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19.3.1 正方形及其性质一、教学目的1．掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．二、重点、难点1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系的灵活运用．三、例题的意图分析本节课安排了三个例题，例1是教材P119的例1，例2是补充的题目．在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．四、课堂引入1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？正方形定义：有一组邻边相等．．．．．叫做正方．．．．．．．的平行四边形．．．．．．并且有一个角是直角形．指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）2．【问题】正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．五、例习题分析例1（教材P119的例1）略例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．又 DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．∴∠EAO=∠FDO．∴△AEO ≌△DFO．∴ OE=OF．六、随堂练习1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．2．已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．求证：∠AFE＝∠AEF．3．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD的度数．七、课后练习1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．ABC D E F。
正方形及其性质一、教材的地位与作用这节课是华师大版数学教材八年级下册第19章第3节第1课时的内容。
在现实生活中随处可见，应用非常广泛，它是学生非常熟悉的一种图形。
《正方形》是在学生掌握了平行线、三角形、平行四边形、菱形、矩形等平面几何知识，并且具备有初步的观察、操作、推理和证明等活动经验的基础上出现的。
目的在于让学生通过探索正方形的性质，进一步学习、掌握说理、证明的数学方法。
这一节课是前面所学知识的延伸和概括，充分体现了平行四边形、菱形、矩形、正方形这些概念之间的联系、区别和从属关系，同时又是高中阶段继续学习正方体、正六面体必备的知识。
二、教学目标1知识技能①、理解正方形的概念，掌握正方形性质以及正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的关系。
②、能正确运用正方形的性质进行简单的计算、推理、论证。
2.数学思想渗透从一般到特殊，化未知为已知的数学思想及转化的数学思想。
3.过程与方法①、通过本节课的学习培养学生观察、动手、探究、分析、归纳、总结等能力。
②、培养学生的合情推理意识，主动探究的习惯，逐步掌握证明的方法。
3.情感态度①、让学生树立科学、严谨、理论联系实际的良好学风。
②、培养学生相互讨论、相互帮助、团结协作的团队精神。
三、教材的重点难点重点：正方形的概念和性质。
难点：理解正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的内在联系及正方形的性质和应用。
《教法分析》教法设想以“学—导—练”三步为主线，以“先学后教、当堂训练”的教学模式，来进行本节课的教学。
在整个教学过程中加强学生自学方法的指导。
以问题“引”自学，以自测“显”问题，以优生“带”差生，以点拨“疏”疑点，以训练“巩”新知 运用教学方法：以导学稿为载体，引导、探究、合作、点拔、评价 学法指导自学猜测、交流讨论、分析推理、归纳总结 教学程序一、出示目标 了解新知 学习目标（1分钟）1.理解正方形的概念，掌握正方形性质以及正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的关系。
矩形、菱形、正方形的判定及性质应用举例
矩形、菱形、正方形的判定和性质是初中数学中最重要的内容之一.在中考中所占的比例较大，常以填空题、选择题、计算题、证明题的形式出现. 现举几例供同学们参考.
一、矩形知识的应用
例1(甘肃白银7市课改)如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ，23AB BC ==，，则图中阴影部分的面积为 .
分析：由四边形ABCD 是矩形，利用矩形的对角线互相平分且相等可知，矩形中OA=OB=OD=OC ，由三角形全等可求出阴影部分的面积.
解：∵矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O . ∴OA=OB=OD=OC，AC=BD
∵)(,SAS COF AOE COD AOB ∆≅∆∆≅∆ ∴CO F AO E CO D AO B S S S S ∆∆∆∆==, ∴阴影部分的面积3322
1
=⨯⨯=
点评：矩形是特殊的平行四边形，其特殊性表现在角上(四个角都是直角)，两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，从而可以计算阴影部分的面积.
二、菱形知识的应用
例2. (山东)如下图，菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE⊥AB，AB=a ，求：(1)∠ABC 的度数；(2)已知a AO 2
3
=
，求对角线AC 的长；(3)求菱形的面积. 分析： 因为E 是AB 的中点，且DE⊥AB 可得等腰三角形ABD 为等边三角形，这样菱形的4个内角都可求出，并且由特殊角的关系很容易求出AC 的长和菱形面积.
解：(1)连结BD.在菱形ABCD 中， ∵ DE⊥AB，E 是AB 的中点，∴ AB=AD=DB. ∴ △ABD 为等边三角形. ∴ ∠ABD=60° . ∴ ∠ABC=2∠ABD=120°.
(2)在菱形ABCD 中 ，AC⊥BD，且AC 与BD 互相平分. 由(1)在Rt△ABO 中，
a AO 2
3=
a a AO AC 32
3
22=⨯
==∴ (3)由(1)知a AB BD ==， ∴a a S ⋅⨯=⋅=
32
1
BD AC 21菱形 .2
32a =
点评：(1)本题首先证明△ABD 是等边三角形，从而求出∠ABD 的度数，再利用菱形的性质可求∠AB C.(2)求AC 的长可利用菱形的对角线互相垂直平分(3)菱形的面积可用
2
1
AC·BD 求出，也可利用AB·DE 求出. 本题应用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，即可求出面积.
三、正方形知识的应用
例3(浙江台州)把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H (如图).试问线段
HG 与线段HB 相等吗？
请先观察猜想，然后再证明你的猜想.
分析：本题是将正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向进行旋转，画出正方形AEFG .构造全等三角形.
解：HG HB =. 证法1：连结AH ，
∵四边形ABCD ，AEFG 都是正方形.
∴90B G ∠=∠=°.
由题意知AG AB =，又AH AH =.
Rt Rt ()AGH ABH HL ∴△≌△， HG HB =∴.
证法2：连结GB .
∵四边形ABCD AEFG ，都是正方形，
90ABC AGF ∠=∠=∴°.
D
C
A
B G
H
F
E
D
C
A
B G
H
F
E
由题意知AB AG =.
AGB ABG ∠=∠∴. HGB HBG ∠=∠∴. HG HB =∴.
点评：本题主要考查正方形的性质及三角形全等的判定，要证HG=HB ，转化为证Rt△AGH≌Rt△ABH 或HBG HGB ∠=∠即可.
练习：
1.如图，如果要使平行四边行ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 .
2.如图，在梯形纸片ABCD 中，AD//BC ，AD>CD ，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C′E .
求证：四边形CDC′E 是菱形.
3.如图，已知P 为正方形ABCD 的对角线AC 上一点(不与A 、C 重合)，PE ⊥BC 于点E ，
PF ⊥CD 于点F .
(1) 求证：BP =DP ；
(2) 如图，若四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP =DP ？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；
(3) 试选取正方形ABCD 的两个顶点，分别与四边形PECF 的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转的过程
中长度始终相等，并证明你的结论 .
参考答案
1.AB AD AC BD =⊥，等.
2.证明：根据题意可知 DE C CDE '∆≅∆ 则 '''CD C D C DE CDE CE C E =∠=∠=，， ∵AD//BC ∴∠C ′DE=∠CED ∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE
∴CD=C′D=C′E=CE ∴四边形CDC′E为菱形
3.(1) 解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP.
解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.
(2) 不是总成立 .当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP >DC>BP，此时BP=DP不成立.
说明：未用举反例的方法说理的不得分.
(3)连接BE、DF，则BE与DF始终相等.
在图中，可证四边形PECF为正方形，
在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC .
从而有 BE=DF.。
