数的整除复习

数的整除知识点1：1、整除的意义：整数a除以整数b(b ≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。

2、因数与倍数：如果数a能被数b（b ≠0）整除，a就叫做b 的倍数，b就叫做a的因数（或a的因数）。

倍数和因数是相互依存的，不能单独说一个数是因数或倍数。

一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

3、2、3、5的倍数的特征（1）2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。

（2）5的倍数的特征：个位上是0或者5的数都是5的倍数。

（3）2和5的倍数的特征：个位上是0.（4）3的倍数的特征：一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数。

（5）2、3、5倍数的特征：个位是0，各个数位上的数字之和是3的倍数。

常见题型：1、一个数的最大因数和最小倍数都是30，这个数是（）。

2、（）是所有非0自然数的因数。

3、一个数的最小倍数是18，这个数有（）个因数，期中最大的因数是（）。

4、50以内8的倍数有（）。

12的因数有（）。

5、一个整数（0除外），最少有（）个因数。

6、有因数2，又是倍数5的最小两位数是（）；既是3的倍数，又是5的倍数的最小三位数是（）；同时是2,3,5的倍数的最小两位数是（），最小三位数是（），最大四位数是（）。

近五年的考题：一、填空1.在23，44, 89, 120, 111这五个数中，质数有（），3的倍数有（）。

（2016年）二、判断1、因为32÷3.2=10，所以32能被3.2整除。

（）（2012年）知识点2：奇数、偶数、质数、合数及分解质因数1、是2的倍数的数叫做偶数。

2、不是2的倍数的数叫做奇数。

3、每相邻的两个奇数之间相差2，每相邻的两个偶数之间相差2.4、一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫质数（或素数）。

质数只有2个因数。

5、一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。

10、数的整除复习第一章数的整除复习一、知识梳理（一）整数和整除：整除的条件：1、除数、被除数都是_______.2、被除数除以除数，商是_____，而且余数为_____.除尽的条件：1、除数、被除数不一定是____.2、被除数除以除数，商是整数或有限小数，而且____为零.(二) 整数和整除的意义整数a 能整除整数b ，b 叫做a 的______,a 叫做b 的_______.(三) 能被2、5整除的数1.能被2整除的数的特征：个位上是____________的数.2.能被5整除的数的特征：个位上是_______的数.3.能被3整除的数的特征：各个位上数的___能被____整除，这个数就能被3整除.(四) 素数、合数与分解素因数1、素数：______________________________________________.2、合数：_______________________________________________.3、一个数的因数的个数是_____的，最小的因数是_____，最大的约数是_____.4、一个数的倍数的个数是_____的，最小的倍数是_____，没有最大的倍数.5、“1”即不是_____，也不是_____.(五)公因数和最大公因数1、若两数互素，那么它们的最大公因数就是_________.2、若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是____________.(六)公倍数和最小公倍数1、若两数互素，那么它们的最小公倍数就是_____________.2、若两数是倍数关系，那么它们的最小公倍数就是_________.二、课前热身1、在下列数中，-10，2，0，-77，8.3，21,100，21 自然数有_______________，整数有_____________.2、如果27÷3=9，那么________能被_______整除，_______是_______因数。

数的整除复习教学设计共整数除法的教案设计4篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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考点一、整除的意义妍四(被除数、除数和商都必须是整数，旦除数不等于01、整除〔没有余数注意：整除2条件都必须满足，除尽满足“没有余数”的条件例1:42-7=6 (整除) 42+0.7=60 4.2+6=0.7 (除尽而不能说整除)【课堂过关检测】1、在下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，靖在()内打“ J”，不能整除的72 和36 17 和34 20 和5 0.5 和5() () () ()18 和3 19 和38 0.2 和4 17 和3() () () ()2、下列各题中，第一个数能被第二个数整除的有()个①34、17 ②3、6 ③5、2 ④ 1.5、0.5 ⑤ 18、1A 1B 2C 3D 43、12-4=3,我们可以说能被整除；也可以说能整除。

考点二、因数和倍数1、因数和倍数的意义如果axb=c (a, b, c,都不为0),那么我们就说a和b是c的因数，c是a和b 的倍数。

倍数和因数是相互依存的。

例1： 2X4=8, 2和4都是8的因数，8是2和4的倍数。

例2：因为：18能被2整除，所以18是倍数，2是约数. _____________2、倍数和因数的特征(1) 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。

(2) 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

(3) 一个数即是它的倍数也是它的因数。

(4) 特殊的因数个数：因数的个数最少为1个(如：1) o例1：18的因数有,最小的因数是,最大的因数是o最小的倍数是。

【课堂过关检测】1、根据6X8=48可以说和是的因数；是和的倍数。

2、在a：b=8中，和是的因数；是和的倍数。

3、36的因数有，选出其中4个数组成比例。

4、12的因数中，是奇数，是偶数，质数，合数。

5、如果a=2X3X7, b=2X3X5,那么a和b的最大公因数是，最小公倍数是。

6、48、54、68的最小公倍数是，最大公因数是。

数的整除知识点总结数的整除知识整理数的整除知识点总结如下：1. 除数和被除数：一个数被另一个数整除时，被除数称为整数，除数称为除数。

2. 整除关系：如果一个数a能被另一个数b整除，即a ÷ b = c，则称a能被b整除，或者说b能整除a，记作b｜a。

3. 余数：当一个数a被另一个数b整除时，如果除完后还有剩余部分，即a ÷ b = c 余 r（0 ≤ r < |b|），则r称为数a除以b的余数。

4. 因数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得b能整除a，即a = b × c，则称b 是a的因数，c是a的倍数。

a的因数包括1和a本身。

5.倍数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得a能整除b，即b = a × c，则称b 是a的倍数，c是a的因数。

a的倍数包括0和任意正负整数。

6.公约数：对于两个数a和b，如果存在一个数c，既能整除a又能整除b，即c｜a 且c｜b，则称c是a和b的公约数。

7.最大公约数：对于两个数a和b的公约数中，最大的一个公约数称为a和b的最大公约数，记作gcd(a, b)。

8.最小公倍数：对于两个数a和b的公倍数中，最小的一个公倍数称为a和b的最小公倍数，记作lcm(a, b)。

9.质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，无法被其他自然数整除的数称为质数。

质数只有两个因数，即1和该数本身。

10.合数：一个自然数，除了1和它本身外，还有其他因数的数称为合数。

合数有多个因数。

11.互质：两个数的最大公约数为1时，称这两个数互质。

12.互质数性质：互质数的乘积等于它们的最小公倍数。

13.素数分解：将一个合数分解成质数的乘积的过程，这个过程叫做素数分解。

这些是数的整除的基本知识点。

数的整除复习卷班级学号姓名成绩一、填空题1．统称为整数。

2．如果一个正整数除以7，商11，余4，那么这个数是。

3．如果m=5n成立，且n为整数，n≠0，那么可以称能被5整除。

4．一个正整数的所有因数中，最小的一个是，最大的一个是。

5．9的因数有，24分解素因数为。

6．已知A=2×2×3×5, B=2×3×5×7, 那么两数的最小公倍数是。

7．72的素因数有。

8．在能被2和5整除的三位数中，最小和最大的分别是。

9．所有正整数的公因数是，所有偶数的公因数是。

10．在1、2、4、5、9、51、87、97中，合数有个。

11．一个数，既是27的倍数，又是27的因数，这个数是。

12．三个连续偶数或者奇数，若其中一个是x，则另外两个是。

13．100以内的素数共有个。

14．正整数a和b的最大公因数是1，那么它们的最小公倍数是，15．33和99的最大公因数是，最小公倍数是。

16．在3、5、12、20中，两两互素的有对。

17．12、18、36的最大公因数是。

18．12、20的最小公倍数是。

19．三位数既有因数2，又有因数3，这样的数你可以写出个。

20．甲、乙两个数的最大公因数是6，最小公倍数是60，则甲、乙两个数可以。

21．若整数A=2×3×3×B（B为素数），则A的因数有个。

二、选择题÷=，那么以下说法正确的是……（）22．如果a、b、c三个不为零的正整数a b cA．b是因数 B．a是倍数C．b和c都是a的因数 D．c是a和b的倍数23．下列说法中，错误的是…………………………………………………………（）A．4是最小的合数 B．2既是素数又是偶数C．能够整除2的数是合数 D．能够被5整除的整数个位不是0就是5 24．既是30的因数，又是5的倍数的正整数有………………………………………（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个25．在下列各组数中，最小公倍数不是36的是………………………………（）A．4和9 B．3和12和36 C．2和18 D．6和9和12 26．下列说法中，正确的是………………………………………………………（）A．最小的自然数是1 B．没有最大的整数，但有最小的整数0 C．最大的负整数是−1 D．0既是正整数，又是负整数三、简答题27．将下列各数分解素因数（1）32 （2）45 （3）21028．利用分解素因数法，求下列各组数的最大公因数：（1）16和20 （2）39和65 （3）58和87 （4）24、40和72 （5）30、40和12029．利用短除法求下列各组分数中分母的最小公倍数（1）75818和（2）71136180和（3）15174630、和30．把下列各数按要求填入相应的方框中：0、1、2、4、5、10、17、36、47、48、53、76、93奇数合数素数四、综合题 31．“学雷锋日”，六（2）班三十多位同学分成人数相等的三组，分别去帮同学擦洗自行车，去敬老院为老人服务，做小小交通协管员。

一. 数的分类第一种分法 : 树状图 韦恩图整数第二种分法 整数第三种分法： 正整数一些关于数的结论:是最小的自然数,-1是最大的负整数,1是最小的正整数2.没有最大的整数,没有最小的负整数,没有最大的正整数3.正整数、负整数、整数的个数都是无限的二．整除1.整除定义概念：整数a 除以整数b,如果除得的商是整数而余数为零,我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁,这里的a相当于被除数,b 相当于除数2.整除的条件：1.除数、被除数都是整数2.被除数除以除数,商是整数而且余数为零注意点：区分整除与除尽：整除是特殊的除尽如正方形是特殊的长方形一样,即a 能被b 整除,则a 一定能被b 除尽,反之则不一定即a 能被b 除尽,则a 不一定能被b 整除;如4÷2=2, 4既能被2除尽,也能被2整除；4÷5=, 4能被5除尽,却不能说4能被5整除三．因数与倍数1.因数与倍数的定义：整数a能被整数b整除,a 就叫做b的倍数,b就叫做a的因数约数;注意点：1.因数和倍数是相互依存的,不能简单的说某个数是因数,某个数是倍数;如：6÷3=2,不能说6是倍数,3是因数；要说6是3的倍数,3是6的因数;2.因数与倍数是建立在整除的基础上的,所以如4÷=20,一般是不说4是的倍数,是4的因数;2.因数与倍数的特点：一个整数的因数中最小的因数是1,最大的因数是它本身;一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身,没有最大的倍数;因数的个数是有限的,都能一一列举出来,倍数的个数是无限的;3.求一个数因数的方法：利用积与因数的关系一对一对找,找出哪两个数的乘积等于这个数,那么这两个数就是这个数的因数;如16=1×16=2×8=4×4,那么16的因数就有1、2、4、8、16,计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数,注意按照一定的顺序以防遗漏;4.求一个数倍数的方法：这个数本身分别乘以1、2、3、4、5……即正整数得到的积就是这个数的倍数;若用n表示所有的正整数,则2的倍数可表示为2n, 5的倍数可表示为5n四．能被2、5、3整除的数的特点1.能被2整除的数即2的倍数个位上的数字是0、2、4、6、8,反之,个位上的数字是0、2、4、6、8的数也能被2整除2.能被5整除的数即5的倍数个位上的数字是0、5,反之,个位上的数字是0、5的数都能被5整除3.能被3整除的数即3的倍数各个位数上的数字之和是3的倍数,反之,各个位数上的数字之和是3的倍数的数都能被3整除4.能被2、5同时整除的数的个位数字都是0,个位数字为0的数也能被10整除,能被10整除的数一定能被2或5其中的一个或两个同时整除;五．奇数、偶数1.奇数与偶数的定义：能被2整除的整数叫做偶数,不能被2整除的整数叫做奇数;按照能否被2整除来划分奇数与偶数2.奇数个位数上的数的特点：1、3、5、7、9偶数个位数上的数的特点：0、2、4、6、83.在连续的正整数中除1外,与奇数相邻的两个数是偶数,与偶数相邻的两个数是奇数4.相邻的奇数或偶数数字相差2,奇数可用2n-1或2n+1表示,偶数可用2n表示;5.奇数与偶数加法和乘法的运算特点奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数利用此结论可检验一些运算是否正确,同时也要注意结论的逆向运用,如偶数奇数可拆成哪些奇数或偶数的和、积六.素数、合数1.素数与合数定义：一个正整数如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数质数,如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫做合数;注意点：1.素数与合数的分类方法是根据它们因数的个数来分的,素数只有2个因数1和本身,合数至少有三个因数；任何一个数除1外都有1和它本身两个因数;2. 1既不是素数也不是合数;3．最小的素数是2,最小的合数是42.素数与奇数的联系和区别奇数不一定都是素数;√1既不是素数也不是合数,9、15等是奇数但是合数所有素数都是奇数; ×2是素数,但2是偶数3.合数与偶数的联系与区别合数不一定都是偶数;√9、15等都是合数,但它们是奇数偶数都是合数; ×2是偶数但2是素数注意:判断题对的要说明原因,错的要举出反例;七．素因数与分解素因数1.素因数与分解素因数的定义：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数;把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数;注意：1.求一个数的素因数时,先把这个数分解素因数,有几个素因数就写几个;如24=2×2×2×3,则素因数是2、2、2、3,而不是2、32.因数与素因数的区别：因数可以是素数或合数,素因数一定是素数;一个数的素因数一定是这个数的因数,因数的个数一定比素因数的个数多;2.分解素因数的方法树枝分解法：过程中注意不要漏写乘号,分解要彻底,直到没有合数出现,也不能出现1.要分解的合数写在等号左边,把它的素因数用相乘的形式写在等号右边,再把这几个素因数按从小到大的顺序排列;短除法：1.先用一个能整除这个合数的素数去除通常从最小的开始,偶数肯定先用2除,奇数一般从3开始一个个带入验算2.得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到得出的商是素数为止;3.然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式;3.由一个数分解素因数求这个数的因数12=2×2×3,素因数是2、2、3,除1外由单个的素因数组成因数有2、3,由两个素因数组成的因数有2×2=4,2×3=6,由三个素因数组成的因数有2×2×3=12,所以12的因数有1、2、3、4、6、12.4. 由一个数分解素因数求这个数因数的个数1所有素因数都相同时,因数的个数是它素因数的个数+1,如8=2×2×2,素因数是2、2、2,则8的因数的个数是它素因数的个数+1,即4个2素因数不完全相同时,因数的个数是每个素因数个数+1后相乘的积,如12=2×2×3,素因数2的个数是2,素因数3的个数是1,则12的因数的个数是2+1×1+1=6八.公因数与最大公因数1.公因数与最大公因数定义:几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数.2.互素定义：如果两个整数只有公因数1,那么称这两个数互素;如8和9注意：互素是两个数之间,素数是指一个数,互素的两个数的最大公因数就是1.两个互素的数未必都是素数; √8和9互素,但8和9都是合数两个不同的素数一定互素. √若缺少“不同的”,则错,因为3和3都是素数但不互素3. 求两个数最大公因数的方法：1 一般方法：写出两个数所有的因数,再找出它们共同的最大的因数2 分解素因数的方法：把这两个数分解素因数,再找出相同的素因数,把它们所有的公有的素因数相乘,所得的积就是它们的最大公因数;3 短除法：先用这两个数公有的素因数去除一般从最小的素因数开始,得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到两个数互素为止,这两个数的最大公因数就是左侧的除数的乘积. 类比用短除法分解素因数的方法4. 两个整数中,如果某个数是另一个数的因数,那么这个数就是这两个数的最大公因数;如果这两个数互素,那么它们的最大公因数就是1.九.公倍数和最小公倍数1.公倍数与最小公倍数定义:几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数,其中最小的一个叫做它们的最小公倍数.2.求两个数最小公倍数的方法:1一般方法:从小到大分别依次写出几个这两个数的倍数,再找出它们共同的最小的倍数2分解素因数的方法: 把这两个数分解素因数,再找出相同的素因数,再取各自剩余的素因数,将这些数连乘所得的积,就是这两个数的最小公倍数.3短除法: 先用这两个数公有的素因数去除一般从最小的素因数开始,得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到两个数互素为止,这两个数的最小公倍数就是左侧的除数与底部商的乘积.注意点:1.用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时,过程都相同,只是最后写结论时注意需要乘哪些数.2.求两个数的最大公因数和最小公倍数,先判断这两个数是否存在因数倍数关系或互素关系,存在因数倍数关系时,最大公因数就是较小的那个数,最小公倍数就是较大的那个数;两数互素时,最大公因数就是1,最小公倍数就是它们的乘积.3.两个整数的公倍数一定能被这两个数整除.十.求三个整数的最大公因数和最小公倍数拓展1求三个整数的最大公因数:同样也是三种方法,只需找出三个数共同的因数,最大的因数就是最大公因数.注意与三个数的最小公倍数区分2求三个整数的最小公倍数:一般方法:写出三个数的倍数,再找出最小公倍数.分解素因数法:分别分解素因数,先找出三个数共同的素因数,再找出每两个数公有的素因数,再取各自剩余的素因数,把这些素因数连乘所得的积就是这三个数的最小公倍数.短除法:先用三个数公有的素因数去除直到三个数没有公有的素因数,再用其中两个数公有的素因数去除,直到除得的三个商两两互素为止即三对互素数。

第一章数的整除一、知识整理1.1整数和整除整除的条件：1．除数、被除数都是整数。

2．被除数除以除数，商是整数，而且余数为零。

除尽的条件：1．除数、被除数不一定是整数。

2．被除数除以除数，商是整数或有限小数，而且余数为零。

☆整除是除尽的一种特殊情况。

1.2整数和整除的意义整数a能整除整数b，b叫做a的倍数。

a叫做b的因数。

☆倍数和因数是相互依存的。

1.3能被2、5整除的数1.4素数、合数与分解素因数正整数素数（2是唯一的偶素数）合数既不是素数也不是合数。

素数：除1与本身外没有其他因数的数。

合数：除1与本身外有其他因数的数。

分解素因数用短除法。

（用等式些写结论，分解的书写在最前。

）1.5公因数与最大公因数求两数的最大公因数：1.定义法2.分解素因数3.短除法a 和b 的最大公因数是c 的表示方法：（a ，b ）=c☆若两数互素，那么它们的最大公因数就是1。

☆若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是较小数。

1.6公倍数与最小公倍数求两数的最小公倍数：1.定义法2.分解素因数3.短除法a 和b 的最小公倍数是c 的表示方法：[a ，b]=c☆若两数互素，那么它们的最小公倍数就是两数的乘积。

☆若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是较大数。

总结：一个整数正整数 零 负整数☆任何一个合数都可以分解质因数。

1.整除 “三整一零” 整除是除尽的一种特殊情况。

2.倍数，因数整数间的关系 3.互素（两两互素）4.公因数（最大） 最小公倍数5.公倍数（最小） =最大公因数×各自独有的因数奇数（2n 加1，n 为正整数） 偶数（2n ，n 为正整数）素数：只有1和它本身这两个因数 合数：除了1和它本身还有其它因数二、习题练习1.求下列各数的最大公因数和最小公倍数。

（1）56，108，72 （2）36，28,15三、拓展知识对于“每/每隔/每过”不同情况的区分：。