Banach空间中一类广义均衡问题的收缩投影算法-论文

广义非凸变分不等式解的存在性与投影算法闻道君;陈义安【摘要】本文运用Banach压缩映象原理和投影技巧研究一类新的广义非凸变分不等式问题解的存在唯一性,并在非凸集上建立一个逼近广义非凸变分不等式解的三步投影算法,在一定条件下证明了该投影算法所产生的迭代序列的收敛性.%In this article, a new general nonconvex variational inequality is introduced and considered, and the existence and uniqueness of solution of the variational inequality problems is studied with Banach contraction principle and projection technique. A three-step projection method is established for solving the general nonconvex variational inequality, and the convergence of the projection method is discussed under suitable conditions.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2012(032)003【总页数】6页(P475-480)【关键词】广义非凸变分不等式;近似正规锥;不动点;投影算法【作者】闻道君;陈义安【作者单位】重庆工商大学数学与统计学院,重庆400067;重庆工商大学数学与统计学院,重庆400067【正文语种】中文【中图分类】O177.91变分不等式理论在现代非线性分析中具有非常重要的作用,被广泛应用于经济决策、动力系统、优化理论和算子理论等领域.近年来,变分不等式问题已经被许多作者深入研究,出现了混合变分不等式、拟变分不等式和随机变分不等式等各种推广形式,并获得了一系列很好的结果[1−6].因此,讨论各种变分不等式问题解的存在性和有效数值解法有着重要的理论意义和实用价值.目前,变分不等式问题的数值解法主要包括投影技巧、预解算子技巧和辅助原理方法,其中投影方法具有重要作用.然而,求解变分不等式问题的各种投影算法,几乎关于所有收敛性分析的结论都是建立在凸集上的,这是因为投影算子在凸集上具有的一些性质可能在更为一般的非凸集上不再成立.例如,在Hilbert空间中投影算子在闭凸集上是非扩张的,然而,非扩张映象在凸集上和在非凸集上的性质却大不相同.如果非扩张映象在一个非空闭凸集上的不动点集是非空的,则该不动点集一定是闭凸集,就可以在该不动点集上研究投影问题;而非扩张映象在一个非凸集上的不动点集却不一定是凸的,一般也就不能相应地考虑投影问题.另一方面,在一致凸Banach空间中的有界闭凸集上的非扩张映象有不动点,在非凸集合上,该结论却不一定成立,等等.最近,文献[7,8]基于非线性凸分析和非光滑分析的观点,给出了一致近似正规集(非凸集)的定义.在此基础上,Noor[5,9]引入了一类非凸变分不等式问题:设T为一非线性算子,Kr为Hilbert空间H 中的一非凸子集,求u∈Kr,使得建立了求解非凸变分不等式问题(1.1)的投影算法,并在算子T具有强单调性的条件下证明了相应迭代序列的收敛性.本文将进一步研究广义非凸变分不等式问题:设T,g为非线性算子,Kr为Hilbert空间H 的一非凸子集,求u∈Kr,使得运用(1.2)式与不动点问题的等价性(引理3.1),定义一个求解广义非凸变分不等式问题的三步投影算法:对给定的u0∈Kr和常数ρ＞0,由下式计算{un}:其中αn,βn,γn∈(0,1),且PKr表示H 在非凸集Kr上的投影.本文的目的是在Hilbert空间中,将投影算法推广到广义非凸变分不等式问题,并且在收敛分析中将对算子T的限制条件从强单调减弱到松弛余强制,所得的结果改进并推广了文献[5,6,9]中相应的结论.设H 是一个实Hilbert空间,其内积和范数分别表示为〈·,·〉和‖·‖,K 是H 中的一个非空凸集.首先,我们介绍一些文献[7,8]中的基本概念和结论.设u为Hilbert空间H中的一点,以dK(u)=infv∈K‖v-u‖ 表示H 到K 的距离,称设Kr为H 的一个非空子集,对给定的常数r∈(0,∞],如果Kr的每一个非零近似正规锥(u)都可以表示为一个r-球,即对任意u∈Kr和0/=ξ∈(u),满足则称Kr为一致r-近似正规集.从文献[7,8]可知,一致近似正规集包含p-凸集,H 中的C1,1子流形(可能包含边界)等类型的凸集和非凸集合.如果r=∞,则一致r-近似正规集Kr与K等价,即Kr=K;如果Kr是一致近似正规集,则近似正规集(u)是闭的集值映象,所以引理2.1[8,9]设K 为H 的非空闭子集,r∈(0,+∞]如果Kr={u∈H:d(u,K)＜r}是一致近似正规集,则定义2.1称映象T:H→H 为µ-Lipschitz连续:如果存在常数µ＞0,使得定义2.2称映象T:H→H 为r-强单调:如果存在常数r＞0,使得定义2.3称映象T:H→H 为α-强制:如果存在常数α＞0,使得定义2.4称映象T:H →H 为松弛(γ,r)-余强制:如果存在常数γ＞0,r＞0,使得注2.1当γ=0时,松弛(γ,r)-余强制映象即r-强单调映象,但其逆命题并不成立.因此,松弛(γ,r)-余强制映象是比r-强单调映象条件更弱的一类映象形式.由文献[9]可知,非凸变分不等式问题(1.1)与如下变分包含问题等价:其中(u)表示Kr在u的近似正规锥.类似地,可以建立广义非凸变分不等式问题(1.2)等价的变分包含问题,并进一步推导如下引理:引理3.1 u∈Kr为广义非凸变分不等式(1.2)的解的充分必要条件是其中PKr为H 在一致近似正规集Kr上的投影.证设u∈Kr为问题(1.2)的解,由式(3.1)得记由引理3.1可知F(u)的不动点即广义非凸变分不等式(1.2)的解.据此,分析问题(1.2)解的存在唯一性和投影算法(1.3)的收敛性.由式(3.2)得θ∈(0,1),则由Banach压缩映象原理可知F(u)存在唯一不动点,即问题(1.2)的唯一解.证设u∗∈Kr为式(1.2)的解,由式(1.3),(3.7)和引理3.1得由式(3.8)可知θ∈(0,1).同理可得由式(3.10)和(3.11),以及βn,γn∈(0,1)得将式(3.12)代入式(3.9)得注3.1定理3.1和定理3.2改进并推广了文献[5,9]中相应的结论.注3.2式(3.2)是文中收敛性分析的关键条件,如果取k=,δ=2,µ1=2,r1=4,γ1=0.51,可得ρ∈(0.49-,0.49+),说明的确存在这样的系数使得不等式(3.2)成立.【相关文献】[1]闻道君.混合拟变分不等式的预测-校正算法[J].西南师范大学学报(自然科学版),2009,34(5):41–44.[2]Xu H K.Iterative algorithms for nonlinear operators[J].J.London Math.Soc.,2002,2:240–256.[3]Verma R U.Generalized system for relaxed cocoercive variational inequalities and projection methods[J].J.Optim.Theory Appl.,2004,121(1):203–210.[4]闻道君,邓磊.一般变分不等式的三步迭代算法[J].四川师范大学学报(自然科学版),2009,32(4):436–438.[5]Noor M A.Iterative schemes for nonconvex variational inequalities[J].J.Optim.Theory Appl.,2004,121,385–395.[6]Pang L P,Shen J,Song H S.A modified predictor-corrector algorithm for solving nonconvex generalized variational inequalities[J].Comput.Math.Appl.,2007,54:319–325.[7]Clarke F H,Ledyaev Y S,Wolenski P R.Nonsmooth analysis and controltheory[M].Berlin:Springer,1998.[8]Poliquin R A,Rockafellar R T,Thibault L.Local differentiability of distancefunctions[J].Trans.Am.Math.Soc.,2000,352:5231–5249.[9]Noor M A.Projection methods for nonconvex variationalinequalities[J].Optim.Lett.,2009,3:411–418.[10]Noor M A,Noor K I.Projection algorithms for solving system of general variational inequalities[J].Nonl.Anal.,2009,70:2700–2706.。

Banach空间中一类新的完全广义拟似变分包含王亚琴【摘要】在自反的Banach空间中引入和研究了一类新的完全广义拟似变分包含,利用Jη-逼近映射给出了求此类变分包含近似解的迭代算法,并证明了所构造的迭代算法生成的迭代序列的强收敛性.【期刊名称】《上海师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2006(035)003【总页数】6页(P6-11)【关键词】完全广义拟似变分包含;自反的Banach空间;η次可微;Jη-逼近映射【作者】王亚琴【作者单位】上海师范大学,数理信息学院,上海,200234【正文语种】中文【中图分类】O177.910 引言1994年, Hassouni和Moudafi[1]提出用扰动方法来解一类新的变分不等式--变分包含,而拟变分包含是变分包含的重要推广,它已被广泛地应用于数学规划、经济平衡和工程技术等.最近,丁协平和夏福全[2]在Banach空间中引入了J-逼近映射, 利用此映射研究了一类新的完全广义拟变分包含.2005年,Ahmad等[3]在Banach 空间中又引入了Jη-逼近映射,并将此映射应用于解拟似变分包含问题.受[1～3]等文的启发, 作者在Banach空间中引入和研究了一类更一般的完全广义拟似变分包含问题, 利用文[3]中的Jη-逼近映射, 给出了求此类变分包含近似解的新的迭代算法, 并证明了由该迭代算法生成的迭代序列的强收敛性,所得结果改进和推广了[2～3]等文的相应结果.1 预备知识假定E是一实Banach空间,E*是E的对偶空间, 〈·,·〉表E与E*间的广义对偶对, 2E和2E*分别表示E和E*的所有非空子集族, CB(E*)和CB(E)分别表示E*和E的一切非空有界闭子集族.H1(·,·)和H2(·,·)分别是CB(E*)和CB(E)上的Hausdorff度量.定义1.1[3] 设η: E× E→ E是一映射,φ:E→ R∪{+∞}是一真泛函,x∈ dom φ, 称φ在x处是η次可微的, 如果存在f*∈ E*, 使得φ(y)-φ(x)≥ 〈f*, η(y,x)〉.此时,f*称为φ在x处的η次梯度,点x处的所有η次梯度的集合记作△φ(x),称为φ在x处的η次微分,即△φ(x)={f*∈ E*:φ(y)-φ(x)≥ 〈f*,η(y,x)〉, ∀ y∈ E}.定义1.2 设A:E→ CB(E*),B:E→ CB(E)是集值映射, η:E× E→ E,J:E→ E*,g:E→ E是单值映射.i) 称A是Lipschitz 连续的,如果存在常数λA>0，使得：H1(Ax,Ay)≤ λA‖x-y‖, ∀ x,y∈ E;ii) 称B是Lipschitz 连续的,如果存在常数λB>0，使得：H2(Bx,By)≤ λB‖x-y‖, ∀ x,y∈ E;iii) 称η是Lipschitz 连续的,如果存在常数τ>0，使得：‖η(x,y)‖≤ τ ‖x-y‖, ∀ x,y∈ E ;iv) 称J是η-强单调的,如果存在常数γ>0，使得：〈 Jx-Jy,η(x,y)〉≥ γ ‖x-y‖2, ∀ x,y∈ E;v) 称g是k-强增生的(k∈ (0,1)),如果对任意的x,y∈ E,存在j(x-y)∈ Γ(x-y)使得；〈 gx-gy,j(x-y)〉≥ k‖x-y‖2,其中Γ:E→ 2E*是由下式定义的正规对偶映象:Γ(x)={f∈ E*:〈 f,x〉=‖f‖‖x‖,‖f‖=‖x‖}, ∀x∈ E.定义1.3 设N:E*× E*→ E*是一单值映射,A,B:E→ 2E*是两个集值映射, 称N为(1)依第一变量是Lipschitz 连续的,如果存在常数λ>0使得：‖N(u1,·)-N(u2,·)‖≤ λ ‖u1-u2‖, ∀ x1,x2∈ E,u1∈ Ax1,u2∈ Ax2;(2)依第二变量是Lipschitz 连续的,如果存在常数δ>0使得：‖N(·,v1)-N(·,v2)‖≤ δ ‖v1-v2‖, ∀x1,x2∈ E,v1∈ Bx1,v2∈ Bx2.定义1.4 泛函f(x,y):E× E→ R∪{+∞}称为在x处是0对角拟凹的,如果对任意有限集{x1,x2,…,xn}⊂ E,λi≥ 且有 0.定义1.5[3] 设E是一Banach空间,η: E× E→ E, J:E→ E*是两个映射,φ:E→R∪{+∞}是一η次可微的真泛函(可能不凸).如果对任意的x*∈ E*及ρ>0,存在唯一的x∈ E满足：〈 Jx-x*,η(y,x)〉+ρφ(y)-ρφ(x)≥ 0, ∀y∈ E,则映射x*|→ x称为φ的Jη-逼近映射, 记作由于x*-Jx∈ρ△φ(x),故设A,B:E→ CB(E*)和C,D,F:E→ CB(E)是集值映射,N:E*× E*→ E*,f:E→ E*,η: E×E→ E及g,m:E→ E是单值映射.令φ:E× E→ R∪{+∞},对任意z∈ E,φ(·,z)是一下半连续的η次可微真泛函(可能不凸)且满足对∀x,y∈ E,g(x)-m(y)∈ dom△φ(·,z).我们考虑下面的完全广义拟似变分包含问题:找x∈ E,u∈ Ax,v∈ Bx,w∈ Cx,z∈ Dx 和y∈ F(x)使得：〈 f(w)-N(u,v),η(h,g(x)-m(y))〉≥ φ(g(x)-m(y),z)-φ(h,z), ∀ h∈ E.(1.1)问题(1.1)的特殊情况:(a)如果C=D=I,m=0, I是E上的恒等映射,则问题(1.1)等价于下面的广义多值非线性拟似变分包含问题:找x∈ E,u∈ Ax,v∈ Bx使得〈 f(x)-N(u,v),η(h,g(x))〉≥ φ(g(x),x)-φ(h,x), ∀h∈ E.(1.2)问题(1.2)是文献[3]中引入和研究的问题.(b)如果E是Hilbert空间, C=D=I,m=0, I是E上的恒等映射,f(x)≡ g(x),则问题(1.1)等价于下面的广义多值非线性拟似变分包含问题:找x∈ E,u∈ Ax,v∈ Bx使得〈 g(x)-N(u,v),η(h,g(x))〉≥ φ(g(x),x)-φ(h,x), ∀ h∈ E.(1.3)问题(1.3)是文献[4]中引入和研究的问题.(c)如果η(x,y)=x-y且对任意z∈ E,φ(·,z)是一下半连续的次可微真泛函(可能不凸),则问题(1.1)等价于下面的完全广义拟变分包含问题:找x∈ E,u∈ Ax,v∈ Bx,w∈ Cx,z∈ Dx 和y∈ F(x)使得〈 f(w)-N(u,v),h-(g(x)-m(y))〉≥ φ(g(x)-m(y),z)-φ(h,z), ∀ h∈ E.(1.4)问题(1.4)是文献[2]中引入和研究的问题.总之, 只要适当选取映象A,B,C,D,F,N,g,m,f,η及函数φ,若干熟知的变分不等式类皆可当作问题(1.1)的特例而得到.为了证明主要结果,需要以下引理:引理1.1[3] 设E是一自反的Banach空间, E*是E的对偶空间,φ:E→ R∪{+∞}是一下半连续的η次可微的真泛函(可能不凸).设J:E→ E*是η-强单调映射,具常数α>0.η: E× E→ E是Lipschitz 连续,具常数τ>0, 并满足对∀x,y∈E,η(x,y)+η(y,x)=0且对∀ x*∈ E*,函数h(y,x)=〈 x*-Jx,η(y,x)〉在y处是0对角拟凹,则对∀ ρ>0, 存在唯一的x∈ E使得〈 Jx-x*,η(y,x)〉+ρφ(y)-ρφ(x)≥ 0, ∀ y∈ E.引理1.2[3] 设E是一自反的Banach空间, E*是E的对偶空间,φ:E→ R∪{+∞}是一下半连续的η次可微的真泛函(可能不凸).设J:E→ E*是η-强单调映射,具常数α>0.η: E× E→ E是Lipschitz 连续,具常数τ>0, 并满足对∀ x,y∈E,η(x,y)+η(y,x)=0且对∀ x*∈ E*,函数h(y,x)=〈 x*- Jx,η(y,x)〉在y处是0对角拟凹,则φ的Jη-逼近映射是Lipschitz 连续, 具常数τ/α.引理1.3[5] 设E是一实Banach空间,Γ:E→ 2E*是正规对偶映象, 则‖x+y‖2≤ ‖x‖2+2〈 y,j(x+y)〉, ∀ x,y∈ E, j(x+y)∈ Γ(x+y).2 主要结果定理2.1 (x,u,v,w,z,y)是问题(1.1)的解当且仅当(x,u,v,w,z,y)满足下式(2.1)其中x∈ E,u∈ Ax,v∈ Bx,w∈ Cx,z∈ Dx ,y∈ F(x),ρ>0,且是φ(·,z)的Jη-逼近映射. 证明假设x∈ E,u∈ Ax,v∈ Bx,w∈ Cx,z∈ Dx ,y∈ F(x)满足(2.1)式,因则(2.1)式成立等价于J(g(x)-m(y))+ρ N(u,v)-ρ f(w)∈ J(g(x)-m(y))+ρ△φ(·,z)(g(x)-m(y)).由φ(·,z)的η次可微定义,上式成立又等价于φ(h,z)-φ(g(x)-m(y),z)≥ 〈 N(u,v)-f(w) ,η(h,g(x)-m(y))〉, ∀h∈ E.因此我们有〈 f(w)-N(u,v),η(h,g(x)-m(y))〉≥ φ(g(x)-m(y),z)-φ(h,z), ∀ h∈ E,即(x,u,v,w,z,y)是问题(1.1)的解.证毕.算法2.1 设A,B:E→ CB(E*)和C,D,F:E→ CB(E)是集值映射,N:E*× E*→ E*,f:E→E*,η: E× E→ E且g,m:E→ E是单值映射,且g(E)=E.令φ:E× E→ R∪{+∞},对任意z∈ E,φ(·,z)是一下半连续的η次可微真泛函(可能不凸)且满足对∀ x,y∈ E,g(x)-m(y)∈ dom△φ(·,z).对任意x0∈ E,u0∈ A(x0),v0∈ B(x0),w0∈ C(x0),z0∈D(x0),y0∈ F(x0) .由g(E)=E,存在x1∈ E使得由Nadler[6],存在u1∈ A(x1),v1∈ B(x1),w1∈ C(x1),z1∈ D(x1),y1∈ F(x1)使得‖u1-u0‖≤ (1+1)H1(A(x1),A(x0)),‖v1-v0‖≤ (1+1)H1(B(x1),B(x0)),‖w1-w0‖≤ (1+1)H2(C(x1),C(x0)),‖z1-z0‖≤ (1+1)H2(D(x1),D(x0)),‖y1-y0‖≤ (1+1)H2(F(x1),F(x0)).通过归纳，得到迭代序列{xn},{un},{vn},{wn},{zn}和{yn}如下:(*)定理2.2 设E是一自反的Banach空间,A,B:E→ CB(E*),C,D,F:E→ CB(E)是Lipschitz 连续,分别具常数λA,λB,λC,λD和λF>0.设g,m:E→ E及f:E→ E*是Lipschitz 连续, 分别具常数λg,λm和λf>0, 且g是k-强增生.令η: E× E→ E是Lipschitz 连续,具常数τ>0, 且对任意的x,y∈ E,η(x,y)+η(y,x)=0. 对任意x*∈E*,h(y,x)=〈 x*-Jx,η(y,x)〉在y处是0对角拟凹.令N:E*× E*→ E*依第一变量和第二变量是Lipschitz 连续的,分别具常数λN1,λN2>0. 设φ:E× E→ R∪{+∞},对任意z∈ E,φ(·,z)是一下半连续的η次可微真泛函(可能不凸)且满足对∀ x,y∈ E,g(x)-m(y)∈ dom△φ(·,z).令J:E→ E*是η-强单调且是Lipschitz连续,分别具常数α,λJ>0.假设存在μ>0使得对∀ x,y∈ E,z∈ E*,(2.2)其中ρ是任一正常数. 且满足(**)则由算法2.1定义的迭代序列{xn},{un},{vn},{wn},{zn}和{yn}分别强收敛于和且是问题(1.1)的解.证明由引理1.3及g是k-强增生得‖xn+1-xn‖2= ‖-xn+1+xn-(g(xn+1)-g(xn))+g(xn+1)-g(xn)‖2≤‖g(xn+1)-g(xn)‖2-2〈 xn+1-xn+g(xn+1)-g(xn),j(xn+1-xn)〉≤‖g(xn+1)-g(xn)‖2-2‖xn+1-xn‖2-2k‖xn+1-xn‖2,即有(2.3)由算法2.1,得:‖m(yn)-m(yn-1)‖+μ‖zn-zn-1‖+(τ/α)‖J(g(xn)-m(yn))-J(g(xn-1)-m(yn-1))‖+(τρ/α)‖f(wn)-f(wn-1)‖+(τρ/α)‖ N(un,vn)-N(un-1,vn-1)‖.(2.4)由J,g,m,F分别是λJ,λg,λm,λF-Lipschitz 连续及(*)式, 得:‖J(g(xn)-m(yn))-J(g(xn-1)-m(yn-1))‖≤λJ(‖g(xn)-g(xn-1)‖+‖m(yn)-m(yn-1)‖)≤λJ(λg‖xn-xn-1‖+λm‖yn-yn-1‖)≤(2.5)由f和C的Lipschitz 连续性得:‖f(wn)-f(wn-1)‖≤ λf‖wn-wn-1‖≤(2.6)据N(·,·)依第一、二变量均Lipschitz连续及B,A是Lipschitz连续可得:‖ N(un,vn)-N(un-1,vn-1)‖≤ ‖ N(un,vn)-N(un,vn-1)‖+‖ N(un,vn-1)-N(un-1,vn-1)‖≤λN2‖vn-vn-1‖+ λN1‖un-un-1‖≤(2.7)又由m,D,F的Lipschitz连续有(2.8)(2.9)由(2.4)～(2.9)式,得:(2.10)将(2.10)代入(2.3)可得‖xn+1-xn‖≤ θn‖xn-xn-1‖,(2.11)其中:令:显然θn→ θ(n→ ∞),由条件(**)可得0<θ<1.故当n充分大时0<θn<1.由(2.11)可知{xn}是一Cauchy列.令因A,B,C,D,F均是Lipschitz连续,由(*)得{un},{vn},{wn},{zn}和{yn}都是Cauchy列, 设又由f,g,J,m,N(·,·)的Lipschitz连续性,条件(2.2)和引理1.2,有因对上式,当n→ ∞时有下证和因un∈ Axn,有又因故同理可得由定理2.1知,是问题(1.1)的解.证毕.注 Demling 在文献[7]中证明了若T:E→ E是连续的强增生映象,则T是满射的. 因此,定理2.2中g是满射的,则算法2.1中g(E)=E满足.所以文献[3]中定理3.2的条件g(E)=E可去掉.致谢:感谢导师曾六川教授的悉心指导！参考文献:[1] HASSOUNI A, MOUDAFI A. A perturbed algorithm for variational inclusions[J]. J Math Anal Appl,1994,185(3):706-712.[2] DING X P, XIA F Q. A new class of completely generalized quasi-variational inclusions in Banach spaces[J].J ComputAppl Math,2002,147:369-383.[3] AHMAD R, SIDDIQI A H, KHAN Z. Proximal point algorithm for generalized multivalued nonlinear quasi-variational-like inclusions in Banach spaces [J]. Appl Math Comput,2005,163:295-308.[4] SALAHUDDIN, AHMAD R. Generalized multi-valued nonlinear quasi-variational-like inclusions[J]. Nonlin AnalForum,2001,6(2):409-416.[5] PETRYSHYN W V. A characterization of strictly convexity of Banach spaces and other uses of duality mappings[J]. JFunct Anal,1970,6:282-291.[6] NADLER S B. Multi-valued contraction mappings[J]. Pacific JMath,1969,30:475-488.[7] DEIMLING K. Zeros of accretive mappings[J]. ManuscriptaMath,1974,13:365-374.。

Banach空间中的广义平衡问题和相对非扩张映象的强收敛定
理
唐金芳;陈春梅
【期刊名称】《宜宾学院学报》
【年(卷),期】2009(9)12
【摘要】在Banaeh空间中针对广义平衡问题和相对非扩张映象的不动点问题,用收缩投影方法构造了一个逢代序列,证明了广义平衡问题和相对非扩张映象的强收敛定理.所得结论改进了Wataru Takahashi和Kei Zembaysshi等人的研究结果.【总页数】4页(P9-12)
【作者】唐金芳;陈春梅
【作者单位】宜宾学院数学与应用数学系,四川宜宾,644000;宜宾学院数学与应用数学系,四川宜宾,644000
【正文语种】中文
【中图分类】O177.2
【相关文献】
1.广义平衡问题和一列非扩张映象不动点问题的强收敛定理 [J], 孟繁英;曾六川
2.广义混合平衡问题与无限族Hemi-相对非扩张映象不动点问题公解的强收敛定理 [J], 左平;刘敏
3.Banach空间广义平衡问题和一簇拟(φ)-非扩张映象的强收敛定理 [J], 孔德洲
4.Banach空间中广义平衡问题和一族相对非扩张映象的强收敛定理 [J], 唐金芳
5.Banach空间中关于平衡问题与半相对非扩张映象的强收敛定理 [J], 陈延礼;吕春兰
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自反Banach空间中一个广义投影定理
王玉文;王润洁
【期刊名称】《哈尔滨科学技术大学学报》
【年(卷),期】1989(013)003
【摘要】本文在自反 Banach 空间中,利用空间的对偶映射,给出一个广义投影定理,它是 Hilbert 空间中经典直交投影定理的自然推广。

由此导出度量投影算子的形式表示以及 Hilbert 空间中投影算子的形式表达式,本文结果已应用于 Banach 空间中伪逆算子的表示及最优控制的优化系统。

【总页数】6页(P117-122)
【作者】王玉文;王润洁
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O177.2
【相关文献】
1.Banach空间中一类广义均衡问题的收缩投影算法 [J], 陈玉清;黄建华
2.自反Banach空间中一类线性算子度量广义逆的表示定理 [J], 周玉英
3.Banach空间中一类广义混合变分不等式组的投影算法 [J], 张艳;何中全;阿力非日
4.Banach空间中一类广义Lipschitz非线性算子迭代序列的收敛定理 [J], 倪仁兴
5.自反Banach空间中一类广义集值强非线性变分不等式问题 [J], 曹寒问;饶三平;陈嫄
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Banach空间中关于变分不等式的收缩投影方法高兴慧;周海云【摘要】在一致光滑的一致凸的Banach空间中,设计了一种收缩投影算法用以逼近变分不等式的解,并在紧算子减弱为连续算子的条件下,利用广义投影算子和K-K 性质等技巧证明了该算法的强收敛性.所得结果是近期相关结果的改进与推广,其算法有重要应用.%In uniformly smooth and uniformly convex Banach spaces, a shrinking projection algorithm is proposed for finding an element of the solution set of variational inequalities, and a strong convergence theorem is proved by using the generalized projection operator, K-K property and other analysis techniques under the conditions of compact mappings weakening continuous mappings. The results of this paper improve and extend recent some relevant results.The proposed algorithm has important applications.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2011(028)003【总页数】5页(P406-410)【关键词】收缩投影算法;变分不等式;K-K性质【作者】高兴慧;周海云【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院,延安,716000;石家庄军械工程学院数学系,石家庄,050003【正文语种】中文【中图分类】O177.911 Introduction and preliminariesThroughout this paper,we assume that X is a Banach space and X∗its dual space.We use⟨·,·⟨to denote the duality pairing between X∗ and X.Let C be a subset of X and T:C → X∗be a mapping.We consider the following variational inequality problem: find x∈C such thatfor all y∈ C.A point x0∈ C is called a solution of the variational inequality(1)if⟨Tx0,y−x0⟨≥ 0 for all y∈ C.The solution set of the variational inequality(1)is denoted by V I(C,T).The variational inequality(1)has been extensively investigated[1-6].Let X,Y be Banach spaces.A mapping T:D(T)⊂X→Y is said to be compact if it is continuous and maps the bounded subsets of D(T)onto the relatively compact subsets of Y,where D(T)is the domain of T.Recently,Fan[7]proved the following theorem.Theorem 1 Let X be a uniformly convex and uniformly smooth Banach space and let C be a closed convex subset of X.Suppose that there exists a positive number β such that⟨Tx,J−1(Jx− βTx)⟨≥ 0 for all x ∈ C and J − βT:C → X∗is compact.If⟨Tx,y⟨≤ 0 for all x∈C and y∈V I(C,T),then the variational inequality(1)has a solution x∗∈C.The sequence{xn}Defined by the following iterative schemewhere{αn}satisfies 0<a≤αn≤b<1 for all n∈N and for so me positive numbers a,b∈(0,1)such that a<b,N is the set of positiveintegers.Then{xn}converges strongly x∗∈ C.Question Can the compact mapping J−βT in Theorem 1 be weaken to the continuous mapping J−βT?The purpose of this paper is to solve the above Question by introducing a new and simple shrinking projection method.The results of this paper improve and extend the corresponding results of Li[6],Fan[7]and others. We denote by J the normalized duality mapping from X to 2X∗Defined byRecall that a Banach space X has the K-K property if for anysequence{xn}⊂X that converges weakly to x wherealso‖xn‖→‖x‖,then ‖xn−x‖ → 0([8]).It is known that every uniformly convex Banach space has the K-K property.Let R be the set of real numbers.The functional V:X∗×X→R is Defined bywhere ϕ∈X∗and x∈X([2]).The functional V2:X×X →R is Defined byV2(x,y)=V(Jx,y),for all x,y∈X.Let X be a re fl exive,strictly convex and smooth Banach space.Then the generalized projection operator πC:X∗ → C is continuous([9]).The generalized pro jection operator πCand the functional V have the following properties,(i)V:X∗×X→R is continuous;(ii)V(ϕ,x)=0 if and only if ϕ =Jx;(iii)V(JπCϕ,x)≤ V(ϕ,x)for all ϕ∈ X∗ and x ∈ X;(iv)πC(Jx)=x for all x∈C;(v)Let X be smooth.For any given ϕ∈ X∗and x ∈ C,x ∈ πCϕ if and onlyif⟨ϕ−Jx,x−y⟨≥0 for all y∈C;(vi)The operator πC:X∗ → C is single-valued if and only if X is strictly convex;(vii)Let X be smooth.If x ∈ πCϕ,then V(Jx,y)≤ V(ϕ,y)−V(ϕ,x),for all ϕ∈ X∗,y ∈C([1,9]).Remark 1 If X is a re fl exive,strictly convex and smooth Banach space,then for x,y∈X,V2(x,y)=0,i.e.,V(Jx,y)=0 if and only if x=y.Lemma 1[7]Let C be a nonempty closed and convex subset of a re fl exive,strictly convex and smooth Banach space X and let ϕ∈ X∗.Then there exists a unique elemen t in C,denoted by πCϕ,such thatV(ϕ,πCϕ)=infy∈CV(ϕ,y).Lemma 2[1]Let X be a re fl exive,strictly convex and smooth Banach space with dual space X∗.Let T be an arbitrary operator from X to X∗ and let α be an arbitrary fixed positive number.Then the point x∈C⊂X is a solution to the variational inequality(1)if and only if x is a solution of the operator equation in X,x=πC(Jx−αTx).Lemma 3[5]Let X be a uniformly convex Banach space and Br(0)be a closed ball of X.Then there exists a continuous strictly increasing convex function g:[0,∞)→ [0,∞)with g(0)=0 such thatfor all x1,x2,y∈Br(0)and α∈[0,1].Lemma 4[10]Let X be a uniformly convex and smooth Banach spaceand{yn}and{zn}be two sequences of X.If V2(zn,yn)→0 and either{yn}or{zn}is bounded,then zn−yn→0.Lemma 5[4]Let X be a uniformly convex and uniformly smooth Banach space.Then the following inequality holdsLemma 6 Let X be a uniformly convex and uniformly smooth Banach space and let C be a nonempty closed and convex subset of X.If there exists a positive num ber β such thatThen V I(C,T)is closed and convex.Proof From the definition of V2,the property(iii)of V,(2),(3)and Lemma 4,we can obtain that V I(C,T)is closed and convex.2 Main resultsTheorem 2 Let X be a uniformly convex and uniformly smooth Banach space.Let C be a nonempty closed convex subset of X.Assume that T is an operator of C into X∗which satisfies conditions(2)and(3).Define a sequence{xn}by the following algorithmwhere{αn} ⊂ (0,1]satisfiesIf J−βT:C → X∗is continuous,then{xn}converges strongly toProof 1)Show thatis well Defined for every x0 ∈ X.From[7],we know thatBy Lemma 6 and Lemma 1,we have thatis well Defined.2)Show that Cnis closed and convex for all n∈N.This follows from the construction of Cn.We omit the details.3)Show that V I(C,T)⊂Cnfor all n∈N.It is obvious that V I(C,T)⊂C=C1.Suppose that V I(C,T)⊂Cnfor somen∈N.For any p∈V I(C,T)⊂Cn,from Lemma 3,we haveFrom the definition of V2,the property(iii)of V,(2),(3)and Lemma 5,we haveFrom(5)and(6),we obtain that V2(yn,p)≤V2(xn,p),w hich implies thatp∈Cn+1and hence V I(C,T)⊂Cn+1.Therefore,V I(C,T)⊂Cnfor all n∈N.4)Show thatexists.In view of(4),we have xn=πCnJx0.Since Cn+1⊂Cnand xn+1∈Cn+1for alln∈N,we have V(Jx0,xn)≤V(Jx0,xn+1).On the other hand,we have from3)that V(Jx0,xn)≤V(Jx0,p)for all p∈V I(C,T).It follows thatexists.5)Show that xn→p0∈C as n→∞.From 4),we have{xn}is bounded.Note that X is re fl exive,without loss of generality,we can assume that xn→p0weakly as n→∞(passing to a subsequence if necessary).It is easy to see that p0∈Cnfor all n∈N.Noticing that V(Jx0,xn)≤V(Jx0,xn+1)≤V(Jx0,p0),by using the definition of V and weakly lower semi-continuity of‖ ·‖2,we obtain thatIt follows that V(Jx0,xn)→ V(Jx0,p0)as n→ ∞.Hence‖xn‖ → ‖p0‖as n→ ∞.Since X has the K-K property,we have xn→p0as n→∞.6)Show that p0∈V I(C,T).Noticing that xn=πCnJx0and xn+1∈Cn+1⊂Cn,in view of theproperty(vii),we haveFrom 4),we haveSinceBy using Lemma 4,we obtain thatOn the other hand,from(4),we haveFrom the condition>0 and(7),we obtain that as n→∞.Since xn→p0from 5),we haveNoticing that πCand J−βT are continuous,we haveIt follows that πC(Jp0− βTp0)=p0.By Lemma 2,we have p0 ∈ V I(C,T).7)Show thatFrom xn= πCnJx0,one seesfor all y∈ Cn.From 3),we haveSince J:X →X∗is demi-continuous,we havefor allIt follows from the property(v)of πCthatReferences:【相关文献】[1]Alber Y I.Metric and generalized projection operators in Banach spaces:properties and applications[C]//Theory and Applications of Nonlinear Operators of Monotonic andAccretive Type.New York:Marcel Dekker,1996[2]Alber Y I,et al.On the projection methods for fixed pointproblems[J].Analysis,2001,21:17-39[3]Xu B L.Stable iterative algorithms for general mixed variational inequalities[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2009,26(1):151-154[4]Chang S S.On Chidume’s open questions and approximate solutions of multivalued strongly accretive mapping in Banach spaces[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1997,216:94-111[5]Chidume C E,Li J L.Projection methods for approximating fixed points of Lipschitz suppressive operators[J].Panamerical Mathematical Journal,2005,15:29-40[6]Li J.On the existence of solutions of variational inequalities in Banach spaces[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2004,295:115-126[7]Fan J H.A mann type iterative scheme for variational inequalities in noncompact subsets of Banach spaces[J].Journal of Mathematical Analysis andApplications,2008,337:1041-1047[8]Hudzik H,et al.Approximative compactness and full rotundity in Musielak-Orlicz spaces and Lorentz-Orlicz spaces[J].Zeitschrift f¨ur Analysis und ihreAnwendungen,2006,25(2):163-192[9]LI J.The generalized projection operator on re fl exive Banach spaces and its applications[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2005,306:55-71 [10]Kamimura S,Takahashi W.Strong convergence of a proximal-type algorithm in a Banach space[J].SIAM Journal on Optimization,2002,13:938-945。

Banach空间中的一类广义凸函数及其优化问题在这篇文章中，我们将实值B-半预不变凸函数及向量型预不变凸函数推广到Banach空间中的B-半预不变凸函数。

文中研究了涉及B-半预不变凸函数的向量优化问题的弱有效解，得到了一些类似于凸函数性质的结果。

同时，我们也讨论了带约束条件的向量型Lipschitz非光滑规划，利用Ralph 向量次微分，我们得到了关于此类规划的广义Kuhn-Tucker型最优解的充分条件及鞍点条件。

最后，我们建立了原非光滑规划的广义Mond-Weir型对偶及Wolf 型对偶，在B-半预不变凸性及正则性的假定下，分别证明了弱对偶定理、强对偶定理及逆对偶定理，推广了已有的工作。