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考研概率与数理统计第一章 随机事件和概率第一节 基本概念例题例1．1：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问总共输的场次是多少？例1．2：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．3：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．4：10人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。
例1．5：两线段MN 和PQ 不相交，线段MN 上有6个点A 1，A 2…，A 6，线段PQ 上有7 个点B 1，B 2，…，B 7。
若将每一个A i 和每一个B j 连成不作延长的线段A i B j (i=1,2,…6;j=1,2,…,7),则由这些线段 A i B j 相交而得到的交点最多有A ． 315个B ． 316个C ． 317个D ． 318个例1．6：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？例1．7：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求有数字8的牌照号码的个数。
例1．8：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的种数？（有序）151513=∙C C 2112121515=∙-∙C C C C例1．9：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的种数？（有序）121413=∙C C 1811121415=∙-∙C C C C例1．10：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的种数？（无序）121413=∙C C 92225=-C C 例1．11：化简 (A+B)(A+B )(A +B)例1．12：)()()(C B C A C B A = 成立的充分条件为： (1)C A ⊂ (2) C B ⊂例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的概率？例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的概率？例1．15：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的概率？例1．16：袋中装有α个白球及β个黑球。
1.【2012高考真题辽宁理10】在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为 (A) (B) (C) (D) 2.【2012高考真题湖北理8】如图，内随机取一点则此点取自阴影部分的概率是 A． B． C． D．3.【2012高考真题广东理7】从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是 A. B. C. D. 4.【2012高考真题福建理6】如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为 A. B. C. D. 【答案】Ｃ. 【解析】根据定积分的几何意义可知阴影部分的面积，而正方形的面积为１，所以点Ｐ恰好取自阴影部分的概率为．故选Ｃ． 5.【2012高考真题北京理2】设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （A） （B） （C） （D） 6.【2012高考真题上海理11】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。
7.【2012高考真题新课标理15】某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 【答案】 【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为 超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为. 8.【2012高考江苏6】（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 9.【2012高考真题四川理17】(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和。
2013硕士研究生入学考试 数学一一，选择题：1-8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1.已知极限0arctan lim k x x xc x→-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（ ） A.12,2k c ==- B. 12,2k c == C. 13,3k c ==- D. 13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ）A.2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --= 3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)nb f x n xdx n π==⎰ ，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9()4-=S （ ）A .34 B. 14 C. 14- D. 34- 4.设221:1L x y +=，222:2L x y +=，223:22L x y +=，224:22L x y +=为四条逆时针方向的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63ii L y x I y dx x dy i =++-=⎰ ，则{}1234max ,,,I I I I = A.1I B. 2I C. 3I D 4I5.设A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（ ） A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价6.矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（ ）A.0,2a b == B. 0,a b = 为任意常数 C. 2,0a b == D. 2,a b = 为任意常数7.设123,,X X X 是随机变量，且1(0,1)X N ，22(0,2)X N ，23(5,3)X N ，{}22(1,2,3)=-≤≤=i i P P X i ，则（ ）A.123P P P >> B. 213P P P >> C. 322P P P >> D 132P P P >>8.设随机变量()X t n ,(1,)Y F n ，给定(00.5)a a <<，常数c 满足{}P X c a >=，则{}2P Y c >=( )二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
考研概率与数理统计第一章 随机事件和概率第一节 基本概念例题例1．1：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问总共输的场次是多少？例1．2：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．3：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．4：10人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。
例1．5：两线段MN 和PQ 不相交，线段MN 上有6个点A 1，A 2…，A 6，线段PQ 上有7 个点B 1，B 2，…，B 7。
若将每一个A i 和每一个B j 连成不作延长的线段A i B j (i=1,2,…6;j=1,2,…,7),则由这些线段 A i B j 相交而得到的交点最多有A ． 315个B ． 316个C ． 317个D ． 318个例1．6：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？例1．7：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求有数字8的牌照号码的个数。
例1．8：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的种数？（有序）151513=∙C C 2112121515=∙-∙C C C C例1．9：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的种数？（有序）121413=∙C C 1811121415=∙-∙C C C C例1．10：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的种数？（无序）121413=∙C C 92225=-C C 例1．11：化简 (A+B)(A+B )(A +B)例1．12：)()()(C B C A C B A = 成立的充分条件为： (1)C A ⊂ (2) C B ⊂例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的概率？例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的概率？例1．15：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的概率？例1．16：袋中装有α个白球及β个黑球。
2013年心理学考研部分真题答案简答题76、艾宾浩斯以自己的为被试，采用机械重复的记忆方法，对遗忘规律进行了定量研究，据此回答一下问题：（1）实验使用材料是什么？（2）测量记忆保持量的指标是什么？（3）用简单图画出艾宾浩斯遗忘曲线。
（4）实验的结论是什么？答：（1）使用的材料：无意义音节，即：由若干字母组成、能够读出、但无内容意义即不是词的音（2）测量记忆保持量的指标是：两次学习所用的时间和诵读次数的差异（3）时间（天）（4）艾宾浩斯用实验证明，遗忘在学习之后立即开始，遗忘的进程最初进展得很快，以后逐渐缓慢。
（勤思考研强化班讲义p26，勤思考研必胜习题库p90简答题1：简述艾宾浩斯的遗忘曲线）77、简述内部言语的含义及特点。
答：内部语言是一种自问自答或不出声的语言活动。
内部语言是在外部语言的基础上产生的。
内部语言虽然不是直接用来和别人交际，但它是人们语言交际活动的组成部分。
内部语言的特点是：（1）隐蔽性。
内部语言是一种不出声的语言，它以语音的隐蔽性为特点。
当我们在头脑中思考某种行动计划或希望调节自己行为时，我们就是用这种不出声的内部语言。
（2）简略性。
内部语言比对话语言更简略，这和它执行的功能有关。
内部语言不是一种直接用于交际的语言，它不存在别人是否理解的问题，因此常常以十分简略、概括的形式出现。
在内部语言中，句子的大量成分常常被忽略，如只保留主语和谓语。
他可以用一个词或词组来代表一系列完整的陈述。
（勤思考研强化班讲义p33，勤思考研必胜习题库p1 11简答题3：简述言语的种类和特点）78、简述儿童同伴关系的作用答：（1）文化传递和行为发展功能。
儿童在扬弃成人文化和创造自己新文化的同时，会形成他们自己的群体文化，并逐代传递。
（2）认知发展功能。
维果茨基指出认知发展在很大程度上是人际交流的结果。
皮亚杰指出，同伴关系对于儿童的社会认知发展具有重要意义。
（3）情绪发展功能。
同伴关系是满足儿童社交需要、获得社会支持、安全感、亲密感和归属感的重要源泉。
函数、多元函数的微分与积分，积分又分成定积分、二重积分、三重积分及曲线曲面积分（数学一考生），这样在一棵大树上开出了众多的枝叶，而考试即围绕着基石，并在
各枝叶间流转。
级数是将函数化繁就简的手段，当然其处理方式需掌握，在进行其他学科深入研究中用得着。
但考试依然只能考最基本正项级数与幂级数。
微分方程是处理实际问题的数学建模方式之一，高等数学中仅介绍简单的能求解的微分方程类型，并将其求解方法归类，考查中最大的变化即是对一些特别的方程的解与方程之间的关系进行扭转互换。
矩阵与向量组是研究方程组的两大方式，方程组的求解既可与矩阵初等变换联系，又可与向量的线性表示联系，对矩阵本身的讨论离不开秩，这是矩阵的本质，抓住秩即抓住了核心。
随机变量是概率论研究的对象，分布函数密度函数是随机变量的数学化描述，通过函数的特性掌握随机变量的特性，当然需要熟悉分布函数密度函数的特殊处理手法。
随机变量的数字特征是其本性，求取特征数字的目的是把握随机变量的本质，考试常会考查，包括统计量的数字特征。
2013 年考研数三真题及答案解析一、选择题1 —8 小题．每小题4 分，共 32 分．、１．当 x0 时，用 o(x) 表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（ A ） x o ( x 2) o(x 3 )（ B ） o( x) o(x 2 ) o( x 3)（ C ） o( x 2) o( x 2)o( x 2)（ D ） o(x) o( x 2) o( x 2)【详解】由高阶无穷小的定义可知（ A ）（ B ）（ C ）都是正确的，对于（ D ）可找出反例，例如当 x 0时 f (x) x2x3o( x), g( x)x3o(x 2) ，但 f (x)g(x)o( x) 而不是o( x 2) 故应该选（ D ）．xx2．函数 f ( x)1的可去间断点的个数为（）x( x1) ln x（A ）0（ B ）1（ C ）2（D ）3【详解】当 x ln xx1e xln x1 ~ x ln x ，0 时， xxx ln xlim f ( x) limx1lim 1 ，所以 x 0是函数 f ( x) 的可去间断点．x 0x 0x( x 1) ln xx 0x ln xxx ln xlim f ( x) limx1lim 1，所以 x1 是函数 f ( x) 的可去间断点．x 1x 1x( x 1) ln xx 02 x ln x2xxxln xlim f ( x)lim1lim，所以所以 x1不是函数 f (x) 的(x 1) ln xx1x1x(x 1) ln xx 1可去间断点．故应该选（ C ）．３．设 D k 是圆域 D( x, y) | x2y21 的第 k 象限的部分， 记 I k( y x)dxdy ，则D k（）（ A ） I 1B I 2C 3D I 4（ ）（ ） I（ ）【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知k 2121I k( yx)dxdy( k 1) d(sincos )rdrD k321kcos |k 2sin132所以 I 1I 30,I 22 , I 4 2 ，应该选（ B ）．3 3４．设 a n 为正项数列，则下列选择项正确的是（）（A ）若 a na n 1 ，则( 1) n 1a n 收敛；n 1k2 (sinsin ) dk 1 2（B ）若( 1)n 1a n 收敛，则 a n a n 1 ；n 1（C ）若a n 收敛．则存在常数 P 1，使 lim n pa n 存在；n 1n（D ）若存在常数 P 1，使 lim n pa n 存在，则a n 收敛．nn 1【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（ D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（ A ）（ B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（ A ），但少一条件 lim a n0 ，显然错误． 而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，n选项（ B ）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（ A ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价． （ B ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价． （ C ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．（ D ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价．【详解】 把矩阵 A ，C 列分块如下： A 1, 2,, n , C 1 , 2 , , n ，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知i b i1 1 b i 2 2b in n (i 1,2, , n) ，得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即 A CB 1，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该选（B ）．1 a 12 06．矩阵 a b a与矩阵0 b 0 相似的充分必要条件是1 a 10 0（ ） a0,b2（ ） a 0， b 为任意常数AB（ C ） a 2,b 0（D ） a 2 ， b 为任意常数2 01 a 12 0 0 【详解】注意矩阵 0 b0 是对角矩阵，所以矩阵 A= a ba 与矩阵0 b 0 相 0 01 a 10 0似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．1a 1E Aa b a (2(b 2)2b 2a 2)1a1从而可知 2b 2a22b ，即 a 0 ， b 为任意常数，故选择（ B ）．7 ． 设 X 1,X 2,X 3 是随机变量，且X 1 ~ N (0,1), X 2 ~ N(0,22), X 3 ~ N(5,32) ，P iP 2 X i2 ，则（A ） P 1 P 2 P 3（B ） P 2 P 1 P 3（C ） P 3P 2 P 1（D ） P 1P 3P 2【详解】若 X ~ N(, 2)，则 X~ N(0,1)P 1 2 (2) 1， P 2P2X 22PX 2 12 (1) 1，12P 3 P2X 32 P2 5 X3 52 5 7 7333( 1)1)33，P 3P 217 3 (1) 0．3(1)23故选择（ A ）．8．设随机变量 X 和 Y 相互独立，且X 和 Y 的概率分布分别为X0 1 2P1/21/41/8Y -1 0 P1/31/3则PXY2 （）（A ）1（B ）1（C ）1（D ） 128 63P 1/8 1 1/312【详解】PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX1111 3,Y12424612，故选择（ C）．二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4分，满分 24分 .把答案填在题中横线上）9．设曲线y f (x) 和 y x 2x 在点1,0处有切线，则lim nf n．n n2【详解】由条件可知 f 10, f ' (1)1．所以f12 n n f (1)lim nf lim2 2 f '(1)2n22n 2n nn22n 10．设函数z z x, y 是由方程z y x xy 确定，则z|(1,2 )．x【详解】设 F x, y, z F x x, y, z( z y) x l z y)当 x 1, y 2 时，z0 ，所以11．ln x2 d x．(1x)1(z y x xy，则)y, F z (x,ny, z) x(z y) x 1，(z|(1, 2 )2 2 ln 2 ．x【详解】1ln x2 dx1ln xd1ln x |111dx ln x|1 ln 2 (1 x) 1 x1x x(1 x)x112．微分方程y y 1 y0 的通解为．411【详解】方程的特征方程为r0，两个特征根分别为412，所以方程通2x解为 y (C1 C 2 x) e2，其中 C1 ,C2为任意常数．13．设A aij是三阶非零矩阵， A 为其行列式，A ij为元素 a ij的代数余子式，且满足Aij aij0(i , j1,2,3) ，则A=．【详解】由条件 Aijaij0(i, j 1,2,3) 可知 AA*T0 ，其中 A * 为 A 的伴随矩阵，从而可知A* A *T3 1A ，所以 A 可能为1或 0．An,r (A)n但由结论 r ( A *)1, r ( A) n 1 可知， A A *T0 可知 r ( A)r ( A*) , 伴随矩阵的秩只0, r ( A) n1能为 3，所以 A 1.14．设随机变量 X 服从标准正分布 X ~ N ( 0,1) ，则 E Xe 2X．【详解】E Xe2 X1 x 2x(x 2)2e 2(x 2) 2xe2xe 2dxe2dx( x 22)e 2dx222 2e 2t 2t 2te 2dt 2e 2dte 2 E( X ) 2e22e2．2所以为 2e 2．三、解答题15．（本题满分 10 分）当 x 0时，1 cosx cos2x cos3x 与 ax n是等价无穷小，求常数a, n ．【分析】主要是考查 x 0 时常见函数的马克劳林展开式．【详 解 】当 x 0时，122 )，c x o 1 s xo( x1(2x)22cos2 x1 o(x2 ) 1 2 x2o(x 2)，2cos3x11(3x)2o( x 2) 1 9 x 2 o( x 2 ) ，22所以1 cosx cos2xcos3x1 (1 1 x2o( x 2))(12x2o(x 2 ))(1 9 x2o( x 2 )) 7x2o( x 2)22，由于 1 cosx cos2 x cos3x 与 ax n是等价无穷小，所以 a 7, n 2 ．16．（本题满分10 分）设 D 是由曲线 y3x ，直线 x a (a 0) 及 x 轴所转成的平面图形，V x ,V y 分别是 D 绕 x轴和 y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若10V x V y ，求 a 的值．【详解】由微元法可知a 252dxa3a 3V xy x 3dx；5aa 47x 3dx6a 3V y2 xf ( x) dx 2；0 7由条件 10V x V y ，知 a 7 7 ．17．（本题满分 10 分）设平面区域 D 是由曲线 x3 y, y3x, xy 8 所围成，求x 2dxdy ．D【详解】x 2dxdyx 2dxdyx 2dxdy2x 2dx x dyx 2dx x dy416 ．3 x6 8 xDD 1D 20 32 3318．（本题满分 10 分）设生产某产品的固定成本为6000 元，可变成本为20 元 / 件，价格函数为 P60Q,（P1000是单价，单位：元， Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（ 1）该的边际利润． （ 2）当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义．（ 3）使得利润最大的定价 P ．【详解】（1）设利润为Q 2 y ，则 y PQ (6000 20Q ) 40Q6000 ，1000边际利润为 y'40Q .500（ 2）当 P=50 时， Q=10000，边际利润为 20．经济意义为：当 P=50 时，销量每增加一个，利润增加20．（3）令 y'0，得Q20000 , P20000 40.601000019．（本题满分 10 分）设函数 f x 在 [0,) 上可导， f0 0 ，且 lim f (x)2 ，证明x（1）存在 a 0 ，使得 f a1;（2）对（ 1）中的 a，存在(0, a) ，使得 f ' ( 1 ．)a【详解】证明（ 1）由于lim()2，所以存在X0，当 x X 时，有3，f x5x f (x)22又由于 f x在 [0,) 上连续，且 f 00 ，由介值定理，存在a0 ，使得 f a 1;（2）函数f x 在 [0,a] 上可导，由拉格朗日中值定理，存在(0, a) ，使得 f ' ()f (a) f (0)1．a a20．（本题满分 11 分）1a, B 01，问当 a, b 为何值时，存在矩阵C，使得AC CA B ，并求出设 A01b1所有矩阵 C．【详解】显然由 AC CA B 可知，如果C存在，则必须是x1x22 阶的方阵．设C，x3x4则 AC CA B 变形为x2ax3ax1x2ax40 1，x1x3x4x2ax3 1 bx2ax30即得到线性方程组ax1x2ax41，要使 C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方x1x3x41x2ax3b程组的增广矩阵进行初等行变换如下01a0010111a10a101a00 A |b011100001，1a01a0b0000b所以，当 a1, b0 时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得AC CA B ．10111此时， A | b011000000，00000x1111所以方程组的通解为x x20C11C2，也就是满足 AC CA B 的矩阵x3010x4001C为C1C1C2C1，其中 C1 , C2为任意常数．C1C221．（本题满分 11 分）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2(a1 x1 a2 x2 a3 x3 ) 2(b1 x1 b2 x2 b3 x3 )2．记a1b1a2,b2．a3b3（1）证明二次型 f 对应的矩阵为 2T T ；（2）若,正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2 y12y22．【详解】证明：（1）f ( x1, x2 , x3 ) 2(a1 x1 a2 x2a3 x3 ) 2(b1 x1b2 x2b3 x3 ) 2a1x1b12 x1, x2 , x3 a2a1 ,a2 , a3 x2x1 , x2 , x3 b2 b1, b2 ,b3a3x3b3x1x1x1, x2 , x3 2T x2x1, x2 , x3T x2x3x3x1x1, x2 , x3 2T T x2x3所以二次型 f 对应的矩阵为2T T ．证明（ 2）设A2T T ，由于1, T0则 A2T T22T2，所以为矩阵对应特征值向量；A2T T2T2，所以为矩阵对应特征值量；x1x2x31 2 的特征21的特征向而矩阵 A 的秩r ( A) r ( 2T T )r (2T ) r (T) 2，所以30 也是矩阵的一个特征值．故 f 在正交变换下的标准形为 2 y12y22．22．（本题满分11 分）设 X,Y是二维随机变量， X 的边缘概率密度为f X( x)3x2 ,0x 1，在给定0,其他X x(0x1) 的条件下，Y的条件概率密度为f Y( y / x)3y 2,0y x,x 3．X0,其他（1）求X ,Y的联合概率密度 f x, y ；（2） Y 的的边缘概率密度f Y ( y) ．【详解】（ 1）X , Y的联合概率密度 f x, y：f x, y f Y ( y / x) f X ( x)9 y 2,0 x1,0y x xX0,其他（2） Y 的的边缘概率密度f Y ( y) ：f Y ( y) f (x, y)dx 1 9 y29 y2ln y,0 y 1dxy x0,其他23．（本题满分11 分）2设总体X 的概率密度为 f (x; )x 3e x , x 00,，其中为为未知参数且大于零，其他X1X 2,X n为来自总体 X 的简单随机样本．（1）求的矩估计量；（2）求的极大似然估计量．【详解】（ 1）先求出总体的数学期望E（ X）2E(X)xf (x)dx2e x dx，x令 E(X)1nX X i，得的矩估计量n n 1（2）当x i0(i1,2, n) 时，似然函数为1 nX i．Xn i1n22nn 1xx iL ( )3 ei3ei 1n，i1x ix ii 1取对数， ln L() 2nlnn1 3nln x i ，x ii1 i 1令 d ln L( )0 ，得2nn10 ，di 1 xi解得 的极大似然估计量为 ．。
13年概率分布列真题汇编1.2013福建理16．（本小题满分13分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分;未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X,求3X 的概率;（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问:他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？2．（2013辽宁，理19）现有10道题，其中6道甲类题,4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．3．（2013山东，理19）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23。
假设各局比赛结果相互独立．（1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．4。
(2013浙江，理19)(本题满分14分)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球，且规定:取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分．（1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2）从该袋子中任取（每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝59，求a∶b∶c.1 7 92 0 1 53 0第17题图5．(2013重庆，理18)(本小题满分13分，(1）小问5分，（2)小问8分．）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下： 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E (X ）．6.（2013年新课标1)19、一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50％,即取出的产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立 (1）求这批产品通过检验的概率;(2）已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位:元)，求X 的分布列及数学期望。
2013年考研数学(三)试题答案速查一、选择题（1）D （2）C （3）B （4）D （5）B （6）B （7）A （8）C 二、填空题（9）2− （10）22ln 2− （11）ln 2 （12）1212e ()x C C x + （13）1− （14）22e 三、解答题 （15）2,7n a ==. （16）a =（17）3416. （18）（Ⅰ）40500Q L '=−. （Ⅱ）当50p =时，边际利润为20.经济意义为：当50p =时，销量每增加一件，利润增加20. （Ⅲ）40p =. （19）略.（20）当0,1=−=b a 时,121121k k k k k ⎛++−⎫= ⎪⎭⎝C ,其中21,k k 为任意常数.（21）略.（22）（Ⅰ）2901,(,)0,y y x f x y x ⎧<<<⎪=⎨⎪⎩，其他.（Ⅱ）29ln ,01,()0,Y y y y f y ⎧−<<=⎨⎩其他. （Ⅲ）81.（23）（Ⅰ）11ni i X n ==∑θ.（Ⅱ）121ni inX θ==∑. 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】D .【解答】由无穷小量的定义可知答案（A ）（B ）（C ）均正确．对于答案（D ）可举反例，240,(),()x f x x g x x →==，24()()()f x g x x x o x +=+=．（2）【答案】C ．【解答】由函数形式可以判断，在1,0,1x =−处可能是可去间断点，在该点分别求极限，有ln||111e 1ln ||lim ()lim lim (1)ln (1)ln x x x x x x x f x x x |x |x x |x |→−→−→−−==→∞++，故1x =−不是可去间断点. ln||000e 1ln ||lim ()lim lim 1(1)ln (1)ln x x x x x x x f x x x |x |x x |x |→→→−===++，0x =是可去间断点. ln||111e 1ln ||1lim ()lim lim (1)ln (1)ln 2x x x x x x x f x x x |x |x x |x |→→→−===++，1x =是可去间断点. （3）【答案】B .【解答】由题目条件可知，积分()d d kk D I y x x y =−⎰⎰关于,x y 轮换对称，所以130II ==.在第二象限，0y x −>，在四象限0y x −<，所以答案选B .（4）【答案】D ．【解答】答案D 为正项级数收敛的极限审敛法，故正确.其余选项，均可找到反例， 对于选项（A ）构造反例11n a n=+，满足1+>n n a a ，但lim 10n n a →∞=≠．对于选项（B）构造反例232ππcos )2n a nn=−收敛，则n n n a ∑∞=−−11)1(收敛，但没有单调性. 对于选项（C ）构造反例2sin n n a n α=收敛，而22sin lim lim sin n n n n n nαα→∞→∞=不存在． （5）【答案】B ．【解答】对矩阵A,C 分别按列分块,不妨设12123(,),(,)n ==A αααC γγγ,1111n n nn b b b b ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭B ． 可见矩阵C 的列向量组可由矩阵A 的列向量组线性表出. 再B 可逆可得1−=CB A ，同理有矩阵A 的列向量组可由矩阵C 的列向量组线性表出,即二者等价,故选答案B ．（6）【答案】B ．【解答】不妨设11200,0011000a a b a b a ⎫⎛⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎭⎝A B .因为211[(2)()2]11aa b a b a a λλλλλλλ−−−⎫⎛⎪ −=−−−=−−−⎪ ⎪−−−⎝⎭E A ，所以，当0a =时，矩阵A 的特征值分别为2,,0b ,且b 可为任意常数. 显然可得矩阵B 的特征值分别为2,,0b ,故选答案B . （7）【答案】A .【解答】由题目条件,因为1~(0,1)X N ,所以{}1122(2)(2)2(2)1P P X =−=Φ−Φ−=Φ−. 因为，22~(0,2)X N ,23~(5,3)X N ,所以，{}22222{11}(1)(1)2(1)12X P P X P −=−=−=Φ−Φ−=Φ−. {}333577221(1)()333X P P X P −⎫⎧=−=−−=Φ−−Φ−⎨⎬⎩⎭.通过数值比较可知321P P P >>，故选答案A . （8）【答案】C .【解答】由X 和Y 的概率分布，可知{}{}21,1{2,0}{3,1}P X Y P X Y P X Y P X Y +====+==+==−．又二者相互独立，所以{}12{1}{1}{2}{0}{3}{0}6P X Y P X P Y P X P Y P X P Y +====+==+===．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】2−.【解答】因为二曲线有公共的切线，所以二者在点(1,0)处有交点，且在该点的导数值相同，因此有，(1)0,(1)1f f '==.0122(1)(1)212lim ()lim lim12n n x x x f f n n n x nf n xn→∞→∞→=−−++=+ 022(1)(1)1212lim212x x xf f x x x x x→−−++=−−+0212'(1)lim 2x x x f x →+=−⋅=−.（10）【答案】22ln 2−. 【解答】方程可变型为ln()ex z y xy +=，方程两端对变量x 求导，得ln()1e ln()x z y z z y x y z y x +⎡⎤∂⋅++⋅⋅=⎢⎥+∂⎣⎦，当1,2x y ==时，得0z =，代入上式可得=∂∂)2,1(xz 22ln 2−.（11）【答案】ln 2. 【解答】21111ln 1ln 1d ln d d (1)11(1)x x x x x x x x x x +∞+∞+∞+∞⎡⎤⎛⎫=−=−−⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 1ln ln 21xx +∞==+.（12）【答案】()1212e x C C x +.【解答】原方程对应的特征方程为2104λλ−+=，有两个相同的实根1212λλ==. 由微分方程解的结构可得答案. （13）【答案】1−.【解答】因为0ij ij a A +=，所以*T=−A A .再由*=AA A E ,得T−=AA A E ，有23−=A A .由于矩阵为三阶非零矩阵,所以ij A 不全为0.不妨设110a ≠,而2221112130a a a =−−−≠A ,所以1=−A .（14）【答案】22e .【解答】由期望的定义得22(e)e ()d XxE X x x x ϕ+∞−∞=⎰，其中22()x x ϕ−=．()222222(e)e d2exXE X x−+∞−−∞==⎰()222x−−为正态分布(2,0)Y N的密度函数，所以()222d()2xx E Y−+∞−−∞==⎰为(2,0)N的期望．三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）解：因为当0x→时，1cos cos2cos3x x x−与nax是等价无穷小，所以01cos cos2cos3lim1nxx x xax→−=，又因为1cos cos2cos3limnxx x xax→−cos6cos4cos2114limnxx x xax→+++−=1003cos6cos4cos26sin64sin42sin2lim lim44n nx xx x x x x xax anx−→→−−−++==236cos616cos44cos2lim4(1)nxx x xan n x−→++=−.所以，2n=时，上式极限存在.当2n=时，236cos616cos44cos236164lim14(1)421nxx x xan n x a−→++++==−⋅⋅，得7a=.所以2,7n a==.（16）（本题满分10分）解：由旋转体积公式得：15523333π3ππ()d55axaV x x x a===⎰，17733336π2π()d2π77ayaV x x x x a===⎰由已知条件知，10y xV V=，故736π7a533π105a=，所以a=（17）（本题满分10分）解：直线8=+yx与两条直线xyyx3,3==的交点分别为(6,2)和(2,6)，则积分区域D 可以分割为12,D D 两部分，所以，12222d d d d d d DD D x x y x x y x x y =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰236822233d d d d xxx x x x y x x y −=+⎰⎰⎰⎰62434022813241612833333x x x ⎛⎫=+−=+= ⎪⎝⎭.（18）（本题满分10分）解：（Ⅰ）设利润为()L Q ，则2()(206000)4060001000Q L Q pQ Q Q =−+=−−，所以边际利润为()40500Q L Q '=−. （Ⅱ）当50p =时，由601000Q p =−，得10000Q =，所以10000(10000)4020500L '=−=.经济意义为：当50p =时，销量每增加一件，利润增加20.（Ⅲ）令()0L Q '=，得20000Q =，又(20000)0L ''<.此时解得60401000Qp =−=为最大利润.（19）（本题满分10分） 证明：（Ⅰ）3lim ()22x f x →+∞=>，所以存在X ,当x X >时，3()2f x >.又()f x 在[0,]X 上连续，根据连续函数介值定理，存在[0,]a X ∈，使得()1f a =. （Ⅱ）()f x 在[0,]a 上连续且可导，根据拉格朗日中值定理，存在(0,)a ξ∈， 使得()(0)()1f a f f a ξ'−==，即1()f aξ'=. （20）（本题满分11分） 解：由题意可设1234x x x x ⎛⎫=⎪⎭⎝C ,则−=AC CA B 成立的充要条件是方程组 23124134230,1,1,,x ax ax x ax x x x x ax b −+=⎧⎪−++=⎪⎨−−=⎪⎪−=⎩ ①xx y +x有解. 对①的增广矩阵利用初等变换得010010111101010010111000010100000a a a a a a bb −−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−− ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪−−+ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭. 当1a ≠−或0b ≠时,线性方程组①无解. 当0,1=−=b a 时,线性方程组①有解,10111101110100011000000100000000000000a ab −−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪− ⎪⎪→⎪⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 通解为1122131421,,,,x k k x k x k x k =++⎧⎪=−⎪⎨=⎪⎪=⎩（21,k k 为任意常数）.综上,当且仅当0,1=−=b a 时,存在满足条件的矩阵C ,使−=AC CA B ,且121121k k k k k ⎛++−⎫= ⎪⎭⎝C （21,k k 为任意常数）.（21）（本题满分11分）证明：（Ⅰ）记113x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ,由于()111231232123233(,,)2(,,),,a x f x x x x x x a a a a x a x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()111232123233(,,),,b x x x x b b b b x b x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦TTTTTTT(2)()(2)=+=+X ααX X ββX X ααββX , 又T T 2+ααββ为对称矩阵,所以二次型f 的矩阵为T T2=+A ααββ. （Ⅱ）记TT2=+A ααββ.由于α,β正交且均为单位向量,所以=A α2T T T (2)22+=+=ααββαααββαα,则a 为A 的对应于21=λ的特征向量；=A β2T T T (2)2+=+=ααβββααββββ,则β为A 的对应于21λ=的特征向量.又,T T()(2)()()()23r r r r r +=+=<A ααββαβ，所以30λ=也是矩阵A 的一个特征值,故f 在正交变换下的标准形为22122y y +.（22）（本题满分11分）解：（Ⅰ）因为(,)()()X Y X f x y f y x f x =，已知23,01,()0,X x x f x ⎧ <<=⎨ ⎩其他.且2330,()0,Y X y y x f y x x ⎧ <<⎪=⎨⎪ ⎩，其他.所以， 2901,0(,)()()0,X Y X y x y x f x y f y x f x x⎧<<<<⎪==⎨⎪⎩，其他. （Ⅱ）因为Y 的边缘概率密度为()(,)d Y f y f x y x +∞−∞=⎰，当01y <<时，2129()d 9ln Y y y f y x y y x==−⎰；当0y <或1y >时，()(,)d 0Y f y f x y x +∞−∞==⎰；所以y 的边缘概率密度函数为29ln ,01,()0,Y y y y f y ⎧−<<=⎨⎩其他.（III ）{}21202912(,)d d d d 8x X Yy P X Y f x y x y x y x >>===⎰⎰⎰⎰.（23）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）2300()d e d e d()xx EX xf x x xx x xθθθθθθ−−+∞+∞+∞−∞===−=⎰⎰⎰,令EX X =, 故θ的估计量X θ=,其中11ni i X X n ==∑.（Ⅱ）设12,,,n x x x 为样本观测值,似然函数为212311e ,,,,0,()(;)0,i n xnn i i ii x x x L f x x θθθθ−==⎧ >⎪= =⎨⎪⎩∏∏其他.()112n 12312e ,,,,0,=0,ni i xn n x x x x x x θθ=−⎧∑⎪ >⎪⎨⎪ ⎪⎩其他.当12,,,0n x x x >时,111ln ()2ln 3ln nni i i iL n x x θθθ===−−∑∑. 令 1d ln ()210d n i iL n x θθθ==−=∑,得θ的极大似然估计值为121n i inx θ==∑,所以极大似然估计量为121ni inX θ==∑.。
