哈尔滨师范大学附属中学2020~2021学年高二上学期开学考试数学(理科)试卷及答案

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考数学试题（理科）第I 卷 (选择题 共 60 分)一、 选择题(本大题共 12个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则m =（ ）A ．4 B. 3 C.52D. 22.圆221:(2)(2)1C x y ++-=与圆222:(2)(5)16C x y -+-=的位置关系是（ ）A. 外离B. 相交C. 内切D. 外切3.椭圆221259x y +=与221(09)925x y k k k+=<<--的关系是（ ） A. 有相同的长轴长和短轴长 B. 有相等的焦距 C. 有相同的焦点D. 有相同的顶点4.如果实数,x y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2z x y =-的最大值为（ ）A.2B.1C.2-D.3-5.点(2,1)P 关于直线+10x y -=的对称点坐标为（ ）A. 3(0,)2-B. (1,0)-C.(0,1)-D. 3(,0)2-6．已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,2,13ABC AB BC CC π∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）AB.15D . 7.若椭圆221164x y +=的弦AB 被点(1,1)M 平分，则AB 所在直线方程为（ ） A.450x y -+=B.450x y +-=C.450x y -+=D. 450x y +-=8.一个动圆与圆221:(3)1C x y ++=外切，与圆22:(3)81C x y +-=内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（ ）A. 2212516y x += B. 2212516x y +=C. 221169y x += D. 221169x y +=9.过点(1,P -作圆22:1O x y +=的两条切线,切点分别为A 和B ，则弦长||AB =（ ）B. 2D. 410.已知斜率为1的直线过椭圆22184y x +=的下焦点，交椭圆于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积是（ ）A ．B. 8C. 4D.8311.长方体1111ABCD A B C D -的外接球表面积为9π，2AB AD ==，则点B 到平面1D AC 的距离等于（ ）12. 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x C ：的右焦点为)0,(c F ,上顶点为),0(b A ,直线ca x 2=上存在一点P 满足⋅-=⋅,则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. )1,21[B.)1,22[C.)1,215[- D.]220，（ 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确答案填在题中横线上)13.已知点(,)M x y 是平面区域1024000x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩内的动点，则22(1)(1)x y +++的最大值为 ．14.过(2,2)P 作圆22:(1)1C x y -+=的切线，则其切线方程为 .15.已知椭圆2213x y +=上动点为M ，则点M 到直线80x y --=：的距离的最小值为 .16.已知椭圆12622=+y x C ：的左、右焦点分别为,,21F F 过2F 的通径AB （过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则1ABF ∆的内切圆方程为 .三、解答题(本大题共 6个小题，共70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题 10 分）已知直线0103:1=+-y x 与 082:2=-+y x 相交于点A ，点O 为坐标原点，P 为线段OA 的中点． （1）求点P 的坐标；（2）过点P 作直线 垂直于直线1，求直线的方程.18.（本小题12分） 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过)1,0(),2,3(),4,3(R Q P -三点． （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线0=+-a y x 交于B A ,两点，且CB CA ⊥，求a 的值．19. （本小题12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是直角梯形，90,//DAB AD BC ∠=︒，,AD PAB PAB ⊥∆侧面是等边三角形，2==AB DA ，AD BC 21=，E 是线段AB 的中点． （1）求证：PE ABCD ⊥平面；（2）求直线PC 与平面PDE 所成角的正弦值．20. （本小题12分） 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，已知,2,1AB BC AC AB AA ===ABC AA 平面⊥1，点Q M ,分别是1,CC BC 的中点，点P 是棱11B A 上的任一点．（1）求证：MP AQ ⊥；（2）若平面11A ACC 与平面AMP 所成的锐角为θ，且32cos =θ，试确定点P 在棱11B A 上的位置，并说明理由．21.（本小题12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点为)0,(c F -，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆 4222b y x =+截得的线段的长为c ，334||=FM ．（1）求直线FM 的斜率； （2）求椭圆的方程．22.（本小题12分） 已知椭圆 C:)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，左、右焦点分别为21,F F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线02=+-y x 相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设Q 为椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，过点2F 作OQ 的平行线交椭圆C 与N M ,两个不同的点，记M QF 2∆的面积为1S ，N OF 2∆的面积为2S ，令21S S S +=，求S 的最大值．2020-2021学年度高二上学期第一次月考数学答案（理科）1-5DDBBC6-10ABAAD 11.12CC13.13 14.2x =或3420x y -+= 15. 16.94)34(22=+-y x 17.（1） 因为直线 l 1:x −3y +10=0 与 l 2:2x +y −8=0 相交于点 A ， 解方程组 {x −3y +10=0,2x +y −8=0,得 {x =2,y =4, 所以 A (2,4)．因为 O (0,0)，P 为线段 OA 中点，故由中点坐标公式求得 P (1,2)． （2） 当 l ⊥l 1时，直线 l 的斜率为3-，因为直线 l 过 P (1,2)， 所以直线 l 的方程：)1(32--=-x y 故 l:3x +y −5=0．18.（1）因为圆 C 的圆心在线段 PQ 的直平分线上，所以可设圆 C 的圆心为 (t ，1)， 则有 (t −3)2+(1−4)2=t 2+(1−1)2，解得 t =3． 则圆 C 的半径为 √32+(1−1)2=3． 所以圆 C 的方程为 (x −3)2+(y −1)2=9．（2）可知ACB ∆为等腰直角三角形，点C 到直线AB 距离3sin 45d =︒=解得15a =-或.19.解：（1） 因为 AD ⊥侧面PAB ，PC ⊂平面PAB ，所以 AD ⊥PE ， 又因为 △PAB 是等边三角形，E 是线段 AB 的中点，所以 PE ⊥AB ， 因为 AD ∩AB =A ，所以 PE ⊥平面ABCD ．（2）以 E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 E −xyz ， 则 E (0,0,0)，C (1,−1,0)，D (2,1,0)，P(0,0,√3)， ED⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,0)，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,−√3)， 设 n ⃗ =(x,y,z ) 为平面 PDE 的法向量， 由 {n ⃗ ⋅ED⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅EP⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 即 {2x +y =0,√3z =0. 令 x =1，可得 n ⃗ =(1,−2,0)，设 PC 与平面 PDE 所成的角为 θ，sinθ=∣∣cos⟨PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩∣∣=∣∣PC ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗ ∣∣∣∣PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣n ⃗ ∣∣=35， 所以 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值为 35．20.解：（1） 由已知得：AB 2+AC 2=BC 2，所以 AB ⊥AC ， 又 AA 1⊥平面ABC ，所以 AA 1，AB ，AC 两两垂直． 如图所示以 A 为原点，分别以 AB ，AC ，AA 1 所在直线为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设 AB =1，则 A (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,0,0)，M (12,12,0)，Q (0,1,12)．设 P (x 0,0,1)(0≤x 0≤1)． AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,12)，MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−12,−12,1)，因为 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0×(x 0−12)+1×(−12)+12×1=0， 所以 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故 AQ ⊥MP ． （2） 由已知得，AB ⊥平面ACC 1A 1，所以平面 ACC 1A 1 的一个法向量为 n ⃗ 1=(1,0,0)．又 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,12,0)，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,0,1)． 设平面 AMP 的一个法向量为 n ⃗ 2=(x,y,z )，则 {AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 2=0AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 2=0, 即 {12x +12y =0,x 0x +z =0,令 x =1，则 y =−1，z =−x 0．所以平面 AMP 的一个法向量为 n ⃗ 2=(1,−1,−x 0) 又 cos <n ⃗ 1,n ⃗ 2>=n ⃗ 1⋅n ⃗ 2∣n ⃗ 1∣⋅∣n ⃗ 2∣=11×√2+x 0，因为平面ACC1A1与平面AMP所成的锐二面角为θ，且cosθ=23，所以1×√2+x0=23，解得：x0=12，所以点P坐标为(12,0,1)，故P为棱A1B1的中点．21.解：（1）设FM:y=k(x+c)，O到直线FM的距离为√1+k2，因为直线FM被圆x2+y2=b2 4截得的线段的长为c，所以2√b24−(√1+k2)2=c，又e=ca =√33，a2=b2+c2，a2=3c2，b2=2c2，解得k=√33．（2）设M(x0,y0)，x0>0，y0>0，则x023c2+y022c2=1，又因为y0=√33(x0+c)，且FM=√(x0+c)2+y02=4√33，解得c=1，c=3（舍）．所以椭圆的方程为x 23+y22=1．22.（1）由题意知e=ca =√22，所以e2=c2a2=a2−b2a2=12，即a2=2b2，又以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆为x2+y2=b2，且与直线x−y+2=0相切，所以b=2()2=√2，a2=2b2=4故椭圆C的标准方程为x 24+y22=1．（2）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线OQ:x=my，则直线MN:x=my+√2，由 {x =my +√2x 24+y 22=1 得 (m 2+2)y 2+2√2my −2=0，y 1+y 2=−2√2m m 2+2，y 1y 2=−2m 2+2．所以∣MN ∣=√m 2+1∣y 2−y 2∣=√m 2+1√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√m 2+1√(−2√2m m 2+2)−4(−2m 2+2)=4(m 2+1)m 2+2， 因为 MN ∥OQ ，所以 △QF 2M 的面积等于 △OF 2M 的面积，S =S 1+S 2=S △OMN ， 因为点 O 到直线 MN:x =my +√2 的距离 d =√2√m 2+1， 所以 S =12∣MN ∣⋅d =12×4(m 2+1)m 2+2×√2√m 2+1=2√2×√m 2+1m 2+2令 √m 2+1=t ，则 m 2=t 2−1(t ≥1)，S =2√2tt +1=2√2t+1t，因为 t +1t≥2√t ⋅1t=2(当且仅当t =1t,即t =1,也即m =0时取等号)， 所以当 m =0 时，取得最大值 √2．。

黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校【最新】高二上学期开学考试（8月）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线l 经过()2,1A ，()1,3B -两点，则直线l 的斜率为 A ．32-B ．32C ．23-D ．232．不等式24430x x --≤的解集是 A ．13,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．31,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 3．在数列{}n a 中，11a =，1221n n a a -=-（2n ≥，*n N ∈），则4a = A ．211B ．23C ．2D ．64．已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,AB C 的对边,若45,30B C =︒=︒则a =( ) A．4B．2C．4D ．25．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．43B ．53C ．73D ．526．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，145DAD ∠=，130CDC ∠=，那么异面直线1AD 与1DC 所成角的余弦值是（ ）A．4BC．4D．87．直线l ：210mx y m +--=与圆C ：22(2)4x y +-=交于A ，B 两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为 A ．2430x y -+= B ．430x y -+= C ．2430x y ++=D ．2410x y ++=8．在平面直角坐标系xOy 内，经过点(2,3)P 的直线分别与x 轴、y 轴的正半轴交于,A B 两点，则OAB ∆面积最小值为( ) A ．4B ．8C ．12D ．169．已知等差数列{}n a 的前n 项和为45,4,15n S a S ==，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前2019项和为（ ） A ．20182019B ．20182020C ．20192020D ．2017201910．设,x y 满足约束条件321104150250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．1011．正数,a b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[3,)+∞B ．(,3]-∞C ．(,6]-∞D ．[6,)+∞12．对于数列{}n a ，定义1122...2n nn a a a H n-+++=为{}n a 的“优值”，现已知某数列的“优值”2nn H =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20192019S =（ ） A ．2022 B ．1011 C ．2020D ．1010二、填空题13．点(3,4)A -与点(1,8)B -关于直线l 对称，则直线l 的方程为______． 14．已知三棱锥S ABC -（如图所示），SA ⊥平面ABC ，6AB =，8BC =，10AC SA ==，则此三棱锥的外接球的表面积为______．15．圆224x y +=与直线20x y +-=相交于A ，B 两点，则弦AB =_______． 16．已知四棱锥S ABCD -的正方形，且四棱锥S ABCD -的顶点都在半径为2的球面上，则四棱锥S ABCD -体积的最大值为__________.三、解答题17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足：()2222sin sin bc a C c B +-=.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若1a =，求b c +的最大值.18．在正项等比数列{n a }中，11a =且3542,,3a a a 成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列{n b }满足n nnb a =，求数列{n b }的前n 项和n S ． 19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB =2CDPD =2，PC CD ∥AB ，PD ⊥BC ，E ，F 分别为棱AB ，PB 的中点．（1）证明：PD ⊥平面ABCD ．（2）证明：平面P AD ∥平面CEF ． 20．已知圆O ：x 2+y 2=2，直线l ：y =kx -2. （1）若直线l 与圆O 相切，求k 的值；（2）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB 为锐角时，求k 的取值范围； 21．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，AC CD ⊥，60ABC ∠=︒，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（1）求证：CD AE ⊥； （2）求证：PD ⊥面ABE ； （3）求二面角E-AB-C 的正切值．22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =-，*n N ∈，数列{}n b 满足()()111n n nb n b n n +-+=+，*n N ∈，且11b =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求数列{}n b 的通项公式；（3）若n n c a =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，对任意的*n N ∈，都有n n T nS a ≤-，求实数a 的取值范围.参考答案1．C 【分析】由两点法求斜率的公式2121y y k x x -=-可直接计算斜率值．【详解】直线l 经过()2,1A ，()1,3B -两点，∴直线l 的斜率为312123-=---.【点睛】本题考查用两点法求直线斜率，属于基础题． 2．B 【分析】因式分解不等式，可直接求得其解集． 【详解】24430x x --≤，∴()()23210x x -+≤，解得1322x -≤≤. 【点睛】本题考查求不等式解集，属于基础题． 3．D 【分析】将11a =代入递推公式可得2a ，同理可得出3a 和4a ． 【详解】11a =，1221n n a a -=-（2n ≥，*n N ∈），∴212221a a ==-，∴3222213a a ==-，则432621a a ==-.【点睛】本题用将1a 的值直接代入递推公式的方法求某一项，适用于所求项数低的题目，若求项数较高则需要求数列通项公式． 4．D 【分析】由已知利用正弦定理可求c的值，根据余弦定理可得210a +-=，解方程可得a 的值． 【详解】45B =︒，30C =︒，b =∴由正弦定理sin sin b c B C=，可得：12sin 1sin b C c B ===，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得：210a -=，解得：a =，负值舍去． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题． 5．A 【分析】该空间几何体是由具有相同底面和高的三棱柱和三棱锥组合而成，分别求出体积即可. 【详解】该空间几何体是由具有相同底面和高的三棱柱和三棱锥组合而成，底面三角形的面积为12112S =⨯⨯=，三棱柱和三棱锥的高为1，则三棱柱的体积1111V =⨯=，三棱锥的体积为2111133V =⨯⨯=，故该几何体的体积为14133V =+=. 故选A. 【点睛】本题考查了空间组合体的三视图，考查了学生的空间想象能力，属于基础题. 6．A 【分析】可证得四边形11ADC B 为平行四边形，得到11//AB C D ，将所求的异面直线所成角转化为11B AD ∠；假设11DD CC a ==，根据角度关系可求得11AB D ∆的三边长，利用余弦定理可求得余弦值.【详解】 连接1AB ，11B D11//AD B C ∴四边形11ADC B 为平行四边形 11//AB C D ∴ ∴异面直线1AD 与1DC 所成角即为1AD 与1AB 所成角，即11B AD ∠设11DD CC a ==145DAD ∠=，130C DC ∠= AD a ∴=，CD =1AD ∴=，12AB a =，112B D a =在11AB D ∆中，由余弦定理得：22222211111111cos 2AB AD B D B AD AB AD +-∠===⋅ ∴异面直线1AD 与1DC本题正确选项：A 【点睛】本题考查异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行关系将问题转化为相交直线所成角，在三角形中利用余弦定理求得余弦值. 7．A 【分析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB 最短时直线l 的方程. 【详解】由题得1210(21)(1)0,,2101x x m x y y y ⎧-==⎧⎪-+-=∴∴⎨⎨-=⎩⎪=⎩，所以直线l 过定点P 112（，）. 当CP ⊥l 时，弦AB 最短. 由题得2112,1202CP l k k -==-∴=-, 所以112,24m m -=∴=-. 所以直线l 的方程为2430x y -+=. 故选A 【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8．C 【分析】设出直线方程，代入定点得到231a b+=,再利用均值不等式得到三角形面积的最小值. 【详解】解:由题意设直线方程为1(0,0)x y a b a b +=>> ,231a b∴+= .由基本不等式知23a b +≥, 即24ab ≥ (当且仅当23a b= ,即4,6a b == 时等号成立). 又11241222S a b =⋅≥⨯= 答案为C 【点睛】本题考查了直线截距式方程，利用均值不等式求最大最小值是常考题型. 9．C 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由44a =，515S =，可得134a d +=，1545152a d ⨯+=，联立解得1a ，d ，可得n a ．利用裂项求和方法即可得出． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，44a =，515S =，134a d ∴+=，1545152a d ⨯+=， 联立解得：11a d ==，11n a n n ∴=+-=． ∴11111(1)1+==-++n n a a n n n n ． 则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2019项和1111112019112232019202020202020=-+-+⋯⋯+-=-=． 故选C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题． 10．B 【分析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解 【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得y x z =-+，当取到点(3,1)A 时得到最小值，即314z =+=故选B【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法 11．D 【分析】先求+a b 最小值，再根据一元二次不等式恒成立列式求结果. 【详解】191991()()101016a a b a b a b a b a b b +=∴+=++=++≥+= 当且仅当9,4,12aa ab b b===时取等号 因此不等式241186x x m ≥-++-对任意实数x 恒成立，即2420x x m --+≤对任意实数x 恒成立，所以164(2)06m m ∆=--+≤∴≥ 故选：D 【点睛】本题考查基本不等式求最值、一元二次不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题. 12．B 【分析】由题意，根据1122...22n n n n a a a H n-+++==，得到1122...22n nn a a a n -+++=⋅，进而求得211212...2(1)2n n n a a a n ---+++=-⋅，作差即可求解.【详解】由1122...22n n nn a a a H n-+++==，得1122...22n nn a a a n -+++=⋅， ①211212...2(1)2n n n a a a n ---+++=-⋅， ②①-②得11122(1)2(1)2n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即1n a n =+，(3)2n n n S +=，所以201910112019S =.故选B. 【点睛】本题主要考查了数列的新定义的应用，以及数列知识的综合应用，其中解答中根据新定义，化简得1122...22n nn a a a n -+++=⋅，进而得211212...2(1)2n n n a a a n ---+++=-⋅ ，新作差化简、运算是解答的关键，同时此类问题需要认真审题，合理利用新定义是解答此类问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 13．350x y -+= 【分析】根据A 和B 关于直线l 对称可得直线AB 和直线l 垂直且AB 中点在直线l 上，从而可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得直线方程. 【详解】由()3,4A -，()1,8B -得：84313AB k +==---且AB 中点M 坐标为()1,2 A 和B 关于直线l 对称 1AB l k k ∴⋅=-且M 在l 上 13l k ∴=l ∴的方程为：()1213y x -=-，即：350x y -+=本题正确结果：350x y -+= 【点睛】本题考查根据两点关于直线对称求解直线方程的问题，关键是明确两点关于直线对称则连线与对称轴垂直，且中点必在对称轴上，属于常考题型. 14．200π 【分析】由于图形特殊，可将图形补成长方体，从而求长方体的外接球表面积即为所求. 【详解】6AB =，8BC =，10AC =，AB BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，将三棱锥补形为如图的长方体，则长方体的对角线2SC R ==，则200S π=球【点睛】本题主要考查外接球的相关计算，将图形补成长方体是解决本题的关键，意在考查学生的划归能力及空间想象能力.15．【分析】先求出圆心到直线的距离，再解直角三角形求解. 【详解】由题得圆心到直线的距离为d =所以|AB|==故答案为【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查弦长公式的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 16．6. 【分析】四棱锥的底面面积已经恒定，只有高不确定，只有当定点的射影为正方形ABCD 的中心M 时，高最大，从而使得体积最大.则利用球体的性质，求出高的最大值，即可求出最大体积. 【详解】因为球心O 在平面ABCD 的射影为正方形ABCD 的中心M ，，12AC MC AC ∴===则在Rt OMC ∆中，1,OM ==所以四棱锥S ABCD -的高的最大值为OM R +=3，此时四棱锥S ABCD -体积的为21363⨯⨯=【点睛】主要考查了空间几何体体积最值问题，属于中档题.这类型题主要有两个方向的解决思路，一方面可以从几何体的性质出发，寻找最值的先决条件，从而求出最值；另一方面运用函数的思想，通过建立关于体积的函数，求出其最值，即可得到体积的最值. 17．（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）2.【分析】（Ⅰ）运用正弦定理实现角边转化，然后利用余弦定理，求出角A 的大小；（Ⅱ）方法1：由（II ）及=1a ，利用余弦定理，可得2()31b c bc +=+，再利用基本不等式，可求出b c +的最大值；方法2：利用正弦定理实现边角转化，利用两角和的正弦公式和辅助角公式，利用正弦型函数的单调性，可求出b c +的最大值； 【详解】（I ）由正弦定理得：()2222b c ac c b +-=，因为0c ≠，所以222b c a bc +-=，所以由余弦定理得：2221cos 22b c a A bc +-==， 又在ABC ∆中，0A π<<， 所以3A π=.（II ）方法1：由（I ）及=1a ，得221b c bc +=+，即2()31b c bc +=+，因为22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，（当且仅当=b c 时等号成立） 所以223()()14b c b c +≤++. 则2b c +≤（当且仅当==1b c 时等号成立） 故b c +的最大值为2.方法2：由正弦定理得b B =，c C =，则2sin sin 2sin 336b c B B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5666B πππ<+<， 故b c +的最大值为2（当3B π=时）.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式，考查了二角和的正弦公式及辅助角公式，考查了数学运算能力. 18．（1）12n n a ；（2）1242n n n S -+=-. 【分析】（1）根据已知条件11a =且3542,,3a a a 可解得公比，再代入通项公式即可得到； （2）利用错位相减法可求得n S . 【详解】（1）设正项等比数列{a n }的公比为q (0)q >，∵53412231a a a a =+⎧⎨=⎩∴42311112231a a a a q q q ⎧=+⎨=⎩，所以22320q q --= ∴q ＝2，12q =-(舍去) 所以1112n n n a a q --==；（2）∵12n n n n n b a -==， ∴01211232222n n n S -++++=，① 121112122222n n n n nS --=++++，② ①﹣②得211111122222n n n n S -=++++-＝112112n --=12212222n n nnn +⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，∴1242n n n S -+=-. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的求法，考查了等差中项，考查了利用错位相减法求和，本题属于基础题.19．（1）证明见解析（2）证明见解析 【分析】（1）由CD 2+PD 2＝PC 2，可得PD ⊥DC ．即可证明PD ⊥平面ABCD ；（2）只需证明CE ∥平面P AD ，EF ∥平面P AD ．即可证明平面P AD ∥平面CEF ． 【详解】（1）因为CD =PD =2，PC = 所以CD 2+PD 2=PC 2， 所以PD ⊥DC ．因为PD ⊥BC ，DC ∩BC =C ，所以PD ⊥平面ABCD ． （2）因为E 为棱AB 的中点，所以AE 12AB =． 因为AB =2CD ，所以AE =CD ， 因为CD ∥AB ，所以AE ∥CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形，所以CE ∥AD ，所以CE ∥平面P AD ． 因为E ，F 分别为棱AB ，PB 的中点， 所以EF ∥P A ，所以EF ∥平面P AD ．因为CE ∩EF =E ，CE ⊂平面CEF ，EF ⊂平面CEF ， 所以平面P AD ∥平面CEF ．【点睛】本题考查线面垂直的判定、面面平行的判定，考查逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题.20．（1）±1；（2）(1)-⋃. 【分析】（1）根据圆心到切线距离等于半径列式，解得k 的值；（2）先联立直线方程与圆方程，结合韦达定理，利用向量数量积列不等式，解得k 的取值范围. 【详解】解：（1）∵圆O ：x 2+y 2=2，直线l ：y =kx -2.直线l 与圆O 相切， ∴圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径r，即d，解得k =±1.（2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），将直线l ：y =kx -2代入x 2+y 2=2，整理，得（1+k 2）x 2-4kx +2=0， ∴12241k x x k+=+，12221x x k =+，△=（-4k ）2-8（1+k 2）＞0，即k 2＞1， 当∠AOB 为锐角时，OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1-2）（kx 2-2）=()()212121-24k x x k x x +++ =22621k k-+＞0，解得k 2＜3， 又k 2＞1，∴1k -＜或1＜k. 故k 的取值范围为（1-）∪（1）. 【点睛】本题考查直线与圆位置关系、利用向量数量积研究夹角，考查基本分析求解能力，属基础题. 21．（1）见解析；（2）见解析；（3【分析】（1）根据线面垂直得到线线垂直；（2）由等腰三角形的性质得到AE PC ⊥，由（1）推得AE ⊥面PCD ，故AE PD ⊥，进而得到结果；（3）过点E 作EF ⊥AC ，垂足为F ．过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ．连结EG ，EFG ∠是二面角E AB C --的一个平面角，根据直角三角形的性质求解即可. .易知BA PD ⊥，故PD ⊥面ABE 【详解】（1）证明：∵PA ⊥底面ABCD ，CD PA ∴⊥ 又CD AC ⊥，PA AC A ⋂=，故CD ⊥面PACAE ⊆面PAC ，故CD AE ⊥（2）证明：PA AB BC ==，60ABC ∠=︒，故PA AC =E 是PC 的中点，故AE PC ⊥由（1）知CD AE ⊥，从而AE ⊥面PCD ，故AE PD ⊥ 易知BA PD ⊥，故PD ⊥面ABE（3）过点E 作EF ⊥AC ，垂足为F ．过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ．连结EG ∵PA ⊥AC, ∴PA//EF ∴EF ⊥底面ABCD 且F 是AC 中点 ∴故EFG ∠是二面角E AB C --的一个平面角． 设AC a =，则PA=BC=a ，EF=AF=2a从而FG=3sin604AF a =，故tan 3EF EFG FG ∠==．【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角．面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可． 22．（1）12n n a ；（2）证明见解析，2n b n =；（3）0a ≤.【分析】（1）当1n =时，11a =，当2n ≥时，21n n S a =-，-1-121n n S a =-，两式相减得12n n a a -=，可得{}n a 为等比数列，即可求出通项公式； （2）变形()()111n n nb n b n n +-+=+可得111n nb b n n+-=+，即可得证； （3）根据错位相减法即可求得12+1n n T n =-⋅（），化简n n T nS a ≤-可得21n a n ≤--，再根据数列的单调性求出21nn d n =--的最值，即可得解.【详解】（1）由题意，当1n =时，11121S a a =-=，所以11a =，当2n ≥时，21n n S a =-，-1-121n n S a =-，两式相减得12n n a a -=，又11a =，所以12nn a a -=， 从而数列{}n a 为首项11a =，公比2q的等比数列，从而数列{}n a 的通项公式为12n na .(2)由()()111n n nb n b n n +-+=+两边同除以()1n n +，得111n n b b n n +-=+，从而数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项11b =，公差1d =的等差数列，所以nb n n=，从而数列{}n b 的通项公式为2n b n =. （3）由（2）得12n n c a n -==⋅，于是()221112232122n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯， 所以()2312122232122n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，两式相减得211212222212nn nn n T n n ---=++++-⨯=-⨯-，所以12+1n n T n =-⋅（）， 由（1）得2121nn n S a =-=-，因为对*n N ∀∈，都有n n T nS a ≤-，即()12+121n n n n a -⋅≤--（）恒成立， 所以21n a n ≤--恒成立，记21nn d n =--，所以()min n a d ≤，因为()()1+121121n n n n d d n n +⎡⎤-=-+----⎣⎦210n=->，从而数列{}n d 为递增数列，所以当1n =时，n d 取最小值10d =，于是0a ≤. 【点睛】本题考查了求数列的通项公式，考查了等差数列的证明，同时考查了错位相减法和恒成立问题，总体计算要求相对较高，属于较难题.。

2020-2021学年黑龙江省哈师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）直线x+y﹣5＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．（5分）过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4＝0垂直的直线方程为（）A．3x+2y﹣1＝0B．3x+2y+7＝0C．2x﹣3y+5＝0D．2x﹣3y+8＝0 3．（5分）抛物线y＝2x2的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）4．（5分）设F1、F2分别是椭圆+＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为（）A．4B．3C．2D．55．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝4C．（x+4）2+（y﹣2）2＝1D．（x+2）2+（y﹣1）2＝16．（5分）过原点的直线l与双曲线x2﹣y2＝6交于A，B两点，点P为双曲线上一点，若直线P A的斜率为2，则直线PB的斜率为（）A．4B．1C．D．7．（5分）如果椭圆+＝1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y＝0B．x+2y﹣4＝0C．2x+3y﹣12＝0D．x+2y﹣8＝0 8．（5分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A．B．C．24D．489．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且，则A点的横坐标为（）A．B．4C．3D．210．（5分）已知抛物线τ：y2＝8x，过抛物线τ的焦点且斜率为k的直线l交τ于M，N两点，已知P（﹣2，3），，则k＝（）A．B．C．D．211．（5分）点F（c，0）为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，点P为双曲线左支上一点，线段PF与圆（x﹣）2+y2＝相切于点Q，且＝2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．212．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）C．（0，）D．（，1）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为．14．（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2＝1具有相同渐近线，则双曲线C的方程为．15．（5分）倾斜角为的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为．16．（5分）已知过抛物线C：y2＝4x焦点F的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆x2+y2﹣2x＝0于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则的最小值为．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知动圆M过点F（2，0），且与直线x＝﹣2相切．（Ⅰ）求圆心M的轨迹E的方程；（Ⅱ）斜率为1的直线l经过点F，且直线l与轨迹E交于点A，B，求线段AB的垂直平分线方程．18．（12分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，（Ⅰ）若直线l1过定点A（1，0），且与圆C相切，求l1的方程；（Ⅱ）若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x+y﹣2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，△P AD 为正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，且E，F分别为AD，PC的中点．（Ⅰ）求证：DF∥平面PEB；（Ⅱ）求直线EF与平面PDC所成角的正弦值．20．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点D，E分别为AC，AA1的中点．（Ⅰ）求点B1到平面BDE的距离；（Ⅱ）求二面角D﹣BE﹣C1的余弦值．21．（12分）已知椭圆C：的左顶点和下顶点分别为，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为2（1）求椭圆C的方程；（2）已知M为椭圆C上一动点（M不与A，B重合），直线AM与y轴交于点P，直线BM与x轴交于点Q，证明：|AQ|•|BP|为定值．22．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点，且短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，求ΔOPQ面积的取值范围．2020-2021学年黑龙江省哈师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）直线x+y﹣5＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．【解答】解：因为直线x+y﹣5＝0的斜率为：﹣，直线的倾斜角为：α．所以tanα＝﹣，α＝120°故选：C．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．2．（5分）过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4＝0垂直的直线方程为（）A．3x+2y﹣1＝0B．3x+2y+7＝0C．2x﹣3y+5＝0D．2x﹣3y+8＝0【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x﹣3y+4＝0垂直的直线方程为﹣3x﹣2y+c＝0，再把点（﹣1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程．【解答】解：∵所求直线方程与直线2x﹣3y+4＝0垂直，∴设方程为﹣3x﹣2y+c＝0∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c＝0∴c＝1∴所求直线方程为3x+2y﹣1＝0．故选：A．【点评】本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于常规题．3．（5分）抛物线y＝2x2的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）【分析】先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标．【解答】解：整理抛物线方程得x2＝y∴焦点在y轴，p＝∴焦点坐标为（0，）故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．求抛物线的焦点时，注意抛物线焦点所在的位置，以及抛物线的开口方向．4．（5分）设F1、F2分别是椭圆+＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为（）A．4B．3C．2D．5【分析】由题意知，OM是△PF1F2的中位线，由|OM|＝3，可得|PF2|＝6，再由椭圆的定义求出|PF1|的值．【解答】解：由题意知，OM是△PF1F2的中位线，∵|OM|＝3，∴|PF2|＝6，又|PF1|+|PF2|＝2a＝10，∴|PF1|＝4，故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义，以及椭圆的简单性质的应用，判断OM是△PF1F2的中位线是解题的关键，属于中档题．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝4C．（x+4）2+（y﹣2）2＝1D．（x+2）2+（y﹣1）2＝1【分析】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．【解答】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2＝4得（2x﹣4）2+（2y+2）2＝4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2＝1．故选：A．【点评】本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）过原点的直线l与双曲线x2﹣y2＝6交于A，B两点，点P为双曲线上一点，若直线P A的斜率为2，则直线PB的斜率为（）A．4B．1C．D．【分析】可设A（m，n），B（﹣m，﹣n），P（x，y），代入双曲线的方程，作差，可得＝1，再由直线的斜率公式，结合平方差公式，计算可得所求值．【解答】解：由题意可设A（m，n），B（﹣m，﹣n），P（x，y），则m2﹣n2＝6，x2﹣y2＝6，即有y2﹣n2＝x2﹣m2，即＝1，由k P A＝，k PB＝，可得k P A•k PB＝＝1，而k P A＝2，所以k PB＝．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和运用，以及直线的斜率公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．7．（5分）如果椭圆+＝1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y＝0B．x+2y﹣4＝0C．2x+3y﹣12＝0D．x+2y﹣8＝0【分析】设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减再变形得，又由弦中点为（4，2），可得k＝，由此可求出这条弦所在的直线方程．【解答】解：设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则，两式相减再变形得又弦中点为（4，2），故k＝，故这条弦所在的直线方程y﹣2＝（x﹣4），整理得x+2y﹣8＝0；故选：D．【点评】用“点差法”解题是圆锥曲线问题中常用的方法．8．（5分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A．B．C．24D．48【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|＝10，再由3|PF1|＝4|PF2|，求出|PF1|＝8，|PF2|＝6，由此能求出△PF1F2的面积．【解答】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|＝10，∵3|PF1|＝4|PF2|，∴设|PF2|＝x，则，由双曲线的性质知，解得x＝6．∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，∴∠F1PF2＝90°，∴△PF1F2的面积＝．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．9．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且，则A点的横坐标为（）A．B．4C．3D．2【分析】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣3，y0），根据|AK|＝|AF|及AF＝AB＝x0﹣（﹣3）＝x0+3，进而可求得A 点坐标．【解答】解：∵双曲线，其右焦点坐标为（3，0）．∴抛物线C：y2＝12x，准线为x＝﹣3，∴K（﹣3，0）设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣3，y0）∵|AK|＝|AF|，又AF＝AB＝x0﹣（﹣3）＝x0+3，∴由BK2＝AK2﹣AB2得BK2＝AB2，从而y02＝（x0+3）2，即12x0＝（x0+3）2，解得x0＝3．故选：C．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握．10．（5分）已知抛物线τ：y2＝8x，过抛物线τ的焦点且斜率为k的直线l交τ于M，N两点，已知P（﹣2，3），，则k＝（）A．B．C．D．2【分析】本题先根据题意写出直线l的直线方程，然后联立直线l与抛物线τ的方程，消去y，化简整理可得关于x的一元二次方程，根据韦达定理可得x1+x2＝4+，x1x2＝4，接着计算出y1+y2，y1y2关于k的表达式，写出向量，的坐标式，代入并化简计算•，根据可进一步计算出k的值，得到正确选项．【解答】解：由题意，画图如下：由抛物线方程y2＝8x，可知抛物线τ的焦点坐标为（2，0），则直线l的直线方程为：y＝k（x﹣2），设M（x1，y1），N（x2，y2），则联立，消去y，整理得k2x2﹣4（k2+2）x+4k2＝0，故x1+x2＝4+，x1x2＝4，∴y1+y2＝k（x1﹣2）+k（x2﹣2）＝k（x1+x2﹣4）＝k（4+﹣4）＝，y1y2＝k2（x1﹣2）（x2﹣2）＝k2[x1x2﹣2（x1+x2）+4]＝k2[4﹣2（4+）+4]＝﹣16，∵＝（x1+2，y1﹣3），＝（x2+2，y2﹣3），∴•＝（x1+2）（x2+2）+（y1﹣3）（y2﹣3）＝x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2﹣3（y1+y2）+9＝4+2（4+）+4﹣16﹣3•+9＝，∵，∴＝0，解得k＝．故选：B．【点评】本题主要考查向量与解析几何的综合问题．考查了方程思想，韦达定理的应用，向量的运算能力，以及逻辑推理能力和解析几何的运算能力．本题属中档题．11．（5分）点F（c，0）为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，点P为双曲线左支上一点，线段PF与圆（x﹣）2+y2＝相切于点Q，且＝2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．2【分析】根据题意，设双曲线的左焦点为F1，分析可得PF1⊥PF，|PF1|＝b，|PF|＝2a+b，由此可得b＝2a，由双曲线的几何性质可得有c＝a，结合双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设双曲线的左焦点为F1，连接F1，设圆的圆心为C，圆的方程为（x﹣）2+y2＝的圆心为（，0），半径r＝，则有|F1F|＝3|FC|，若＝2，则PF1∥QC，|PF1|＝b，|PF|＝2a+b；线段PF与圆（x﹣）2+y2＝相切于点Q，则CQ⊥PF以及PF1⊥PF，则有b2+（2a+b）2＝4c2，即b2+（2a+b）2＝4（a2+b2），即b＝2a，由双曲线的性质有c＝a，则双曲线的离心率e＝＝；【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及直线与圆的位置关系，关键是分析双曲线、直线与圆的关系．12．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）C．（0，）D．（，1）【分析】根据∠B1PB2为与的夹角，并分别表示出与，由∠B1PB2为钝角，•＜0，得ac﹣b2＜0，利用椭圆的性质，可得到e2+e﹣1＜0，即可解得离心率的取值范围．【解答】解：如图所示，∠B1PB2为与的夹角；设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，＝（﹣a，b），＝（﹣c，﹣b），∵向量的夹角为钝角时，•＜0，∴ac﹣b2＜0，又b2＝a2﹣c2，∴a2﹣ac﹣c2＞0；两边除以a2得1﹣e﹣e2＞0，即e2+e﹣1＜0；解得＜e＜，又∵0＜e＜1，∴0＜e＜，【点评】本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，解题时利用向量的数量积小于0，建立不等式，求出正确的结论，是中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z＝x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2＝1具有相同渐近线，则双曲线C的方程为．【分析】利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．【解答】解：与﹣x2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x2＝m，（m≠0），∵双曲线C经过点（2，2），∴m＝﹣3，即双曲线方程为﹣x2＝﹣3，即故答案为：．【点评】本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．15．（5分）倾斜角为的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为8．【分析】先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y2＝4x的方程组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义，即可求线段AB的长．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），A，B到准线的距离分别为d A，d B，由抛物线的定义可知|AF|＝d A＝x1+1，|BF|＝d B＝x2+1，于是|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+2．由已知得抛物线的焦点为F（1，0），斜率k＝tan45°＝1，所以直线AB方程为y＝x﹣1．将y＝x﹣1代入方程y2＝4x，得（x﹣1）2＝4x，化简得x2﹣6x+1＝0．由求根公式得x1+x2＝6，于是|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+2＝8．故答案为：8；【点评】本题主要考查了抛物线的应用以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查方程的思想和转化思想，属中档题．16．（5分）已知过抛物线C：y2＝4x焦点F的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆x2+y2﹣2x＝0于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则的最小值为2．【分析】由题意画出图形，设PQ的方程为x＝my+1，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，利用韦达定理、焦半径公式及基本不等式求解，可得所求最小值．【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），抛物线C：y2＝4x焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，圆x2+y2﹣2x＝0的圆心为（1，0），半径为1，再设PQ的方程为x＝my+1，联立y2＝4x，得y2﹣4my﹣4＝0．∴y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，则x1x2＝＝1，|PM|•|QN|＝（|PF|﹣1）（|QF|﹣1）＝（x1+1﹣1）（x2+1﹣1）＝x1x2＝1，则≥2＝2，当且仅当|PM|＝|QN|时，取得等号．∴的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查抛物线的焦半径公式的应用，以及基本不等式的运用：求最值，是中档题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知动圆M过点F（2，0），且与直线x＝﹣2相切．（Ⅰ）求圆心M的轨迹E的方程；（Ⅱ）斜率为1的直线l经过点F，且直线l与轨迹E交于点A，B，求线段AB的垂直平分线方程．【分析】（Ⅰ）设动点M（x，y），通过，化简求解即可．（Ⅱ）由，得x2﹣12x+4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），利用韦达定理求出中点坐标，然后求解AB垂直平分线方程．【解答】解：（Ⅰ）设动点M（x，y），则化简得轨迹E的方程y2＝8x（Ⅱ）斜率为1的直线l经过点F，所以l的方程为y＝x﹣2，由，得x2﹣12x+4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0）则，y0＝x0﹣2＝4所以AB垂直平分线方程为x+y﹣10＝0．【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．18．（12分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，（Ⅰ）若直线l1过定点A（1，0），且与圆C相切，求l1的方程；（Ⅱ）若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x+y﹣2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．【分析】（I）由直线l1过定点A（1，0），故可以设出直线的点斜式方程，然后根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k值即可，但要注意先讨论斜率不存在的情况，以免漏解．（II）圆D的半径为3，圆心在直线l2：x+y﹣2＝0上，且与圆C外切，则设圆心D（a，2﹣a），进而根据两圆外切，则圆心距等于半径和，构造出关于a的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k＝0．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即解之得．所求直线方程是x＝1，3x﹣4y﹣3＝0．（Ⅱ）依题意设D（a，2﹣a），又已知圆的圆心C（3，4），r＝2，由两圆外切，可知CD＝5∴可知＝5，解得a＝3，或a＝﹣2，∴D（3，﹣1）或D（﹣2，4），∴所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝9或（x+2）2+（y﹣4）2＝9．【点评】本题考查的知识点是圆的方程，直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系，其中（1）的关键是根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，构造出关于k的方程，（2）的关键是根据两圆外切，则圆心距等于半径和，构造出关于a的方程．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，△P AD 为正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，且E，F分别为AD，PC的中点．（Ⅰ）求证：DF∥平面PEB；（Ⅱ）求直线EF与平面PDC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取PB中点G，推出FG∥BC，证明四边形DEGF是平行四边形，得到DF ∥EG，然后证明DF∥平面PEB．（Ⅱ）以E为原点，EA，EB，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PDC 的法向量，求出，利用空间向量的数量积求解EF与平面PDC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取PB中点G，因为F是PC中点，∴FG∥BC，且FG＝BC∵E是AD的中点，则DE∥BC，且DE＝BC∴FG∥DE，且FG＝DE∴四边形DEGF是平行四边形，∴DF∥EG又∵DF⊄平面PEB，EG⊂平面PEB∴DF∥平面PEB．（Ⅱ）解：因为E是正三角形P AD边为AD的中点，则PE⊥AD．因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面P AD，∴PE⊥平面ABCD，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∴正三角形BAD中，BE⊥AD，以E为原点，EA，EB，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设菱形ABCD的边长为2，则AE＝ED＝1，P A＝2，PE＝，BE＝＝，则点，∴＝（﹣1，，0），＝（1，0，），设平面PDC的法向量为＝（x，y，z），则，即，解得，不妨令z＝1，得＝（﹣，﹣1，1）；又，设EF与平面PDC所成角为θ，∴，＞|＝．所以EF与平面PDC所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点D，E分别为AC，AA1的中点．（Ⅰ）求点B1到平面BDE的距离；（Ⅱ）求二面角D﹣BE﹣C1的余弦值．【分析】（Ⅰ）建立空间坐标系，求出平面BDE的法向量，则B1到平面BDE的距离为；（Ⅱ）求出平面BEC1的法向量，计算，的夹角得出二面角的大小．【解答】解：（Ⅰ）取A1C1的中点D1，连结DD1，则DD1⊥平面ABC，∵△ABC是等边三角形，∴BD⊥AC，以D为原点，分别以DA，DB，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（0，，0），E（1，0，1），B1（0，，2），C1（﹣1，0，2），∴＝（0，，0），＝（1，0，1），＝（0，0，2），设平面BDE的法向量为＝（x1，y1，z1），则，即，令z1＝1可得＝（﹣1，0，1），∴点B1到平面BDE的距离为＝＝．（Ⅱ）＝（1，﹣，1），＝（﹣2，0，1），设平面BEC1的法向量为＝（x2，y2，z2），则，即，令x2＝1可得＝（1，，2），∴cos＜，＞＝＝＝，∴二面角D﹣BE﹣C1的余弦值为．【点评】本题考查了空间向量在求空间距离、空间角中的应用，属于中档题．21．（12分）已知椭圆C：的左顶点和下顶点分别为，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为2（1）求椭圆C的方程；（2）已知M为椭圆C上一动点（M不与A，B重合），直线AM与y轴交于点P，直线BM与x轴交于点Q，证明：|AQ|•|BP|为定值．【分析】（1）由题意可得a2+b2＝（2）2，＝2，可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得A，B的的坐标，设M，P，Q的坐标，由M在椭圆上，代入椭圆的方程，由A，P，M三点共线可得P，Q与M的关系，可得：|AQ|•|BP|的表达式，可得为定值．【解答】解：（1）由题意可得a2+b2＝（2）2，＝2，解得a2＝16，b2＝2，所以椭圆的方程为：+＝1；（2）证明：由（1）可知A（﹣4，0），B（0，﹣2），设M（x0，y0），P（0，y P），Q（x Q，0），因为M在椭圆上，所以x02+4y02＝16，由A，P，M三点共线可得y P＝，同理可得x Q＝，所以|AQ|•|BP|＝|x Q+4|•|y P+2|＝||＝||＝||＝16•||＝16，所以：|AQ|•|BP|为定值16．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，再由三点共线可得|AQ|•|BP|为定值，属于中档题．22．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点，且短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，求ΔOPQ面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出a，b，然后求解椭圆方程．（Ⅱ）（i）当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，SΔOPQ＝1，（ii）当OP，OQ斜率都存在且不为0时，设l OP：y＝kx，P（x1，y1），Q（x2，y2），由求出P的坐标，然后推出Q坐标，求解|OP|，|OQ|，求出三角形的面积的表达式，利用基本不等式求解最值．（Ⅱ）（另解）：设P（x1，y1），Q（x2，y2），，（i）若l的斜率不存在，设l：x＝n，代入椭圆中，得，验证求解三角形的面积．（ii）若l的斜率存在，设l：y＝kx+m，由，利用韦达定理以及向量的数量积，利用弦长公式求解|PQ|，结合点O到直线l的距离求解三角形的面积，通过二次函数的性质求解面积的最值，推出结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，2b＝2，解得a＝2，b＝1，故椭圆方程为：．（Ⅱ）（i）当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，SΔOPQ＝1，（ii）当OP，OQ斜率都存在且不为0时，设l OP：y＝kx，P（x1，y1），Q（x2，y2），由消y得，，，得，，∴，∴＝，又，所以，综上，ΔOPQ面积的取值范围为．（另解）：（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为OP⊥OQ，则，（i）若l的斜率不存在，设l：x＝n，代入椭圆中，得，∴，得，∴．（ii）若l的斜率存在，设l：y＝kx+m由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，Δ＝16（4k2+1﹣m2）＞0，则，∴＝＝，∴，∴，又点O到直线l的距离，∴，令t＝1+4k2，则t≥1，∴，∵，∴，∴，综上，SΔOPQ的取值范围为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．。

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过点P（1，2）作直线，使直线与点M（2，3）和点N（4，–5）距离相等，则直线的方程为（）A．B．或C．D．或参考答案：D略2. 已知都是正实数，函数的图象过（0,1）点，则的最小值是A．B．C．D．参考答案：A3. 若关于x的方程有实数解，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D略4. 设，则的最小值为A． B． C． D．参考答案：C略5. 设集合A={y|y=sinx，x∈R}，集合B={x|y=lgx}，则（?R A）∩B（）A．（﹣∞，﹣1）U（1，+∞）B．[﹣1，1] C．（1，+∞）D．[1，+∞）参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出y=sinx的值域确定出A，找出R中不属于A的部分求出A的补集，求出y=lgx的定义域确定出B，找出A补集与B的公共部分即可求出所求的集合．【解答】解：由集合A中的函数y=sinx，x∈R，得到y∈[﹣1，1]，∴A=[﹣1，1]，∴?R A=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），由集合B中的函数y=lgx，得到x＞0，∴B=（0，+∞），则（?R A）∩B=（1，+∞）．故选C6. 函数是( )A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数参考答案：D略7. 各项均为正数的等比数列的前n项和为，若则等于A．80 B．30 C．26D．16参考答案：B8. 已知数列{a n}中，前n项和为S n，且，则的最大值为（）A. －3B. －1C. 3D. 1参考答案：C当时，两式作差可得：，据此可得，当时，的最大值为39. （6分）“a≠2”是“关于x，y的二元一次方程组有唯一解”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由方程组得y=，得到a≠2且a≠﹣1，从而求出a的范围．解答：解：由有唯一解得：y=，∴a≠2且a≠﹣1，∴a≠2”是“关于x，y的二元一次方程组有唯一解”的必要不充分条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了二元一次方程组的解法，是一道基础题．10. 将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则.参考答案：12. （本题满分13分）定义在R上的函数满足对任意恒有，且不恒为0。

哈师大附中2020-2021学年度高二上学期期中考试数学试卷（文科）第I卷(选择题共60 分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1350x y+-=的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．直线l过点(－1, 2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是（）A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝03．抛物线22y x=的焦点坐标是（）A．1(,0)4B．1(,0)2C．1(0,)4D．1 (0,)84．设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是线段F1P的中点，|OM|＝3，则点P到椭圆左焦点F1的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．65．点P(4, －2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是（）A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝16．过原点的直线l 与双曲线226x y -=交于A ,B 两点，点P 为双曲线上一点，若直线P A 的斜率为2，则直线PB 的斜率为（ ）A ．4B ．1C ． 12D ．147．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程（ ）A ．02=-y xB ．042=-+y xC ．01232=-+y xD ．082=-+y x8．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ）A ．4 2B ．8 3C ．24D ．489．过点(1,2)的直线被圆229x y +=所截弦长最短时的直线方程是（ ） A ．250x y +-= B ． 20x y -= C ．230x y -+= D ．20x y += 10．若点P 为抛物线22x y =上的动点，F 为抛物线的焦点，则||PF 的最小值为（ ）A ． 2B ．21C ．41D ．8111．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 24－y 25＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则A 点的横坐标为（ ） A ．2 2B ．3C ．2 3D ．412．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1A ,2A ,1B ,2B 为椭圆的顶点，2F 为右焦点，延长12B F 与22A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．52- B ．52- C ．51- D ．51-第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确答案填在题中横线上)13． 若x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值为____________．14．设双曲线C 经过点(2，2)，且与2214y x -=具有相同渐近线，则双曲线C 的方程为____________．15．倾斜角为4π的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，与抛物线相交于,A B 两点，则弦AB的长为____________．16．过双曲线22115yx-=的右支上一点P，分别向圆()221:44++=C x y和圆()222:41-+=C x y作切线，切点分别为,M N，则22PM PN-的最小值为____________．三、解答题(本大题共6个小题，共70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题10 分）已知动圆M过点(2,0)F，且与直线2x=-相切．（Ⅰ）求圆心M的轨迹E的方程；（Ⅱ）斜率为1的直线l经过点F，且直线l与轨迹E交于点,A B，求线段AB的垂直平分线方程．18．（本小题12 分）已知函数()36f x x=+，()3g x x=-．（Ⅰ）求不等式()()f xg x>的解集；（Ⅱ）若()3()f xg x a+≥对于任意x R∈恒成立，求实数a的最大值．ABF PED19．（本小题 10 分）已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=． （Ⅰ）若直线1l 过定点(3,0)A ，且与圆C 相切，求直线1l的方程； （Ⅱ）若圆D 半径为3，圆心在直线2:20l x y +-=上，且圆C 外切，求圆D 的方程．20．（本小题 12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，∠BAD =60°，△P AD为正三角形，且E ，F 分别为AD ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：DF ∥平面PEB ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PEB ．21．（本小题 12分）已知椭圆的离心率22=e ，且过点)22,1(.2222:1(0)x yC a b a b+=>>（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点(1,0)P的直线l与椭圆C交于A,B两点，若OBOA⊥，求直线l方程．22．（本小题12分）如图，椭圆12，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB的斜率为0时，||4AB=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求使||||AB CD+取最小值时直线AB的方程．哈师大附中2020-2021学年度高二上学期期中考试数学参考答案（文科）一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A D B A C D C A D B D 二、填空题2222:1(0)x yC a ba b+=>>13．23； 14．112322=-y x ； 15．8； 16．13．三、解答题(本大题共 6个小题，共70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．解：（Ⅰ）设动点(,)M x y 22(2)|2|x y x -+=+ 化简得轨迹E 的方程：28y x = （Ⅱ）由228y x y x =-⎧⎨=⎩，得21240x x -+=设1122(,),(,)A x yB x y ，AB 中点00(,)M x y则12062x x x +==，0024y x =-=所以，AB 垂直平分线方程为100x y +-=18．解：（Ⅰ）设直线1l的方程为(3)30y k x kx y k =---=即：，则圆心到1l的距离d 为：2231d k k ==⇒=+所以，直线1l的方程为333-=x y 或333+-=x y（Ⅱ）设圆心(,2)D a a -，则||5CD =22(3)(2)532a a a a -++=⇒==-或所以，圆D 的方程为：2222(3)(1)9(2)(4)9x y x y -++=++-=或G ABFCPED19．解：（Ⅰ）由()()f x g x >，得363x x +>-， 平方得()()22363x x +>-，得2842270x x ++>，即()()29430x x ++>，解得92x <-或34x >-. 故不等式()()f x g x >的解集是93,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）若()()232f x g x a a +≥-恒成立，即3639x x a ++-≥恒成立.只需min (3633)x x a ++-≥即可.而()3639363915x x x x ++-≥+--=， 所以15a ≤故实数a 的最大值为15.20．证明：（Ⅰ）取PB 中点G ，因为F 是PC 中点，∴FG ∥BC ，且FG21=BC∵E 是AD 的中点，则DE ∥BC ，且DE21=BC∴FG ∥DE ，且FG =DE∴四边形DEGF 是平行四边形，∴DF ∥EG 又∵DF ⊄平面PEB ，EG ⊂平面PEB ∴DF ∥平面PEB ．（Ⅱ）因为E 是正三角形P AD 边为AD 的中点，则PE ⊥AD ．∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD =60°， ∴正三角形BAD 中，BE ⊥AD ， ∵PE ∩BE =E ，∴AD ⊥平面PEB ∵AD ∥BC ，∴BC ⊥平面PEB ．21．解：（Ⅰ）由22==a c e ，得222b a =，又121122=+b a ，解得1,222==b a ∴椭圆C 的方程为1222=+y x（Ⅱ）设1:+=my x AB ，由⎩⎨⎧=++=22122y x my x ，得012)2(22=-++my y m 0>∆，设1122(,),(,)A x y B x y∴21,22221221+-=+-=+m y y m m y y ，∴22212221)(2222222121221+-=++-+-=+++=m m m m m m y y m y y m x x∵OB OA ⊥，∴0=⋅∴022*******=+-=+=⋅m m y y x x ，得22±=m ∴直线AB 方程为022=--y x 或022=-+y x .22．解：（Ⅰ）由题意知1,242c e a a ===．又222a b c =+，解得2,3a b ==，所以椭圆方程为22143x y +=．（Ⅱ）①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB |+|CD |=7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，则直线CD 的方程为1(1)y x k =--，设1122(,),(,)A x y B x y将直线AB 的方程代入椭圆方程中并整理得(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0，则x 1+x 2=8k 23+4k 2 ，x 1·x 2=4k 2-123+4k 2， 所以|AB |=√k 2+1|x 1-x 2|=√k 2+1·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=12(k 2+1)3+4k 2.同理，|CD |=12(1k 2+1)3+4k2=12(k 2+1)3k 2+4.所以|AB |+|CD |=12(k 2+1)3+4k 2+12(k 2+1)3k 2+4=84(k 2+1)2(3+4k 2)(3k 2+4)≥ 22222)24343()1(84++++k k k =487，高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有@高考资源网 - 11 - 当且仅当434322+=+k k 即1±=k 时，上式取等号,所以直线AB 的方程为10x y --=或10x y +-=．。

哈师大附中 2020-2021 学年度高二上学期开学考试 数学（理）试卷第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)一、选择题(本大题共 10个小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知01,1c a b <<>>，下列不等式成立的是（ ）A ．a b c c >B ．c c a b <C ．a ba cb c>-- D ．log log a b c c > 2.若直线()10,0+=>>x ya b a b过点()1,2，则2+a b 的最小值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．123.若12,e e 是夹角为60°的两个单位向量，则向量1212,2=+=-+a e e b e e 的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°4.设∈，x R 向量a (),1=x ，b ()12=-，，且a b ⊥，则+=a b （ ）A．．105.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13140,0S S ><，则n S 取最大值时n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．136.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，585,36,a S ==则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A ．11n + B ．1n n + C ．1n n - D ．11n n -+ 7.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若634S S =，则96SS =（ ）A ．134 B ．154C ．4D ．5 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163B ．203C ．169D ．2099.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120,2,2,BAC AP AB AC ∠====则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ）A ．92πB ．92πC ．18πD ．40π 10.若正实数,,a b c 满足22ab bc ac a ++=-，则c b a ++2的最小值是( )A ．2B ．1C ．2D ．22第Ⅱ卷 (非选择题 共 70 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确答案填在题中横线上)11.不等式312x x -<+的解集为 .12.我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建 筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环 形的石板铺成（如图所示），最高一层是一块天心石，围绕它的第一 圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈， 则前9圈的石板总数是 ．13.在ABC ∆中,若60,3,A AB AC ∠===3,=BC DC 则DB AD ⋅= .14.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点（点M 与1,A C 不重合），则下列结论正确的是 .①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得DM //平面11B CD ； ③1A DM ∆的面积不可能等于3； ④若12,S S 分别是1A DM ∆在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S =.三、解答题(本大题共 4 个小题，共50 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（本题满分 12 分）已知ABC ∆的顶点()5,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250--=x y ，AC 边上的高BH 所在直线方程为250--=x y . （Ⅰ）求顶点C B ,的坐标；（Ⅱ）求ABC ∆的面积. 16．（本题满分 12分）已知2()31,()2=++-=-+f x x x g x x mx ． （Ⅰ）求不等式()4>f x 的解集；（Ⅱ）若对任意的1212,,()()∈>x x R f x g x 恒成立，求实数m 的取值范围． 17.（本题满分12分）如图，已知四棱锥,-P ABCD 底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60∠=ABC ，,E F 分别是,BC PC 的中点． （Ⅰ）证明：⊥AE PD ；（Ⅱ）若H 为PD 上的动点,2=AB ，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为6，求二面角--E AF C 的余弦值． 18.（本题满分14分）若数列{}n A 满足21n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，19a =，点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，其中n 为正整数．（Ⅰ）证明数列{}1n a +是“平方递推数列”，且数列{}lg(1)n a +为等比数列； （Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n 项积为n T ，即[]12(1)(1)(1)=+++n n T a a a ，求lg n T ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记lg lg(1)nn n T b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求使4026n S >的n 的最小值．高二上学期开学考试数学（理）答案一. 选择题1-5 DABCB 6-10 BABCD 二. 填空题11.13|42⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭x x 12. 405 13. -1 14. ①②④ 三．解答题15．解：（1）设点(),B m n ，则点51,22m n M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，由已知有2505125022m n m n --=⎧⎪⎨++⨯--=⎪⎩， 13m n =-⎧∴⎨=-⎩故点()1,3B --， 同理设(),C x y 则250125x y y x --=⎧⎪-⎨=-⎪-⎩，43x y =⎧∴⎨=⎩则点()4,3C ，（2）由（1）知()1,3B --、()4,3C ，所以BC ==且336145BC k --==--， 所以直线BC 的方程为()6315y x +=+，即6590x y --= BC 边上的高即点A 到直线BC 的距离为2230596165h --==+ 116182261ABC S BC h =⋅=⨯⨯=△ 16.解：（Ⅰ）法一：不等式f （x ）＞4，即|x+3|+|x ﹣1|＞4． 可得，或或解得x ＜﹣3或x ＞1，所以不等式的解集为{x|x ＜﹣3或x ＞1}． 法二：|x+3|+|x ﹣1|≥|x+3﹣（x ﹣1）|=4，当且仅当（x+3）（x ﹣1）≤0即﹣3≤x ≤1时等号成立． 所以不等式的解集为{x|x ＜﹣3或x ＞1}． （Ⅱ）依题意可知f （x ）min ＞g （x ）max由（Ⅰ）知f （x ）min =4，g （x ）=﹣x 2+2mx=﹣（x ﹣m ）2+m 2 所以由m 2＜4的m 的取值范围是﹣2＜m ＜217．解：(1)证明：由四边形ABCD 为菱形，ABC 60∠=，可得ABC 为正三角形．因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥．又BC//AD ，因此AE AD ⊥． 因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA AD A ⋂=， 所以AE ⊥平面PAD.又PD ⊂平面PAD ， 所以AE PD ⊥．(2)设AB 2=，H 为PD 上任意一点，连接AH ，EH ．由(1)知AE ⊥平面PAD ，则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角．在Rt EAH 中，AE 3=，所以当AH 最短时，EHA ∠最大，即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大．此时AE tan EHA AH ∠===，因此AH =又AD 2=， 所以ADH 45∠=， 所以PA 2=．因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABCD ．过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角， 在Rt AOE 中，3EO AE sin30=⋅=，3AO AE cos302=⋅=，又F 是PC 的中点，在Rt ASO 中，32SO AO sin45=⋅=，又SE ===，在Rt ESO中，SO cos ESO SE ∠===即所求二面角的余弦值为5． 18．解：（1）由题意得：212n n n a a a +=+，即211(1)n n a a ++=+，则{}1n a +是“平方递推数列”． 1910=∴+≠，n a a 对211(1)n n a a ++=+两边取对数得1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，1lg(1)lg1010+==≠a1lg(1)2lg(1)++∴=+n n a a所以数列{}lg(1)n a +是以1为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）知1-2=)1+lg(n n a[]1212lg lg (1)(1)(1)lg(1)lg(1)lg(1)=+++=++++++n n n T a a a a a a1(12)2112n n ⋅-==--(3）11lg 2112()lg(1)22n n n n n n T b a ---===-+ 111122221212n n n S n n --=-=-+- 又4026n S >，即111224026,201422n nn n --+>+> 又1012n <<，所以min 2014n =．。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期开学考试文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{(2)0}M x x x =-<∣，{2,1,0,1,2}N =--，则M N =（ ）A ．{0，1}B ．{－2，－1}C ．{1}D ．{0，1，2}2．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．若p q ∨为真命题，则,p q 均为真命题.C ．命题“存在R x ∈，使得210x x ++<” 的否定是：“对任意R x ∈，均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题． 3．设集合{}1,2M =，{}2N a =，则“1a =-”是“N M ⊆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件.C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．命题“00x ∃≤，200x ≥”的否定是（ ）A ．0x ∀≤，20x <B ．0x ∀≤，20x ≥C ．00x ∃>，200x >D ．00x ∃<，200x <5．函数()f x = ）A ．[2,2]-B ．{2,2}-C ．(,2)(2,)-∞-+∞ D ．(2,2)-6．函数21()()1f x x R x =∈+的值域是（ ） A ．()0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．[]0,17．下列各组函数中表示的函数不同的是（ ）A ．()f x x =，()g xB ．()f x =()||g x x =C ．2()3f x x x =-，2()3g t t t =-D ．24()2x f x x -=-，()2g x x =+8．函数1sin 1x x e y x e +=⋅-的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()1f x +是奇函数，当1122x -≤≤时，()2f x x =，则函数()12f x =-在区间[3,5]-内的零点个数为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．510．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在(0,1)上()3x f x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-11．已知函数2()4,[,5]f x x x x m =-+∈的值域是[5,4]-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,2]-C ．[1,2]-D ．[2,5]12．设524a=，131log 10b =，(3log c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b a c << D ．b c a <<二、解答题13．已知0m >，命题p ：函数()log (2)m f x mx =-在[0,1]上单调递减，命题q ：函数()g x =的定义域为R ，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求m 的取值范围．14．已知函数1()42f x x x =+-. （1）当2x >时，求函数()f x 的最小值；（2）若存在(2,)x ∈+∞，使得()42a af x ≤-成立，求实数a 的取值范围15．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<. （1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.16．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M 、N 于原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值. 17．已知1()||f x x a x a=++-. （1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集M ； （2）若a M ∈，求证：10()3f x ≥. 18．已知函数21()ln 2f x ax x x ax =--. （1）讨论函数()f x 的导函数的单调性： （2）若对1x ∀，2(1,)x e ∈，12x x ≠,都有()()12123f x f x x x -<-，求a 的取值范围.19．已知函数2()(1)(0)2af x x a =->，()ln g x x x =-，设()()()F x f x g x =-. （1）求()F x 的极值点；（2）若(1,)a e ∈，求()F x 的零点个数.三、填空题20．已知2(log )270f x x =+，那么(0)(1)(6)f f f +++=__________．21．已知函数()()2log 3,021,0xx x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，若()112f a -=，则实数a =______. 22．已知函数224,0()1(2),0x x f x x x x +⎧≥⎪=+⎨⎪+<⎩若关于x 的不等式()10()f x mx m m R ---<∈的解集是()()123,,x x x ⋃+∞，123x x x <<，则m 的取值范围是________.参考答案1．C 【分析】先求{(2)0}={02}M xx x x x =-<<<∣∣，再和{2,1,0,1,2}N =--直接求交集即可得解. 【详解】由{(2)0}={02}M xx x x x =-<<<∣∣， {2,1,0,1,2}N =--，可得{}1M N ⋂=， 故选：C. 【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了一元二次不等式的计算，属于基础题. 2．D 【详解】试题分析：A ．利用否命题的定义即可判断出；B ．利用“或”命题的定义可知：若p ∨q 为真命题，则p 与q 至少有一个为真命题；C ．利用命题的否定即可判断出；D ．由于命题“若x=y ，则sinx=siny”为真命题，而逆否命题与原命题是等价命题，即可判断出．解：对于A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为“若x 2≠1，则x≠1”，因此不正确； 对于B ．若p ∨q 为真命题，则p 与q 至少有一个为真命题，因此不正确；对于C ．“存在x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是：“对任意x ∈R ，均有x 2+x+1≥0”，因此不正确对于D ．由于命题“若x=y ，则sinx=siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，正确． 故选D ．考点：命题的真假判断与应用． 3．A 【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.解：当1a =-时，{}1N =，满足N M ⊆，故充分性成立；当N M ⊆时，{}1N =或{}2N =，所以a 不一定满足1a =-，故必要性不成立. 故选：A. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，是基础题. 4．A 【分析】直接利用命题的否定定义判断即可. 【详解】因为命题的否定是只否定命题的结论，不否定命题的条件，但特称命题要变为全称命题，所以命题“00x ∃≤，200x ≥”的否定是0x ∀≤，20x <，故选：A. 【点睛】此题考命题的否定，要分清哪个是条件，哪个是结论，属于简单题. 5．B 【分析】由偶次方根的被开方数的代数式大于等于0联立不等式组求解． 【详解】解:由题意2240,40x x ⎧-⎨-≥⎩，得240x -=，解得2x =±.∴定义域为{2,2}-. 故选：B . 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，属于基础题． 6．B 【分析】本题首先可令21t x =+，然后将函数21()1f x x =+转化为1y t =，最后利用反比例函数性质得出当[)1,+t ∈∞时函数1y t=的值域，即可得出结果.令21t x =+，则[)1,+t ∈∞， 因为函数1y t=在[)1,+∞上单调递减， 所以当[)1,+t ∈∞时函数1y t=的值域为(]0,1， 则函数21()()1f x x R x=∈+值域为(]0,1， 故选：B. 【点睛】本题考查函数值域的求法，考查通过换元法求函数值域，考查反比例函数的性质，考查推理能力，是简单题. 7．D 【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则即可. 【详解】选项D 中，()f x 的定义域是2x ≠，()g x 的定义域是R ，定义域不相同，所以是不同的函数， 故选：D. 【点睛】两个函数在定义域和对应法则都相同的条件下才是同一个函数. 8．B 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据11x x e e +-与sin x 的性质，确定函数图象【详解】1()sin 1x xe f x x e +=⋅-，定义域为()(),00,-∞+∞，11()sin()sin 11x x x xe ef x x x e e --++-=-⋅=⋅--，所以函数1()sin 1x x e f x x e +=⋅-是偶函数，排除A 、C ，又因为0x >且x 接近0时，101x x e e +>-，且sin 0x >，所以1()sin 01x x e f x x e +=⋅>-，选择B 【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手： 1.从函数定义域，值域判断； 2.从函数的单调性，判断变化趋势； 3.从函数的奇偶性判断函数的对称性； 4.从函数的周期性判断；5.从函数的特征点，排除不合要求的图象 9．A 【分析】由已知可得函数()f x 的图象关于点()1,0对称，由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称，从而画出函数的图像，结合图像可求出结果 【详解】 ∵函数()1f x +是奇函数∴函数()1f x +的图象关于点()0,0对称∴把函数()1f x +的图象向右平移1个单位可得函数()f x 的图象，即函数()f x 的图象关于点()1,0对称，即满足()()2f x f x -=-又∵1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()1f x f x -=，从而()()21f x f x -=-- ∴()()1f x f x +=-，即()()()21f x f x f x +=-+=∴函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称. 画出函数()f x 的图象如图所示：结合图象可得()12f x =-区间[]3,5-内有8个零点. 故选：A. 【点睛】此题考查函数的奇偶性和周期性，考查函数与方程，考查数形结合思想，属于中档题 10．D 【分析】由已知得函数的周期，由周期性可把自变量的值变小，然后利用奇函数性质求函数值． 【详解】由(2)()f x f x +=-得，()f x 的周期为4， 则()()3332log 54log 544log 3f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 又()f x 为奇函数，所以333223log log log 332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为33log 2333log 322f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以()33log 542f =-. 故选：D 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性，属于基础题． 11．C【分析】函数()f x 在2x =时取得最大值4，在5x =或1-时得()5f x =-，结合二次函数()f x 图象性质可得m 的取值范围. 【详解】二次函数2()4f x x x =-+的图象是开口向下的抛物线.最大值为4，且在2x =时取得，而当5x =或1-时，()5f x =-. 结合函数()f x 图象可知m 的取值范围是[1,2]-．故选:C ． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，考查数形结合思想的应用，属于中档题. 12．A 【分析】利用对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】由524a =，可得55log 24log 252a =<=，1331log log 1010b ==，(33log log 92c =>=，且333log 10log log b c =>==， 所以a c b <<. 故选：A【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性比较对数式的大小，掌握对数的性质是解题的关键，属于基础题. 13．[2,)+∞. 【分析】分别根据命题,p q 为真求出m 的范围，再根据复合命题的真假可知命题,p q 一真一假，分两种情况讨论可得结果. 【详解】命题p ：令()2,()u x mx u x =-在[0,1]x ∈上单减，1m ∴>．又min ()0,()(1)20,12u x u x u m m >∴==->∴<< 命题q：由()g x =的定义域为R ，得220x x m ++>恒成立，440,1m m ∴∆=-<∴>p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，p q ∴、一真一假．（1）若p 真q 假，则1210m m m <<⎧⎪≤⎨⎪>⎩，m ∴无解．（2）若p 假q 真，则1210m m m m ≤≥⎧⎪>⎨⎪>⎩或，2m ∴≥，综上所述，[2,)m ∈+∞. 【点睛】本题考查了根据复合命题的真假求参数的取值范围，考查了对数型复合函数的单调性，属于基础题.14．（1）12；（2）[2,)+∞. 【分析】（1）变形为1()4(2)82f x x x =-++-后，根据基本不等式可得结果；（2）转化为min 42()12a af x -≥=，等价于()()24230aa-+≥，等价于240a -≥，等价于2a ≥. 【详解】解：（1）因为1()42f x x x =+-，所以1()4(2)82f x x x =-++-， 因为2x >，所以20x ->，所以14(2)42x x -+≥=- 当且仅当52x =时，等号成立， 所以当52x =时，min ()12f x =. （2）存在(2,)x ∈+∞，使得()42a af x ≤-成立，等价于当(2,)x ∈+∞时，min 42()a af x -≥ 由（1）知min ()12f x =，所以4212a a -≥， 所以()()24230aa-+≥.因为230a +≥，所以24a ≥，解得2a ≥， 所以实数a 的取值范围为[2,)+∞. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最小值，考查了不等式能成立问题，属于中档题.15．（1）（－3，1）；（2）1-±（3. 【分析】（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由()0f x =，即2231x x --+=，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值log 4a ，得log 44a =-利用对数的定义求出a 的值. 【详解】 （1）由已知得1030x x ->⎧⎨+>⎩，解得31x -<<所以函数()f x 的定义域为（－3，1）.（2）()2()log (1)log (3)log (1)(3)log 23a a a a f x x x x x x x =-++=-+=--+，令()0f x =，得2231x x --+=，即2220x x +-=，解得1x =-，∵1(3,1)-±-，∴函数()f x 的零点是1-（3）由（2）知，()22()log 23log (1)4a a f x x x x ⎡⎤=--+=-++⎣⎦， ∵31x -<<，∴20(1)44x <-++≤.∵01a <<，∴2log (1)4log 4a a x ⎡⎤-++≥⎣⎦，∴min ()log 44a f x ==-，∴1442a -==. 【点睛】本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的复合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解，灵活转化函数的形式是关键.16．（1）4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （2）2. 【分析】（1）求出直线l 的直角坐标方程为y =+2，曲线C 1），半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，求出r ＝2，曲线C 的普通方程为（x 2+（y ﹣1）2＝4，由此能求出曲线C 的极坐标方程． （2）设M （ρ1，θ），N （ρ2，6πθ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），由126MONSOM ON sin π==2sin （23πθ+）MON 面积的最大值．【详解】（1）由题意可知将直线l 的直角坐标方程为2y =+，曲线C 是圆心为)，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：2r ==；可知曲线C 的方程为(()2214x y +-=，∴曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，()120,0ρρ>>21211sin ?4sin ?sin 2sin cos 26432MON S OM ON πππρρθθθθθ∆⎛⎫⎛⎫===++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin22sin 23πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭当12πθ=时，2MON S ∆≤MON ∴∆面积的最大值为2+.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17．（1）{3M x x =≤-∣或3}x ≥；（2）证明见解析.【分析】（1）采用零点分段法进行分类讨论，由此求解出不等式的解集M ；（2）由绝对值的三角不等式确定出()f x 的最小值（用a 表示），再根据对勾函数的单调性说明min 10()3f x ≥即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =++-()6|1||1|6f x x x ≥⇔++-≥当1x ≤-时，116x x ---+≥，3x ≤-，∴3x ≤- 当11x -<<时，116x x +-+≥不成立，∴x ∈∅ 当1≥x 时，116x x ++-≥，3x ≥，∴3x ≥.综上得不等式的解集{3M xx =≤-∣或3}x ≥. （2）111()||||||f x x a x a a a a a =++-≥+=+ ∵a M ∈，∴||3a ≥，令||t a =，则3t ≥，而1y t t =+在[3,)+∞是单调增的∴当3t =时，min 110333y =+=∴当a M ∈时，10()3f x ≥. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，难度一般.（1）常见的解绝对值不等式的方法：零点分段法、图象法、几何意义法； （2）绝对值的三角不等式：||||||x a x b a b -+-≥-，||||||x a x b a b ---≤-. 18．（1）分类讨论，答案见解析；（2）(,3]e -∞+ 【分析】（1）对函数()f x 求导可得()ln f x a x x '=-，令()()g x f x ='，求得()g x '后，按照0a ≤、0a >分类，求得()0g x '>、()0g x '<的解集即可得解；（2）令函数()()3,1h x f x x x e =-<<，由函数单调性的定义可得()h x 在()1,e 上递减，由导数可得3ln x a x+≤在()1,e 上恒成立，设3(),ln 1x u x x x e +=<<，由导数求得函数()()u x u e >即可得解.【详解】（1）由题意()(ln 1)ln ,0f x a x x a a x x x '=+--=->， 令()()ln ,0g x f x a x x x '==->，则()1a a x g x x x-'=-=， 当0a ≤时，()0g x '<，所以()'f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，若()0,x a ∈时，()0g x '>，()'f x 单调递增，若(),x a ∈+∞，则()0g x '<，()'f x 单调递减；综上，当0a ≤时，()'f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()'f x 在()0,a 上单调递增，在(),a +∞上单调递减；（2）不妨设121x x e <<<，若()()12123f x f x x x -<-，则()()()12123f x f x x x ->-即()()112233f x x f x x ->-， 令()2()()31ln 3,21ax x h x f x e x x a x x --+=-=<<，则()h x 在()1,e 递减， ∴()ln 30h x a x x '=--≤即3ln x a x+≤在()1,e 上恒成立， 设3(),ln 1x u x xx e +=<<，则23ln 1()(ln )x x u x x --'=， 再设3()ln 11,v x x xx e =--<<，函数()v x 单调递增， ∴3()()0v x v e e<=-<， ∴()0u x '<，()u x 在()1,e 上单调递减，∴()()3u x u e e >=+， ∴a 的取值范围是(,3]e -∞+. 【点睛】本题考查了函数单调性的定义及导数在研究函数单调性和最值中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题.19．（1）答案见解析；（2）()F x 有且仅有1个零点. 【分析】（1）求()F x 的定义域，求导1(1)()a x x a F x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=，对a 分01a <<，1a =，1a >讨论，确定单调性，极值点；（2）由（1）可得(1,)a e ∈时，()F x 的单调性和极值点，求出极值，确定极值与0的大小关系，判断()F x 的零点个数. 【详解】（1）由题，2()(1)ln 2aF x x x x =--+，定义域为(0,)+∞， 则21(1)1(1)1()(1)1a x x ax a x a F x a x x x x⎛⎫-- ⎪-++⎝⎭'=--+==， 当1a =时，()0F x '≥，当且仅当1x =时，()0F x '=， 故()F x 在(0,)+∞递增，无极值点；当01a <<时，()F x 在（0，1）递增，11,a ⎛⎫⎪⎝⎭递减，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， 故()F x 的极大值点为1，极小值点为1a； 当1a >时，()F x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，(1,)+∞递增， 故()F x 的极大值点为1a，极小值点为1. （2）当1a e <<时，()F x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在(1,)+∞上递增， 所以()F x 的极小值为(1)10F =-<，()F x 的极大值为1F a ⎛⎫⎪⎝⎭， 且2111111ln ln 1222a a F a a a aa a ⎛⎫⎛⎫=--+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1()ln 122a h a a a=---，其中(1,)a e ∈， 则2222211121(1)()02222a a a h a a a a a-+-'=+-==>，所以()h a 在(1,)e 上是增函数，所以1()()2022e h a h e e<=--<， 所以10F a ⎛⎫<⎪⎝⎭， 因为211(4)(41)4ln 494ln 4ln 40222a F =--+>⨯-+=+>， 所以有且仅有1个0(1,4)x ∈，使得()00F x =， 故当1a e <<时，()F x 有且仅有1个零点. 【点晴】（1）()0F x '=的点不一定是极值点，所以需要确定()F x 的单调性，才能确定极值点； （2）利用函数的单调性和零点存在性定理是确定函数零点个数的常用方法，关键是确定函数的单调性后要找到函数的极值，看极值的正负，就能确定函数穿过了x 轴几次，从而确定函数的零点个数. 20．2017 【解析】()2log 2log 2270x f x =+，故()2270x f x =+，由此得()()()01601622227072017f f f +++=++++⨯=.【点睛】本题主要考查函数解析式的求解方法，考查等比数列前n 项和的计算公式.对于函数解析式的求法，有两种，一种是换元法，另一种的变换法.解析中运用的方法就是变换法，即将x 变换为含有2log x 的式子.也可以令()2log ,2,2270t tt x x f t ===+.等比数列求和公式为1111nn a q S q q.21．2log 3 【分析】利用分段函数解析式列方程，解方程求得a 的值. 【详解】当0x ≤时，33x -≥，()2221log 3log 3log 2x -≥>=.所以10a ->，故()1122133121,2,1log log 31222a a f a a ---=-==-==-，所以2log 3a =. 故答案为：2log 3 【点睛】本小题主要考查根据分段函数函数值求参数，属于基础题. 22．(0,2)(2,3)⋃ 【分析】由()10()f x mx m m R ---<∈转化为()1f x mx m <++，结合图像，找到临界值，即可得解. 【详解】由不等式()10f x mx m ---<， 得：()1f x mx m <++，作函数()y f x =和1y mx m =++的图像如图所示：注意()y f x =和1y mx m =++都过()1,1-点，当1y mx m =++和2()(2)f x x =+相切时，可得2(4)30x m x m +-+-=，则2=440m m ∆-+=，解得2m =， 另外一个临界值为1y mx m =++过点()0,4C 时，则：14,3m m +==，⋃.由图像可知：满足条件的实数m的取值范围为：(0,2)(2,3)⋃.故答案为：(0,2)(2,3)【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了数形结合思想，解题的关键是找到临界情况并求值，要求精确画图，属于较难题.。