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2-3抽样分布(更新)

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三大抽样分布(1)概率论与数理统计习题 概率论与数理统计)

三大抽样分布(1)概率论与数理统计习题 概率论与数理统计)


x2 x2

~ F (1,1)
4. 正态总体的样本均值与样本方差的分布
正态总体 N ( , 2 ) 的样本均值和样本方差
有以下两个重要定理.
定理一
设 X1, X 2, , X n 是来自正态总体N (, 2 )
的样本, X 是样本均值, 则有
(1) X ~ N (, 2 / n).即 X ~ N (0,1)
样本, X , S 2 分别是样本均值和样本方差, 则有
X ~ t(n 1).
S/ n
证明
因为 X ~ N (0,1), / n
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1),
且两者独立, 由 t 分布的定义知
X (n 1)S 2 ~ t(n 1). / n 2(n 1)
n
2
πn

1
n 2


1

t2 n


n1 2


,
t
t 分布的概率密度曲线如图
显然图形是关于
t 0对称的.
当 n 充分大时, 其
图形类似于标准正
态变量概率密度的
图形. 因为lim h(t)
1
t2
e 2,
n
2π
所以当 n 足够大时 t 分布近似于 N (0,1) 分布,
1,
因为 1 F
~ F (n2 , n1 ),
所以
P
1 F

F1
(n2
,
n1
)

1


,
比较后得
F1
(n2 ,

抽样分布知识点总结

抽样分布知识点总结

抽样分布知识点总结抽样分布是统计学中一个重要的概念，它描述了在进行抽样时得到的样本统计量的分布情况。

抽样分布是统计推断的基础，它可以帮助我们理解抽样误差以及估计参数的可信度。

在本文中，我们将对抽样分布的基本概念、性质和相关理论进行总结和讨论。

一、基本概念1.1 抽样与总体在统计学中，总体是指我们想要研究的所有个体的集合，而抽样则是从总体中选取一部分个体作为样本，以获得对总体特征的估计。

抽样可以是随机抽样、分层抽样、系统抽样等方法，目的是代表性地反映总体的特征。

1.2 样本统计量在抽样中，对样本数据进行统计分析得到的统计量称为样本统计量，常见的样本统计量有均值、方差、标准差、比例等。

样本统计量能够提供有关总体参数的估计和推断。

1.3 抽样分布抽样分布是描述样本统计量的分布情况的统计学概念。

当我们从总体中抽取多个样本，并计算每个样本的统计量时，得到的这些统计量的分布就是抽样分布。

抽样分布可以反映出样本统计量的可变性、偏移和分布形态等特征。

二、性质2.1 中心极限定理中心极限定理是抽样分布理论中的重要定理，它描述了在一定条件下，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。

中心极限定理对于理解抽样分布的性质和应用具有重要意义，也为许多统计推断方法提供了理论基础。

2.2 大数定律大数定律是另一个重要的抽样分布性质，它描述了当样本容量足够大时，样本均值会收敛于总体均值，即样本均值的抽样分布会集中在总体均值附近。

大数定律为我们理解样本统计量的稳定性和准确性提供了重要参考。

2.3 置信区间置信区间是根据抽样分布推断总体参数的一种方法，通过对抽样分布的分布情况进行分析，我们可以建立对总体参数的置信区间，从而对总体特征进行推断。

置信区间对于统计推断的可信度和精度有着重要的作用。

三、理论基础3.1 样本容量样本容量是影响抽样分布的一个重要因素，在实际抽样中，样本容量的大小对于样本统计量的分布情况有着重要的影响。

通常情况下，样本容量越大，抽样分布的稳定性和准确性越高。

概率论与数理统计 7.2 数理统计中的三大分布

概率论与数理统计 7.2 数理统计中的三大分布
数理统计
7.2 数理统计中的三大抽样分布
在数理统计中，以标准正态变量为基石而构 造的三个著名统计量有着广泛的应用，这是因为 这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布 的密度函数有明显的数学表达式，它们被称为统 计中的“ 三大抽样分布 ” 。
1. 2 分布
数理统计
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
t1 (n) t (n)
o t (n)
x
t分布的上分位点t (n)可查表
求得，例t0.025(15) 2.1315.
当n 45时，对于常用的的值，可用正态近似 t (n) z
例3：X ~ t(15)
（1）求 0.01的上侧分位数； （2） P( X ) 0.05，求 ； （3）P( X ) 0.95 ，求 .
记为 t ~ t(n). t分布概率密度函数为：
f (t)
[(n 1)
2]
(1
t
2
)
n1 2
,
t
(n 2) n n
t 分布的图像
y N (0,1) 数理统计
t(n)
t分布的性质： 1. 设t ~ t(n),则E(t) 0, D(t) n (n 2) (n 2)
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
F分布的上分位点的性质：
F1 (n1, n2 )
1 F (n2 , n1 )
F分布的上分位点可查表求得.例,
F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
0.357
例4. F ~ F (24,15)，求 1,2 使 P(F 2 ) 0.025 P(F 1) 0.025

02-3平均数抽样分布(正式)

02-3平均数抽样分布(正式)

附：
σ = (X1i -X2j )
σ12 +σ22 不同情况下的变形形式
n1 n2
当平均数来自同一个总体，有σ1=σ2=σ，且n1=n2=n时，
则 σ = (X1i -X2j )
2σ2 n
当平均数来自不同总体，但是n1=n2=n时，
σ 则
=
(X1i -X2j )
σ12 +σ22 nn
1 n
(
2 1
变量不再服从标准正态分布，而是服从t分布(t－
distribution)。它的概率分布密度函数如下：
f (t)
1
[(df
1) / 2] (1
t2
df 1
)2
(4-26)
df (df / 2)
df
式中，t的取值范围是（-∞，+∞）；
df=n-1为自由度。
t分布的平均数和标准差为：
μt＝0 (df>1)， t df /(df 2) (df>2） (4-27) t分布密度曲线如图4-13 所示，其特点是：
差数总体遵从什么分布
（一）二项总体的分布参数
为了说明二项（0、1）总体的抽样分布特征， 以总五体、二项内总体包的抽样含分布5个个体为例，每一个体，y=0,y=1。 若总体的变量为：0，1，0，1，1，则总体平均数 和方差为：
μ=(0+1+0+1+1)/5=3/5=0.6 σ2=[(0-0.6)2+(1-0.6)2+(0-0.6)2+(1-0.6)2
图4-13 不同自由度的t分布密度曲线
1、t分布受自由度的制约，每一个自由度都 有一条t分布密度曲线。
2、t分布密度曲线以纵轴为对称轴，左右对 称，且在t＝0时，分布密度函数取得最大值。

§5.4三大抽样分布

§5.4三大抽样分布

所以 Y ( y1 ,, yn )T 的各分量相互独立.
n 1 由于 x y1 , ( n 1) s 2 yi2 . x与s 2相互独立. n i 2
1 n 1 21 1 A 3 2 1 n( n 1)
n
( n 1) s 2 yi2，
i2
yi N (0, ), i 2,3, , n.
2
y2 ,, yn相互独立.
( n 1)
2
yi 2 s ~ (n 1). i 2
n
2
2
15
定理2：设( X 1 , X 2 ,, X n )是来自正态总体N ( , )的
1 n 1 21 1 3 2 1 n( n 1)
1 n 0

1 3 2 1 n( n 1)
0 0 1 n( n 1) 1 n
14
(3)
( n 1)
2
s 2 ~ 2 ( n 1).
2 i 1 2 i 2 1 2 2 n 2 n
服从自由度为n的 2分布， 记作 2 ~ 2 (n) . 注：服从 2分布的随机变量取值非负，其密度函数为 n x 1 1 x2 e 2 , x 0 n 2 n 2 ( x; n) 2 ( ) Γ ( s ) x s1e x dx , s 0, 2 0 0, x0
4
n=4
2 分布的性质：
n=6 n=10
1、随n的增大，其偏度越来越小。
2、 2分布表——P425 附表三
2
即是分布函数数值表.
2
n 1 3、 分布是Ga分布的特例，即有 ( n) Ga( , ) . 2 2 4、 2分布具有可加性：

三大抽样分布的理解与具体性质

三大抽样分布的理解与具体性质

数学学习与研究 2019. 12
பைடு நூலகம்
( ) 还有一个实用的结论，Γ
1 2
= 槡π．
若 X ～ Γ（ α，β） ，我 们 可 以 计 算 出 它 的 矩 母 函 数 为
MX （ t） = （ 1 － βt） －α ，下面的分布就与这个矩母函数有关． 三、三大分布的性质
（ 一） 卡方分布
1． 定义
如果 Z ～ N（ 0，1） ，且 X = Z2 ，我们就说 X 服从自由度为
1 的卡方分布，记作 X ～ χ21 ． 证明如下：
FX （ x） = P（ X ≤ x） = P（ Z2 ≤ x） = P（ － 槡x ≤ Z ≤槡x） ，
FX （ x） = FZ （ 槡x） － FZ （ － 槡x） ，
求导可得，fX （ x） =
1
1
x－
1 2
e
－
x 2
，
2 2 槡π
( ) 或者 fX（ x）
二、预备知识
如果一个随机变量 X 服从形状参数为 α，尺度参数为 β
的伽马分布，我们记 X ～ Γ（ α，β） ，那么其概率密度函数为
f（ x）
=
x
α
－1
e
－
x β
βαΓ（ α）
，α，β
＞
0，x ≥ 0，则 E（
X）
= αβ，Var（ X）
=
∫∞
αβ2 ，其中 Γ（ α） 为伽马函数，且 Γ（ α） = xα－1 e －x dx，另外 0
交流平台
JIAOLIU PINGTAI
143
三大抽样分布的理解与具体性质
◎蔡则元 （ 甘肃省兰州市榆中县兰州大学榆中校区，甘肃 兰州 730107）

高中数学人教A版选修2-3 第二章 2.4 正态分布教案

课题：正态分布教学目标：理解取有限值的离散型随机变量的方差的概念，及简单应用教学重点：理解取有限值的离散型随机变量的方差的概念，及简单应用教学过程一、复习引入：简要复习模块3种的相关内容，材料如下，可选取相关内容重点复习1.简单随机抽样：设一个总体的个体数为N ．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样 ⑴用简单随机抽样从含有N 个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为N1；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为N n ； ⑵简单随机抽样的特点是，逐个抽取，且各个个体被抽到的概率相等； ⑶简单随机抽样方法，体现了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂抽样方法的基础．（4）.简单随机抽样的特点：它是不放回抽样；它是逐个地进行抽取；它是一种等概率抽样2.抽签法：先将总体中的所有个体（共有N 个）编号（号码可从1到N ），并把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可用小球、卡片、纸条等制作），然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签，连续抽取n 次，就得到一个容量为n 的样本 适用范围：总体的个体数不多时优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法．3.随机数表法： 随机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号；第二步，选定开始的数字；第三步，获取样本号码4.系统抽样:当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫做系统抽样．系统抽样的步骤：①采用随机的方式将总体中的个体编号为简便起见，有时可直接采用个体所带有的号码，如考生的准考证号、街道上各户的门牌号，等等 ②为将整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k 当N n（N 为总体中的个体的个数，n 为样本容量）是整数时，k=N n ;当N n不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的总体中个体的个数N '能被n 整除，这时k=N n'.③在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号l ④按照事先确定的规则抽取样本（通常是将l 加上间隔k ，得到第2个编号l +k,第3个编号l +2k ，这样继续下去，直到获取整个样本） ①系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，它与简单随机抽样的联系在于：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；②与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的．③总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除在进行系统抽样 5.分层抽样: 当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，所分成的部分叫做层6.不放回抽样和放回抽样:在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样；如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样．随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样7. 分布列: ξ x 1 x 2 … x i… P P 1 P 2 … P i…分布列的两个性质： ⑴i ≥0，＝1，2，…； ⑵1+2+…=1 8.频率分布表或频率分布条形图历史上有人通过作抛掷硬币的大量重复试验，得到了如下试验结果：试验结果频数 频率 正面向上(0)36124 0.5011 反面向上(1) 35964 0.4989抛掷硬币试验的结果的全体构成一个总体，则上表就是从总体中抽取容量为72088的相当大的样本的频率分布表．尽管这里的样本容量很大，但由于不同取值仅有2个（用0和1表示），所以其频率分布可以用上表和右面的条形图表示．其中条形图是用高来表示取各值的频率．说明：⑴频率分布表在数量表示上比较确切，而频率分布条形图比较直观，两者相互补充，使我们对数据的频率分布情况了解得更加清楚．⑵①各长条的宽度要相同；②相邻长条之间的间隔要适当．当试验次数无限增大时，两种试验结果的频率值就成为相应的概率，得到右表，除了抽样造成的误差，精确地反映了总体取值的概率分布规律．这种整体取值的概率分布规律通常称为总体分布.说明：频率分布与总体分布的关系：⑴通过样本的频数分布、频率分布可以估计总体的概率分布.⑵研究总体概率分布往往可以研究其样本的频数分布、频率分布.9.总体分布：总体取值的概率分布规律在实践中，往往是从总体中抽取一个样本，用样本的频率分布去估计总体分布 一般地，样本容量越大，这种估计就越精确10.总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无试验结果 概率 正面向上(记为0) 0．5 反面向上(记为1) 0．5限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 总体密度曲线b单位O 频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．二、讲解新课：1．正态分布概率密度函数：22()2(),(,)2x f x e x μσπσ--=∈-∞+∞，（σ＞0） 其中π是圆周率；e 是自然对数的底；x 是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为),(2σμN 2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题6. 对于正态总体),(2σμN 取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分课堂小节：本节课学习了取有限值的离散型随机变量的方差的概念，及简单应用课堂练习：略课后作业：第79页习题A:1,2。

抽样分布公式的详细整理

抽样分布公式的详细整理抽样分布是统计学中的一个重要概念，它描述的是在特定条件下，从总体中抽取的样本所形成的样本统计量的分布情况。

在实际应用中，我们常常需要根据已知的总体参数来估计未知的总体参数。

此时，抽样分布公式能够帮助我们进行相应的推断统计。

以下是常见的抽样分布公式的详细整理：1. 抽样分布公式在统计学中，常见的抽样分布公式有以下几种：1.1. 正态分布如果总体近似服从正态分布，那么从中抽取的样本均值就近似服从正态分布。

抽样分布公式如下所示：\[ \bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}) \]其中，\(\bar{X}\) 表示样本均值，\(\mu\) 表示总体均值，\(\sigma\)表示总体标准差，\(n\) 表示样本量。

1.2. t分布在实际应用中，当总体近似服从正态分布但总体标准差未知时，我们使用t分布进行推断统计。

抽样分布公式如下所示：\[ t = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \]其中，\(\bar{X}\) 表示样本均值，\(\mu\) 表示总体均值，\(s\) 表示样本标准差，\(n\) 表示样本量。

1.3. 卡方分布在某些情况下，我们需要估计总体方差或总体标准差，此时可以使用卡方分布进行推断统计。

抽样分布公式如下所示：\[ \chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \]其中，\(\chi^2\) 表示卡方统计量，\(s\) 表示样本标准差，\(\sigma^2\) 表示总体方差，\(n\) 表示样本量。

1.4. F分布在某些情况下，我们需要进行总体方差比较或回归分析，此时可以使用F分布进行推断统计。

抽样分布公式如下所示：\[ F = \frac{MSB}{MSW} \]其中，\(MSB\) 表示组间平均平方和，\(MSW\) 表示组内平均平方和。

2. 应用案例为了更好地理解抽样分布公式的应用，以下是一个具体的案例：假设我们从一批电子产品中随机抽取了20个样品，测得平均寿命为3000小时，样本标准差为200小时。

16几个常用的抽样分布与抽样分布定理

0
(s
0),
(s 1)
s (s) ,(12)
3
3．性质：
1）期望与方差
提示： 2
X
2 1
X
2 n
若 2 ~ 2(n)，则 E( 2)= n，D( 2)=2n
证明： 因为Xi～N(0, 1)
所以
E
(
X
2 i
)
D( Xi
) [E( Xi
)]2
1 0 1
D(
X
2 i
)
E
(
X
4 i
)
[
2 1
/
2 2
~
F (n1
1, n2
1)
29
定理2结论(3)
假定
2 1
2 2
2,
就有
t T ( X Y ) (1 2 ) ~ S 1 n1 1 n2
(n1 n2 2)
其中
S2
(n11)S12 (n2 1)S22 n1 n 2 2
即
( X Y ) (1 2 )
13
Ｔ 的概率密度为
(s) xs1e x d x (s 0),
0
f (t)
( n 1) 2
(1
t2
)
n1
2,
(12)
t
n ( n) n
2
14
2．基本性质：
(1) f ( t ) 关于 t = 0(纵轴)对称。
(2) f ( t ) 的极限为 N(0, 1) 的密度函数，即
lim f (t) (t)
标准化
定理1：设总体 X ~ N ( , 2 ) ，X1, X2,…, Xn 是
来自总体 X 的样本，

抽样分布的名词解释

3.卡方分布：卡方分布是指卡方统计理论频数的差异是否显著。
4.F分布：F分布是指F统计量的分布情况。F分布常用于F检验，用于比较两组样本的方差差异是否显著。
抽样分布的类型和使用场景不同，但都在统计学中扮演着重要的角色。通过对抽样分布的了解，可以帮助我们更加准确地进行统计分析，更好地掌握数据的分布情况。
抽样分布是指根据总体数据的抽样结果的分布情况。在统计学中，通过对样本的观察，可以推断出总体的分布情况。
常见的抽样分布包括正态分布、t分布、卡方分布、F分布等。
1.正态分布：正态分布是指数据呈现出高峰在中间，两侧逐渐递减的分布形态。正态分布常用于表示自然界中许多变量的分布情况，例如人群身高、体重等。
2.t分布：t分布是指在总体方差未知的情况下，样本方差的分布情况。t分布常用于统计分析中的t检验，用于比较两组样本的差异是否显著。
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第三节
一、 分布
2
三大抽样分布
二、F 分布
三、t 分布
四、一些重要结论
一、
2
分布
1 定义: 设 X 1 , , X n 相互独立, 都服从标准正X1 X 2 X n
2 2
2
所服从的分布为自由度为 n 的 分布.
2
记为

2
~ (n )
P t t1 ( n )

t1 ( n )
p ( y )dy 1
的 点 t1 ( n ) 为 t ( n ) 分 布 的 1 - 分 位 数 . 如 图 所 示 .

t1 ( n )
t 分 布 的 1 - 分 位 数 的 性 质 ：t ( n ) t1 ( n )
n
Xi
Y
2
1 m
Yj
j 1
m
1 n 1
(X i X )
i 1
n
S2
2
1 m 1
(Y j Y )
j 1
m
2
则
( n 1) S 1
2
1
2
~ ( n 1)
2
( m 1) S 2
2
2
2
~ ( m 1)
2
S1
2
1
2
S2
2
~ F ( n 1, m 1 )
2

2
~ ( n 1)
2
( m 1) S 2
2

2
~ ( m 1)
2
( n 1) S 1
2

X Y
2

( m 1) S 2
2

2
2
~ (n m 2)
2
与 ( n 1) S 1 ( m 1) S 2 相互独立 2 2
2


( X Y ) (1 2 )
推论2 (两总体样本方差比、样本均值差的分布)
设 X 1 , X 2 , , X n 与 Y 1 , Y 2 , , Y m 分别是来 自正态总体
X ~ N ( 1 , 1 ) 与 Y ~ N ( 2 , 22 )
2
的
相互独立的简单随机样本.
令
X S1
2
1 n

i 1

n
2

2

2
m ( m 1) S 2
2
( n 1) S 1

2

2
n m 2
1 n
( X Y ) (1 2 ) 1 m ( n 1) S 1 ( m 1) S 2
2 2
~ t(n m 2)
nm 2
例 设 X1, X2,…,Xn 是来自正态总体 N ( , ) 的样本,

F1 ( m , n )
(3).若F ~ F(m,n), 则
F ( n , m )
1 F
~F(n,m), 因此
1
F1 ( m , n )
F 分 布 的 1- 分 位 点 可 查 表 求 得 . 例
F 0 .9 5 (9,1 2 ) F1 0 .0 5 (9,1 2 ) 2 .8 0
X
n
1
n
X i, S
2

i1
n1
2
1
n
(X i X ) ,
2
i1
则有
(1 ) X ~ N ( ,
2

n
)；
(2) X 与 S
(n 1) S (3)
独立；
~ ( n 1 ).
2
2

2
推论1 设X1,…,Xn 是来自正态总体N(μ,σ2) 的 一个样本，则
T X S n ~ t ( n 1 ).
F 0 .0 5 (1 2 , 9 ) 1 F1 0 .0 5 (9 ,1 2 ) 1 2 .8 0 0 .3 5 7
三、t 分布 1、定义: 设X1～N(0,1) , X2～ ( n ) , 且 X1 与 X2 相互
2
独立，则称变量
t
X X
1 2
n
t ~ t ( n ).
2
样本均值和样本方差分别为
X
n
1
n
X i,
S
2

i1
n1
1
n
(X i X ) ,
2
i1
( 1 ) 试求 n ，使得
P (| X | 0 . 25 ) 0 . 95 ；
( 2 ) 试求 D ( S ).
2
重要知识点：
总体
样本及样本观测值
常见统计量：X 、S 2、顺序统计量
2
的
相互独立的简单随机样本. 则
X 1
n
n
X i ~ N (1,

n
2
)
Y
i 1
Y m
j 1
1
m
j
~ N ( 2 ,

2
)
m
X Y ~ N (1 2 ,

n
2


2
)
m
( X Y ) (1 2 )

n
2


~ N ( 0 ,1 )
2
m
( n 1) S 1
2
如 图 所 示.
2

1 ( n )
1 ( n ) 可 通 过 查 表 求 ， 例 0 .9 ( 2 5) 1 -0 .1 ( 2 5) 3 4.3 8 1 6
2 2 2
二、F 分布
1 定义: 设
X 1 ~ ( m ), X 2 ~ ( n ),
2 2
n 1
p ( x ),
a xb
X(n) 的密度函数为
pn ( x) n F ( x)
n 1
p ( x ),
a xb
定理
设
X1, X2,…,Xn 是来自正态总体 N ( , )
2
的样本,
样本均值和样本方差分别为
X
n
1
n
X i, S
2

i1
n1
2
1
n
(X i X ) ,
2
2
若
1
2
则
S1
2 2
~ F ( n 1, m 1 )
S2
推论3 (两总体样本方差比、样本均值差的分布)
设 X 1 , X 2 , , X n 与 Y 1 , Y 2 , , Y m 分别是来
自正态总体
X ~ N ( 1 , ) 与 Y ~ N ( 2 , 2 )
当 n 4 5时 ， 对 于 常 用 的 的 值 ， 可 用 正 态 近 似 t1 ( n ) u 1
例. 设
X 1, X 2, X 3, X 4
独立同分布于 N(0,4)，令
2 2
Y1 a ( X 1 2 X 2 ) b ( 3 X 3 4 X 4 )
X1 与X2 相互独立，
则称随机变量
F
X1 m X
2
n
服从自由度为m 及 n 的F 分布，m 称为第一自由 度，n 称为第二自由度，记作 F~F(m, n) . 其密度为
p( y)
(
mn 2
)
m
m 2
1
(m) (n) 2 2
( ) ( y)
m n
2
1
m n
y

mn 2
, ( y 0)
Y2 c
X1 2X2 X3 X4
2 2
（1）求参数 a, b，使 Y1 服从χ2分布，并求 其自由度；
（2）求参数 c，使 Y2 服从 t 分布，并求其 自由度。
四、一些重要结论
定理1 设 X1, X2,…,Xn 是来自正态总体 N ( , )
2
的样本,
样本均值和样本方差分别为
三大抽样分布：χ2 分布、t 分布、F 分布
正态分布总体下样本均值及样本方差的性质
重要结论：
若总体 X 为离散型, 分布列为
P ( X x k ; ) p ( x k ; )， k 1, 2, ...., 为 分 布 中 的 未 知 参 数 ,
其简单随机样本的联合概率分布列为
(2). F 分布的分位数
对 于 给 定 的 ( 0 1), 称 满 足 条 件
P F F 1 (m , n )

F1 ( m ,n )
p ( y )dy 1
的 点 F1 ( m , n ) 为 F ( m , n ) 分 布 的 1 - 分 位 数. 如 图 所 示 .
P ( X 1 x1 , , X xn ; )
n

i 1
n
p ( xi ; )
若总体 X 为连续型, 分布密度为 p (x;θ), 其简单随机样 本的联合概率密度函数为
p ( x1 , x 2 , , x n ; )

i 1
n
p ( xi ; )
定理2 设 X1 , X 2……, Xn 是取自某总体 X 的样本，且 X 具 有二阶矩，即
EX , DX
2
,
则有
EX , DX

n