第三讲矩阵

第三讲 矩阵的代数运算教学目的：讲解矩阵的代数运算第一部分：加法、数乘、乘法，重点是乘法； 教学内容：第二章 矩阵 § 2.2 矩阵的代数运算（一 ～ 三节）； 教材相关部分：§ 2.2 矩 阵 的 代 数 运 算（1）一、矩阵的加法定义2.2 设矩阵n m ij a A ⨯=)(、n m ij b B ⨯=)(，则A 与B 可加，规定其和为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=+mn mn n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A221122222221211112121111 (2.9) 根据定义容易验证矩阵的加法满足下列运算律（O C B A ,,,都是同规格矩阵）： （1）交换律： A B B A +=+；（2）结合律： )()(C B A C B A ++=++；（3）若n m ij a A ⨯=)(，则存在矩阵n m ij a A ⨯-=-)(，满足O A A =-+)(。

称A -为A 的负矩阵。

由此可以定义矩阵减法为： )(B A B A -+=-。

二、数与矩阵相乘（“数乘”）：定义2.3 设矩阵n m ij a A ⨯=)(，λ是一个数，规定矩阵的数乘为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===mn m m n n ij a a a a a a a a a a A A λλλλλλλλλλλλ212222111211)( (2.10)矩阵的数乘满足下列运算律（设B A ,为同规格矩阵，μλ,为数）： （1）交换律：λλA A =；（2）结合律： )()()(A A A λμμλλμ==； （3）第一分配律： B A B A λλλ+=+)(； （4）第二分配律： A A A μλμλ+=+)(。

说明：同规格矩阵的加减运算以及数乘可以统一定义为：()n m ij ij b a B A ⨯+=+λμλμ， (2.11)称为矩阵的线性运算，加法、减法、数乘都是它的特例。

第三讲 矩阵的初等变换一、概念1.定义矩阵的初等变换：下面的三种变换称为矩阵的初等变换(1) j i r r ↔；j i c c ↔.（换行或换列）(2) k r i ⨯；k c i ⨯（数0≠k ）（倍行或倍列）(3) j i kr r +；j i kc c +..（倍行加或倍列加）2.矩阵A 与B 等价：n m A ⨯经过有限次的初等变换变成B . 记作~A B .（1）等价的性质：反身性 ~A A ；对称性 若~A B ，则~B A ；传递性 若~,~A B B C ，则~A C .（2）任何矩阵n m A ⨯都等价于一个标准形矩阵,即()()()()()r r r n r m n m n n r r n r n r E O A F r O O ⨯⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⎛⎫→= ⎪⎝⎭． 即存在有限个初等矩阵l P P P ,,,21 , 使121()k k l m n PP P AP P F r +⨯= .且矩阵的等价标准形惟一确定.（3）行阶梯矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全是零；每个台阶只有一行，台阶数为非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元.例如1210104112140110301113,00013000130000000000A A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上述两矩阵均为行阶梯矩阵.（4）行最简形矩阵：非零行的非零首元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为零的行阶梯矩阵.110104011030001300000A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭为行最简形矩阵. 例1 求所给矩阵A 的行阶梯矩阵、行最简形矩阵以及等价标准型矩阵. 123221112112141121421112 ~ 46224231123697936979r r r A ↔÷---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 4221323141r 222311214112140331603316 ~ 05536011160334300039~r r r r r r r r r +------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭2333243r 3(4)311214112140111601116000412000130003900000~~r r r r r r +÷-↔---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（行阶梯矩阵） 1232321010401103 ~ 0001300000r r r r r --+-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭315132525434433451000001000 ~0010000000c c c c c c c c c c c c F +-+++⨯↔⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. （行最简形矩阵） （等价标准型矩阵）3.初等矩阵的概念（1）定义初等矩阵：由单位矩阵E 只经过一次初等变换得到的方阵.①j i r r ↔或j i c c ↔ 均对应初等方阵),(j i E :行第行第j i j i E ←←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1101111011),(②k r i ⨯或k c i ⨯ )0(≠k 均对应初等矩阵))((k i E :行第i k k i E ←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111))((③j i kr r +或i j kc c + 均对应初等矩阵))(,(k j i E :行第行第j i kk j i E ←←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111))(,(（2）初等矩阵行列式的性质(,)1;(())(0);(,())1E i j E i k k k E i j k =-=≠= .重要结论：初等矩阵是可逆矩阵，且逆矩阵仍然是初等矩阵.(3)初等矩阵的逆矩阵①),(),(1j i E j i E =-;② ))1(())((1k i E k i E =-, )0(≠k ;③))(,())(,(1k j i E k j i E -=-.(4)初等矩阵的转置也是初等矩阵.①),(),(j i E j i E T =;② ))(())((k i E k i E T =, )0(≠k ;③))(,())(,(k i j E k j i E T =.4.矩阵初等变换的重要性质【性质1】 设A 是一个m n ⨯的矩阵，对A 实施一次初等行(列)变换，相当于在A 的左边(右边)乘以相应的m 阶（n 阶）初等矩阵.【性质2】 方阵m m A ⨯可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵 12,,,n P P P ，使得12n A PP P = ，即~rA E .【定理】设A 与B 为m n ⨯矩阵，则①~rA B ⇔存在m 阶可逆矩阵P ,使PA B =.②~cA B ⇔存在n 阶可逆矩阵Q ,使AQ B =.③~rc A B ⇔分别存在m 、n 阶可逆矩阵P 、Q ,使PAQ B =.5.用初等变换求逆矩阵或解矩阵方程的方法①若A 可逆,则1-A 也可逆,于是存在初等矩阵12,,,n P P P ,使12n A PP P = ，又1AA E -= 即112n PP P A E -= ，所以111121n A P P P ----= , 用分块矩阵运算表示为111(,)(,)A A E A A A ---=⇔ 1(,)~(,)rA E E A -.1111~CA A E AA A E E A A ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.②用初等变换求解矩阵方程，求解线性方程组(1)解矩阵方程AX B =，其中A 可逆，则1X A B -=即 111(,)(,)(,)~(,)r A A B E A B A B E A B ---=⇔.(2)解线性方程组Ax b =，其中A 可逆.则1x A b -=，即 1(,)~(,)rA b E A b -.(3)解矩阵方程XA B =，其中A 可逆，则1X BA -=即 111~cA E A E AB BA B BA ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【定理6】 矩阵方程 AX B =有解的充要条件是 ()(,)R A R A B =.例2设1221311122,2,013225A b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求线性方程组 12,Ax b Ax b ==的解.解 设1212(,),(,)X x x B b b ==12211231321110122220(,,)1222033113512205005~r r r r A b b r r ↔⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭322123320001222142522000000111130030031212~~r r r r r r r r ↔⎛⎫⎛⎫--÷-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()1112,,E A b A b --=.因为~r A E ，所以A 可逆，且1420132X A B -⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭，即线性方程组12,Ax b Ax b ==都有惟一解，且解依次为111122420,132x A b x A b ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.3.矩阵的秩（1）定义矩阵A 的k 阶子式：在n m ⨯矩阵A 中，任取k 行与k 列，位于这些行列相交处的2k 个元素，按原相对位置构成的k 阶行列 式.（{}1min ,k m m ≤≤） kk k k kkkk j i j i j i j i j i j i j i j i j i i i i j j j a a a a a a a a a A 2122212121112121)( =.A 的k 阶子式共有kn k m C C 个.例3 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121021121021A 的k 阶子式： (1) 1阶子式如：12()A ：2,共有121413=C C 个. (2) 2阶子式如：1324()A ：2111-,共有182423=C C 个. (3) 3阶子式如：123124()A ：121212011-,共有43433=C C 个.（2）定义矩阵A 的秩——设矩阵A 中有一个非零的r 阶子式D ,而且所有1+r 阶子式(如果存在的话)值全为0，则D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A 的秩,记作()R A ,即()R A r =.注：①零矩阵的秩规定为0.②A 的最高阶非零子式称为矩阵A 的秩子式.例4 显然矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000100001A 的秩为2；(())m n R F r r ⨯=.(3)矩阵秩的性质①0()min(,)m n R A m n ⨯≤≤.（结论显然成立）②若n A 可逆,则()n R A n =（也称非奇异矩阵或满秩矩阵）.此时0A ≠. 若n A 不可逆,()n R A n <，即方阵是降秩矩阵（也称为奇异矩阵）. 此时有0A =(注意：降秩与满秩矩阵都是对方阵而言的)③()()T R A R A =.④初等变换不改变矩阵的秩,即()()()R PA R AQ R A ==，(~r A B ;~c A M ~rc A W ),其中Q P , 为初等矩阵.若Q P ,均可逆,则()()()()R PA R AQ R PAQ R A ===.若~A B ,则()()R A R B =.⑤max{(),()}(,)()()R A R B R A B R A R B ≤≤+.特别地，当B b =时，有()(,)()1R A R A b R A ≤≤+.证 因为A 的最高阶非零子式总是(,)A B 的非零子式,所以()(,)R A R A B ≤.同理有()(,)R B R A B ≤，所以max{(),()}(,)R A R B R A B ≤.设(),()R A r R B t ==.把A 与B 分别作列变换化为列阶梯形 A 和 B ，则 A 和 B 中分别含有r,t 个非零列，设 12~(,,,,0,,0)c r A A a a a = ， 12~(,,,,0,,0)ct B B b b b = . 则 (,)~(,)c A B A B由于 (,)A B 中只含r t +个非零列，因此 (,)R A B r t ≤+,而(,)(,)R A B R A B =，故 (,)R A B r t ≤+，即 (,)()()R A B R A R B ≤≤+.综上所述 max{(),()}(,)()()R A R B R A B R A R B ≤≤+.⑥()()()R A B R A R B +≤+.证 不妨设A B 、为m n ⨯，则 (1,2)(,)(,)~i n i c c i n A B B A B +-=+ ，于是 ()(,)(,)()()R A B R A B B R A B R A R B +≤+=≤+.⑦设,m n n s A B ⨯⨯，则()()()min{(),()}R A R B n R AB R A R B +-≤≤. 证 一方面： 设()R A r =，则000r E A P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭.其中,P Q 分别为,m n 阶可逆矩阵，又设12C QB C C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()()R B R C =，且1120000r C E C AB P P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以1()()()()R AB R C R C R B =≤=.又()[()][]()()T T T T R AB R AB R B A R A R A ==≤=，所以 ()min{(),()}R AB R A R B ≤.另一方面：由 1122()()()C C R C R C R C C ⎛⎫=⇒≤+ ⎪⎝⎭且1()()R C R AB =，()()R C R B =又由2C 为()n r s -⨯形矩阵知2()()R C n r n R A ≤-=-，所以 ()()()R B R AB n R A ≤+-，即 ()()()R A R B n R AB +-≤. 综上所述 ()()()min{(),()}R A R B n R AB R A R B +-≤≤.结论：若0m n n l A B ⨯⨯=,则()()R A R B n +≤.结论：①将一个矩阵左乘一个列满秩矩阵时，其秩不变.②将一个矩阵右乘一个行满秩矩阵时，其秩不变.③矩阵的初等行变换不改变秩子式的列位置；矩阵的初等列变换不改 变秩子式的行位置.子式的行位置.二、提问1.下列矩阵（ ）不是初等矩阵（A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001020100(B)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001(C)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100410001 (D)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100030001. 2.已知 102013231A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（ ）（A ）T A A =；（B ）A 可逆；（C ）1A A -为对称矩阵（1490A =--≠）; （D ）001231010013100102A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(所有答案正确)3.（799P ） 求作一个秩为4 的方阵，它的两个行向量是()()10100,11000-解 1000011000101000001000000⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭4.解方程 010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.解 因为010100100(1,2),001(2,3)001010E E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且11(1,2)(1,2),(2,3)(2,3)E E E E --==，故方程的解为 11143(1,2)201(2,3)120X E E ---⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭143(1,2)201(2,3)120E E -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭201210143(2,3)134120102E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 练习： 解方程 120(1,3)(2(2))314053E XE ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭.答案： 50321342110⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭5.（92年数一）设111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，其中0,0(1,2,,)i i a b i n ≠≠= ，则()R A = 1 .提示：()1212n n a a A b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，A 为非零矩阵⇒()1R A ≥ 又因为()min{(),()}R AB R A R B ≤即得结论.6.(93年数三)当44A ⨯且()2R A =时，则*()R A = 0 .7.（96年数一）设43A ⨯且()2R A =，又100020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则()R AB ＝ 2 .（注意B 为可逆矩阵）.8.（09.3.4）设A ,P 均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+,则 T Q AQ 为（ A ）（A ）210110002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 110120002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D) 100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭提示：()()1223123100,,,,110(2,1(1))001Q PE ααααααα⎛⎫⎪=+== ⎪ ⎪⎝⎭100[(2,1(1))][(2,1(1))](2,1(1))010(2,1(1))002T T T Q AQ PE A PE E E ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭100110210(1,2(1))010(2,1(1))010(2,1(1))110002002002E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.9.矩阵 222111a a A b b c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,()3R A =，则 （ C ） （A ）,,a b c 都不等于1；（B ）,,a b c 都不等于0；（C ）,,a b c 互不相等；（D ）a b c ==.10.设 33()ij A a ⨯=，212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭，1010100001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100010101P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则 （ C ）（A ）12APP B =；（B ）21AP P B =；（C ）12PP A B =（D ）21P PA B =. 11.78797P - 在秩为r 的矩阵中有没有等于零的1r -阶子式，有没有等于零的r 阶子式？答：都有可能.至少有一个秩为r 的子式，秩子式不一定惟一；只有当矩阵是可逆矩阵时秩子式才是惟一的.注意秩子式是行列式而不 是矩阵.12.（78798P -） 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，问A 与B 秩的关系？ 答：()1()()R A R B R A -≤≤.13.（06。

第三讲 线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得对于V 中的任意元素x 均存在唯一的V y ∈与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为=Tx y称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。

若变化T 还满足()()()+=+T kx ly k Tx l Ty ,,,∀∈∈x y V k l K称T 为线性变换。

[例1] 二维实向量空间12i 2R R ξξξ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭，将其绕原点旋转θ角的操作就是一个线性变换。

[证明] 12x ξξ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 12y Tx ηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦112212cos sin sin cos ηξθξθηξθξθ=-⎧⎨=+⎩ 1122cos sin sin cos ηξθθηξθθ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2R ∈θ1η2η1ξ2ξxyo可见该操作为变换，下面证明其为线性变换12x x x ⎡⎤∀=⎢⎥⎣⎦ 12z z z ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2R ∈，,R k l ∈11112222=kx lz kx lz kx lz kx lz kx lz +⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦11221122cos sin ()sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos ()()kx lz T kx lz kx lz x z k l x z k Tx l Tz θθθθθθθθθθθθ+-⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+ ∴ T 是线性变换。

[例2] 次数不超过n 的全体实多项式n P 构成实数域上的一个1n +维的线性空间，其基可选为{}n x x x ,,,,12 ，微分算子dD dx=是n P 上的一个线性变换。

[证明] 显然D 对n P 而言是变换，要证明D 满足线性变换的条件n ,P f g ∀∈，,R k l ∈()()()D kf lg k Df l Dg +=+∴ D 是n P 上的线性变换。