初中数学竞赛专题：线段与角

微专题 12 线段与角的概念与计数问题一、专题介绍本专题涉及直线、射线、线段、角的相关概念和有关线段和角的计数问题.直线、射线、线段、角的概念是学习几何的基础.正确地认识它们的概念，理解它们的性质，对今后学好几何有着非常重要的作用.重要的公理：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短（探求最短路径、最小距离等问题常用到这个公理.）解决线段和角的计数问题的主要方法有：①穷举法；②从特殊到一般的归纳方法；③运用握手模型进行计算.二、例题探究题型一：直线、射线、线段、角的概念例1：下列说法中正确的是.①射线AB 与射线BC 是同一条射线；②线段EF 与线段FE 是同一条线段；③延长直线AB 到点C；④直线、射线、线段中直线最长；⑥若线段AB＝BC，则点B 是线段AC 的中点；⑦有公共端点的线段组成的图形叫角；⑧连接两点间的线段叫作两点间的距离.变式1：下列说法中，正确的有（）①一根拉得很紧的细线就是直线；②连接两点间的直线的长度叫做两点间的距离；③点A、B、C 在同一条直线上，若AC= 1AB，则点C 是线段AB 的中点；2④反向延长线段AB；⑤平角是一条直线.A.1个B.2 个C.3 个D.4 个题型二：直线公理与线段公理的应用例2：下列现象：（1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上．（2）从A 地到B 地架设电线，总是尽可能沿着线段AB 架设．（3）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．（4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）变式 2：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理:（）A.两点之间，线段最短B.两点确定一条直线C.垂线段最短D.过一点有且只有一条直线和已知直线平行变式3：下列说法正确的个数是（）.①连接两点的线中，直线最短；②两条直线相交，有且只有一个交点；③若两条直线有两个公共点，则这两条直线重合；④若AB+BC=AC，则A、B、C 三点共线．A．1 B．2 C．3 D．4题型 3：计数问题例 3：平面内n 条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？探究：（1）第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，则3条直线最多有个交点；（2）第4 条直线和前3 条直线都相交，增加了3 个交点，则4 条直线最多有个交点；（3）第5 条直线和前4 条直线都相交，增加了4 个交点，则5 条直线最多有个交点；……（4）由此断定n 条直线两两相交，最多有多少个交点？变式 4：一列火车从成都站出发，沿途经过8 个站到达重庆站，任意两站票价均不同，假设火车只有硬座，成都到重庆有多少种不同的票价？要准备多少种车票？变式 5：如图，以点O 为顶点，以OA1、OA2、OA3、…、OA n为边的小于平角的角有多少个？。

题时，一定要数形结合，分类做到不重不漏.
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数学 七年级上册 BS版
0 2
典例讲练
数学 七年级上册 BS版
类型一 线段、角的和、差、倍、分问题
（1）如图，已知点 A ， B ， C ， D 在同一条直线上，点 D
是线段 AC 的中点，且 CB ＝5， AD ＝3，求线段 DC 及 AB 的长.
1
1
所以∠ AOM ＝∠ AOP ＝ ∠ MOP ＝ （α＋β），
2
2
1
1
∠ BOP ＝ ∠ NOP ＝ β.
2
2
1
1
1
故∠ AOB ＝∠ AOP －∠ BOP ＝ （α＋β）－ β＝ α.
2
2
2
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数学 七年级上册 BS版
类型三 线段、角中的方程思想
如图，已知点 E 是线段 AB 的中点，点 C 是 EB 上一点， AC
3
AB ＝4， CE ＝ AC ，求线段 BD 的长.
4
解：因为点 B ， D 分别是线段 AC ， CE 的中点，
1
1
所以 BC ＝ AB ＝ AC ， CD ＝ DE ＝ CE .
2
2
1
所以 BD ＝ BC ＋ CD ＝ （ AC ＋ CE ）.
2
因为 AB ＝4，所以 AC ＝8.
3
因为 CE ＝ AC ，所以 CE ＝6.
＝12.
（1）若 EC ∶ CB ＝1∶2，求 AB 的长；
【思路导航】（1）设 EC ＝ x ，根据比例关系，表示出 CB 的长
度，再根据题意列出方程即可求解；
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数学 七年级上册 BS版
解：（1）因为 EC ∶ CB ＝1∶2，

一、选择题1.（2019广西崇左，5，2分）在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是 ． 考点：线段的性质：两点之间线段最短．分析：根据线段的性质：两点之间线段最短解答．解答：解：在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．点评：本题考查了两点之间线段最短的性质，是基础题，比较简单．2. （2019清远，6，3分）已知∠α＝35°，则∠α的余角是（ ）A.35° B .55° C .65° D .145°考点：余角和补角.专题：计算题.分析：根据互为余角的两个角的和为90度作答．解答：解：根据定义∠α的余角度数是90°﹣35°＝55°．故选．点评：本题考查角互余的概念：和为90度的两个角互为余角．属于基础题，较简单．3. （2019•南通）已知∠α=20°，则∠α的余角等于 70° ．考点：余角和补角。

分析：若两个角的和为90°，则这两个角互余；根据已知条件可直接求出角α的余角．解答：解：∵∠α=20°，∴∠α的余角=90°﹣20°=70°．故答案为：70°．点评：本题考查了余角的定义，解题时牢记定义是关键．4. （2019•柳州）如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（ ）A 、∠2和∠3B 、∠1和∠3C 、∠1和∠4D 、∠1和∠2考点：对顶角、邻补角。

专题：推理填空题。

分析：两条直线相交后，所得的只有一个公共顶点，且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角．解答：解：根据同位角、同旁内角、邻补角、对顶角的定义进行判断，A 、∠2和∠3是对顶角，正确；B 、∠1和∠3是同旁内角，错误；C 、∠1和∠4是同位角，错误；D 、∠1和∠2的邻补角是内错角，错误．故选A ．点评：解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．5. (2019四川雅安8，3分)已知线段AB =10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则AC 的长为（ ）A cm )1055(-B cm )5515(-C cm )555(-D cm )5210(-考点：黄金分割。

思想方法专题：线段与角计算中的思想方法——明确解题思路，体会便捷通道◆类型一分类讨论思想在线段或角的计算中的应用【方法14】1．已知∠AOB＝90°，OC是它的一条三等分线，则∠AOC等于()A．30°或60°B．45°或60°C．30°D．45°2．已知点A、B、C在同一条直线上，且AC＝5cm，BC＝3cm，M、N分别是AC、BC 的中点．(1)画出符合题意的图形；(2)依据(1)的图形，求线段MN的长．3．★已知∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，试求∠COF的度数．◆类型二整体思想及从特殊到一般的思想4．如图，线段上的点依次增加，请你填写图中相应的线段数：(1)请猜想：当线段AB上有6个、10个点时(含A，B两点)，分别有几条线段？(2)当线段AB上有n(n为正整数且n≥2)个点(含A，B两点)呢？5．★已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.【方法13】(1)如图①，若∠AOC ＝30°，求∠DOE 的度数；(2)在图①中，若∠AOC ＝α，直接写出∠DOE 的度数(用含α的代数式表示)；(3)将图①中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置，探究∠AOC 和∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．参考答案与解析1．A2．解：(1)点B 在线段AC 上，如图①所示； 点B 在线段AC 的延长线上，如图②所示．(2)当点B 在线段AC 上时，由AC ＝5cm ，BC ＝3cm ，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，得MC ＝12AC ＝12×5＝52(cm)，NC ＝12BC ＝12×3＝32(cm)．由线段的和差，得MN ＝MC －NC＝52－32＝1(cm)； 当点B 在线段AC 的延长线上时，同理可得MC ＝52cm ，NC ＝32cm.由线段的和差，得MN ＝MC ＋NC ＝52＋32＝4(cm)．综上所述，线段MN 的长为1cm 或4cm.3．解：如图①，∵OE 平分∠AOB ，∠AOE ＝30°，∠BOD ＝20°，∴∠AOD ＝30°＋30°＋20°＝80°.∵OD 平分∠AOC ，∴∠COD ＝∠AOD ＝80°.∵OF 平分∠BOC ，∴∠COF ＝(80°＋20°)÷2＝50°；如图②，∵OE 平分∠AOB ，∠AOE ＝30°，∠BOD ＝20°，∴∠AOD ＝30°＋30°－20°＝40°.∵OD 平分∠AOC ，∴∠COD ＝∠AOD ＝40°.∵OF 平分∠BOC ，∴∠COF ＝(40°－20°)÷2＝10°.综上所述，∠COF 的度数为50°或10°. 4．解：6 10 (1)15条、45条．(2)12n (n －1)条． 5．解：(1)∵∠COD 是直角，∠AOC ＝30°，∴∠BOD ＝180°－90°－30°＝60°，∠COB ＝180°－30°＝150°.∵OE 平分∠BOC ，∴∠BOE ＝12∠BOC ＝75°，∴∠DOE ＝∠BOE －∠BOD ＝75°－60°＝15°.(2)∠DOE ＝12α. 解析：∵∠COD 是直角，∠AOC ＝α，∴∠BOD ＝180°－∠90°－α＝90°－α，∠COB ＝180°－α.∵OE 平分∠BOC ，∴∠BOE ＝12∠BOC＝90°－12α，∴∠DOE ＝∠BOE －∠BOD ＝90°－12α－(90°－α)＝12α.(3)∠AOC ＝2∠DOE .理由如下：∵∠BOC ＝180°－∠AOC ，OE 平分∠BOC ，∴∠COE ＝12∠BOC ＝12(180°－∠AOC )＝90°－12∠AOC .∵∠COD 是直角，∴∠DOE ＝∠COD －∠COE ＝90°－⎝⎛⎭⎫90°－12∠AOC ＝12∠AOC ，即∠AOC ＝2∠DOE .北师大版九年级数学上册期中测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12C.13D.142. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是A.这个方程是一元二次方程B.方乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解 3.下列说法正确的个数是①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形;③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分 A.1 B.2 C.3 D.4 4.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.①②B.②③C.①③D.①②③ 6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是A.23B.12C.13D.498.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.24013乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..9.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为 A.5 B.4 C.342D.3410.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________.12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..则菱形ABCD的周长为________.13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P，再随机摸出一张卡片，其数字记为q，则关于的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是________.14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下:由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到0.1)15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________.16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________.三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程:(1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-1218.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转(1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果;乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元?(2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由.20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(1)求证:四边形BEDF 是平行四边形; (2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长.21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求:(1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米?(2)能围成面积为200平方米的鸡场吗?22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律. (1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式; (2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..试求该月茶叶的销售单价x. 23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F. (1)求证:△BDF 是等腰三角形; (2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O ①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由; ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长. 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。

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解：(1)如图所示．
(2)过点 D 作 DF⊥AC 于点 F. ∵CD 为∠BCA 的平分线， ∴DE＝DF. 又∵S△ABC＝S△BDC＋S△CDA， ∴2×3×12＝3×DE×12＋2×DE×12， 解得 DE＝65.
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中考数学专题复习
线段与角
1．[2020 辽宁丹东，6,3 分]如图，CO 是△ABC 的角平分线，过点 B 作 BD∥AC 交 CO 延长线于点 D，若∠A＝45°，∠AOD＝80°，则∠CBD 的度数为( )
A．100° C．125°
B．110° D．135°
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解析：∵∠A＝45°，∠AOD＝80°， ∴∠OCA＝∠AOD－∠A＝35°. ∵CO 是△ABC 的角平分线， ∴∠BCD＝∠OCA＝35°. ∵BD∥AC， ∴∠D＝∠OCA＝35°. 则在△BCD 中，∠CBD＝180°－∠D－∠BCD＝110°. 故选 B．
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4．[2018 湖北黄冈，4,3 分]如图，在△ABC 中，直线 DE 是 AC 的垂直平分线，且分 别交 BC，AC 于点 D 和 E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD 为 ( )
A．50° C．75°
B．70° D．80°
解析：因为直线 DE 是 AC 的垂直平分线，所以 AD＝DC，所以∠DAC＝∠C＝25°， 所以∠ADC＝180°－(25°＋25°)＝130°.因为∠ADC＝∠B＋∠BAD，所以∠BAD＝∠ADC －∠B＝130°－60°＝70°，故选 B．
解析：该六边形的每个内角的度数为 180°×(6－2)÷6＝120°. 又∵AD∥BC， ∴∠DAB＝180°－∠B＝180°－120°＝60°.

一、选择题1.在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是．考点：线段的性质：两点之间线段最短．分析：根据线段的性质：两点之间线段最短解答．解答：解：在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．点评：本题考查了两点之间线段最短的性质，是基础题，比较简单．2. 已知∠α＝35°，则∠α的余角是（）A.35°B.55°C.65°D.145°考点：余角和补角.专题：计算题.分析：根据互为余角的两个角的和为90 度作答．解答：解：根据定义∠α 的余角度数是90°﹣35°＝55°．故选．点评：本题考查角互余的概念：和为90 度的两个角互为余角．属于基础题，较简单．3. 已知∠α=20°，则∠α的余角等于70°．考点：余角和补角。

分析：若两个角的和为90°，则这两个角互余；根据已知条件可直接求出角α 的余角．解答：解：∵∠α=20°，∴∠α 的余角=90°﹣20°=70°．故答案为：70°．点评：本题考查了余角的定义，解题时牢记定义是关键．4.如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（）A、∠2 和∠3B、∠1 和∠3C、∠1 和∠4D、∠1 和∠2考点：对顶角、邻补角。

专题：推理填空题。

分析：两条直线相交后，所得的只有一个公共顶点，且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角．解答：解：根据同位角、同旁内角、邻补角、对顶角的定义进行判断，A、∠2 和∠3 是对顶角，正确；B、∠1 和∠3 是同旁内角，错误；C、∠1 和∠4 是同位角，错误；D、∠1 和∠2 的邻补角是内错角，错误．故选A．点评：解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．5.已知线段AB=10cm，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC＞BC），则AC 的长为（）A (5-10)cmB (15 -55)cmC (5-5)cmD (10 - 25)cm考点：黄金分割。

线段和角1、解决与线段有关的问题，经常涉及线段的和、差，常用到中点、代数化、分类讨论等相关概念及方法。

2、解决与角有关的问题，经常涉及到平角、直角、角平分线，角的和、差等知识，常用方法也是代数化、分类讨论二、知识运用典型例题例1、已知：AB∶BC∶CD=2∶3∶4，E，F分别是AB和CD的中点，且EF=12厘米，求AD的长例2、已知B，C是线段AD上两点，M是AB的中点，N是CD的中点．若MN=a，BC=b，求AD例3、已知∠AOB=31.5度，∠BOC=24.3度，∠AOD=15度，求锐角∠COD的度数例4、在4点与5点之间，时针与分针在何时成120°例5、若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7，求这个角的邻补角．三、知识运用课堂训练1、A、B是线段EF上两点，已知EA：AB：BF=1：2：3，M、N分别为EA、BF的中点，且MN=8cm，求EF的长2、若时钟由2点30分走到2点50分，问时针、分针各转过多大的角度？3、公园里准备修五条甬道，并在甬道交叉路口处设一个报亭，这样的报亭最多设（）A．9个 B．10个 C．11个 D．12个4、已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q 是AM的中点，则MN：PQ等于（）A．1 B．2 C．3 D．45、如图，OB，OC是∠AOD内的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON ＝α，∠BOC＝β，则表示∠AOD的代数式是课后训练等级1、已知．B，C是线段AD上两点，M是AB的中点，N是CD的中点．若MN=a，BC=b，求AD 若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7，求这个角的邻补角。

2、在直线l上取A，B两点，使AB=10厘米，再在l上取一点C，使AC=2厘米，M，N分别是AB，AC中点．求MN的长度。

3、五位朋友a、b、c、d、e在公园聚会，见面时握手致意问候．已知：a握了4次，b握了1次，c握了3次，d握了2次．到目前为止，e握了（）次．4、C是线段AB的中点,D是线段BC的中点,已知图中所有的线段之和为23,求线段AC的长度5、求∠BOC的度数。

第五讲：线段和角一、知识结构图二、典型问题：（一）数线段——数角——数三角形问题一、直线上有n个点，能够取得多少条线段？分析：点线段2 13 3 =1+24 6=1+2+35 10=1+2+3+46 15=1+2+3+4+5……n 1+2+3+ …+(n-1)=()21-nn问题2．如图，在∠AOB内部从O点引出两条射线OC、OD，那么图中小于平角的角共有（D ）个(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6拓展：一、在∠AOB内部从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个？射线角1 3 =1+22 6=1+2+33 10=1+2+3+4……n 1+2+3+ … +(n+1)=()()221++n n 类比：从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个？射线 角2 13 3 =1+24 6=1+2+35 10=1+2+3+4……n 1+2+3+ … +(n-1)=()21-n n 类比联想：如图，能够取得多少三角形？（二）与线段中点有关的问题线段的中点概念：文字语言：假设一个点把线段分成相等的两部份，那么那个点叫做线段的中点图形语言：M几何语言： ∵ M 是线段AB 的中点∴ 12AM BM AB ==，22AM BM AB == 典型例题：1．由以下条件必然能取得“P 是线段AB 的中点”的是（ D ）（A ）AP=21AB （B ）AB ＝2PB （C ）AP ＝PB （D ）AP ＝PB=21ABN2．假设点B 在直线AC 上，以下表达式：①AC AB 21=；②AB=BC ；③AC=2AB ；④AB+BC=AC ．其中能表示B 是线段AC 的中点的有（ A ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.若是点C 在线段AB 上,以下表达式①AC=12AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB 中, 能表示C 是AB 中点的有( C )个 个 个 个4．已知线段MN ，P 是MN 的中点，Q 是PN 的中点，R 是MQ 的中点，那么MR = ______ MN ．分析：据题意画出图形 设QN=x ，那么PQ=x ，MP=2x ，MQ=3x ， 因此，MR=23x ，那么83423==x x MN MR 5．如下图，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 中点，假设MN=a ，BC=b ，那么线段AD 的长是（ ）A 2（a-b ）B 2a-bC a+bD a-b分析：不妨设CN=ND=x ，AM=MB=y因为MN=MB+BC+CN因此a=x+y+b因为AD=AM+MN+ND因此AD=y+a+x=a-b+a=2a-b（三）与角有关的问题1． 已知：一条射线OA ，假设从点O 再引两条射线OB 、OC ，使∠AOB=600，∠BOC =200，则∠AOC =____80°或40°________度（分类讨论）2． A 、O 、B 共线，OM 、ON 别离为∠ AOC 、∠ BOC 的平分线，猜想∠ MON 的度数，试证明你的结论．猜想：_90°______证明：因为OM 、ON 别离为∠ AOC 、∠ BOC 的平分线因此∠MOC=12∠AOC ，∠CON=12∠COB 因为∠MON=∠MOC+∠CON因此∠MON=12∠AOC +12∠COB=12∠AOB=90° 3．如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，34COF =∠， 求BOD ∠的度数．分析：因为COE ∠是直角，34COF =∠，因此∠EOF=56°因为OF 平分AOE ∠因此∠AOF=56°因为∠AOF=∠AOC+∠COF因此∠AOC=22°因为直线AB 和CD 相交于O 点因此BOD ∠=∠AOC=22°4．如图，BO 、CO 别离平分∠ABC 和∠ACB ，（1）假设∠A = 60°，求∠O ；（2）假设∠A =100°，∠O 是多少？假设∠A =120°，∠O 又是多少？A C N M（3）由（1）、（2）你又发觉了什么规律？当∠A的度数发生转变后，你的结论仍成立吗？（提示：三角形的内角和等于180°）答案：（1）120°；（2）140°、150°（3）∠O=90°+12∠A5．如图，O是直线AB上一点,OC、OD、OE是三条射线,那么图中互补的角共有（ B ）对(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 56．互为余角的两个角（ B ）（A）只和位置有关（B）只和数量有关（C）和位置、数量都有关（D）和位置、数量都无关7．已知∠一、∠2互为补角，且∠1＞∠2，那么∠2的余角是（C ）A.12（∠1＋∠2）B.12∠1 C.12（∠1－∠2）D.12∠2分析：因为∠1＋∠2=180°，因此12（∠1＋∠2）=90°90°-∠2= 12（∠1＋∠2）-∠2= 12（∠1－∠2）。

②直线的表示方法：如图 “直线I ”.记作“直线AB ”或“直线BA ” ;I 记作*性n —m 詡点n 定一条直観 I鞭斥方it| Mt 卜一M 性质 4 两点之间、红段最短 I -_ I IL—— 一 —_ _T 蟻我的中点| -』线駁的倒独及比较 __________________ 一宦丈一：射线 ---- - -------------- 」一—［襄币方法一技法透析i •与直线、射线、线段有关的知识⑴直线： ①直线的概念，一根拉得很紧的线，给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无 限延伸的.③直线的性质：过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线.⑵射线：① 射线的概念，直线上一点和它一旁的部分叫射线，这一点叫射线的端点•射线向一方无 限延伸.考点图解 线段与角+两点的却离-*|连播两虫间线股的检度州这两点的护离*■甬平井蛾*方惊驚•性质 -------- W 冏甫（或專如）的余甬帕尋»定丈-性质HMfn ＜或等痢）的补角押尊*i 宦文直线*线段*射线•----- ■ --- ------------------ ----------②射线的表示方法：如图* 甘记作“射线AB ”；I记作射线I，注意必须把表示端点的字母写在前面.(3)线段：①线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点，线段不延伸.②线段的表示方法：如图•记求“线段AB ”或“线段BA ”或“线段a”.③线段的性质：两点的所有连线中，线段最短•即两点之间，线段最短.⑷直线、射线、线段的区别与联系.①联系：直线、射线都可以看作是线段无限延伸得到的；反过来，射线和线段都是直线的一部分，线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分，射线可以看作是直线上一点及其一旁的部分.②区别：如下表(5)线段的画法：①用直尺可以画出以A、B为端点的线段，画时不能向任何一方延伸.②“连接AB ”的意义就是画出以A、B为端点的线段.③线段的延长线，如图，延长AB是指按由A向B的方向延I IJ if -长. 延长BA是指按由B向A的方向延长.(也可说反向延长AB)⑹线段的比较①度量法：测量线段的长度后比较大小，②叠合法：用圆规把一条线段移到另一条线段上比较大小.(7) 画一条线段等于已知线段，女口：已知线段a,画一条线段AB = a,有两种画法：①先画射线AC ,再在射线AC上截取AB = a.②先测量线段a的长度、再画一条等于这个长度的线段AB即可.(8) 线段的中点及等分点的概念①如图①点0把线段1 然有A0 = 0B = -AB2 (或AB = 2A0 = 20B)②如图②点0i, 02把线段AB分成相等的三条线段A0i = 0i02= 02B,则点0i, 02叫做1线段AB 的三等分点，显然有：A0i = 0i02= 02B =一AB(或AB = 3A0 ,= 30I02= 302B) 3③如图③，点0仆02, 03把线段AB分成相等的四条线段，则点0i, 02, 03叫做线段1AB 的四等分点，显然有：A01 = 0102= 0203= 03B =—AB(或AB = 4A01= 40102= 402034=403B)(9)两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离. 2.与角有关的知识(1) 角的概念：角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形, 线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.(2) 角的四种表示方法：①一般可以用三个大写字母表示，且表示顶点的字母必须写在中间.如图①，记作/ A0B (或/ B0A );②当角的顶点处只有一个角时，可以用角的顶点字母来表示这个角，如图①可记作/ 0;③可以用一个小写希腊字母(如a伙丫等)表示，如图②/ B0C记作/ a；④用一个阿拉伯数字表示如图②/又可以看成是一条射①AOC记作/ 1.(3)特殊角及角的分类：①平角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置在同一条直线上时所成的角.②周角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置重合时所成的角.③直角：等于90°的角叫直角.④锐角：小于直角的角叫锐角.⑤钝角：大于直角而小于平角的角叫钝角.(4) 角度制及角的画法：①角度制：以度、分，秒为单位的角的度量制，1°= 60', 1' = 60".②借助三角尺和量角器画角.(5) 角的和、差、倍、分的关系①每的和、差，如图所示：/ A0C =/ A0B + Z B0C，/ A0B = / A0C -Z B0C②角的倍、分：角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，如图所示，若Z 1 = Z 2，则0C是Z A0B的平分线，此AB分成相等的两条线段，A0与0B，点0叫线段AB的中点，显1时有/ 1 = / 2 = / AOB (或/ AOB = 2 / 1 = 2/ 2).2同理，还有角的三等分线、四等分线等.(6)余角和补角：①定义：如果两个角的和等于90°,那么这两个角互为余角；如果两个角的和等于180° , 那么这两个角互为补角.②性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等(7)方位角：方位角是表示方向的角•具体表示时•是南(或北)在先，再说偏东(或偏西)3•钟表上有关角的问题(1) 钟表上，相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如果与角度联系起来，每一小格对应6°;(2) 秒针每分钟转过360°,分钟每分钟转过6°，时针每分钟转过0.5°.(3) 时针与分针成一直线必须成180°的角，两针重合必须成0°的角，名题精讲考点1例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为_______________ 个，最多为_________ 个.【切题技巧】可以通过画图来探求，先从简单情形、特殊情形考虑，再进行归纳，得出结论.①当平面内两两相交的6条直线相交于一点，此时交点的个数最少为1个，②当平面内两两相交的5条直线相交于一点，第6条直线与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1 + 5 =6个，③当平面内两两相交的4条直线相交于一点，第5条直线与前面的4条直线都相交，第6条直线再与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为 1 + 4 + 5=10个，因此为使平面内两两相交的直线的交点个数最多，则要使任意两直线相交都产生新的交点，即任意两条直线相交都确定一个交点，且任意三条直线都不过同一点，于是可得交点数最多为：1 + 2+ 3+ 4+ 5= 丄卫一5= 15(个)2【规范解答】分别填1个，15个.(1) 本例可进行如下推广：若平面内有两两相交的n条直线，其交点最少为1个，最多1为1 + 2+ 3+^+( n+ 1)= - n (n —1)个交点；2(2) 一般地，平面内n条直线两两相交，且任意三条直线都不共点，那么这些直线将平1面分成一(n + 1) n+ 1个互不重叠的部分.2(3) —般地，如果一条直线上有n个点，那么这条直线上的不同线段的条数为( n—1)1+ (n —2)+…+ 2+ 1= ?n (n —1)条；共有2n条不同的射线.【同类拓展】1•如图' * * ,数一数图中共有多少条不同的线段，多少条不同的射线？令小则别为AC.EB 的中点.A MC= y AC- 考点2线段长度的计算例2 如图C、D、E将线段AB分成2: 3: 4: 5四部分，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，且MN = 42,求PQ的长.【切题技巧】先根据比例把AC、CD、DE、EB用含x的代数式表示，再利用线段的和差及线段的中点的意义可得到相应的方程，从而求得PQ的长.【规范解答】令AC=2X,则CD=3z<DE=4x.EB-5.r.Jt 别为AUEB 的中点匸皿=非0X M N =MC -F CD+ /)E+E.V= 42 A 3x + 4TT= 42H 又几Q分别为CD.DE的中点PD—-J-CD— -|-jr~6,DQ—4-DE"*2J™8」• PQ= FD+ 0Q= 6 + B=14【借题发挥】几何问题本身是研究图形的性质和数量关系，准确地画出图形，能使问题中各个量之间的关系直观化•本题的分析要着眼于找出未知线段的联系，使未知向已知转化，求线段的长度要充分利用线段的和差与线段的中点、等分点的意义，其解题方法与途径不是唯一的，需要我们根据题意灵活运用不同方法解决实际问题.【同类拓展】 2 •已知三条线段a、b、c在同一条直线上，他们有共同的起点，a的终点是b的中点，c的中点是b的终点，且a+ b + c= 7cm，求a、b、c的长..4 考点3角的个数及角的度数的计算-.例3 如图已知0A、OC是/ AOD内部的两条射线，0M 平分/ AOB , ON 平分/ COD .⑴若/ AOD = 70°,/ MON = 50° 求/ BOC 的大小；(2)若/ AOD = a；/ MON = 3,求/ BOC的大小(用含a B的式子表示).利用角的平分线性质，角的和、差之间的转化，先找出/ AOD , / MON与/ BOC之间的数量关系，为方便角的表示，可用含 a 3的式子表示所求的角，也可设未知数，把几何问题代数化，通过整体变形、列方程，从而确定出角的大小.【规范解答】< I)AOD = Z AOM 卜Z MON + Z NOD, Z AOD = 70* 厶MON = 50* :* ZAOM +【借题发挥】(1)对于求角的度数的计算，通常有两种思路：一是根据各个量之间的关系，用已知量来表示未知量，直接求未知量；二是通过设辅助未知数，把几何问题代数 化，根据图形中角的相等关系列方程或方程组，从而求解，应注意挖掘题目中的隐含的条 件，适当转换.(2) —般地，同一平面内，在平角/ AOB 的内部引以O 为端点的(n — 1)条射线，则_ , , 1图中共有：n +( n — 1) + ( n — 2)+…+ 3+ 2+ 1 = n (n + 1)个小于平角的角.2 【同类拓展】3.如图，/ AOB = 100° , OM 平分/ AOC ,ON 平分/ BOC ，则/ MON = _________ .考点4钟表上有关的角度问题 例4时钟在下午4点至5点的什么时刻：分针和时针成一条直线？ (3)分针和时针成45° 【切题技巧】4点整时针已转过4大格， 1120°,若设所需时间为 x 分钟，则有6x — x2分针之间的角度为1200+ 180°时两针成一条直线；当时针与分针之间的角度差等于 120°—45°(时针在前)或120 ° + 45 ° (分针在前)时，两针成 45°角.【规范解答】设斫需时间在卜午I 点神后-r 分钟*则］ a(Dfij —yx —120,M x*21 T7＜分钟hyx= 12O+lSO t JU x»54 A ＜分神“《3)分两种悄况讨论［①淄时针在分针冊面 灯时，有牡1*丁=］加一 45M—F3亓4钟卄②当时卄左分汁JSlftl 卅时用肚一如一120十45・"=30(分押八答：F 午4点21晋分钟时.分钟和时针"下平4点54鲁分钟时.(1)分针和时针重合？角？每大格30 °,这时可看成时针在分针前面的值等于1200时，两针就重合；当时针与z NOD=ZA<^-^MUX 1 = 70*-SO' = 20D . x OM 平分/AOS,ON ^ZCOUAZAtJM 边 ^MOB, ZD()N = ZCOV :* ^MOB + Z CON - ZAOM + Z NOD =狩只 N MON 乂ZBfXW+ZBOC+ZODAr A Z B(X?= /MON- Z tiOM-^.CON= 50*- 20*=30*, (对设VOM 平分Z ：A ｛出.ON 平 <^ZCOD.A/MOB=ZA0M- yZACM +Z£X )N-yZCW=ZCON,AZAOM+ZWN=y (Z^OB+ZaOP>代+ ^—力乂戸一工化工=2旷仪即乙昭：=2旷i时针与分针成一条直 线，下午4点13活分帥我4点帥分钟时，分针和时升成吒佈【借题发挥】 钟表上时针和分钟问题实质是数学中的追及问题，钟面上有12大格,60小格，每个大格为30。