2012年安徽合肥168中学自主招生考试数学试卷

合肥168中学自主招生试题及答案合肥168中学自主招生试题及答案作为一所著名的高中，合肥168中学每年都会进行自主招生计划，为高中学生提供优质的教育资源。

每年招收的学生大约有1000余名，他们在学业和社会经历上都处于领先水平。

以下是合肥168中学自主招生考试的试题及答案：一、数学1. 已知函数f(x) = x2+2，根据展开式f '(x) = 2x，计算f(1)的值。

A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C. 42. 已知等比数列{an}中，若a2=2，a3=6，则a5的值为？A. 12B. 18C. 33D. 36答案：D. 36二、英语1.Tom has been trying to______ the idea of starting his own business sincethen.A. pass offB. carry onC. put offD. take up答案：D. take up2. Mary has been______ Japanese for two years.A. learningB. learnedC. to learnD. being learning答案：A. learning三、历史1. 以下哪种运动是中国从大革命以来为100多年让中国人民不断奋斗的基本动力?A.工农红军运动B.1911年辛亥革命C.新民主主义革命D.二次世界大战答案：C.新民主主义革命2. 以下社会主义改革的举措是毛泽东提出的?A.实行公有制B.分配制度改革C.实行资源征收制D.农村百姓自负责实行联产承包答案：D.农村百姓自负责实行联产承包四、政治1.根据中国的宪法，拥有最高权力的政府机构是？A.中央政府B.地方政府C.人大D.政协答案：C.人大2.以下哪一个原则是中国政府和其他国家采用一致外交立场的基础？A.独立自主B.和平共处C.相互尊重D.平等互利答案：B.和平共处。

安徽省合肥XX中学自主招生数学试卷一、选择题（本大提共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知a＝，b＝，则二次根式的值是（）A．6B．7C．8D．92．（5分）已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，3），且与坐标轴围成面积为6的三角形，则满足条件的函数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．（5分）若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20B．2C．2或﹣20D．2或205．（5分）对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|AB|的值是（）A．B．C．D．6．（5分）已知a，b，c是△ABC的三边，则下列式子一定正确的是（）A．a2+b2+c2≥ab+bc+ac B．＜C．D．a3+b3＜c37．（5分）如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3B．C．D．28．（5分）半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大提共7题，每小题5分，共35）9．（5分）若分式方程＝a无解，则a的值为．10．（5分）已知一列数a1，a2，a3，…满足a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…，依此类推，则a1，a2，…，a，这个数的积为．11．（5分）某公司加工252个零件，计划若干天完成，加工了2天后，由于改进新技术，每天可多加工9个零件，因此提前1天完成任务，则原计划完成任务的天数为．12．（5分）已知函数y＝x2﹣2mx+4（m是实数）与x轴两交点的横坐标为x1，x2，当1＜x1＜2，1＜x2＜3时，则m的范围是．13．（5分）如图，已知四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），C，D两点在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值等于．14．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，内取一点P，且AP＝AC＝a，BP＝CP＝b（b＜a），则＝．15．（5分）足球运动员在足球场上，常需要带球跑到一定位置后，再进行射门，这个位置为射门点，射门点与球门边框两端的夹角是射门角．如果点A，B表示球门边框（不考虑球门的高度）的两端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ABC就是射门角，在不考虑其他因素的情况下，一般地，射门角越大，射门进球的可能性越大，如图（1）（2）（3）是运动员带球跑动的三种常见路线（用直线L表示），则下列说法：①如图（1），AB∥L，当运动员在线段AB的垂直平分线与L的交点C处射门时，进球的可能性最大；②如图（2）AB⊥L垂足为D，设AB＝2a，BD＝b，当运动员在离底线AB的距离为的点C处（即CD＝）射门时，进球可能性最大．③如图（3），AB与L交于点Q，设AB中点为O，当点C满足OQ＝CQ时，运动员在点C处射门时，进球的可能性最大．④如图（3），过点C作直线L的垂线与线段AB的垂直平分线交于点M，当M恰好是△ABC的外心时，运动员在点C处射门时，进球可能性最大．其中正确的序号是（写出所有正确的序号）三、解答题（本大题共5小题，共75分）16．（12分）若，求的值．17．（13分）某学校在大课间举行跳绳活动，为此学校准备购置长、中、短三种跳绳若干，要求中跳绳的条数是长跳绳的2倍，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍．已知长跳绳单价是20元，中跳绳的单价是15元，短跳绳的单价是8元．（1）若学校准备用不超过2300元的现金购买200条长、中、短跳绳，问学校有几种购买方案可供选择？（2）若学校准备恰好用3000元的现金购买n条长、中、短跳绳．求n的最大值．18．（13分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．19．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M 是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．20．（14分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．安徽省合肥168中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大提共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知a＝，b＝，则二次根式的值是（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：∵a＝＝（﹣）2＝4﹣，b＝＝＝4+，∴ab＝（4+）（4﹣）＝1，∴＝＝＝＝＝＝9．故选：D．2．（5分）已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：因为关于x的不等式组有解，可得：，所以得出a＞5，因为a取≤9的整数，可得a的可能值为6，7，8，9，共4种可能性，所以使关于x的不等式组有解的概率为，故选：C．3．（5分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，3），且与坐标轴围成面积为6的三角形，则满足条件的函数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：把A（1，3）代入y＝kx+b中，得3＝k+b，∴b＝3﹣k，∴一次函数的解析式为：y＝kx+3﹣k，∴一次函数图象与坐标轴的交点为（0，3﹣k），（，0），∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与坐标轴围成三角形的面积为6，∴，解得，k＝﹣3，或k＝9，∴k的值有3个，∴满足条件的函数有3个．故选：B．4．（5分）若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20B．2C．2或﹣20D．2或20【解答】解：∵a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，∴a，b可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8，ab＝5，＝＝＝＝﹣20．故选：A．5．（5分）对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|AB|的值是（）A．B．C．D．【解答】解：y＝x2﹣x+＝（x﹣）（x﹣），∴A n（，0），B n（，0），∴|A n B n|＝﹣，∴|A1B1|+|A2B2|+…+|AB|＝+++…+＝1﹣＝，故选：C．6．（5分）已知a，b，c是△ABC的三边，则下列式子一定正确的是（）A．a2+b2+c2≥ab+bc+ac B．＜C．D．a3+b3＜c3【解答】解：A、由三角形三边关系可得：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2≥0，可得：2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ac），可得：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2≥0，故选项正确；B、由三角形三边关系不一定得出a+b＞c，＜，可得＜，＞，选项错误；C、由三角形三边关系不一定得出a＞b＞c，由，可得：a＞b＞c，选项错误；D、由三角形三边关系不一定得出a3+b3＜c3，选项错误；故选：A．7．（5分）如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3B．C．D．2【解答】证明：∵AD∥BE，AD∥FC，FC∥BE，∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，∴S△ADF＝S△ADC，S△BEF＝S△BEC，S△AEF＝S△BEF﹣S△ABE＝S△BEC﹣S△ABE＝S△ABC∴S△DEF＝S△ADE+S△ADF+S△AEF＝S△ABD+S△ADC+S△ABC＝2S△ABC．即S△DEF＝2S△ABC．∵S△ABC＝1，∴S△DEF＝2，故选：D．8．（5分）半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵AB是直径，∴AB＝5，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，且BC：CA＝4：3，∴BC＝4，AC＝3，∵∠A＝∠P，∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴△ACB∽△PCQ，∴，∴CQ＝，∴当PC最大时，CQ有最大值，∴PC是直径时，CQ的最大值＝×5＝，故选：B．二、填空题（本大提共7题，每小题5分，共35）9．（5分）若分式方程＝a无解，则a的值为1或﹣1．【解答】解：去分母得：x﹣a＝ax+a，即（a﹣1）x＝﹣2a，显然a＝1时，方程无解；由分式方程无解，得到x+1＝0，即x＝﹣1，把x＝﹣1代入整式方程得：﹣a+1＝﹣2a，解得：a＝﹣1，综上，a的值为1或﹣1，故答案为：1或﹣110．（5分）已知一列数a1，a2，a3，…满足a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…，依此类推，则a1，a2，…，a，这个数的积为．【解答】解：a1＝，a2＝，＝2，a3＝＝﹣1，a4＝＝，…，依此类推，发现每3个数为一组一个循环，前3个数的乘积为：2×（﹣1）＝﹣1，所以÷3＝672…1，则a1，a2，…，a，这个数的积为（﹣1）672×＝．故答案为：．11．（5分）某公司加工252个零件，计划若干天完成，加工了2天后，由于改进新技术，每天可多加工9个零件，因此提前1天完成任务，则原计划完成任务的天数为7．【解答】解：设原计划每天加工x个零件．由题意得：+2+1＝，整理得：x2+27x﹣2268＝0．解得：x1＝36，x2＝﹣63（不合题意舍去）．经检验：x＝36是原方程的解．当x＝36时，＝7，即原计划7天完成，故答案为：7．12．（5分）已知函数y＝x2﹣2mx+4（m是实数）与x轴两交点的横坐标为x1，x2，当1＜x1＜2，1＜x2＜3时，则m的范围是2＜m＜．【解答】解：由题意得：△＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×4＞0，解得：m＞2或m＜﹣2①，函数的对称轴为x＝﹣＝﹣＝m，当1＜x1＜2，1＜x2＜3时，1＜（x1+x2）＜，而x＝﹣＝﹣＝m＝（x1+x2），即1＜m＜②，联立①②并解得：2＜m＜，故答案为：2＜m＜．13．（5分）如图，已知四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），C，D两点在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值等于﹣6．【解答】解：过点C作CE⊥y轴，垂足为E，∵A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），∴OA＝OB＝1，∠OAB＝∠OBA＝45°，∵ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠CBE＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠BCE，∴△AOB∽△BEC，∴＝＝，又∵BC＝2AB，∴BE＝CE＝2，OE＝OB+BE＝1+2＝3，∴点C（﹣2，3），代入反比例函数关系式得，k＝﹣2×3＝﹣6，故答案为：﹣6．14．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，内取一点P，且AP＝AC＝a，BP＝CP＝b（b＜a），则＝．【解答】解：如图：过点P作PD⊥BC与点D，作PE⊥AC于点E，可得矩形PDCE，有PD＝EC，PE＝CD，∵PC＝PB，PD⊥BC，∴DC＝DB＝BC＝AC＝a，∴PE＝CD＝a，Rt△AEP中，AP＝AC＝a，PE＝a，∴AE＝a，∴EC＝AC﹣AE＝a﹣a＝a．∴PD＝EC＝a，Rt△CDP中，PD2+CD2＝CP2，∴（a）2+（）2＝b2，∴a2+a2＝b2，∴a2＝b2，∴（2﹣）a2＝b2．∴＝2﹣，∴＝＝＝．故答案是：．15．（5分）足球运动员在足球场上，常需要带球跑到一定位置后，再进行射门，这个位置为射门点，射门点与球门边框两端的夹角是射门角．如果点A，B表示球门边框（不考虑球门的高度）的两端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ABC就是射门角，在不考虑其他因素的情况下，一般地，射门角越大，射门进球的可能性越大，如图（1）（2）（3）是运动员带球跑动的三种常见路线（用直线L表示），则下列说法：①如图（1），AB∥L，当运动员在线段AB的垂直平分线与L的交点C处射门时，进球的可能性最大；②如图（2）AB⊥L垂足为D，设AB＝2a，BD＝b，当运动员在离底线AB的距离为的点C处（即CD＝）射门时，进球可能性最大．③如图（3），AB与L交于点Q，设AB中点为O，当点C满足OQ＝CQ时，运动员在点C处射门时，进球的可能性最大．④如图（3），过点C作直线L的垂线与线段AB的垂直平分线交于点M，当M恰好是△ABC的外心时，运动员在点C处射门时，进球可能性最大．其中正确的序号是①②④（写出所有正确的序号）【解答】解：①作△ABC的外接圆圆O，过C作圆O的切线，由圆的切线性质可得，当△ABC等腰三角形的时候，∠ACB最大，所以正确；②当△DBC∽△DAC时，∠ACB最大，此时，CD2＝BD•AD＝b（2a+b）＝2ab+b2，CD＝，所以正确；③④过点C作l的垂线，交AB垂直平分线于M，当M恰好是△ABC的外心时，∠ACB最大，所以③错误，④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共5小题，共75分）16．（12分）若，求的值．【解答】解：∵＝﹣，∴x＝a+﹣2，∵x≥0，∴≥，∴a≥1，≤1，原式＝，＝，＝，＝，当a≥时，原式＝＝a2；当a＜时与a≥1，≤1相矛盾．综上所述，原二次根式的值为：a2．故答案为：a2．17．（13分）某学校在大课间举行跳绳活动，为此学校准备购置长、中、短三种跳绳若干，要求中跳绳的条数是长跳绳的2倍，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍．已知长跳绳单价是20元，中跳绳的单价是15元，短跳绳的单价是8元．（1）若学校准备用不超过2300元的现金购买200条长、中、短跳绳，问学校有几种购买方案可供选择？（2）若学校准备恰好用3000元的现金购买n条长、中、短跳绳．求n的最大值．【解答】解：（1）设购进x条长跳绳，则购进2x条中跳绳，（200﹣x﹣2x）条短跳绳，依题意，得：，解得：22≤x≤26．∵x为正整数，∴x＝23，24，25，26，∴学校共有4种购买方案可供选择．（2）设可以购买a条长跳绳，则购进2a条中跳绳，（n﹣a﹣2a）条短跳绳，依题意，得：，化简，得：，∴13a＝4（375﹣n），∴a为4的倍数，设a＝4k，则n＝375﹣13k，∴375﹣13k≤36k，∴k≥7，∴k的最小值为8，n的最大值为271．18．（13分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵DC2＝CE•CA，∴，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；（2）解：连接OC，如图，设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴＝，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴，∴PC＝2CD＝4，∵∠PCB＝∠P AD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△P AD，∴，即，∴r＝4，即⊙O的半径为4．19．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M 是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．【解答】解：（1）y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣3）（x+1），∵m≠0，∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）设C1：y＝ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：，解得，故C1：y＝x2﹣x﹣．如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y＝x﹣，设P（x，x2﹣x﹣），则Q（x，x﹣），PQ＝x﹣﹣（x2﹣x﹣）＝﹣x2+x，S△PBC＝S△PCQ+S△PBQ＝PQ•OB＝×（﹣x2+x）×3＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，S△PBC有最大值，Smax＝，×（）2﹣﹣＝﹣，P（，﹣）；（3）y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣1）2﹣4m，顶点M坐标（1，﹣4m），当x＝0时，y＝﹣3m，∴D（0，﹣3m），B（3，0），∴DM2＝（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2＝m2+1，MB2＝（3﹣1）2+（0+4m）2＝16m2+4，BD2＝（3﹣0）2+（0+3m）2＝9m2+9，当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2＝MB2或DM2+MB2＝BD2．①DM2+BD2＝MB2时有：m2+1+9m2+9＝16m2+4，解得m＝﹣1（∵m＜0，∴m＝1舍去）；②DM2+MB2＝BD2时有：m2+1+16m2+4＝9m2+9，解得m＝﹣（m＝舍去）．综上，m＝﹣1或﹣时，△BDM为直角三角形．20．（14分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t．∵OP2＝OB2+BP2，即（2t）2＝62+t2，解得：t1＝2，t2＝﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（，6）．（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC＝180°，∴∠OPB+∠QPC＝90°，∵∠BOP+∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ．又∵∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴，由题意设BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11﹣t，CQ＝6﹣m．∴．∴m＝（0＜t＜11）．（Ⅲ）过点P作PE⊥OA于E，∴∠PEA＝∠QAC′＝90°，∴∠PC′E+∠EPC′＝90°，∵∠PC′E+∠QC′A＝90°，∴∠EPC′＝∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴，∵PC′＝PC＝11﹣t，PE＝OB＝6，AQ＝m，C′Q＝CQ＝6﹣m，∴AC′＝＝，∴，∴，∴3（6﹣m）2＝（3﹣m）（11﹣t）2，∵m＝，∴3（﹣t2+t）2＝（3﹣t2+t﹣6）（11﹣t）2，∴t2（11﹣t）2＝（﹣t2+t﹣3）（11﹣t）2，∴t2＝﹣t2+t﹣3，∴3t2﹣22t+36＝0，解得：t1＝，t2＝，点P的坐标为（，6）或（，6）．法二：∵∠BPO＝∠OPC′＝∠POC′，∴OC′＝PC′＝PC＝11﹣t，过点P作PE⊥OA于点E，则PE＝BO＝6，OE＝BP＝t，∴EC′＝11﹣2t，在Rt△PEC′中，PE2+EC′2＝PC′2，即（11﹣t）2＝62+（11﹣2t）2，解得：t1＝，t2＝．点P的坐标为（，6）或（，6）．。

合肥168中学屯溪一中2012届高三联考数 学 试 卷（理科）考试时间：120分钟 试卷分值：150分注意：本试卷共分Ⅰ、Ⅱ两卷，所有答案必须写在答题卷的相应位置上，写在试卷上不予记分。

参考公式：)(31''s ss s h V ++=台 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.复数z 1=3+i,z 2=1-i,则复数21z z 的虚部为 （ ） A.2 B.-2i C.-2 D.2i2．设A 、B 是非空集合，定义A ×B={x|x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}.已知A={x|y=22x x -},B={y|y=2x ,x>0}，则A ×B 等于 （ ）A.［0,1]∪(2,+∞)B.［0,1］∪［2,+∞)C.［0,1D.［0,2］3．设()[)[]⎩⎨⎧∈-∈=2,1,21,0,2x x x x x f ，则()dx x f ⎰20的值为( ) A. 43 B . 54 C. 65 D. 674．在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么z y x ++的值为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几 何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．8B ．203C ．173D ．1436．若函数f (x )=min{3+log 41x ,log 2x },其中min{p ,q }表示p ,q 两者中的较小者，则f (x )<2的解集为 （ ）A.（0，4）B.（0，+∞)C. (0,4)∪(4,+∞) D (41,+∞) 7.已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个8.已知1()10x f x x <≤=-≤<⎪⎩，且1||0<<m ，01||0<<<mn n ，，则使不等式()()0f m f n +>成立的m 和n 还应满足的条件为（ ）A.m>nB.m<nC.m+n>0D.m+n<09.函数,(,0)(0,)sin xy x xππ=∈-的图象可能是下列图象中的（ ）10．下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间()0,1中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，如图3，图3中直线AM 与x 轴交于点则下列命题的正确的是 （ ）①0)21(=f ； ②()f x 是偶函数； ③()f x 在定义域上单调递增；④()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称．A ．① ② ③ . B. ② ③ ④ C.① ③ ④. D. ① ④第II 卷（非选择题 共100分）10B A 图1 图2 图3填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知5)tan(,3)tan(=-=+βαβα，则α2tan 的值为＿＿＿＿12．若变量x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤++a y y x y x 0402，若2x y -的最大值为1-，则a =＿＿＿＿13若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不．是单调函数，则实数k 的取值范围是＿＿＿＿14．已知Z y x ∈,，*∈N n ,设)(n f 是不等式组⎩⎨⎧+-≤≤≥n x y x 01，表示的平面区域内可行解的个数， 归纳推理f(n)=＿＿＿＿＿15.如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上(含原点)上滑动，则OB OC ⋅的最大值是＿＿＿＿三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2012年科学素养测试数学试题【卷首语】亲爱的同学们，欢迎参加一六八中学自主招生考试，希望你们凝神静气，考出水平！开放的一六八中学热忱欢迎你们！本学科满分为120分，共17题；建议用时90分钟。

得分评卷人一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、计算= .2、分解因式：= .3、函数中，自变量x的取值范围是 .4、已知样本数据x1，x2，…，xn的方差为1，则数据10x1＋5，10x2＋5，…，10xn＋5的方差为 .5、函数的图像与坐标轴的三个交点分别为（a, 0）(b, 0)（0, c)，则a+b+c的值等于 .6、在同一平面上，⊙、⊙的半径分别为2和1，＝5，则半径为9且与⊙、⊙都相切的圆有个．7、一个直角三角形斜边上的两个三等分点与直角顶点的两条连线段长分别为3 cm和4 cm，则斜边长为 cm .8、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：则第10个图案中有白色地面砖块.9、将函数的图像平移，使平移后的图像过C（0，-2），交x轴于A、B两点，并且△ABC的面积等于4，则平移后的图像顶点坐标是 .10、如图，平行四边形ABCD中，P点是形内一点，且△PAB的面积等于8 cm2，△PAD的面积等于7 cm2，，△PCB的面积等于12 cm2，则△PCD的面积是 cm2.（第10题图）（第11题图）11、一个由若干个相同大小的小正方体组成的几何组合体，其主视图与左视图均为如图所示的3 × 3的方格，问该几何组合体至少需要的小正方体个数是 .12、正△ABC内接于⊙O，D、E分别是AB、AC的中点，延长DE交⊙O与F, 连接BF交AC于点P,则.得分评卷人二、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）13、已知（a+b）：(b+c)：(c+a)=7：14：9求：① a：b：c ②14、一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上同时同向行驶,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车之间，走了1分钟,小轿车追上了货车;又走了6分钟,小轿车追上了客车.再过8分钟,货车追上了客车.设出发时客车与货车的距离为a，货车与小轿车的距离为b,求a : b的值15、在Rt△ABC中，斜边AB＝5厘米，BC＝a厘米，AC＝b厘米，a＞b，且a、b是方程的两根，⑴求a和b的值；⑵△A'B'C'与△ABC开始时完全重合，然后让△ABC固定不动，将△A'B'C'以1厘米/秒的速度沿BC所在的直线向左移动.ⅰ)设x秒时△A'B'C'与△ABC 的重叠部分的面积为y平方厘米（y＞0），求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围；ⅱ)几秒时重叠部分的面积等于平方厘米？16、已知A（5，0），点B在第一象限内，并且AB与直线l:平行，AB长为8.（1）求点B的坐标.l:（2）点P是直线l:上的动点，求△PAB内切圆的最大面积.yBxOA(5,0)17、已知半径为r的⊙与半径为R的⊙外离，直线DE经过切⊙于点E并交⊙于点A和点D, 直线CF经过切⊙于点F并交⊙于点B和点C, 连接AB、CD,（1）[以下ⅰ）、ⅱ）两小题任选一题]ⅰ) 求四边形ABCD的面积ⅱ) 求证：A、B、E、F四点在同一个圆上（2）求证：AB//DC。

2012年理科实验班自主招生考试数学试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确答案，共10个小题，满分30分）1．（3分）已知三个整数a，b，c的和为奇数，那么a2+b2﹣c2+2abc（）A．一定是非零偶数B．等于零C．一定为奇数D．可能是奇数，也可能是偶数考点：因式分解的应用．专题：计算题．分析：先把代数式分解因式，再根据已知进行讨论得出正确选项．解答：解：a2+b2﹣c2+2abc=（a+b+c）（a+b﹣c）+2abc﹣2ab=（a+b+c）（a+b﹣c）+2（abc﹣ab），已知a+b+c为奇数，而改变加减运算符号，不改变奇偶性，∴a+b﹣c也为奇数，则（a+b+c）（a+b﹣c）也为奇数，2（abc﹣ab）是偶数，∴a2+b2﹣c2+2abc=（a+b+c）（a+b﹣c）+2（abc﹣ab）一定是奇数，故选：C．点评：本题考查了因式分解的应用，把式子分解因式是解题关键．2．（3分）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则的值为（）A．﹣1 B．C．2D．考点：分式的化简求值．分析：由a+b+c=2，a2+b2+c2=3，利用两个等式之间的平方关系得出ab+bc+ac=；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可．解答：解：由a+b+c=2，两边平方，得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，将已知代入，得ab+bc+ac=；由a+b+c=2得：c﹣1=1﹣a﹣b，∴ab+c﹣1=ab+1﹣a﹣b=（a﹣1）（b﹣1），同理，得bc+a﹣1=（b﹣1）（c﹣1），ca+b﹣1=（c﹣1）（a﹣1），∴原式=++=====﹣．故选D．点评：本题考查了分式的化简其中计算，解题时，充分运用已知条件变形，使分式能化简通分，得出结果．3．（3分）设x2﹣px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0，则数对（p，q）的个数是（）A．2B．3C．4D．0考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：分类讨论．分析：利用根与系数的关系把α，β之间的关系找出来，利用α，β之间的关系，解关于p，q的方程，然后再代入原方程检验即可．解答：解：根据题意得，α+β=p①，αβ=q②；α2+β2=p③，α2β2=q④．由②④可得α2β2﹣αβ=0，解之得αβ=1或0由①③可得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=p2﹣2q=p，即p2﹣p﹣2q=0，当q=0时，p2﹣p=0，解之得，p=0或p=1，即，，把它们代入原方程的△中可知符合题意．当q=1时，p2﹣p﹣2=0，解之得，p=﹣1或2，即，，把它们代入原方程的△中可知不合题意舍去，所以数对（p，q）的个数是3对．故本题选B．点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．4．（3分）设函数y=﹣x2﹣2kx﹣3k2﹣4k﹣5的最大值为M，为使M最大，k=（）A．﹣1 B．1C．﹣3 D．3考点：二次函数的最值．专题：计算题．分析：由于M是最大值，那么M=，即M=﹣2k2﹣4k﹣5，于是求k=﹣的值即可．解答：解：∵y=﹣x2﹣2kx+（﹣3k2﹣4k﹣5），∴M==∴M=﹣2k2﹣4k﹣5，又∵M最大，∴k=﹣=﹣=﹣1．故选A．点评：本题考查了函数的最值．注意y最大值=即可．5．（3分）若3x2﹣x=1，则9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008=（）A．2011 B．2010 C．2009 D．2008考点：因式分解的应用．专题：计算题；整体思想．分析：将3x2﹣x=1化简为3x2﹣x﹣1=0，整体代入9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008变形的式子3x2（3x2﹣x﹣1）+5x（3x2﹣x﹣1）+2（3x2﹣x﹣1）+2010，计算即可求解．解答：解：∵3x2﹣x=1，即3x2﹣x﹣1=0，∴9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008=3x2（3x2﹣x﹣1）+5x（3x2﹣x﹣1）+2（3x2﹣x﹣1）+2010=2010．故选B．点评：本题考查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解．6．（3分）已知坐标原点O和点A（2，﹣2），B是坐标轴上的一点，若△AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有多少个（）A．4B．5C．6D．8考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：应用题．分析：根据等腰三角形的性质，要使△AOB等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴出现交点，当OA是腰时，则分别以点O、点A为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴出现交点．解答：解：①作OA的垂直平分线，交坐标轴于两个点；②以O为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于四个点；③以A为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于两个点．如图所示，显然这样的点有8个．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的定义，运用数形结合的思想进行解决，难度适中．7．（3分）如图：有六个面积为1的正方形组成的长方形，其中有A、B、C、D、E、F、G 7个点，以这7个点为顶点，并且面积为1的三角形有（）A．11个B．12个C．13个D．14个考点：面积及等积变换．分析：由有六个面积为1的正方形组成的长方形，然后依据三角形的面积等于底乘以高，抓住底与高一个为2，一个为1，然后从一边开始，依次求解即可求得答案，小心别漏解．解答：解：∵如图是六个面积为1的正方形组成的长方形，∴以AB为边：△ABD，△ABE，△ABF，△ABG，以AC为边：△ACG，以AD为边：△ADE，以AE为边：△AEF，以AF为边：△AFG，以BC为边：△BCF，以BD为边：△BDE，以BE为边：△BEF，以BF为边：△BFG，以CD为边：△CDF，以CE为边：△CEG．故以这7个点为顶点，并且面积为1的三角形有14个．故选D．点评：此题考查了三角形的面积问题．此题属于易错题，难度较大，解题的关键是注意依次数得，小心别漏解．8．（3分）锐角△ABC的三边两两不等，D是BC边上的一点，∠BAD+∠C=90°，则AD一定过△ABC 的（）A．垂心B．内心C．外心D．重心考点：三角形的外接圆与外心；三角形内角和定理．分析：作∠ABE=90°，BE交AD的延长线于E，根据三角形的内角和定理求出∠BAD+∠E=90°，推出∠C=∠E，根据三角形的外接圆的圆心的定义求出即可．解答：解：作∠ABE=90°，BE交AD的延长线于E，∴∠BAD+∠E=90°，∵∠C+∠BAD=90°，∴∠C=∠E，∴E在△ABC的外接圆上，∵∠ABE=90°，∴AE是直径，∴AD一定过△ABC的外心．故选C．点评：本题主要考查对三角形的外接圆与外心，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出∠E=∠C是解此题的关键．9．（3分）有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，在用水补满，这是桶中纯农药与水的容积之比为3：5，则桶的容积为（）A．30升B．40升C．50升D．60升考点：分式方程的应用．专题：应用题．分析：首先设出桶的容积为x升，倒出两次后纯农药的容积为（x﹣20﹣）升，倒入两次水后水的容积为【20﹣（1﹣）×10+10】升，由农药与水的容积之比为3：5列出方程解答即可．解答：解：设桶的容积为x升，根据题意列方程得，（x﹣20﹣）：[20﹣（1﹣）×10+10]=3：5，整理得x2﹣48x+320=0，解得x1=40，x2=8（不合题意，舍去），答：桶的容积为40升．点评：解答此题需要计算农药与水占总容积的百分比，紧扣容积不变，再据题意，分别求得纯农药和水的容积，建立方程问题得解．10．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离都等于1，若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（）A．4B．5C．D．考点：正方形的性质；平行线之间的距离；勾股定理．分析：过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△ADE≌△DFC，得CF=1，DF=2．根据勾股定理可求CD2得正方形的面积．解答：解：作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠AED=∠DFC=90°．∵ABCD为正方形，∴∠ADC=90°．∴∠ADE+∠CDF=90°．又∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠CDF=∠DAE．∵AD=CD，∴△ADE≌△DCF，∴CF=DE=1．∵DF=2，∴CD2=12+22=5，即正方形ABCD的面积为5．故选B．点评：此题考查正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．难度中等．二、填空题（每小题6分，满分42分）11．（6分）如图，正方体的每一面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，如果13、9、3的对面的数分别为a、b、c，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值等于76．考点：专题：正方体相对两个面上的文字．专题：计算题．分析：根据相对的两个面上两数之和都相等列出等式，并整理出a﹣b，b﹣c，a﹣c，的值，然后把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca整理分解因式，然后再代入数据计算即可．解答：解：根据题意得，a+13=b+9，b+9=c+3，c+3=a+13，整理得a﹣b=﹣4，b﹣c=﹣6，a﹣c=﹣10，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2，=×16+×36+×100，=8+18+50，=76．故答案为：76．点评：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，把多项式乘以2后因式分解是解题的关键．12．（6分）Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA和sinB是方程的两个根，则k=﹣．考点：根与系数的关系；互余两角三角函数的关系．分析：根据锐角三角函数关系式，得sin2A+sin2B=1；根据一元二次方程根与系数的关系，得sinA+sinB=，sinA•sinB=﹣k，再进一步利用完全平方公式得到关于k的方程进行求解．解答：解：∵sinA和sinB是方程的两个根，∴sinA+sinB=，sinA•sinB=﹣k，∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴sin2A+sin2B=1，∴2+2k=1，解得，k=﹣．故答案为：﹣．点评：此题综合考查了一元二次方程根与系数的关系以及锐角三角函数关系式．13．（6分）在△ABC中，AC=2，D是AB的中点，E是CD上一点，，若，则BC=2．考点：三角形的重心；勾股定理．分析：根据中点这个条件，把CD延长至两倍于点F，连接AF，BF，则四边形ACBF为平行四边形，由ED=CD，CE=AB，得AB=CF，所以ACBF为矩形．再用勾股定理列式算出a，即可求出BC的长．解答：解：把CD延长至点F，使DF=CD．连接AF，BF．∵AD=DB，FD=DC，∴四边形ACBF为平行四边形，∵ED=CD，∴CE=CD，∵CE=AB，∴CD=AB，∴CD=AB，∴AB=CF，∴ACBF只能为矩形．设DE为a，则CE=2a，AD=3a，算出AE2=8a2，CE2=4a2，又因为AC=2，用勾股定理列式算出a，∴a=，∴AB=6×=2，∴BC==2．故答案为：2．点评：此题主要考查了重心的性质以及平行四边形的判定与矩形的判定和勾股定理的应用，根据已知得出正确的辅助线是解决问题的关键．14．（6分）方程的解为．考点：无理方程．分析：首先两边进行平方，然后移项合并同类项，再两边平方求解．解答：解：两边平方得：3x+2﹣2+3x﹣2=4移项得：2=6x﹣4两边平方得：36x2﹣16=36x2﹣48x+16解得：x=，检验：当x=时：原方程的左边=右边，∴x=是原方程的解．故答案为．点评：本题主要考查解无理方程，关键在于首先对方程两边分别平方已达到去根号的目的．15．（6分）在正八边形中，与所有边均不平行的对角线有12条．考点：多边形的对角线．专题：计算题．分析：根据n边形的对角线有n（n﹣3）条，将正八边形的边数代入可求出对角线的总数，而正八边形的对角线中有8条平行与边的对角线，由此可得出答案．解答：解：正八边形的对角线条数=×8×（8﹣3）=20，又∵正八边形的对角线中有8条平行与边的对角线，∴在正八边形中，与所有边均不平行的对角线有12条．故答案为：12．点评：本题考查多边形的对角线的知识，关键是掌握多边形的对角线与正多边形边数的关系n（n ﹣3），另外要知道正八边形的每条边均有2条对角线与之平行．16．（6分）若正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，例如6、8、10都是奇异数，那么在27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999这10个正整数中奇异数有8个．考点：数的整除性．专题：新定义．分析：首先根据正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，可得奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数），然后分别分析27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999是否符合奇异数的特点即可求得答案．解答：解：易得奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数）．∴27=3×3×3=33，是奇异数（第一类）；42=2×3×7不是奇异数；69=3×23是奇异数（第二类），111=3×37是奇异数（第二类），125=53是奇异数（第一类），137是质数，不是奇异数，343=73是奇异数（第一类），899=900﹣1=（30﹣1）（30+1）=29×31是奇异数（第二类），3599=3600﹣1=（60﹣1）（60+1）=59×61是奇异数（第二类），7999=8000﹣1=203﹣1=（20﹣1）（202+20+1）=19×421是奇异数（第二类）．因此符合条件的奇异数有：27，69，111，125，343，899，3599，7999共8个．故答案为：8．点评：此题考查了学生的分析能力，考查了质数的性质与数的整除性问题．此题难度较大，解题的关键是找到奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数）．17．（6分）如图，MN是半圆O的半径，A是半圆的一个三等分点，B是的中点，P是直径MN 上的点，若AP+PB的最小值为厘米，则圆的半径r=2厘米．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．专题：数形结合．分析：作出点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则A′B为AP+PB的最小值，连接OA′，OB，易得∠BOA′=90°，利用等腰直角三角形的性质可得半径的长．解答：解：作出点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则A′B为AP+PB的最小值，连接OA′，OB．∴A′B=2，∵A是半圆的一个三等分点，B是的中点，∴∠BON=30°，∠A′0N=60°，∴△A′OB是等腰直角三角形，∴OA′=2．故答案为2．点评：考查最短路线问题；若两点在直线的同一旁，则需作其中一点关于这条直线的对称点；作出整个圆的辅助性是解决本题的难点．三、解答题（每小题16分，满分48分）18．（16分）已知二次函数y=mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象如图所示．（1）这条抛物线与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），与y轴交于点C，且AB=4，⊙M过A、B、C三点，求扇形MAC的面积；（2）在（1）的条件下，抛物线上是否存在点P，使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC 分成面积比为1：2的两部分？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）根据抛物线的解析式，可表示出A、B的坐标，根据AB=4，可求出m的值，从而确定该抛物线的解析式，即可得到A、B、C的坐标；根据B、C的坐标，可得到∠OBC=45°，根据圆周角定理知∠AMC=90°，即△AMC是等腰直角三角形，AC的长易求得，即可得到半径AM、MC的长，利用扇形的面积公式，即可求得扇形AMC的面积．（2）设PD与BC的交点为E，此题可分成两种情况考虑：①当△BPE的面积是△BDE的2倍时，由于△BDE和△BPD同高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，即DE=PD，可设出P点的坐标，那么E点的纵坐标是P点纵坐标的，BD的长为B、P横坐标差的绝对值，由于∠OBC=45°，那么BD=DE，可以此作为等量关系求出P点的坐标；②当△BDE的面积是△BPE的2倍时，方法同①．解答：解：（1）∵y=mx2+（m﹣3）x﹣3=（mx﹣3）（x+1），∴x1=﹣1，x2=，∴AB=﹣（﹣1）=4，即m=1；∴y=x2﹣2x﹣3，得A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），∴∠OBC=45°，∠AMC=90°，∵AC==，∵AM=CM，∴AM==，∴R=，S=π．（2）设PD与BC的交点为E，可求直线BC解析式为y=x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3）；当S△BED：S△BEP=1：2时，PD=3DE，得﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣3（x﹣3），解得x=2或3，∴或（舍去），∴P（2，﹣3）；当S△PBE：S△BED=1：2时，同理可得P（，﹣），故存在P（2，﹣3）或P（，﹣）．点评：此题是二次函数的综合类题目，涉及到：二次函数解析式的确定、圆周角定理、扇形面积的计算方法以及图形面积的求法等知识，综合性强，难度稍大．19．（16分）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（m•n+9m+11n+145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．考点：数的整除性．专题：计算题．分析：根据题意得到m+11=n+9，从（m+11）（n+9）+46的整除性得到m、n的值．解答：解：据题意m+11=n+9，且整除m•n+9m+11n+145，而m•n+9m+11n+145=（m+11）（n+9）+46，故m+11，n+9都整除46，由此得①或②，在①时，得每人捐款25元，在②时，每人捐款47元，综上可知，每人捐款数为25元或47元．点评：此题考查了数的整除性，要通过逻辑推理得到正确答案，体现了竞赛题的一般特征．20．（16分）已知△ABC是圆O的内接三角形，∠BAC的平分线交BC于F交圆O于D，DE切圆O于D交AC的延长线于E，连BD，若BD=3，DE+EC=6，AB：AC=3：2，求BC的长．考点：切线的性质．分析：利用切线的性质以及圆周角、弦切角、弧之间的关系证明直线平行和三角形相似分别求出AB、AC、DE、EC的值，然后利用三角形相似求出FC，AF，DF的值，最后利用相交弦定理求出BF的值，从而求出BC的值．解答：解：∵DE是圆O的切线，∴∠CDE=∠CBD=∠DAE．∴△ADE∽△DCE∴∴DE2=AE•EC∴DE2=（AC+EC）EC∵DE+EC=6∴DE=6﹣EC∴（6﹣EC）2=AC•EC+EC2∵∠CBD=∠DAC，∴∠CDE=∠DAC．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．∴∠CDE=∠BAD，BD=DC=3．∵∠BAD=∠BCD，∴∠CDE=∠BCD．∴BC∥DE．∴△ABD∽△DCE，∴∴AB•EC=18∵AB：AC=3：2设AB=3x，AC=2x，EC=y，则有解得：∴AB=9，AC=6，EC=2∴DE=4∵BC∥DE．∴△AFC∽△ADE∴=∴∴FC=3可以证明△DFC∽△BFA∴∴FA=∴∴AD=6∴DF=∵DF•AF=BF•FC∴∴BF=∴BC==．故BC的长为．点评：本题是一道切线的性质运用的解答题，考查了切割线定理，相交弦定理以及相似三角形的判定及性质、平行线的判定．综合性较强，难度较大．。

合肥168中学自主招生数学考试试题一、【填空题】1. 已知正数a、b、c满足a＋b＋c＝4，则2(a－b－c)的值为__________2. 已知3个正数x, y, z满足x+y+z=6，则（2x-y）z的值为__________3. 设0＜a，b＜1，则ab（a＋b）的值为__________4. 若a+b+c＝6,ab+bc+ca＝32，则a^3+b^3+c^3的值为__________二、【选择题】1. 如果两个整数a, b均大于0，则下列结论正确的是( )A. a×b一定大于a＋bB. 若a＜b，则a^2＜b^2C. ab＞0且a^2＞b^2D. 若a＜b，则a^2＞b^22. 已知a^2－b^2＝6, 则a＋b的值为( )A. -6B. -3C. 0D. 33. 已知a＋b＋c＝2, ab＋bc＋ca＝1，则a^3＋b^3＋c^3的值是( )A. -5B. -1C. 0D. 14. 已知函数f(x)=3x－8，则f(2)的值是( )A. -2B. -6C. 2D. 6三、【解答题】1. 已知x,y满足2xy－(x＋y)＝7，求x，y的值。

解：可以将2xy－(x＋y)＝7化为2xy－x＝7＋y，解得x(2y－1)=7＋y，即：x＝(7＋y)/(2y－1)代入2xy－(x＋y)＝7得2yz/(2y－1)-y=(7+y)/(2y-1)，由上式可得y＝－2或7当y＝－2时，故x＝－2；当y＝7时，故x＝3因此，x，y的值为(-2，-2)和(3，7)2. 抛物线y＝x^2＋4x＋5的顶点坐标是？解：设抛物线的顶点的坐标为(h，k)，则h为抛物线的x轴最上点，k即抛物线的y轴最上点设抛物线的顶点的一般式为y=ax^2+bx+c。

把一般式带入抛物方程：k=h^2+4h+c，所以顶点C(h，k)的坐标为(h，h^2+4h+5)。

求出h：由a(h-h)^2+b(h-h)+c=k，可知2ah-2ah+b=0故h=b/2a=4/2=-2所以顶点坐标为(-2, -1)。

53合肥168中学2012年自主招生考试数学卷 答案1、 0 ；2、)1()1(2+-x x ；3、2；4、133；5、6323+；6、 ；7、30 ；8、143；9、2； 10、1:3；11、3 12、199；13、解：设t x x =-21，则原方程变形为12=-tt 。

解得：1,221-==t t 。

…………………………………………（4分）当11,12-=--=x x t 即时，x 无解。

……………………………（7分） 当21,22=-=x x t 即时，解得1,2121-==x x 。

…………………（10分） 14、解：设甲车间有x 人，乙车间又y 人，则列方程及不等式得：⎩⎨⎧≤-+≤-+=-+200)1(116100)1(107)1(116x y x ………………………………（5分） 解得117181169≤≤x 。

………………………………………（7分） 所以x 可以为10,11,12,13,14,15,16,17,18.……………………（9分）又因为10211-=x y 且为整数，经检验，x=12符合题意，所以y=13. 答：甲车间有12人，乙车间有13人。

………………………（12分） 15（1）解：如图，过E 点作EG ⊥AB 交AB 的延长线于点G 。

∵∠A=∠PBC=∠DPE=900∴∠ADP+∠APD=∠APD +∠GPE∴∠ADP=∠GPE ……………………………（3分）在Rt △DAP 与Rt △PGE 中：∠ADP=∠GPE ；∠A=∠PGE ；PD=PE∴Rt △DAP ≅Rt △PGE∴EG=AP,AD=PG =AB ∴AP=EG=BG∴∠CBE=∠EBG=450 ; ……………………………（7分）(2)假设△PFD ∽△BFP ，则BFPB PF PD =. ∵∠ADP=∠F PB,∠A=∠PBF,∴△ADP ∽△BPF.∴.BFAP BF PB BF AP PF PD =∴= ∴PB=AP∴AB=2AP,即m=2时，△PFD ∽△BFP 。

2012年理科实验班自主招生考试数学试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）在﹣0.3168中，用数字4替换其中的一个非0数字后，使所得的数最大，则被替换的数字是（）A．1B．3C．6D．8考点：有理数大小比较．专题：存在型．分析：先用4替换该数中任一不等于0的数，再根据负数比较大小的法则进行解答即可．解答：解：若使所得数最大，则替换后的数的绝对值应最小，当4替换3时所得数为：﹣0.4168；当4替换1时所得数为：﹣0.3468；当4替换6时所得数为：﹣0.3148；当4替换8时所得数为：﹣0.3164；∵0.4168＞0.3468＞0.3164＞0.3148，∴﹣0.4168＜﹣0.3468＜﹣0.3164＜﹣0.3148，∴﹣0.3148最大，∴被替换的数字是6．故选C．点评：本题考查的是有理数的大小比较，解答此题的关键是熟知两负数比较大小时，绝对值大的反而小．2．（3分）如图，线段AF中，AB=a，BC=b，CD=c，DE=d，EF=e．则以A，B，C，D，E，F为端点的所有线段长度的和为（）A．5a+8b+9c+8d+5e B．5a+8b+10c+8d+5eC．5a+9b+9c+9d+5e D．10a+16b+18c+16d+10e考点：比较线段的长短．分析：首先求出以A为端点线段的长度，类比依次求出B、C、D、E为端点的线段的长度，然后求出这些线段的长度总和．解答：解：以A为端点线段有AB、AC、AD、AE、AF，这些线段长度之和为5a+4b+3c+2d+e，以B为端点线段有BC、BD、BE、BF，这些线段长度之和为4b+3c+2d+e，以C为端点线段有CD、CE、CF，这些线段长度之和为3c+2d+e，以D为端点线段有DE、DF，这些线段长度之和为2d+e，以E为端点线段有EF，线段的长度为e，故这些线段的长度之和为5a+8b+9c+8d+5e，故选A．点评：本题主要考查比较线段的长短的知识点，解答本题的关键是求出A，B，C，D，E，F为端点的所有线段的条数，本题不是很难．3．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（ac，b）所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：二次函数图象与系数的关系．专题：计算题．分析：根据二次函数的图象判断a、b、c的符号，再判断点P所在的象限．解答：解：抛物线开口向上，∴a＞0，抛物线对称轴y=﹣＞0，且a＞0，∴b＜0，抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴点P（ac，b）在第四象限．故选D．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．4．（3分）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD的长等于（）A．B．C．12 D．考点：勾股定理；特殊角的三角函数值．分析：分别延长AD、BC，两条延长线相交于点E，构造特殊三角形ABE，其中有一个锐角是60°，∠A是90°，那么另一个锐角是30°，在Rt△CDE中，∠E=30°，有CD=10，可求DE，那么AE的长就求出，在Rt△ABE中，利用∠E的正切值可求出AB，在Rt△ABD中，再利用勾股定理可求斜边BD的长．解答：解：延长AD、BC，两条延长线相交于点E，∵在Rt△ABE中，∠A=90°，∠B=60°，∴∠E=90°﹣60°=30°．∴在Rt△DCE中，∠E=30°，CD=10，∴DE=2CD=20，∴AE=AD+DE=20+4=24．∴在Rt△ABE中，AB=AE•tan∠E=AE•tan30°=×24=8，∴在Rt△ABD中，BD====4．故选A．点评：关键是作辅助线，构造特殊直角三角形，然后利用了勾股定理、特殊三角函数值解题．5．（3分）给出一列数，在这列数中，第50个值等于1的项的序号是（）A．4900 B．4901 C．5000 D．5001考点：规律型：数字的变化类．专题：规律型．分析：观察数字可知分子分母的和为k的分数的个数为k﹣1，并且分子分母的和为偶数的项中，有一个值等于1，依此即可求出第50个值等于1的项的序号．解答：解：第50个值等于1的项的分子分母的和为2×50=100，由于从分子分母的和为2到分子分母的和为99的分数的个数为：1+2+…+98=4851．第50个值等于1的项为．故4851+50=4901．故选B．点评：本题考查了规律型：数字的变化，有一定的难度，找到分子分母的和与分数的个数的关系，以及分子分母的和为偶数的项中，有一个值等于1的规律是解题的关键．6．（3分）如图，⊙O1与⊙O2外切于P，⊙O1，⊙O2的半径分别为2，1．O1A为⊙O2的切线，AB 为⊙O2的直径，O1B分别交⊙O1，⊙O2于C，D，则CD+3PD的值为（）A．B．C．D．考点：相切两圆的性质．专题：计算题．分析：分别求出CD和PD的长度，再计算CD+3PD：（1）由相似关系求PD的长度．连接O1O2，则O1O2过P点，三角形O1PD相似于O1BO2，由相似关系求出PD；（2）由切割线定理求CD的长度．这个要分两步做：①由勾股定理求出O1A、O1B的长度．在直角三角形O1O2A和O1AB中，分别用勾股定理求出O1A、O1B的长度；②由切割线定理求O1D的长度．由切割线定理O1A2=O1D•O1B，所以O1D可求出来．而解答：解：连接O1O2，∵AO2=1，O1O2=3，∴AO1==2，∴BO1===2，∴由切割线定理O1A2=O1D•O1B，得O1D==，∴CD=O1D﹣O1C=﹣2，又∵cos∠O2O1B==，则PD2=4+﹣cos∠O2O1B=4+﹣×=，∴PD=，∴CD+3PD=﹣2+3×=．故选D．点评：本题考查了相切两圆的性质，三角形的相似以及性质，是重点知识，要熟练掌握．二、填空题7．（5分）已知，且a+b+c≠0，那么直线y=mx﹣m一定不通过第二象限．考点：一次函数的性质；等式的性质；比例的性质．专题：计算题．分析：根据比例的性质得到3a+2b=cm，3b+2c=am，3c+2a=bm，相加即可求出m的值是5，得出y=5x ﹣5，即可得出答案．解答：解：∵，∴3a+2b=cm，3b+2c=am，3c+2a=bm，∴5a+5b+5c=（a+b+c）m，∵a+b+c≠0，∴m=5，∴y=mx﹣m=5x﹣5，∴不经过第二象限．故答案为：二．点评：本题主要考查对一次函数的性质，比例的性质，等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知求出m的值是解此题的关键．题型较好．8．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC=30°．考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．专题：数形结合．分析：根据三角形外角的性质，可得：∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，∠AED=∠EDC+∠C．解答：解：∵△ADE中，AD=AE，∴∠ADE=∠AED；∵∠AED=∠EDC+∠C①，而∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD②；∴②﹣①得：2∠EDC=∠B﹣∠C+∠BAD；∵AB=AC，∴∠B=∠C；∴∠EDC=∠BAD=30°．故答案为：30°．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，难度不大，注意等腰三角形性质的掌握与运用．9．（5分）如图，在直角△ABC中，AB=AC=2，分别以A，B，C为圆心，以为半径做弧，则三条弧与边BC围成的图形（图中阴影部分）的面积为．考点：扇形面积的计算；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：阴影部分的面积=三角形ABC的面积减去三个扇形的面积，然后根据扇形的面积公式和三角形的面积公式计算即可．解答：解：三个扇形的面积S==，∴S阴影部分=S△ABC﹣S=•2•2﹣=2﹣．故答案为2﹣．点评：本题考查了扇形的面积公式：S=．也考查了三角形的面积公式．10．（5分）分解因式：2m2﹣mn+2m+n﹣n2=（2m+n）（m﹣n+1）．考点：因式分解-分组分解法．专题：计算题．分析：多项式有5项，采用分组分解法，1，2，5项结合，因式分解，再与3，4两项提公因式．解答：解原式=（2m2﹣mn﹣n2）+（2m+n）=（2m+n）（m﹣n）+（2m+n）=（2m+n）（m﹣n+1）．故答案为：（2m+n）（m﹣n+1）．点评：本题考查了分组解法进行因式分解，关键是分组后组与组之间可以继续进行因式分解．11．（5分）如图：四边形EFGH是一个长方形台球桌面，有白、黑两球分别位于A，B两点的位置上．试问，怎样撞击白球A，才能使白球A先碰撞台边GH，再碰撞FG，经两次反弹后再击中黑球B？（将白球A移动路线画在图上，不能说明问题的不予计分）考点：作图—应用与设计作图．专题：作图题．分析：分别作出点A关于HG的对称点A′，点B关于FG的对称点B′，然后连接A′B′，交HG、FG 于点M，N，再连接AM、BN，则白球A移动路线图可得．解答：解：（1）作出点A关于HG的对称点A′，点B关于FG的对称点B′，（2）连接A′B′，分别交HG、FG于点M、N，（3）连接AM，BN，所以白球A的移动路线为A→M→N→B．点评：本题是考查了作图问题的应用与设计作图，利用轴对称的性质作出对称点是解题的关键，难度中等．12．（5分）有三位学生参加两项不同的竞赛，则每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有两位学生参加的概率为．考点：列表法与树状图法．分析：先根据题意画出树状图，从图上可知每项竞赛只许有两位学生参加的情况有6种，共有8种解答：解：用A、B分别表示两项不同的竞赛，如图所示：每项竞赛只许有两位学生参加的情况是AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，共6种，则每项竞赛只许有两位学生参加的概率为=．故答案为：．点评：本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．（5分）设[x]表示不超过x的最大整数（例如：[2]=2，[1.25]=1），则方程3x﹣2[x]+4=0的解为﹣4或﹣或﹣．考点：取整计算．分析：首先令[x]=n，可得方程3x﹣2n+4=0，即可求得x的值，然后由[x]≤x＜[x]+1，可得关于n的不等式组，解不等式组即可求得n的值，则代入方程即可求得x的值，注意要检验．解答：解：令[x]=n，代入原方程得3x﹣2n+4=0，即x=，又∵[x]≤x＜[x]+1，∴n≤＜n+1，整理得：3n≤2n﹣4＜3n+3，即﹣7＜n≤﹣4，∴n=﹣4或n=﹣5或n=﹣6，∴当n=﹣4时，x=﹣4，当n=﹣5时，x=﹣，当n=﹣6时，x=﹣，经检验，x=﹣4或x=﹣或x=﹣是原方程的解．故答案为：﹣4或﹣或﹣．点评：此题考查了取整函数的知识．注意[x]≤x＜[x]+1性质的应用是解此题的关键．14．（5分）如图，是一个挂在墙壁上时钟的示意图．O是其秒针的转动中心，M是秒针的另一端，OM=8cm，l是过点O的铅直直线．现有一只蚂蚁P在秒针OM上爬行，蚂蚁P到点O的距离与M 到l的距离始终相等．则1分钟的时间内，蚂蚁P被秒针OM携带的过程中移动的路程（非蚂蚁在秒针上爬行的路程）是16πcm．考点：弧长的计算．分析：作出辅助线得出△OMN≌△Q2OP，进而得出∠OPQ2=∠NOM=90°，得出从而蚂蚁P在1分钟时间内被秒针OM携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ1，OQ2为直径的两个圆，求出即可．解答：解：过M作MN⊥L于点N，过O作L的垂线交于点Q1，Q2，连接PQ2，则MN∥OQ2，∠M=∠MOQ2，∵OM=OQ2，MN=OP，∴△OMN≌△Q2OP，∴∠OPQ2=∠MNO=90°，∴点P在以OQ1为直径的圆上，同理点P在以OQ2为直径的圆上，从而蚂蚁P在1分钟时间内被秒针OM携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ1，OQ2为直径的两个圆，移动的路程为：2×8π=16π．故答案为：16π．点评：此题主要考查了弧长的计算以及物体移动路线问题，此题综合性较强得出从而蚂蚁P在1分钟时间内被秒针OM携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ1，OQ2为直径的两个圆是解决问题的关键．三、解答题15．（12分）已知A、B两地相距45千米，骑车人与客车分别从A、B两地出发，往返于A、B两地之间．如图中，折线表示某骑车人离开A地的距离y与时间x的函数关系．客车8点从B地出发，以45千米/时的速度匀速行驶．（乘客上、下车停车时间忽略不计）①在阅读如图的基础上，直接回答：骑车人共休息几次？骑车人总共骑行多少千米？骑车人与客车总共相遇几次？②试问：骑车人何时与客车第二次相遇？（要求写出演算过程）．考点：一次函数的应用．专题：应用题；图表型．分析：（1）看图可知，折线图中有两段水平的线，故休息了两次，时间是两次之和（看横轴）；（2）根据题意，客车一小时行驶45千米，故它的图象是两小时一个来回．从左向右看，两条折线的第二个交点就是它们第二次相遇．求出EF的函数解析式就可以了，找到特殊点（9，0）和（10，45）用待定系数法可求出．解答：解：（1）依题意得：骑车人共休息2次；骑车人总共骑行90千米；骑车人与客车总共相遇8次；（2）已知如图：设直线EF所表示的函数解析式为y=kx+b．把E（9，0），F（10，45）分别代入y=kx+b，得，解得，∴直线EF所表示的函数解析式为y=45x﹣405，把y=20代入y=45x﹣405，得45x﹣405=20，∴．答：时骑车人与客车第二次相遇．点评：本题考查了一次函数的应用：通过表格当中的信息是解题关键；根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．此题比较复杂，首先是正确理解题意，这要求仔细观察图象，从图象中得到需要的信息，关键知道它们走的方向不同．此外还用到了待定系数法求函数解析式．16．（12分）如图1：等边△ADE可以看作由等边△ABC绕顶点A经过旋转相似变换得到．但是我60°形成的．于是我们得到一个结论：如果两个正三角形存在着公共顶点，则该图形可以看成是由一个三角形绕着该顶点旋转60°形成的．①利用上述结论解决问题：如图2，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BFC 都是等边三角形，求四边形ADFE的面积；②图3中，△ABC∽△ADE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=θ，仿照上述结论，推广出符合图3的结论．（写出结论即可）考点：旋转的性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：①最外沿大五边形等于一个正三角形+2个直角三角形，故可求其面积；用大五边形面积减去3个三角形面积即可求得结果（三角形ABD、三角形ACE、三角形ABC）；②结论应该是：如果两个等腰三角形有公共顶点，则该图形可以看成是一个三角形绕着该顶点旋转θ度形成的．解答：解：①S FDAE=S DFECB﹣S△ABD﹣S△ABC﹣S△ACE，=S△BCF+S△BDF+S△CEF﹣S△ABD﹣S△ABC﹣S△ACE，=××5+﹣××3﹣×2×4﹣×3×4，=6；②结论：如果两个等腰三角形有公共顶角顶点，顶角均为θ，则该图形可以看成一个三角形绕着该顶点旋转θ形成的．点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和三角形面积的计算，解题的关键是要把握图形的变换．17．（12分）在三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C对应的边分别是a，b，c，其中a﹣b=2，CD⊥AB于D，BD﹣AD=2，求△ABC三边的长．考点：勾股定理．专题：计算题．分析：设出斜边长和斜边上的高，利用锐角三角函数表示出a与b的和，再利用已知条件中的两边之差求得a和b的值即可．解答：解：设AB=c，CD=hBD=a×sinA=a×，AD=b×cosA=b×，BD﹣AD=﹣==2a﹣b=2a+b=（）×c两边同时平方得：c2+2ab=c2 ∴2ab=c2，∵ab=ch，∴ab=ch=c2，∴4h=ca2+b2﹣2ab=8c2﹣2ch=8c2﹣c2=8c=4a=+b=﹣点评：本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用锐角三角函数值表示出两直角边的和，然后利用已知条件求得两直角边的值．18．（12分）按下面规则扩充新数：已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3．①求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；②能否通过上述规则扩充得到新数5183？并说明理由．考点：因式分解的应用．分析：①将2与3分别代入求解，再取其最大的两个值依次代入即可求得答案；②找到规律：设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数，即可得当a=2，b=3时，x+1=3m×4n，然后求解即可．解答：解：①∵a=2，b=3，c1=ab+a+b=6+2+3=11，∴取3和11，∴c2=3×11+3+11=47，取11与47，∴c3=11×47+11+47=575，∴扩充的最大新数575；②5183可以扩充得到．∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）﹣1，∴c+1=（a+1）（b+1），取数a、c可得新数d=（a+1）（c+1）﹣1=（a+1）（b+1）（c+1）（a+1）﹣1=（a+1）2（b+1），即d+1=（a+1）2（b+1），同理可得e=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）﹣1，∴e+1=（b+1）2（a+1），设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数，当a=2，b=3时，x+1=3m×4n，又∵5183+1=5184=34×43，故5183可以通过上述规则扩充得到．点评：此题考查了因式分解的应用，解题的关键是找到规律设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数．19．（14分）如图，二次函数y=ax2+bx（a＞0）的图象与反比例函数图象相交于点A，B，已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．①求实数k的值；②求二次函数y=ax2+bx（a＞0）的解析式；③设抛物线与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不能重合），过E点作EF∥OB交BD于F，连接BE，设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S于m的函数关系式；④在③的基础上，试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时E点的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题；解二元一次方程；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义．专题：计算题．分析：①把A（1，4）代入即可；②过B作BM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，过A作AH⊥x轴于H，两线BN和AH交于Q，设OM=c，ON=d，c＞0，d＞o，根据S=S△ABQ﹣S△AOH﹣S△BNO﹣S矩形ONQH，和cd=4，求出c=2，d=2，得到B（﹣2，﹣2），把A（1，4）和B（﹣2，﹣2）代入抛物线得出方程组，求出方程组得解即可；③充分利用（﹣2，﹣2）这一坐标，由△DFE相似于△DBO求得EF的长（含m），再表示出F到x轴的距离，利用△EDB的面积减去△EDF的面积即可建立S与m的函数关系④S=m（1+﹣m），当m=时，S最大，把m=代入即可求出s，从而得到E的坐标．解答：解：①把A（1，4）代入得：k=xy=4，答：实数k的值是4．②过B作BM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，过A作AH⊥x轴于H，两线BN和AH交于Q，设OM=c，ON=d，c＞0，d＞o，则：S=S△ABQ﹣S△AOH﹣S△BNO﹣S矩形ONQH，即：3=（1+c）（4+d）﹣×1×4﹣cd﹣d×1，cd=k=4，解得：c=2，d=2，∴B（﹣2，﹣2），把A（1，4）和B（﹣2，﹣2）代入抛物线得：，解得：，∴y=x2+3x，答：二次函数y=ax2+bx（a＞0）的解析式是y=x2+3x．⑨把y=0代入y=x2+3x得：x2+3x=0，解得：x1=0，x2=﹣3，∴D（﹣3，0），即OD=3，∵B（﹣2，﹣2），∴由勾股定理得：OB=2，∵EF∥OB，∴△DFE∽△DBO，∴=，∴=，∴EF=2﹣m，过F作FC⊥x轴于C，根据相似三角形的对应高之比等于相似比得：=，∴=，FC=S=S△EDB﹣S△EDF=DE×BM﹣FC×DE，即S=﹣m2+m，∴S与m的函数关系S=﹣m2+m．④S=﹣m2+m．当m=时，S最大，是，∴，答：在③的基础上，S存在最大值，S的最大值是，此时E点的坐标是（﹣，0）．点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，反比例函数的图象上点的坐标特征，解二元一次方程，三角形的面积，平行线的性质，勾股定理，函数的最值，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．。

，（2014年安徽省168中学自主招生考试数学模拟试卷三一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）若实数n满足（n﹣2011）2+（2012﹣n）2=1，则（2012﹣n）（n﹣2011）等于（）A．﹣1B．0C．D．12．（4分）如图，正方形ABCD及正方形AEFG，连接BE、CF、DG．则BE：CF：DG等于（）A．1：1：1B．1：：1C．1：：1D．1：2：13．（4分）如图，已知∠AOM=60°在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B的个数为（）A．1B．2C．3D．44．（4分）有10条不同的直线y=k n x+b n（n=1，2，3，…，10），其中k3=k6=k9，b4=b7=b10=0，则这10条直线的交点个数最多有（）A．45个B．40个C．39个D．31个5．（4分）设一元二次方程x2+6x+c=0的两根为98，99，在二次函数y=x2+6x+c中，若x取0，1，2，3， (100)则y的值能被6整除的个数是（）A．33B．34C．65D．676．（4分）若二次函数y=x2﹣（2p+1）x﹣3p在﹣1≤x≤1的范围内至少有一个x的值使y≥0成立，则p的取值范围是（）A．p＞2B．p＞0C．p≤0D．0＜p≤27．4分）观察图（1），容易发现图（2）中的∠1=∠2+∠3．把图（2）推广到图（3），其中有8个角：∠1，∠2，…，∠8．可以验证∠1=∠2+∠5+∠8成立．除此之外，恰好还有一组正整数x，y，z，满足2≤x≤y≤z≤8，使得∠1=∠x+∠y+∠z，那么这组正整数（x，y，z）=（）A．（3，4，7）B．（3，5，7）C．（3，3，7）D．（4，6，7）， 8．（4 分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AC ⊥BD 于点 E ，若 AB=4，CD=3，则⊙O 的半径为（ ）A ．3B ．C ．2.5D ．9．（4 分）如图，边长为 1 的正方形 EFGH 在边长为 3 的正方形 ABCD 所在平面上移动，始终保持 EF ∥AB ．线段 CF 的中点为 M ，DH 的中点为 N ，则线段 MN 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（4 分）若对于所有的实数 x ， 恒为负数，且，则 M 的值为（ ）A ．﹣3B ．3二、填空题：（每小题 4 分，共 32 分）C ．﹣2a+2b ﹣3D ．4b+711．（4 分）若关于 x 的方程 =3 的解是非负数，则 b 的取值范围是_________ ．12．（4 分）如图，在正九边形 ABCDEFGHI 中，若 AB+AC=3，则对角线 AE= _________ ．13．（4 分）如图，梯形 A BCD 中，AD ∥BC ，∠A=90° E 为 CD 的中点，BE=6.5，梯形 ABCD 的面积为 30，那么AB+BC+DA= _________ ．得14．（4分）如图，在△Rt ABC中，AB=BC=6，点E，F分别在边AB，BC上，AE=3，CF=1，P是斜边AC上的一个动点，则△PEF周长的最小值为_________．15．（4分）一个圆内接八边形相邻四条边长为1，另四条边长是2，则其面积为_________．16．（4分）如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在200个小伙子中，如果某人不亚于其他199人，就称他为棒小伙子，那么，200个小伙子中的棒小伙子最多可能有_________．17．（4分）如图，在△ABC中，已知D是边BC上一点，满足AD=AC，E是边AD的中点，满足∠BAD=∠ACE，若△S BDE=2，则△S ABC为_________．18．（4分）已知关于x的不等式组只有5个整数解，则t的取值范围是_________．三、解答题：（每题12分，共48分）19．（12分）如图，将▱OABC放置在平面直角坐标系xOy内，已知AB边所在直线的解析为：y=﹣x+4．（1）点C的坐标是（_________，_________）；（2）若将▱OABC绕点O逆时针旋转90°OBDE，BD交OC于点P△，求OBP的面积；（3）在（2）的情形下，若再将四边形OBDE沿y轴正方向平移，设平移的距离为x（0≤x≤8），与▱OABC重叠部分面积为S，试写出S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．20．（12分）（2013•滨湖区一模）如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，BF⊥AB交AD的延长线于点F，（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长．（21．（12 分）某种乐器有 10 个孔，依次记作第 1 孔，第 2 孔，…，第 10 孔，演奏时，第n 孔与其音色的动听指数 D 之间满足关系式 D =n 2+kn+90，该乐器的最低动听指数为 4k+106，求常数 k 的取值范围．22． 12 分）若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同．如果这些工人同时工作，则需 10 小时装卸完毕．现 改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔 t （整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的 ．问：（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？（2）参加装卸的有多少名工人？2（2014年安徽省168中学自主招生考试数学模拟试卷三参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）若实数n满足（n﹣2011）2+（2012﹣n）2=1，则（2012﹣n）（n﹣2011）等于（）A．﹣1B．0C．D．1考点：完全平方公式．分析：利用完全平方公式的变形得到a2+b2=（a+b）﹣2ab．所以，根据该变形公式可以化简已知等式为（n﹣2011）2+（2012﹣n）2=1﹣2（2012﹣n）n﹣2011）=1，由此易求所求代数式的值．解答：解：∵（n﹣2011）2+（2012﹣n）2=（n﹣2011+2012﹣n）2﹣2（2012﹣n）（n﹣2011）=（﹣2011+2012）2﹣2（2012﹣n）（n﹣2011）=1﹣2（2012﹣n）（n﹣2011）=1，即1﹣2（2012﹣n）（n﹣2011）=1则（2012﹣n）（n﹣2011）=0．故选B．点评：本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．2．（4分）如图，正方形ABCD及正方形AEFG，连接BE、CF、DG．则BE：CF：DG等于（）A．1：1：1B．1：：1C．1：：1D．1：2：1考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：计算题．分析：根据正方形的性质，即可得AG=AE，AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°推出∠DAG=∠EAB，由边角边判定方法即可证得△ABE△≌ADG，即BE=DG，连接AC，AF可证得△ABE∽△ACF，根据相似三角形的性质即可求得．解答：解：∵正方形ABCD和AEFG，∴AG=AE，AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，∴∠DAG=∠EAB，∴△ADG≌△ABE，∴DG=BE，∵正方形ABCD和AEFG，∴∠DAC=∠GAF=×90°=45°，∴∠DAG=∠FAC=∠EAB，由勾股定理得：==，∴△ABE∽△ACF，∴===，∴BE：CF：DG=1：故选B．：1，点评：本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，题型较好，难度适中．3．（4分）如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：三角形边角关系．分析：首先过点B作BC⊥OA，交OA于点C，连接AB，可能有两种情况，垂足在OA上或者垂足在OA延长线上，然后设OB=y，AB=x，由勾股定理即可求得：y2﹣（y）2=x2﹣（8﹣y）2或x2﹣（y﹣4）2=y2﹣（y）2，整理可得x2﹣（y﹣4）2=48，然后将原方程转为X2﹣Y2=48，先求（X+Y）（X﹣Y）=48的正整数解，继而可求得答案．解答：解，过点B作BC⊥OA，交OA于点C，连接AB，可能有两种情况，垂足在O A上或者垂足在OA延长线上．设OB=y，AB=x，∵∠AOM=60°，∴OC=OB•cos60°=y，∴AC=OA﹣OC=8﹣y或AC=OC﹣OA=y﹣8，∵BC2=OB2﹣OC2，BC2=AB2﹣AC2，∴y2﹣（y）2=x2﹣（8﹣y）2或x2﹣（y﹣4）2=y2﹣（y）2，∴x2﹣（y﹣4）2=48，∵x与y是正整数，且y必为正整数，x﹣4为大于等于﹣4的整数，将原方程转为X2﹣Y2=48，先求（X+Y）（X﹣Y）=48的正整数解，∵（X+Y）和（X﹣Y）同奇同偶，∴（X+Y）和（X﹣Y）同为偶数；∴X2﹣Y2=48可能有几组正整数解：，解得：，，，，，∴x的可能值有3个：x=7，x=8或x=13，当x=7时，y﹣4=±1，y=3或y=5；当x=8时，y﹣4=±4，y=8或y=0（舍去）；当x=13时，y﹣4=±11，y=15或y=﹣7（舍去）；∴共有4组解：故选D．或或或．点评：此题考查了勾股定理的应用以及整数的综合应用问题．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．4．（4分）有10条不同的直线y=k n x+b n（n=1，2，3，…，10），其中k3=k6=k9，b4=b7=b10=0，则这10条直线的交点个数最多有（）A．45个B．40个C．39个D．31个考点：两条直线相交或平行问题．专题：规律型．分析：因为题中已知k3=k6=k9，b4=b7=b10=0，可知：直线3，6，9相互平行没有交点，直线4，7，10交于一点，由此即可求解此题．解答：解：由直线y=k n x+b n且k3=k6=k9，b4=b7=b10=0可得：直线3，6，9相互平行没有交点，直线4，7，10交于原点，则直线1，2，3，4，5，7，8，10的交点数量为：8×7÷2﹣2=26，再加上6，9两条直线增加的交点数量为2×7=14，所以得出交点最多就是26+14=40条，故选B．点评：本题考查了两条直线相交或平行问题，难度较大，做题关键在于分析得出三条平行三条相交．5．（4分）设一元二次方程x2+6x+c=0的两根为98，99，在二次函数y=x2+6x+c中，若x取0，1，2，3， (100)则y的值能被6整除的个数是（）A．33B．34C．65D．67考点：抛物线与x轴的交点．分析：根据题意列出该一元二次方程为y=（x﹣98）（x﹣99）．当x为整数时，y一定是偶数．故（x﹣98）和（x ﹣99）当中，有一个能被3整除，那么y就可以被6整除；当x除以3余1时，（x﹣98）和（x﹣99）都不能被3整除，此时y不能被6整除，其余的时候，y可以被6整除，等于当x=1，4，7，10…94，97，100时，y不能被6整除（x一共有34个值）x为其余的值，y可以被6整除．（解答：解：∵一元二次方程x2+6x+c=0的两根为98，99，∴该一元二次方程是：y=（x﹣98）（x﹣99）．当x为整数时，y一定是偶数，∴（x﹣98）和（x﹣99）当中，有一个能被3整除，那么y就可以被6整除；当x除以3余1时，（x﹣98）和（x﹣99）都不能被3整除，此时y不能被6整除，其余的时候，y可以被6整除，∴当x=1，4，7，10…94，97，100时，y不能被6整除（x一共有34个值），x为其余的值，y可以被6整除，所以，能被6整除的个数有101﹣34=67，故选D．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解题的关键是弄清楚能被6整除的数的特点．6．（4分）若二次函数y=x2﹣（2p+1）x﹣3p在﹣1≤x≤1的范围内至少有一个x的值使y≥0成立，则p的取值范围是（）A．p＞2B．p＞0C．p≤0D．0＜p≤2考点：二次函数的性质．分析：在自变量的取值范围内取两个值，代入函数确定不等式组求解即可；解答：解：∵二次函数y=x2﹣（2p+1）x﹣3p在﹣1≤x≤1的范围内至少有一个x的值使y≥0成立，∴解得：p≤0．故选C．点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，解题的关键是根据题意得到一元一次不等式组；7．4分）观察图（1），容易发现图（2）中的∠1=∠2+∠3．把图（2）推广到图（3），其中有8个角：∠1，∠2，…，∠8．可以验证∠1=∠2+∠5+∠8成立．除此之外，恰好还有一组正整数x，y，z，满足2≤x≤y≤z≤8，使得∠1=∠x+∠y+∠z，那么这组正整数（x，y，z）=（）A．（3，4，7）B．（3，5，7）C．（3，3，7）D．（4，6，7）考点：三角形边角关系．分析：利用三角形外角的性质及边长为1的正方形网格的性质得到和等于45°的3个角的即可得到答案．解答：解：∵小正方形的边长为1，∴∠1=45°，∵∠1=∠x+∠y+∠z，∴∠x+∠y+∠z=45，∵一组正整数x，y，z，满足2≤x≤y≤z≤8，∴∠1=∠3+∠4+∠7=45°，∴这组正整数（x，y，z）=3，4，7；故选A．点评：本题考查了图形规律类题目，解题的关键是仔细地观察题目提供的例子并从中找到正确的规律，并利用此规律解题．8．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD于点E，若AB=4，CD=3，则⊙O的半径为（）A．3B．C．2.5D．考点：垂径定理；勾股定理．分析：作直径CM，连接AM，DM，求出DM=AB=4，根据勾股定理求出CM即可．解答：解：作直径CM，连接AM，DM，则∠MAC=90°，∵BD⊥AC，∴AM∥BD，∴弧AD=弧BM，∴弧AMB=弧MAD，∴DM=AB=4，∵CM是直径，∴∠MDC=90°，∴由勾股定理得：CM==5，∴⊙O的半径是2.5，故选C．点评：本题考查了圆周角定理，勾股定理的应用，主要考查学生的推理能力．9．（4分）如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（）B．A．C．D．梯形中位线定理；勾股定理；正方形的性质．考点：专题：压轴题；数形结合．分析：因为题目没有确定正方形EFGH的位置，所以我们可以将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，重新作出图形，这样有利于我们解题，过点M作MO⊥ED与O，则可得出OM是梯形FEDC的中位线，从而可求出ON、OM，然后在△RT MON中利用勾股定理可求出MN．解答：解：如图，将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M作MO⊥ED与O，则MO是梯形FEDC的中位线，∴EO=OD=2，MO=（EF+CD）=2．∵点N、M分别是AD、FC的中点，∴AN=ND=，∴ON=OD﹣ND=2﹣=．在△RT MON中，MN2=MO2+ON2，即MN=故选B．=．点评：本题考查了梯形的中位线定理、正方形的性质及勾股定理的知识，属于综合性题目，对待这样既有动态因素又不确定位置的题目，一定要将位置特殊化，这样不影响结果且解题过程简单，同学们要学会在以后的解题中利用这种思想．10．（4分）若对于所有的实数x，恒为负数，且，则M的值为（）A．﹣3B．3C．﹣2a+2b﹣3D．4b+7考点：二次根式的性质与化简；非负数的性质：偶次方；配方法的应用．分析：解答：首先将配方，进而利用此式恒为负数，得出a，b以及a﹣b的符号，进而化简M得出即可．解：∵=﹣（x2﹣2x）﹣b，=﹣[（x﹣）2﹣a]﹣b，=﹣（x﹣）2+a﹣b恒为负数，则a﹣b＜0，a＞0，∴b＞0，a+b＞0，∴=2﹣（a+b+2）+（a﹣b﹣3）=2（b+1）﹣a﹣b﹣2+a﹣b﹣3=﹣3．故选；A．点评：此题主要考查了二次根式的化简求值，利用已知得出a，b，a﹣b的符号是解题关键．二、填空题：（每小题4分，共32分）11．（4分）若关于x的方程=3的解是非负数，则b的取值范围是b≤3且b≠2．考点：分式方程的解．专题：计算题．分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求b的取值范围．解答：解：去分母得，2x﹣b=3x﹣3∴x=3﹣b∵x≥0∴3﹣b≥0解得，b≤3又∵x﹣1≠0∴x≠1即3﹣b≠1，b≠2则b的取值范围是b≤3且b≠2．点评：由于我们的目的是求b的取值范围，根据方程的解列出关于b的不等式，另外，解答本题时，易漏掉分母不等于0这个隐含的条件，这应引起足够重视．12．（4分）如图，在正九边形ABCDEFGHI中，若AB+AC=3，则对角线AE=3．考点：正多边形和圆．分析：先由多边形的内角和定理，求出正九边形内角的度数，由圆周角定理可求出∠CAB=20°，连接AH，作HM，GN分别垂直AE于M，N，再求出△AHM中各角的度数，由正方形的性质及直角三角形的性质即可解答．解答：解：∵正九边形内角和为（9﹣2）×180°=1260°，∴每个内角为140°，又∵AB=BC，∠B=140°，∴∠CAB=（180°﹣140°）÷2=20°，连接AH，作HM，GN分别垂直AE于M，N．∵∠CAE=2∠CAB=2×20°=40°．∴∠HAM=140°﹣2×20°﹣40°=60°，∴∠AHM=30°，设AM=EN=x，MN=y，四边形HGNM是矩形，所以HG=y，即正九边形边长为y，在△Rt AHM中，∠AHM=30°，∴AC=AH=2AM=2x，2 ∴AB+AC=y+2x ，∵AE=AM+MN+EN=2x+y ，∴AE=AB+AC=3．故答案为：3．点评： 本题考查的是正多边形和圆及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．13．（4 分）如图，梯形 A BCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，E 为 CD 的中点，BE=6.5，梯形 ABCD 的面积为 30，那么 AB+BC+DA= 17 ．考点： 梯形；勾股定理；三角形中位线定理．分析： 首先延长 BE 与 AD ，交于 F 点，设 AB=h ，AD=a ，BC=b ，易得△ BCE ≌△FDE ，然后可得 h 2+（a+b ） =132，（a+b ）•h=30，继而求得 a+b+h 的值，即可求得答案．解答： 解：延长 BE 与 AD ，交于 F 点，设 AB=h ，AD=a ，BC=b ，∵梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，E 为 CD 的中点，∴∠F=∠CBE ，DE=CE ，△在 BCE △和 FDE 中，，∴△BCE ≌△FDE （AAS ），∴DF=BC=b ，EF=BE=6.5，∴BF=13，AF=AD+BF=a+b ，∵AB 2+AF 2=BF 2，∴h 2+（a+b ）2=132，∵梯形 ABCD 的面积为 30，∴ （a+b ）•h=30，∴[h+（a+b ）]2=h 2+（a+b ）2+2（a+b ）•h=169+120=289，∴h+a+b=17．故 AB+BC+DA=17．故答案为 17．点评： 此题考查了直角梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握方程思想， 与数形结合思想的应用．14．（4 分）如图，在 △Rt ABC 中，AB=BC=6，点 E ，F 分别在边 AB ，BC 上，AE=3，CF=1，P 是斜边 AC 上的 一个动点，则△ PEF 周长的最小值为 +2．考点： 轴对称-最短路线问题．分析： △由于 PEF 的周长=EF+PF+PE ，而 EF 为定值，所以当 PF+PE 取最小值时，△ PEF 的周长最小．为此，作点 B 关于 AC 的对称点 D ，连接 AD ，CD ，取 AD 的中点 E ′，连接 E ′F ，与 AC 交于点 P ，此时 PF+PE=E ′F ， 值最小，然后在 △Rt E ′FG 中利用勾股定理求解即可．解答： 解：如图，作点 B 关于 AC 的对称点 D ，连接 AD ，CD ，则 AC 垂直平分 BD ，又∵AB=BC ，∴BD 平分 AC ，且 AC=BD ，∴四边形 ABCD 是正方形．取 AD 的中点 E ′，连接 E ′F ，与 AC 交于点 P ．∵E ，E ′关于 AC 对称，∴PE=PE ′，此时 PF+PE=PF+PE ′=E ′F ，值最小．过点 F 作 FG ⊥AD 于 G ．在 △Rt E ′FG 中，∠E ′GF=90° FG=AB=6，GE ′=3﹣1=2，∴E ′F== =2 ，∵EF== = ， ∴△PEF 周长的最小值=EF+E'F=故答案为 +2 ．+2 ．点评： 本题考查了正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理，综合性较强，有一定难度，准确作出辅助线，确定 P 点的位置是解题的关键．15．（4 分）一个圆内接八边形相邻四条边长为 1，另四条边长是 2，则其面积为．考点： 面积及等积变换．分析： 根据题意由弓形面积公式知所求的八边形的面积与八边形各边长排列顺序无关，不妨设八边形 ABCDEFGH（如图），且有 AB=CD=EF=GH=2，BC=DE=FG=HA=1，双向延长 AH 、BC 、DE 、FG 得正方形 KLMN ， 进而得出 S 八边形 ABCDEFGH =S 正方形 KLMN ﹣△4S ABK 求出即可．解答： 解：由弓形面积公式知所求的八边形的面积与八边形各边长排列顺序无关，不妨设八边形ABCDEFGH （如图），且有 AB=CD=EF=GH=2，BC=DE=FG=HA=1，双向延长 AH 、BC 、DE 、FG 得正方形 KLMN ，△则 ABK 、△ CDL △、 FEM 、△ GHN 全等且是等腰直角三角形， ∵AB=2，∴AK=BK= ，同理可得：LC=LD=EM=FM=GN=HN=， ∴LK=LM=MN=KN=2 +1，故 S 八边形 ABCDEFGH =S 正方形 KLMN ﹣4S △ ABK =（2+1）2﹣4× ×（ ）2=5+4 ．故答案为：5+4．点评： 此题主要考查了面积及等积变换，根据题意得出所求的八边形的面积与八边形各边长排列顺序无关进而求 出是解题关键．16．（4 分）如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在200 个小伙子中，如果某人不亚于其 他 199 人，就称他为棒小伙子，那么，200 个小伙子中的棒小伙子最多可能有 200 个 ．考点： 推理与论证．分析： 欲求得最多是多少人，且如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，我们可把这一百个小伙子用A 1～A 200来表示，然后根据体重和身高两个条件找出答案．解答： 解：先退到两个小伙子的情形，如果甲的身高数＞乙的身高数，且乙的体重数＞甲的体重数，可知棒小伙子最多有 2 人．再考虑三个小伙子的情形，如果甲的身高数＞乙的身高数＞丙的身高数，且丙的体重数＞乙的体重数＞甲 的体重数，可知棒小伙子最多有 3 人．这时就会体会出小伙子中的豆芽菜与胖墩现象．由此可以设想，当有 200 个小伙子时，设每个小伙子为 A i ，（i=1，2，…，200），其身高数为 x i ，体重数为y i ，当y 200＞y 199＞…＞y i ＞y i ﹣1＞…＞y 1 且 x 1＞x 2＞…＞x i ＞x i+1＞…＞x 200 时，由身高看，A i 不亚于 A i+1，A i+2，…， A 200；由体重看，A i 不亚于 A i ﹣1，A i ﹣2，...，A 1 所以，A i 不亚于其他 199 人（i=1，2，...，200）所以，A i 为棒小 伙子（i=1，2， (200)因此，200 个小伙子中的棒小伙子最多可能有 200 个．故答案为：200 个．点评： 本题主要考查了推理和论证，关键注意本题有身高和体重两种情况，少有一项大，就称作不亚于，从而可求出解，属于基础题．17．（4 分）如图，在△ ABC 中，已知 D 是边 BC 上一点，满足 AD=AC ，E 是边 AD 的中点，满足∠BAD=∠ACE ， 若 △S BDE =2，则 △S ABC 为 8 ．27考点： 面积及等积变换．分析： 先计算出△ ABD 的面积，然后取 CD 中点 F ，连接 EF ，构造△ CEF ，判断出△ ABD ∽△CEF ，从而利用面积比等于相似比的平方可求出 △S CEF ，进而可求出 △S ACE ，根据 △S ADC =2S △ ACE ，可求出 △S ADC ，然后即可得出 △S ABC ．解答： 解：∵E 是 AD 的中点，∴△S ABD =2S △ BDE =4（等高，底边 AD=2DE ）， 取 CD 中点 F ，连接 EF ，∵E 为 AD 中点，F 为 DC 中点，∴EF ∥AC ，∴∠ACE=∠FEC ，∠EFD=∠ACD ，∵∠BAD=∠ACE ，∴∠BAD=∠CEF ，∵AC=AD ，∴∠ADF=∠ACD ，∴∠EDF=∠EFD ，∴∠ADB=∠EFC ，∴△ABD ∽△CEF ，∴= =2，∴△SCEF = S △ ABD =1，又∵△CEF △与 ACE 等高，底边 AC=2EF ，∴△S ACE =2S △ CEF =2，∴△S ADC =2S △ ACE =4，故 △S ABC △=S ABD △+S ACD =8．故答案为：8．点评： 本题考查了面积及等积变换，构造三角形 CEF 是解答本题的关键，要求我们熟练掌握相似三角形的判定及面积比等于相似比的平方，难度较大．18．（4 分）已知关于 x 的不等式组只有 5 个整数解，则 t 的取值范围是 25.5＜t ≤ ．考点： 一元一次不等式组的整数解．分析： 求出不等式组的解集，根据不等式组的解集得出关于 t 的不等式组，求出即可．解答：解：∵解不等式﹣x＞6得：x＜﹣13，解不等式﹣﹣t＜x得：x＞﹣1﹣t，∴﹣1﹣t＜x＜﹣13，∵关于x的不等式组只有5个整数解，∴﹣19≤﹣1﹣t＜﹣18，25.5＜t≤27，故答案为：25.5＜t≤27．点评：本题考查了解一元一次不等式组的应用，关键是能得出关于t的不等式组．三、解答题：（每题12分，共48分）19．（12分）如图，将▱OABC放置在平面直角坐标系xOy内，已知AB边所在直线的解析为：y=﹣x+4．（1）点C的坐标是（﹣4，4）；（2）若将▱OABC绕点O逆时针旋转90°得OBDE，BD交OC于点P△，求OBP的面积；（3）在（2）的情形下，若再将四边形OBDE沿y轴正方向平移，设平移的距离为x（0≤x≤8），与▱OABC重叠部分面积为S，试写出S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．考点：一次函数综合题．分析：（1）由AB边所在直线的解析为：y=﹣x+4，即可求得点A与B的坐标，又由四边形OABC是平行四边形，即可求得BC=OA=4，则可求得点C的坐标；（2）易证得△OBP是等腰直角三角形，又由BO=4，即可求得△OBP的面积；（3）分别从当0≤x＜4时与当4≤x≤8时去分析求解即可求得答案．解答：解：（1）∵AB边所在直线的解析为：y=﹣x+4，∴点A的坐标为：（4，0），点B的坐标为：（0，4），∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=OA=4，BC∥OA，∴点C的坐标为：（﹣4，4）；故答案为：﹣4，4；（2）由旋转的性质，可得：OD=OB=4，∵∠BOD=90°，∴∠OBD=45°，∵OB=BC，∠OBC=90°，∴∠BOC=45°，， K∴∠OPB=90° BP=OP ，∵OB=4，∴OP=BP=2 ，∴△S OBP = OP •BP=4；（3）①如图 1：当 0≤x ＜4 时，∵OF=GB=x ，∴△S OFK = x 2，△S HBG = x 2．∵△S OPG = （x+4）2，∴S 五边形FBHP = （x+4）2﹣ x 2﹣ x 2=﹣ x 2+2x+4=﹣ （x ﹣2）2+6． 当 x=2 时，S max =f （2）=6；②当 4≤x ≤8 时，∵HB=FB=x ﹣4，∴CH=8﹣x ，∴△S CPH = （8﹣x ）2．当 x=4 时，S max =f （4）=4．∴当 x=2 时，S 取得最大值为 6．点评： 此题属于一次函数的综合题，考查了一次函数的性质、二次函数的最值问题、平行四边形的性质、旋转的性质以及平移的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．20．（12 分）（2013•滨湖区一模）如图，AB 为⊙O 的直径，AD 平分∠BAC 交⊙O 于点 D ，DE ⊥AC 交 AC 的延长 线于点 E ，BF ⊥AB 交 AD 的延长线于点 F ，（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若 DE=3，⊙O 的半径为 5，求 BF 的长．考点：切线的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）由AD平分∠BAC，得到∠1=∠2，而OD=OA，∠2=∠3，所以∠1=∠3，则有OD∥AE，而DE⊥AC，所以OD⊥DE；（2）过D作DP⊥AB，P为垂足，则DP=DE=3，由⊙O的半径为5，在△Rt OPD中，OD=5，DP=3，得OP=4，则AP=9，再由BF⊥AB，得DP∥FB，有=，即可求出BF．解答：（1）证明：连OD，如图，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2（等弦对等角），又∵OD=OA，得∠2=∠3（等角对等边），∴∠1=∠3（等量代换），而DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）过D作DP⊥AB，P为垂足，∵AD为∠BAC的平分线，DE=3，∴DP=DE=3，又⊙O的半径为5，在△Rt OPD中，OD=5，DP=3，得OP=4，则AP=9，∵BF⊥AB，∴DP∥FB，∴=，即=，∴BF=．点评：本题考查了圆的切线的判定方法．经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径．同时考查了平行线分线段成比例定理．21．（12分）某种乐器有10个孔，依次记作第1孔，第2孔，…，第10孔，演奏时，第n孔与其音色的动听指数D 之间满足关系式D=n2+kn+90，该乐器的最低动听指数为4k+106，求常数k的取值范围．考点：二次函数的应用．分析：解答：首先表示出二次函数的对称轴，再利用对称轴的取值范围当，当，以及当，分别得出k的取值范围进而得出答案．解：抛物线D=n2+kn+90的对称轴为（ （ y （1）当即 k ≥﹣2 时，有 n=1，D=4k+106，故 12+k+90=4k +106，解得：k =﹣5（不合题意），（2）当，即 k ≤﹣20 时，有 n=10，D=4k+106，故 102+10k+90=4k+106，解得：k =﹣14（不合题意），（3）当，即﹣20＜k ＜﹣2 时，n 在取值范围 内，D 有最低动听指数，且为 4k+106，故化简得（k+7）（k+9）≤0，解得﹣9≤k ≤﹣7．综上所述，k 的取值范围是﹣9≤k ≤﹣7．点评： 此题主要考查了二次函数的应用以及不等式的解法等知识，利用分类讨论得出 k 的取值范围是解题关键．22． 12 分）若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同．如果这些工人同时工作，则需 10 小时装卸完毕．现 改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔 t （整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的 ．问：（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？（2）参加装卸的有多少名工人？考点： 一元二次方程的整数根与有理根；一元一次方程的应用．专题： 特定专题．分析： （1）假设出装卸工作需要小时数，表示出第一人与最后一人所用时间，再由10 小时装卸完毕，列出方程；（2）从装卸时间入手列出方程．解答：解： 1）设装卸工作需 x 小时完成，则第一人干了 x 小时，最后一个人干了 小时，两人共干活 小时，平均每人干活 小时，由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，平均每人干活的时间也是小时．根据题得，解得 x=16（小时）；（2）共有 y 人参加装卸工作，由于每隔 t 小时增加一人，因此最后一人比第一人少干（ ﹣1）t 小时，按题意，得解此不定方程得， ，即（y ﹣1）t=12． ， ， ，即参加的人数 y=2 或 3 或 4 或 5 或 7 或 13．点评： 此题主要考查了一元一次方程的应用，以及不定方程的解法，综合性较强．。

- 1 -2015年学科素养考核数 学 卷【卷首语】亲爱的同学们，欢送参加一六八中学自主招生考核。

希望你们凝神静气，考出水平！开放的一六八中学热忱欢送你们！本学科总分值为150分，共21题；用时100分钟。

一、选择题〔本大题共8小题，每题5分,共40分〕 1．假设0a b <<〕A ．3a b -B.()3b a -C.a b -D.b a -126x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的解的个数为〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 4,a b 满足0ab >，则以下不等式恒成立的是〔 〕A. 222a b ab +> B. a b +≥C ．2b aa b +≥D.11a b +≥ABC ∆的三条边长分别为3、4、6，在ABC ∆所在平面内画一条直线，将ABC ∆分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画〔 〕A. 8 条B. 4条C. 6条D. 7条(),A m n 、(),B n m 、(),C m n n m --，则该图象经过〔 〕A. 第二、四象限B.第一、二、三象限C. 第二、三、四象限D.第一、三、四象限,x y 满足234x y -=，并且1x ≥-，2y <，现有k x y =-，则k 的取值范围为〔 〕A. 3k >-B. 13k ≤<C. 13k <≤D. 3k <7.如图，以BC 为直径的半圆中，A为弧BC 上一点，4,AC AB ==D 为BC 上一点，030CAD ∠=，则AD 的长为〔 〕- 2 -xy–112345–11234O第7题图BA. 95B.85C.75D.658.如图，某班13个同学围成一圈做游戏，规则是从某一个同学开始按顺时针方向数数，数到第13，该同学离开，这样继续下去，直到最后剩下一个同学.小明是1号，要使最后剩下的是小明自己，他应该建议从〔 〕同学开始数起. A.8号B.2号C.13号二、填空题〔本大题共7小题，每题5分，共35分〕12,xx 是方程220150x x --=的两个实数根，则()21231x x ++的 值是 ________.442222212a b a a b b +=-++，则22a b +=_________.11.如图，菱形ABCD 的对角线AC =4cm ，把它沿对角线AC 方向平移1cm 得到菱形EFGH .则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN 的面积之比为_________.12.如图甲，在梯形中，//AD BC ,90C ∠=︒,动点P 从点C 出发沿线段CD 向点D 运动，到达点D 即停止，假设E 、F 分别是AP 、BP 的中点，设CP x =，PEF ∆的面积为y ,则y 与x 的函数关系的图象如图乙所示，则梯形ABCD 的面积为_________.第7题图7题图 第8题图63第8题图- 3 -Bxy GFED C A O图甲P E FD CBA13.规定0x x =时，代数式221x x +的值记为0()f x .例如：1x =-时，22(1)1(1)1(1)2f --==+-，则1111(1)(2)(3)(168)()()()()234168f f f f f f f f +++++++++的值等于______.14.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直地公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．．．.过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上客车；再过tt =______.15．如图，矩形AOBC 的顶点坐标分别为(0,3)A ，(0,0)O ,(4,0)B ,(4,3)C ，动点F 在边BC 上〔不与B ,C 重合〕，过点F 的反比例函数ky x=的图象与边AC 交于点E ，直线EF 分别于y 轴和x 轴交于点D 和G .给出以下命题： ①假设218k =，则点C 关于直线EF 的对称点在x 轴上； ②假设4k =，则OEF ∆的面积为83；③满足题设的k 的取值范围是012k <≤；④假设2512DE EG •=,则1k =.其中正确的命题的序号是___________〔写出所有正确命题的序号〕 三．解答题〔本大题共6小题，共75分〕 16.〔11分〕- 4 -GEFDCB A已知2410x x ++=，且42321222x tx x tx x++=++，求t 的值.17.〔12分〕1199++的值.18.〔12分〕某校高三学生要坐汽车去体检，要求每辆汽车乘坐的人数相等，假设每辆汽车乘28人，那么剩下1人未上车，如果减少一辆汽车，那么所有学生正好能平均分乘到其他各车上。