考研数学一(多元函数微分学)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)

考研数学一（多元函数微分学）历年真题试卷汇编4 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． (2006年)若f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ’y(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是

A．若f’x(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)=0．

B．若f’0(x0，y0)=0．则f’(x0，y0)≠0．

C．若f’x(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0、)=0．

D．若f’x(x0，y01)≠0，则f’y(x0，y0)≠0．

正确答案：D

解析：由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x．y)在约束条件φ(x，y)=0下的极值点。则必有 若f’x(x0，y0)≠0，由①式知，λ≠0，加之原题设φ’y(x，y)≠0，由②式知，λφ’(x0，y0)≠0，从而必有f’y(x0，y0)≠0，故应选(D)． 知识模块：多元函数微分学

2． (2008年)函数在点(0，1)处的梯度等于

A．i

B．一i

C．j

D．一j

正确答案：A

解析：解1 由知 则f’x(0，1)=1，f’(0，1)=0，所以gradf(0，1)=i 解2 由知 则gradf(0．1)=i 知识模块：多元函数微分学

3． (2010年)设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F’2≠0，则

A．x．

B．z．

C．一x．

D．一z．

正确答案：B

解析：由隐函数求导公式得 则 解2 等式分别对x，y求偏导得

(1)式乘x2加(2)式乘xy得(一z)F’2+F’2(xzx+yzy)=0则 xzx+yzy=z (F’2≠0) 知识模块：多元函数微分学

4． (2011年)设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)＞0，f’(0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是

A．f(0)＞1，f”(0)＞0．

B．f(0)＞1，f”(0)＜0．

C．f(0)＜1，f”(0)＞0．

D．f(0)＜1，f”(0)＜0．

正确答案：A

解析：则AC—B2＞0故应选(A)． 知识模块：多元函数微分学

5． (2012年)如果f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是

A．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微．

B．若极限存在，则f(x，y)在(0，0：)处可微．

C．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限存在．

D．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限存在．

正确答案：B

解析：解l 由f(x，y)在(0，0)处连续可知，如果存在，则必有又极限

则由存在知 即 由微分的定义知f(x，y)在(0，0)处可微． 解2

排除法：取f(x，y)=|x|+|y|，显然，存在，但f(x，y)=|x|+|y|在(0，0)处不可微，这是由于f(x，0)=|x|，而|x|在x=0处不可导，则fx(0，0)不存在．则排除(A)； 若取f(x，y)=x，显然，f(x，y)在(0，0)处可微，但 不存在，则 不存在，排除(C)．又 则不存在，排除(D)．故应选(B)． 知识模块：多元函数微分学

6． (2013年)曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在点(0，1，一1)处的切平面方程为

A．x—y+z=一2．

B．x+y+z=0．

C．x一2y+z=一3．

D．x—y一z=0．

正确答案：A

解析：令F(x，y，z)=x2+cos(xy)一yz+x，则 则所求切平面方程为 x一(y一1)+(z+1)=0即 x—y+z=一2 知识模块：多元函数微分学

7． (2017年)函数f(x，y，z)=x2y+z2在点(1，2，0)处沿向量n=(1，2，2)的方向导数为

A．12．

B．6．

C．4．

D．2．

正确答案：D

解析：fx(1，2，0)=2xy|(1，2，0)=4 fy(1，2，0)=x2|(1，2，0)=1 fz(1，2，0)=3z2|(1，2，0)=0 向量n={1，2，2}的方向余弦为则 知识模块：多元

函数微分学

填空题

8． (2003年)曲面z=x2+y2与平面2x+4y一z—0平行的切平面方程是_____________．

正确答案：2x+4y—z=5

解析：曲面z=x2+y2在点(x0，y0，z0)处切平面的法向量为 n1={2x0，2y0，一1)而平面2x+4y一z=0的法向量为n2={2，4，一1}．由题设知n1／／n2，则

从而有 x0=1，y0=2，代入z=x2+y2 得z0=5， n1={2，4，一1}则所求切平面方程为 2(x一1)+4(y一2)一(z一5)=0即 2x+4y—z=5 知识模块：多元函数微分学

9． (2005年)设函数单位向量则

正确答案：

解析：ux(1，2，3)=uy(1，2，3)=uz(1，2，3)=则 知识模块：多元函数微分学

10． (2007年)设f(u，v)为二元可微函数，z=f(xy，yx)，则

正确答案：yxy-1f’1+y2lnyf’2．

解析：由复合函数求导法知 知识模块：多元函数微分学

11． (2009年)设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)，则

正确答案：f’2+xf”12+xyf”22

解析： 知识模块：多元函数微分学

12． (2011年)设函数则

正确答案：4

解析：解1 △解2 由偏导数定义知 知识模块：多元函数微分学

13． (2012年)

正确答案：(1，1，1)

解析： 知识模块：多元函数微分学

14． (2014年)曲面z=z2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为_____________．

正确答案：2x—y一z=1．

解析：由z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)得 z’x=2x(1一siny)一y2cosx，

z’x(1，0)=2 z’y=一x2cosy+2y(1一sinx)，z’ y(1，0)=一1所以，曲面z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1．0．1)处的法向量为[*]=(2．一1，一1)，该点处切平面方程为 2(x-1)一y一(z一1)=0即2x—y一z=1． 知识模块：多元函数微分学

15． (2015年)若函数z=z(x，y)由方程ez+xyz+x+cosx=2确定，则dz|(0，1)=_____________．

正确答案：一dx

解析：将x=0，y=1代入ez+xyz+x+cosx=2 中得ez+1=2，则z=0． 方程ez+xyz+x+cosx=2两端微分得 ezdz+yzdx+xzdy+xydz+dx—sinxdx=0 将x=0，y=1．z=0代入上式得 dx+dz=0则 dz|(0,1)=一dx 知识模块：多元函数微分学

16． (2016年)设函数f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)z—y2=x2f(x一z，y)确定，则dz|(0，1)=___________.

正确答案：一dz+2dy．

解析：解1 由原方程知，当x=0，y=1时，z=1． 方程(x+1)z一y2=xf(x—z，y)两边求全微分 zdx+(x+1)dz一2ydy=2xf(x一z，y)dx+x2[f’1·(dx一dz)+f’2dy] 将x=0，y=1，z=1代入上式得dz|(0，1)=-dx+2dy 解2 由原方程知，当x=0，y=1时，z=1． 方程两边分别对x、y求偏导数，有 把x=0，y=1，z=1代入上式得所以dz|(0，1)=-dx+2dy 知识模块：多元函数微分学

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (2004年)设z=z(x，y)是由x2一6xy+10y2一2yz一z2+18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值．

正确答案：因为x2一6xy+10y2一2yz—z2+18=0，所以 令得故

将上式代入x2一6xy+10y2一2yz—z2+18=0，可得 由于 所以

故又从而点(9，3)是z(x，y)的极小值点，极小值为z(9，3)=3 类似地，由 可知又所以点(一9，一3)是z(x，y)的极大值点，极大值为z(一9，一3)=一3． 涉及知识点：多元函数微分学

18． (2005年)设函数其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有

正确答案：B

解析：解1 知 解2 排除法 令φ(x)=x2，ψ(x)≡0，则 u(x，y)=(x+y)2+(x—y)2=2x2+2y2从而则(A)(C)(D)均不正确，故应选(B)． 知识模块：多元函数微分学

(2006年)设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且满足等式

19． 验证

正确答案：由z=f(u)，得 所以根据题设条件可得即 涉及知识点：多元函数微分学

20． 若f(1)=0，f’(1)=1，求函数f(u)的表达式．

正确答案：由上题及f’(1)=1，得所以f(u)=lnu+

C． 由f(1)=0，得C=0．因此f(u)=lnu． 涉及知识点：多元函数微分学

21． (2007年)求函数f(x，y)=x2+2y2一x2y2在区域D={(x，y)|x2+y2≤4，y≥0}上的最大值和最小值．

正确答案：(1)求f(x，y)在D内的驻点，由得f(x，y)在D内的驻点为 (2)考察边界y=0(一2≤x≤2) f(x，0)=x2 (一2≤x≤2)最大值f(±2，0)=4，最小值f(0，0)=0 (3)考察边界x2+y2=4，y＞0 由x2+y2=4知，y2=4一x2 f(x，y)=x2+2y2一x2y2=x2+2(4—x2)一x2(4一x2)=x4一5x2+8 (一2＜x＜2)

令φ(x)=x4一5x2+8，φ’(x)=4x3一10x=0得x=0， 比较可知，f(x，y)在D上的最大值为fmax(0，2)=8，最小值为f(0，0)=0． 涉及知识点：多元函数微分学

22． (2008年)已知曲线C：求C上距离xOy面最远的点和最近的点．

正确答案：点(x，y，z)到xOy面的距离为|z|，故求C上距离xOy面最远点和最近点的坐标，等价于求函数H=z2在条件x2+y2一2z2=0与x+y+3z=5下的最大值点和最小值点． 令L(x，y，z，λ，μ)=z2+λ(x2+y2一2z2)+μ(x+y+3z一5)由 得x=y，从而解得或 根据几何意义，曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点，故所求点依次为(一5，一5，5)和(1，1，1)． 涉及知识点：多元函数微分学