【全程复习方略】高考数学第一轮总复习 5.2 等差数列及其前n项和课时提升作业 文(含模拟题,解

第2讲等差数列及其前n项和[最新考纲]1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.知识梳理1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表达式：a n＋1－a n＝d(n∈N*)，d为常数．2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为a n＝a1＋(n－1)d. 若等差数列{a n}的第m项为a m，则其第n项a n可以表示为a n＝a m＋(n－m)d. (2)等差数列的前n项和公式S n ＝n a1＋a n2＝na1＋n n－2d.(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，a n为第n项)3．等差数列及前n项和的性质(1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝a＋b 2.(2)若{a n}为等差数列，当m＋n＝p＋q，a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)．(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)a n.(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝nd 2；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．4．等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的区别与联系(2)等差数列前n项和公式可变形为S n＝2n2＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－2n，当d≠0时，它是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝d2x2＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－d2x上横坐标为正整数的均匀分布的一群孤立的点．辨析感悟1．对等差数列概念的理解(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)等差数列的公差是相邻两项的差．(×)(3)(教材习题改编)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(×)2．等差数列的通项公式与前n项和(4)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.(√)(5)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的．(√)(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(×)3．等差数列性质的活用(7)(2013·广东卷改编)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝20.(√) (8)(2013·辽宁卷改编)已知关于d ＞0的等差数列{a n }，则数列{a n }，{na n }，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ，{a n ＋3nd }都是递增数列．(×) [感悟·提升]一点注意 等差数列概念中的“从第2项起”与“同一个常数”的重要性，如(1)、(2)．等差数列与函数的区别 一是当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数，如(3)；二是公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0；三是等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的，如(8)中若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n 并非递增；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a n n ＝1＋1n 是递减数列；设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋m ，则a n ＋3nd ＝4dn ＋m 是递增数列.学生用书第82页考点一 等差数列的基本量的求解【例1】 在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2.从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n . 所以S n ＝n [1＋－2n2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35. 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或－5.又k ∈N *，故k ＝7为所求．规律方法 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【训练1】 (1)(2013·浙江五校联考)已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )． A ．85 B ．135 C ．95 D ．23(2)(2013·新课标全国Ⅰ卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则⎩⎨⎧2a 1＋4d ＝4，2a 1＋6d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝3.∴S 10＝10×(－4)＋10×92×3＝95. (2)法一 ∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3， ∴a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S n ＝na 1＋n n －2d ＝na 1＋n n －2，得⎩⎪⎨⎪⎧ma 1＋m m －2＝0， ①m －a 1＋m －m －2＝－2， ②由①得a 1＝1－m2，代入②可得m ＝5. 法二 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 也为等差数列．∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0，解得m ＝5.经检验为原方程的解．故选C. 答案 (1)C (2)C考点二 等差数列的判定与证明【例2】 (2014·梅州调研改编)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．审题路线 (1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为关于S n 与S n －1的式子⇒同除S n ·S n－1⇒利用定义证明⇒得出结论．(2)由(1)求1S n⇒再求S n ⇒再代入条件a n ＝－2S n S n －1，求a n ⇒验证n ＝1的情况⇒得出结论．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列．(2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝12n－1n －＝n －1－n 2n n －＝－12n n －.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －，n ≥2.规律方法 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)；二是等差中项法，证明2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【训练2】已知数列{a n}满足：a1＝2，a n＋1＝3a n＋3n＋1－2n.设b n＝an－2n3n.证明：数列{b n}为等差数列，并求{a n}的通项公式．证明∵b n＋1－b n＝an＋1－2n＋13n＋1－an－2n3n＝3a n＋3n＋1－2n－2n＋13n＋1－3a n－3·2n3n＋1＝1，∴{b n}为等差数列，又b1＝a1－23＝0.∴b n＝n－1，∴a n＝(n－1)·3n＋2n.学生用书第83页【例3】 (1)设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝( )．A．－6 B．－4 C．－2 D．2(2)在等差数列{a n}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，则前3m项的和为________．解析(1)S 8＝4a3⇒a1＋a82＝4a3⇒a3＋a6＝a3，∴a6＝0，∴d＝－2，∴a9＝a7＋2d＝－2－4＝－6.(2)记数列{a n}的前n项和为S n，由等差数列前n项和的性质知S m，S2m－S m，S3m －S2m成等差数列，则2(S2m－S m)＝S m＋(S3m－S2m)，又S m＝30，S2m＝100，S2m－S m＝100－30＝70，所以S3m－S2m＝2(S2m－S m)－S m＝110，所以S3m＝110＋100＝210. 答案(1)A (2)210规律方法巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简；若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．【训练3】 (1)在等差数列{a n}中．若共有n项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n项和S n＝286，则n＝________.(2)已知等差数列{a n}中，S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________.解析(1)依题意知a1＋a2＋a3＋a4＝21，a n＋a n－1＋a n－2＋a n－3＝67.由等差数列的性质知a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝a4＋a n－3，∴4(a1＋a n)＝88，∴a1＋a n＝22.又S n＝n a1＋a n2，即286＝n×222，∴n＝26.(2)∵{a n}为等差数列，∴S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)．∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝2(36－9)－9＝45.答案(1)26 (2)451．等差数列的判断方法(1)定义法：a n＋1－a n＝d(d是常数)⇔{a n}是等差数列．(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列．(4)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{a n}是等差数列．2．方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解．方法优化4——整体代入法(整体相消法)在数列解题中的应用【典例】(1)(2012·辽宁卷)在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )．A ．58B ．88C ．143D ．176(2)(2013·北京卷)若等比数列{a n }满足：a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.[一般解法] (1)设数列{a n }的公差为d ，则a 4＋a 8＝16，即a 1＋3d ＋a 1＋7d ＝16，即a 1＝8－5d ，所以S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(8－5d )＋55d ＝88－55d ＋55d ＝88.(2)由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，得⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＋a 1q 4＝40，即⎩⎨⎧a 1q ＋q 2＝20，a 1q2＋q 2＝40，解得q ＝2，a 1＝2， ∴S n ＝a 1－q n 1－q＝－2n 1－2＝2n ＋1－2.[优美解法] (1)由a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝16，得S 11＝a 1＋a 112＝a 4＋a 82＝11×162＝88.(2)由已知，得a 3＋a 5a 2＋a 4＝q a 2＋a 4a 2＋a 4＝q ＝2， 又a 1＝2，所以S n ＝a 1－q n1－q＝2n ＋1－2.[反思感悟] 整体代入法是一种重要的解题方法和技巧，简化了解题过程，节省了时间，这就要求学生要掌握公式，理解其结构特征． 【自主体验】在等差数列{a n }中，已知S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，则S m ＋n ＝________. 解析 设{a n }的公差为d ，则由S n ＝m ，S m ＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧S n＝na 1＋nn －2d ＝m ，S m ＝ma 1＋mm －2d ＝n .①②②－①得(m －n )a 1＋m －nm ＋n －2·d ＝n －m ，∵m ≠n ，∴a 1＋m ＋n －12d ＝－1.∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋m ＋nm ＋n －2d＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋m ＋n －12d ＝－(m ＋n )． 答案 －(m ＋n )对应学生用书P287基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2013·温州二模)记S n 为等差数列{a n }前n 项和，若S 33－S 22＝1，则其公差d＝( )．A.12B ．2C ．3D ．4 解析 由S 33－S 22＝1，得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝1，即a 1＋d －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋d 2＝1，∴d ＝2.答案 B2．(2014·潍坊期末考试)在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＋a 7＝15，那么a 3＋a 4＋…＋a 9等于( )．A ．21B ．30C ．35D ．40解析由题意得3a6＝15，a6＝5.所以a3＋a4＋…＋a9＝7a6＝7×5＝35.答案 C3．(2013·揭阳二模)在等差数列{a n}中，首项a1＝0，公差d≠0，若a m＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为( )．A．37 B．36 C．20 D．19解析由a m＝a1＋a2＋…＋a9，得(m－1)d＝9a5＝36d⇒m＝37.答案 A4．(2014·郑州模拟){a n}为等差数列，S n为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则S10＝( )．A．40 B．35 C．30 D．28解析设公差为d，则由已知得S 7＝a1＋a72，即21＝a1＋2，解得a1＝1，所以a7＝a1＋6d，所以d＝23.所以S10＝10a1＋10×92d＝10＋10×92×23＝40.答案 A5．(2013·淄博二模)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，满足a13＝S13＝13，则a1＝( )．A．－14 B．－13C．－12 D．－11解析在等差数列中，S 13＝a1＋a132＝13，所以a1＋a13＝2，即a1＝2－a13＝2－13＝－11.答案 D二、填空题6．(2013·肇庆二模)在等差数列{a n}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________. 解析a25－a15＝10d＝66－33＝33，∴a35＝a25＋10d＝66＋33＝99.答案997．(2014·成都模拟)已知等差数列{a n}的首项a1＝1，前三项之和S3＝9，则{a n}的通项a n＝________.解析由a1＝1，S3＝9，得a1＋a2＋a3＝9，即3a1＋3d＝9，解得d＝2，∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.答案2n－18．(2013·浙江五校联考)若等差数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*)，若a2∶a3＝5∶2，则S3∶S5＝________.解析S3S5＝a1＋a3a1＋a5＝3a25a3＝35×52＝32.答案3∶2三、解答题9．已知等差数列{a n}的公差d＝1，前n项和为S n.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5＞a1a9，求a1的取值范围．解(1)因为数列{a n}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以a21＝1×(a1＋2)，即a21－a1－2＝0，解得a1＝－1或2.(2)因为数列{a n}的公差d＝1，且S5＞a1a9，所以5a1＋10＞a21＋8a1，即a21＋3a1－10＜0，解得－5＜a1＜2.故a1的取值范围是(－5,2)．10．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＝Snn＋2(n－1)(n∈N*)．(1)求证：数列{a n}为等差数列，并求a n与S n.(2)是否存在自然数n，使得S1＋S22＋S33＋…＋Snn－(n－1)2＝2 015？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．证明(1)由a n＝Snn＋2(n－1)，得S n＝na n－2n(n－1)(n∈N*)．当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝na n－(n－1)a n－1－4(n－1)，即a n－a n－1＝4，故数列{a n}是以1为首项，4为公差的等差数列．于是，a n＝4n－3，S n＝a1＋a n n2＝2n2－n(n∈N*)．(2)由(1)，得Snn＝2n－1(n∈N*)，又S1＋S22＋S33＋…＋Snn－(n－1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)－(n－1)2＝n2－(n－1)2＝2n－1.令2n－1＝2 015，得n＝1 008，即存在满足条件的自然数n＝1 008.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·咸阳模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S4＝40，S n＝210，S n－4＝130，则n＝( )．A．12 B．14 C．16 D．18解析S n－S n－4＝a n＋a n－1＋a n－2＋a n－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋a n)＝120，a1＋a n＝30，由S n＝n a1＋a n2＝210，得n＝14.答案 B2．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝13，S3＝S11，当S n最大时，n的值是( )．A．5 B．6 C．7 D．8解析法一由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7＞0，a8＜0，故n ＝7时，S n最大．法二由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故S n ＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n，根据二次函数的性质，知当n＝7时，S n最大．法三根据a1＝13，S3＝S11，则这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n＝3＋112＝7时，S n取得最大值．答案 C二、填空题3．(2014·九江一模)正项数列{a n}满足：a1＝1，a2＝2,2a2n＝a2n＋1＋a2n－1(n∈N*，n≥2)，则a7＝________.解析因为2a2n＝a2n＋1＋a2n－1(n∈N*，n≥2)，所以数列{a2n}是以a21＝1为首项，以d＝a22－a21＝4－1＝3为公差的等差数列，所以a2n＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以a n＝3n－2，n≥1.所以a7＝3×7－2＝19.答案19三、解答题4．(2013·西安模拟)已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝Snn＋c，是否存在非零实数c使得{b n}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解(1)设等差数列{a n}的公差为d，且d＞0，由等差数列的性质，得a2＋a5＝a3＋a4＝22，所以a3，a4是关于x的方程x2－22x＋117＝0的解，所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，d＝4，故通项为a n＝1＋(n－1)×4＝4n－3.(2)由(1)知S n＝n＋4n－2＝2n2－n，所以b n＝Snn＋c＝2n2－nn＋c.法一所以b1＝11＋c，b2＝62＋c，b3＝153＋c(c≠0)．令2b2＝b1＋b3，解得c＝－1 2 .当c＝－12时，b n＝2n2－nn－12＝2n，当n≥2时，b n－b n－1＝2.故当c＝－12时，数列{b n}为等差数列．法二由b n＝Snn＋c＝n＋4n －2n＋c＝2n⎝⎛⎭⎪⎫n－12n＋c，∵c≠0，∴可令c＝－12，得到b n＝2n.∵b n＋1－b n＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，∴数列{b n}是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c＝－12，使数列{b n}也为等差数列.学生用书第84页。

学习资料第二节 等差数列及其前n 项和授课提示：对应学生用书第92页[基础梳理］1．等差数列的有关概念（1）定义： ①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数． ②符号语言：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋,d 为常数)．(2）等差中项：数列a ，A ,b 成等差数列的充要条件是A ＝错误!，其中A 叫作a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋（n －1)d ．（2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋错误!d ＝错误!．3．等差数列的性质(1)通项公式的推广:a n ＝a m ＋(n －m ）d （n ,m ∈N ＋)．(2)若｛a n ｝为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ,n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ．(3)若｛a n ｝是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列．(4）若S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．1．两个重要技巧（1）若奇数个数成等差数列,可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d 。

（2)若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ,a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．2．三个必备结论（1)若等差数列｛a n ｝的项数为偶数2n ,则①S 2n ＝n （a 1＋a 2n ）＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ，错误!＝错误!.（2）若等差数列｛a n }的项数为奇数2n ＋1,则①S 2n ＋1＝（2n ＋1）a n ＋1；②S 奇S 偶＝错误!. （3）在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则满足错误!的项数m 使得S n 取得最大值S m ;若a 1＜0，d ＞0，则满足错误!的项数m 使得S n 取得最小值S m 。

等差数列及其前n 项和【考纲传真】1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列有关知识解决相应的问题．4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系. 【知识扫描】知识点1 等差数列1．定义：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)．2．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d . 3．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －1d 2＝n a 1＋a n2.4．a ，b 的等差中项A ＝a ＋b2.知识点2 等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．(1)若m ，n ，p ，q ，k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k . (2)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (3)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }是等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，也是等差数列．(5)若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)．1．必会结论；(1)等差数列的增减性：d ＞0时为递增数列，且当a 1＜0时，前n 项和S n 有最小值，d ＜0时为递减数列，且当a 1＞0时，前n 项和S n 有最大值．(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ≠0)是{a n }成等差数列的充分条件． (3)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(4)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差 数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.2．必知联系；(1)当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数． (2)公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．【学情自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( )2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33D ．343．(2016·杭州模拟)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49D ．634．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 13＝S 13＝13，则a 1的值等于________．5．(2014·江西高考)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．6．已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求a n 的表达式．参考答案1.【解析】 (1)错误．差为同一个常数． (2)正确．d ＞0时单调递增，d ＜0时单调递减．(3)错误．如常数列S n ＝na 1. (4)正确．d ＝a n ＋1－a n ＝3－2(n ＋1)－3＋2n ＝－2. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√2.【解析】 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.【答案】 B3.【解析】 ∵a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝3＋11＝14，∴S 7＝7a 1＋a 72＝49.【答案】 C4.【解析】 在等差数列中，S 13＝13a 1＋a 132＝13.∴a 1＋a 13＝2，即a 1＝2－a 13＝2－13＝－11.【答案】 －115.【解析】 当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，说明⎩⎪⎨⎪⎧a 8＞0，a 9＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d ＞0，7＋8d ＜0.∴－1＜d ＜－78.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－78 6.【解】 (1)证明：∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0.∴1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n .∵当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n n －1， 又∵a 1＝12，不适合上式．∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －1，n ≥2.。

新高考数学一轮复习第5章数列第2讲等差数列及其前n项和学案板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．考点2 等差数列的有关公式1．通项公式：an＝a1＋(n－1)d.2．前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.[必会结论]等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d, 则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(6)等差数列{an}的前n项和为Sn, 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差数列，其公差为n2d.[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等差数列的公差是相邻两项的差．( )(2)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( )(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．[课本改编]在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝( )A．58 B．88 C．143 D．176答案B解析因为{an}是等差数列，所以a4＋a8＝2a6＝16⇒a6＝8，则该数列的前11项和为S11＝＝11a6＝88.故选B. 3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )A．63 B．45 C．36 D．27答案B解析S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，即9,27，a7＋a8＋a9成等差数列，∴a7＋a8＋a9＝54－9＝45.故选B. 4．若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7＝( )A．12 B．13 C．14 D．15答案B解析由S5＝，得25＝，解得a4＝7，所以7＝3＋2d，即d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13.故选B. 5．[课本改编]在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101＝________.答案52解析由2an＋1＝2an＋1，得an＋1－an＝，故数列{an}是首项为2，公差为的等差数列，所以a101＝2＋100×＝52. 6．[2018·苏北四市模拟]在等差数列{an}中，已知a2＋a8＝11，则3a3＋a11的值为________．答案22解析设等差数列{an}的公差为d，由题意可得a2＋a8＝11＝2a5，则a5＝，所以3a3＋a11＝3(a5－2d)＋a5＋6d＝4a5＝4×＝22.板块二典例探究·考向突破考向等差数列的基本运算例 1 (1)[2017·全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )A．1 B．2 C．4 D．8答案C解析设{an}的公差为d，则由得错误!解得d＝4.故选C. (2)[2018·吉林模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若6a3＋2a4－3a2＝5，则S7＝( )A．28 B．21 C．14 D．7答案D解析由6a3＋2a4－3a2＝5，得6(a1＋2d)＋2(a1＋3d)－3(a1＋d)＝5a1＋15d＝5(a1＋3d)＝5，即5a4＝5，所以a4＝1，所以S7＝＝＝7a4＝7.故选D.触类旁通等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【变式训练1】 (1)[2016·全国卷Ⅰ]已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97答案 C解析 设{an}的公差为d ，由等差数列前n 项和公式及通项公式，得解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝－1，d ＝1， an ＝a1＋(n －1)d ＝n －2，∴a100＝100－2＝98.故选C.(2)设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.答案 －72解析 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d ，由已知，得解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝3，d ＝－1. ∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.考向 等差数列的性质等差数列项的性质1命题角度 例 2 (1)等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值是( )A ．14B ．15C ．16D ．17答案 C 解析 因为{an}是等差数列，所以a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，∴a8＝24.所以a9－a11＝a8＋d －(a8＋3d)＝a8＝16.(2)若两个等差数列{an}和{bn}的前n 项和分别是Sn ，Tn ，已知＝，则＝________.答案 214解析 ＝＝＝＝＝.项和性质的应用n 等差数列前 2命题角度例 3 (1)已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A．10 B．20 C．30 D．40答案A解析设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10.故选A.(2)[2018·杭州学军中学月考]设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝( )A. B. C. D.19答案A解析令S3＝1，则S6＝3，∴S9＝1＋2＋3＝6.S12＝S9＋4＝10，∴＝.故选A.触类旁通等差数列性质的应用技巧(1)等差数列项的性质：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将an＋am＝2ak(n＋m＝2k，n，m，k∈N*)与am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*)相结合，可减少运算量．(2)等差数列和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an；若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．考向等差数列的判定与证明例 4 [2018·辽宁大连双基测试]数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn，并证明：＋＋…＋>.解 (1)证明：∵an＋1＝，∴＝，化简得＝2＋，即－＝2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知＝2n －1，所以Sn ＝＝n2.证明：＋＋…＋＝＋＋…＋>＋＋…＋错误!＝＋＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝.触类旁通等差数列的判定方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an －an －1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an －1＝an ＋an －2(n≥3，n∈N*)成立；(3)通项公式法：验证an ＝pn ＋q ；(4)前n 项和公式法：验证Sn ＝An2＋Bn.提醒 在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．【变式训练2】 [2018·昆明模拟]在数列{an}中，a1＝，an ＋1＝2－，设bn ＝，数列{bn}的前n 项和是Sn.(1)证明数列{bn}是等差数列，并求Sn ；(2)比较an 与Sn ＋7的大小．解 (1)证明：∵bn＝，an ＋1＝2－，∴bn＋1＝＝＋1＝bn ＋1，∴bn＋1－bn ＝1，∴数列{bn}是公差为1的等差数列．由a1＝，bn ＝，得b1＝－，∴Sn ＝－＋＝－3n.(2)由(1)知，bn ＝－＋n －1＝n －.由bn ＝，得an ＝1＋＝1＋.∴an－Sn－7＝－＋3n－6＋.∵当n≥4时，y＝－＋3n－6是减函数，y＝也是减函数，∴当n≥4时，an－Sn－7≤a4－S4－7＝0.又∵a1－S1－7＝－<0，a2－S2－7＝－<0，a3－S3－7＝－<0，∴∀n∈N*，an－Sn－7≤0，∴an≤Sn＋7.核心规律1.等差数列的判定方法：(1)定义法；(2)等差中项法；(3)通项公式法；(4)前n项和公式法．2.方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解．3.在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d，a＋d，a＋3d等，可视具体情况而定．满分策略1.当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数；当公差d＝0时，an为常数．2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．3.注意利用“an－an－1＝d”时加上条件“n≥2”；否则，当n ＝1时，a0无定义.板块三启智培优·破译高考题型技法系列7——破解等差数列中的最值问题[2018·北京海淀模拟]等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？解题视点 可利用Sn ＝na1＋d 及二次函数的性质求解；也可以利用首项a1>0，公差d<0，找最后一个正项求解；还可以利用Sn ＝An2＋Bn 及二次函数图象的对称性求解．解 解法一：由S3＝S11，得3a1＋d ＝11a1＋d ，则d ＝－a1.从而Sn ＝n2＋n ＝－(n －7)2＋a1.又a1>0，所以－<0.故当n ＝7时，Sn 最大．解法二：由于Sn ＝an2＋bn 是关于n 的二次函数，由S3＝S11，可知Sn ＝an2＋bn 的图象关于n ＝＝7对称．由解法一可知a ＝－<0，故当n ＝7时，Sn 最大．解法三：由解法一可知d ＝－a1.要使Sn 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧an≥0，an ＋1≤0， 即错误!解得6.5≤n≤7.5，故当n ＝7时，Sn 最大．解法四：由S3＝S11，可得2a1＋13d ＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11可知d<0，所以a7>0，a8<0，所以当n ＝7时，Sn 最大．答题启示 求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使an≥0(an≤0)成立时最大的n 值即可．一般地，等差数列{an}中，若a1>0，且Sp ＝Sq(p≠q)，则：①若p ＋q 为偶数，则当n ＝时，Sn 最大；②若p ＋q 为奇数，则当n ＝或n ＝时，Sn 最大．跟踪训练(1)[2018·江西模拟]已知数列{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n 项和为Sn ，则使得Sn 达到最大的n 值是________．答案 20解析 a1＋a3＋a5＝105⇒a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，则{an}的公差d ＝33－35＝－2，a1＝a3－2d ＝39，Sn ＝－n2＋40n ，因此当Sn 取得最大值时，n ＝20.(2)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d ，前n 项和为Sn ，当且仅当n ＝8时Sn 取得最大值，则d 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78 解析 ∵当且仅当n ＝8时Sn 取得最大值，∴即解得－1<d<－.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．已知数列{an}为等差数列，其前n 项和为Sn ，若a3＝6，S3＝12，则公差d 等于( )A ．1 B. C ．2 D ．3答案 C解析 由已知得S3＝3a2＝12，即a2＝4，∴d＝a3－a2＝6－4＝2.故选C.2．[2018·宁德模拟]等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是( )A ．20B ．22C ．24D ．－8答案 C解析 因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.故选C.3．设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，若S8＝4a3，a7＝－2，则a9等于( )A ．－6B ．－4C ．－2D ．2答案 A解析 S8＝＝4(a3＋a6)．因为S8＝4a3，所以a6＝0.又a7＝－2，所以d ＝a7－a6＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.故选A.4．[2018·北京海淀期末]在等差数列{an}中，若a1＋a7＋a8＋a12＝12，则此数列的前13项之和为( )A．39 B．52 C．78 D．104答案A解析设数列的公差为d，则由a1＋a7＋a8＋a12＝12可得4a1＋24d＝12，即a1＋6d＝3，即a7＝3，故前13项之和为＝13a7＝39.故选A. 5．[2018·郑州预测]已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝10，且＝，则a2＝( )A．2 B．3 C．4 D．5答案A解析依题意得＝，a1a3＝5，a2＝＝2.故选A. 6．已知Sn表示等差数列{an}的前n项和，且＝，那么等于( )A. B. C. D.13答案A解析因为该数列是等差数列，所以S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15成等差数列，又因为＝，所以S10＝3S5，所以S10－S5＝2S5，所以S15－S10＝3S5，所以S15＝6S5，同理可求S20＝10S5，所以＝.故选A. 7．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率为( )A．4 B. C．－4 D．－14答案A解析由数列{an}是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点(n，an)，因此过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率即过点(4,15)，(7,27)的直线斜率，所以直线的斜率k＝＝4.故选A. 8．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n 项和最大．答案 8解析 ∵{an}为等差数列，∴a7＋a9＝2a8，∴a7＋a8＋a9＝3a8>0，即a8>0，又a7＋a10＝a8＋a9<0.∴a9<0，∴{an}为递减数列．又∵ S9＝S8＋a9<S8，S8＝S7＋a8>S7，∴当n ＝8时，{an}的前n 项和最大．9．[2018·金版创新题]已知数列{an}中，a3＝7，a7＝3，且是等差数列，则a10＝________.答案 73解析 设等差数列的公差为d ，则＝，＝.∵是等差数列，∴＝＋4d ，即＝＋4d ，解得d ＝，故＝＋7d ＝＋7×＝，解得a10＝.10．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d ＝________.答案 5解析 设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162. 又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝＝5.[B 级 知能提升]1．[2018·唐山统考]已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若S11＝22，则a3＋a7＋a8＝( )A ．18B ．12C ．9D ．6答案 D解析 设等差数列{an}的公差为d ，由题意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6.故选D. 2．[2018·洛阳统考]设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为( )A．6 B．7 C．12 D．13答案C解析∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，∴S12>0，S13<0，∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.故选C. 3．已知等差数列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－a＝0，S2n－1＝38，则n等于________．答案10解析∵2an＝an－1＋an＋1，又an－1＋an＋1－a＝0，∴2an－a＝0，即an(2－an)＝0.∵an≠0，∴an＝2.∴S2n－1＝2(2n－1)＝38，解得n＝10. 4．[2018·云南模拟]设数列{an}的前n项积为Tn，且Tn＋2an＝2(n∈N*)．(1)求证：数列是等差数列；(2)设bn＝(1－an)(1－an＋1)，求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)证明：∵Tn＋2an＝2，∴当n＝1时，T1＋2a1＝2，∴T1＝，即＝.又当n≥2时，Tn＝2－2×，得Tn·Tn－1＝2Tn－1－2Tn，∴－＝，∴数列是以为首项，为公差的等差数列．(2)由(1)知，数列为等差数列，∴＝＋(n－1)＝，∴an＝＝，∴bn＝(1－an)(1－an＋1)＝＝－，∴Sn＝＋＋…＋－＝－＝.5．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－2n＋1.(1)证明：数列是等差数列；(2)若不等式2n2－n－3<(5－λ)an对任意的n∈N*恒成立，求λ的取值范围．解(1)证明：当n＝1时，S1＝2a1－22，得a1＝4.Sn＝2an－2n＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2n，两式相减得an＝2an－2an－1－2n，即an＝2an－1＋2n，所以－＝－＝＋1－＝1，又＝2，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知＝n＋1，即an＝n·2n＋2n.因为an>0，所以不等式2n2－n－3<(5－λ)an，即(n＋1)(2n－3)<(5－λ)·2n(n＋1)等价于5－λ>.记bn＝，b1＝－，b2＝，当n≥2时，＝＝，则＝，即b3>b2，所以当n≥3时，<1，所以(bn)max＝b3＝，所以λ<.。

第二节 等差数列及其前n 项和【考纲下载】1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)．2．等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2.4．等差数列的前n 项和公式S n ＝na 1＋n n －12d ＝n a 1＋a n2.5．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，若m＋n＝2p，则a m＋a n＝2a p.(2)a m，a m＋k，a m＋2k，a m＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.(3)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列．1．已知等差数列{a n}的第m项为a m，公差为d，则其第n项a n能否用a m与d表示？提示：能，a n＝a m＋(n－m)d.2．等差数列前n项和公式的推导运用了什么方法？提示：倒序相加法．3．等差数列前n项和公式能否看成关于n的函数，该函数是否有最值？提示：当d≠0时，S n是关于n的且常数项为0的二次函数，则(n，S n)是二次函数图象上的一群孤立的点，由此可得：当d>0时，S n有最小值；当d<0时，S n有最大值．1．在等差数列{a n}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝( )A．12 B．14 C．16 D．18解析：选D ∵a2＝2，a3＝4，∴公差d＝a3－a2＝2.∴a10＝a2＋8d＝2＋2×8＝18.2．设{a n}为等差数列，公差d＝－2，S n为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝( ) A．18 B．20 C．22 D．24解析：选B ∵S10＝S11，∴a11＝0，即a1＋10d＝0.∴a1＝－10d＝20.3．已知{a n}是等差数列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，则该数列的公差是( ) A．4 B．14 C．－4 D．－14解析：选A ∵a2＝－8，a3＋a9＝4a5，∴(－8＋d)＋(－8＋7d)＝4(－8＋3d)，即16＝4d，∴d＝4.4．(2013·广东高考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 解析：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10，3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝20.答案：205．(2013·重庆高考)若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝________. 解析：设公差为d ，∵2，a ，b ，c,9成等差数列， ∴9－2＝4d ，∴d ＝74.又c －a ＝2d ，∴c －a ＝2×74＝72.答案：72数学思想(七)整体思想在等差数列中的应用利用整体思想解数学问题，就是从全局着眼，由整体入手，把一些彼此独立但实际上紧密联系的量作为一个整体考虑的方法．有不少等差数列题，其首项、公差无法确定或计算繁琐，对这类问题，若从整体考虑，往往可寻得简捷的解题途径．[典例] 设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n (m ≠n )，则它的前m ＋n 项的和S m ＋n ＝________.[解题指导] 可利用等差数列的前n 项和公式求解，也可利用等差数列前n 项和公式的性质求解．[解析] 法一：设{a n }的公差为d ， 则由S n ＝m ，S m ＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧S n＝na 1＋nn －12d ＝m ， ①S m ＝ma 1＋mm －12d ＝n . ②②－①，得(m －n )a 1＋m －nm ＋n －12·d ＝n －m ，∵m ≠n ，∴a 1＋m ＋n －12d ＝－1.∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋m ＋nm ＋n －12d＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋m ＋n －12d ＝－(m ＋n )．法二：设S n ＝An 2＋Bn (n ∈N *)，则⎩⎪⎨⎪⎧Am 2＋Bm ＝n ， ③An 2＋Bn ＝m ， ④③－④，得A (m 2－n 2)＋B (m －n )＝n －m . ∵m ≠n ，∴A (m ＋n )＋B ＝－1. ∴A (m ＋n )2＋B (m ＋n )＝－(m ＋n )， 即S m ＋n ＝－(m ＋n )． [答案] －(m ＋n )[题后悟道] 1.本题的两种解法都突出了整体思想，其中法一把a 1＋m ＋n －12d看成了一个整体，法二把A (m ＋n )＋B 看成了一个整体，解起来都很方便．2．整体思想是一种重要的解题方法和技巧，这就要求学生要熟练掌握公式，理解其结构特征．3．本题的易错点是不能正确运用整体思想的运算方法，不能建立数量间的关系，导致错误．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( )A ．7 B.23 C.278 D.214解析：选D ∵a 5＝a 1＋a 92，b 5＝b 1＋b 92，∴a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝9a 1＋a 929b 1＋b 92＝S 9T 9＝7×99＋3＝214.。

学习资料2022版高考数学一轮复习第五章数列第二讲等差数列及其前n项和学案（含解析）新人教版班级：科目：第二讲 等差数列及其前n 项和知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一 等差数列的有关概念（1）等差数列的定义如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的前一项的差等于__同一个常数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的__公差__，通常用字母__d __表示，定义的表达式为__a n ＋1－a n ＝d （n ∈N ＊)__。

（2）等差中项如果a ，A ，b 成等差数列, 那么__A __叫做a 与b 的等差中项且__A ＝错误!__。

（3）通项公式如果等差数列｛a n ｝的首项为a 1，公差为d ，那么通项公式为a n ＝__a 1＋(n －1)d __＝a m ＋（n －m ）d (n ，m ∈N ＊）．(4)前n 项和公式：S n ＝__na 1＋错误!d __＝__错误!__。

知识点二 等差数列的性质已知数列｛a n ｝是等差数列，S n 是其前n 项和．（1)若m 1＋m 2＋…＋m k ＝n 1＋n 2＋…＋n k ,则am 1＋am 2＋…＋am k ＝an 1＋an 2＋…＋an k .特别地，若m ＋n ＝p ＋q ,则a m ＋a n ＝__a p ＋a q __。

(2）a m ，a m ＋k ,a m ＋2k ,a m ＋3k ，…仍是等差数列,公差为__kd __.（3)数列S m ，S 2m －S m ,S 3m －S 2m ，…也是等差数列．(4）错误!为等差数列．（5)n 为奇数时，S n ＝na 中，S 奇＝__错误!__a 中，S 偶＝__n －12__a 中，∴S 奇－S 偶＝__a 中__. n 为偶数时，S 偶－S 奇＝错误!.（6）数列{a n },{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列｛pa n ｝，{a n ＋p ｝，｛pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1,pd 1＋qd 2。