2m
30°
三角函数的应用设计
教学目标
（一）教学知识点
1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．
2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明．
（二）能力训练要求
发展学生的数学应用意识和解决问题的能力．
（三）情感与价值观要求
1．在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气．
2．选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望．
教学重点
1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用．
2．发展学生数学应用意识和解决问题的能力．
教学难点
根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图．
教学过程
（一）复习旧知，引入新课
1．一物体沿坡度为1∶8
，则物体升高了 m ． 答案：1
2．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，再向塔底前进a m ，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔的高为
m ．
答案：1(32 a
3．如图所示，在高2m ，坡角为30°的楼梯
表面铺地毯，地毯的长度至少需要_______m ．
答案：2
4．创设问题，引入新课
海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流．
（二）讲授新课
1．思路点拔
（1）我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的？
应该是“上北下南，左西右东”．
（2）请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的．
首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处．示意图如下．
（3）货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？
根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险．A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度．我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较．
（4）下面我们就来看AD如何求．根据题意，有哪些已知条件呢？
已知BC=20海里，∠BAD=55°，∠CAD=25°．
（5）在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD．你能在哪一个三角形中求出AD呢？
在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD．
在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC=20海里，但它不是Rt△ABD的边，
2020.79tan 55tan 25AD =≈?-?
也不能求出AD ．
（6）那该如何是好？是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑？
这两个三角形有联系，AD 是它们的公共直角边．而且BC 是这两个直角三角形BD 与CD 的差，即BC =BD -CD ．BD 、CD 的对角是已知的，BD 、CD 和边AD 都有联系．
（7）有何联系呢？
在Rt △ABD 中，tan 55BD AD ?=，tan55BD AD =?；在Rt △ACD 中，tan 25CD AD ?=，tan 25CD AD =?．
利用BC =BD -CD 就可以列出关于AD 的一元一次方程，即AD tan55°-AD tan25°=20． 总结：其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一．
解：过A 作BC 的垂线，交BC 于点D 得到Rt △ABD 和Rt △ACD ，从而
BD =AD tan55°，CD =AD tan25°，由BD -CD =BC ，又BC =20海里．得
AD tan55°-AD tan25°=20．
AD （tan55°-tan25°）=20，
（海里）．
这样AD ≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险．
2．小组合作，探索问题
（1）想一想你会更聪明：
接下来，我们再来研究一个问题．还记得本章开头小明要测塔的高度吗？现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度．
如图，小明想测量塔CD 的高度．他在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m 至B 处．测得仰角为60°．那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1 m ）
（2）思路点拔：
①我想请一位同学告诉我什么是仰角？在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪
两个角？
当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．30°的仰角指 ∠DAC ，60°的仰角指∠DBC ．
②很好！请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答．
首先，我们可以注意到CD 是两个直角三角形Rt △ADC 和Rt △BDC 的公共边，在 Rt △ADC 中，tan 30CD AC ?=
， 即tan 30CD AC =?，在Rt △BDC 中，tan 60CD BC
?=， 即tan 60CD BC =?
，又∵AB =AC -BC =50 m ，得 50tan 30tan 60CD CD -=??
． 解得CD ≈43（m ），
即塔CD 的高度约为43 m ．
③提出质疑，再探新知：
小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量CD 的高度时是否应考虑小明的身高？
在实际测量时，的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离．
④如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m ，其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？
示意图如图所示，由前面的
解答过程可知CC ′≈43 m ，则CD =43+1.6=44.6 m ．即考虑小明的高度，塔的高度为44.6 m ．
3．巩固新知、解决问题：
现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下．
某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m ，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.0l m ）
请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，（先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法）
（1）思路点拔
要注意调整前后梯楼的高度是一个不变量．根据题意可画㈩示意图（如右图）．其中AB 表示楼梯的高度．AC 是原楼梯的长，BC 是原楼梯的占地长度；AD 是调整后的楼梯的长度，DB 是调整后的楼梯的占地长度．∠ACB 是原楼梯的倾角，∠ADB 是调整后的楼梯的倾角．转化为数学问题即为：
如图，AB ⊥DB ，∠ACB =40°，∠ADB =35°，AC =4m ．求AD -AC 及DC 的长度．
（2）解决问题
解：由条件可知，在Rt △ABC 中，sin 40AB AC ?=
，即AB =4sin40°m ，原楼梯占地 长BC =4cos40°m ．
调整后，在Rt △ADB 中，sin 35AB AD ?=，则4sin 40sin 35sin 35AB AD ?==??
m ．楼梯占地长4sin 40tan 35DB ?=?
m ． ∴调整后楼梯加长4sin 4040.48sin 35AD AC ?-=
-≈?
（m ）， 楼梯比原来多占4sin 404cos 400.61tan 35DC DB BC ?=-=-?≈?（m ）． （三）随堂练习
1．如图，一灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成40°夹角，且DB =5m ，现再在C 点上方2m 处加固另一条钢缆ED ，那么钢缆ED 的长度为多少？
解：在Rt △CBD 中，∠CDB =40°，DB =5 m ，sin 40BC DB ?=
，BC =DB sin40°=5sin40°（m ）．
在Rt △EDB 中，DB =5 m ，
BE =BC +EC =2+5sin40°（m ）．
根据勾股定理，得796.DE ==≈（m ）． 所以钢缆ED 的长度为7.96 m ．
2．如图，水库大坝的截面是梯形ABCD ，坝顶AD =6 m ，坡长CD =8 m ．坡底BC =30 m ，∠ADC =135°．
（1）求∠ABC 的大小；
（2）如果坝长100 m ．那么建筑这个大坝共需多少土石料？（结果精确到0.01 m 3） 解：过A 、D 分别作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，E 、F 为垂足．
（1）在梯形ABCD 中．∠ADC =135°，
∴∠FDC =45°，EF =AD =6 m ．在Rt △FDC 中，DC =8m ．DF =FC =CD ．
sin 45?=m ）．
∴30624BE BC CF EF =--=-=-（m ）．
在Rt △AEB 中，AE DF ==m ）．
tan 0308.AE ABC BE ===≈． ∴∠ABC ≈17°8′21″．
（2）梯形ABCD 的面积：
11
63022
S AD BC AE =+?+?（）=（）m 2）．
坝长为100 m ，那么建筑这个大坝共需土石料10010182.34?≈（m 3）． 综上所述，∠ABC =17°8′21″，建筑大坝共需10182.34 m 3土石料．
（四）活动与探究，拓展知识
例题：如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均受到影响．
（1）问：B 处是否会受到台风的影响？请说明理由．
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？
[过程]这是一道需借助三角知识解决的应用问题，需抓住问题的本质特征．在转化、抽象成数学问题上下功夫．
[结果]（1）过点B 作BD ⊥AC ．垂足为D ．
依题意，得∠BAC =30°，在Rt △ABD 中，11201616012022
BD AB =
=??=<， ∴B 处会受到台风影响．
（2）以点B 为圆心，200海里为半径画圆交AC 于E 、F ，由勾股定理可求得
DE =120，AD =
120AE AD DE =-=．
=（小时）．
3.8
因此，该船应在3.8小时内卸完货物．
（五）课时小结
本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和解决实际问题的能力．
其实，我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴．请同学们阅读“读一读”，了解“三角学”的发展，相信你会对“三角学”更感兴趣．
习题1.6第1、2、3题．
初中数学《锐角三角函数的应用》教案 31.3锐角三角函数的应用 教学目标 1.能够把数学问题转化成数学问题。 2.能够错助于计算器进行有三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力。过程与方法 经历探索实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用。 情感态度与价值观 积极参与探索活动，并在探索过程中发表自己的见解，体会三角函数是解决实际问题的有效工具。 重点：能够把数学问题转化成数学问题，能够借助于计算器进行有三角函数的计算。 难点：能够把数学问题转化成解直角三角形问题，会正确选用适合的直角三角形的边角关系。 教学过程 一、问题引入，了解仰角俯角的概念。 提出问题：某飞机在空中A处的高度AC＝1500米，此时从飞机看地面目标B的俯角为18，求A、B间的距离。 提问：1.俯角是什么样的角？，如果这时从地面B点看飞机呢，称ABC是什么角呢？这两个角有什么关系？
2.这个△ABC是什么三角形？图中的边角在实际问题中的意义是什么，求的是什么，在这个几何图形中已知什么，又是求哪条线段的长，选用什么方法？ 教师通过问题的分析与讨论与学生共同学习也仰角与俯角 的概念，也为运用新知识解决实际问题提供了一定的模式。 二、测量物体的高度或宽度问题. 1.提出老问题，寻找新方法 我们学习中介绍过测量物高的一些方法，现在我们又学习了锐角三角函数，能不能利用新的知识来解决这些问题呢。 利用三角函数的前提条件是什么？那么如果要测旗杆的高度，你能设计一个方案来利用三角函数的知识来解决吗？ 学生分组讨论体会用多种方法解决问题，解决问题需要适当的数学模型。 2.运用新方法，解决新问题. ⑴从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30，测量仪距古塔60米，则古塔高（）米。 ⑵从山顶望地面正西方向有C、D两个地点，俯角分别是45、30，已知C、D相距100米，那么山高（）米。 ⑶要测量河流某段的宽度，测量员在洒一岸选了一点A，在另一岸选了两个点B和C，且B、C相距200米，测得ACB ＝45，ABC＝60，求河宽（精确到0.1米）。 在这一部分的练习中，引导学生正确来图，构造直角三角形
任意角的三角函数 一、教学目标 1、知识目标：借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义，根据定义探讨出三角函数值在各个象限的符号，掌握同一个角的不同三角函数之间的关系。 2、能力目标：能应用任意角的三角函数定义求任意角的三角函数值。 3、情感目标：培养数形结合的思想。 二、教材分析 1、教学重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 2、教学难点：从函数角度理解三角函数。 3、教学关键：利用数形结合的思想。 三、教学形式：讲练结合法 四、课时计划：2节课 五、教具：圆规、尺子 六、教学过程 (一)引入 我们已经学过锐角三角函数，知道他们都是以锐角为自变量，以比值 为函数值的函数，你能用直角坐标系中的终边上点的坐标来表示锐角 三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它 的终边在第一象限，在α的终边上任取一点P （a,b ）,它与原点的距离 r=22b a +>0.根据初中学过的三角函数定义，我们有αsin =r b , r a αcos =
a b αtan =,取r=1,则a b tan αa,cos αb,αsin ===，引入单位圆概念。 （二）新课 1、设α是以任意角，它的终边与单位圆交于P （x,y ）,那么： （1） y 叫做α的正弦，记作αsin , 即y αsin =； （2） x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x αcos =； （3） x y 叫做α的正切，记作αtan ，即x y αtan =)0(≠x . 注：用单位圆定义的好处就在于r=1,点的横坐标表示余弦值，纵坐标 表示正弦值。 2、根据任意角的三角函数定义，得到三种函数值在各象限的符号。 通过观察发现：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。总结出一条法则：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 注：这有利于培养学生观察和思考的能力，以方便记忆。 3、利用勾股定理可以推出：1cos sin 22=+αα，根据三角函数定义，当)(2z k k ∈+≠π πα时，有αα αtan cos sin =。这就是说同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。 4、例题 例1求 3 5π的正弦、余弦和正切值。 解:在直角坐标系中，作3π5=∠AOB ,易知AOB ∠的终边与单位圆的交点 坐标为)2 3,21 (-，所以
第1课时§1.1 任意角 【教学目标】 一、知识与技能 1.推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；象限角、坐标轴上的角的概念；终边相同角的表示方法． 2.理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法． 二、过程与方法：渗透数形结合的数学思想，考虑问题要细致，说理要明确 三、情感、态度与价值观：体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。 【教学重点难点】：（1）正角、负角、零角的定义；（2）终边相同的角的表示方法 【教学过程】 【问题情境】通过周期运动的实例引人三角函数．让学生对本章有一个初步印象． 【学生活动】初中我们已给角下了定义．我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角α．角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置的图形(先后用教具和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)． 讲解新课： 1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 一条射线OA绕着______________________，就形成角α．____ _叫做角α的始边，______叫做角α的终边，_____叫做角α的顶点． ⑵．“正角”与“负角”“0角” 我们把_______________________叫做正角，把_______________________叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，
并把这个角叫 ⑶意义 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1角有正负之分2角可以任意大 3可以为零角 2．“象限角及轴线角” 建立平面直角坐标系,角的顶点重合于___________，角的始边重合于_______，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限,称之为________） 3．终边相同的角 (1)在平面直角坐标系中作出30, 390，330角 ⑴观察：390，330角，它们的终边都与________角的终边相同 ⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与) (Z k k∈个周角的和： 390=______+____360330=______+_____360 ⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合： } {__________ = =β β S 例题分析： 例1、在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角 (1)120(2)640(3)95012' -??-? 例2、写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在360~720 -??间的角写出来：（1）60?（2）21 -?（3）36314 ?'。
锐角三角函数 中考主要考查点： 1． 锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值； 2． 解直角三角形；解直角三角形的应用； 3． 直角三角形的边角关系的应用 ? 知识点1. 直角三角形中边与角的关系 中，∠C=90° （1）边的关系： （2）角的关系： （3）边与角的关系： sinA = cosA= tanA= cotA= sinA ＝cosB ＝ a c ， cosA ＝sinB ＝ b c ，tanA ＝＝a b ， tanB ＝b a , cotA=b a ? 知识点2. 特殊角的三角函数值 特殊角30°，45°，60°的三角函数值列表如下： α sinα cosα tanα 30° 1 2 33 45° 22 22 1 60° 1 2 斜边 的对边 A ∠斜边 的邻边A ∠邻边的对边A ∠ 对边的邻边A ∠2 3 233
? 知识点3. 三角函数的增减性 已知∠A 为锐角，sinA 随着角度的增大而 增大 ，tanA 随着角度的增大而 增大 ， cosA 随着角度的增大而 减小 。 例1. 已知∠A 为锐角，且cosA≤ 2 1 ，那么（ ） （A ） 0°＜A≤60°（B ）60°≤A ＜90°（C ）0°＜A≤30°（D ）30°≤A ＜90° ? 知识点4. 同角三角函数与互为余角的三角函数之间的关系。 1. 同角三角函数的关系 1cos sin 22=+A A A A A cos sin tan = 1cot tan =?A A 2. 互为余角的三角函数之间的关系90=+B A B A B A sin cos cos sin == ?=47cos 43sin ο 1tan tan =?B A ? 知识点5. 直角三角形的解法 直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的依据，因此，解直角三角形的关键是 正确选择直角三角形的边角关系式，使两个已知元素（其中至少有一个元素是边）. 重要类型: 1.已知一边一角求其它。 2.已知两边求其它。 例2. 在中，∠C=90°，，∠A －∠B=30°，试求的值。 A C B
高中数学三角函数教案 一、教学目标 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义包括定义域、正负符号判断;了解任意 角的余切、正割、余割函数的定义. 2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概 念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验. 3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的 辩证唯物主义世界观. 4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 二、重点、难点、关键 重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、正负符号判断法. 难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性α确定,比值也随之确定与依赖性比值随着α的变化而变化. 三、教学理念和方法 教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模 仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、 讲练结合”的方法组织教学. 四、教学过程 [执教线索: 回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义锐角三角形边角关系——问题情境:能推广 到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系为何?——优化认知:用直角坐标系研究锐角三 角函数——探索发展:对任意角研究六个比值与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数 定义吗?——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析对应法则、定义域、值域与正负符号判定——例题与练习——回顾小结——布置作业]
【锐角三角函数全章教案】 锐角三角函数（第一课时） 教学三维目标： 一.知识目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。 二.能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。 三.情感目标：提高学生对几何图形美的认识。 教材分析： 1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念 2．教学难点:用含有几个字母的符号组siaA 、cosA 、tanA 表示正弦，余弦，正切 教学程序： 一．探究活动 1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。 2．归纳三角函数定义。 siaA= 斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠,tanA=的邻边 的对边 A A ∠∠ 3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC 中的siaA,cosA,tanA 的值。 4.学生练习P21练习1，2，3 二．探究活动二 1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60°
2. 求下列各式的值 （1）sia 30°+cos30°（2）2sia 45°-21cos30°(3)0 4530cos sia +ta60°-tan30° 三．拓展提高P82例4.（略） 1. 如图在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=2 3 ,AC=23,求AB 四．小结 五．作业课本p85－86 2,3,6,7,8,10
解直角三角形应用（一） 一．教学三维目标 (一)知识目标 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． (二)能力训练点 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． (三)情感目标 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：直角三角形的解法． 2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边． 三、教学过程 (一)知识回顾 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA=b a (2)三边之间关系 a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． （二） 探究活动 1．我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情． 2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)． 3．例题评析
2017年中考数学复习解直角三角形及其应用 【课前热身】 1. 某坡面的坡度为1 _______度． 【考点链接】 2．如图（1）解直角三角形的公式： （1）三边关系：__________________． （2）角关系：∠A+∠B ＝_____， 图1 （3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______． cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____． 3．如图（2）仰角是____________,俯角是____________． 4．如图（4）坡度：AB 的坡度i AB ＝_______，∠α叫_____，tanα＝i ＝____． （图2） （图3） （图4） 【典例精析】 例1 海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北 偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． O A B C
1．升国旗时，某同学站在离旗杆24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的 仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m，则旗杆高度约为_______. 1.73，结果精确到0.1m） 2．已知：如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC的长. (结果保留根号) ﹡3．如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB．（保留根号）
人教A版必修4 第一章三角函数教学设计 一、教材分析 三角函数是基本初等函数，它是用来描述客观世界的周期现象，也，是刻画这种现象的重要数学模型。本章是解决实际问题的有利工具，在数学和其他领域中都具有重要的作用。学生将通过单位圆的性质，归纳、学习三角函数、图象及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律问题中的作用。 1. 本单元教学内容的范围 1.1 任意角和弧度制； 1.2 任意角的三角函数； 1.3 三角函数的诱导公式； 1.4三角函数的图象与性质； 1.5 函数 y = Asin(ωx+φ) 的图象； 1.6 三角函数模型的应用 本章知识结构如下: 2．本单元教学内容在模块体系中的地位与作用 本单元学习的主要内容是三角函数的定义、图象、性质及应用。
“三角函数”、“三角恒等变换”和“解三角形”构成高中“三角”知识的主 体。“三角”部分的知识是基础知识和工具性知识，三角函数是基本初等函数，学习三角函数是对函数模型的丰富、函数概念的深化。 三角函数是描述周期现象的重要数学模型，是高中函数知识的重要组成部分，在数学和其他领域中具有重要的作用。在本单元中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。 3．本单元教学内容的特点 （1） 突出单位圆与三角函数的密切关系，体现数形结合思想的重要作用。 （2） 通过信息技术的使用，增强了对三角函数图象的直观性认识。 （3） 重视三角函数的应用，体现数学的应用价值。 （4） 提供积极思考、自主探索的空间，使学生主动地学习 。 4．本单元教学内容总体教学目标 （1） 任意角和弧度制 了解任意角的概念。 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。 （2） 任意角的三角函数 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 理解同角三角函数的基本关系式： 1cos sin 22=+x x ，x x x tan cos sin = （3） 三角函数的诱导公式 能利用单位圆中的三角函数线推导出 απ±2，απ± 的正弦、余弦、正切 的诱导公式。 （4） 三角函数的图像和性质 能画出 x y sin =，x y cos =，x y tan = 的图像，了解三角函数的周期性。 借助图象理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[π，正切函数在区间
《锐角三角函数》教案 教学目标 1．知识与技能： （1）经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切正弦、余弦的意义和与现实生活的联系． （2）能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度（坡比）等． （3）能够根据直角三角形的边角关系，用正切、正弦、余弦进行简单的计算． 2．过程与方法： 体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题． 3．情感态度与价值观： 进一步锻炼学生用数学的观点来解释身边的事物，形成良好的数学思维习惯和思维品质． 教学重点 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系． 教学难点 理解正切、正弦、余弦的意义，并用它来表示两边的比． 教学过程 第一环节创设问题情境 活动内容：观察梯子的倾斜程度 梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？为了描述梯子的这种倾斜程度，先给大家介绍三个简单的概念：倾斜角，铅垂高，水平宽．1．图1—1和图1—2中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你是如何判断的？
2．图1—3中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你又是如何判断的？ 对于图1—3，学生可能难于下手，这时老师可以借助几何画板的动态演示，引导学生比较对边与邻边的比值，即比较表一中的1t 与2t 大小，当12t t >、12t t <、12t t 时，借助几何画板直观的验证梯子的倾斜程度，以突破学生认识上的障碍．（为了方便研究，表格中的数据精确到十分位）． 活动目的：先让学生从图1-1和图1-2中直观感受梯子的倾斜程度，再让学生理性思考该如何寻找方法判断图1-3中梯子的倾斜程度．这样学生会感到知识上的匮乏，从而对数学产生好奇心和求知欲．让他们从实例中体会不同情况下比较梯子的倾斜程度只靠直观感受是不够的，还需要其他方法——用边的比进行比较． 第二环节 探求新知 活动内容1：在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺来测量，你有什么巧妙的方法得到梯子的倾斜程度呢？ 图1— 1 图1—2 图1— 3 表 1
高一数学三角函数教案 高一数学《三角函数》教案如下： 已知三角函数值求角反正弦，反余弦函数 目的：要求学生初步了解理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合。 过程： 一、简单理解反正弦，反余弦函数的意义。 由 1在R上无反函数。 2在上， x与y是一一对应的，且区间比较简单 在上，的反函数称作反正弦函数， 记作，奇函数。 同理，由 在上，的反函数称作反余弦函数， 记作 二、已知三角函数求角 首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的。 已知三角函数值求角是多值的。 例一、1、已知，求x 解：在上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个 ∴ 即 2、已知 解：，是第一或第二象限角。 即。 3、已知
解： x是第三或第四象限角。 即或 这里用到是奇函数。 例二、1、已知，求 解：在上余弦函数是单调递减的， 且符合条件的角只有一个 2、已知，且，求x的值。 解：， x是第二或第三象限角。 3、已知，求x的值。 解：由上题：。 介绍：∵ ∴上题 例三、见课本P74-P75略。 三、小结：求角的多值性 法则：1、先决定角的象限。 2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x; 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x， 3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。 四、作业：P76-77 练习 3 习题4.11 1，2，3，4中有关部分。 高一数学《三角函数的周期性》教案如下： 一、学习目标与自我评估 1 掌握利用单位圆的几何方法作函数的图象 2 结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期 3 会用代数方法求等函数的周期
第一章三角函数 1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系讨论任意角. 2.能在0o到360o范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角. 3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合. 一、自主学习 （预习教材P2~ P5，找出疑惑之处） 体操跳水比赛中有“转体720o”，“翻腾转体两周半”这样的动作名称,720o在这里表示什么？ 二、新课导学 ※释疑解难 问题1：在初中我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？ 问题2：（1）手表慢了5分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？ （2）手表快了10分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？ 问题3：任意角的定义（通过类比数的正负，定义角的正负和零角的概念） 问题4：能以同一条射线为始边作出下列角吗？ 210o-150o-660o
问题5：上述三个角分别是第几象限角，其中哪些角的终边相同. 问题6：具有相同终边的角彼此之间有什么关系？你能写出与60o角的终边相同的角的集合吗？ ※合作探究 例1：在0o到360o的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角： （1）650o（2）-150o（3）-990o151 （1）终边落在x轴正半轴上的角的集合如何表示？终边落在x轴上呢？变式训练： （2）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？ 例2:若α与240o角的终边相同 （1）写出终边与α的终边关于直线y=x对称的角β的集合.
（2）判断2 α是第几象限角. 变式训练：若α是第三象限角，则-α， 2α，2α分别是第几象限角. 例3：如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）. 变式训练： （1）第一象限角的范围 （2）第二、四象限角的范围是 ______________. ※ 巩固训练 1.已知A={第一象限角}，B={锐角}， C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ?C D ．A=B=C 2.下列结论正确的是（ ） A.三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同 D ． { }Z k k ∈±?=,90360| αα = x
第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数（2） 一、知识点 1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦 2. 用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算. 二、教学目标 知识与技能 1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系. 2. 能够用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 过程与方法 1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. 情感态度与价值观 1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学. 2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯. 三、重点与难点 重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系. 难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题. 四、复习引入 设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望. 五、探究新知 探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考： （1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ； （2） 的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； （3）如果改变B 2在斜边上的位置，则 的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________. B 1 B 2 A C 1 C 2
初中数学 三角函数 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3 4 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) A 90 B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 对边 邻边 C A 90 B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A
6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 :i h l =h l α
本章复习与小结（1课时） 教学目标： 知识与技能 （1）了解本章的知识结构体系，在整体上有一个初步的认识；（2）加深对任意角、弧度及三角函数的理解；（3）掌握三角函数的图像与性质，能利用性质进行解题；（4）掌握一定的解题方法，形成较好的能力。 过程与方法 三角函数是一种重要的函数，通过整理本章的各知识点以及它们之间的联系，帮助学生系统地认识本章内容，从而对本章内容有全面的认识，上升到更高一个水平；启发学生将本章内容与数学1、数学2的横向联系，形成知识的网络化。 情感态度与价值观 通过本节的复习，使同学们对三角函数有一个全面的认识；以辩证唯物主义的观点看待任何事，养成一种科学的态度；帮助学生树立正确的世界观和人生观，树立远大理想，立志为国争光，为洋浦的开发建设贡献力量。 二、教学重、难点 重点: 三角函数定义，以及三角函数的图像与性质 难点: 本章内容的系统掌握与灵活运用 三、学法与教学用具 师生共同整理本章的知识结构体系，从角到角的度量，从三角函数的定义到它们之间的关系，再到三角函数的图像与性质；整理本章出现的各种题目，从中理顺它们的关系，将它们适当归类，提炼其中的方法，争取做到举一反三、触类旁通。 教学用具：投影仪、三角板 四、教学思路 【知识的初步整合】 【知识的概括与引申】 1．角是由射线的旋转所产生的，那么就有旋转量与旋转方向的问题，所以必须推广到任意正角、负角和零角。为了使弧长公式在形式上变得简单，引进了弧度制，这一度量单位不仅使弧长公式、扇形面积公式得以简化，也为定义任意角的三角函数作好了准备。 2．同角三角函数的基本关系的作用是：已知某任意角的一种三角函数值，就能求出另一种三角函数值。
23.1锐角的三角函数 1. 锐角的三角函数 第一课时正切 教学目标 ◆知识与技能 1.初步了解角度与数值的一一对应的函数关系。 2.会求直角三角形中某个锐角的正切值。 3.了解坡度的有关概念。 ◆过程与方法 让学生经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。 ◆情感态度 通过探究活动激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索，合作交流，培养学生的创新意识。 教学重点： 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系。 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系。 教学难点： 锐角三角函数的概念的理解。 教学准备 多媒体课件制作 教学设计 一、导入新课 导语：因为这座桥的设计让它成为了旅游新热点，火起来的原因不是因为怪异的设计或者美不胜收的景色，而是大家都很好奇这个桥的坡度到底有多陡？陡峭堪比过山车！
不少人给这座桥赋予了极不靠谱的数据，实际上这个坡的斜率仅为6.1%，如果按咱们口头常用单位来讲还不足4度。 大家看到这个图片后一定很吃惊，那我们要想了解这副图的背景故事，我们就要来学习这里出现的数据6.1%和4度代表了什么? （导入课题锐角三角函数） 二、推进新课 1．交流合作 【问题1】在图23－2中有两个直角三角形，直角边AC与A 1C 1 表示水平面，斜 边AB与A 1B 1 分别表示两个不同的坡面，哪个更陡？你是怎么判断的？ 学生可由水平长度相等，铅直高度不同进行判断． 【问题2】当水平长度和铅直高度都不相等时，类似的在图23－3中，坡面AB 与A 1B 1 哪个更陡？你又是如何判断呢？
第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时三角函数的综合应用(对应学生用书(文)、(理)57～59页 ) 考情分析考点新知 理解和掌握同角三角函数的基本关系 式、三角函数的图象和性质、两角和与差的 正弦余弦与正切公式、二倍角公式及正弦定 理和余弦定理，并能运用它们解决有关三角 函数的综合问题． 2. B级考点：① 同角三角函数的基本关系式 ②二倍角公式 ③三角函数的图象和性质 ④正弦定理和余弦定理 1. (必修5P9例题4题改编)设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且 a cosA＝ c sinC，则A＝________． 答案： π 4 解析：由 a cosA＝ c sinC， a sinA＝ c sinC，得 a sinA＝ a cosA，即sinA＝cosA，所以A＝ π 4. 2. (必修4P45习题1.3第8题改编)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin? ? ? ? x－ π 6的图象，则φ＝________． 答案： 11 6π 解析：将函数y＝sinx向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y＝sin(x＋φ)．只有φ＝ 11 6π时有y ＝sin? ? ? ? x＋ 11 6π＝sin? ? ? ? x－ π 6. 3. (必修4P109习题3.3第6(2)题改编)tan π 12－ 1 tan π 12 ＝________． 答案：－2 3 解析：原式＝ sin π 12 cos π 12 － cos π 12 sin π 12 ＝ －? ? ? ? cos2 π 12－sin2 π 12 sin π 12cos π 12 ＝ －cos π 6 1 2sin π 6 ＝－2 3.
人教版高中数学三角函数 全部教案 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
三角函数 第一教时 教材：角的概念的推广 目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角” “终边相同的角”的含义。 过程：一、提出课题：“三角函数” 回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义 的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。 二、角的概念的推广 1．回忆：初中是任何定义角的（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘” 2．讲解：“旋转”形成角（P4） 突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边” “始边”往往合于x轴正半轴 3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 记法：角α或α ∠可以简记成α
4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1角有正负之分如：=210=150=660 2角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080） 3还有零角一条射线，没有旋转 三、关于“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：是第Ⅰ象限角30060是第Ⅳ象限角 5851180是第Ⅲ象限角2000是第Ⅱ象限角等 四、关于终边相同的角 1．观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同 2．终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与) k∈个周角的和 k (Z 390=30+360)1 k (= 330=30360)1 (= k = (- k30=30+0×360)0
第一课时任意角的三角函数的定义 知识与技能： 1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。 过程与方法： 1理解并掌握任意角的三角函数的定义； 2树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； 3通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 情感态度与价值观： 1使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式 2学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一 教学难点：任意角三角函数的定义． 一．复习引入 思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？ ——————————————第 1 页（共6页）——————————————
——————————————第 2 页 （共 6页）—————————————— 结论：在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦， 余弦，正切依次为：,,a b a sinA cosA tanA c c b === 锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数 思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义. 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合 ,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b . 则sin MP b OP r α= =; cos OM a OP r α= =; tan MP b OM a α==. 思考2：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么? 根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点P 的位置的改变而改变大小. 我们可以将点P 取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数： sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP b OM a α==. 单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,圆. 上述P 点就是α的终边与单位圆的交点, 锐角α的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示. 二新课讲授 1.任意角的三角函数的定义 结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.
6.1锐角三角函数⑴教学设计 一.教学目标： 1.知识与技能： 了解三角函数的概念，理解正弦、余弦、正切的概念； 掌握在直角三角形之中，锐角三角函数与两边之比的对应关系； 掌握锐角三角函数的概念并会求一个锐角的三角函数值. 2.过程与方法： ⑴ 通过经历三角函数概念的形成过程,丰富学生的数学活动经验； ⑵ 渗透数形结合的数学思想方法. 3.情感态度与价值观： ⑴ 让学生感受数学来源于生活又应用于生活，体验数学的生活化经历； ⑵ 培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神. 二.重点、难点： 重点：锐角三角函数的概念. 难点：锐角三角函数概念的形成. 三.教学过程： （一）、创设情境，激趣设疑 通过创设“生活中测量塔的高度、山坡上修建的扬水站需要的水管 ”的情境，让学生思考利用直角三角形的边角关系能否求物体的高度和长度. 设计意图：从生活中的实例出发，设置疑问，激发学生的求知欲. （二）、合作探究，引出新知 1．实践：已知一个45°的∠A ，在角的一边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 于点C.量出BC ，AB 的长度（精确到1毫米）.计算AB BC 的值（结果保留2个有效数字），并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较. 设计意图：通过动手操作、合作、交流，直观感知比值AB BC 非常接近，大小和点B 的位置无关，并由此猜想比值是个定值。在活动的过程中，教给学生探
究的常用方法：观察、测量、比较、归纳、猜想等，有效培养学生的探究能力，丰富学生的数学活动经验。同时学生的实践活动，让他们经历了三角函数的概念的初步形成过程. 教师引导学生验证:对于给定一锐角α，比值AB BC 是一定值. ① 利用相似三角形的性质，说明“对于每一个确定的锐角α，在角的一边上任取一点B,作BC ⊥AC 于点C,比值AB BC 都是一个确定的值,与点B 在角的边上的位置无关”. ② 出示几何画板，演示对应于不同大小的角度，总有相应的比值AB BC ，让学生直观感知比值AB BC 与角度的对应. 设计意图：利用相似三角形对应边成比例的性质,验证第一环节的猜想是正 确的,即:当角度确定时,比值AB BC 是个定值.同时利用几何画板的直观演示,让学生 进一步感知:对应于每一个不同的角度, AB BC 都会有一个确定的值.至此，锐角三角函数的概念已是呼之欲出. 教师引导学生发现当锐角α确定时,AB AC ,AC BC 的比值也是定值,并说明理由. 设计意图： 先给出比值AB BC 是定值的验证，然后类比2的验证过程得出另两个比值也是定值，这样的设计可以降低难度，并渗透“类比”的数学思想方法和探究方法. 4.新知应用、变式1、变式2于学生掌握新知，为本节课的后续学习打下基础。 5.教师引导学生说出锐角α与AB BC ,AB AC ,AC BC
第一章直角三角形的边角关系 1.5 三角函数的应用 一、知识点 1.用三角函数解决实际问题. 2.借助于计算器进行有关三角函数的计算. 二、教学目标 知识与技能： 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明. 过程与方法： 1.从生活实际问题中提炼出用三角函数解决问题的数学的思想. 2.进一步感受数形结合的思想（方程方法与画图法），力图引发学生从三个例题解答中归纳并建构数学模型思想，即抽象成平面图形（直角三角形），再利用三角函数解决问题及其拓展与延伸 情感态度与价值观： 1.发展学生的数学应用意识和解决问题的能力. 2.能将实际问题抽象成数学问题（数学符号或图像）. 3.让学生在探索活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力. 三、重点与难点 重点：1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力. 难点：灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当三角函数来解决. 四、回顾与思考（出示幻灯片2） 1.直角三角形中，三边的关系？两个锐角的关系？边与角的关系？ 2.互余两角之间的三角函数关系？ 3.同角之间的三角函数关系？ 4.30°、45°、60°角的三角函数值是多少？ 五、创设情境，导入新知 问题情景：请同学们欣赏动画影片《船要触礁了》（出示幻灯片3） 问题1：大家看到了什么？ 问题2：有什么感受？
引导学生交流，并提出本节课要探究的课题. 学生回答老师提出的问题. 活动目的：从学生熟知的现实情景入手，既增强了趣味性，一下子抓住学生的注意力；又能使课题蕴含其中，使学生体会数学就在我们身边，也合理地揭示了学习新知识的必要性，从而激发学生探究的积极性. 六、探究新知 （一）探究一：船是否有触礁（出示幻灯片4） 如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流. 1.在绝大部分学生解答完毕的情况下，小组内推选较好的学生黑板板书自己的解答过程，供全班同学交流、讨论，达到互通有无、查缺补漏的作用. 2.教师对学生解答过程中闪光点给予肯定和表扬----比如在用三角函数时能指出所涉及的直角三角形，供其他学生们学习. 3.鼓励学生从不同角度思考，用不同的方法进行求解. （出示幻灯片5） 活动目的：同学们对此问题独立思考，能确定解答的方案，不理解的地方要积极地和同学、教师交流，从而释惑解疑. （二）探究二：塔有多高（出示幻灯片6、7） 小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m) 2.学生把自己的解决方案记录在纸上，为黑板上展示自己的解答过程做好准备. 3.学生讲述解题思路，画图（抽象成数学问题），整理再现过程，展示成果（板演）（出示幻灯片8） 交流合作，将问题转化为数学问题，画出示意图.