辽宁省实验中学、大连八中等五校2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

辽宁省实验中学等五校2018-2019学年下学期期末考试高二数学(理)试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用模的计算公式即可得结果.详解：，复数，则，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2. 已知随机变量服从正态分布，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选A.3. 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近年的广告支出与销售额（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出与年销售额满足线性回归方程，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出,代入回归方程计算，利用平均数公式可得出的值.详解：,,,解得，故选D.点睛：本题主要考查平均数公式的应用，线性回归方程经过样本中心的性质，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力，属于基础题.4. 将本不同的书全部分给甲乙丙三若，每人至少一本，则不同的分法总数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：分两种情况：一人得本，另两个人各得本；一人得本，另两个人各得本，分别求出不同的分法即可得结果.详解：分两种情况：一人得本，另两个人各得本，有种分法，一人得本，另两个人各得本，有种分法，共有种分法，故选C.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.5. 用数学归纳证明不等式的过程中，从到时左边需要增加的代数式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求出当时，左边的代数式，时，左边的代数式，相减即可得结果.详解：当时，左边的代数式为，当时，左边的代数式为，故用时，左边的代数式减去时，左边的代数式的结果为：，故选B.点睛：本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从到项的变化. 项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.6. 若的二项展开式各项系数和为，为虚数单位，则复数的运算结果是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据的二项展开式各项系数和为，求得，可得复数，从而可得结果.详解：的二项展开中，令，可得展开各项系数和为，复数，故选C.点睛：本题主要考查复数代数形式的乘法运算，二项式定理的应用，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力与计算能力，属于中档题.7. 若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：对函数进行求导，令导数大于等于0在上恒成立即可.详解：若函数是上的单调函数，则导函数图象恒在轴上方或恒在轴下方因为的图象是开口向上的抛物线，所以只有恒成立，即，实数的取值范围是，故选C.点睛：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导数大于零时原函数单调递增，当导数小于零时原函数单调递减.8. 已知均为正实数，则下列三个数，，（）A. 都大于B. 至少有一个不大于C. 都小于D. 至少有一个不小于【答案】D【解析】分析：利用基本不等式可证明，假设三个数都小于，则不可能，从而可得结果.详解：，假设三个数都小于，则，所以假设不成立，所以至少有一个不小于，故选D.点睛：本题主要考查基本不等式的应用，正难则反的思想，属于一道基础题. 反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．9. 甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立。

2018-2019辽宁省实验中学高二上学期期末模拟考试数学（理）试题（解析版）一、选择题1．命题“0x R ∃∈，0x 10+<或200x -x 0>”的否定形式是（ ） A ．0x R ∃∈，0x 10+≥或200x -x 0≤ B ．0x R ∀∈，0x 10+≥或200x -x 0≤ C ．0x R ∃∈，0x 10+≥且200x -x 0≤ D ．0x R ∀∈，0x 10+≥且200x -x 0≤【答案】D【解析】试题分析：本题为含有存在量词的命题的否定，注意存在量词要改为全称量词，同时否定结论．结论中含有逻辑联结词“或”，否定为“且”． 【考点】含有量词的命题的否定．2．用反证法证明命题“若a+b+c≥0，abc≤0，则a 、b 、c 三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（ ）A ．a 、b 、c 三个实数中最多有一个不大于零B ．a 、b 、c 三个实数中最多有两个小于零C ．a 、b 、c 三个实数中至少有两个小于零D ．a 、b 、c 三个实数中至少有一个不大于零 【答案】C【解析】试题分析：本题中运用反证法：首先要假设结论的反面；如结论出现“三个最多有一个”，反设应为“三个至少有两个”．即：“补集思想” 【考点】反证法中的设． 3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1D C 所成的角为 （ ）A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】C【解析】试题分析：异面直线所成的角需把握定义；对直线A 1D 平移至B 1C ，得异面直线1A D与1D C所成的角为角D 1CB 1=60分三步“找”，“证”“算”．ABCDA 1B 1C 1D 1【考点】异面直线所成的角 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3813a a +=且735S =，则7a =（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8 【答案】D【解析】试题分析：由条件：735S =，1777()35,2a a S +==1710a a +=． 3812913a a a d +=+=，1712610a a a d +=+=，解得：172,18a d a ==∴=【考点】等差数列由条件求某一项注意把握基本量． 5．抛物线28x y =的焦点F 的坐标是（ ）A 、(2,0)-B 、(2,0)C 、(0,2)-D 、(0,2) 【答案】D【解析】试题分析：本题已知：28x y =，则:28,4,22pp p ===，又焦点在y 轴的正半轴上得：(0,2)【考点】已知抛物线方程求焦点坐标．6．“4a <-”是“函数()3f x ax =+在区间[]1,1-上存在零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：由零点判定定理可得：(1)(1)f f-⋅≤，即：(3)(3)0,a a -+⋅+≤33a a ≤-≥得或．由4(1)(1)0a f f <-⇒-⋅≤，反之推不出．为充分不必要条件 【考点】零点判定定理及充要条件的判断．7．已知抛物线2:y 8x C =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK|＝，则△AFK 的面积为（ ）ABCDA 1B 1C 1D 1A ．4B ．6C ．8D ．16 【答案】C【解析】试题分析：∵抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F （2，0），准线为x=-2 ∴K （-2，0）设A （x 0，y 0），过A 点向准线作垂线AB ，则B （-2，y 0） ∵|AK|，又AF=AB=x 0+2∴由BK 2=AK 2-AB 2得：y 02=（x 0+2）2，即8x 0=（x 0+2）2，得：A （2，±4） ∴△AFK 的面积为12|KF|•|y 0|＝12×4×4＝8【考点】抛物线几何性质及综合运用．8．数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n ++⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯- *()n N ∈成立时，从n k =到1n k =+左边需增加的乘积因式是（ ）A ．2(21)k +B ．211k k ++C ．21k +D ．231k k ++【答案】A【解析】试题分析：本题中主要涉及数学归纳法的第二步中从n k =到1n k =+时；项数的变化，由n=k 时 ：(1)(2)()213(21)kk k k k k ++⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯-11,(1)(2)()(22)213(21)(21)k n k k k k k k k k +=+++⋅⋅++=⨯⨯⨯⨯-+ 时：增加因式为2(21)k + 【考点】数学归纳法．9．已知椭圆22x y 1167+=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若12,,P F F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 （A ）47 （B ）37 （C ）47或37 （D ）67 【答案】C【解析】试题分析：若P 为直角顶点，设P （x ，y ），则解方程2222x y 1167x y 9ìïï+=ïíïï+=ïïî得7y 3=，F 1为直角顶点，则P 9()4，F 2为直角顶点，F 2为直角顶点，则则P 9()4【考点】椭圆的方程综合运用． 10．已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，且1331,,a a a 成等比数列，若11=a，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3162++n n a S 的最小值为（ ）A ．4B ．3 C．2- D ．92【答案】A【解析】试题分析：由题：1331,,a a a 成等比数列，得：223113a a a ,(12d)112d,d 0d 2=⋅+=+≠∴=22n n 2S 16n 8(n 1)2(n 1)9a 3n 1n 19(n 1)224n 1+++-++==+++=++-≥=+当911n n +=+时2n =，时成立，得最小值为4． 【考点】等差与等比数列及均值不等式的综合运用．11．如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是（ ）．A．3 B．23 D【答案】C【解析】试题分析：本题建立如图所示的空间直角坐标系； 则A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），C 1（0，1，2），设点P的坐标为（0，λ，2λ），λ∈[0，1]，点Q的坐标为（1－μ，μ，0），μ∈[0，1]，∴PQ＝＝，当且仅当λ＝，μ＝时，线段PQ的长度取得最小值．【考点】运用空间坐标化为代数的最值问题用配方法解决．12．已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，设左右焦点分别为F1，F2，P是C1与C2在第一象限的交点，∆PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是（）（A）（19，+∞）（B）（15，+∞）（C）（13，+∞）（D）（0，+∞）【答案】C【解析】试题分析：椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为根据题意：，因为在等腰三角形中，，所以，所以，，得：121 3e e⋅>【考点】椭圆与双曲线的方程及几何性质的综合运用．二、填空题 13．数列{}n a 满足d N n d a a nn ,(111*+∈=-为常数），则称数列{}n a 为调和数列，记数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，且1220200,x x x +++= 则=+165x x ___________． 【答案】20【解析】试题分析：由题1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，则由定义：111()n n d n N a a *+-=∈得：1,n n x x d +-=所以{}n x 为等差数列．又1220200,x x x +++= 得：516x x +=20． 【考点】给出定义问题，可化为等差数列解决．14．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4)i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为(1,2,3i h i =，若31241234a a a a k ====，则12342234Sh h h h k+++=．类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =，若31241234S S S S K ====，则1234234H H H H +++等于 ． 【答案】3V【考点】平面问题与空间问题中的类比思想．15．如图，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP ，AE〉＝DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．【答案】（1，1，1）【解析】试题分析：设PD ＝a ，则D （0，0，0），A （2，0，0），B （2，2，0），P （0，0，a ），E （1，1，），∴＝（0，0，a ），＝（－1，1，）．由cos 〈，〉＝，∴＝a ·，∴a ＝2．∴E 的坐标为：（1，1，1）． 【考点】空间向量与方程思想．16．平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 ．【答案】32【解析】试题分析：设所在的直线方程为by x a=，则 所在的直线方程为by x a=-， 解方程组22b y xa x py⎧=⎪⎨⎪=⎩，得：2222pb x a pb y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点 的坐标为2222,pb pb a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 抛物线的焦点的坐标为:0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭．因为是的垂心，所以 1OB AF K K ⋅=- ，所以：222212pb p b a pb a a ⎛⎫- ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2254b a = ．得： 22222931,42c b e e a a ==+==．【考点】双曲线的标准方程与几何性质及抛物线的标准方程与几何性质．三、解答题17．已知抛物线）（0p px 2y 2>=焦点为F ，抛物线上横坐标为12的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等． （1）求抛物线的方程；（2）设过点)0,6(P 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过点F ，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =；（2）:2120l x y ±-=【解析】试题分析：（1）本题给出了抛物线的标准方程，只需由条件建立关于P 的方程，可得到方程．（2）已知过一点求直线方程可设:6l x my =+（注意设得方法，可包含斜率不存在的情况）， 关键求出K ，结合条件圆过F ，与抛物线方程联立，建立关于K 的方程，求出直线方程．试题解析： （1）抛物线上横坐标为12的点纵坐标2y p =122p =+，解得2p =，抛物线的方程为：24y x =． （2）由题意可知，直线l 不垂直于y 轴，可设直线:6l x my =+，则由246y x x my ⎧=⎨=+⎩，可得：24240y my --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212424y y m y y +=⎧⎨=-⎩，因为以AB 为直径的圆过点F ，所以FA FB ⊥，即0FA FB ⋅=，可得：1212(1)(1)0x x y y --+=，∴212121212(1)(1)(1)5()25x x y y m y y m y y --+=++++ 2224(1)20250m m =-+++=，解得：12m =±，∴直线1:62l x y =±+，即:2120l x y ±-=． 【考点】（1）用待定系数法求抛物线方程．（2）求直线方程；解析几何中的方程思想． 18．已知等差数列{}n a 首项11a =，公差为d ，且数列{}2n a 是公比为4的等比数列，（1）求d ；（2）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n项和n S ；（3）求数列11{}n n a a +⋅的前n 项和n T．【答案】（1）2d =（2）12(1)21na n n =+-=-，2n S n =（3）21nn +【解析】试题分析：（1）由条件已知11a =及{}2n a 是公比为4的等比数列，可运用等比数列的定义建立关于d 的方程，求出d ．（2）由（1）已知等差数列的两个基本量：11=a ，2=d ．可回到等差数列的通项公式和求和公式，求出通项公式n a 及前n项和n S（3）由新数列11{}+⋅n n a a 的结构，可联系裂项求和法，达到求和的目的．试题解析： （1）∵数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{2}n a 是公比为4的等比数列，所以1122242n n n na a a da ++-===，求得2d =．（2）由此知12(1)21n a n n =+-=-，2n S n =（3）令111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===-⋅-⋅+-+则123111111111()21335572121n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 【考点】（1）等差和等比数列的定义．（2）等差数列通项公式和求和公式．（3）裂项求和法． 19．如图，ABCD 是块矩形硬纸板，其中AB ＝2AD ，ADE 为DC 的中点，将它沿AE 折成直二面角D-AE-B ．（1）求证：AD ⊥平面BDE ；（2）求二面角B-AD-E 的余弦值． 【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）本题为折叠问题，注意折叠过程中得不变性．证线面垂直可回到判定定理（化为线与两条相交直线垂直来证）．另也可建立空间坐标系，运用向量运算来解决． （2）由（1）已经建立空间坐标系，则关键是算出两个平面的法向量，利用法向量的数量积，可算出二面角的余弦．（注意观察二面角为钝角还是锐角对应余弦的负和正）． 试题解析： （1）由题设可知AD ⊥DE ，取AE 中点O ，连接OD ，BE ．∵AD ＝DEOD ⊥AE ．又二面角D-AE-B 为直二面角，∴OD ⊥平面ABCE ．又AE ＝BE ＝2，AB ＝AB2＝AE 2＋BE 2．∴AE ⊥BE ．取AB 中点F ，连接OF ，则OF ∥EB ．∴OF ⊥AE ．以点O 为原点，OA ，OF ，OD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图），则A （1，0，0），D （0，0，1），B （－1，2，0），E （－1，0，0），AD ＝（－1，0，1），BD ＝（1，－2，1），EB ＝（0，2，0），设n ＝（x 1，y 1，z 1）是平面BDE 的法向量，则00n EB n BD ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ ＝，＝，即11112020y x y z =⎧⎨-+=⎩取x 1＝1，则z 1＝－1． 于是n ＝（1，0，－1）．∴n ＝－AD ．∴n ∥AD．∴AD ⊥平面BDE ．（2）设m ＝（x 2，y 2，z 2）是平面ABD 的一个法向量，则m·BD ＝0，m·AD ＝0，∴22222200.x y z x z ⎧⎨⎩－＋＝，－＋＝取x 2＝1，则y 2＝1，z 2＝1，则m ＝（1，1，1），平面ADE 的法向量OF ＝（0，1，0）．∴cos 〈m ，OF 〉＝m O F m O F⋅＝． ∴二面角B-AD-E的余弦值为【考点】（1）运用空间向量的运算证线面垂直．（2）运用空间向量的运算解决二面角的问题． 20．已知数列{}n a 中，*111,()3nn n a a a n N a +==∈+ （1）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足(31)2nn n n n b a =-⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n T ． 【答案】（1）证明见解析；231n n a =-；（2）1242n n n T -+=-【解析】试题分析：（1）本题给出条件式子较复杂，要把握好证明中式子的结构，从等比数列的定义出发，合理对式子变形进行证明．知公比和首项，可求出通项公式．（2）给出新数列{}n b 结合（1），对(31)2nn n nnb a =-⋅⋅化简，易发现为等差与等比商式， 联系错位相减法（注意第二个式子所乘的因数为公比）进行求和，可得． 试题解析： （1）证明：由1(*)3n n n a a n N a +=∈+，得11331n n n na a a a ++==+， 111113()22n n a a +∴+=+所以数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以3为公比，以1113()22a += 为首项的等比数列，从而1113232231n n nn a a -+=⨯⇒=-； （2）12n n nb -=0122111111123(1)22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯121111112(1)22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯ ， 两式相减 得：012111111222222222n n n nT n n -+=++++-⨯=- 1242n n n T -+∴=-【考点】（1）等比数列的定义及代数变形能力．（2）错位相减法．21．如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5．（1）求直线B 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值； （2）在线段BC 1上确定一点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求1BDBC 的值． 【答案】（1）1225；（2）1925BD BC 【解析】试题分析：（1）本题主要考察线面角的问题，结合图形可建立空间直角坐标系，通过面的法向量与线B 1C 1，所成角的余弦可的线面角的正弦．（2）由于D 点位置不明，可现设坐标D （x ，y ，z ），又D 点是线段BC 1上一点，且BD＝λ1BC 引入未知量λ，利用条件AD ⊥A 1B 可建立λ的方程，从而算出1BDBC 的值．试题解析：（1）∵AA 1C 1C 为正方形，∴AA 1⊥AC ．∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ， ∴AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ． 由已知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，∴AB ⊥AC ． 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A-xyz ，则B （0，3，0），A 1（0，0，4），B 1（0，3，4），C 1（4，0，4），∴1A B ＝（0，3，－4），11AC ＝（4，0，0），11B C ＝（4，－3，0）．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则11100n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即34040y z x -=⎧⎨=⎩ 令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，∴n ＝（0，4，3）．设直线B 1C 1与平面A 1BC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos ＜11B C ，n ＞|＝1111B C n B C n⋅ ＝3455⨯⨯＝1225． 故直线B 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为1225． （2）设D （x ，y ，z ）是线段BC 1上一点，且BD ＝λ1BC（λ∈[0，1]），∴（x ，y －3，z ）＝λ（4，－3，4），∴x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ，∴AD ＝（4λ，3－3λ，4λ）．又1A B＝（0，3，－4），由AD ·1A B＝0，得3（3－3λ）－4×4λ＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925∈[0，1]．故在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ．此时1BD BC ＝λ＝925．【考点】（1）运用空间向量方法算线面角的正弦．（2）方程思想和空间向量的综合运用．22．如图，已知椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）经过点31,2⎛⎫P ⎪⎝⎭，离心率12e =，直线l 的方程为4x =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）AB 是经过椭圆右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，问：是否存在常数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】（1） 22143x y += （2）存在常数2λ=符合题意【解析】试题分析：（1）本题求椭圆的标准方程，题目给出了31,2⎛⎫P ⎪⎝⎭，离心率12e =，只需建立关于a ，b ，c 的方程，可算出椭圆的标准方程（2）本问为存在性问题，通常假设存在．由题目条件出发，设直线AB 的方程与椭圆方程 联立得：A ，B 两点坐标及满足的数量关系，表示出M 点坐标．然后表示出PA ，PB ，PM 的斜率1k ，2k ，3k ，找出123k k k λ+=中的λ值．试题解析：源（Ⅰ）由点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆上得，221914a b +=，①又12e =，所以12c a =，② 由①②得222143c a b ===，，，故椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得123k k k λ+=，由题意可设AB k 的斜率为，则直线AB 的方程为(1)y k x =-，③ 代入椭圆方程22143x y +=，并整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=，设1122()()A x y B x y ，，，，则有2212122284(3)4343k k x x x x k k -+==++，，④ 在方程③中，得，(43)M k ，，从而121212332211y y k k x x --==--，，33312412k k k -==--． 又因为A F B ，，共线，则有AF BF k k k ==，即有121211y yk x x ==--， 所以12k k +=1212332211y y x x --+=--12121231111211y y x x x x ⎛⎫+-+ ⎪----⎝⎭=322k - 1212122()1x x x x x x +--++，⑤将④代入⑤得12k k +=322k - 2222228243214(3)814343k k k k k k k -+=---+++，又312k k =-，所以12k k +=32k ，故存在常数2λ=符合题意． 【考点】（1）求椭圆的标准方程．（2）方程思想和较强的代数运算能力．。

一、选择题DBAAC CADAD DA二、填空题13 []1,+∞ 14( 15 3416 2[,)e -+∞ 三、解答题17. 解：（Ⅰ）由27100x x -+<，解得25x <<，所以:25p x <<又22430x mx m -+<，因为0m >，解得3m x m <<，所以:3q m x m <<．当4m =时，:412q x <<，又p q ∧为真，,p q 都为真，所以45x <<．……5分（Ⅱ）由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，即q p ⌝⇒⌝，p q ⌝⇒⌝，其逆否命题为,p q q p ⇒⇒，由（Ⅰ）:25p x <<，:3q m x m <<，所以2350m m m ≤⎧⎪≥⎨⎪>⎩，即 523m ≤≤ . ……10分 （18）解：（1）定义域为),0(+∞.xa a x x f 22)('-+= x a x a x )2)((-+= ①当0>a 时，令0)('>x f ，解得2a x >；令0)('<x f ，解得20a x <<. ②当0=a 时， 02)('>=x x f 恒成立，所以)(x f 只有增区间),0(+∞.③当0<a 时，令0)('>x f ，解得a x ->；令0)('<x f ，解得a x -<<0.……………………6分综上：当0>a 时，)(x f 的增区间为),2(+∞a ；减区间为)2,0(a ；当0=a 时，)(x f 只有增区间),0(+∞；当0<a 时，)(x f 的增区间为),(+∞-a ；减区间为),0(a -……………………………………7分(2) )('x f x a x a x )2)((-+=，0)('=∴x f 时，解得2a x =. 1>a ，a a <∴2.由（1）可知 ①当120≤<a ，即20≤<a 时，)(x f 在区间],1[a 上单调递增，1)1()(min +==∴a f x f ；②当12>a ，即2>a 时，)(x f 在区间)2,1[a 上单调递减，在区间],2(a a 上单调递增. )2ln 43()2()(2min a a a f x f -==∴.………………………………11分 综上：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<+=∴2),2ln 43(20,1)(2min a a a a a x f .………………………………12分 19．解：（Ⅰ）由题知，点(1,)P m 到抛物线的准线距离为3，所以132p +=，所以4p = 抛物线G 的方程为28y x = ………………………………5分（Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，设其斜率为k ，1122(,),(,)A x y B x y 由21122288y x y x ⎧=⎨=⎩，2212128()y y x x ∴-=-，28P y k ∴=4k ∴=-∴直线l 的方程为14(1)y x +=--，即430x y +-=…………………………12分20. 解：（1）因为11S a +， 33S a +， 22S a +成等差数列，所以()()()3311222S a S a S a +=+++，所以()()31323122S S S S a a a -+-+=+，所以314a a =，因为数列{}n a 是等比数列，所以23114a q a ==， 又0q >，所以12q =，所以数列{}n a 的通项公式112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭．………………6分（2）由（1）知12n n b n -=⋅， 01211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅，()12121222122n n n T n n -=⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅，所以()()()012112212322122n n n T n n n -⎡⎤-=⋅+-⋅+-⋅+⋯+--⋅-⋅⎣⎦012122222n n n -=+++⋯+-⋅()()112212112n n n n n -=-⋅=-⋅--．故()121n n T n =-⋅+．…………………………………12分19解：（Ⅰ）*31 ()22n n S a n N =-∈ ① 当2123,111-==a S n ，11=∴a 当,2≥n 1131 22n n S a --=- ② ①-②：13322n n n a a a -∴=- ，即：13 (2)n n a a n -=≥…………………………4分 又11a =31=∴+nn a a 对*∈N n 都成立，所以{}n a 是等比数列， 13-=∴n n a （n N *∈） ……………………………………………………6分（Ⅱ）23nn n a b n n =+ 23n b n n ∴=+111113(1)2231n T n n ∴=-+-++-+ 133(1)311n T n n ∴=-=-++ ……………………………………………………8分 301n >+,3<∴n T 对*∈N n 都成立…………………………………………10分 232c c ∴≤-31c c ∴≥≤-或∴实数c 的取值范围为(,1][3,)-∞-⋃+∞. ……………………………………12分21．解：（Ⅰ）∵圆G ：220x y x +-=经过点,F B ．(1,0),F B ∴，∴1c =，b = ∴24a =．故椭圆的方程为22143x y +=．…………4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为()(2)y x m m =-->．由22143()x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=--⎩消去y 得2278(412)0x mx m -+-=．设),(11y x C ，),(22y x D ，则1287m x x +=，2124127m x x -=，………6分 ∴212121212[()][()]()y y x m x m x x m x x m =--⋅--=-++． ∵11(1,)FC x y =-，22(1,)FD x y =- ……………………………8分 ∴FD FC ⋅=1212(1)(1)x x y y --+ 121212()1x x x x y y =-+++212122(1)()1x x m x x m =-++++278177m m --=……………………10分 ∵点F 在圆G 的内部，∴0FC FD ⋅<， 即2781707m m --<，m << 由△=226428(412)0m m -->，解得m <又2m >，∴2m <<． …………………………………12分 解：(1)因为f ′(x )＝，所以f ′(0)＝2，f (0)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在(0，－1)处的切线方程是y ＋1＝2x ，即2x －y －1＝0.(2)证明：当a ≥1时，f (x )＋e ≥(x 2＋x －1＋e x ＋1)e －x . 令g (x )＝x 2＋x －1＋e x ＋1， 则g ′(x )＝2x ＋1＋e x ＋1. 当x <－1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >－1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以g (x )≥g (－1)＝0.因此f (x )＋e ≥0.。

2018—2019学年度上学期期末考试高三年级数学（文科）试卷参考答案一.选择题：1.A2.C3.A4.B5.B6.C7.C8.C9.D10.B11.C12.D二.填空题:13．51214.3515．-116．13三、解答题：17.（本小题满分12分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则233116159q d d q++=⎧⎨+=⎩，………………2分解得2d =，2q =，………………4分所以21n a n =-，12n n b -=．………………6分（2）1212n n n c --=，当1n =时，11T =；当2n ≥时，22135232112222n n n n n T ----=+++++L ，①23111352321222222n n n n n T ---=+++++L ,②………………9分①－②得：23112222211222222n n n n T --=+++++-L 11212312(1)3222n n n n n --+=+--=-，12362n n n T -+=-……………………11分综上12362n n n T -+=-……………………12分18.（本小题满分12分）解：（1）由22⨯列联表可得：()()()()()()22210026203024500.649 3.8415050564477n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈<++++⨯⨯⨯，····3分所以没有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关．···········4分（2）根据题意所抽取的5位女性中，“微信控”有3人，“非微信控”有2人····6分．（3）设事件M =“从（2）中抽取的5位女性中，再随机抽取3人，抽取3人中恰有2人是“微信控””抽取的5位女性中，“微信控”3人分别记为A ，B ，C ；“非微信控”2人分别记为D ，E ．则再从中随机抽取3人构成的所有基本事件为：ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE ，共有10种；···········9分抽取3人中恰有2人为“微信控”所含基本事件为：ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，BCD ，BCE ，共有6种，···········11分所以63()105P M ==．···········12分19.(本小题满分12分)解：(1)证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．由等腰直角三角形ABE 可得∵EA EB =，EA EB ⊥∴AB EO ⊥．∵四边形ABCD 为直角梯形，BC CD AB 22==，BC AB ⊥，∴四边形OBCD 为正方形，所以OD AB ⊥,OD OE O =I ………………2分∴⊥AB 平面EOD∴ED AB ⊥．………………4分(2)∵平面⊥ABE 平面ABCD ，平面ABE I 平面ABCD =AB ,且BC AB ⊥∴BC ⊥平面ABE ∴BC AE ⊥………………6分又∵EA EB ⊥,BC BE B=I ∴AE ⊥平面BCE ，AE ⊂平面AED ∴平面⊥AED平面BCE………………8分(3)解：存在点F ，且13EF EA =时，有EC //平面FBD ．………………10分连AC 交BD 于M ，∵四边形ABCD 为直角梯形，BC CD AB 22==，∴21==AB CD MA CM 又21=FA EF ∴FA EF MA CM =∴//CE FM∵CE ⊄平面FBD ，FM ⊂平面FBD ∴EC //平面FBD ．………………12分20.（本小题满分12分）解：（1）由题意知12c a =，则2a c =，圆M 的标准方程为()22116x y ++=，从而椭圆的左焦点为()110F -，，即1c =，···········2分所以2a =，又222b ac =-，得b =．所以椭圆的方程为：22143x y +=．···········4分（2）可知椭圆右焦点()21,0F ．（i）当l 与x 轴垂直时，此时k 不存在，直线:1l x =，直线1:0l y =，可得：3AB =，8CD =，四边形ACBD 面积为12．···········5分（ii）当l 与x 轴重合时，此时0k =，直线:0l y =，直线1:1l x =，可得：4AB =，CD =，四边形ACBD面积为．·········6分（iii）当l 与x 轴不垂直也不重合时，设l 的方程为()1y k x =-()0k ≠，并设()11,A x y ，()22,B x y ．()22224384120k x k x k +-+-=．显然0∆>，且21228k x x +=+，2122412k x x -=+．···········8分所以()212212143k AB x k +=-=+．···········9分过2F 且与l 垂直的直线()11:1l y x k =--，则圆心到1l，所以CD ==．···········10分故四边形ACBD面积：12S AB CD ==(∈·····11分综上，四边形ACBD分21．（本小题满分12分）解：（1）()22ln F x x x a x ax =--+，()()21x a x x+-=，·······1分∵()F x 的定义域为()0,+∞．即0a ≥时，()F x 在()0,1上递减，()F x 在()1,+∞上递增，()()11F x F a ==-极小，()F x 无极大值．·······2分②012a <-<即20a -<<时，()F x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞上递增，在,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极大2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()()11F x F a ==-极小．·······3分③12a-=即2a =-时，()F x 在()0,+∞上递增，()F x 没有极值．·······4分④12a ->即2a <-时，()F x 在()0,1和,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，()F x 在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，∴()()11F x F a ==-极大，()a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极小·······5分综上可知：0a ≥时，()1F x a =-极小，()F x 无极大值；20a -<<时，()a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极大2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()()11F x F a ==-极小；2a =-时，()F x 没有极值；2a <-时，()()11F x F a ==-极大，()a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极小2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭．··6分设cos t x =，则[]1,1t ∈-，()()2122tt t ϕ+=+∴()t ϕ在[]1,1-上递增，∴()t ϕ的值域为11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，(或者：()()2122tt t ϕ+=+=29143122t t ++++，113,222t ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦1()1,3t ϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦)······8分时，()0h x '≥，()h x 为[]0,+∞上的增函数，∴()()00h x h =≥，适合条件．·······9分②当0a ≤·······10分③当103a <<sin3xax <-，令()sin 3x T x ax =-()00,x x ∈时，()0T x '<，∴()T x 在()00,x 上单调递减，∴()()000T x T <=，即在()00,x x ∈时，()0h x <，∴不适合条件．综上，a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．·······12分22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）曲线1C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-=.···········2分由cos ,sin x y ρθρθ==，得24cos ρρθ=，∴曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=.··········5分（2）设点A 的极坐标为1(,)6πρ，点B 的极坐标为2(,)6πρ，则14cos6πρ==， (7)分233cos 6622ππρ=+=+=∴12AB ρρ=-=···········10分23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（1）由已知可得：4,2()2,224,2x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩，···········2分由2x ≥时，42≥恒成立；22x -<<时，22x ≥，即有1x ≥，则12x ≤<.故()2f x ≥的解集为{|1}x x ≥.··········5分（2）22(2)(2)4x x x x +--≤+--=··········7分11111()[(1)]24111y yy y y y y y y y-+=++-=++≥---，∴11|2||2|1x x y y+--≤+-.··········10分。

绝密★启用前辽宁省大连市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理)试题一、单选题1．若命题是真命题，命题是假命题，则下列命题一定是真命题的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】∵命题q 是假命题，命题p 是真命题， ∴“p ∧q”是假命题，即A 错误； “p ∨q”是真命题，即B 正确； “￢p ∧q”是假命题，即C 错误； “￢p ∨q”是假命题，故D 错误； 故选：B ．2．设:12,:21xp x q ，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：由指数函数的性质可知，当必有，所以的充分条件，而当时，可得，此时不一定有，所以的不必要条件，综上所述，的充分而不必要条件，所以正确选项为A.考点：充分条件与必要条件.【方法点睛】判断p 是不是q 的充分（必要或者充要）条件，遵循充分必要条件的定义，当p 成立时， q 也成立，就说p 是q 的充分条件，否则称为不充分条件；而当q 成立时， p 也成立则p 是q 的必要条件，否则称为不必要条件；当p 能证明q 的同时q 也能证明p ，则p 是q 的充分条件．视频 3．已知命题，总有，则为（ ）A ．，总有 B ．，总有C．，总有D．，总有【答案】D【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，即可得到命题的否定，得出答案.【详解】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题，总有，则为命题“，总有”，故选D.【点睛】本题主要考查了命题的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，准确书写是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4．曲线（其中为自然对数的底数）在点处的切线的倾斜角等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由题意，求得导数，得到，即在点处的切线的斜率为，进而可求解切线的倾斜角，得到答案.【详解】由题意，曲线，则，所以，即在点处的切线的斜率为，设切线的倾斜角为，则，解得，即切线的倾斜角为，故选A.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，求得函数在某点处的导数，得到切线的斜率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点()1,1，则a b +的最小值等于（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C【解析】试题分析：∵直线1x ya b+=（，）过点，∴．则()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭224b a a b =++≥+=，当且仅当时取等号．故答案为：C ． 考点：基本不等式.视频 6．在等差数列中，，则其前9项和的值为（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．2 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得，在利用等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由等差数列的性质可得，所以数列的前项的和，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质的应用是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，得出，即可求解.【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，又直线为双曲线的一条渐近线，所以，则，故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中熟记双曲线的几何性质是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.8．在等比数列中，，前3项之和，则公比的值为（）A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1或2【答案】C【解析】【分析】根据题意和等比数列的通项公式与前n项和公式，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，在等比数列中，，前3项之和，所以，解得或，故选C.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前n项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n项和公式，同时在利用等比数列的前n项和公式时要注意的情况，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，令导数为0，由题意可得判别式大于0，即可求解，得出答案.【详解】由题意，函数，则，因为函数有两个极值点，则方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等实数根，则，解得或，即实数的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值问题，其中解答中明确函数的导数与函数的极值的关系，以及合理应用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10．设是边长为的正方体，与相交于点，则有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】分别以为轴，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，即可求解.【详解】分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，对于A中，向量，所以是正确的；对于B中，向量，所以B不正确；对于C中，向量，所以C 不正确；对于D中，向量，所以D不正确；综上，只有A项正确，故选A.【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中根据几何体的结构特征建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，根据函数在区间单调递增，可得在上恒成立，即可求解.【详解】由题意，可得，由函数在区间单调递增，可得在上恒成立，即在上恒成立，又由在区间上的最大值为1，所以，即实数的取值范围是，故选A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中把函数的单调性转化为恒成立问题，利用分离参数法求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.12．（文）设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设A点为（a,O）B（0，b），向量BP=（x,y-b）, 2向量PA=（2a-2x,-2y）所以能得出x ="2a-2x,y-b=-2y," 进而得出x=,y=又因为向量AB=（-a，b）所以向量AB=（x,）又因为向量=1，且向量OQ=（-x,y）所以（x,·（-x,y）=1 所以得出故选D.第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．不等式的解集是__________．【答案】{x|0＜x＜2}【解析】解：不等式x2﹣2x＜0可化为x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2；∴不等式的解集为{x|0＜x＜2}．故答案为：{x|0＜x＜2}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，解题时应按照解不等式的一般步骤进行解答即可，是基础题．14．在正方体中，异面直线与所成的角等于_____．【答案】【解析】连接。

大连市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥β，m⊥β，则m∥α；其中正确命题的序号是（）A．①②③④B．①②③ C．②④D．①③2．如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O交于A，B，C三点．分别作AA'、BB'、CC'垂直于x轴，若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形，则此三角形的外接圆面积为（）A．B．C． D．π3．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=x﹣1B．y=（）x C．y=x+D．y=ln（x+1）4．已知双曲线C 的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，且双曲线C过点P（﹣2，0），则双曲线C的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±C．xy=±2x D．y=±x5．已知函数f（x）=xe x﹣mx+m，若f（x）＜0的解集为（a，b），其中b＜0；不等式在（a，b）中有且只有一个整数解，则实数m的取值范围是（）A．B． C．D．6．不等式≤0的解集是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）B ．[﹣1，2]C ．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）D ．（﹣1，2]7． 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布． A．B．C．D．8．双曲线=1（m ∈Z ）的离心率为（ ） A．B ．2C．D ．39． 设函数)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)('x f ，且有2')()(2x x xf x f >+，则不等式0)2(4)2014()2014(2>--++f x f x 的解集为A 、)2012,(--∞ B 、)0,2012(- C 、)2016,(--∞ D 、)0,2016(- 10．1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅= ，若12PF F ∆）C. 1D. 1【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．11．三个实数a 、b 、c 成等比数列，且a+b+c=6，则b 的取值范围是（ ） A ．[﹣6，2] B ．[﹣6，0）∪（ 0，2] C ．[﹣2，0）∪（ 0，6] D ．（0，2]12．已知直线l ：2y kx =+过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的上顶点B 和左焦点F ，且被圆224x y +=截得的弦长为L，若5L ≥e 的取值范围是（ ）（A ） ⎥⎦⎤⎝⎛550， （ B ）05⎛ ⎝⎦， （C ） ⎥⎦⎤⎝⎛5530， （D ） ⎥⎦⎤⎝⎛5540， 二、填空题13．若点p （1，1）为圆（x ﹣3）2+y 2=9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为14．已知sin α+cos α=，且＜α＜，则sin α﹣cos α的值为 ．15．命题“若1x ≥，则2421x x -+≥-”的否命题为．16．函数y=sin 2x ﹣2sinx 的值域是y ∈ ．17．已知函数f （x ）=恰有两个零点，则a 的取值范围是 ．18．（﹣2）7的展开式中，x 2的系数是 ．三、解答题19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b 2+c 2=a 2+bc ． （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）如果cosB=，b=2，求a 的值．20．（本小题满分12分） 已知函数21()x f x x +=，数列{}n a 满足：12a =，11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭（N n *∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【命题意图】本题主要考查等差数列的概念，通项公式的求法，裂项求和公式，以及运算求解能力.21．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数不存在“和谐区间”．（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．22．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？23．在数列中，，，其中，．（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）是否存在实数，使构成公差不为0的等差数列？证明你的结论；（Ⅲ）当时，证明：存在，使得．24．已知函数f（x）=（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为0和3．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）的极大值为，求函数f（x）在区间[0，5]上的最小值．大连市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：由m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面：在①中：若m⊥α，n∥α，则由直线与平面垂直得m⊥n，故①正确；在②中：若α∥β，β∥γ，则α∥γ，∵m⊥α，∴由直线垂直于平面的性质定理得m⊥γ，故②正确；在③中：若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质定理得m∥n，故③正确；在④中：若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故④错误．故选：B．2．【答案】A【解析】（本题满分为12分）解：由题意可得：|AA'|=sinα、|BB'|=sinβ、|CC'|=sin（α+β），设边长为sin（α+β）的所对的三角形内角为θ，则由余弦定理可得，cosθ==﹣cosαcosβ=﹣cosαcosβ=sinαsinβ﹣cosαcosβ=﹣cos（α+β），∵α，β∈（0，）∴α+β∈（0，π）∴sinθ==sin（α+β）设外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2R==1，∴R=，∴外接圆的面积S=πR2=．故选：A．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．3．【答案】D【解析】解：①y=x﹣1在区间（0，+∞）上为减函数，②y=（）x是减函数，③y=x+，在（0，1）是减函数，（1，+∞）上为，增函数，④y=lnx在区间（0，+∞）上为增函数，∴A，B，C不正确，D正确，故选：D【点评】本题考查了基本的函数的单调区间，属于基本题目，关键掌握好常见的函数的单调区间．4．【答案】A【解析】解：抛物线y2=8x的焦点（2，0），双曲线C 的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，c=2，双曲线C过点P（﹣2，0），可得a=2，所以b=2．双曲线C的渐近线方程是y=±x．故选：A．【点评】本题考查双曲线方程的应用，抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．5．【答案】C【解析】解：设g（x）=xe x，y=mx﹣m，由题设原不等式有唯一整数解，即g（x）=xe x在直线y=mx﹣m下方，g′（x）=（x+1）e x，g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，故g（x）min=g（﹣1）=﹣，y=mx﹣m恒过定点P（1，0），结合函数图象得K PA≤m＜K PB，即≤m＜，，故选：C．【点评】本题考查了求函数的最值问题，考查数形结合思想，是一道中档题．6．【答案】D【解析】解：依题意，不等式化为，解得﹣1＜x≤2，故选D【点评】本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．7．【答案】D【解析】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m则由题意知，解得d=．故选：D．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．8．【答案】B【解析】解：由题意，m2﹣4＜0且m≠0，∵m∈Z，∴m=1∵双曲线的方程是y2﹣x2=1∴a2=1，b2=3，∴c2=a2+b2=4∴a=1，c=2，∴离心率为e==2．故选：B．【点评】本题的考点是双曲线的简单性质，考查由双曲线的方程求三参数，考查双曲线中三参数的关系：c2=a2+b2．9．【答案】C.【解析】由，得：，即，令，则当时，，即在是减函数，，，，在是减函数，所以由得，，即，故选10．【答案】D【解析】∵120PF PF ⋅= ，∴12PF PF ⊥，即12PF F ∆为直角三角形，∴222212124PF PF F F c +==，12||2PF PF a -=，则222221212122()4()PF PF PF PF PF PF c a ⋅=+--=-，2222121212()()484PF PF PF PF PF PF c a +=-+⋅=-.所以12PF F ∆内切圆半径12122PF PF F F r c +-==，外接圆半径R c =.12c c =，整理，得2()4ca=+1e =，故选D. 11．【答案】B【解析】解：设此等比数列的公比为q ， ∵a+b+c=6，∴=6，∴b=．当q ＞0时， =2，当且仅当q=1时取等号，此时b ∈（0，2]；当q ＜0时，b =﹣6，当且仅当q=﹣1时取等号，此时b ∈[﹣6，0）．∴b 的取值范围是[﹣6，0）∪（ 0，2]． 故选：B ．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．【答案】 B【解析】依题意，2, 2.b kc ==设圆心到直线l 的距离为d ，则L =≥解得2165d ≤。

……外………………内…………绝密★启用前辽宁省五校2018-2019学年高二上学期期末联考物理试题(实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校)试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．在物理学发展的过程中观测、实验、假说和逻辑推理等方法都起了重要作用，下列叙述符合史实的是（ ）A ．奥斯特在实验中观察到电流的磁效应，该效应揭示了电和磁之间存在联系B ．洛伦兹根据通电螺线管的磁场和条形磁铁的磁场的相似性，提出了分子电流假说C ．法拉第在对理论和实验资料进行分析后总结出法拉第电磁感应定律D ．楞次认为磁场变化时会在空间激发出一种电场，叫感生电场2．如图所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导轨之间接有定值电阻R ．金属棒ab 与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。

现使磁感应强度随时间均匀减小，ab 始终保持静止，下列说法正确的是（ ）A ．ab 中的感应电流方向由b 到aB ．ab 中的感应电流逐渐减小C ．ab 所受的安培力保持不变…………○…………装…………○……………线………※※请※※不※※要※※在※※装※※订…………○…………装…………○……………线………3．如图，电路中定值电阻阻值R 大于电源内阻阻值r ，将滑动变阻器滑片向下滑动，理想电压表V 1、V 2、V 3示数变化量的绝对值分别为ΔU 1、ΔU 2、ΔU 3，理想电流表A 示数变化量的绝对值为ΔI ，正确的是( )A ．V 2的示数增大B ．电源输出功率在减小C ．ΔU 3与ΔI 的比值在减小D ．ΔU 1大于ΔU 24．如图所示，等腰三角形内分布有垂直于纸面向外的匀强磁场，它的底边在x 轴上且长为2L ，高为L ，纸面内一边长为L 的正方形导线框沿x 轴正方向做匀速直线运动穿过匀强磁场区域，在0t =时刻恰好位于如图所示的位置，以顺时针方向为导线框中电流的正方向，下面四幅图中能够正确表示导线框中的电流——位移（I x -）关系的是A ．B ．C ．D ．二、多选题5．如图，A 、B 是两个完全相同的白炽灯，L 是自感系数很大、电阻可忽略不计的自感线圈.下面说法正确的是……外………………订………○……级：___________考号：……内………………订………○……A ．闭合开关S 时，A 、B 灯同时亮，且达到正常亮度 B ．闭合开关S 时，A 灯比B 灯先亮，最后一样亮C ．闭合开关S 时，B 灯比A 灯先亮，最后一样亮D ．断开开关S 时，B 灯立即熄灭而A 灯慢慢熄灭6．如图所示为小型旋转电枢式交流发电机的原理图，匝数 n=100 匝，电阻为 r=1Ω的矩形线圈在匀强磁场中，绕垂直于磁场方向的固定轴 OO ′匀速转动 线圈两端经集流环和电刷与电路连接，定值电阻R1=6Ω，R2=3Ω，其他电阻不计，线圈匀速转动的周期 T=0.2s ．从 线框与磁场方向平行位置开始计时，线圈转动的过程中，理想电压表的示数为2V ．下列说法中正确的是A ．电阻R2上的电功率为23W B ．经过10s 时间，通过R1的电流方向改变 100 次 C ．从开始计时到 1/ 20 s 通过电阻 R2 C D ．若线圈转速变为原来的 2 倍，线圈中产生的电动势随时间变化规律()e t V π=7．利用霍尔效应制作的霍尔元件，广泛应用于测量和自动控制等领域。

2018-2019学年辽宁省东北育才、实验中学、大连八中、鞍山一中等高一下学期期末联考数学试题一、单选题1．下列事件中，是必然事件的是（ ）A ．任意买一张电影票，座位号是2的倍数B ．13个人中至少有两个人生肖相同C ．车辆随机到达一个路口，遇到红灯D ．明天一定会下雨【答案】B【解析】根据必然事件的定义，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】买一张电影票，座位号可以是2的倍数，也可以不是2的倍数，故A 不正确； 13个人中至少有两个人生肖相同，这是必然事件，故B 正确；车辆随机到达一个路口，可以遇到红灯，也可以遇到绿灯或者黄灯，故C 不正确； 明天可能下雨也可能不下雨，故D 不正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查必然事件的定义，属基础题.2．记复数z 的虚部为Im()z ，已知z 满足12iz i =+，则Im()z 为（ ） A ．1- B ．i - C ．2D ．2i【答案】A【解析】根据复数除法运算求得z ，从而可得虚部. 【详解】由12iz i =+得：()212122i ii z i i i++===- ()Im 1z ∴=- 本题正确选项：A 【点睛】本题考查复数虚部的求解问题，关键是通过复数除法运算得到z a bi =+的形式. 3．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边落在射线()200x y x +=>上，则sin α=（ ）A B ．5-C D ．【答案】D【解析】在α的终边上取点(1,2)P -,然后根据三角函数的定义可求得答案. 【详解】在α的终边上取点(1,2)P -,则r ==根据三角形函数的定义得sin 5y r α===-. 故选:D 【点睛】本题考查了利用角的终边上的点的坐标求三角函数值,属于基础题.4．已知ABC ∆中，(2,8)AB =u u u v ，(3,4)AC =-u u u v ，若BM MC =u u u u v u u u u v ，则AM u u u u v的坐标为 （ ）A ．1(,6)2- B ．5(,2)2C ．(1,12)-D ．(5,4)【答案】A【解析】根据(2,8)AB =u u u r ，(3,4)AC =-u u u r ，可得BC uuu r；由BM MC =u u u u r u u u u r 可得M 为BC 中点，即可求得BM u u u u r 的坐标，进而利用AM AB BM =+u u u u r u u u r u u u u r即可求解．【详解】因为(2,8)AB =u u u r ，(3,4)AC =-u u u r所以(5,4)BC AC AB =-=--uuu r uuu r uuu r因为BM MC =u u u u r u u u u r，即M 为BC 中点所以15,222BM BC ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭u u u u r u u u r所以()512,8,2,622AM AB BM ⎛⎫⎛⎫=+=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r u u u u r所以选A 【点睛】本题考查了向量的减法运算和线性运算，向量的坐标运算，属于基础题．5．高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作实验基地，这n 座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为1x ，2x ，…，n x ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（ ）A ．1x ，2x ，…，n x 的标准差B ．1x ，2x ，…，n x 的平均数C ．1x ，2x ，…，n x 的最大值D ．1x ，2x ，…，n x 的中位数【答案】A【解析】利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度可得出选项. 【详解】表示一组数据的稳定程度是方差或标准差，标准差越小，数据越稳定 故选：A 【点睛】本题考查了用样本估计总体，需掌握住数据的稳定程度是用方差或标准差估计的，属于基础题.6．已知向量||||1a b ==r r ，a r 与b r的夹角为60︒，则|2|a b -=r r（ ）A ．3B ．2C D ．1【答案】C【解析】由向量的模公式以及数量积公式，即可得到本题答案. 【详解】因为向量||||1a b ==r r ，a r 与b r的夹角为60︒，所以|2|a b -====r r 故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的模的公式以及数量积公式. 7．已知α为第一象限角，5sin cos 4αα+=，则4041cos 22πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ）A ．916-B ．916C ．D 【答案】B【解析】由5sin cos 4αα+=式子两边平方可算得9sin 216α=，又由4041cos 2sin 22παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即可得到本题答案.【详解】因为5sin cos 4αα+=，225(sin cos )16αα+=，2512sin cos 16αα+=，9sin 216α=，所以40419cos 2sin 2216παα⎛⎫-== ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题主要考查利用同角三角函数的基本关系及诱导公式化简求值.8．某市举行“精英杯”数学挑战赛，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校所有学生的成绩均在区间(30,150]内，其频率分布直方图如图所示，该校有130名学生获得了复赛资格，则该校参加初赛的人数约为（ ）A ．200B ．400C ．2000D ．4000【答案】A【解析】由频率和为1，可算得成绩大于90分对应的频率，然后由频数÷总数=频率，即可得到本题答案. 【详解】由图，得成绩大于90分对应的频率=1(0.00250.00752)200.65-+⨯⨯=， 设该校参加初赛的人数为x ，则1300.65x=，得200x =， 所以该校参加初赛的人数约为200. 故选：A 【点睛】本题主要考查频率直方图的相关计算，涉及到频率和为1以及频数÷总数=频率的应用. 9．已知,A B 为锐角，且满足tan tan 33tan A B A B ++=，则cos()A B +=（ ） A ．3B ．12C ．3D ．12-【答案】D【解析】由tan tan 33tan A B A B ++=，得tan()3A B +=-23A B π+=，即可得到本题答案. 【详解】由tan tan tan A B A B ++=，得tan tan tan tan )A B A B +=-，所以tan tan 1ta t n a an ()n t A B A B A B +=-+=23A B π+=，所以21cos()cos 32A B π+==-.故选：D 【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用以及特殊角的三角函数值.10．某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（ ） A ．56B ．45C ．34D ．23【答案】B【解析】算出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，利用古典概型的概率的计算公式可求概率. 【详解】设A 为“恰好抽到2幅不同种类”某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数2615n C ==， 恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数21132212m C C C ==，则恰好抽到2幅不同种类的概率为()124155m P A n ===． 故选B ． 【点睛】计算出所有的基本事件的总数及随机事件中含有的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算即可.计数时应该利用排列组合的方法.11．已知函数1()sin 123f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，那么下列式子：①(2)(2)f x f x ππ+=-；②10()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭；③(2)(2)f x f x ππ+=-；④2()3f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；其中恒成立的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④【答案】A【解析】根据正弦函数的周期性及对称性，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】由1()sin 123f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，得2412T ππ==，所以()f x 的最小正周期为4π，即(2)(2)f x f x ππ+=-，故①正确；由1()sin 123f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令1,232x k k Z πππ-=+∈，得()f x 的对称轴为52,3x k k Z ππ=+∈，所以53x π=是()f x 的对称轴，2x π=不是()f x 的对称轴，故②正确，③不正确；由1()sin 123f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令1,23x k k Z ππ-=∈，得()f x 的对称中心为22,0,3k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以,03π⎛⎫⎪⎝⎭不是()f x 的对称中心，故④不正确. 故选：A 【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性以及对称性.12．设P 是△ABC 所在平面上的一点，若22AP BP CP --=u u u v u u u v u u u v ，则PA PB PA PC⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 的最小值为 A ．12B ．1C ．12-D ．1-【答案】C【解析】分析：利用向量的加法运算，设BC 的中点为D ，可得1AD =u u u v，利用数量积的运算性质可将原式化简为2122PO -u u u v ，O 为AD 中点，从而得解.详解：由22AP BP CP --=u u u v u u u v u u u v ，可得2AP PB AP PC AB AC +++=+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v.设BC 的中点为D ，即1AD =u u u v.点P 是△ABC 所在平面上的任意一点，O 为AD 中点.∴()2PA PB PA PC PA PB PC PA PD ⋅+⋅=+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u n v n u u u v()()()()()22211222222PO OA PO OD PO OA PO OA PO OA PO =++=+-=-=-≥-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v n n .当且仅当0PO =u u u v ，即点P 与点O 重合时，PA PB PA PC ⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 有最小值12-.故选C.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．二、填空题13．袋子中有四个小球，分别写有“五、校、联、考”四个字，从中任取一个小球，有放回抽取，直到取到“五”“校”二字就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“五、校、联、考”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下16组随机数，由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为______ 232 321 230 023 123 021 132 220 231 130 133 231 331 320 120 233 【答案】316【解析】由古典概型的概率()P A =A 包含的基本事件的个数÷基本事件的总数，即可得到本题答案. 【详解】因为满足恰好第三次就停止的基本事件有3种：021，130，120，基本事件的总数有16种，所以恰好第三次就停止的概率为316. 故答案为：316【点睛】本题主要考查古典概型与随机数表.14．如图，在ABC V 中，23AN NC =u u u v u u u v ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u v u u u v u u u v，则实数t 的值为________．【答案】16. 【解析】根据条件化简得56AP t AB AN =+u u u r u u u r u u u r ，再根据B,P ，N 三点共线，得516t +=,求出t 值 【详解】因为23AN NC =u u u r u u u r ，所以 52AC AN =u u u r u u u r则11553326AP t AB AC t AB AN t AB AN =+=+•=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r根据B,P ，N 三点共线，516t +=,则t=16故答案为 16． 【点睛】在平面中，若P,A,B,C 四点不共线，且 P A P P C B λυ=+u u u r u u u u u r u u u r,若A,B,C 三点共线，则1λυ+=本题考查学生对向量中点共线问题的考察15．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，外接圆半径为R ，若2b a =，且ABC ∆的面积为22sin (1cos2)R B A -，则cos B =_______.【答案】34【解析】由21sin 2sin (1cos 2)2ac B R B A =-，化简可得2c a =，再利用余弦定理，即可得到本题答案.【详解】由2cos 212sin ,2sin aA A R A=-=， 得22222sin (1cos 2)2sin 2sin sin R B A R B A a B -==， 由ABC ∆的面积为22sin (1cos2)R B A -，得21sin sin 2ac B a B =，即2c a =， 所以222222423cos 2224a cb a a a B ac a a +-+-===⋅.故答案为：34【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用. 16．若函数cos ()2||xf x x x=++，则11(lg 2)lg (lg 5)lg 25f f f f ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______.【答案】10【解析】由cos ()2||xf x x x=++，得()()42||f x f x x +-=+，由此即可得到本题答案. 【详解】由cos ()2||xf x x x =++，得cos()cos ()2||2||x x f x x x x x--=+-+=+--，所以()()42||f x f x x +-=+，则(lg 2)(lg 2)42|lg 2|42lg 2f f +-=+=+，(lg5)(lg5)42|lg5|42lg5f f +-=+=+，所以，11(lg 2)lg (lg 5)lg 42lg 242lg 51025f f f f ⎛⎫⎛⎫+++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：10 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值.三、解答题17．已知z 是复数，2z i +与2z i-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．【答案】【解析】试题分析：解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y ∴=-．211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x ∴=，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i Q +=+-+-在第一象限，21240{8(2)0a a a +->∴->，，解得26a <<． 【考点】本题主要考查复数相等的充要条件，复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的运算，不等式组解法．点评：主要运用复数的基础知识，具有一定综合性，中档题．18．已知向量5cos ,5a θ⎛= ⎝⎭r ，25sin ,5b θ⎛= ⎝⎭r （1）若//a b r r ，求sin cos sin cos θθθθ+-；（2）若a b ⊥r r，求tan θ. 【答案】（1）3；（2）2-或12-【解析】（1）由//a b r r，得tan 2θ=，又由sin cos tan 1sin cos tan 1θθθθθθ++=--，即可得到本题答案；（2）由a b ⊥r r，得2sin cos 5θθ=-，即222sin cos tan 2sin cos tan 15θθθθθθ==-++，由此即可得到本题答案. 【详解】解：（1）由//a b r r，得2cos sin θθ=，即tan 2θ=，sin cos tan 13sin cos tan 1θθθθθθ++∴==--（2）由a b ⊥r r ，得2sin cos 05θθ+=，即2sin cos 5θθ=-，又222sin cos tan 2sin cos tan 15θθθθθθ==-++，解得tan 2θ=-或1tan 2θ=-. 【点睛】本题主要考查平面向量与三角函数求值的综合问题，齐次式法求值是解决此类问题的常用方法.19．某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中，随机抽取100名，按年龄(单位:岁）进行统计的频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数的估计值(均精确到个位）；（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加华为手机宣传活动，再从这20人中年龄在[)30,35和[]45,50的人群里，随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2名市民年龄都在[)30,35内的概率. 【答案】（1）见解析（2）25【解析】分析：（1）直接利用频率分布直方图的平均值和中位数公式求解.(2)利用古典概型求这2名市民年龄都在[)30,35内的概率. 详解：(Ⅰ) 平均值的估计值:27.50.0132.50.0437.50.0742.50.0647.50.025x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯（） 38.539=≈中位数的估计值：因为50.0150.040.250.5⨯+⨯=<，50.0650.020.40.5⨯+⨯=< 所以中位数位于区间[)35,40年龄段中，设中位数为x ， 所以()0.250.07350.5x +⨯-=，39x ≈.(Ⅱ) 用分层抽样的方法，抽取的20人，应有4人位于[)30,35年龄段内，记为1234,,,a a a a ，2人位于[]45,50年龄段内，记为12,b b .现从这6人中随机抽取2人，设基本事件空间为Ω，则()()()()()()()()()()()()()()()121314111223242122343132414212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b ⎧⎫⎪⎪Ω=⎨⎬⎪⎪⎩⎭设2名市民年龄都在[)30,35为事件A ，则()()()()()(){}121314232434,,,,,,,,,,A a a a a a a a a a a a a =，,所以()62155P A ==. 点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查平均值和中位数的计算和古典概型，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2) 先计算出每个小矩形的面积，通过解方程找到左边面积为0.5的点P ，点P 对应的数就是中位数. 一般利用平均数的公式1122···n n x x p x p x p =+++计算.其中n x 代表第n 个矩形的横边的中点对应的数，n p 代表第n 个矩形的面积. 20．将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数2sin y x =的图象. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若()065f x =，00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求05cos 212x π⎛⎫+⎪⎝⎭值. 【答案】（1）7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦；（2）【解析】（1）由2sin y x =的横坐标缩小为原来的12，向左平移3π个单位长度，可得函数()y f x =，令121222232k x k πππππ-≤+≤+，解不等式即可求得本题答案；（2）由023sin 235x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得024cos 235x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又由00005222cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin12343434x x x x πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即可得到本题答案. 【详解】解：（1）由题意，得2()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令121222232k x k πππππ-≤+≤+，解得711212k x k ππππ-≤≤- 所以，函数()f x 的单调递增区间为：7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦（2）()00262sin 235f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，023sin 235x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 又00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得02252,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由023sin 2035x π⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，得024cos 235x π⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，005243cos 2cos 21234525210x x πππ⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=-⨯+⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭. 【点睛】本题主要考查三角函数的伸缩平移，三角函数的图象与性质以及利用和差公式求值. 21．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且22b c ac =+， （1）求证：2B C =；（2）若ABC ∆是锐角三角形，求ac的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）(1,2)【解析】（1）由22b c ac =+，联立2222cos b a c ac B =+-⋅，得2cos a c c B =+⋅，然后边角转化，利用和差公式化简，即可得到本题答案； （2）利用正弦定理和2B C =，得2cos 21aC c=+，再确定角C 的范围，即可得到本题答案. 【详解】解：（1）锐角ABC ∆中，22b c ac =+Q ，故由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-⋅， 2222cos c ac a c ac B ∴+=+-⋅，22cos a ac ac B ∴=+⋅，即2cos a c c B =+⋅，∴利用正弦定理可得：sin sin 2sin cos A C C B =+，即sin()sin cos sin cos sin 2sin cos B C B C C B C C B +=+=+，sin cos sin sin cos B C C C B ∴=+，可得：sin()sin B C C -=，∴可得：B C C -=，或B C C π-+=（舍去）， 2B C ∴=.（2）2sin sin()sin(2)2cos cos22cos21sin sin sin a A B C C C C C C c C C C++====+=+QA B C π++=Q ，,,A B C 均为锐角，由于：3C A π+=，022C π∴<<，04C π<<.再根据32C π<，可得6C π<，64C ππ∴<<，(1,2)ac∴∈ 【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，其中涉及到利用三角函数求取值范围的问题. 22．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t （单位：小时）的关系()y f t =均近似地满足函数()sin()(0,0,0)f t A t b A ωϕωϕπ=++>><<.（1）根据图象，求函数()f t 的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟(0)m m >小时投产，求m 的最小值. 【答案】（1）()sin 462f t t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭；（2）4 【解析】（1）由212T πω==，得ω，由53A b b A +=⎧⎨-=⎩，得A ，b ，代入(0,5)，求得ϕ，从而即可得到本题答案；（2）由题，得()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，等价于cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，然后利用和差公式展开，结合辅助角公式，逐步转化，即可得到本题答案. 【详解】（1）解：由图知212T πω==，6πω∴=又53A b b A +=⎧⎨-=⎩，可得41b A =⎧⎨=⎩ ()sin 46f t t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，代入(0,5)，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，2πϕ∴= 所求为()sin 462f t t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭（2）设乙投产持续时间为t 小时，则甲的投产持续时间为()t m +小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为：()sin 4cos 4626f t t t πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：()cos ()46f t m t m π⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦两企业用电负荷量之和()()cos ()cos 866f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，0t ≥依题意，有()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立 即cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立 展开有cos 1cos sin sin 16666m t m t ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≤⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦恒成立cos 1cos sin sin cos 66666m t m t A t πππππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦其中，A =cos 16cos m Aπϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，sin 6sin m A πϕ=1A ∴=≤整理得：1cos 62m π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭解得2422363k m k πππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭ 即124128k m +≤≤+ 取0k =得：48m ≤≤m ∴的最小值为4.【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式，以及三角函数的实际应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，以及计算能力，难度较大.。

辽宁省大连市旅顺口区2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题理第I 卷(共12个题：共60分)一、选择题(包括12个小题，每小题 5分，共60分)1.某校150名教职工中，有老年人 20名，中年人50名，青年人80名，从中抽取30名作为 样本. ① 采用随机抽样法：抽签取出 30个样本；② 采用系统抽样法：将教职工编号为 00, 01,…，149,然后平均分组抽取 30个样本； ③ 采用分层抽样法：从老年人、中年人、青年人中抽取 30个样本.卜列说法中止确的是 ( )A.无论采用哪种方法，这 150名教职工中每个人被抽到的概率都相等B.①②两种抽样方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等；③并非如此C.①③两种抽样方法，这 150名教职工中每个人被抽到的概率都相等；②并非如此D.采用不同的抽样方法，这 150名教职工中每个人被抽到的概率是各不相同的22 •已知抛物线 y =2px(p 0)的准线经过点(一1 , 1)，则该抛物线的焦点坐标为 ( )A. ( — 1 , 0) B . (1 , 0) C . (0，- 1) D . (0 , 1)3.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为 6组：[40, 50), [50 , 60), [60 , 70) , [70 , 80) , [80 , 90) , [90 , 100]加以统计，得到如图所示的频率分布 直方图•已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数A. 588 B . 480 C . 450 D . 1204•将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从 袋中摸出一个小球，其号码为a ,放回后，乙从此袋中再摸出一个小球 ，其号码为b ,则使不等式 a-2b +4<0成立的事件发生的概率为 ()A.错误！未找到引用源。