高三数学南方凤凰台高2021届高2018级高三一轮数学提高版完整版第9章第51讲数据分析——成对数据的统计分析

⾼2021届⾼2018级步步⾼苏教版⼀轮复习第九章第6节双曲线第6节双曲线最新考纲了解双曲线的定义、⼏何图形和标准⽅程,知道其简单的⼏何性质(范围、对称性、顶点、离⼼率、渐近线).知识梳理1.双曲线的定义平⾯内与两个定点F1,F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(⼩于|F1F2|且⼤于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式:集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c为常数且a>0,c>0:(1)若a(2)若a＝c,则集合P为两条射线;(3)若a>c,则集合P为空集.2.双曲线的标准⽅程和⼏何性质标准⽅程x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0,b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a,y∈R x∈R,y≤－a或y≥a对称性对称轴:坐标轴;对称中⼼:原点顶点A1(－a,0),A2(a,0)A1(0,－a),A2(0,a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离⼼率e＝ca,e∈(1,＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长度|A1A2|＝2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长度|B1B2|＝2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2＝a2＋b2[微点提醒]1.过双曲线的⼀个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2 a.2.离⼼率e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a2.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直,离⼼率等于 2.基础⾃测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平⾯内到点F1(0,4),F2(0,－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)平⾯内到点F1(0,4),F2(0,－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(3)⽅程x2m－y2n＝1(mn>0)表⽰焦点在x轴上的双曲线.()(4)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线⽅程是xm±yn＝0.()(5)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)与x2b2－y2a2＝1(a>0,b>0)的离⼼率分别是e1,e2,则1e21＋1e22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).()解析(1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|,表⽰的轨迹为两条射线.(2)由双曲线的定义知,应为双曲线的⼀⽀,⽽⾮双曲线的全部.(3)当m＞0,n＞0时表⽰焦点在x轴上的双曲线,⽽m＜0,n＜0时则表⽰焦点在y轴上的双曲线.答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2.(选修2－1P62A6改编)经过点A(3,－1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线⽅程为________________.解析设双曲线⽅程为:x2－y2＝λ(λ≠0),把点A(3,－1)代⼊,得λ＝8,故所求双曲线⽅程为x 28－y 28＝1.答案 x 28－y 28＝13.(选修2－1P61A1改编)已知双曲线x 2－y 216＝1上⼀点P 到它的⼀个焦点的距离等于4,那么点P 到另⼀个焦点的距离等于________.解析设双曲线的焦点为F 1,F 2,|PF 1|＝4,则||PF 1|－|PF 2||＝2,故|PF 2|＝6或2,⼜双曲线上的点到焦点的距离的最⼩值为c －a ＝17－1,故|PF 2|＝6. 答案 64.(2018·浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( ) A.(－2,0),(2,0) B.(－2,0),(2,0) C.(0,－2),(0,2) D.(0,－2),(0,2)解析由题可知双曲线的焦点在x 轴上,⼜c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4,所以c ＝2,故焦点坐标为(－2,0),(2,0). 答案 B5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的⼀条渐近线⽅程为y ＝35x ,则a ＝________.解析由题意可得3a ＝35,所以a ＝5. 答案 56.(2018·北京卷)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离⼼率为52,则a ＝________. 解析由题意可得,a 2＋4a 2＝? ????522,即a 2＝16,⼜a >0,所以a ＝4.考点⼀双曲线的定义及应⽤【例1】 (1)已知F 1,F 2为双曲线C :x 2－y 2＝2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|＝2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45(2)(2019·西安调研)已知圆C 1:(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2:(x －3)2＋y 2＝9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切,则动圆圆⼼M 的轨迹⽅程为____________.解析 (1)由x 2－y 2＝2,知a ＝b ＝2,c ＝2.由双曲线定义知,|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22,⼜|PF 1|＝2|PF 2|,∴|PF 1|＝42,|PF 2|＝22,在△PF 1F 2中,|F 1F 2|＝2c ＝4,由余弦定理,得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.(2)如图所⽰,设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件, 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |, |MC 2|－|BC 2|＝|MB |, 因为|MA |＝|MB |,所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|, 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2,所以点M 到两定点C 1,C 2的距离的差是常数且⼩于|C 1C 2|＝6.⼜根据双曲线的定义,得动点M 的轨迹为双曲线的左⽀(点M 与C 2的距离⼤,与C 1的距离⼩),其中a ＝1,c ＝3,则b 2＝8.故点M 的轨迹⽅程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).答案 (1)C (2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)规律⽅法 1.利⽤双曲线的定义判定平⾯内动点的轨迹是否为双曲线,进⽽根据要求可求出曲线⽅程;2.在“焦点三⾓形”中,常利⽤正弦定理、余弦定理,经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ,运⽤平⽅的⽅法,建⽴与|PF 1|,|PF 2|的联系.【训练1】 (1)(2018·赣南五校联考)已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的离⼼率为2,左、右焦点分别为F 1,F 2,点A 在双曲线C 上,若△AF 1F 2的周长为10a ,则△AF 1F 2的⾯积为( ) A.215a 2 B.15a 2 C.30a 2D.15a 2(2)(2019·长春质检)双曲线C 的渐近线⽅程为y ＝±233x ,⼀个焦点为F (0,－7),点A (2,0),点P 为双曲线第⼀象限内的点,则当点P 的位置变化时,△P AF 周长的最⼩值为( ) A.8B.10D.3＋317解析 (1)由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右⽀上,由e ＝ca ＝2,得c ＝2a ,∴△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ,⼜△AF 1F 2的周长为10a ,∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ,⼜∵|AF 1|－|AF 2|＝2a , ∴|AF 1|＝4a ,|AF 2|＝2a ,在△AF 1F 2中,|F 1F 2|＝4a , ∴cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a＝14.⼜0<∠F 1AF <π,∴sin ∠F 1AF 2＝154,∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×154＝15a 2.(2)由已知得双曲线⽅程为y 24－x 23＝1,设双曲线的另⼀个焦点为F ′,则|PF |＝|PF ′|＋4,△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3,当F ′,P ,A 三点共线时,|PF ′|＋|P A |有最⼩值,为|AF ′|＝3,故△P AF 的周长的最⼩值为10. 答案 (1)B (2)B考点⼆双曲线的标准⽅程【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的⼀条渐近线⽅程为y ＝52x ,且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点,则C 的⽅程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1(2)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的离⼼率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点.设A ,B 到双曲线的同⼀条渐近线的距离分别为d 1和d 2,且d 1＋d 2＝6,则双曲线的⽅程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1解析 (1)由题设知b a ＝52,①⼜由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点, 易知a 2＋b 2＝c 2＝9,②由①②解得a ＝2,b ＝5,则双曲线C 的⽅程为x 24－y 25＝1.(2)由d 1＋d 2＝6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b ＝3.因为双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的离⼼率为2,所以c a ＝2,所以a 2＋b 2a 2＝4,所以a 2＋9a2＝4,解得a 2＝3,所以双曲线的⽅程为x 23－y 29＝1. 答案 (1)B (2)C规律⽅法 1.利⽤待定系数法求双曲线标准⽅程的关键是:设出双曲线⽅程的标准形式,根据已知条件,列出关于参数a ,b ,c 的⽅程并求出a ,b ,c 的值.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线⽅程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).【训练2】 (1)(2018·海南⼆模)已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的⼀个端点组成⼀个等边三⾓形,则双曲线C 的标准⽅程是( ) A.x 212－y 2＝1B.x 29－y 23＝1C.x 2－y 23＝1D.x 223－y 232＝1 (2)已知双曲线的渐近线⽅程为2x ±3y ＝0,且双曲线经过点P (6,2),则双曲线的⽅程为________________.解析 (1)由双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的⼀个端点组成⼀个等边三⾓形,可得2a 2－3b 2＝1，b a ＝3，解得a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 的标准⽅程是x 2－y 23＝1.(2)由双曲线的渐近线⽅程为y ＝±23x ,可设双曲线⽅程为x 29－y 24＝λ(λ≠0).因为双曲线过点P (6,2),所以69－44＝λ,λ＝－13,故所求双曲线⽅程为y 243－x 23＝1.答案 (1)C (2)y 243－x 23＝1考点三双曲线的性质多维探究⾓度1 求双曲线的渐近线【例3－1】 (⼀题多解)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的离⼼率为3,则其渐近线⽅程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22xD.y ＝±32x解析法⼀由题意知,e ＝c a ＝3,所以c ＝3a ,所以b ＝c 2－a 2＝2a ,即ba ＝2,所以该双曲线的渐近线⽅程为y ＝±ba x ＝±2x . 法⼆由e ＝ca ＝1＋? ??b a 2＝3,得b a ＝2,所以该双曲线的渐近线⽅程为y ＝±b a x ＝±2x . 答案 A⾓度2 求双曲线的离⼼率【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的左、右焦点,O 是坐标原点.过F 2作C 的⼀条渐近线的垂线,垂⾜为P .若|PF 1|＝6|OP |,则C 的离⼼率为( ) A. 5B.2C. 3D. 2(2)(2019·泰安联考)已知双曲线C 1:x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0),圆C 2:x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0,若双曲线C 1的⼀条渐近线与圆C 2有两个不同的交点,则双曲线C 1的离⼼率的取值范围是( ) A.? ????1，233 B.? ????233，＋∞ C.(1,2)D.(2,＋∞)解析 (1)不妨设⼀条渐近线的⽅程为y ＝b a x ,则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ,在Rt △F 2PO 中,|F 2O |＝c ,所以|PO |＝a ,所以|PF 1|＝6a ,⼜|F 1O |＝c ,所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中,根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ,则3a 2＋c 2－(6a )2＝0,得3a 2＝c 2,所以e ＝ca ＝ 3.(2)由双曲线⽅程可得其渐近线⽅程为y ＝±b a x ,即bx ±ay ＝0,圆C 2:x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2,圆⼼C 2的坐标为(a ,0),半径r ＝12a ,由双曲线C 1的⼀条渐近线与圆C 2有两个不同的交点,得|ab |a 2＋b2<12a ,即c >2b ,即c 2>4b 2,⼜知b 2＝c 2－a 2,所以c 2>4(c 2－a 2),即c 2<43a 2,所以e ＝c a <233,⼜知e >1,所以双曲线C 1的离⼼率的取值范围为? ????1，233. 答案 (1)C (2)A⾓度3 与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－3】已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22－y 2＝1上的⼀点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1→·MF 2→<0,则y 0的取值范围是( ) A.? ????－33，33B.? ????－36，36C.?－223，223 D.?－233，233 解析因为F 1(－3,0),F 2(3,0),x 202－y 20＝1,所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0,－y 0)·(3－x 0,－y 0)＝x 20＋y 20－3<0,即3y 2－1<0,解得－33规律⽅法 1.求双曲线离⼼率或其取值范围的⽅法 (1)求a ,b ,c 的值,由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2直接求e .(2)列出含有a ,b ,c 的齐次⽅程(或不等式),借助于b 2＝c 2－a 2消去b ,然后转化成关于e 的⽅程(或不等式)求解.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.【训练3】 (1)在平⾯直⾓坐标系xOy 中,双曲线C :y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0,b >0)的⼀条渐近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切,则C 的离⼼率为( ) A.43B.54C.169D.2516(2)(2019·安阳⼆模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1,它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.解析 (1)双曲线C 的渐近线⽅程为by ±ax ＝0,结合图形易知与圆相切的只可能是by －ax ＝0,⼜圆⼼坐标为(2,1), 则|b －2a |a 2＋b2＝1,得3a ＝4b ,所以9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2),则e 2＝2516, ⼜e >1,故e ＝54.(2)对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0),它的⼀个焦点(c ,0)到渐近线bx－ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .本题中,双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2m －4＝1,其焦点在x 轴上,则8－m >0，m －4>0，解得4∈(0,2).答案 (1)B (2)(0,2)[思维升华]已知双曲线的标准⽅程求双曲线的渐近线⽅程时,只要令双曲线的标准⽅程中“1”为“0”就得到两渐近线⽅程,即⽅程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0,b >0)的两条渐近线⽅程. [易错防范]1.双曲线⽅程中c 2＝a 2＋b 2,说明双曲线⽅程中c 最⼤,解决双曲线问题时不要忽视了这个结论,不要与椭圆中的知识相混淆.2.求双曲线离⼼率及其范围时,不要忽略了双曲线的离⼼率的取值范围是(1,＋∞)这个前提条件,否则很容易产⽣增解或扩⼤所求离⼼率的取值范围致错.3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0,b >0)的渐近线⽅程是y ＝±b a x ,y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0,b >0)的渐近线⽅程是y ＝±ab x . 4.直线与双曲线交于⼀点时,不⼀定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平⾏时,直线与双曲线相交于⼀点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有⼀个交点.基础巩固题组 (建议⽤时:40分钟)⼀、选择题1.(2019·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的虚轴长为2,焦距为23,则双曲线的渐近线⽅程为( )A.y ＝±12x B.y ＝±22x C.y ＝±2xD.y ＝±2x解析因为2b ＝2,所以b ＝1,因为2c ＝23,所以c ＝3,所以a ＝c 2－b 2＝2,所以双曲线的渐近线⽅程为y ＝±b a x ＝±22x . 答案 B2.(2019·重庆九校联考)双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的⼀个焦点为F ,过点F 作双曲线C 的⼀条渐近线的垂线,垂⾜为A ,且交y 轴于B ,若A 为BF 的中点,则双曲线的离⼼率为( ) A. 2B. 3C.2D.62解析由题易知双曲线C 的⼀条渐近线与x 轴的夹⾓为π4,故双曲线C 的离⼼率e ＝? ?cos π4－1＝ 2. 答案 A3.(⼀题多解)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的离⼼率为2,则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2B.2C.322D.2 2解析法⼀由离⼼率e ＝ca ＝2,得c ＝2a ,⼜b 2＝c 2－a 2,得b ＝a ,所以双曲线C 的渐近线⽅程为y ＝±x .由点到直线的距离公式,得点(4,0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2. 法⼆离⼼率e ＝2的双曲线是等轴双曲线,其渐近线⽅程是y ＝±x ,∴点(4,0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2. 答案 D4.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的离⼼率为32,过右焦点F 作渐近线的垂线,垂⾜为M .若△FOM 的⾯积为5,其中O 为坐标原点,则双曲线的⽅程为( ) A.x 2－4y 25＝1 B.x 22－2y 25＝1 C.x 24－y 25＝1D.x 216－y 220＝1解析由题意可知e ＝c a ＝32,可得b a ＝52,取⼀条渐近线为y ＝ba x ,可得F 到渐近线y ＝ba x 的距离d ＝bca 2＋b 2＝b , 在Rt △FOM 中,由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2＝a ,由题意可得12ab ＝5,联⽴b a ＝52，12ab ＝5，解得a ＝2，b ＝5，所以双曲线的⽅程为x 24－y 25＝1. 答案 C5.(2019·呼和浩特质检)已知F 2,F 1是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0,b >0)的上、下两个焦点,过F 1的直线与双曲线的上下两⽀分别交于点B ,A ,若△ABF 2为等边三⾓形,则双曲线的渐近线⽅程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±22x C.y ＝±6xD.y ＝±66x解析根据双曲线的定义,可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ,∵△ABF 2为等边三⾓形,∴|BF 2|＝|AB |,∴|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a ,⼜∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ,∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ,∵在△AF 1F 2中,|AF 1|＝2a ,|AF 2|＝4a ,∠F 1AF 2＝120°,∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos 120°,即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×? ??－12＝28a 2,亦即c 2＝7a 2,则b ＝c 2－a 2＝6a 2＝6a ,由此可得双曲线C 的渐近线⽅程为y ＝±66x .答案 D ⼆、填空题6.(2018·沈阳模拟)直线l :y ＝2x ＋10过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)⼀个焦点且与其⼀条渐近线平⾏,则双曲线⽅程为________________. 解析由题意得⼀个焦点为F (－5,0),c ＝5,ba ＝2, ⼜a 2＋b 2＝c 2,所以a 2＝5,b 2＝20,所以双曲线⽅程为x 25－y 220＝1.答案 x 25－y 220＝17.设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ,右焦点为F .过点F 且平⾏于双曲线的⼀条渐近线的直线与双曲线交于点B ,则△AFB 的⾯积为________.解析 a 2＝9,b 2＝16,故c ＝5.∴A (3,0),F (5,0),不妨设直线BF 的⽅程为y ＝43(x －5),代⼊双曲线⽅程解得B ? ??175，－3215.∴S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12·2·3215＝3215.答案 32158.已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点.P 是双曲线在第⼀象限上的点,直线PO ,PF 2分别交双曲线C 左、右⽀于M ,N .若|PF 1|＝2|PF 2|,且∠MF 2N ＝60°,则双曲线C 的离⼼率为________.解析由题意,|PF 1|＝2|PF 2|,由双曲线的定义可得,|PF 1|－|PF 2|＝2a ,可得|PF 1|＝4a ,|PF 2|＝2a ,⼜|F 1O |＝|F 2O |,|PO |＝|MO |,得四边形PF 1MF 2为平⾏四边形,⼜∠MF 2N ＝60°,可得∠F 1PF 2＝60°,在△PF 1F 2中,由余弦定理可得,4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos 60°,即4c 2＝20a 2－8a 2,c 2＝3a 2,可得c ＝3a ,所以e ＝c a ＝ 3. 答案3三、解答题9.(2019·安徽江南⼗校联考)已知双曲线的中⼼在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,离⼼率为2,且过点P (4,－10). (1)求双曲线的⽅程;(2)(⼀题多解)若点M (3,m )在双曲线上,求证:MF 1→·MF 2→＝0. (1)解∵e ＝2,∴可设双曲线的⽅程为x 2－y 2＝λ(λ≠0). ∵双曲线过点(4,－10),∴16－10＝λ,即λ＝6. ∴双曲线的⽅程为x 2－y 2＝6,即x 26－y 26＝1.(2)证明法⼀由(1)可知,a ＝b ＝6, ∴c ＝23,∴F 1(－23,0),F 2(23,0), ∴k MF 1＝m 3＋23,k MF 2＝m3－23,k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3,m )在双曲线上,∴9－m 2＝6,m 2＝3, 故k MF 1·k MF 2＝－1,∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0. 法⼆由(1)可知,a ＝b ＝6,∴c ＝23, ∴F 1(－23,0),F 2(23,0),MF 1→＝(－23－3,－m ),MF 2→＝(23－3,－m ), ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2, ∵点M (3,m )在双曲线上,∴9－m 2＝6,即m 2－3＝0,∴MF 1→·MF 2→＝0.10.设A ,B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的⽅程;(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右⽀交于M ,N 两点,且在双曲线的右⽀上存在点D ,使OM →＋ON →＝tOD →,求t 的值及点D 的坐标. 解 (1)由题意知a ＝23,∵⼀条渐近线为y ＝ba x ,即bx －ay ＝0.∴由焦点到渐近线的距离为3,得|bc |b 2＋a 2＝ 3.⼜∵c 2＝a 2＋b 2,∴b 2＝3, ∴双曲线的⽅程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),D (x 0,y 0),其中x 0≥2 3. ⼜OM →＋ON →＝tOD →,即(x 1,y 1)＋(x 2,y 2)＝t (x 0,y 0), 则x 1＋x 2＝tx 0,y 1＋y 2＝ty 0.将直线⽅程y ＝33x －2代⼊双曲线⽅程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0,其中Δ＝(163)2－4×84>0,则x 1＋x 2＝163,y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.解得x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4,点D 的坐标为(43,3).能⼒提升题组 (建议⽤时:20分钟)11.(2019·河南适应测试)已知F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的左、右焦点,P 是双曲线上⼀点,若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ,且△PF 1F 2的最⼩内⾓为π6,则双曲线的渐近线⽅程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±12x C.y ＝±22xD.y ＝±2x解析不妨设P 为双曲线右⽀上⼀点,则|PF 1|>|PF 2|,由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ,⼜|PF 1|＋|PF 2|＝6a ,所以|PF 1|＝4a ,|PF 2|＝2a .⼜因为2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2为最⼩内⾓,故∠PF 1F 2＝π6.由余弦定理,可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝32,即(3a －c )2＝0,所以c ＝3a ,则b ＝2a ,所以双曲线的渐近线⽅程为y ＝±2x . 答案 D12.(2019·⼴东六校联考)已知点F 为双曲线E :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的右焦点,直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ,N 两点,若MF ⊥NF ,设∠MNF ＝β,且β∈π12，π6,则该双曲线的离⼼率的取值范围是( ) A.[2,2＋6] B.[2,3＋1] C.[2,2＋6]D.[2,3＋1]解析如图,设左焦点为F ′,连接MF ′,NF ′,令|MF |＝r 1,|MF ′|＝r 2,则|NF |＝|MF ′|＝r 2,由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①,∵点M 与点N 关于原点对称,且MF ⊥NF ,∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ,∴r 21＋r 22＝4c 2②,由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2),⼜知S △MNF ＝2S △MOF , ∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β,∴c 2－a 2＝c 2·sin 2β,∴e 2＝11－sin 2β,⼜∵β∈π12，π6,∴sin 2β∈12，32,∴e 2＝11－sin 2β∈[2,(3＋1)2].⼜e >1,∴e ∈[2,3＋1]. 答案 D13.(2018·北京卷)已知椭圆M :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),双曲线N :x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为⼀个正六边形的顶点,则椭圆M 的离⼼率为________;双曲线N 的离⼼率为________.解析设椭圆的右焦点为F (c ,0),双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第⼀象限内的交点为A ,由题意可知A ? ????c 2，3c 2,由点A 在椭圆M 上得,c 24a 2＋3c 24b 2＝1,∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2,∵b 2＝a 2－c 2,∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2),∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0,∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0,∴e 2椭＝4±23,∴e 椭＝3＋1(舍去)或 e 椭＝3－1,∴椭圆M 的离⼼率为3－1.∵双曲线的渐近线过点A ? ????c 2，3c 2,∴渐近线⽅程为y ＝3x ,∴n m ＝3,故双曲线的离⼼率e 双＝m 2＋n 2m 2＝2.答案3－1 214.已知椭圆C 1的⽅程为x 24＋y 2＝1,双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点,⽽C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的⽅程; (2)若直线l :y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ,且OA →·OB →＞2(其中O 为原点),求k 的取值范围.解 (1)设双曲线C 2的⽅程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0), 则a 2＝3,c 2＝4,再由a 2＋b 2＝c 2,得b 2＝1. 故C 2的⽅程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代⼊x 23－y 2＝1, 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点,得1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.①设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2,x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.⼜∵OA →·OB →＞2,得x 1x 2＋y 1y 2＞2, ∴3k 2＋73k 2－1＞2,即－3k 2＋93k 2－1＞0,解得13＜k 2＜3.②由①②得13＜k 2＜1,故k 的取值范围为? ????－1，－33∪? ??33，1.。

第八章 解析几何第41讲 直线的斜率与方程A 应知应会一、 选择题1. (2019·开封模拟)过点A (－1,－3),斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为( )A. 3x ＋4y ＋15＝0B. 3x ＋4y ＋6＝0C. 3x ＋y ＋6＝0D. 3x －4y ＋10＝02. 直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3 的倾斜角的取值范围是 ( ) A. ⎣⎡⎦⎤π6，π3 B. ⎣⎡⎦⎤π4，π3 C. ⎣⎡⎦⎤π4，π2 D. ⎣⎡⎦⎤π4，2π33. (2019·湖北四地七校联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0,b ≠0),若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ,则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A. π4B. π3C. 2π3D. 3π44. 如果A ·C <0且B ·C <0,那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. (2019·张家口模拟)若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3,且它的倾斜角是直线3 x －y ＝33 的倾斜角的2倍,则( )A. m ＝－3 ,n ＝1B. m ＝－3 ,n ＝－3C. m ＝3 ,n ＝－3D. m ＝3 ,n ＝1二、 解答题6. 求过点A (1,3),斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．7. 求适合下列条件的直线方程．(1) 经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等；(2) 求过点(2,1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程．B巩固提升一、填空题1. 直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是________．2. 过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．3. 已知直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0,则直线l恒过定点________．4. (2019·江苏姜堰中学)已知△ABC的三个顶点A(－5,0),B(3,－3),C(0,2),则BC边上中线所在的直线方程为________．二、解答题5. (2019·启东检测)已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.(1) 求证：不论m为何实数,直线l过一定点M；(2) 过定点M作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求直线l1的方程．6. 如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y＝12x上时,求直线AB的方程．(第6题)第42讲两条直线的位置关系A应知应会一、选择题1. 若直线2x＋3y－1＝0与直线4x＋my＋11＝0平行,则m的值为()A. 83 B. －83 C. －6 D. 62. 若直线l过点(3,1)且与直线2x－y－2＝0平行,则直线l的方程为()A. 2x－y－5＝0B. 2x－y＋1＝0C. x＋2y－7＝0D. x＋2y－5＝03. (2019·石家庄模拟)若直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上,则k 的值为()A. －24B. 24C. 6D. ±64. 若直线a1x＋b1y＝2和a2x＋b2y＝2交于点P(3,2),则过点A(a1,b1),B(a2,b2)的直线方程是()A. 2x＋3y－2＝0B. 3x＋2y－2＝0C. 3x＋2y＋2＝0D. 2x＋3y＋2＝05. 已知直线l1：(m－4)x－(2m＋4)y＋2m－4＝0与l2：(m－1)x＋(m＋2)y＋1＝0,则“m ＝－2”是“l1∥l2”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件二、解答题6. 已知三角形三边所在的直线方程分别为2x－y＋4＝0,x＋y－7＝0,2x－7y－14＝0,求边2x－7y－14＝0上的高所在的直线方程．7. 已知△ABC的顶点B(2,1),C(－6,3),其垂心为H(－3,2),求顶点A的坐标．B 巩固提升一、 填空题1. 若三条直线y ＝2x ,x ＋y ＝3,mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点,则m 的值为________．2. 如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行,则a ＝________．3. 已知直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ,若l 1⊥l 2,则a ＝________,此时点P 的坐标为________．4. (2019·南通中学)已知直线l 的倾斜角为3π4,直线l 1经过点A (3,2),B (a ,－1),且l 1与l 垂直,直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行,则a ＋b ＝________．二、 解答题5. (2019·海门实验中学)已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0,求α的值,使得：(1) l 1∥l 2；(2) l 1⊥l 2.6. 已知点P (a ,b )在x ,y 轴上的射影分别为点A ,B .(1) 求直线AB 的方程；(2) 求过点P 且垂直于AB 的直线m 的方程．第43讲 距离公式与对称问题A 应知应会一、 选择题1. 点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为( )A. 25B. 55C. 5D. 2552. 两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( )A. 235B. 2310C. 7D. 723. 已知坐标原点关于直线l 1：x －y ＋1＝0的对称点为A ,设直线l 2经过点A ,则当点B (2,－1)到直线l 2的距离最大时,直线l 2的方程为( )A. 2x ＋3y ＋5＝0B. 3x －2y ＋5＝0C. 3x ＋2y ＋5＝0D. 2x －3y ＋5＝04. 已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0,c ＞0)恒过点P (1,m ),且Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3,则12a ＋2c的最小值为( ) A. 92 B. 94C. 1D. 9 5. (多选)在平面直角坐标系中,定义d (P ,Q )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|为两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)之间的“折线距离”,则下列命题中为真命题的是( )A. 若点A (－1,3),B (1,0),则有d (A ,B )＝5B. 到原点的“折线距离”等于1的所有点的集合是一个圆C. 若点C 在线段AB 上,则有d (A ,C )＋d (C ,B )＝d (A ,B )D. 到M (－1,0),N (1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x ＝0二、 解答题6. (2019·江苏启东中学)已知直线l ：y ＝12x －1. (1) 求点P (3,4)关于l 对称的点Q ；(2) 求l 关于点(2,3)对称的直线方程．7. 已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4).(1) 证明：直线l 过某定点,并求该定点的坐标；(2) 当点P 到直线l 的距离最大时,求直线l 的方程．B 巩固提升一、 填空题1. 已知点(a ,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1,则a ＝________．2. 直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________．3. 已知l 1,l 2是分别经过A (2,1),B (0,2)两点的两条平行直线,当l 1,l 2之间的距离最大时,直线l 1的方程是________．4. “c ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋c ＝0的距离为3”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)二、 解答题5. 已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1) 若点A (5,0)到l 的距离为3,求l 的方程；(2) 求点A (5,0)到l 的距离的最大值．6. 已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0,且l 1与l 2间的距离是7510. (1) 求a 的值；(2) 能否找到一点P ,使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2 ∶5 ？若能,求点P 的坐标；若不能,说明理由．第44讲 圆的方程A 应知应会一、 选择题1. (2019·太原模拟)若两条直线y ＝x ＋2a ,y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部,则实数a 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫－15，1B. ⎝⎛⎭⎫－∞，－15 ∪(1,＋∞) C. ⎣⎡⎭⎫－15，1 D. ⎝⎛⎦⎤－∞，－15 ∪[1,＋∞) 2. (2019·长沙模拟)已知三点A (1,0),B (0,3 ),C (2,3 ),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A. 53B. 213C. 253D. 433. 方程|x |－1＝1－（y －1）2 所表示的曲线是( )A. 一个圆B. 两个圆C. 半个圆D. 两个半圆4. (2019·邯郸一模)若x ,y 满足约束条件(x －1)2＋(y －1)2≤1,则x 2＋y 2的最小值为( )A. 2 －1B. 3－22C. 2 ＋1D. 3＋225. (2019·黄冈调研)若长度为定值4的线段AB 的两端点分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动,P (x ,y )为△OAB 的外心轨迹上一点,则x ＋y 的最大值为( )A. 1B. 4C. 2D. 22二、 解答题6. 已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4),线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ,且CD ＝410 .(1) 求直线CD 的方程；(2) 求圆P 的方程．7. 已知圆经过点A (2,－3)和B (－2,－5).(1) 若圆的面积最小,求圆的方程；(2) 若圆心在直线x －2y －3＝0上,求圆的方程．B巩固提升一、填空题1. 若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心,则a＝________．2. 已知圆C的圆心在x轴上,并且经过点A(－1,1),B(1,3),若M(m,6)在圆C内,则m的取值范围为________．3. (2019·南师附中)经过三点A(－1,0),B(3,0),C(1,2)的圆的面积S＝________．4. 已知点A(－2,0),B(0,2).若点M是圆x2＋y2－2x＋2y＝0上的动点,则△ABM面积的最小值为________．二、解答题5. 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点．(1) 求线段AP中点的轨迹方程；(2) 若∠PBQ＝90°,求线段PQ中点的轨迹方程．6. 如图,已知圆O的直径AB＝4,定直线l到圆心的距离为4,且直线l垂直于直线AB,点P 是圆O上异于A,B的任意一点,直线P A,PB分别交l于M,N两点．(1) 若∠P AB＝30°,求以MN为直径的圆的方程；(2) 当点P变化时,求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．(第6题)第45讲直线与圆、圆与圆的位置关系课时1直线与圆相关问题A应知应会一、选择题1. 以点(2,－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为()A. (x－2)2＋(y＋1)2＝3B. (x＋2)2＋(y－1)2＝3C. (x－2)2＋(y＋1)2＝9D. (x＋2)2＋(y－1)2＝92. (2019·湖南十四校二联)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A,B两点(O 为坐标原点),且△AOB为等腰直角三角形,则实数a的值为()A. 6或－6B. 5或－5C. 6D. 53. “a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知圆C：x2＋y2＝4,若点P(x0,y0)在圆C外,则直线l：x0x＋y0y＝4与圆C的位置关系为()A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定5. (多选)(2019·合肥模拟)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|＝23,则直线l的方程为()A. 3x＋4y－12＝0B. 4x－3y＋9＝0C. x＝0D. 4x＋3y＋9＝0二、解答题6. (2019·启东模拟)已知直线l：kx－y＋k－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A,B两点,过A,B 分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|＝43,求|CD|.7. 已知圆C经过点A(2,－1),与直线x＋y＝1相切,且圆心在直线y＝－2x上．(1) 求圆C的方程；(2) 已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程．B 巩固提升一、 填空题1. (2019·衡水调研)过M (－3,1),N (0,a )两点的光线经y 轴反射后所在直线与圆x 2＋y 2＝1存在公共点,则实数a 的取值范围为________．2. (2019·扬州期末)已知直线l ：y ＝－x ＋4与圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相交于P ,Q 两点,则CP → ·CQ → ＝________．3. 已知过点P ⎝⎛⎭⎫32，32 的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ,B 两点,当∠ACB 最小时,直线l 的方程为________,∠ACB ＝________．4. (2019·启东考前卷)如图,已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0),与y 轴正半轴交于两点A ,B (B 在A 的上方),且|AB |＝2,则圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．(第4题)二、 解答题5. 已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0,点A (3,5).(1) 求过点A 的圆的切线方程；(2) 点O 是坐标原点,连接OA ,OC ,求△AOC 的面积S .6. 已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4,点O 是坐标原点,直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ,N 两点．(1) 求k 的取值范围；(2) 直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？若能,求出直线l 的方程；若不能,请说明理由．课时2圆与圆的位置关系A应知应会一、选择题1. 圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为()A. 相交B. 外切C. 内切D. 外离2. 已知圆O1的方程为x2＋y2＝4,圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是()A. {1,－1}B. {3,－3}C. {1,－1,3,－3}D. {5,－5,3,－3}3. 若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长,则a,b应满足的关系式是()A. a2－2a－2b－3＝0B. a2＋2a＋2b＋5＝0C. a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D. 3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝04. 两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r＞0)在交点处的切线互相垂直,则r等于()A. 5B. 4C. 3D. 225. 已知A＝{(x,y)|x2＋y2＝1},B＝{(x,y)|(x－5)2＋(y－5)2＝4},则A∩B等于()A. ∅B. {(0,0)}C. {(5,5)}D. {(0,0),(5,5)}二、解答题6. 已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0,若圆B平分圆A的周长,且圆B的圆心在直线l：y ＝2x上,求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．7. 圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4,圆O2的圆心坐标为(2,1).(1) 若圆O1与圆O2外切,求圆O2的方程；(2) 若圆O1与圆O2相交于A,B两点,且|AB|＝22,求圆O2的方程．B 巩固提升一、 填空题1. 若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切,则m ＝________．2. 已知线段AB 的长为2,动点C 满足CA → ·CB →＝λ(λ<0),且点C 总不在以点B 为圆心,12为半径的圆内,则负数λ的最大值是________．3. (2019·江苏天一中学)若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A ,B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是________．4. 如图,在平面四边形ABCD 中,AB ＝4,AD ＝2,∠DAB ＝60°,AC ＝3BC ,则边CD 长的最小值为________．(第4题)二、 解答题 5. (2019·江苏准阴中学)已知点P (2,2),圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点．(1) 求M 的轨迹方程；(2) 当|OP |＝|OM |时,求l 的方程及△POM 的面积．6. (2019·泰州中学)在平面直角坐标系xOy 中,过点P (0,1)且互相垂直的两条直线分別与圆O ：x 2＋y 2＝4交于点A ,B ,与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于点C ,D .(1) 若AB ＝327 ,求CD 的长；(2) 若CD 中点为E ,求△ABE 面积的取值范围．(第6题)第46讲 椭圆A 应知应会一、 选择题1. 过点A (3,－2)且与椭圆x 29 ＋y 24 ＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )A. x 215 ＋y 210 ＝1B. x 225 ＋y 220 ＝1 C. x 210 ＋y 215 ＝1 D. x 220 ＋y 215 ＝12. 设F 1,F 2分别是椭圆x 225 ＋y 216 ＝1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是F 1P 的中点,|OM |＝3,则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A. 4B. 3C. 2D. 53. (多选)已知P 为椭圆x 25 ＋y 24 ＝1上一点,以点P 及焦点F 1,F 2为顶点的三角形的面积为S ,则( )A. 若S ＝1,则满足条件的点P 有4个B. 若S ＝2,则满足条件的点P 有2个C. 若S ＝5 ,则满足条件的点P 有2个D. 若S ＝12 ,则满足条件的点P 有4个4. 若中心为(0,0),一个焦点为F (0,52 )的椭圆,截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12,则该椭圆的方程是( ) A. 2x 275 ＋2y 225 ＝1 B. x 275 ＋y 225 ＝1C. x 225 ＋y 275 ＝1D. 2x 225 ＋2y 275 ＝15. 已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ,B ,左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切,且该圆与y 轴的正半轴交于点C ,过点C 的直线交椭圆于M ,N 两点．若四边形F AMN 是平行四边形,则该椭圆的离心率为( )A. 35B. 12C. 23D. 34二、 解答题6 . 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1) 与椭圆x 24 ＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2,－3 )；(2) 已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P 到两焦点的距离分别为5,3.7. (2019·厦门期中)如图,已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ,B ,右焦点为F ,一条准线方程是x ＝－4,短轴一端点与两焦点构成等边三角形,点P ,Q 为椭圆C上异于A ,B 的两点,点R 为PQ 的中点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 直线PB 交直线x ＝－2于点M ,记直线P A 的斜率为k P A ,直线FM 的斜率为k FM ,求证：k FM ·k P A 为定值．(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. 已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为32,且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为________．2. 已知F 1,F 2分别为椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2＝1(a ＞1)的左、右焦点,点F 2关于直线y ＝x 的对称点Q 在椭圆上,则长轴长为________；若P 是椭圆上的一点,且PF 1·PF 2＝43 ,则S △F 1PF 2＝________．3. (2019·江苏海门中学)设F 1,F 2分别为椭圆x 24 ＋y 2＝1的左、右焦点,点P 在椭圆上,且|PF 1＋PF 2|＝23 ,则∠F 1PF 2＝________．4. (2019·淮北一模)在平面直角坐标系xOy 中,点P 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1(a ＞0)上一点,F为椭圆C 的右焦点,直线FP 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切于点Q ,若Q 恰为线段FP 的中点,则a ＝________．二、 解答题5. (2019·南昌一模)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)经过点M (0,－1),长轴长是短轴长的2倍．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设直线l 经过点N (2,1)且与椭圆C 相交于A ,B 两点(异于点M ),记直线MA 的斜率为k 1,直线MB 的斜率为k 2,求证：k 1＋k 2为定值．6. (2019·揭阳二模)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ,右焦点为F ,直线AF 与圆M ：(x －3)2＋(y －1)2＝3相切．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点,且AP → ·AQ →＝0,试探究：直线l 是否过定点？若是,求该定点的坐标；若不是,请说明理由．第47讲 双曲线 A 应知应会一、 选择题1. (多选)下列各条件下求得的双曲线标准方程,正确的是( )A. 与x 轴交于两点A (－2,0),B (2,0),c ＝3,则方程为x 24 －y 25 ＝1B. a ＝25 ,过点A (2,－5),焦点在y 轴上,则方程为y 220 －x 216＝1C. 与椭圆x 227 ＋y 236 ＝1有相同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为4,则方程为y 24 －x 25＝1D. 过P 1⎝⎛⎭⎫－2，352 ,P 2⎝⎛⎭⎫473，4 两点,则方程是y 29 －x 216 ＝12. 若双曲线E ：x 29 －y 216 ＝1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|＝3,则|PF 2|等于( )A. 11B. 9C. 5D. 33. 已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的一个焦点为F (－2,0),且双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的方程为( )A. x 23 －y 2＝1B. x 26 －y 22＝1C. x 23 －y 2＝1或x 2－y 23 ＝1 D. x 2－y 23 ＝1或x 26 －y 22＝1 4. (2019·济宁期末)已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ,准线与x 轴的交点为E ,线段EF 被双曲线C 2：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的顶点三等分,且两曲线C 1,C 2的交点连线过曲线C 1的焦点F ,则双曲线C 2的离心率为( )A. 2B.322 C. 113 D. 2225. (2019·秦皇岛模拟)已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y＝2x ＋10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A. x 25 －y 220 ＝1B. x 220 －y 25 ＝1C. 3x 225 －3y 2100 ＝1D. 3x 2100 －3y 225 ＝1二、 解答题6. 根据下列条件,求双曲线的标准方程． (1) 虚轴长为12,离心率为54 ；(2) 焦距为26,且经过点M (0,12)；(3) 经过两点P (－3,27 )和Q (－62 ,－7).7. 根据下列条件,求双曲线的标准方程． (1) 经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154 ,Q ⎝⎛⎭⎫－163，5 ； (2) c ＝6 ,经过点(－5,2),焦点在x 轴上．B 巩固提升一、 填空题1. (2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2－y 2b2 ＝1(b ＞0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是________．2. (2019·晋中二模)过双曲线y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的下焦点F 1作y 轴的垂线,交双曲线于A ,B 两点,若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点F 2,则双曲线的离心率为________．3. 已知M (x 0,y 0)是双曲线C ：x 22 －y 2＝1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1·MF 2<0,则y 0的取值范围是________．4. (2019·马鞍山一检)已知双曲线C ：x 24 －y 25 ＝1的焦点为F 1,F 2,P 为双曲线C 上的一点,且△F 1PF 2的内切圆半径为1,则△F 1PF 2的面积为________．二、 解答题5. 已知双曲线过点(3,－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1) 求双曲线的标准方程；(2) 若点M 在双曲线上,F 1,F 2为左、右焦点,且|MF 1|＋|MF 2|＝63 ,试判断△MF 1F 2的形状．6. 已知双曲线y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的两个焦点分别为F 1,F 2,一条渐近线方程为2x ＋y＝0,且焦点到这条渐近线的距离为1.(1) 求此双曲线的方程；(2) 若点M ⎝⎛⎭⎫55，m 在双曲线上,求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上．第48讲 抛物线A 应知应会一、 选择题 1. (2019·南昌一模)已知抛物线方程为x 2＝－2y ,则其准线方程为( ) A. y ＝－1 B. y ＝1 C. y ＝12 D. y ＝－122. 过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,如果x 1＋x 2＝6,则|PQ |等于( )A. 9B. 8C. 7D. 6 3. (2019·石家庄检测)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,过点F 和抛物线上一点M (2,22 )的直线l 交抛物线于另一点N ,则|NF |∶|FM |等于( )A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶2D. 1∶3 4. (2019·武汉调研)已知A ,B 为抛物线y 2＝4x 上两点,O 为坐标原点,且OA ⊥OB ,则|AB |的最小值为( )A. 42B. 22C. 8D. 825. (多选)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)上有A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)三点,F 是它的焦点,若AF ,BF ,CF 成等差数列,则( )A. x 1,x 2,x 3成等差数列B. x 1,x 2,x 3成等比数列C. y 21 ,y 22 ,y 23 成等差数列D. y 21 ,y 22 ,y 23 成等比数列 二、 解答题6. 已知抛物线y 2＝2px (p ＞0),过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ,B 两点,坐标原点为O ,且OA → ·OB → ＝12.(1) 求抛物线的方程；(2) 当以AB 为直径的圆与y 轴相切时,求直线l 的方程．7. 一种高脚酒杯的轴截面近似一条抛物线如图所示,已知杯口宽4 cm,杯深8 cm.若将一些大小不等的玻璃球放入酒杯中,试问：半径为多大时,玻璃球触及酒杯底部？(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. 若直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F (1,0),且与抛物线C 交于A ,B 两点,则p ＝________,1AF ＋1BF＝________．2. (2019·河南六市二联)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,其准线为直线l ,过点M (5,25 )作直线l 的垂线,垂足为H ,则∠FMH 的平分线所在直线的斜率是________．3. (2019·福州一模)已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ,且与抛物线交于A ,B 两点,若AF → ＝5FB →,则直线l 的斜率为________．4. (2019·深圳二调)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点F 和到点(2,0)的距离之和的最小值为3,过点F 作斜率为3 的直线l 与抛物线C 及其准线从上到下依次交于点A ,B ,M ,则|AF ||BF | ＋|AF ||MF |＝________．二、 解答题 5. (2019·唐山摸底)斜率为k (k ≠0)的直线l 与抛物线y ＝x 2交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,O 为坐标原点．(1) 当x 1＋x 2＝2时,求k ；(2) 若OB ⊥l ,且|AB |＝3|OB |,求|AB |.6. (2019·合肥二模)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点M (m ,9)到其焦点F 的距离为10.(1) 求抛物线C 的方程；(2) 设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,且抛物线在A ,B 两点处的切线分别交x 轴于P ,Q 两点,求|AP |·|BQ |的取值范围．第49讲 解析几何的综合问题课时1 解析几何中的最值、范围问题A 应知应会一、 选择题1. 设A ,B 为椭圆C ：x 23 ＋y 2m＝1长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°,则m 的取值范围是( )A. (0,1]∪[9,＋∞)B. (0,3 ]∪[9,＋∞)C. (0,1]∪[4,＋∞)D. (0,3 ]∪[4,＋∞)2. (2019·襄阳调研)已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点,若在右支上存在点A 使得点F 2到直线AF 1的距离为2a ,则离心率e 的取值范围是( ) A. [2 ,＋∞) B. (2 ,＋∞) C. (1,2 ) D. (1,2 ]3. (多选)已知O 是坐标原点,A ,B 是抛物线y ＝x 2上不同于O 的两点,OA ⊥OB ,则下列结论中正确的是( )A. OA ·OB ≥2B. OA ＋OB ≥22C. 直线AB 过抛物线y ＝x 2的焦点D. O 到直线AB 的距离小于等于1二、 解答题4. (2019·安庆二模)已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22,且过点(2,2 ). (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设A ,B 为椭圆C 的左、右顶点,过C 的右焦点F 作直线l 交椭圆于M ,N 两点,分别记△ABM ,△ABN 的面积为S 1,S 2,求|S 1－S 2|的最大值．5. (2019·荆州二模)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为13,点P 在椭圆C 上,且△PF 1F 2的面积的最大值为22 . (1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知直线l ：y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M ,N ,若在x 轴上存在点G ,使得|GM |＝|GN |,求点G 的横坐标的取值范围．B 巩固提升一、 填空题1. (2017·全国卷Ⅱ)若a ＞1,则双曲线x 2a 2 －y 2＝1的离心率的取值范围是________． 2. 已知线段|AB |＝4,|P A |＋|PB |＝6,M 是AB 的中点,当P 点在同一平面内运动时,PM 的长度的最小值为________．3. 已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点,若双曲线上存在点P 满足PF 1·PF 2＝－a 2,则双曲线离心率的取值范围为________．二、 解答题4. (2019·新乡三模)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的准线与x 轴交于点K ,过点K 作圆C ：(x －5)2＋y 2＝9的两条切线,切点为M ,N ,|MN |＝33 .(1) 求抛物线E 的方程；(2) 若直线AB 是过定点Q (2,0)的一条直线,且与抛物线E 交于A ,B 两点,过定点Q 作AB 的垂线与抛物线交于G ,D 两点,求四边形AGBD 面积的最小值．5. (2019·江西质检)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝22,过点A (－m ,0),B (m ,0)(m ＞0)分别作两平行直线l 1,l 2,l 1与椭圆C 相交于M ,N 两点,l 2与椭圆C 相交于P ,Q两点,且当直线l 2过右焦点和上顶点时,四边形MNQP 的面积为163. (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若四边形MNQP 是菱形,求正数m 的取值范围．课时2 解析几何中的定点、定值问题A 应知应会一、 选择题1. (2019·武汉模拟)曲线x 225 ＋y 29 ＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k＝1(k ＜9)的( )A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等2. 已知直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若直线OA ,OB 的斜率k 1,k 2满足k 1k 2＝23,则l 一定过点( ) A. (－3,0) B. (3,0) C. (－1,3) D. (－2,0)3. (2019·德阳模拟)设P 为椭圆C ：x 249 ＋y 224＝1上一点,F 1,F 2分别是椭圆C 的左、右焦点,且△PF 1F 2的重心为点G ,若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4,那么△GPF 1的面积为( )A. 24B. 12C. 8D. 6二、 解答题4. (2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ,N 两点．(1) 当k ＝0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2) y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．5. 已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1,圆O ：x 2＋y 2＝4上一点A (0,2). (1) 过点A 作两条直线l 1,l 2都与椭圆C 相切,求直线l 1,l 2的方程并判断其位置关系；(2) 同学甲：过圆O 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线l 1,l 2,则直线l 1,l 2始终相互垂直； 同学乙：过圆O 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线l 1,l 2,则直线l 1,l 2始终不垂直． 请判定两个同学观点是否正确,并证明．B 巩固提升一、 填空题1. 过抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作与直线x ＋2＝0相切的圆,这些圆必过一定点,则定点的坐标是________．2. 设A (x 1,y 1),B ⎝⎛⎭⎫4，95 ,C (x 2,y 2)是右焦点为F 的椭圆x 225 ＋y 29 ＝1上三个不同的点,若AF ,BF ,CF 成等差数列,则x 1＋x 2＝________．二、 解答题3. (2019·烟台一模)已知F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点,过F 的动直线交抛物线C 于A ,B 两点．当直线与x 轴垂直时,|AB |＝4.(1) 求抛物线C 的方程；(2) 若直线AB 与抛物线的准线l 相交于点M ,在抛物线C 上是否存在点P ,使得直线P A ,PM ,PB 的斜率成等差数列？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由．4. (2019·池州期末)已知定点A (－3,0),B (3,0),直线AM ,BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为－19,记动点M 的轨迹为曲线C . (1) 求曲线C 的方程；(2) 过点T (1,0)的直线l 与曲线C 交于P ,Q 两点,是否存在定点S (s ,0),使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值？若存在,求出S 的坐标；若不存在,请说明理由．微难点10 解析几何运算中的常用技巧一、 选择题1. 已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3 x ,它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上,则双曲线的方程为( )A. x 236 －y 2108 ＝1B. x 29 －y 227＝1 C. x 2108 －y 236 ＝1 D. x 227 －y 29＝12. 已知椭圆E ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点．若AB 的中点坐标为(1,－1),则E 的标准方程为( )A. x 245 ＋y 236 ＝1B. x 236 ＋y 227＝1 C. x 227 ＋y 218 ＝1 D. x 218 ＋y 29＝13. 已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ,0),F 2(c ,0),P 为双曲线上任一点,且PF 1·PF 2最小值的取值范围是⎣⎡⎦⎤－34c 2，－12c 2 ,则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A. (1,2 ] B. [2 ,2] C. (0,2 ] D. [2,＋∞)二、 填空题4. (2019·清江中学)已知F (2,0)为椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点,过F 且垂直于x 轴的弦长为6,若A (－2,2 ),点M 为椭圆上任一点,则|MF |＋|MA |的最大值为________．5. 如图,已知椭圆C 的中心为原点O ,F (－25 ,0)为C 的左焦点,P 为C 上一点,满足OP ＝OF ,且PF ＝4,则椭圆C 的方程为________．(第5题)三、 解答题6. 已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)上的点到两个焦点的距离之和为23 ,短轴长为12,直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝125相切,求证：OM → ·ON → 为定值.7. 已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率e ＝12,且椭圆C 经过点P (2,3),过椭圆C 的左焦点F 1且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A ,B 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ,求△PF 1G 的面积S 的取值范围．8. 如图,O 为坐标原点,点F 为抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点,且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：x 2＋y 2＝1相切于点Q .(1) 当直线PQ 的方程为x －y －2 ＝0时,求抛物线C 1的方程；(2) 当正数p 变化时,记S 1 ,S 2分别为△FPQ ,△FOQ 的面积,求S 1S 2的最小值．(第8题)。

第二章 基本初等函数第6讲 函数的概念及其表示方法A 组 应知应会一、 选择题1. (2019·北京一模)已知函数f (x )＝x 3－2x ,则f (3)等于( )A. 1B. 19C. 21D. 352. (2019·石家庄二模)设集合M ＝{x |0≤x ≤2},N ＝{y |0≤y ≤2},给出如下四个图形,其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是( )A BCD3. (2019·厦门质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，－⎝⎛⎭⎫12x ，x >0， 则f (f (log 23))等于( ) A. －9 B. －1C. －13D. －1274. (2019·河南名校段测)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0＜x ≤9，f （x －4），x ＞9，则f (13)＋2f ⎝⎛⎭⎫13 的值为( ) A. 1 B. 0 C. －2 D. 25. (2019·河北衡水)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0,m ],值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4 ,则实数m的取值范围是( )A. (0,4]B. ⎣⎡⎦⎤32，4C. ⎝⎛⎭⎫32，＋∞D. ⎣⎡⎦⎤32，3二、 解答题6. (1) 已知f (x )是二次函数且f (0)＝2,f (x ＋1)－f (x )＝x －1,求f (x )的解析式．(2) 已知函数f (x )的定义域为(0,＋∞),且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1,求f (x )的解析式．7. 已知f (x )＝x 2－1,g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1) 求f (g (2))和g (f (2))的值；(2) 求f (g (x ))和g (f (x ))的表达式．B 组 能力提升一、 填空题1. 已知函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4 ,则函数y ＝f (x )的定义域为________,函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为________．2. (2019·南京三模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，f （x －2），x ＞0， 则f (log 23)＝________． 3. (2018·南阳一模)已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋3x ,则f (x )的解析式为________．4. (2018·郴州质量监测)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－（x －1）2，x ＞0，则使f (a )＝－1成立的a 值是________．二、 解答题5. (1) 已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1,求f (x ).(2) 已知定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg (x ＋1),求f (x ).6. 对于每个实数x ,设f (x )取y ＝4x ＋1,y ＝x ＋2,y ＝－2x ＋4三个函数中的最小值,用分段函数写出f (x )的解析式,并求f (x )的最大值．第7讲 函数的单调性与最值A 组 应知应会一、 选择题1. (多选)已知f (x )是定义在[0,＋∞)上的函数,根据下列条件可以断定f (x )为增函数的是( )A. 对任意x ≥0,都有f (x ＋1)＞f (x )B. 对任意x 1,x 2∈[0,＋∞),且x 1≥x 2,都有f (x 1)≥f (x 2)C. 对任意x 1,x 2∈[0,＋∞),且x 1－x 2<0,都有f (x 1)－f (x 2)<0D. 对任意x 1,x 2∈[0,＋∞),且x 1≠x 2,都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0 2. 下列函数中,在区间(－1,1)上为减函数的是( )A. y ＝11－xB. y ＝cos xC. y ＝ln (x ＋1)D. y ＝2－x 3. 若函数y ＝2－x x ＋1,x ∈(m ,n ]的最小值为0,则m 的取值范围是( ) A. (1,2) B. (－1,2) C. [1,2) D. [－1,2)4. (2019·郑州调研)若函数f (x )＝x －1x 2 在x ∈[1,4]上的最大值为M ,最小值为m ,则M －m 的值是( )A. 3116B. 2C. 94D. 1145. (2019·武汉质检)若函数y ＝log 12(x 2－ax ＋3a )在区间(2,＋∞)上是减函数,则a 的取值范围为( )A. (－∞,－4)∪[2,＋∞)B. (－4,4]C. [－4,4)D. [－4,4]二、 解答题6. 已知f (x )＝x x 2＋1,判断并证明函数f (x )在区间[－1,0]上的单调性．7. 求下列函数的值域．(1) f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x <1，1x，x >1； (2) y ＝x －x .B 巩固提升一、填空题1. 函数f (x )＝1－2x ＋1的单调增区间是________． 2. (2019·太原期末)已知函数f (x )＝x ＋1x －1,x ∈[2,5],则f (x )的最大值是________． 3. (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是________．4. 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1 满足对任意x 1≠x 2,都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2 ＞0成立,那么实数a 的取值范围是________．二、 解答题5. 已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0,x ＞0). (1) 求证：f (x )在(0,＋∞)上是增函数；(2) 若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2 上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2 ,求a 的值．6. 已知函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0},且满足对于任意x 1,x 2∈D ,有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2).(1) 求f (1)的值；(2) 判断f (x )的奇偶性并证明；(3) 如果f (4)＝1,f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3,且f (x )在(0,＋∞)上是增函数,求x 的取值范围．第8讲 函数的奇偶性与周期性课时1 函数奇偶性判定与周期性A 组 应知应会一、 选择题1. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,＋∞)上单调递减的函数是( )A. y ＝x 3B. y ＝ln 1|x |C. y ＝2|x |D. y ＝cos x 2. (2019·济宁二模)已知f (x )是定义在R 上的周期为4的奇函数,当x ∈(0,2)时,f (x )＝x 2＋ln x ,则f (2 019)等于( )A. －1B. 0C. 1D. 23. (2019·烟台一模)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数,f ⎝⎛⎭⎫14 ＝1,当x <0时,f (x )＝log 2(－x )＋m ,则实数m 等于( )A. －1B. 0C. 1D. 24. 已知f (x )在R 上是奇函数,且满足f (x ＋4)＝f (x ),当x ∈(－2,0)时,f (x )＝2x 2,则f (2 019)等于( )A. －2B. 2C. －98D. 985. (多选)设函数f (x )的定义域为R,且f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝0,f (0)≠0,若对于任意实数x ,y ,恒有f (x )＋f (y )＝2f ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2 ·f ⎝⎛⎭⎫x －y 2 ,则下列说法正确的是( )A. f (0)＝1B. f (x )＝f (－x )C. f (x ＋2π)＝f (x )D. f (2x )＝2f (x )－1二、 解答题6. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ∈(－∞,0)时,f (x )＝－x lg (2－x ),求函数f (x )的解析式．7. 已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数,且f (1)＝1,若a ,b ∈[－1,1],且a ＋b ≠0时,有f （a ）＋f （b ）a ＋b＞0恒成立． (1) 用定义证明函数f (x )在[－1,1]上是增函数；(2) 解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12 <f (1－x ).B 组 能力提升一、 填空题1. (2019·日照一模)若函数f (x )＝x 2＋(3－a )x ＋1为偶函数,则a ＝________．2. 设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数,当x ∈[0,1]时,f (x )＝log 2(x ＋1),则当x ∈[1,2]时,f (x )＝________．3. (2019·苏州期初调查)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x <0 为奇函数,则实数a 的值为________．4. (2019·南通、泰州、扬州一调)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x ＋2)＝f (x ).当0<x ≤1时,f (x )＝x 3－ax ＋1,则实数a 的值为________．二、 解答题5. 设f (x )是(－∞,＋∞)上的奇函数,f (x ＋2)＝－f (x ),当0≤x ≤1时,f (x )＝x .(1) 求f (π)的值；(2) 当－4≤x ≤4时,求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．6. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x 恒有f (x ＋2)＝－f (x ),当x ∈[0,2]时,f (x )＝2x －x 2.(1) 求证：f (x )是周期函数；(2) 当x ∈[2,4]时,求f (x )的解析式；(3) 计算f (0)＋f (1)＋…＋f (2 020)的值．课时2 函数性质的应用A 组 应知应会一、 选择题1. (2019·山西考前训练)下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,1)内是增函数的是( )A. y ＝x ln xB. y ＝x 2＋xC. y ＝sin 2xD. y ＝e x －e －x2. (2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞,＋∞)的奇函数,满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2,则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于 ( )A. －50B. 0C. 2D. 503. (2019·九江二模)已知函数f (x )满足：①对任意x ∈R,f (x )＋f (－x )＝0,f (x ＋4)＋f (－x )＝0成立；②当x ∈(0,2]时,f (x )＝x (x －2),则f (2 019)等于( )A. 1B. 0C. 2D. －14. (多选)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )和偶函数y ＝g (x )满足f (x )＋g (x )＝4x ,下列结论正确的有( )A. f (x )＝4x －4－x 2,且0<f (1)<f (2) B. ∀x ∈R,总有[g (x )]2－[f (x )]2＝1C. ∀x ∈R,总有f (－x )g (－x )＋f (x )g (x )＝0D. ∃x 0∈R,使得f (2x 0)＞2f (x 0)g (x 0)5. (2019·临沂一模)已知函数g (x )＝f (x )＋x 2是奇函数,当x ＞0时,函数f (x )的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称,则g (－1)＋g (－2)等于( )A. －7B. －9C. －11D. －13二、 解答题6. 若f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数,且x ∈[0,1)时f (x )为增函数,求不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12 ＜0的解集．7. 已知函数f (x )是(－∞,＋∞)上的偶函数,若对于x ≥0,都有f (x ＋2)＝－f (x ),且当x ∈[0,2)时,f (x )＝log 2(x ＋1).(1) 求f (0)与f (2)的值；(2) 求f (3)的值；(3) 求f (2 021)＋f (－2 022)的值．B 组 能力提升一、 填空题1. 已知函数f (x )同时满足条件：①偶函数；②值域为[0,＋∞)；③周期为2 020,请写出f (x )的一个解析式：______________．2. 已知奇函数f (x )在R 上是增函数,g (x )＝xf (x ).若a ＝g (－log 25.1),b ＝g (20.8),c ＝g (3),则a ,b ,c 的大小关系是________．3. 设函数f (x )＝ln (1＋|x |)－11＋x 2,则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是________． 4. 函数f (x )＝x 3－3x 2的对称中心是________．二、 解答题5. 若f (x )和g (x )都是奇函数,且F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(0,＋∞)上有最大值8,求F (x )在(－∞,0)上的最小值．6. 设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,对任意实数x 都有f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x 成立． (1) 证明：y ＝f (x )是周期函数,并指出其周期；(2) 若f (1)＝2,求f (2)＋f (3)的值；(3) 若g (x )＝x 2＋ax ＋3,且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数,求实数a 的值．第9讲二次函数与幂函数A组应知应会一、选择题1. 若a＝3221⎪⎭⎫⎝⎛,b＝3251⎪⎭⎫⎝⎛,c＝3121⎪⎭⎫⎝⎛,则a,b,c的大小关系是()A. a<b<cB. c<a<bC. b<c<aD. b<a<c2. 若幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y＝f(x)的大致图象是()A BC D3. (2019·安阳模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a,x∈[0,1],若f(x)有最小值－2,则f(x)的最大值为()A. 1B. 0C. －1D. 24. 将进价为40元的商品按50元一件销售,一个月恰好卖500件,而价格每提高1元,就会少卖10个,商店为使该商品利润最大,应将每件商品定价为()A. 50元B. 60元C. 70元D. 100元5. (多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R),给出下列命题,其中是真命题的是()A. 若a2－b≤0,则f(x)在区间[a,＋∞)上是增函数B. 存在a∈R,使得f(x)为偶函数C. 若f(0)＝f(2),则f(x)的图象关于x＝1对称D. 若a2－b－2＞0,则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点二、解答题6. 已知二次函数f(x)同时满足条件：①对称轴方程是x＝1；②f(x)的最大值为15；③f(x)＝0的两根立方和等于17.求f(x)的解析式．7. 已知函数f(x)＝x2－2tx＋1在(－∞,1]上单调递减,且对任意的x1,x2∈[0,t＋1],总有|f(x1)－f(x2)|≤2,求实数t的取值范围．B 组 能力提升一、 填空题1. 已知函数f (x )＝ax 2－2x －3在区间为(－∞,4)上单调递减,则a 的取值范围是________．2. 若二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1有一个零点小于－1,一个零点大于3,则实数a 的取值范围是________．3. 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，－2≤x <0，x 2－2x －3，0≤x ≤3 的值域是________． 4. 已知二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c ＋1(a ≠0)的值域为(－∞,1],则1a ＋4c的最大值是________．二、 解答题5. (1) 已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上具有单调性,求实数k 的取值范围．(2) 已知关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两个不同的实根,且一个大于4,另一个小于4,求m 的取值范围．6. 已知函数f (x )＝x 2－kx ＋3.(1) 若f (x )在[－2,2]上存在单调减区间,求k 的取值范围；(2) 从下面三个函数中：①g (x )＝mx ＋5－m ；②h (x )＝2x －m ；③r (x )＝log 2(3－x )－m ,任选一个函数补充在下列问题中,若m 存在,求m 的取值范围；若不存在,请说明理由．问题：当k ＝0时,若对任意的x 1∈[1,2],总存在x 2∈[－1,2],使得f (2x 1)＝k (x 2)成立．(其中k (x )是你选择的函数)第10讲 指数式与指数函数A 组 应知应会一、 选择题1. (多选)下列结论中不正确的是( )A. 函数f (x )＝x x -⎪⎭⎫⎝⎛221的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，12 B. 函数f (x )＝2x －12x ＋1为奇函数 C. 函数y ＝1x ＋1的单调减区间是(－∞,1)和(1,＋∞) D. 1x＞1是x <1的必要不充分条件 2. 已知a ＝243 ,b ＝425 ,c ＝2513,则( )A. b <a <cB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b3. 若3x ＝a ,5x ＝b ,则45x 等于( )A. a 2bB. ab 2C. a 2＋bD. a 2＋b 24. (2019·东北三校联考)已知函数f (x )＝a x －1(a ＞0,a ≠1)的图象恒过点A ,下列函数中图象不经过点A 的是( )A. y ＝1－xB. y ＝|x －2|C. y ＝2x －1D. y ＝log 2(2x )5. (多选)已知函数f (x )＝e x －e －x 2 ,g (x )＝e x ＋e －x 2,则f (x ),g (x )满足( ) A. f (－x )＝－f (x ),g (－x )＝g (x )B. f (－2)<f (3)C. f (2x )＝2f (x )g (x )D. [f (x )]2－[g (x )]2＝1二、 解答题6. 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12 ax ,a 为常数,且函数的图象过点(－1,2).(1) 求a 的值；(2) 若g (x )＝4－x －2,且g (x )＝f (x ),求满足条件的x 的值．7. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )＝2x －1.(1) 求f (3)＋f (－1)；(2) 求f (x )在R 上的解析式；(3) 求不等式－7≤f (x )≤3的解集．B 组 能力提升一、 填空题1. (2019·菏泽九校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(－∞,0)上单调递增．若实数a 满足f (32a －1)≥f (－3 ),则a 的最大值是________．2. (2019·石家庄二模)若函数f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数,且满足f (x )＋2g (x )＝e x ,则g (－1),f (－2),f (－3)从大到小的顺序是________．3. (2018·苏锡常镇调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e x ，x <1，x ＋4x，x ≥1 (e 是自然对数的底).若函数y ＝f (x )的最小值是4,则实数a 的取值范围为________．4. (2019·聊城一模)设函数f (x )＝1e x －1＋a ,若f (x )为奇函数,则不等式f (x )＞1的解集为________．二、解答题5. 已知函数f (x )＝b ·a x (a ＞0,且a ≠1,b ∈R)的图象经过点A (1,6),B (3,24).(1) 设g (x )＝1f （x ）＋3 －16,确定函数g (x )的奇偶性； (2) 若对任意x ∈(－∞,1],不等式⎝⎛⎭⎫a b x≥2m ＋1恒成立,求实数m 的取值范围．6. 设f (x )＝a x ＋a －x 2 ,g (x )＝a x －a －x 2,其中a 为常数,且a ＞0,a ≠1. (1) 求证：g (5)＝g (2)f (3)＋f (2)g (3)；(2) 试写出一个f (x )和g (x )的函数值满足的等式,使得第(1)问的结论是这个等式的一个特例,并证明它在f (x )和g (x )的公共定义域R 上恒成立；(3) 试再写出一个f (x )和g (x )的函数值满足的等式．第11讲 对数与对数函数A 组 应知应会一、 选择题1. (2019·全国卷Ⅰ) 已知a ＝log 20.2,b ＝20.2,c ＝0.20.3,则( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. b <c <a2. (多选)已知函数f (x )＝ax 3－1x＋b (a ＞0,b ∈Z),选取a ,b 的一组值计算f (lg a )和f ⎝⎛⎭⎫lg 1a 所得出的结果可以是( )A. 3和4B. －2和5C. 6和2D. －2和23. (2019·枣庄一模)已知2x ＝5y ＝t ,1x ＋1y＝2,则t 等于( ) A. 110 B. 1100C. 10D. 100 4. (2019·汕头一模)已知当0<x ≤12时,不等式log a x <－2恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A. (2 ,2) B. (1,2 )C. ⎝⎛⎭⎫22，1 D. (0,2 ) 5. (2019·肇庆二模)已知f (x )＝lg (10＋x )＋lg (10－x ),则( )A. f (x )是奇函数,且在(0,10)上是增函数B. f (x )是偶函数,且在(0,10)上是增函数C. f (x )是奇函数,且在(0,10)上是减函数D. f (x )是偶函数,且在(0,10)上是减函数二、 解答题6. 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3).(1) 若f (1)＝1,求f (x )的单调区间；(2) 若f (x )的最小值为0,求a 的值．7. 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (0)＝0,当x ＞0时,f (x )＝log 12x . (1) 求函数f (x )的解析式；(2) 解不等式f (x 2－1)＞－2.B 组 能力提升一、 填空题1. (2019·南京、盐城一模)已知y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数,且当x ＞0时,f (x )＝e x ＋1,则f (－ln 2)的值为________．2. (2019·孝义二模)若函数y ＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2,＋∞)上是增函数,则a 的取值范围是________．3. 若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a ＞0,a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 内恒有f (x )＞0,则f (x )的单调增区间为________．4. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0， 则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12 ＝________, 方程f (f (x ))＝1的解集是________． 二、 解答题5. 已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0,a ≠1)在区间[1,7]上的最大值比最小值大12,求a 的值．6. 已知函数f (x )＝ln (1＋x )＋ln (a －x )为偶函数,a ∈R ．(1) 求a 的值,并讨论f (x )的单调性；(2) 若f ⎝⎛⎭⎫12 <f (lg x ),求x 的取值范围．第12讲函数的图象课时1图象变换及识别A组应知应会一、选择题1. (2019·黄山一模)已知图(1)中的图象对应的函数为y＝f(x),则图(2)中的图象对应的函数为()(第1题)A. y＝f(|x|)B. y＝f(－|x|)C. y＝|f(x)|D. y＝－f(|x|)2. (2019·厦门质检)函数y＝cos x＋ln (|x|＋1)(x∈[－2π,2π])的图象大致为()A BC D3. (2019·泉州质检)函数f(x)＝e|x|2x的部分图象大致为()A BC D4. (2019·长沙月考)函数f(x)＝ln (x－1)＋ln (x＋1)＋cos x的大致图象是()A BC D5. (2019·济南一模)若函数f (x )＝a x －a －x (a ＞0)在R 上为减函数,则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )A BC D二、解答题6. 如图,定义在[－1,＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,求f (x )的解析式．(第6题)7. 已知函数f (x )＝1＋|x |－x 2(－2<x ≤2). (1) 用分段函数的形式表示该函数；(2) 画出该函数的图象；(3) 写出该函数的值域．B 组 能力提升一、 填空题1. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ＜1，－x ＋3，x ≥1， 使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围是________． 2. 已知函数f (x )＝1x,则y ＝f (x －1)＋1的单调减区间为________． 3. 若函数f (x )＝|2x －4|－a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a 的取值范围为________．4. (2019·龙岩质检)已知定义在R 上的可导函数f (x ),g (x )满足f (x )＋f (－x )＝6x 2＋3,f (1)－g (1)＝3,g ′(x )＝f ′(x )－6x ,如果g (x )的最大值为M ,最小值为N ,则M ＋N ＝________．二、 解答题5. 已知函数f (x )＝|x |(x －a ),a ＞0.(1) 作出函数f (x )的图象；(2) 写出函数f (x )的单调区间；(3) 当x ∈[0,1]时,由图象写出f (x )的最小值．6. 设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ,b 为常数),且方程f (x )＝32 x 的两个实根分别为x 1＝－1,x 2＝2.(1) 求y ＝f (x )的解析式；(2) 证明：函数y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心．课时2以函数图象为背景的问题A组应知应会一、选择题1. (2019·合肥质检)函数f(x)＝x2＋x sin x的图象大致为()A BC D2. (2019·芜湖期末)函数f(x)＝ln |x＋1|x＋1的部分图象大致为()A BC D3. (2019·广州一模)如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则函数h ＝f(t)的图象大致是()(第3题)ABCD4. (多选)函数f (x )＝|x |＋ax2 (其中a ∈R)的图象可能是( )ABCD二、 填空题5. 已知函数f (x )＝|log 3x |,实数m ,n 满足0<m <n ,且f (m )＝f (n ),若f (x )在[m 2,n ]上的最大值为2,则nm＝________．6. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln （x ＋a ），x ≥－1 的图象如图所示,则f (－3)＝________．(第6题)7. 若函数f (x )＝x ＋1x 的图象与直线y ＝kx ＋1交于不同的两点(x 1,y 1),(x 2,y 2),则y 1＋y 2＝________．8. (2019·长沙统测)已知f (x )＝|e x －1|＋1,若函数g (x )＝[f (x )]2＋(a －2)f (x )－2a 有三个零点,则实数a 的取值范围是________．9. 不等式3sin ⎝⎛⎭⎫π2x －log 12x <0的整数解的个数为________．B 组 能力提升一、 选择题 1. (2019·潍坊模拟)函数y ＝4cos x －e |x |的图象可能是( )ABCD2. (2019·河南省六市联考)设实数a ,b ,c 分别满足a ＝5－12 ,b ln b ＝1,3c 3＋c ＝1,则a ,b ,c 的大小关系为( )A. c ＞b ＞aB. b ＞c ＞aC. b ＞a ＞cD. a ＞b ＞c3. 已知函数f (2x ＋1)是奇函数,则函数y ＝f (2x )的图象成中心对称的点为( )A. (1,0)B. (－1,0)C. ⎝⎛⎭⎫12，0D. ⎝⎛⎭⎫－12，04. 若函数f (x )＝（2－m ）xx 2＋m的图象如图所示,则m 的取值范围为( )(第4题)A. (－∞,－1)B. (－1,2)C. (0,2)D. (1,2)二、 填空题 5. (2019·新余模拟)若函数y ＝f (x )的图象过点(1,1),则函数y ＝f (4－x )的图象一定经过点________．6. (2019·荆州三模)已知偶函数f (x )和奇函数g (x )的图象如图所示,若关于x 的方程f (g (x ))＝1,g (f (x ))＝2的实根个数分别为m ,n ,则m ＋n ＝________．(第6题)7. 已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)和函数g (x )＝sin π2 x ,若f (x )与g (x )的图象有且只有3个交点,则a 的取值范围是________．8. 已知函数f (x )对于任意实数x ∈[a ,b ],当a ≤x 0≤b 时,记|f (x )－f (x 0)|的最大值为D [a ,b ](x 0). (1) 若f (x )＝(x －1)2,则D [0,3](2)＝________；(2) 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≤0，2－|x －1|，x >0， 则D [a ,a ＋2](－1)的取值范围是________．第13讲 函数与方程A 组 应知应会一、 选择题1. 若函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是( )A. (1,3)B. (1,2)C. (0,3)D. (0,2)2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1， 则函数f (x )的零点为( )A. 12 ,0B. －2,0C. 12D. 0 3. 已知函数f (x )＝2x ＋x ＋1,g (x )＝log 2x ＋x ＋1,h (x )＝log 2x －1的零点依次为a ,b ,c ,则( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <c <aD. b <a <c4. 已知函数y ＝f (x )的周期为2,当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2,那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A. 10个B. 9个C. 8个D. 1个 5. (2019·九江模拟)已知函数f (x )＝a ＋log 2(x 2＋a )(a ＞0)的最小值为8,则实数a 的取值范围是( )A. (5,6)B. (7,8)C. (8,9)D. (9,10) 二、 解答题6. 若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内,另一个根在(1,3)内,求a 的取值范围．7. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2,a ∈R ．(1) 若不等式f (x )≤0的解集为[1,2],求不等式f (x )≥1－x 2 的解集；(2) 若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点,求实数a 的取值范围．B 组 能力提升一、 填空题1. 方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解集为________．2. 设f (x )是定义在R 上的偶函数,满足f (x )＝f (2－x ),当0≤x ≤1时,f (x )＝－x 2＋1,方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫12 |x |在区间[－5,5]内实根的个数为________．3. 在平面直角坐标系xOy 中,若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点,则a 的值为________．4. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －a ，x <1，π（x －3a ）（x －2a ），x ≥1， 若f (x )恰有2个零点,则实数a 的取值范围是________．二、 解答题5. 已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数,当x ∈[0,＋∞)时,f (x )＝x 2－2x . (1) 求函数y ＝f (x )的解析式；(2) 若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解,求a 的取值范围．6. (2019·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x －x cos x －x ,f ′(x )为f (x )的导数． (1) 求证：f ′(x )在区间(0,π)上存在唯一零点； (2) 若x ∈[0,π]时,f (x )≥ax ,求a 的取值范围．第14讲数学建模——函数的模型及其应用A组应知应会一、选择题1. 国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元,则这个人的稿费为()A. 3 000元B. 3 800元C. 3 818元D. 5 600元2. 某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)()A. 2020年B. 2021年C. 2022年D. 2023年3. (2019·三明联考)用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3 010)()A. 3B. 4C. 5D. 64. (2019·安庆二模)设甲、乙两地的距离为a(a＞0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20 min,在乙地休息10 min后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30 min,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()A BC D5. (多选)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况,则下列叙述不正确的是()(第5题)A. 消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 kmB. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最少C. 甲车以80 km/h的速度行驶1 h,消耗10 L汽油D. 某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油二、解答题6. 网店销售某一品牌的商品,购买人数n是商品标价x的一次函数,标价越高,购买人数越少．已知标价为每件300元时,购买人数为零；标价为每件225元时,购买人数为75人．若这种商品的成本价是100元/件,网店以高于成本价的相同价格(标价)出售．(1) 网店要获取最大利润,商品的标价应定为每件多少元？(2) 通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果网店要获得最大利润的75%,那么商品的标价为每件多少元？7. 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位：kg)与销售价格x(单位：元/kg)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2,其中3<x<6,a为常数．已知销售价格为5元/kg时,每日可售出该商品11 kg.(1) 求a的值；(2) 若该商品的成本为3元/kg,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．B组能力提升一、填空题1. (2019·唐山联考)“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a A (a为常数),广告效应为D＝a A －A.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为________．(用常数a表示)2. (2019·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2019年春节前后,从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(kg)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在12月26日大约卖出了西红柿________kg.(第2题）3. 某公司一年购买某种货物600 t,每次购买x t,运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________．4. 根据相关规定,机动车驾驶员血液中的酒精含量大于(等于)20毫克/100毫升时属于醉酒驾车．假设饮酒后,血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升,经过x h,酒精含量降为p毫克/100毫升,且满足关系式p＝p0·e rx(r为常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升,2 h后,测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升,则此人饮酒后需经过________h方可驾车．(精确到h)二、解答题5. 某创业团队拟生产A、B两种产品,根据市场预测,A产品的利润与投资额成正比(如图(1)),B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图(2)).(注：利润与投资额的单位均为万元)(1) 分别将A、B两种产品的利润f(x)、g(x)表示为投资额x的函数；(2) 该团队已筹集到10万元资金,并打算全部投入A、B两种产品的生产,问：当B产品的投资额为多少万元时,生产A、B两种产品能获得最大利润？最大利润为多少？图(1)图(2)(第5题)6. 某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x 台机器人的总成本p (x )＝1600x 2＋x ＋150(万元). (1) 若使每台机器人的平均成本最低,则应买多少台？(2) 现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m 人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图),经实验知,每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m （60－m ），1≤m ≤30，480，m ＞30(单位：件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件,问：引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之多少？(第6题)微难点2 分段函数的研究一、 选择题1. (2019·湖北四地联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7，x <0，log 2（x ＋1），x ≥0， 若f (a )<1,则实数a 的取值范围是( )A. (－∞,－3)∪[0,1)B. (－3,0)∪(－1,1)C. (－3,1)D. (1,＋∞)2. (2019·开封一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2， 若f (a )≥1,则a 的取值范围是( )A. [1,2)B. [1,＋∞)C. [2,＋∞)D. (－∞,－2]3. (2019·廊坊三模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e 2x －2x ＋a ，x >0，ax ＋3a －2，x ≤0 在(－∞,＋∞)上是单调函数,且f (x )存在负的零点,则a 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫23，1B. ⎝⎛⎦⎤23，32C. ⎝⎛⎦⎤0，32D. ⎝⎛⎭⎫23，＋∞4. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0<x <3，13x 2－103x ＋8，x ≥3， 若存在实数a ,b ,c ,d ,满足f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d ),其中d ＞c ＞b ＞a ＞0,则abcd 的取值范围是( )A. (21,25)B. (21,24)C. (20,24)D. (20,25)5. (2019·驻马店期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋2，x ≤0，e ax x >0 在[－2,2]上的最大值为3,则实数a 的取值范围是( )A. (ln 3,＋∞)B. ⎣⎡⎦⎤0，12ln 3C. ⎝⎛⎦⎤－∞，12ln 3 D. (－∞,ln 3]二、 填空题6. (2019·佛山二模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0，－x 2＋2x ＋1，x <0 (其中e 是自然对数的底数),且函数y＝|f (x )|－mx 有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是________．7. 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x，x ≤1，log a x ＋13，x >1. 若存在x 1,x 2∈R,x 1≠x 2,使得f (x 1)＝f (x 2)成立,则实数a 的取值范围是________．8. (2019·滨州期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≤0，|log 2x |，x >0.若方程f (x )＝a 恰有4个不同的实根x 1,x 2,x 3,x 4,且x 1<x 2<x 3<x 4,则x 3(x 1＋x 2)＋1x 23 x 4的取值范围为________．微难点3 由函数的性质求参数范围一、 填空题1. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2，x <0， 若f (a －1)＋f (a )＞0,则实数a 的取值范围是________．2. 若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是________．3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－mx ，x >1，⎝⎛⎭⎫4－m 2x ＋2，x ≤1 是R 上的增函数,则实数m 的取值范围是________．4. 若函数f (x )＝ax 2＋x ＋a ＋1在(－2,＋∞)上单调递增,则a 的取值范围是________．5. 已知f (x )＝log a (8－3ax )在[－1,2]上是减函数,则实数a 的取值范围是________．6. 已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2 在区间(－2,＋∞)上为增函数,则实数a 的取值范围是________．7. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0， 若f (2－a 2)<f (a ),则实数a 的取值范围是________．二、解答题8. 设定义在[－2,2]上的函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,且f(1－m)＜f(3m).(1) 若函数f(x)在区间[－2,2]上是奇函数,求实数m的取值范围；(2) 若函数f(x)在区间[－2,2]上是偶函数,求实数m的取值范围．。

第三章 导数及其应用第15讲 导数的几何意义和四则运算A 应知应会一、 选择题1. 已知f (x )＝x (2 018＋ln x ),若f ′(x 0)＝2 019,则x 0等于( )A. e 2B. 1C. ln 2D. e2. 若函数f (x )＝33x 3＋ln x －x ,则曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线的倾斜角是( ) A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π63. 已知函数f (x )＝ln (x ＋1)·cos x －ax 在(0,f (0))处的切线倾斜角为45°,则a 等于( )A. －2B. －1C. 0D. 34. (2019·泰安一模)已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 2 ＝x 3－3x ,则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线斜率为( )A. 0B. 9C. 18D. 275. 已知曲线y ＝sin x 在点P (x 0,sin x 0)(0≤x 0≤π)处的切线为l ,则下列各点中不可能在直线l 上的是( )A. (－1,－1)B. (－2,0)C. (1,－2)D. (4,1)二、 解答题6. 求下列函数的导数．(1) y ＝5x 3 ； (2) y ＝1x4 ； (3) y ＝－2sin x 2 ⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .7. 已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0,且点P 0在第三象限．(1) 求P 0的坐标；(2) 若直线l ⊥l 1,且l 也过切点P 0,求直线l 的方程．B 巩固提升一、 填空题1. (2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________．2. 已知函数f (x )满足满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2,则f (x )的解析式为________________.3. (2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y ＝ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(－e,－1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是________．4. (2019·厦门一模)在平面直角坐标系xOy 中,已知x 21 －ln x 1－y 1＝0,x 2－y 2－2＝0,则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为________．二、 解答题5. 已知曲线y ＝(ax －1)e x 在点A (x 0,y 1)处的切线为l 1,曲线y ＝1－x e x 在点B (x 0,y 2)处的切线为l 2.若存在x 0∈⎣⎡⎦⎤0，32 ,使得l 1⊥l 2,求实数a 的取值范围．6. 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11,g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9,且f ′(－1)＝0.(1) 求a 的值；(2) 是否存在k ,使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线,又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在,求出k 的值；如果不存在,请说明理由．第16讲 导数与函数的单调性A 应知应会一、 选择题1. (2019·福建四校二联)函数f (x )＝(x 2－2x )e x 的图象大致是( )A BC D2. 若函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示,则下列判断中正确的是 ( )(第2题)A. 在区间(－3,1)内f (x )是增函数B. 在区间(1,3)内f (x )是增函数C. 在区间(5,6)内f (x )是增函数D. 在区间(－∞,1)内f (x )是增函数3. (2019·宣城二调)若函数f (x )＝43x 3－2ax 2－(a －2)x ＋5恰好有三个单调区间,则实数a 的取值范围为( )A. [－1,2]B. [－2,1]C. (－∞,－1)∪(2,＋∞)D. (－∞,－2)∪(1,＋∞)4. 若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ,a ＋1]上单调递增,则实数a 的最大值为( )A. －1＋52B. 1＋52C. 1－52D. －1－525. (多选)已知函数f (x )＝e x －1,对于满足0<x 1<x 2<e 的任意x 1,x 2,下列结论中正确的是( )A. (x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0B. x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)C. f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1D. f （x 1）＋f （x 2）2 ＞f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22二、 解答题 6. (2019·太原一模节选)已知函数f (x )＝x 3－32 ax 2(a ＞0),若函数h (x )＝f （x ）·e x x 在(0,1)上单调递减,求a 的取值范围．7. (2019·南昌一模)已知函数f (x )＝(x ＋a )e x (x ＞－3),其中a ∈R ．(1) 若曲线y ＝f (x )在点A (0,a )处的切线l 与直线y ＝|2a －2|x 平行,求直线l 的方程；(2) 讨论函数y ＝f (x )的单调性．B 巩固提升一、 填空题1. (2019·泰州一模)已知函数f (x )＝2x 4＋4x 2,若f (a ＋3)＞f (a －1),则实数a 的取值范围为________．2. 已知函数f (x )的定义域为R,f (0)＝2,对任意x ∈R,都有f (x )＋f ′(x )＞1,则不等式e x ·f (x )＞e x ＋1的解集为________．3. 已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ,t ＋1]上不单调,则t 的取值范围是________．4. (2019·盐城期中)已知函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R),若函数f (x )存在三个单调区间,则实数a 的取值范围是________．二、 解答题5. 已知函数f (x )＝x e x －a ⎝⎛⎭⎫x 22＋x (a ∈R),讨论函数f (x )的单调性．6. 已知函数f (x )＝e x ln x －a e x (a ∈R).(1) 若f (x )在点(1,f (1))处的切线与直线y ＝1ex ＋1垂直,求a 的值； (2) 若f (x )在(0,＋∞)上是单调函数,求实数a 的取值范围．第17讲 导数与函数的极值、最值A 应知应会一、 选择题1. 函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 32. (2019·安庆二模)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e(e 是自然对数的底数),则f (x )的极大值为( )A. 2e －1B. －1eC. 1D. 2ln 2 3. 若函数f (x )＝x 3－3x 在(a ,6－a 2)上有最小值,则实数a 的取值范围是( )A. (－5 ,1)B. [－5 ,1)C. [－2,1)D. (－2,1)4. 设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2,g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ,N ,则当|MN |达到最小时t 的值是( )A. 1B. 12C. 52D. 225. (多选)设函数f (x )＝ax 22e－ln |ax |(a ＞0),若f (x )有4个零点,则a 的可能取值个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、 解答题6. 已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1) 求曲线y ＝f (x )在点(0,f (0))处的切线方程；(2) 求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2 上的最大值和最小值．7. (2019·邵阳期末)已知a ∈R,函数f (x )＝a x＋ln x －1. (1) 当a ＝1时,求曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程；(2) 求f (x )在区间(0,e]上的最小值．B 巩固提升一、 填空题1. 若函数f (x )＝12x 2f ′(2)＋ln x ,则f (x )的极大值点为________,极大值为________． 2. 已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1,若函数f (x )在(1,2)上有极值,则实数a 的取值范围为________．3. (2019·滁州期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3－3x 2＋1，x ≥0，e ax ＋1，x <0 在[－2,2]上的最大值为5,则实数a 的取值范围是________．4. (2019·唐山一模)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,若函数f (x )＝13x 3＋bx 2＋(a 2＋c 2－ac )x ＋1有极值点,则sin ⎝⎛⎭⎫2B －π3 的最小值为________． 二、 解答题5. (2019·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.(1) 讨论f (x )的单调性；(2) 当0<a <3时,记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ,最小值为m ,求M －m 的取值范围．6. 解答一个问题后,将结论作为条件之一,提出与原问题有关的新问题,我们把它称为原问题的一个“逆向问题”．例如：原问题是“若矩形的边长为3和4,则其周长为14”,它的一个“逆向问题”是：“若矩形的周长为14,一边长为3,求另一边长”,也可以是“若矩形的周长为14,求其面积的最大值”等等．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1. (1) 求f (x )在[－1,e](e 为自然对数的底数)上的最大值； (2) 请对(1)提出两个“逆向问题”,并作解答．第18讲生活中的优化问题举例A应知应会一、解答题1. 某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a(1≤a≤3)元的管理费,预计当每件商品的售价为x(8≤x≤9)元时,一年的销售量为(10－x)2万件．(1) 求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x)；(2) 当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大？并求出L的最大值．2. 如图所示是一个帐篷,它下部分的形状是一个正六棱柱,上部分的形状是一个正六棱锥,其中帐篷的高为PO,正六棱锥的高为PO1,且PO＝3PO1.设PO1＝x.(1) 当x＝2 m,P A1＝4 m时,求搭建的帐篷的表面积；(2) 在P A1的长为定值l m的条件下,已知当且仅当x＝23m时,帐篷的容积V最大,求l的值．(第2题)B 巩固提升一、 解答题1. (2019·徐州期中)如图所示是一个半径为2 km,圆心角为π3的扇形游览区的平面示意图,点C 是半径OB 上一点,点D 是圆弧AB 上一点,且CD ∥OA .现在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位,经测算广告位出租收入是：线段OC 处每千米为2a 元,线段CD 及圆弧DB 处每千米均为a 元．设∠AOD ＝x 弧度,广告位出租的总收入为y 元．(1) 求y 关于x 的函数解析式,并指出该函数的定义域；(2) 试问x 为何值时,广告位出租的总收入最大？并求出其最大值．(第1题)2. (2019·盐城期中)某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品．根据以往的经验知道,该厂生产这种仪器次品率P 与日产量x (件)之间近似满足关系：P ＝⎩⎨⎧196－x ，1≤x ≤c ，x ∈N ，1≤c <96，23，x >c ，x ∈N (注：次品率P ＝次品数总生产量,如P ＝0.1表示每生产10件产品,约有1件为次品,其余为合格品).已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元,但每生产一件次品将亏损A 2元,故厂方希望定出合适的日产量． (1) 试将生产这种仪器每天的盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数；(2) 当日产量x 为多少时,可获得最大利润？微难点4 构造函数研究不等关系一、 选择题1. 当x ∈[－2,1]时,不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立,则实数a 的取值范围是( )A. [－5,－3]B. ⎣⎡⎦⎤－6，－98 C. [－6,－2] D. [－4,－3] 2. (2019·上饶一模)已知函数f (x )＝ln x ＋a 的导数为f ′(x ),若方程f ′(x )＝f (x )的根x 0小于1,则实数a 的取值范围为( )A. (1,＋∞)B. (0,1)C. (1,2 )D. (1,3 )3. 已知函数f (x )＝x ＋1x 2 ,g (x )＝log 2x ＋m ,若对x 1∈[1,2],x 2∈[1,4],使得f (x 1)≥g (x 2),则m 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎦⎤－∞，－54B. (－∞,2]C. ⎝⎛⎦⎤－∞，34 D. (－∞,0] 二、 填空题4. 设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x ),对任意的x ∈R,有f (－x )＋f (x )＝x 2,当x ∈(0, ＋∞)时,f ′(x )＜x .若f (4－m )－f (m )≥8－4m ,则实数m 的取值范围为________．5. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,其导函数为f ′(x ),若f ′(x )＜f (x ),且f (x ＋1)＝f (3－x ),f (2 019)＝2,则不等式f (x )＜2e x －1的解集为________．6. 若定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )＞1,f (0)＝4,则不等式e x f (x )＞e x ＋3(其中e 为自然对数的底数)的解集为________．三、 解答题7. 已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋3)e x ,若不等式f （x ）ex ＋7x －2＞k (x ln x －1)(k 为正整数)对任意正实数x 恒成立,求k 的最大值．(参考数据：ln 7≈1.95,ln 8≈2.08)8. 已知函数f (x )＝ln x －ax 3,g (x )＝a e xe. (1) 若直线y ＝x 与y ＝g (x )的图象相切,求实数a 的值；(2) 若存在x 0∈[1,e],使得f (x 0)＞(1－3a )x 0＋1成立,求实数a 的取值范围．微难点5 利用导数研究函数的零点一、 解答题1. 已知函数f (x )＝2e x ＋ax .(1) 求f (x )的单调区间；(2) 讨论f (x )在(0,＋∞)上的零点个数．2. (2019·抚州调研)已知函数f (x )＝a 6 x 3－a 4x 2－ax －2的图象过点A ⎝⎛⎭⎫4，103 . (1) 求函数f (x )的单调增区间；(2) 若函数g (x )＝f (x )－2m ＋3有3个零点,求m 的取值范围．3. 已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝3x －2a 2x. (1) 求函数F (x )＝f (x )－x ＋2在x ∈[4,＋∞)上的最大值；(2) 若函数H (x )＝2f (x )－ln [g (x )]在区间⎣⎡⎦⎤12，1 上有零点,求实数a 的取值范围．4. 已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x (a ∈R,e 为自然对数的底数).(1) 当a ＝1时,求f (x )的单调区间；(2) 若函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12 上无零点,求a 的最小值．。

[考案5]第五章 综合过关规范限时检测(时间：120分钟 满分150分)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.数列32，－54，78，－916，…的一个通项公式为( D )A.a n ＝(－1)n·2n ＋12nB.a n ＝(－1)n ·2n ＋12nC.a n ＝(－1)n ＋1·2n ＋12n D.a n ＝(－1)n ＋1·2n ＋12n【试题解答】 该数列是分数形式，分子为奇数2n ＋1，分母是指数2n ，各项的符号由(－1)n＋1来确定，所以D 选项正确.2.(2020·湖北八校联考)已知数列{a n }满足a n ＝5n －1(n ∈N *)，将数列{a n }中的整数项按原来的顺序组成新数列{b n }，则b 2 019的末位数字为( D )A.8B.2C.3D.7【试题解答】 由a n ＝5n －1(n ∈N *)，可得此数列为4，9，14，19，24，29，34，39，44，49，54，59，64，…，整数项为4，9，49，64，144，169，…，所以数列{b n }的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，…，因为2 019＝4×504＋3，所以b 2 019的末位数字为7.故选D.3.(2020·贵州贵阳监测)如果在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( C ) A.14 B.21 C.28D.35【试题解答】 由题意得3a 4＝12，则a 4＝4，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.故选C.4.(2020·山东潍坊期末)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝28，a 2m a m ＝2m ＋21m －2，则数列{a n }的公比为( B )A.2B.3C.12D.13【试题解答】 设数列{a n }的公比为q ，由题意知q ≠1，因为S 2m S m ＝28，a 2m a m ＝2m ＋21m －2，所以1＋q m ＝28，q m ＝2m ＋21m －2，所以m ＝3，q ＝3.故选B.5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14＜0，则S n 取最大值时n 的值为( B ) A.6 B.7 C.8D.13【试题解答】 根据S 13>0，S 14＜0，可以确定a 1＋a 13＝2a 7>0，a 1＋a 14＝a 7＋a 8＜0.所以a 7>0，a 8＜0，则S n 取最大值时n 的值为7.故选B.6.(2020·江西南昌三中模拟)在等比数列{a n }中，已知对任意的正整数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( A )A.13(4n －1) B.2n －1 C.13(2n －1) D.4n －1【试题解答】 通解：设{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m 对任意的正整数n 均成立，∴a 1＝2＋m ，a 2＝2，a 3＝4.∵{a n }是等比数列，∴m ＝－1，a 1＝1，q ＝2，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n 1－4＝13(4n－1).故选A. 优解：∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m ，∴当n ≥2时，a n ＝2n －1，又a 1＝2＋m ，满足上式，∴m ＝－1，即等比数列{a n }的首项为1，公比为2，∴a n ＝2n －1，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n 1－4＝13(4n－1).故选A.7. (2020·河北六校第三次联考)“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光.”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述.假设一条螺旋线是用以下方法画成(如图)：△ABC 是边长为1的正三角形，曲线CA 1，A 1A 2，A 2A 3分别是以A ，B ，C 为圆心，AC ，BA 1，CA 2为半径画的弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线，再以A 为圆心，AA 3为半径画弧，……如此画下去，则所得弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A 28A 29，A 29A 30的总长度为( A )A.310πB.1103πC.58πD.110π【试题解答】 根据弧长公式知，弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n －2A n －1，A n －1A n 的长度分别为23π，2×23π，3×23π，…，(n －1)×23π，n ×23π，该数列是首项为23π，公差为23π的等差数列，所以该数列的前n 项和S n ＝π3n (n ＋1)，所以所得弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A 28A 29，A 29A 30的总长度为S 30＝π3×30×(30＋1)＝310π.故选A.8.(2020·河北衡水中学调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为( B ) A.3 B.4 C.23－2D.92【试题解答】 由已知有a 23＝a 1a 13，所以有(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋12d )，d ＝2(d ≠0)，数列{a n }通项公式a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，所以2S n ＋16a n ＋3＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥4，当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝2时等号成立.故选B. 二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.等比数列{a n }的前三项和S 3＝14，若a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则公比q ＝( AD ) A.2 B.13 C.3D.12【试题解答】 由a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 得2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，即2(1＋a 1q )＝a 1＋a 1q 2， 即a 1(q 2－2q ＋1)＝2，①又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝14，② ①÷②得：q 2－2q ＋11＋q ＋q 2＝214，解得q ＝2或q ＝12.另解：由2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，得3a 2＋2＝a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝14，解得a 2＝4， 则S 3＝4q ＋4＋4q ＝14，解得q ＝2或q ＝12.故选A 、D.10.若数列{a n }满足对任意n ≥2(n ∈N )都有(a n －a n －1－2)·(a n －2a n －1)＝0，则下面选项中正确的是( ABD )A.{a n }可以是等差数列B.{a n }可以是等比数列C.{a n }可以既是等差数列又是等比数列D.{a n }可以既不是等差数列又不是等比数列 【试题解答】 因为(a n －a n －1－2)(a n －2a n －1)＝0， 所以a n －a n －1－2＝0或a n －2a n －1＝0， 即a n －a n －1＝2或a n ＝2a n －1，当a n ≠0，a n －1≠0时，{a n }是等差数列或等比数列；当a n ＝0或a n －1＝0时，{a n }可以不是等差数列，也可以不是等比数列，比如数列，2,0,0,0，…….故选A 、B 、D.11.已知等比数列{x n }的公比为q ，若恒有|x n |>|x n ＋1|，且x 11＋q ＝12，则首项x 1的取值范围可以是( AC ) A.(12，1) B.(0,1) C.(0，12)D.(1,2)【试题解答】 由|x n |>|x n ＋1|，得1>|x n ＋1x n|＝|q |，故－1＜q ＜0或0＜q ＜1.0＜1＋q ＜1或1＜1＋q ＜2，又x 11＋q ＝12，所以x 1＝1＋q 2，所以x 1∈(0，12)∪(12，1).故选A 、C.12.(2020·山东十校联考)设数列{a n }和{b n }分别是等差数列与等比数列，且a 1＝b 1＝4，a 4＝b 4＝1，则以下结论不正确的是( BCD )A.a 2>b 2B.a 3＜b 3C.a 5>b 5D.a 6>b 6【试题解答】 设等差数列的公差、等比数列的公比分别为d ，q ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧4＋3d ＝1，4q 3＝1，解得⎩⎨⎧d ＝－1，q ＝314，则a 2－b 2＝3－316>3－327＝0；故A 正确.同理，其余都错，故选B 、C 、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2020·云南师大附中月考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＋1，则S 4＝__85__. 【试题解答】 a n ＋1＝3S n ＋1①，a n ＝3S n －1＋1(n ≥2)②，①－②得：a n ＋1＝4a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝3a 1＋1＝4，∴{a n }是首项为1，公比为4的等比数列，∴S 4＝1－441－4＝85.或S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋4＋16＋64＝85.14.(2020·福建莆田月考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 3＋a 11＝6，则S 9＝__18__. 【试题解答】 设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1＋a 3＋a 11＝6，∴3a 1＋12d ＝6，即a 1＋4d ＝2，∴a 5＝2，∴S 9＝(a 1＋a 9)×92＝2a 5×92＝18.15.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝2S n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝__2n－1__.【试题解答】 因为S n ＋1＝2S n ＋n ＋1， 当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ， 两式相减得，a n ＋1＝2a n ＋1， 所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝2. 又S 2＝2S 1＋1＋1，a 1＝S 1＝1，所以a 2＝3，所以a 2＋1a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1.故填2n －1.16.已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意的n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜t ，则实数t 的取值范围为 [23，＋∞) .【试题解答】 因为数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，所以当n ≥2时，a 1a 2a 3…a n －1＝2(n －1)2，则a n ＝22n －1，a 1＝2也适合，所以1a n ＝122n －1，数列{1a n }是首项为12，公比为14的等比数列，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝12(1－14n )1－14＝23(1－14n )＜23，则实数t 的取值范围为[23，＋∞).故填[23，＋∞). 四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n .【试题解答】 (1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2. ∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2，∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列. (2)由(1)可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n －4. 当n ＝1时，a 1＝－2＜0，∴S 1＝|a 1|＝2； 当n ≥2时，a n ≥0.∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋…＋(2n －4)＝2＋22＋…＋2n －4(n －1)＝2(1－2n )1－2－4(n －1)＝2n＋1－4n ＋2.又当n ＝1时，上式也满足. ∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.18.(本小题满分12分)(2020·山东省济南第一中学期中考试)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n3n ，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .【试题解答】 (1)∵S 3＝12，即a 1＋a 2＋a 3＝12， ∴3a 2＝12，所以a 2＝4， 又∵2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，∴a 22＝2a 1·(a 3＋1)，即a 22＝2(a 2－d )·(a 2＋d ＋1)， 解得，d ＝3或d ＝－4(舍去)，∴a 1＝a 2－d ＝1，故a n ＝3n －2. (2)b n ＝a n 3n ＝3n －23n ＝(3n －2)·13n ，∴T n ＝1×13＋4×132＋7×133＋…＋(3n －2)×13n ，①①×13得13T n ＝1×132＋4×133＋7×134＋…＋(3n －5)×13n ＋(3n －2)×13n ＋1.②①－②得23T n ＝13＋3×132＋3×133＋3×134＋…＋3×13n －(3n －2)×13n ＋1＝13＋3×132(1－13n －1)1－13－(3n －2)×13n ＋1＝56－12×13n －1－(3n －2)×13n ＋1，∴T n ＝54－14×13n －2－3n －22×13n ＝54－6n ＋54×13n .19.(本小题满分12分)(2020·河南洛阳孟津二中月考)在数列{a n }中，设f (n )＝a n ，且f (n )满足f (n ＋1)－2f (n )＝2n (n ∈N *)，a 1＝1.(1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }为等差数列；(2)求数列{3a n －1}的前n 项和S n .【试题解答】 (1)由已知得a n ＋1＝2a n ＋2n ，得 b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1＝b n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝1，又a 1＝1，∴b 1＝1， ∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知，b n ＝a n2n －1＝n ，∴a n ＝n ·2n－1,3a n －1＝3n ·2n －1－1.∴S n ＝3×1×20＋3×2×21＋3×3×22＋…＋3(n －1)×2n －2＋3n ×2n －1－n ， 两边同时乘以2，得2S n ＝3×1×21＋3×2×22＋…＋3(n －1)×2n －1＋3n ×2n －2n ，两式相减，得－S n ＝3×(1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n )＋n ＝3×(2n －1－n ×2n )＋n ＝3(1－n )2n －3＋n ， ∴S n ＝3(n －1)2n ＋3－n .20.(本小题满分12分)(2020·河北衡水模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1，求数列b n 的通项公式.【试题解答】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ， 易知a 1＝2满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1(n ≥1)，①a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1，②②－①得，b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)，故b n ＝2(3n ＋1)(n ≥2).又a 1＝b 13＋1＝2，即b 1＝8，也满足上式，所以b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *).21.(本小题满分12分)(2020·广东广州一测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S nn }是首项为1，公差为2的等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)(12)n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【试题解答】 (1)因为数列{S nn }是首项为1，公差为2的等差数列，所以S nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以S n ＝2n 2－n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－2)－[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. 当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3. (2)当n ＝1时，a 1b 1＝12，所以b 1＝2a 1＝2.当n ≥2时，由a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)(12)n ，①得a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝5－(4n ＋1)(12)n －1.② ①－②，得a n b n ＝(4n －3)(12)n .因为a n ＝4n －3，所以b n ＝4n －3(4n －3)(12)n＝2n (当n ＝1时也符合)，所以b n ＋1b n ＝2n ＋12n ＝2，所以数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以T n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.22.(本小题满分12分)已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足4S n ＝a 2n ＋2a n＋1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n3n ，求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)在(2)的条件下，若b n1－T n≤λ(n ＋4)－1对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.【试题解答】 (1)由已知得4S n ＝(a n ＋1)2，① 当n ＝1时，4S 1＝(a 1＋1)2＝4a 1，解得a 1＝1. 当n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2.② ①－②得，4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2， 则(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 因为a n >0，所以a n －a n －1＝2，即数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列. 所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝2n －13n ，则T n ＝1·13＋3·(13)2＋5·(13)3＋…＋(2n －3)·(13)n －1＋(2n －1)·(13)n .13T n ＝1·(13)2＋3·(13)3＋5·(13)4＋…＋(2n －3)·(13)n ＋(2n －1)·(13)n ＋1， 两式相减得23T n ＝13＋2[(13)2＋(13)3＋…＋(13)n ]－(2n －1)(13)n ＋1＝23－2n ＋23·(13)n ，所以T n ＝1－n ＋13n .(3)由b n1－T n≤λ(n ＋4)－1得， 则λ≥3n (n ＋1)(n ＋4)＝3n ＋4n ＋5，因为n ＋4n≥2n ·4n＝4， 所以当且仅当n ＝2时，3n ＋4n ＋5有最大值13，即λ≥13.。

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课时跟踪检测(五十一)[高考基础题型得分练]1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A.错误!B。

错误!C．2 D．4答案：A解析：由题意知,a2＝错误!,b2＝1，且a＝2b，∴错误!＝4,∴m＝错误!。

2．已知实数4，m,9构成一个等比数列,则圆锥曲线错误!＋y2＝1的离心率为（）A.错误!B。

错误!C。

错误!或错误!D。

错误!或错误!答案：C解析：因为实数4，m，9构成一个等比数列，所以可得m2＝36，解得m＝6或m＝－6.当圆锥曲线为椭圆时，即x2m＋y2＝1的方程为错误!＋y2＝1,所以a2＝6，b2＝1，则c2＝a2－b2＝5，所以离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.当曲线是双曲线时，可求得离心率为错误!。

3．［2017·河北邯郸一模]椭圆错误!＋错误!＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF2的中点在y轴上，那么｜PF2|是|PF1|的( ）A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍答案：A解析:设线段PF2的中点为D，则|OD|＝错误!|PF1｜且OD∥PF1,OD⊥x轴,∴PF1⊥x轴．∴|PF1｜＝错误!＝错误!＝错误!。

又∵|PF1｜＋|PF2|＝4错误!,∴|PF2|＝4错误!－错误!＝错误!。

第七章立体几何第34讲空间几何体的表面积和体积A应知应会一、选择题1. 如图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的()(第1题)A B C D2. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()A. 122πB. 12πC. 82πD. 10π3. 如图,一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°,腰和上底长均为2的等腰梯形,则这个平面图形的面积是()(第3题)A. 2＋2B. 1＋2C. 4＋22D. 8＋424. 已知正方体外接球的体积是323 π,那么正方体的棱长等于( )A. 22B.233 C. 423 D. 4335. (2019·江西重点中学联考)《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典著,其中记载有求“囷盖”的术：置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出圆锥的底面周长l 与高h ,计算其体积V 的近似公式V ＝136 l 2h ,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3,那么,近似公式V ≈25942 l 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取( )A.227 B. 258 C. 15750 D. 355113二、 解答题6. 已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积和表面积．(单位：cm 2 )7. 如图,四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形,其中BD 是圆的直径,∠ABD ＝60°,∠BDC ＝45°,△ADP ∽△BAD .(1) 求线段PD 的长；(2) 若PC ＝11 R ,求三棱锥P ABC 的体积．(第7题)B巩固提升一、填空题1. 如图,一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球,水面高度恰好升高r,则Rr＝________．(第1题)2. (2019·通州、海门、启东期末)已知正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长均为2,点D在棱AA1上,则三棱锥D BB1C1的体积为________．(第2题)3. 如图,已知正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2 cm,高为5 cm,一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.(第3题)4. 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确的命题是________．(填序号)二、解答题5. 已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的全面积为S,求其内接正四棱柱的体积．6. 如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.(1) 求证：平面AEC⊥平面BED；(2) 若∠ABC＝120°,AE⊥EC,三棱锥E ACD的体积为63,求该三棱锥的侧面积．(第6题)第35讲空间点、线、面之间的位置关系A应知应会一、选择题1. 下列图形中不一定是平面图形的是()A. 三角形B. 菱形C. 梯形D. 四边相等的四边形2. 如图,ABCD A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()(第2题)A. A,M,O三点共线B. A,M,O,A1不共面C. A,M,C,O不共面D. B,B1,O,M共面3. 如图,平面α∩平面β＝l,A∈α,B∈α,AB∩l＝D,C∈β,C l,则平面ABC与平面β的交线是()(第3题)A. 直线ACB. 直线ABC. 直线CDD. 直线BC4. (多选)下列四个命题中正确的是()A. 存在与两条异面直线都平行的平面B. 过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行C. 过平面外一点可作无数条直线与该平面平行D. 过直线外一点可作无数个平面与该直线平行5. (2019·湖北八校联考)已知直三棱柱ABC A1B1C1中,∠ABC＝120°,AB＝2,BC＝CC1＝1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32 B.155 C.105 D.33二、解答题6. 如图,在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1) 画出l的位置；(2) 设l∩A1B1＝P,求PB1的长．(第6题)7. 如图,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点．(1) 求证：直线EF与BD是异面直线；(2) 若AC⊥BD,AC＝BD,求EF与BD所成的角．(第7题)B巩固提升一、填空题1. 下列命题正确的是________．(填序号)①三个点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面；④两条平行直线确定一个平面．2. 已知l1,l2,l3是空间三条不同的直线,给出下列四个命题：①l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3；②l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3；③l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面；④l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面．其中正确的命题是________．(填序号)3. (2019·深圳调研)若P是两条异面直线l,m外的任意一点,给出四个命题：①过点P有且仅有一条直线与l,m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l,m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l,m都异面．其中正确的是________．(填序号)4. 设E,F,G,H依次是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,且AC＋BD＝a,AC·BD＝b,则EG2＋FH2＝________．二、解答题5. 已知a,b,c,d是不共点且两两相交的四条直线,求证：a,b,c,d共面．6. 已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2,A1在底面ABC内的射影O为底面三角形ABC的中心,如图所示．(1) 连接BC1,求异面直线AA1与BC1所成角的大小；(2) 连接A1C,A1B,求三棱锥C1-BCA1的体积．(第6题)第36讲直线、平面平行的判定与性质A应知应会一、选择题1. 已知平面α,β和直线m,若α⊥β,m⊥α,则()A. m⊥βB. m∥βC. m⊂βD. m∥β或m⊂β2. (2019·湘中名校联考)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不重合的平面,下列命题中正确的是()A. 若m∥α,n∥α,则m∥nB. 若m∥α,m∥β,则α∥βC. 若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βD. 若m⊥α,n⊥α,则m∥n3. (2019·泰安调研)已知α,β,γ是三个不重合的平面,l是直线．给出下列命题：①若l上两点到α的距离相等,则l∥α；②若l⊥α,l∥β,则α⊥β；③若α∥β,lβ,且l∥α,则l∥β.其中正确的命题是()A. ①②B. ①②③C. ①③D. ②③4. 设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不重合的平面,给出下列三个命题：①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α；②若α∩β＝l,β∩γ＝m,γ∩α＝n,则l∥m∥n；③若α∩β＝m,β∩γ＝l,γ∩α＝n,且n∥β,则l∥m.其中正确命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 35. (2019·深圳调研)在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4.又H,G分别为BC,CD的中点,则()A. BD∥平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形B. EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形C. HG∥平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形D. EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形二、解答题6. 如图,四棱锥P ABCD的底面为平行四边形,PD⊥平面ABCD,M为PC的中点．求证：AP∥平面MBD.(第6题)7. (2019·南昌模拟)如图,在四棱锥P ABCD中,∠ABC＝∠ACD＝90°,∠BAC＝∠CAD ＝60°,P A⊥平面ABCD,P A＝2,AB＝1.设M,N分别为PD,AD的中点．(1) 求证：平面CMN∥平面P AB；(2) 求三棱锥P-ABM的体积．(第7题)B巩固提升一、填空题1. 若一直线上有相异的三个点A,B,C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是________．2. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB＝2,点E为AD的中点,点F在CD上．若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________．(第2题)3. 在空间中,用a,b,c表示三条不同的直线,γ表示平面,给出下列四个命题：①若a∥b,b∥c,则a∥c；②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c；③若a∥γ,b∥γ,则a∥b；④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b.其中真命题为________．(填序号)4. (2019·九江调研)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．(第4题)二、解答题5. 如图,四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点．(1) 求证：BE∥平面DMF；(2) 求证：平面BDE∥平面MNG.(第5题)6. 如图,四棱锥P ABCD中,AB∥CD,AB＝2CD,E为PB的中点．(1) 求证：CE∥平面P AD；(2) 在线段AB上是否存在一点F,使得平面P AD∥平面CEF？若存在,证明你的结论,若不存在,请说明理由．(第6题)第37讲直线、平面垂直的判定与性质A应知应会一、选择题1. 已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A. m∥lB. m∥nC. n⊥lD. m⊥n2. (2019·焦作期中)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不重合的平面,给出下列命题,正确的是()A. 若mβ,α⊥β,则m⊥αB. 若m∥α,m⊥β,则α⊥βC. 若α⊥β,α⊥γ,β⊥γD. 若α∩γ＝m,β∩γ＝n,m∥n,则α∥β3. (2019·合肥调研)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是()(第3题)A. MN与CC1垂直B. MN与AC垂直C. MN与BD平行D. MN与A1B1平行4. 如图,在斜三棱柱ABC A1B1C1中,∠BAC＝90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的射影H必在()(第4题)A. 直线AB上B. 直线BC上C. 直线AC上D. △ABC内部5. 如图,在四面体D ABC中,若AB＝CB,AD＝CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是()(第5题)A. 平面ABC⊥平面ABDB. 平面ABD⊥平面BDCC. 平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED. 平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE二、解答题6. (2019·潍坊期末)如图,四棱锥E ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ADC＝60°,CD ＝2AD,EC⊥底面ABCD.(1) 求证：平面ADE⊥平面ACE；(2) 若AD＝CE＝2,求三棱锥C ADE的高．(第6题)7. (2019·蚌埠二模)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,P A⊥平面ABCD,E,F 分别是线段AD,PB的中点,P A＝AB＝1.(1) 求证：EF∥平面PDC；(2) 求点F到平面PDC的距离．(第7题)B巩固提升一、填空题1. (2019·青岛调研)已知P为△ABC所在平面外一点,且P A,PB,PC两两垂直,有下列结论：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的有________．(填序号)2. 如图,在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,则点P到直线CC1的距离的最小值为________．(第2题)3. (2019·武汉调研)在矩形ABCD中,AB＜BC,现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论：①存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直．其中正确的结论是________．(填序号)4. (2019·滨州期末)已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2,点P是棱AA1的中点,则过点P且与直线BC1垂直的平面截正方体所得的截面的面积为________．二、解答题5. 如图,在正三棱柱ABC A1B1C1中,D为AB的中点．(1) 求证：BC1∥平面A1CD.(2) 请从图中所标点中,选择直线或平面将命题补充完整,并证明．求证：__________⊥平面ABB1A1.(第5题)6. (2019·漳州调研)在如图所示的五面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,且∠DAB＝60°,EA＝ED＝AB＝2EF＝2,EF∥AB,M为BC的中点．(1) 求证：FM∥平面BDE；(2) 若平面ADE⊥平面ABCD,求点F到平面BDE的距离．(第6题)第38讲直线、平面平行与垂直的综合问题A应知应会一、选择题1. 若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是()A. b⊂αB. b∥αC. b⊂α或b∥αD. b与α相交或b⊂α或b∥α2. 设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 给出下列关于互不相同的直线l,m,n和平面α,β,γ的三个命题：①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β；②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m；③若α∩β＝l,β∩γ＝m,γ∩α＝n,l∥γ,则m∥n.其中真命题的个数为()A. 3B. 2C. 1D. 04. (2019·深圳调研)已知a,b,c是空间中三条不同的直线,α,β,γ为空间三个不重合的平面,则下列说法中正确的是()A. 若α⊥β,aα,a⊥β,则a∥αB. 若α⊥β,且α∩β＝a,b⊥a,则b⊥αC. 若α∩β＝a,β∩γ＝b,α∩γ＝c,则a∥b∥cD. 若α∩β＝a,b∥a,则b∥α5. (多选)已知平面α,β,γ和直线l,m,且l⊥m,α⊥γ,α∩γ＝m,β∩γ＝l,下列结论中一定正确的是()A. β⊥γB. l⊥αC. m⊥βD. α⊥β二、解答题6. 如图,在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中,DB＝BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点．(1) 求证：B1D1∥平面A1BD；(2) 求证：MD⊥AC；(3) 试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.(第6题)7. 如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1＝AC＝2,BC＝1,E,F分别是A1C1,BC的中点．(1) 求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2) 求证：C1F∥平面ABE；(3) 求三棱锥E ABC的体积．(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. (多选)如图,正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各条棱的长度均相等,D 为AA 1的中点,M ,N 分别是线段BB 1和线段CC 1上的动点(含端点),且满足BM ＝C 1N ,当点M ,N 运动时,下列结论正确的是( )(第1题)A. 在△DMN 内总存在与平面ABC 平行的线段B. 平面DMN ⊥平面BCC 1B 1C. 三棱锥A 1 DMN 的体积为定值D. △DMN 可能为直角三角形2. (多选)如图,在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,P 为线段A 1B 上的动点,则下列结论中正确的是( )(第2题)A. 平面D 1A 1P ⊥平面A 1APB. ∠APD 1的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π2C. 三棱锥B 1 D 1PC 的体积为定值D. DC 1⊥D 1P3. (多选)如图,一张A4纸的长、宽分别为22 a ,2a ,A ,B ,C ,D 分别是其四条边的中点,现将其沿图中虚线折起,使得P 1,P 2,P 3,P 4四点重合为一点P ,从而得到一个多面体,下列关于该多面体的命题,正确的是( )(第3题)A. 该多面体是三棱锥B. 平面BAD⊥平面BCDC. 平面BAC⊥平面ACDD. 该多面体外接球的表面积为5πa2二、解答题4. 如图,在四棱锥P ABC中,P A⊥底面ABCD,AD∥BC,AB＝AD＝AC＝3,P A＝BC＝4,M 为线段AD上一点,AM＝2MD,N为PC的中点．(1) 求证：MN∥平面P AB；(2) 求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．(第4题)5. 如图(1),在Rt△ABC中,∠C＝90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图(2).(1) 求证：DE∥平面A1CB；(2) 求证：A1F⊥BE；(3) 线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由．图(1)图(2)(第5题)第39讲 用向量法解决空间中的位置关系A 应知应会一、 选择题1. 已知a ＝(2,1,－3),b ＝(－1,2,3),c ＝(7,6,λ),若a,b,c 三向量共面,则λ等于( ) A. 9 B. －9 C. －3 D. 32. 若平面α,β的法向量分别为n 1＝(2,－3,5),n 2＝(－3,1,－4),则( ) A. α∥β B. α⊥βC. α,β相交但不垂直D. 以上均不正确3. 在空间四边形ABCD 中,AB → ·CD → ＋AC → ·DB → ＋AD → ·BC →等于( )A. －1B. 0C. 1D. 不确定4. 已知平面α内有一点M (1,－1,2),平面α的一个法向量为n ＝(6,－3,6),则下列点P 中,在平面α内的是( )A. P (2,3,3)B. P (－2,0,1)C. P (－4,4,0)D. P (3,－3,4)5. 如图,F 是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点,E 是BB 1上一点,若D 1F ⊥DE ,则有( )(第5题)A. B 1E ＝EBB. B 1E ＝2EBC. B 1E ＝12EB D. E 与B 重合二、 解答题6. 已知a ＝(1,－3,2),b ＝(－2,1,1),A (－3,－1,4),B (－2,－2,2). (1) 求|2a ＋b|；(2) 在直线AB 上,是否存在一点E ,使得OE →⊥b(O 为原点)?7. (2019·江西调研)如图,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,侧面AA 1C 1C 和侧面AA 1B 1B 都是正方形且互相垂直,M 为AA 1的中点,N 为BC 1的中点．(1) 求证：MN ∥平面A 1B 1C 1；(2) 求证：平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C .(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. 已知法向量为n ＝(1,－1,1)的平面σ过点M (1,2,－1),则平面σ上任意一点P 的坐标(x ,y ,z )满足的方程为________．2. 已知a ＝(x ,4,1),b ＝(－2,y ,－1),c ＝(3,－2,z ),若a ∥b,b ⊥c,则c ＝________．3. 已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点,且VA ＝VB ＝VC ＝VD ,VP →＝13 VC → ,VM → ＝23VB → ,VN →＝23VD → ,则VA 与平面PMN 的位置关系是________．4. (2019·丽水调研)如图,圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形,O 为底面中心,M 为SO 的中点,动点P 在圆锥底面内(包括圆周).若AM ⊥MP ,则点P 形成的轨迹长度为________．(第4题)二、 解答题5. 如图,正方形ABCD 所在平面与四边形ABEF 所在平面互相垂直,△ABE 是等腰直角三角形,AB ＝AE ,F A ＝FE ,∠AEF ＝45°.(1) 求证：EF ⊥平面BCE ；(2) 设线段CD ,AE 的中点分别为P ,M ,求证：PM ∥平面BCE .(第5题)6. (2019·芜湖调研)如图,在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝AD ＝1,E 为CD 中点． (1) 求证：B 1E ⊥AD 1；(2) 在棱AA 1上是否存在一点P ,使得DP ∥平面B 1AE ？若存在,求AP 的长；若不存在,说明理由．(第6题)第40讲 空间角的计算课时1 线线角与线面角A 应知应会一、 选择题1. 已知A (－1,0,1),B (0,0,1),C (2,2,2),D (0,0,3),则sin 〈AB → ,CD →〉等于( ) A. －23 B. 23 C. 53 D. －532. (2019·江门调研)如图,在三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC ,AB ＝BC ＝AA 1,∠ABC＝90°,点E ,F 分别是棱AB ,BB 1的中点,则直线EF 和BC 1所成的角是( )(第2题)A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 已知空间三点A (0,2,3),B (－2,1,6),C (1,－1,5).若|a|＝3 ,且a 分别与AB → ,AC →垂直,则向量a 为( )A. (1,1,1)B. (－1,－1,－1)C. (1,1,1)或(－1,－1,－1)D. (1,－1,1)或(－1,1,－1) 4. (2019·日照调研)如图,已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AD ＝AA 1＝1,AB ＝3,E 为线段AB 上一点,且AE ＝13AB ,则DC 1与平面D 1EC 所成角的正弦值为( )A.33535 B. 277 C. 33 D. 24(第4题)5.如图,正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直,且AC ＝BC ＝2,∠ACB ＝90°,F ,G 分别是线段AE ,BC 的中点．则AD 与GF 所成角的余弦值为( )(第5题)A.36 B. －36 C.33 D. －33二、解答题6. 如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是矩形,P A⊥底面ABCD,E是PC的中点．已知AB＝2,AD＝22,P A＝2.求异面直线BC与AE所成的角的大小．(第6题)7. (2019·宿迁调研)如图,在四棱锥P ABCD中,P A⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD＝DC＝AP＝2,AB＝1,点E为棱PC的中点．(1) 求证：BE⊥DC；(2) 求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. 已知O 点为空间直角坐标系的原点,向量OA → ＝(1,2,3),OB → ＝(2,1,2),OP →＝(1,1,2),且点Q 在直线OP 上运动,当QA → ·QB → 取得最小值时,OQ →的坐标是________．2. 如图,已知正四面体ABCD 中,AE ＝14 AB ,CF ＝14 CD ,则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．(第2题)3. 在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ,则直线CD 与平面BDC 1所成角的正弦值为________．4. 如图,菱形ABCD 中,∠ABC ＝60°,AC 与BD 相交于点O ,AE ⊥平面ABCD ,CF ∥AE ,AB ＝2,CF ＝3.若直线OF 与平面BED 所成的角为45°,则AE ＝________．(第4题)二、解答题5. (2019·宁波调研)如图,在三棱锥P ABC中,P A⊥底面ABC,∠BAC＝90°.点D,E,N分别为棱P A,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,P A＝AC＝4,AB＝2.(1) 求证：MN∥平面BDE；(2) 已知点H在棱P A上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721,求线段AH的长．(第5题)6. (2019·洛阳二模)如图,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD＝CD＝1,AA1＝AB＝2,E为棱AA1的中点．(1) 求证：B1C1⊥CE；(2) 设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26,求线段AM的长．(第6题)课时2二面角A应知应会一、解答题1. (2019·保定期末)如图,正三棱柱(底面为正三角形,侧棱垂直于底面)ABC A1B1C1中,侧棱长AA1＝2,底面边长AB＝1,N是CC1的中点．(1) 求证：平面ANB1⊥平面AA1B1B；(2) 设M是线段AB1的中点,求直线C1M与平面ABC1所成的角的正弦值．(第1题)2. (2019·江苏天一中学)如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,AB＝4,AC＝BC＝3,D为AB的中点．(1) 求点C到平面A1ABB1的距离；(2) 若AB1⊥A1C,求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值．(第2题)3. (2019·临汾一模)在四棱锥P ABCD中,平面ABCD⊥平面PCD,底面ABCD为梯形,AB∥CD,AD⊥PC且AB＝1,AD＝DC＝DP＝2,∠PDC＝120°.(1) 求证：AD⊥平面PDC；(2) 求二面角B-PD-C的余弦值．(第3题)4. (2019·如皋中学)如图,以正四棱锥V ABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz ,其中Ox ∥BC ,Oy ∥AB ,E 为VC 的中点．正四棱锥V-ABCD 的底面边长为2a ,高为h ,且有cos 〈BE → ,DE →〉＝－1549.(1) 求ha的值；(2) 求二面角B-VC-D 的余弦值．(第4题)B 巩固提升一、 填空题1. 如图,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AA 1＝BC ＝AB ＝2,AB ⊥BC ,则二面角B 1-A 1C-C 1的大小是________．(第1题)2. 如图,在四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PD ⊥平面ABCD ,且PD ＝AD ＝1,AB ＝2,点E 是AB 上一点,当AE ＝________时,二面角P-EC- D 的平面角为π4.(第2题)二、 解答题3. 如图,四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是平行四边形,P A ⊥底面ABCD ,P A ＝3,AD ＝2,AB ＝4,∠ABC ＝60°.(1) 求证：BC ⊥平面P AC ；(2) 若E 是侧棱PB 上一点,记PEPB ＝λ(0<λ<1),且________,求λ的值．①二面角E-AD-B 为30°； ②二面角E-AD-P 为60°；③二面角E-AD-B 与E-AD-P 相等．请从上面三个条件中任选一个,填入横线处,并完成．(第3题)4. (2019·合肥调研)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝CB ＝1,∠BCD ＝2π3 ,四边形BFED 为矩形,平面BFED ⊥平面ABCD ,BF ＝1.(1) 求证：AD ⊥平面BFED ；(2) 点P 在线段EF 上运动,设平面P AB 与平面ADE 所成锐二面角为θ,试求θ的最小值．(第4题)微难点8翻折问题一、填空题1. 如图表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段AB,CD,EF和GH在原正方体中相互异面的有______对．(第1题)2.如图所示是一个正方体的表面展开图,A,B,C均为棱的中点,D是顶点,则在正方体中,异面直线AB,CD所成角的余弦值为________．(第2题)3. 已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如图所示,则该凸多面体的体积V＝________．(第3题)4. 如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD 为正方形,E ,F 分为P A ,PD 的中点,在此几何体中,给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 是异面直线；②直线BE 与直线AF 是异面直线；③直线EF ∥平面PBC ；④平面BCE ⊥平面P AD .其中正确的结论是________．(填序号)(第4题)二、 解答题5. 如图(1),四边形ABCD 为等腰梯形,AD ∥BC ,且AD ＝13 BC ＝a ,∠BAD ＝135°,AE ⊥BC于点E ,F 为BE 的中点．将△ABE 沿着AE 折起至△AB ′E 的位置,得到如图(2)所示的四棱锥B ′ ADCE .图(1)图(2) (第5题)(1) 求证：AF ∥平面B ′CD ；(2) 若平面AB ′E ⊥平面AECD ,求二面角B ′- CD-E 的余弦值．6. 如图,在平面四边形ABCD 中,△ABC 等边三角形,AC ⊥DC ,以AC 为折痕将△ABC 折起,使得平面ABC ⊥平面ACD .(1) 设E 为BC 的中点,求证：AE ⊥平面BCD .(2) 若BD 与平面ABC 所成角的正切值为32,求二面角A-BD-C 的余弦值．(第6题)7. 如图,已知等边三角形ABC 中,E ,F 分别为AB ,AC 边的中点,M 为EF 的中点,N 为BC 边上一点,且CN ＝14BC ,将△AEF 沿EF 折到△A ′EF 的位置,使平面A ′EF ⊥平面EFCB .(1) 求证：平面A ′MN ⊥平面A ′BF ； (2) 求二面角E-A ′F-B 的余弦值．(第7题)微难点9 球的相关问题一、 选择题1. 若球的表面积扩大为原来的2倍,则球的体积比原来增加了( )A. 2倍B. 4倍C. 2 2D. (2 2 －1)倍2. (2019·长沙调研)圆柱形容器的内壁底半径为5 cm,两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中,若取出这两个小球,则容器内水面将下降( )A. 53 cmB. 103 cmC. 403 cmD. 56cm3. 在四面体S ABC 中,SA ⊥平面ABC ,∠BAC ＝120°,SA ＝AC ＝2,AB ＝1,则该四面体的外接球的表面积为( )A. 11πB. 7πC.103 π D. 4034. 已知某球半径为R ,则该球内接长方体的表面积的最大值是( ) A. 8R 2 B. 6R 2 C. 4R 2 D. 2R 25. 两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的内部,且互相外切,若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切,球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切,则球O 1和O 2的表面积之和的最小值为( )A. (6－33 )πB. (8－43 )πC. (6＋33 )πD. (8＋43 )π二、 填空题6. 如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为6,4,3,那么它的外接球的表面积是________．7. 将长、宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起,得到四面体A BCD ,则四面体A BCD 的外接球的体积为________．8. 底面半径为1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12 cm 的实心铁球,四个球两两相切,其中底层两球与容器底面相切．现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水________cm 3.9. 已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ,SA ＝AC ,SB ＝BC ,三棱锥S ABC 的体积为9,则球O 的表面积为________．10. 已知一个四面体的一条边长为6 ,其余边长均为2,则此四面体的外接球的半径为________．三、解答题11. 有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度．(第11题)。

第9节 圆锥曲线的综合问题最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法;2.了解圆锥曲线的简单应用;3.理解数形结合的思想.知 识 梳 理1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ,B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ,y )＝0,消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程,即⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F （x ，y ）＝0消去y ,得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时,设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ,则:Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交; Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切; Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 相离.(2)当a ＝0,b ≠0时,即得到一个一次方程,则直线l 与圆锥曲线C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ,B 两点,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋1k 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.[微点提醒]1.直线与椭圆位置关系的有关结论 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切;(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切;(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.2.直线与抛物线位置关系的有关结论(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点,两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线;(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点,一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线;(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点,一条与对称轴平行或重合的直线.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是:直线l与椭圆C只有一个公共点.()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是:直线l与双曲线C只有一个公共点.()(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是:直线l与抛物线C只有一个公共点.()(4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则弦长|AB|＝1＋t2 |y1－y2|.()解析(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时,也只有一个公共点,是相交,但并不相切.(3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时,也只有一个公共点,是相交,但不相切.答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.(选修2－1P71例6改编)过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点,这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析结合图形分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x＝0,过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0).答案 C3.(选修2－1P69例4改编)已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点,且与抛物线相交于A ,B 两点,则弦|AB |＝________. 解析 法一 直线l 的方程为y ＝3x ＋1, 由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1＋y 2＝14, ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.法二 如图所示,过F 作AD 的垂线,垂足为H ,则|AF |＝|AD |＝p ＋|AF |sin 60°,即|AF |＝p 1－sin 60°＝21－sin 60°.同理,|BF |＝21＋sin 60°,故|AB |＝|AF |＋|BF |＝16.答案 164.(2019·浙江八校联考)抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)交于A ,B 两点,且这两点的横坐标分别为x 1,x 2,直线与x 轴交点的横坐标是x 3,则( ) A.x 3＝x 1＋x 2B.x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3C.x 1＋x 2＋x 3＝0D.x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝0解析 由⎩⎨⎧y ＝ax 2，y ＝kx ＋b ，消去y 得ax 2－kx －b ＝0,可知x 1＋x 2＝k a ,x 1x 2＝－b a ,令kx ＋b＝0得x 3＝－bk ,所以x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3.答案 B5.(2019·唐山市五校联考)直线l 与双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)交于A ,B 两点,M 是线段AB 的中点,若l 与OM (O 是原点)的斜率的乘积等于1,则此双曲线的离心率为( ) A.3B.2C. 3D. 2解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),把A ,B 两点坐标分别代入双曲线的方程,得⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2＝0,又⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，所以x 0a 2＝y 0（y 1－y 2）b 2（x 1－x 2）,所以b 2a 2＝y 0（y 1－y 2）x 0（x 1－x 2）＝k OM k l ＝1,所以e 2＝1＋b 2a 2＝2,又e >1,所以e ＝ 2. 答案 D6.(2019·岳阳二模)已知抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线为l ,l 与双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线分别交于A ,B 两点,若|AB |＝4,则a ＝________.解析 抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线l :y ＝－14a ,双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线分别为y ＝12x ,y ＝－12x ,可得x A ＝－12a ,x B ＝12a ,可得|AB |＝12a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝4,解得a ＝14.答案 14第1课时 最值、范围、证明问题考点一 最值问题多维探究角度1 利用几何性质求最值【例1－1】 设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点,M ,N 分别是两圆:(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点,则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A.9,12 B.8,11 C.8,12D.10,12解析 如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆定义知|P A |＋|PB |＝2a ＝10,连接P A ,PB 分别与圆相交于两点,此时|PM |＋|PN |最小,最小值为|P A |＋|PB |－2R ＝8;连接P A ,PB 并延长,分别与圆相交于两点,此时|PM |＋|PN |最大,最大值为|P A |＋|PB |＋2R ＝12,即最小值和最大值分别为8,12.答案 C角度2 利用基本不等式或二次函数求最值【例1－2】 (2018·郑州二模)已知动圆E 经过点F (1,0),且和直线l :x ＝－1相切. (1)求该动圆圆心E 的轨迹G 的方程;(2)已知点A (3,0),若斜率为1的直线l ′与线段OA 相交(不经过坐标原点O 和点A ),且与曲线G 交于B ,C 两点,求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意可知点E 到点F 的距离等于点E 到直线l 的距离,∴动点E 的轨迹是以F (1,0)为焦点,直线x ＝－1为准线的抛物线,故轨迹G 的方程是y 2＝4x . (2)设直线l ′的方程为y ＝x ＋m ,其中－3<m <0,C (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 联立得方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y 2＝4x消去y ,得x 2＋(2m －4)x ＋m 2＝0, Δ＝(2m －4)2－4m 2＝16(1－m )>0恒成立. 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4－2m ,x 1·x 2＝m 2,∴|CB |＝42（1－m ）, 点A 到直线l ′的距离d ＝3＋m2, ∴S △ABC ＝12×42（1－m ）×3＋m 2＝21－m ×(3＋m ),令1－m ＝t ,t ∈(1,2),则m ＝1－t 2, ∴S △ABC ＝2t (4－t 2)＝8t －2t 3, 令f (t )＝8t －2t 3,∴f ′(t )＝8－6t 2,令f ′(t )＝0,得t ＝23(负值舍去). 易知y ＝f (t )在⎝⎛⎭⎪⎫1，23上单调递增,在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2上单调递减. ∴y ＝f (t )在t ＝23,即m ＝－13时取得最大值为3239.∴△ABC 面积的最大值为3239.规律方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是几何方法,即通过利用 圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是代数方法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 【训练1】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),F 1,F 2为它的左、右焦点,P 为椭圆上一点,已知∠F 1PF 2＝60°,S △F 1PF 2＝3,且椭圆的离心率为12. (1)求椭圆方程;(2)已知T (－4,0),过T 的直线与椭圆交于M ,N 两点,求△MNF 1面积的最大值. 解 (1)由已知,得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,① |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝4c 2, 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝4c 2,②12|PF 1||PF 2|sin 60°＝3,即|PF 1||PF 2|＝4,③联立①②③解得a 2－c 2＝3.又c a ＝12,∴c 2＝1,a 2＝4,b 2＝a 2－c 2＝3,椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)根据题意可知直线MN 的斜率存在,且不为0. 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线MN 的方程为x ＝my －4, 代入椭圆方程,整理得(3m 2＋4)y 2－24my ＋36＝0, 则Δ＝(24m )2－4×36×(3m 2＋4)>0,所以m 2>4. y 1＋y 2＝24m 3m 2＋4,y 1y 2＝363m 2＋4,则△MNF 1的面积S △MNF 1＝|S △NTF 1－S △MTF 1| ＝12|TF 1|·|y 1－y 2|＝32（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝32⎝⎛⎭⎪⎫24m3m2＋42－1443m2＋4＝18m2－44＋3m2＝6×1m2－4＋163m2－4＝6×1m2－4＋163m2－4≤62163＝334.当且仅当m2－4＝163m2－4,即m2＝283时(此时适合Δ>0的条件)取得等号.故△MNF1面积的最大值为334.考点二范围问题【例2】(2018·浙江卷)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2＝4x 上存在不同的两点A,B满足P A,PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(2)若P是半椭圆x2＋y24＝1(x<0)上的动点,求△P AB面积的取值范围.(1)证明设P(x0,y0),A⎝⎛⎭⎪⎫14y21，y1,B⎝⎛⎭⎪⎫14y22，y2.因为P A,PB的中点在抛物线上,所以y1,y2为方程⎝⎛⎭⎪⎫y＋y022＝4·14y2＋x02,即y2－2y0y＋8x0－y20＝0的两个不同的实根.所以y1＋y2＝2y0,因此,PM垂直于y轴.(2)解由(1)可知⎩⎨⎧y1＋y2＝2y0，y1y2＝8x0－y20，所以|PM|＝18(y21＋y22)－x0＝34y2－3x0,|y 1－y 2|＝22（y 20－4x 0）.因此,△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 20＋y 24＝1(x 0<0),所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5],因此,△P AB 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，15104. 规律方法 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围; (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.【训练2】 (2019·南昌调研)已知椭圆C :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32,短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设直线l :y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ,N 两点,O 为坐标原点,若k OM ·k ON ＝54,求原点O 到直线l 的距离的取值范围. 解 (1)由题知e ＝c a ＝32,2b ＝2, 又a 2＝b 2＋c 2,∴b ＝1,a ＝2, ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0, 依题意,Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0,化简得m 2<4k 2＋1,①x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1,x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1,y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. 若k OM ·k ON ＝54,则y 1y 2x 1x 2＝54,即4y 1y 2＝5x 1x 2,∴(4k 2－5)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝0,∴(4k 2－5)·4（m 2－1）4k 2＋1＋4km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0, 即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0, 化简得m 2＋k 2＝54,② 由①②得0≤m 2<65,120<k 2≤54. ∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2, ∴d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94（1＋k 2）,又120<k 2≤54,∴0≤d 2<87,∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147. 考点三 证明问题【例3】 (2018·全国Ⅲ卷)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :x 24＋y 23＝1交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M (1,m )(m >0). (1)证明:k <－12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP →＋F A →＋FB →＝0.证明:|F A →|,|FP →|,|FB →|成等差数列,并求该数列的公差. (1)证明 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 214＋y 213＝1,x 224＋y 223＝1.两式相减,并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1,y 1＋y 22＝m ,于是k ＝－34m .① 由于点M (1,m )(m >0)在椭圆x 24＋y 23＝1内, ∴14＋m 23<1,解得0<m <32,故k <－12. (2)解 由题意得F (1,0).设P (x 3,y 3), 则(x 3－1,y 3)＋(x 1－1,y 1)＋(x 2－1,y 2)＝(0,0). 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1,y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上,所以m ＝34, 从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32,|FP →|＝32.于是|F A →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|F A →|＋|FB→|＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|, 即|F A →|,|FP →|,|FB →|成等差数列. 设该数列的公差为d ,则2|d |＝||FB →|－|F A →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.② 将m ＝34代入①得k ＝－1.所以l 的方程为y ＝－x ＋74,代入C 的方程,并整理得7x 2－14x ＋14＝0. 故x 1＋x 2＝2,x 1x 2＝128,代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128. 规律方法 圆锥曲线中的证明问题常见的有:(1)位置关系方面的:如证明直线与曲线相切,直线间的平行、垂直,直线过定点等. (2)数量关系方面的:如存在定值、恒成立、相等等.在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下,一般采用直接法,通过相关的代数运算证明,但有时也会用反证法证明.【训练3】 (2019·唐山模拟)如图,圆C 与x 轴相切于点T (2,0),与y 轴正半轴相交于两点M ,N (点M 在点N 的下方),且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程;(2)过点M 任作一条直线与椭圆x 28＋y 24＝1相交于两点A ,B ,连接AN ,BN ,求证:∠ANM＝∠BNM .(1)解 设圆C 的半径为r (r >0),依题意,圆心C 的坐标为(2,r ). 因为|MN |＝3,所以r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝254.所以r ＝52,圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254.(2)证明 把x ＝0代入方程(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254,解得y ＝1或y ＝4,即点M (0,1),N (0,4).①当AB ⊥x 轴时,可知∠ANM ＝∠BNM ＝0.②当AB 与x 轴不垂直时,可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1. 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 24＝1消去y 得,(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0.设直线AB 交椭圆于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,则x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2,x 1x 2＝－61＋2k 2. 所以k AN ＋k BN ＝y 1－4x 1＋y 2－4x 2＝kx 1－3x 1＋kx 2－3x 2＝2kx 1x 2－3（x 1＋x 2）x 1x2＝1x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋2k 2＋12k 1＋2k 2＝0. 所以∠ANM ＝∠BNM . 综合①②知∠ANM ＝∠BNM .基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的交点个数是( ) A.1B.2C.1或2D.0解析 由直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线y ＝ba x 平行,故直线与双曲线的交点个数是1. 答案 A2.已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0),斜率为1的直线与C 交于两点A ,B ,若线段AB 的中点为(4,1),则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B.x ±2y ＝0 C.2x ±y ＝0D.x ±2y ＝0解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 21a 2－y 21b 2＝1①,x 22a 2－y 22b 2＝1②,由①－②得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＝（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2,结合题意化简得4b 2a 2＝1,即b a ＝12,所以双曲线C 的渐近线方程为x ±2y ＝0. 答案 B3.抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为( ) A. 2B.728C.2 2D.526解析 设抛物线上一点的坐标为(x ,y ),则d ＝|x －y －2|2＝|－x 2＋x －2|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－742,∴x ＝12时, d min ＝728.答案 B4.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP →·FP→的最大值为( )A.2B.3C.6D.8解析 由题意得F (－1,0),设点P (x 0,y 0), 则y 20＝3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2).OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14·(x 0＋2)2＋2. 因为－2≤x 0≤2,所以当x 0＝2时,OP →·FP →取得最大值,最大值为6.答案 C5.(2019·石家庄一模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,过焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点,若△AOB 的面积为6,则|AB |＝( ) A.6B.8C.12D.16解析 由题意知抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0),易知当直线AB 垂直于x 轴时,△AOB 的面积为2,不满足题意,所以可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0),与y 2＝4x 联立,消去x 得ky 2－4y －4k ＝0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),所以y 1＋y 2＝4k ,y 1y 2＝－4, 所以|y 1－y 2|＝16k 2＋16,所以△AOB 的面积为12×1×16k 2＋16＝6,解得k ＝±2,所以|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝6. 答案 A 二、填空题6.抛物线C :y 2＝2px (p >0)的准线与x 轴的交点为M ,过点M 作C 的两条切线,切点分别为P ,Q ,则∠PMQ ＝________.解析 由题意得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0,设过点M 的切线方程为x ＝my －p 2,代入y 2＝2px 得y 2－2pmy ＋p 2＝0,∴Δ＝4p 2m 2－4p 2＝0,∴m ＝±1,则切线斜率k ＝±1,∴MQ ⊥MP ,因此∠PMQ ＝π2. 答案 π27.(2019·太原一模)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为________.解析 由过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,可得ba <2. ∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2<1＋4＝5,∵e >1,∴1<e <5,∴此双曲线离心率的取值范围为(1,5). 答案 (1,5)8.(2018·深圳二模)设过抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线y 2＝8px (p >0)交于A ,B 两点,直线OP 与抛物线y 2＝8px (p >0)的另一个交点为Q ,则S △ABQ S △ABO＝________.解析 设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0), 联立得⎩⎨⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ,联立得⎩⎨⎧y ＝kx ，y 2＝8px ，解得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p k 2，8p k ,∴|OP |＝4p 2k 4＋4p 2k 2＝2p 1＋k 2k 2,|PQ |＝36p 2k 4＋36p 2k 2＝6p 1＋k 2k 2,∴S △ABQ S △ABO ＝|PQ ||OP |＝3.答案 3 三、解答题9.设椭圆C 1:x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,M 是椭圆上任意一点,且△MF 1F 2的周长是4＋2 3. (1)求椭圆C 1的方程;(2)设椭圆C 1的左、右顶点分别为A ,B ,过椭圆C 1上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ,若点C 满足AB→⊥BC →,AD →∥OC →,连接AC 交DE 于点P ,求证:|PD |＝|PE |.(1)解 由e ＝32,知c a ＝32,所以c ＝32a , 因为△MF 1F 2的周长是4＋23, 所以2a ＋2c ＝4＋23,所以a ＝2,c ＝3, 所以b 2＝a 2－c 2＝1,所以椭圆C 1的方程为:x 24＋y 2＝1. (2)证明 由(1)得A (－2,0),B (2,0), 设D (x 0,y 0),所以E (x 0,0), 因为AB →⊥BC →,所以可设C (2,y 1), 所以AD →＝(x 0＋2,y 0),OC →＝(2,y 1), 由AD →∥OC →可得:(x 0＋2)y 1＝2y 0,即y 1＝2y 0x 0＋2. 所以直线AC 的方程为:y －02y 0x 0＋2－0＝x ＋22－（－2）.整理得:y ＝y 02（x 0＋2）(x ＋2).又点P 在DE 上,将x ＝x 0代入直线AC 的方程可得:y ＝y 02,即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 02,所以P 为DE 的中点,|PD |＝|PE |.10.如图,已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ,B 关于直线y ＝mx ＋12对称.(1)求实数m 的取值范围;(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 解 由题意知m ≠0,可设直线AB 的方程为 y ＝－1m x ＋b ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 中点为M , 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y , 得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点,所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0,①则x 1＋x 2＝4mb m 2＋2,y 1＋y 2＝2m 2bm 2＋2,(1)将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2,②由①②得m ＜－63或m ＞63.故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－63∪⎝ ⎛⎭⎪⎫63，＋∞.(2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，62,则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12,且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t ), 所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22.当且仅当t 2＝12时,等号成立. 故△AOB 面积的最大值为22.能力提升题组 (建议用时:20分钟)11.(2019·开封一模)已知抛物线M :y 2＝4x ,过抛物线M 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ,B 两点(点A 在第一象限),且交抛物线的准线于点E .若AE →＝2BE →,则直线l 的斜率为( ) A.3B.2 2C. 3D.1解析 分别过A ,B 两点作AD ,BC 垂直于准线,垂足分别为D ,C , 由AE→＝2BE →,得B 为AE 的中点,∴|AB |＝|BE |, 则|AD |＝2|BC |,由抛物线的定义可知|AF |＝|AD |,|BF |＝|BC |, ∴|AB |＝3|BC |,∴|BE |＝3|BC |,则|CE |＝22|BC |, ∴tan ∠CBE ＝|CE ||CB |＝22,∴直线l 的斜率k ＝tan ∠AFx ＝tan ∠CBE ＝2 2. 答案 B12.已知抛物线y 2＝4x ,过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A ,B 两点(A 在第一象限内),AF →＝3 FB →,过AB 的中点且垂直于l 的直线与x 轴交于点G ,则△ABG 的面积为( ) A.839B.1639C.3239D.6439解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为AF→＝3FB →,所以y 1＝－3y 2,设直线l 的方程为x ＝my ＋1, 由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1消去x 得y 2－4my －4＝0,∴y 1y 2＝－4,∴⎩⎨⎧y 1＝23，y 2＝－233，∴y 1＋y 2＝4m ＝433, ∴m ＝33,∴x 1＋x 2＝103,AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233,过AB 中点且垂直于直线l 的直线方程为y －233＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －53,令y ＝0,可得x ＝113,所以S △ABG ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫113－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋233＝3239. 答案 C13.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)已知点M (－1,1)和抛物线C :y 2＝4x ,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若∠AMB ＝90°,则k ＝________.解析 法一 由题意知抛物线的焦点为(1,0),则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0),由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ,即k 2x 2－(2k 2＋4)x＋k 2＝0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2,x 1x 2＝1.由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1,即y 2－4k y －4＝0,则y 1＋y 2＝4k ,y 1y 2＝－4,则∠AMB ＝90°,得MA →·MB→＝(x 1＋1,y 1－1)·(x 2＋1,y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0,将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2,x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k ,y 1y 2＝－4代入,得k ＝2.法二 设抛物线的焦点为F ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2),则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2,取AB 的中点M ′(x 0,y 0),分别过点A ,B 作准线x ＝－1的垂线,垂足分别为A ′,B ′,又∠AMB ＝90°,点M 在准线x ＝－1上,所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|).又M ′为AB 的中点,所以MM ′平行于x 轴,且y 0＝1,所以y 1＋y 2＝2,所以k ＝2. 答案 214.(2018·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ,上顶点为B .已知椭圆的离心率为53,|AB |＝13. (1)求椭圆的方程;(2)设直线l :y ＝kx (k <0)与椭圆交于P ,Q 两点,l 与直线AB 交于点M ,且点P ,M 均在第四象限.若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍,求k 的值. 解 (1)设椭圆的焦距为2c ,由已知有c 2a 2＝59, 又由a 2＝b 2＋c 2,可得2a ＝3b .由|AB |＝a 2＋b 2＝13,从而a ＝3,b ＝2. 所以,椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1,y 1),点M 的坐标为(x 2,y 2), 由题意,x 2>x 1>0,点Q 的坐标为(－x 1,－y 1).由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍,可得|PM |＝2|PQ |, 从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)],即x 2＝5x 1. 易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6,由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ,可得x 2＝63k ＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ,可得x 1＝69k 2＋4. 由x 2＝5x 1,可得9k 2＋4＝5(3k ＋2), 两边平方,整理得18k 2＋25k ＋8＝0, 解得k ＝－89,或k ＝－12.当k ＝－89时,x 2＝－9<0,不合题意,舍去;当k ＝－12时,x 2＝12,x 1＝125,符合题意.所以,k 的值为－12.。

⾼三数学南⽅凤凰台⾼2021届⾼2018级⾼三⼀轮数学提⾼版完整版学案第五章第五章平⾯向量与复数第26讲平⾯向量的概念与线性运算A 应知应会⼀、选择题1. (多选)如图,若D ,E ,F 分别是△ABC 的边AB ,BC ,CA 的中点,则下列等式中正确的是( )(第1题)A. FD →＋DA →＋DE →＝0 B. AD →＋BE →＋CF →＝0C. FD →＋DE →＋AD →＝AB →D. AD →＋EC →＋FD →＝BD →2. 在平⾏四边形ABCD 中,对⾓线AC 与BD 交于点O ,若AB →＋AD →＝λAO →,则λ等于( )A. 1B. 2C. 4D. 63. 在等腰梯形ABCD 中,AB →＝－2CD → ,M 为BC 的中点,则AM →等于( ) A. 12 AB →＋12 AD → B. 34 AB →＋12 AD → C. 34 AB →＋14 AD → D. 12 AB →＋34AD → 4. 在△ABC 中,设三边AB ,BC ,CA 的中点分别为E ,F ,D ,则EC →＋F A →等于( ) A. BD → B. 12 BD → C. AC →D. 12AC →5. (2019·河北三市联考)已知e 1,e 2是不共线向量,a ＝m e 1＋2e 2,b ＝n e 1－e 2,且mn ≠0,若a ∥b,则mn等于( )A. －12B. 12 C. －2 D. 2⼆、解答题6. 设e 1,e 2是两个不共线向量,已知AB →＝2e 1－8e 2,CB →＝e 1＋3e 2,CD →＝2e 1－e 2. (1) 求证：A ,B ,D 三点共线；(2) 若BF →＝3e 1－k e 2,且B ,D ,F 三点共线,求k 的值．7. 在△ABC 中,D ,E 分别为BC ,AC 边上的中点,G 为BE 上⼀点,且GB ＝2GE ,设AB →＝a,AC →＝b,试⽤a,b 表⽰AD → ,AG → .B 组能⼒提升⼀、填空题1. 在△ABC 中,若AD →＝2DB → ,CD →＝13 CA →＋λCB →,则λ＝________．2. (2019·⽆锡期末)在四边形 ABCD 中,已知AB →＝a ＋2b,BC →＝－4a －b,CD →＝－5a －3b,其中a,b 是不共线的向量,则四边形ABCD 的形状是________．3. (2019·潍坊⼀模改编)若M 是△ABC 内⼀点,且满⾜BA →＋BC →＝4BM → ,则△ABM 与△ACM 的⾯积之⽐为________.4. (2019·泰州期末)已知点P 为平⾏四边形ABCD 所在平⾯上⼀点,且满⾜P A →＋PB →＋2PD →＝0,λP A →＋µPB →＋PC →＝0,则λµ＝________．⼆、解答题5. 在直⾓梯形ABCD 中,∠A ＝90°,∠B ＝30°,AB ＝23 ,BC ＝2,点E 在线段CD 上,若AE →＝AD →＋µAB →,求µ的取值范围．6. (1) 如图(1),在同⼀个平⾯内,向量OA → ,OB → ,OC →的模分别为1,1,2 ,OA →与OC →的夹⾓为α,且tan α＝7,OB →与OC →的夹⾓为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ,n ∈R),求m ＋n 的值．(2) 如图(2),在△ABC 中,AH ⊥BC 于点H ,M ∈AH ,AM ＝13 AH ,若AM →＝xAB →＋yAC →,求x＋y 的值．图(1)图(2)(第6题)第27讲平⾯向量的基本定理与坐标表⽰A 应知应会⼀、选择题1. 已知a ＝(3,－1),b ＝(－1,2),则－3a －2b 等于( )A. (7,1)B. (－7,－1)C. (－7,1)D. (7,－1)2. 已知A ,B ,C 三点共线,且A (3,－6),B (－5,2),若点C 的横坐标为6,则点C 的纵坐标为( )A. －13B. 9C. －9D. 133. 已知a ＝(1,2),b ＝(x ,1),若a ＋2b 与2a －b 平⾏,则x 等于( )A. 12B. 1C. －1D. 2 4. 在△ABC 中,P ,Q 分别是AB ,BC 的三等分点,且AP →＝13 AB → ,BQ →＝13 BC → .若AB →＝a,AC →＝b,则PQ →等于( )A. 13 a ＋13 bB. －13 a ＋13 bC. 13 a －13 bD. －13 a －13b5. (多选)设e 1,e 2为平⾯α上不共线的两个向量,则下列命题中正确的是( ) A. λe 1＋u e 2(λ,u ∈R)可以表⽰平⾯α内的所有向量B. 对于平⾯α内任⼀向量a,使a ＝λe 1＋u e 2的实数对(λ,u )有⽆穷多个C. 若向量λ1e 1＋u 1e 2与λ2e 1＋u 2e 2共线,则有且只有⼀个实数λ,使得λ1e 1＋u 1e 2＝λ(λ2e 1＋u 2e 2)D. 若实数λ,u 使得λe 1＋u e 2＝0,则λ＝u ＝0⼆、解答题6. 设OA →＝(1,－2),OB →＝(a ,－1),OC →＝(－b ,0),a ＞0,b ＞0,O 为坐标原点,若A ,B ,C 三点共线,求1a ＋2b的最⼩值．7. 如图,以向量OA →＝a,OB →＝b 为邻边作OADB ,BM →＝13 BC → ,CN →＝13 CD → ,⽤a,b 表⽰OM → ,ON → ,MN →.(第7题)B 组能⼒提升⼀、填空题1. 已知梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且DC ＝2AB ,若三个顶点分别为A (1,2),B (2,1),C (4,2),则点D 的坐标为________．2. 已知|OA → |＝1,|OB → |＝3 ,OA → ·OB →＝0,点C 在∠AOB 内,且OC →与OA →的夹⾓为30°,设OC →＝mOA →＋nOB →(m ,n ∈R),则m n的值为________．3. (2019·南昌⼗校⼆模)已知向量a ＝(1,－2),b ＝(x ,3y －5),且a ∥b,若x ,y 均为正数,则xy 的最⼤值是________．4. 在平⾯直⾓坐标系xOy 中,已知A (1,0),B (0,1),C 为坐标平⾯内第⼀象限内⼀点且∠AOC ＝π4,且|OC |＝2,若OC →＝λOA →＋µOB →,则λ＋µ＝________．⼆、解答题5. (2019·长沙模拟改编)在平⾯直⾓坐标系xOy 中,已知点A (3 ,0),B (1,2),动点P 满⾜OP →＝λOA →＋µOB →,其中λ,µ∈[0,1],λ＋µ∈[1,2],求所有点P 构成的图形的⾯积．6. 已知正三⾓形ABC 的边长为23 ,平⾯ABC 内的动点P ,M 满⾜|AP → |＝1,PM →＝MC →,求|BM →|2的最⼤值．第28讲平⾯向量数量积的应⽤A 应知应会⼀、选择题 1. (2019·深圳⼆调)已知向量a ＝(1,－1),b ＝(－2,3).若a ⊥(a ＋m b),则m 等于( ) A. 25 B. －25 C. 0 D. 15 2. (2019·芜湖期末)已知向量a,b 满⾜a ＝(cos α,sin α),α∈R,a·b ＝－1,则a·(2a －b)等于( )A. 3B. 2C. 1D. 03. (2019·太原期末)设向量a,b,c 都是单位向量,且2a ＝b －3 c,则a,b 的夹⾓为( ) A. π6 B. π4 C. π3 D. 2π34. (2019·长沙检测)在△ABC 中,AB ＝10,BC ＝6,CA ＝8,且O 是△ABC 的外⼼,则CA → ·AO →等于( )A. 16B. 32C. －16D. －325. (多选)给出下列四个命题,其中正确的选项有( )A. ⾮零向量a,b 满⾜|a|＝|b|＝|a －b|,则a 与a ＋b 的夹⾓是30°B. 若(AB →＋AC → )·(AB →－AC → )＝0,则△ABC 为等腰三⾓形C. 若单位向量a,b 的夹⾓为120°,则当|2a ＋x b|(x ∈R)取最⼩值时x ＝1D. 若OA →＝(3,－4),OB →＝(6,－3),OC →＝(5－m ,－3－m ),∠ABC 为锐⾓,则实数m 的取值范围是m ＞－34⼆、解答题6. 已知两向量e 1,e 2满⾜|e 1|＝2,|e 2|＝1,e 1,e 2所成的⾓为60°,若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2所成的⾓为钝⾓,求实数t 的取值范围．7. 已知|a|＝4,|b|＝3,(2a －3b)·(2a ＋b)＝61. (1) 求a 与b 的夹⾓θ； (2) 求|a ＋b|；(3) 若AB →＝a,BC →＝b,求△ABC 的⾯积．B 组能⼒提升⼀、填空题1. (2019·合肥检测)若⾮零向量a,b 满⾜a ⊥(a ＋2b),则|a ＋b||b|＝________．2. (2019·福州抽测改编)已知点O 是△ABC 内部⼀点,且满⾜OA →＋OB →＋OC →＝0,⼜AB → ·AC →＝23 ,∠BAC ＝60°,则△OBC 的⾯积为________．3. (2019·郑州模拟)已知平⾯向量a,b,c 满⾜|a|＝|b|＝|c|＝1,若a·b ＝12 ,则(a ＋b)·(2b －c)的最⼩值为________．4. (2019·江苏淮阴中学)在△ABC 中,∠A ＝60°,AB ＝3,AC ＝2.若BD →＝2DC → ,AE →＝λAC →－AB → (λ∈R),且AD → ·AE →＝－4,则λ的值为________．⼆、解答题5. 已知在△ABC 中,⾓A ,B ,C 的对边分别为a,b,c,向量m ＝(sin A ,sin B ),n ＝(cos B ,cos A ),m·n ＝sin 2C .(1) 求⾓C 的⼤⼩；(2) 若sin A ,sin C ,sin B 成等差数列,且CA → ·(AB →－AC →)＝18,求边c 的长．6. (2019·⼭东德州模拟)在平⾯直⾓坐标系xOy 中,已知四边形OABC 是等腰梯形,A (6,0),C (1,3 ),点M 满⾜OM →＝12OA → ,点P 在线段BC 上运动(包括端点),如图所⽰．(1) 求∠OCM 的余弦值；(2) 是否存在实数λ,使(OA →－λOP → )⊥CM →若存在,求出满⾜条件的实数λ的取值范围；若不存在,请说明理由．(第6题)第29讲复数 A 应知应会⼀、选择题1. 若复数z 满⾜(2－i)z ＝|1＋2i|,则z 的虚部为( ) A.55 B. 55i C. 1 D. i 2. 已知复数z ＝|(3 －i)i|＋i 5(i 为虚数单位),则复数z 的共轭复数为( ) A. 2－i B. 2＋i C. 4－i D. 4＋i3. 设i 是虚数单位,如果复数a ＋i2－i 的实部与虚部相等,那么实数a 的值为( )A. 13B. －13C. 3D. －3 4. 设复数z ＝lg (m 2－1)＋1－m i,则z 在复平⾯内对应的点( ) A. ⼀定不在第⼀、⼆象限 B. ⼀定不在第⼆、三象限 C. ⼀定不在第三、四象限D. ⼀定不在第⼆、三、四象限5. (多选)(2019·⼭东枣庄模拟改编)设z 1,z 2是复数,则下列命题中的真命题是( ) A. 若|z 1－z 2|＝0,则z 1＝z 2 B. 若z 1＝z 2,则z 1＝z 2 C. 若|z 1|＝|z 2|,则z 1·z 1＝z 2·z 2D. 若|z 1|＝|z 2|,则z 21 ＝z 22⼆、解答题6. 已知z 是复数,z ＋2i,z2－i 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z ＋a i)2在复平⾯内对应的点在第⼀象限,求实数a 的取值范围．7. 设z 1是虚数,z 2＝z 1＋1z 1 是实数,且－1≤z 2≤1.(1) 求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； (2) 若ω＝1－z 11＋z 1,求证：ω为纯虚数．B 组能⼒提升⼀、填空题1. 设z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表⽰z 1的共轭复数),已知z 2的实部是－1,则z 2的虚部为________．2. 已知i 是虚数单位,若? ??2＋i 1＋m i 2＜0(m ∈R),则m 的值为________．3. 定义：若z 2＝a ＋b i(a ,b ∈R,i 为虚数单位),则称复数z 是复数a ＋b i 的平⽅根．根据定义,复数－3＋4i 的平⽅根是________．4. 已知复数z ＝a 2－b 2＋(|a |＋a )i(a ,b ∈R),使复数z 为纯虚数的充要条件是________,写出⼀个使复数z 为纯虚数的充分不必要条件是________．⼆、解答题5. 已知O 为坐标原点,向量OZ 1,OZ 2分别对应的复数z 1,z 2,且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i,z 2＝21－a＋(2a －5)i(a ∈R),若z 1＋z 2是实数． (1) 求实数a 的值；(2) 求以OZ 1,OZ 2为邻边的平⾏四边形的⾯积．6. 已知复数z 和ω满⾜：zω＋2i z －2i ω＋1＝0. (1) 若ω－z ＝2i,求z 和ω；(2) 求证：若|z |＝3 ,则|ω－4i|的值是⼀个常数,并求出这个常数．。

第5讲椭圆[基础题组练]1．已知椭圆x2 ＋y2 ＝1 的焦点在x 轴上，焦距为4，则等于( )m－210－m mA．8 B．7C．6 D．5分析：选A.因为椭圆x2 ＋y2 ＝1 的焦点在x轴上．－210－mm10－m>0，所以m－2>0，解得6<m<10.m－2>10－m，因为焦距为4，所以c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.32．已知椭圆的中心在座标原点，长轴长是8，离心率是4，则此椭圆的标准方程是( ) x2y2A.＋＝1167x2y2x2y2B.16＋7＝1或7＋16＝1x2y2C.16＋25＝1x2 y2 x2 y2＝1D.＋＝1或＋1616 25 253 2 2 2分析：选B.因为a＝4，e＝4，所以c＝3，所以b＝a －c ＝16－9＝7.因为焦点的地址不确立，x2 y2 x2 y2所以椭圆的标准方程是16＋7＝1或7＋16＝1.3．椭圆的焦点为1，2，过1的最短弦的长为10，△ 2 的周长为36，则此椭圆F F F PQ PFQ的离心率为( )3 1A.3B.32 6C. D.3 3分析：选C. 为过1垂直于x 轴的弦，则Q －c，b2 ，△2的周PQ F a PFQ长为36.所以4a ＝36，a ＝9.b 2a 2－c 2由已知a ＝5，即a ＝5.c 22又a ＝9，解得c ＝6，解得a ＝3，即e ＝3.4．(2020·杭州地区七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为极点的三角形的面积的最大 值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2分析：选D.设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以1 cb ＝1，bc ＝1，而 2＝2b 2c 2当且×2＋≥22＝22(2abc仅当b ＝c ＝1 时取等号)，应选D.5．(2020·富阳二中高三调研)在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC 极点A (－4，0)和C (4，0)，极点B 在椭圆x 2 y 2sin A ＋sin C)＋ ＝1 上，则sin B＝(25 93 2 A.4B.345C.D.54x 2y 2分析：选D.椭圆25＋9＝1中，a ＝5，b ＝3，c ＝4，故A (－4，0)和C (4，0)是椭圆的两个焦点，所以|AB |＋|BC |＝2a ＝10，|AC |＝8，由正弦定理得sin ＋sin C ||＋| |105sin B ＝ |AC |＝8＝4.x 2 y 222b＋26．若椭圆a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆x ＋y ＝ 2 c(c 为椭圆的半焦距)有四个不一样的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是()A.5 3B.2， 5，55 5 5235C. 5 ，5D.0，5分析：选A.因为椭圆x22b22＋y2＝1(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝2 ＋c (c 为椭圆的半焦距)的中a b心都在原点，且它们有四个交点，b2＋c ＞b所以圆的半径，b＋c ＜a2b22由2＋c ＞b ，得2c ＞b ，再平方，4c ＞b ， 2222在椭圆中，a ＝b ＋c ＜5c ，c 5所以e ＝a ＞5；b由＋c ＜a ，得b ＋2c ＜2a ，2再平方，b 2＋4c 2＋4bc ＜4a 2， 所以3c 2＋4bc ＜3a 2，所以4bc ＜3b 2，所以4c ＜3b ，所以16c 2＜9b 2，所以16c 2＜9a 2－9c 2，所以9 2 ＞25 c 2c 2 9 ，所以 e 3 ，所以 2＜ ＜.a a 2555 3综上所述，5 ＜e ＜5.7．(2020·义乌模拟)若椭圆x2 y232＋ 2＝1( >>0)的离心率为 ，短轴长为 4，则椭圆的abab2标准方程为________．c3分析：由题意可知e ＝a ＝2，2b ＝4，得b ＝2，c 3a ＝4， 所以a ＝2， 解得a 2＝b 2＋c 2＝4＋c 2，c ＝23，x 2y 2 所以椭圆的标准方程为16＋4＝1.x 2y 2答案：16＋4＝122x 2 y 28．(2020·义乌模拟 )已知圆(x －2)＋y ＝1经过椭圆a 2＋b 2＝1(a >b >0)的一个极点和一个焦点，则此椭圆的离心率e ＝________．分析：圆22x 2 y 2(x －2)＋y ＝1经过椭圆2＋2＝1(a >b >0)的一个极点和一个焦点，故椭圆的ab一个焦点为F (1，0)，一个极点为A (3，0)，所以c ＝1，a ＝3，所以椭圆的离心率为13.1答案：3x 2 y 2＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x9．(2020·瑞安四校联考)椭圆a 2＋ 5 ＝与椭圆订交于点 ，.若△ 的周长的最大值是 12，则该椭圆的离 m AB FAB心率是________．分析：设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′| ＝ |BF |＋|BF ′|＝2a .又△FAB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋ |BF ′|＝4a ，当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立．22xy此时周长最大，即4a ＝12，则a ＝3.故椭圆方程为＋＝1，95c 2所以c ＝2，所以e ＝a ＝3.2答案：3x 2 y 2210．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：a 2＋b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点1， 2 在椭圆上，且点(－1，0)到直线2的距离为45，此中点(－1，－4)，则椭圆的标准方程为 ________．PF 5P44F c c kPF c ＋1PF y c ＋1x c2224 4c即 4－ － 4c ＝0，点(－1，0)到直线2的距离d＝－c ＋1－c ＋1 ＝42 c ＋1x y c ＋ 1PF424＋1＋1c ＋1c ＋14 54 2＝4，＝ 5，即c ＋1 解得c ＝1或c ＝－3(舍去)，所以a 2－b 2＝1.①1212又点1，2在椭圆E 上，所以a 2＋b 2＝1，②a 2＝2，x 22由①②可得 b 2＝1，所以椭圆的标准方程为2＋y＝1.x 22答案：2＋y ＝111．已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．求该椭圆的标准方程．x 2 y 2y 2 x 2解：因为焦点的地址不确立，所以设所求的椭圆方程为a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)或a 2＋b 2＝1(a＞b ＞0)，由已知条件得2a ＝5＋3， （2c ）2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12.x 2 y 2 y 2 x 2故椭圆方程为 16＋12＝1或16＋12＝1.12．已知椭圆 x 2 y 2 >>0)，1，2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上极点，2＋ 2＝1(a bab FF直线AF 2交椭圆于另一点B .(1) 若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；→ →→→3(2) 若AF 2＝2F 2B ，AF 1·AB ＝，求椭圆的方程．2解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以c 2a ＝2c ，e ＝a ＝2.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，此中c ＝2 2→ →a －b ，设B (x ，y )．由AF 2＝ 2F 2B ，3c ， ＝－b，即b.将22得( c ，－)＝2(x － ， )，解得 x ＝3c ，－ B 点坐标代入x2＋ y2＝1，b c y2 y2B 22ab9 c 2b 223c ，－3b4 49c 2 122→1→32 2得a ＋b ＝1，即4a ＋4＝1，解得a ＝3c ①. 又由AF ·AB ＝( －c ，－b )·2 2 ＝2，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1②.由①②解得 c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆的方程x 2y 2 为3＋2＝1.[综合题组练]221．(2020·浙江百校缔盟联考)已知椭圆x2＋y2＝1(> >0)的右极点和上极点分别为、a babA，左焦点为 .以原点为圆心的圆与直线 相切，且该圆与 y 轴的正半轴交于点 ，过点B F O BFCC 的直线交椭圆于 M 、N 两点．若四边形FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为()31A.B.522 3 C.3D.4bc bc分析：选A.因为圆O 与直线BF 相切，所以圆O 的半径为a ，即|OC |＝a ，因为四边形 FAMN 是平行四边形，所以点 M 的坐标为 a ＋cbc ，代入椭圆方程得 （a ＋c ）2 c 2b 22 ，a 42＋22＝1，aab23所以5e ＋2e －3＝0，又0<e <1，所以e ＝5.应选A.x 2 y 22．设A 、B 是椭圆C ：3＋m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则 的取值范围是( )mA ．(0，1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3]∪[9，＋∞)C ．(0，1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3]∪[4，＋∞)∠AMB分析：选A.依题意得，3≥tan2m或0< <3mm∠AMB3°≥tan2≥tan603，所以mm >30<m <3m≥ t an60°或3，解得0<≤1或≥9.应选A.mmm >33．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点， A (1，1)是必定点．则||＋||的最大值为________，最小值为________．PAPF分析：以下列图，设椭圆右焦点为F ，则|PF |＋|PF |＝6.11所以|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF |＋6.1利用－|1|≤| |－|1|≤| 1|( 当，， 1共线时等号成立)．AF PA PF AF PAF所以|PA |＋|PF |≤6＋2，|PA |＋|PF |≥6－2. 故||＋| |的最大值为6＋ 2，最小值为6－2.PAPF答案：6＋2 6－24.(2020·富阳市场口中学高三期中)如图，已知F 1，F 2是椭圆x 2y 2C ab＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点 P 在椭圆C 上，线段PF22222 2相切于点2C 的与圆x ＋y ＝b Q ，且点Q 为线段PF 的中点，则椭圆 离心率为________．分析：连接OQ ，F 1P 以下列图，由切线的性质，得OQ ⊥PF 2，又由点Q 为线段PF 2的中点，O 为F 1F 2的中点， 所以OQ ∥F 1P ，所以PF 2⊥PF 1， 故|PF 2|＝2a －2b ，且|PF 1|＝2b ，|F 1F 2|＝2c ， 则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，得4c 2＝4b 2＋4(a 2－2ab ＋b 2)，25 解得b ＝3a .则c ＝3a ，5 故椭圆的离心率为3.5答案：3x 2 y 225．已知椭圆C ：a 2 ＋b 2＝1(a >b >0)经过点( 2，1)，且离心率为2.(1) 求椭圆C 的方程；1(2)设M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON (O 为坐标原点)的斜率之积为－2.若动点P 满 →→→足OP ＝OM ＋2ON ，求点P 的轨迹方程．2 b 21解：(1)因为e ＝2，所以a 2＝2，21又椭圆C 经过点(2，1)，所以a 2＋b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝2，x 2y 2所以椭圆C 的方程为4＋2＝1.→→→(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP ＝OM ＋2ON 得x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2，x 2y 2因为点M ，N 在椭圆4＋2＝1上，22 2 2所以x＋2y ＝4，x ＋2y＝4，1 1222＋2y 222222222＋故x ＝(x 1＋4x 1x 2＋4x 2)＋2(y 1＋4y 1y 2＋4y 2)＝(x 1＋2y 1)＋4(x 2＋2y 2)＋4(x 1x 2 212)＝20＋4(1x 2＋212)．yyx yy设k OM ，k ON 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知，y 1y 21k OM ·k ON ＝＝－，所以x 1x 2＋2y 1y 2＝0，x 1x 22所以x 2＋2y 2＝20，x 2y 2故点P 的轨迹方程是20＋10＝1.6．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所构成→→的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP ＝2PB .(1) 求椭圆的方程； (2) 求m 的取值范围．22解：(1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，可设椭圆方程为y2＋ x2＝1(>>0)，a bab由题意知a＝2，＝ ，又2 ＝ 2 ＋ c 2，则 b ＝ 2，b c a by 2 ＋ x 2所以椭圆的方程为＝1.4 2(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线 l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，y 2＋2x 2＝4， 得＝＋.y kxm222则(2＋k )x＋2mkx ＋m －4＝0，222＝(2mk ) －4(2＋k )(m －4)>0.2mkx 1＋x 2＝－2＋k 2由根与系数的关系知2，x 1x 2＝ m －42＋k 2→ →又由AP ＝ 2PB ，即(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，x 1＋x 2＝－x 2，得－x 1＝2x 2，故x 1x 2＝－2x 22，2－ 42mk2可得2＋k 2＝－22＋k 2，整理得2 22(9m －4)k ＝8－2m ，2228－2m又9m －4＝0时不吻合题意，所以k＝92－4>0，m42422 2解得9<m <4，此时>0，解不等式 9<m <4，得3<m <2或－2<m <－3，2 2所以m 的取值范围为－2，－3∪3，2.。

[考案1]第一章综合过关规范限时检测(时间：45分钟满分100分)一、单选题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.(2020·兰州市高三诊断考试)已知集合A＝{x∈N|－1＜x＜4}，B⊆A，则集合B中的元素个数至多是(B)A.3B.4C.5D.6【试题解答】因为A＝|x∈N|－1＜x＜4}＝{0,1,2,3}，且B⊆A，所以集合B中的元素个数至多是4，故选B.2.(2018·课标全国Ⅲ，1)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(C)A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}【试题解答】本题考查集合的运算.∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}，故选C.3.(2020·成都市二诊)设全集U＝R，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x≤－2或x≥1}，则A∩(∁U B)＝(A)A.{x|－1＜x＜1}B.{x|－2＜x＜3}C.{x|－2≤x＜3}D.{x|x≤－2或x>－1}【试题解答】由题意知∁U B＝{x|－2＜x＜1}，则A∩(∁U B)＝{x|－1＜x＜3}∩{x|－2＜x＜1}＝{x|－1＜x＜1}.4.(2020·宁夏中卫模拟)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(D)A.若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B.若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C.若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D.若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0【试题解答】命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.5.(2020·山东潍坊重点高中联考)毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的(B)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【试题解答】解法一：由“不到长城非好汉”可知，要想成为好汉必须到过长城，因此“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.解法二：设¬p为不到长城，推出¬q非好汉，即¬p⇒¬q，由原命题与其逆否命题等价可知q⇒p，即好汉⇒到长城，故“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.故选B.6.下列命题中，真命题是( D )A.命题“若a >b ，则ac 2>bc 2”B.命题“若a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆命题C.命题“当x ＝2时，x 2－5x ＋6＝0”的否命题D.命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题【试题解答】 命题“若a >b ，则ac 2>bc 2”是假命题，如a >b 且c ＝0时，ac 2＝bc 2；命题“若a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆命题为“若|a |＝|b |，则a ＝b ”是假命题；命题“当x ＝2时，x 2－5x ＋6＝0”的否命题为“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”是假命题；命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，其逆否命题与原命题等价，为真命题，故选D.7.(2020·广东汕头模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x >0，均有2x －a >0.若“¬p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值范围是( C )A.(－∞，－2)B.(－2,1]C.(1,2)D.(1，＋∞)【试题解答】 若方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根，则判别式Δ＝a 2－4＜0，即－2＜a ＜2，即p ：－2＜a ＜2.∀x >0,2x －a >0则a ＜2x ，当x >0时，2x >1，则a ≤1，即q ：a ≤1.∵¬p 是假命题，∴p 是真命题.∵p ∧q 是假命题，∴q 是假命题，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a >1，得1＜a ＜2.故选C. 二、多选题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)8.(2020·重庆市第一次调研抽测改编)已知集合A ＝{1,2，m }，B ＝{3,4}，若A ∪B ＝{1,2,3,4}，则实数m 可以为( CD )A.1B.2C.3D.4 【试题解答】 解法一：由题意知m 是B 中的元素，则m ＝3或4，故选C 、D.解法二：由集合中元素的互异性知，m ≠1且m ≠2，故排除选项A 、B ，选C 、D.9.(2020·福建三明一中期中改编)下列选项中错误的有( ABC )A.命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”B.“A ≠∅”是“A ∩B ≠∅”的充分不必要条件C.命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x －1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x －1>0”D.命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题【试题解答】 对于A ，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2≠1，则x ≠1”∴A 错误； 对于B ，由“A ≠∅”是得不到“A ∩B ≠∅”，即“A ≠∅”是“A ∩B ≠∅”不充分条件，由“A ∩B ≠∅”可知“A ≠∅”，即“A ≠∅”是“A ∩B ≠∅”必要条件，故“A ≠∅”是“A ∩B ≠∅”必要不充分条件，∴B 错误；对于C ，命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x －1＜0”的否定是“∀x ∈R ，使得x 2＋x －1≥0”，∴C 错误； 对于D ，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，根据互为逆否命题的两个命题同真假，可知，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题，∴D 正确；故A 、B 、C.10.(2020·凤城市第一中学高一月考改编)不等式1≤|x |≤4成立的充分不必要条件为( AB )A.[－4，－1]B.[1,4]C.[－4，－1]∪[1,4]D.[－4,4]【试题解答】 由不等式1≤|x |≤4，解得：－1≤x ≤－1或1≤x ≤4，对于A ，B 选项中的集合是不等式解集的真子集，∴不等式1≤|x |≤4成立的充分不必要条件为A ，B.故选A 、B.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)11.(2018·湖南卷)已知集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∪(∁U B )＝__{1,2,3}__. 【试题解答】 ∵∁U B ＝{2}，∴A ∪(∁U B )＝{1,2,3}.12.(2020·江西上饶模拟)命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是 ∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0 .【试题解答】 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0”.13.(2020·湖南常德一中模拟)条件p ：1－x ＜0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是__(－∞，1)__.【试题解答】 p ：x >1，若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 但qp ，也就是说，p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以a ＜1.14.(2020·衡水金卷A 信息卷(五)，14)命题p ：若x >0，则x >a ；命题q ：若m ≤a －2，则m ＜sin x (x ∈R )恒成立.若p 的逆命题，q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是__[0,1)__.【试题解答】 命题p 的逆命题是若x >a ，则x >0，故a ≥0.因为命题q 的逆否命题为真命题，所以命题q 为真命题，则a －2＜－1，解得a ＜1.则实数a 的取值范围是[0,1).四、解答题(本大题共2个小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}，a ∈R .(1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求实数a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围.【试题解答】 A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}.(1)当a ＝0时，B ＝∅，不符合题意，当a >0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，要满足题设条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2. 当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，要满足题设条件，则⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥4，无解. 综上可知：43≤a ≤2. (2)要满足A ∩B ＝∅.当a >0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，则a ≥4或3a ≤2，即0＜a ≤23或a ≥4， 当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，则a ≤2或3a ≥4，即a ＜0，当a ＝0时，B ＝∅，满足题意.综上可知：a ≤23或a ≥4. 16.(本小题满分15分)设命题p ：方程x 28－a ＋y 2a －4＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：函数f (x )＝13x 3＋3(3－a )2x 2＋9x 无极值. (1)若p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，求实数a 的取值范围.【试题解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 8－a >0a －4>08－a >a －4得4＜a ＜6， ∴实数a 的取值范围为(4,6).(2)由题意知p ，q 一真一假，q 为真时，则f ′(x )＝x 2＋3(3－a )x ＋9≥0恒成立，∴Δ＝9(3－a )2－36≤0得1≤a ≤5，若p 真q 假，5＜a ＜6；若q 真p 假，1≤a ≤4.综上，实数a 的取值范围是[1,4]∪(5,6).。

第五章 平面向量与复数第26讲 平面向量的概念与线性运算A 应知应会一、 选择题1. (多选)如图,若D ,E ,F 分别是△ABC 的边AB ,BC ,CA 的中点,则下列等式中正确的是( )(第1题)A. FD → ＋DA → ＋DE →＝0 B. AD → ＋BE → ＋CF →＝0C. FD → ＋DE → ＋AD → ＝AB →D. AD → ＋EC → ＋FD → ＝BD →2. 在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,若AB → ＋AD → ＝λAO →,则λ等于( )A. 1B. 2C. 4D. 63. 在等腰梯形ABCD 中,AB → ＝－2CD → ,M 为BC 的中点,则AM →等于( ) A. 12 AB → ＋12 AD → B. 34 AB → ＋12 AD → C. 34 AB → ＋14 AD → D. 12 AB → ＋34AD → 4. 在△ABC 中,设三边AB ,BC ,CA 的中点分别为E ,F ,D ,则EC → ＋F A →等于( ) A. BD → B. 12 BD → C. AC →D. 12AC →5. (2019·河北三市联考)已知e 1,e 2是不共线向量,a ＝m e 1＋2e 2,b ＝n e 1－e 2,且mn ≠0,若a ∥b,则mn等于( )A. －12B. 12 C. －2 D. 2二、 解答题6. 设e 1,e 2是两个不共线向量,已知AB → ＝2e 1－8e 2,CB → ＝e 1＋3e 2,CD →＝2e 1－e 2. (1) 求证：A ,B ,D 三点共线；(2) 若BF →＝3e 1－k e 2,且B ,D ,F 三点共线,求k 的值．7. 在△ABC 中,D ,E 分别为BC ,AC 边上的中点,G 为BE 上一点,且GB ＝2GE ,设AB →＝a,AC → ＝b,试用a,b 表示AD → ,AG → .B 组 能力提升一、 填空题1. 在△ABC 中,若AD → ＝2DB → ,CD → ＝13 CA → ＋λCB →,则λ＝________．2. (2019·无锡期末)在四边形 ABCD 中,已知AB → ＝a ＋2b,BC → ＝－4a －b,CD →＝－5a －3b,其中a,b 是不共线的向量,则四边形ABCD 的形状是________．3. (2019·潍坊一模改编)若M 是△ABC 内一点,且满足BA → ＋BC → ＝4BM → ,则△ABM 与△ACM 的面积之比为________.4. (2019·泰州期末)已知点P 为平行四边形ABCD 所在平面上一点,且满足P A → ＋PB → ＋2PD → ＝0,λP A → ＋μPB → ＋PC →＝0,则λμ＝________．二、 解答题5. 在直角梯形ABCD 中,∠A ＝90°,∠B ＝30°,AB ＝23 ,BC ＝2,点E 在线段CD 上,若AE →＝AD → ＋μAB →,求μ的取值范围．6. (1) 如图(1),在同一个平面内,向量OA → ,OB → ,OC → 的模分别为1,1,2 ,OA → 与OC →的夹角为α,且tan α＝7,OB → 与OC → 的夹角为45°.若OC → ＝mOA → ＋nOB →(m ,n ∈R),求m ＋n 的值．(2) 如图(2),在△ABC 中,AH ⊥BC 于点H ,M ∈AH ,AM ＝13 AH ,若AM → ＝xAB → ＋yAC →,求x＋y 的值．图(1)图(2)(第6题)第27讲 平面向量的基本定理与坐标表示A 应知应会一、 选择题1. 已知a ＝(3,－1),b ＝(－1,2),则－3a －2b 等于( )A. (7,1)B. (－7,－1)C. (－7,1)D. (7,－1)2. 已知A ,B ,C 三点共线,且A (3,－6),B (－5,2),若点C 的横坐标为6,则点C 的纵坐标为( )A. －13B. 9C. －9D. 133. 已知a ＝(1,2),b ＝(x ,1),若a ＋2b 与2a －b 平行,则x 等于( )A. 12B. 1C. －1D. 2 4. 在△ABC 中,P ,Q 分别是AB ,BC 的三等分点,且AP → ＝13 AB → ,BQ → ＝13 BC → .若AB →＝a,AC → ＝b,则PQ →等于( )A. 13 a ＋13 bB. －13 a ＋13 bC. 13 a －13 bD. －13 a －13b5. (多选)设e 1,e 2为平面α上不共线的两个向量,则下列命题中正确的是( ) A. λe 1＋u e 2(λ,u ∈R)可以表示平面α内的所有向量B. 对于平面α内任一向量a,使a ＝λe 1＋u e 2的实数对(λ,u )有无穷多个C. 若向量λ1e 1＋u 1e 2与λ2e 1＋u 2e 2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e 1＋u 1e 2＝λ(λ2e 1＋u 2e 2)D. 若实数λ,u 使得λe 1＋u e 2＝0,则λ＝u ＝0二、 解答题6. 设OA → ＝(1,－2),OB → ＝(a ,－1),OC →＝(－b ,0),a ＞0,b ＞0,O 为坐标原点,若A ,B ,C 三点共线,求1a ＋2b的最小值．7. 如图,以向量OA → ＝a,OB → ＝b 为邻边作OADB ,BM →＝13 BC → ,CN → ＝13 CD → ,用a,b 表示OM → ,ON → ,MN →.(第7题)B 组 能力提升一、 填空题1. 已知梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且DC ＝2AB ,若三个顶点分别为A (1,2),B (2,1),C (4,2),则点D 的坐标为________．2. 已知|OA → |＝1,|OB → |＝3 ,OA → ·OB → ＝0,点C 在∠AOB 内,且OC → 与OA →的夹角为30°,设OC → ＝mOA → ＋nOB →(m ,n ∈R),则m n的值为________．3. (2019·南昌十校二模)已知向量a ＝(1,－2),b ＝(x ,3y －5),且a ∥b,若x ,y 均为正数,则xy 的最大值是________．4. 在平面直角坐标系xOy 中,已知A (1,0),B (0,1),C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4,且|OC |＝2,若OC → ＝λOA → ＋μOB →,则λ＋μ＝________．二、 解答题5. (2019·长沙模拟改编)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (3 ,0),B (1,2),动点P 满足OP → ＝λOA → ＋μOB →,其中λ,μ∈[0,1],λ＋μ∈[1,2],求所有点P 构成的图形的面积．6. 已知正三角形ABC 的边长为23 ,平面ABC 内的动点P ,M 满足|AP → |＝1,PM → ＝MC →,求|BM →|2的最大值．第28讲 平面向量数量积的应用A 应知应会一、 选择题 1. (2019·深圳二调)已知向量a ＝(1,－1),b ＝(－2,3).若a ⊥(a ＋m b),则m 等于( ) A. 25 B. －25 C. 0 D. 152. (2019·芜湖期末)已知向量a,b 满足a ＝(cos α,sin α),α∈R,a·b ＝－1,则a·(2a －b)等于( )A. 3B. 2C. 1D. 03. (2019·太原期末)设向量a,b,c 都是单位向量,且2a ＝b －3 c,则a,b 的夹角为( ) A. π6 B. π4 C. π3 D. 2π34. (2019·长沙检测)在△ABC 中,AB ＝10,BC ＝6,CA ＝8,且O 是△ABC 的外心,则CA → ·AO → 等于( )A. 16B. 32C. －16D. －325. (多选)给出下列四个命题,其中正确的选项有( )A. 非零向量a,b 满足|a|＝|b|＝|a －b|,则a 与a ＋b 的夹角是30°B. 若(AB → ＋AC → )·(AB → －AC → )＝0,则△ABC 为等腰三角形C. 若单位向量a,b 的夹角为120°,则当|2a ＋x b|(x ∈R)取最小值时x ＝1D. 若OA → ＝(3,－4),OB → ＝(6,－3),OC →＝(5－m ,－3－m ),∠ABC 为锐角,则实数m 的取值范围是m ＞－34二、 解答题6. 已知两向量e 1,e 2满足|e 1|＝2,|e 2|＝1,e 1,e 2所成的角为60°,若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2所成的角为钝角,求实数t 的取值范围．7. 已知|a|＝4,|b|＝3,(2a －3b)·(2a ＋b)＝61. (1) 求a 与b 的夹角θ； (2) 求|a ＋b|；(3) 若AB → ＝a,BC →＝b,求△ABC 的面积．B 组 能力提升一、 填空题1. (2019·合肥检测)若非零向量a,b 满足a ⊥(a ＋2b),则|a ＋b||b|＝________．2. (2019·福州抽测改编)已知点O 是△ABC 内部一点,且满足OA → ＋OB → ＋OC →＝0,又AB → ·AC → ＝23 ,∠BAC ＝60°,则△OBC 的面积为________．3. (2019·郑州模拟)已知平面向量a,b,c 满足|a|＝|b|＝|c|＝1,若a·b ＝12 ,则(a ＋b)·(2b －c)的最小值为________．4. (2019·江苏淮阴中学)在△ABC 中,∠A ＝60°,AB ＝3,AC ＝2.若BD → ＝2DC → ,AE → ＝λAC →－AB → (λ∈R),且AD → ·AE → ＝－4,则λ的值为________．二、 解答题5. 已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a,b,c,向量m ＝(sin A ,sin B ),n ＝(cos B ,cos A ),m·n ＝sin 2C .(1) 求角C 的大小；(2) 若sin A ,sin C ,sin B 成等差数列,且CA → ·(AB → －AC →)＝18,求边c 的长．6. (2019·山东德州模拟)在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形OABC 是等腰梯形,A (6,0),C (1,3 ),点M 满足OM →＝12OA → ,点P 在线段BC 上运动(包括端点),如图所示．(1) 求∠OCM 的余弦值；(2) 是否存在实数λ,使(OA → －λOP → )⊥CM →？若存在,求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在,请说明理由．(第6题)第29讲 复 数 A 应知应会一、 选择题1. 若复数z 满足(2－i)z ＝|1＋2i|,则z 的虚部为( ) A.55 B. 55i C. 1 D. i 2. 已知复数z ＝|(3 －i)i|＋i 5(i 为虚数单位),则复数z 的共轭复数为( ) A. 2－i B. 2＋i C. 4－i D. 4＋i3. 设i 是虚数单位,如果复数a ＋i2－i 的实部与虚部相等,那么实数a 的值为( )A. 13B. －13C. 3D. －3 4. 设复数z ＝lg (m 2－1)＋1－m i,则z 在复平面内对应的点( ) A. 一定不在第一、二象限 B. 一定不在第二、三象限 C. 一定不在第三、四象限D. 一定不在第二、三、四象限5. (多选)(2019·山东枣庄模拟改编)设z 1,z 2是复数,则下列命题中的真命题是( ) A. 若|z 1－z 2|＝0,则z 1＝z 2 B. 若z 1＝z 2,则z 1＝z 2 C. 若|z 1|＝|z 2|,则z 1·z 1＝z 2·z 2D. 若|z 1|＝|z 2|,则z 21 ＝z 22二、 解答题6. 已知z 是复数,z ＋2i,z2－i 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a 的取值范围．7. 设z 1是虚数,z 2＝z 1＋1z 1 是实数,且－1≤z 2≤1.(1) 求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； (2) 若ω＝1－z 11＋z 1,求证：ω为纯虚数．B 组 能力提升一、 填空题1. 设z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数),已知z 2的实部是－1,则z 2的虚部为________．2. 已知i 是虚数单位,若⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0(m ∈R),则m 的值为________．3. 定义：若z 2＝a ＋b i(a ,b ∈R,i 为虚数单位),则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义,复数－3＋4i 的平方根是________．4. 已知复数z ＝a 2－b 2＋(|a |＋a )i(a ,b ∈R),使复数z 为纯虚数的充要条件是________,写出一个使复数z 为纯虚数的充分不必要条件是________．二、 解答题5. 已知O 为坐标原点,向量OZ 1,OZ 2分别对应的复数z 1,z 2,且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i,z 2＝21－a＋(2a －5)i(a ∈R),若z 1＋z 2是实数． (1) 求实数a 的值；(2) 求以OZ 1,OZ 2为邻边的平行四边形的面积．6. 已知复数z 和ω满足：zω＋2i z －2i ω＋1＝0. (1) 若ω －z ＝2i,求z 和ω；(2) 求证：若|z |＝3 ,则|ω－4i|的值是一个常数,并求出这个常数．。

§9.2随机事件的概率与古典概型1.概率和频率(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数,称事件A出现的比例f n(A)＝n An为事件A出现的频率.(2)对于给定的随机事件A,在相同条件下,随着试验次数的增加,事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定,我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小,并把这个常数称为随机事件A的概率,记作P(A).2.事件的关系与运算3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)＝P(A)＋P(B). (5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件,则P(A)＝1－P(B). 4.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.5.古典概型满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型.(1)所有的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件的发生都是等可能的.6.如果1次试验的等可能基本事件共有n 个,那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n .如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件,那么事件A 发生的概率为P (A )＝mn .7.古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.概念方法微思考1.随机事件A 发生的频率与概率有何区别与联系？提示 随机事件A 发生的频率是随机的,而概率是客观存在的确定的常数,但在大量随机试验中,事件A 发生的频率稳定在事件A 发生的概率附近. 2.随机事件A ,B 互斥与对立有何区别与联系？提示 当随机事件A ,B 互斥时,不一定对立；当随机事件A ,B 对立时,一定互斥.也即两事件互斥是对立的必要不充分条件.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的.( × ) (2)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( √ ) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( × )(4)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能的.( × ) 题组二 教材改编2.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是( ) A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶答案 D解析 “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”.3.袋中装有6个白球,5个黄球,4个红球,从中任取一球,则取到白球的概率为( ) A.25 B.415 C.35 D.23 答案 A解析 从袋中任取一球,有15种取法,其中取到白球的取法有6种,则所求概率为P ＝615＝25.4.同时掷两个骰子,向上点数不相同的概率为________. 答案 56解析 掷两个骰子一次,向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果,其中点数相同的结果共有6种,所以点数不相同的概率P ＝1－636＝56.题组三 易错自纠5.(多选)若干个人站成排,其中不是互斥事件的是( ) A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾” C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾” 答案 BCD解析 排头只能有一人,因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥,而B,C,D 中,甲、乙站位不一定在同一位置,可以同时发生,因此它们都不互斥.故选BCD.6.安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动,每天只需一人参加,其中甲参加三天活动,乙、丙、丁每人参加一天,那么甲连续三天参加活动的概率为( ) A.115 B.15 C.14 D.12 答案 B解析 由题意可得,甲连续三天参加活动的所有情况为:第1～3天,第2～4天,第3～5天,第4～6天,共四种情况,∴所求概率P ＝4·A 33C 36·A 33＝15.故选B.7.甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏,则平局的概率为________；甲赢的概率为________. 答案 13 13解析 设平局(用△表示)为事件A ,甲赢(用⊙表示)为事件B ,乙赢(用※表示)为事件C .容易得到如图.平局含3个基本事件(图中的△),P (A )＝39＝13.甲赢含3个基本事件(图中的⊙),P (B )＝39＝13.随机事件命题点1 随机事件的关系例1 (1)在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是310,那么概率是710的事件是( )A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡答案 A解析 由题意知“2张全是移动卡”的对立事件是“至多有一张移动卡”,又1－310＝710,故“至多有一张移动卡”的概率是710.(2)口袋里装有1红,2白,3黄共6个除颜色外完全相同的小球,从中取出两个球,事件A ＝“取出的两个球同色”,B ＝“取出的两个球中至少有一个黄球”,C ＝“取出的两个球中至少有一个白球”,D ＝“取出的两个球不同色”,E ＝“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为____________.①A 与D 为对立事件；②B 与C 是互斥事件；③C 与E 是对立事件；④P (C ∪E )＝1；⑤P (B )＝P (C ). 答案 ①④解析 显然A 与D 是对立事件,①正确；当取出的两个球为一黄一白时,B 与C 都发生,②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时,事件C 与E 都发生,③不正确；C ∪E 为必然事件,P (C ∪E )＝1,④正确；P (B )＝45,P (C )＝35,⑤不正确.命题点2 随机事件的频率与概率例2 某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y 的所有可能值,并估计Y 大于零的概率.解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25),则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20,则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100, 所以,Y 的所有可能值为900,300,－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8.因此Y 大于零的概率的估计值为0.8. 命题点3 互斥事件与对立事件的概率例3 (1)某中学有3个社团,每位同学参加各个社团的可能性相同,甲、乙两位同学均参加其中1个社团,则这两位同学参加不同社团的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 C解析 这两位同学同时参加1个社团的概率为P ＝3×13×13＝13,所以这两位同学参加不同社团的概率为P ′＝1－P ＝1－13＝23.(2)(2020·商丘联考)已知甲袋中有1个红球和1个黄球,乙袋中有2个红球和1个黄球,现从两袋中各随机选取一个球,则取出的两球中至少有1个红球的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.56 答案 D解析 从两袋中各随机选取一个球,基本事件总数为2×3＝6,取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球,所以利用对立事件概率计算公式得,取出两球中至少有1个红球的概率P ＝1－16＝56.思维升华 (1)判断互斥事件、对立事件一般用定义,不可能同时发生的两个事件为互斥事件；若两个事件中有且仅有一个发生,则这两个事件互为对立事件.对立事件一定是互斥事件. (2)概率与频率的关系:频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率随着试验次数的增加越来越接近概率,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率作为随机事件概率的估计值.(3)求复杂互斥事件的概率的两种方法:①将所求事件转化成几个彼此互斥事件的和事件,利用互斥事件概率的加法公式求解概率.②若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的和事件时分类太多,而其对立面的分类较少,可考虑先求其对立事件的概率,即运用“正难则反”的思想.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率.跟踪训练1 (1)袋中装有3个白球和4个黑球,从中任取3个球,给出下列四组事件:①“恰有1个白球”和“全是白球”；②“至少有1个白球”和“全是黑球”；③“至少有1个白球”和“至少有2个白球”；④“至少有1个白球”和“至少有1个黑球”.在上述每组事件中,互为对立事件的是( ) A.① B.② C.②③ D.①④ 答案 B解析①互斥但不对立；②互为对立事件,③不是互斥事件,④不是互斥事件.(2)下列说法正确的是()A.某人打靶,射击10次,中靶7次,则此人中靶的概率为0.7B.一位同学做抛硬币试验,抛6次,一定有3次“正面朝上”C.某地发行一种彩票,回报率为47%,若有人花了100元钱买此种彩票,则一定会有47元的回报D.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗,结果有380人有明显的疗效,现在胃溃疡病人服用此药,则可估计有明显疗效的概率约为0.76答案 D解析A项,此人中靶的频率为0.7,是一个随机事件,错误；B项是一个随机事件,不一定有3次“正面向上”,错误；C项是一个随机事件,中奖或不中奖都有可能,但事先无法预料,错误；D正确.(3)有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,据调查统计,通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所示,假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发,汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率),为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙,汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为()A.公路1和公路2B.公路2和公路1C.公路2和公路2D.公路1和公路1答案 A解析通过公路1到城市乙用时10,11,12,13天的频率分别为0.2,0.4,0.2,0.2；通过公路2到城市乙用时10,11,12,13天的频率分别为0.1,0.4,0.4,0.1,设A1,A2分别表示汽车A在约定日期前11天出发,选择公路1,2将货物运往城市乙.B1,B2分别表示汽车B在约定日期前12天出发选择公路1,2将货物运往城市乙,则P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6,P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5,P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8,P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9,所以汽车A最好选择公路1,汽车B最好选择公路2.古典概型1.(2019·全国Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“——”,如图就是一重卦,在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.516B.1132C.2132D.1116 答案 A解析 由6个爻组成的重卦种数为26＝64,在所有重卦中随机取一重卦,该重卦恰有3个阳爻的种数为C 36＝6×5×46＝20.根据古典概型的概率计算公式得,所求概率P ＝2064＝516.故选A. 2.中国古代“五行”学说认为:物质分“金、木、水、火、土”五种属性,并认为:“金生水,水生木,木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种,则抽到的两种物质不相生的概率为( ) A.15 B.14 C.13 D.12 答案 D解析 从五种不同属性的物质中随机抽取2种,共有“金木,金水,金火,金土,木水,木火,木土,水火,水土,火土”10种,而相生的有5种, 则抽到的两种物质不相生的概率P ＝1－510＝12.3.(2019·江苏)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________. 答案710解析 记3名男同学为A ,B ,C ,2名女同学为a ,b ,则从中任选2名同学的情况有(A ,B ),(A ,C ),(A ,a ),(A ,b ),(B ,C ),(B ,a ),(B ,b ),(C ,a ),(C ,b ),(a ,b ),共10种,其中至少有1名女同学的情况有(A ,a ),(A ,b ),(B ,a ),(B ,b ),(C ,a ),(C ,b ),(a ,b ),共7种,故所求概率为710.4.(2020·湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中、沙洋中学联考)从左至右依次站着甲、乙、丙3个人,从中随机抽取2个人进行位置调换,则经过两次这样的调换后,甲在乙左边的概率是________. 答案 23解析 从左至右依次站着甲、乙、丙3个人,从中随机抽取2个人进行位置调换,则经过两次这样的调换,基本事件总数为n ＝C 23·C 23＝9,从左至右依次站着甲、乙、丙3个人,从中随机抽取2个人进行位置调换,第一次调换后,对调后的位置关系有三种:甲丙乙、乙甲丙、丙乙甲,第二次调换后甲在乙左边对应的关系有:丙甲乙、甲乙丙；丙甲乙、甲乙丙；甲乙丙、丙甲乙,∴经过两次这样的调换后,甲在乙左边包含的基本事件个数m ＝6,∴经过这样的调换后,甲在乙左边的概率P ＝m n ＝69＝23.思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数,这就需要正确列出基本事件,基本事件的表示方法有列举法(列表法、树状图法)以及排列、组合法.古典概型与统计的综合应用例4某城市100户居民的月平均用电量(单位:千瓦时)以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[240,260),[260,280),[280,300]的三组用户中,用分层抽样的方法抽取6户居民,并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目,求参加节目的2户来自不同组的概率.解 (1)由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5＋x ＋0.005 0＋0.002 5)×20＝1,得x ＝0.007 5, 所以直方图中x 的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.因为(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＝0.45＜0.5, 且(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5)×20＝0.7＞0.5,所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a ,由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5,解得a ＝224, 所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量在[240,260)的用户有0.007 5×20×100＝15(户), 月平均用电量在[260,280)的用户有0.005×20×100＝10(户), 月平均用电量在[280,300]的用户有0.002 5×20×100＝5(户).抽样方法为分层抽样,在[240,260),[260,280),[280,300]中的用户比为3∶2∶1, 所以在[240,260),[260,280),[280,300]中分别抽取3户、2户和1户.设参加节目的2户来自不同组为事件A ,将来自[240,260)的用户记为a 1,a 2,a 3,来自[260,280)的用户记为b 1,b 2,来自[280,300]的用户记为c 1,在6户中随机抽取2户有(a 1,a 2),(a 1,a 3)(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,c 1),(a 2,a 3),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,c 1),(a 3,b 1),(a 3,b 2),(a 3,c 1),(b 1,b 2),(b 1,c 1),(b 2,c 1),共15种取法,其中满足条件的有(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,c 1),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,c 1),(a 3,b 1),(a 3,b 2),(a 3,c 1),(b 1,c 1),(b 2,c 1),共11种,故参加节目的2户来自不同组的概率P (A )＝1115.思维升华 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题,无论是直接描述还是利用频数分布表、频率分布直方图等给出信息,准确从题中提炼信息是解题的关键.跟踪训练2“抢红包”的活动给节假日增添了一份趣味,某组织进行了一次关于“是否参与抢红包活动”的调查活动,在几个大型小区随机抽取50名居民进行问卷调查,对问卷结果进行了统计,并将调查结果统计如下表:(1)补全如图所示有关调查人数的频率分布直方图,并根据频率分布直方图估计这50名居民年龄的中位数和平均数(结果精确到0.1)；(2)在被调查的居民中,若从年龄在[10,20),[20,30)内的居民中各随机选取1人参加抽奖活动,求选中的2人中仅有1人没有参与抢红包活动的概率.解(1)补全频率分布直方图,如图所示:这50名居民年龄的平均数约为(15×0.008＋25×0.012＋35×0.028＋45×0.024＋55×0.016＋65×0.012)×10＝41.4.设中位数为x ,则0.08＋0.12＋0.28＋0.024(x －40)＝0.5,解得x ≈40.8, 所以这50名居民年龄的中位数约为40.8.(2)记年龄在[10,20)内的居民为a 1,A 2,A 3,A 4(其中居民a 1没有参与抢红包活动),年龄在[20,30)内的居民为b 1,b 2,B 3,B 4,B 5,B 6(其中居民b 1,b 2没有参与抢红包活动).从年龄在[10,20),[20,30)内的居民中各选取1人的情形有(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,B 3),(a 1,B 4),(a 1,B 5),(a 1,B 6),(A 2,b 1),(A 2,b 2),(A 2,B 3),(A 2,B 4),(A 2,B 5),(A 2,B 6),(A 3,b 1),(A 3,b 2),(A 3,B 3),(A 3,B 4),(A 3,B 5),(A 3,B 6),(A 4,b 1),(A 4,b 2),(A 4,B 3),(A 4,B 4),(A 4,B 5),(A 4,B 6),共24种.其中仅有1人没有参与抢红包活动的情形有10种,所以选中的2人中仅有1人没有参与抢红包活动的概率P ＝1024＝512.1.从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件,下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( )A.恰好有1件次品和恰好有2件次品B.至少有1件次品和全是次品C.至少有1件正品和至少有1件次品D.至少有1件次品和全是正品 答案 A解析 依据互斥和对立事件的定义知,B,C 都不是互斥事件；D 不但是互斥事件而且是对立事件；只有A 是互斥事件但不是对立事件.2.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) A.310 B.15 C.110 D.120 答案 C解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,有10种方法.能成为勾股数的只有3,4,5一组,∴P ＝110.3.某英语初学者在拼写单词“steak ”时,对后三个字母的记忆有些模糊,他只记得由“a ”“e ”“k ”三个字母组成,并且“k ”只可能在最后两个位置,如果他根据已有信息填入上述三个字母,那么他拼写正确的概率为( ) A.16 B.14 C.13 D.12 答案 B解析 满足题意的字母组合有四种,分别是eka ,ake ,eak ,aek ,拼写正确的组合只有一种eak ,所以概率P ＝14.故选B.4.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为17,都是白子的概率是1235,则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( ) A.17 B.1235 C.1735 D.1 答案 C解析 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ,“从中取出2粒都是白子”为事件B ,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ,则C ＝A ∪B ,且事件A 与B 互斥.所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735. 5.(2020·湖南六校联考)某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌,从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色,则所选颜色中含有白色的概率是( )A.23B.12C.14D.16 答案 B解析 从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色的所有基本事件有{黄白},{黄蓝},{黄红},{白蓝},{白红},{蓝红},共6种,其中包含白色的有3种,故选中白色的概率为12,故选B.6.(2019·苏州模拟)一个袋子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球,从中一次摸出3个球,则摸出白球个数多于黑球个数的概率为( ) A.1835 B.35 C.2235 D.1115 答案 C解析 一个袋子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球,从中一次摸出3个球,基本事件总数n ＝C 37＝35, 摸出白球个数多于黑球个数包含的基本事件个数m ＝C 24C 13＋C 34C 03＝22, 则摸出白球个数多于黑球个数的概率为P ＝m n ＝2235.7.(多选)下列四个命题错误的是( ) A.对立事件一定是互斥事件B.若A ,B 为两个事件,则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )C.若事件A ,B ,C 彼此互斥,则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1D.若事件A ,B 满足P (A )＋P (B )＝1,则A ,B 是对立事件 答案 BCD解析 在A 中,对立事件一定是互斥事件,故A 正确；在B 中,若A ,B 为两个互斥事件,则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ),若A ,B 不为两个互斥事件,则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB ),故B 错误；在C 中,若事件A ,B ,C 彼此互斥,则P (A )＋P (B )＋P (C )≤1,故C 错误；在D 中,若事件A ,B 满足P (A )＋P (B )＝1,则A ,B 有可能不是对立事件.8.据统计,某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为________. 答案 0.9解析 方法一 记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为事件A ,“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为事件B ,“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C ,“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数不超过1”为事件D ,而事件D 包含事件A 与B ,所以P (D )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9.方法二 记“该食品企业在一个月内被消费者投拆的次数为2”为事件C ,“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D ,由题意知C 与D 是对立事件,所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.1＝0.9.9.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,则所取的2个球中恰有1个白球、1个红球的概率为________. 答案1021解析 从袋中任取2个球共有C 215＝105(种)取法,其中恰有1个白球、1个红球共有C 110C 15＝50(种)取法,所以所取的2个球恰有1个白球、1个红球的概率为50105＝1021.10.10件产品中有7件正品,3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是________. 答案 12解析 从10件产品中取4件,共有C 410种取法,恰好取到1件次品的取法有C 13C 37种,由古典概型概率计算公式得P ＝C 13C 37C 410＝3×35210＝12.11.海关对同时从A ,B ,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A ,B ,C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.解 (1)A ,B ,C 三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300,抽样比为6300＝150,所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A ,B ,C 三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2. (2)方法一 设6件来自A ,B ,C 三个地区的样品分别为: A ；B 1,B 2,B 3；C 1,C 2. 则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为:{A ,B 1},{A ,B 2},{A ,B 3},{A ,C 1},{A ,C 2},{B 1,B 2},{B 1,B 3},{B 1,C 1},{B 1,C 2},{B 2,B 3},{B 2,C 1},{B 2,C 2},{B 3,C 1},{B 3,C 2},{C 1,C 2},共15个.每个样品被抽到的机会相等,因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D :“抽取的这2件商品来自相同地区”,则事件D 包含的基本事件有:{B 1,B 2},{B 1,B 3},{B 2,B 3},{C 1,C 2},共4个.所以P (D )＝415,即这2件商品来自相同地区的概率为415.方法二 这2件商品来自相同地区的概率为C 23＋C 22C 26＝3＋115＝415.12.某中学有初中学生1 800人,高中学生1 200人.为了了解学生本学期课外阅读时间,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,先统计了他们课外阅读时间,然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组,再将每组学生的阅读时间(单位:小时)分为5组:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50],并分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.(1)求a 的值；(2)试估计该校所有学生中,阅读时间不少于30个小时的学生人数；(3)从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人,求至少抽到1名高中生的概率. 解 (1)由题意得(0.005×2＋0.020＋a ＋0.040)×10＝1,解得a ＝0.03.(2)∵初中生中,阅读时间不少于30个小时的学生频率为(0.020＋0.005)×10＝0.25. ∴所有初中生中,阅读时间不少于30个小时的学生约有0.25×1 800＝450(人). 同理,高中生中,阅读时间不少于30个小时的学生频率为(0.030＋0.005)×10＝0.35, ∴所有高中生中,阅读时间不少于30个小时的学生约有0.35×1 200＝420(人). ∴该校所有学生中,阅读时间不少于30个小时的学生人数约为450＋420＝870.(3)由分层抽样知,抽取的初中生有60名,高中生有40名.记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人,至少抽取1名高中生”为事件A .初中生中,阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10＝0.05,样本人数为0.05×60＝3. 高中生中,阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10＝0.05,样本人数为0.05×40＝2. 则从阅读时间不足10个小时的样本学生(共5人)中随机抽取2人,所有可能的情况有C 25＝10(种),其中至少抽到1名高中生的情况有C 25－C 23＝7(种),∴所求概率为710＝0.7.13.3位大学生乘坐同一列动车,该动车有8节车厢,则至少有2位大学生在同一节车厢的概率为( )A.2132B.5764C.1132D.1116 答案 C解析 3位大学生的乘车方式共有83种,其中均不在同一节车厢的乘车方式有A 38种,所以3位大学生均不在同一节车厢的概率为A 3883＝8×7×683＝2132,故至少有2位大学生在同一节车厢的概率为1－2132＝1132,故选C.14.无重复数字的五位数a 1a 2a 3a 4a 5,当a 1＜a 2,a 2＞a 3,a 3＜a 4,a 4＞a 5时称为波形数,则由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是______. 答案215解析 ∵a 2＞a 1,a 2＞a 3,a 4＞a 3,a 4＞a 5,∴a 2只能是3,4,5中的一个.(1)若a 2＝3,则a 4＝5,a 5＝4,a 1与a 3是1或2,这时共有2×1＝2(个)符合条件的五位数. (2)若a 2＝4,则a 4＝5,a 1,a 3,a 5可以是1,2,3,共有3×2×1＝6(个)符合条件的五位数. (3)若a 2＝5,则a 4＝3或4,此时分别与(1)(2)中的个数相同. ∴满足条件的五位数有2×(2＋6)＝16(个).又由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数有5×4×3×2×1＝120(个),故所求概率为16120＝215.15.某公司安排6位员工在“元旦(1月1日至1月3日)”假期值班,每天安排2人,每人值班1天,则6位员工中甲不在1日值班的概率为( )A.13B.23C.34D.56答案 B解析 该公司安排6位员工在“元旦(1月1日至1月3日)”假期值班,每天安排2人,每人值班1天,基本事件总数n ＝C 26C 24C 22,6位员工中甲不在1日值班包含的基本事件个数m ＝C 25C 24C 22,∴6位员工中甲不在1日值班的概率P ＝m n ＝C 25C 24C 22C 26C 24C 22＝23. 16.箱中有a 个正品,b 个次品(a ,b 均为大于3的正整数),从箱中连续随机抽取3次,每次抽取一个产品,分别求采用以下两种抽样方式,抽取的3个产品全是正品的概率.(1)每次抽样后不放回；(2)每次抽样后放回.解 (1)方法一 若把不放回抽样3次看成有顺序抽样,则从a ＋b 个产品中不放回抽样3次共有A 3a ＋b 种方法,从a 个正品中不放回抽样3次共有A 3a 种方法,所以所求概率为A 3a A 3a ＋b. 方法二 若不放回抽样3次看成无顺序抽样,则从a ＋b 个产品中不放回抽样3次共有C 3a ＋b 种方法,从a 个正品中不放回抽样3次共有C 3a 种方法,所以所求概率为C 3a C 3a ＋b ＝A 3a A 3a ＋b. (2)从a ＋b 个产品中有放回地抽取3次,每次都有a ＋b 种方法,所以共有(a ＋b )3种不同的方法,而3个全是正品的抽法共有a 3种,所以所求概率为a 3(a ＋b )3＝⎝⎛⎭⎫a a ＋b 3.。