九年级数学竞赛专题辅导第1讲分式方程(组)的解法

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0x
x 2 − bx m − 1 = 有等值异号的根，那么 m = （ 2 ）如果方程 ax − c m + 1
.
ue xi
.

.c
（ 1 ）方程 x +
1 1 = 10 的一个根是 10 ，则另一个根是 2 x −8
xu
om
1 .填空：
i.
练习一
co
m
1 ， 1 ， −1 . 2
( y + 5x )( y − 9 x ) = 0 ，
所以 y = 9 x 或 y = −5 x . 由 y = 9 x 得 x 2 + 2 x − 8 = 9 x ，即 x 2 − 7 x − 8 = 0 ，所以 x1 = −1 ， x2 = 8 ；
ex
xu
经检验，它们都是原方程的根.
10 0
w.
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才 学
经检验知， x = −9 是原方程的根.
圣
根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和， 分析与解： 方程中各项的分子与分母之差都是 1 ，
这样原方程即可化简.原方程化为
1−
即
ex
i.
co
1 1 1 1 ， +1− = 1− +1− x+2 x+7 x+3 x+6 1 1 1 1 ， − = − x+6 x+7 x+2 x+3
①
（ 1 ）方程①有两个相等的实数根，即 Δ = 4 − 4 ⋅ 2 ( a + 4 ) = 0 . 解得 a = −
ww w. 10 0x ue xi .c om
7 1 .此时方程①的两个相等的根是 x1 = x2 = . 2 2
（ 2 ）方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为 0 或 2 .
当 x ≠ 0 时，解得 x = ±1 .
经检验， x = ±1 是原方程的根，且 x = 0 也是原方程的根.
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例 8 解方程
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圣
解得 y1 =
2 3 ， y2 = . 3 2
ex
xu
10 0
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才
圣
例 10
如果方程
x x − 2 2x + a + + = 0 只有一个实数根，求 a 的值及对应的原方程的根. x−2 x x ( x − 2)
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解：将原方程变形为
x2 + x + 1 x2 + 1 2 3 + = + . 2 2 x +1 x + x +1 3 2
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w.
x 2 + x + 1 2 x 2 + x + 2 19 + 2 = . x2 + 1 x + x +1 6
10
0x ue xi .c om
1 1 = a + 这类特 x a 1 殊类型的方程可以化成一元二次方程，因而至多有两个根.显然 a ≠ 1 时， x1 = a ， x2 = 就是所求的 a 1 1 1 1 1 根.例如，方程 x + = 3 ，即 x + = 3 + ，所以 x1 = 3 ， x2 = . 3 3 x x 3
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当 y = 6 时，
x2 + 4 x = 6 ， x 2 + 4 x = 6 x − 6 ，故 x 2 − 2 x + 6 = 0 .此方程无实数根. x −1
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w.
x2 + 4x 72 ， 则原方程可化为 y + − 18 = 0 ，y 2 − 18 y + 72 = 0 ， 所以 y1 = 6 或 y2 = 12 . x −1 y
10
0x
x 2 + 4 x 72 x − 72 解方程 + 2 − 18 = 0 . x −1 x + 4x
ue xi

.c
om
由 y = −5 x ，得 x 2 + 2 x − 8 = −5 x ，即 x 2 + 7 x − 8 = 0 ，所以 x3 = −8 ， x4 = 1 .
解得
x1 = 2 ， x2 = −11 .
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才 学
例6
解方程
圣
分析与解：分式方程形如比例式
虑用合比定理化简.原方程变形为
( 2x
2
+ 3x + 2 ) + ( 2 x 2 − 3x − 2 ) 2 x 2 − 3x − 2
( 2x =
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2
− 5 x + 3) + ( 2 x 2 + 5 x − 3) 2 x2 + 5x − 3
2
2
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分式方程（组）的解法
1 1 1 + 2 + 2 =0. x + 11x − 8 x + 2 x − 8 x − 13 x − 8
解：令 y = x + 2 x − 8 ，那么原方程为
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去分母得
圣
y 2 − 4 xy − 45 x 2 = 0 ，
( 3x ( 3x
即
2 2
圣
+ 4 x − 1) + ( 3 x 2 − 4 x − 1) + 4 x − 1) − ( 3 x 2
(x = − 4 x − 1) ( x
才
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习
2 2
+ 4 x + 1) + ( x 2 − 4 x + 1) + 4 x + 1) − ( x 2 − 4 x + 1)
−3 ± 5 均是原方程的根. 2
.c
om
当
x2 + x + 1 3 = 时， x = 1 . x2 + 1 2
i.
co
x2 + x + 1 2 −3 ± 5 当 = 时， x = ； 2 x +1 3 2
m
圣 才
学
x2 + x + 1 1 2 3 设y= ，则原方程变为 y + = + . 2 x +1 y 3 2
om
所以
i.
4x2 4x2 = ， 2 x 2 − 3x − 2 2 x 2 + 5 x − 2
co
m
w.
10
经检验知， x1 = 2 ， x2 = −11 是原方程的根.
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6 x2 − 2 2 x2 + 2 = ， 8x 8x
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xu
( x + 6 )( x + 7 ) ( x + 2 )( x + 3)
1
=
1
学
习
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解得
圣
才
经检验 x = − 例5
分析与解：注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数 1 ，故可考虑把一个分式 拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简.原方程变形为
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( x + 6 )( x + 7 ) = ( x + 2 )( x + 3) .
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才
及 x2 = b − 2a 都是原方程的根.当 a = b 时，原方程无解.
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将 x1 = a − 2b 或 x2 = b − 2a 代入分母 b + x ，得 a − b 或 2 ( b − a ) ，所以，当 a ≠ b 时， x1 = a − 2b
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由
a+x 1 a+x = 2 ，得 x1 = a − 2b ；由 = ，得 x2 = b − 2a . b+ x 2 b+ x
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x = −1 （因为 2 x 2 − 2 x − 4 = 0 . ( x − 2 ) ( x + 1) = 0 ，所以 x1 = 2 （增根）， x2 = −1 ）.它不使分母为
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（ⅱ）当 x = 2 时，代入①式，得 2 × 4 − 2 × 2 + ( a + 4 ) = 0 ，即 a = −8 .这时方程①的另一个根是
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（ 3 ）如果关于 x 的方程
1 k −5 k −1 有增根 x = 1 ，则 k = + 2 = 2 x − x x + x x −1 x + 1 x − 1 10 （ 4 ）方程 . + = 的根是 x −1 x +1 3 3 4x 5x 2 .解方程 3 + 3 + =0. 2 2 x + 2x + x x + 2x − 5x 2
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九年级数学竞赛专题辅导第 1 讲
分母中含有未知数的方程叫分式方程.解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本 方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形.变形时可能会扩大（或缩小） 未知数的取值范围，故必须验根. 例1 解方程
m
圣 才
学
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例4
解方程
x +1 x + 6 x + 2 x + 5 . + = + x+2 x+7 x+3 x+6
网
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