考研数学一(一元函数微分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
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考研数学一（一元函数微分学）历年真题试卷汇编1 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (1998年)函数f(x)=(x2一x一2)|x3一x|不可导点的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
正确答案：B
解析：方法一：当函数中出现绝对值号时，就有可能出现不可导的“端点”，因为这时的函数是分段函数。f(x)=(x2一x一2)|x||x2一1|，当x≠0，±1时f(x)可导，因而只需在x=0，±1处考虑f(x)是否可导。在这些点我们分别考虑其左、右导数。由 即f(x)在x=一1处可导。又 所以f(x)在x=0处不可导。 类似，函数f(x)在x=1处亦不可导。因此f(x)只有两个不可导点，故应选B。 方法二：利用下列结论进行判断： 设函数f(x)=|x一a|φ(x)，其中φ(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导的充要条件是φ(a)=0。 先证明该结论： 由导数的定义可知：其中 可见，f′(a)存在的充要条件是φ(a)=一φ(a)，也即φ(a)=0。 再利用上述结论来判断本题中的函数有哪些不可导点： 首先，绝对值函数分段点只可能在使得绝对值为零的点，也就是说f(x)=(x2一x一2)|x3一x|只有可能在使得|x3一x|=0的点处不可导，也即x=一1，x=0以及x=1。
接下来再依次对这三个点检验上述结论： 对x=一1，将f(x)写成f(x)=(x2一x一2)|x2一x||x+1|，由于(x2一x-2)|x2一x|在x=一1处为零，可知f(x)在x=一1处可导。 对x=0，将f(x)写成f(x)=(x2一x一2)|x2一1||x|，由于(x2一x一2)|x2一1|在x=0处不为零，可知f(x)在x=0处不可导。 对x=1，将f(x)写成f(x)=(x2一x一2)|x2+x||x+1|，由于(x2一x一2)|x2+x|在x=1处不为零，可知f(x)在x=1处不可导。 因此f(x)有两个不可导点，故应选B。 知识模块：一元函数微分学
2． (1999年)设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处( )
A．极限不存在
B．极限存在，但不连续
C．连续，但不可导
D．可导
正确答案：D
解析：因为 从而f′(0)存在，且f′(0)=0，故正确选项为D。 知识模块：一元函数微分学
3． (2001年)设f(0)=0，则f(x)在点x=0可导的充要条件为( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：方法一：因为 可见，若f(x)在点x=0可导，则极限一定存在；反过来也成立。 方法二：排除法。 举反例说明A，C，D不成立。 例如取f(x)=|x|，f(x)在=0处不可导，但 因有界量与无穷小的乘积为无穷小，所以故排除C； 又如取则f(x)在x=0处不可导，但 排除D。 知识模块：一元函数微分学
4． (2004年)设函数f(x)连续，且f′(0)＞0，则存在δ＞0使得( )
A．f(x)在(0，δ)内单调增加
B．f(x)在(一δ，0)内单调减少
C．对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)
D．对任意的x∈(一δ，0)有f(x)＞f(0)
正确答案：C
解析：由导数的定义知根据保号性知，存在δ＞0，当x∈(一δ，0)∪(0，δ)时，有即当x∈(一δ，0)时，f(x)＜f(0)；而当x∈(0，δ)时，f(x)＞f(0)。故应选C。 知识模块：一元函数微分学
5． (2005年)设函数则f(x)在(一∞，+∞)内( )
A．处处可导
B．恰有一个不可导点
C．恰有两个不可导点
D．至少有三个不可导点
正确答案：C
解析：当|x|＜1时， 当x≠±1时，f(x)必可导。在x=1处， 因此f(x)在x=1处不可导。同理，f(x)在x=一1处也不可导。故选C。 知识模块：一元函数微分学
6． (2006年)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f′(x)＞0，f”(x)＞0，△x为自变量x在X0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则( )
A．0＜dy＜△y
B．0＜△y＜dy
C．△y＜dy＜0
D．dy＜△y＜0
正确答案：A
解析：方法一：图示法。 因为f′(x)＞0且f”(x)＞0，所以f(x)严格单调增加且f(x)是凹函数，作函数y=f(x)的图形。 结合图分析，就可以明显得出结论：0＜dy＜△y。 方法二：用两次拉格朗日中值定理 △y—dy=f(x0+△x)一f(x0)一f′(x0)△x(前两项用拉格朗日中值定理)=f′(ξ)△x—f′(x0)△x(再用一次拉格朗日中值定理)=f”(η)(ξ一x0)△x(x0
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：A，B两项中分母的极限为0，若要保证极限值存在，分子的极限也必须为0，再由f(x)在x=0处连续均可推导出f(0)=0。 若存在，则 可见C也正确，故应选D。 事实上，可举反例：f(x)=|x|在x=0处连续，且 存在，但f(x)=|x|在x=0处不可导。 知识模块：一元函数微分学
8． (1998年)设f(x)连续，则
A．xf(x2)
B．一xf(x2)
C．2xf(x2)
D．一2xf(x2)
正确答案：A
解析：对变积分限所定义的函数求导数，作积分变量替换u=x2一t2，
选A。 知识模块：一元函数微分学
9． (2008年)设函数则f′(x)的零点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
正确答案：B
解析：f′(x)=2xln(2+x2)，则f′(0)=0。 显然，f”(x)＞0恒成立，故f′(x)在(一∞，+∞)上单调递增。 又因为f′(0)=0，f′(x)单调，所以f′(x)有且只有1个零点。 知识模块：一元函数微分学
10． (2000年)设f(x)，g(x)是恒大于零的可导函数，且f′(x)g(x)一f(x)g′(x)<0，则当a＜x＜b时，有( )
A．f(x)g(b)＞f(b)g(x)
B．f(x)g(a)＞f(a)g(x)
C．f(x)g(x)＞f(b)g(b)
D．f(x)g(x)＞f(a)g(a)
正确答案：A
解析：设则 则F(x)在a＜x＜b时单调递减，所以对任意的a＜x＜b，F(a)＞F(x)＞F(b)，即 得f(x)g(b)＞f(b)g(x)，a＜x＜b，A为正确选项。 知识模块：一元函数微分学
11． (2001年)设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如图所示，则导函数y=f′(x)的图形为( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：从题设图形可见，在y轴的左侧，曲线y=f(x)是严格单调增加的，因此当x＜0时，一定有f′(x)＞0，对应y=f′(x)的图形必在x轴的上方，由此可排除A，C； 又y=f(x)的图形在y轴右侧靠近y轴部分是单调增，所以在这一段内一定有f′(x)＞0，对应y=f′(x)的图形必在x轴的上方，进一步可排除B，故正确答案为D。 知识模块：一元函数微分学
12． (2014年)设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间[0，1]上( )
A．当f′(x)≥0时，f(x)≥g(x)
B．当f′(x)≥0时，f(x)≤g(x)
C．当f”(x)≥0时，f(x)≥g(x)
D．当f”(x)≥0时，f(x)≤g(x)
正确答案：D
解析：方法一：首先将函数变形为 g(x)=f(1)一f(0)]x+f(0)，易知直线g(x)过曲线f(x)上的两个点(0，f(0))，(1，f(1))，则直线g(x)是曲线f(x)上的一条割线，当f”(x)≥0时，曲线f(x)为凹函数，连接曲线上任意两点的直线在曲线的上方，故g(x)≥f(x)，故选D。 方法二：令F(x)=g(x)一f(x)=f(0)(1一x)+f(1)x一f(x)，则F(0)=F(1)=0，且 F′(x)=一f(0)+f(1)一f′(x)，F”(x)=一f”(x)。 若f”(x)≥0，则F”(x)≤0，曲线F(x)在[0，1]上是向上凸的。又F(0)=F(1)=0，所以当x∈[0，1]时，F(x)≥0，从而g(x)≥f(x)，故选D。 知识模块：一元函数微分学
13． (2017年)若函数f(x)可导，且f(x)f′(x)＞0，则( )
A．f(1)＞f(一1)
B．f(1)＜f(一1)
C．|f(1)|＞|f(一1)|
D．|f(1)|＜|f(一1)|
正确答案：C
解析：令F(x)=f2(x)，则F′(x)=2f(x)f′(x)＞0，故F(x)单调递增，则F(1)＞F(一1)，即[f(1)]2＞[f(一1)]2，从而|f(1)|＞|f(-1)|。 知识模块：一元函数微分学
14． (2003年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有( )
A．一个极小值点和两个极大值点
B．两个极小值点和一个极大值点
C．两个极小值点和两个极大值点
D．三个极小值点和一个极大值点
正确答案：C
解析：根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有三个(导函数与x轴交点的个数)；x=0是导数不存在的点。 三个一阶导数为零的点左、右两侧导数符号均不一致，故必为极值点，其中第一个交点左、右两侧导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左、右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点。 对导数不存在的点x=0。左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点。 故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选C。 知识模块：一元函数微分学
15． (2011年)曲线y=(x一1)(x一2)2(x一3)3(x一4)4的拐点为( )
A．(1，0)
B．(2，0)
C．(3，0)
D．(4，0)
正确答案：C
解析：由y=(x一1)(x一2)2(x一3)3(x一4)4可知，x=1、2、3、4分别是 y=(x一1)(x一2)2(x一3)3(x一4)=40的一、二、三、四重根。故由导数与原函数之间的关系可知，y′(1)≠0，y′(2)=y′(3)=y′(4)=0， y”(2)≠0，y”(3)=y”(4)=0，y”′(3)≠0，y”′(4)=0，故(3，0)是拐点。 知识模块：一元函数微分学
16． (2015年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其中二阶导数f”(x)的图形如图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为( )
A．0
