广东省2017届高三理科数学总复习专题突破训练：不等式

热点题型三 基本不等式【基础知识整合】1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=(1）调和平均数：12111nnnH a a a =+++（2）几何平均数:2nnGa =(3）代数平均数：12nna a a An+++=（4)平方平均数：2nn a Q n++=2、均值不等式：nn n n HG A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===特别的，当2n =时，22G A ≤⇒2ab+≤即基本不等式 3、基本不等式的几个变形：（1)),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭:多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）222ab ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出,但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时,变形后的一侧不能还含有核心变量，例如:当0,x >求23y x x=+的最小值。

此时若直接使用均值不等式，则23y x x=+≥右侧依然含有，则无法找到最值。

① 求和的式子→乘积为定值。

例如：上式中24y x x=+为了乘积消掉,则要将3x拆为两个2x，则22422y x x x x x =+=++≥= ② 乘积的式子→和为定值，例如302x <<，求()()32f x x x =-的最大值。

则考虑变积为和后保证能够消掉,所以()()()2112329322322228x x f x x x x x +-⎛⎫=-=⋅-≤= ⎪⎝⎭(3）等:若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点:① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。

【关键字】试题1.【2017课标1，理4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】试题分析：设公差为，，，联立解得，故选C. 秒杀解析：因为，即，则，即，解得，故选C. 【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.2.【2017课标II ，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】B 【解析】【考点】 等比数列的应用；等比数列的求和公式【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论。

3.【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么 该款软件的激活码是A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A【考点】等差数列、等比数列的求和.【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.4.【2017浙江，6】已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由，可知当，则，即，反之，，所以为充要条件，选C．【考点】等差数列、充分必要性【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知，结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故为充要条件．5.【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】应用线性规划求最值【名师点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大。

不等式011、已知,x y R ∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 【答案】116【解析】因为41x y +=≥116xy ≤，当且仅当142x y ==，即11,28x y ==时取等号，所以x y ⋅的最大值为116。

2、函数])3,1[(42)(2∈+-=x xx x x f 的值域为 (A) ]3,2[ (B) ]5,2[ (C) ]3,37[ (D) ]4,37[ 【答案】A【解析】2244()2x x f x x x x-+==+-，因为13x ≤≤，则函数为42y x x =+-，在[1,2]递减，在[2,3]递增，所以当2x =时有最小值2y =。

当1x =时，3y =；当3x =时，73y =，所以23y ≤≤，即函数的值域为]3,2[，选A3、已知实数,x y 满足约束条件203501x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最小值等于【答案】1-【 解析】由z x y =+得y x z =-+，作出不等式组对应的可行域为BCD,平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点B 时，直线的截距最小，此时z 最小，由3501x y y -+=⎧⎨=⎩，得21x y =-⎧⎨=⎩，即(2,1)B -,代入z x y =+得1z =-。

4、不等式1|2|≤-x 的解为 【答案】[1,3]【 解析】由1|2|≤-x 得121x -≤-≤，即13x ≤≤，所以不等式的解集为[1,3]。

5、已知lg lg 1x y +=，则25x y+的最小值为 ▲ ． 【答案】2【 解析】由lg lg 1x y +=得0,0x y >>且lg 1xy =，即10xy =。

所以252x y +≥==，所以25x y +的最小值为26、不等式210x x+≥ 1 2 2的解为【答案】0x ≥【 解析】由行列式的定义可知不等式为2(21)20xx+-≥，整理得2(2)220x x+-≥，解得21x ≥，或22x ≤-（舍去），所以0x ≥。

2017年高考数学试题分类汇编：不等式1〔2017文〕0x ≥，0y ≥，且x +y =1，如此22x y +的取值X 围是__________．【考点】3W ：二次函数的性质．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质与应用． 【分析】利用条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可．【解答】解：x ≥0，y ≥0，且x+y=1，如此x 2+y 2=x 2+〔1﹣x 〕2=2x 2﹣2x+1，x ∈[0，1]，如此令f 〔x 〕=2x 2﹣2x+1，x ∈[0，1]，函数的对称轴为：x=，开口向上， 所以函数的最小值为：f 〔〕==．最大值为：f 〔1〕=2﹣2+1=1． 如此x 2+y 2的取值X 围是：[，1]． 故答案为：[，1]．【点评】此题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以与计算能力．2〔2017某某〕a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，如此a 的取值X 围是___________．【考点】3H ：函数的最值与其几何意义．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质与应用． 【分析】通过转化可知|x+﹣a|+a ≤5且a ≤5，进而解绝对值不等式可知2a ﹣5≤x+≤5，进而计算可得结论．【解答】解：由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5，又因为|x+﹣a|≤5﹣a，所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a，所以2a﹣5≤x+≤5，又因为1≤x≤4，4≤x+≤5，所以2a﹣5≤4，解得a≤，故答案为：〔﹣∞，]．【点评】此题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．3〔2017新课标Ⅲ文数〕[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕f x=│x+1│–│x–2│.函数()f x≥1的解集；〔1〕求不等式()f x≥x2–x +m的解集非空，某某数m的取值X围.〔2〕假如不等式()【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【专题】32 ：分类讨论；33 ：函数思想；4C ：分类法；4R：转化法；51 ：函数的性质与应用；5T ：不等式．【分析】〔1〕由于f〔x〕=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f〔x〕≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f〔x〕≥1的解集；，设g〔x〕=f〔x〕﹣x2+x，分x≤1、﹣1〔2〕依题意可得m≤[f〔x〕﹣x2+x]max=，从而可得m的取值X围．＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g〔x〕max【解答】解：〔1〕∵f〔x〕=|x+1|﹣|x﹣2|=，f〔x〕≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f〔x〕≥1的解集为{x|x≥1}．〔2〕原式等价于存在x∈R使得f〔x〕﹣x2+x≥m成立，，设g〔x〕=f〔x〕﹣x2+x．即m≤[f〔x〕﹣x2+x]max由〔1〕知，g〔x〕=，当x≤﹣1时，g〔x〕=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，∴g〔x〕≤g〔﹣1〕=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x＜2时，g〔x〕=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈〔﹣1，2〕，∴g〔x〕≤g〔〕=﹣+﹣1=；当x≥2时，g〔x〕=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，∴g〔x〕≤g〔2〕=﹣4+2+3=1；综上，g〔x〕=，max∴m 的取值X 围为〔﹣∞，]．【点评】此题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．4〔2017新课标Ⅲ理数〕．[选修45：不等式选讲]〔10分〕函数f 〔x 〕=│x +1│–│x –2│． 〔1〕求不等式f 〔x 〕≥1的解集；〔2〕假如不等式f 〔x 〕≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值X 围．解：〔1〕当1x ≤-时()()()1231f x x x =-++-=-≤无解当12x -<<时()1(2)212111f x x x x x x =++-=--≥≥∴12x <<当2x ≥时()1(2)3312f x x x x =+--=>∴≥综上所述()1f x ≥的解集为 [1,)+∞.〔2〕原式等价于存在x R ∈，使2()f x x x m -+≥成立，即 2max [()]f x x x m -+≥ 设2()()g x f x x x =-+由〔1〕知 2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩当1x ≤-时，2()3g x x x =-+-5〔2017新课标Ⅱ文〕[选修4−5：不等式选讲]〔10分〕330,0,2a b a b >>+=.证明：〔1〕55()()4a b a b ++≥； 〔2〕2a b +≤. 【解析】〔1〕()()()()()5565562333344222244++=+++=+-++=+-≥a b ab a ab a b ba b a b ab a b ab a b〔2〕因为()()()()()33223233323+3+3+2++244a +=+++=+≤=+b a a b ab b ab a b a b a b a b所以()3+8≤a b ，因此a+b ≤2.6〔2017新课标Ⅱ理〕[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕330,0,2a b a b >>+=．证明：〔1〕55()()4a b a b ++≥； 〔2〕2a b +≤． 【解析】〔1〕()()()()()5565562333344222244++=+++=+-++=+-≥a b ab a ab a b ba b a b ab a b ab a b〔2〕因为()()()()()33223233323+3+3+2++244a +=+++=+≤=+b a a b ab b ab a b a b a b a b所以()3+8≤a b ，因此a+b ≤2.7〔2017新课标Ⅰ文数〕[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕函数f 〔x 〕=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. 〔1〕当a =1时，求不等式f 〔x 〕≥g 〔x 〕的解集；〔2〕假如不等式f 〔x 〕≥g 〔x 〕的解集包含[–1，1]，求a 的取值X 围.解：〔1〕当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而11712x -+<≤. 所以()()f x g x ≥的解集为117{|1}2x x -+-<≤. 〔2〕当[1,1]x ∈-时，()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤.所以a 的取值X 围为[1,1]-.8〔2017新课标Ⅰ理数〕设x 、y 、z 为正数，且235x y z==，如此A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【考点】72：不等式比拟大小．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质与应用；59 ：不等式的解法与应用． 【分析】x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k ＞1．lgk ＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．如此x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．如此x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比拟出大小关系．应当选：D．【点评】此题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9〔2017新课标Ⅰ理数〕．[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕函数f 〔x 〕=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. 〔1〕当a =1时，求不等式f 〔x 〕≥g 〔x 〕的解集；〔2〕假如不等式f 〔x 〕≥g 〔x 〕的解集包含[–1，1]，求a 的取值X 围.【解析】〔1〕当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.①10〔2017某某文〕假如a ，b ∈R ，0ab >，如此4441a b ab++的最小值为 .【考点】7F ：根本不等式．【专题】34 ：方程思想；4R ：转化法；5T ：不等式．【分析】【方法一】两次利用根本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【方法二】将拆成+，利用柯西不等式求出最小值．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=〞；∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴=+++≥4=4，当且仅当，即， 即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=〞；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】此题考查了根本不等式的应用问题，是中档题．11〔2017某某理〕假如,a b ∈R ，0ab >，如此4441a b ab++的最小值为___________. 【答案】4【解析】442241414a b a b ab ab+++≥≥，当且仅当21a b ==时取等号 12〔2017某某文〕假如直线1(00)x y a b a b+=＞，＞ 过点〔1,2〕,如此2a +b 的最小值为 .【答案】8〔7〕〔2017某某理〕假如0a b >>，且1ab =，如此如下不等式成立的是 〔A 〕()21log 2a b a a b b +<<+〔B 〕()21log 2a b a b a b<+<+〔C 〕()21log 2a b a a b b +<+<〔D 〕()21log 2a b a b a b +<+< 【答案】B【解析】221,01,1,log ()log 1,2a b a b a b ><<∴<+>= 12112log ()a b a a b a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B.13〔2017某某〕某公司一年购置某种货物600吨，每次购置x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，如此x 的值是 ▲ ．【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.14(2017年某某卷)［选修4-5：不等式选讲］〔本小题总分为10分〕,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤ 【解析】由柯西不等式可得22222()()()a b c d ac bd ++≥+， 即2()41664ac bd +≤⨯=，故8ac bd +≤.15〔2017理〕能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．假如a ＞b ＞c ，如此a +b ＞c 〞是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________．【考点】FC ：反证法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O ：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】设a，b，c是任意实数．假如a＞b＞c，如此a+b＞c〞是假命题，如此假如a＞b＞c，如此a+b≤c〞是真命题，举例即可，此题答案不唯一【解答】解：设a，b，c是任意实数．假如a＞b＞c，如此a+b＞c〞是假命题，如此假如a＞b＞c，如此a+b≤c〞是真命题，可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，〔答案不唯一〕，故答案为：﹣1，﹣2，﹣3【点评】此题考查了命题的真假，举例说明即可，属于根底题．16.〔2017•新课标Ⅲ文数〕设x，y满足约束条件如此z=x﹣y的取值X围是〔〕A．[﹣3，0]B．[﹣3，2]C．[0，2]D．[0，3]【考点】7C：简单线性规划．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5T ：不等式．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的X围即可．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，由解得A〔0，3〕，由解得B〔2，0〕，目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，目标函数的取值X围：[﹣3，2]．应当选：B．【点评】此题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以与可行域的作法是解题的关键．。

广东省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练数列一、选择、填空题1、（2016年全国I 卷）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （ ） （A ）100（B ）99（C ）98（D ）972、（2016年全国I 卷）设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为3、（2015年全国II 卷）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）844、（佛山市2016届高三二模）已知正项等差数列{}n a 中，12315a a a ++=，若1232,5,13a a a +++成等比数列，则10a =（ ）A ．19B ．20C ．21D ．225、（佛山市2016届高三二模）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =-，32n n a S n =+（其中*)n ∈N ，则n S = .6、（茂名市2016届高三二模）《九章算术》之后，人们学会了用等差数列知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布。

A ．12 B ．815 C ．1631 D ．16297、（汕头市2016届高三二模）在等差数列{}n a 中,已知4816a a +=，则该数列前11项和为( ) A ．58B ．88C ．143D ．1768、（珠海市2016届高三二模）已知递减的等比数列{ n a }，各项为正数，且满足123123269111132a a a a a a ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩则数列{ n a }的公比 q 的值为A ．12 B ． 13 C ．23 D ．349、（清远市2016届高三上期末）已知数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =-，则317a a +＝（ ）A 、36B 、35C 、34D 、3310、（汕尾市2016届高三上期末）已知是等差数列{}n a ，且28a a +＝16，则数列{}n a 的前9 项和等于（ ） A.36 B.7211、（湛江市2016年普通高考测试（一））设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差d ＝2，2n n S S +-＝36，则n ＝A 、5B 、6C 、7D 、812、（肇庆市2016届高三第二次统测（期末））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，315S =，则6S =（A ）62 （B ）66 （C ）70 （D ）74二、解答题1、（2016年全国II 卷）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．2、（2016年全国III 卷）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若53132S = ，求λ．3、（2015年全国I 卷）n S 为数列{n a n a ＞0，2n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式： （Ⅱ）设,求数列的前n 项和4、（2014年全国I 卷）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.5、（广州市2016届高三二模） 设n S 是数列{}n a 的前n 项和, 已知13a =, 123n n a S +=+(n ∈N *).(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 令()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .6、（深圳市2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 是n S 和1的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T ．7、（潮州市2016届高三上期末）已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足215313a a a +=，756S =。

专题03 不等式（高考押题）2017年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破1.若a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．ln a >ln bB ．0.3a >0.3bC ．a >bD.3a >3b2.设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．c >b >a解析 0<lg e<1，即0<a <1，b ＝(lg e)2＝a 2<a ，c ＝lg e ＝12lg e ＝12a <a ， 又b ＝(lg e)2<lg10lg e ＝12lg e ＝c ，因此a >c >b .故选B. 答案 B3．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <12解析 (x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立， 即(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 成立． ∴x 2－x －a 2＋a ＋1>0恒成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，∴－12<a <32，故选C. 答案 C4．函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A ．{x |x >2或x <－2} B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}5．已知点A (－2，0)，点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0上的一个动点，则|AM |的最小值是( )A ．5B ．3C ．2 2D. 655解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域如图，结合图象可知|AM |的最小值为点A 到直线2x ＋y －2＝0的距离，即|AM |min ＝|2×（－2）＋0－2|5＝655.答案 D6．如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 不等式组表示的可行域如图，A (1，2)，B (1，－1)，C (3，0)∵目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，∴目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 时取得； ∴①若在A 上取得，则k －2＝0，则k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立；②若在B 上取得，则k ＋1＝0，则k ＝－1，此时，z ＝－x －y ，在B 点取得的应是最大值， 故不成立，∴k ＝2，故答案为B.答案 B7．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1)C ．(－1，22－1)D ．(－22－1，22－1) 解析 由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0， 解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1. 答案 B8．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1a 的最小值为( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．82学优高考网9．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( ) A ．n ＋1B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n （n ＋1）2＝n 2＋n ＋22个区域，选C. 答案 C10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③B ．①②③C ．③D ．③④⑤解析 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1， 但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1. 答案 C11．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A.c a ＜ba B.b －ac ＞0 C.b 2c <a 2c D.a －c ac ＜0解析：∵c <b <a 且ac <0，∴c <0，a >0，∴c a <b a ，b －ac >0，a －c ac <0， 但b 2与a 2的关系不确定，故b 2c <a 2c 不一定成立．答案：C12．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：依题意，－12与－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，则⎩⎨⎧b a ＝－12－13，－1a ＝－12×⎝⎛⎭⎫－13，即⎩⎨⎧b a ＝－56，1a ＝－16，又a <0，不等式x 2－bx －a <0可化为1a x 2－b a x －1>0，即－16x 2＋56x －1>0，解得2<x <3.答案：A13．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且1x ＋ay ≥4对任意的x ，y ∈(0,1)恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(0,4] B ．4，＋∞) C ．(0,1] D ．1，＋∞)14．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}，则函数y ＝f (－x )的图象可以为( )解析：由f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}知a <0，y ＝f (x )的图象与x 轴交点为(－3,0)，(1,0)， ∴f (－x )图象开口向下，与x 轴交点为(3,0)，(－1,0)． 答案：B15．设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6B ．4 2C ．2 2D ．2 6解析：2a ＋2b ≥22a ＋b ＝223＝42，当且仅当2a ＝2b ，a ＋b ＝3，即a ＝b ＝32时，等号成立．故选B. 答案：B16．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0x －y ≥02x －y －2≥0，则z ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－1，13B.⎣⎡⎦⎤－12，13C.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞D.⎣⎡⎭⎫－12，1解析：由题知可行域如图阴影部分所示，∴z ＝y －1x ＋1的取值范围为k MA,1)，即⎣⎡⎭⎫－12，1.答案：D17．设a ，b 为实数，则“a <1b 或b <1a ”是“0<ab <1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：D18．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．2C ．3D ．8解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，因为x >－1，所以x ＋1>0，9x ＋1>0.所以由基本不等式，得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2x ＋1·9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.答案：C19．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( ) A ．－4,2] B ．(－4,2) C ．－4,1]D ．(－4,1)解析：作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a2，从图中可看出，当－1<－a2<2，即－4<a <2时，仅在点(1,0)处取得最小值．故选B.答案：B20．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－1) 解析：x 2＋ax －2>0，即ax >2－x 2. ∵x ∈1,5]，∴a >2x －x 成立．∴a >⎝⎛⎭⎫2x －x min .又函数f (x )＝2x －x 在1,5]上是减函数，∴⎝⎛⎭⎫2x －x min ＝25－5＝－235，∴a >－235.故选A. 答案：A21．已知1≤lg x y ≤2，2≤lg x 3y ≤3，求lg x 33y的取值范围．解 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤lg xy ≤2，2≤lg x 3y ≤3变形，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤lg x －lg y ≤2，2≤3lg x －12lg y ≤3，令⎩⎪⎨⎪⎧lg x －lg y ＝a ，3lg x －12lg y ＝b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧lg x ＝2b －a 5，lg y ＝2b －6a5.∴lgx 33y＝3lg x －13lg y＝3·2b －a 5－13·2b －6a 5 ＝1615b －15a .由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤2，2≤b ≤3， 得⎩⎨⎧－25≤－15a ≤－15，3215≤1615b ≤165.∴2615≤1615b －15a ≤3， 即2615≤lg x 33y ≤3.∴lgx 33y的取值范围是⎣⎡⎦⎤2615，3. 22．据调查，湖南某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3 000元．为了增加农民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作．据统计，如果有x (x >0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x %，而进入企业工作的农民人均年收入为3 000 a 元(a >0为常数)．(1)在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？ 解 (1)据题意，得(100－x )·3 000·(1＋2x %)≥100×3 000， 即x 2－50x ≤0，解得0≤x ≤50. 又x >0，故x 的取值范围是(0，50]．(2)设这100万农民的人均年收入为y 元，则y ＝ （100－x ）×3 000×（1＋2x %）＋3 000ax100 ＝－60x 2＋3 000（a ＋1）x ＋300 000100＝－35x －25(a ＋1)]2＋3 000＋375(a ＋1)2(0<x ≤50)． ①若0<25(a ＋1)≤50，即0<a ≤1， 则当x ＝25(a ＋1)时，y 取最大值；②若25(a ＋1)>50，即a >1，则当x ＝50时，y 取最大值．答：当0<a ≤1时，安排25(a ＋1)万人进入加工企业工作，当a >1时，安排50万人进入加工企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．23．某企业生产A ，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种 劳动力(个) 煤(吨) 电(千瓦) A 产品 3 9 4 B 产品1045已知生产每吨A 产品的利润是7万元，生产每吨B 产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？解 设生产A ，B 两种产品分别为x 吨，y 吨，利润为z 万元，依题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ≤300，9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，x ≥0，y ≥0.目标函数为 z ＝7x ＋12y .作出可行域，如图阴影所示．当直线7x ＋12y ＝0向右上方平行移动时，经过M (20， 24)时z 取最大值．∴该企业生产A ，B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．24．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)．(1)污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；(2)如果受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低．25．设函数f (x )＝x ln x (x >0)． (1)求函数f (x )的最小值；(2)设F (x )＝ax 2＋f ′(x )(a ∈R )，讨论函数F (x )的单调性；(3)斜率为k 的直线与曲线y ＝f ′(x )交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，求证：1x 2<k <1x 1.(1)解 f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)， 令f ′(x )＝0，得x ＝1e ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，f ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0. ∴当x ＝1e 时，f (x )min ＝1e ln 1e ＝－1e . (2)解 F (x )＝ax 2＋ln x ＋1(x >0)， F ′(x )＝2ax ＋1x ＝2ax 2＋1x (x >0)，当a ≥0时，恒有F ′(x )>0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a <0时，令F ′(x )>0，得 2ax 2＋1>0， 解得0<x <－12a ；令F ′(x )<0，得2ax 2＋1<0， 解得x >－12a .综上，当a ≥0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当a <0时，F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递减．①令函数g (t )＝t －1－ln t (t ≥1)，则g ′(t )＝1－1t ≥0(t ≥1)，故g (t )在1，＋∞)上是增函数，∴当t >1时，g (t )＝t －1－ln t >g (1)＝0， 即t －1>ln t (t >1)成立．②令函数h (t )＝t ln t －(t －1)(t ≥1)， 则h ′(t )＝ln t ≥0(t ≥1)，故h (t )在1，＋∞)上是增函数，∴当t >1时，h (t )＝t ln t －(t －1)>h (1)＝0， 即t －1<t ln t (t >1)．由①②知(*)成立，得证．。

高三复习基本不等式练习题不等式作为高中数学中的一个重要内容，占据了复习的重要一部分。

本文将提供一些基本不等式的练习题，供高三学生复习使用。

练习题1：解不等式组：{x+2>0, x-3<0}练习题2：求解不等式：(x+1)(x-3)<0练习题3：解不等式组：{x^2 - 4>0, x-1<0}练习题4：求解不等式：x^2 - 5x + 6>0练习题5：解不等式组：{x^2-4x+3>0, x^2+6x+8>0}练习题6：求解不等式：(x-2)(x+3)(x-7)<0练习题7：解不等式组：{x^3-9x^2+20x-12>0, x^2-4x+4>0}练习题8：求解不等式：(x-2)^2(x+4)>0练习题9：解不等式组：{x^3-x^2+4x-4>0, x^2 + 3x + 2>0}练习题10：求解不等式：(x-1)^3+8>0以上是关于高三复习基本不等式的一些练习题。

希望同学们能够认真思考，按照正确的解题步骤解答。

复习不等式时，应重点掌握不等式的基本性质和解不等式的方法，如辨别二次不等式的判别式、区间法等。

在解题过程中，也要注意进行化简和因式分解，以便于对不等式进行分类讨论。

基本不等式是高中数学中一个重要的内容，对于加深对不等式的理解和掌握不等式的解法有着重要的意义。

因此，同学们要多进行基本不等式的练习，理解和掌握不等式的性质和方法，为高考做好充分准备。

希望以上的练习题能够帮助到高三的同学们，祝大家能够在高三阶段取得优异的成绩！。

2017高考数学数列与不等式考题汇编详细解析，太好了！
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数列一章的【学习目标】如下：
1．系统掌握数列的有关概念和公式；
2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n项和公式，并运用这些知识解决问题；
3．了解数列的通项公式an与前n项和公式Sn的关系，能通过前n项和公式Sn求出数列的通项公式an;
4．掌握常见的几种数列求和方法.
不等式一章的【学习目标】如下：
1.能正确的记忆和灵活运用不等式的性质；
2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和二元一次不等式组，提高数学建模能力；
3.掌握一元二次方程，二次函数，一元二次不等式，这三个“二次”的联系，会解一元二次不等式；
4.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；
5.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件.
下面是收集整理的2017年高考数学理科试卷的数列与不等式部分的考题汇编与详细解析，全部解析文档有20页，另外有原题文档，需要全部可编辑打印文档的可回复“014”索取。

2017年广州市高考备考冲刺阶段（查缺补漏）数学学科训练材料（理科）说明：1．本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写，共26题．2．本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用，希望在5月31日之前完成．3．本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套，互为补充．四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法．因此，希望同学们在5月31日至6月6日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍．希望同学们保持良好的心态，在高考中稳定发挥，考取理想的成绩！π，sin A1．在ABC∆中，C-A=2（1）求sin C的值；（2）若BC=6，求ABC∆的面积．2．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，02πϕ-<<)的最小正周期为π，且其图象经过点2(,0)3π. （1）求函数f (x )的解析式； （2）若函数g (x )＝5()212x f π+，α，β∈),0(π，且g (α)＝1，g (β)＝324，求g (α－β)的值．3．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x ) (A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6． （1）求A 的值；（2）将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡245,0π上的值域．4．如图，某测量人员为了测量珠江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，他在珠江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝15°，∠BCE ＝105°，∠CEB ＝45°，CD ＝CE ＝100m ．（1）求△CDE 的面积； （2）求A ，B 之间的距离．5．某高校在自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[75，80)，第二组[80，85)，第三组[85，90)，第四组[90，95)，第五组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第三，四，五组的频率；75 80 85 90 95 100 分数频率0.010.02（2）该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试．①已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；②学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第四组中有ξ名学生被考官D面试，求ξ的分布列和数学期望．6．右图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.（1）求直方图中x的值；（2）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．7．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；（2）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（1）的前提下．①求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；②记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望．8．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否认为（2PABD中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望EX 和方差DX .2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.） 9．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，且060BAD ∠=，1A A AB =，E 为1BB 延长线上的一点，1D E ⊥面1D AC ，设2AB =．（1）求二面角1EAC D --的余弦值；（2）在1DE 上是否存在一点P ，使1//A P 面EAC ? 若存在，求1:D P PE 的值；若不存在，请说明理由．10．如图，四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，12AD BC ==PC ，AD//BC ，AB AC =，150BAD ∠=︒，30PDA ∠=︒．（1）求证：PA ⊥平面ABCD ； （2）在线段PD 上是否存在一点F ，使直线CF 与平面PBC 成角正弦值等于14？若存在，指出F 点位置；若不存在，请说明理由．11．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上不同于A 、B 的一点，∠BAC=45°，点V 是圆O 所在平面外一点，且VA=VB=VC ，E 是AC 的中点． （1）求证：VO ⊥面ABC ；（2）已知θ是平面VBC 与平面VOE 所形成的二面角的平面角，且0°θ<<90°，若OA=OV=1，求cos θ的值．12．如图1，已知O ⊙的直径4AB =，点C 、D 为O ⊙上两点，且=45CAB ∠ ，60DAB ∠= ，F 为弧BC 的中点，将O ⊙沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．（1）在弧BD 上是否存在点G ，使得//FG 平面ACD ？若存在，试指出点G 的位置；若不存在，请说明理由； （2）求二面角C -AD -B 的正弦值．13．设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足：222223457,7a a a a S +=+=．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的及前n 项和n T ； （3）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项．14．设数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且21(37)2n S n n =+，2(1)n n T b =-()n *∈N ．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）把数列{}n a 、{}n b 的公共项从小到大排成新数列{}n c ，求证：{}n c 是等比数列；ABCD⋅O ⋅F图1图2（3）设((n n n a n d b n ⎧=⎨⎩为奇数）为偶数），求数列{}n d 的前n 项和n D ．15．已知数列{}{},n n a b 满足123a =，122nn n a a a +=+， 21123222n n b b b b n -++++= ()n *∈N ．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，问是否存在正整数m 、M 且3M m -=，使得n m T M <<对一切n *∈N 恒成立？若存在，求出m 、M 的值；若不存在，请说明理由；（3）设221()n n n n a a c a ++=，求证：123n c c c c ++++< 2572．16．已知{}n a 是首项为a ，公差不为零的等差数列，{}n a 的部分项1k a 、2k a 、…、n k a 恰好为等比数列，且11=k ，52=k ，173=k ．（1）求数列{}n a 和{}n k 的通项公式； （2）设数列{}n k 的前n 项和为n S ，求证：1211132n S S S +++< ．17．已知函数ln 1()sin x f x θ+=(0)θπ<<，且()f x x ≤对0x ∀>恒成立．数列{}n a 满足1(1)a f =，212212124(1)n n n n a a n n +--=++()n *∈N ． （1）求θ的取值集合；（2）设212n n b a n =-，求数列{}n b 的通项公式； （3）数列{}n c 中，11c =，1(1)n n n c a c +=+，求证：2n c e <．（e 为自然对数的底数）18．椭圆 C ：x 2a 2 + y 2b 2 = 1 (a ＞b ＞0)的离心率为 12 ，其左焦点到点P (2,1) 的距离为 10 ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l：y= kx + m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．19．抛物线C：x 2 = 4y，直线AB过抛物线C的焦点F，交x轴于点P.（1）求证：PF 2 = PA·PB（2）过P作抛物线C的切线，切点为D(异于原点)，①k DA, k DF, k DB是否恒成等差数列，请说明理由；②△ABD重心G的轨迹是什么图形，请说明理由．20．设点P在以F1、F2 为左、右焦点的双曲线C：x 2a 2－y 2b 2= 1(a > 0,b> 0)PF2⊥x轴，| PF2 | = 3，点D且 | F 1D | = 3 | DF 2 |． （1）求双曲线 C 方程；（2）设过点 F 2 的直线 l 与交于双曲线 C 不同的两点 A 、B ，且满足 | OA | 2 + | OB | 2 > | AB | 2(其中 O 为原点)，求直线 l 的斜率的取值范围．21．已知动圆 C 过定点M(0,2)，且在 x 轴上截得弦长为 4.设该动圆圆心的轨迹为曲线 E.（1）求曲线 E 的方程；（2）点 A 为直线 l ：x －y －2 = 0 上任意一点，过 A 作曲线 C 的切线，切点分别为P 、Q ，求△APQ 面积的最小值及此时点 A 的坐标．22．已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 F 1、F 2，椭圆的离心率为 12 ，且椭圆经过点 M (1,32 ) ．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）线段 PQ 是椭圆过点 F 2 的弦，且 PF 2→= λF 2Q → ，求 △PF 1Q 内切圆面积最大时实数 λ 的值．23．已知向量(,ln )xm e x k =+ ，(1,())n f x = ，//m n （k 为常数， e 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直，()()x F x xe f x '=．（1）求k 的值及()F x 的单调区间； （2）已知函数 (a 为正实数),若对于任意2[0,1]x ∈，总存在1(0,)x ∈+∞， 使得21()()g x F x <，求实数a 的取值范围．24．设R ∈a ，函数()||2f x x x a x =-+．（1）若2=a ，求函数)(x f 在区间]3,0[上的最大值； （2）若2>a ，写出函数)(x f 的单调区间（不必证明）；（3）若存在]4,2[-∈a ，使得关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．25．已知函数2()1f x a bx x =++在3x =处的切线方程为58y x =-． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()x f x k e =恰有两个不同的实根，求实数k 的值；（3）数列{}n a 满足12(2)a f =，*1(),n n a f a n +=∈N ，求12320131111S a a a a =+++⋅⋅⋅⋅+的整数部分．26．已知 0 af x x a x=->（（）），2l n g x x bx =+（），且直线22y x =-与曲线 y g x =（）相切．（1）若对1,+∞[)内的一切实数x ，不等式 f x g x ≥）（（）恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，求最大的正整数k ，使得对e,3[]（e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数）内的任意k 个实数12,,,k x x x 都有12116 k k f x f x f x g x -+++≤ （）（）（）（）成立； （3）求证：)12ln(14412+>-∑=n i ini ()n *∈N ．2017年广州市高考备考冲刺阶段数学学科(理科)训练材料参考答案 1．（1）因为在ABC ∆中，C -A =2π， 所以A为锐角，且cos A ===． 所以sin C =sin(A +2π)=cos（2）由正弦定理得sin sin BC AB A C =，所以sin sin BC CAB A===因为在ABC ∆中，C -A =2π，所以C为钝角，且cos 3C ===． 因为在ABC ∆中，()B A C π=-+，所以1sin sin()sin cos cos sin (3B A C A C A C =+=+=+=． 所以ABC ∆的面积为111sin 223ABC S AB BC B ∆=⨯⨯=⨯=2．（1）因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0，所以2πω＝π，解得ω＝2.所以f (x )＝3sin(2x ＋φ)．因为函数f (x )的图象经过点(,0)3π，所以3sin 2(2)3πϕ⨯+＝0， 得43πϕ+＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π－43π，k ∈Z. 由02πϕ-<<，得φ＝3π-.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin (2)3x π-.（2）依题意有g (x )＝3sin 5[2()]2123x ππ⨯+-＝)2sin(3π+x =3cos x . 由g (α)＝3cos α＝1，得cos α＝13，由g (β)＝3cos β＝324，得cos β＝24.因为α，β∈),0(π，所以sin α＝223，sin β＝144.所以g (α－β)＝3cos(α－β)＝3(cos αcos β＋sin αsin β) ＝3×⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯4143224231＝2＋474. 3．（1）f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x ＝A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 212sin 23＝A sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx .因为f (x )的最大值为6，且A >0，所以A ＝6.（2）由（1）知f (x )＝6sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx .将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+6122ππx ＝6sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象；再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝6sin ⎪⎭⎫⎝⎛+34πx 的图象．因此g (x )＝6sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+34πx ．因为x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡245,0π，所以4x ＋π3∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡67,3ππ，≤-21sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+34πx 1≤，所以3-≤g (x )6≤．所以g (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡245,0π上的值域为[－3,6]． 4．（1）在△CDE 中，∠DCE ＝360°－90°－15°－105°＝150°． 所以△CDE 的面积为S △CDE ＝12CD ⨯CE ⨯sin150°＝12⨯100⨯100⨯sin30°＝2500(m 2)．（2）连结AB ．在Rt △ACD 中，AC ＝CD tan ∠ADC ＝100⨯tan 60°＝1003(m)．在△BCE 中，∠CBE ＝180°－∠BCE －∠CEB ＝180°－105°－45°＝30°．由正弦定理得BC sin ∠CEB ＝CEsin ∠CBE ，所以0sin 100sin 45sin sin 30CE CEB BC CBE ∠==∠＝1002(m)．在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ， 又cos ∠ACB ＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝12×22＋32×22＝6＋24， 所以AB 2＝(1003)2＋(1002)2－2⨯1003⨯1002⨯6＋24＝10000(2－3)．所以AB ＝1002－3(m)，所以A ，B 之间的距离为1002－ 3 m ． 5．（1）第三组的频率为0.06⨯5=0.3，第四组的频率为0.04⨯5=0.2，第五组的频率为0.02⨯5=0.1.（2）由题意知，在第三、四、五组中分别抽取了3，2，1名学生进入第二轮面试，第三组中共有303.0100=⨯名学生.①设“学生甲和学生乙同时进入第二轮面试”为事件A ，则1451为所求.②0,1,2ξ=，且()520262402＝＝＝C C C P ξ，()1581261412＝＝＝C C C P ξ，()151226422＝＝＝C C C P ξ.所以ξ的分布列为：数学期望为315215150＝＝⨯+⨯+⨯ξE .6．（1）依题意得，0.370.390.10.021x ++++=，解得0.12x =.（2）依题意得，~(3,0.1)X B ，因此033(0)0.90.729P X C ==⨯=，123(1)0.10.90.243P X C ==⨯⨯=， 223(2)0.10.90.027P X C ==⨯⨯=，333(3)0.10.001P X C ==⨯=.所以随机变量X 的分布列为：X的数学期望为30.10.3EX np ==⨯=.7．（1）在分别抽取的100件产品中，为正品的元件A 有80件，元件B 有75件.所以元件A 、B 为正品的频率分别为5410080=，4310075=. 根据频率可估计元件A 、B 为正品的概率分别为45，34.（2）①设生产的5件元件中正品件数为x ，则有次品5x -件， 由题意知10020(5)300x x --≥，得310≥x ，即45x =或． 设“生产5件元件B 所获得的利润不少于300元”为事件C ，则12881434143)(555445=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=C C C P 为所求． ②随机变量X 的所有取值为150，90，30，－30， 则433(150)545P X ==⨯=，133(90)5420P X ==⨯=，411(30)545P X ==⨯=，111(30)5420P X =-=⨯=．所以X 的分布列为：X 的数学期望为EX 150903030108520520=⨯+⨯+⨯-⨯=.8．（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有100(0.20.05)25⨯+=22⨯假设0H ：“体育迷”与性别没有关系. 将22⨯列联表中的数据代入公式，计算得222()100(30101545)1003.030()()()()4555752533n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯.当0H 成立时，2( 3.841)0.05P K ≥≈.因为3.030 3.841<，所以没有充分理由认为“体育迷”与性别有关． （2）由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意知，1~(3,)4X B .所以X344EX np ==⨯=，(1)34416DX np p =-=⨯⨯=.9．（1）设AC ∩BD =O ，如图所示建立空间直角坐标系O xyz -，则1(0,1,0),((0,1,0),(0,1,2),A B C D D --设(0,1,2),E h + 则11(0,2,),,2),D E h CA D A ===-1D E ⊥ 平面1111,,,D AC D E AC D E D A ∴⊥⊥220,1,h h ∴-=∴=即(0,1,3)E ．1(0,2,1),(,3)D E AE ∴==． 设平面EAC 的法向量为(,,)m x y z =，则由 ,,m CA m AE ⊥⊥得030x y z =++=． 令1z =-，得平面EAC 的一个法向量为(0,3,1)m =-．又平面1D AC 的法向量为1111(0,2,1),cos ,m D E D E m D E m D E ⋅=∴<>==⋅||||∴二面角1E AC D --的余弦值为1111(0,2,1),cos ,m D E D E m D E m D E ⋅=∴<>==⋅||||（2）设111(),D P PE D E D P λλ==- 得 112(0,,),111D P D E λλλλλλ==+++111121(1,0)(0,,)(,)1111A P A D D P λλλλλλλλ-∴=+==-+=++++ ．1//A P 面113,,03(1)0,,112EAC A P m λλλλλ-∴⊥+⨯+-⨯=∴=++ ∴存在点P 使1//A P 面,EAC 此时1:3:2D P PE =．10．（1）取线段BC中点E ，连结AE ． 因为AD =30PDA ∠=︒，所以1PA =． 因为AD ∥BC ，150BAD ∠=︒所以30B ∠=︒．又因为AB AC=，所以AE ⊥BC ，而BC =所以230BEAC AB cos︒===． 因为PC =，所以222PC PA AC =+，即PA AC ⊥． 因为PA AD ⊥，且,AD AC ⊂平面ABCD ，AD AC A = ，所以PA ⊥平面ABCD ．（2）以A 为坐标原点，以,,AE AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图所示：则(0,0,1)P，(1,B，(1C ，D ．设111(,,)F x y z ，因为点F 在线段PD 上，设PF PD λ= ，则1111x y z λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩(01)λ<≤．即,1)Fλ-，所以(1,1)FC λ=-． 设平面PBC 的法向量为(,,)u x y z =，B则0,0u PB u BC ⋅=⋅= ，所以00x z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，所以(1,0,1)u = .因为直线CF 与平面PBC 成角正弦值等于14，所以||14||||FC u FC u ⋅=⨯． 14=，即12λ=．所以点F 是线段PD 的中点．11．（1） VA=VB ，∴ △ABC为等腰三角形． 又 O 为AB 中点，∴ VO ⊥AB ．在△VOA 和△VOC 中，OA =OC ，VO=VO ，VA=VC ，所以△VOA ≌△VOC. ∴ ∠V0A=∠VOC=90o . ∴ VO ⊥OC.AB ⊂平面ABC, OC ⊂平面ABC ，AB ∩OC=O ，∴VO ⊥平面ABC ．（2）在圆O 内，OA=OC ，∠CAO=45o ，所以CO ⊥由（1）VO ⊥平面ABC OA=OB=OC=OV=1，∴CB =(-1，-1，0), CV=(-1，0，1).设(,,)m x y z = 为平面VBC 的法向量，则0,0.CB m CV m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,0.x y x z +=⎧⎨-=⎩令1x =，解得(1,1,1)m =- .同理，求得平面VOE 的法向量为(1,1,0)n =-.所以cos ,||||u v u v u v ⋅<>=⋅3=，所以cos θ=为所求． 12．解法一（传统解法）：（1）取弧BD 的中点G ，连接CO ，,OG FG ，则==60BOG BAD∠∠ ，故//OGAD．45CAB∠=，CO AB∴⊥．又F为弧BC的中点，45FOB∴∠= ，//OF AC∴．所以//OF平面ACD，故平面//OFG平面则//FG平面ACD，因此，在弧BD上存在点G，使得//FG平面ACD，且点G为弧BD的中点．（2）过O作OE AD⊥于E，连CE．因为CO AB⊥，平面ABC⊥平面ABD，故CO⊥平面ABD．又因为AD⊂平面ABD，故CO AD⊥，所以AD⊥平面CEO，AD CE⊥，则CEO∠是二面角C-AD-B的平面角，又60OAD∠= ，2OA=，故OE=由CO⊥平面ABD，OE⊂平面ABD，得CEO∆为直角三角形，又2CO=，故CE=cos CEO∠，所以二面角C-AD-B．解法二（向量解法）：（1）如图，以AB所在的直线为y轴，以OC所在的直线为z轴，以O为原点，作空间直角坐标系O xyz-，则()0,20A,-，()002C,,，(0,0,2)(0,2,0)(0,2,2)AC=--=．点F为弧BC的中点，∴点F的坐标为(0,OF=，OF AC∴=，即//OF设在弧BD 上存在点G ，使得//FG 平面ACD ， 又F 为弧BC 的中点，45FOB ∴∠= ． 即//OF AC ，所以//OF 平面ACD ．∴平面//OFG 平面ACD ，则有//OG AD ．设(0)OG AD λλ=>，,0)AD =，)0OG ,,λ∴= ．又2OG =，2=，解得1λ=±(舍去1-)．)10OG ,∴=，则G 为弧BD 的中点．因此，在弧BD 上存在点G ，使得//FG 平面ACD ，且点G 为弧BD 的中点．（2）60DAB ∠=，∴点D的坐标)0D ,，,0)AD =．设二面角--C AD B 的大小为θ，()1,,n x y z =为平面ACD 的一个法向量．由110,0,n AC n AD ⋅=⎧⎨⋅=⎩有()()()),,0,2,20,,,,00,x y z x y z ⋅=⎧⎨⋅=⎩即220,0.y z y +=+=取1x =，解得y =z =．(11,n ∴=． 取平面ADB 的一个法向量()2001n ,,=，1212cos n n |n ||n |θ⋅∴===⋅ ，所以二面角C -AD -B．13．（1）设公差为d ，则22222543a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+．因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=①．又由77S =得176772a d ⨯+=，即131a d +=②．联立①②解得15a =-，2d =，所以27n a n =-*()n ∈N ． （2）由（1）知，当3n ≤时，0n a <；当3n >时，0n a >．21()(527)622n n n a a n n S n n +-+-===-． ∴当3n ≤时，26n n T S n n =-=-+； 当3n >时，22333()2(6)2(9)618n n n T S S S S S n n n n =-+-=-=--⨯-=-+.综上，226(3)618(3)n n nn T n n n ⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩.（3）12m m m a a a ++=(27)(25)23m m m ---，令23m t -=，则12(4)(2)86m m m a a t t t a t t++--==+-．故t 为8的约数，又∵t 是奇数，∴t 的可能取值为1±．当1t =时，2m =，2343257a a a ==⨯-是数列{}n a 中的第5项； 当1t =-时，1m =，123152(4)7a aa =-=⨯--不是数列{}n a 中的项．所以满足条件的正整数2m =．14．（1）当2n ≥时，22111(37)[3(1)7(1)]3222n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+； 当1n =时，115312a S ===⨯+也满足上式．∴32n a n =+()n *∈N ．∵2(1)n n T b =-①，∴112(1)n n T b ++=-②． ②-①得1122n n n b b b ++=-，即12n n b b +=. 由①得：1112(1)b T b ==-，则12b =.∴{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n b =()n *∈N ． （2）显然，1238c a b ===.假设2k n m k c a b ===，则322k m +=，∴112222(32)3(21)1k k k b m m ++==⋅=+=++不是数列{}n a 中的项； 222424(32)3(42)2k k k b m m ++==⋅=+=++是数列{}n a 中的第42m +项. ∴214222k n m k c a b ++++===，从而21242k n k n c c ++==.所以{}n c 是首项为8，公比为4的等比数列． （3）∵32(2(n nn n d n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数）为偶数）， ∴数列{}n d 的奇数项组成首项为5，公差为6的等差数列； 数列{}n d 的偶数项组成首项为4，公比为4的等比数列． ①当n为偶数时，22214(14)3415(1)62222214433nn n n n n D n n +-=⨯+⨯⨯-⨯+=+-+⋅-.②当n 为奇数时，212113413551(1)(1)2(32)243342123n n n n n D S a n n n n n ++-=+=-+--+⋅++=+++⋅， 经检验，当1n =时上式也成立.综上所述，222134124333551242123n n n n n n D n n n ++⎧+-+⋅⎪⎪=⎨⎪+++⋅⎪⎩，为偶数，为奇数．15．（1）由122n n n a a a +=+，得1211122n n n n a a a a ++==+．∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1132a =，公差为12的等差数列．∴1312(1)222n n n a +=+-⋅=，即22n a n =+()n *∈N ．∵21123222n n b b b b n -++++= ①，∴2212312221n n b b b b n --++++=- ②．①-②得121n n b -=，即112n n b -=(2)n ≥． 由①知，11b =也满足上式，故112n n b -=()n *∈N ．（2）由（1）知，22n n n b n a +=，下面用“错位相减法”求n T ．2334522222n n n T +=++++ ③，12n T = 23134122222n n n n +++++++ ④. ③-④得2311131112422222222n n n n n n T ++++=++++-=- ，∴4442n n n T +=-<．又0n nab >，则数列{}n T 单调递增，故1312n T T ≥=>，从而14n T <<．因此，存在正整数1m =、4M =且3M m -=，使得n m T M <<对一切n *∈N 恒成立．（3）由（1）知，22222222221()8(3)(4)(2)1122(2)(4)(2)(4)(2)(4)n n n n a a n n n c a n n n n n n ++⎡⎤++-+===⋅=-⎢⎥++++++⎣⎦. ∴12322222222111111112354657(2)(4)n c c c c n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦222222111111252234(3)(4)3472n n ⎡⎤⎛⎫=+--<+= ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦．16．（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知得1=a a ，54a a d =+，1716a a d =+成等比数列， ∴2(4)a d +(16)a a d =+，即22d ad =． ∵0d ≠，∴2a d =． ∴1(1)n a a n d =+-1(1)22a n a n a +=+-=． ∴12nn k k a a +=，而等比数列{}n k a 的公比5133a aq a a===， ∴11133n n n k a a a --=⋅=⋅，故1132n n k a a -+=⋅．由10a a =≠，得1231n n k -=⨯-．（2）由（1）知，212(1333)n n S n -=⨯++++- 2(13)13n n -=--31n n =--. ∵当1n >时，0122113(12)2222n n n n nn n n n n n C C C C C --=+=+⨯+⨯++⨯+⨯0122nn n n n C C C ≥+⨯+⨯22121n n n n =++>++（也可用数学归纳法证明）， ∴312n n n -->(2)n ≥.∴ 111312n n n S n =<--(2)n ≥.∴当2n ≥时，12111n S S S +++ 234111112222n <+++++ 111[1()]313421()122212n n --=+=-<-.当1n =时，左边=11312S =<，不等式也成立.综上所述，不等式12111n S S S +++ 32<成立．17．（1）由0θπ<<得sin 0θ>，故()f x x ≤对0x ∀>恒成立等价于ln 1sin x xθ+≥对0x ∀>恒成立． 设ln 1()x g x x +=（0x >），则max sin ()g x θ≥．由于2ln ()xg x x-'=，令()0g x '=，得1x =．∵当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 递增；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 递减．∴max ()(1)1g x g ==，∴sin 1θ≥．又0sin 1θ<≤，∴sin 1θ=，2πθ=．所以θ的取值集合为2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）知，()ln 1f x x =+，1(1)1a f ==.∵212n n b a n =-， ∴2112222221121111112(1)24(1)2(1)2422n n n n n n n b a a a a n n n n n n ++--⎛⎫=-=+-=-=- ⎪+++⎝⎭ 12n b =. 所以数列{}n b 是首项为111122b a =-=，公比为12的等比数列．∴12n n b =()n *∈N ．（3）由（2）知，21122n n n b a n =-=，得21122n n a n=+．则1211122n nn c c n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又11c =知0n c >，两边取自然对数，得 1211ln ln 1ln 22n n n c c n +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由（1）知，()ln 1f x x x =+≤，即ln 1x x ≤-对0x ∀>恒成立，∴1222111112ln ln ln 1222224n n n n n c c n nn +⎛⎫-=++≤+=+ ⎪⎝⎭ 21211124122121n n n n n ⎛⎫<+=+- ⎪--+⎝⎭， ∴2111ln ln 123c c ⎛⎫-<+- ⎪⎝⎭， 322111ln ln 235c c ⎛⎫-<+- ⎪⎝⎭，……11111ln ln 22321n n n c c n n --⎛⎫-<+- ⎪--⎝⎭(2)n ≥． 把以上1n -个是式子相加，注意到1ln ln10c ==，得211111111ln 12222221221n n n c n n --⎛⎫<++++-=--< ⎪--⎝⎭(2)n ≥． 当1n =时，1ln 02c =<也满足上式，所以2n c e <．18．（1）由题：e = c a = 12①左焦点 (－c ,0) 到点 P (2,1) 的距离为：d = (2 + c ) 2 + 1 2 =10 ②由①②可解得c = 1 ， a = 2 ， b 2 = a 2－c 23．∴所求椭圆 C 的方程为x 24+y 23= 1 ．（2）设 A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，将 y = kx + m 代入椭圆方程得(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0． ∴x 1 + x 2 = －8km 4k 2 + 3 ，x 1x 2 = 4m 2－124k 2 + 3 ，且y 1 = kx 1 + m ，y 2 = kx 2 + m ．∵AB 为直径的圆过椭圆右顶点 A 2(2,0) ，所以 A 2A → •A 2B → = 0． 所以 (x 1－2,y 1)·(x 2－2,y 2) = (x 1－2) (x 2－2) + y 1y 2 = (x 1－2) (x 2－2) + (kx 1 + m ) (kx 2 + m )= (k 2 + 1) x 1x 2 + (km －2) (x 1 + x 2) + m 2 + 4= (k 2+ 1)·4m 2－124k 2 + 3 －(km －2)·8km 4k 2 + 3+ m 2 + 4 = 0 ．整理得 7m 2+ 16km + 4k 2= 0．∴m = －27k 或 m = －2k 都满足 △ >0．若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx －2k = k (x －2) ，恒过定点A 2(2,0)，不合题意舍去；若 m = －27 k 时，直线 l 为 y = kx －27 k = k (x －27)， 恒过定点 (7,0) ．19．（1）设A (2t 1,t 12)、B (2t 2,t 22)、D (2t 0,t 02)、G (x ,y )， 直线 AB 倾斜角为 α （t 0≠0）． 由抛物线方程x 2 = 4y 得 F (0,1)．由题意得直线 AB 斜率 k 存在且不为 0，所以 α≠0． 设直线 AB 的方程为 l ：y = kx + 1． 代入C 中化简得x 2－4kx －4 = 0．所以 x 1 + x 2 = 2t 1 + 2t 2 = 4k ，x 1 x 2 = 2t 1 2t 2 = －4 ⇒ t 1 + t 2 = 2k ，t 1 t 2 = －1．所以PF 2= ( y Fsin α ) 2= 1sin 2α ，PA ·PB = y 1sin α ·y 2sin α=(t 1 t 2) 2sin 2α = 1sin 2α ． ∴PF 2 = PA ·PB ．（2）①l 中令 y = 0 ，得 x = －1k ，所以 P (－1k,0) ．因为抛物线方程为 y = 14 x 2 ，所以 y '= 12x ．所以D 点处切线斜率为 12 ·2t 0 = t 0，D 点处切线方程为 y －t 02 = t 0(x －2t 0) ．把 P 代入得 t 0 = －1k ，所以 D (－2k ,1k 2)．∴k DA + k DB = t 12－t 022t 1－2t 0 + t 22－t 022t 2－2t 0 = 12 (t 1 + t 2) + t 0 = 12 ·2k －1k= k －k，2k DF = 2·1－t 02－2t 0 = t 0－1t 0 = k －1k．∴k DA + k DB = 2k DF 恒成立，即k DA , k DF , k DB 恒成等差数列． ②因为x = 2t 0 + 2t 1 + 2t 23 = 23 (－1k + 2k ) = 23 (2k －1k)，y =t 02 + t 12 + t 223 = 13 [t 02 + (t 1 + t 2) 2－2t 1 t 2] = 13 (1k2 + 4k 2 +2) = 13 (2k －1k) 2+ 2，所以 y = 34x 2+ 2．∴G 的轨迹图形是抛物线．20．（1）由题意，得 b 2a= 3，a + c = 3 (c －a )，且 c 2 = a 2 + b 2， 解得 a = 1，b = 3 ，c = 2． 所以双曲线 C 的方程为 x 2－y 23= 1．（2）设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由 | OA | 2 + | OB | 2 > | AB | 2， 有 0︒ < ∠AOB < 90︒ ，所以 0 < cos ∠AOB < 1．显然，OA → 、OB → 不同向 ，所以 OA → ·OB → > 0 ，所以 x 1x 2 + y 1y 2 > 0．当 AB ⊥x 轴时，A (2,3)，B (2,－3)，OA → ·OB → = －5，不合题意． 当 AB 与 x 轴不垂直时，F 2(2,0)，设 l ：y = k (x －2)，由 ⎩⎨⎧ y = k (x －2) 3x 2－y 2= 3消去 y ，整理得(3－k 2) x 2 + 4k 2x －4k 2－3 = 0． 则△ = (4k 2) 2－4(3－k 2) (－4k 2－3) > 0 ⇒ k 2 > 0，且3－k 2≠0，x 1 + x 2 = －4k 23－k 2 ，x 1x 2 = －4k 2 + 33－k 2．由 x 1x 2 + y 1y 2 > 0 ，得 x 1x 2 + k (x 1－2) k (x 2－2) > 0 ，即 (1 + k2) x 1x 2－2k 2(x 1 + x 2) + 4k 2 > 0，即－(1 + k 2)·4k 2 + 33－k 2 + 2k 2·4k 23－k 2 + 4k 2 > 0 ，解得 35 < k 2<3．所以 l 斜率的取值范围是 (－ 3 ,－155 )∪(155 , 3 )．21．（1）设动圆圆心坐标为 C (x ,y )， 根据题意得 x 2 + (y －2) 2 = y 2 + 4化简得 x 2 = 4y ，所以曲线 E 的方程为x 2 = 4y ． （2）设直线 PQ 的方程为 y = kx + b由 ⎩⎨⎧ x 2 = 4yy = kx + b消去 y 得 x 2－4kx －4b = 0设 P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2)，则 x 1 + x 2 = 4k ，x 1x 2 = －4b ，且△ = 16k 2+ 16b ．以点 P 为切点的切线的斜率为y ’ | x =x 1 12x 1， 其切线方程为 y －y 1 = 12 x 1 (x －x 1)，即 y = 12 x 1x －14x 12⇒ x 12－2x 1x + 4y = 0．由切线过 A (x 0,y 0) 得 x 12－2x 1x 0 + 4y 0 = 0， 同理 x 22－2x 2x 0 + 4y 0 = 0．∴x 1、x 2 是方程 x 2－2x 0 x + 4y 0 = 0的两个解． ∴x 1 + x 2 = 2x 0，x 1x 2 = 4y 0．所以 ⎩⎨⎧ x 0= x 1 + x 22 = 2k y 0= x 1x24 = －b所以 A (2k ,－b ) ．由 A (x 0,y 0) 在直线 x －y －2 = 0 上， 则 2k + b －2 = 0，即 b = 2－2k ．代入 △ = 16k 2 + 16b = 16k 2 + 32－32k = 16 (k －1) 2 + 16 > 0． ∴| PQ | = 1 + k 2 | x 1－x 2 | = 4 1 + k 2 k 2 + b ． A (2k ,－b ) 到直线 PQ 的距离为 d = | 2k 2 + 2b |k 2+ 1， ∴S △APQ = 12 | PQ | d = 4 | k 2 + b | k 2 + b = 4 (k 2+ b ) 32= 4 (k 2－2k + 2) 32 = 4 [(k －1) 2+ 1] 32 ．∴当 k = 1 时，S △APQ 最小，其最小值为 4，此时点 A 的坐标为 (2,0) ．22．（1）由e = c a = 12 ，M (1,32 ) 满足 1a 2 + ( 32) 2b 2= 1，又 a 2 = b 2 + c 2 ，∴a 2 = 4，b 2 = 3． ∴椭圆 C 的标准方程为x 24 + y 23= 1． （2）显然直线 PQ 不与 x 轴重合．当直线 PQ 与 x 轴垂直时，| PQ | = 3，| F 1F 2 | = 2，S △PF 1Q = 3． 当直线 PQ 不与 x 轴垂直时，设直线 PQ ：y = k (x －1)，k ≠0， 代入椭圆C 的标准方程整理，得 (3 + 4k 2) y 2 + 6ky －9k 2 = 0 则 △ > 0，y 1 + y 2 = －6k 3 + 4k 2 ，y 1 y 2 = －9k 23 + 4k2 ． 所以 S △PF 1Q = 12×| F 1F 2 |×| y 1－y 2 | = (y 1 + y 2) 2－4y 1 y 2 =36k 2(3 + 4k 2) 2 + 36k 23 + 4k 2= 12k 2 (k 2 + 1)(3 + 4k 2) 2．令 t = 3 + 4k 2，∴ t > 3，k 2=t －34，∴S△PF 1Q= 12t －34(t －34+ 1)t 2=3－3 ( 1t + 13 ) 2 + 43．∵0 < 1t < 13 ，∴ S △PF 1Q ∈(0,3)．综上得S △PF 1Q ∈(0,3]．所以当直线 PQ 与 x 轴垂直时 S △PF 1Q 最大，且最大面积为3． 设△PF 1Q 内切圆半径 r ，则 S △PF 1Q = 12 (| PF 1 | + | PF 2 | + | PQ|)·r = 4r ≤3，即 r max = 34 ，此时直线 PQ 与 x 轴垂直，△PF 1Q 内切圆面积最大．∴PF 2→ = F 2Q → ，λ = 1．所以△PF 1Q 内切圆面积最大时实数 λ 的值为1．23．（1）由已知可得()f x =1xnx k e+，1ln ()x x k x f x e --'∴=．由已知，1(1)0k f e-'==，∴1k =.∴()()x F x xe f x '=1(ln 1)1ln x x x x x x=--=--所以()ln 2F x x '=--.由21()ln 200F x x x e '=--≥⇒<≤．由21()ln 20F x x x e'=--≤⇒≥．()F x ∴的递增区间为21(0,]e，递减区间为21[,)e +∞．（2） 对于任意2[0,1]x ∈，总存在1(0,)x ∈+∞，使得21()()g x F x <，∴max max ()()g x F x <.由（1）知，当21x e =时，()F x 取得最大值2211()1F e e =+.对于2()2g x x ax =-+，其对称轴为x a =．当01a <≤时，2max ()()g x g a a ==， ∴2211a e <+，从而01a <≤. 当1a >时，max ()(1)21g x g a ==-， ∴21211a e -<+，从而21112a e<<+.综上可知，实数a 的取值范围为21(0,1)2e+．24．（1）当2=a ，]3,0[∈x 时，22,2;()|2|24,0 2.x x f x x x x x x x ⎧≥⎪=-+=⎨-+≤<⎪⎩作函数图像（图像略），可知函数)(x f 在区间]3,0[上是增函数．所以)(x f 在区间]3,0[上的最大值为9)3(=f ．（2）⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥-+=.,)2(,,)2()(22a x x a x a x x a x x f①当a x ≥时，4)2(22)(22--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a x x f ． 因为2>a ，所以a a <-22． 所以)(x f 在),[∞+a 上单调递增．②当a x <时，4)2(22)(22++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=a a x x f ． 因为2>a ，所以a a <+22．所以)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上单调递减． 综上所述，函数)(x f 的递增区间是⎥⎦⎤⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a ，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22． （3）①当22≤≤-a 时，022≤-a ，022≥+a ，所以)(x f 在),(∞+-∞上是增函数，关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=不可能有三个不相等的实数解．②当42≤<a 时，由（1）知)(x f 在⎥⎦⎤⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a 上分别是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上是减函数，当且仅当4)2()(22+<⋅<a a f t a 时，方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解．即⎪⎭⎫⎝⎛+4+=+<<4818)2(12a a a a t ．令aa a g 4)(+=，)(a g 在]4,2(∈a 时是增函数，故5)(max =a g ．所以实数t 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛89,1．25．（1）()2f x ax b '=+，依题意，有(3)5(3)7f f '=⎧⎨=⎩，即659317a b a b +=⎧⎨++=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩．2()=1f x x x ∴-+．（2）方程()x f x k e =，即21k x x x e -+=，所以2k (1)x x x e -=-+．记2F(x)(1)x x x e -=-+，则2()(32)(1)(2)x x F x x x e x x e --'=--+=---． 令F'(x)=0，得121,2x x ==.当x 变化时，F'(x)、F(x)的变化情况如下表：∴当1x =时，F(x)取极小值1e；当2x =时，F(x)取极大值23e.作出直线y x =和函数2F(x)(1)x x x e -=-+的大致图象，可知当1k e=或23k e=时，它们有两个不同的交点，因此方程()x f x k e =恰有两个不同的实根． 所以实数k 的值为1e或23e ．（3）1(2)3122f a ==>，又1)(21+-==+n n n n a a a f a ， ∴0)1(12221>-=+-=-+n n n n n a a a a a ，∴11>>+n n a a ．由121+-=+n n n a a a ，得)1(11-=-+n n n a a a ． ∴nn n n n a a a a a 111)1(1111--=-=-+，即111111---=+n n n a a a ． ∴122013111S a a a =+++ 122320132014111111()()()111111a a a a a a =-+-++------- 12014201411122111a a a =-=-<---． 又1212674321121>=+=+>a a S ，即12S <<，所以S 的整数部分为1．26．（1）设点),(00y x 为直线22-=x y 与曲线)(x g y =的切点， 则有22ln 2000-=+x bx x ．（*）b x x g +='2)( ，22=+∴b x ．（**） 由（*）、（**）两式，解得0=b ，x x g ln 2)(=．由)()(x g x f ≥整理，得x x xaln 2-≤．1≥x ，∴要使不等式)()(x g x f ≥恒成立，必须x x x a ln 22-≤恒成立．设x x x x h ln 2)(2-=，2ln 22)1(ln 22)(--=⋅+-='x x xx x x x h ，xx h 22)(-='' ，∴当1≥x 时，0)(≥''x h ，则)(x h '是增函数，0)1()(='≥'∴h x h ，)(x h 是增函数，1)1()(=≥h x h ，1≤a ．所以实数a 的取值范围是(0,1]． （2）当1=a 时，xx x f 1)(-=．011)(2>+='xx f ，)(x f ∴在]3,[e 上是增函数，)(x f 在]3,[e 上的最大值为38)3(=f ． 要对]3,[e 内的任意k个实数kx x x ,,,21 都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤+++-成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值．当3121====-k x x x 时不等式左边取得最大值，e x k =时不等式右边取得最小值．21638)1(⨯≤⨯-∴k ，解得13≤k ．所以k 的最大值为13． （3）当1=a 时，由（1）知，),1(+∞∈x 时，)()(x g x f >，即)1(21ln xx x -<．令1212-+=k k x ，得)12121212(211212ln+---+<-+k k k k k k ． 化简得144)12ln()12ln(2-<--+k kk k ．所以∑∑==-<--+=+ni n i i ii i n 121144)]12ln()12[ln()12ln(．。

广东省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练不等式一、填空题1、（2016年全国I 卷）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1。

5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0。

5kg ，乙材料0。

3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.2、（2016年全国III卷）若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为____________.3、（2015年全国I 卷)若x ，y 满足约束条件1040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 。

4、（广东省2016届高三3月适应性考试）已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，若目标函数ay x z +=2仅在点)4,3(取得最小值,则a 的取值范围是 ．5、（茂名市2016届高三二模）已知点A （1，2），点P(,x y ）满足1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，O 为坐标原点，则Z OA OP =•的最大值为6、（汕头市2016届高三二模)若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则3yx -的最小值为 ．7、（珠海市2016届高三二模)已知实数x,y满足5030x y x x y k -+≥⎧⎪≤⎨⎪++≥⎩， 且z=2x+4y的最小值为−6，则常数k 的值为____________ 8、（潮州市2016届高三上期末)已知,x y 满足约束条件：210y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最大值等于＿＿＿9、（东莞市2016届高三上期末)已知关于点（xy ，）的不等式组1220450y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为D,则D 内使得22z xy =+取得最大值和最小值时的最优解组成的集合为10、（广州市2016届高三1月模拟考试）若实数,x y 满足约束条件220,240,2,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则x y的取值范围是（A)2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦（B)13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（C ）3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D)[]1,211、（惠州市2017高三第一次调研）设1m >,变量,x y 在约束条件1y xy mxx y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下,目标函数z x my =+的最大值为2，则m =________。