考研数学一(多元函数微分学)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)

考研数学一（多元函数微分学）历年真题试卷汇编5 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． [2017年] 函数f(x，y，z)=x2y+z2在点(1，2，0)处沿向量，n={1，2，2}的方向导数为( )．

A．12

B．6

C．4

D．2

正确答案：D

解析：因，则因给出的方向向量不是单位向量，将其单位化得则，故所求的方向导数为仅D入选． 知识模块：多元函数微分学

2． [2008年] 函数f(x，y)=arctan(x／y)在点(0，1)处的梯度等于( )．

A．i

B．一i

C．j

D．-j

正确答案：A

解析：由函数f(x，y)在点(0，1)处的梯度计算公式知，只需求出f(x，y)在点(0，1)处的一阶偏导数．事实上，有故gradf(x，y)｜(0，1)=f’x(0，1)i+f’y(0，1)j=1·i+0·j=i．仅A入选． 知识模块：多元函数微分学

3． [2001年] 设函数f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且f’x(0，0)=3，f’y(0，0)=1，则( )．

A．dz｜(0，0)=3dx+dy

B．曲面z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0))的法向量为(3，1，1)

C．曲面在点(0，0，f(0，0))的切向量为(1，0，3)

D．曲面在点(0，0，f(0，0))的切向量为(3，0，1)

正确答案：C

解析：C中所给曲线方程为交面式方程注意到F’x(0，0，f(0，0))=f’x(x，y)｜(0，0，f(0，0))=f’x(0，0)=3，F’y(0，0，f(0，0))=f’y(0，0)=1，F’z(0，0，f(0，0))=一1，G’x(0，0，f(0，0))=G’z(0，0，f(0，0))=0， G’y(0，0，f(0，0))=1，有 故在点P0(0，0，f(0，0))处的切向量为(1，0，3)．仅C入选． 知识模块：多元函数微分学

4． [2013年] 曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在点(0，1，-1)处的切平面方程为( )．

A．x—y+z=一2

B．x+y+z=0

C．x一2y+z=一3

D．x—y—z=0

正确答案：A

解析：令F(x，y，z)=x2+cos(xy)+yz+x，则曲面F(x，y，z)在点(0，1，一1)处的法向量为n={F’x，F’y，F’z}={2x-ysin(xy)+1，-xsin(xy)+z，y}｜(0，1，-1)={1，一1，1}，则曲面F(x，y，z)=0在点(0，1，一1)处的切平面方程为1·(x-0)一1·(y一1)+1·(z+1)=0，即x—y+z=一2．仅A入选． 知识模块：多元函数微分学

5． [2003年] 已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且{[f(x，y)-xy]／(x2+y2)2}=1， ①则( )．

A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点

B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点

C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点

D．根据所给条件无法判别点(0，0)是否为f(x，y)的极值点

正确答案：A

解析：由极限与无穷小的关系知，在点(0，0)充分小的邻域内有即 f(x，y)=xy+(1+α)(x2+y2)2， ③其中．又由式①及(x2+y2)=0得到 即于是f(x，y)-xy=(1+α)(x2+y2)2， 即 f(x，y)=xy+(x2+y2)2+α(x2+y2)2，亦即 f(x，y)=f(x，y)=f(0，0)=xy+(x2+y2)2+o((x2+y2)2)=xy+(x2+x2)2+o(r2) (r=x2+y2 →0)．当y=x时，f(x，y)—f(0，0)=x2+(x2+y2)2+o(r2)＞0 (0＜r＜σ)．当y=一x时，f(x，y)一f(0，0)=一x2+(x2+x2)2+o(r2)＜0 (0＜r＜σ)，其中σ是充分小的正数．可知，(0，0)不是f(x，y)的极值点．仅A入选． 知识模块：多元函数微分学

6． [2011年] 设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)＞0，f’(0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )．

A．f(0)＞1，f’’(0)＞0

B．f(0)＞1，f’’(0)＜0

C．f(0)＜1，f’’(0)＞0

D．f(0)＜1，f’’(0)＜0

正确答案：A

解析：若函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值，则得到又由式①有 则lnf(0)＞0， 即f(0)＞1． ②又因lnf(0)＞0，由得到f’’(0)＞0． ③由式②、式③得到f(0)＞1，f’’(0)＞0．仅A入选． 知识模块：多元函数微分学

7． [2014年]∫-ππ(x一a1cosx-b1sinx)2dx={∫-ππ(x一acosx一

bsinx)2dx}，则a1cosx+b1sinx=( )．

A．2sinx

B．2cosx

C．2nsinx

D．2πcosz

正确答案：A

解析：∫-ππ(x一acosx一bsinx)2dx=∫-ππ[(x一bsinx)-acosx]2dx=∫-ππ[(x—b sinx)2一2a cosx(x—b sinx)+a2cos2x]2dx=∫-ππ(x2一2bx

sinx+b2sin2x+a2cos2x)dx (注意cosx(x一b sinx)为奇函数)=2∫0π(x2一2bx

sinx+b2sin2x+a2cos2x)dz，因∫0πxsinxdx=，∫0πsin2x dx=，故F(a，b)=∫-ππ(x-a cosx一b sinx)2dx=π3—4b2π+b37π+a3π ①=π(a2+b2一4b)+π3=π[a2+(b-2)2一4]+π3．因而当a=0，b=2时，上述积F(a，b)最小．于是a1=a=0，b1=b=2，a1cosx+b1sinx=2sinx．仅A入选． 知识模块：多元函数微分学

8． [2006年] 设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ’y(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．

A．若f’x(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)=0

B．若f’x(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0

C．若f’x(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)=0

D．若f’x(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0

正确答案：D

解析：由拉格朗日乘数法，得消去λ，得f’x(x0，y0）φ’y(x0，y0）一f’y(x0，y0）φ’x(x0，y0）=0．因φ’y(x0，y0）≠0，故因而当f’x(x0，y0）≠0时，必有f’y(x0，y0）≠0．仅D入选． 知识模块：多元函数微分学

填空题

9． [2016年] 设函数f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)z-y2=x2f(x—z，y)确定，则dz｜(0,1)=______．

正确答案：一dx+2dy

解析：先在所给方程两边求偏导，得到z+(x+1)z’x>=2xf(x—z，y)+x2f’1·(1一z’x)，(x+1)z’y—2y=x2[f’1·(一z’y)+f’2]．将x=0，y=1代入所给方程得到z-1=0，即z=1，再将x=0，y=1，z=1分别代入上述两式得到1+z’x=2·0·f(0—1，1)+0． f’1·[1一z’x]=0，故z’x=一1．z’y-2=0，故z’y=2．应用微分公式得到

dz｜(0，1)=z’xdx+z’ydy=一dx+2dy． 知识模块：多元函数微分学

10． [2005年] 设函数u(x，y，z)=，单位向量，则=______.

正确答案：

解析：根据三元函数方向导数的计算公式即有因n=(1，1，1)=n0为单位向

量，故cosα=cosβ=cosγ=．由于u=f(x，y，z)=1+x2／6+y2／12+z2／18，P0=(1，2，3)，下面求出函数u在点P0处各个偏导数：则 将其代入方向导数的计算公式中得到 知识模块：多元函数微分学

11． [2012年]grad(xy+z／y)｜(2，1，1)=______．

正确答案：3

解析：令u=xy+z／y，则故 知识模块：多元函数微分学

12． [2003年] 曲面z=x2+y2与平面2x+4y—z=0平行的切平面的方程是______．

正确答案：2x+4y—z=5

解析：设曲面的显式方程为z=f(x，y)，该曲面的法向量为n=(f’x，f’y，一1)=(2x，2y，一1)．设切点坐标为M0(x0，y0，z0)，则过切点M1(x0，y0，z0)的切平面的法向量为n=(2x0，2y0，一1)．由假设有，故x0=1，y0=2，因而z0=x02+y02=5，故所求的切平面方程为2(x一1)+4(y一2)一(z一5)=0，即2x+4y—z=5． 知识模块：多元函数微分学

13． 曲面x2+2y2+3z2=21在点(1，一2，2)处的法线方程为______．

正确答案：

解析：先求曲面F(x，y，z)=x2+2y2+3z2一21=0在点(1，一2，2)处的法向量．n=(F’x，F’y，F’z)｜(1，-2，2)=(2x，4y，6z)｜(1，-2，2)=(2，一8，12)=2(1，一4，6)，则在点(1，一2，2)处的法线方程为 知识模块：多元函数微分学

14． [2014年] 曲面z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为______．

正确答案：2x—y一z—1=0

解析：令F=x2(1一siny)+y2(1一sinx)-z，则故在点(1，0，1)处的法向量为n={2，一1，一1}，切平面方程为2(x一1)一(y-0)一(z一1)=0，即2x—y一z—1=0． 知识模块：多元函数微分学

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

[2006年] 设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且满足等式

15． 验证 f’’(u)+f’(u)／u=0． ②

正确答案：设，则z=f(u)，从而.由对称性即得 又由对称性得到 将式③、式④代入式①得到式②． 涉及知识点：多元函数微分学