几何光学中的矩阵方法

矩阵光学 魏光辉第一章 矩阵及其运算 1.1矩阵、矢量和张量矩阵的概念：111212122212n n m m mn a a a a a a A aa a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭对角矩阵：ij ii ij a a δ= （对角矩阵即为除了对角线的元素外，其它元素阶为零） 单位矩阵：ij ij a δ=标量、矢量和张量：三维空间的m 阶张量可以有3m个独立分量，n 维空间的m 阶张量可以有mn 个独立分量。

矢量可以视为一阶张量，标量可以视为零阶张量。

电场是一个矢量。

一个矢量可以用行阵或列阵来表示；一个二阶张量可以用方阵表示；m 阶张量可以用n 行1m n-列矩阵表示。

1.2矩阵的加法和乘法矩阵加法：C A B =+矩阵乘法：A 为m p ⨯矩阵，B 为p n ⨯矩阵，C 为C AB =，C 为m n ⨯矩阵。

其中1,1,2,;1,2,pir ik kr k c a b i m r n ====∑。

若1a n p -=，则B 可以描述P 维空间中的n 阶张量，若m p =，则C 为1a p p-⨯矩阵，由此可见，一个张量矩阵可以被列数与其行数相同的方阵左乘，得到另一个具有相同行列数的矩阵。

因此，一个用单列矩阵表示的矢量，被列数与其行数相同的方阵左乘，仍得相同行数的矢量。

矩阵的减法：()1A B A B -=+-⨯； 由多项式为元素的矩阵可以进行分解，例：42232432132410001100130010200140x x x A x x x x x x x ⎡⎤---=⎢⎥+-⎣⎦---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦矩阵连乘：A 为m p ⨯矩阵，B 为p q ⨯矩阵，C 为q n ⨯矩阵，则R ABC =，有11qp ij ik kh hj h k r a b c ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑。

（注意：如果矩阵A 和B 中至少有一个是零矩阵，则它们的乘积C=AB 必为零矩阵；但如果C=AB 为零矩阵，则A 和B 不一定为零矩阵。

第一章 几何光学基本原理习题1.1 用费马原理推导光的反射定律1.2 一根长玻璃棒的折射率为1.6350，将它的左端研磨并抛光成半径为2.50cm的凸球面。

在空气中有一小物体位于光轴上距球面顶点9.0cm处。

求：（1）球面的物方焦距和象方焦距；（2）光焦度；⑶象距；⑷垂轴放大率；(5)用作图法求象。

1.3 将一根40cm长的透明棒的一端切平，另一端磨成半径为12cm的半球面。

有一小物体沿棒轴嵌在棒内，并与棒的两端等距。

当从棒的平端看去时，物的表现深度为12.5cm。

问从半球端看去时，它的表现深度为多少？1.4 一透明玻璃小球的半径为1.50cm， 折射率为1.720，将它浸没在折射率为1.360的透明液体中。

若液体中有一束平行光入射到小球上，求这束平行光将向球的另一侧何处聚焦？1.5 一玻璃空盒的两端是共轴球面，一端是半径γ1＝－1.65cm的凹面，另一端是半径γ2＝1.650cm的凸面，两顶点之间的距离为1.850cm。

将盒在空气中密封后放入水中。

一高为1cm 的物体距凹球面的顶点10cm。

求物体经玻璃盒所成的象。

（假设玻璃的厚度可以略去不计）1.6 在一个直径为30cm的球形玻璃鱼缸中盛满水，鱼缸中心处有一尾小鱼。

若鱼缸薄壁的影响可以忽略不计，求缸外面的观察者所看到的鱼的表观位置及垂轴放大率。

1.7 为了把仪器刻度放大3倍，在它上面置一平凸透镜，并让透镜的平面与刻度紧贴。

假设刻度和球面顶点距离为30mm，玻璃的折射率为1.5，求凸面的半径应为多少？1.8 在半径为20cm的凸面镜右侧距顶点5cm处，有一高为2cm的虚物，试求象的位置和大小，并作图。

虚物的位置应在什么范围内才能形成实象？1.9 在单球面折射系统中，除球心而外尚有一对共轭点Ｐ和Ｐ'可用宽光束严格成象（如图），这一对共轭点称为齐明点或不晕点。

试证齐明点的物、象距满足下列关系：S＝(1+n'/n)r; s＝(1+n/n')r1.9图1.10 玻璃棱镜的折射棱角α为60°，对某一波长的光其折射率n为1.6，计算(1)最小偏向角；(2)此时的入射角；(3)能使光线从α角两侧透过棱镜的最小入射角。

华罗庚的矩阵几何学推导过程
首先，我们必须首先了解什么是矩阵几何学。

矩阵几何学是一种应
用矩阵理论和数学对空间三维结构的描述和研究的方法。

这些方法可
以被用来解释曲率变化的空间数学语言，定义在曲空间的距离和曲率，以及这些曲空间的形状。

矩阵几何学是由著名的英国数学家华罗庚在
20世纪20年代开始发展起来的。

华罗庚的矩阵几何学推导过程主要步骤如下：
1. 首先，他定义了一个坐标系，这个坐标系中包含三个基本方向，即
x,y和z方向，每个方向都定义了一系列矩阵，这些矩阵组成了三维空
间的矩阵几何学。

2. 然后，他定义了一组关系式，这些关系式用于表示三维空间的相对
变换，即矩阵的变换。

这些关系式有助于计算两个视图之间的变换参数。

3. 最后，他研究了空间点云之间的相对变换，即在三维空间中，如何
从点云A变换到点云B。

这种变换可以通过计算空间两个点云之间的
变换矩阵来实现。

以上就是华罗庚的矩阵几何学推导过程的基本步骤。

光学谐振腔光学谐振腔是常用激光器的三个主要组成部分之一。

组成：在简单情况下，它是在激活物质两端适当地放置两个反射镜。

目的：就是通过了解谐振腔的特性，来正确设计和使用激光器的谐振腔，使激光器的输出光束特性达到应用的要求。

光学谐振腔的理论：近轴光线处理方法的几何光学理论、波动光学的衍射理论无源腔：又称为非激活腔或被动腔，即无激活介质存在的腔。

有源腔(激活腔或主动胺)：当腔内充有工作介质并设有能源装置后。

一、构成、分类及作用1、谐振腔的构成和分类构成：最简单的光学谐振腔是在激光工作物质两端适当位置放置两个镀高反射膜的反射镜。

与微波腔相比光频腔的主要特点是：侧面敞开没有光学边界，以抑制振荡模式，并且它的轴向尺寸(腔长)远大于振荡波长：L》λ，一般也远大于横向尺寸即反射镜的线度。

因此，这类腔为开放式光学谐振腔，简称开腔。

开式谐振腔是最重要的结构形式----气体激光器、部分固体激光器谐振腔2、激光器中常见的谐振腔的形式1)平行平面镜腔。

由两块相距上、平行放置的平面反射镜构成2)双凹球面镜腔。

由两块相距为L，曲率半径分别为R1和R2的凹球面反射镜构成当R1＝R2＝L时，两凹面镜焦点在腔中心处重合，称为对称共焦球面镜腔；当R1+R2＝L表示两凹面镜曲率中心在腔内重合，称为共心腔。

3)平面—凹面镜腔。

相距为L的一块平面反射镜和一块曲率半径为R的凹面反射镜构成。

当R＝2L时，这种特殊的平凹腔称为半共焦腔4)特殊腔。

如由凸面反射镜构成的双凸腔、平凸腔、凹凸腔等，在某些特殊激光器中，需使用这类谐振腔5)其他形状的3、谐振腔的作用(1) 提供光学正反馈作用谐振腔为腔内光线提供反馈，使光多次通过腔工作物质，不断地被放大，形成往复持续的光频振荡；取决因素：组成腔的两个反射镜面的反射率，反射率越高，反馈能力越强；反射镜的几何形状以及它们之间的组合方式。

上述因素的变化会引起光学反馈作用大小的变化，即引起腔内光束能量损耗的变化。

(2) 对振荡光束的控制作用主要在方向和频率的限制，其功能为：①有效地控制腔内实际振荡的模式数目，使大量的光子集结在少数几个沿轴向、且满足往返一次位相变化为2π的整数倍的光子状态中，提高了光子简并度，从而获得单色性好、方向性好及相干性强的优异辐射光。

矩阵投影是什么原理的应用引言在计算机图形学中，矩阵投影是一种常用的技术，它用于将三维空间中的物体投影到二维平面上，以便在屏幕上显示。

矩阵投影的原理是将三维场景的坐标转换为二维屏幕上的坐标，从而实现透视效果或正交投影。

本文将介绍矩阵投影的原理以及它在计算机图形学中的应用。

矩阵投影的原理矩阵投影的原理可以用线性代数中的矩阵乘法来描述。

通常情况下，矩阵投影可以分为透视投影和正交投影两种类型。

透视投影透视投影是模拟人眼视角的投影方式，它可以产生透视效果。

透视投影通常使用透视投影矩阵来实现，该矩阵可以将三维场景中的坐标映射到二维屏幕上。

透视投影矩阵的计算公式如下：P = M * V * P其中，P是透视投影矩阵，M是模型变换矩阵，V是视图变换矩阵，P是投影变换矩阵。

通过将模型变换、视图变换和投影变换相乘，可以得到最终的透视投影矩阵。

正交投影正交投影是一种无透视效果的投影方式，它可以保持物体在不同距离上的大小不变。

正交投影通常使用正交投影矩阵来实现，该矩阵可以将三维场景中的坐标映射到二维屏幕上。

正交投影矩阵的计算公式如下：P = M * V * P其中，P是正交投影矩阵，M是模型变换矩阵，V是视图变换矩阵，P是投影变换矩阵。

通过将模型变换、视图变换和投影变换相乘，可以得到最终的正交投影矩阵。

矩阵投影的应用矩阵投影在计算机图形学中有广泛的应用，它可以用于实现透视效果、画面裁剪、阴影效果等。

透视效果透视投影可以产生透视效果，使得物体在不同距离上呈现出不同的大小。

这种效果可以让场景更加逼真，增强观察者的沉浸感。

透视投影广泛应用于三维游戏、虚拟现实等领域。

画面裁剪矩阵投影可以通过设置投影矩阵的参数，实现对场景的裁剪。

裁剪可以提升渲染效率，减少不必要的计算和绘制。

画面裁剪常用于遮挡剔除、镜头裁剪等场景。

阴影效果矩阵投影可以用于实现阴影效果。

通过将物体的阴影投影到二维屏幕上，可以模拟出真实世界中的阴影效果。

阴影效果可以使得场景更加逼真，增强观察者的沉浸感。