2021年高中数学新北师大版必修第二册 第四章 2.3 三角函数的叠加及其应用 教案

2．3 三角函数的叠加及其应用必备知识基础练知识点一 辅助角公式 1．函数f (x )＝32 sin 2x ＋12cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2C ．2π，1D ．2π，22．使函数f (x )＝sin (2x ＋φ)＋3 cos (2x ＋φ)为奇函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 上是减函数的φ的一个值是( )A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．5π33．计算sin π12 －3 cos π12 的值为________．知识点二 三角函数的叠加应用 4．已知函数f (x )＝32 sin ωx ＋12cos ωx (ω>0)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 的值；(2)若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝1213 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π6 ＝－35 ，求cos (α＋β)的值．知识点三 三角函数模型的应用5．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3 cos π12 t －sin π12t ，t ∈[0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？关键能力综合练一、选择题1．函数y ＝sin x ＋cos x ＋2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 的最小值是( )A ．2－2B ．2＋2C ．3D ．12．若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4 B ．π2 C ．3π4D ．π3．若tan θ＝b a (－π2 <θ<π2)，a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2 sin (x ＋φ)(0≤φ<2π)，下列判断错误的是( )A ．当a >0，b >0时，φ＝θB ．当a >0，b <0时，φ＝θ＋2πC ．当a <0，b >0时，φ＝θ＋πD ．当a <0，b <0时，φ＝θ＋2π4．将函数y ＝sin (2x ＋φ)，φ∈(0，π)的图象向左平移π12 个单位长度得到函数g (x )的图象，已知g (x )是偶函数，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6 ＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－33 D ．335．已知函数f (x )＝sin 3x －3 cos 3x ，则下面结论错误的是( )A ．当x ∈[0，π2 ]时，f (x )的取值范围是[－3 ，2]B ．y ＝f (x )在[π3 ，π2 ]上单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π18对称D ．y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin 3x 的图象向右平移π3 个单位得到二、填空题6．函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a >0)的最大值为2，则a ＝________．7．函数y ＝sin x －3 cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3 cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．8．(易错题)已知cos (α－π6 )＋sin α＝435 ，则sin (α＋7π6)的值是________．三、解答题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝(22 ，－22)，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3 ，求x 的值．学科素养升级练1.(多选题)函数f (x )＝3 cos 2x －sin 2x ，x ∈R ，下列说法正确的是( )A ．f (x －π12 )为偶函数B ．f (x )的最小正周期为2πC ．f (x )在区间[0，π2 ]上先减后增D ．f (x )的图象关于x ＝π6对称2．(学科素养——数学运算)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ，其中ω>0.若f (x )在区间(π2 ，3π4)上单调递增，求ω的取值范围．2．3 三角函数的叠加及其应用必备知识基础练1．答案：A解析：f (x )＝32 sin 2x ＋12 cos 2x ＝sin (2x ＋π6 )，所以最小正周期为T ＝2π|ω|＝π，振幅为1.故选A.2．答案：B解析：由题意得f (x )＝sin (2x ＋φ)＋3 cos (2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3 . ∵函数f (x )为奇函数，且定义域为R ， ∴f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3 ＝0.∴φ＋π3 ＝n π，n ∈Z ，∴φ＝n π－π3，n ∈Z .令2k π＋π2 ≤2x ＋φ＋π3 ≤2k π＋3π2 ，k ∈Z ，得k π＋π12 －φ2 ≤x ≤k π＋7π12 －φ2，k ∈Z .又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π12－φ2≤0，k π＋7π12－φ2≥π4， k ∈Z ，∴2k π＋π6 ≤φ≤2k π＋2π3 ，k ∈Z ，∴当φ＝2π3时，满足题意．故选B.3．答案：－2解析：sin π12 －3 cos π12 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12 ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12 ＝－2cos π4 ＝－2 .4．解析：(1)因为f (x )＝32 sin ωx ＋12cos ωx ， 所以f (x )＝sin (ωx ＋π6).因为函数f (x )＝32 sin ωx ＋12cos ωx 的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π， 所以T ＝2π，ω＝2πT ＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 .所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π6 ＝sin π6 cos π4 －cos π6 sin π4 ＝2－64 .(2)由(1)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝sin α＝1213 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π6 ＝sin (β＋π)＝－sin β＝－35 ，所以sin β＝35. 因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，所以cos α＝1－sin 2α ＝513 ，cos β＝1－sin 2β ＝45 ，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝513 ×45 －1213 ×35 ＝－1665 .5．解析：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ，又0≤t <24，所以π3 ≤π12 t ＋π3 <7π3 ，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 >11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 <－12 .又0≤t <24，因此7π6 <π12 t ＋π3 <11π6 ，所以10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．关键能力综合练1．答案：C解析：原式＝2 ⎝⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22cos x ＋2＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＋2.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 ，∴x ＋π4 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 .当x ＋π4 ＝π4 或3π4 ，即x ＝0或x ＝π2 时，函数y 取得最小值，即y min ＝2 ×22＋2＝3.故选C. 2．答案：A解析：∵f (x )＝cos x －sin x ＝2 cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ，∴当2k π≤x ＋π4 ≤π＋2k π(k ∈Z )，即－π4 ＋2k π≤x ≤3π4 ＋2k π(k ∈Z )时，f (x )单调递减，∴[－a ，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 ，∴－a <a ，－a ≥－π4 ，a ≤3π4 .解得0<a ≤π4 ，∴a 的最大值为π4.故选A.3．答案：D解析：由选项知，ab ≠0，a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(a a 2＋b2sin x ＋ba 2＋b 2cos x )，令cos φ＝aa 2＋b 2 ，sin φ＝b a 2＋b 2，有tan φ＝sin φcos φ ＝b a ＝tan θ(－π2<θ<π2)，0≤φ<2π，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)，对于A ，当a >0，b >0时，φ为第一象限角，且0<φ<π2 ，0<θ<π2 ，tan φ＝tan θ，则φ＝θ，A 正确；对于B ，当a >0，b <0时，φ为第四象限角，且3π2 <φ<2π，－π2 <θ<0，tan φ＝tan(θ＋2π)，则φ＝θ＋2π，B 正确；对于C ，当a <0，b >0时，φ为第二象限角，且π2 <φ<π，－π2 <θ<0，tan φ＝tan (θ＋π)，则φ＝θ＋π，C 正确；对于D ，当a <0，b <0时，φ为第三象限角，且π<φ<3π2 ，0<θ<π2 ，tan φ＝tan (θ＋π)，则φ＝θ＋π，D 错误．故选D.4．答案：D解析：将函数f (x )＝sin (2x ＋φ)的图象向左平移π12个单位长度，得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ 的图象， 因为g (x )是偶函数，所以π6 ＋φ＝π2 ＋k π，k ∈Z ，又φ∈(0，π)，所以φ＝π3 ，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6 ＝tan π6 ＝33 .故选D.5．答案：D解析：f (x )＝sin 3x －3 cos 3x ＝2sin (3x －π3 )，当x ∈[0，π2 ]，3x －π3 ∈[－π3 ，7π6 ]，sin (3x －π3 )∈[－32，1]，f (x )的取值范围是[－3 ，2]，A 正确； 当x ∈[π3 ，π2 ]，3x －π3 ∈[2π3 ，7π6 ]，f (x )＝2sin (3x －π3 )单调递减，B 选项正确；当x ＝－π18 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18－π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2 ＝－2，y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π18对称，C 选项正确；由函数y ＝sin 3x 的图象向右平移π3 个单位得到y ＝sin 3(x －π3 )＝sin (3x －π)＝－sin 3x ，D 选项错误．故选D.6．答案：3解析：∵f (x )＝a sin x ＋cos x ＝a 2＋1 sin (x ＋φ)，tan φ＝1a ，φ∈(0，π2 )，∴当sin (x ＋φ)＝1时，f (x )取最大值，∴a 2＋1 ＝2，a >0，得a ＝3 .7．答案：2π3解析：因为y ＝sin x ＋3 cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ，y ＝sin x －3 cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 ，所以把y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 的图象至少向右平移2π3 个单位长度可以得到y ＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 的图象．8．答案：－45解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＋sin α＝435 ，得32 cos α＋12 sin α＋sin α＝435 ，即12 cos α＋32 sin α＝45 ，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝45 ，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6 ＝－sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝－cos [π2 －(α＋π6 )]＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝－45 . 9．解析：(1)∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22 ，n ＝(sin x ，cos x )，且m ⊥n ，∴m ·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22 ·(sin x ，cos x )＝22 sin x －22 cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝0.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，∴x －π4 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 ，∴x －π4 ＝0，∴x ＝π4 ，∴tan x ＝tan π4＝1.(2)由(1)及题意知 cos π3 ＝m ·n |m ||n |＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222·sin 2x ＋cos 2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝12 .又∵x －π4 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 ，∴x －π4 ＝π6 ，解得x ＝5π12.学科素养升级练1．答案：AC解析：由辅助角公式可得：f (x )＝3 cos 2x －sin 2x ＝2cos (2x ＋π6 )，由题可知f (x －π12 )＝2cos 2x ，为偶函数，A 正确；最小正周期T ＝2π2＝π，故B 错误；令2x ＋π6 ＝t ，t ∈[π6 ，7π6 ]，y ＝2cos t 在区间[π6 ，7π6]先减后增，故C 正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2cos π2 ＝0，所以f (x )关于点(π6，0)对称，D 错误．故选AC. 2．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2 sin (ωx ＋π4 )，由x ∈(π2 ，3π4 )，得ωx ＋π4 ∈(π2 ω＋π4 ，3π4 ω＋π4 )，因为f (x )在区间(π2 ，3π4)上单调递增，所以T 2 ＝πω ≥3π4 －π2，得ω≤4，且⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥－π2＋2k π，3π4ω＋π4≤π2＋2k π，解得－32 ＋4k ≤ω≤13 ＋83k ，k ∈Z ，又ω>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－32＋4k <13＋83k ，13＋83k >0，解得－18 <k <118 ，所以k ＝0或k ＝1，当k ＝0时，0<ω≤13 ，当k ＝1时，52≤ω≤3，综上所述，ω的取值范围为(0，13 ]∪[52 ，3].。

2.3 三角函数的叠加及其应用(15分钟35分)1.已知角α的终边经过点(-3,4),则sin的值为( )A. B.- C. D.-【解析】选C.因为角α的终边经过点(-3,4),则sin α=,cos α=-, 所以sin=sin αcos+cos αsin =×-×=.2.若α是锐角,且满足sin=,则cos α的值为( )A. B.C. D.【解析】选B.因为α是锐角,且sin=>0,所以α-也为锐角,所以cos===,cos α=cos=cos·cos -sin sin =×-×=.3.已知tan=,则tan α=_______.【解析】因为tan=tan=,所以=,解得tan α=.答案:【补偿训练】已知tan(α+β)=3,tan=2,那么tan β=_______.【解析】tan==2,则tan α=,又tan(α+β)==3, 所以tan β=.答案:4.已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=_______. 【解析】由sin α+cos β=1与cos α+sin β=0分别平方相加得sin2α+2sin αcos β+cos2β+cos2α+2cos αsin β+sin2β=1即2+2sin αcos β+2cos αsin β=1,所以sin(α+β)=-.答案:-5.已知cos αcos β-sin αsin β=0,那么sin αcos β+cos αsin β的值为_______.【解析】因为cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β)=0,所以α+β=k π+,k∈Z,所以sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β)=±1.答案:±16.已知tan=2,tan β=,求的值.【解析】由tan==2,解得tan α=.所以====tan(β-α)===.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tan α=( )A.0B.C.D.1【解析】选D.因为cos(α+β)=sin(α-β),所以cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β-cos αsin β,所以cos α(sin β+cos β)=sin α(cos β+sin β).因为α,β均为锐角,所以sin β+cos β≠0,所以cos α=sin α,所以tan α=1.2.若f(x)=3sin x-4cos x的一条对称轴方程是x=a,则a的取值范围可以是( )A. B.C. D.【解析】选D.因为f(x)=3sin x-4cos x=5sin(x-φ),则sin(a-φ)=±1,所以a-φ=kπ+,k∈Z,即a=kπ++φ,k∈Z,而tan φ=且0<φ<,所以<φ<,所以kπ+<a<kπ+π,k∈Z,取k=0,此时a∈.3.设a=sin 14°+cos 14°,b=sin 16°+cos 16°,c=,则下列结论正确的是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b【解析】选D.因为a=sin 14°+cos 14°=sin(45°+14°)=sin 59°,b=sin 16°+cos 16°=sin(45°+16°)=sin 61°,c==sin 60°,又因为函数y=sin x在0°<x<90°上是增函数,所以sin 59°< sin 60°<sin 61°,所以a<c<b.4.已知cos α=-且α∈,则tan等于( )A.-B.-7C.D.7【解析】选D.因为cos α=-,且α∈,所以sin α=,所以tan α==-,所以tan==7.5.已知α∈,tan α=2,则cos等于( )A. B. C. D.-【解析】选C.由tan α=2得sin α=2cos α,又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=.因为α∈,所以cos α=,sin α=.因为cos=cos αcos+sin αsin=×+×=.6.在△ABC中,cos A=,cos B=,则△ABC是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形【解析】选B.由题意得sin A=,sin B=,所以cos C=cos(π-A-B)=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=-×+×=-=-=-<0,所以C是钝角,故△ABC是钝角三角形.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知锐角α,β满足sin α=,cos β=,则α+β=_______.【解析】因为α,β为锐角,sin α=,cos β=,所以cos α=, sin β=.cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-.因为0<α+β<π,所以α+β=π.答案:8.已知α,β均为锐角,且tan β=,则tan(α+β)=_______,α+β=_______.【解析】因为tan β==.所以tan β+tan αtan β=1-tan α.所以tan α+tan β+tan αtan β=1.所以tan α+tan β=1-tan αtan β.又因为1-tanαtan β≠0,所以=1,所以tan(α+β)=1;由于α,β均为锐角,故0<α+β<π,故α+β=.答案:1【补偿训练】已知tan α=,cos β=且0<α<,<β<2π,则α+β的值为_______.【解析】因为<β<2π且cos β=,所以sin β=-,所以tan β==-2,所以tan(α+β)===-1,又因为0<α<,所以<α+β<π,所以α+β=π.答案:π三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知sin=-,sin=,其中<α<,<β<,求角α+β的值.【解析】因为<α<,所以-<-α<0.因为<β<,所以<+β<.由已知可得cos=,cos=-,则cos(α+β)=cos=cos cos+sin sin=×+×=-.因为<α+β<π,所以α+β=.10.已知tan(α-β)=,tan β=-,α,β∈(0,π),求2α-β的值. 【解析】tan α=tan[(α-β)+β]===.又因为α∈(0,π),而tan α>0,所以α∈.tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]===1.因为tan β=-,β∈(0,π),所以β∈,所以α-β∈(-π,0).由tan(α-β)=>0,得α-β∈,所以2α-β∈(-π,0).又tan(2α-β)=1,所以2α-β=-.(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)的值为( ) A.16 B.8 C.4 D.2【解析】选C.由于21°+24°=45°,23°+22°=45°,利用两角和的正切公式及其变形可得(1+tan 21°)(1+tan 24°)=2,(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2,故(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)=4.关闭Word文档返回原板块。

《三角函数的叠加及其应用》课标解读教材分析本节的主要内容是三角函数的叠加公式与积化和差、和差化积公式，这些公式都可由前面学习的两角和与差的正弦、余弦公式推导出来，是它们的延伸和发展，且可应用在研究三角函数性质时的化简过程中.而研究三角函数的性质也是高考重要的考查方面，因此这些公式显得尤为重要.本节的重点是三角函数的叠加公式、积化和差与和差化积公式的推导及应用，难点是积化和差与和差化积公式的灵活应用.突破重点与难点的关键，首先是理解公式的推导过程，其次要结合具体实例进行公式的灵活应用，要结合公式的应用去理解.本节内容所涉及的主要数学核心素养有：数学抽象、数学运算等.学情分析对学生而言，前面已经学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，对公式的递向应用也有一定的了解，有了前面的基础，学生学习叠加公式及积化和差与和差化积公式还是比较感兴趣的.学生学习本节内容时可能会在以下两个方面感到困难：一是三角函数叠加公式的推导，尤其是如何提取系数以及求辅助角，这个困难主要发生在两角和与差的三角函数公式的逆向应用过程中对特殊角、特殊值之间的转化关系上；二是积化和差与和差化积公式的应用，出现困难的原因是公式众多，记忆不熟，灵活性不够.教学建议和差化积公式与积化和差公式是在两角和与差的三角函公式基础上导出的两组公式，教学时，在内容处理上，不宜机械记忆和差化积与积化和差公式，也没有这个必要.可在解题过程中，不断练习公式的推导过程，并在不同的问题中，运用公式尝试不同的解题方法，从而对公式达到熟练应用的程度，这样处理体现了数学运算的核心素养对于叠加公式，教学时要特别重视从两角和与差的三角函数公式的逆向应用中进行抽象概括，并要引导学生用数学语言表达出叠加公式.由于叠加公式、积化和差公式、和差化积公式是三角恒等变换的重要公式，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生理解公式的推导，从而有更多的时间用于思考、探究三角恒等变换的方法.学科核心素养目标与素养1.理解三角函数叠加公式的推导过程，熟悉三角函数叠加公式的应用，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.2.理解用两角和与差的余弦、正弦公式推导积化和差与和差化积公式的过程，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.3.会利用所学公式对三角函数解析式进行化简并研究三角函数的性质，达到数学运算核心素养学业质量水平二的层次.情境与问题本案例先引导学生复习两角和与差的余弦、正弦公式，然后利用公式化简几个式子，最后提出问题：如何研究形如sin cos=+的函数的性质？引导学生探求新知，掌握新知，达y a x b x成要求的核心素养学业质量水平.内容与节点本节内容是上节课内容的延续，逆用两角和与差的余弦、正弦公式，可将函数=+的形式，并得出积化和差与和差化积公式，进而可研究y A xϕsin cosy a x b x=+化为sin()函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等.因此，三角函数的叠加公式、积化和差与和差化积公式是非常重要的公式.过程与方法1.经历由特殊到一般、由具体到抽象推导出三角函数的叠加公式的过程，发展学生的数学抽象核心素养.2.通过利用两角和与差的正弦、余弦公式，推导积化和差与和差化积公式的过程，发展学生的逻辑推理核心素养3在研究三角函数的性质的过程中，发展学生的数学运算核心素养. 教学重点难点重点三角函数的叠加公式、积化和差与和差化积公式的推导及应用.难点积化和差与和差化积公式的灵活应用.。

2.3 三角函数的叠加及其应用课后篇巩固提升基础达标练1.cos -17π4-sin -17π4的值是( )A.√2B.-√2C.0D.√22解析cos -17π4-sin -17π4=cos17π4+sin17π4=√2sin17π4+π4=√2sin 9π2=√2.答案A2.函数f(x)=sin x-cos x+π6的值域为( ) A.[-2,2] B.[-√3,√3] C.[-1,1]D.-√32,√32解析f(x)=sin x-cos x+π6=sin x-√32cos x+12sin x=32sin x-√32cos x =√3sin x-π6,所以函数f(x)的值域为[-√3,√3].3.已知f(x)=sin π3x+π3-√3cos π3x+π3,则f(1)+f(2)+…+f(2 020)的值为( ) A.2√3 B.√3 C.1D.0 解析f(x)=sinπ3x+π3-√3cosπ3x+π3=2sinπ3x+π3-π3=2sin π3x,所以周期为6,且f(1)+f(2)+…+f(6)=0,所以f(1)+f(2)+…+f(2 020)=f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=√3.4.已知向量a=sinα+π6,1,b=4,4cos α-√3,若a⊥b,则sinα+4π3等于( )A.-√34B.-14C.√34D.14解析因为a⊥b,所以a·b=4sinα+π6+4cos α-√3=2√3sin α+6cos α-√3=4√3sinα+π3-√3=0,所以sinα+π3=14,sinα+4π3=-sinα+π3=-14.答案B5.在△ABC中,A=15°,则√3sin A-cos(B+C)的值为( )A.√22B.√32C.√2D.2A+B+C=π,所以B+C=π-A.所以√3sin A-cos(B+C)=√3sin A-cos(π-A)=√3sin A+cos A=2sin(A+30°)=2sin(15°+30°)=√2.6.(多选)关于函数f(x)=cos2x-π3+cos2x+π6,下列说法正确的是( )A.函数f(x)的最大值是√2B.函数f(x)是以π为最小正周期的周期函数C.函数f(x)在区间π24,13π24上单调递增D.函数f(x)在区间π24,13π24上单调递减解析因为f(x)=cos2x-π3+cos2x+π6=cos 2x-π3+cos2x-π3+π2=cos 2x-π3-sin 2x-π3 =√2√22cos 2x-π3-√22sin 2x-π3=√2cos 2x-π3+π4=√2cos 2x-π12.所以函数f(x)的最大值是√2,最小正周期为T=2π2=π,选项A,B 正确; 由2k π≤2x -π12≤2kπ+π(k ∈Z),得k π+π24≤x≤kπ+13π24(k ∈Z), 所以函数f(x)在区间π24,13π24上单调递减,所以C 错误,D 正确.答案ABD7.化简:√24sin (π4-x)+√64cos (π4-x)= .(π4-x)+√64cos (π4-x) =√24[sin (π4-x)+√3cos (π4-x)] =√24×2[sin (π4-x)·12+cos (π4-x)·√32] =√22[sin (π4-x)cos π3+cos (π4-x)sin π3] =√22sin (π4-x +π3)=√22sin (7π12-x).(7π12-x)8.已知cos x-π6=-√33,则cos x+cos x-π3的值为 . 解析cos x+cos x-π3=cos x+12cos x+√32sin x=32cos x+√32sin x=√3√32cos x+12sin x=√3cos x-π6=-1.9.已知函数f(x)=sin x+π6+sin x-π6+acos x+b(a,b ∈R,且均为常数), (1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间-π3,0上单调递增,且恰好能够取到f(x)的最小值2,试求a,b 的值.解(1)f(x)=sin x+π6+sin x-π6+acos x+b=2sin xcos π6+acos x+b=√3sin x+acos x+b=√a 2+3sin(x+φ)+b.所以,函数f(x)的最小正周期为2π.(2)由(1)可知:f(x)的最小值为-√a 2+3+b. 所以,-2+3+b=2.另外,由f(x)在区间-π3,0上单调递增. 可知,f(x)在区间-π3,0上的最小值为f -π3. 所以,f -π3=-32+a 2+b=2. 解得a=-1,b=4.能力提升练1.已知cos α-π6+sin α=45√3,则sin α+7π6的值是 ( )A.-2√35B.2√35C.-45D.45解析因为cos α-π6+sin α=45√3,所以√32cos α+32sin α=45√3. 所以√312cos α+√32sin α=45√3. 所以sinπ6+α=45.所以sin α+7π6=-sin π6+α=-45. 答案C2.已知函数f(x)=sin(2ωx+φ)+cos(2ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),若f(x)的最小正周期为π,且f(-x)=-f(x),则f(x)的解析式为( ) A.f(x)=-√2sin 2x B.f(x)=√2sin 2x C.f(x)=-√2cos 2xD.f(x)=√2cos 2x解析由三角函数的叠加公式可得f(x)=√2sin 2ωx+φ+π4,因为f(x)的最小正周期为π,所以2|ω|=2πT =2ππ=2,因为ω>0,所以ω=1,则f(x)=√2sin 2x+φ+π4. 又因为f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数, 所以φ+π4=k π(k ∈Z),即φ=k π-π4.又因为0<φ<π,则令k=1,所以φ=3π4, 所以f(x)=√2sin(2x+π)=-√2sin 2x.3.已知√3sin x+cos x=2a-3,则a 的取值范围是( ) A.12≤a≤52 B.a≤12 C.a>52D.-52≤a≤-12解析因为√3sin x+cos x=2sin x+π6=2a-3,所以sin x+π6=a-32.所以-1≤a -32≤1, 即12≤a≤52.4.若动直线x=a 与函数f(x)=sin x 和g(x)=cos x 的图象分别交于M,N 两点,则|MN|的最大值为( ) A.1B.√2C.√3D.2M,N 的坐标分别为(a,sin a),(a,cos a),所以|MN|=|sin a-cos a| =√2sin a ·√22-cos a ·√22=√2sin a-π4≤√2(a ∈R).所以|MN|max =√2.5.(多选)设f(x)=asin 2x+bcos 2x,ab ≠0,若f(x)≤|f(π6)|对任意x ∈R 成立,则下列命题中正确的是 ( )A.f11π12=0B.|f(7π10)|<|f(π5)| C.f(x)是非奇非偶函数D.可能存在经过点(a,b)的直线与函数的图象不相交f(x)=2+b 2θ),由于f(x)≤|f(π6)|对任意x ∈R 成立,故x=π6是函数f(x)的对称轴, 所以2×π6+θ=k π+π2,θ=k π+π6. 所以f(x)=√a 2+b 2sin 2x+k π+π6 =±√a 2+b 2sin 2x+π6. 因为f11π12=±√a 2+b 2sin 2×11π12+π6=0,所以A 正确.显然|f(7π10)|=|f(π5)|,所以B 错误.根据f(x)的解析式可知f(x)是非奇非偶函数,所以C 正确.要使经过点(a,b)的直线与函数f(x)没有交点,则此直线和x 轴平行,且|b|>√a 2+b 2,两边平方得b 2>a 2+b 2,这不可能,矛盾,所以不存在经过点(a,b)的直线与函数的图象不相交,所以D 错误.故选AC.6.若方程12x 2+πx-12π=0的两个根分别是α,β,则α+β= ,cos αcos β-√3sin αcos β-√3cos αsin β-sin αsin β= .α+β=-π12.所以cos α·cos β-√3sin α·cos β-√3cos αsin β-sin α·sin β=cos(α+β)-√3sin(α+β)=212cos(α+β)-√32sin(α+β) =2sinπ6-(α+β)=2sin π6+π12=2sin π4=√2. -π12 √27.已知向量a=(√3,cos 2ωx),b=(sin 2ωx,1)(ω>0),令f(x)=a ·b,且f(x)的周期为π.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若x ∈0,π2时f(x)+m≤3,求实数m 的取值范围.解(1)f(x)=a ·b=√3sin 2ωx+cos 2ωx=2sin 2ωx+π6,因为f(x)的周期为π,且ω>0,所以ω=1.所以f(x)=2sin 2x+π6. (2)因为x ∈0,π2,所以2x+π6∈π6,7π6.所以sin 2x+π6∈-12,1, 所以f(x)∈[-1,2].由f(x)+m≤3,得f(x)max +m≤3即可. 所以2+m≤3,所以m≤1.8.已知函数f(x)=sin 2x+π3-√3cos 2x+π3. (1)写出f(x)的单调区间; (2)求f(x)在-π6,π3上的值域.解(1)f(x)=sin 2x+π3-√3cos 2x+π3=212sin 2x+π3-√32cos 2x+π3=2sin 2x.由2k π-π2≤2x≤2kπ+π2(k ∈Z), 得k π-π4≤x≤kπ+π4(k ∈Z). 由2k π+π2≤2x≤2kπ+32π(k ∈Z), 得k π+π4≤x≤kπ+34π(k ∈Z).所以f(x)的单调递增区间为k π-π4,k π+π4(k ∈Z),单调递减区间为k π+π4,k π+34π(k ∈Z).(2)由(1)知f(x)=2sin 2x,因为-π6≤x≤π3, 所以-π3≤2x≤23π.所以-√3≤2sin 2x≤2. 所以函数f(x)=sin 2x+π3-√3cos 2x+π3的值域为[-√3,2]. 素养培优练1.已知函数f(x)=asin x+bcos x(x ∈R,ab ≠0),若x=x 0是函数f(x)的一条对称轴,且tan x 0=4,则点(a,b)满足的关系为( ) A.a+4b=0 B.a-4b=0 C.4a-b=0D.4a+b=0解析由f(x)=asin x+bcos x,得f(x)=√a 2+b 2cos(x-φ)tan φ=a b,因为x=x 0是函数f(x)的一条对称轴,即x 0-φ=k π(k ∈Z),即x 0=φ+k π,k ∈Z, 因为tan x 0=4,所以tan x 0=tan φ=4, 即ab =4,所以a-4b=0.2.函数f(x)=asin x+bcos x 称为向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b)的“相伴函数”.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S. (1)设函数h(x)=2sinπ3-x -cos π6+x ,求证:h(x)∈S;(2)记OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)的“相伴函数”为f(x),若函数g(x)=f(x)+2√3|sin x|-1,x ∈[0,2π]与直线y=k 有且仅有四个不同的交点,求实数k 的取值范围. 解(1)因为h(x)=2sinπ3-x -cos π6+x=-12sin x+√32cos x,所以函数h(x)是向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,√32的相伴函数,所以h(x)∈S.(2)因为f(x)=2cos x,所以g(x)=2cos x+2√3|sin x|-1 ={4sin(x +π6)-1,0≤x ≤π,4cos(x +π3)-1,π<x ≤2π,则g(x)在0,π3单调递增,π3,π单调递减,π,53π单调递增,53π,2π单调递减,又g(0)=1,gπ3=3,g(π)=-3,g5π3=3,g(2π)=1;因为函数g(x)=f(x)+2√3|sin x|-1,x ∈[0,2π]与直线y=k 有且仅有四个不同的交点,所以实数k 的取值范围为1≤k<3.。