考研数学二一元函数微分学历年真题试卷汇编1_真题-无答案

考研数学一（二次型）历年真题试卷汇编1

(总分150,考试时间180分钟)

选择题

1. 1.[2015年] 设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换X=PY下的标准形为y12+y22一y32，其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，一e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换X=QY下的标准形为( )．

A. 2y12一y22+y32

B. 2y12+y22一y32

C. 2y12—y22一y32

D. 2y12+y32+y32

2. 2.设，则在实数域上与A合同的矩阵为( )．

A. B.

C. D.

3. 3.[2007年]设矩阵，则A与B( )．

A. 合同且相似

B. 合同但不相似

C. 不合同但相似

D. 既不合同又不相似

填空题

4. 4.[2002年] 已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变

换X=PY可化成标准形f=6y12，则a=_______．

5. 5.[2011年] 若二次曲面方程x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4经正交变换化为y12+4z12=4，则a=______．

6. 6.[2014年] 设二次型f(x1，x2，x3)=x12一x22+2ax1x2+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是______．

7. 7.若二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3是正定的，则t的取值范围是______．

解答题

[2005年] 已知二次型

f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．

8. 8.求a的值；

9. 9.求正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化成标准形；

10. 10.求方程f(x1，x2，x3)=0的解．

[2018年] 设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1一x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数．

考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编21

(总分150,考试时间180分钟)

选择题

1. 1.[2014年] 设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上( )．

A. 当f′(x)≥0时，f(x)≥g(x)

B. 当f′(x)≥0时，f(x)≤g(x)

C. 当f″(x)≥0时，f(x)≥g(x)

D. 当f″(x)≥0时，f(x)≤g(x)

2. 2.[2018年] 设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01f(x)dx=0，则( )．

A. 当f′(x)＜0时，f()＜0

B. 当f″(x)＜0时，f()＜0

C. 当f′(x)＞0时，f()＜0

D. 当f″(x)＞0时，f()＜0

3. 3.[2005年] 设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是( )．

A. (1／8)ln2+3

B. (一1／8)ln2+3

C. 一8ln2+3

D. 8ln2+3

4. 4.[2010年] 曲线y=x2与曲线y=alnx(a≠0)相切，则a=( )．

A. 4e B. 3e

C. 2e D. e

5. 5.[2016年] 设函数fi(x)(i=l，2)具有二阶连续导数，且f″i(x0)＜0(i=1，2)，

若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某个邻域内，有( )．

A. f1(x)≤f2(x)≤g(x)

B. f2(x)≤f1(x)≤g(x)

C. f1(x)≤g(x)≤f2(x)

D. f2(x)≤g(x)≤f1(x)

6. 6.[2014年] 曲线上对应于t=l的点处的曲率半径是( )．

A. B.

C. D.

考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编10 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． (87年)设，其中f(x)连续，s＞0，t＞0，则I的值

A．依赖于s，t．

B．依赖于s,t,x．

C．依赖于t,x不依赖于s．

D．依赖于s不依赖于t．

正确答案：D

解析：由此可见，I的值只与s有关，所以应选(D)． 知识模块：一元函数积分学

2． (88年)设f(x)与g(x)在(一∞，+∞)上皆可导．且f(x)＜g(x),则必有

A．f(-x)＞g(一x)

B．f’(x)＜g’(x)

C．

D．∫0xf(t)dt＜∫0xg(t)dt

正确答案：C

解析：由于f(x)和g(x)在(-∞，+∞)上皆可导，则必在(一∞,+∞)上连续，则

知识模块：一元函数积分学

3． (88年)由曲现(0≤x≤π)与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积为

A．

B．

C．

D．

正确答案：B

解析： 知识模块：一元函数积分学

4． (89年)曲线y=cosx与x轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为

A．

B．π

C．

D．π2

正确答案：C

解析： 知识模块：一元函数积分学

5． (90年)设函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，则d[∫f(x)dx]等于

A．f(x)

B．f(x)dx

C．f(x)+C

D．f’(x)dx

正确答案：B

解析：d[∫f(x)dx]=(∫f(x)dx)’dx=f(x)dx 知识模块：一元函数积分学

6． (90年)设f(x)是连续函数，且F(x)=f(t)dt，则F’(x)等于

A．一e-xf(e-x)一f(x)

B．一e-xf(e-x)+f(x)

C．e-xf(e-x)一f(x)

D．e-xf(e-x)+f(x)

正确答案：A

解析：由于F(x)=-∫0xf(t)dt则 F’(x)=一f(e-x)e-x一f(x)，故应选(A)． 知识模块：一元函数积分学

第2章 一元函数微分学

2.1 导数的概念

2.1.1 导数

2.1.2 右导数

2.1.3 左导数

2.1.4 函数在区间上的可导性

2.2 函数可导的条件

2.3 导数的几何意义与物理意义

2.3.1 导数的几何意义

2.3.2 导数的物理意义

2.4 导数的计算

2.4.1 基本初等函数的导数公式

2.4.2 导数的四则运算法则

2.4.3 复合函数的导数

2.4.4 反函数的导数

2.4.5 隐函数的导数

2.4.6 高阶导数

2.4.6.1 高阶导数的定义

2.4.6.2 高阶导数的运算法则

2.4.6.3 几个常见初等函数的n阶导数公式

2.4.7 由参数方程确定的函数的导数

2.5 微分的概念

2.5.1 微分的定义

2.5.2 微分的几何意义

2.5.3 可微与导数的关系

2.5.4 一阶微分形式的不变性

2.6 微分中值定理

2.6.1 罗尔定理

2.6.2 拉格朗日中值定理

2.6.3 柯西中值定理

2.6.4 泰勒定理

2.6.4.1 带拉格朗日余项的泰勒定理

2.6.4.2 带皮亚诺余项的泰勒定理

2.6.4.3 几个常用函数的带皮亚诺余项的麦克劳林展开式

2.7 洛必达法则

2.7.1 求“0/0”型未定式极限的洛必达法则

2.7.2 求“∞/∞”型未定式极限的洛必达法则

2.8 函数及其性态的研究

2.8.1 单调的判定定理

2.8.2 极值的概念

2.8.3 可导点处极值的必要条件

2.8.4 极值的充分条件

2.8.4.1 极值的第一充分条件

2.8.4.2 极值的第二充分条件

2.8.5 函数图形的凹凸性

2.8.6 凹凸性的判定定理

2.8.7 拐点的概念

2.8.8 二阶可导点处拐点的必要条件

2.8.9 拐点的充分条件

2.8.10 渐近线的概念

2.8.11 求斜渐近线

2.9 曲率、曲率半径、曲率圆

2.9.1 弧微分