《等比数列前n项和》导学案[1]1

2.5 等比数列的前n2.5.1 等比数列前n 项和公式的推导与应用从容说课师生将共同分析探究等比数列的前n 项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的等比数列前n 项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据等比数列的定义可得q a aa a a a a a n n n n =====---1223211...再由分式性质，得q a S a S n n n =--1,整理得)1(11≠--=q qqa a S n n教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间教学重点 1.等比数列前n 项和公式的推导2.等比数列前n 项和公式的应用教学难点 等比数列前n 项和公式的推导教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；2.探索并掌握等比数列前n 项和公式；3.用方程的思想认识等比数列前n 项和公式，利用公式知三求一；4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想二、过程与方法1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动三、情感态度与价值观1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.教学过程导入新课师国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？生知道一些，踊跃发言师“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求师假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？生各持己见.动笔，列式，计算生能列出式子：麦粒的总数为1+2+22+…+263师这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.课件展示：1+2+22+…+2 63=?师我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和现在我们来思考一下这个式子的计算方法：记S=1+2+22+23+…+2 63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.课件展示：S=1+2+22+23+…+2 63,①2S=2+22+23+…+263+264,②②-①得2S-S=2 64-264-1这个数很大，超过了1.84×10 19，假定千粒麦子的质量为40 g，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.师国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识推进新课［合作探究］师在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q2+…+q n=？师这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察生观察、独立思考、合作交流、自主探究师若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？生q+q2+…+q n+q n+1生每一项就成了它后面相邻的一项师对上面的问题的解决有什么帮助吗？师生共同探索：如果记S n=1+q+q2+…+q n那么qS n =q+q 2+…+q n +q n +1要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =1-q n师 提问学生如何处理，适时提醒学生注意q 的取值生 如果q≠1，则有qq S n--=11师 当然，我们还要考虑一下如果q ＝1问题是什么样的结果生 如果q ＝1，那么S n =n师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？课件展示： a 1+a 2+a 3+…+a n =？［教师精讲］师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法如果记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 那么qS n =a 1q+a 2q+a 3q+…+a n要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a n师 再次提醒学生注意q 的取值如果q≠1，则有qq a a S n n --=11师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1 那么qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1+a 1q n要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a 1q n如果q≠1，则有qq a S n n --=1)1(1师 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a 1,q,a n ,S n ,n 中a 1,q,a n ,S n 四个；后者出现的是a 1,q,S n ,n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n 项的和提供了选择的余地.值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式师 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q ＝1问题是什么样的结果呢？ 生 独立思考、合作交流生 如果q ＝1，S n =na 1 师 完全正确如果q ＝1，那么S n =na n .正确吗？怎么解释？生 正确.q ＝1时，等比数列的各项相等，它的前n 项的和等于它的任一项的n 倍师 对了，这就是认清了问题的本质师 等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：［合作探究］思路一：根据等比数列的定义，我们有：q a a a a a a a a n n =====-1342312...再由合比定理，则得qa a a a a a a a n n=++++++++-1321432......即qa S a S nn n =--1从而就有(1-q)S n =a 1-a n(以下从略思路二：由S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 得S n =a 1+a 1q+a 2q+…+a n -1q=a 1+q(a 1+a 2+…+a n -1)=a 1+q(S n -a n从而得(1-q)S n =a 1-an(以下从略师 探究中我们们应该发现，S n -S n -=a n 是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n的取值应该满足什么条件？ 生 n ＞师 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：S n -S n -1=a n ，n ＞师 综合上面的探究过程，我们得出：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(,1,11q q q a q na S n n 或者1,1,1,11≠⎪⎩⎪⎨⎧--=q q q a a q na n［例题剖析］【例题1】 求下列等比数列的前8项的和：(1)21,41,81,…； (2)a 1=27,a 9=2431,q ＜［合作探究］ 师生共同分析：由(1)所给条件，可得211=a ，21=q ,求n ＝8时的和，直接用公式即可 由(2)所给条件，需要从24319=a 中获取求和的条件，才能进一步求n ＝8时的和.而a 9=a 1q 8，所以由条件可得q 8=19a a =272431⨯，再由q ＜0，可得31-=q ，将所得的值代入公式就可以了生 写出解答：(1)因为211=a ,21=q ，所以当n ＝8时，256255211)21(1[2188=--=S(2)由a 1=27,24319=a ，可得272431198⨯==a a q ，又由q ＜0，可得31-=q 于是当n ＝8时，811640)31(1)2724311(2718=--⨯-=S【例题2】 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？师 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知S n =30 000求n 的问题生 理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1=5 000,q=1+10%=1.1,S n于是得到300001.11)1.11(5000=--n整理得1.1n两边取对数，得n用计算器算得1.1lg 6.1lg =n ≈041.02.0≈5(年答：大约5年可以使总销售量达到30 000台练习：教材第66页，练习第1、2、3题课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列前n 项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法2.等比数列前n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式在使用等比数列求和公式时，注意q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.布置作业课本第69页习题2.5 A组第1、2、3题板书设计等比数列前n项和公式的推导与应用等比数列的前n项和公式情境问题的推导一般情形的推导例1练习：(学生板演) 例2练习：(学生板演)。

4.3.2 第1课时 等比数列前n 项和公式【新知初探】1．等比数列前n 项和公式思考：类比等差数列前n 项和是关于n 的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n 项和S n ?2．错位相减法一般地，等比数列{a n }的前n 项和可写为： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① 用公比q 乘①的两边，可得qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ， ② 由①－②，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， 整理得S n ＝a 1(1－q n )1－q(q ≠1)．我们把上述方法叫 ，一般适用于数列{a n ·b n }前n 项和的求解，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且q ≠1.【初试身手】1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求等比数列{a n }的前n 项和时可直接套用公式S n ＝a 1(1－q n )1－q 来求． ( )(2)等比数列的前n 项和公式可以简写成S n ＝－Aq n ＋A (q ≠1)． ( ) (3)1＋x ＋x 2＋…＋x n ＝1－x n1－x． ( ) 2．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 3a 2＝( )A ．3B ．4C ．72D ．1323．若首项为1的等比数列{a n }的前3项和为3，则公比q 为( ) A ．－2B ．1C ．－2或1D ．2或－14．已知等比数列的首项为－1，前n 项和为S n ，若q ＝－12，则S 10S 5＝________.5．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．【合作探究】【例1】 在等比数列{a n }中， (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ； (2)a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求S 5；(3)a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求q .[规律方法]1．在等比数列 {a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．2．在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．[跟进训练]1．已知数列{a n}是首项为a1，公比为q的等比数列，其前n项和为S n，且有5S2＝4S4，求公比q的值．【例2】借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061，1.015≈1.051)[规律方法]解数列应用题的具体方法步骤(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求a n，还是求S n？特别要注意项数是多少.②弄清题目中主要的已知事项.(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式. [跟进训练]2．某人在年初用16万元购买了一套住房，付现金6万元，按合同余款分6年付清，年利率为10%，每年以复利计算，问每年年底应支付多少元？[探究问题]1．对于S 64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S 64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S 64?2．由项数相等的等差数列{n }与等比数列{2n }相应项的积构成新的数列{n ·2n }是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n 项和S n 的表达式是什么？3．在等式 S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n 两边同乘以数列{2n }的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求S n 的问题转化为等比数列的前n 项和问题吗？【例3】 设{}a n 是等差数列，{}b n 是等比数列，公比大于0，已知a 1＝b 1＝2，b 2＝a 2，b 3＝a 2＋4.(1)求{}a n 和{}b n 的通项公式；(2)记c n ＝a n2b n ，n ∈N *，证明：c 1＋c 2＋…＋c n <2，n ∈N *.[母题探究]1．(变条件)本例题(2)中设c n ＝12a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ′.2．(变条件)本例题中设d n ＝2n －1b n，求数列{d n }的前n 项和T n .[规律方法]错位相减法的适用条件及注意事项若数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n }，当求该数列的前n 项和时，常常采用将{a n b n }的各项乘公比q ，并向后错位一项与{a n b n }的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种数列求和的方法称为错位相减法.若公比为字母，则需对其进行分类讨论.【课堂小结】1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．设数列{a n }是公差为d (d ≠0)的等差数列，数列{b n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，数列{c n }满足c n ＝a n b n ，则{c n }的前n 项和为 S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n －1＋c n＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n －1b n －1＋a n b n ，①qS n ＝a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n －2b n －1＋a n －1b n ＋a n b n ＋1.②①－②得(1－q )S n ＝a 1b 1＋d (b 2＋b 3＋…＋b n )－a n b n ＋1 ＝a 1b 1＋db 2(1－q n －1)1－q －a n b n ＋1，∴S n ＝a 1b 1－a n b n ＋11－q ＋db 2(1－q n －1)(1－q )2.【学以致用】1．已知等比数列{a n }的首项a 1＝3，公比q ＝2，则S 5等于( ) A ．93 B ．－93 C ．45 D ．－452．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若27a 4＋a 7＝0，则S 4S 2＝( )A ．10B ．9C ．－8D ．－53．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2B ．13(2n －1)C ．4n －1D ．13(4n －1)4．在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则这个数列的前8项之和S 8＝________.5．一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%. 这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？【参考答案】【新知初探】1．等比数列前n 项和公式 na 1a 1(1－q n )1－q na 1a 1－a n q1－q思考：[提示] 可把等比数列前n 项和S n 理解为关于n 的指数型函数． 2．错位相减法 错位相减法【初试身手】1．[提示] (1)和(3)中应注意q ＝1的情况． [答案] (1)× (2)√ (3)×2．C [已知等比数列{a n }的首项为a 1，则S 3a 2＝a 1(1－23)1－2a 1×2＝72.]3．C [当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3，符合题意；当q ≠1时，S 3＝1＋q ＋q 2＝3，解得q ＝－2.] 4．3132 [∵q ＝－12≠1，∴S 10S 5＝(－1)(1－q 10)1－q ·1－q (－1)(1－q 5)＝1＋q 5＝1＋⎝⎛⎭⎫－125＝1－132＝3132.] 5．11(1.15－1)a [去年产值为a ，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a ，1.12a ，1.13a ，1.14a ，1.15a .所以1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝a ·1.1－1.161－1.1＝11(1.15－1)a .]【合作探究】【例1】[解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝30，a 1(1＋q ＋q 2)＝155， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56.从而S n ＝14×5n ＋1－54或S n ＝1 080×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫－56n11.(2)法一：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝312.法二：由(a 1＋a 3)q 3＝a 4＋a 6， 得q 3＝18，从而q ＝12.又a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝10， 所以a 1＝8，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝312.(3)因为a 2a n －1＝a 1a n ＝128，所以a 1，a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两根．从而⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，a n ＝64或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2，a 1＝64.又S n ＝a 1－a n q 1－q ＝126，所以q 为2或12.[跟进训练]1．[解] 当q ＝1时，由5S 2＝4S 4知10a 1＝16a 1，则a 1＝0，不合题意，故q ≠1. 当q ≠1时，由5S 2＝4S 4知5a 1(1－q 2)1－q ＝4a 1(1－q 4)1－q ，∴5(1－q 2)＝4(1－q 4)，解得1＋q 2＝54，即q ＝±12.【例2】[解] 法一：设每个月还贷a 元，第1个月后欠款为a 0元， 以后第n 个月还贷a 元后，还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6)， 则a 0＝10 000， a 1＝1.01a 0－a ，a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a ， …a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－(1＋1.01＋…＋1.015)a .由题意，可知a 6＝0， 即1.016a－(1＋1.01＋…＋1.015)a ＝0，a ＝1.016×1021.016－1.∵1.016≈1.061，∴a ≈1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月， 则它的本利和为S 1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元)．另一方面，设每个月还贷a 元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为 S 2＝a (1＋0.01)5＋a (1＋0.01)4＋…＋a ＝a [(1＋0.01)6－1]1.01－1＝a (1.016－1)×102(元)．由S 1＝S 2，得a ＝1.016×1021.016－1.以下解法同法一，得a ≈1 739，故每月应支付1 739元． [跟进训练]2．[解] 余款10万元6年的本利和是105×(1＋0.1)6＝105×1.16. 设每年年底应支付款为a 元，支付6次的本利和应是 a ＋a (1＋0.1)＋a (1＋0.1)2＋…＋a (1＋0.1)5＝a ·1.16－11.1－1＝10a (1.16－1)． 由105×1.16＝10a (1.16－1)得a ＝104×1.161.16－1≈22 960(元)．∴每年年底应支付22 960元.[探究问题]1．[提示] 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S 64，即S 64＝264－1.2．[提示] 由等差数列及等比数列的定义可知数列{n ·2n }既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n 项和S n 的表达式为S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n . 3．[提示] 在等式S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， ① 两边同乘以{2n }的公比可变形为2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，②②－①得：S n ＝－1·21－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1 ＝－(21＋22＋23＋…＋2n )＋n ·2n ＋1.此时可把求S n 的问题转化为求等比数列{2n }的前n 项和问题．我们把这种求由一个等差数列{a n }和一个等比数列{b n }相应项的积构成的数列{a n b n }前n 项和的方法叫错位相减法． 【例3】[解] (1)设等差数列{}a n 的公差为d ，等比数列{}b n 的公比为q ，则q >0.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2q ＝2＋d ，2q 2＝6＋d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，故a n ＝2＋2()n －1＝2n ，b n ＝2·2n －1＝2n .(2)∵c n ＝a n 2b n ＝2n 2·2n ＝n2n ，设数列{}c n 的前n 项和为S n ，∴S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ， ①∴12S n ＝122＋223＋…＋()n －12n ＋n 2n ＋1， ② ∴①－②得：12S n ＝⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －n2n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，∴S n ＝2－12n －1－n2n ，又∵n ∈N *，∴12n －1>0，n2n >0，∴S n ＝2－12n －1－n2n <2，即c 1＋c 2＋…＋c n <2，n ∈N *. [母题探究]1．[解] 由题意知c n ＝n ·2n ，所以S n ′＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n －2)×2n －2＋(n －1)×2n －1＋n ·2n ， 2S n ′＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －2)×2n －1＋(n －1)×2n ＋n ·2n ＋1， 两式相减得：－S n ′＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n －1＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2，所以S n ′＝(n －1)·2n ＋1＋2. 2．[解] 由题意可得：T n ＝1×12＋3×122＋…＋(2n －1)×12n ，12T n ＝1×122＋3×123＋…＋(2n －3)×12n ＋(2n －1)×12n ＋1， 两式相减得12T n ＝1×12＋2×122＋…＋2×12n －(2n －1)×12n ＋1 ＝12＋12×1－12n －11－12－(2n －1)×12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1， 所以T n ＝3－42n －2n －12n ＝3－2n ＋32n . 【学以致用】1．A [S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝3(1－25)1－2＝93.] 2．A [设数列{a n }的公比为q ，由27a 4＋a 7＝0，得a 4(27＋q 3)＝0.因为a 4≠0， ∴27＋q 3＝0，则q ＝－3，故S 4S 2＝1－q 41－q 2＝1＋q 2＝1＋9＝10.] 3．D [∵S n ＝2n －1，∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝21－1＝21－1，故a n ＝2n －1，a 2n ＝4n －1.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×(4n －1)4－1＝13(4n －1)．] 4．510 [a 1＋a 4＝a 1(1＋q 3)＝18，a 2＋a 3＝a 1(q ＋q 2)＝12，两式联立解得q ＝2或12， 而q 为整数，所以q ＝2，a 1＝2，代入公式求得S 8＝2(1－28)1－2＝510.] 5．[解] 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意，得a n ＋1＝45a n ， 因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列． 热气球在前n 分钟内上升的总高度为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n )1－q ＝25×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝125×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫45n<125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.。

第三节等比数列及其前n项和［最新考纲］［考情分析］［核心素养]1.理解等比数列的概念。

2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系。

等比数列的基本运算,等比数列的判断与证明,等比数列的性质与应用仍是2021年高考考查的热点，三种题型都有可能出现，分值为5~12分.1.数学运算2.逻辑推理‖知识梳理‖1．等比数列的有关概念(1)定义①文字语言：从错误!第2项起，每一项与它的前一项的错误!比都等于错误!同一个常数．②符号语言：错误!错误!＝q（n∈N*，q为非零常数)．（2）等比中项：如果a，G,b成等比数列，那么错误!G叫做a 与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G26ab．2．等比数列的有关公式(1）通项公式：a n＝错误!a1q n－1．（2)前n项和公式3．等比数列的性质（1）通项公式的推广:a n＝a m·q n－m（m，n∈N＊）．（2）对任意的正整数m,n，p，q，若m＋n＝p＋q，则错误!a m·a n ＝错误a p·a q．特别地，若m＋n＝2p,则a m·a n＝a2p.(3）若等比数列前n项和为S n，则S m，S2m－S m,S3m－S2m仍成等比数列，即（S2m－S m)213S m（S3m－S2m）（m∈N＊，公比q≠1）．(4）数列｛a n｝是等比数列，则数列｛pa n}(p≠0，p是常数)也是错误!等比数列．(5)在等比数列{a n｝中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n，a n＋k,a n＋2k，a n＋3k，…为等比数列,公比为错误!q k．►常用结论1．若｛a n｝，｛b n}（项数相同)是等比数列，则{λa n｝（λ≠0),错误!，{a2，n}，{a n·b n｝,错误!仍是等比数列．2．一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂．3．｛a n｝为等比数列，若a1·a2·…·a n＝T n，则T n，错误!，错误!，…成等比数列．4．当q≠0且q≠1时，S n＝k－k·q n（k≠0）是｛a n}成等比数列的充要条件，这时k＝错误!.5．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等，特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）．（1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．（)（2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac。

《等比数列前n 项和》教学设计(教案)一、教学目标：1．知识与技能目标理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。

2．过程与方法目标通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。

3．情感、态度与价值观通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。

二、教学重难点1.教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用；2.教学难点：公式的推导方法及公式应用中q 与1的关系。

三、教学工具：ppt 、多媒体四、过程分析：故事情景，引出问题→类比联想，解决问题→例题讲解，加深印象→故事结束，首尾呼应→归纳总结，加深理解（一）故事导入：（同时播放ppt 漫画）传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨 班 达依尔，舍罕王为了表彰大臣功绩，准备对宰相进行奖赏。

国王问宰相：“我要重重赏赐你，你想得到什么样的奖赏尽管提？”，这位聪明的宰相说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，…，依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数基础上加一倍，放满棋盘的64个格子．并把这些麦粒赏给您的我吧”。

国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如数付给宰相麦粒 一位大臣帮忙，自找麻烦大臣计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放1粒，第二个格内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒，……，1+2+4+8+16+32+……宰相所要求的麦粒数究竟是多少呢？大臣算了好久也没有算清楚！宰相来提示，帮助这位大臣计算各个格的麦粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，宰相所要的奖赏就是这23631+2+2+2++2=个数列的前64项和，既是 将这个转化为求等比数列的前64项和的问题。

等比数列的前n项和公式【学习目标】1．掌握等比数列的前n项和公式及推导公式的思想方法和过程，能够熟练应用等比数列的前n项和公式解决相关问题，提高应用求解能力.2．通过对等比数列的前n项和公式的推导与应用，使学生掌握错位相减法、方程思想、划归思想等数学思想和方法.3．激情参与，惜时高效，感受数学思维的严谨性.1.“我1.2.Ⅱ.1.2.3.等比通项公式a=n1．设A．C2AC．－31D．331、答案 D解析由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则＝＝－11.【我的疑惑】知识要点归纳：1．等比数列前n项和公式：(1)公式：S n＝=(q≠1).(q＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．若{a n}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和S n＝(1－q n)＝A(q n－1)．其中A＝.3．推导等比数列前n项和的方法叫法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，当公比q≠1时，S n＝＝；当q＝1时，S n＝.5．等比数列前n项和的性质：(1)连续m项的和(如S m、S2m－S m、S3m－S2m)，仍构成数列．(注意：q≠－1或m为奇数)(2)S m＋n＝S m＋q m S n(q为数列{a n}的公比)．二、典型范例Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究点等比数列的前n项和公式问题1：怎么求等比数列{}n a的前n项和n S？写出公式的推导过程。

S n问题2当＝故当（1）（2（3）由(4)是数列求和的一种重要方法。

问题探究一错位相减法求和问题教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{a n}与一个等比数列{b n}对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{}前n项和的步骤和过程，请你补充完整．设S n＝＋＋＋…＋，∴S n＝，∴S n－S n＝，即S n＝＝∴S n＝＝2－.例1 在等比数列{a n }中，S 3＝，S 6＝，求a n . 解 由已知S 6≠2S 3，则q ≠1，又S 3＝，S 6＝， 即①,a 1(1－q 6)1－q ＝632.②))②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2.可求得a 1＝，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.问题探究二 等比数列前n 项和S n 与函数的关系问题 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．当q ＝1时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n ，…的图象是正比例函数y ＝a 1x 图象上一些孤立的点．A ＝，的一个指问题1 证明 ＝S m ＋(a ＝S m ＋q m S ∴S m ＋n ＝S m 1A ．48 C ．50 2A ．C ．3．设S n A ．11 C ．－4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则等于( )A ．2B ．4 C.D.5．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于 ( )A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n )C.(1－4－n )D.(1－2－n )6．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A. B. C.D.二、填空题7．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{a n}的公比为________．8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.9．若等比数列{a n}中，a1＝1，a n＝－512，前n项和为S n＝－341，则n的值是________．三、解答题10．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求a n和S n.11．在等比数列{a n}中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n.12.已知等比数列{a n}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记13(1)(2)1A．332A．1.1C．103．已知{aA.和5C.4．程和是A．C．5．数列{a n n1n＋1n6A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋16．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还()A.万元B.万元C.万元D.万元二、填空题7．等比数列{a n}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.8．等比数列{a n}中，前n项和为S n，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.9．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为________．三、解答题10．在等比数列{a n}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．11．利用等比数列前n项和公式证明a n＋a n－1b＋a n－2b2＋…＋b n＝，其中n∈N*a，b是不为0的常数，且a≠b.12.已知{a n}是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和．(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当S m，S n，S l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a m＋k，a n＋k，a l＋k也成等差数列．四、探究与拓展1312≈1.1)过关测试1．D7.8.310．解当a1S n当a1S n11．6312．(1)a n(2)S n13．(1)a课后练习。

4.3.2第2课时等比数列前n项和公式的应用【新知初探】等比数列前n项和的性质(1)性质一：若S n表示数列{a n}的前n项和，且S n＝Aq n－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{a n}是数列．(2)性质二：若数列{a n}是公比为q的等比数列，则①在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则S偶S奇＝.②在等比数列中，若项数为2n＋1(n∈N*)，则S奇－a1S偶＝q.③S m，S2m－S m，S3m－S2m，…成等比数列．思考：在数列{a n}中，a n＋1＝ca n(c为非零常数)且前n项和S n＝3n－1＋k，则实数k的取值是什么？【初试身手】1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列{a n}共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q＝2．()(2)已知等比数列{a n}的前n项和S n＝a·3n－1－1，则a＝1．()(3)若数列{a n}为等比数列，则a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．()(4)若S n为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．()2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和且S n ＝3n ＋1－A ，则A ＝( )A ．－13B ．13C ．－3D ．3 3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9＝( )A ．18B ．－18C ．578D ．558 4．已知数列{a n }为等比数列，且前n 项和S 3＝3，S 6＝27，则公比q ＝________.5．在14与78之间插入n 个数，组成所有项的和为778的等比数列，则此数列的项数为________． 【合作探究】[探究问题]1．在等差数列中，我们知道S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等差数列．在等比数列{a n }中，若连续m 项的和不等于0，那么S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列吗？为什么？2．若数列{a n }为项数为偶数的等比数列，且S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…，那么S 偶S 奇等于何值？【例1】 (1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( )A ．28B ．32C ．21D ．28或－21(2)等比数列{a n }中，公比q ＝3，S 80＝32，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝________.[母题探究]1．(变条件)将例题(1)中的条件“S 2＝7，S 6＝91”改为“正数等比数列中S n ＝2，S 3n ＝14”，求S 4n 的值．2．(变条件，变结论)将例题(1)中条件“S 2＝7，S 6＝91”改为“公比q ＝2，S 99＝56”，求a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99的值．[规律方法]1．在涉及奇数项和S 奇与偶数项和S 偶时，常考虑对其差或比进行简化运算．若项数为2n ，则S 偶S 奇＝q (S 奇≠0)；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q (S 偶≠0)． 2．等比数列前n 项和为S n (且S n ≠0)，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n (q ≠－1)．类型二 分组求和法【例2】 在各项均为正数的等比数列{}a n 中，已知a 1＝2，8a 2＋2a 4＝a 6.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋2n ，求数列{}b n 的前n 项和T n .[规律方法]分组转化求和法的应用条件和解题步骤(1)应用条件一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．(2)解题步骤[跟进训练]1．求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1，…的前n 项和S n .【例3】 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．[规律方法]与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程应注意以下方法与技巧：(1)转化思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题.(2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用.(3)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系.[跟进训练]2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝5×3n －3，b n ＝a n ()4n 2－13n. (1)证明：数列{a n －2×3n }为常数列；(2)求数列{b n }的前n 项和T n .【课堂小结】1．在利用等比数列前n 项和公式时，一定要对公比q ＝1或q ≠1作出判断；若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lg a n }构成等差数列．2．等比数列前n 项和中用到的数学思想(1)分类讨论思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0，0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0，0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．(2)函数思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a 1q·q n (q >0且q ≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1(q n －1)(q ≠1)．设A ＝a 1q －1，则S n ＝A (q n －1)与指数函数相联系． (3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n ，a 11－q当成整体求解． 【学以致用】1．已知等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．322．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( )A ．3∶4B ．2∶3C ．1∶2D ．1∶33．记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________.4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________．5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝2，S 8＝6，求a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值．【参考答案】【新知初探】等比数列前n 项和的性质(1)等比(2)①q思考：[提示] 由题知{a n }是等比数列，∴3n 的系数与常数项互为相反数，而3n 的系数为13，∴k ＝－13. 【初试身手】1．[提示] (1)S 偶S 奇＝q ＝120240＝12；(2)由等比数列前n 项和的特点知13a ＝1得a ＝3；(4)由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列知(4)错误．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．D [根据等比数列{a n }的前n 项和公式知S n ＝a 1(q n －1)q －1＝a 1q －1q n －a 1q －1(q ≠1)， 又S n ＝3n ＋1－A ＝3·3n －A ，得a 1q －1＝3＝A ，故选D.] 3．A [法一：由等比数列前n 项和的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，又a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，则S 3，S 6－S 3，a 7＋a 8＋a 9成等比数列，从而a 7＋a 8＋a 9＝(S 6－S 3)2S 3＝18.故选A. 法二：因为S 6＝S 3＋S 3q 3，所以q 3＝S 6－S 3S 3＝－18， 所以a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝S 3q 6＝8×⎝⎛⎭⎫－182＝18.故选A.] 4．2 [q 3＝S 6－S 3S 3＝27－33＝8，所以q ＝2.] 5．5 [设此数列的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 78＝14q n ＋1，778＝14－78q 1－q ⇒⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－12，n ＝3，故此数列共有5项．] 【合作探究】[探究问题]1．[提示] S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列．∵在等比数列{a n }中有a m ＋n ＝a m q n ，∴S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m ，S 2m －S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ＝a 1q m ＋a 2q m ＋…＋a m q m ＝(a 1＋a 2＋…＋a m )q m ＝S m ·q m . 同理S 3m －S 2m ＝S m ·q 2m ，…，在S m ≠0时，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列．2．[提示] 由等比数列的通项公式可知S 偶S 奇＝S 奇·q S 奇＝q . 【例1】(1)A (2)24 [(1)∵{a n }为等比数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列，即7，S 4－7，91－S 4成等比数列，∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)，解得S 4＝28或S 4＝－21.∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2(1＋q 2)>S 2，∴S 4＝28.(2)设S 1＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80，S 2＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 79.则S 1S 2＝q ＝3，即S 1＝3S 2. 又S 1＋S 2＝S 80＝32，∴43S 1＝32，解得S 1＝24. 即a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝24.][母题探究]1．[解] 设S 2n ＝x ，S 4n ＝y ，则2，x －2，14－x ，y －14成等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)2＝2(14－x )，(14－x )2＝(x －2)(y －14)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝30或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－40(舍去)，所以S 4n ＝30. 2．[解] 法一：∵S 99＝a 1(1－q 99)1－q＝56，q ＝2， ∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝a 3(1＋q 3＋q 6＋…＋q 96)＝a 1q 2·1－(q 3)331－q 3＝32. 法二：设b 1＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97，b 2＝a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98，b 3＝a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99，则b 1q ＝b 2，b 2q ＝b 3，且b 1＋b 2＋b 3＝56，∴b 1(1＋q ＋q 2)＝56，∴b 1＝561＋2＋4＝8， ∴b 3＝b 1q 2＝8×22＝32，即a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝32.【例2】[解] (1)设等比数列{}a n 的公比为q (q >0)，∵8a 2＋2a 4＝a 6，∴8a 1q ＋2a 1q 3＝a 1q 5，又a 1＝2，∴8＋2q 2＝q 4.解得：q 2＝4，∴q ＝2.∴a n ＝a 1q n －1＝2n ，n ∈N *.(2)由(1)知：b n ＝2n ＋2n ，∴T n ＝()21＋2＋()22＋4＋()23＋6＋…＋()2n ＋2n＝()21＋22＋23＋...＋2n ＋()2＋4＋6＋ (2)＝2()2n －1＋n ()2n ＋22＝2n ＋1＋n 2＋n －2. ∴数列{b n }的前n 项和为T n ＝2n ＋1＋n 2＋n －2，n ∈N *.[跟进训练]1．[解] S n ＝214＋418＋6116＋…＋⎝⎛⎭⎫2n ＋12n ＋1 ＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋⎝⎛⎭⎫14＋18＋…＋12n ＋1 ＝n (2n ＋2)2＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n (n ＋1)＋12－12n ＋1 ＝n 2＋n －12n ＋1＋12.【例3】[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012. 当n 为偶数时，(－2)n ＞0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N *，k ≥5}．[跟进训练]2．[解] (1)当n ＝1时，S 1＋a 1＝5×3－3＝12，所以a 1＝6；当n ≥2时，由S n ＋a n ＝5×3n －3①，得S n －1＋a n －1＝5×3n －1－3②，①－②得，2a n －a n －1＝10×3n －1，所以a n －2×3n ＝12(a n －1－2×3n －1)， 因为a 1＝6，所以a 1－2×31＝0，所以a n －2×3n ＝0，故数列{a n －2×3n }为常数列．(2)由(1)知，a n ＝2×3n ，所以b n ＝2×3n (4n 2－1)3n ＝24n 2－1＝12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 【学以致用】1．C [由S 6－S 4＝a 6＋a 5＝6a 4得，(q 2＋q －6)a 4＝0，q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)，从而a 5＝a 2·23＝2×8＝16，故选C.]2．A [在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A.] 3．－63 [法一：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1，所以S 6＝－1×(1－26)1－2＝－63. 法二：n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，∴S n ＝2S n －1－1，可得S n －1＝2(S n －1－1)．又S 1－1＝－2.∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，∴S 6－1＝－2×25＝－64，即S 6＝－63.]4．8 [设该等比数列的项数为2n ，依题意得S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝a 1q ＋a 3q ＋…＋a 2n －1q ＝q ·S 奇，∵S 偶＝2S 奇，∴q ＝2. 又中间两项为a n 和a n ＋1，则a n ＋a n ＋1＝a 1q n －1＋a 1q n ＝2n －1＋2n ＝3×2n －1＝24， ∴2n －1＝8＝23，∴n －1＝3，解得n ＝4，∴2n ＝8.]5．[解] 由等比数列前n 项和的性质，可知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，…，S 4n －S 4n －4，…成等比数列．由题意可知上面数列的首项为S 4＝2，公比为S 8－S 4S 4＝2， 故S 4n －S 4n －4＝2n (n ≥2)，所以a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝25＝32.。

《等比数列的前n项和公式》说课稿《等比数列前n项和》是人教版必修5第二章数列中第五节第一课时的内容。

下面，我从教材分析，情境创设、公式推导，公式应用，教学反思等几个方面,谈谈自己的管窥之见,与各位老师探讨。

教材分析等比数列的前n项和是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。

它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所蕴涵的类比、分类讨论、方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

学情分析就学生而言，等差、等比数列的定义和通项公式，等差数列的前ｎ项和的公式是学生在学习之前已经具备的知识基础。

学生具体研究学习了等差数列前n项和公式的推导方法，具备了一定的探究能力。

基于此，学生会产生思考，等比数列前n项和公式应该如何推导，公式是从什么新的角度建构？其重要性和普遍性体现在哪里？应该说学生从内心来讲，有想探究等比数列前n项和公式的欲望和驱动力。

教学目标在知识方面：理解等比数列的前n项和公式的推导方法，掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

在能力方面：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想，优化思维品质。

在情感方面：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质。

重点难点重点：使学生掌握等比数列的前n项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题。

难点：由研究等比数列的结构特点推导等比数列的前ｎ项和公式。

情境创设《数学课程标准》中明确指出:教材应注意创设情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉.是对课堂教学实践的要求.我选择的问题情景是国王赏麦的故事. 国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传说: 相传古印度宰相达依尔，发明了国际象棋。

《等比数列的前n项和》教学设计一、教学内容分析《等比数列的前n项和》在《数列》一章中是一项重要的基础内容，从知识体系来看，《等比数列的前n项和》具有承上启下的作用；从知识结构和人文价值来看，等比数列与等差数列是平行结构关系，两者之间存在着一定联系，可以进行类比，拓展学生发现、创新的能力，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是增强学生应用意识和数学能力的良好载体；从知识的应用价值来看，它是从大量现实和数学问题中抽象出来的一个模型，前n项和公式的推导过程中蕴涵了基本的数学思想方法，如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常出现。

等比数列的前n项和在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

教学策略选择与设计：提出问题→问题解决→等比数列前n项和公式推导→强化公式运用（例题与练习）。

本节课重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程，并充分揭示公式的结构特征和内在联系。

二、教学目标分析【知识与技能】理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题，一是已知等比数列基本量而求其前n项和；二是已知前n项和而逆向求解数列基本量；三是基本思想方法（错位相减法）的运用。

【过程与方法】感悟并理解公式的推导过程，感受公式探求过程所蕴涵的从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质，初步提高学生的建模意识和探究、分析与解决问题的能力。

【情感、态度与价值观】通过经历对公式的探索过程，对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美和数学的严谨美。

等比数列的前n项和教案【篇一：等比数列前n项和教学设计】《等比数列的前n项和》教案一．教学目标知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生构造数列的意识及探究、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想。

情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。

二．重点难点教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用；教学难点：公式的推导方法及公式应用的条件。

三．教学方法利用多媒体辅助教学，采用启发---探讨---建构教学相结合。

四．教具准备教学课件，多媒体五．教学过程（一）创设情境，提出问题故事回放：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我在棋盘的64个方格上，第1个格子里放1千吨小麦，第2个格子里放2千吨，第3个格子里放3千吨，如此下去，第64个格子放64千吨小麦，请给我这些小麦？（二）.师生互动，探究问题问题1：同学们，你们知道西萨要的是多少小麦吗？引导学生写出小麦总数，带着这样的问题，学生会动手算起来，通过计算需要1+2+3+?+64=2080(千吨)结果出来后，国王认为西萨胃口太大，而国库空虚，还是提个简单的要求吧！西萨说：国王，我希望在第1个格子里放1颗麦粒，第2个格子里放2颗，第3个格子里放4颗，如此下去，每个格子放的麦粒数是前一格麦粒数的2倍,请给我这么多的麦粒数？问题2：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数1?2?22?23?????263，同时告诉学生一个抽象的答案，如果按西萨的要求，这是一个多么巨大的数字啊！它相当于全世界两千多年小麦产量的总和．问题3： 1，2，22，?，263是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？探究一：1?2?22?23?????263，记为s64?1?2?22?23?????263??①式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）探究二：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，①式两边同乘以2则有2s64?2?22?23?????264??②式．比较①、②两式，你有什么发现？经过比较、研究，学生发现：①、②两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：s64?264?1 ，老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程。

2.5等比数列的前n 项和（1）教学目标1．掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路．2．会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列前n 项和的一些简单问题. 教学重点 1. 等比数列的前n 项和公式； 2. 等比数列的前n 项和公式推导. 教学难点 灵活应用公式解决有关问题.教学方法 启发引导式教学法教学过程 (I)复习回顾 (1) 定义： (2) 等比数列通项公式： (3) 等差数列前n 项和的推导思想： (4) 在等比数列{}na 中，公比为q ，则1kk a q a+-=II ）探索与研究：你能计算出国际象棋盘中的麦粒数吗？一．等比数列求和公式 1．公式推导 已知等比数列{}na ，公比为q ，求前n 项和n na a a S+++=Λ21。

分析：先用q n a ,,1表示各项，每项的结构有何特点和联系？如何化简与求和？2．公式与公式说明1(1)(1)1n n a q S q q -=≠-（1）公式推导方法：错位相减法 特点：在等式两端同时乘以公比q 后两式相减。

（2）1=q 时，)1(1==q na S n（3）另一种表示形式q q a a S n n --=11总结：⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=)1()1(1)1(11q na q qq a S n n 或 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=)1()1(111q na q qqa a S n n注意：每一种形式都要区别公比1≠q 和1=q 两种情况。

二．例题讲解例1．课本63页例1例2．某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10％，那么从第1年起，约几年内可使总销量达到30000台（保留到个位）？例3．求等比数列Λ,83,43,23从第7项到第15项的和。

例4．已知等比数列{}na 中，661=+n a a ，12812=-n a a ，126=n S ，求公比q 与项数n 。

例5 在等比数列{}n a 中，n S 表示前n 项和，若3221a S =+，4321a S =+，求公比q 。