初中数学竞赛专题：方程组 §4．1方程组的解法
4．1．1★已知关x 、y 的方程组
()21,221 3.ax y a x a y +=+⎧⎪⎨
+-=⎪⎩
①
② 分别求出当a 为何值时,方程组有唯一一组解；无解；有无穷多组解,
解析与一元一次方程一样,含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论,一般是通过消元,归结
为一元一次方程ax b =的形式进行讨论,但必须特别注意,消元时,若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时,这个式子的值不能等于零． 由①式得
()21y a ax =+-,③
将③代入②得
()()()()122a a x a a -2+=-+．④
当()210a a -+≠（）,即2a ≠且1a ≠-时,
方程④有唯一解2
1
a x a +=
+,将此x 值代入③有 ()
1
21y a =
+, 因而原方程组有唯一一组解．
当()()210a a -+=,且()()220a a -+≠时,即1a =-时,方程④无解,因此原方程组无解． 当()()210a a -+=且()()210a a -+=时,即2a =时,方程④有无穷多个解,因此原方程组有 无穷多组解．
评注对于二元一次方程组111
222
a x
b y
c a x b y c +=⎧⎨+=⎩,（1a 、2a 、1b 、2b 为已知数,且1a 与1b ,2a 与2b 中都至少
有一个不为零）． （1）当
11
22
a b a b ≠时,方程组有唯一的解 2112122112
211221b c b c x a b a b a c a c y a b a b -⎧
=⎪-⎪
⎨
-⎪=⎪-⎩
（2）当111
222
a b c a b c ==时,原方程组有无穷多组解． （3）当
111
222
a b c a b c =≠时,原方程组无解． 4．1．2★对k 、m 的哪些值,方程组()214y kx m
y k x =+⎧⎪⎨
=-+⎪⎩
至少有一组解？
解析由原方程可得()214kx m k x +=-+．即
()14k x m -=-．
（1）当1≠k 时,方程有唯一解4
1
m x k -=
-,从而原方程组有唯一解． （2）当1k -,4m =时,方程有无穷多个解,从而原方程组也有无穷多组解． 综上所述,当1k ≠且m 为任意数,或1k =且4m =时,方程组至少有一组解． 4．1．3★已知关于x 、y 的二元一次方程
()()12520a x a y a -+++-=．
当a 每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,试求出这个公共解． 解析1根据题意,可分别令1a =,2a =-代入原方程得到一个方程组：
330,
390.y x +=⎧⎨
-+=⎩
解之得
3,
1.x y =⎧⎨=-⎩
将3x =,1y =-代入原方程得
()()()1321520a a a -⋅++⋅-+-=．
所以对任何a 值
3,
1x y =⎧⎨=-⎩
都是原方程的解．
评注取1a =为的是使方程中()10a x -=,方程无x 项,可直接求出y 值；取2a =-的道理类似． 解析2可将原方程变形为
()(2)250a x y x y +----=．
由于公共解与a 无关,故有
20,
250.x y x y +-=⎧⎨
--=⎩
解之得公共解为3,
1.
x y =⎧⎨
=-⎩
4．1．4★★已知0xyz ≠,且20x y z ++=,5440x y z +-=,求222
22
610345x y z x yz z
+--+的值． 解析已知代数式中含有x 、y 、z 三个字母,而等式只有2个,在一般情况下是不可能求出x 、y 、
z 的具体值来的．因此,可以把已知条件中的z 视为常数,得到关于x 、y 的方程组,从而找出x 、y
与z 的关系,由此可求出其值．
把已知等式视作关于x 、y 的方程,z 视作常数,得关于x 、y 的方程组
20,
5440.x y z x y z ++=⎧⎨
+-=⎩
解得2,3.2
x z y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩
因为0xyz ≠,所以0z ≠,于是
()()3
2
2222
22
222
326106102334532452z z z x y z x yz z z z z
⎛⎫
+-- ⎪+-⎝⎭=-+⎛⎫⋅--+ ⎪⎝⎭
22
2
222
27410152126546z z z z z z +
-==++． 4．1．5★若x 、y 的值满足方程组
3234571103,177543897,x y x y +=⎧⎨
+=⎩
①
② 求422445x x y y ++的值．
解析由①+②得50010002000x y +=,即
24x y +=．③
由③得：42x y =-．④ 把④代入①得：
()323424571103y y -+=．
解得1y =,把1y =代人④得：2x =,所以方程组解为
