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线段的垂直平分线复习巩固【知识要点】线段垂直平分线的性质与判定： （1）垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．； （2）性质定理：线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等；（3）线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； （4）三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。
专题一 线段的垂直平分线与等腰三角形等的综合应用1. 如图，在ABC ∆中，AB =AC ，36A ∠=︒，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，交AB 于E ，下述结论错误的是（ ）A ．BD 平分ABC ∠ B. BCD ∆的周长等于AB +BC C. AD =BD =BC D. 点D 是线段AC 的中点2. 如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，BC =3， AB =6，∠BCA =90°，在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，求DE 的长度。
3. 如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB =75º，以CD 为一边的等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上．（1）求∠AED 的度数；（2）求证：AB =BC ；（3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC =30º．求 DFFC的值．ABCDE F图2A BCDE 图1角平分线复习巩固【知识要点】角平分线的性质与判定：（1）性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；（2）角平分线逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；（3）三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
专题一角平分线性质及判定定理的应用1.（2011，岳阳）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为．2.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°, BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，若AC=9，则AE的值是（）A．B．C．6 D．43.如图，1l，2l，3l是三条公路线，且2l//3l，现在决定在区域内建立一个公路维修站，要求到三条公路的距离相等，请问维修站应该建立在何处，共有几处？请画出图形.4.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，求△EDF的面积。
八年级数学《线段垂直平分线角平分线》知识点1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1；∵ CD ⊥AB ；且AD ＝BD∴ AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2；∵ AC ＝BC∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点；并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形；则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形；则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形；则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之；也成立。
4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.图1图2定理的数学表示：如图4；∵ OE 是∠AOB 的平分线；F 是OE 上一点；且CF ⊥OA 于点C ；DF ⊥OB 于点D ； ∴ CF ＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形；它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5；∵点P 在∠AOB 的内部；且PC ⊥OA 于C ；PD ⊥OB 于D ；且PC ＝PD ； ∴点P 在∠AOB 的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点；并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6；如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线；那么：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ；则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.图4。
第二节线段的垂直平分线与角平分线知识点1 线段的垂直平分线的判定与性质1.垂直平分线：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，就叫这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
这就是垂直平分线的定义（多媒体展示定义）。
几何语言：∵MN是AA′的垂直平分线∴AP=PA′(即点P是AA'的中点)∠MPA= ∠MPA′=90°2.线段的垂直平分线的性质a)线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。
b)数学语言：∵l⊥AB，AC=BC，且点P在l上∴PA=PB3.尺规法画垂直平分线。
分别以点A和点B为圆心，大于½AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线CD即为所求。
4.三角形的外心（1）对任意一个三角形，其三条边的垂直平分线必交于一点，这个点叫做这个三角形的外心。
外心到三角形各个顶点的距离相等。
（2）三角形的外心任意一个三角形三条边的垂直平分线必交于一点，这个点叫做这个三角形的外心。
外心到三角形各个顶点的距离相等。
例1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（）A．3 B．6 C．12 D．16例2.作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．例3.如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，若∠A ＝50°，∠DCB ＝2∠ACD ，则∠B 的度数为（ ）A ．26°B ．36°C ．52°D ．45°知识点2 角的平分线的判定与性质1.作法：(1)以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N.(2) 分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部相交于点C. (3) 画射线OC.射线OC 即为所求．2.角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．3. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．例1.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于21MN 长为半径画弧，两弧交于点O ，作射线AO ，交BC 于点E ．已知CE ＝3，BE ＝5，则AC 的长为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5 例2.如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ．若DE ＝1，则BC 的长为（ ）A ．2+2B ．2+3C ．2+3D ．3。
线段的垂直平分线与角平分线复习(1)知识点1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.知识点2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.知识点3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线相交于一点,,i j k ,,i j k O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cm D ．12cm针对性练习：已知1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。
八年级数学《线段垂直平分线角平分线》知识点全新(总3页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除八年级数学《线段的垂直平分线与角平分线》知识点1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD∴ AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。
4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.图1图2定理的数学表示：如图4，∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ， ∴ CF ＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的数学表示：如图5，∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ，∴点P 在∠AOB 的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.图47、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.1.生活如意，事业高升。
线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：定理的数学表示：定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm针对性练习：已知：1、如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=2、如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3、如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28度，那么∠EBC 是m图1DABCE BD A2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：定理的数学表示：定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分上.例2.如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90C ，︒=∠30A ，BD 平分ABC ∠交AC 于D .求证：D 在AB 的垂直平分线上.针对性练习：已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC 求证：点O 在BC 的垂直平分线例3、如图8，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，且∠C ＝2∠B ， 求证：BD ＝AC ＋CD.证明：例4．如图，已知：AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD ，交BC 延长线于F ，连结AF 。
求证：CAF B ∠=∠。
m图2DABCCD AA CON3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：定理的数学表示：定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：课堂练习：1.如图，AC =AD ，BC =BD ，则（ ） A.CD 垂直平分AD B.AB 垂直平分CDC.CD 平分∠ACBD.以上结论均不对2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.下列命题中正确的命题有（ ）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等； ②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等； ③经过线段中点的直线只有一条；④点P 在线段AB 外且PA =PB ，过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.已知如图，在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ， 求证：AO ⊥B C.5.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N . 求证：CM =2BM .jik图3O B CA线段的垂直平分线与角平分线（2）知识要点详解4、角平分线的性质定理：定理的数学表示：定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：定理的数学表示：定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.经典例题：例1：已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC ，P 为∠A 内一点，PB=PC PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E 、F 。
线段的垂直平分线与角平分线线段是几何学中非常基础的概念之一，而线段的垂直平分线与角平分线则是与线段相关的两个重要概念。
本文将详细介绍线段的垂直平分线和角平分线的定义、性质以及应用。
一、线段的垂直平分线线段的垂直平分线是指将一条线段平分，并与该线段垂直的线。
具体来说，对于给定的线段AB，如果存在一条线段CD，满足以下条件：1. 线段CD的长度等于线段AB的长度；2. 线段CD与线段AB垂直。
那么线段CD就是线段AB的垂直平分线。
线段的垂直平分线有以下几个重要性质：1. 垂直平分线与线段的中点相交；2. 垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等；3. 线段的垂直平分线唯一存在，且与线段垂直。
应用举例：在建筑设计中，垂直平分线可以用来确定一个长方形或正方形的中心位置，帮助确定对称的放置家具或装饰品等物品。
二、线段的角平分线线段的角平分线是指将一条角平分成两个相等的角，并且该线段在原角的内部。
具体来说，对于给定的角AOB，如果存在一条线段OC，满足以下条件：1. 线段OC与线段OB和线段OA的夹角相等；2. 线段OC将角AOB平分。
那么线段OC就是角AOB的角平分线。
线段的角平分线有以下几个重要性质：1. 角的角平分线可以将角平分成两个相等的角；2. 角的角平分线唯一存在。
应用举例：在几何证明或构造中，角平分线的性质被广泛应用。
例如，在正方形中，线段的角平分线即为正方形的对角线，利用这一性质可以证明正方形的对角线互相垂直且平分彼此。
总结：线段的垂直平分线与角平分线都是线段在几何中的重要应用。
垂直平分线可用于确定线段的中点和建筑设计中的对称性；角平分线可用于证明和构造多边形等几何图形。
了解并掌握线段的垂直平分线和角平分线的性质对于解决几何问题以及理解几何学的基本概念和定理都具有重要意义。
通过本文的介绍，相信读者对线段的垂直平分线与角平分线有了更加深入的了解，希望对读者在学习和应用几何学知识时能够提供帮助。
