天津科技大学-12高等数学(理工类)期中试卷答案

普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至11页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。

3． 本卷共10小题，每小题5分，共50分。

参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么 ·如果事件A 、B 相互，那么P(A ∪B)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A)P(B) ·棱柱的体积公式V=Sh, 棱锥的体积公式V=13sh , 其中S 标示棱柱的底面积。

其中S 标示棱锥的底面积。

h 表示棱柱的高。

h 示棱锥的高。

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）i 是虚数单位，复数1312ii-+=+(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i （2）函数f(x)=23xx +的零点所在的一个区间是 (A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2） （3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 (A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数 （B ）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 （C ）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数（D ）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数（4）阅读右边的程序框图，若输出s 的值为-7，则判断框内可填写 (A)i ＜3? （B ）i ＜4?（C ）i ＜5? （D ）i ＜6?(5)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是3x ,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为（A ）22136108x y -= （B ） 221927x y -=（C ）22110836x y -= （D ）221279x y -=（6）已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为 （A ）158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）158（7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A=（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150（8）若函数f(x)=212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是（A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1）(9)设集合A={}{}|||1,,|||2,.x x a x R B x x b x R -<∈=->∈若A ⊆B,则实数a,b 必满足 （A ）||3a b +≤ （B ）||3a b +≥ （C ）||3a b -≤ （D ）||3a b -≥(10) 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（A ）288种 （B ）264种 （C ）240种 （D ）168种普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

2024-2025学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|−1<x <2}，B ={x|0≤x ≤3}，则A ∩B =( )A. {x|−1<x ≤3}B. {x|0≤x <2}C. {x|0≤x ≤3}D. {x|−1<x <2}2.若a =40.5，b =log 40.5，c =0.54，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. b >c >a3.设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( )A. 若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂βB. 若l//α，α//β，则l ⊂βC. 若l ⊥α，α//β，则l ⊥βD. 若l//α，α⊥β，则l ⊥β4.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为2π的半圆，则这个圆锥的底面半径为( )A. 12B. 1C. 2D. 45.“lga >lgb ”是“(a−2)3>(b−2)3”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件6.已知函数f(x)=sin (2x +φ)(−π2<φ<π2)的图象关于x =π3对称，则φ=( )A. −π6B. π6C. −π3D. π37.已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC ⊥BC ，AC =BC =1，则三棱锥O−ABC 的体积为 ( )A. 212 B. 312 C. 24 D. 348.已知a >b >0，则4a +42a +b +12a−b 的最小值为( )A. 2 B. 2 2 C. 6 D. 4 29.在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y−4=0相切，则圆C 面积的最小值为( )A. 45πB. 34πC. (6−2 5)πD. 54π二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

一般高等学校招生全国一致考试数学（理工类）参照公式：·若是事件 A，B 互斥，那么球的表面积公式P( A B) P(A) P(B)S 4πR2·若是事件 A，B 相互独立，那么其中 R 表示球的半径P( A·B) P( A)·P( B)一、选择题：在每题列出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．2i3（）1．i是虚数单位，i1Ａ． 1 iＢ．1iＣ．1 iＤ．1ix y ≥，12．设变量x，y知足拘束条件x，则目标函数 z4x y 的最大值为（y ≥13x．y 3Ａ． 4Ｂ． 11Ｃ． 12Ｄ． 143．“2π2cosπ”的（）”是“ tan23Ａ．充足而不用要条件Ｂ．必要而不充足条件Ｃ．充足必要条件Ｄ．既不充足也不用要条件4．设双曲线x2y21(a0， b0) 的离心率为 3 ，且它的一条准线与抛物线a2b2的准线重合，则此双曲线的方程为（）Ａ． x2y21Ｂ． x2y2112244896Ｃ． x2 2 y21Ｄ． x2y2133365．函数y log2 ( x42)( x 0) 的反函数是（）Ａ． y 4x2x 1( x 2)Ｂ． y 4x2x 1 (x 1) y 4x2x 2 ( x 2) y 4x2x 2 ( x 1)）y24x6．设 a ，b 为两条直线，， 为两个平面，以下四个命题中，正确的命题是（）Ａ．若 a ， b 与 所成的角相等，则 a ∥ bＢ．若 a ∥ ， b ∥ ，∥ ，则 a ∥ bＣ．若 a ， b， a ∥ b ，则 ∥Ｄ．若 a， b，，则 ab7．在 R 上定义的函数 f (x) 是偶函数，且f ( x)f (2 x) ，若 f ( x) 在区间 [1，2] 上是减函数，则 f (x) （）Ａ．在区间 [ 2， 1] 上是增函数，在区间 [3，4] 上是增函数Ｂ．在区间 [ 2， 1] 上是增函数，在区间 [3，4] 上是减函数Ｃ．在区间 [ 2， 1] 上是减函数，在区间 [3，4] 上是增函数8．设等差数列 a n 的公差 d 不为 0，a 1 9d ．若 a k 是 a 1 与 a 2k 的等比中项， 则 k （）Ａ． 2Ｂ． 4Ｃ． 6Ｄ． 8bc9．设 a ，b ，c 均为正数，且 2alog 1 a ， 1log 1 b ，1log 2 c ．则（）22 22Ａ． a b cＢ． c b aＣ． c abＤ． b a c， 22 bm ，其中，m ， 为实数．若10．设两个向量 a (cos) 和，sin2m2a 2b ，中央电视台的取值范围是（）mＡ．Ｂ． [4，8]Ｃ．Ｄ．一般高等学校招生全国一致考试 数学（理工类 ）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 6 小题，每题4 分，共 24 分，把答案填在题中横线上．12．一个长方体的各极点均在同一球的球面上，且一个极点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．13．设等差数列a n 的公差 d 是 2，前 n 项的和为 S n ，则 lima n2S n n 2．n14．已知两圆 x 2 y 2 10 和 ( x1)2 ( y 3)220 订交于 A ，B 两点，则直线 AB 的方程是．A15．如图，在 △ ABC 中， BAC 120°，AB 2，AC 1，D 是边 BC 上一点， DC2BD ，则 AD ·BC．BDC16．如图，用 6 种不相同的颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不相同，则不相同的涂色方法共有种（用数字作答）．三、解答题：本大题共 6 小题，共76 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) 2cos x(sin x cos x) 1， x R ．（Ⅰ）求函数f ( x) 的最小正周期；（Ⅱ）求函数f ( x) 在区间π 3π上的最小值和最大值．，8 418．（本小题满分 12 分）已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球．（Ⅰ）求取出的 4 个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率；（Ⅲ）设为取出的 4 个球中红球的个数，求 的散布列和数学希望．19．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥P ABCD中， PA 底面ABCD AB AD ，AC CD ， ABC 60°，，PA AB BC ， E 是 PC 的中点．（Ⅰ）证明 CD AE ；P（Ⅱ）证明 PD 平面 ABE ；（Ⅲ）求二面角 A PD C 的大小．EADBC20．（本小题满分12 分）已知函数 f ( x)2ax 2a21( x R ) ，其中a R．x1（Ⅰ）当 a 1 时，求曲线y f ( x) 在点 (2， f (2)) 处的切线方程；（Ⅱ）当 a0时，求函数 f ( x) 的单一区间与极值．21．（本小题满分14 分）在数列 a 中，a12， a n 1a n n 1(2 )2 n ( n N ) ，其中0 ．n（Ⅰ）求数列a n的通项公式；（Ⅱ）求数列a n的前 n 项和 S n；（Ⅲ）证明存在k N ，使得an 1≤ak 1对随意 n N均建立．a n a k22．（本小题满分14 分）设椭圆 x2y21(a b 0) 的左、右焦点分别为 F1， F2， A 是椭圆上的一点，a2b2AF2 F1F2，原点O到直线 AF1的距离为1OF1．3（Ⅰ）证明 a2b ；（Ⅱ）设 Q1， Q2为椭圆上的两个动点， OQ1OQ2，过原点O作直线 Q1Q2的垂线OD，垂足为 D ，求点 D 的轨迹方程．2007 年一般高等学校招生全国一致考试（天津卷）数学（理工类）参照解答一、选择题：此题察看基本知识和基本运算．每题 5 分，满分 50 分．1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｄ 7．Ｂ8．Ｂ 9．Ａ10．Ａ二、填空题：此题察看基本知识和基本运算．每题4 分，满分 24 分．11． 212． 14π13． 314． x 3y816． 390 15．3三、解答题17．本小题察看三角函数中的引诱公式、特别角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数y Asin( x ) 的性质等基础知识，察看基本运算能力．满分 12 分．（Ⅰ）解： f ( x)2cos x(sin xcos x) 1 sin 2 x cos 2x2 sin 2xπ ．4因此，函数 f ( x) 的最小正周期为 π．（Ⅱ）解法一： 由于 f ( x)2 sinπ 在区间π 3π上为增函数， 在区间3π 3π2x8 ，8 ，484上为减函数，又fπ0 ，f3π 2 ，f3π 2 sin3ππ 2 cosπ1 ，884244π 3π上的最大值为 2 ，最小值为1．故函数 f (x) 在区间，84解法二：作函数 f ( x) 2 sin2x ππ 9π上的图象以下：在长度为一个周期的区间，484y2Ox 2由图象得函数 f (x) 在区间π 3π，84上的最大值为 2 ，最小值为 f 3π1 ．418．本小题主要察看互斥事件、相互独立事件、失散型随机变量的散布列和数学希望等基础知识，察看运用概率知识解决实责问题的能力．满分12 分．（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 A ，“从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 B ．由于事件 A， B 相互独立，且 P( A)C321C422．C42， P(B)C6252故取出的 4 个球均为黑球的概率为P( A·B)P(A)·P(B)121 25．5（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球；从乙盒内取出的 2 个球中， 1 个是红球，1 个是黑球”为事件 C ，“从甲盒内取出的 2 个球中， 1个是红球， 1 个是黑球；从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 D ．由于事件 C， D 互斥，21112C3C·4C3C1且 P(C)2C44·， P(D)·．C42C6215C42C625故取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为P(C D)P(C) P(D)417 155．15（Ⅲ）解：可能的取值为 01，，2，3 ．由（Ⅰ），（Ⅱ）得P(0)11)7， P(，5151P( 3)C3·11．进而 P(2)1P(0)P(1)P(3)3．22的散布列为123P1 7 3 151510 30的数学希望 E11 7 23 3 17 ．5 1510 30619．本小题察看直线与直线垂直、 直线与平面垂直、 二面角等基础知识， 察看空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分 12 分． （Ⅰ）证明：在四棱锥P ABCD 中，因 PA底面 ABCD ， CD 平面 ABCD ，故PA CD ．∵ AC CD ，PA AC A ，∴CD平面 PAC ．而 AE平面 PAC ，∴CD AE ．AC PA（Ⅱ）证明：由PAABBC，ABC 60°．，可得∵E 是PC 的中点， ∴AE PC ．由（Ⅰ）知， AE CD ，且 PC CD C ，因此 AE 平面 PCD ．而 PD 平面 PCD ，∴ AE PD ．∵ PA 底面 ABCD ，PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD ， AB AD ，∴AB PD ． 又∵ AB AE A ，综上得 PD 平面 ABE ．（Ⅲ）解法一：过点 A 作 AMPD ，垂足为 M ，连接 EM ．则（Ⅱ）知， AE 平面 PCD ， AM 在平面 PCD 内的射影是 EM ，则 EM PD ． 因此 AME 是二面角 A PD C 的平面角．由已知，得 CAD30°AC a，．设可得 PAa ， AD2 3a ， PD21a ， AE2a ．332在 Rt △ ADP 中， ∵ AMPD ，∴ AM ·PDPA ·AD ，··2 3aa2 7则 AMPA AD3PDa ．21 a7PM3E在 Rt △ AEM 中， sin AMEAE 14ADAM 4 ．CB14 ．因此二面角 APD C 的大小是 arcsin4解法二：由题设 PA底面 ABCD ， PA平面 PAD ，则平面 PAD平面 ACD ，交线为 AD ．过点 C 作CF AD ，垂足为 F ，故 CF 平面 PAD ．过点 F 作 FM PD ，垂足为 M ，连接 CM ，故 CM PD ．因此 CMP 是二面角 A PD C 的平面角．由已知，可得CAD 30°AC a，，设可得 PAa ， AD2 3a ， PD21a ， CF1a ，FD3a ．3326∵△ FMD ∽△ PAD ， ∴FMFD ．PPA PD3 ·E于是， FMFD ·PA 6 a a7 a ．MPD21 14 AFD3aBC1 aCF在 Rt △CMF 中， tan CMF27 ．FM7 a14因此二面角 A PD C 的大小是 arctan 7 ．20．本小题察看导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的 单一性和极值等基础知识，察看运算能力及分类讨论的思想方法．满分 12 分．（Ⅰ）解：当 a1 时， f ( x)x 2x 1 ， f (2) 4 ，25又 f (x)2( x2 1)·2 2x 2， f (2)62x 2x．( x 21)2( x 2 1)225因此，曲线 yf ( x) 在点 (2， f (2)) 处的切线方程为 y4 6(x2) ，525即 6x 2 y 32 0 ．（Ⅱ）解： f ( x)2a(x 21) 2x(2ax a 2 1)2( x a)( ax 1) ．(x 2 1)2(x 2 1)2由于 a 0 ，以下分两种情况讨论．1（1）当a 0 时，令 f ( x)0 ，获取 x 1， x 2 a．当 x 变化时， f ( x) f (x) 的变a，化情况以下表：x ∞ ，111， aa(a ， ∞)aaaf ( x)f ( x)极小值极大值因此 f (x) 在区间∞ ，1， ( a ， ∞) 内为减函数，在区间1， a 内为增函数．aa函数 f (x) 在x11处获取极小值f 1，且f1a2，a a a函数 f (x) 在x21处获取极大值f (a) ，且 f (a)1．a1（2）当a0时，令 f( x)0 ，获取x1a，x2，当 x 变化时，，f ( x)的变化a f ( x)情况以下表：x∞，a a a，111， + ∞a a af (x)00 f (x)极大值极小值因此 f (x) 在区间 (∞， a) ，1， + ∞内为增函数，在区间a，1内为减函数．a a函数 f (x) 在 x1 a 处获取极大值 f ( a) ，且 f (a) 1 ．函数 f (x) 在 x21处获取极小值 f1，且f1a2．a a a21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要察看等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，察看概括、推理、运算及灵便运用数学知识剖析问题和解决问题的能力．满分14 分．（Ⅰ）解法一：a222(2)2222，a3( 222 )3(2)22 2 323，a4(2 323 )4(2)2 3 3 424．由此可猜想出数列a n的通项公式为 a n(n1) n2n．以下用数学概括法证明．（1）当n1时， a1 2 ，等式建立．（2）假定当n k 时等式建立，即a k ( k 1)k2k，那么 a k 1a1k 1(2)2 k( k 1) k2k k 12k 12k[( k1) 1]k12k1．n n任何 n N 都建立．解法二：由 a n 1a nn 1(2 )2 n (nN ) ，0 ，an 12n 1a n n2可得n 1n1，a n2na nn1，首项为 0，故 21 ，因此数列 a n因此 n 为等差数列， 其公差为nn的通项公式为 a n (n 1)n2n ．（Ⅱ）解：设 T n22 33 4(n 2) n 1 (n1) n ，①T n32 43 5(n 2) n(n 1) n 1②当1 时，①式减去②式，23n( n 1) n 12n 1(n 1) n 1，得 (1)T n1T n2 n 1( n 1) n 1(n 1) n 2n n 12．(1 )21(1)2这时数列a n 的前 n 项和 S n ( n 1) n 2n n 1 2 2n 12 ．(1) 2当1 时， T nn(n 1) ．这时数列 a n 的前 n 项和 S nn(n 1)2n 12 ．22（Ⅲ）证明：经过剖析，推断数列a n 1 的第一项 a 2 最大，下面证明：a n a 1an 1a 2 24, n ≥ 2 ．③a na 12由 0 知 a n 0 ，要使③式建立，只需 2a n 1(24)a n (n ≥ 2) ，由于 (24) a n(24)(n 1)n(21)2n4 ·(n 1) n 4 2n 4( n 1) n 12n 2≥ 2n n 12n 22a n 1， n ≥ 2 ．因此③式建立．因此，存在 k 1 ，使得an1 ≤ak 1a2对随意 n N 均建立．a n a k a122．本小题主要察看椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，察看曲线和方程的关系平剖析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14 分．（Ⅰ）证法一：由题设AF2F1F2及 F1 (c，0) ， F2 (c，0)，没关系设点A(c， y) ，其中y 0．由于点A在椭圆上，有c2y21a2b2y21．a2b2，即a2b2b2b2解得，．y a，进而获取 A c a直线 AF1的方程为 y b2( x c) ，整理得 b2 x2acy b2c0．2ac由题设，原点 O 到直线AF1的距离为1OF1，即cb4b2c，334a2 c2将 c2a2b2代入上式并化简得a22b2，即 a2b ．A b2证法二：同证法一，获取点的坐标为，．c a过点 O作OB AF1，垂足为B，易知△ F1 BO ∽ △ F1 F2A，故BO F2 AOF1．F1 A由椭圆定义得AF1AF22a，又 BO 1OF1，3y因此1F2 A F2 A，A 3F1 A2a F2 AB解得 F2A a，而 F2Ab2b2a，即 a2b ．F1O F2x 2a，得a2（Ⅱ）解法一：设点 D 的坐标为( x0，y0)．当 y00 时，由 OD Q1Q2知，直线 Q1Q2的斜率为x0，因此直线 Q1Q2的方程为y0y x0( x x0 ) y0，或 y kx m ，其中 k x0， m y0x02．y0y0y0y kx ，点 Q1 ( x1， y1 )， Q2 ( x2， y2 ) 的坐标知足方程组mx22y22b2．将①式代入②式，得x22( kx m)22b2，整理得 (12k 2 ) x24kmx 2m22b20，于是x1x24km ，x1 x22m22b．12k12k 22由①式得 y1 y2 (kx1m)( kx2m)k2 x1x2 km( x1x2 )k 2k 2 2m22b2·4kmm2m22b2 k2．·12k2km12k12k2由 OQ1OQ2知 x1x2y1 y20 ．将③式和④式代入得3m22b22b2 k20 ，1 2k 23m22b2 (1 k 2 ) ．将 k x0 ，m y0x02代入上式，整理得 x02y022b2．y0y03当 y00 时，直线 Q1Q2的方程为 x x0， Q1 (x1， y1 )， Q2 ( x2， y2 ) 的坐标知足方程组x x0，x22y22b2．因此 x1x2 x0，y1，22b2x220 ．由 OQ1OQ2知 x1x2y1 y20 ，即 x022b2x020 ，2解得 x02 2 b2．32 b2．这时，点 D 的坐标仍知足 x02y0232 b2．综上，点 D 的轨迹方程为x2y23解法二：设点 D 的坐标为( x0，y0)，直线 OD 的方程为y0x x0 y0，由OD Q1Q2，垂足为 D ，可知直线Q1Q2的方程为2y2．0000x x y y x记 m x02y02（显然m 0），点 Q1 ( x，1y1)， Q2( x，2y2)的坐标满足方程组x0 x y0 y m，①x22y22b2．②由①式得 y0 y m x0 x．③由②式得 y02 x2 2 y02 y2 2 y02b2．④将③式代入④式得y02 x22(m x0 x) 22y02b2．整理得 (2 x02y02 )x24mx0 x2m22b2 y020 ，于是 x1 x22m22b2 y22x2y20 ．⑤00由①式得 x0 x m y0 y．⑥由②式得 x02 x22x02 y22x02 b2．⑦将⑥式代入⑦式得(m y0 y) 22x02 y 22x02b2，整理得 (2 x02y02 ) y22my0 y m22b2 x020 ，于是 y y2m22b2 x02．⑧12x02y02由 OQ1OQ2知 x1x2y1y22m22b2 y02m22b2 x020 ，0 ．将⑤式和⑧式代入得y022x02y022 x023m22b2 (x02y02 ) 0 ．将m x02y02代入上式，得x02y022b2．3因此，点 D 的轨迹方程为 x2y2 2 b2．3。

天津一中2021－2022－1高二班级 数学学科（理科）期中质量调查试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．第Ⅰ卷 为 第1页，第Ⅱ卷 2至 3页．考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺当!第Ⅰ卷一．选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列说法正确的是 （ ） （A ）经过空间内的三个点有且只有一个平面（B ）假如直线l 上有一个点不在平面α内，那么直线上全部点都不在平面α内 （C ）四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形（D ）用一个平面截棱锥，得到的几何体肯定是一个棱锥和一个棱台2．若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 （ ）（A ）l 与1l ，2l 都不相交 （B ）l 与1l ，2l 都相交（C ）l 至多与1l ，2l 中的一条相交 （D ）l 至少与1l ，2l 中的一条相交3．设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则由下列条件可以得到a b ⊥的是 （ ）（A ）a α⊥，b β∥，αβ⊥（B ）a α⊥，b β⊥，αβ∥ （C ）a α⊂，b β⊥，αβ∥（D ）a α⊂，b β∥，αβ⊥42的正三角形，若该正三棱锥的表面积是33 （ ）（A ）23 （B ）3（C ）2 （D ）225. 如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是( )．（A ）CC 1与B 1E 是异面直线 （B ）AC ⊥平面A 1B 1BA（C ）AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1 （D ）A 1C 1∥平面AB 1E6．如图1～3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 （A ）63 （B ）3（C ）123（D ）1837．一个正方体的内切球1O 、外接球2O 、与各棱都相切的球3O 的半径之比为（ ）（A ）1:3:2（B ）1:1:1（C ）32 （D ）1:2:38. 三棱锥S —ABC 中，SA ⊥底面ABC ，SA =4，AB =3，D 为AB 的中点∠ABC =90°，则点D 到面SBC 的距离等于（ ）A ．512B59 C ．56 D ．539．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过 点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ．给出下列命题：①当102CQ <<时，S 为四边形； ②当12CQ =时，S 为等腰梯形； ③当34CQ =时，S 与C 1D 1的交点R 满足113C R =；④当314CQ <<时，S 为六边形； ⑤当1CQ =时，S 的面积为6其中正确的是（ ）（A ）①②③ （B ）①②③⑤ （C ）②③④⑤ （D ）①③④⑤10.长方体1111ABCD A B C D -中，已知二面角1A BD A --的大小为π6，若空间有一条直线l 与直 线1CC 所成角为π4，则直线l 与平面1A BD 所成角的取值范围是（ ）（A ）π5π[,]1212 （B ）ππ[,]122 （C ）5ππ[,]122 （D ）5π[0,]12天津一中2021-2022-1高二班级数学学科（理科）期中质量调查试卷答题纸 第Ⅱ卷二．填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）ABCABEC(第5题)111．已知(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，若ka b +和3a b -相互垂直，则k =________．12．圆柱的底面半径和高都与球的半径相同，则球的表面积 与圆柱的侧面积之比为________．13．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何 体的体积为________3m ．14．正方形ABCD 的边长为a ，沿对角线AC 将△ADC 折起， 若60DAB ∠=°，则二面角D AC B --的大小为________．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形， 侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点．则EB 与 底面ABCD 所成的角的正切值为________．16．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，11B C 的中点，则三棱锥1P A MN -的体积是________．三．解答题：本大题共4小题共46分。

定积分一、填空题难度系数0.2以下：1.由定积分的几何意义可知，定积分⎰-102d 1x x 的值是 /4π .2.由定积分的几何意义知a x -=⎰_ 2/2πa ________.3.由定积分的几何意义知21d x x -=⎰__ 2/3 ______. 4.由定积分的几何意义知sin d x x ππ-=⎰__ 0 ______.5.一物体以速度23()v t t m s =+做直线运动，则物体在0t =到3t =这段时间内行进的路程为__ 45/2 ______. 6.比较大小，120d x x ⎰__≥_____130d x x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空）7.比较大小，1x ⎰___≥____1x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空） 8.比较大小，20sin d x x π⎰__≥__320sin d x x π⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空） 9.比较大小，53ln d x x ⎰__≤___523(ln )d x x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空） 10.120d sin d d x x x =⎰ 0 . 11.2d sin d d x x x⎰ 2sin x . 12.20d sin d d x t t x⎰ 2sin x . 13.02d sin d d x x x x ⎰ 2sin x - .14.220d sin d d x t t x ⎰ 4sin 2x x . 15.()2de d x t t -=⎰________2-x e dx _________________.16.1sin d d x t t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰________sin x dx x -_________________.17.20d d t t ⎛⎫=⎪⎝⎭⎰_________________.18.求极限211e d limln x t x tx→=⎰___e _________________.19.求极限203sin d limx x t t x →=⎰____31________________.20.求极限203arctan d limxx t t x→⎰21.若11(2+)d 3ln 2a x x x=+⎰，则a 的值等于________2____________.22.若(21)d 4a ax x --=⎰，则a =________-2____________.23.已知20()d 3f x x =⎰，则2[()+3]d f x x =⎰_______9__________.24.由不等式222x y a +≤所确定区域的面积A = 2a π .25.由椭圆22221x y a b+=所围成图形的面积A = ab π .26.由圆y =与直线0y =所围成图形的面积A = 212a π .27.由圆x =0x =所围成图形的面积A =12π . 28.由曲线y x =，0x =，与直线2y =所围成图形的面积A = 2 . 29.由曲线sin y x =与直线0y =,0,x x π==所围成图形的面积A = 2 . 30.由曲线cos y x =与直线0y =,0,2x x π==所围成图形的面积A = 1 .31.由不等式2214x y ≤+≤所确定区域的面积A = 3π .难度系数0.2—0.4：1.2e d ln d x xx t ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰_______)ln 2e (2x x x -__________________.2.设()f x 为[1,)+∞上的连续函数，且ln 1()()d xF x f t t =⎰，则()F x '=____1()(ln )F x f x x=____. 3.求极限202(3sin )d lim3xx t t t x→+⎰4.求极限2sin 0d limxt x e t x-→=⎰______1____________.5.1211d x e x x+∞=⎰ e . 6.11()d x x x e e x --+=⎰0 .7.325245sin d 1x xx x x -=++⎰ 0 . 8.51d x x=⎰42arctan 2- . 9.设()f x 连续，且221()d x f t t x -=⎰(2)f10.若2201()d 1xt t f x t t t-+=++⎰，则(1)f '11.30(1sin )d πθθ-=⎰43π-. 12.若sin d (0)ax x x b a =>⎰，则(sin cos ) d a ax x x x -+=⎰ 2b .13.由曲线xy e =，xy -=e ，与直线1x =所围成图形的面积A =2e1e -+. 14.由曲线sin y x =，cos y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所围图形的面积A =12- .15.用定积分表示由曲线42-=x y 与直线1=x 及3=x 所围成图形的面积A =4 .16.由圆222x y a +=所围图形绕x 轴旋转一周形成一个球体，其体积值V =343a π .难度系数0.4—0.6：1.反常积分21d (ln )kx x x +∞⎰，当k 取 1k > 时收敛.2.2(d aax x -=⎰32a .3.函数0()xf x t =⎰在[0,1]上的最大值是 2 .4.由单位圆221x y +=所围图形绕y 轴旋转一周形成一个球体，其体积值V =43π .5.用定积分表示曲线方程ln y x =上对应x ≤≤一段弧长的弧长的值s =131ln 22+ .难度系数0.6以上：1.若1ln ()d xtf x t t=⎰，则1()d e xf x x '=⎰ 1 .2.设正值函数()f x 在[,]a b 上连续，则函数1()()d d ()xxabF x f t t t f t =+⎰⎰在(,)a b 上至少有 1 个根.3.一立体以抛物线2y x =与直线4x =围成区域为底，而用垂直于x 轴的平面截得的截面都是正方形，则平行截面面积()S x = 4x ；其体积V = 32 .二、单项选择题难度系数0.2以下：1.定积分1212ln d x x x ⎰值的符号为（ B ）.（A ）大于零； （B ）小于零； （C ）等于零； （D ）不能确定. 2.下列等于1的积分是（ C ）.（A ）1d x x ⎰； （B ）1(1)d x x +⎰； （C ）11d x ⎰； （D ）101d 2x ⎰.3.1(+)d xx ee x -=⎰（ D ）.（A ）1e e +； （B ）2e ； （C ）2e ； （D ）1e e-. 4.22(sin +cos )d 22x xx π=⎰（ B ）.（A ）2π； （B ）12π+； （C ）2π-； （D ）0,5.1(2+)d 2x k x =⎰，则k =（ C ）.（A ）0； （B ）-1； （C ）1； （D ）2. 6.10d xm e x =⎰与11d en x x=⎰的大小关系是（ A ）. （A ）m n >； （B ）m n <； （C ）m n =； （D ）无法确定.7.下列式子中，正确的是（ C ）.（A ）112300d d x x x x ≤⎰⎰； （B ）22211ln d ln d x x x x ≤⎰⎰；（C ）22211d d x x x x ≤⎰⎰； （D ）11d d xx e x e x -≤⎰⎰.8.已知自由落体运动的速度v gt =，则落体运动从0t =到0t t =所走的路成为（ C ）.（A ）203gt ； （B ）20gt ； （C ）202gt ； （D ）206gt .9.积分中值定理()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰，其中（ B ）.（A ）ξ是[,]a b 内任一点； （B ）ξ是[,]a b 内必定存在的某一点； （C ）ξ是[,]a b 内唯一的某一点； （D ）ξ是[,]a b 的中点.10.设()f x 在[,]a b 连续，()()d xax f t t ϕ=⎰，则（ A ）.（A ）()x ϕ是()f x 在[,]a b 上的一个原函数； （B ）()f x 是()x ϕ的一个原函数；（C ）()x ϕ是()f x 在[,]a b 上唯一的原函数； （D ）()f x 是()x ϕ在[,]a b 上唯一的原函数. 11.设()d 0baf x x =⎰且()f x 在[,]a b 连续，则（ B ）.（A ）()0f x ≡；（B ）必存在x 使()0f x =； （C ）存在唯一的一点x 使()0f x =； （D ）不一定存在点x 使()0f x =.12.函数()f x 在[,]a b 上连续是()f x 在[,]a b 上可积的（ B ）.（A ）必要条件； （B ）充分条件； （C ）充要条件； （D ）无关条件.13.下列各积分中能够直接应用牛顿—莱布尼茨公式的是（ C ）.（A ）311d 2x x-⎰； （B ）30ln d x x ⎰；（C ）4tan d x x π⎰； （D ）22cot d x x ππ-⎰.14.极限0sin d limd xx x t tt t→=⎰⎰（ C ）.（A ）-1； （B ）0； （C ）1； （D ）2. 15.02sin x d t dt dx=⎰（ B ）. （A ）2sin x ； （B ）2sin x -；（C ）22sin x x -； （D ）2sin t -. 16.定积分()()d bax a x b x --=⎰（ B ）.（A ）3()6b a -； （B ）3()6a b -；（C ）3()3b a -； （D ）336b a -.17.设函数()f x 在[,]a a -上的连续，则()d aaf x x -=⎰（ C ）.（A ）02()d af x x ⎰； （B ）0；（C ）[()()]d af x f x x +-⎰； （D ）0[()()]d a f x f x x --⎰.18.已知()f x 为偶函数且6()d 8f x x =⎰，则66()d f x x -=⎰ （ D ）.（A ）0； （B ）4； （C ）8； （D ）16. 19.222d xe x --=⎰（ D ）.（A ）4222d u eu --⎰； （B ）22d te t --⎰；（C ）222d x e x -⎰； （D ）222d x e x --⎰.20.由椭圆22194x y +=所围成图形的面积A =（ A ）. (A) 6π； (B) 9π； (C) 12π； (D) 36π.21.由圆y =0y =所围成图形的面积A =（ B ）.(A) π； (B) 2π； (C) 3π； (D) 4π.22.由圆x =与直线0x =所围成图形的面积A =（ A ）.(A)212a π； (B) 213a π； (C) 214a π； (D) 2a π. 23.由曲线sin y x =与x 轴，直线0x =，2x π=所围成图形的面积A =（ B ）.(A)12； (B) 1； (C) 2； (D) 3． 24.由不等式22224a x y a ≤+≤所确定区域的面积A =（ Ｃ ）.(A) 2a π； (B) 22a π； (C) 23a π； (D) 24a π.难度系数0.2—0.4：1.设ln 1()()xxF x f t dt =⎰，其中()f x 为连续函数，则()F x '=（ A ）.（A ）2111(ln )()f x f x x x +； （B ）1(ln )()f x f x +； （C ）2111(ln )()f x f x x x -； （D ）1(ln )()f x f x-.2.下面命题中错误的是（ A ）.（A ）若()f x 在(,)a b 上连续，则()d baf x x ⎰存在；（B ）若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上必有界； （C ）若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上必可积；（D ）若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上必可积. 3.下列积分值为零的是（ C ）.（A ）222cos d x x x ππ-⎰； （B ）220cos d x x x π⎰；． （C ）222sin d xx x ππ-⎰； （D ）022cos d x x x π-⎰.4.下列反常积分收敛的是（ B ）.（A ）1x +∞⎰； （B ）211d x x +∞⎰；（C ）11d x x+∞⎰； （D ）1d x e x +∞⎰.5.下列反常积分收敛的是（ C ）.（A ）ln d e x x x +∞⎰； （B ）1d lne x x x +∞⎰；（C ）21d (ln )ex x x +∞⎰； （D ）e x +∞⎰.6.1211dx x -=⎰（ D ）.（A ）2； （B ）-1； （C ）； （D ）不存在. 7.函数2x 在[0,2]上的平均值为（ B ）.（A ）32； （B ）32ln 2； （C ）3ln 22； （D ）3ln 2. 8.定积分340sin 2d x x π⎰的值是（ C ）.（A ）12； （B ）12-； （C ）32； （D ）32-. 9.关于反常积分1ln d x x ⎰，下列结论正确的是（ C ）.（A ）积分发散； （B ）积分收敛于0； （C ）积分收敛于-1； （D ）积分收敛于1. 10.由不等式22222a x y a ≤+≤所确定区域的面积A =（ Ｃ ）.(A) 21)a π； (B)2a ； (C) 2a π； (D) 22a π.11.由相交于点11(,)x y 及2212(,),()x y x x <的两条曲线(),()y f x y g x ==，且()()0f x g x ≥>所围图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积V =（ B ）.(A) []212()()d x x f x g x x π-⎰； (B) 2122()()d x x f x g x x π⎡⎤-⎣⎦⎰；(C)⎰-21d )]()([222x x x x g x f π； (D)[]21()()d x x f x g x x π-⎰.难度系数0.4—0.6：1.设sin 20()sin d xf x t t =⎰，34()g x x x =+，当0x →时，()f x 是()g x 的（ B ）无穷小量.（A ）高阶； （B ）同阶非等价； （C ）高阶； （D ）低价. 2.设0()(1)d xt f x t e t =-⎰，则()f x （ A ）.（A ）有极小值2e -； （B ）有极大值2e -； （C ）有极大值2e -； （D ）有极小值2e -.3.设()f x 在[,]a a -上连续且为奇函数，()()d xaF x f t t =⎰，则（ B ）.（A ）()F x 是奇函数； （B ）()F x 是偶函数； （C ）()F x 是非奇非偶函数； （D ）（A ）、（B ）、（C ）都不对.4.12121cos lnd 1xx x x-+=-⎰（ C ）. （A ）1； （B ）-1； （C ）0； （D ）12. 5.广义积分d ()()bkaxb a x a >-⎰的收敛发散性与k 的关系是（ B ）.（A ）1k >时收敛，1k ≤时发散； （B ）1k <时收敛，1k ≥时发散； （C ）1k ≥时收敛，1k <时发散； （D ）1k ≤时收敛，1k >时发散. 6.曲线ln y x =，ln y a =，ln y b =，（0a b <<）及y 轴所围图形面积A =（ Ｄ ）.(A) e e ln d abx x ⎰； (B)e e e d baxx ⎰； (C)ln ln ln d bax x ⎰； (D)ln ln e d by ay ⎰.7.曲线y =4x =、0y =所围图形绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积=V （ C ）.(A)4d x x π⎰； (B)240d y y π⎰；(C) 2432d y y ππ-⎰； (D) 24016d y y ππ-⎰.难度系数0.6以上：1.若20tan arctan d lim0x kx t t tc x →⋅=≠⎰，则k =（ D ）.（A ）3； （B ）4； （C ）5； （D ）6.2.设()f u ''连续，已知12(2)d ()d n xf x x tf t t ''''=⎰⎰，n 应是（ C ）.（A ）2； （B ）1； （C ）4； （D ）12. 3.由心形线22cos r θ=+所围成图形的面积=A （ D ）.(A)2201(22cos )d 2πθθ+⎰； (B) 220(22cos )d πθθ+⎰； (C)201(22cos )d 2πθθ+⎰； (D) 20(22cos )d πθθ+⎰.三、计算题难度系数0.2以下：1.10(23)d x x +⎰．解：112(23)d (3)4x x x x +=+=⎰.2.2211()d x x x x-+⎰． 解：22232111115()d [ln ]ln 2236x x x x x x x -+=-+=-⎰.3.0(cos )d x x e x π-+⎰．解：00(cos )d (sin )1x x x e x x e e πππ---+=+=-⎰.4.x x x d )123(124⎰-+．解：14253100324(321)d []5315x x x x x x +-=+-=⎰. 5.x a x a x ad ))((0⎰+-．解：332233()()d ()d 33a a a x a x a x a x x a x a a -+=-=-=-=⎰⎰322a -．6.x xx d )11(94+⎰．解：=-=+=+=+⎰⎰32824]232[d )1(d )11(942/39494x x x xx x x x 344． 7.x x d 1123⎰--+．解：=-=+=+----⎰2ln 01ln d 112323x x x2ln -．8.3sin()d 3x x πππ+⎰． 解：333sin()d sin()d()cos()03333x x x x x ππππππππππ+=++=-+=⎰⎰.9.(sin cos )d x x x π-⎰．解：00(sin cos )d (cos sin )(11)02x x x x x ππ-=-+=----=⎰.10.3(sin sin 2)d x x x π-⎰．解：3311(sin sin 2)d (cos cos 2)24x x x x x ππ-=-+=-⎰.11.x x d )sin 21(0⎰-π．解：=--+=+=-⎰)11(2cos 2d )sin 21(00ππππx x x 4-π．12.222cosd x x ππ-⎰．解：22222221cos 211cos d d sin 22222x x x x x x πππππππ---+⎛⎫==+= ⎪⎝⎭⎰⎰． 13.20(1cos )d πθθ-⎰．解：2201cos211(1cos )d sin d d (sin 2)2222ππππθπθθθθθθθ--===-=⎰⎰⎰14．π220cos d 2θθ⎰．解：ππ22201cos cosd d 22θθθθ+=⎰⎰π201π2(sin )|24θθ+=+=． 15.40sec tan d x x x π⎰．解：440sec tan d sec 1x x x xππ==⎰．16.⎰+33/121d x x．解：=-==+⎰63arctan 1d 33/133/12ππx x x 6π． 17.⎰-2121d x x ．解：=-==-⎰06arcsin 1d 2/102102πx x x6π．18.1⎰．解1110d()arcsin 26xx π===⎰⎰. 19.2201d 4x x +⎰． 解：2201d 4x x =+⎰82arctan212π=x .20.2120d 1x x x +⎰． 解：221111022*******d d (1)d [arctan ]11114x x x x x x x x x x π+-==-=-=-+++⎰⎰⎰．21.322d x ⎰．解：339222421193d (2)d (2ln )ln 222x x x x x x x =++=++=+⎰⎰．22.x xx d 12134⎰-．解：=-=+=-=-⎰⎰1817]212[d )1(d 121222132134x x x x x x x x 89． 23.4120d 1x x x +⎰． 解：4120d 1x x x =+⎰1411232201111d (1)d (arctan )113x x x x x x x x x -+=-+=-+++⎰⎰ 324-=π.24.212212d (1)x x x x ++．解：212212d (1)x x x x +=+1221122221111()(arctan )(1)1x x dx dx x x x x x x ++=+=-+++3112+-=π.25.11d (21)ex x x +⎰．解：11112d d 2121ee x x x x x x =-++⎰⎰()()1111d d 2121e e x x x x =-++⎰⎰() 11ln |ln(21)|1ln 3ln(21)e ex x e =-+=+-+.26.221d (1)xx x +解：222211d 11()d (1)1x x x x x x =-++arctan 112π=-=-. 27.251(1)d x x -⎰．解：22556211111(1)d (1)d(1)(1)66x x x x x -=--=-=⎰⎰． 28.⎰-324)28(d x x．解：=-=-=---=-⎰⎰)64181(61)28(61)28()2d(821)28(d 323324324x x x x x 3847． 29.x x x d 1sin /3/22⎰ππ． 解：=-==-=⎰⎰0211cos )1d(1sin d 1sin /3/2/3/2/3/22ππππππx•x x x x x 21．30.41x ⎰．解：4411122(cos1cos 2)x ==-=-⎰⎰．31.120arctan d 1xx x +⎰．解：121122000arctan 1d arctan d(arctan )(arctan )1232x x x x x x π===+⎰⎰． 32.1d e x x⎰． 解：1322111222d (ln )dln (ln )(10)333eee x x x x x ===-⎰⎰＝． 33.ln3d 1x xe x e+⎰． 解：ln3ln3ln30 1 d d(1)ln(1)2ln 211x x x x x e x e e ee =+=+=++⎰⎰．34.2d x xe x ．解：222200111d d (1)222x x x a xe x e x ee ===-． 35.⎰+32d 1x x x ．解：=-=+=++=+⎰⎰)18(31)1(31)d(1121d 1302/32302232x x x x x x 37．36.20sin cos d t t t π⎰．解：22220011sin cos d cos d cos cos 22t t t t t t πππ=-=-=⎰⎰．37.x x x d sin cos 04⎰π．解：===⎰⎰πππ050404sin 51dsin sin d sin cos x x x x x x 0．38.20x π⎰．解：222000sin d sin d sin d x x x x x x x πππππ==-⎰⎰⎰⎰4cos cos 20=+-=πππx x .39.102d x x e x ⎰．解：102d x xe x =⎰2ln 112)2ln()2(10+-=e e e x.40.51x ⎰．t =，则212,d d 33t x x t t -==.于是4544122212224d d 3333x t t t t t =⋅===⎰⎰⎰.41.41x ⎰． 解：令t x =，则t t x t x d 2d ,2==.于是422211112d 1321d 2[ln(1)]21ln 112t t x t t t t t ⎛⎫⎛⎫==-=-+=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰. 42.x xx d 191⎰+．解：令t x =，则2t x =，t t x d 2d =，于是t t t t t t x xxd )111(2d 12d 13131291⎰⎰⎰++-=+=+2331142ln(1)t t =-++42ln2=+．43.x xx d 4511⎰--．解：令t x =-45，则4/)5(2t x -=，2/d d t t x -=，于是3231132311(5)11d (5)d (5)8883t t t x x t t t t --=-=-=-=⎰⎰⎰61．44.x x d tan 32⎰π．解：223330tan d (sec 1)d tan 033x x x x xπππππ=-=-=-=⎰⎰33π-．45.224cot d x x ππ⎰．解：224cot d x x ππ=⎰41)cot ()1(csc 24242πππππ-=--=-⎰x x dx x .46.设函数21,1,()112x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，求定积分20()d f x x ⎰.解：12223212118()d (1)d d ()2263x x x f x x x x x x =++=++=⎰⎰⎰. 47.设函数3,01,()2,12x x f x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩，求定积分20()d f x x ⎰.解：12212210137()d 3d 2d 222x f x x x x x x =+=+=⎰⎰⎰.48.设函数⎩⎨⎧≥<=.11e )(x x x x f x ，，，，求定积分x x f d )(20⎰.解：=-+-=+=+=⎰⎰⎰2121e 2ed de d )(2121021120x x x x x x f x x21e +． 49.624d x x -⎰．解：466462222424114d (4)d (4)d (4)(4)422x x x x x x x x x x -=-+-=-+-=⎰⎰⎰．50.x x d cos 0⎰π．解：/220/22cos d cos d cos d sin sin x x x x x x xxπππππππ=-=-⎰⎰⎰10(01)2=---=．51.20sin d x x π⎰．解：2200sin d sin d (sin )d x x x x x x ππππ=+-⎰⎰⎰20cos cos 224x x πππ=-+=+=.52.1ln d e ex x ⎰．解|：()()1111111ln d (ln )d ln d ln ln eeeeeex x x x x x x x x x x x =-+=--+-⎰⎰⎰21112(1)e e=-+=-.53.d t te t π⎰．解：0d d d 1t t t t tte t t e te e t e e e e ππππππππππ==-=-=+-⎰⎰⎰.54.x x x d e 10⎰-．解：=--=+-=----⎰⎰110110e e1d e ed e xx x xx x x x e21-． 55.cos d x x x π⎰．解：cos d dsin sin sin d cos 2x x x x x x xx x xπππππ==-==-⎰⎰⎰．56.x x d ln e 1⎰．解：=--=-=⎰⎰)1e (e d ln d ln e 1e1e1x xxx x x x 1． 57.10arctan d x x x ⎰．解：21121020011arctan d arctan 221x x x x x x dx x =-+⎰⎰214-=π． 58.求极限02ln(1)d limx x t t x→+⎰．解：0200ln(1)d ln(1)11limlimlim 22(1)2x x x x t t x x x x →→→++===+⎰．59.求下列极限2d limx t x e t x→⎰．解：220d limlim 1x t x x x e t e x→→==⎰．60.设0()sin d xf x t t =⎰，求(0f '），(4f π'）． 解：()sin f x x '=，(0=sin0=0f '），(=sin 442f ππ'=）． 61.计算由曲线sin (0)y x x π=≤≤与x 轴围成平面图形的面积. 解： 00sin d (cos )2A x x x ππ==-=⎰.62.计算由曲线xy e =与x 轴、y 轴及直线1x =围成平面图形的面积. 解： 11d ()1x x Ae x e e ===-⎰.63.求由直线x y =与曲线x y =围成的平面图形的面积A .解：dx x x A )(10-=⎰16=.难度系数0.2—0.4：1.x x xd 31102⎰+-．解：=+-=+-=+-⎰3ln 214ln 2136)]3ln(213arctan 31[d 31103102πx x x x x 43ln 2136+π． 2.⎰--112d x x x ．解：121d x x x --=⎰012210()d ()d x x x x x x --+-⎰⎰16165]3121[]2131[10320123=+=-+-=-x x x x . 3.⎰-40sin 1d πxx．解：=-+=+=+=-⎰⎰121]sec [tan cos )d sin (1sin 1d 4/040240πππx x xx x x x 2． 4.x x x d 1222⎰+-．解：21211d (1)d (1)d x x x x x x x =-=-+-⎰⎰⎰⎰=+=-+--=2121)1(21)1(2121212x x 1． 5.22d 22xx x -++⎰．解：()()00022222d 12211x dxarctg x x x x ---==+++++⎰⎰ ()24411πππ=+=--=arctg arctg ．6.x x x d 12103-⎰．解：令t x sin =，则t t x d cos d =，于是t t t t t t x x xcos d )cos (cos d cos sin d 122042023213-==-⎰⎰⎰ππ1525131]3cos 5cos [2/035=-=-=πt t ．7.⎰+31221d xxx ．解：令t x tan =，则t t x d sec d 2=，于是=-===+⎰⎰⎰3/4/3/4/23/4/223122]sin 1[sin d c sec tan d sec 1d ππππππt t t ost t t t t xx x 3322-． 8.⎰-12122d 1x xx ． 解：令t x sin =，则t t x d cos d =，于是=--=-==-⎰⎰⎰4cot d )1(csc d cot d 12/4/2/4/22/4/212122πππππππt t t t t x xx 41π-． 9.⎰-2122d 1x x x ． 解：令t x sec =，则t t t x d sec tan d =，于是⎰⎰⎰-==-3/03/022122d )cos (sec d cos sin d 1ππt t t t t t x xx 3/0]sin sec tan [ln πt t t -+=23)32ln(-+=． 10.220cos d x x x π⋅⎰．解：22222000cos 2111cos d ()d cos 2d 222x x x x x x x xdx x x ππππ+⋅=⋅=⋅+⎰⎰⎰⎰2π=. 11.120arctan d 1x xx x ++⎰ ． 解：111222000arctan arctan d d d 111x x xx x x x x x x +=++++⎰⎰⎰ 2112200111ln(1)(arctan )ln 222232x x π=++=+.12.21e x ⎰．解：22211ln )1)e e x x =+==⎰⎰.13.x π⎰．解：22cos d cos d cos d )x x x x x x x x ππππππ===-⎰⎰⎰⎰202sin )x x πππ=-=14.x x x d sin 02⎰π．解)d sin sin (2d cos 2cos d sin 02022x x xx x x x xx x x x ⎰⎰⎰-+=+-=ππππππ4cos 2202-=+=πππx ．15.⎰41d ln x xx ．解：=--=-=-=⎰⎰)12(42ln 842ln 8d 2ln 2d ln 41414141x x xxx x x xx 42ln 8-．16.10x ⎰．解：令t =，2x t =，d 2d x t t =，111110002d 2[]2d 22[]2t t t t x te t te e t e e ==-=-=⎰⎰⎰． 17.⎰210d arcsin x x ．解：⎰⎰--=21022/10210d 1arcsin d arcsin x x x xx x x =-+=2/102112x π12312-+π． 18.10ln(1)d x x x +⎰．解：112001ln(1)d ln(1)d 2x x x x x +=+⎰⎰121200111ln(1)d 221x x x x x=+-+⎰101111ln 2(1)d 2214x x x =--+=+⎰． 19.x x x d cos e 2/0⎰π．解：因为x x x x x x x x d sin e sin e d cos e 2/02/02/0⎰⎰-=πππx x x x xx xx d cos e 1e d cos e cos e e 2/022/02/02⎰⎰--=-+=πππππ，有=⎰x x x d cos e 22/0π1e 2-π，所以=⎰x x x d cos e 2/0π)1e (212-π．20.求由d cos d 0yxte t t t +=⎰⎰所决定的隐函数y 对x 的导数d d y x. 解：等式两边同时对x 求导，得d cos 0d yy e x x +=，即d cos d y y x x e=-. 21.设隐函数()y y x =由方程22330ln 40y t x e dt y --++=⎰所确定，求d d yx. 解：等式两边同时对x 求导，得422d d 3230d d y y y x yey x x --+=，解得422d 3d 23y y x x ye y-=-. 22.求由方程1d sin d 202=+⎰⎰x y t tt t t 确定的函数)(x y y =的导数xyd d . 解：等式两边同时对x 求导，得22d sin 20d y x y x x x +⋅=，解得22sin 2d d yx x y -=. 23.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-+≥+=,01,1,0,11)(x x x x x f 求定积分20(1)d f x x -⎰. 解：令1-=x t ，则⎰-2d )1(x x f ⎰⎰⎰+++==--1001111d d 1d )(tt t t t t f 2ln 32)1ln()1(3210012/3+=+++=-t t .24.设函数1,0,1()1,0,1xx xf x x e ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩ 求定积分20(1)d f x x -⎰.解：令1-=x t ，则⎰-2d )1(x x f 111101d ()d d 11t t f t t te t --==+++⎰⎰⎰ 0101(ln(1)ln(1)(1)t t e t ln e -=-+++=+.25.ln320(1+)d x x e e x ⎰． 解：ln3ln3223ln30156(1+)d (1+)d(1+)(1+)33x x x x x e e x e e e ===⎰⎰． 26.x x d )sin 1(03⎰+π．解：=-+=-+=+⎰⎰πππππ03023]cos 3cos [dcos )1(cos d )sin 1(x x x x x x 34+π． 27.x x xd ln 1e1⎰+．解：=+=+=+=+⎰⎰321)(ln 321dln ln ln d ln 1e 12/3e 1e 1e1x x x x x x x 35． 28.⎰-++212102d x x x．解：=-=+=+++=++---⎰⎰)04(3131arctan 313)1()1d(102d 212122212πx x x x x x 12π． 29.⎰-++01311d x x ．解：令t x =+31，则13-=t x ，t t x d 3d 2=，于是2011003d 13(1)d 11t t t t t t -==-+++⎰⎰⎰ 2103[33ln(1)]2t t t =-++=232ln 3-．30.求函数2()d xt f x te t -=⎰的极值．解：2()x f x xe -'=，22()(12)x f x x e -''=-,令()0f x '=得函数()f x 的驻点0x =，又(0)10f ''=>，所以0x =时函数()f x 有极小值(0)=0f ．31.求极限⎰⎰→2202d cos )d sin (limx xx tt t tt．解：===⋅=→→→→⎰⎰⎰⎰1sin lim d sin lim cos 2sin d sin 2lim d cos )d sin (lim 000400020202x x x t t t x x x x t t t t t t t t x x x x x x x x 1． 32.求极限3001sin lim(1)d xx tt x t →-⎰． 解：323200000sin 11sin sin cos 11lim (1)d lim lim lim 33918x x x x x xt x x x x t x t x x x →→→→----====-⎰． 33.求极限42)d )1ln((limxt t xx ⎰+→．解：2432(ln(1)d )2ln(1)d ln(1)ln(1)d limlim42xxx x x t t t t x t t xx x →→++⋅++==⎰⎰⎰=414)1ln(lim0=+→x x x ．34.22(+)d xx x e x --⎰．解：2022222(+)d 0d 2d 2d 26xxx x x e x x xe x xe x e ------=+==-⎰⎰⎰⎰．35．若函数)(x f 连续，设⎰=x t t xf y 1d )(，求xyd d . 解：⎰=x t t f xy 1d )(，根据乘积求导法则，xyd d )(d )(1x xf t t f x +=⎰．36.计算反常积分411d x x+∞⎰的值．解：4433111111111d lim d lim ()lim ()3333bb b b b x x x x x b +∞→+∞→+∞→+∞==-=-=⎰⎰． 37.计算反常积分0d ()kt pte e tp k +∞->⎰.解：()()0d d limd bkt pt k p t k p t b e e t e t e t +∞+∞---→+∞==⎰⎰⎰()()0111lim lim[]bk p t k p b b b e e k p k p k p --→+∞→+∞==----1p k =-． 38.判定反常积分1x ⎰的敛散性，若收敛，计算其值．解：2111lim[lim(1ttt t x --→→=-==⎰⎰． 故反常积分收敛于1． 39.判定反常积分1e⎰的敛散性，若收敛，计算其值．解：11lim[arcsin(ln )]2ett et ex π--→→===⎰．故反常积分收敛于2π． 40.计算由抛物线曲线26y x =-与直线32y x =-围成平面图形的面积.解：两条曲线交点为2632y x y x ⎧=-⎨=-⎩，得（-1，5），（3，-3），3323211132(632)d (3)33A x x x x x x --=--+=-++=⎰. 41.求由双曲线xy 1=及直线x y =、2=y 围成平面图形的面积. 解：取y 为积分变量，则2ln 23)ln 2(d )1(21221-=-=-=⎰y y y y y A .42.求由抛物线243y x x =-+-及它在点)3,0(-与点)0,3(的两条切线34-=x y与x y 26-=所围成区域的面积.解：如图，两切线34-=x y 与x y 26-=的交点为3,32C ⎛⎫⎪⎝⎭，所求面积为： x x x x x x x x A d )]34()26[(d )]34()34[(32322302-+---+-+---=⎰⎰498989d )96(d 32322302=+=+-+=⎰⎰x x x x x . 43.求由双曲线1=xy 与直线x y =及2=y 围成的平面图形的面积A . 解：dy y y A )1(21⎰-=3ln 22=-.44.求由曲线xe y =，xe y -=与直线1=x 围成的平面图形的面积A .解：dx e e A xx )(1--=⎰12e e=+-. 45.求由抛物线2x y =与直线x y 23+=围成的平面图形的面积A . 解：dx x x A )23(231-+=⎰-323=. 46.求由抛物线23x y -=与直线x y 2=围成的平面图形的面积A .解：dx x x A )23(213--=⎰-323=. 47.求由曲线y x =，直线1=+y x 及ox 轴围成的平面图形的面积A .解：dy y y A )2(10⎰--=56=. 48.求由曲线x y x y cos ,sin ==与直线0=x 及2/π=x 围成的平面图形的面积A .解：dx x x A ⎰-=2/0sin cos π1)=.49.求由不等式组10≤<x ，0ln ≤≤y x 所确定的平面区域的面积A . 解：10ln 1A xdx =-=⎰.50.求由不等式ax y x a 2222≤+≤所确定的平面区域的面积A .解：]cos 42121[22/3/223/02θθθπππd a d a A ⎰⎰+=22(3a π=-. 51.计算由两条曲线23y x =-与2y x =围成平面图形的面积.解：两条曲线交点为232y x y x⎧=-⎨=⎩，得（-3，-6），（1，2）23233d )23(1323132=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=--⎰x x x x x x A .52.求由曲线2x y =，1=x 及ox 轴围成的区域绕ox 轴旋转一周所产生的旋转体的体积. 解：140x V x dx π=⎰5π=53.求由2x y =，1=x 及x 轴所围成图形分别绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.解：所求的体积140d 5x V x x ππ==⎰.54.求由2x y =，1=x 及x 轴所围成图形绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积. 解：所求的体积1(1)d 2y V y y ππ=-=⎰.55.求由曲线2x y =，1=x 及ox 轴围成的区域绕oy 轴旋转一周所产生的旋转体的体积. 解：10(1)2y V y dy ππ=-=⎰.56.求由曲线2x y =与2y x =围成的区域绕ox 轴旋转一周所产生的旋转体的体积. 解：1403()10x V x x dx ππ=-=⎰. 57.求由曲线2x y =与2y x =围成的区域绕oy 轴旋转一周所产生的旋转体的体积. 解：1403()10y V y y dy ππ=-=⎰.58.求底半径为r ，高为h 的圆锥题体积V . 解： 2201()3hr V x dx r h h ππ==⎰. 59.一立体以抛物线x y 22=与直线2=x 围成区域为底，而用垂直于ox 轴的平面截得的截面都是等边三角形，求该立体体积. 解：20V ==⎰60.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心，并与底面成α角，计算这个平面截下的圆柱体体积. 解： 22312()tan tan 23RR V R x dx R αα-=-=⎰. 61.计算曲线x y ln =从3=x 到8=x 一段的弧长S .解：dx x S ⎰+=83211131ln 22=-. 62.计算曲线)3(31x x y -=从1=x 到3=x 一段的弧长S . 解：dx x xS ⎰+=31)1(2143=. 63.计算曲线dt t t y x ⎰+=022从0=x 到5=x 一段的弧长S . 解：dx x S ⎰+=50)1(352=. 64.计算星形线t a y t a x 33sin ,cos ==的全长. 解：/243sin cos 6S a t tdt a π==⎰.难度系数0.4—0.6：1.1x ⎰．解：11222x ==⎰⎰⎰12212316π==． 2．已知⎰=='=201d )(0)2(21)2(x x f f f ，，，求定积分⎰''102d )2(x x f x ． 解：⎰⎰'-'=''10102102d )2()2(21d )2(x x f x x f x x x f x⎰+-'=1010d )2(21)2(212)2(x x f x xf f ⎰+-=1d )2(2141x x f ．对积分⎰10d )2(x x f ，令t x =2，则21d )(21d )2(2010==⎰⎰t t f x x f ，所以0212141d )2(102=⋅+-=''⎰x x f x ． 3．若22lim 4d xxax x a x e x x a +∞-→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰，求c 值. 解：左式22lim 1xa x a e x a -→∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭． 右式2222(2)d(2)2d x x aax e x x e +∞+∞--=--=-⎰⎰2222222(2d )22d )x x a x aa ax e xe x a e x e +∞+∞+∞----=--=-⎰⎰22222222(d )(221)ax x x aaa exee x a a e +∞+∞----=--=++⎰由，左式=右式，有222(221)xx a a ee --∴++=，得0a =或1a =-．4.求函数203()d 1xtf x t t t =-+⎰在区间[0,1]上的最大值与最小值． 解：23()1xf x x x '=-+，令()0f x '=得0x =在01（，）内无驻点，又(0)0f = 11220033(21)1(1)d d 121t t f t t t t t t -+==-+-+⎰⎰。

A BC S E F 【最新整理，下载后即可编辑】天津一中2011—2012学年第一学期期中高二数学试卷(理科)一、选择题（每题3分，共30分）1．如图是一个几何体的三视图，侧视图与正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为（ ） A ．6B ．12 3C ．24D ．32．已知正方体的外接球的体积为323π，则该正方体的表面积为（ ）A ．433B ．163C ．643D ．323．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（ ）A ．至多只能有一个是直角三角形B ．至多只能有两个是直角三角形C ．可能都是直角三角形D ．必然都是非直角三角形4．对于平面α和直线l ，α内至少有一条直线与直线l （ ） A ．平行 B ． 垂直 C ．异面 D ．相交 5．已知m n ，是两条不同直线,αβγ，，是三个不同平面，正确命题的个数是（ ）①若αγ⊥，βγ⊥，则α//β ②若m α⊥，n α⊥，则m //n ③若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥ ④若m //α，n //α，则m //n ⑤若m //α，m //β，则α//βA ．1B ．2C ．3D ．4 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ） A ． 90° B ．45° C ．60°D ．C AD B F7．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是（ ） A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°8．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．已知平行六面体1111OABC O A B C -，OA a =，OC c =，1OO b =，D 是四边形OABC 的中心，则（ ） A ．1O D a b c =-++ B ．11122O D b a c =--- C ．11122O D a b c =--D ．11122O D a b c =-+10．如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠A ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在（ ）A ．直线AB 上 B ．直线AC 上 C ．直线BC 上D ．△ABC 内部二、填空题（每题4分，共24分）11．Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕AC 边旋转一周所成的几何体的体积为__________．12．在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝8，B ＝30°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，P ′是AB 边上动点，则PP ′的最小值为 ． 13．如右图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是 ．14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为 ．15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于 ． 16．正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都为1，M 为1CC 的中点，则点1B 到截面1A BM 的距离为 ． 三、解答题(共4题，46分)17．如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF//平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD18．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.（1）求证：PB ⊥DM ；（2）求CD 与平面ADMN 所成角的正弦值．19．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12AD（1）求异面直线BF 与DE 所成的角的大A BCD E A 1B 1C 1D 1小；（2）证明平面AMD ⊥平面CDE ； （3）求二面角A-CD-E 的余弦值．20．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．（1）证明：1A C ⊥平面BED ；（2）求二面角1A DE B --的余弦值大小．参考答案： 一、选择题：1．C 2．D 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．C 9．D 10．A二、填空题： 11．485π12．13．13141516．2三、解答题： 17．证明：（1）因为E 、F 分别是AP 、AD 的中点， ,EF PD ∴又,,P D PCD E PCD ∈∉面面 ∴直线EF ‖平面PCD（2）AB=AD,BAD=60,∠ F 是AD 的中点，,BF AD ∴⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ABCD AD,⋂面面＝,BF PAD ∴⊥面 所以，平面BEF ⊥平面PAD 。

2023～2024学年度第一学期期中联考高一数学（答案在最后）本试卷满分150分，考试用时120分钟.一、选择题（共9题，每题5分，满分45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}1A x x =>，{}15B x x =-<<，则A B = （）A.{}15x x -<<B.{}15x x <<C.{}1x x >- D.{}1x x >2.设:0p x >，:13q x <<，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.不等式25240x x +-<的解集是（）A.{8x x <-或}3x > B.{3x x <-或}8x >C.{}38x x -<< D.{}83x x -<<4.已知0.91.213, 1.2,3a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A .a c b<< B.c b a<< C.c<a<b D.b<c<a5.函数2(21)31f x x x +=-+，则(3)f =（）A.1- B.1C.2- D.26.设()f x 为R 上的奇函数，且当0x <时，()31f x x =-，则()()04f f +=（）A.11B.11- C.13D.13-7.已知幂函数()f x x α=的图象过点15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数()(3)()g x x f x =-在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（）A.-1B.-2C.-4D.-88.设(),0,a b ∈+∞，则下面的不等式不正确的是（）A.2b a a b+≥ B.1122a b a b+≥++C.222a b ab +≥ D.22b a a ba b+≥+9.已知函数()32e 1x f x x =-+，则不等式()()212f x f x +->-的解集为（）A .1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.()1,+∞ C.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.(),1-∞二、填空题（共6题，每题5分，满分30分，将答案填写在答案卡上）10.命题p ：01x ∃≥，2000x x -<，则命题p 的否定为______.11.函数()()01x f x x+=的定义域为______.12.已知:13p x -<<，:12q x m -<<+，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_______.13.已知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数=a ______.14.已知0a >，0b >，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为______.15.已知函数()()()()214112x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为______.三、解答题（共5题，满分75分.必要的文字说明，解答过程和演算步骤不能省略）16.（1）计算()1122013342⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）计算7log 23log lg 25lg 47+++.17.已知集合{}2135A x a x a =-≤≤+，{}320B x x =≤≤.（1）当2a =时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）求能使A B A = 成立的a 的取值范围.18.设函数()21f x mx mx =--.（1）若对于一切实数(),0x f x <恒成立，求m 的取值范围；（2）解不等式()()21221f x m x x m <-+--.19.已知函数()321x af x =-+是定义域在R 上的奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性并证明；（3）若对任意的[]1,2t ∈-，不等式()()2220f t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.20.已知函数()f x 的定义域为R ，并且满足下列条件：①()11f -=；②对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+；③当0x >时，()0f x <.（1）证明：()f x 为奇函数.（2）解不等式()()2222f x x f x +-->-.（3）若()255f x m mt ≤--对任意的[]1,1x ∈-，[]1,1t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.2023～2024学年度第一学期期中联考高一数学本试卷满分150分，考试用时120分钟.一、选择题（共9题，每题5分，满分45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}1A x x =>，{}15B x x =-<<，则A B = （）A.{}15x x -<<B.{}15x x <<C.{}1x x >- D.{}1x x >【答案】B 【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为{}1A x x =>，{}15B x x =-<<，则{}15A B x x ⋂=<<.故选：B.2.设:0p x >，:13q x <<，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】因为{}0x x >{}13x x <<，因此，p 是q 的必要不充分条件.故选：B.3.不等式25240x x +-<的解集是（）A.{8x x <-或}3x >B.{3x x <-或}8x >C.{}38x x -<< D.{}83x x -<<【答案】D 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.【详解】因为()()2524380x x x x +-=-⋅+<，所以83x -<<，即不等式25240x x +-<的解集是{}83x x -<<.故选：D.4.已知0.91.213, 1.2,3a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A.a c b <<B.c b a<< C.c<a<bD.b<c<a【答案】D 【解析】【分析】运用介值法及指数函数单调性比较大小即可.【详解】因为01.21b ==，0.90.9133c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，又因为3x y =在R 上单调递增，1.20.90>>，所以 1.20.903331>>=，即a c b >>.故选：D.5.函数2(21)31f x x x +=-+，则(3)f =（）A.1- B.1C.2- D.2【答案】A 【解析】【分析】由解析式代入计算函数值即可.【详解】设213x +=，得1x =，则(3)1311f =-+=-.故选：A.6.设()f x 为R 上的奇函数，且当0x <时，()31f x x =-，则()()04f f +=（）A.11B.11- C.13D.13-【答案】C 【解析】【分析】由()f x 为R 上的奇函数可得()00f =，()()44f f =--，代入计算即可求解.【详解】因为()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，()()44f f =--，又当0x <时，()31f x x =-，所以()()()4443113f f =--=--⨯-=，所以()()0401313f f +=+=.故选：C.7.已知幂函数()f x x α=的图象过点15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数()(3)()g x x f x =-在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（）A.-1B.-2C.-4D.-8【答案】D 【解析】【分析】先求出幂函数的解析式，从而得出()g x 的表达式，然后再求()g x 的最小值.【详解】因为幂函数()f x x α=的图像过点15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以155α=，得1α=-，所以1()f x x =，则3()(3)()1g x x f x x =-=-显然在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以所求最小值为11983g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.故选：D8.设(),0,a b ∈+∞，则下面的不等式不正确的是（）A.2b a a b+≥ B.1122a b a b+≥++C.222a b ab +≥ D.22b a a ba b+≥+【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的性质以及基本不等式，结合特例法逐项判定，即可求解.【详解】对于A ，(),0,a b ∈+∞，由2b a a b +≥=，当且仅当a b =时，等号成立，正确；对于B ，取1a b ==，1121122213a b a b+=+=<+=+=+，不正确；对于C ，由222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，正确；对于D ，由不等式33222()()0a b a b ab a b a b +--=+-≥，可得3322a b a b ab +≥+，当且仅当a b =时，等号成立，两边同除ab ，可得22b a a b a b+≥+成立，正确；故选：B9.已知函数()32e 1xf x x =-+，则不等式()()212f x f x +->-的解集为（）A.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.()1,+∞ C.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.(),1-∞【答案】A 【解析】【分析】由题意可得()()2f x f x -+=-，问题转化为()()21f x f x ->-，再判断函数()f x 的单调性，利用单调性求解即可得解.【详解】()32e 1x f x x =-+ ，()()33222e 1e 1x xf x x x -∴-=--=-+-++，()()2f x f x ∴-+=-，所以不等式()()212f x f x +->-可转化为()()21f x f x ->-，又3y x =在R 上单调递增，e x y =在R 上单调递增，进而2e 1xy =-+在R 上单调递增，所以函数()f x 在R 上单调递增，21x x ∴->-，解得13x >，所以原不等式的解集为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：A.二、填空题（共6题，每题5分，满分30分，将答案填写在答案卡上）10.命题p ：01x ∃≥，2000x x -<，则命题p 的否定为______.【答案】1x ∀≥，20x x -≥，【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知：命题p ：01x ∃≥，2000x x -<的否定为1x ∀≥，20x x -≥.故答案为：1x ∀≥，20x x -≥11.函数()()01x f x x+=的定义域为______.【答案】()(]1,00,2- 【解析】【分析】根据解析式有意义列不等式组求解可得.【详解】由题可知220100x x x x ⎧-++≥⎪+≠⎨⎪≠⎩，解得12x -<≤且0x ≠，所以()f x 的定义域为()(]1,00,2- .故答案为：()(]1,00,2- 12.已知:13p x -<<，:12q x m -<<+，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_______.【答案】()1,+∞【解析】【分析】由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】因为p 是q 的充分不必要条件，则{}13x x -<<{}12x x m -<<+，所以，23m +>，解得1m >.因此，实数m 的取值范围是()1,+∞.故答案为：()1,+∞.13.已知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数=a ______.【答案】1-或2.【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系，分类讨论求出最大值且等于2，解关于a 的方程，即可求解.【详解】函数()22221()1f x x ax a x a a a =-++-=--+-+，对称轴方程为为x a =；当0a ≤时，max ()(0)12,1f x f a a ==-==-；当2max 01,()()12a f x f a a a <<==-+=，即21510,2a a a +--==（舍去），或152a =（舍去）；当1a ≥时，max ()(1)2f x f a ===，综上1a =-或2a =.故答案为:1-或2.【点睛】本题考查二次函数的图像与最值，考查分类讨论思想，属于中档题.14.已知0a >，0b >，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为______.【答案】4【解析】【分析】根据题意，将原式化为2822a b a b+++，再由基本不等式，即可得到结果.【详解】因为0a >，0b >，且1ab =，所以1188284222222ab ab a b a b a b a b a b a b +++=++=+≥==+++，当且仅当2822a b a b +=+时，即212a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩或212a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩时，等号成立，所以11822a b a b+++的最小值为4.故答案为：415.已知函数()()()()214112x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】21,112⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据分段函数的单调性列式求解.【详解】对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 在R 上为减函数，可得21002142a a aa a ⎧⎪-<⎪>⎨⎪⎪-+≥⎩，解得21112a ≤<，所以实数a 的取值范围为21,112⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：21,112⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题（共5题，满分75分.必要的文字说明，解答过程和演算步骤不能省略）16.（1）计算()1122013342⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）计算7log 23log lg 25lg 47+++.【答案】（1）52-.（2）112.【解析】【分析】（1）利用实数指数幂的运算性质计算即可；（2）利用对数的运算性质计算即可.【详解】（1）原式11232221315221412222⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⨯+=-+=-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）原式()32333311log 32lg 52lg 222lg 5lg 222lg102222222=+++=+++=++=++=.17.已知集合{}2135A x a x a =-≤≤+，{}320B x x =≤≤.（1）当2a =时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）求能使A B A = 成立的a 的取值范围.【答案】（1）{}311A B x x ⋂=≤≤，{}320A B x x ⋃=≤≤.（2）6a <-或25a ≤≤.【解析】【分析】（1）利用交集、并集运算求解即可；（2）由A B A = 得A B ⊆，分类讨论列不等式组求解即可.【小问1详解】当2a =时，{}311A x x =≤≤，又{}320B x x =≤≤，所以{}311A B x x ⋂=≤≤，{}320A B x x ⋃=≤≤.【小问2详解】因为A B A = ，所以A B ⊆，又集合{}2135A x a x a =-≤≤+，{}320B x x =≤≤，当A =∅时，2135a a ->+，即6a <-，这时A B ⊆.当A ≠∅时，有21352133520a a a a -≤+⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，解得25a ≤≤.综上，实数a 的取值范围为6a <-或25a ≤≤.18.设函数()21f x mx mx =--.（1）若对于一切实数(),0x f x <恒成立，求m 的取值范围；（2）解不等式()()21221f x m x x m <-+--.【答案】18.(]4,0-19.答案见解析.【解析】【分析】（1）分成二次项系数为0和不为0两种情况，当二次项系数不为0时满足开口向下且Δ0<；（2）因式分解后对参数m 分类讨论即可.【小问1详解】①若0m =，此时10-<恒成立；②若0m ≠，要使得210mx mx --<恒成立，则2Δ40m m m <⎧⎨=+<⎩，解得40m -<<，所以(]4,0m ∈-；【小问2详解】()2211221mx mx m x x m --<-+--，即()2220x m x m -++<，即()()20x x m --<，若m>2，则解集为()2,m ；若2m =，此时不等式无解；若2m <，则解集为()m,219.已知函数()321x af x =-+是定义域在R 上的奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性并证明；（3）若对任意的[]1,2t ∈-，不等式()()2220f t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）6（2）()f x 在(),-∞+∞上是增函数，证明见解析（3）()6,+∞【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性得(0)302af =-=，解得a 的值；最后代入验证；（2）根据指数函数的单调性可直接下结论，然后利用单调性的定义证明；（3）根据函数奇偶性与单调性将不等式化简为222k t t >+-对于[1,2]t ∈-恒成立，再根据恒成立转化为对应函数最值问题，最后根据函数最值得结果.【小问1详解】函数()321xaf x =-+是定义域在R 上的奇函数，由(0)302a f =-=，得6a =，即有()()321632121x x x f x -=-=++，下面检验：()()()()()()32132123122121212x xxx xx xxf x fx ------⋅--====-+++⋅，且定义域为R 关于原点对称，所以()f x 为奇函数，故符合；【小问2详解】()f x 在(),-∞+∞上是增函数.证明如下：设任意12x x <，()()()()()12121212622663321212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，由于12x x <，则12022x x <<，即有()()()121262202121x x x x -<++，则有()()12f x f x <，故()f x 在(),-∞+∞上是增函数；【小问3详解】因为对任意的[]1,2t ∈-，不等式()()2220f t f t k -+-<恒成立，所以2(2)(2)f t f t k -<--对于[]1,2t ∈-恒成立，因为()f x 是定义域在R 上的奇函数，所以2(2)(2)f t f k t -<-对于[]1,2t ∈-恒成立，又()f x 在R 上是增函数，所以222t k t -<-，即222k t t >+-对于[1,2]t ∈-恒成立，而函数()222g t t t =+-在[]1,2-上的最大值为()26g =，所以6k >，所以实数k 的取值范围为()6,+∞.20.已知函数()f x 的定义域为R ，并且满足下列条件：①()11f -=；②对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+；③当0x >时，()0f x <.（1）证明：()f x 为奇函数.（2）解不等式()()2222f x x f x +-->-.（3）若()255f x m mt ≤--对任意的[]1,1x ∈-，[]1,1t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）()4,1-（3）(][),66,-∞-⋃+∞【解析】【分析】（1）用赋值法先求出()0f ，再令y x =-即可得证；（2）先证明函数在R 上是减函数，再求得()22f =-，最后将不等式()()2222f x x f x +-->-转化为2340x x +-<求解即可；（3）将题意转化为2560m mt -->，[]1,1t ∈-恒成立即可.【小问1详解】由题意函数()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称，令0x y ==，则(00)(0)(0)2(0)f f f f +=+=，故(0)0f =.令y x =-，则()()()0f x x f x f x -=+-=，故()()f x f x -=-.故()f x 为奇函数.【小问2详解】任取12,R x x ∈，且12x x >.由题意120x x ->，()120f x x -<，()()()()1121122f x f x x x f x x f x =-+=-+，故()()()12120f x f x f x x -=-<，即()()12f x f x <，又12x x >，故()f x 在R 上为减函数.因为()11f -=，所以()11f =-，()()211112f f =+=--=-，故()()2222f x x f x +-->-即()()()2222f x x f x f ++->，即2222x x x ++-<，化简可得2340x x +-<，解得()4,1x ∈-.【小问3详解】由（2）知()f x 在[]1,1-上为减函数，故()f x 在[]1,1-上最大值为()11f -=.要使()255f x m mt ≤--对任意的[]1,1x ∈-，[]1,1t ∈-恒成立，则2551m mt --≥，即2560mt m -+-≥对任意[]1,1t ∈-恒成立.又256y mt m =-+-是关于t 的一次函数，故只需()2251605160m m m m ⎧-⨯-+-≥⎨-⨯+-≥⎩，即()()()()160610m m m m ⎧-+≥⎪⎨-+≥⎪⎩，解得(][),66,m ∈-∞-+∞ .。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津）卷数学（理科）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．i 是虚数单位，复数73ii-=+( ) （A ）2i + （B ）2i - （C ）2i -+ （D ）2i --2．设R ϕ∈，则“0ϕ=”是“()()()cos f x x x R ϕ=+∈为偶函数”的 ( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分与不必要条件 3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为25-，则输出x 的值为( ) （A ）1- （B ）1 （C ）3 （D ）94．函数()322xf x x =+-在区间()0,1内的零点个数是( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 5．在()5212x x--的二项展开式中，x 的系数为（ ）（A ）10 （B ）10- （C ）40 （D ）40-6．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是c b a ,,，已知85b c =，2C B =，则co s C = ( ) （A ）725 （B ）725- （C ）725± （D ）24257．已知正ABC ∆中，2AB =，设点,P Q 满足AB AP λ=，()()1AQ AC R λλ=-∈，若32BQ CP ⋅=-，则λ= ( ) （A ）21 （B ）221± （C ）2101± （D ）2223±- 8．设R n m ∈,，若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切，则m n +的取值范围是( ) （A ）1⎡-⎣ （B ）(),113,⎡-∞++∞⎣（C ）22⎡-+⎣ （D ）(),2222,⎡-∞-++∞⎣二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．某地区有小学150所，中学75所，大学25所。

天津科技大学《高等数学》(一)检测题8-1答案一、填空题1. c b a 6142+-；2. )2,1,2(31-±；3. 3232313--，，，；4. 22；5.2020z y +，0z ； 6. )1,0,0(；7. )1(43222-=-+z z y x .二、选择题1.（B ）；2. (C)；3.（C ）.三、解答题1．解：c b-=-=+=，)2(31)(3131c b c b c +=-+=+=+=，)2(31)(3232c b c b c +=-+=+=+=.2. 解：由++=，++=，得)(21+=，而)1,2,4()3,6,0(-=--=、，于是)1,4,2(--=. 或由中点坐标公式，得N M 、点坐标为)2/5,5,1(M 、)2/3,1,3(N 于是)1,4,2(--=.3. 解：由49)3()2(62222=-+-+=AB ，49)6(3)2(2222=-++-=AC ， 98)3(5)8(2222=-++-=BC ，有AC AB =及222BC AC AB =+，所以，三角形ABC 是等腰直角三角形.天津科技大学《高等数学》(一)检测题8-2答案一、填空题1. 2， )13,4,7(--；2. 2，212arccos ；3. )2,1,1(-k （k 是任何实数）；4. 3.二、选择题1.（A ）；2.（B ）；3.（C ）；4. (D) .三、解答题1．解：22253)3()2(n n m m n m n m b a -⋅+=-⋅+=⋅08532cos 5322=-+=-⋅+=nn m mθ.2. 解：8=⋅b a ，8=⋅c a，于是k j b c b c a c b a 248)(8)()(--=-=⋅-⋅；k j kj i c a b a+=--=-⨯-=-⨯+111443)1,11()443()()(，，，；k j i kj i b a+--=--=⨯58311132， 2)(=⋅⨯c b a. 3. 解：(2=u +a +b ()⋅c +a +b )c14)(2222=⋅+⋅+⋅+++=c b c a b a c b a ，所以14=u.=⋅⋅=u a u a θcos 14141411===⋅⋅+⋅+⋅u u a c a b a a a. 4．)301(-=，，，)021(，，=A ，)236(021301，，-=-=⨯kj i，==S 27.天津科技大学《高等数学》(一)检测题8-3答案一、填空题1. 6)2()1()1(222=-+++-z y x ； 2. 2222)1(x z y +=+，221z x y ++=； 3. 122=-z x ，z ，单叶旋转双曲面； 4. 圆锥面； 5. 椭圆，椭圆柱面； 6.2x z =，抛物柱面.二、选择题1.（B ）；2.（B ）；3.（C ）；4. (D) .三、解答题1．解：配方得 14)3()2()1(222+=-+++-a z y x ， 当14->a 时，是球心在)3,2,1(0-M ，半径14+=a R 的球面；当14-=a 时，是一点)3,2,1(0-M ；当14-<a 时，不表示任何图形. 2. 解：将方程改写为2222)(y z x =+±，由此可见，它是由xOy 平面是直线x y ±=，或由yOz 平面是直线z y ±=绕y 轴旋转形成. 它是圆锥面，其特点是顶点在原点，半顶角为4/π，y 轴是中心轴，开口向y 轴两侧. 3. 解：（1） （2）天津科技大学《高等数学》(一)检测题8-4答案一、填空题1. 圆；2. 16322=-z y ； 3.⎩⎨⎧=-；022y x ,12=z4. ,cos 3θ=x ,sin 3θ=y θsin 3=z （πθ20<≤）；5. 0=-y x ；6. 62=+-z y x ；7. 0==C B ，0≠A .二、选择题1.（C ）；2.（C ）；3.（D ）.三、解答题1．解： 取法向量)4,3,1()2,3,1()12,2(3121=-⨯--=⨯=M M M M n， 平面方程为0)2(4)0(3)1(=-+-+-z y x ，即943=++z y x . 2. 解：取法向量)0,1,1(2)1,1,1()11,1(1-=⨯-=⨯=n n， 平面方程为0)1(0)1()1(=-+---z y x ，即0=-y x .3. 解：由平面过y 轴，于是设所求平面方程为0=+Cz Ax ，再由平面到B A 、两点的距离相等，有222232C A A C A C A +-=++，即132=+AC，得C A -=或C A 3-=，代入0=+Cz Ax 得所求平面方程为0=-z x 或03=-z x .4．解：设所求平面方程为132=++az a y a x ，由到原点的距离是6，有 2223121116⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a ，即766a=，得7±=a ， 代入方程132=++aza y a x 并化简，得所求平面为42236±=++z y x .天津科技大学《高等数学》(一)检测题8-5答案一、填空题1. )5,3,1(--；2. 42132zy x =-+=-； 3. z y x ==； 4.232211-=--=-z y x ； 5. 0. 二、选择题1.（D ）；2.（D ）；3.（B ）.三、解答题1．解：取)1,1,3()1,2,1()2,1,1(21-=-⨯-=⨯=n n s，所求直线方程为111231-=--=+z y x . 2. 解：在直线上取一点)0,3,4(0-M ，并取所求平面的法向量为)22,9,8()2,4,1()1,2,5(0--=-⨯=⨯=MM s n，所求平面方程为0)2(22)1(9)3(8=+----z y x ，即592298=--z y x . 3. 解：设所求平面方程为012=+--+z z y x λ，将点M 代入有03=-λ，得3=λ，于是所求方程为122=++z y x .4．解：设所求直线方程为pz n y m x 321-=-=-，由与已知直线垂直，有0=++p n m ①；又设与z 轴交点为),0,0(0z ，有pz n m 3210-=-=-②，由①、②两式得m p m n 32-==、，所求直线方程是332211--=-=-z y x . 5．解：过点M 作平面垂直于所给直线，方程为0)2(2)1(=--+y x ，将直线改写为参数方程0221=--=+=z t y t x ，，并代入平面方程，有0510=+t ，得2-=t ，投影点为)0,2,1(0-M ，所以30==MM d .天津科技大学《高等数学》(一)检测题9-1答案一、填空题1．u u 22+，1-+y x ； 2．}0,1),{(22≥<+x y x y x ；3．{}x y y x ±=),(.二、选择题1．（B ）； 2．（C ）； 3．（D ）；三、解答题1．解：令y x u +=，x y v =.则v u x +=1，vuvy +=1.于是 vv u v uv v u y x x y y x f v u f +-=+-+=-=+=1)1()1()1(),(),(22222.所以yy x y x f +-=1)1(),(2.2．解：))((2)()(),(44ty tx ty tx ty tx f -+=2t =).,()2(244y x f t xy y x =-+3．解：由⎩⎨⎧≥->--,0)(,0122x y x y x 有⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥<+；，，00122x y x y x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤<+.00122x y x y x ，，得⎩⎨⎧≥≥<+；0,122x y y x 或⎩⎨⎧≤≤<+.0,122x y y x于是，定义域为：)0,1(),{(22≥≥<+=x y y x y x D 或)}0,1(22≥≥<+x y y x .天津科技大学《高等数学》(一)检测题9-2答案一、填空题1．)1(22xy x y -； 2．z 2或yx 2； 3．1； 4．3.二、选择题1．（A ）； 2．（C ）；三、解答题1．解：；y x x z y e 2=∂∂ .)1(e )e e (2222yy x y y x y z y y y -=-⋅=∂∂ 2．解：x y x x y x y xx y x y x x y x x z cos sin 21)(cos sin 212-=-⋅+=∂∂； .cos 1)1(cos x y xx x y x y z =⋅=∂∂ 3．证明：由)ln(2122y x z +=，有2222)(22y x x y x x x z +=+=∂∂， 由变量y x ，的对称性，得22y x y y z +=∂∂，于是1=∂∂+∂∂yz y x z x . 4．证明：由于)2sin(21)21)](2sin()[2cos(2t x t x t x t z -=----=∂∂, )2cos(2122t x tz --=∂∂； )2c o s (22t x x t zt x z -=∂∂∂=∂∂∂. 所以, 0)2cos()2cos(2222=-+--=∂∂∂+∂∂t x t x t x ztz . 天津科技大学《高等数学》(一)检测题9-3答案一、填空题1．119.0-,125.0-；2．y yx x y y d )11(d )1(2-++；3．)1ln 2(sec 2++t t t ； 二、选择题1．（B ）； 2．（A ）；三、解答题1. 解：由 y y xyx y x y y y x y x x z 2csc2cossin 11tan sec 2==⋅=∂∂,22222c s c2c o ss i n )(t a n s e cy y xx yx y x y x y x y x y x y z -=-=-⋅=∂∂. 得)d d (2csc 2d 2csc 2d 2csc 2d 22y x x y y xyy y x y x x y x y z -=-=. 2. 解：2222212222)d 2d 2()(d )(d d 21yx y y x x y x y y y x yx y z ++⋅+⋅-+=+=-)d d ()(2/322y x x y y x x-+-=. 3. 解：由)ln(2122y x z u +=，有2222)(22y x xz y x x z x u +=+⋅=∂∂， 由变量y x ,的对称性,得22y x yz y u +=∂∂；又22ln y x zu +=∂∂. 所以，.d ln d d d 222222z y x y yx yz x y x xz u +++++=天津科技大学《高等数学》(一)检测题9-4答案一、填空题1．21e2f x f y xy'+'-； 2．31cos 12f yxy f x '+'； 3．2e -； 4．z x z+；)(2z x y z +； .二、选择题 1．（B ）； 2．（A ）； 3．（C ）. 三、解答题1．解：.222121f x f y x f y f xz'+'=⋅'+⋅'=∂∂ )2(22)2(22212121122f x f y x f f x f y y xz''+''+'+''+''=∂∂222212112244f f x f xy f y '+''+''+''=. =∂∂∂yx z2)2(2)2(222112111f y f x x f y f x y f ''-''+''-''+' 1221222114)(2f f xy f y x f xy '+''-''-+''=. 2．解：方程两边对y 求导，有)(12xz yxyzxyzyx+∂∂=+∂∂， 即xz y x yz xyz y x xyz+∂∂=+∂∂2. 解得.2yzxyz xyz xz y x --=∂∂ 3．解：方程0),(=++xzy y z x F 两边对x ，y 求导，有 0)11(221=-∂∂⋅'+∂∂+⋅'x zx zxF x z y F . （1） 0)11(221=∂∂+⋅'+-∂∂⋅'yz x F y zyz yF . （2） （1），（2）移项并相比，有yz x x z x zx y z yzy xzy ∂∂+-∂∂=-∂∂∂∂+11/)(/)(1122，化简得.xy z yz y x z x-=∂∂+∂∂天津科技大学《高等数学》(一)检测题9-5答案一、填空题1．314211-=-+=-z y x ；2．122=--z y x ； 3．101-； 4．⎪⎭⎫⎝⎛5354，. 二、选择题 1．(D)； 2．（C ）. 三、解答题1．解：以x 为参数，于是1)(24)(2-='='x z z x y y ，，在点)1,2,1(-M 处，2/1)1(1)1(='='z y ，. 取切线方向向量)1,2,2())1()1(1(2=''=z y T ，，，切线方程为：112221+=-=-z y x ； 法平面方程为：0)1()2(2)1(2=++-+-z y x ，即522=++z y x .2．解：设切点为),,(000z y x M ，442),,(222-++=z y x z y x F ， 取法向量),4,2()2,8,4(21),,(21000000z y x z y x F F F n M z y x =='''=， 由切平面与已知平面平行，有12422000z y x ==，即000022y z y x ==，， 代入椭球面方程，得2/10±=y ，100±==z x ，切平面方程为：0)1()2/1(2)1(2=±+±+±z y x ，即0422=±++z y x .3．解：设所求点为),,(000z y x M ，则法向量)1,,()1,,(00-=-''=x y z z nM y x，根据已知，有113100-==x y ，得31300000==-=-=y x z y x ，，， 切平面方程为：0)3()1(3)3(=-++++z y x ，即033=+++z y x ； 法线方程为：133113-=+=+z y x . 4．解：设曲面上任意一点为),,(000z y x M ，1),,(-=xyz z y x F ，则法向量),,(),,(000000y x z x z y F F F n Mz y x ='''=，于是切平面方程为：0)()()(000000000=-+-+-z z y x y y z x x x z y ， 化为截距式方程为：1333000=++z z y y x x ， 四面体体积292933361000000==⋅⋅⋅=z y x z y x V ， 所以，曲面1=xyz 上任一点处的切平面与三个坐标面围成的四面体体积为定值2/9.天津科技大学《高等数学》(一)检测题9-6答案一、填空题1．)2,2(-，8； 2．)1,1(-，0； 3．41)21,21(=z ； 二、选择题1．(A)； 2．（C ） 3．(C)； 4．(B)； 5．(D).三、解答题1．解：设两直角边分别为x 、y ，三角形面积为A ，则xy A 21=，条件222l y x =+. 设(),(λ+=xy y x L )222l y x -+，)0(l y x <<，，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+='=+=',,02,02222l y x y x L x y L y xλλ 得惟一可疑点2l y x ==，由实际意义，斜边一定时直角三角形面积为A 有最大值，于是在斜边长为l 的直角三角形中，以等边直角三角形面积最大，最大面积为42maxl A =. 2．解：设水箱的长、宽、高分别为z y x ,,.则表面积z y x xy A )(2++=， )0,0,0(>>>z y x .约束条件为V xyz =.设)()(2),,(V xyz z y x xy z y x L -+++=λ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++='=++='=++=',,0)(2,02,02V xyz xy y x L xz z x L yz z y L z yxλλλ 得惟一可疑点32V y x==，3212V z =. 由实际意义，体积一定时，长方体表面积A 有最小值. 所以，当水箱的长、宽都为32V ，高为3212V时，最省材料.天津科技大学《高等数学》(一)检测题10-1答案一、填空题1．2； 2．3π； 3．y x ，，⎰⎰211d d y yx xy y ．二、选择题 1．（D ）； 2．（A ）； 3．（C ）． 三、解答题1．证：设 143),(22-+=y x y x f ，由⎩⎨⎧=='==',08),(,06),(y y x f x y x f yx在区域D 内得驻点)0,0(O ，1)0,0(-=f .又在D 的边界上，212212]143[),(2222y y x y x f y x y x +=-+==+=+，（11≤≤-y ）于是，在D 的边界上，),(y x f 的最小值21=m ，最大值31=M ． 在D 上，),(y x f 的最小值1-=m ，最大值3=M ，D 的面积πσ=． (或者：222213414()13x y x y -≤+-≤+-≤) 所以，⎰⎰≤-+≤-Dy x y xππ3d d )143(22．2．证：设22arctan()(,)x y f x y x y+=+，则(,)f x y 除原点之外连续. 由二重积分的中值定理，知2222arctan()arctan()d 1nD x y x y ξησξη++=⋅++⎰⎰ 又221lim0n ξη→∞=+，arctan()2πξη+<有界，故22arctan()lim d 0nn D x y x y σ→∞+=+⎰⎰. 3. 解：(1) 先对y 再对x：120d (,)d x I x f x y y -=⎰⎰；先对x 再对y ：212201d (,)d d (,)d y y I y f x y x y f x y x -=+⎰⎰⎰⎰.(2) 先对y 再对x ：110110d (,)d d (,)d d (,)d x xxI x f x y y x f x y y x f x y y ---==+⎰⎰⎰⎰⎰；先对x 再对y：101d (,)d (,)d y yI y f x y x y f x y x -=+⎰⎰⎰⎰.天津科技大学《高等数学》(一)检测题10-2答案一、填空题1．⎰⎰⎰⎰+2112102d ),(d d ),(d x x x y y x f x y y x f x ； 2．⎰⎰--1)1(212d ),(d y yx y x f y ；3．⎰⎰2cos 20d )(d πθρρρθa f 。

2023-2024学年天津市高二数学下学期期中考试卷试卷共120分，考试用时100分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．曲线1y x x=-在2x =处的切线斜率为（）A ．－3B ．34C ．54D ．52．用0~6这7个自然数，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（）A ．60B ．90C ．180D ．2103．函数ln xy x=的单调递增区间为（）A ．(),e -∞B ．()0,e C ．()1,+∞D ．()e,+∞4．()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．30B ．10C ．30-D ．10-5．已知函数()y f x =，其导函数()y f x ='的图象如图所示，则对于()y f x =的描述正确的是（）A ．在区间(),0∞-上单调递减B ．当0x =时取得最大值C ．在区间()3,∞+上单调递减D ．当1x =时取得最小值6．甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种7．已知函数()32113f x x x ax =+-+在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞8．函数()()sin 1cos f x x x x =-+在区间[]0,2π上的最大值为（）A ．－1B ．1C ．π1+D ．π2+9．若对任意的()12,,x x m ∈+∞，不等式122112ln ln 2x x x x x x ->-恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．31,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()3e ,+∞D ．)3e ,⎡+∞⎣第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．10．设函数()21e xf x -=，()f x '为其导函数，则()1f '=．11．765765A 6A 6A --=．12．在1，2，3，L ，500中，被5除余3的数共有个．13．在6⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数为；14．如图，现要用4种不同的颜色对4个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有种不同的着色方法．（用数字作答）15．已知函数()()()()22f x x a x a =--∈R ，当2x =时，()f x 有极大值，则a 的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知函数3()12f x x x =-．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求函数()f x 的极值．17．班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛．(1)每个小组有多少种选法?(2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法?(3)如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法？18．已知函数()()()256ln f x a x x a =-+∈R ，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6．(1)求a 的值；(2)求()f x 在区间[]1,3上的最小值．19．已知函数()ln af x x x=+，a ∈R ．(1)若()f x 在点()()1,1f 处取得极值．①求a 的值；②证明：()1f x ≥；(2)求()f x 的单调区间．20．已知函数()e x f x x x a =--，()22g x x x =-，a ∈R ．(1)求函数()y f x =-的导数；(2)若对任意的[]11,e x ∈，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥成立，求a 的取值范围；(3)设函数()()ln h x f x x =-，若在区间()0,e 上存在零点，求a 的最小值．1．C【分析】先求导数，利用导数的几何意义可得答案.【详解】211'=+y x ，当2x =时，54y '=，所以曲线1y x x =-在2x =处的切线斜率为54.故选：C 2．C【分析】借助分步乘法计数原理计算即可得.【详解】百位上有1~6共6种选择，十位、个位共有6530⨯=种选择，故共有630180⨯=个.故选：C.3．B【分析】先求导数，利用导数大于零可得增区间.【详解】定义域为()0,∞+，21ln xy x-'=，令0'>y 得ln 1x <，即0e x <<，增区间为()0,e .故选：B4．D【解析】利用乘法分配律以及二项式展开式的通项公式，求得展开式中33x y 的系数.【详解】()5x y -的展开式中32x y ，23x y 的系数分别为25C ，35C -所以()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为2355210C C -=-.故选：D ．【点睛】本小题主要考查二项式展开式通项公式的运用，属于基础题.5．C【分析】根据导数图象与函数图象的关系可得答案.【详解】由图可知，0x <时，()0f x ¢>，()f x 为增函数；01x <<时，()0f x '<，()f x 为减函数；当0x =时，()f x 有极大值，不一定为最大值；13x <<时，()0f x ¢>，()f x 为增函数；当1x =时，()f x 有极小值，不一定为最小值；3x >时，()0f x '<，()f x 为减函数；综上可得只有C 正确.故选：C 6．B【分析】借助分步乘法计数原理计算即可得.【详解】相同的那一本有5种可能选法，不同的一本有4312⨯=种可能选法，故共有51260⨯=种选法.故选：B.7．A【分析】由题设可得()0f x '≥在R 上恒成立，结合判别式的符号可求实数a 的取值范围.【详解】因为函数()32113f x x x ax =+-+，则()22f x x x a =+-'，因为()f x 在R 上为单调递增函数，故()0f x '≥在R 上恒成立，所以440a ∆=+≤，即1a ≤-，故选：A.8．C【分析】借助导数可求得函数的单调性，即可得其最大值.【详解】()()()cos cos 1sin 1sin f x x x x x x x '=-++=+,则当()0,πx ∈时，()0f x ¢>，当()π,2πx ∈时，()0f x '<，故()f x 在()0,π上单调递增，在()π,2π上单调递减，故()()()πsin ππ1cos ππ1f x f ≤=-+=+.故选：C.9．D【分析】首先不等式通过变形，再构造函数()ln 2x f x x-=，转化为利用导数判断函数的单调区间，即可求参数的取值范围.【详解】设12x x m >>，不等式122112ln ln 2x x x x x x ->-，变形为2121ln 2ln 2x x x x -->，设函数()ln 2x f x x-=，则函数()f x 在区间(),m ∞+单调递减，由()23ln 0xf x x'-==，得3e x =，当()30,e x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()3e ,x ∞∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以3e m ≥.故选：D 10．2e【分析】首先求函数的导数，再求导数值.【详解】由()21e x f x -=可知，()212e x f x -'=，所以()12e f '=.故答案为：2e 11．0【分析】借助排列数的计算公式计算即可得.【详解】765666765666A 6A 6A 7A 6A A 0--=--=.故答案为：0.12．100【分析】构造出等差数列52n a n =-，求项数即可.【详解】被5除余3的数是()51352,n n n *-+=-∈N ，则其是首项为3，公差为5的等差数列通项公式，则52n a n =-，10051002498500a =⨯-=< ，10151012503500a =⨯-=>，且该数列为递增数列，∴在1500-个数字中，有100个数被5除余3，故答案为：100.13．192-【分析】先求出二项展开式的通项公式，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求出展开式中2x 项的系数.【详解】由二项展开式的通项公式得()6116322166C 2C 21rrr r r r r r T x x x ----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中令32r -=，即1r =，故展开式中2x 的系数为()1156C 21192-=-.故答案为：192-.14．48【分析】按照分步计数原理，即可求解.【详解】按照分步计数原理，第1块有4种方法，第2块有3种方法，第3块有2种，第4块有2种方法，所以共有432248⨯⨯⨯=种涂色方法.故答案为：4815．2a >【分析】先求导数，结合极大值情况可求范围.【详解】()()()()()()22222322f x x x a x x x a '=-+--=---，令()0f x '=，得2x =或223a x +=，且()f x '是开口向上的二次函数，因为当2x =时，()f x 有极大值，所以2223a +>，解得2a >.故答案为：2a >16．(1)单调增区间为(,2)-∞-和(2,)+∞，单调减区间为(2,2)-(2)极大值16，极小值16-【分析】（1）对()f x 求导，利用导数与单调性的关系即可求解；（2）根据函数的单调性，求出函数的极值即可.【详解】（1）函数()f x 的定义域为R ，导函数2()312f x x '=-，令()0f x '=，解得2x =±，则()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(,2)-∞-2-(2,2)-2(2,)+∞()f x '+0-0+()f x取极大值取极小值故函数()f x 的单调增区间为(,2)-∞-和(2,)+∞，单调减区间为(2,2)-;（2）由小问1知，当2x =-时，函数()f x 取得极大值16;当2x =时，函数()f x 取得极小值16-．17．(1)495(2)1980(3)11880【分析】（1）从12名学生中任选4名即可，（2）先从12名学生中选4名，然后再从这4名学生中选1人，再利用分步乘法原理可求得结果，（3）先从12名学生中选4名，然后对这4名学生进行全排列即可【详解】（1）由题意可得每个小组有41212111094954321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种选法，（2）由题意可得先从12名学生中选4名，然后再从这4名学生中选1人，所以由分步乘法原理可得共有4112412111094495419804321C C ⨯⨯⨯=⨯=⨯=⨯⨯⨯种选法，（3）由题意可得先从12名学生中选4名，然后对这4名学生进行全排列，所以由分步乘法原理可得共有4412449543211880C A =⨯⨯⨯=种选法18．(1)12a =(2)8【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）借助导数可得函数的单调性，即可得函数的最值.【详解】（1）因为()()256ln f x a x x =-+，所以()()625f x a x x'=-+，令1x =，则()116f a =，()168f a '=-，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为：()()16681y a a x -=--，由点()0,6在切线上，可得61686a a -=-，解得12a =；（2）由（1）得()()()2156ln 02=-+>f x x x x ，所以()()()2365x x f x x x x--'=-+=，令()0f x '=，解得12x =，23x =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示：x()1,22()2,3()f x '＋－()f x 单调递增单调递减又由于()18f =，()326ln38f =+>，所以，当1x =时，()f x 取得最小值8.19．(1)①1；②证明见解析；(2)答案见解析.【分析】（1）①先由()f x 在点()()1,1f 处取得极值，求出参数a 的值；②经分析函数()1ln f x x x=+在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增，即1x =时，()f x 取得最小值，即可得证；（2）分0a ≤和0a >两种情况讨论函数的单调区间即可.【详解】（1）①由于函数()ln a f x x x =+，得()221a x af x x x x-'=-+=，因为()f x 在点()()1,1f 处取得极值，所以()11101af a -'==-=,所以1a =，经检验()1ln f x x x =+的导函数()21x f x x-'=在区间(0,1)上小于0，在区间(1,)+∞上大于0，故()f x 在点()()1,1f 处取得极小值．②由①得，()1ln f x x x =+，()21x f x x-'=．令()0f x '=，解得1x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x ()0,11()1,+∞()f x '－＋()f x 单调递减1单调递增所以，当1x =时，()f x 取得最小值．所以()()11f x f ≥=，即()1f x ≥．（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()221a x af x x x x-'=-+=，当0a ≤时，()0f x ¢>恒成立，所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当0a >时，令()0f x '=解得x a =，()0f x ¢>的解集为{}x x a >，()0f x '<的解集为{}0x x a <<，所以()f x 的单调递增区间为(),a +∞，单调递减区间为()0,a 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(),a +∞，单调递减区间为()0,a .20．(1)e e 1x x y x --'=-++；(2)(],e 1-∞-；(3)1.【分析】（1）求出函数()f x -，再结合复合函数求导法则求导即得.（2）求出函数()f x 在[]1,e 上的最小值，()g x 在[]1,2上的最大值，再由给定恒成立建立不等式求解.（3）求出函数()h x ，由()0h x =分离参数，构造函数()e ln x p x x x x =--，利用导数探讨值域即可得解.【详解】（1）函数()e xf x x x a =--，则()e x f x x x a --=-+-，由e x y x x a -=-+-，求导得e e 1x x y x --'=-++，所以函数()y f x =-的导数是e e 1x x y x --'=-++.（2）函数()e x f x x x a =--，求导得()()1e 1xf x x '=+-，[]1,e x ∈，e 211e,e e e x x ≤+≤+≤≤，则e 2e (1)e (1e)e x x ≤+≤+，()0f x ¢>，函数()f x 在[]1,e 上单调递增，于是e 1()e 1,[e e ]f x a a +∈----．又()()22211g x x x x =-=--，则()g x 在[]1,2上也是单调递增，()[]1,0g x ∈-，由对任意的[]11,e x ∈，[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥成立，等价于1min 2max [()][()]f x g x ≥，因此e 10a --≥，解得e 1a ≤-，所以实数a 的范围是(],e 1-∞-．（3）依题意，()e ln x h x x x x a =---，由()0h x =，得e ln x x x x a --=，令()e ln xp x x x x =--，(0,e)x ∈，求导得11(1)(e 1)()e e 1(1)e x x xxx x x p x x x x x x++-'=+--=+-=，令()e 1x q x x =-，(0,e)x ∈，求导得()e e 0x x q x x '=+>，即函数()q x 在()0,e 上单调递增，显然()010q =-<，()1e 10q =->，则存在唯一的()00,1x ∈，使得()00q x =，即00e 10xx -=，即01e x x =，00ln x x =-，则当00x x <<时，0())(0,q p x x <'<，当0e x x <<时，()0,()0q x p x '>>，函数()p x 在0(0,)x 上单调递减，函数()p x 在0(,e)x 单调递增，因此0min 000000(e ln 11)()xp x p x x x x x x ==--=-+=，当00x x <<时，令()e x x x x ϕ=-，求导得()(1)e 1x x x ϕ'=+-，11令(1)e 1x y x =+-，当00x x <<时，(2)e 0x y x '=+>，即函数()x ϕ'在0(0,)x 上递增，()(0)0x ϕϕ''>=，函数()ϕx 在0(0,)x 上递增，()(0)0x ϕϕ>=，于是当00x x <<时，()e ln ln x p x x x x x =-->-，而函数ln y x =-在0(0,)x 上递减，值域为0(ln ,)x -+∞，因此当00x x <≤时，函数()p x 无最大值，值域为[1,)+∞，函数()p x 在(0,e)的值域为[1,)+∞，要使()h x 在()0,e 存在零点，则1a ≥，所以a 的最小值为1．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈①若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()max min f x g x <；②若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()max max f x g x <；③若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()min max f x g x <；④若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。

《高等数学12》理工类试题一一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将答案填在题中的横线上） 1、已知函数(,)y f x y xe -=，它在点(1,0)P 处的梯度等于 ． 2、过Z 轴和点0(2,3,4)M -的平面方程为 .3、空间曲线211x t t y t z t=+⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪=⎩在点1t =处的切线方程为 .4、周期为2π的函数()f x 在[,)ππ-上的表达式为1,0(),0x x f x x x ππ+≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩，则它展开成傅里叶级数时的系数0a = .5、函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域{}22(,)4D x y x y =+≤上的最大值为 ． 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1、设正项级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ ）．（A ）11(1)n n n u ∞+=-∑； （B ）1n n u ∞=∑；（C ）11n nu ∞=∑ （D ）1()(0)n n u a a ∞=+>∑2、设直线l 为102x y z==-，则直线l （ ）. （A ）过原点且垂直于x 轴； （B ）过原点且垂直于y 轴； （C ）过原点且垂直于z 轴； （D ）不过原点也不垂直于坐标轴.3、求244x y y y xe '''-+=的特解时，应设（ ）． (A) *2()x y Ax B e =+； (B) *22x y Ax e =； (C) *2()x y x Ax B e =+； (D) *22()x y x Ax B e =+．4、设(,)f x y 为连续函数，则二次积分420d (,)d x xx f x y y =⎰⎰（ ）（A ）2414d (,)d y y y f x y x ⎰⎰； （B) 21440d (,)d y y y f x y x -⎰⎰； （C ）41104d (,)d y f x y x ⎰⎰； （D ）20144d (,)d y y y f x y x ⎰⎰.5、比较321I ()d ()d DDx y x y σσ=+=+⎰⎰⎰⎰2与I 的大小，其中积分区域D 是由圆周22(2)(1)1x y -+-=所围成,则（ ）(A) 12I I =； (B) 12I I ≥；(C) 12I I ≤； (D) 1I 和2I 不能比较大小.三、计算题（本题共5小题，1题6分，2、3、4题每题8分，5题10分，满分40分） 1、求向量{1,1,2}a →=--与{1,2,1}b →=-的夹角θ；2、设(,)z f x y =由方程222z x z y e -=所确定，求d z ；3、设2(2,)y z xf x x =，f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.4、计算二重积分2()d d Dy x x y -⎰⎰， 其中D 由曲线2y x =和 1y =所围成的平面闭区域；5、已知立体Ω是由圆柱面221x y +=内部、平面4z =下方和抛物面221z x y =--上方部分围成，求22d x y V Ω+⎰⎰⎰.四、判断题（本题8分） 判定级数11(1)sin2n nn nππ-∞=-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？五、综合题（本题共3小题，1题8分， 2、3题每题7分，满分22分）1、将函数2()4xf x x =+展开成x 的麦克劳林级数，并讨论级数的收敛域.2、求微分方程ln 2(ln 1)xy x y x x '+=+的通解.3、求微分方程(1)xxe yy e '+=满足初始条件00x y==的特解.《高等数学12》理工类试题一答案一、填空题(每题3分,共15分)1、_____i j →→-或{1,1}-_____. 2、______320x y +=______.3、_____221112x y z ---==-_____. 4、 ______1______. 5、___8或8f =最大 或(0,2)8f ±=最大______.二、选择题（每小题 3分，共 15分）1、A.2、B.3、D.4、A.5、C.三、 （本题共5小题，1题6分，2、3、4题每题8分，5题每题10分，共40分） 1、解：（6分）cos a b a b θ→→→→⋅=⋅………2分1221cos 266a ba bθ→→→→⋅-++===⋅………3分3πθ=………1分.2、解：（8分）222z z z x zy x x e ∂∂-=∂∂， z z xx z ye∂=∂+ ………3分 222z z z z z y y y e e ∂∂-=+∂∂， z zz e y z ye ∂-=∂+ ………3分 d z z x dx z ye =+zze dy z ye-++ ………2分. 3、解：（8分）令f 对2x 的偏导数记为1f '，对2yx的偏导数记为2f '，1f '对2y x 的偏导数记为12f ''，2f '对2y x 的偏导数记为22f ''， ………1分2212122[2()]2z y y f x f f f xf f x x x∂''''=++-=+-∂ ………4分2221222222222[][]z y y y y yf x f f f x y x x x x x∂''''''=⋅+⋅--⋅∂∂ 31222224y yf f x''''=-. ………3分. 4、解：（8分）如图所示,211221()d d ()xDy x x y dx y x dy --=-⎰⎰⎰⎰ ………4分221121241111[][]222x y x y dx x x dx --=-=-+⎰⎰351111[]2310x x x -=-+ ……2分 815=. ……2分5、解：（10分）如图所示 , ……2分221422201d r x y V d r dr dz πθ-Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰……3分1223510012(3)2[]5r r dr r r ππ=+=+⎰ ………3分 125π=………2分 四、（本题8分）解：（8分）考察111(1)1sinsin 22n nnn n nnππππ-∞∞==-=∑∑，因为11sin 2nnn πππ≤(1)n ≥ ………4分 而11q π=<，所以几何级数11nn π∞=∑是收敛的，故11(1)sin2n nn nππ-∞=-∑绝对收敛，原级数收敛.………4分五、（本题共3小题，1题8分， 2、3题每题7分，满分22分）1、解：（8分）因为，21()414x f x x =⋅+，又因为01(1),(11)1n n n x x x ∞==--<<+∑， ………2分所以，()f x =221100(1)()(1)444n n n n n n n x x x +∞∞+==-=-∑∑. ………3分 222321121lim (1)/(1)lim 4444n n n n n n n n x x x x ρ+++++→∞→∞=--==. 当214xρ=<，即22x -<<时，级数绝对收敛；当2x =-时，级数111000(2)441(1)(1)(1)4242n n nn n n n n n n ∞∞∞+++===-⋅-=-=-⋅∑∑∑发散， 当2x =时，级数100241(1)(1)42n nn n n n ∞∞+==⋅-=-∑∑发散，级数收敛域为(22)x -<<.所以，()f x 2110(1)4n nn n x +∞+==-∑，(22)x -<< ………3分2、解：（7分）因为112(1)ln ln dy y dx x x x+=+是一阶线性微分方程，所以由 ()()[()]P x dxP x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰ ………2分11ln ln 1[2(1)]ln dx dx x x x xy e e dx C x-⎰⎰=++⎰ln(ln )[(2ln 2)]x e x dx C -=++⎰ ……3分11[2ln 2][2(ln )2]ln ln xdx dx C x x x x C x x=++=-++⎰⎰ 2ln C x x =+.所以，通解为2ln Cy x x=+ ………2分 3、解：因为1xxe ydy dx e =+是变量可分离微分方程，所以由 1xx e ydy dx e =+⎰⎰ ………2分21ln(1)2x y e C =++ 22ln(1)x y e C =++ （其中12C C =） ……3分由00x y==，得002ln(1)e C =++2ln 2C =-特解为： 22ln(1)2ln 2xy e =+-. ……2分。

7. 已知21()1df x dx x=+, 则()f x = . 答: arctan x C +. 注：答为arctan x 扣1分 8.当∞→n 时，如果nk1sin 与n1为等价无穷小，则k = . 答:2.9. 若函数31,1(), 1.x x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩，在),(+∞-∞上连续，则a = .答:2-.10. 设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，根据拉格朗日定理，则在开区间()b a ,内至少存在一点ξ，使得)(ξf '= .答:()()f b f aa-.二、单项选择题（每小题3分,共18分）1. 若极限0lim =∞→n n x ，而数列}{n y 有界，则数列}{n n y x （ Ａ ）.(A) 收敛于0； (B) 收敛于1； (C) 发散； (D) 收敛性不能确定. 2. 0=x 是函数1()12xf x =-的（ C ）间断点. (A) 可去； (B) 跳跃； (C) 无穷； (D) 振荡. 3．设函数()(1)(2)(2011)f x x x x x =+++ ，则=')0(f （ C ）. (A) !n ； (B) 2010!； (C) 2011!； (D) 2012!. 4．若函数)(x f 、()g x 都可导，设[()]y f g x =，则d d yx=（ B ）. (A) {[()]}()f g x g x ''⋅； (B) [()]()f g x g x ''⋅； (C) [()]()f g x g x '⋅； (D) [()]f g x '.5．若函数)(x f 与)(x g 对于开区间),(b a 内的每一点都有)()(x g x f '='，则在开区间),(b a 内必有（ D ）(其中C 为任意常数).解：原式=x x x xx x x x cos sin lim 1)sin 1(cot 1lim 020++→→-=-⋅ (3分)1cos 1lim sin lim 00-=⋅-=++→→xx x x x ．(6分)4. lim n →∞⎛⎫+ 解：设22212111nn nn x n ++++++=，(1分)则，≤n xn y nnn ==+++1111222 ； (2分) ≥n xn z nnn n nn nn nn =+=+=++++++/1111112222，(3分) 因为1lim lim ==∞→∞→n n n n z y ，(4分)由夹逼定理112111lim 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n . (6分)五.（8分）已知函数2arcsin(),0,()2b,0ax x fx x x x >⎧=⎨++≤⎩在0x =点可导, 求常数b a 、的值.解：要使)(x f 在0x =处可导，必须)(x f 在0x =处连续，(1分) 而0(0)lim arcsin()0x f ax ++→==；(0)f b =.(2分)由(0)(0)f f +=，有0b =. (3分) 又 000()(0)arcsin()(0)lim lim lim 0x x x f x f a x a xf a x x x++++→→→-'====-，(4分) 200()(0)2(0)lim lim 20x x f x f x xf x x---→→-+'===-.(5分)由)(x f 在0x =处可导，有(0)(0)f f -+''=(6分), 得2a =.(7分) 故当0,2a b ==时，函数)(x f 在0x =处可导. (8分)六．证明题（12分）若函数)(x f 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)0f =,(1)1f =. 证明: (1) 存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξξ=-;(2) 存在两个不同的点,(0,1)a b ∈,使得()()1f a f b ''=. 证明：(1) 令()()1g x f x x =+-, (1分) 则()g x 在[0,1]上连续, (2分)又(0)10g =-<，(1)10g =>(3分)，由零点定理知,存在(0,1)ξ∈,使得()()10g f ξξξ=+-=(5分), 即()1f ξξ=-.(6分)(2) 分别在[0,]ξ和[,1]ξ上应用拉格朗日中值定理 (7分),。

习题6—1（A ）1．判断下面的论述是否正确，并说明理由．（1）所谓n 阶微分方程，是说该微分方程中所含的最高阶导数的阶数是n ，并不管方程中是否还含有其它低一些阶的导数；（2）微分方程的通解是微分方程的含有任意常数的解，且任意常数的个数等于微分方程的阶数．一个微分方程的通解包含了该微分方程的所有解．（3）在n 阶微分方程的初值问题中，初始条件必须包含n 个条件方能由通解得到特解．答：（1）正确．微分方程阶的定义．（2）两者都不正确．前者需要独立任意常数的个数等于微分方程的阶数，如对于二阶微分方程y y =''，尽管x x C C y e 3e 21+=是含有两个任意常数的解，但是它不是通解，因为它可以改写为x x C C C y e )e 3(21=+=（其中)321C C C +=，其中只有一个任意常数；后者如C x y +=e 是微分方程y y ='的通解，但是它不包含解0=y ．（3）正确．因为每确定一个任意常数需要有一个条件．2．指出下列各微分方程的阶数：（1）02)(2=-'-'x y y y x ； （2）1324+=+''x y y ；（3）y x y y '=''-'''2)(； （4）0d )(d )(2=++-y y x x x y x ； （5）06)4(=+''-y y x y ； （6）222d d 2d d x x y x x y =+． 答：（1）一阶． （2二阶． （3）三阶． （4）一阶． （5）四阶． （6）二阶．3．验证下列各函数是否为所给微分方程的解？如果是解，指出是通解，还是特解：（1）函数x y 2=，微分方程12='y y ；（2）函数x C y 2cos =，微分方程04=+''y y ；（3）由C xy x =+22确定的函数)(x y y =，微分方程0d d )(=++y x x y x ；（4）函数x y λe =（其中λ是给定的实数），微分方程0=+'''y y ．解：（1）因为x y 1='，左式≠=⋅⋅='41222x x y y 右式，所以函数x y 2=不是微分方程12='y y 解．（2）因为y x C y 42cos 4-=-=''，即04=+''y y ，所以函数x C y 2cos =是微分方程04=+''y y 解，但是由于x C y 2cos =中只有一个任意常数，又微分方程是二阶的，所以x C y 2cos =既不是微分方程04=+''y y 的通解，也不是特解，只是解．（3）等式C xy x =+22两边同时对x 求导，有0)d d (22=++xy x y x ，化简为0d d )(=++y x x y x ，所以由C xy x =+22确定的函数)(x y y =是0d d )(=++y x x y x 的解，又C xy x =+22中含有一个任意常数，所以C xy x =+22是0d d )(=++y x x y x 通解．（4）因为x y λλe 3='''，当1-=λ时，0=+'''y y ，又x y λe =中不含任意常数，所以函数x y λe =是微分方程0=+'''y y 特解；1-≠λ时，0e )1(3≠+=+'''x y y λλ，所以所以函数x y λe =不是微分方程0=+'''y y 解．4．在下列各题中，验证所给函数是微分方程的通解，并求满足初始条件的特解：（1）函数2Cx y =，微分方程y y x 2='，初始条件21==x y；（2）函数x x C C y -+=e )(21，微分方程02=+'+''y y y ，初始条件00==x y ，10='=x y ．解：（1）因为y Cx Cx x y x 2222==⋅='，且2Cx y =中含有一个任意常数，所以函数2Cx y =是微分方程y y x 2='的通解；由21==x y ，有C =2，即2=C ，满足初始条件21==x y 的特解是22x y =．（2）因为x x C C C y ---='e )(212，x x C C C y -++-=''e )2(212，得y y y +'+''20e )2222(21221221=++---++=-x x C C C x C C C x C C ，且函数x x C C y -+=e )(21中含有两个独立的任意常数，所以x x C C y -+=e )(21是微分方程02=+'+''y y y ，的通解；由初始条件00==x y ，10='=x y ，有⎩⎨⎧=-=，，10121C C C 得01=C ，12=C ，所以微分方程02=+'+''y y y 满足初始条件00==x y ，10='=x y 的特解是x x y -=e ．5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：（1）曲线在点),(y x 处的切线斜率等与该点横之比等于该点纵坐标的平方；（2）曲线在点),(y x P 处的法线与y 的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分．解：（1）由已知，有2y xy ='，得2xy y ='． （2）（方法1）用)(Y X ，表示法线上的点，则法线方程为)(1x X y y Y -'-=-，根据已知，法线过点)0(y Q -，（如图），用0=X 、y Y -=代入，得y x y '=-2，即02=+'x y y ． （方法2）如图，xy x y OM OQ22/tan ===β，而y '-=1tan β，得x y y 21='-， 即02=+'x y y （注：点P 在其他象限，结果相同）．6．已知某种群的增长速度与当时该种群的数量x 成正比，如果在0t 时刻，该种群有数量0x ，写出时刻t 时，该种群数量)(t x 所满足的微分方程，并给出初始条件．解：时刻t 时种群的增长速度为t x d d ，由于种群的增长速度与当时该种群的数量x 成正比，得kx tx =d d （其中0>k 为比例系数），这就是要建立的微分方程；初始条件00)(x t x =． 习题6—1（B ）1．试写出以原点为圆心的曲线族所满足的微分方程．解：微分方程的通解为C y x =+22（其中C 是任意常数），两边同时对x 求导，得 022='+y y x ，即0=+'x y y ，这就是要建立的微分方程．2．给定微分方程23x y ='，（1）求过点)2,1(的积分曲线； （2）求出与直线13+=x y 相切的曲线方程．解：由23x y ='，得通解为C x y +=3． （1）由曲线C x y +=3过点)2,1(，有C +=12，得1=C ，所求曲线为13+=x y ．（2）由曲线C x y +=3与直线13+=x y 相切，有332=x （斜率相等），得1±=x ．当1=x 时，4=y ，代入C x y +=3，有C +=14，得，3=C 所求曲线为33+=x y ；当1-=x 时，2-=y ，代入C x y +=3，有C +-=-12，得，1-=C 所求曲线为13-=x y ．3．设处处连续的非零函数)(x f 满足)()()(y f x f y x f =+，且1)0(='f ，写出)(x f 所满足的微分方程，并求函数)(x f ．解：将0==y x 代入)()()(y f x f y x f =+，有)0()0(2f f =，由于0)(≠x f ，得1)0(=f ，根据导数定义， hh f x f h x f h f x f h x f h x f x f h h h 1)(lim )()()()(lim )()(lim)(000-=-=-+='→→→ )()0()()0()(lim )(0x f f x f h f h f x f h ='=-=→． 所以)(x f 所满足的微分方程)()(x f x f ='，初始条件为1)0(=f ．由)()(x f x f ='，有1)()(='x f x f ，两边求不定积分，有⎰⎰='x x x f x f d d )()(，得（根据条件有0)(>x f ）C x x f ln )(ln +=，即x C x f e )(=．由1)0(=f ，得1=C ，所以x x f e )(=．4．将积分方程x x f x t t tf x+=⎰)(d )(221（其中0>x ）转化为微分方程，给出初始条件，并求函数)(x f （其中)(x f 是连续函数）．解：将x x f x t t tf x+=⎰)(d )(221同时对x 求导，有1)()(2)(22+'+=x f x x xf x xf ，即21)(xx f -='，这就是所要的微分方程．用1=x 代入到x x f x t t tf x +=⎰)(d )(221之中，有 1)1(0+=f ，得初始条件为1)1(-=f ．通解为C x xx x f +=-=⎰1d )(2，由1)1(-=f ，有C +=-11，得2-=C ，所求函数为21)(-=x x f ． （注：积分方程求解，一般都是通过求导转化为微分方程，并且多数情况下可以确定处初始条件）习题6—2（A ）1．判断下面的论述是否正确，并说明理由．（1）在本节所介绍的一阶微分方程的解法中，分离变量法是基本方法，解齐次方程和一阶线性方程等时，都要先化为可分离变量的方程；（2）我们所讨论的微分方程中的导数都是以xy d d 的形式出现的，如果是y x d d 的形式，我们不予考虑，因此所谓齐次方程都是指)(d d xy x y ϕ=的形式，而)(d d y x y x ψ=不是齐次方程； （3）解一阶线性微分方程一般可以分为两步：首先利用分离变量法求出相应的齐次线性方程的通解，然后将通解中的任意常数C 用x 的函数)(x u 取代，代人到原非齐次线性微分方程中，求出)(x u ，从而求得原方程通解．答：（1）正确．对齐次方程，令u xy =（或v y x =）可以化为可分离变量方程；对一阶线性方程，在用“常数变易法”时，先求相应齐次线性方程，它本身就是可分离变量方程．（2）不正确．在微分方程中，变量y x 、的地位是同等的，通常是以x 为自变量，y 为因变量．但是有时为了求解简单，也可以以y 为自变量， x 为因变量．所以方程)(d d y x y x ψ=也是齐次方程．（3）正确．这就是所谓的“常数变易法” ．除此之外，一阶线性微分方程也常用通解公式]d e )([e d )(d )(x x Q C y x x P x x P ⎰⎰+⎰=-求解． 2．求下列可分离变量微分方程的通解：（1）yx y 232='； （2）y x y -='e ； （3）21x xy y +='； （4）0 d d )21(2=-+y x y y x ． 解：（1）分离变量有x x y y d 3d 23=，通解为⎰⎰=x x y y d 3d 23，即C x y +=32． （2）分离变量有x y x y d e d e =，通解为⎰⎰=x y x y d e d e ，即C x y +=e e ，或写作)e ln(C y x +=．（3）分离变量有21d d x x x y y +=，通解为⎰⎰+=21d d xx x y y ，即12ln )1ln(21ln C x y ++=，化简为21x C y +=（其中)1C C ±=． （注：以后再遇到类似问题，为处理过程简单，积分时对y ln 不再加绝对值，而直接写为y ln ）（4）分离变量有x x y y y d d 212=+，通解为⎰⎰=+xx y y y d )d 21(，即 C x y y ln ln ln 2+=+，化简为2e y y Cx =．3．求下列齐次微分方程的通解：（1）y x y x +='； （2）0d d )(22=-+y xy x y x ；（3）y x y y 2-='； （4）0d d )ln 1(=-+x y y yx x ． 解：（1）将方程改写为x y y +='1，令u x y =，则xu x u x y y d d d d +=='，于是原方程化为u x u x u +=+1d d ，即x x u d d =，积分得C x u ln ln +=，即Cx xy ln =，所以原方程通解为Cx x y ln =．（2）将方程改写为x y y x x y +=d d ，令u x y =，则xu x u x y d d d d +=，于是原方程化为u u x u x u +=+1d d ，即x x u u d d =，积分得2ln 22C x u +=，即C x xy +=222ln ，所以原方程通解为2y 2x =)(ln 2C x +． （3）将方程改写为2d d -=y x y x ，令v yx =则y v y v y x d d d d +=，于是原方程化为2d d -=+v y v y v ，即y y v d 2d -=，积分得C y v ln ln 2+-=，即2ln yC y x =，所以原方程通解为2ln y C y x =． （4）将方程改写为)ln 1(d d y x y x y x +=，令v yx =则y v y v y x d d d d +=，于是原方程化为)ln 1(d d v v y v y v +=+，即yy v v v d ln d =，积分得C y v ln ln ln ln +=，即Cy v =ln ，所以原方程通解为Cy y x =ln或写作Cy y x e =． 4．求下列一阶线性微分方程的通解：（1）x xy y 42=+'； （2）x y xy -=+e d d ； （3）1sin cos =+'x y x y ； （4）0d )2(d 2=++y x y x y ．解：（1）（方法1）相应齐次方程为02=+'xy y ，即x x yy d 2d -=，积分得C x y ln ln 2+-=，即2e x C y -=，令2e )(x x u y -=，代入原方程，有x xu xu u x x x 4e 2e 2e 222=+-'---，即2e 4x x u ='，得C x x x u x x +==⎰22e 2d e 4)(，所以原方程通解为=+=-22e )e 2(x x C y 2e 2x C -+．（方法2）x x Q x x P 4)(2)(==、，方程通解为⎰⎰⎰+⎰=⎰+⎰=--x x x x x x P x x P C x x C x x Q y d 2d 2d )(d )(e )d e 4(e ]d e )([22222e 2e )e 2(e )d e 4(x x x x x C C C x x ---+=+=+=⎰． （注：以下3题也都有以上两种解法，方法1不再使用，只用最常用的方法2求解）（2）x x Q x P -==e)(1)(、，方程通解为 ⎰⎰⎰+⎰=⎰+⎰=---x x x x x P x x P C x C x x Q y d d d )(d )(e )d e e (e ]d e )([x x C x C x --+=+=⎰e )(e )d (．（3）化为标准一阶线性方程：x x y y sec tan =+'，x x Q x x P sec )(tan )(==、，方程通解为 ⎰⎰⎰+⎰=⎰+⎰=--x x x x x x P x x P C x x s C x x Q y d tan d tan d )(d )(e )d e ec (e ]d e )([⎰⎰+=+=-x C x x s C x x s x x cos )d ec (e )d e ec (2cos ln cos ln=+=x C x cos )(tan x x C sin cos +．（4）方程化为y yx y x -=+2d d ，它是以y 为自变量，x 为因变量的一阶线性方程（通常称为是关于x x '、的线性方程），y y Q yy P -==)(2)(、，方程通解为 ⎰⎰⎰+⎰-=⎰+⎰=--y yy y y y P y y P C y y C y y Q x d 2d 2d )(d )(e )4d e (e ]4d e )([ 24231)44(1)4d (yy C y C y y -=+-=⎰，也可以写作C y xy =+424． 5．求下微分方程满足初始通解的特解：（1）y x x y -=1d d ，1)2(=y ； （2）y x y x y x =+'tan ，2)1(π=y ； （3）x x y y 2e 2=-'，10==x y ； （4）22)21(x y x y x =-+'，01==x y ．解：（1）这是可分离变量方程，分离变量为x x y y d )1(d -=，积分得22)1(2222C x y +--=，即方程通解为222)1(C y x =+-．由1)2(=y ，有22=C ，方程特解为2)1(22=+-y x ． （2）这是齐次方程x y x y y =+'tan ，令u x y =，则xu x u x y d d d d +=，于是原方程化为u u x u x u =++tan d d ，即x x u u d d cot -=，积分得xC u ln sin ln =，即方程的通解为C x y x =sin ．由2)1(π=y ，有C =1，方程特解为1sin =x y x ． （3）这是一阶线性方程，=-=)(1)(x Q x P 、xx 2e 2，方程通解为 x x x x x x x C x C x x C x x y e )]e )1(2[e )d e 2(e )d e e 2(d d 2+-=+=⎰+⎰=⎰⎰-． 由10==x y ，有C +-=21，得3=C ，方程特解为x x x y 2e )1(2e 3-+=．（4）这是一阶线性方程1)21(2=-+'y x x y ，1)(21)(2=-=x Q xx x P 、，方程通解为 ⎰⎰+-----+=⎰+⎰=2222ln 1ln 1)d 21()d 21(e )d e (e ]d e [x x x x x x x xx x C x C x y )e 1(e )e (e )d e 1(121211212x x x x x C x x C x C x x +=+=+=--⎰．由01==x y ，有e 10C +=，得1e --=C ，方程特解为)e 1()e e 1(112112---=-=x x x x y ．6．曲线)(x y y =上任一点),(y x 处的切线斜率为21x xy -，且曲线过点)11(，，求曲线方程． 解：根据已知得微分方程为='y 21x xy -，初始条件是1)1(=y ，它是一阶线性方程21x x y y =+'，其中21)(1)(xx Q x x P ==、，方程通解为 xx C x C x x C x x y x x x x ln 1)d (e )d e 1(d d 2+=+=⎰+⎰=⎰⎰- 由1)1(=y ，得1=C ，所求曲线为xx y ln 1+=． （注：由初始条件中1=x ，而解函数)(x y y =连续，所以在解中0>x ，于是x ln 中的x 不用加绝对值）7．一曲线通过点)2,1(，且它在两坐标轴之间的任一切线段被切点平分，求该曲线方程． 解：如图，根据题目条件，有xy x y ==22tan β，而 y '-=-=-=ααπβtan )tan(tan ，所以曲线所满足的微分方程是x y y ='-，分离变量有x x y y d d -=，通解为xC y =． 由初始条件2)1(=y ，得2=C ，所求曲线为xy 2=即2=xy ． 8．若曲线)(x y y =在点),(y x 处的切线在y 轴上的截距等于该点的横坐标，且曲线过点)11(，，求该曲线方程．解：如图，根据题目条件，有xy x y x -=-=1tan β，而 y '-=-=-=ααπβtan )tan(tan ，所以曲线所满足的微分方程是x y y -='-1，即1-='x y y ，令u x y =，则x u x u x y y d d d d +=='，于是1d d -=+u x u x u ，即xx u d d -=，通解为x C u ln -=，即)ln (x C x y -=（不加绝对值的理由同上题）， 由初始条件1)1(=y ，得1=C ，所求曲线为)ln 1(x x y -=．9．某放射性元素有如下衰变规律：其衰变速度与它的现存量M 成正比，由经验材料得知，经过1600年后，只剩下原始量0M 的一半，求该元素的含量M 与时间t 的关系． 解：根据题目条件，函数)(t M M =满足方程kM t M =d d ，初始条件0)0(M M =． 分离变量有t k MM d d =，通解为C kt M ln ln +=，即kt C M e =． 由0)0(M M =，有0M C =，方程特解为kt M M e 0=．由1600=t 时，20M M =，有k M M 160000e 2=，得000433.016002ln -≈-=k ， 所以求该元素的含量M 与时间t 的关系是t M M 000433.00e -=．10．设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与下落速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时的速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系．解：铅直向下取为x 轴，原点位于跳伞塔．设时刻t 时，跳伞员位于)(t x x =处，此刻下落速度为)(t v ，加速度为tv t a d d )(=，受力为kv mg t F -=)(（其中0>k 为比例系数，g 是重力加速度，m 是降落伞与跳伞员质量之和）．根据牛顿第二定律F ma =，有kv mg t v m -=d d ，分离变量有t m k kv mg v k d d -=--，积分得C t mk kv mg ln )ln(+-=-，通解为)e (1/m kt C mg kv --=，由初始条件0)0(=v ，得mg C =，所以降落伞下落速度与时间的函数关系是)e 1(/m kt k mg v --=． 习题6—2（B ）1．某湖泊的水量为V ，每年排入该湖泊内含污染物A 的污水量为6/V ，流入该湖泊内不含污染物A 的污水量也为6/V ，流出该湖泊的水量为3/V ．已知1999年底湖中A 的含量为05m ，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过Vm 0，问至多需要经过多少年湖泊中污染物A 的含量降至0m 以内？（假定湖水中A 的浓度是均匀的）．解：设从2000年初开始，t 年后湖泊中污染物A 的含量为)(t m m =，其浓度为Vt m )(（根据已知湖水量保存不变）．设从时刻t 到时刻t t d +湖泊中污染物A 的含量改变（减少）了m d ， 则t m m t mm t V V m t V V m m d 62d )36(d 3d 6d 000-=-=-=，，分离变量有3d 22d 0t m m m -=--，积分得C tm m ln 3)2ln(0+-=-，即)e (2130tC m m --=，由初始条件05)0(m m =，有C m m -=0010，得09m C -=，于是t 年后湖泊中污染物A 的含量为)e 91(230tm m -+=．要使湖泊中污染物A 的含量降至0m ，有)e 91(2300tm m -+=，即91e3=-t ，得3ln 69ln 3==t ，所以至少要经过3ln 6年湖泊中污染物A 的含量可以降至0m 以内．2．一质量为m 的物体作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正比（比例系数为1k ）的力作用于它，同时还受到一个与速度成正比（比例系数为2k ）的阻力作用，求物体运动的速度与时间的关系．解：设时刻t 时物体的运动速度为)(t v v =，受力为v k t k t F F 21)(-==．根据牛顿第二定律F ma =，有=tvmd d v k t k 21-，这是一阶线性方程t m k v m k t v 12d d =+，通解为⎰⎰⎰+⎰=⎰+⎰=--t m k t m k t t P t t P C x mt k C t t Q v d d 1d )(d )(22e )d e (e ]d e)([ ⎰⎰--+-=+=t m kt mk t m k t m k t m k C x t k k C x m t k 22222e ])d e e ([e )d e (211t m kt mk t m k t m k C k m k t k k C k m t k k 2222e e ])e e ([22121221--+-=+-=． 由初始条件0)0(=v ，有C k m k +-=2210，得221k mk C =，所以物体运动的速度与时间的关系是)e 1(/221212m t k k mk t k k v ---=． 3．若曲线)(x f y =（0)(≥x f ）与以区间[0，x ]为底的曲边梯形面积与1+n y成正比，且1)1(,0)0(==f f ，求此曲线方程．解：如图，根据题目已知，有⎰+=x n x ky t t y 01)(d )(，两边同时对x 求导，得x y x y n k x y n d d )()1()(+=，分离变量有x y y n k n d d )1(1=+-，积分得C x y nn k n +=+)1(，由初始条件0)0(=y ，得0=C ，于是x y n n k n =+)1(，再由条件1)1(=y ，得1)1(=+n n k ，所以所求曲线为x y n=，或写作nx y =．4．求下列伯努利微分方程的通解： （1）y x xy y =-'； （2）2xy y y =-'； （3）y xy x y =+d d ．解：（1）1-=n ，令21y yz n==-（21=-n ），则原方程化为x n xz n x z )1()1(d d -=--，即x xz xz22d d =-，该方程通解为 1e e )e (e )d e 2(e )d e 2(22222d 2d 2-=-=+=⎰+⎰=----⎰⎰x x x x x xx x x C C C x x C x x z ．所以，原方程通解为1e 22-=x C y ． （2）2=n ，令yyz n11==-（11-=-n ）， 则原方程化为x n z n x z )1()1(d d -=--，即x z xz-=+d d ，该方程通解为 1e e )e e (e )d e (e )d e (d d +-=+-=-=⎰+⎰-=----⎰⎰x C x C x x C C x x z x x x x x x xx ．所以，原方程通解为1e 1+-=-x C yx ． （3）21=n ，令y y z n ==-1（211=-n ）， 则原方程化为)1()1(d d n x z n x z -=-+，即212d d =+x z x z ，该方程通解为 xC x x C x x C x z x xx x1)3(1)d 21e )d e 21(2/32d 2d +=+=⎰+⎰=⎰⎰-． 所以，原方程通解为3xx C xy +=． 5．用适当的变量代换求下列微分方程的通解：（1）22x y x y +=+'； （2）1+-='y x y ；（3）)ln (ln y x y y y x +=+'； （4）xy x y y xy 22tan 2+='．解：（1）令u x y =+2，则x u x x y d d 2d d =+，于是u x u=d d ，分离变量有x uu d d =，积分得C x u +=2，原方程通解为C x x y +=+22． （2）令t y x =+-1则x u x y d d d d 1=-，于是u x u =-d d 1，即u x u-=1d d ，分离变量得x u u u u d )1(d -=-，或x u u d d )111(2-=-+，积分得x C u u -=-+)1ln (2，所以原方程通解为x C y x y x -=+--++-)11ln 1(2．（3）令u xy =，则x u x y xy d d d d =+，于是u x u x u ln d d =，分离变量得xxu u u d ln d =，积分得Cx u ln ln ln =，即Cx u e =，所以原方程通解为Cx x y e 1=．（4）u x y =2，即xu y =2，则x u x u y y d d 2+='，原方程化为u x xu xu x xu tan d d 2+=+，分离变量有xxu u d d cot =，该方程通解为Cx u ln sin ln =，即Cx u =sin ，所以原方程通解为Cx xy =2sin ． 6．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P y =+'的两个不同的特解，证明)]()([12x x C Y ϕϕ-=是相应齐次线性微分方程0)(=+'y x P y （其中C 是任意常数），并写出非齐次线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解．证明：)]()([12x x C Y ϕϕ'-'='，将Y Y '、代入0)(=+'y x P y 的左式，有 左式=)()()([12x P x x C +'-'ϕϕ)]}()([{12x x C ϕϕ- ==-=+'-+'0)()()]()()([)]()()([1122x CQ x CQ x x P x C x x P x C ϕϕϕϕ右式， 又由于)()(21x x ϕϕ≠，从而)]()([12x x C Y ϕϕ-=中含有一个任意常数，所以)]()([12x x C Y ϕϕ-=是相应齐次线性微分方程0)(=+'y x P y 的通解．根据一阶线性非齐次微分方程的通解等于相应齐次微分方程的通解与非齐次微分方程特解之和，得方程)()(x Q y x P y =+'的通解为)()]()([112x x x C y ϕϕϕ+-=. 7．设微分方程x y x p y x =+')(有一个解xy e =，求满足02ln ==x y的特解．解：由于xy e =是微分方程x y x p y x =+')(的解，有x x p x xx=+e )(e ，得)1e (e )(-=--x x x x p ，于是原微分方程为1)1e (=-+'-y y x ，这是一阶线性微分方程，通解为=y ⎰⎰----+-----+=⎰+⎰xx x xx x xxC x C x e e 1)d (e 1)d (ee )d e (e )d exxxxxx xx x xC C C x -----++-+--+=+=+=⎰e e e e e ee e)e (e])d(-e e[由02ln ==x y，有C 21e 220+=，得21e --=C ，所以方程特解为x x x y e ee 21+-=-++-．8．已知函数)(x f 在)0(∞+，内可导，0)(>x f ，且满足x hh x f hx x f 110e ])()([lim =+→，1)(lim =+∞→x f x ，求函数)(x f ．解：令y x f hx x f h=+1])()([，则h x f xh x f y )(ln )(ln ln -+=，于是 hx f xh x f y h h )(ln )(ln limln lim 00-+=→→)()())((ln )(ln )(ln lim0x f x f x x f x xh x f xh x f x h '='=-+=→．所以xx f x f x h y 1)()(0e elim =='→，即x x f x f x 1)()(='，分离变量有2d )()(d xxx f x f =，积分得C xx f ln 1)(ln +-=，通解为x C x f 1e )(-=，由初始条件1)(lim =+∞→xf x ，有C =1，所以所求函数为xx f 1e)(-=.习题6—3（A ）1．判断下面的论述是否正确，并说明理由．（1）本节讨论了三种可降阶的高阶微分方程的解法：对)()(x f yn =型，两边采取求积分的方法使其降阶；对)(y x f y '=''，及)(y y f y '=''，型都是采取变量代换p y ='的方法使其降阶；（2）对)(y f y '=''型微分方程，它既不显含y ，也不显含x ，因此可以按)(y x f y '=''，或)(y y f y '=''，型中的任何一种方程求解．答：（1）正确．只不过在方程)(y x f y '=''，中，是以x 为自变量，y 为因变量，令)(x p y ='，此时)(x p y '=''；而在方程)(y y f y '=''，中，是以y 为自变量，x 为因变量，令)(y p y ='，此时p p y '=''．（2）正确．至于哪种方法更好，应视具体题目而定，但是通常是按)(y x f y '=''，型方程求解．2．求下列各微分方程的通解：（1）2e cos xx y +='''； （2）211xy +=''； （3）02='-''y y x ； （4）xy y e ='-''； （5）y y y y '='-''2)(； （6）yy y -='+''e 2)(2；（7）xy y y x ''=''ln； （8）2)(y y '=''． 解：（1）1222e 2sin d )e (cos C x x x y x x ++=+=''⎰，212122e 4cos d )2e 2sin (C C x x C x y x x+++-=++='⎰，x C C x y x d )2e 4cos (212+++-=⎰32212e 8sin C x C x C x x ++++-=．（2）12arctan 1d C x x xy +=+='⎰=++-=+=⎰⎰x C xx x x x x C x y 1211d arctan d )arctan (212)1ln(21arctan C x C x x x +++-． （3）方程不显含y ，令)(x p y ='，则p y '=''，于是02d d =-p xpx ，分离变量为xx p p d 2d =，积分得213ln ln x C p =，即213x C p =，于是原方程降阶为213x C y ='，原方程通解为23121d 3C x C x x C y +==⎰．（4）方程不显含y ，令)(x p y ='，则p y '=''，于是xp p e =-'，这是一阶线性方程，解为xx x x x C x C x C x p e )(e )d (e )d e e (*1*1d *1d +=+=⎰+⎰=⎰⎰-，于是原方程降阶为x C x y e )(*1+='，原方程通解为212*1*1*1e )(e e )(d e e )(d e )(C C x C C x x C x x C x y x x x x x x ++=+-+=-+=+=⎰⎰（其中1*11-=C C ）．（5）方程不显含x ，令)(y p y ='，则p p y '=''，于是p p p yp =-'2即yy p y p 1d d =-，该方程通解为1)d 1(e )d e 1(112d 11d 1-=+=⎰+⎰=⎰⎰-y C y C y yC y y p y y y y ，原方程降阶为1d d 1-=y C xy，分离变量为x C y C y C d 1d 111=-，积分得211)1ln(C x C y C +=-，这就是原方程通解．（6）方程不显含x ，令)(y p y ='，则p p y '=''，于是yp p p -=+'e 22，即pp p y-=+'e 2，这是1-=n 的伯努利微分方程，令21p p z n==-，则y z z -=+'e 42，于是y y y y yyyC C y C y z p 21212d 12d 2)4e e (e )4d e 4(e )4d e e 4(----+=+=⎰+⎰==⎰⎰，原方程降阶为1e 2d d e C x y yy+=，分离变量有x y C y y d d e 2e 1=+，积分得通解21e C x C y +=+，所以原方程通解为221)(e C x C y +=+．（7）方程不显含y ，令)(x p y ='，则p y '=''，于是x p p p x ln ='，即xpx p p ln ='，这是齐次方程，令u x p =，则x u x u x p p d d d d +=='，原方程化为u u xux u ln d d =+，分离变量有x x u u u d )1(ln d =-，积分得x C u 1ln )1ln(ln =-，即11e +==x C u xp ，原方程降阶为11e +='x C x y ，原方程通解为⎰⎰+++-==x x C x x y x C x C x C )d e e (1d e 11111112111)1(e 11C C x C x C +-=+． （8）方程既不显含y ，也不显含x ．（方法1）令)(x p y ='，则p y '=''，则2p p ='，分离变量有x p pd d 2=，积分得11C x p-=-，即x C p -=11，原方程降阶为x C y -='11，所以原方程的通解为)ln(d 121x C C x C xy --=-=⎰．（方法2）令)(y p y ='，则p p y '=''，于是2d d p y p p=，分离变量有y pp d d =，积分得2ln C y p -=，即原方程降阶为2e d d C y xy-=，分离变量为x y y C d d e 2=-，积分得12e C x y C -=--，化简为)ln(12x C C y --=，这就是原方程的通解．3．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解： （1）216xy -='''，7)1(3)1(1)1(=''='=y y y ，，； （2）x y y +'=''，0100='===x x y y，； （3）2)(1y y '+=''，0100='===x x y y，；（4）yy e 2=''，1)0(0)0(='=y y ，． 解：（1）1216d )16(C x x x xy ++=-=''⎰，由7)1(=''y ，得01=C ，所以x x y 16+=''； 22ln 3d )16(C x x x xx y ++=+='⎰，由3)1(='y ，得02=C ，所以x x y ln 32+='；332ln d )ln 3(C x x x x x x x y +-+=+=⎰，由1)1(=y ，得12=C ，所以方程满足初始条件的特解为：1ln 3+-+=x x x x y ．（2）方程不显含y ，令)(x p y ='，则p y '=''，原方程化为x p p =-'，这个方程通解为1e e )e e (e )d e (e )d e (111d 1d --=--=+=⎰+⎰=----⎰⎰x C x C C x x C x x p x x x x x x x x ，即1e 1--='x C y x ，由00='=x y ，得11=C ，从而1e --='x y x，原方程解为222e d )1e (C x x x x y xx+--=--=⎰，由10==x y ，得02=C ，所以方程满足初始条件的特解为：x x y x--=2e 2． （3）按不显含y 的方程求解，（注：本题按不显含x 方程求解困难）． 令)(x p y ='，则p y '=''，于是21p p +='，分离变量有x p pd 1d 2=+，积分得1arctan C x p +=，即1arctan C x y +='，由00='=x y ，得01=C ，于是x y tan ='，积分得x C x x y cos ln d tan 2-==⎰，由10==x y，得12=C ，所以方程满足初始条件的特解为：x y cos ln 1-=（2/π<x ）．（4）方程不显含x ，令)(y p y ='，则p p y '=''，于是yp p e 2='，分离变量有y p p y d e d 2=，积分得12e C p y +=，即1e C y y +±='，由1)0(='y ，可知道0>'y ，所以1e C y y+='，再由1)0(0)0(='=y y ，，得01=C ，所以2e y y ='．分离变量有x y y d d e2=-，积分得222eC x y +=--，由0)0(=y ，得22-=C ，于是22e2-=--x y ，化简为xy -=22ln2，这就是方程满足初始条件的特解． 习题6—3（B ）1．一个物体只受地球引力的作用，自距地心)(R l l >处由静止开始垂直下落，求这个物体落到地面时的速度v 和时间t ；并求自无穷高处落到地面时的速度1v （不计空气阻力）． 解：如图，将x 轴取为铅直向上，原点位于地心，则物体位于x 处时，所受地球引力为2)(xGmMx F -=（其中m 是物体质量，M 是地球质量，G 是引力系数）．由牛顿第二定律F t x m =22d d ，有222d d x GMt x -=，而当Rx =（地球半径）时，g t x -=22d d ，有2RGM g -=-，得2gR GM =，所以2222d d x gR t x -=．令)(d d x v t x =，则x v v tx d d d d 22=，于是x vvd d 22x gR -=，分离变量有v v d x xgR d 22-=，积分得1222C x gR v +=，由初始条件0==lx v ，得lgR C 212-=，于是)11(222lx gR v -=，即)11(2l x g R v --=（运动方向与坐标轴方向相反）． 当R x =时，得到物体落到地面时的速度为lR l gR v )(2--=． 又-==v t x d d )11(2l x g R -，分离变量有，x xl xg l R t d 21d --=，两边同时积分，得⎰⎰⎰+==--=u u gl R l u u l g l R u l x x x l x g l R t d )2cos 1(2d cos 221cos d 2122 2)1((arccos 2C lxl x l x g l R l +-+=．由初始条件l x t ==0，得02=C ，所以)1((arccos 2lxl x l x g l R l t -+=．用R x =代入上式得到物体落到地面时的时间为：)arccos (21)1((arccos 22lRl R lR g l R l R l R l R g l R l t +-=-+=．当+∞→l 时，对lR l gR v )(2--=取极限，得gR l R l gR v l 2)(2lim 1-=--=+∞→（这就是所谓的第二宇宙速度s)/km (2.112≈=gR v ．2．过连续的凸曲线)(x f y =上点)10(，处的切线方程为1+=x y ，且此曲线上任意一点)(y x ，处的曲率为211y '+，求此曲线方程)(x f y =．解：由曲线上任意一点)(y x ，处的曲率为211y '+，及)(x f y =是凸曲线（0≤''y ），有22/3211)1(y y y K '+='+''-=，即2)(1y y '--=''． 由曲线)(x f y =上点)10(，处的切线方程为1+=x y ，得初始条件为1)0(1)0(='=y y 、．令)(x p y ='，则p y '=''，于是21p p --='，分离变量有x p pd 1d 2-=+，积分得1arctan C x p +-=，即1arctan C x y +-='，由1)0(='y ，得4/1π=C ，于是)4tan(x y -='π，则2)4cos(ln d )4tan(C x x x y +-=-=⎰ππ，由1)0(=y ，有24cosln 1C +=π，得2ln 21121ln12+=-=C ，所以所求曲线为：2ln 211)4cos(ln )(++-=x x f π（434ππ<<-x ）．（注：结果也可以写作2ln 211)4cos(ln )(++-=x x f π（434ππ<<-x ）） 3．求微分方程y y x y x '='+''2)(的通解．解：令)(x p y ='，则p y '=''，于是p xp p x =+'2，即2p xpp -=-'，这是2=n 的伯努利方程，令p pz n11==-，则1=+'xz z ，得xC x C x z xx x x2e)2d e (12d 1d +=⎰+⎰=-⎰，于是122C x x y +='，212)ln(C C x y ++=． 4．求微分方程01)(2=+'-''y y y 的通解．解：令)(y p y ='，则p p y '=''，于是012=+-'p p yp ，分离变量为y yp p p d d 12=-，积分得y C p 12ln 1ln 21=-，即22121y C y =-'． 当1±='y 时，则C x y +±=；当1>'y 时，有22121y C y =-'，则1221+±='y C y ，分离变量有x C y C y C d 1d 12211±=+，积分得211arsh C x C y C +±=，原方程的通解为)(sh 1121x C C C y ±=； 当1<'y 时，有22121y C y ='-，则2211y C y -±='，分离变量有x C yC y C d 1d 12211±=-，积分得211arcsin C x C y C +±=，原方程的通解为)(sin 1121x C C C y ±=． 5．求微分方程1)(2='+''y y 满足所给初始条件00==x y ，00='=x y 的特解．解：（方法1）令)(x p y ='，则p y '=''，于是12=+'p p ，分离变量有x p p d 1d 2=-，积分得111ln 21C x pp +=-+，即1arth C x y +='或)(th 2C x y +='．由初始条件00='=x y ，得01=C ，所以x y th ='，所以2)ch ln(d ch sh d th C x x x x x x y +===⎰⎰，由初始条件00==x y ，得02=C ，所以方程满足初始条件00==x y ，00='=x y 的特解是)ch ln(x y =．（方法2）令)(y p y ='，则p p y '=''，于是12=+'p p p ，分离变量为y p p p d d 12-=-，积分得y C p -=-12)1ln(21，由初始条件00==x y ，00='=x y ，得01=C ，所以y y 22e 1-='-，即y y y y e 1e e 122-±=-±='-，分离变量有x y y y d 1e d e 2±=-，积分得x C y ±=2arche ，即)]ch(C ln[2x y ±=，由初始条件00==x y，得02=C ，所以方程满足初始条件00==x y ，00='=x y 的特解是)ch ln()]ch(ln[x x y =±=．习题6—4（A ）1．判断下面的论述是否正确，并说明理由．（1）根据定理4.1，为求二阶线性齐次微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的通解，只需要先求出它的两个特解)()(21x y x y 、，那么)()(2211x y C x y C y +=就是该方程的通解，其中21C C 、是任意常数；（2）对线性非齐次微分方程，无论它的阶数的多少，它的一个特解与其相应齐次微分方程的通解之和就是该方程的通解．因此求线性非齐次微分方程，关键是要求它的一个特解与其相应齐次微分方程的通解．答：（1）不正确．如果当)()(21x y x y 、是方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个线性相关的解时，则)()(2211x y C x y C y +=就不是该方程的通解，如对二阶线性齐次微分方程0=-''y y 有两个特解x y e 1=、x y e 21=，则x x C C C y C y C y e e )2(212211=+=+=仅仅是0=-''y y 的解，不是通解．如果当)()(21x y x y 、线性无关（它们的比不是常数）时，则)()(2211x y C x y C y +=就是该方程的通解．（2）正确．这就是线性非齐次微分方程解的结构．事实上，对线性非齐次微分方程)()()()()(012)1(1)(x f y x P y x P y x P y x P y n n n =+'+''+++-- （*）及相应齐次微分方程0)()()()(012)1(1)(=+'+''+++--y x P y x P y x P y x P y n n n （**）设*y 是（*）的一个特解，Y 是（**）通解，将Y y y +=*代入（*）有 左式=++'+"+++--])())(())(())(()[(*0*1*2)1(*1)(*y x Py x P y x P y x P y n n n =+=+'+''+++--)(0)()()()(012)1(1)(x f Y x P Y x P Y x P Y x P Y n n n 右式，所以Y y y +=*是（*）的解，又由Y 是（**）通解，其中有n 个相互独立的任意常数，从而Y y y +=*中也有n 个相互独立的任意常数，所以Y y y +=*是方程（*）的通解．2．指出下列各对函数在其定义区间内的线性相关性：（1）x 与2x ； （2）x -e与x x -e ； （3）x e 与x 2e ； （4）xe 与x 2e ； （5）x 2sin 与x 2cos ； （6）x 2sin 与x x cos sin ；（7）x x sin e 与x x cos e ； （8）x ln 与3ln x ． 解：（1）因为x xx =2不恒为常数，所以x 与2x 在区间)(∞+-∞，内线性无关． （2）因为x x x x=--ee 不恒为常数，所以x -e 与x x -e 在区间)(∞+-∞，内线性无关． （3）因为x x xe ee 2=不恒为常数，所以x e 与x 2e 在区间)(∞+-∞，内线性无关． （4）因为≡=2ee 2x x常数，所以x e 与x 2e 在区间)(∞+-∞，内线性相关．（5）因为x xx 2cot 2sin 2cos =不恒为常数，所以x 2sin 与x 2cos 在区间)(∞+-∞，内线性无关． （6）因为≡=212sin cos sin x x x 常数，所以x 2sin 与x x cos sin 在区间)(∞+-∞，内线性相关． （7）因为x xx x x cot sin e cos e =不恒为常数，所以x x sin e 与x x cos e 在区间)(∞+-∞，内线性无关．（8）因为≡=3ln ln 3xx 常数，所以x ln 与3ln x 在区间)0(∞+，内线性相关． 3．验证函数x y e 1=，xx y e 2=是微分方程02=+'-''y y y 的两个线性无关的解，并写出该方程的通解．解：将x y e 1=代入方程02=+'-''y y y ，左式==+-=0e e 2e x x x 右式，所以x y e 1=是02=+'-''y y y 的解； 将xx y e 2=代入方程02=+'-''y y y ，左式==++-+=0e )e e (2)e 2e (x x x x x x x x 右式，所以x x y e 2=是02=+'-''y y y 的解． 因为x x y y x x==ee 22不恒为常数，所以函数x y e 1=，x x y e 2=是微分方程02=+'-''y y y 的两个线性无关的解．而02=+'-''y y y 是二阶线性齐次微分方程，则通解为x x C C y C y C y )e (212211+=+=．4．通过观察给出微分方程0=-''y y 的两个线性无关的特解，并写出该方程的通解． 解：0=-''y y 是二阶线性齐次微分方程，改写为y y =''，二阶导数与自身相等的函数有x y e 1=，xy -=e 2，它们是0=-''y y 的两个解，又x x xy y 222e e e --==不恒为常数，于是x y e 1=，x y -=e 2线性无关，所以方程0=-''y y 的通解为x x C C y -+=e e 21．5．验证下列所给函数是相应微分方程的通解（其中21,C C 是任意常数）：（1）函数221x xC x C y ++=，方程223x y y x y x =-'+''； （2）函数2211e sin cos aax C ax C y x+++=，方程x y a y e 2=+''； （3）函数++=x C C y 21x x x x sin cos 2e --，方程=''y x x x sin e +．解：（1）记x y =1、x y 12=、=+=2211y C y C Y x C x C 21+、2*x y =． 将x y =1代入到02=-'+''y y x y x 中，左式==-+=00x x 右式，所以x y =1是方程02=-'+''y y x y x 的解； 将xy 12=代入到02=-'+''y y x y x 中， 左式==--=0112c x x 右式，所以x y 12=是方程02=-'+''y y x y x 的解， 而2121x y y =不恒为常数，于是x y =1，xy 12=线性无关，所以方程02=-'+''y y x y x 的通解为=+=2211y C y C Y x C x C 21+． 又将2*x y =代入到223x y y x y x =-'+''中，左式==-+=2222322x x x x 右式，所以2*x y =是二阶非齐次线性微分方程223x y y x y x =-'+''的一个特解，根据二阶非齐次线性微分方程解的结构，得函数221x xC x C y ++=是方程223x y y x y x =-'+''的通解． （2）记ax y cos 1=、ax y sin 2=、=+=2211y C y C Y ax C ax C sin cos 21+、2*1e a y x+=． 将ax y cos 1=代入到02=+''y a y 中，左式==+-=0cos cos 22x a x a 右式，所以ax y cos 1=是方程02=+''y a y 的解； 将ax y sin 2=代入到02=+''y a y 中，左式==+-=0sin sin 22x a x a 右式，所以ax y sin 2=是方程02=+''y a y 的解，。

河东区2017-2018学年度第一学期期中质量检测高二数学试卷（理）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.直线的倾斜角为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】将化为，则，，∴．故选．2.2.为点到直线的距离，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】选B3.3.已知圆，则其圆心和半径分别为（）．A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】由圆的标准方程，得圆心为，半径．故选．4.4.如图，在正方体中，分别为棱，的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为与、为异面直线，不相交，与在同一平面内，不平行则相交，选D.5.5.若直线与平行，则实数的值为（）．A. B. C. 或 D. 或【答案】B【解析】根据两条直线平行的性质，得且，即且，∴，（舍）．故选．点睛：本题考查两条直线平行的判定；已知两直线的一般式判定两直线平行或垂直时，若化成斜截式再判定往往要讨论该直线的斜率是否存在，容易出错，可记住以下结论进行判定：已知直线，，①且；②.6.6.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径，若该几何体的体积是，则它的表面积是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】三视图复原该几何体是一个球去掉自身的后的几何体，∴，，∴表面积．故选．7.7.列结论正确的是（）．A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C. 棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体D. 任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥【答案】D【解析】选项，八面体由两个结构相同的四棱锥叠放在一起构成，各面都是三角形，但八面体不是棱锥；选项，若不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得几何体都不是圆锥，如图，故选．8.8.（A类题）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】对于B，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于C，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于D，易知AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故排除B，C，D，选A．点睛:本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．9.9.（B类题）在下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（）．A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】B【解析】①由面面，可知面,②直线不平行平面，与其相交，③易知面与面相交，所以与平面相交，④由可知面，综上，能得出面的序号为①④．故选．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分10.10.若空间中两点分别为，，则的值为__________．【答案】【解析】由题意，得，则．11.11.如图，一个几何体的三视图的轮廓均为边长为的取值范围为__________．【答案】【解析】该几何体为棱长为的正方体截去一个三棱锥得到，则．12.12.已知点在圆的内部，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】因为在圆内部，∴，即，即，即，∴，．13.13.已知直线，则该直线过定点__________．【答案】【解析】直线，，∴当，时过定点，∴，，∴过定点．点睛：本题考查直线过定点问题；解决直线过定点问题，主要有三种方法：①化成点斜式方程，即恒过点；②代两个不同的值，转化为求两条直线的交点；③化成直线系方程，即过直线和直线的交点的直线可设为.14.14.四个平面最多可将空间分割成__________个部分【答案】15【解析】个平面将空间分成部分，个平面将空间分成部分，个平面最多将空间分成部分，个平面最多将空间分成部分．15.15.（A类题）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，给出条件：①；②，；③，，，上述条件中能推出平面平面的是__________（填写序号）【答案】①②【解析】①若，则平面与平面无公共点，可得，①正确；②若，，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得，故②正确；③若，，则与可能平行也可能相交，且与无关，故③错误．故答案①②．16.16.（B类题）设，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，给出以下四个命题：①若，，则；②若，则；③若，，则；④若，，则，其中所有正确的命题的序号是__________．【答案】①③【解析】①若，，①正确；（两平行线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面），②若，，则，，②错误；③若，，则，③正确；（垂直于同一直线的两平面平行）；故答案：①③．三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.17.已知直线，分别根据下列条件，求的值．（）过点．（）直线在轴上的截距为．【答案】（）；（）【解析】试题分析：（1）将点的坐标代入直线方程可解得t的值（2）直线在y轴上的截距为－3，等价于直线过点，将点的坐标代入直线方程可解得t的值试题解析：(1)过点(1,1)所以当x=1，y=1时2+t-2+3-2t=0t=32)直线在y轴上的截距为-3所以过点（0，-3）-3(t-2)+3-2t=05t=9t=9/518.18.如图，长方体中，，点分别在上，，过点的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）．（2）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值．【答案】（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）或【解析】试题分析：（Ⅰ）分别在上取H,G,使；长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,可求得其体积比值为或试题解析：解：（Ⅰ）交线围成的正方形如图：（Ⅱ）作垂足为M,则,,,因为是正方形,所以,于是因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积比值为（也正确）.考点：本题主要考查几何体中的截面问题及几何体的体积的计算.视频19.19.已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点.（1）求圆的方程；（2）当时，求直线的方程.【答案】（1）. （2）或.【解析】试题分析：（1）先根据圆心到切线距离等于半径求，再根据标准式写圆方程（2）根据垂径定理得圆心到直线距离，再根据点到直线距离公式求直线斜率，最后讨论直线斜率不存在的情形是否满足条件试题解析：（1）由题意知到直线的距离为圆的半径，.圆的方程为.（2）设线段的中点为，连结，则由垂径定理可知，且.在中，由勾股定理易知.当动直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然满足题意；当动直线的斜率存在时，设动直线的方程为：，由到动直线的距离为1得.故直线的方程为或.20.20.如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为中点．（）求证：平面．（）求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（）证明如下；（）．【解析】试题分析：（）先利用等腰三角形的三线合一得到线线垂直，再利用面面垂直的性质定理进行证明；（）先利用平行关系得到异面直线所成的角，再通过解三角形进行求解.试题解析：（）证明：中，，为中点，∴，又∵侧面底面，侧面底面，面，∴面．（）如图，连接，在直角梯形中，，，由（）可知，为锐角，∴为异面直线与所成的角，∵，∴在中，，在中，，在中，，∴．21.21.已知的顶点A为（3，－1），AB边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求BC边所在直线的方程．【答案】【解析】设B(4y1－10，y1)，由AB的中点在6x＋10y－59＝0上，可得6·＋10·－59＝0，解得y1＝ 5，所以B为(10，5)．设A点关于x－4y＋10＝0的对称点为A′(x′，y′)，则有A′(1，7)．故BC边所在的直线方程为2x＋9y－65＝0.22.22.（A类题）如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上．（）求证：平面平面．（）当，且为的中点时，求与平面所成的角的大小．【答案】（）证明如下；（）（或）【解析】试题分析：（）利用正方形的性质和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定和面面垂直的判定定理进行证明；（）利用（1）结论，得到线面角，再通过解三角形进行求解.试题解析：（）证明：∵是正方形，∴，又∵底面，∴，∵，∴面，又∵面，∴面面．（）设，连接，由（）可知平面，∴为与平面所成的角，又∵，分别为，中点，∴，，又∵底面，∴底面，∴，在中，，∴，即与平面所成的角的大小为．23.23.（B类题）如图，长方体中，，，点为棱上一点．（）求证：平面平面．（）若是棱的中点，求与平面所成的角大小．【答案】（）证明如下；（）（或）．【解析】试题分析：（）利用正方形的性质和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定和面面垂直的判定定理进行证明；（））利用（1）结论，得到线面角，再通过解三角形进行求解.试题解析：（）证明：长方体中，，∵底面是正方形，∴，又∵面，∴，又∵，面，，∴面，∵面，∴面面．（）由（）可知面，∴在面内的投影为，∴为与平面所成的角，又∵，，在中，，∴，∴与面所成的角为．。