初中数学竞赛函数专题(详解)

初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)初中数学奥林匹克竞赛全真试题（全国联赛卷）（详解版）一、填空题1. 如果函数 f(x)=x^2-2x+1的根为 a,b，那么a + b 等于_____.答案：-12. 已知正整数 m、n 满足 mx+ny=1（m、n 都不为 0），若 m + n 等于 8，则 m - n 等于_____.答案：73. 若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=3，Sn=15，则 n 的值是_____.答案：64. 在△ABC 中，已知 a=4，b=4，c=8，若 AB+AC=9，则∠B =_____.答案：45°二、选择题5. 已知 A、B 两点的坐标分别为（3，1）、（5，-1），则 AB 是_______.A. 水平的直线B. 斜率为 1 的直线C. 斜率为 -1/3 的直线D. 竖直的直线答案：B6. 若正方形的边长为 x，周长为 5x，则 x 的值等于_______.A. 4B. 5C. 8D. 10答案：A7. 已知tanα=2，cotβ=-3，则 tan（α-β）等于_______.A. 5B. -5C. -1/5D. 1/5答案：B8. 把一个正整数分成 K 份，第一份的数量是剩下的 K-1 份的总和的（）A. 1/2B. 3/2C. 2/3D. 3/4答案：B三、解答题9. 已知函数 f(x)=2x+1，若直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，求该曲线上点 P 的坐标答：设点 P 的坐标为 (x,y)，因为直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，所以曲线上点 P 的 y 值可由 4x+3y=37 中求得，即 y=12-4/3x，由函数 f(x)可得 12-4/3x=2x+1，故 x=7，代入 y=12-4/3x 可得 y=12-4/3(7)=8。

点 P的坐标即为 (7, 8)。

10. 已知△ABC 中，a=3，b=3，∠A=120°，求 B 的坐标答：由△ABC 中 A 的坐标为（0，0），a=3，b=3 可知 C 的坐标为（3，0），∠A=120°，∠C=60°，因为∠B=60，则以 C 为外接圆圆心，半径为3 的圆○上可得点B，即B(√3，1)，综上所述，点B 的坐标为（√3，1）。

D CBA初中数学竞赛试题一、 选择题（共8小题，每小题5分，满分40分。

以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、 C 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填在题后的括号里，不填、多填或错填均得零分） 1．函数y ＝1x-图象的大致形状是（ ）A B C D2．老王家到单位的路程是3500米，老王每天早上7：30离家步行去上班，在8：10（含8：10）到8：20（含8：20）之间到达单位。

如果设老王步行的速度为x 米／分，则老王步行的速度范围是（ ）A ．70≤x ≤87.5B ．70≤x 或x ≥87.5C ．x ≤70D ．x ≥87.53．如图，AB 是半圆的直径，弦AD ，BC 相交于P ，已知∠DPB ＝60°，D 是弧BC 的中点，则tan ∠ADC 等于（ ） A ．12B ．2 CD4．抛物线()20y x x p p =++≠的图象与x 轴一个交点的横坐标是P ，那么该抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（0，－2） B ．19,24⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．19,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．19,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，CD 是角平分线，则△DBC 的面积与△ABC 的面积的比值是（） A ．22B ．23C ．32D ．336．直线l ：()0y px p =是不等于的整数与直线y ＝x ＋10的交点yxOyx OyxOyxO恰好是（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线l 有（ ） A ．6条 B ．7条 C ．8条 D ．无数条7．把三个连续的正整数a ，b ，c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入20x x ++= 的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方程至少有一个整数根的a ，b ，c （ ）A ．不存在B ．有一组C ．有两组D ．多于两组8．六个面上分别标有1,1，2,3，3,5六个数字的均匀立方体的表面如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数主该点的纵坐标。

初一数学联赛班七年级第4讲一次函数知识总结归纳一. 正比例函数的一般形式是y kx =(0k ≠,一次函数的一般形式是y kx b =+(0k ≠.二. 一次函数y kx b =+的图象是经过(0bk -,和(0b ,两点的一条直线. 三. 一次函数y kx b =+的图象与性质四. 一次函数与一元一次方程的关系直线0y kx b k =+≠(与x 轴交点的横坐标,就是一元一次方程00kx b k +=≠(的解.求直线y kx b =+与x 轴交点时,可令0y =,得到方程0kx b +=,解方程得bx k =-,直线y kx b =+交x 轴于(0b k -,,bk -就是直线y kx b =+与x 轴交点的横坐标.五. 一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为0ax b +>或0ax b +<(a b 、为常数,0a ≠的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小于0时,求自变量相应的取值范围. 六. 一次函数与二元一次方程(组的关系一次函数的解析式0y kx b k =+≠(本身就是一个二元一次方程,直线0y kx b k =+≠(上有无数个点,每个点的横纵坐标都满足二元一次方程0y kx b k =+≠(,因此二元一次方程的解也就有无数个.初一数学联赛班七年级典型例题一. 基础训练【例1】已知函数(1012y m x m =-+-,(1m 为何值时,这个函数是一次函数; (2m 为何值时,这个函数是正比例函数.【例2】已知正比例函数y kx =(0k ≠,点(23-,在函数上,则y 随着x 的增长而_______(增长或减少.【例3】求直线23y x =--与x 轴和y 轴的交点,并画出这条直线.【例4】若一次函数3y x b =+的图像经过点(14P ,,求该函数图象的解析式.【例5】已知一次函数的图像经过点(35,与(49--,.求这个一次函数的解析式.初一数学联赛班七年级【例6】一次函数(15 y m x=++,y值随x增大而减小,则m的取值范围是( A.1m>-B.1m<-C.1m=-D.1m<【例7】一次函数23y x=-的图象不经过(A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例8】正比例函数1(2my m x-=-的图象一定通过(A.原点和(2,1-B.第一、三象限C.第二、四象限D.第一、三或第二、四象限二.巩固提高【例9】(1已知直线45y ax a=-+不经过第二象限,求a的取值范围.(2已知一次函数(21(1y m x m=+++的图象不经过第一象限,求m的取值范围. 【例10】若直线y kx b=+与直线32y x=+平行,且在y轴上的交点坐标为(05,,求k和b的值.初一数学联赛班七年级【例11】 (1将直线24y x =-向上平移5个单位后,所得直线的表达式是多少?(2将直线24y x =-向右平移3个单位后,所得直线的表达式是多少?【例12】已知函数y kx b =+的图象如图,则2y kx b =+的图象可能是(【例13】已知一次函数(32(4y a x b =+--,求字母a 、b 为何值时:(1y 随x 的增大而增大; (2图象不经过第一象限; (3图象经过原点; (4图象平行于直线y =-4x +3; (5图象与y 轴交点在x 轴下方.【例14】已知整数x 满足55x -≤≤,11y x =+,224y x =+对任意一个x ,m 都取1y ,2y 中的较小值,则m 的最大值是(A . 1B . 2C . 24D .9-初一数学联赛班七年级【例15】根据下列要求分别写出相应的函数关系式:(1y与x正比例,其图象过点1P;(2函数(21y kx k=-+的图象过原点.【例16】对于一次函数(25(4y k x k=-+-.(1(2若函数为正比例函数,且与y mx=的图象关于x轴对称,求m的值.【例17】一次函数3y kx=+的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5,则k的值是多少?【例18】已知一次函数的图象经过点(22,,它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1,求这个一次函数的解析式.【例19】已知四条直线3y kx =-,1y =-,3y =和1x =所围成的四边形的面积是12,求k 的值.【例20】一个一次函数的图像与直线59544y x =+平行,与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ,并且过点(125--,,则在线段AB 上(包括端点A 、B ,横、纵坐标都是整数的点有多少个?三. 一次函数与一元一次方程综合【例21】已知直线(322y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点,m 的值为(A .2-B .2C .1-D .0【例22】已知一次函数y kx b =+的图象经过点(20,,(13,,则不求k b ,的值,可直接得到方程3kx b +=的解是x =______.四. 一次函数与二元一次方程(组综合【例23】已知直线3y x =-与22y x =+的交点为(5-,8-,则方程组30220x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解是________.【例24】已知方程组y ax c y kx b -=⎧⎨-=⎩(a b c k ,,,为常数,0ak ≠的解为2 3x y =-⎧⎨=⎩,则直线y ax c =+和直线y kx b =+的交点坐标为________.五. 一次函数与一次不等式综合【例25】已知一次函数25y x =-+.画出它的图象,求出当x 为何值时,0y >,0y =,0y <.【例26】已知15y x =-,221y x =+.当12y y >时,x 的取值范围是(A .5x >B .12x <C .6x <-D .6x >-【例27】已知一次函数23y x =-+(1当x 取何值时,函数y 的值在1-与2之间变化?(2当x 从2-到3变化时,函数y 的最小值和最大值各是多少?【例28】若解方程232x x +=-得2x =,则当x _________时直线2y x =+上的点在直线32y x =-上相应点的上方.【例29】如图,直线y kx b =+经过(21A ,,(12B --,两点,则不等式122x kx b >+>-的解集为______.【例30】一次函数y kx b =+的图象如图所示,当0y <时,x 的取值范围是(A .0x >B .0x <C .2x >D .2x <【例31】已知一次函数y kx b =+的图象如图所示,当1x <时,y 的取值范围是(A .20y -<<B .40y -<<C .2y <-D .4y <-【例32】一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图,则下列结论①0k <;②0a >;③当3x <时,12y y <中,正确的个数是(A .0B .1C .2D .3作业1. 一次函数y ax b =+经过点(11A ,及(21B -,点,求a ,b .2. 一次函数2y x =-的图象不经过(A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. 已知m 是整数,且一次函数(42y m x m =+++的图像不经过第二象限,则m =_______.4. 把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象,所得的两条直线平行,则此方程组(A .无解B .有唯一解C .有无数个解D .以上都有可能5. 直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为______.6. 如图所示的是函数y kx b =+与y mx n =+的图象,求方程组kx b ymx n y +=⎧⎨+=⎩的解关于原点对称的点的坐标是________.7. 一次函数y kx b =+(k b ,是常数,0k ≠的图象如图所示,则不等式0kx b +>的解集是( A .2x >- B .0x > C .2x <- D .0x <初一数学联赛班 8. 已知 k 七年级 a b c a b c a b c ，且 m 5 n2 9 6n ，则关于自变量 x 的一次函数 c b a y kx m n的图象一定经过第几象限？ 9. 已知一次函数 y kx b 6 与一次函数 y kx b 2 的图象的交点坐标为 A （2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与 y 轴围成的三角形的面积． 10. b 取什么整数值时，直线 y 3x b 2 与直线y x 2b 的交点在第二象限？思维的发掘能力的飞跃 11。

数学竞赛试题精选精解及答案【试题一】题目：已知函数 \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)，其中 \(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\) 均为实数，且 \(a \neq 0\)。

若 \(f(1) = 8\)，\(f(2) = 27\)，求 \(f(-1)\) 的值。

【精解】首先，根据给定条件，我们可以建立以下方程组：\[\begin{align*}a +b +c +d &= 8, \\8a + 4b + 2c + d &= 27.\end{align*}\]接下来，我们可以从第一个方程中解出 \(d\)：\[ d = 8 - a - b - c. \]将 \(d\) 的表达式代入第二个方程，得到：\[ 8a + 4b + 2c + (8 - a - b - c) = 27, \]简化后得到：\[ 7a + 3b + c = 19. \]现在我们有两个方程：\[\begin{align*}a +b +c + (8 - a - b - c) &= 8, \\7a + 3b + c &= 19.\end{align*}\]将第一个方程简化为：\[ 8 = 8, \]这是一个恒等式，说明我们的方程组是正确的。

现在我们需要找到 \(f(-1)\) 的值，根据函数表达式：\[ f(-1) = -a + b - c + d. \]将 \(d\) 的表达式代入，得到：\[ f(-1) = -a + b - c + (8 - a - b - c) = 8 - 2a - 2b - 2c. \]由于我们没有足够的信息来解出具体的 \(a\)，\(b\)，\(c\) 的值，我们无法直接计算 \(f(-1)\)。

但是，我们可以通过观察发现，\(f(1)\) 和 \(f(2)\) 的值与 \(f(-1)\) 有相似的形式，我们可以推测 \(f(-1)\) 的值可能与 \(f(1)\) 和 \(f(2)\) 的值有关。

初中数学竞赛之高斯函数对于任意实数x ，用[]x 表示不大于x 的最大整数，称为取整数。

符号[]叫做取整符号，或者叫做高斯记号。

一般地，[]x y =叫做取整函数，也叫做高斯函数或数论函数，自变量x 的取值范围是一切实数。

一、专题知识1.R ∈x ,[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[]x y =称为高斯函数。

记{}[]x x x -=称为x 的小数部分，{}10≤≤x 。

2.设R ∈y x ，，高斯函数[]x y =有如下性质：（1）[][]1+≤≤x x x .（2）若y x ≤，则[][]y x ≤.（3）[][]x n x n +≤+.（4）[][][]⎩⎨⎧∉--∈-=-)Z (1)Z (x x x x x （5）[][][]y x y x +≤+.（6）[][][]y x y x -≤-或[]1+-y x .（7）[][][][][]y y x x y x +++≥+22.二、例题分析例题1若[]a 表示实数a 的整数部分，求⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-76161的值。

【解】27379176161+=-=-，而372<<，从而327325<+<，从而276161=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-例题2[]x ，[]y ，[]z 分别不大于z y x ，，的最大整数。

若[]5=x ，[]3-=y ，[]1-=z ，求[]z y x --的值。

【解】由已知条件知65<≤x ，23-<≤-y ，01<≤-z ，32≤-<y ，10≤-<z ，107<--<z y x []z y x --的值为7，8，9。

例题3已知n 为正整数，证明：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 。

【证明】由于[][][]1+⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，变形得[][][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n 对于任意实数x ，有[][]1-<≤x x x 或[]x x x ≤<-1，由于[]⎪⎭⎫⎝⎛n x n 和[]⎪⎭⎫⎝⎛+1n x n 都是整数，且[][]1-<≤x x x ，所以[][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n ，故[][][]1+<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，所以[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 例题4解方程4)12(3534+=⎦⎤⎢⎣⎡+x x .【解】设m x =+4)12(3，则634-=m x ，则原方程化为m m =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-⋅536344，化简得m m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1538因为[]10<-≤x x ，所以115380<-+≤m m ，解得73712≤<-m ，由于Z ∈m ，所以0=m 或1-=m ，代入634-=m x 得，21-=x 或67-=x 原方程的解为21-=x 或67-=x三、专题训练1.已知n 为正整数，222131211nS n ++++= ，求[]n S 的值。

七年级数学竞赛第6讲：高斯函数一、内容提要1．设x 是实数，不大于x 的最大整数叫做x 的整数部分，记作[]x ，{}[]x x x =-称为x 的小数部分；例如：[]3.23=，{}3.20.2=，[]1.32-=-，{}1.30.7-=，1=，1=。

2．[]x 与{}x 具有如下基本性质：（1）对于任何实数x ，有[]{}x x x =+，其中{}01x ≤<。

（2）当{}0x =时，x 为整数；当x 为整数时，{}0x =。

（3）当01x ≤<时，[]0x =；反之，当[]0x =时，01x ≤<。

（4）对于任何实数x ，有[][]1x x x ≤<+，[]1x x x -<≤。

3．基本思路是寻求不等关系“1n x n ≤<+，某个整数n ”，确定[]x ，进而顺利解决问题。

二、例题精讲：【例1】（五羊杯竞赛题）若222211112341523415s +++⋅⋅⋅+=，则[]s = 。

1．（2012年上海新知杯竞赛）把所有除以4余2或者3的正整数从小到大排成一行，S （n ）为前n 个之和．求[][][][]2013321S S S S ++++【例2】（重庆市竞赛题）[]x 、[]y 、[]z 分别表示不超过x 、y 、z 的最大整数，若[]5x =，[]3y =-，[]2z =-，则[]x y z -+可以取值的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、41．[]x 、[]y 、[]z 分别表示不超过x 、y 、z 的最大整数，若[]5x =，[]3y =-，[]1z =-， 求[]x y z --的值。

2．（第33届美国数学竞赛题）设[]x 表示不超过x 的最大整数，又设,x y 满足方程组[][]23325y x y x ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，如果x 不是整数，那么x y +是（ ） A 、一个整数 B 、在4与5之间 C 、在-4与4之间 D 、在15与16之间 E 、16.53．（山东省竞赛题）设,x y 满足方程组[][]223216x y x y ⎧-=-⎪⎨-+=⎪⎩，求[]x y +的值。

第十六讲 锐角三角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式．三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：1．单调性；2．互余三角函数间的关系；3．同角三角函数间的关系．平方关系：sin 2α+cos 2α=1；商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=ααsin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1．【例题求解】【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ．思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=135=AC CD ，tanB=2=BDCD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：(1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==； （2）R Cc B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( )A ．32+B ．32-23-思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值．思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ，(1)求证：AC ＝BD ；(2)若sinC=1312，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；(2) sinC=ACAD =1312，引入参数可设AD=12k ，AC ＝13k ．【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根．(1)求实数p 、q 应满足的条件；(2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B的正弦?思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p 、q 应满足的条件．学历训练1．已知α为锐角，下列结论①sin α+cos α=l ；②如果α>45°，那么sin α>cos α；③如果cos α>21 ，那么α<60°； ④αsin 11)-(sin 2-=α．正确的有 ． 2．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，BC=1，cosB 135，则这个菱形的面积为 ． 3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB ＝BD ，利用此图可求得tan75°= ．4．化简(1)263tan 27tan 22-+ = ．(2)sin 2l °+sin 22°+…+sin 288°+sin 289°= ．5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )A ．甲的最高B ．丙的最高C ．乙的最低D ．丙的最低6．已知 sin αcos α=81，且0°<α<45°则co α-sin α的值为( ) A ．23 B ．23- C ．43 D ．43- 7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，D 是AC 的中点，则ctg ∠DBC 的值是( )A ．3B ．32C ． 23D ．43 8．如图，在等腰Rt △ABC 中．∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=51，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ． 1D ．229．已知关于x 的方程0)1(242=++-m x m x 的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m 的值．10．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，CD=2AD ，AE ⊥BC 于E ，若BD ＝8，sin ∠CBD=43，求AE 的长．11．若0°<α<45°，且sin αcon α=1673，则sin α= ． 12．已知关于x 的方程0)cos 1(2sin 423=-+⋅-ααx x 有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是 ．13．已知是△ABC 的三边，a 、b 、c 满足等式))((4)2(2a c a c b -+=，且有035=-c a ，则sinA+sinB+sinC 的值为 ．14．设α为锐角，且满足sin α=3cos α，则sin αcos α等于( )A ．61B ．51 C ．92 D ．103 15．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( )A ．2B ．23 C ．1 D ．21 16．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB=23，AC=32，则AB 的长是( ) A ．33+ B ．322+ C ．5 D ．29 17．己在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c=35，若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实根的平方和为6，求△ABC 的面积．18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC ＝90°，∠CBD °=30°，求AC 的长．19．设 a 、b 、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断n n b a +与n c 的关系，并证明你的结论．20．如图，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 滚动．(1)当△ABC 滚动一周到△A l B 1C 1的位置，此时A 点所运动的路程为 ，约为 π(2)设△ABC 滚动240°，C 点的位置为C ˊ，△ABC 滚动480°时，A 点的位置在A ˊ，请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tan α+tan β)÷(1-tan α·tan β)，求出∠CAC ˊ+∠CAA ˊ的度数．参考答案。

1.（2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、选择题）抛物线y =x 2+x +P(P ≠0)的图象与x 轴一个交点的横坐标是p ，那么该抛物线的顶点坐标是 ( )A.(0,−2)B.(12,−94)C.(−12,94)D.(−12,−94)分析：由题意知（P ，0）这个点在函数图像上，P ≠0，代入解得P= -2，最后由顶点式或者配方都可以求解.答案：D .技巧：直接由顶点式或者配方成顶点式解题.易错点：配方时容易出错.2. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、选择题）设0<k <1，关于x 的一次函数y =kx +1k (1−x)，当1≤x ≤2 时的最大值是 ( )A.kB.2k −1kC.1kD.k +1k分析：将方程变形为y =(k −1k )x +1k ，由0<k <1可知1k 〉1，所以函数是个递减函数，则χ=1时取最大值k.答案：A .技巧：函数变形，找出递增或递减函数，然后在定义域内求最值，这类题都可以用这种方法. 易错点：递增递减问题容易出错.3. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、选择题）直线L ： y =px （p 是不等于0的整数）与直线y =x +10的交点恰好是格点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线L 有 ( )A.6条B.7条C.8条D.无数条分析：解方程组{y =px y =x +10 得x =10P−1因为x 和p 都是整数，所以p −1=±10,±5，±2，±1，即P =11，-9，6，-4，3，-1，2，0，共8个值， p =0舍去 .答案：B .技巧：联立方程组，根据整数条件列出所有可能性进行判断 .易错点：容易漏掉条件或情况 .4. （4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、最值问题、填空题）已知函数y =(a −2)x −3a −1，当自变量x 的取值范围为3≤x ≤5时，y 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a 的取值范围为______________.分析：（1）当a=2时，函数为常数函数，不存在最大值和最小值.(2)当a >2时，一次函数y 随x 的增大而增大，由题意得：{(a −2)×3−3a −1<3(a −2)×5−3a −1>5，解得a >8. (3)当a <2时，y 随x 的增大而减小，由题意得：{(a −2)×3−3a −1>5(a −2)×5−3a −1>3. 无解 所以a 的取值范围是a >8 .答案：a >8 .技巧：根据函数的性质讨论a 的范围 .易错点：解不等式组时要小心.5. （4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、二次函数、填空题）不论m 取何值，抛物线y =x 2+2mx +m 2+m −1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是_________ .分析：将二次函数变形为y =(x +m)2+m −1，可知抛物线的顶点坐标为{x =−m y =m −1 ，消去m 得x +y =−1,所以y =−x −1. 答案：y =−x −1.技巧：把函数顶点表示出来，在利用函数关系联立起来就得解.易错点：消去m 的时候注意符号.6. （4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、二次函数、填空题）已知点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(2，0).若二次函数y =x 2+(a −3)x +3的图象与线段AB 只有一个交点，则a 的取值范围是___________分析：由题意可知由以下几种情况：如图（1）当交点在A 、B 之间时，那么有[12+(a −3)×1+3]×[22+(a −3)×2+3]<0 . 解得−1<a <−12 . （2）当交点是A 点时，有12+(a −3)×1+3=0得a =−1.此时x 1=1,x 2=3,符合题意.（3）当交点是B 点时，有22+(a −3)×2+3=0得a =−12⋅此时x 1=2,x 2=32，不符合 题 意. .（4）当抛物线与χ轴相切时，有x 2+(a −3)x +3=0，由判别式Δ=0得a =3±2√3.当a =3+2√3时， x 1=x 2=−√3，不合题意；当a =3−2√3时,x 1=x 2=√3,符合题意.综上所述，a 的取值范围是−1≤a <12 或a =3−2√3.答案： −1≤a <12 或a =3−2√3. 技巧：利用数型结合，找出所有可能情况.易错点：注意不要遗漏.7.（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、二次函数、解答题）求证：不论k 为何值，该方程 (2k −1)x −(k +3)y −(k −11)=0 的图象恒过一定点. 证明：将(2k −1)x −(k +3)y −(k −11)=0 变形为(2x −y −1)k =x +3y −11⋯①因为k 可取任何值，即关于k 的方程①有无穷多解，故{2x −y −1=0x +3y −11=0，解得{x =2y =3 ⋅因为点(2，3)是①的解，当然也适合原方程，故(2k −1)x −(k +3)y −(k −11)=0恒过定点(2，3).技巧：将k 分离出来，然后使系数为0就可以符合题目的条件.8.（4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、二次函数、解答题）已知mn 是两位数，二次函数y =x 2+mx +n 的图象与x 轴交于不同的两点，这两点间的距离不超过2.(1)求证： 0<m 2−4n ≤4;(2)求出所有这样的两位数mn .分析：(1)证明：设y =x 2+mx +n 的图象与x 轴的两交点为A(x 1,0),B(x 2,0),x 1≠x 2,则x 1,x 2为方程x 2+mx +n =0的两个不同的实根，所以x 1+x 2=−m,x 1x 2=n.又因 为0<|x 1−x 2|≤2,即0<(x 1+x 2)2−4x 1x 2≤4,也即0<m 2−4n ≤4.(2) 因为m ，n 为整数 (m ≠0)，且m=1~9，n=0~9.所以m 2−4n =1,2,3,4,而m 2被4除余0或1，故m 2−4n 被4除也余0或1，从而只能有m 2−4n =1或m 2−4n =4 .解这两个不定方程得{m =1n =0 或{m =3n =2 或{m =5n =6或{m =2n =0 或{m =4n =3 或{m =6n =8 ， 所以所求的两位数mn ̅̅̅̅为10,32,56,20,43,68.技巧：利用根与系数关系.易错点：分类讨论注意不要遗漏.9. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、二次函数、解答题）已知二次函数y =a(a +1)x 2−(2a +1)x +1，其中a 为正整数.(1)若函数y 的图象与x 轴相交于A ，B 两点，求线段AB 的长；(2)若a 依次取1，2，…，2005时，函数y 的图象与x 轴相交所截得的2005条线段分别为A 1B 1,A 2B 2，…，A 2005B 2005，试求这2005条线段长之和.分析：由题意知，|AB |=|χ1−χ2|，其中χ1，χ2分别是A 、B 两点的横坐标，再利用韦达定理解题，那么第一问就解决了.第二问是在第一问的结果的基础上进行裂项解决，很容易. 详解：(1)设函数y 的图象与x 轴交于两点A(x 1，0)，B(x 2，0)，则x 1，x 2是方程a(a +1)x 2−(2a +1)x +1=0的两个实根.由a(a +1)x 2−(2a +1)x +1=0得(ax −1)[(a +1)x −1]=0，所以x 1=1a ,x 2=1a+1⋅所以|AB |=|x 1−x 2|=1a −1a+1=1a (a+1)⋅因此所求线段的长为1a(a+1)（a 为正整数） .(2)当a 依次取1，2，…，2005时，所截得的线段长分别为|A 1B 1|=1−12,|A 2B 2|=1 2−13,⋯,|A2005B2005|=12005−12006⋅故|A1B1|+|A2B2|+⋯+|A2005B2005|= (1−12)+(12−13)+⋯+(12005−12006)=1−12006=20052006⋅技巧：第一问把距离用点坐标表示出来，然后利用韦达定理解决.第二问就在第一问的基础上进行裂项求和即可.易错点：在第一问中容易出现运算转化错误，如果导致结果错误的话，第二问将无从下手.。