二倍角1

第5课时 二倍角公式（一）教学目标掌握二倍角的正弦、余弦公式的推导过程；会利用二倍角的正弦、余弦公式进行三角函数计算；广义理解“二倍角”的含义；能够对新角的范围进行估计.教学过程学生互动求值：22cos 22.5sin 22.5︒-︒.（设计意图：学生经过分析，发现可以利用余弦公式，转化为cos 45︒，并且发现此时余弦公式中的αβ=，自行推导出二倍角的余弦公式，再推导出二倍角的正弦公式.）探究由cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，令αβ=，得cos()cos cos sin sin αααααα+=-，即 22cos 2cos sin ααα=-同理，由sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，得sin 22sin cos ααα=我们把22cos 2cos sin ααα=-称为二倍角的余弦公式，把sin 22sin cos ααα=称为二倍角的正弦公式.二倍角的含义就是公式中涉及到的角是两倍的关系.数学公式二倍角的余弦公式 22cos 2cos sin ααα=-注：根据22sin cos 1+=得，2cos 22cos 1αα=-或者2cos 212sin αα=-.二倍角的正弦公式 sin 22sin cos ααα=数学例题例1 求下列各式的值（1）sin 22.5cos22.5︒︒；（2）212sin 75-︒；（3）2cos 22.5︒.解 （1）2sin 22.5cos 22.5sin 452︒︒=︒=所以sin 22.5cos 22.5︒︒=（2）212sin 75cos1502-︒=︒=-（3）由2cos 452cos 22.51︒=︒-得21cos 452cos 22.524+︒︒== （设计意图：（2）可以用来推导出2cos 22cos 1αα=-以及2cos 212sin αα=-，然而，公式也可能给学生造成负担，容易混淆.对于（2），由于和三角函数相关，这里面有一个非常重要的应用，即1的应用.对于（3），可以给学生分析利用二倍角公式来处理非特殊角，发现二倍角公式可以把角变大或变小，即考虑非特殊角的二倍关系.）例2 已知3sin 5α=，(,)2παπ∈，求sin 2cos 2,tan 2ααα，的值. 解 由3sin 5α=，(,)2παπ∈，得 4cos 5α=- 24sin 22sin cos 25ααα==- 227cos 2cos sin 25ααα=-= sin 224tan 2cos 27ααα==- 变式 若已知tan 2α=，求tan 2α的值. （预设：对于222sin cos cos sin αααα-的处理，学生可能想不到从“齐次”的角度考虑，因此从已知条件入手比较自然.）解 由tan 2α=得，sin 2cos αα= 即sin 2cos αα=22sin 22sin cos tan 2cos 2cos sin ααααααα==-43=-【结论】仿照二倍角的正弦、余弦公式的推导过程，二倍角的正切公式tan 2α=22t a n 1t a n αα-例3 已知4sin 2,(,)542ππαα=∈，求sin 4,cos 4αα的值. （预设：学生可能都想往α的角度去尝试，此时教师引导2,4αα也是二倍角关系，因此就可以用二倍角关系，让学生对二倍角有一个更深刻的了解，而不是拘泥于形式.）解 因为(,)42ππα∈，所以2(,)2παπ∈，则3cos 25α=- 24sin 42sin 2cos 225ααα==- 227cos 4cos 2sin 225ααα=-=- 随堂训练1．不用计算器，求下列各式的值：（1）2sin6730cos6730''︒︒（2）22cos 112π- （3）21cos 22.5-︒解 （1）12sin 6730cos6730sin1502''︒︒=︒=注：160'︒=（2）22cos 1cos 126ππ-== （3）221cos 22.5sin 22.5-︒=︒1cos 452-︒=24=2．5cos ,(8,12)813ααππ=-∈，求sin ,cos ,tan 444ααα的值. 解 因为(8,12)αππ∈，所以3(,)82αππ∈，则12sin 813α=- sin sin(2)2sin cos 4888απππ=⨯=120169= 22cos cos(2)cos sin 4888απππ=⨯=-119169=- 所以120tan 4119α=- 课堂小结学习二倍角公式，为我们计算角又提供了一种方法，那就是考虑二倍角.但一个原则不变，向特殊角方向靠.课后作业P练习2 书10。