初中数学竞赛函数专题(详解)

初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)初中数学奥林匹克竞赛全真试题（全国联赛卷）（详解版）一、填空题1. 如果函数 f(x)=x^2-2x+1的根为 a,b，那么a + b 等于_____.答案：-12. 已知正整数 m、n 满足 mx+ny=1（m、n 都不为 0），若 m + n 等于 8，则 m - n 等于_____.答案：73. 若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=3，Sn=15，则 n 的值是_____.答案：64. 在△ABC 中，已知 a=4，b=4，c=8，若 AB+AC=9，则∠B =_____.答案：45°二、选择题5. 已知 A、B 两点的坐标分别为（3，1）、（5，-1），则 AB 是_______.A. 水平的直线B. 斜率为 1 的直线C. 斜率为 -1/3 的直线D. 竖直的直线答案：B6. 若正方形的边长为 x，周长为 5x，则 x 的值等于_______.A. 4B. 5C. 8D. 10答案：A7. 已知tanα=2，cotβ=-3，则 tan（α-β）等于_______.A. 5B. -5C. -1/5D. 1/5答案：B8. 把一个正整数分成 K 份，第一份的数量是剩下的 K-1 份的总和的（）A. 1/2B. 3/2C. 2/3D. 3/4答案：B三、解答题9. 已知函数 f(x)=2x+1，若直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，求该曲线上点 P 的坐标答：设点 P 的坐标为 (x,y)，因为直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，所以曲线上点 P 的 y 值可由 4x+3y=37 中求得，即 y=12-4/3x，由函数 f(x)可得 12-4/3x=2x+1，故 x=7，代入 y=12-4/3x 可得 y=12-4/3(7)=8。

点 P的坐标即为 (7, 8)。

10. 已知△ABC 中，a=3，b=3，∠A=120°，求 B 的坐标答：由△ABC 中 A 的坐标为（0，0），a=3，b=3 可知 C 的坐标为（3，0），∠A=120°，∠C=60°，因为∠B=60，则以 C 为外接圆圆心，半径为3 的圆○上可得点B，即B(√3，1)，综上所述，点B 的坐标为（√3，1）。

D CBA初中数学竞赛试题一、 选择题（共8小题，每小题5分，满分40分。

以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、 C 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填在题后的括号里，不填、多填或错填均得零分） 1．函数y ＝1x-图象的大致形状是（ ）A B C D2．老王家到单位的路程是3500米，老王每天早上7：30离家步行去上班，在8：10（含8：10）到8：20（含8：20）之间到达单位。

如果设老王步行的速度为x 米／分，则老王步行的速度范围是（ ）A ．70≤x ≤87.5B ．70≤x 或x ≥87.5C ．x ≤70D ．x ≥87.53．如图，AB 是半圆的直径，弦AD ，BC 相交于P ，已知∠DPB ＝60°，D 是弧BC 的中点，则tan ∠ADC 等于（ ） A ．12B ．2 CD4．抛物线()20y x x p p =++≠的图象与x 轴一个交点的横坐标是P ，那么该抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（0，－2） B ．19,24⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．19,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．19,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，CD 是角平分线，则△DBC 的面积与△ABC 的面积的比值是（） A ．22B ．23C ．32D ．336．直线l ：()0y px p =是不等于的整数与直线y ＝x ＋10的交点yxOyx OyxOyxO恰好是（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线l 有（ ） A ．6条 B ．7条 C ．8条 D ．无数条7．把三个连续的正整数a ，b ，c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入20x x ++= 的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方程至少有一个整数根的a ，b ，c （ ）A ．不存在B ．有一组C ．有两组D ．多于两组8．六个面上分别标有1,1，2,3，3,5六个数字的均匀立方体的表面如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数主该点的纵坐标。

初一数学联赛班七年级第4讲一次函数知识总结归纳一. 正比例函数的一般形式是y kx =(0k ≠,一次函数的一般形式是y kx b =+(0k ≠.二. 一次函数y kx b =+的图象是经过(0bk -,和(0b ,两点的一条直线. 三. 一次函数y kx b =+的图象与性质四. 一次函数与一元一次方程的关系直线0y kx b k =+≠(与x 轴交点的横坐标,就是一元一次方程00kx b k +=≠(的解.求直线y kx b =+与x 轴交点时,可令0y =,得到方程0kx b +=,解方程得bx k =-,直线y kx b =+交x 轴于(0b k -,,bk -就是直线y kx b =+与x 轴交点的横坐标.五. 一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为0ax b +>或0ax b +<(a b 、为常数,0a ≠的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小于0时,求自变量相应的取值范围. 六. 一次函数与二元一次方程(组的关系一次函数的解析式0y kx b k =+≠(本身就是一个二元一次方程,直线0y kx b k =+≠(上有无数个点,每个点的横纵坐标都满足二元一次方程0y kx b k =+≠(,因此二元一次方程的解也就有无数个.初一数学联赛班七年级典型例题一. 基础训练【例1】已知函数(1012y m x m =-+-,(1m 为何值时,这个函数是一次函数; (2m 为何值时,这个函数是正比例函数.【例2】已知正比例函数y kx =(0k ≠,点(23-,在函数上,则y 随着x 的增长而_______(增长或减少.【例3】求直线23y x =--与x 轴和y 轴的交点,并画出这条直线.【例4】若一次函数3y x b =+的图像经过点(14P ,,求该函数图象的解析式.【例5】已知一次函数的图像经过点(35,与(49--,.求这个一次函数的解析式.初一数学联赛班七年级【例6】一次函数(15 y m x=++,y值随x增大而减小,则m的取值范围是( A.1m>-B.1m<-C.1m=-D.1m<【例7】一次函数23y x=-的图象不经过(A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例8】正比例函数1(2my m x-=-的图象一定通过(A.原点和(2,1-B.第一、三象限C.第二、四象限D.第一、三或第二、四象限二.巩固提高【例9】(1已知直线45y ax a=-+不经过第二象限,求a的取值范围.(2已知一次函数(21(1y m x m=+++的图象不经过第一象限,求m的取值范围. 【例10】若直线y kx b=+与直线32y x=+平行,且在y轴上的交点坐标为(05,,求k和b的值.初一数学联赛班七年级【例11】 (1将直线24y x =-向上平移5个单位后,所得直线的表达式是多少?(2将直线24y x =-向右平移3个单位后,所得直线的表达式是多少?【例12】已知函数y kx b =+的图象如图,则2y kx b =+的图象可能是(【例13】已知一次函数(32(4y a x b =+--,求字母a 、b 为何值时:(1y 随x 的增大而增大; (2图象不经过第一象限; (3图象经过原点; (4图象平行于直线y =-4x +3; (5图象与y 轴交点在x 轴下方.【例14】已知整数x 满足55x -≤≤,11y x =+,224y x =+对任意一个x ,m 都取1y ,2y 中的较小值,则m 的最大值是(A . 1B . 2C . 24D .9-初一数学联赛班七年级【例15】根据下列要求分别写出相应的函数关系式:(1y与x正比例,其图象过点1P;(2函数(21y kx k=-+的图象过原点.【例16】对于一次函数(25(4y k x k=-+-.(1(2若函数为正比例函数,且与y mx=的图象关于x轴对称,求m的值.【例17】一次函数3y kx=+的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5,则k的值是多少?【例18】已知一次函数的图象经过点(22,,它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1,求这个一次函数的解析式.【例19】已知四条直线3y kx =-,1y =-,3y =和1x =所围成的四边形的面积是12,求k 的值.【例20】一个一次函数的图像与直线59544y x =+平行,与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ,并且过点(125--,,则在线段AB 上(包括端点A 、B ,横、纵坐标都是整数的点有多少个?三. 一次函数与一元一次方程综合【例21】已知直线(322y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点,m 的值为(A .2-B .2C .1-D .0【例22】已知一次函数y kx b =+的图象经过点(20,,(13,,则不求k b ,的值,可直接得到方程3kx b +=的解是x =______.四. 一次函数与二元一次方程(组综合【例23】已知直线3y x =-与22y x =+的交点为(5-,8-,则方程组30220x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解是________.【例24】已知方程组y ax c y kx b -=⎧⎨-=⎩(a b c k ,,,为常数,0ak ≠的解为2 3x y =-⎧⎨=⎩,则直线y ax c =+和直线y kx b =+的交点坐标为________.五. 一次函数与一次不等式综合【例25】已知一次函数25y x =-+.画出它的图象,求出当x 为何值时,0y >,0y =,0y <.【例26】已知15y x =-,221y x =+.当12y y >时,x 的取值范围是(A .5x >B .12x <C .6x <-D .6x >-【例27】已知一次函数23y x =-+(1当x 取何值时,函数y 的值在1-与2之间变化?(2当x 从2-到3变化时,函数y 的最小值和最大值各是多少?【例28】若解方程232x x +=-得2x =,则当x _________时直线2y x =+上的点在直线32y x =-上相应点的上方.【例29】如图,直线y kx b =+经过(21A ,,(12B --,两点,则不等式122x kx b >+>-的解集为______.【例30】一次函数y kx b =+的图象如图所示,当0y <时,x 的取值范围是(A .0x >B .0x <C .2x >D .2x <【例31】已知一次函数y kx b =+的图象如图所示,当1x <时,y 的取值范围是(A .20y -<<B .40y -<<C .2y <-D .4y <-【例32】一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图,则下列结论①0k <;②0a >;③当3x <时,12y y <中,正确的个数是(A .0B .1C .2D .3作业1. 一次函数y ax b =+经过点(11A ,及(21B -,点,求a ,b .2. 一次函数2y x =-的图象不经过(A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. 已知m 是整数,且一次函数(42y m x m =+++的图像不经过第二象限,则m =_______.4. 把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象,所得的两条直线平行,则此方程组(A .无解B .有唯一解C .有无数个解D .以上都有可能5. 直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为______.6. 如图所示的是函数y kx b =+与y mx n =+的图象,求方程组kx b ymx n y +=⎧⎨+=⎩的解关于原点对称的点的坐标是________.7. 一次函数y kx b =+(k b ,是常数,0k ≠的图象如图所示,则不等式0kx b +>的解集是( A .2x >- B .0x > C .2x <- D .0x <初一数学联赛班 8. 已知 k 七年级 a b c a b c a b c ，且 m 5 n2 9 6n ，则关于自变量 x 的一次函数 c b a y kx m n的图象一定经过第几象限？ 9. 已知一次函数 y kx b 6 与一次函数 y kx b 2 的图象的交点坐标为 A （2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与 y 轴围成的三角形的面积． 10. b 取什么整数值时，直线 y 3x b 2 与直线y x 2b 的交点在第二象限？思维的发掘能力的飞跃 11。

数学竞赛试题精选精解及答案【试题一】题目：已知函数 \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)，其中 \(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\) 均为实数，且 \(a \neq 0\)。

若 \(f(1) = 8\)，\(f(2) = 27\)，求 \(f(-1)\) 的值。

【精解】首先，根据给定条件，我们可以建立以下方程组：\[\begin{align*}a +b +c +d &= 8, \\8a + 4b + 2c + d &= 27.\end{align*}\]接下来，我们可以从第一个方程中解出 \(d\)：\[ d = 8 - a - b - c. \]将 \(d\) 的表达式代入第二个方程，得到：\[ 8a + 4b + 2c + (8 - a - b - c) = 27, \]简化后得到：\[ 7a + 3b + c = 19. \]现在我们有两个方程：\[\begin{align*}a +b +c + (8 - a - b - c) &= 8, \\7a + 3b + c &= 19.\end{align*}\]将第一个方程简化为：\[ 8 = 8, \]这是一个恒等式，说明我们的方程组是正确的。

现在我们需要找到 \(f(-1)\) 的值，根据函数表达式：\[ f(-1) = -a + b - c + d. \]将 \(d\) 的表达式代入，得到：\[ f(-1) = -a + b - c + (8 - a - b - c) = 8 - 2a - 2b - 2c. \]由于我们没有足够的信息来解出具体的 \(a\)，\(b\)，\(c\) 的值，我们无法直接计算 \(f(-1)\)。

但是，我们可以通过观察发现，\(f(1)\) 和 \(f(2)\) 的值与 \(f(-1)\) 有相似的形式，我们可以推测 \(f(-1)\) 的值可能与 \(f(1)\) 和 \(f(2)\) 的值有关。

初中数学竞赛之高斯函数对于任意实数x ，用[]x 表示不大于x 的最大整数，称为取整数。

符号[]叫做取整符号，或者叫做高斯记号。

一般地，[]x y =叫做取整函数，也叫做高斯函数或数论函数，自变量x 的取值范围是一切实数。

一、专题知识1.R ∈x ,[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[]x y =称为高斯函数。

记{}[]x x x -=称为x 的小数部分，{}10≤≤x 。

2.设R ∈y x ，，高斯函数[]x y =有如下性质：（1）[][]1+≤≤x x x .（2）若y x ≤，则[][]y x ≤.（3）[][]x n x n +≤+.（4）[][][]⎩⎨⎧∉--∈-=-)Z (1)Z (x x x x x （5）[][][]y x y x +≤+.（6）[][][]y x y x -≤-或[]1+-y x .（7）[][][][][]y y x x y x +++≥+22.二、例题分析例题1若[]a 表示实数a 的整数部分，求⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-76161的值。

【解】27379176161+=-=-，而372<<，从而327325<+<，从而276161=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-例题2[]x ，[]y ，[]z 分别不大于z y x ，，的最大整数。

若[]5=x ，[]3-=y ，[]1-=z ，求[]z y x --的值。

【解】由已知条件知65<≤x ，23-<≤-y ，01<≤-z ，32≤-<y ，10≤-<z ，107<--<z y x []z y x --的值为7，8，9。

例题3已知n 为正整数，证明：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 。

【证明】由于[][][]1+⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，变形得[][][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n 对于任意实数x ，有[][]1-<≤x x x 或[]x x x ≤<-1，由于[]⎪⎭⎫⎝⎛n x n 和[]⎪⎭⎫⎝⎛+1n x n 都是整数，且[][]1-<≤x x x ，所以[][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n ，故[][][]1+<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，所以[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 例题4解方程4)12(3534+=⎦⎤⎢⎣⎡+x x .【解】设m x =+4)12(3，则634-=m x ，则原方程化为m m =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-⋅536344，化简得m m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1538因为[]10<-≤x x ，所以115380<-+≤m m ，解得73712≤<-m ，由于Z ∈m ，所以0=m 或1-=m ，代入634-=m x 得，21-=x 或67-=x 原方程的解为21-=x 或67-=x三、专题训练1.已知n 为正整数，222131211nS n ++++= ，求[]n S 的值。

七年级数学竞赛第6讲：高斯函数一、内容提要1．设x 是实数，不大于x 的最大整数叫做x 的整数部分，记作[]x ，{}[]x x x =-称为x 的小数部分；例如：[]3.23=，{}3.20.2=，[]1.32-=-，{}1.30.7-=，1=，1=。

2．[]x 与{}x 具有如下基本性质：（1）对于任何实数x ，有[]{}x x x =+，其中{}01x ≤<。

（2）当{}0x =时，x 为整数；当x 为整数时，{}0x =。

（3）当01x ≤<时，[]0x =；反之，当[]0x =时，01x ≤<。

（4）对于任何实数x ，有[][]1x x x ≤<+，[]1x x x -<≤。

3．基本思路是寻求不等关系“1n x n ≤<+，某个整数n ”，确定[]x ，进而顺利解决问题。

二、例题精讲：【例1】（五羊杯竞赛题）若222211112341523415s +++⋅⋅⋅+=，则[]s = 。

1．（2012年上海新知杯竞赛）把所有除以4余2或者3的正整数从小到大排成一行，S （n ）为前n 个之和．求[][][][]2013321S S S S ++++【例2】（重庆市竞赛题）[]x 、[]y 、[]z 分别表示不超过x 、y 、z 的最大整数，若[]5x =，[]3y =-，[]2z =-，则[]x y z -+可以取值的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、41．[]x 、[]y 、[]z 分别表示不超过x 、y 、z 的最大整数，若[]5x =，[]3y =-，[]1z =-， 求[]x y z --的值。

2．（第33届美国数学竞赛题）设[]x 表示不超过x 的最大整数，又设,x y 满足方程组[][]23325y x y x ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，如果x 不是整数，那么x y +是（ ） A 、一个整数 B 、在4与5之间 C 、在-4与4之间 D 、在15与16之间 E 、16.53．（山东省竞赛题）设,x y 满足方程组[][]223216x y x y ⎧-=-⎪⎨-+=⎪⎩，求[]x y +的值。

第十六讲 锐角三角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式．三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：1．单调性；2．互余三角函数间的关系；3．同角三角函数间的关系．平方关系：sin 2α+cos 2α=1；商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=ααsin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1．【例题求解】【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ．思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=135=AC CD ，tanB=2=BDCD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：(1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==； （2）R Cc B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( )A ．32+B ．32-23-思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值．思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ，(1)求证：AC ＝BD ；(2)若sinC=1312，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；(2) sinC=ACAD =1312，引入参数可设AD=12k ，AC ＝13k ．【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根．(1)求实数p 、q 应满足的条件；(2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B的正弦?思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p 、q 应满足的条件．学历训练1．已知α为锐角，下列结论①sin α+cos α=l ；②如果α>45°，那么sin α>cos α；③如果cos α>21 ，那么α<60°； ④αsin 11)-(sin 2-=α．正确的有 ． 2．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，BC=1，cosB 135，则这个菱形的面积为 ． 3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB ＝BD ，利用此图可求得tan75°= ．4．化简(1)263tan 27tan 22-+ = ．(2)sin 2l °+sin 22°+…+sin 288°+sin 289°= ．5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )A ．甲的最高B ．丙的最高C ．乙的最低D ．丙的最低6．已知 sin αcos α=81，且0°<α<45°则co α-sin α的值为( ) A ．23 B ．23- C ．43 D ．43- 7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，D 是AC 的中点，则ctg ∠DBC 的值是( )A ．3B ．32C ． 23D ．43 8．如图，在等腰Rt △ABC 中．∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=51，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ． 1D ．229．已知关于x 的方程0)1(242=++-m x m x 的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m 的值．10．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，CD=2AD ，AE ⊥BC 于E ，若BD ＝8，sin ∠CBD=43，求AE 的长．11．若0°<α<45°，且sin αcon α=1673，则sin α= ． 12．已知关于x 的方程0)cos 1(2sin 423=-+⋅-ααx x 有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是 ．13．已知是△ABC 的三边，a 、b 、c 满足等式))((4)2(2a c a c b -+=，且有035=-c a ，则sinA+sinB+sinC 的值为 ．14．设α为锐角，且满足sin α=3cos α，则sin αcos α等于( )A ．61B ．51 C ．92 D ．103 15．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( )A ．2B ．23 C ．1 D ．21 16．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB=23，AC=32，则AB 的长是( ) A ．33+ B ．322+ C ．5 D ．29 17．己在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c=35，若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实根的平方和为6，求△ABC 的面积．18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC ＝90°，∠CBD °=30°，求AC 的长．19．设 a 、b 、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断n n b a +与n c 的关系，并证明你的结论．20．如图，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 滚动．(1)当△ABC 滚动一周到△A l B 1C 1的位置，此时A 点所运动的路程为 ，约为 π(2)设△ABC 滚动240°，C 点的位置为C ˊ，△ABC 滚动480°时，A 点的位置在A ˊ，请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tan α+tan β)÷(1-tan α·tan β)，求出∠CAC ˊ+∠CAA ˊ的度数．参考答案。

1.（2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、选择题）抛物线y =x 2+x +P(P ≠0)的图象与x 轴一个交点的横坐标是p ，那么该抛物线的顶点坐标是 ( )A.(0,−2)B.(12,−94)C.(−12,94)D.(−12,−94)分析：由题意知（P ，0）这个点在函数图像上，P ≠0，代入解得P= -2，最后由顶点式或者配方都可以求解.答案：D .技巧：直接由顶点式或者配方成顶点式解题.易错点：配方时容易出错.2. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、选择题）设0<k <1，关于x 的一次函数y =kx +1k (1−x)，当1≤x ≤2 时的最大值是 ( )A.kB.2k −1kC.1kD.k +1k分析：将方程变形为y =(k −1k )x +1k ，由0<k <1可知1k 〉1，所以函数是个递减函数，则χ=1时取最大值k.答案：A .技巧：函数变形，找出递增或递减函数，然后在定义域内求最值，这类题都可以用这种方法. 易错点：递增递减问题容易出错.3. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、选择题）直线L ： y =px （p 是不等于0的整数）与直线y =x +10的交点恰好是格点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线L 有 ( )A.6条B.7条C.8条D.无数条分析：解方程组{y =px y =x +10 得x =10P−1因为x 和p 都是整数，所以p −1=±10,±5，±2，±1，即P =11，-9，6，-4，3，-1，2，0，共8个值， p =0舍去 .答案：B .技巧：联立方程组，根据整数条件列出所有可能性进行判断 .易错点：容易漏掉条件或情况 .4. （4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、最值问题、填空题）已知函数y =(a −2)x −3a −1，当自变量x 的取值范围为3≤x ≤5时，y 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a 的取值范围为______________.分析：（1）当a=2时，函数为常数函数，不存在最大值和最小值.(2)当a >2时，一次函数y 随x 的增大而增大，由题意得：{(a −2)×3−3a −1<3(a −2)×5−3a −1>5，解得a >8. (3)当a <2时，y 随x 的增大而减小，由题意得：{(a −2)×3−3a −1>5(a −2)×5−3a −1>3. 无解 所以a 的取值范围是a >8 .答案：a >8 .技巧：根据函数的性质讨论a 的范围 .易错点：解不等式组时要小心.5. （4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、二次函数、填空题）不论m 取何值，抛物线y =x 2+2mx +m 2+m −1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是_________ .分析：将二次函数变形为y =(x +m)2+m −1，可知抛物线的顶点坐标为{x =−m y =m −1 ，消去m 得x +y =−1,所以y =−x −1. 答案：y =−x −1.技巧：把函数顶点表示出来，在利用函数关系联立起来就得解.易错点：消去m 的时候注意符号.6. （4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、二次函数、填空题）已知点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(2，0).若二次函数y =x 2+(a −3)x +3的图象与线段AB 只有一个交点，则a 的取值范围是___________分析：由题意可知由以下几种情况：如图（1）当交点在A 、B 之间时，那么有[12+(a −3)×1+3]×[22+(a −3)×2+3]<0 . 解得−1<a <−12 . （2）当交点是A 点时，有12+(a −3)×1+3=0得a =−1.此时x 1=1,x 2=3,符合题意.（3）当交点是B 点时，有22+(a −3)×2+3=0得a =−12⋅此时x 1=2,x 2=32，不符合 题 意. .（4）当抛物线与χ轴相切时，有x 2+(a −3)x +3=0，由判别式Δ=0得a =3±2√3.当a =3+2√3时， x 1=x 2=−√3，不合题意；当a =3−2√3时,x 1=x 2=√3,符合题意.综上所述，a 的取值范围是−1≤a <12 或a =3−2√3.答案： −1≤a <12 或a =3−2√3. 技巧：利用数型结合，找出所有可能情况.易错点：注意不要遗漏.7.（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、二次函数、解答题）求证：不论k 为何值，该方程 (2k −1)x −(k +3)y −(k −11)=0 的图象恒过一定点. 证明：将(2k −1)x −(k +3)y −(k −11)=0 变形为(2x −y −1)k =x +3y −11⋯①因为k 可取任何值，即关于k 的方程①有无穷多解，故{2x −y −1=0x +3y −11=0，解得{x =2y =3 ⋅因为点(2，3)是①的解，当然也适合原方程，故(2k −1)x −(k +3)y −(k −11)=0恒过定点(2，3).技巧：将k 分离出来，然后使系数为0就可以符合题目的条件.8.（4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、二次函数、解答题）已知mn 是两位数，二次函数y =x 2+mx +n 的图象与x 轴交于不同的两点，这两点间的距离不超过2.(1)求证： 0<m 2−4n ≤4;(2)求出所有这样的两位数mn .分析：(1)证明：设y =x 2+mx +n 的图象与x 轴的两交点为A(x 1,0),B(x 2,0),x 1≠x 2,则x 1,x 2为方程x 2+mx +n =0的两个不同的实根，所以x 1+x 2=−m,x 1x 2=n.又因 为0<|x 1−x 2|≤2,即0<(x 1+x 2)2−4x 1x 2≤4,也即0<m 2−4n ≤4.(2) 因为m ，n 为整数 (m ≠0)，且m=1~9，n=0~9.所以m 2−4n =1,2,3,4,而m 2被4除余0或1，故m 2−4n 被4除也余0或1，从而只能有m 2−4n =1或m 2−4n =4 .解这两个不定方程得{m =1n =0 或{m =3n =2 或{m =5n =6或{m =2n =0 或{m =4n =3 或{m =6n =8 ， 所以所求的两位数mn ̅̅̅̅为10,32,56,20,43,68.技巧：利用根与系数关系.易错点：分类讨论注意不要遗漏.9. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、二次函数、解答题）已知二次函数y =a(a +1)x 2−(2a +1)x +1，其中a 为正整数.(1)若函数y 的图象与x 轴相交于A ，B 两点，求线段AB 的长；(2)若a 依次取1，2，…，2005时，函数y 的图象与x 轴相交所截得的2005条线段分别为A 1B 1,A 2B 2，…，A 2005B 2005，试求这2005条线段长之和.分析：由题意知，|AB |=|χ1−χ2|，其中χ1，χ2分别是A 、B 两点的横坐标，再利用韦达定理解题，那么第一问就解决了.第二问是在第一问的结果的基础上进行裂项解决，很容易. 详解：(1)设函数y 的图象与x 轴交于两点A(x 1，0)，B(x 2，0)，则x 1，x 2是方程a(a +1)x 2−(2a +1)x +1=0的两个实根.由a(a +1)x 2−(2a +1)x +1=0得(ax −1)[(a +1)x −1]=0，所以x 1=1a ,x 2=1a+1⋅所以|AB |=|x 1−x 2|=1a −1a+1=1a (a+1)⋅因此所求线段的长为1a(a+1)（a 为正整数） .(2)当a 依次取1，2，…，2005时，所截得的线段长分别为|A 1B 1|=1−12,|A 2B 2|=1 2−13,⋯,|A2005B2005|=12005−12006⋅故|A1B1|+|A2B2|+⋯+|A2005B2005|= (1−12)+(12−13)+⋯+(12005−12006)=1−12006=20052006⋅技巧：第一问把距离用点坐标表示出来，然后利用韦达定理解决.第二问就在第一问的基础上进行裂项求和即可.易错点：在第一问中容易出现运算转化错误，如果导致结果错误的话，第二问将无从下手.。

全国各地初中（9年级）数学竞赛专题大全竞赛专题6 函数一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）2420x x y -+，则x y -的值为（ ）． A ．2B ．6C ．2或2-D ．6或6-2．（2021·全国·九年级竞赛）如图，两个反比例函数1k y x=和2ky x =在第一象限内的图象分别是1l 和2l ，设点P 在1l 上，PC x ⊥轴于点C ，交2l 于点,A PD y ⊥轴于点D ，交2l 于点B ，则四边形PAOB 的面积为（ ）．A ．12k k +B ．12k k -C ．12k kD ．21k k -3．（2021·全国·九年级竞赛）如右图，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作x 轴的垂线交双曲线1y x=于点Q ，连接OQ ，当点P 向右运动时，Rt QOP 的面积（ ）．A ．逐渐增大B ．逐渐减小C ．保持不变D ．无法确定4．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b ，c 是ABC 三边的长，二次函数2()22b b y a x cx a =----在1x =取最小值83b -，则ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形5．（2021·全国·九年级竞赛）若函数22(1)32y k x x k k =++++-的图象与x 轴交点的纵坐标为4-，则k 的值是（ ） A ．1-B ．2-C ．1-或2D ．1-或2-6．（2021·全国·九年级竞赛）设[]x 表示不超过实数x 的最大整数，{}[]x x x =-，则200983201083401783200920092009⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（ ）． A ．249075 B ．250958 C ．174696 D ．2510007．（2021·全国·九年级竞赛）在实数范围内，设1988(2)(1)(2)(1)511111a a a a a x a a ⎡⎤--+--⎢⎥+=⎢⎥-⎢⎥+-⎣⎦，则x 的个位数字是（ ）． A ．1B ．2C ．4D ．68．（2021·全国·九年级竞赛）设抛物线24y x kx =++与x 轴有两个不同交点()()12,0,,0x x ，则下列结论中一定成立的是（ ）．A ．221217x x += B ．22128x x +=C ．221217x x +< D ．22128x x +>9．（2021·全国·九年级竞赛）设Rt ABC △的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2y x 上，并且斜边AB 平行于x 轴，若斜边上的高为h ，则（ ） A ．1h <B ．1h =C ．12h <<D ．2h >10．（2021·全国·九年级竞赛）设,n k 为正整数，12132(3)(1)4,(5)4,(7)4A n n A n A A n A +-+=++=++431(9)4,,(21)4,k k A n A A n k A -++=+++，已知1002005A =，则n 的值为（ ）．A ．1806B ．2005C ．3612D ．4100二、填空题11．（2021·全国·九年级竞赛）边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1:2的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是_________． 12．（2021·全国·九年级竞赛）若0abc ≠，则||||||||a b c abca b c abc +++的最大值是________，最小值是__________． 13．（2021·全国·九年级竞赛）若0x >，则24411x x x y ++-+=的最大值是________．14．（2021·全国·九年级竞赛）设x 为正实数，则函数21y x x x=-+的最小值是______．15．（2021·全国·九年级竞赛）已知,a b 为抛物线()()2y x c x c d =----与x 轴交点的横坐标，a b <，则||||a c c b -+-的值为______．16．（2021·全国·九年级竞赛）设正ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上任意一点，PA PM 十的最大值和最小值分别记为s 和t ，则22s t -=_______． 17．（2021·全国·九年级竞赛）若2008个数122008,,,a a a 满足：12a =，2n a -1112008n n n a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭102008+=，其中，2n =，3，…，2008．那么2008a 可能达到的最大值是_________．18．（2021·全国·九年级竞赛）设333199519961997,0x y z xyz ==>，且2223333199519961997199519961997x y z ++111x y z++=_______． 19．（2021·全国·九年级竞赛）如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为7，那么当2x =时，该式的值是_________．20．（2021·全国·九年级竞赛）函数23||7y x x =-+的图象与函数22336y x x x x =-+-+的图象的交点个数是_______．21．（2021·全国·九年级竞赛）不论m 取任何实数，抛物线2221y x mx m m =+++-的顶点都在一条直线上，则这条直线的解析式是______．22．（2021·全国·九年级竞赛）如果一次函数y mx n =+与反比例函数3n x y x -=的图象相交于点1,22⎛⎫⎪⎝⎭，那么该直线与双曲线的另一个交点为________．23．（2021·全国·九年级竞赛）函数|1||2||3|y x x x =+++++，当x =_______时，y 有最小值，最小值等于_______．24．（2021·全国·九年级竞赛）当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是_______．25．（2021·全国·九年级竞赛）代数式21133110x x +的最小值是_______．26．（2021·全国·九年级竞赛）已知a ，b 是正数，并且二次函数22y x ax b =++和22y x bx a =++的图象都与x 轴相交，则22a b +的最小值是________． 三、解答题27．（2021·全国·九年级竞赛）在直径为5的圆内放入10个点，证明其中必有两点的距离小于2． 28．（2021·全国·九年级竞赛）试求1231997x x x x -+-+-++-的最小值．29．（2021·全国·九年级竞赛）当12x ≤≤2121x x x x +---30．（2021·全国·九年级竞赛）一幢33层的大楼里有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次．对每个人来讲，他往下走一层楼感到1分不满意，往上走一层感到3分不满意．现有32个人在第一层，并且他们分别住在第2层至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小值？最小值是多少？（有些人可以不坐电梯直接从楼梯上楼） 31．（2021·全国·九年级竞赛）求函数22233x y x x +=++的最大值和最小值．32．（2021·全国·九年级竞赛）已知,,a b c 都是正整数，且抛物线2y ax bx c =++与x 轴有2个不同的交点A 和B ，若,A B 到原点的距离都小于1，求a b c ++的最小值．33．（2021·全国·九年级竞赛）求2221026249T x y z xy yz z =++---+的最小值．34．（2021·全国·九年级竞赛）在40与100之间任取一个实数x ，如果[]7x =，那么1610x ⎡=⎣的概率是多少?这是[]a 表示不超过a 的最大整数（要求答案写成最简分数的形式）．35．（2021·全国·九年级竞赛）如图，D E F 、、分别是ABC 的三边BC CA AB 、、上任意一点，证明：,,AEF BFD CDE △△△中至少有一个三角形的面积不大于ABC 的面积的四分之一．36．（2021·全国·九年级竞赛）某林场安排了7天的植树工作，从第二天起每天都比前一天增加5个植树的人，但从第二天起每人每天都比前一天少植5棵树，且同一天植树的人，植相同数量的树．若7天共植树9947棵，则植树最多的那天共植了多少棵？植树最少的那天，有多少人在植树？37．（2021·全国·九年级竞赛）一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次．对于每个人来说他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32个人在第一层，并且他们分别在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使32人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不坐电梯而直接从楼梯上楼）． 38．（2021·全国·九年级竞赛）已知正整数m ，n 17434m m n -+=，求n 的最大值． 39．（2021·全国·九年级竞赛）对于1,2,3,,i n =，有|| 1 i x <且有12||||||n x x x +++=122009||n x x x ++++．求正整数n 的最小值．40．（2021·全国·九年级竞赛）整数012010,,,x x x 满足条件：00x =，10|||1|x x =+，21|||1|x x =+，…，201020091x x =+，求122010x x x +++的最小值．41．（2021·全国·九年级竞赛）平面内给定一个方向l 和一个凸图形F ，其面积为()S F ，内接于F 且有一边平行于l 的所有三角形中面积最大的记为，其面积记()S ．求最大正实数c ，使对平面内任意给定的凸图形F ，都有()()S c S F ≥⋅．42．（2021·全国·九年级竞赛）已知x ，y ，z 是正数且1x y z ++=，比较149A x y z=++与36B =的大小，并问A 能否等于B ?43．（2021·全国·九年级竞赛）（1）证明：若x 取任意整数时，二次函数2y ax bx c =++总取整数值，那么2,,a a b c -都是整数；（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论．44．（2021·全国·九年级竞赛）已知一次函数12y x =，二次函数221y x =+，是否存在二次函数23y ax bx c =++，其图象经过点(5,2)-，且对任意实数，这三个函数对应的函数值123,,y y y ，都有132y y y ≤≤成立？若存在，求出函数3y 的解析式；若不存在，请说明理由．45．（2021·全国·九年级竞赛）点(4,0),(0,3)A B 与点C 构成边长是3,4,5的直角三角形．如果点C 在反比例函数ky x=的图象上，求k 可能取到的一切值． 46．（2021·全国·九年级竞赛）已知一次函数y ax b =+的图象经过点(3,32),(3),(,2)A B C c c --，求222a b c ab bc ca ++---的值．47．（2021·全国·九年级竞赛）如图，在直角梯形OABC 中，//OA BC ，A ，B 两点的坐标分别是(13,0)A ，(11,12)B ，动点P ，Q 分别从O ，B 两点同时出发，点P 以每秒3个单位长的速度沿OA 方向运动，点Q 以每秒1个单位长的速度沿线段BC 运动，线段OB 与PQ 的交点为D ，过D 作//DE OA 交AB 于E ，射线QE 交x 轴于点F ，设P ，Q 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，以P A B Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，请写出推理过程．（2）设以P A E Q 、、、为顶点的图形面积为y ，求y 关于运动时间t 的函数关系式，并求出y 的最大值． （3）当t 为何值时，PQF △为等腰三角形？请写出推理过程．48．（2021·全国·九年级竞赛）已知抛物线21:34c y x x =--+和抛物线22:34c y x x =--相交于A ，B 两点，点P 在抛物线1c 上，且位于点A 与点B 之间；点Q 在抛物线2c 上，也位于点A 与点B 之间． （1）求线段AB 的长；（2）当//PQ y 轴时，求PQ 长度的最大值．49．（2021·全国·九年级竞赛）已知x ，y ，z 为实数，且满足2023x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩，求222x y z ++的最小值．50．（2021·全国·九年级竞赛）函数22(21)y x k x k =+-+的图象与x 轴的两个交点是否都在直线1x =的右侧，若是，请说明理由；若不一定，请求出两个交点在直线1x =的右侧时，k 的取值范围．竞赛专题6 函数答案解析一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）2420x x y -+，则x y -的值为（ ）． A ．2 B ．6C ．2或2-D ．6或6-【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】解：2420x x y -+，2420x x y -+=，240x -，20x y +=，即2,2x y x =±=-，于是()236x y x x x -=--==或6-． 故选：D ．2．（2021·全国·九年级竞赛）如图，两个反比例函数1k y x=和2ky x =在第一象限内的图象分别是1l 和2l ，设点P 在1l 上，PC x ⊥轴于点C ，交2l 于点,A PD y ⊥轴于点D ，交2l 于点B ，则四边形PAOB 的面积为（ ）．A ．12k k +B ．12k k -C ．12k kD ．21k k -【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】OACOBDPOOD PAOB S S SS=--长方形四边形．设(,),(,),(,)P a b A c d B e f ，则122,,ab k cd k ef k ===，所以12212111111222222PAOB S PC PD AC OC BD OD ab cd ef k k k k k =⨯-⨯⨯-⨯⨯=--=--=-四边形．故选：B ．3．（2021·全国·九年级竞赛）如右图，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作x 轴的垂线交双曲线1y x=于点Q ，连接OQ ，当点P 向右运动时，Rt QOP 的面积（ ）．A ．逐渐增大B ．逐渐减小C ．保持不变D ．无法确定【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】设(,)Q a b ，则,OP a PQ b ==，且1b a=，所以111222OPQS OP PQ ab =⨯⨯=⨯=． 故选：C ．4．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b ，c 是ABC 三边的长，二次函数2()22b by a x cx a =----在1x =取最小值83b -，则ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】解 依题意可得2220,,42,231,2,52()52338()223ba b a a b c b c a a b c ABC b a c b c b b b a c a b⎧⎪->⎧⎪>⎧⎪⎪=⎪⎪-⎪⎪=⇒+=⇒⇒+=⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-=⎪⎪⎪=⎩⎩⎪----=-⎪⎩是直角三角形．故应选D ．注：从前面的例题可以看出，解有关二次函数的最值问题，不仅要熟悉有关二次函数的性质，还要灵活运用相关的不等式知识、几何知识等，才能使问题得到顺利解决．5．（2021·全国·九年级竞赛）若函数22(1)32y k x x k k =++++-的图象与x 轴交点的纵坐标为4-，则k 的值是（ ） A ．1- B ．2-C ．1-或2D ．1-或2-【答案】B【分析】 【详解】解 因0x =时，4y =-代入函数关系得2432k k -=+-，即(1)(2)0k k ++=，所以1k =-或2k =-．故应选D ．注：本题中的函数可以是一次函数，也可以是二次函数．不能一开始就默认它是二次函数，约定10k +≠，从而错误地选择了B ．6．（2021·全国·九年级竞赛）设[]x 表示不超过实数x 的最大整数，{}[]x x x =-，则200983201083401783200920092009⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（ ）． A ．249075 B ．250958 C ．174696 D ．251000【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】原式(20090)83(20091)83(20092008)83200920092009+⨯+⨯+⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦083183200883838383200920092009⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦083183200883083183200883832009200920092009200920092009⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⨯++++----⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭83083183200883200983(122008)2009200920092009⨯⨯⨯⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⨯++++----⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭083183200883200983831004200920092009⨯⨯⨯⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⨯+⨯----⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭．显然，2009与83互质，083,183,,200883⨯⨯⨯除以2009有2009个不同的余数．所以，08318320088301200810042009200920092009⨯⨯⨯+++⎧⎧⎫⎧⎫+++==⎨⎨⎬⎨⎬⎩⎩⎭⎩⎭． 故原式200983831004100416674782328249075=⨯+⨯-=+=．7．（2021·全国·九年级竞赛）在实数范围内，设1988(2)(1)(2)(1)511111a a a a a x a a ⎡⎤--+--⎢⎥+=⎢⎥-⎢⎥+-⎣⎦，则x 的个位数字是（ ）． A ．1 B ．2C ．4D ．6【答案】D【分析】 【详解】解：要使x 有意义，必须且只需(2)(1)0,(2)(1)0,(2)(1)0,1,110,21101a a a a a a a a a a a⎧--≥⎪⎧--=--≥⎪⎪⎪⇒≠⇒=-⎨⎨-≠⎪⎪≠⎩⎪+≠⎪-⎩． 所以1988198********05(1)1()(2)(2)1611(1)12x ⨯⨯-+=+=-=-=--+， 故x 的个位数字为6， 故选：D ．8．（2021·全国·九年级竞赛）设抛物线24y x kx =++与x 轴有两个不同交点()()12,0,,0x x ，则下列结论中一定成立的是（ ）．A ．221217x x += B ．22128x x += C ．221217x x +< D ．22128x x +> 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由2244016k k =-⨯>⇒>．又因1212,4x x k x x +=-=，所以()2222121212281688x x x x x x k +=+-=->-=． 故选：D ．9．（2021·全国·九年级竞赛）设Rt ABC △的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2y x 上，并且斜边AB 平行于x 轴，若斜边上的高为h ，则（ ） A ．1h < B ．1h = C ．12h << D ．2h >【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解 设A 的坐标为()2,a a ，点C 的坐标为()2,(|||| )c c c a <，则B 点的坐标为()2,a a -．由勾股定理可得()22222()AC a c a c =-+-，()22222()BC c a a c =++-，则22222(2)4AC BC AB a a +===， 于是()()222222224a c a c a ++-=，即()22222a c a c -=-．由于22a c >，所以221a c -=，即斜边上的高h =（A 的纵坐标）-（C 的纵坐标）221a c =-=． 注：（1）如图仅画出了0c a <<的情形，在其他情形下，计算是完全相同的．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，利用勾股定理可得计算A 与B 的距离的公式为()()2222121AB x x y y =-+-．10．（2021·全国·九年级竞赛）设,n k 为正整数，12132(3)(1)4,(5)4,(7)4A n n A n A A n A +-+=++=++431(9)4,,(21)4,k k A n A A n k A -++=+++，已知1002005A =，则n 的值为（ ）．A ．1806B ．2005C ．3612D ．4100【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】2221[(1)2][(1)2]4(1)24(1)1A n n n n n +++-+=+-++=+， 2222[(3)2][(3)2]4(3)24(3)3A n n n n n +++-+=+-+=+=+， 2223[(5)2][(5)2]4(5)24(5)5A n n n n n +++-++-+++，同理451007,9,,21001199200520051991806A n A n A n n n =+=+=+⨯-=+=⇒=-=．故选：A ． 二、填空题11．（2021·全国·九年级竞赛）边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1:2的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是_________． 37【解析】 【分析】设等腰三角形的腰为x ，底为y ，周长被分为的两部分的长分别为n 和2n ，则222x x n x y n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩或222x x n x y n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得25(,),33n n x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭或4,33n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为25233n n ⨯<（此时不能够成三角形，舍去），所以4(,),33n n x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中n 是3的倍数．则三角形面积2221472336n n n S ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当0n ≥时，S 随着n 的增大而增大．所以3n =时．S 37 12．（2021·全国·九年级竞赛）若0abc ≠，则||||||||a b c abca b c abc +++的最大值是________，最小值是__________． 【答案】 4 -4 【解析】 【分析】 【详解】 因为1||a a =±，1||b b =±，1||c c =±，1||abc abc =±，所以44||||||a b ca b c -≤++≤． 当a ，b ，c 全为正时等于4，当a ，b ，c 全为负时等于4-，故其最大值是4，最小值是4-． 13．（2021·全国·九年级竞赛）若0x >，则24411x x x y ++-+=的最大值是________．32 【解析】 【分析】 【详解】因0x >，244222441111111x x x x y xx x x ++++==++++-+22222211121232x x x x x x+⋅+⋅等号成立当且仅当221(0)x x x =>，即1x =，所以0x >时，1y 32y 3232=+ 故答案为：0x >时，1y 32y 3232=+ 14．（2021·全国·九年级竞赛）设x 为正实数，则函数21y x x x=-+的最小值是______．【答案】1【分析】 【详解】 211(1)10211(0)y x x x x x x=-++-≥+⋅=>，等号当且仅当1x =且1x x =，即1x =时成立，故y 的最小值为1， 故答案为：1．15．（2021·全国·九年级竞赛）已知,a b 为抛物线()()2y x c x c d =----与x 轴交点的横坐标，a b <，则||||a c c b -+-的值为______． 【答案】b a - 【解析】 【分析】 【详解】依题意，该抛物线开口向上，又当x a =或b 时，0y =．当x c =时，20y =-<，所以a c b <<，故||||a c c b c a b c b a -+-=-+-=-．故答案为：b a -．16．（2021·全国·九年级竞赛）设正ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上任意一点，PA PM 十的最大值和最小值分别记为s 和t ，则22s t -=_______． 【答案】43 【解析】 【分析】 【详解】因为PA CA ≤，PM CM ≤，故当P 处于BC 边顶点C 这一极端位置时，PM PA 十取最大值，最大值为32s CM CA =+=．如图4-1，作正'A BC ，设'M 为'A B 的中点，则由'PBM PBM ≌得'PM PM ，于是''PA PM PA PM AM +=+≥．连'CM ，则'ACM ∠='ACB BCM ∠+∠=603090︒+︒=︒，所以'AM =22'AC CM +=222(3)7+'7PA AM PM +≥=A 、P 、'M 共线时等号成立，即PA AM +的最小值为7t =22s t -=22(32)(7)3-=4317．（2021·全国·九年级竞赛）若2008个数122008,,,a a a 满足：12a =，2n a -1112008n n n a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭102008+=，其中，2n =，3，…，2008．那么2008a 可能达到的最大值是_________．【答案】200620082 【解析】 【分析】 【详解】依题意11102008n n nn a a a a --⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12008n n a a -= ①或11n n a a -=② 于是连续两次第②类变换互相抵消，保持原数不变，并且当连续三次变换依次是“第①类变换，第②类变换，第①类变换”时，其效果相当为进行一次第②类变换，故从12a =出发变到2008a ，一共要经过2007次变换，相当于进行若干次第①类变换和至多2次第②类变换，并且第②类变换只有第一次、最后一次进行才可能使2008a 最大．其中以前2006次进行第①类变换，最后一次进行第②类变换时，2008a 达到最大值200620082．18．（2021·全国·九年级竞赛）设333199519961997,0x y z xyz ==>，且2223333199519961997199519961997x y z ++111x y z++=_______． 【答案】1 【解析】 【分析】 【详解】解：因0xyz >，故3331995199619970x y z k ===>，则3331995,1996,1997k k k x y z ===， 3333333k k k k k kx y z x y z++， 两端三次方得3111111()x y z x y z++=++．又0,0,0x y z >>>，所以1111x y z++=．故答案为：1．19．（2021·全国·九年级竞赛）如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为7，那么当2x =时，该式的值是_________． 【答案】17- 【解析】 【分析】 【详解】解：因为当2x =-时，535328257ax bx cx a b c ++-=----=， 所以328212a b c +=-＋，于是当2x =时，5353282512517ax bx cx a b c ++-=++-=--=-． 故答案为：17-．20．（2021·全国·九年级竞赛）函数23||7y x x =-+的图象与函数22336y x x x x =-+-+的图象的交点个数是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】 【详解】第一个函数化为2237(0),37(0),x x x y x x x ⎧++<=⎨-+≥⎩第二个函数化为26(03),266(03).x y x x x x ≤≤⎧=⎨-+⎩或 分别作它们的图象知，它们共有4个交点．或者分别解方程组(22237,37,(0),00)2666y x x y x x x x y x x y ⎧=++=-+<≤≤⎨=-+=⎩及2237,(3)266y x x x y x x ⎧=-+>⎨=-+⎩，可得4个交点为(1111(985,6285,(35),6,(35),6,(313),82222A B C D ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：4．21．（2021·全国·九年级竞赛）不论m 取任何实数，抛物线2221y x mx m m =+++-的顶点都在一条直线上，则这条直线的解析式是______． 【答案】1y x =-- 【解析】 【分析】 【详解】二次函数化为2()1y x m m =++-，得顶点坐标为,1,x m y m =-⎧⎨=-⎩消去m 得1y x =--．故答案为：1y x =--．22．（2021·全国·九年级竞赛）如果一次函数y mx n =+与反比例函数3n x y x -=的图象相交于点1,22⎛⎫⎪⎝⎭，那么该直线与双曲线的另一个交点为________． 【答案】51,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 【详解】将1,22x y ==代入,31y mx n ny x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得12,2261,m n n ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩于是1,23.n m ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 解方程13,2312y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得1,22x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1,5.2x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩故另一交点为51,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故答案为：51,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．23．（2021·全国·九年级竞赛）函数|1||2||3|y x x x =+++++，当x =_______时，y 有最小值，最小值等于_______．【答案】 2- 2 【解析】 【分析】 【详解】解 当3x ≤-时，(1)(2)(3)3(2)y x x x x =-+-+-+=-+； 当32x -<≤-时，(1)(2)(3)y x x x x =-+-+++=-；当21x -<≤-时，(1)(2)(3)4y x x x x =-+++++=+； 当1x >-时，(1)(2)(3)3(2)y x x x x =+++++=+．故|1||2||3|y x x x =+++++在(,2]-∞-上递减，在[2,)-+∞上递增，当2x =-时，y 取最小值2．故应填2,2-（如图）．注：①一般说来，对于含绝对值的一次函数，应分区间将绝对值符号去掉变成折线函数，再根据函数的增减性（一次项系数为正时递增，为负时递减）就不难得出所求函数的最大（或最小）值．如果作出其图象，那么其结果是一目了然的．②本题的一种简单解法是利用差的绝对值的几何意义来求解：因为||x a -表示数轴上坐标为x 的点P 到坐标为a 的点A 的距离，故|1||2||3|y x x x =+++++表示数轴上坐标为x 的点P 到坐标分别为1,2,3---的点,,A B C 的距离之和．显然当P 与B 重合时，即2x =-时，这个距离之和为最小，其最小值为线段AC 的长度|(1)(3)|2---=．又如，若要求|9||8||3||1||5||6|y x x x x x x =-+-+-++++++的最小值，则它等价于求数轴上坐标为x 的点P ，分别到坐标为9,8,3,1,5,6---的各点,,,,,A B C D E F 的距离之和的最小值． 显然当P 在线段CD 上，即当13x -≤≤时，这个距离之和取最小值，并且最小值|9(6)||8(5)||3(1)|32AF BE CD =++=--+--+--=．24．（2021·全国·九年级竞赛）当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是_______．【答案】4 【解析】 【分析】 【详解】解 令22365112x x y x x ++=++，去分母整理得 2(6)(212)2100y x y x y -+-+-=．若6y =，则①化为20=，矛盾．故6y ≠． 因为作为x 的方程①有实根x ，故()22(212)4(6)(210)410244(4)(6)0y y y y y y y =----=--+=---≥，即(4)(6)0y y --≤，解得46y ≤≤． 而6y ≠，所以46y ≤<．4y =代入①可得1x =-，故当1x =-时，y 取最小值4．故应填4．注：例5~7中求最值的方法叫做判别式法．这是求函数最值的重要方法之一．但应该注意的是，化简整理为一个关于x 的二次方程后（其余数是变量y 的函数），对其二次项系数是否为零应进行讨论，只有在二次项系数不等于零的情形才能应用判别式法（若使二次项系数等于0的y 的值存在，则这个值也是函数y 可取到的值，在求最值时，应将这个值考虑在内进行讨论）．25．（2021·全国·九年级竞赛）代数式21133110x x +的最小值是_______． 【答案】3223【解析】 【分析】 【详解】解 设21133110y x x =+，则()222(110)1133y x x +=+，即22222032233113y xy x +=⨯+⨯．关于x 的方程222322322031130x yx y ⨯-+⨯-=有实根，所以 ()()222222(220)432233113411332230y y y =--⨯⨯⨯⨯-=⨯-⨯≥（因为22220432234113+⨯⨯=⨯），所以3223y ≥． 当且仅当223x =y 取最小值3223 故应填322326．（2021·全国·九年级竞赛）已知a ，b 是正数，并且二次函数22y x ax b =++和22y x bx a =++的图象都与x 轴相交，则22a b +的最小值是________． 【答案】20 【解析】 【分析】 【详解】解 因两条抛物线都与x 轴相交，故其判别式218a b =-及22(2)4b a =-都不小于零，即22222280,8,8440a b a b a b a b b a b a⎧⎧-≥≥⎪⇒⇒+≥+⎨⎨-≥≥⎪⎩⎩． 因,a b 都是正数，所以423(8)64644a b a a a ≥≥⇒≥⇒≥，及242b a b ≥≥⇒≥，所以22224220a b +≥+=，即22a b +的最小值为20．故应填20．注：本题中求最值的方法叫做放缩法，即根据题目条件，将各变量的值适当放缩为一个常数，从而求出其最值． 三、解答题27．（2021·全国·九年级竞赛）在直径为5的圆内放入10个点，证明其中必有两点的距离小于2． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】分析 把圆等分为9个扇形显然不行（虽然必有一扇形内至少有2点，但不保证它们的距离小于2），因此，我们先作一个与已知圆同心的小圆（其直径必须小于2，但不能太小），然后将余下的圆环部分8等分． 证明 设O 是已知圆心，如图，以O 为圆心作半径为0.9的圆，再将余下的圆环8等分，于是将已知圆面分成了9个部分，由抽屉原理知其中必有一部分内至少有已知10点中的101129-⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦点,M N ，若,M N 在小圆内，则220.9 1.82MN OC ≤=⨯=<． 若,M N 同在一个扇面形内，则由余弦定理，有222cos45MN AC OC OA OC OA ≤+-⋅︒0.81 6.2520.9 2.50.7 3.912+-⨯⨯⨯<．从例2可以看出，分割图形制造“抽屉”时，可能不是将图形等分为几部分，而是要求分割的每一部分图形都具有所需要的性质（例2中每一部分图形内任意两点的距离都小于2），读者应用这种方法解题时，应该注意到这一点．28．（2021·全国·九年级竞赛）试求1231997x x x x -+-+-++-的最小值．【答案】997002． 【解析】 【分析】 【详解】解：要求1219961997x x x x -+-+⋯+-+-的最小值，只要在数轴上找出x 所对应的点，使这点到1，2，3，…，1997所对应的点的距离之和最小即可． 如图1-1所示，当999x =时，原式的值最小，最小值为999199929999989999999991000999100199919969991997-+-+⋯+--+-+-+⋯+-+-＋99899721012997998=++⋯++++++⋯++(9981)99822+⨯=⨯997002=．29．（2021·全国·九年级竞赛）当12x ≤≤2121x x x x +--- 【答案】21x -． 【解析】 【分析】 【详解】解：令2121(12)A x x x x x +---≤≤，则 222212(21)21A x x x x x x =+-----22224422(2)x x x x x =--+=--()()22222241x x x x x =--=--=-，又0,12A x >≤≤，所以1A x =-30．（2021·全国·九年级竞赛）一幢33层的大楼里有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次．对每个人来讲，他往下走一层楼感到1分不满意，往上走一层感到3分不满意．现有32个人在第一层，并且他们分别住在第2层至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小值？最小值是多少？（有些人可以不坐电梯直接从楼梯上楼） 【答案】当电梯停在第27层时，不满意总分最小，最小值为316分 【解析】 【分析】 【详解】解易知这32人恰好是从第2层到第33层各住1人．对于每个乘电梯上下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数（事实上，设住s 层的人乘电梯，而住第t 层的人直接上楼，s t <，则这2人不满意分数之和为3t ；若两人交换上楼方式，则2人不满意分数之和为33s t <，即不满意总分减小． 设电梯停在第x 层，在第一层有y 人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为3[12(33)]3(12)[12(2)]S x y x y =+++-++++++++--，其中3[12(33)]x +++-是住在第1x +层至第33层的人（共33x -人）的不满意总分之和，3(12)y +++是直接从楼梯上楼的人（共y 人）的不满意总分之和，12(2)x y +++--是从第2y +层至第1x -层的人（共2x y --人）的不满意总分之和，于是331(33)(34)(1)(2)(1)222S x x y y x y x y =--+++----222102231684x xy x y y =--+++ 222(102)231684x y x y y =-++++()221021215180308648y x y y +⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭22102152(6)31631648y x y +⎛⎫=-+-+≥ ⎪⎝⎭，且当27,6x y ==时，316S =．答：当电梯停在第27层时，不满意总分最小，最小值为316分．注：求含2个或2个以上变量的代数式的最大（小）值时，配方法是其中有效方法之一；另一种方法则是利用已有不等式将含有变量的代数式化为一个不大于（或不小于）一个常数c 的不等式，并能确定等号可以成立，则常数c 便是所求的最大值（或最小值）；第三种方法就是化为一元二次方程用判别式法（参看§5例4~7），等等．31．（2021·全国·九年级竞赛）求函数22233x y x x +=++的最大值和最小值．【答案】当2x =-时，y 取最小值2-；当0x =时，y 取最大值23，理由见解析． 【解析】 【分析】 【详解】将原式整理为关于x 的方程：2(32)(32)0yx y x y +-+-=．若0y =，则1x =-，即0y =是函数的一个值；若0y ≠，则因关于x 的方程有实根，所以2(32)4(32)(32)(324)0y y y y y y =---=---≥，即(32)(2)0y y -+≤，解得223y -≤≤．由此可看出0y =即不是最大值也不是最小值． 当2y =-时，由222233x x x +-=++，解得2x =-；当23y =时，由2222333x x x +=++，解得0x =．所以当2x =-时，y 取最小值2-；当0x =时，y 取最大值23．32．（2021·全国·九年级竞赛）已知,,a b c 都是正整数，且抛物线2y ax bx c =++与x 轴有2个不同的交点A 和B ，若,A B 到原点的距离都小于1，求a b c ++的最小值． 【答案】11，见解析． 【解析】 【分析】【详解】设()()()1212,0,,0A x B x x x <，则1212120,0,00b x x ax x c x x a ⎧+=-<⎪⎪⇒<<⎨⎪⋅=>⎪⎩． 又2402b ac b ac =->⇒>① 又因为121,1OA x OB x =<=<， 故121210,101cx x x x c a a-<<-<<⇒=<⇒<．② 因0a >，抛物线开口向上，故1x =-时，0y a b c =-+>，得b a c <+．而,b a c +均为正整数，故1a c b +≥+，于是由①得21()1a c ac a c +>⇒>，由②1a c >，即1a c >，于是22(1)(11)4a c >≥+=，所以5a ≥．又22514b ac >⨯，所以5b ≥．取5,5,1a b c ===时，2551y x x =++满足题目条件，故a b c ++的最小值为55111++=． 33．（2021·全国·九年级竞赛）求2221026249T x y z xy yz z =++---+的最小值． 【答案】5 【解析】 【分析】 【详解】解 ()()()22222692445T x xy y y yz z z z =-++-++-++222(3)()(2)55x y y z z =-+-+-+≥．当6,2x y z ===时，T 取最小值5．注：例2~3中求最值的方法是常用的配方法．34．（2021·全国·九年级竞赛）在40与100之间任取一个实数x ，如果[]7x =，那么1610x ⎡=⎣的概率是多少?这是[]a 表示不超过a 的最大整数（要求答案写成最简分数的形式）． 【答案】780【解析】 【分析】 【详解】因[]7x =，故2278,78x x <≤≤≤．而要使[16]10x =，即22101611,2.5 2. 75,2.5 2.75x x x ≤≤≤，故所求概率22222.75 2.25 1.31257871580p -===-． 35．（2021·全国·九年级竞赛）如图，D E F 、、分别是ABC 的三边BC CA AB 、、上任意一点，证明：,,AEF BFD CDE △△△中至少有一个三角形的面积不大于ABC 的面积的四分之一．【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】证明 记123,,,ABC AEF BFD CDE S S S S S S S S ====，于是11sin 21sin 2AE AF A S AE AFS AB ACAB AC A ⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅．同理32,S S BF BD CD CE S BA BC S CA CB⋅⋅==⋅⋅， 所以1233222()()()S S S AF FB BD DC CE EA S AB BC CA ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅ 222222122264AF FB BD DC CE EA AB BC CA +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤=⋅⋅． 31234S S S S ． 由平均值原理得123,,S S S 中必有一个不大于S4．即证． 36．（2021·全国·九年级竞赛）某林场安排了7天的植树工作，从第二天起每天都比前一天增加5个植树的人，但从第二天起每人每天都比前一天少植5棵树，且同一天植树的人，植相同数量的树．若7天共植树9947棵，则植树最多的那天共植了多少棵？植树最少的那天，有多少人在植树？ 【答案】植树最少的那天有54人或24人植树． 【解析】 【分析】 【详解】设第4天有m 人植树，每人植树n 棵，则第4天共植树mn 棵；第3天有5m -人植树，每人植5n +棵，则第3天共植树(5)(5)m n -+棵．同理，第2天共植树(10)(10)m n -+棵；第1天共植树(15)(15)m n -+棵；第5天共植树(5)(5)m n +-棵；第6天共植树(10)(10)m n +-棵；第7天共植树(15)(15)m n +-棵．由七天共植树9947棵得(15)(15)(10)(10)m n m n -++-++(5)(5)(5)(5)m n mn m n -++++-(10)(10)m n ++-(15)(15)9947m n ++-=．化简得77009947mn -=，1521mn =．因221521313=⨯．又每天都有人植树，所以15m >，15n >，故39m n ==．因为第4天植树棵数为39391521⨯=，其他各天植树棵数为(39)(39)a a -+=21521a -（5a =，10或15），所以第4天植树最多，这一天共植树1521棵． 当15a =时，2239a -的植树棵数最少．又当15a =时，植树人数为391554+=或391524-=，所以植树最少的那天有54人或24人植树． 37．（2021·全国·九年级竞赛）一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次．对于每个人来说他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32个人在第一层，并且他们分别在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使32人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不坐电梯而直接从楼梯上楼）． 【答案】当电梯停在第27层时，这32人不满意的总分达到最小，最小值为316分． 【解析】 【分析】 【详解】易知，这32人恰好是第2至第33层各住一人，对于每个乘电梯上、下梯的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数．事实上，设住s 层的人乘电梯，而住第t 层的人直接走楼梯上楼，且s t <，交换两人上楼方式，其余人不变，则不满意总分不增．现分别证明如下：设电梯停在第x 层，①当x s t ≤<时，若住在第s 层的坐电梯，住第t 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为3(1)3()t s x -+-=3333t s x +--；交换两人上楼方式，则两者不满意总分为3(1)3()s t x -+-=3333t s x +--，两者相等；②当s x t <<时，若住s 层的人乘电梯，而住第t 层的人直接走楼梯上楼，则这两人不满意总分为3(1)()t x s -+-=33t x s +--；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为3(1)3()s t x -+-=3333t x s -+-，前者比后者多4()0x s ->；③当s t x <≤时，若住s 层的人乘电梯，住t 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为3(1)()t x s -+-=33t x s +--；交换两人上楼方式，则这两者的不满意总分为3(1)()s x t -+-=33s x t +--，前者比后者多4()0t s ->．今设电梯停在第x 层，设有y 人直接走楼梯上楼，则11y x +≤-，那么不满意总分为3(12)s y =+++3[12(33)]x ++++-[12(11)]x y ++++---3(1)3(33)(34)22y y x x +--=++(2)(1)2x y x y ----222102231684x xy x y y =--+++222(102)231684x y x y y =-++++=210224y x +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()211518030688y y +-+210224y x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭215(6)3163168y +-+≥． 当27x =，6y =时，316s =，所以，当电梯停在第27层时，这32人不满意的总分达到最小，最小值为316分．38．（2021·全国·九年级竞赛）已知正整数m ，n 17434m m n -+=，求n 的最大值． 【答案】104 【解析】 【分析】 【详解】设70a m =-，104104a a n -+=，两边平方得22222104a a n +-=．令222104a b -=（b 为正整数），则2()()104a b a b -+=．由于-a b 与a b +同奇偶，即同为偶数，所以当2a b -=时，a b +取最大值52104⨯．这时，222()104n a b =+=为最大，所以n 的最大值为104． 39．（2021·全国·九年级竞赛）对于1,2,3,,i n =，有|| 1 i x <且有12||||||n x x x +++=122009||n x x x ++++．求正整数n 的最小值．【答案】正整数n 的最小值为2010． 【解析】 【分析】 【详解】 作整体估计如下：2009=1212||||||||n n x x x x x x +++-+++12||||||n x x x n ≤+++<，所以2010n ≥．当2010n =时，取121005x x x ===20092010=，10061007x x ===201020092010x =-，则||1i x <(1,2,,2010) i =且122010|||||x x x +++2009=+122010||x x x +++，满足题目条件，故所求n 的最小值为2010．40．（2021·全国·九年级竞赛）整数012010,,,x x x 满足条件：00x =，10|||1|x x =+，21|||1|x x =+，…，201020091x x =+，求122010x x x +++的最小值．【答案】122010x x x +++的最小值为7．【解析】 【分析】 【详解】由已知条件可得：2210021x x x =++，2221121x x x =++，…，2220102009200921x x x =++，各式相加整理后得22010x =()2001200922010x x x x +++++．又00x =，故有122010x x x +++=2201020101220102x x +-()220101120112x =+-． 因122010x x x +++为整数，故()220101x +为奇数，又2243201045<<且2432011-=16214>=2452011-，所以122010x x x +++2145201172≥-=．。

初中数学竞赛函数知识点讲解函数是数学中一个非常重要的概念，它在初中数学竞赛中也是一个经常出现的知识点。

下面，我将为您讲解一下初中数学竞赛中关于函数的知识点。

1.函数的定义：函数是一个有特定关系的数集，也可以理解为一个数集和另一个数集之间的对应关系。

通常我们用字母表示函数，如f、g、h等。

在函数中，通常有自变量和因变量两个变量，自变量的取值决定了因变量的值，可以用对应关系式表示：y=f(x)。

其中，x是自变量，y是因变量，y=f(x)表示y是x的函数。

2.函数的性质：(1) 定义域：函数中自变量的取值范围称为定义域，常用符号表示为D(f)。

例如，在一元一次函数y = ax + b中，定义域为全体实数（即D(f) = R）。

(2) 值域：函数中因变量的取值范围称为值域，常用符号表示为R(f)。

例如，在一元一次函数y = ax + b中，值域是全体实数（即R(f) = R）。

(3)奇偶性：若对于函数中的每一个x值，都有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；若对于函数中的每一个x值，都有f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；若奇函数和偶函数的性质都不具备，则函数为非奇非偶函数。

(4)单调性：函数的单调性表示函数在定义域内的递增或递减趋势。

若对于函数中的每一对不等的x1和x2，有x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则函数为严格递增函数；若对于函数中的每一对不等的x1和x2，有x1<x2时，f(x1)>f(x2)，则函数为严格递减函数。

3.常见函数类型：(1) 一元一次函数：一元一次函数的一般表达式为y = ax + b，其中a和b是常数，a≠0。

一元一次函数的图象是一条直线，斜率为a，截距为b。

(2) 二次函数：二次函数的一般表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，a≠0。

二次函数的图象是一条开口向上或向下的抛物线。

(3)绝对值函数：绝对值函数的一般表达式为y=，x，即y等于x的绝对值。

初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题1.已知函数f(x) = 2x - 3，求f(4)的值。

A. 2B. 5C. 6D. 7答案：C. 6解析：将x = 4代入函数f(x) = 2x - 3，得到f(4) = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5。

因此，答案为C. 6。

2.下列哪个不是三角形的内角？A. 90度B. 120度C. 180度D. 270度答案：C. 180度解析：三角形的内角之和总是等于180度。

因此，180度不是三角形的内角，而是一条直线的内角。

答案为C. 180度。

3.已知a = 3，b = 4，c = 5，求三角形的周长。

A. 6B. 12C. 15D. 20答案：C. 15解析：三角形的周长等于三条边的长度之和。

因此，周长 = a + b +c = 3 + 4 + 5 = 12。

答案为C. 15。

4.若x + 3 = 7，则x的值是多少？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A. 2解析：将x + 3 = 7转化为x = 7 - 3，得到x的值为2。

因此，答案为A. 2。

5.已知正方形的周长为20cm，求正方形的边长。

A. 4cmB. 5cmC. 10cmD. 20cm答案：B. 5cm解析：正方形的周长等于4倍的边长。

因此，边长 = 周长 / 4 = 20 /4 = 5。

答案为B. 5cm。

二、填空题1.已知等差数列的首项a₁ = 2，公差d = 3，求该数列的第10项。

答案：28解析：根据等差数列的通项公式an = a₁ + (n - 1) * d，代入a₁ = 2，d = 3，n = 10，得到a10 = 2 + (10 - 1) * 3 = 2 + 9 * 3 = 2 + 27 = 28。

2.若x² + 3x + k是一个完全平方数，则k的值为多少？答案：9/4解析：对于一个完全平方数，它的因式分解必然是两个相同的因式相乘。

根据已知的二次项系数求平方根的方法，可以得到k = (b/2a)² = (3/2)² = 9/4。

初中数学竞赛高斯函数[x](含答案)1.如果$x$为任意实数，用$[x]$表示不大于$x$的最大整数，例如：$[-7] = 7$，$[-3.1] = -4$，$[3]=3$，则满足等式$[x]-3=0$的$x$的范围是$x\in [3,4)$。

2.若$[x]=5$，$[y]=-3$，$[z]=-1$，$[x-y-z]$可以取值的个数是$4$。

3.设$[x]$表示不超过$x$的最大整数，若$M=[x]$，$N=[x-0.5]$，则$M>N$。

4.给出下面三个命题：1）$[x + 1] = [x] + 1$;2）$[x + y] = [x] + [y]$；3）$[x\cdot y] = [x]\cdot[y]$。

其中正确命题的个数是$2$。

5.$[x]$表示取数$x$的整数部分，若$y=\left\lfloor\frac{x}{\sqrt{x}}\right\rfloor$，其中$x\geq 1$，则表达式中$u$等于$\frac{x+2}{x+1}$。

6.实数$a,b$满足关系式$b=[a]+[a-2]-1$和$b=[a]+1$，则$b$的值一定是整数。

7.设$[x]$表示不超过$x$的最大整数，对任意实数$x$，下面式子正确的是$[x]>-x$。

8.记号$[x]$表示不超过$x$的最大整数，设$n$是自然数，且$I=(n+1)+n-[(n+1)+n+1]$，则$I<0$。

9.设$x\geq 0$，求证：$[[x]]=\XXX。

10.记$[a]$为不大于$a$的最大整数，$\{a\}=a-[a]$，求证：如果$\{x\}+\{y\}=1$，则$[x+y]=[x]+[y]+1$。

第7讲二次函数。

022·广东，九年级统考觉赛〉如图，在四边形ABCD中，ADI/BC, LA=45°, LC=90。

，AD=4cm, 一、单选题CD=3cm.动点M,N同时从点A出发，点M以.ficm怜的速度？的AB向终点B运动，点N以2cm/s的速度沿拆线AD－即向终点C运动．设点N的运动时间为ts,AMN的面积为Scm2，则下列图象自巨大致反映S与t之间函数关系的是（BS/cm2 S/cm2A. B。

S/cm2 S/cm2c. D.。

7s2.(2021·全国九年级党赛）一条抛物线y= ax2 +hx+c的顶点为（4,-11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则。

，b, c中为正数的（A. 只有aB.只有b c.只有c D.只有。

和b3.(2021·全国九年级党赛）己知二次i1E1数y=ax2+bx＋己的图象如图所示，则下列代数式：ab,ac, a+b+c, a-b+c, 2a吨，2a-b中，其值为正的代数式的个数为（}\1A.2个B.3个 c.4个 D.4个以上4.(2021·全国九年级党赛〉在平面直角坐标系z句中，作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向在平移2个单位，向上半移1个单位，得到的抛物线C的两数负析式是y=2（λ＋1)2-1，贝！｜抛物线A所对应的的函数解析式是（A. y=-2(x+3)2-2B.y=-2(x+3)2 +2C. y=-2(x-1)1-2D.y=-2(x-1)1+25.(2021 ·全国丸年级竞赛〉己知α－b=4,ab+c2÷4=0，则α＋b=( ) .A.4B.0C.2D.-26.(2021·全国九年级党赛）在平丽直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次27函数y=-x1+6x-4的图象与X车rb所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的孩点的个数是（〉A.5B.6 c.7 D.87.(2023春·浙江宁波九年级校联考竞赛〉二次函数y=x2+2x+c的图象与x轴的两个交点为A（码，0). B（句，o），且λ｝〈毛，点P(m,n）是囱象上一点，那么下列判断正确的是〈〉A.当n>O时，川〈λlB.当n>O时，m＞λ；2c.当n.<0时，m<O D.当n<O时，x1<m<x18.(2017秋·江苏镇江·九年级党赛）函数y=ax1+bx+c图像的大致位置如｜到所示，则忡，bc,2α忡，（a+c)2-b2,“＋ b)2 -c1, l l-a2等代数式的值中，正数有（〉xA. 2个B.3个 c.4个 D. 5个9.(2022·福建·九年级统考竞赛）已知二次函数y=ax气的＋c的图象交x轴于A（刀，0），β（λz,0）两点，交y轴于点C(O，匀，若X1+ X2 = 4，且b.ABC的丽积为3，则。