 . e 、当横坐标×n (n>1 ),纵坐标×n (n>1 ) ,图像横向拉伸到原来的n 倍 ,纵向也拉伸到原来的n 倍 ,整个图像扩大到原来的n 2倍 .f 、当横坐标×n 1 (0<n 1<1 ),纵坐标×n 1 (0<n 1<1 ) ,图像横向缩小到原来n 1倍 ,纵向缩小到原来n1倍 ,整个图像缩小到原来的21n倍 . (2 )平移a 、当横坐标＋n (n>0 ) ,纵坐标不变 ,图像向右平移n 个单位 .b 、当横坐标－n (n<0 ) ,纵坐标不变 ,图像向左平移n 个单位 .c 、当横坐标不变 ,纵坐标＋n (n>0 ) ,图像向上平移n 个单位 .d 、当横坐标不变 ,纵坐标－n (n<0 ) ,图像向下平移n 个单位 .(3 )对称a 、当横坐标× (－1 ) ,纵坐标不变 ,图像关于y 轴对称 .即：图像关于y 轴对称 ,横坐标互为相反数 ,纵坐标不变 .b 、当横坐标不变 ,纵坐标× (－1 ) ,图像关于x 轴对称 .即：图像关于x 轴对称 ,纵坐标互为相反数 ,横坐标不变 .c 、当横坐标× (－1 ) ,纵坐标× (－1 ) ,图像关于原点对称 .即：图像关于原点对称 ,纵坐标互为相反数 ,横坐标也互为相反数 .第六章：一次函数1、函数的定义：在一个变化过程中 ,有2个变量x 和y ,当给定一个x 的值 ,相应的就可以确定y 的值 ,我们就称y 是x 的函数 .a 、x 是自变量 ,y 是因变量 ,因变量是自变量的函数 .b 、函数实质上就是反映了x 与y 之间的关系 .2、函数的表达方式：图像法 ,表格法 ,关系式法 .三者之间可以互相转化 .3、一次函数(1 )一次函数的表达式：b kx y += (k,b 是常数 ,0≠k )注意：0≠k ,且自变量x 的次数是1次 .(2 )正比例函数的表达式：当b =0时 ,函数为kx y = (0≠k ) ,此时函数是正比例函数 .正比例函数是特殊的一次函数 .(3 )函数图像的画法：列表 ,描点 ,连线 .由于一次函数的图像是一条直线 ,因此列表时 ,只需列出2个点的坐标 .而正比例函数是一条过原点的直线 ,因此 ,只需找到1个点的坐标即可 .通常情况下 ,在画函数图像时 ,取点越容易越好 ,但有时为了使图像更为准确 ,我们一般取函数图像与坐标轴的交点 .一次函数b kx y +=与x 轴的交点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,k b ,与y 轴的交点坐标是 (0 ,b ) . (4 )一次函数图像的性质a 、当k>0时 ,图像经过一、三象限 ,x↑ ,y↑ (或x↓ ,y↓ )当k<0时 ,图像经过二、四象限 ,x↑ ,y↓ (或x↓ ,y↑ ) .b 、当k>0、b>0时 ,图像经过一、二、三象限 .当k>0、b<0时 ,图像经过一、三、四象限 .当k<0、b>0时 ,图像经过一、二、四象限 .当k<0、b<0时 ,图像经过二、三、四象限 .c 、当2个一次函数11b x k y +=和22b x k y +=中k 1 =k 2 ,那么它们的图像互相平行；当2个一次函数11b x k y +=和22b x k y +=中21k k ≠ ,那么它们的图像相交 .(5 )确定一次函数的表达式：a 、先设出函数的表达式b kx y += (假设是正比例函数那么设kx y = ) .b 、找到2个点的坐标分别代入表达式中 . (假设是正比例函数 ,那么只需找到1个点的坐标代入表达式 ) .c 、将表达式构成方程组 ,求解 ,解出k 和b 的值 ,重新代回表达式即可 . (假设是正比例函数 ,代入后构成一元一次方程 ,直接解出k 的值 ,代回原表达式即可 ) .第七章：二元一次方程组1、方程组的解法：代入法、加减法、图像法 .2、解方程组的根本思路是：消元 .3、利用方程组解应用题的根本步骤是：(1 )、审题 .(2 )、找到题目中蕴涵的等量关系式 .(3 )、设未知数 ,根据等量关系式 ,列出方程组 .(4 )、求解方程组 ,并检验 .(5 )、作答 .4、二元一次方程 (组 )与一次函数的关系 .(1 )二元一次方程与一次函数之间可以互相转化 .二元一次方程c by ax =+可以转化为一次函数bc x b a y +-= . 一次函数b kx y += (显函数 )也可以转化为二元一次方程b y kx =+- (隐函数 ) .实质上 ,二元一次方程和一次函数可以是同一个式子 .(2 )二元一次方程组的解是由方程组转化的两个一次函数图象的交点的坐标；两个一次函数图象的交点坐标是由这两个函数组成方程组的解 .第八章：数据的代表1、数据的三个代表：平均数、中位数、众数 .2、平均数(1 )算术平均数：nx x x x n +++= 21 符号：x 读作 "x 拔〞 . (2 )加权平均数：在一组数据中 ,由于各个数据的重要程度不同 ,往往我们给这些数据赋以一个 "权〞 ,这样计算的结果 ,我们称为加权平均数 .权的大小对结果影响很大 .计算方法：如给数据321,,x x x 赋以权c b a ,, ,那么cb a cx bx ax x ++++=321 3、中位数：将一组数据按大小顺序排列后 ,处在最|中间的一个 (或中间2个数的平均数 ) ,叫做这组数据的中位数 .4、众数：在一组数据中出现次数最|多的数 ,叫做这组数据的众数 .5、三种数据的代表的联系 .相同点：根据不同的需求 ,三种数都可以作为一组数据的代表 .不同点：平均数能充分利用这组数据中的每一个数 ,但容易受极端值的影响 .中位数计算简单 ,但不能充分利用数据 .众数计算简单 ,也不能充分利用数据 ,在有的数据中还可能出现多个众数的情况 .。
