上海交通大学2020 级第一学期《高等数学》期中考试试卷 (A 类)

上海市2020年高一上学期数学期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·汉中模拟) 已知集合A={x|（x﹣2）（x+3）＜0}，B={x|y= }，则A∩（∁RB）=（）A . [﹣3，﹣1]B . （﹣3，﹣1]C . （﹣3，﹣1）D . [﹣1，2]2. （2分） (2016高三上·吉林期中) 已知集合A={x|x2＜1}，B=x|2x＞，则A∩B=（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高三上·张掖期末) 给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：① ；②f（3.4）=﹣0.4；③ ；④y=f（x）的定义域为R，值域是；则其中真命题的序号是（）A . ①②B . ①③C . ②④D . ③④4. （2分）下列关系中正确的个数为（）①0∈{0}，② Φ{0}，③{0，1}{（0，1）}，④{（a，b）}＝{（b，a）}A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分） (2017高一上·龙海期末) 三个数60.7 ， 0.76 ， log0.76的大小顺序是（）A . 0.76＜log0.76＜60.7B . log0.76＜0.76＜60.7C . log0.76＜60.7＜0.76D . 0.76＜60.7＜log0.766. （2分） (2019高一上·海林期中) 已知函数f(x)=2x2-mx+3，当时是增函数，当时是减函数，则f(1)等于（）A . -3B . 13C . 7D . 含有m的变量7. （2分）(2020·陕西模拟) 已知函数，则（）A . 是奇函数，在区间上单调递减B . 是非奇非偶函数，在区间上单调递减C . 是偶函数，在区间上单调递增D . 是偶函数，在区间上单调递减8. （2分）集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，A∪B=A，则实数m组成的集合（）A . {﹣1}B . {1}C . {﹣1，1}D . {﹣1，0，1}9. （2分）已知集合P={0，m}，Q={x|2x2﹣5x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则m等于（）A . 2B . 1C . 1或2D . 1或10. （2分） (2016高一上·武邑期中) 下列函数中，值域是（0，+∞）的是（）A . y=（）1﹣xB . y=x2C . y=5D . y=11. （2分） (2016高一上·绵阳期末) 设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上是单调递增，若f（2）=0，则使f（log x）＜0成立的x的取值范围是（）A . （，4）B . （0，）C . （，）D . （，4）12. （2分） (2019高一上·宾县月考) 设方程的两个根分别为，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·广东期中) 设集合，集合，则集合中有________个元素．14. （1分）计算： =________．15. （1分） (2017高三上·静海开学考) 给出下列四个命题：①若a＜b，则a2＜b2；②若a≥b＞﹣1，则≥ ；③若正整数m和n满足m＜n，则≤ ；④若x＞0，且x≠1，则lnx+ ≥2．其中所有真命题的序号是________16. （1分）设对任意非零实数均满足，则为________函数．（填“奇”或“偶”）三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支测绘队，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中有许多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有一些人三项工作都参加了，请问这个测绘队至少有多少人？18. （5分） (2018高一上·西宁月考) 已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}．若A∩B＝∅，求a的取值范围．19. （5分）已知函数f（x）= ，x∈[1，4]，且f（1）=2．（1）求函数的解析式并证明函数的单调性；（2）求函数y=f（x）的最大值和最小值．20. （10分） (2019高一上·郏县期中) 定义在R的单调增函数对任意x ，，都有（1）求证：为奇函数．（2）若对任意恒成立，求实数k的求值范围．21. （10分） (2016高一上·淮北期中) 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g（t）=80﹣2t（件），价格近似满足于（元）．（Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；（Ⅱ）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．22. （15分） (2019高三上·沈阳月考) 已知函数，，其中 .（1）讨论的单调性；（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数，当时，若，，总有成立，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、。

2019-2020学年上海交通大学附属中学高一上学期期中考试数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一. 填空题 1.函数y=的定义域为 . 【答案】()0,+∞ 【解析】试题分析：函数y=的定义域为0{0x x ≥≠所以0x >考点：函数定义域的求法．2.已知{|12}A x x =-<<，2{|30,}B x x x x =-<∈R ，则A B =I ________ 【答案】(0,2) 【解析】 【分析】对集合B 中的不等式求出其解集，然后利用集合的交集运算，得到答案. 【详解】集合2{|30,}{|03}B x x x x x x =-<∈=<<R ，而集合{|12}A x x =-<< 所以{|02}A B x x ⋂=<< 故答案为：(0,2)【点睛】本题考查解不含参的二次不等式，集合的交集运算，属于简单题. 3.当0x >时，函数1()f x x x -=+的值域为________ 【答案】[2,)+∞ 【解析】 【分析】根据基本不等式，求出当0x >时，函数1()2f x x x -=+≥，得到答案.【详解】因为0x >，所以函数1()2f x x x -=+=≥， 当且仅当1x x -=，即1x =时，等号成立. 所以函数1()f x x x -=+的值域为[2,)+∞， 故答案为：[2,)+∞【点睛】本题考查求具体函数的值域，基本不等式求和最小值，属于简单题.4.设{|52U x x =-≤<-或25,}x x <≤∈Z ，2{|2150}A x x x =--=，{3,3,4}B =-，则U A B =I ð__【答案】{5} 【解析】 【分析】先对集合U 进行化简，然后根据集合U 和集合B ，由集合的补集运算计算出U B ð，再对集合A 进行化简，然后利用集合的交集运算，得到答案.【详解】集合{|52U x x =-≤<-或25,}x x <≤∈Z ， 所以{}5,4,3,3,4,5U =---集合{3,3,4}B =-， 所以{}5,4,5U B =--ð，集合{}{}2|21503,5A x x x =--==-,所以{}5U A B =I ð， 故答案为：{}5.【点睛】本题考查集合的补集和交集运算，属于简单题.5.已知集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==，若A B A ⋃=，则实数a 值集合为________ 【答案】{0,1,2}- 【解析】 【分析】由A B A ⋃=可得B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅进行讨论，得到答案.【详解】因为A B A ⋃=，所以得到B A ⊆， 集合{2,1}A =-，{|2}B x ax == 当B =∅时，0a =，当B ≠∅时，0a ≠，则2B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭所以有22a =-或21a=，则1a =-或2a =， 综上0a =或1a =-或2a = 故答案为：{0,1,2}-【点睛】本题考查由集合的包含关系求参数的值，属于简单题.6.满足条件{1,3,5}{3,5,7}{1,3,5,7,9}A =U U 的所有集合A 的个数是________个 【答案】16 【解析】 【分析】先计算{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7=U ，由结果可知集合A 中应有元素9，然后元素9与集合{}1,3,5,7的子集中的元素一起，构成集合A ，从而得到答案.【详解】因为{1,3,5}{3,5,7}{1,3,5,7,9}A =U U ， 而{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7=U ， 所以可得集合A 中一定有元素9，所以元素9与集合{}1,3,5,7的子集中的元素一起，构成集合A ， 而集合{}1,3,5,7的子集有42=16个， 故满足要求的集合A 的个数是16. 故答案为：16.【点睛】本题考查根据集合的运算结果求满足要求的集合个数，根据集合元素个数求子集的个数，属于简单题.7.已知不等式2202x xx a+≤+解集为A ，且2A ∈，3A ∉，则实数a 的取值范围是________【答案】3[,1)2-- 【解析】 【分析】由题意可知，代入2x =可满足不等式，代入3x =则不满足不等式，从而得到关于a 的不等式组，解得a 的取值范围.【详解】因为不等式2202x xx a+≤+解集为A ，且2A ∈，3A ∉，所以可得代入2x =，不等式成立，即2022222a≤+⨯+，解得1a <-，代入3x =，不等式不成立，即2323032a+⨯>+，解得32a >-，且当32a =-时，3x =也不满足不等式，综上，a 的范围为3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭， 故答案为：3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查根据分式不等式的解集中的元素求参数的范围，属于中档题. 8.若函数()f x =a 的取值范围为________【答案】1a > 【解析】 【分析】首先满足函数()f x 的定义域关于原点对称，得到a 的取值范围，再验证此时函数()f x 为偶函数而非奇函数，从而得到答案.【详解】由函数()f x 0a ≥，函数()f x 要为偶函数， 则其定义域需关于原点对称，22100x a x ⎧-≥⎨-≥⎩，解得11x x x ≤-≥⎧⎪⎨≤≤⎪⎩或，1，即1a ≥ 当1a =时，函数()0f x ==。

高三期中数学卷一.填空题1.已知集合M ={}2,0,xy y x N ==(){}2|lg 2x y x x =-,则M N ⋂=_______.【答案】(1,2) 【解析】M ={}2,0x y y x =={}1,y y N ={}2|lg(2x y x x =-={|02}x x <<,所以M N ⋂={|12}x x <<.2.三阶行列式351236724---中元素5-的代数余子式的值为________. 【答案】34 【解析】 【分析】根据行列式的代数余子式的定义进行计算． 【详解】由题意，可知： （﹣1）1+2•2674-=--[2×4﹣（﹣6）×（﹣7）]＝34．故答案为：34．【点睛】本题主要考查行列式的代数余子式的概念及根据行列式的代数余子式的定义进行计算．本题属基础题．3.已知幂函数()y f x =的图像过点1(2，则4log (2)f 的值为________. 【答案】14【解析】 【分析】先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x 用2代替求出函数值． 【详解】由设f （x ）＝x a ，图象过点（12），∴（12）a =a 12=， ∴log 4f （2）＝log 412124=． 故答案为：14【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值． 4.已知向量()1,3a=，()3,b m =且b 在a 上的投影为3，则a 与b 角为______.【答案】【答案】π6. 【解析】 【分析】根据向量数量积的几何意义求得m 的值，然后再求出两向量的夹角． 【详解】设a ，b 的夹角为θ， 则||236a b a b cos θ==⨯=，又()()1,33,3a b m ==+，∴336m +=， 解得3m =．∴2||22a b cos a b θ===⨯，又0θπ≤≤， ∴6πθ=．故答案为：6π． 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义和夹角的计算，解题的关键是熟悉有关的计算公式，用几何意义计算向量的数量积也是解答本题的关键，属于基础题． 5.满足不等式arccos2arccos(1)x x <-的x 的取值范围为________ 【答案】11(,]32【解析】反余弦函数的定义域为[]1,1-，且函数在定义域内单调递减，则不等式等价于：12111121x x x x -≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>-⎩，求解不等式有：11220213x x x ⎧-≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪⎪>⎩， 综上可得，不等式的解集为11,32⎛⎤⎥⎝⎦.6.函数log (3)1(01)a y x a a =+->≠且的图像恒过定点A ，若A 在直线10mx ny ++=，其中,0m n 均大于，则12m n+的最小值_________ 【答案】8 【解析】试题分析：由已知可得定点()2,1A --，代入直线方程可得21m n +=，从而1212()(2)m n m n m n +=++4448n m m n =++≥=. 考点：1、函数的定点；2、重要不等式.【易错点晴】本题主要考查的重要不等式，属于容易题.但是本题比较容易犯错，使用该公式是一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.7.设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若{}n a 的各项和等于q ，则首项1a 的取值范围是____. 【答案】1(2,0)(0,]4- 【解析】 【分析】 由题意易得11a q =-q ，可得a 1＝﹣（q 12-）214+，由二次函数和等比数列的性质可得． 【详解】∵无穷等比数列{a n }的各项和等于公比q ， ∴|q |＜1，且11a q=-q ，∴a 1＝q （1﹣q ）＝﹣q 2+q ＝﹣（q 12-）214+， 由二次函数可知a 1＝﹣（q 12-）21144+≤，又等比数列的项和公比均不为0， ∴由二次函数区间的值域可得： 首项a 1的取值范围为：﹣2＜a 114≤且a 1≠0 故答案为：1(2,0)(0,]4- 【点睛】本题考查等比数列的各项和，涉及二次函数的最值，属基础题．8.已知函数2()f x x =，[1,2]x ∈的反函数为1()f x -，则121[()](2)f x f x --+的值域是____.【答案】[1 【解析】 【分析】依题意，f ﹣1（x ）=（x ∈[1，4]），得函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）＝x y＝x [1，2]上的增函数，可得y 的值域．【详解】依题意，f ﹣1（x ）=（x ∈[1，4]），所以函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）＝x x 满足14124x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即1≤x ≤2，又y ＝x [1，2]上的增函数，所以函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）的值域是[1，4]，故答案为：[1【点睛】本题考查了简单函数的反函数的求法，函数的定义域，值域，属于基础题．解题时注意定义域优先的原则．9.在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为________.【答案】【解析】【分析】 由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，得曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，再根据勾股定理以及圆的性质可得弦长的最小值．【详解】由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，∴曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆， 又直线20x ty -+=恒过点D ()2,0-，且此点在圆内部 故当CD AB ⊥时|AB |最短， ∴|AB |＝=2，故答案为：【点睛】本题考查了简单曲线的参数方程，考查圆的弦长公式，准确计算是关键，属中档题．10.设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-，若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是________. 【答案】43(,)32ππ 【解析】 【分析】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d 的范围求出公差的值，代入前n 项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a 1取值范围．【详解】由()22222233363645sin a cos a cos a cos a sin a sin a sin a a -+-=+1， 得：()()()336363636452cos a cosa cosa sina sina cosa cosa sina sina sin a a -+-+=+1，即()()()336364521cos a cos a a cos a a sin a a -++-=+，由积化和差公式得：()3634511222221cos a cos a cos a sin a a +-=+，整理得：()()()()()()63636345451122222cos a cos a sin a a sin a a sin a a sin a a --+-==++1，∴sin （3d ）＝﹣1．∵d ∈（﹣1，0），∴3d ∈（﹣3，0）， 则3d 2π=-，d 6π=-．由()()2111116221212n n n n n S na d na n a n πππ⎛⎫-⋅- ⎪-⎛⎫⎝⎭=+=+=-++ ⎪⎝⎭．对称轴方程为n 1612a ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由题意当且仅当n ＝9时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值，∴1176192122a ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜＜，解得：14332a ππ＜＜． ∴首项a 1的取值范围是4332ππ⎛⎫⎪⎝⎭，． 故答案为：4332ππ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了三角恒等变换的应用，化简原式得公差的值是关键，考查了学生的运算能力，是中档题．11.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在[)6,-+∞上的所有零点之和为__________．【答案】8 【解析】 由题意，()1f x x=，()y f x =与y x =都是奇函数，第一象限图象如图，当8x>时，两图象无交点，所以[)6,0-与(]0,6对称，零点之和为0，(]6,8上，零点为8，所以，[)6,-+∞上的零点之和为8.12.在数列{}n a中，11a=，1221332?32(2)n n nn na a n----=-+≥，nS是数列1nan+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和，当不等式*1(31)()1()3()mnmnS mm NS m++-<∈-恒成立时，mn的所有可能取值为 . 【答案】1或2或4【解析】试题分析：由1221332?32(2)n n nn na a n----=-+≥得1212213(1)3(1)332?32(2)n n n n nn na a n------+=++--+≥，即1213(1)3(1)2(2)n nn na a n---+=++≥，所以数列{}13(1)nna-+是以1113(1)2a-+=为首项、2为公比的等比数列，所以13(1)2nna n-+=，由1123nnan-+=，12(1)133(1)1313nn nS⨯-==--，所以1111(31)[3(1)](31)()(3)33(3)33(3)323331113()(3)33(3)333[3(1)]3mm m n m n n mnnm m n m m n mmnnmS m m m mS m m mm++++ +++--+---+----⋅-===+< -------即(3)3233(3)33n mm n mmm+--⋅-<--，当3m=时，该不等式不成立，当3m≠时有233330133mnnmm⋅+--<--恒成立，当1m =时，19322n<<，1n =，这时1mn =，当2m =时，1321n <<，1,2n =，这时2mn =或4mn =，当4m ≥时，233330133m nn m m⋅+--<--不成立，所以mn 的所有可能取值为1或2或4. 考点：1.数列的递推公式；2.等差数列的定义与求和公式；3.不等式恒成立问题. 【名师点睛】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义与求和公式、不等式恒成立问题，属难题；数列的递推公式一直是高考的重点内容，本题给出的递推公式非常复杂，很难看出其关系，但所要求的数列的和给出了我们解题思路，即在解题中强行构造数列{}13(1)n n a -+是解题的关键，然后根据不等式恒成立分类讨论求解，体现的应用所学数学知识去解决问题的能力. 二.选择题13.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】“a＞1”⇒“11a ＜”，“11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】a∈R ，则“a＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”， ∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选：A ．【点睛】充分、必要条件三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．14.已知函数()2sin(2)6f x x π=+，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是( )A. 在[,]42ππ上是增函数B .其图象关于直线4x π=-对称C. 函数是奇函数D. 当[0,]3x π∈时，函数的值域是[1,2]-【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，()2sin[2()]2sin(2)2cos 2662g x x x x πππ=++=+=，A ：[,]42x ππ∈时，2[,]2x ππ∈，是减函数，故A 错误；B ：()2cos()042g ππ-=-=，故B 错误；C ：()g x 是偶函数，故C 错误；D ：[0,]3x π∈时，22[0,]3x π∈，值域为[1,2]-，故D 正确，故选D ． 考点：1．三角函数的图象变换；2．sin()y A x ωϕ=+的图象和性质．15.已知n N ∈，x ∈R ，则函数22()lim 2n n n x f x x +→∞-=-的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】讨论当|x |＞1，|x |＜1，当x ＝1时和当x ＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f （x ）的解析式，画出图象得到正确选项.【详解】当|x |＞1时，2222121lim 22n n n n n n x x lim x x x x+→∞→∞--==---； 当|x |＜1时，222lim 22n n n n x lim x +→∞→∞--==--1；当x ＝1时，22lim 2n n n x x +→∞-=--1；当x ＝﹣1时，22lim 2n n n x x +→∞--不存在．∴f （x ）()()()21111111.x x x x x ⎧--⎪⎪==-⎨⎪--≤⎪⎩＞或＜无意义＜ ∴只有A 选项符合f （x ）大致图像， 故选A.【点睛】本题考查了函数解析式求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．16.设M ，N 是抛物线2y x =上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线OM 与ON 的斜率之积为12-，则（ ） A. ||||42OM ON +≥B. O 到直线MN 的距离不大于2C. 直线MN 过抛物线2y x =的焦点D. MN 为直径的圆的面积大于4π【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，M ，N 可看作直线MN 与抛物线的交点,对直线MN 进行分类讨论，当直线MN 的斜率不存在时，设出M ，N 的坐标，可以求得M ，N 的坐标及直线MN 的解析式；当直线的斜率存在时，利用斜截式设出直线MN 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，推出直线MN 过定点()2,0，结合选项得出答案. 【详解】当直线MN 的斜率不存在时，设，由斜率之积为12-，可得20112y -=-，即202y =，∴MN 的直线方程为2x =； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，联立2y kx m y x=+⎧⎨=⎩，可得20ky y m -+=．设()1122(),,M x y N x y ，，则，∴121212OM ON y y k k k x x m ==-⋅=， 即2m k =-．∴直线方程为()22y kx k k x =-=-． 则直线MN 过定点()2,0．则O 到直线MN 的距离不大于2．故选B ．【点睛】圆锥曲线与方程是高考考查的核心之一，解题时不仅要掌握圆锥曲线的几何性质，还要重点掌握直线与圆锥曲线的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，本题主要利用了设而不求的方法，在设直线方程时要注意斜率是否存在以进行分类讨论. 三.解答题17.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，且2a =． （1）若C=60°且b=1，求a 边的值；（2）当c2b=A 的大小． 【答案】（1）3；（2）A=π3【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角形的面积公式，化简可得sin a C =，又由60C =︒且1b =，即可求解；（2）由余弦定理及2a =，化简可得sin()16A π+=，即可求解A 的大小，得到答案．【详解】（1）由题意知2a =，可得21sinC 2b a a =⋅，∴sin a C =，又因为60C =︒且1b =，∴3a ==；（2）当2cb=+2b c ==∵2222cos b c A a bc ==+-，∴221sin 2cos 2bc A b c bc A ⋅=+-，即)222cos bc A A b c +=+，∴22πb c b c 4sin A 46bc c b +⎛⎫+==+= ⎪⎝⎭，得sin()16A π+=， ∵(0,)A π∈，∴7(,)666A πππ+∈，所以62A ππ+=，得3A π=．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18.函数23()log (28)f x x x =+-的定义域为A ，函数2()(1)g x x m x m =+++.（1）若4m =-时，()0g x ≤的解集为B ，求A B ；（2）若存在1[0,]2x ∈使得不等式()1g x ≤-成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(2,4]A B ⋂=；（2）1m ≤-. 【解析】 【分析】（1）求出集合A ，B ，由交集运算的定义，可得A ∩B ；（2）若存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式g （x ）≤﹣1成立，即存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式﹣m 211x x x ++≥+成立，得﹣m ≥（211x x x +++）min ，解得实数m 的取值范围．【详解】（1）由x 2+2x ﹣8＞0，解得：x ∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）， 故则函数f （x ）＝log 3（x 2+2x ﹣8）的定义域A ＝（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），若m ＝﹣4，g （x ）＝x 2﹣3x ﹣4，由x 2﹣3x ﹣4≤0，解得：x ∈[﹣1，4]，则B ＝[﹣1，4] 所以A ∩B ＝（2，4]； （2）存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式x 2+（m +1）x +m ≤﹣1成立，即存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式﹣m 211x x x ++≥+成立，所以﹣m ≥（211x x x +++）min因为211x x x ++=+x +111x +-+1≥1， 当且仅当x +1＝1，即x ＝0时取得等号 所以﹣m ≥1， 解得：m ≤﹣1．【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式，集合的交集，函数存在性问题，函数的最值，基本不等式的应用，难度中档．19.某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t (025)t <≤，GF 是圆的切线，且GF AD ⊥，曲线BC 是抛物线250y ax=-+(0)a>的一部分，CD AD⊥，且CD恰好等于圆E的半径.（1）若30CD=米，245AD=t与a 的值；（2）若体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围. 【答案】（1）20t=，149a=；（2）1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据抛物线方程求得()0,50B，从而可得半径，即50CD t=-，进而解得t；通过圆E 的方程求得A点坐标，从而得到C点坐标，代入抛物线方程求得a；（2）求解出C点坐标后，可知5075tDF ta=-+≤，可整理为162550att≥++，利用基本不等式可求得162550tt++的最大值，从而可得a的范围.【详解】（1）由抛物线方程得：()0,50B50BE t∴=-又BE，CD均为圆的半径50CD t∴=-，则503020t=-=∴圆E的方程为：()2222030x y+-=()105,0A∴245105145OD AD AO∴=-==，则()145,30C代入抛物线方程得：(230550a=-+，解得：149a=（2）由题意知，圆E半径为：50t-，即50CD t=-则C点纵坐标为50t-，代入抛物线方程可得：txa=tODa=5075DF t ∴=-≤，整理可得：()216252550t a t t t≥=+++ (]0,25t ∈62550t t∴+≥=（当且仅当25t =时取等号）1162510050t t ∴≤++ 1100a ∴≥即a 的取值范围为：1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数在实际生活中的应用问题，涉及到函数方程的求解、根据函数最值求解参数范围的问题，关键是能够通过分离变量的方式，得到所求变量和函数最值的关系，从而通过基本不等式求得最值，进而得到参数范围.20.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,2M ，且右焦点为()2,0F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点P ．若,PA mAF PB nBF ==，求证：m n +为定值；（3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．【答案】（1）22184x y +=（2）见解析（3）163【解析】【详解】（1）由题意b=2，c=2，所以28a =，椭圆C 的方程为22184x y +=。

上海交通⼤学2016级第⼀学期《⾼等数学》期中考试试卷（A类）2016级第⼀学期《⾼等数学》期中考试试卷 (A 类)⼀、单项选择题（每⼩题3分，共15分）1. 数列极限sin lim sin n n n n n→∞-+ （）（A ）不存在；（B ）等于1-；（C ）等于0；（D ）等于1。

2. 当0x →时，x α与21cos cos 2x e x x -是同价⽆穷⼩，则（）（A ）1α=；（B ）2α=；（C ）3α=；（D ）5α=。

3. 已知曲线C 由极坐标⽅程r θ=（02θ≤<π）所确定，P 是C 上对应于2θπ=的点。

那么C 在P 点处的切线⽅程为（）（A ）2r θπ=-；（B ）1y x =+；（C ）22y x π=-+π；（D ）12y x π=-+。

4. 设()f x 在区间[,]a b 上具有连续的⼆阶导函数，且(,)x a b ?∈，满⾜()()0f x f x '''≥，则()f x 在区间(,)a b 上（）（A ）保号；（B ）单调；（C ）存在极值；（D ）存在拐点。

5. 已知函数()f x 在点0x 的某个邻域内有定义，对于两个命题（I ）()f x 在点0x 可导当且仅当cos(())f x 在点0x 可导；（II ）()f x 在点0x 可导当且仅当arctan(())f x 在点0x 可导，下列选项正确的是（）（A ）仅（I ）正确；（B ）仅（II ）正确；（C ）（I ）和（II ）都正确；（D ）（I ）和（II ）都错误。

⼆、填空题（每⼩题3分，共15分）6. 已知定义在R 上的函数()f x 严格单调增加，1()f x -是其反函数。

若对于常数a ，⽅程()f x x a +=有解1x ，1()f x x a -+=有解2x ，则12x x +=_______。

7. 已知2cos ,0()ln(1),0x x f x x x >?=?+≤?，则()f x '= 。

高三期中数学卷一.填空题1.已知角α的终边经过点(,6)P x -，且3tan 4α=-，则x 的值为_________【答案】8【解析】【分析】直接利用三角函数定义得到答案.【详解】角α的终边经过点(,6)P x -，63tan 84x x α-==-∴=故答案为：8【点睛】本题考查了三角函数的定义，属于简单题.2.函数y x=的定义域为_________【答案】[2,0)(0,2]- 【解析】【分析】定义域满足2400x x ⎧-≥⎨≠⎩，计算得答案.【详解】函数4x y x =的定义域满足2400x x ⎧-≥⎨≠⎩解得22x -≤≤且0x ≠故答案为：[2,0)(0,2]- 【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.3.已知幂函数()f x 存在反函数，且反函数1()f x -过点(2,4)，则()f x 的解析式是_________【答案】()f x =【解析】【分析】根据反函数性质得到函数()f x 过点(4,2)，代入幂函数得到答案.【详解】反函数1()f x -过点(2,4)，则函数()f x 过点(4,2)设幂函数()a f x x =代入点(4,2)得到12a =，解析式为()f x =故答案为：()f x =【点睛】本题考查了函数的解析式，待定系数法是常用的方法，需要熟练掌握.4.(1n -展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为_________【答案】56-【解析】【分析】通过二项式系数和计算得到8n =，再利用二项式定理展开得到答案.【详解】(1n 展开式的二项式系数之和为25682n n =∴=3188((1)r r rr rr T C C x+==-，当3r =时，3348(1)56T C x x=-=-故答案为：56-【点睛】本题考查了二项式定理，混淆二项式系数和系数是容易发生的错误.5.已知cos()63πα-=，则5cos()6πα+=_________【答案】【解析】试题分析：因为，cos()63πα-=，所以，5cos()cos[()]cos()666πππαπαα+=--=--=。

(2x + 2) xe 2 x - 2⎩⎨ 上海交通大学2020 级第一学期《高等数学》期中考试试卷 (A 类)一、单项选择题（每题有且只有一个正确的选项）（每小题 3 分，共 15 分）： 1. 设 f (x ) 在R 上有定义，且2x + cos x ≤ f (x ) ≤ 2x +1，下列说法正确的是 （ ）（A ） f (x ) 在 x = 0 点不存在极限；（B ） f (x ) 在 x = 0 点存在极限但不连续；（C ） f (x ) 在 x = 0 点连续但不可导； （D ） f (x ) 在 x = 0 点可导。

2. 设 f (x ) = ，则 f '(1) = （）（A ） -2 ； （B ） -1； （C ）1； （D ） 2 。

⎧ x = sin t + 2 cos t3. 已知曲线C 的参数方程为⎨ y = 2sin t - cos t ，那么C 在t = 0 处的切线方程为（）（A ） y = 2x + 4 ； （B ） x = 2y - 5 ； （C ） y = 2x - 5 ； （D ） x = 2y + 4 。

4. 设 f (x ) 在[0, a ] 上二阶可导， x 0 ∈(0, a )， f '(x 0 ) = 0 ， f ''(x 0 ) ≠ 0 。

对于下列两个命题，正确的选项是（ ）（1） 在 x → x 0 时， f (x ) - f (x 0 ) 是 x - x 0 的二阶无穷小； （2） 设 f '(0) =0，集合 S ={x | x ∈(0, a ] ，且 f '(x ) = 0}，则有 s 0 ∈ S ，使得∀s ∈ S ，s ≥ s 0 。

（A ）（1）对（2）错；（B ）（1）错（2）对；（C ）（1）、（2）都错；（D ）（1）、（2）都对。

5. 设定义在R 上的函数 f (x ) 满足： ∀x ∈ R ， f ( f (x )) = x 。