高三数学南方凤凰台高2021届高2018级高三一轮数学提高版完整版第7章第38讲直线平面平行与垂直的综合问题

第八章 解析几何第41讲 直线的斜率与方程A 应知应会一、 选择题1. (2019·开封模拟)过点A (－1,－3),斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为( )A. 3x ＋4y ＋15＝0B. 3x ＋4y ＋6＝0C. 3x ＋y ＋6＝0D. 3x －4y ＋10＝02. 直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3 的倾斜角的取值范围是 ( ) A. ⎣⎡⎦⎤π6，π3 B. ⎣⎡⎦⎤π4，π3 C. ⎣⎡⎦⎤π4，π2 D. ⎣⎡⎦⎤π4，2π33. (2019·湖北四地七校联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0,b ≠0),若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ,则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A. π4B. π3C. 2π3D. 3π44. 如果A ·C <0且B ·C <0,那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. (2019·张家口模拟)若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3,且它的倾斜角是直线3 x －y ＝33 的倾斜角的2倍,则( )A. m ＝－3 ,n ＝1B. m ＝－3 ,n ＝－3C. m ＝3 ,n ＝－3D. m ＝3 ,n ＝1二、 解答题6. 求过点A (1,3),斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．7. 求适合下列条件的直线方程．(1) 经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等；(2) 求过点(2,1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程．B巩固提升一、填空题1. 直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是________．2. 过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．3. 已知直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0,则直线l恒过定点________．4. (2019·江苏姜堰中学)已知△ABC的三个顶点A(－5,0),B(3,－3),C(0,2),则BC边上中线所在的直线方程为________．二、解答题5. (2019·启东检测)已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.(1) 求证：不论m为何实数,直线l过一定点M；(2) 过定点M作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求直线l1的方程．6. 如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y＝12x上时,求直线AB的方程．(第6题)第42讲两条直线的位置关系A应知应会一、选择题1. 若直线2x＋3y－1＝0与直线4x＋my＋11＝0平行,则m的值为()A. 83 B. －83 C. －6 D. 62. 若直线l过点(3,1)且与直线2x－y－2＝0平行,则直线l的方程为()A. 2x－y－5＝0B. 2x－y＋1＝0C. x＋2y－7＝0D. x＋2y－5＝03. (2019·石家庄模拟)若直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上,则k 的值为()A. －24B. 24C. 6D. ±64. 若直线a1x＋b1y＝2和a2x＋b2y＝2交于点P(3,2),则过点A(a1,b1),B(a2,b2)的直线方程是()A. 2x＋3y－2＝0B. 3x＋2y－2＝0C. 3x＋2y＋2＝0D. 2x＋3y＋2＝05. 已知直线l1：(m－4)x－(2m＋4)y＋2m－4＝0与l2：(m－1)x＋(m＋2)y＋1＝0,则“m ＝－2”是“l1∥l2”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件二、解答题6. 已知三角形三边所在的直线方程分别为2x－y＋4＝0,x＋y－7＝0,2x－7y－14＝0,求边2x－7y－14＝0上的高所在的直线方程．7. 已知△ABC的顶点B(2,1),C(－6,3),其垂心为H(－3,2),求顶点A的坐标．B 巩固提升一、 填空题1. 若三条直线y ＝2x ,x ＋y ＝3,mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点,则m 的值为________．2. 如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行,则a ＝________．3. 已知直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ,若l 1⊥l 2,则a ＝________,此时点P 的坐标为________．4. (2019·南通中学)已知直线l 的倾斜角为3π4,直线l 1经过点A (3,2),B (a ,－1),且l 1与l 垂直,直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行,则a ＋b ＝________．二、 解答题5. (2019·海门实验中学)已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0,求α的值,使得：(1) l 1∥l 2；(2) l 1⊥l 2.6. 已知点P (a ,b )在x ,y 轴上的射影分别为点A ,B .(1) 求直线AB 的方程；(2) 求过点P 且垂直于AB 的直线m 的方程．第43讲 距离公式与对称问题A 应知应会一、 选择题1. 点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为( )A. 25B. 55C. 5D. 2552. 两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( )A. 235B. 2310C. 7D. 723. 已知坐标原点关于直线l 1：x －y ＋1＝0的对称点为A ,设直线l 2经过点A ,则当点B (2,－1)到直线l 2的距离最大时,直线l 2的方程为( )A. 2x ＋3y ＋5＝0B. 3x －2y ＋5＝0C. 3x ＋2y ＋5＝0D. 2x －3y ＋5＝04. 已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0,c ＞0)恒过点P (1,m ),且Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3,则12a ＋2c的最小值为( ) A. 92 B. 94C. 1D. 9 5. (多选)在平面直角坐标系中,定义d (P ,Q )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|为两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)之间的“折线距离”,则下列命题中为真命题的是( )A. 若点A (－1,3),B (1,0),则有d (A ,B )＝5B. 到原点的“折线距离”等于1的所有点的集合是一个圆C. 若点C 在线段AB 上,则有d (A ,C )＋d (C ,B )＝d (A ,B )D. 到M (－1,0),N (1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x ＝0二、 解答题6. (2019·江苏启东中学)已知直线l ：y ＝12x －1. (1) 求点P (3,4)关于l 对称的点Q ；(2) 求l 关于点(2,3)对称的直线方程．7. 已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4).(1) 证明：直线l 过某定点,并求该定点的坐标；(2) 当点P 到直线l 的距离最大时,求直线l 的方程．B 巩固提升一、 填空题1. 已知点(a ,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1,则a ＝________．2. 直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________．3. 已知l 1,l 2是分别经过A (2,1),B (0,2)两点的两条平行直线,当l 1,l 2之间的距离最大时,直线l 1的方程是________．4. “c ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋c ＝0的距离为3”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)二、 解答题5. 已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1) 若点A (5,0)到l 的距离为3,求l 的方程；(2) 求点A (5,0)到l 的距离的最大值．6. 已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0,且l 1与l 2间的距离是7510. (1) 求a 的值；(2) 能否找到一点P ,使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2 ∶5 ？若能,求点P 的坐标；若不能,说明理由．第44讲 圆的方程A 应知应会一、 选择题1. (2019·太原模拟)若两条直线y ＝x ＋2a ,y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部,则实数a 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫－15，1B. ⎝⎛⎭⎫－∞，－15 ∪(1,＋∞) C. ⎣⎡⎭⎫－15，1 D. ⎝⎛⎦⎤－∞，－15 ∪[1,＋∞) 2. (2019·长沙模拟)已知三点A (1,0),B (0,3 ),C (2,3 ),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A. 53B. 213C. 253D. 433. 方程|x |－1＝1－（y －1）2 所表示的曲线是( )A. 一个圆B. 两个圆C. 半个圆D. 两个半圆4. (2019·邯郸一模)若x ,y 满足约束条件(x －1)2＋(y －1)2≤1,则x 2＋y 2的最小值为( )A. 2 －1B. 3－22C. 2 ＋1D. 3＋225. (2019·黄冈调研)若长度为定值4的线段AB 的两端点分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动,P (x ,y )为△OAB 的外心轨迹上一点,则x ＋y 的最大值为( )A. 1B. 4C. 2D. 22二、 解答题6. 已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4),线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ,且CD ＝410 .(1) 求直线CD 的方程；(2) 求圆P 的方程．7. 已知圆经过点A (2,－3)和B (－2,－5).(1) 若圆的面积最小,求圆的方程；(2) 若圆心在直线x －2y －3＝0上,求圆的方程．B巩固提升一、填空题1. 若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心,则a＝________．2. 已知圆C的圆心在x轴上,并且经过点A(－1,1),B(1,3),若M(m,6)在圆C内,则m的取值范围为________．3. (2019·南师附中)经过三点A(－1,0),B(3,0),C(1,2)的圆的面积S＝________．4. 已知点A(－2,0),B(0,2).若点M是圆x2＋y2－2x＋2y＝0上的动点,则△ABM面积的最小值为________．二、解答题5. 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点．(1) 求线段AP中点的轨迹方程；(2) 若∠PBQ＝90°,求线段PQ中点的轨迹方程．6. 如图,已知圆O的直径AB＝4,定直线l到圆心的距离为4,且直线l垂直于直线AB,点P 是圆O上异于A,B的任意一点,直线P A,PB分别交l于M,N两点．(1) 若∠P AB＝30°,求以MN为直径的圆的方程；(2) 当点P变化时,求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．(第6题)第45讲直线与圆、圆与圆的位置关系课时1直线与圆相关问题A应知应会一、选择题1. 以点(2,－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为()A. (x－2)2＋(y＋1)2＝3B. (x＋2)2＋(y－1)2＝3C. (x－2)2＋(y＋1)2＝9D. (x＋2)2＋(y－1)2＝92. (2019·湖南十四校二联)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A,B两点(O 为坐标原点),且△AOB为等腰直角三角形,则实数a的值为()A. 6或－6B. 5或－5C. 6D. 53. “a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知圆C：x2＋y2＝4,若点P(x0,y0)在圆C外,则直线l：x0x＋y0y＝4与圆C的位置关系为()A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定5. (多选)(2019·合肥模拟)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|＝23,则直线l的方程为()A. 3x＋4y－12＝0B. 4x－3y＋9＝0C. x＝0D. 4x＋3y＋9＝0二、解答题6. (2019·启东模拟)已知直线l：kx－y＋k－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A,B两点,过A,B 分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|＝43,求|CD|.7. 已知圆C经过点A(2,－1),与直线x＋y＝1相切,且圆心在直线y＝－2x上．(1) 求圆C的方程；(2) 已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程．B 巩固提升一、 填空题1. (2019·衡水调研)过M (－3,1),N (0,a )两点的光线经y 轴反射后所在直线与圆x 2＋y 2＝1存在公共点,则实数a 的取值范围为________．2. (2019·扬州期末)已知直线l ：y ＝－x ＋4与圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相交于P ,Q 两点,则CP → ·CQ → ＝________．3. 已知过点P ⎝⎛⎭⎫32，32 的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ,B 两点,当∠ACB 最小时,直线l 的方程为________,∠ACB ＝________．4. (2019·启东考前卷)如图,已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0),与y 轴正半轴交于两点A ,B (B 在A 的上方),且|AB |＝2,则圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．(第4题)二、 解答题5. 已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0,点A (3,5).(1) 求过点A 的圆的切线方程；(2) 点O 是坐标原点,连接OA ,OC ,求△AOC 的面积S .6. 已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4,点O 是坐标原点,直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ,N 两点．(1) 求k 的取值范围；(2) 直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？若能,求出直线l 的方程；若不能,请说明理由．课时2圆与圆的位置关系A应知应会一、选择题1. 圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为()A. 相交B. 外切C. 内切D. 外离2. 已知圆O1的方程为x2＋y2＝4,圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是()A. {1,－1}B. {3,－3}C. {1,－1,3,－3}D. {5,－5,3,－3}3. 若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长,则a,b应满足的关系式是()A. a2－2a－2b－3＝0B. a2＋2a＋2b＋5＝0C. a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D. 3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝04. 两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r＞0)在交点处的切线互相垂直,则r等于()A. 5B. 4C. 3D. 225. 已知A＝{(x,y)|x2＋y2＝1},B＝{(x,y)|(x－5)2＋(y－5)2＝4},则A∩B等于()A. ∅B. {(0,0)}C. {(5,5)}D. {(0,0),(5,5)}二、解答题6. 已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0,若圆B平分圆A的周长,且圆B的圆心在直线l：y ＝2x上,求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．7. 圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4,圆O2的圆心坐标为(2,1).(1) 若圆O1与圆O2外切,求圆O2的方程；(2) 若圆O1与圆O2相交于A,B两点,且|AB|＝22,求圆O2的方程．B 巩固提升一、 填空题1. 若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切,则m ＝________．2. 已知线段AB 的长为2,动点C 满足CA → ·CB →＝λ(λ<0),且点C 总不在以点B 为圆心,12为半径的圆内,则负数λ的最大值是________．3. (2019·江苏天一中学)若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A ,B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是________．4. 如图,在平面四边形ABCD 中,AB ＝4,AD ＝2,∠DAB ＝60°,AC ＝3BC ,则边CD 长的最小值为________．(第4题)二、 解答题 5. (2019·江苏准阴中学)已知点P (2,2),圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点．(1) 求M 的轨迹方程；(2) 当|OP |＝|OM |时,求l 的方程及△POM 的面积．6. (2019·泰州中学)在平面直角坐标系xOy 中,过点P (0,1)且互相垂直的两条直线分別与圆O ：x 2＋y 2＝4交于点A ,B ,与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于点C ,D .(1) 若AB ＝327 ,求CD 的长；(2) 若CD 中点为E ,求△ABE 面积的取值范围．(第6题)第46讲 椭圆A 应知应会一、 选择题1. 过点A (3,－2)且与椭圆x 29 ＋y 24 ＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )A. x 215 ＋y 210 ＝1B. x 225 ＋y 220 ＝1 C. x 210 ＋y 215 ＝1 D. x 220 ＋y 215 ＝12. 设F 1,F 2分别是椭圆x 225 ＋y 216 ＝1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是F 1P 的中点,|OM |＝3,则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A. 4B. 3C. 2D. 53. (多选)已知P 为椭圆x 25 ＋y 24 ＝1上一点,以点P 及焦点F 1,F 2为顶点的三角形的面积为S ,则( )A. 若S ＝1,则满足条件的点P 有4个B. 若S ＝2,则满足条件的点P 有2个C. 若S ＝5 ,则满足条件的点P 有2个D. 若S ＝12 ,则满足条件的点P 有4个4. 若中心为(0,0),一个焦点为F (0,52 )的椭圆,截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12,则该椭圆的方程是( ) A. 2x 275 ＋2y 225 ＝1 B. x 275 ＋y 225 ＝1C. x 225 ＋y 275 ＝1D. 2x 225 ＋2y 275 ＝15. 已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ,B ,左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切,且该圆与y 轴的正半轴交于点C ,过点C 的直线交椭圆于M ,N 两点．若四边形F AMN 是平行四边形,则该椭圆的离心率为( )A. 35B. 12C. 23D. 34二、 解答题6 . 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1) 与椭圆x 24 ＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2,－3 )；(2) 已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P 到两焦点的距离分别为5,3.7. (2019·厦门期中)如图,已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ,B ,右焦点为F ,一条准线方程是x ＝－4,短轴一端点与两焦点构成等边三角形,点P ,Q 为椭圆C上异于A ,B 的两点,点R 为PQ 的中点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 直线PB 交直线x ＝－2于点M ,记直线P A 的斜率为k P A ,直线FM 的斜率为k FM ,求证：k FM ·k P A 为定值．(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. 已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为32,且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为________．2. 已知F 1,F 2分别为椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2＝1(a ＞1)的左、右焦点,点F 2关于直线y ＝x 的对称点Q 在椭圆上,则长轴长为________；若P 是椭圆上的一点,且PF 1·PF 2＝43 ,则S △F 1PF 2＝________．3. (2019·江苏海门中学)设F 1,F 2分别为椭圆x 24 ＋y 2＝1的左、右焦点,点P 在椭圆上,且|PF 1＋PF 2|＝23 ,则∠F 1PF 2＝________．4. (2019·淮北一模)在平面直角坐标系xOy 中,点P 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1(a ＞0)上一点,F为椭圆C 的右焦点,直线FP 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切于点Q ,若Q 恰为线段FP 的中点,则a ＝________．二、 解答题5. (2019·南昌一模)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)经过点M (0,－1),长轴长是短轴长的2倍．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设直线l 经过点N (2,1)且与椭圆C 相交于A ,B 两点(异于点M ),记直线MA 的斜率为k 1,直线MB 的斜率为k 2,求证：k 1＋k 2为定值．6. (2019·揭阳二模)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ,右焦点为F ,直线AF 与圆M ：(x －3)2＋(y －1)2＝3相切．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点,且AP → ·AQ →＝0,试探究：直线l 是否过定点？若是,求该定点的坐标；若不是,请说明理由．第47讲 双曲线 A 应知应会一、 选择题1. (多选)下列各条件下求得的双曲线标准方程,正确的是( )A. 与x 轴交于两点A (－2,0),B (2,0),c ＝3,则方程为x 24 －y 25 ＝1B. a ＝25 ,过点A (2,－5),焦点在y 轴上,则方程为y 220 －x 216＝1C. 与椭圆x 227 ＋y 236 ＝1有相同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为4,则方程为y 24 －x 25＝1D. 过P 1⎝⎛⎭⎫－2，352 ,P 2⎝⎛⎭⎫473，4 两点,则方程是y 29 －x 216 ＝12. 若双曲线E ：x 29 －y 216 ＝1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|＝3,则|PF 2|等于( )A. 11B. 9C. 5D. 33. 已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的一个焦点为F (－2,0),且双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的方程为( )A. x 23 －y 2＝1B. x 26 －y 22＝1C. x 23 －y 2＝1或x 2－y 23 ＝1 D. x 2－y 23 ＝1或x 26 －y 22＝1 4. (2019·济宁期末)已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ,准线与x 轴的交点为E ,线段EF 被双曲线C 2：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的顶点三等分,且两曲线C 1,C 2的交点连线过曲线C 1的焦点F ,则双曲线C 2的离心率为( )A. 2B.322 C. 113 D. 2225. (2019·秦皇岛模拟)已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y＝2x ＋10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A. x 25 －y 220 ＝1B. x 220 －y 25 ＝1C. 3x 225 －3y 2100 ＝1D. 3x 2100 －3y 225 ＝1二、 解答题6. 根据下列条件,求双曲线的标准方程． (1) 虚轴长为12,离心率为54 ；(2) 焦距为26,且经过点M (0,12)；(3) 经过两点P (－3,27 )和Q (－62 ,－7).7. 根据下列条件,求双曲线的标准方程． (1) 经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154 ,Q ⎝⎛⎭⎫－163，5 ； (2) c ＝6 ,经过点(－5,2),焦点在x 轴上．B 巩固提升一、 填空题1. (2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2－y 2b2 ＝1(b ＞0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是________．2. (2019·晋中二模)过双曲线y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的下焦点F 1作y 轴的垂线,交双曲线于A ,B 两点,若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点F 2,则双曲线的离心率为________．3. 已知M (x 0,y 0)是双曲线C ：x 22 －y 2＝1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1·MF 2<0,则y 0的取值范围是________．4. (2019·马鞍山一检)已知双曲线C ：x 24 －y 25 ＝1的焦点为F 1,F 2,P 为双曲线C 上的一点,且△F 1PF 2的内切圆半径为1,则△F 1PF 2的面积为________．二、 解答题5. 已知双曲线过点(3,－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1) 求双曲线的标准方程；(2) 若点M 在双曲线上,F 1,F 2为左、右焦点,且|MF 1|＋|MF 2|＝63 ,试判断△MF 1F 2的形状．6. 已知双曲线y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的两个焦点分别为F 1,F 2,一条渐近线方程为2x ＋y＝0,且焦点到这条渐近线的距离为1.(1) 求此双曲线的方程；(2) 若点M ⎝⎛⎭⎫55，m 在双曲线上,求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上．第48讲 抛物线A 应知应会一、 选择题 1. (2019·南昌一模)已知抛物线方程为x 2＝－2y ,则其准线方程为( ) A. y ＝－1 B. y ＝1 C. y ＝12 D. y ＝－122. 过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,如果x 1＋x 2＝6,则|PQ |等于( )A. 9B. 8C. 7D. 6 3. (2019·石家庄检测)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,过点F 和抛物线上一点M (2,22 )的直线l 交抛物线于另一点N ,则|NF |∶|FM |等于( )A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶2D. 1∶3 4. (2019·武汉调研)已知A ,B 为抛物线y 2＝4x 上两点,O 为坐标原点,且OA ⊥OB ,则|AB |的最小值为( )A. 42B. 22C. 8D. 825. (多选)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)上有A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)三点,F 是它的焦点,若AF ,BF ,CF 成等差数列,则( )A. x 1,x 2,x 3成等差数列B. x 1,x 2,x 3成等比数列C. y 21 ,y 22 ,y 23 成等差数列D. y 21 ,y 22 ,y 23 成等比数列 二、 解答题6. 已知抛物线y 2＝2px (p ＞0),过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ,B 两点,坐标原点为O ,且OA → ·OB → ＝12.(1) 求抛物线的方程；(2) 当以AB 为直径的圆与y 轴相切时,求直线l 的方程．7. 一种高脚酒杯的轴截面近似一条抛物线如图所示,已知杯口宽4 cm,杯深8 cm.若将一些大小不等的玻璃球放入酒杯中,试问：半径为多大时,玻璃球触及酒杯底部？(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. 若直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F (1,0),且与抛物线C 交于A ,B 两点,则p ＝________,1AF ＋1BF＝________．2. (2019·河南六市二联)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,其准线为直线l ,过点M (5,25 )作直线l 的垂线,垂足为H ,则∠FMH 的平分线所在直线的斜率是________．3. (2019·福州一模)已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ,且与抛物线交于A ,B 两点,若AF → ＝5FB →,则直线l 的斜率为________．4. (2019·深圳二调)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点F 和到点(2,0)的距离之和的最小值为3,过点F 作斜率为3 的直线l 与抛物线C 及其准线从上到下依次交于点A ,B ,M ,则|AF ||BF | ＋|AF ||MF |＝________．二、 解答题 5. (2019·唐山摸底)斜率为k (k ≠0)的直线l 与抛物线y ＝x 2交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,O 为坐标原点．(1) 当x 1＋x 2＝2时,求k ；(2) 若OB ⊥l ,且|AB |＝3|OB |,求|AB |.6. (2019·合肥二模)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点M (m ,9)到其焦点F 的距离为10.(1) 求抛物线C 的方程；(2) 设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,且抛物线在A ,B 两点处的切线分别交x 轴于P ,Q 两点,求|AP |·|BQ |的取值范围．第49讲 解析几何的综合问题课时1 解析几何中的最值、范围问题A 应知应会一、 选择题1. 设A ,B 为椭圆C ：x 23 ＋y 2m＝1长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°,则m 的取值范围是( )A. (0,1]∪[9,＋∞)B. (0,3 ]∪[9,＋∞)C. (0,1]∪[4,＋∞)D. (0,3 ]∪[4,＋∞)2. (2019·襄阳调研)已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点,若在右支上存在点A 使得点F 2到直线AF 1的距离为2a ,则离心率e 的取值范围是( ) A. [2 ,＋∞) B. (2 ,＋∞) C. (1,2 ) D. (1,2 ]3. (多选)已知O 是坐标原点,A ,B 是抛物线y ＝x 2上不同于O 的两点,OA ⊥OB ,则下列结论中正确的是( )A. OA ·OB ≥2B. OA ＋OB ≥22C. 直线AB 过抛物线y ＝x 2的焦点D. O 到直线AB 的距离小于等于1二、 解答题4. (2019·安庆二模)已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22,且过点(2,2 ). (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设A ,B 为椭圆C 的左、右顶点,过C 的右焦点F 作直线l 交椭圆于M ,N 两点,分别记△ABM ,△ABN 的面积为S 1,S 2,求|S 1－S 2|的最大值．5. (2019·荆州二模)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为13,点P 在椭圆C 上,且△PF 1F 2的面积的最大值为22 . (1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知直线l ：y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M ,N ,若在x 轴上存在点G ,使得|GM |＝|GN |,求点G 的横坐标的取值范围．B 巩固提升一、 填空题1. (2017·全国卷Ⅱ)若a ＞1,则双曲线x 2a 2 －y 2＝1的离心率的取值范围是________． 2. 已知线段|AB |＝4,|P A |＋|PB |＝6,M 是AB 的中点,当P 点在同一平面内运动时,PM 的长度的最小值为________．3. 已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点,若双曲线上存在点P 满足PF 1·PF 2＝－a 2,则双曲线离心率的取值范围为________．二、 解答题4. (2019·新乡三模)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的准线与x 轴交于点K ,过点K 作圆C ：(x －5)2＋y 2＝9的两条切线,切点为M ,N ,|MN |＝33 .(1) 求抛物线E 的方程；(2) 若直线AB 是过定点Q (2,0)的一条直线,且与抛物线E 交于A ,B 两点,过定点Q 作AB 的垂线与抛物线交于G ,D 两点,求四边形AGBD 面积的最小值．5. (2019·江西质检)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝22,过点A (－m ,0),B (m ,0)(m ＞0)分别作两平行直线l 1,l 2,l 1与椭圆C 相交于M ,N 两点,l 2与椭圆C 相交于P ,Q两点,且当直线l 2过右焦点和上顶点时,四边形MNQP 的面积为163. (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若四边形MNQP 是菱形,求正数m 的取值范围．课时2 解析几何中的定点、定值问题A 应知应会一、 选择题1. (2019·武汉模拟)曲线x 225 ＋y 29 ＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k＝1(k ＜9)的( )A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等2. 已知直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若直线OA ,OB 的斜率k 1,k 2满足k 1k 2＝23,则l 一定过点( ) A. (－3,0) B. (3,0) C. (－1,3) D. (－2,0)3. (2019·德阳模拟)设P 为椭圆C ：x 249 ＋y 224＝1上一点,F 1,F 2分别是椭圆C 的左、右焦点,且△PF 1F 2的重心为点G ,若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4,那么△GPF 1的面积为( )A. 24B. 12C. 8D. 6二、 解答题4. (2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ,N 两点．(1) 当k ＝0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2) y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．5. 已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1,圆O ：x 2＋y 2＝4上一点A (0,2). (1) 过点A 作两条直线l 1,l 2都与椭圆C 相切,求直线l 1,l 2的方程并判断其位置关系；(2) 同学甲：过圆O 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线l 1,l 2,则直线l 1,l 2始终相互垂直； 同学乙：过圆O 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线l 1,l 2,则直线l 1,l 2始终不垂直． 请判定两个同学观点是否正确,并证明．B 巩固提升一、 填空题1. 过抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作与直线x ＋2＝0相切的圆,这些圆必过一定点,则定点的坐标是________．2. 设A (x 1,y 1),B ⎝⎛⎭⎫4，95 ,C (x 2,y 2)是右焦点为F 的椭圆x 225 ＋y 29 ＝1上三个不同的点,若AF ,BF ,CF 成等差数列,则x 1＋x 2＝________．二、 解答题3. (2019·烟台一模)已知F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点,过F 的动直线交抛物线C 于A ,B 两点．当直线与x 轴垂直时,|AB |＝4.(1) 求抛物线C 的方程；(2) 若直线AB 与抛物线的准线l 相交于点M ,在抛物线C 上是否存在点P ,使得直线P A ,PM ,PB 的斜率成等差数列？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由．4. (2019·池州期末)已知定点A (－3,0),B (3,0),直线AM ,BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为－19,记动点M 的轨迹为曲线C . (1) 求曲线C 的方程；(2) 过点T (1,0)的直线l 与曲线C 交于P ,Q 两点,是否存在定点S (s ,0),使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值？若存在,求出S 的坐标；若不存在,请说明理由．微难点10 解析几何运算中的常用技巧一、 选择题1. 已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3 x ,它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上,则双曲线的方程为( )A. x 236 －y 2108 ＝1B. x 29 －y 227＝1 C. x 2108 －y 236 ＝1 D. x 227 －y 29＝12. 已知椭圆E ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点．若AB 的中点坐标为(1,－1),则E 的标准方程为( )A. x 245 ＋y 236 ＝1B. x 236 ＋y 227＝1 C. x 227 ＋y 218 ＝1 D. x 218 ＋y 29＝13. 已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ,0),F 2(c ,0),P 为双曲线上任一点,且PF 1·PF 2最小值的取值范围是⎣⎡⎦⎤－34c 2，－12c 2 ,则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A. (1,2 ] B. [2 ,2] C. (0,2 ] D. [2,＋∞)二、 填空题4. (2019·清江中学)已知F (2,0)为椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点,过F 且垂直于x 轴的弦长为6,若A (－2,2 ),点M 为椭圆上任一点,则|MF |＋|MA |的最大值为________．5. 如图,已知椭圆C 的中心为原点O ,F (－25 ,0)为C 的左焦点,P 为C 上一点,满足OP ＝OF ,且PF ＝4,则椭圆C 的方程为________．(第5题)三、 解答题6. 已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)上的点到两个焦点的距离之和为23 ,短轴长为12,直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝125相切,求证：OM → ·ON → 为定值.7. 已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率e ＝12,且椭圆C 经过点P (2,3),过椭圆C 的左焦点F 1且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A ,B 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ,求△PF 1G 的面积S 的取值范围．8. 如图,O 为坐标原点,点F 为抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点,且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：x 2＋y 2＝1相切于点Q .(1) 当直线PQ 的方程为x －y －2 ＝0时,求抛物线C 1的方程；(2) 当正数p 变化时,记S 1 ,S 2分别为△FPQ ,△FOQ 的面积,求S 1S 2的最小值．(第8题)。

第二章 基本初等函数第6讲 函数的概念及其表示方法A 组 应知应会一、 选择题1. (2019·北京一模)已知函数f (x )＝x 3－2x ,则f (3)等于( )A. 1B. 19C. 21D. 352. (2019·石家庄二模)设集合M ＝{x |0≤x ≤2},N ＝{y |0≤y ≤2},给出如下四个图形,其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是( )A BCD3. (2019·厦门质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，－⎝⎛⎭⎫12x ，x >0， 则f (f (log 23))等于( ) A. －9 B. －1C. －13D. －1274. (2019·河南名校段测)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0＜x ≤9，f （x －4），x ＞9，则f (13)＋2f ⎝⎛⎭⎫13 的值为( ) A. 1 B. 0 C. －2 D. 25. (2019·河北衡水)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0,m ],值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4 ,则实数m的取值范围是( )A. (0,4]B. ⎣⎡⎦⎤32，4C. ⎝⎛⎭⎫32，＋∞D. ⎣⎡⎦⎤32，3二、 解答题6. (1) 已知f (x )是二次函数且f (0)＝2,f (x ＋1)－f (x )＝x －1,求f (x )的解析式．(2) 已知函数f (x )的定义域为(0,＋∞),且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1,求f (x )的解析式．7. 已知f (x )＝x 2－1,g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1) 求f (g (2))和g (f (2))的值；(2) 求f (g (x ))和g (f (x ))的表达式．B 组 能力提升一、 填空题1. 已知函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4 ,则函数y ＝f (x )的定义域为________,函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为________．2. (2019·南京三模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，f （x －2），x ＞0， 则f (log 23)＝________． 3. (2018·南阳一模)已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋3x ,则f (x )的解析式为________．4. (2018·郴州质量监测)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－（x －1）2，x ＞0，则使f (a )＝－1成立的a 值是________．二、 解答题5. (1) 已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1,求f (x ).(2) 已知定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg (x ＋1),求f (x ).6. 对于每个实数x ,设f (x )取y ＝4x ＋1,y ＝x ＋2,y ＝－2x ＋4三个函数中的最小值,用分段函数写出f (x )的解析式,并求f (x )的最大值．第7讲 函数的单调性与最值A 组 应知应会一、 选择题1. (多选)已知f (x )是定义在[0,＋∞)上的函数,根据下列条件可以断定f (x )为增函数的是( )A. 对任意x ≥0,都有f (x ＋1)＞f (x )B. 对任意x 1,x 2∈[0,＋∞),且x 1≥x 2,都有f (x 1)≥f (x 2)C. 对任意x 1,x 2∈[0,＋∞),且x 1－x 2<0,都有f (x 1)－f (x 2)<0D. 对任意x 1,x 2∈[0,＋∞),且x 1≠x 2,都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0 2. 下列函数中,在区间(－1,1)上为减函数的是( )A. y ＝11－xB. y ＝cos xC. y ＝ln (x ＋1)D. y ＝2－x 3. 若函数y ＝2－x x ＋1,x ∈(m ,n ]的最小值为0,则m 的取值范围是( ) A. (1,2) B. (－1,2) C. [1,2) D. [－1,2)4. (2019·郑州调研)若函数f (x )＝x －1x 2 在x ∈[1,4]上的最大值为M ,最小值为m ,则M －m 的值是( )A. 3116B. 2C. 94D. 1145. (2019·武汉质检)若函数y ＝log 12(x 2－ax ＋3a )在区间(2,＋∞)上是减函数,则a 的取值范围为( )A. (－∞,－4)∪[2,＋∞)B. (－4,4]C. [－4,4)D. [－4,4]二、 解答题6. 已知f (x )＝x x 2＋1,判断并证明函数f (x )在区间[－1,0]上的单调性．7. 求下列函数的值域．(1) f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x <1，1x，x >1； (2) y ＝x －x .B 巩固提升一、填空题1. 函数f (x )＝1－2x ＋1的单调增区间是________． 2. (2019·太原期末)已知函数f (x )＝x ＋1x －1,x ∈[2,5],则f (x )的最大值是________． 3. (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是________．4. 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1 满足对任意x 1≠x 2,都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2 ＞0成立,那么实数a 的取值范围是________．二、 解答题5. 已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0,x ＞0). (1) 求证：f (x )在(0,＋∞)上是增函数；(2) 若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2 上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2 ,求a 的值．6. 已知函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0},且满足对于任意x 1,x 2∈D ,有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2).(1) 求f (1)的值；(2) 判断f (x )的奇偶性并证明；(3) 如果f (4)＝1,f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3,且f (x )在(0,＋∞)上是增函数,求x 的取值范围．第8讲 函数的奇偶性与周期性课时1 函数奇偶性判定与周期性A 组 应知应会一、 选择题1. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,＋∞)上单调递减的函数是( )A. y ＝x 3B. y ＝ln 1|x |C. y ＝2|x |D. y ＝cos x 2. (2019·济宁二模)已知f (x )是定义在R 上的周期为4的奇函数,当x ∈(0,2)时,f (x )＝x 2＋ln x ,则f (2 019)等于( )A. －1B. 0C. 1D. 23. (2019·烟台一模)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数,f ⎝⎛⎭⎫14 ＝1,当x <0时,f (x )＝log 2(－x )＋m ,则实数m 等于( )A. －1B. 0C. 1D. 24. 已知f (x )在R 上是奇函数,且满足f (x ＋4)＝f (x ),当x ∈(－2,0)时,f (x )＝2x 2,则f (2 019)等于( )A. －2B. 2C. －98D. 985. (多选)设函数f (x )的定义域为R,且f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝0,f (0)≠0,若对于任意实数x ,y ,恒有f (x )＋f (y )＝2f ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2 ·f ⎝⎛⎭⎫x －y 2 ,则下列说法正确的是( )A. f (0)＝1B. f (x )＝f (－x )C. f (x ＋2π)＝f (x )D. f (2x )＝2f (x )－1二、 解答题6. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ∈(－∞,0)时,f (x )＝－x lg (2－x ),求函数f (x )的解析式．7. 已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数,且f (1)＝1,若a ,b ∈[－1,1],且a ＋b ≠0时,有f （a ）＋f （b ）a ＋b＞0恒成立． (1) 用定义证明函数f (x )在[－1,1]上是增函数；(2) 解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12 <f (1－x ).B 组 能力提升一、 填空题1. (2019·日照一模)若函数f (x )＝x 2＋(3－a )x ＋1为偶函数,则a ＝________．2. 设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数,当x ∈[0,1]时,f (x )＝log 2(x ＋1),则当x ∈[1,2]时,f (x )＝________．3. (2019·苏州期初调查)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x <0 为奇函数,则实数a 的值为________．4. (2019·南通、泰州、扬州一调)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x ＋2)＝f (x ).当0<x ≤1时,f (x )＝x 3－ax ＋1,则实数a 的值为________．二、 解答题5. 设f (x )是(－∞,＋∞)上的奇函数,f (x ＋2)＝－f (x ),当0≤x ≤1时,f (x )＝x .(1) 求f (π)的值；(2) 当－4≤x ≤4时,求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．6. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x 恒有f (x ＋2)＝－f (x ),当x ∈[0,2]时,f (x )＝2x －x 2.(1) 求证：f (x )是周期函数；(2) 当x ∈[2,4]时,求f (x )的解析式；(3) 计算f (0)＋f (1)＋…＋f (2 020)的值．课时2 函数性质的应用A 组 应知应会一、 选择题1. (2019·山西考前训练)下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,1)内是增函数的是( )A. y ＝x ln xB. y ＝x 2＋xC. y ＝sin 2xD. y ＝e x －e －x2. (2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞,＋∞)的奇函数,满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2,则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于 ( )A. －50B. 0C. 2D. 503. (2019·九江二模)已知函数f (x )满足：①对任意x ∈R,f (x )＋f (－x )＝0,f (x ＋4)＋f (－x )＝0成立；②当x ∈(0,2]时,f (x )＝x (x －2),则f (2 019)等于( )A. 1B. 0C. 2D. －14. (多选)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )和偶函数y ＝g (x )满足f (x )＋g (x )＝4x ,下列结论正确的有( )A. f (x )＝4x －4－x 2,且0<f (1)<f (2) B. ∀x ∈R,总有[g (x )]2－[f (x )]2＝1C. ∀x ∈R,总有f (－x )g (－x )＋f (x )g (x )＝0D. ∃x 0∈R,使得f (2x 0)＞2f (x 0)g (x 0)5. (2019·临沂一模)已知函数g (x )＝f (x )＋x 2是奇函数,当x ＞0时,函数f (x )的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称,则g (－1)＋g (－2)等于( )A. －7B. －9C. －11D. －13二、 解答题6. 若f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数,且x ∈[0,1)时f (x )为增函数,求不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12 ＜0的解集．7. 已知函数f (x )是(－∞,＋∞)上的偶函数,若对于x ≥0,都有f (x ＋2)＝－f (x ),且当x ∈[0,2)时,f (x )＝log 2(x ＋1).(1) 求f (0)与f (2)的值；(2) 求f (3)的值；(3) 求f (2 021)＋f (－2 022)的值．B 组 能力提升一、 填空题1. 已知函数f (x )同时满足条件：①偶函数；②值域为[0,＋∞)；③周期为2 020,请写出f (x )的一个解析式：______________．2. 已知奇函数f (x )在R 上是增函数,g (x )＝xf (x ).若a ＝g (－log 25.1),b ＝g (20.8),c ＝g (3),则a ,b ,c 的大小关系是________．3. 设函数f (x )＝ln (1＋|x |)－11＋x 2,则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是________． 4. 函数f (x )＝x 3－3x 2的对称中心是________．二、 解答题5. 若f (x )和g (x )都是奇函数,且F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(0,＋∞)上有最大值8,求F (x )在(－∞,0)上的最小值．6. 设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,对任意实数x 都有f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x 成立． (1) 证明：y ＝f (x )是周期函数,并指出其周期；(2) 若f (1)＝2,求f (2)＋f (3)的值；(3) 若g (x )＝x 2＋ax ＋3,且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数,求实数a 的值．第9讲二次函数与幂函数A组应知应会一、选择题1. 若a＝3221⎪⎭⎫⎝⎛,b＝3251⎪⎭⎫⎝⎛,c＝3121⎪⎭⎫⎝⎛,则a,b,c的大小关系是()A. a<b<cB. c<a<bC. b<c<aD. b<a<c2. 若幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y＝f(x)的大致图象是()A BC D3. (2019·安阳模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a,x∈[0,1],若f(x)有最小值－2,则f(x)的最大值为()A. 1B. 0C. －1D. 24. 将进价为40元的商品按50元一件销售,一个月恰好卖500件,而价格每提高1元,就会少卖10个,商店为使该商品利润最大,应将每件商品定价为()A. 50元B. 60元C. 70元D. 100元5. (多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R),给出下列命题,其中是真命题的是()A. 若a2－b≤0,则f(x)在区间[a,＋∞)上是增函数B. 存在a∈R,使得f(x)为偶函数C. 若f(0)＝f(2),则f(x)的图象关于x＝1对称D. 若a2－b－2＞0,则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点二、解答题6. 已知二次函数f(x)同时满足条件：①对称轴方程是x＝1；②f(x)的最大值为15；③f(x)＝0的两根立方和等于17.求f(x)的解析式．7. 已知函数f(x)＝x2－2tx＋1在(－∞,1]上单调递减,且对任意的x1,x2∈[0,t＋1],总有|f(x1)－f(x2)|≤2,求实数t的取值范围．B 组 能力提升一、 填空题1. 已知函数f (x )＝ax 2－2x －3在区间为(－∞,4)上单调递减,则a 的取值范围是________．2. 若二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1有一个零点小于－1,一个零点大于3,则实数a 的取值范围是________．3. 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，－2≤x <0，x 2－2x －3，0≤x ≤3 的值域是________． 4. 已知二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c ＋1(a ≠0)的值域为(－∞,1],则1a ＋4c的最大值是________．二、 解答题5. (1) 已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上具有单调性,求实数k 的取值范围．(2) 已知关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两个不同的实根,且一个大于4,另一个小于4,求m 的取值范围．6. 已知函数f (x )＝x 2－kx ＋3.(1) 若f (x )在[－2,2]上存在单调减区间,求k 的取值范围；(2) 从下面三个函数中：①g (x )＝mx ＋5－m ；②h (x )＝2x －m ；③r (x )＝log 2(3－x )－m ,任选一个函数补充在下列问题中,若m 存在,求m 的取值范围；若不存在,请说明理由．问题：当k ＝0时,若对任意的x 1∈[1,2],总存在x 2∈[－1,2],使得f (2x 1)＝k (x 2)成立．(其中k (x )是你选择的函数)第10讲 指数式与指数函数A 组 应知应会一、 选择题1. (多选)下列结论中不正确的是( )A. 函数f (x )＝x x -⎪⎭⎫⎝⎛221的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，12 B. 函数f (x )＝2x －12x ＋1为奇函数 C. 函数y ＝1x ＋1的单调减区间是(－∞,1)和(1,＋∞) D. 1x＞1是x <1的必要不充分条件 2. 已知a ＝243 ,b ＝425 ,c ＝2513,则( )A. b <a <cB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b3. 若3x ＝a ,5x ＝b ,则45x 等于( )A. a 2bB. ab 2C. a 2＋bD. a 2＋b 24. (2019·东北三校联考)已知函数f (x )＝a x －1(a ＞0,a ≠1)的图象恒过点A ,下列函数中图象不经过点A 的是( )A. y ＝1－xB. y ＝|x －2|C. y ＝2x －1D. y ＝log 2(2x )5. (多选)已知函数f (x )＝e x －e －x 2 ,g (x )＝e x ＋e －x 2,则f (x ),g (x )满足( ) A. f (－x )＝－f (x ),g (－x )＝g (x )B. f (－2)<f (3)C. f (2x )＝2f (x )g (x )D. [f (x )]2－[g (x )]2＝1二、 解答题6. 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12 ax ,a 为常数,且函数的图象过点(－1,2).(1) 求a 的值；(2) 若g (x )＝4－x －2,且g (x )＝f (x ),求满足条件的x 的值．7. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )＝2x －1.(1) 求f (3)＋f (－1)；(2) 求f (x )在R 上的解析式；(3) 求不等式－7≤f (x )≤3的解集．B 组 能力提升一、 填空题1. (2019·菏泽九校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(－∞,0)上单调递增．若实数a 满足f (32a －1)≥f (－3 ),则a 的最大值是________．2. (2019·石家庄二模)若函数f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数,且满足f (x )＋2g (x )＝e x ,则g (－1),f (－2),f (－3)从大到小的顺序是________．3. (2018·苏锡常镇调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e x ，x <1，x ＋4x，x ≥1 (e 是自然对数的底).若函数y ＝f (x )的最小值是4,则实数a 的取值范围为________．4. (2019·聊城一模)设函数f (x )＝1e x －1＋a ,若f (x )为奇函数,则不等式f (x )＞1的解集为________．二、解答题5. 已知函数f (x )＝b ·a x (a ＞0,且a ≠1,b ∈R)的图象经过点A (1,6),B (3,24).(1) 设g (x )＝1f （x ）＋3 －16,确定函数g (x )的奇偶性； (2) 若对任意x ∈(－∞,1],不等式⎝⎛⎭⎫a b x≥2m ＋1恒成立,求实数m 的取值范围．6. 设f (x )＝a x ＋a －x 2 ,g (x )＝a x －a －x 2,其中a 为常数,且a ＞0,a ≠1. (1) 求证：g (5)＝g (2)f (3)＋f (2)g (3)；(2) 试写出一个f (x )和g (x )的函数值满足的等式,使得第(1)问的结论是这个等式的一个特例,并证明它在f (x )和g (x )的公共定义域R 上恒成立；(3) 试再写出一个f (x )和g (x )的函数值满足的等式．第11讲 对数与对数函数A 组 应知应会一、 选择题1. (2019·全国卷Ⅰ) 已知a ＝log 20.2,b ＝20.2,c ＝0.20.3,则( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. b <c <a2. (多选)已知函数f (x )＝ax 3－1x＋b (a ＞0,b ∈Z),选取a ,b 的一组值计算f (lg a )和f ⎝⎛⎭⎫lg 1a 所得出的结果可以是( )A. 3和4B. －2和5C. 6和2D. －2和23. (2019·枣庄一模)已知2x ＝5y ＝t ,1x ＋1y＝2,则t 等于( ) A. 110 B. 1100C. 10D. 100 4. (2019·汕头一模)已知当0<x ≤12时,不等式log a x <－2恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A. (2 ,2) B. (1,2 )C. ⎝⎛⎭⎫22，1 D. (0,2 ) 5. (2019·肇庆二模)已知f (x )＝lg (10＋x )＋lg (10－x ),则( )A. f (x )是奇函数,且在(0,10)上是增函数B. f (x )是偶函数,且在(0,10)上是增函数C. f (x )是奇函数,且在(0,10)上是减函数D. f (x )是偶函数,且在(0,10)上是减函数二、 解答题6. 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3).(1) 若f (1)＝1,求f (x )的单调区间；(2) 若f (x )的最小值为0,求a 的值．7. 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (0)＝0,当x ＞0时,f (x )＝log 12x . (1) 求函数f (x )的解析式；(2) 解不等式f (x 2－1)＞－2.B 组 能力提升一、 填空题1. (2019·南京、盐城一模)已知y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数,且当x ＞0时,f (x )＝e x ＋1,则f (－ln 2)的值为________．2. (2019·孝义二模)若函数y ＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2,＋∞)上是增函数,则a 的取值范围是________．3. 若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a ＞0,a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 内恒有f (x )＞0,则f (x )的单调增区间为________．4. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0， 则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12 ＝________, 方程f (f (x ))＝1的解集是________． 二、 解答题5. 已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0,a ≠1)在区间[1,7]上的最大值比最小值大12,求a 的值．6. 已知函数f (x )＝ln (1＋x )＋ln (a －x )为偶函数,a ∈R ．(1) 求a 的值,并讨论f (x )的单调性；(2) 若f ⎝⎛⎭⎫12 <f (lg x ),求x 的取值范围．第12讲函数的图象课时1图象变换及识别A组应知应会一、选择题1. (2019·黄山一模)已知图(1)中的图象对应的函数为y＝f(x),则图(2)中的图象对应的函数为()(第1题)A. y＝f(|x|)B. y＝f(－|x|)C. y＝|f(x)|D. y＝－f(|x|)2. (2019·厦门质检)函数y＝cos x＋ln (|x|＋1)(x∈[－2π,2π])的图象大致为()A BC D3. (2019·泉州质检)函数f(x)＝e|x|2x的部分图象大致为()A BC D4. (2019·长沙月考)函数f(x)＝ln (x－1)＋ln (x＋1)＋cos x的大致图象是()A BC D5. (2019·济南一模)若函数f (x )＝a x －a －x (a ＞0)在R 上为减函数,则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )A BC D二、解答题6. 如图,定义在[－1,＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,求f (x )的解析式．(第6题)7. 已知函数f (x )＝1＋|x |－x 2(－2<x ≤2). (1) 用分段函数的形式表示该函数；(2) 画出该函数的图象；(3) 写出该函数的值域．B 组 能力提升一、 填空题1. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ＜1，－x ＋3，x ≥1， 使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围是________． 2. 已知函数f (x )＝1x,则y ＝f (x －1)＋1的单调减区间为________． 3. 若函数f (x )＝|2x －4|－a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a 的取值范围为________．4. (2019·龙岩质检)已知定义在R 上的可导函数f (x ),g (x )满足f (x )＋f (－x )＝6x 2＋3,f (1)－g (1)＝3,g ′(x )＝f ′(x )－6x ,如果g (x )的最大值为M ,最小值为N ,则M ＋N ＝________．二、 解答题5. 已知函数f (x )＝|x |(x －a ),a ＞0.(1) 作出函数f (x )的图象；(2) 写出函数f (x )的单调区间；(3) 当x ∈[0,1]时,由图象写出f (x )的最小值．6. 设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ,b 为常数),且方程f (x )＝32 x 的两个实根分别为x 1＝－1,x 2＝2.(1) 求y ＝f (x )的解析式；(2) 证明：函数y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心．课时2以函数图象为背景的问题A组应知应会一、选择题1. (2019·合肥质检)函数f(x)＝x2＋x sin x的图象大致为()A BC D2. (2019·芜湖期末)函数f(x)＝ln |x＋1|x＋1的部分图象大致为()A BC D3. (2019·广州一模)如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则函数h ＝f(t)的图象大致是()(第3题)ABCD4. (多选)函数f (x )＝|x |＋ax2 (其中a ∈R)的图象可能是( )ABCD二、 填空题5. 已知函数f (x )＝|log 3x |,实数m ,n 满足0<m <n ,且f (m )＝f (n ),若f (x )在[m 2,n ]上的最大值为2,则nm＝________．6. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln （x ＋a ），x ≥－1 的图象如图所示,则f (－3)＝________．(第6题)7. 若函数f (x )＝x ＋1x 的图象与直线y ＝kx ＋1交于不同的两点(x 1,y 1),(x 2,y 2),则y 1＋y 2＝________．8. (2019·长沙统测)已知f (x )＝|e x －1|＋1,若函数g (x )＝[f (x )]2＋(a －2)f (x )－2a 有三个零点,则实数a 的取值范围是________．9. 不等式3sin ⎝⎛⎭⎫π2x －log 12x <0的整数解的个数为________．B 组 能力提升一、 选择题 1. (2019·潍坊模拟)函数y ＝4cos x －e |x |的图象可能是( )ABCD2. (2019·河南省六市联考)设实数a ,b ,c 分别满足a ＝5－12 ,b ln b ＝1,3c 3＋c ＝1,则a ,b ,c 的大小关系为( )A. c ＞b ＞aB. b ＞c ＞aC. b ＞a ＞cD. a ＞b ＞c3. 已知函数f (2x ＋1)是奇函数,则函数y ＝f (2x )的图象成中心对称的点为( )A. (1,0)B. (－1,0)C. ⎝⎛⎭⎫12，0D. ⎝⎛⎭⎫－12，04. 若函数f (x )＝（2－m ）xx 2＋m的图象如图所示,则m 的取值范围为( )(第4题)A. (－∞,－1)B. (－1,2)C. (0,2)D. (1,2)二、 填空题 5. (2019·新余模拟)若函数y ＝f (x )的图象过点(1,1),则函数y ＝f (4－x )的图象一定经过点________．6. (2019·荆州三模)已知偶函数f (x )和奇函数g (x )的图象如图所示,若关于x 的方程f (g (x ))＝1,g (f (x ))＝2的实根个数分别为m ,n ,则m ＋n ＝________．(第6题)7. 已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)和函数g (x )＝sin π2 x ,若f (x )与g (x )的图象有且只有3个交点,则a 的取值范围是________．8. 已知函数f (x )对于任意实数x ∈[a ,b ],当a ≤x 0≤b 时,记|f (x )－f (x 0)|的最大值为D [a ,b ](x 0). (1) 若f (x )＝(x －1)2,则D [0,3](2)＝________；(2) 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≤0，2－|x －1|，x >0， 则D [a ,a ＋2](－1)的取值范围是________．第13讲 函数与方程A 组 应知应会一、 选择题1. 若函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是( )A. (1,3)B. (1,2)C. (0,3)D. (0,2)2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1， 则函数f (x )的零点为( )A. 12 ,0B. －2,0C. 12D. 0 3. 已知函数f (x )＝2x ＋x ＋1,g (x )＝log 2x ＋x ＋1,h (x )＝log 2x －1的零点依次为a ,b ,c ,则( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <c <aD. b <a <c4. 已知函数y ＝f (x )的周期为2,当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2,那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A. 10个B. 9个C. 8个D. 1个 5. (2019·九江模拟)已知函数f (x )＝a ＋log 2(x 2＋a )(a ＞0)的最小值为8,则实数a 的取值范围是( )A. (5,6)B. (7,8)C. (8,9)D. (9,10) 二、 解答题6. 若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内,另一个根在(1,3)内,求a 的取值范围．7. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2,a ∈R ．(1) 若不等式f (x )≤0的解集为[1,2],求不等式f (x )≥1－x 2 的解集；(2) 若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点,求实数a 的取值范围．B 组 能力提升一、 填空题1. 方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解集为________．2. 设f (x )是定义在R 上的偶函数,满足f (x )＝f (2－x ),当0≤x ≤1时,f (x )＝－x 2＋1,方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫12 |x |在区间[－5,5]内实根的个数为________．3. 在平面直角坐标系xOy 中,若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点,则a 的值为________．4. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －a ，x <1，π（x －3a ）（x －2a ），x ≥1， 若f (x )恰有2个零点,则实数a 的取值范围是________．二、 解答题5. 已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数,当x ∈[0,＋∞)时,f (x )＝x 2－2x . (1) 求函数y ＝f (x )的解析式；(2) 若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解,求a 的取值范围．6. (2019·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x －x cos x －x ,f ′(x )为f (x )的导数． (1) 求证：f ′(x )在区间(0,π)上存在唯一零点； (2) 若x ∈[0,π]时,f (x )≥ax ,求a 的取值范围．第14讲数学建模——函数的模型及其应用A组应知应会一、选择题1. 国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元,则这个人的稿费为()A. 3 000元B. 3 800元C. 3 818元D. 5 600元2. 某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)()A. 2020年B. 2021年C. 2022年D. 2023年3. (2019·三明联考)用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3 010)()A. 3B. 4C. 5D. 64. (2019·安庆二模)设甲、乙两地的距离为a(a＞0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20 min,在乙地休息10 min后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30 min,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()A BC D5. (多选)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况,则下列叙述不正确的是()(第5题)A. 消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 kmB. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最少C. 甲车以80 km/h的速度行驶1 h,消耗10 L汽油D. 某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油二、解答题6. 网店销售某一品牌的商品,购买人数n是商品标价x的一次函数,标价越高,购买人数越少．已知标价为每件300元时,购买人数为零；标价为每件225元时,购买人数为75人．若这种商品的成本价是100元/件,网店以高于成本价的相同价格(标价)出售．(1) 网店要获取最大利润,商品的标价应定为每件多少元？(2) 通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果网店要获得最大利润的75%,那么商品的标价为每件多少元？7. 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位：kg)与销售价格x(单位：元/kg)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2,其中3<x<6,a为常数．已知销售价格为5元/kg时,每日可售出该商品11 kg.(1) 求a的值；(2) 若该商品的成本为3元/kg,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．B组能力提升一、填空题1. (2019·唐山联考)“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a A (a为常数),广告效应为D＝a A －A.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为________．(用常数a表示)2. (2019·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2019年春节前后,从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(kg)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在12月26日大约卖出了西红柿________kg.(第2题）3. 某公司一年购买某种货物600 t,每次购买x t,运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________．4. 根据相关规定,机动车驾驶员血液中的酒精含量大于(等于)20毫克/100毫升时属于醉酒驾车．假设饮酒后,血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升,经过x h,酒精含量降为p毫克/100毫升,且满足关系式p＝p0·e rx(r为常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升,2 h后,测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升,则此人饮酒后需经过________h方可驾车．(精确到h)二、解答题5. 某创业团队拟生产A、B两种产品,根据市场预测,A产品的利润与投资额成正比(如图(1)),B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图(2)).(注：利润与投资额的单位均为万元)(1) 分别将A、B两种产品的利润f(x)、g(x)表示为投资额x的函数；(2) 该团队已筹集到10万元资金,并打算全部投入A、B两种产品的生产,问：当B产品的投资额为多少万元时,生产A、B两种产品能获得最大利润？最大利润为多少？图(1)图(2)(第5题)6. 某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x 台机器人的总成本p (x )＝1600x 2＋x ＋150(万元). (1) 若使每台机器人的平均成本最低,则应买多少台？(2) 现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m 人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图),经实验知,每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m （60－m ），1≤m ≤30，480，m ＞30(单位：件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件,问：引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之多少？(第6题)微难点2 分段函数的研究一、 选择题1. (2019·湖北四地联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7，x <0，log 2（x ＋1），x ≥0， 若f (a )<1,则实数a 的取值范围是( )A. (－∞,－3)∪[0,1)B. (－3,0)∪(－1,1)C. (－3,1)D. (1,＋∞)2. (2019·开封一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2， 若f (a )≥1,则a 的取值范围是( )A. [1,2)B. [1,＋∞)C. [2,＋∞)D. (－∞,－2]3. (2019·廊坊三模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e 2x －2x ＋a ，x >0，ax ＋3a －2，x ≤0 在(－∞,＋∞)上是单调函数,且f (x )存在负的零点,则a 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫23，1B. ⎝⎛⎦⎤23，32C. ⎝⎛⎦⎤0，32D. ⎝⎛⎭⎫23，＋∞4. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0<x <3，13x 2－103x ＋8，x ≥3， 若存在实数a ,b ,c ,d ,满足f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d ),其中d ＞c ＞b ＞a ＞0,则abcd 的取值范围是( )A. (21,25)B. (21,24)C. (20,24)D. (20,25)5. (2019·驻马店期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋2，x ≤0，e ax x >0 在[－2,2]上的最大值为3,则实数a 的取值范围是( )A. (ln 3,＋∞)B. ⎣⎡⎦⎤0，12ln 3C. ⎝⎛⎦⎤－∞，12ln 3 D. (－∞,ln 3]二、 填空题6. (2019·佛山二模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0，－x 2＋2x ＋1，x <0 (其中e 是自然对数的底数),且函数y＝|f (x )|－mx 有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是________．7. 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x，x ≤1，log a x ＋13，x >1. 若存在x 1,x 2∈R,x 1≠x 2,使得f (x 1)＝f (x 2)成立,则实数a 的取值范围是________．8. (2019·滨州期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≤0，|log 2x |，x >0.若方程f (x )＝a 恰有4个不同的实根x 1,x 2,x 3,x 4,且x 1<x 2<x 3<x 4,则x 3(x 1＋x 2)＋1x 23 x 4的取值范围为________．微难点3 由函数的性质求参数范围一、 填空题1. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2，x <0， 若f (a －1)＋f (a )＞0,则实数a 的取值范围是________．2. 若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是________．3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－mx ，x >1，⎝⎛⎭⎫4－m 2x ＋2，x ≤1 是R 上的增函数,则实数m 的取值范围是________．4. 若函数f (x )＝ax 2＋x ＋a ＋1在(－2,＋∞)上单调递增,则a 的取值范围是________．5. 已知f (x )＝log a (8－3ax )在[－1,2]上是减函数,则实数a 的取值范围是________．6. 已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2 在区间(－2,＋∞)上为增函数,则实数a 的取值范围是________．7. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0， 若f (2－a 2)<f (a ),则实数a 的取值范围是________．二、解答题8. 设定义在[－2,2]上的函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,且f(1－m)＜f(3m).(1) 若函数f(x)在区间[－2,2]上是奇函数,求实数m的取值范围；(2) 若函数f(x)在区间[－2,2]上是偶函数,求实数m的取值范围．。

第三章 导数及其应用第15讲 导数的几何意义和四则运算A 应知应会一、 选择题1. 已知f (x )＝x (2 018＋ln x ),若f ′(x 0)＝2 019,则x 0等于( )A. e 2B. 1C. ln 2D. e2. 若函数f (x )＝33x 3＋ln x －x ,则曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线的倾斜角是( ) A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π63. 已知函数f (x )＝ln (x ＋1)·cos x －ax 在(0,f (0))处的切线倾斜角为45°,则a 等于( )A. －2B. －1C. 0D. 34. (2019·泰安一模)已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 2 ＝x 3－3x ,则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线斜率为( )A. 0B. 9C. 18D. 275. 已知曲线y ＝sin x 在点P (x 0,sin x 0)(0≤x 0≤π)处的切线为l ,则下列各点中不可能在直线l 上的是( )A. (－1,－1)B. (－2,0)C. (1,－2)D. (4,1)二、 解答题6. 求下列函数的导数．(1) y ＝5x 3 ； (2) y ＝1x4 ； (3) y ＝－2sin x 2 ⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .7. 已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0,且点P 0在第三象限．(1) 求P 0的坐标；(2) 若直线l ⊥l 1,且l 也过切点P 0,求直线l 的方程．B 巩固提升一、 填空题1. (2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________．2. 已知函数f (x )满足满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2,则f (x )的解析式为________________.3. (2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y ＝ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(－e,－1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是________．4. (2019·厦门一模)在平面直角坐标系xOy 中,已知x 21 －ln x 1－y 1＝0,x 2－y 2－2＝0,则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为________．二、 解答题5. 已知曲线y ＝(ax －1)e x 在点A (x 0,y 1)处的切线为l 1,曲线y ＝1－x e x 在点B (x 0,y 2)处的切线为l 2.若存在x 0∈⎣⎡⎦⎤0，32 ,使得l 1⊥l 2,求实数a 的取值范围．6. 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11,g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9,且f ′(－1)＝0.(1) 求a 的值；(2) 是否存在k ,使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线,又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在,求出k 的值；如果不存在,请说明理由．第16讲 导数与函数的单调性A 应知应会一、 选择题1. (2019·福建四校二联)函数f (x )＝(x 2－2x )e x 的图象大致是( )A BC D2. 若函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示,则下列判断中正确的是 ( )(第2题)A. 在区间(－3,1)内f (x )是增函数B. 在区间(1,3)内f (x )是增函数C. 在区间(5,6)内f (x )是增函数D. 在区间(－∞,1)内f (x )是增函数3. (2019·宣城二调)若函数f (x )＝43x 3－2ax 2－(a －2)x ＋5恰好有三个单调区间,则实数a 的取值范围为( )A. [－1,2]B. [－2,1]C. (－∞,－1)∪(2,＋∞)D. (－∞,－2)∪(1,＋∞)4. 若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ,a ＋1]上单调递增,则实数a 的最大值为( )A. －1＋52B. 1＋52C. 1－52D. －1－525. (多选)已知函数f (x )＝e x －1,对于满足0<x 1<x 2<e 的任意x 1,x 2,下列结论中正确的是( )A. (x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0B. x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)C. f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1D. f （x 1）＋f （x 2）2 ＞f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22二、 解答题 6. (2019·太原一模节选)已知函数f (x )＝x 3－32 ax 2(a ＞0),若函数h (x )＝f （x ）·e x x 在(0,1)上单调递减,求a 的取值范围．7. (2019·南昌一模)已知函数f (x )＝(x ＋a )e x (x ＞－3),其中a ∈R ．(1) 若曲线y ＝f (x )在点A (0,a )处的切线l 与直线y ＝|2a －2|x 平行,求直线l 的方程；(2) 讨论函数y ＝f (x )的单调性．B 巩固提升一、 填空题1. (2019·泰州一模)已知函数f (x )＝2x 4＋4x 2,若f (a ＋3)＞f (a －1),则实数a 的取值范围为________．2. 已知函数f (x )的定义域为R,f (0)＝2,对任意x ∈R,都有f (x )＋f ′(x )＞1,则不等式e x ·f (x )＞e x ＋1的解集为________．3. 已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ,t ＋1]上不单调,则t 的取值范围是________．4. (2019·盐城期中)已知函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R),若函数f (x )存在三个单调区间,则实数a 的取值范围是________．二、 解答题5. 已知函数f (x )＝x e x －a ⎝⎛⎭⎫x 22＋x (a ∈R),讨论函数f (x )的单调性．6. 已知函数f (x )＝e x ln x －a e x (a ∈R).(1) 若f (x )在点(1,f (1))处的切线与直线y ＝1ex ＋1垂直,求a 的值； (2) 若f (x )在(0,＋∞)上是单调函数,求实数a 的取值范围．第17讲 导数与函数的极值、最值A 应知应会一、 选择题1. 函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 32. (2019·安庆二模)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e(e 是自然对数的底数),则f (x )的极大值为( )A. 2e －1B. －1eC. 1D. 2ln 2 3. 若函数f (x )＝x 3－3x 在(a ,6－a 2)上有最小值,则实数a 的取值范围是( )A. (－5 ,1)B. [－5 ,1)C. [－2,1)D. (－2,1)4. 设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2,g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ,N ,则当|MN |达到最小时t 的值是( )A. 1B. 12C. 52D. 225. (多选)设函数f (x )＝ax 22e－ln |ax |(a ＞0),若f (x )有4个零点,则a 的可能取值个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、 解答题6. 已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1) 求曲线y ＝f (x )在点(0,f (0))处的切线方程；(2) 求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2 上的最大值和最小值．7. (2019·邵阳期末)已知a ∈R,函数f (x )＝a x＋ln x －1. (1) 当a ＝1时,求曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程；(2) 求f (x )在区间(0,e]上的最小值．B 巩固提升一、 填空题1. 若函数f (x )＝12x 2f ′(2)＋ln x ,则f (x )的极大值点为________,极大值为________． 2. 已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1,若函数f (x )在(1,2)上有极值,则实数a 的取值范围为________．3. (2019·滁州期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3－3x 2＋1，x ≥0，e ax ＋1，x <0 在[－2,2]上的最大值为5,则实数a 的取值范围是________．4. (2019·唐山一模)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,若函数f (x )＝13x 3＋bx 2＋(a 2＋c 2－ac )x ＋1有极值点,则sin ⎝⎛⎭⎫2B －π3 的最小值为________． 二、 解答题5. (2019·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.(1) 讨论f (x )的单调性；(2) 当0<a <3时,记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ,最小值为m ,求M －m 的取值范围．6. 解答一个问题后,将结论作为条件之一,提出与原问题有关的新问题,我们把它称为原问题的一个“逆向问题”．例如：原问题是“若矩形的边长为3和4,则其周长为14”,它的一个“逆向问题”是：“若矩形的周长为14,一边长为3,求另一边长”,也可以是“若矩形的周长为14,求其面积的最大值”等等．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1. (1) 求f (x )在[－1,e](e 为自然对数的底数)上的最大值； (2) 请对(1)提出两个“逆向问题”,并作解答．第18讲生活中的优化问题举例A应知应会一、解答题1. 某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a(1≤a≤3)元的管理费,预计当每件商品的售价为x(8≤x≤9)元时,一年的销售量为(10－x)2万件．(1) 求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x)；(2) 当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大？并求出L的最大值．2. 如图所示是一个帐篷,它下部分的形状是一个正六棱柱,上部分的形状是一个正六棱锥,其中帐篷的高为PO,正六棱锥的高为PO1,且PO＝3PO1.设PO1＝x.(1) 当x＝2 m,P A1＝4 m时,求搭建的帐篷的表面积；(2) 在P A1的长为定值l m的条件下,已知当且仅当x＝23m时,帐篷的容积V最大,求l的值．(第2题)B 巩固提升一、 解答题1. (2019·徐州期中)如图所示是一个半径为2 km,圆心角为π3的扇形游览区的平面示意图,点C 是半径OB 上一点,点D 是圆弧AB 上一点,且CD ∥OA .现在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位,经测算广告位出租收入是：线段OC 处每千米为2a 元,线段CD 及圆弧DB 处每千米均为a 元．设∠AOD ＝x 弧度,广告位出租的总收入为y 元．(1) 求y 关于x 的函数解析式,并指出该函数的定义域；(2) 试问x 为何值时,广告位出租的总收入最大？并求出其最大值．(第1题)2. (2019·盐城期中)某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品．根据以往的经验知道,该厂生产这种仪器次品率P 与日产量x (件)之间近似满足关系：P ＝⎩⎨⎧196－x ，1≤x ≤c ，x ∈N ，1≤c <96，23，x >c ，x ∈N (注：次品率P ＝次品数总生产量,如P ＝0.1表示每生产10件产品,约有1件为次品,其余为合格品).已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元,但每生产一件次品将亏损A 2元,故厂方希望定出合适的日产量． (1) 试将生产这种仪器每天的盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数；(2) 当日产量x 为多少时,可获得最大利润？微难点4 构造函数研究不等关系一、 选择题1. 当x ∈[－2,1]时,不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立,则实数a 的取值范围是( )A. [－5,－3]B. ⎣⎡⎦⎤－6，－98 C. [－6,－2] D. [－4,－3] 2. (2019·上饶一模)已知函数f (x )＝ln x ＋a 的导数为f ′(x ),若方程f ′(x )＝f (x )的根x 0小于1,则实数a 的取值范围为( )A. (1,＋∞)B. (0,1)C. (1,2 )D. (1,3 )3. 已知函数f (x )＝x ＋1x 2 ,g (x )＝log 2x ＋m ,若对x 1∈[1,2],x 2∈[1,4],使得f (x 1)≥g (x 2),则m 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎦⎤－∞，－54B. (－∞,2]C. ⎝⎛⎦⎤－∞，34 D. (－∞,0] 二、 填空题4. 设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x ),对任意的x ∈R,有f (－x )＋f (x )＝x 2,当x ∈(0, ＋∞)时,f ′(x )＜x .若f (4－m )－f (m )≥8－4m ,则实数m 的取值范围为________．5. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,其导函数为f ′(x ),若f ′(x )＜f (x ),且f (x ＋1)＝f (3－x ),f (2 019)＝2,则不等式f (x )＜2e x －1的解集为________．6. 若定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )＞1,f (0)＝4,则不等式e x f (x )＞e x ＋3(其中e 为自然对数的底数)的解集为________．三、 解答题7. 已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋3)e x ,若不等式f （x ）ex ＋7x －2＞k (x ln x －1)(k 为正整数)对任意正实数x 恒成立,求k 的最大值．(参考数据：ln 7≈1.95,ln 8≈2.08)8. 已知函数f (x )＝ln x －ax 3,g (x )＝a e xe. (1) 若直线y ＝x 与y ＝g (x )的图象相切,求实数a 的值；(2) 若存在x 0∈[1,e],使得f (x 0)＞(1－3a )x 0＋1成立,求实数a 的取值范围．微难点5 利用导数研究函数的零点一、 解答题1. 已知函数f (x )＝2e x ＋ax .(1) 求f (x )的单调区间；(2) 讨论f (x )在(0,＋∞)上的零点个数．2. (2019·抚州调研)已知函数f (x )＝a 6 x 3－a 4x 2－ax －2的图象过点A ⎝⎛⎭⎫4，103 . (1) 求函数f (x )的单调增区间；(2) 若函数g (x )＝f (x )－2m ＋3有3个零点,求m 的取值范围．3. 已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝3x －2a 2x. (1) 求函数F (x )＝f (x )－x ＋2在x ∈[4,＋∞)上的最大值；(2) 若函数H (x )＝2f (x )－ln [g (x )]在区间⎣⎡⎦⎤12，1 上有零点,求实数a 的取值范围．4. 已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x (a ∈R,e 为自然对数的底数).(1) 当a ＝1时,求f (x )的单调区间；(2) 若函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12 上无零点,求a 的最小值．。

高考专题突破四 高考中的立体几何问题空间角的求法命题点1 求线线角例1 (2019·湖北知名示范高中联合质检)若在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,∠A 1AC ＝∠BAC ＝60°,平面A 1ACC 1⊥平面ABC ,AA 1＝AC ＝AB ,则异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值为________. 答案24解析 方法一 令M 为AC 的中点,连结MB ,MA 1, 由题意知△ABC 是等边三角形,所以BM ⊥AC , 同理,A 1M ⊥AC ,因为平面A 1ACC 1⊥平面ABC ,平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ,BM ⊂平面ABC ,所以BM ⊥平面A 1ACC 1,因为A 1M ⊂平面A 1ACC 1,所以BM ⊥A 1M ,所以AC ,BM ,A 1M 两两垂直,以M 为原点,MA →,MB →,MA 1→的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设AA 1＝AC ＝AB ＝2,则A (1,0,0),B (0,3,0),A 1(0,0,3),C 1(－2,0,3), 所以AC 1→＝(－3,0,3),A 1B →＝(0,3,－3), 所以cos 〈AC 1→,A 1B →〉＝－323×6＝－24,故异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值为24. 方法二 如图,在平面ABC ,平面A 1B 1C 1中分别取点D ,D 1,连结BD ,CD ,B 1D 1,C 1D 1,使得四边形ABDC ,A 1B 1D 1C 1为平行四边形,连结DD 1,BD 1,则AB ＝C 1D 1,且AB ∥C 1D 1,所以AC 1∥BD 1,故∠A 1BD 1或其补角为异面直线AC 1与A 1B 所成的角.连结A 1D 1,过点A 1作A 1M ⊥AC 于点M ,连结BM ,设AA 1＝2,由∠A 1AM ＝∠BAC ＝60°,得AM ＝1,BM ＝3,A 1M ＝3,因为平面A 1ACC 1⊥平面ABC ,平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ,A 1M ⊂平面A 1ACC 1,所以A 1M ⊥平面ABC ,又BM ⊂平面ABC , 所以A 1M ⊥BM ,所以A 1B ＝6,在菱形A 1ACC 1中,可求得AC 1＝23＝BD 1, 同理,在菱形A 1B 1D 1C 1中,求得A 1D 1＝23,所以cos ∠A 1BD 1＝A 1B 2＋BD 21－A 1D 212A 1B ·BD 1＝6＋12－1226×23＝24,所以异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值为24. 思维升华 (1)求异面直线所成角的思路: ①选好基底或建立空间直角坐标系. ②求出两直线的方向向量v 1,v 2. ③代入公式|cos 〈v 1,v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|求解. (2)两异面直线所成角的关注点:两异面直线所成角的范围是θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2,两向量的夹角α的范围是[0,π],当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角.跟踪训练1 (2020·邵阳模拟)若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为3,AB ＝1,则直线AB 1与CD 1所成的角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案 C解析 ∵正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为3,AB ＝1,∴AA 1＝3,以D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,DD 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),B 1(1,1,3),C (0,1,0),D 1(0,0,3), AB 1→＝(0,1,3),CD 1→＝(0,－1,3), 设直线AB 1与CD 1所成的角为θ, 则cos θ＝|AB 1→·CD 1→||AB 1→|·|CD 1→|＝24·4＝12,又0°＜θ≤90°,∴θ＝60°,∴直线AB 1与CD 1所成的角为60°.故选C. 命题点2 求线面角例2 如图,已知多面体ABCA 1B 1C 1,A 1A ,B 1B ,C 1C 均垂直于平面ABC ,∠ABC ＝120°,A 1A ＝4,C 1C ＝1,AB ＝BC ＝B 1B ＝2.(1)证明:AB 1⊥平面A 1B 1C 1；(2)求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值.方法一(1)证明由AB＝2,AA1＝4,BB1＝2,AA1⊥AB,BB1⊥AB,得AB1＝A1B1＝22, 所以A1B21＋AB21＝AA21,故AB1⊥A1B1.由BC＝2,BB1＝2,CC1＝1,BB1⊥BC,CC1⊥BC,得B1C1＝ 5.由AB＝BC＝2,∠ABC＝120°,得AC＝2 3.由CC1⊥AC,得AC1＝13,所以AB21＋B1C21＝AC21,故AB1⊥B1C1.又因为A1B1∩B1C1＝B1,A1B1,B1C1⊂平面A1B1C1,所以AB1⊥平面A1B1C1.(2)解如图,过点C1作C1D⊥A1B1,交直线A1B1于点D,连结AD.由AB1⊥平面A1B1C1,得平面A1B1C1⊥平面ABB1.由C1D⊥A1B1,平面A1B1C1∩平面ABB1＝A1B1,C1D⊂平面A1B1C1,得C1D⊥平面ABB1. 所以∠C1AD即为AC1与平面ABB1所成的角.由B1C1＝5,A1B1＝22,A1C1＝21,得cos∠C1A1B1＝427,sin∠C1A1B1＝77,所以C1D＝3,故sin∠C1AD＝C1DAC1＝3913.因此直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是39 13.方法二(1)证明如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系.由题意知各点坐标如下:A (0,－3,0),B (1,0,0),A 1(0,－3,4),B 1(1,0,2),C 1(0,3,1). 因此AB 1→＝(1,3,2),A 1B 1→＝(1,3,－2),A 1C 1→＝(0,23,－3). 由AB 1→·A 1B 1→＝0,得AB 1⊥A 1B 1. 由AB 1→·A 1C 1→＝0,得AB 1⊥A 1C 1.又A 1B 1∩A 1C 1＝A 1,A 1B 1,A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1, 所以AB 1⊥平面A 1B 1C 1.(2)解 设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ. 由(1)可知AC 1→＝(0,23,1),AB →＝(1,3,0),BB 1→＝(0,0,2). 设平面ABB 1的一个法向量为n ＝(x ,y ,z ). 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BB 1→＝0，得⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，2z ＝0，可取n ＝(－3,1,0).所以sin θ＝|cos 〈AC 1→,n 〉|＝|AC 1→·n ||AC 1→||n |＝3913.因此直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是3913. 思维升华 (1)利用向量求直线与平面所成的角有两个思路:①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).②通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.(2)若直线l 与平面α的夹角为θ,直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角为β,则θ＝π2－β或θ＝β－π2,故有sin θ＝|cos β|＝|l ·n ||l ||n |.跟踪训练2 如图,已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,平面A 1ACC 1⊥平面ABC ,∠ABC ＝90°,∠BAC ＝30°,A 1A ＝A 1C ＝AC ,E ,F 分别是AC ,A 1B 1的中点.(1)证明:EF ⊥BC ；(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.方法一 (1)证明 如图,连结A 1E ,因为A 1A ＝A 1C ,E 是AC 的中点,所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ,A 1E ⊂平面A 1ACC 1,平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ,所以A 1E ⊥平面ABC ,则A 1E ⊥BC .又因为A 1F ∥AB ,∠ABC ＝90°,故BC ⊥A 1F , 又A 1E ,A 1F ⊂平面A 1EF ,A 1E ∩A 1F ＝A 1,所以BC ⊥平面A 1EF .又EF ⊂平面A 1EF ,因此EF ⊥BC . (2)解 取BC 的中点G ,连结EG ,GF , 则EGF A 1是平行四边形.由于A 1E ⊥平面ABC ,故A 1E ⊥EG , 所以平行四边形EGF A 1为矩形.连结A 1G 交EF 于O ,由(1)得BC ⊥平面EGF A 1,则平面A 1BC ⊥平面EGF A 1, 所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上. 则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角(或其补角). 不妨设AC ＝4,则在Rt △A 1EG 中,A 1E ＝23,EG ＝ 3. 由于O 为A 1G 的中点,故EO ＝OG ＝A 1G 2＝152,所以cos ∠EOG ＝EO 2＋OG 2－EG 22EO ·OG ＝35.因此,直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35.方法二 (1)证明 连结A 1E ,因为A 1A ＝A 1C ,E 是AC 的中点, 所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ,A 1E ⊂平面A 1ACC 1, 平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ,所以A 1E ⊥平面ABC .如图,以E 为原点,分别以射线EC ,EA 1为y ,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系.不妨设AC ＝4,则A 1(0,0,23),B (3,1,0),B 1(3,3,23),F ⎝⎛⎭⎫32，32，23,C (0,2,0).因此,EF →＝⎝⎛⎭⎫32，32，23,BC →＝(－3,1,0).由EF →·BC →＝0得EF ⊥BC .(2)解 设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ. 由(1)可得BC →＝(－3,1,0),A 1C →＝(0,2,－23). 设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ,y ,z ). 由⎩⎪⎨⎪⎧BC →·n ＝0，A 1C →·n ＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，y －3z ＝0.取n ＝(1,3,1),故sin θ＝|cos 〈EF →,n 〉|＝|EF →·n ||EF →|·|n |＝45.因此,直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值为35.命题点3 求二面角例3 (2020·连云港模拟)如图,四棱锥S －ABCD 中,底面ABCD 为矩形. SA ⊥平面ABCD ,E ,F 分别为AD ,SC 的中点,EF 与平面ABCD 所成的角为45°.(1)证明:EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线； (2)若EF ＝12BC ,求二面角B －SC －D 的余弦值.(1)证明 连结AC ,BD 交于点G ,连结EG ,FG .因为四边形ABCD 为矩形,且E ,F 分别是AD ,SC 的中点, 所以EG ∥CD ,且FG ∥SA . 又SA ⊥平面ABCD ,所以GF ⊥平面ABCD ,所以GF ⊥AD . 又AD ⊥GE ,GE ∩GF ＝G ,GE ,GF ⊂平面GEF , 所以AD ⊥平面GEF ,所以AD ⊥EF . 因为EF 与平面ABCD 所成的角为45°, 所以∠FEG ＝45°,从而GE ＝GF ,所以SA ＝AB . 取SB 的中点H ,连结AH ,FH , 则由F ,H 分别为SC ,SB 的中点,得FH ∥BC ∥AE ,HF ＝AE ＝12BC ,从而四边形AEFH 为平行四边形.所以EF ∥AH .又由SA ＝AB ,知AH ⊥SB .又SA ⊥BC ,AB ⊥BC ,SA ∩AB ＝A ,SA ,AB ⊂平面SAB ,所以BC ⊥平面SAB ,所以AH ⊥BC . 又SB ∩BC ＝B ,SB ,BC ⊂平面SBC ,所以AH ⊥平面SBC . 所以EF ⊥平面SBC ,又SC ⊂平面SBC ,所以EF ⊥SC . 综上知EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线.(2)解 因为EF ＝12BC ,设BC ＝2,则EF ＝1,从而GE ＝GF ＝22, 所以SA ＝AB ＝2,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AS 所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系, 则B (2,0,0),D (0,2,0),S (0,0,2),C (2,2,0), 从而SC →＝(2,2,－2),BC →＝(0,2,0). 设平面SBC 的一个法向量为n 1＝(x 1,y 1,z 1), 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·SC →＝0，n 1·BC →＝0，即⎩⎨⎧2x 1＋2y 1－2z 1＝0，2y 1＝0，令z 1＝1,从而得n 1＝(1,0,1). 同理,可求得平面SCD 的一个法向量为n 2＝(0,1,2). 设二面角B －SC －D 的平面角为θ, 从而cos θ＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝22·3＝33.由图知,二面角B －SC －D 为钝角, 所以二面角B －SC －D 的余弦值为－33. 思维升华 (1)求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.(2)利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量,求法向量的方法主要有两种:①求平面的垂线的方向向量.②利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零,列方程组求解. 跟踪训练3 (2019·湖北宜昌一中模拟)如图,在四棱锥P －ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AD ⊥AB ,AB ∥DC ,AD ＝DC ＝AP ＝2,AB ＝1,点E 为棱PC 的中点.(1)证明:BE ⊥PD ；(2)若F 为棱PC 上一点,满足BF ⊥AC ,求二面角F －AB －D 的余弦值. 解 依题意,以点A 为原点,以AB ,AD ,AP 为轴建立空间直角坐标系如图,可得B (1,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2). 由E 为棱PC 的中点,得E (1,1,1). (1)证明 向量BE →＝(0,1,1),PD →＝(0,2,－2), 故BE →·PD →＝0,所以BE →⊥PD →,所以BE ⊥PD .(2)解 BC →＝(1,2,0),CP →＝(－2,－2,2),AC →＝(2,2,0),AB →＝(1,0,0), 由点F 在棱PC 上,设CF →＝λCP →,0≤λ≤1, 故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →＝(1－2λ,2－2λ,2λ), 由BF ⊥AC ,得BF →·AC →＝0, 因此,2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0,λ＝34,即BF →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，32. 设n 1＝(x ,y ,z )为平面F AB 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB →＝0，n 1·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0，不妨令z ＝－1,可得n 1＝(0,3,－1)为平面F AB 的一个法向量, 取平面ABD 的法向量n 2＝(0,0,1), 则cos 〈n 1,n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－110＝－1010,又因为二面角F －AB －D 为锐二面角,所以二面角F－AB－D的余弦值为1010.立体几何中的探索性问题例4(2019·淄博模拟)已知正方形的边长为4,E,F分别为AD,BC的中点,以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角,点M在线段AB上.(1)若M为AB的中点,且直线MF与由A,D,E三点所确定平面的交点为O,试确定点O的位置,并证明直线OD∥平面EMC；(2)是否存在点M,使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在,求此时二面角M－EC－F的余弦值,若不存在,说明理由.解(1)因为直线MF⊂平面ABFE,故点O在平面ABFE内也在平面ADE内,所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线上(如图所示),因为AO∥BF,M为AB的中点,所以△OAM≌△FBM,所以OM＝MF,AO＝BF,所以点O在EA的延长线上,且AO＝2,连结DF交EC于N,因为四边形CDEF为矩形,所以N是EC的中点,连结MN,因为MN为△DOF的中位线,所以MN∥OD,又因为MN⊂平面EMC,OD⊄平面EMC,所以直线OD∥平面EMC.(2)由已知可得,EF⊥AE,EF⊥DE,AE∩DE＝E,所以EF⊥平面ADE,所以平面ABFE⊥平面ADE,取AE的中点H为坐标原点,以AH,DH所在直线分别为x轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,所以E(－1,0,0),D(0,0,3),C(0,4,3),F(－1,4,0),所以ED →＝(1,0,3),EC →＝(1,4,3), 设M (1,t ,0)(0≤t ≤4),则EM →＝(2,t ,0), 设平面EMC 的法向量m ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·EM →＝0，m ·EC →＝0⇒⎩⎨⎧2x ＋ty ＝0，x ＋4y ＋3z ＝0，取y ＝－2,则x ＝t ,z ＝8－t 3,所以m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－2，8－t 3,因为DE 与平面EMC 所成的角为60°, 所以82t 2＋4＋(8－t )23＝32, 所以23t 2－4t ＋19＝32,所以t 2－4t ＋3＝0, 解得t ＝1或t ＝3,所以存在点M ,使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°, 取ED 的中点Q ,因为EF ⊥平面ADE ,AQ ⊂平面ADE , 所以AQ ⊥EF ,又因为AQ ⊥DE ,DE ∩EF ＝E ,DE ,EF ⊂平面CEF , 所以AQ ⊥平面CEF ,则QA →为平面CEF 的法向量, 因为Q ⎝⎛⎭⎫－12，0，32,A (1,0,0),所以QA →＝⎝⎛⎭⎫32，0，－32,m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－2，8－t 3,设二面角M －EC －F 的大小为θ, 所以|cos θ|＝|QA →·m ||QA →|·|m |＝|2t －4|3t 2＋4＋(8－t )23＝|t －2|t2－4t ＋19, 因为当t ＝2时,cos θ＝0,平面EMC ⊥平面CDEF , 所以当t ＝1时,θ为钝角,所以cos θ＝－14.当t ＝3时,θ为锐角,所以cos θ＝14.思维升华 (1)对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证,寻找假设满足的条件,若满足则肯定假设,若得出矛盾的结论则否定假设.(2)平面图形的翻折问题,关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况.一般地,翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化.跟踪训练4(2019·天津市南开区南开中学月考)如图1,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD＝60°,DE⊥AB于点E,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1D⊥BE,如图2.(1)求证:A1E⊥平面BCDE；(2)求二面角E－A1D－B的余弦值；(3)在线段BD上是否存在点P,使平面A1EP⊥平面A1BD？若存在,求BPBD的值；若不存在,说明理由.(1)证明因为A1D⊥BE,DE⊥BE,A1D∩DE＝D,A1D,DE⊂平面A1DE,所以BE⊥平面A1DE,因为A1E⊂平面A1DE,所以A1E⊥BE,又因为A1E⊥DE,BE∩DE＝E,BE,DE⊂平面BCDE,所以A1E⊥平面BCDE.(2)解以E为原点,分别以EB,ED,EA1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(0,3,0),A1(0,0,1),所以BA 1→＝(－1,0,1),BD →＝(－1,3,0), 设平面A 1BD 的法向量n ＝(x ,y ,z ), 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝－x ＋z ＝0，n ·BD →＝－x ＋3y ＝0得⎩⎨⎧x ＝z ，x ＝3y ，令y ＝1,得n ＝(3,1,3), 因为BE ⊥平面A 1DE ,所以平面A 1DE 的法向量EB →＝(1,0,0), cos 〈n ,EB →〉＝n ·EB →|n |·|EB →|＝37＝217,因为所求二面角为锐角,所以二面角E －A 1D －B 的余弦值为217. (3)解 假设在线段BD 上存在一点P ,使得平面A 1EP ⊥平面A 1BD , 设P (x ,y ,z ),BP →＝λBD →(0≤λ≤1),则(x －1,y ,z )＝λ(－1,3,0),所以P (1－λ,3λ,0), 所以EA 1→＝(0,0,1),EP →＝(1－λ,3λ,0), 设平面A 1EP 的法向量m ＝(x 1,y 1,z 1), 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·EA 1→＝z 1＝0，m ·EP →＝(1－λ)x 1＋3λy 1＝0，得⎩⎨⎧z 1＝0，(1－λ)x 1＝－3λy 1，令x 1＝3λ,得m ＝(3λ,λ－1,0), 因为平面A 1EP ⊥平面A 1BD ,所以m ·n ＝3λ＋λ－1＝0,解得λ＝14∈[0,1],所以在线段BD 上存在点P ,使得平面A 1EP ⊥平面A 1BD ,且BP BD ＝14.例 (12分)(2019·全国Ⅰ)如图,直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1＝4,AB ＝2,∠BAD ＝60°,E ,M ,N 分别是BC ,BB 1,A 1D 的中点.(1)证明:MN ∥平面C 1DE ； (2)求二面角A －MA 1－N 的正弦值. 规范解答(1)证明 连结B 1C ,ME .因为M ,E 分别为BB 1,BC 的中点,所以ME ∥B 1C ,且ME ＝12B 1C .[1分]又因为N 为A 1D 的中点,所以ND ＝12A 1D .[2分]由题设知A 1B 1∥DC 且A 1B 1＝DC ,可得B 1C ∥A 1D 且B 1C ＝A 1D ,故ME ∥ND 且ME ＝ND ,因此四边形MNDE 为平行四边形,[3分] 所以MN ∥ED .[4分]又MN ⊄平面C 1DE ,ED ⊂平面C 1DE ,[5分] 所以MN ∥平面C 1DE .[6分](2)解 由已知可得DE ⊥DA ,以D 为坐标原点,DA →的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ,[7分]则A (2,0,0),A 1(2,0,4),M (1,3,2),N (1,0,2),A 1A →＝(0,0,－4),A 1M →＝(－1,3,－2),A 1N →＝(－1,0,－2),MN →＝(0,－3,0).[8分]设m ＝(x ,y ,z )为平面A 1MA 的一个法向量, 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1M →＝0，m ·A 1A →＝0，所以⎩⎨⎧－x ＋3y －2z ＝0，－4z ＝0，可得m ＝(3,1,0).[9分]设n ＝(p ,q ,r )为平面A 1MN 的一个法向量, 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝0，n ·A 1N →＝0，所以⎩⎨⎧－3q ＝0，－p －2r ＝0，可取n ＝(2,0,－1).[10分] 于是cos 〈m ,n 〉＝m ·n |m ||n |＝232×5＝155,[11分] 所以二面角A －MA 1－N 的正弦值为105.[12分]利用向量求空间角的步骤第一步:建立空间直角坐标系,确定点的坐标；第二步:求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标； 第三步:计算向量的夹角(或函数值),并转化为所求角.1.(2019·南京模拟)如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形,点O为AC中点,平面AA1C1C⊥平面ABC.(1)证明:A 1O ⊥平面ABC ；(2)求直线AB 与平面A 1BC 1所成角的正弦值. (1)证明 ∵AA 1＝A 1C ,且O 为AC 的中点, ∴A 1O ⊥AC ,又∵平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ,平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ,A 1O ⊂平面AA 1C 1C , ∴A 1O ⊥平面ABC .(2)解 如图,以O 为原点,OB ,OC ,OA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得O (0,0,0),A (0,－1,0),B (3,0,0),A 1(0,0,3),C 1(0,2,3), ∴AB →＝(3,1,0),A 1B →＝(3,0,－3),A 1C 1→＝(0,2,0), 设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B →＝0，即⎩⎨⎧2y ＝0，3x －3z ＝0，∴平面A 1BC 1的一个法向量为n ＝(1,0,1),设直线AB 与平面A 1BC 1所成的角为α,则sin α＝|cos 〈AB →,n 〉|, 又∵cos 〈AB →,n 〉＝AB →·n |AB →||n |＝322＝64,∴AB 与平面A 1BC 1所成角的正弦值为64. 2.如图1,在△ABC 中,BC ＝3,AC ＝6,∠C ＝90°,且DE ∥BC ,将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使A 1D ⊥CD ,如图2.(1)求证:BC ⊥平面A 1DC ；(2)若CD ＝2,求BE 与平面A 1BC 所成角的正弦值. (1)证明 ∵DE ⊥A 1D ,DE ∥BC ,∴BC ⊥A 1D , 又∵BC ⊥CD ,A 1D ∩CD ＝D ,A 1D ,CD ⊂平面A 1CD , ∴BC ⊥平面A 1DC ,(2)解 以D 为原点,分别以DE →,DA 1→,CD →为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,在直角梯形CDEB 中,过E 作EF ⊥BC ,EF ＝2,BF ＝1,BC ＝3, ∴B (3,0,－2),E (2,0,0),C (0,0,－2),A 1(0,4,0), BE →＝(－1,0,2),CA 1→＝(0,4,2),BA 1→＝(－3,4,2), 设平面A 1BC 的法向量为m ＝(x ,y ,z ),⎩⎪⎨⎪⎧CA 1→·m ＝0，BA 1→·m ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋2z ＝0，－3x ＋4y ＋2z ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧z ＝－2y ，x ＝0， 令y ＝1,∴m ＝(0,1,－2), 设BE 与平面A 1BC 所成角为θ,∴sin θ＝|cos 〈BE →,m 〉|＝|BE →·m ||BE →||m |＝45·5＝45.3.(2020·重庆诊断)如图1,在边长为5的菱形ABCD 中,AC ＝6,现沿对角线AC 把△ADC 翻折到△APC 的位置得到四面体P －ABC ,如图2所示.已知PB ＝4 2.(1)求证:平面P AC ⊥平面ABC ；(2)若Q 是线段AP 上的点,且AQ →＝13AP →,求二面角Q －BC －A 的余弦值.(1)证明 取AC 的中点O ,连结PO ,BO 得到△PBO .∵四边形ABCD 是菱形,∴P A ＝PC ,PO ⊥AC . ∵DC ＝5,AC ＝6,∴OC ＝3,PO ＝OB ＝4, ∵PB ＝42,∴PO 2＋OB 2＝PB 2, ∴PO ⊥OB .∵OB ∩AC ＝O ,OB ,AC ⊂平面ABC ,∴PO ⊥平面ABC . ∵PO ⊂平面P AC ,∴平面P AC ⊥平面ABC . (2)解 ∵AB ＝BC ,∴BO ⊥AC . 易知OB ,OC ,OP 两两垂直.以O 为坐标原点,OB ,OC ,OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则B (4,0,0),C (0,3,0),P (0,0,4),A (0,－3,0). 设点Q (x ,y ,z ).由AQ →＝13AP →,得Q ⎝⎛⎭⎫0，－2，43. ∴BC →＝(－4,3,0),BQ →＝⎝⎛⎭⎫－4，－2，43. 设n 1＝(x 1,y 1,z 1)为平面BCQ 的法向量. 由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·BC →＝0，n 1·BQ →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1＋3y 1＝0，－4x 1－2y 1＋43z 1＝0，解得⎩⎨⎧x 1＝34y 1，y 1＝415z 1，取z 1＝15,则n 1＝(3,4,15).取平面ABC 的一个法向量n 2＝(0,0,1). ∵cos 〈n 1,n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝1532＋42＋152＝31010,由图可知二面角Q －BC －A 为锐角, ∴二面角Q －BC －A 的余弦值为31010.4.如图所示,在正四棱锥P －ABCD 中,底面ABCD 的边长为2,侧棱长为2 2.(1)若点E 为PD 上的点,且PB ∥平面EAC ,试确定E 点的位置；(2)在(1)的条件下,在线段P A 上是否存在点F ,使平面AEC 和平面BDF 所成的锐二面角的余弦值为114,若存在,求线段PF 的长度,若不存在,请说明理由.解 (1)设BD 交AC 于点O ,连结OE , ∵PB ∥平面AEC ,平面AEC ∩平面BDP ＝OE , ∴PB ∥OE .又O 为BD 的中点,∴E 为PD 的中点.(2)连结OP ,由题意知PO ⊥平面ABCD ,且AC ⊥BD ,∴以O 为坐标原点,OC →,OD →,OP →所在直线分别为x ,y ,z 轴建立直角坐标系,如图所示.OP ＝PD 2－OD 2＝6, ∴O (0,0,0),A (－2,0,0),B (0,－2,0),C (2,0,0),D (0,2,0),P (0,0,6), 则E ⎝⎛⎭⎫0，22，62,OC →＝(2,0,0),OE →＝⎝⎛⎭⎫0，22，62,OD →＝(0,2,0). 设平面AEC 的法向量为m ＝(x 1,y 1,z 1), 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·OC →＝0，m ·OE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，22y 1＋62z 1＝0，令z 1＝1,得平面AEC 的一个法向量m ＝(0,－3,1),假设在线段P A 上存在点F ,满足题设条件,不妨设PF →＝λP A →(0≤λ≤1). 则F (－2λ,0,6－6λ),OF →＝(－2λ,0,6－6λ). 设平面BDF 的法向量n ＝(x 2,y 2,z 2),∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·OD →＝0，n ·OF →＝0，即⎩⎨⎧2y 2＝0，－2λx 2＋(1－λ)6z 2＝0.令z 2＝1得平面BDF 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎪⎫3(1－λ)λ，0，1.由平面AEC 与平面BDF 所成锐二面角的余弦值为114,则cos 〈m ,n 〉＝m ·n|m ||n |＝12·1＋3⎝⎛⎭⎫1λ－12＝114, 解得λ＝15(负值舍去).∴|PF →|＝15|P A →|＝225.故在线段P A 上存在点F ,当PF ＝225时,使得平面AEC 和平面BDF 所成的锐二面角的余弦值为114.5.如图,在四棱锥E －ABCD 中,底面ABCD 是圆内接四边形,CB ＝CD ＝CE ＝1,AB ＝AD ＝AE ＝3,EC ⊥BD .(1)求证:平面BED ⊥平面ABCD ；(2)若点P 在侧面ABE 内运动,且DP ∥平面BEC ,求直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值.(1)证明 如图,连结AC ,交BD 于点O ,连结EO ,∵AD ＝AB ,CD ＝CB ,AC ＝AC , ∴△ADC ≌△ABC , 易得△ADO ≌△ABO , ∴∠AOD ＝∠AOB ＝90°, ∴AC ⊥BD .又EC ⊥BD ,EC ∩AC ＝C ,EC ,AC ⊂平面AEC , ∴BD ⊥平面AEC ,又OE ⊂平面AEC ,∴OE ⊥BD . 又底面ABCD 是圆内接四边形, ∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°,在Rt △ADC 中,由AD ＝3,CD ＝1, 可得AC ＝2,AO ＝32,∴∠AEC ＝90°,AE AC ＝AO AE ＝32,易得△AEO ∽△ACE ,∴∠AOE ＝∠AEC ＝90°, 即EO ⊥AC .又AC ,BD ⊂平面ABCD ,AC ∩BD ＝O , ∴EO ⊥平面ABCD ,又EO ⊂平面BED ,∴平面BED ⊥平面ABCD .(2)解 如图,取AE 的中点M ,AB 的中点N ,连结MN ,ND ,DM ,则MN ∥BE ,由(1)知,∠DAC ＝∠BAC ＝30°, 即∠DAB ＝60°, ∴△ABD 为正三角形, ∴DN ⊥AB ,又BC ⊥AB ,DN ,CB ⊂平面ABCD ,∴DN ∥CB ,又MN ∩DN ＝N ,BE ∩BC ＝B ,MN ,DN ⊂平面DMN ,BE ,BC ⊂平面EBC , ∴平面DMN ∥平面EBC ,∴点P 在线段MN 上.以O 为坐标原点,OA ,OB ,OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系, 则A ⎝⎛⎭⎫32，0，0,B ⎝⎛⎭⎫0，32，0,E ⎝⎛⎭⎫0，0，32, M ⎝⎛⎭⎫34，0，34,D ⎝⎛⎭⎫0，－32，0,N ⎝⎛⎭⎫34，34，0,∴AB →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，0,AE →＝⎝⎛⎭⎫－32，0，32,DM →＝⎝⎛⎭⎫34，32，34,MN →＝⎝⎛⎭⎫0，34，－34,设平面ABE 的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AE →·n ＝0，即⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，－3x ＋z ＝0，令x ＝1,则n ＝(1,3,3), 设MP →＝λMN →(0≤λ≤1),可得DP →＝DM →＋MP →＝⎝⎛⎭⎫34，32＋34λ，34－34λ,设直线DP 与平面ABE 所成的角为θ,则sin θ＝|cos 〈n ,DP →〉|＝|n ·DP →||n |·|DP →|＝1242×λ2＋λ＋4, ∵0≤λ≤1,∴当λ＝0时,sin θ取得最大值427. 故直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值为427.。

第七章立体几何第34讲空间几何体的表面积和体积A应知应会一、选择题1. 如图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的()(第1题)A B C D2. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()A. 122πB. 12πC. 82πD. 10π3. 如图,一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°,腰和上底长均为2的等腰梯形,则这个平面图形的面积是()(第3题)A. 2＋2B. 1＋2C. 4＋22D. 8＋424. 已知正方体外接球的体积是323 π,那么正方体的棱长等于( )A. 22B.233 C. 423 D. 4335. (2019·江西重点中学联考)《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典著,其中记载有求“囷盖”的术：置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出圆锥的底面周长l 与高h ,计算其体积V 的近似公式V ＝136 l 2h ,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3,那么,近似公式V ≈25942 l 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取( )A.227 B. 258 C. 15750 D. 355113二、 解答题6. 已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积和表面积．(单位：cm 2 )7. 如图,四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形,其中BD 是圆的直径,∠ABD ＝60°,∠BDC ＝45°,△ADP ∽△BAD .(1) 求线段PD 的长；(2) 若PC ＝11 R ,求三棱锥P ABC 的体积．(第7题)B巩固提升一、填空题1. 如图,一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球,水面高度恰好升高r,则Rr＝________．(第1题)2. (2019·通州、海门、启东期末)已知正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长均为2,点D在棱AA1上,则三棱锥D BB1C1的体积为________．(第2题)3. 如图,已知正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2 cm,高为5 cm,一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.(第3题)4. 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确的命题是________．(填序号)二、解答题5. 已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的全面积为S,求其内接正四棱柱的体积．6. 如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.(1) 求证：平面AEC⊥平面BED；(2) 若∠ABC＝120°,AE⊥EC,三棱锥E ACD的体积为63,求该三棱锥的侧面积．(第6题)第35讲空间点、线、面之间的位置关系A应知应会一、选择题1. 下列图形中不一定是平面图形的是()A. 三角形B. 菱形C. 梯形D. 四边相等的四边形2. 如图,ABCD A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()(第2题)A. A,M,O三点共线B. A,M,O,A1不共面C. A,M,C,O不共面D. B,B1,O,M共面3. 如图,平面α∩平面β＝l,A∈α,B∈α,AB∩l＝D,C∈β,C l,则平面ABC与平面β的交线是()(第3题)A. 直线ACB. 直线ABC. 直线CDD. 直线BC4. (多选)下列四个命题中正确的是()A. 存在与两条异面直线都平行的平面B. 过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行C. 过平面外一点可作无数条直线与该平面平行D. 过直线外一点可作无数个平面与该直线平行5. (2019·湖北八校联考)已知直三棱柱ABC A1B1C1中,∠ABC＝120°,AB＝2,BC＝CC1＝1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32 B.155 C.105 D.33二、解答题6. 如图,在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1) 画出l的位置；(2) 设l∩A1B1＝P,求PB1的长．(第6题)7. 如图,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点．(1) 求证：直线EF与BD是异面直线；(2) 若AC⊥BD,AC＝BD,求EF与BD所成的角．(第7题)B巩固提升一、填空题1. 下列命题正确的是________．(填序号)①三个点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面；④两条平行直线确定一个平面．2. 已知l1,l2,l3是空间三条不同的直线,给出下列四个命题：①l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3；②l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3；③l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面；④l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面．其中正确的命题是________．(填序号)3. (2019·深圳调研)若P是两条异面直线l,m外的任意一点,给出四个命题：①过点P有且仅有一条直线与l,m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l,m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l,m都异面．其中正确的是________．(填序号)4. 设E,F,G,H依次是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,且AC＋BD＝a,AC·BD＝b,则EG2＋FH2＝________．二、解答题5. 已知a,b,c,d是不共点且两两相交的四条直线,求证：a,b,c,d共面．6. 已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2,A1在底面ABC内的射影O为底面三角形ABC的中心,如图所示．(1) 连接BC1,求异面直线AA1与BC1所成角的大小；(2) 连接A1C,A1B,求三棱锥C1-BCA1的体积．(第6题)第36讲直线、平面平行的判定与性质A应知应会一、选择题1. 已知平面α,β和直线m,若α⊥β,m⊥α,则()A. m⊥βB. m∥βC. m⊂βD. m∥β或m⊂β2. (2019·湘中名校联考)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不重合的平面,下列命题中正确的是()A. 若m∥α,n∥α,则m∥nB. 若m∥α,m∥β,则α∥βC. 若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βD. 若m⊥α,n⊥α,则m∥n3. (2019·泰安调研)已知α,β,γ是三个不重合的平面,l是直线．给出下列命题：①若l上两点到α的距离相等,则l∥α；②若l⊥α,l∥β,则α⊥β；③若α∥β,lβ,且l∥α,则l∥β.其中正确的命题是()A. ①②B. ①②③C. ①③D. ②③4. 设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不重合的平面,给出下列三个命题：①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α；②若α∩β＝l,β∩γ＝m,γ∩α＝n,则l∥m∥n；③若α∩β＝m,β∩γ＝l,γ∩α＝n,且n∥β,则l∥m.其中正确命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 35. (2019·深圳调研)在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4.又H,G分别为BC,CD的中点,则()A. BD∥平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形B. EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形C. HG∥平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形D. EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形二、解答题6. 如图,四棱锥P ABCD的底面为平行四边形,PD⊥平面ABCD,M为PC的中点．求证：AP∥平面MBD.(第6题)7. (2019·南昌模拟)如图,在四棱锥P ABCD中,∠ABC＝∠ACD＝90°,∠BAC＝∠CAD ＝60°,P A⊥平面ABCD,P A＝2,AB＝1.设M,N分别为PD,AD的中点．(1) 求证：平面CMN∥平面P AB；(2) 求三棱锥P-ABM的体积．(第7题)B巩固提升一、填空题1. 若一直线上有相异的三个点A,B,C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是________．2. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB＝2,点E为AD的中点,点F在CD上．若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________．(第2题)3. 在空间中,用a,b,c表示三条不同的直线,γ表示平面,给出下列四个命题：①若a∥b,b∥c,则a∥c；②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c；③若a∥γ,b∥γ,则a∥b；④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b.其中真命题为________．(填序号)4. (2019·九江调研)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．(第4题)二、解答题5. 如图,四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点．(1) 求证：BE∥平面DMF；(2) 求证：平面BDE∥平面MNG.(第5题)6. 如图,四棱锥P ABCD中,AB∥CD,AB＝2CD,E为PB的中点．(1) 求证：CE∥平面P AD；(2) 在线段AB上是否存在一点F,使得平面P AD∥平面CEF？若存在,证明你的结论,若不存在,请说明理由．(第6题)第37讲直线、平面垂直的判定与性质A应知应会一、选择题1. 已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A. m∥lB. m∥nC. n⊥lD. m⊥n2. (2019·焦作期中)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不重合的平面,给出下列命题,正确的是()A. 若mβ,α⊥β,则m⊥αB. 若m∥α,m⊥β,则α⊥βC. 若α⊥β,α⊥γ,β⊥γD. 若α∩γ＝m,β∩γ＝n,m∥n,则α∥β3. (2019·合肥调研)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是()(第3题)A. MN与CC1垂直B. MN与AC垂直C. MN与BD平行D. MN与A1B1平行4. 如图,在斜三棱柱ABC A1B1C1中,∠BAC＝90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的射影H必在()(第4题)A. 直线AB上B. 直线BC上C. 直线AC上D. △ABC内部5. 如图,在四面体D ABC中,若AB＝CB,AD＝CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是()(第5题)A. 平面ABC⊥平面ABDB. 平面ABD⊥平面BDCC. 平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED. 平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE二、解答题6. (2019·潍坊期末)如图,四棱锥E ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ADC＝60°,CD ＝2AD,EC⊥底面ABCD.(1) 求证：平面ADE⊥平面ACE；(2) 若AD＝CE＝2,求三棱锥C ADE的高．(第6题)7. (2019·蚌埠二模)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,P A⊥平面ABCD,E,F 分别是线段AD,PB的中点,P A＝AB＝1.(1) 求证：EF∥平面PDC；(2) 求点F到平面PDC的距离．(第7题)B巩固提升一、填空题1. (2019·青岛调研)已知P为△ABC所在平面外一点,且P A,PB,PC两两垂直,有下列结论：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的有________．(填序号)2. 如图,在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,则点P到直线CC1的距离的最小值为________．(第2题)3. (2019·武汉调研)在矩形ABCD中,AB＜BC,现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论：①存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直．其中正确的结论是________．(填序号)4. (2019·滨州期末)已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2,点P是棱AA1的中点,则过点P且与直线BC1垂直的平面截正方体所得的截面的面积为________．二、解答题5. 如图,在正三棱柱ABC A1B1C1中,D为AB的中点．(1) 求证：BC1∥平面A1CD.(2) 请从图中所标点中,选择直线或平面将命题补充完整,并证明．求证：__________⊥平面ABB1A1.(第5题)6. (2019·漳州调研)在如图所示的五面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,且∠DAB＝60°,EA＝ED＝AB＝2EF＝2,EF∥AB,M为BC的中点．(1) 求证：FM∥平面BDE；(2) 若平面ADE⊥平面ABCD,求点F到平面BDE的距离．(第6题)第38讲直线、平面平行与垂直的综合问题A应知应会一、选择题1. 若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是()A. b⊂αB. b∥αC. b⊂α或b∥αD. b与α相交或b⊂α或b∥α2. 设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 给出下列关于互不相同的直线l,m,n和平面α,β,γ的三个命题：①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β；②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m；③若α∩β＝l,β∩γ＝m,γ∩α＝n,l∥γ,则m∥n.其中真命题的个数为()A. 3B. 2C. 1D. 04. (2019·深圳调研)已知a,b,c是空间中三条不同的直线,α,β,γ为空间三个不重合的平面,则下列说法中正确的是()A. 若α⊥β,aα,a⊥β,则a∥αB. 若α⊥β,且α∩β＝a,b⊥a,则b⊥αC. 若α∩β＝a,β∩γ＝b,α∩γ＝c,则a∥b∥cD. 若α∩β＝a,b∥a,则b∥α5. (多选)已知平面α,β,γ和直线l,m,且l⊥m,α⊥γ,α∩γ＝m,β∩γ＝l,下列结论中一定正确的是()A. β⊥γB. l⊥αC. m⊥βD. α⊥β二、解答题6. 如图,在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中,DB＝BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点．(1) 求证：B1D1∥平面A1BD；(2) 求证：MD⊥AC；(3) 试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.(第6题)7. 如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1＝AC＝2,BC＝1,E,F分别是A1C1,BC的中点．(1) 求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2) 求证：C1F∥平面ABE；(3) 求三棱锥E ABC的体积．(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. (多选)如图,正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各条棱的长度均相等,D 为AA 1的中点,M ,N 分别是线段BB 1和线段CC 1上的动点(含端点),且满足BM ＝C 1N ,当点M ,N 运动时,下列结论正确的是( )(第1题)A. 在△DMN 内总存在与平面ABC 平行的线段B. 平面DMN ⊥平面BCC 1B 1C. 三棱锥A 1 DMN 的体积为定值D. △DMN 可能为直角三角形2. (多选)如图,在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,P 为线段A 1B 上的动点,则下列结论中正确的是( )(第2题)A. 平面D 1A 1P ⊥平面A 1APB. ∠APD 1的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π2C. 三棱锥B 1 D 1PC 的体积为定值D. DC 1⊥D 1P3. (多选)如图,一张A4纸的长、宽分别为22 a ,2a ,A ,B ,C ,D 分别是其四条边的中点,现将其沿图中虚线折起,使得P 1,P 2,P 3,P 4四点重合为一点P ,从而得到一个多面体,下列关于该多面体的命题,正确的是( )(第3题)A. 该多面体是三棱锥B. 平面BAD⊥平面BCDC. 平面BAC⊥平面ACDD. 该多面体外接球的表面积为5πa2二、解答题4. 如图,在四棱锥P ABC中,P A⊥底面ABCD,AD∥BC,AB＝AD＝AC＝3,P A＝BC＝4,M 为线段AD上一点,AM＝2MD,N为PC的中点．(1) 求证：MN∥平面P AB；(2) 求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．(第4题)5. 如图(1),在Rt△ABC中,∠C＝90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图(2).(1) 求证：DE∥平面A1CB；(2) 求证：A1F⊥BE；(3) 线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由．图(1)图(2)(第5题)第39讲 用向量法解决空间中的位置关系A 应知应会一、 选择题1. 已知a ＝(2,1,－3),b ＝(－1,2,3),c ＝(7,6,λ),若a,b,c 三向量共面,则λ等于( ) A. 9 B. －9 C. －3 D. 32. 若平面α,β的法向量分别为n 1＝(2,－3,5),n 2＝(－3,1,－4),则( ) A. α∥β B. α⊥βC. α,β相交但不垂直D. 以上均不正确3. 在空间四边形ABCD 中,AB → ·CD → ＋AC → ·DB → ＋AD → ·BC →等于( )A. －1B. 0C. 1D. 不确定4. 已知平面α内有一点M (1,－1,2),平面α的一个法向量为n ＝(6,－3,6),则下列点P 中,在平面α内的是( )A. P (2,3,3)B. P (－2,0,1)C. P (－4,4,0)D. P (3,－3,4)5. 如图,F 是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点,E 是BB 1上一点,若D 1F ⊥DE ,则有( )(第5题)A. B 1E ＝EBB. B 1E ＝2EBC. B 1E ＝12EB D. E 与B 重合二、 解答题6. 已知a ＝(1,－3,2),b ＝(－2,1,1),A (－3,－1,4),B (－2,－2,2). (1) 求|2a ＋b|；(2) 在直线AB 上,是否存在一点E ,使得OE →⊥b(O 为原点)?7. (2019·江西调研)如图,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,侧面AA 1C 1C 和侧面AA 1B 1B 都是正方形且互相垂直,M 为AA 1的中点,N 为BC 1的中点．(1) 求证：MN ∥平面A 1B 1C 1；(2) 求证：平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C .(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. 已知法向量为n ＝(1,－1,1)的平面σ过点M (1,2,－1),则平面σ上任意一点P 的坐标(x ,y ,z )满足的方程为________．2. 已知a ＝(x ,4,1),b ＝(－2,y ,－1),c ＝(3,－2,z ),若a ∥b,b ⊥c,则c ＝________．3. 已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点,且VA ＝VB ＝VC ＝VD ,VP →＝13 VC → ,VM → ＝23VB → ,VN →＝23VD → ,则VA 与平面PMN 的位置关系是________．4. (2019·丽水调研)如图,圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形,O 为底面中心,M 为SO 的中点,动点P 在圆锥底面内(包括圆周).若AM ⊥MP ,则点P 形成的轨迹长度为________．(第4题)二、 解答题5. 如图,正方形ABCD 所在平面与四边形ABEF 所在平面互相垂直,△ABE 是等腰直角三角形,AB ＝AE ,F A ＝FE ,∠AEF ＝45°.(1) 求证：EF ⊥平面BCE ；(2) 设线段CD ,AE 的中点分别为P ,M ,求证：PM ∥平面BCE .(第5题)6. (2019·芜湖调研)如图,在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝AD ＝1,E 为CD 中点． (1) 求证：B 1E ⊥AD 1；(2) 在棱AA 1上是否存在一点P ,使得DP ∥平面B 1AE ？若存在,求AP 的长；若不存在,说明理由．(第6题)第40讲 空间角的计算课时1 线线角与线面角A 应知应会一、 选择题1. 已知A (－1,0,1),B (0,0,1),C (2,2,2),D (0,0,3),则sin 〈AB → ,CD →〉等于( ) A. －23 B. 23 C. 53 D. －532. (2019·江门调研)如图,在三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC ,AB ＝BC ＝AA 1,∠ABC＝90°,点E ,F 分别是棱AB ,BB 1的中点,则直线EF 和BC 1所成的角是( )(第2题)A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 已知空间三点A (0,2,3),B (－2,1,6),C (1,－1,5).若|a|＝3 ,且a 分别与AB → ,AC →垂直,则向量a 为( )A. (1,1,1)B. (－1,－1,－1)C. (1,1,1)或(－1,－1,－1)D. (1,－1,1)或(－1,1,－1) 4. (2019·日照调研)如图,已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AD ＝AA 1＝1,AB ＝3,E 为线段AB 上一点,且AE ＝13AB ,则DC 1与平面D 1EC 所成角的正弦值为( )A.33535 B. 277 C. 33 D. 24(第4题)5.如图,正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直,且AC ＝BC ＝2,∠ACB ＝90°,F ,G 分别是线段AE ,BC 的中点．则AD 与GF 所成角的余弦值为( )(第5题)A.36 B. －36 C.33 D. －33二、解答题6. 如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是矩形,P A⊥底面ABCD,E是PC的中点．已知AB＝2,AD＝22,P A＝2.求异面直线BC与AE所成的角的大小．(第6题)7. (2019·宿迁调研)如图,在四棱锥P ABCD中,P A⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD＝DC＝AP＝2,AB＝1,点E为棱PC的中点．(1) 求证：BE⊥DC；(2) 求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. 已知O 点为空间直角坐标系的原点,向量OA → ＝(1,2,3),OB → ＝(2,1,2),OP →＝(1,1,2),且点Q 在直线OP 上运动,当QA → ·QB → 取得最小值时,OQ →的坐标是________．2. 如图,已知正四面体ABCD 中,AE ＝14 AB ,CF ＝14 CD ,则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．(第2题)3. 在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ,则直线CD 与平面BDC 1所成角的正弦值为________．4. 如图,菱形ABCD 中,∠ABC ＝60°,AC 与BD 相交于点O ,AE ⊥平面ABCD ,CF ∥AE ,AB ＝2,CF ＝3.若直线OF 与平面BED 所成的角为45°,则AE ＝________．(第4题)二、解答题5. (2019·宁波调研)如图,在三棱锥P ABC中,P A⊥底面ABC,∠BAC＝90°.点D,E,N分别为棱P A,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,P A＝AC＝4,AB＝2.(1) 求证：MN∥平面BDE；(2) 已知点H在棱P A上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721,求线段AH的长．(第5题)6. (2019·洛阳二模)如图,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD＝CD＝1,AA1＝AB＝2,E为棱AA1的中点．(1) 求证：B1C1⊥CE；(2) 设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26,求线段AM的长．(第6题)课时2二面角A应知应会一、解答题1. (2019·保定期末)如图,正三棱柱(底面为正三角形,侧棱垂直于底面)ABC A1B1C1中,侧棱长AA1＝2,底面边长AB＝1,N是CC1的中点．(1) 求证：平面ANB1⊥平面AA1B1B；(2) 设M是线段AB1的中点,求直线C1M与平面ABC1所成的角的正弦值．(第1题)2. (2019·江苏天一中学)如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,AB＝4,AC＝BC＝3,D为AB的中点．(1) 求点C到平面A1ABB1的距离；(2) 若AB1⊥A1C,求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值．(第2题)3. (2019·临汾一模)在四棱锥P ABCD中,平面ABCD⊥平面PCD,底面ABCD为梯形,AB∥CD,AD⊥PC且AB＝1,AD＝DC＝DP＝2,∠PDC＝120°.(1) 求证：AD⊥平面PDC；(2) 求二面角B-PD-C的余弦值．(第3题)4. (2019·如皋中学)如图,以正四棱锥V ABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz ,其中Ox ∥BC ,Oy ∥AB ,E 为VC 的中点．正四棱锥V-ABCD 的底面边长为2a ,高为h ,且有cos 〈BE → ,DE →〉＝－1549.(1) 求ha的值；(2) 求二面角B-VC-D 的余弦值．(第4题)B 巩固提升一、 填空题1. 如图,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AA 1＝BC ＝AB ＝2,AB ⊥BC ,则二面角B 1-A 1C-C 1的大小是________．(第1题)2. 如图,在四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PD ⊥平面ABCD ,且PD ＝AD ＝1,AB ＝2,点E 是AB 上一点,当AE ＝________时,二面角P-EC- D 的平面角为π4.(第2题)二、 解答题3. 如图,四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是平行四边形,P A ⊥底面ABCD ,P A ＝3,AD ＝2,AB ＝4,∠ABC ＝60°.(1) 求证：BC ⊥平面P AC ；(2) 若E 是侧棱PB 上一点,记PEPB ＝λ(0<λ<1),且________,求λ的值．①二面角E-AD-B 为30°； ②二面角E-AD-P 为60°；③二面角E-AD-B 与E-AD-P 相等．请从上面三个条件中任选一个,填入横线处,并完成．(第3题)4. (2019·合肥调研)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝CB ＝1,∠BCD ＝2π3 ,四边形BFED 为矩形,平面BFED ⊥平面ABCD ,BF ＝1.(1) 求证：AD ⊥平面BFED ；(2) 点P 在线段EF 上运动,设平面P AB 与平面ADE 所成锐二面角为θ,试求θ的最小值．(第4题)微难点8翻折问题一、填空题1. 如图表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段AB,CD,EF和GH在原正方体中相互异面的有______对．(第1题)2.如图所示是一个正方体的表面展开图,A,B,C均为棱的中点,D是顶点,则在正方体中,异面直线AB,CD所成角的余弦值为________．(第2题)3. 已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如图所示,则该凸多面体的体积V＝________．(第3题)4. 如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD 为正方形,E ,F 分为P A ,PD 的中点,在此几何体中,给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 是异面直线；②直线BE 与直线AF 是异面直线；③直线EF ∥平面PBC ；④平面BCE ⊥平面P AD .其中正确的结论是________．(填序号)(第4题)二、 解答题5. 如图(1),四边形ABCD 为等腰梯形,AD ∥BC ,且AD ＝13 BC ＝a ,∠BAD ＝135°,AE ⊥BC于点E ,F 为BE 的中点．将△ABE 沿着AE 折起至△AB ′E 的位置,得到如图(2)所示的四棱锥B ′ ADCE .图(1)图(2) (第5题)(1) 求证：AF ∥平面B ′CD ；(2) 若平面AB ′E ⊥平面AECD ,求二面角B ′- CD-E 的余弦值．6. 如图,在平面四边形ABCD 中,△ABC 等边三角形,AC ⊥DC ,以AC 为折痕将△ABC 折起,使得平面ABC ⊥平面ACD .(1) 设E 为BC 的中点,求证：AE ⊥平面BCD .(2) 若BD 与平面ABC 所成角的正切值为32,求二面角A-BD-C 的余弦值．(第6题)7. 如图,已知等边三角形ABC 中,E ,F 分别为AB ,AC 边的中点,M 为EF 的中点,N 为BC 边上一点,且CN ＝14BC ,将△AEF 沿EF 折到△A ′EF 的位置,使平面A ′EF ⊥平面EFCB .(1) 求证：平面A ′MN ⊥平面A ′BF ； (2) 求二面角E-A ′F-B 的余弦值．(第7题)微难点9 球的相关问题一、 选择题1. 若球的表面积扩大为原来的2倍,则球的体积比原来增加了( )A. 2倍B. 4倍C. 2 2D. (2 2 －1)倍2. (2019·长沙调研)圆柱形容器的内壁底半径为5 cm,两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中,若取出这两个小球,则容器内水面将下降( )A. 53 cmB. 103 cmC. 403 cmD. 56cm3. 在四面体S ABC 中,SA ⊥平面ABC ,∠BAC ＝120°,SA ＝AC ＝2,AB ＝1,则该四面体的外接球的表面积为( )A. 11πB. 7πC.103 π D. 4034. 已知某球半径为R ,则该球内接长方体的表面积的最大值是( ) A. 8R 2 B. 6R 2 C. 4R 2 D. 2R 25. 两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的内部,且互相外切,若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切,球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切,则球O 1和O 2的表面积之和的最小值为( )A. (6－33 )πB. (8－43 )πC. (6＋33 )πD. (8＋43 )π二、 填空题6. 如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为6,4,3,那么它的外接球的表面积是________．7. 将长、宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起,得到四面体A BCD ,则四面体A BCD 的外接球的体积为________．8. 底面半径为1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12 cm 的实心铁球,四个球两两相切,其中底层两球与容器底面相切．现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水________cm 3.9. 已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ,SA ＝AC ,SB ＝BC ,三棱锥S ABC 的体积为9,则球O 的表面积为________．10. 已知一个四面体的一条边长为6 ,其余边长均为2,则此四面体的外接球的半径为________．三、解答题11. 有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度．(第11题)。

⾼三数学南⽅凤凰台⾼2021届⾼2018级⾼三⼀轮数学提⾼版完整版学案第五章第五章平⾯向量与复数第26讲平⾯向量的概念与线性运算A 应知应会⼀、选择题1. (多选)如图,若D ,E ,F 分别是△ABC 的边AB ,BC ,CA 的中点,则下列等式中正确的是( )(第1题)A. FD →＋DA →＋DE →＝0 B. AD →＋BE →＋CF →＝0C. FD →＋DE →＋AD →＝AB →D. AD →＋EC →＋FD →＝BD →2. 在平⾏四边形ABCD 中,对⾓线AC 与BD 交于点O ,若AB →＋AD →＝λAO →,则λ等于( )A. 1B. 2C. 4D. 63. 在等腰梯形ABCD 中,AB →＝－2CD → ,M 为BC 的中点,则AM →等于( ) A. 12 AB →＋12 AD → B. 34 AB →＋12 AD → C. 34 AB →＋14 AD → D. 12 AB →＋34AD → 4. 在△ABC 中,设三边AB ,BC ,CA 的中点分别为E ,F ,D ,则EC →＋F A →等于( ) A. BD → B. 12 BD → C. AC →D. 12AC →5. (2019·河北三市联考)已知e 1,e 2是不共线向量,a ＝m e 1＋2e 2,b ＝n e 1－e 2,且mn ≠0,若a ∥b,则mn等于( )A. －12B. 12 C. －2 D. 2⼆、解答题6. 设e 1,e 2是两个不共线向量,已知AB →＝2e 1－8e 2,CB →＝e 1＋3e 2,CD →＝2e 1－e 2. (1) 求证：A ,B ,D 三点共线；(2) 若BF →＝3e 1－k e 2,且B ,D ,F 三点共线,求k 的值．7. 在△ABC 中,D ,E 分别为BC ,AC 边上的中点,G 为BE 上⼀点,且GB ＝2GE ,设AB →＝a,AC →＝b,试⽤a,b 表⽰AD → ,AG → .B 组能⼒提升⼀、填空题1. 在△ABC 中,若AD →＝2DB → ,CD →＝13 CA →＋λCB →,则λ＝________．2. (2019·⽆锡期末)在四边形 ABCD 中,已知AB →＝a ＋2b,BC →＝－4a －b,CD →＝－5a －3b,其中a,b 是不共线的向量,则四边形ABCD 的形状是________．3. (2019·潍坊⼀模改编)若M 是△ABC 内⼀点,且满⾜BA →＋BC →＝4BM → ,则△ABM 与△ACM 的⾯积之⽐为________.4. (2019·泰州期末)已知点P 为平⾏四边形ABCD 所在平⾯上⼀点,且满⾜P A →＋PB →＋2PD →＝0,λP A →＋µPB →＋PC →＝0,则λµ＝________．⼆、解答题5. 在直⾓梯形ABCD 中,∠A ＝90°,∠B ＝30°,AB ＝23 ,BC ＝2,点E 在线段CD 上,若AE →＝AD →＋µAB →,求µ的取值范围．6. (1) 如图(1),在同⼀个平⾯内,向量OA → ,OB → ,OC →的模分别为1,1,2 ,OA →与OC →的夹⾓为α,且tan α＝7,OB →与OC →的夹⾓为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ,n ∈R),求m ＋n 的值．(2) 如图(2),在△ABC 中,AH ⊥BC 于点H ,M ∈AH ,AM ＝13 AH ,若AM →＝xAB →＋yAC →,求x＋y 的值．图(1)图(2)(第6题)第27讲平⾯向量的基本定理与坐标表⽰A 应知应会⼀、选择题1. 已知a ＝(3,－1),b ＝(－1,2),则－3a －2b 等于( )A. (7,1)B. (－7,－1)C. (－7,1)D. (7,－1)2. 已知A ,B ,C 三点共线,且A (3,－6),B (－5,2),若点C 的横坐标为6,则点C 的纵坐标为( )A. －13B. 9C. －9D. 133. 已知a ＝(1,2),b ＝(x ,1),若a ＋2b 与2a －b 平⾏,则x 等于( )A. 12B. 1C. －1D. 2 4. 在△ABC 中,P ,Q 分别是AB ,BC 的三等分点,且AP →＝13 AB → ,BQ →＝13 BC → .若AB →＝a,AC →＝b,则PQ →等于( )A. 13 a ＋13 bB. －13 a ＋13 bC. 13 a －13 bD. －13 a －13b5. (多选)设e 1,e 2为平⾯α上不共线的两个向量,则下列命题中正确的是( ) A. λe 1＋u e 2(λ,u ∈R)可以表⽰平⾯α内的所有向量B. 对于平⾯α内任⼀向量a,使a ＝λe 1＋u e 2的实数对(λ,u )有⽆穷多个C. 若向量λ1e 1＋u 1e 2与λ2e 1＋u 2e 2共线,则有且只有⼀个实数λ,使得λ1e 1＋u 1e 2＝λ(λ2e 1＋u 2e 2)D. 若实数λ,u 使得λe 1＋u e 2＝0,则λ＝u ＝0⼆、解答题6. 设OA →＝(1,－2),OB →＝(a ,－1),OC →＝(－b ,0),a ＞0,b ＞0,O 为坐标原点,若A ,B ,C 三点共线,求1a ＋2b的最⼩值．7. 如图,以向量OA →＝a,OB →＝b 为邻边作OADB ,BM →＝13 BC → ,CN →＝13 CD → ,⽤a,b 表⽰OM → ,ON → ,MN →.(第7题)B 组能⼒提升⼀、填空题1. 已知梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且DC ＝2AB ,若三个顶点分别为A (1,2),B (2,1),C (4,2),则点D 的坐标为________．2. 已知|OA → |＝1,|OB → |＝3 ,OA → ·OB →＝0,点C 在∠AOB 内,且OC →与OA →的夹⾓为30°,设OC →＝mOA →＋nOB →(m ,n ∈R),则m n的值为________．3. (2019·南昌⼗校⼆模)已知向量a ＝(1,－2),b ＝(x ,3y －5),且a ∥b,若x ,y 均为正数,则xy 的最⼤值是________．4. 在平⾯直⾓坐标系xOy 中,已知A (1,0),B (0,1),C 为坐标平⾯内第⼀象限内⼀点且∠AOC ＝π4,且|OC |＝2,若OC →＝λOA →＋µOB →,则λ＋µ＝________．⼆、解答题5. (2019·长沙模拟改编)在平⾯直⾓坐标系xOy 中,已知点A (3 ,0),B (1,2),动点P 满⾜OP →＝λOA →＋µOB →,其中λ,µ∈[0,1],λ＋µ∈[1,2],求所有点P 构成的图形的⾯积．6. 已知正三⾓形ABC 的边长为23 ,平⾯ABC 内的动点P ,M 满⾜|AP → |＝1,PM →＝MC →,求|BM →|2的最⼤值．第28讲平⾯向量数量积的应⽤A 应知应会⼀、选择题 1. (2019·深圳⼆调)已知向量a ＝(1,－1),b ＝(－2,3).若a ⊥(a ＋m b),则m 等于( ) A. 25 B. －25 C. 0 D. 15 2. (2019·芜湖期末)已知向量a,b 满⾜a ＝(cos α,sin α),α∈R,a·b ＝－1,则a·(2a －b)等于( )A. 3B. 2C. 1D. 03. (2019·太原期末)设向量a,b,c 都是单位向量,且2a ＝b －3 c,则a,b 的夹⾓为( ) A. π6 B. π4 C. π3 D. 2π34. (2019·长沙检测)在△ABC 中,AB ＝10,BC ＝6,CA ＝8,且O 是△ABC 的外⼼,则CA → ·AO →等于( )A. 16B. 32C. －16D. －325. (多选)给出下列四个命题,其中正确的选项有( )A. ⾮零向量a,b 满⾜|a|＝|b|＝|a －b|,则a 与a ＋b 的夹⾓是30°B. 若(AB →＋AC → )·(AB →－AC → )＝0,则△ABC 为等腰三⾓形C. 若单位向量a,b 的夹⾓为120°,则当|2a ＋x b|(x ∈R)取最⼩值时x ＝1D. 若OA →＝(3,－4),OB →＝(6,－3),OC →＝(5－m ,－3－m ),∠ABC 为锐⾓,则实数m 的取值范围是m ＞－34⼆、解答题6. 已知两向量e 1,e 2满⾜|e 1|＝2,|e 2|＝1,e 1,e 2所成的⾓为60°,若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2所成的⾓为钝⾓,求实数t 的取值范围．7. 已知|a|＝4,|b|＝3,(2a －3b)·(2a ＋b)＝61. (1) 求a 与b 的夹⾓θ； (2) 求|a ＋b|；(3) 若AB →＝a,BC →＝b,求△ABC 的⾯积．B 组能⼒提升⼀、填空题1. (2019·合肥检测)若⾮零向量a,b 满⾜a ⊥(a ＋2b),则|a ＋b||b|＝________．2. (2019·福州抽测改编)已知点O 是△ABC 内部⼀点,且满⾜OA →＋OB →＋OC →＝0,⼜AB → ·AC →＝23 ,∠BAC ＝60°,则△OBC 的⾯积为________．3. (2019·郑州模拟)已知平⾯向量a,b,c 满⾜|a|＝|b|＝|c|＝1,若a·b ＝12 ,则(a ＋b)·(2b －c)的最⼩值为________．4. (2019·江苏淮阴中学)在△ABC 中,∠A ＝60°,AB ＝3,AC ＝2.若BD →＝2DC → ,AE →＝λAC →－AB → (λ∈R),且AD → ·AE →＝－4,则λ的值为________．⼆、解答题5. 已知在△ABC 中,⾓A ,B ,C 的对边分别为a,b,c,向量m ＝(sin A ,sin B ),n ＝(cos B ,cos A ),m·n ＝sin 2C .(1) 求⾓C 的⼤⼩；(2) 若sin A ,sin C ,sin B 成等差数列,且CA → ·(AB →－AC →)＝18,求边c 的长．6. (2019·⼭东德州模拟)在平⾯直⾓坐标系xOy 中,已知四边形OABC 是等腰梯形,A (6,0),C (1,3 ),点M 满⾜OM →＝12OA → ,点P 在线段BC 上运动(包括端点),如图所⽰．(1) 求∠OCM 的余弦值；(2) 是否存在实数λ,使(OA →－λOP → )⊥CM →若存在,求出满⾜条件的实数λ的取值范围；若不存在,请说明理由．(第6题)第29讲复数 A 应知应会⼀、选择题1. 若复数z 满⾜(2－i)z ＝|1＋2i|,则z 的虚部为( ) A.55 B. 55i C. 1 D. i 2. 已知复数z ＝|(3 －i)i|＋i 5(i 为虚数单位),则复数z 的共轭复数为( ) A. 2－i B. 2＋i C. 4－i D. 4＋i3. 设i 是虚数单位,如果复数a ＋i2－i 的实部与虚部相等,那么实数a 的值为( )A. 13B. －13C. 3D. －3 4. 设复数z ＝lg (m 2－1)＋1－m i,则z 在复平⾯内对应的点( ) A. ⼀定不在第⼀、⼆象限 B. ⼀定不在第⼆、三象限 C. ⼀定不在第三、四象限D. ⼀定不在第⼆、三、四象限5. (多选)(2019·⼭东枣庄模拟改编)设z 1,z 2是复数,则下列命题中的真命题是( ) A. 若|z 1－z 2|＝0,则z 1＝z 2 B. 若z 1＝z 2,则z 1＝z 2 C. 若|z 1|＝|z 2|,则z 1·z 1＝z 2·z 2D. 若|z 1|＝|z 2|,则z 21 ＝z 22⼆、解答题6. 已知z 是复数,z ＋2i,z2－i 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z ＋a i)2在复平⾯内对应的点在第⼀象限,求实数a 的取值范围．7. 设z 1是虚数,z 2＝z 1＋1z 1 是实数,且－1≤z 2≤1.(1) 求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； (2) 若ω＝1－z 11＋z 1,求证：ω为纯虚数．B 组能⼒提升⼀、填空题1. 设z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表⽰z 1的共轭复数),已知z 2的实部是－1,则z 2的虚部为________．2. 已知i 是虚数单位,若? ??2＋i 1＋m i 2＜0(m ∈R),则m 的值为________．3. 定义：若z 2＝a ＋b i(a ,b ∈R,i 为虚数单位),则称复数z 是复数a ＋b i 的平⽅根．根据定义,复数－3＋4i 的平⽅根是________．4. 已知复数z ＝a 2－b 2＋(|a |＋a )i(a ,b ∈R),使复数z 为纯虚数的充要条件是________,写出⼀个使复数z 为纯虚数的充分不必要条件是________．⼆、解答题5. 已知O 为坐标原点,向量OZ 1,OZ 2分别对应的复数z 1,z 2,且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i,z 2＝21－a＋(2a －5)i(a ∈R),若z 1＋z 2是实数． (1) 求实数a 的值；(2) 求以OZ 1,OZ 2为邻边的平⾏四边形的⾯积．6. 已知复数z 和ω满⾜：zω＋2i z －2i ω＋1＝0. (1) 若ω－z ＝2i,求z 和ω；(2) 求证：若|z |＝3 ,则|ω－4i|的值是⼀个常数,并求出这个常数．。

[考案1]第一章综合过关规范限时检测(时间：45分钟满分100分)一、单选题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.(2020·兰州市高三诊断考试)已知集合A＝{x∈N|－1＜x＜4}，B⊆A，则集合B中的元素个数至多是(B)A.3B.4C.5D.6【试题解答】因为A＝|x∈N|－1＜x＜4}＝{0,1,2,3}，且B⊆A，所以集合B中的元素个数至多是4，故选B.2.(2018·课标全国Ⅲ，1)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(C)A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}【试题解答】本题考查集合的运算.∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}，故选C.3.(2020·成都市二诊)设全集U＝R，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x≤－2或x≥1}，则A∩(∁U B)＝(A)A.{x|－1＜x＜1}B.{x|－2＜x＜3}C.{x|－2≤x＜3}D.{x|x≤－2或x>－1}【试题解答】由题意知∁U B＝{x|－2＜x＜1}，则A∩(∁U B)＝{x|－1＜x＜3}∩{x|－2＜x＜1}＝{x|－1＜x＜1}.4.(2020·宁夏中卫模拟)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(D)A.若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B.若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C.若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D.若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0【试题解答】命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.5.(2020·山东潍坊重点高中联考)毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的(B)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【试题解答】解法一：由“不到长城非好汉”可知，要想成为好汉必须到过长城，因此“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.解法二：设¬p为不到长城，推出¬q非好汉，即¬p⇒¬q，由原命题与其逆否命题等价可知q⇒p，即好汉⇒到长城，故“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.故选B.6.下列命题中，真命题是( D )A.命题“若a >b ，则ac 2>bc 2”B.命题“若a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆命题C.命题“当x ＝2时，x 2－5x ＋6＝0”的否命题D.命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题【试题解答】 命题“若a >b ，则ac 2>bc 2”是假命题，如a >b 且c ＝0时，ac 2＝bc 2；命题“若a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆命题为“若|a |＝|b |，则a ＝b ”是假命题；命题“当x ＝2时，x 2－5x ＋6＝0”的否命题为“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”是假命题；命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，其逆否命题与原命题等价，为真命题，故选D.7.(2020·广东汕头模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x >0，均有2x －a >0.若“¬p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值范围是( C )A.(－∞，－2)B.(－2,1]C.(1,2)D.(1，＋∞)【试题解答】 若方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根，则判别式Δ＝a 2－4＜0，即－2＜a ＜2，即p ：－2＜a ＜2.∀x >0,2x －a >0则a ＜2x ，当x >0时，2x >1，则a ≤1，即q ：a ≤1.∵¬p 是假命题，∴p 是真命题.∵p ∧q 是假命题，∴q 是假命题，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a >1，得1＜a ＜2.故选C. 二、多选题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)8.(2020·重庆市第一次调研抽测改编)已知集合A ＝{1,2，m }，B ＝{3,4}，若A ∪B ＝{1,2,3,4}，则实数m 可以为( CD )A.1B.2C.3D.4 【试题解答】 解法一：由题意知m 是B 中的元素，则m ＝3或4，故选C 、D.解法二：由集合中元素的互异性知，m ≠1且m ≠2，故排除选项A 、B ，选C 、D.9.(2020·福建三明一中期中改编)下列选项中错误的有( ABC )A.命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”B.“A ≠∅”是“A ∩B ≠∅”的充分不必要条件C.命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x －1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x －1>0”D.命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题【试题解答】 对于A ，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2≠1，则x ≠1”∴A 错误； 对于B ，由“A ≠∅”是得不到“A ∩B ≠∅”，即“A ≠∅”是“A ∩B ≠∅”不充分条件，由“A ∩B ≠∅”可知“A ≠∅”，即“A ≠∅”是“A ∩B ≠∅”必要条件，故“A ≠∅”是“A ∩B ≠∅”必要不充分条件，∴B 错误；对于C ，命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x －1＜0”的否定是“∀x ∈R ，使得x 2＋x －1≥0”，∴C 错误； 对于D ，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，根据互为逆否命题的两个命题同真假，可知，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题，∴D 正确；故A 、B 、C.10.(2020·凤城市第一中学高一月考改编)不等式1≤|x |≤4成立的充分不必要条件为( AB )A.[－4，－1]B.[1,4]C.[－4，－1]∪[1,4]D.[－4,4]【试题解答】 由不等式1≤|x |≤4，解得：－1≤x ≤－1或1≤x ≤4，对于A ，B 选项中的集合是不等式解集的真子集，∴不等式1≤|x |≤4成立的充分不必要条件为A ，B.故选A 、B.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)11.(2018·湖南卷)已知集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∪(∁U B )＝__{1,2,3}__. 【试题解答】 ∵∁U B ＝{2}，∴A ∪(∁U B )＝{1,2,3}.12.(2020·江西上饶模拟)命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是 ∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0 .【试题解答】 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0”.13.(2020·湖南常德一中模拟)条件p ：1－x ＜0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是__(－∞，1)__.【试题解答】 p ：x >1，若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 但qp ，也就是说，p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以a ＜1.14.(2020·衡水金卷A 信息卷(五)，14)命题p ：若x >0，则x >a ；命题q ：若m ≤a －2，则m ＜sin x (x ∈R )恒成立.若p 的逆命题，q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是__[0,1)__.【试题解答】 命题p 的逆命题是若x >a ，则x >0，故a ≥0.因为命题q 的逆否命题为真命题，所以命题q 为真命题，则a －2＜－1，解得a ＜1.则实数a 的取值范围是[0,1).四、解答题(本大题共2个小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}，a ∈R .(1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求实数a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围.【试题解答】 A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}.(1)当a ＝0时，B ＝∅，不符合题意，当a >0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，要满足题设条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2. 当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，要满足题设条件，则⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥4，无解. 综上可知：43≤a ≤2. (2)要满足A ∩B ＝∅.当a >0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，则a ≥4或3a ≤2，即0＜a ≤23或a ≥4， 当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，则a ≤2或3a ≥4，即a ＜0，当a ＝0时，B ＝∅，满足题意.综上可知：a ≤23或a ≥4. 16.(本小题满分15分)设命题p ：方程x 28－a ＋y 2a －4＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：函数f (x )＝13x 3＋3(3－a )2x 2＋9x 无极值. (1)若p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，求实数a 的取值范围.【试题解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 8－a >0a －4>08－a >a －4得4＜a ＜6， ∴实数a 的取值范围为(4,6).(2)由题意知p ，q 一真一假，q 为真时，则f ′(x )＝x 2＋3(3－a )x ＋9≥0恒成立，∴Δ＝9(3－a )2－36≤0得1≤a ≤5，若p 真q 假，5＜a ＜6；若q 真p 假，1≤a ≤4.综上，实数a 的取值范围是[1,4]∪(5,6).。