《二倍角的三角函数》教案(1)(1)

《3.2二倍角的三角函数（一）》教学案第1课时二倍角的三角函数●三维目标1．知识与技能能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换．2．过程与方法通过公式的推导过程，使学生认识整个公式体系的形成过程，领会体现出的数学基本思想和方法，从而提高数学素质．3．情感、态度与价值观通过公式推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养学生辩证唯物主义观点．●重点难点重点：二倍角公式的推导及运用．难点：二倍角公式的灵活运用．教学方案设计●教学建议1．关于二倍角公式推导的教学教学时，建议教师先复习和角公式T(α＋β)，S(α＋β)，C(α＋β)，然后令α＝β，利用特殊化的推理方式，让学生自主推导出二倍角公式；在此基础上借助同角三角函数关系，引导学生得出C2α的其他两种形式．通过公式推导，让学生进一步体会公式间的密切联系，提高学生熟练应用公式解题的能力．2．关于二倍角公式应用的教学教学时，建议教师处理好以下两点：(1)强调“倍角”的相对性，打破学生习惯认为只有α与2α才具有二倍角关系．(2)通过例题教学让学生熟悉公式的正向、逆向和变形运用，特别是余弦公式的变式较多，教学中应适当通过题目强化训练．●教学流程创设问题情境，引出问题，如何用α的三角函数表示出sin 2α，cos 2α与tan 2α？⇒引导学生结合公式S α＋β、Cα＋β及Tα＋β推导出倍角公式，并探究二倍角余弦公式的变形.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握灵活运用倍角公式进行求值的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用倍角公式解决给值求值问题的求解策略及方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握三角函数式的化简方法及要求.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学1．如何利用两角和的正弦和余弦公式推导出sin 2α，cos 2α？【提示】 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α，即sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos(α＋α)＝cos 2α－sin 2α，即cos 2α＝cos 2α－sin 2α. 2．如何利用两角和的正切公式推导出tan 2α？【提示】 tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α，即tan 2α＝2tan α1－tan 2α. (1)sin 2α＝2sin_αcos_α(S 2α)； (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)； (3)tan 2α＝2tan α1－tan α(T 2α).你还能得到二倍角的余弦公式其他变形吗？【提示】 利用sin 2α＋cos 2α＝1，公式C 2α可变形为cos 2α＝2cos 2α－1或cos 2α＝1－2sin 2α.cos 2α＝2cos 2α－1，cos 2α＝1－2sin 2α. 课堂互动探究例1 (1)cos π8cos 3π8； (2)12－cos 2π8； (3)tan π12－1tan π12； (4)cos 20°cos 40°cos 80°.【思路探究】 (1)中两角互余，故可以转化为同角正余弦的积的形式．(2)中的角的倍角为特殊角，故可以用降幂公式解决．(3)式可化为正切倍角公式的形式．(4)中可用公式的变形：cos α＝sin 2α2sin α来解决．【自主解答】 (1)cos π8cos 3π8＝cos π8sin π8 ＝12sin π4＝24.(2)12－cos 2 π8＝12(1－2cos 2π8)＝－12cos π4＝－24.(3)tan π12－1tan π12＝tan 2π12－1tan π12＝－2·1－tan 2π122tan π12＝－2×1tan π6＝－233＝－2 3.(4)cos 20°cos 40°cos 80°＝sin 40°2sin 20°·sin 80°2sin 40°·sin 160°2sin 80°＝18. 规律方法1．解答本类题关键是抓住公式及其变形式的特征，观察分析题目中具有的与公式相似的结构特征，从而找到解题的切入点．2．对于倍角公式应做到灵活运用，即根据所给式子的特点构造出倍角形式，正用、逆用或变形用倍角公式进行化简和求值．变式训练求下列各式的值：(1)2tan 15°1－tan 215°；(2)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 【解】 (1)2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. (2)∵sin 10°sin 50°sin 70° ＝sin 20°sin 50°sin 70°2cos 10° ＝sin 20°cos 20°sin 50°2cos 10°＝sin 40°sin 50°4cos 10°＝sin 40°cos 40°4cos 10° ＝sin 80°8cos 10°＝18，∴sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝116.例2 (1)已知sin α＋cos α＝13，0＜α＜π，求sin 2α的值；(2)已知cos α＝－45，α∈(π2，π)，tan(π－β)＝12，求tan(α－2β)的值．【思路探究】 (1)将已知等式两边平方，利用同角三角函数的基本关系求解；(2)已知α的余弦值和范围可求出tan α的值，利用诱导公式可求出tan β的值，然后利用倍角公式求出t an 2β的值，结合两角差的正切公式求解．【自主解答】 (1)sin α＋cos α＝13两边同时平方，得sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝19，因为sin 2α＋cos 2＝1，所以2sin αcos α＝sin 2α＝－89.(2)由已知条件得sin α＝1－cos 2α＝1－－452＝35，tan α＝sin αcos α＝－34，由tan β＝－tan(π－β)＝－12得tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝－11－14＝－43，所以tan(α－2β)＝tan α－tan 2β1＋tan αtan 2β ＝－34－－431＋－34－43＝724.规律方法对于给值求值问题，注意寻找已知式与未知式的联系，有以下两种解题方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．变式训练已知sin(π4－x )＝513，0＜x ＜π4，求cos 2xπ4＋x的值． 【解】 原式＝sπ2＋2xcπ4＋x ＝π4＋xπ4＋x π4＋x＝2sin(π4＋x )．∵sin(π4－x )＝cos(π4＋x )＝513，且0＜x ＜π4， ∴π4＋x ∈(π4，π2)， ∴sin(π4＋x )＝1－cos2π4＋x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.例3 化简：1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α.【思路探究】 本题主要考查二倍角公式的应用．基本思路是能化简成使该分式的分子与分母有公因式进行约分，解法有两种：一是将sin 4α＝2sin 2αcos 2α，cos 4α＝2cos 22α－1，cos 4α＝1－2sin 22α代入进行化简；二是将sin 4α＝2sin 2αcos 2α，1＋cos 4α＝2cos 22α，1－cos 4α＝2sin 22α代入进行化简．【自主解答】 法一 原式 ＝1＋2sin 2αcos 2α－1＋2sin 22α1＋2sin 2αcos 2α＋2cos 22α－1 ＝2sin 2αα＋sin 2α2cos 2αα＋cos 2α＝tan 2α. 法二 原式＝－cos 4α＋sin 4α＋cos 4α＋sin 4α＝2sin 22α＋2sin 2αcos 2α2cos 22α＋2sin 2αcos 2α ＝2sin 2αα＋sin 2α2cos 2αα＋sin 2α＝tan 2α.规律方法1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 2．对三角函数式化简结果的一般要求： (1)函数种类最少； (2)项数最少； (3)函数次数最低； (4)能求值的求出值； (5)尽量使分母不含三角函数； (6)尽量使分母不含根式． 变式训练 化简：(1)11＋tan θ－11－tan θ； (2)2cos 2α－1π4－α2π4＋α. 【解】 (1)原式＝－tan θ－＋tan θ＋tan θ－tan θ＝－2tan θ1－tan 2θ＝－tan 2θ.(2)原式＝cos 2απ4－α2π2－π4－α＝cos 2απ4－α2π4－α ＝cos 2απ4－απ4－α＝cos 2απ4－2α＝cos 2αcos 2α＝1. 易错易误辨析选择公式不恰当致误典例 已知cos α＋sin α＝33(0＜α＜π)，求cos 2α的值． 【错解】 ∵(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝13，∴sin 2α＝－23，∴cos 2α＝±1－sin 22α＝±53.【错因分析】 利用二倍角公式的变形形式cos 2α＝±1－sin 22α时，忽略了α角的取值范围，导致错解．【防范措施】 在三角恒等变换中，运用不同的公式有不同的解题过程，若在解题过程中选择恰当的公式，则能使解题过程更严密，不容易出错．【正解】 ∵(cos α＋sin α)2＋(sin α－cos α)2＝2， ∴(cos α－sin α)2＝2－13＝53，∴cos α－sin α＝±153. ∵cos α＋sin α＝33，∴(cos α＋sin α)2＝13，sin αcos α＝－13.∵0＜α＜π且sin αcos α＝－13＜0， ∴sin α＞0，cos α＜0， ∴cos α－sin α＝－153.∴cos 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α) ＝－153×33＝－53.对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式(1)对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是32α的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是α6的二倍角；……又如α＝2·α2，α2＝2·α4，…. (2)公式正用从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．(3)公式逆用异向转移，逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．应用时要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2 α＝tan 2α.当堂双基达标1．计算1－2sin 2 22.5°的结果等于________． 【解析】 1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22.【答案】 222．(2012·济宁高一检测)已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x ＝________. 【解析】 ∵x ∈(－π2，0)，cos x ＝45， ∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34， ∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 【答案】 －2473．计算：(1)2sin 37.5°·cos 37.5°＝________；(2)sin 267.5°－cos 267.5°＝________；(3)tan 7.5°1－tan 27.5°＝________.【解析】 (1)2sin 37.5°cos 37.5°＝sin 75°＝6＋24. (2)sin 267.5°－cos 267.5°＝－cos 135°＝22.(3)tan 7.5°1－tan 27.5°＝12·2tan 7.5°1－tan 27.5°＝12tan 15° ＝2－32. 【答案】 (1)6＋24 (2)22 (3)2－32 4．已知sin x 2－2cos x2＝0. (1)求tan x 的值； (2)求cos 2x 2π4＋xx的值． 【解】 (1)由sin x 2－2cos x 2＝0⇒tan x2＝2， ∴tan x ＝2tan x 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43.(2)原式＝cos 2x －sin 2x 222cos x －22sin xx＝x －sin xx ＋sin x x －sin x x＝cos x ＋sin xsin x ＝1tan x ＋1＝(－34)＋1＝14. 课后知能检测 一、填空题1．cos 2π12－sin 2π12＝________.【解析】 原式＝cos(2×π12)＝cos π6＝32. 【答案】 322．计算sin 105°cos 75°的值为________．【解析】 sin 105°cos 75°＝sin(180°－75°)cos 75°＝sin 75°cos 75°＝12sin 150°＝12sin 30°＝14.【答案】 143．若sin α＝13，则cos 2α＝________. 【解析】 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×(13)2＝79. 【答案】 794．若tan(α＋π4)＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α＝________.【解析】 由tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝3＋22，得tan α＝22， ∴1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α＝22. 【答案】 225．已知tan 2θ＝－22，π＜2θ＜2π，则tan θ的值为________． 【解析】 由题意得2tan θ1－tan 2θ＝－22， 解得tan θ＝－22或tan θ＝ 2.又π＜2θ＜2π，则π2＜θ＜π，所以有tan θ＝－22.【答案】 －226．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝________.【解析】 ∵tan θ2＝3，∴原式＝2sin 2θ2＋sin θ2cos 2θ2＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝tan 2θ2＋tan θ21＋tan θ2＝t an θ2＝3.【答案】 37．θ是第三象限角，sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin 2θ＝________. 【解析】 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝59， ∴sin 22θ＝89，又θ为第三象限角， ∴sin θ<0，cos θ<0，∴sin 2θ＝2sin θcos θ>0，∴sin 2θ＝223.【答案】 2238．若sin 2α＝45，则tan 2α＋1tan 2α＝________.【解析】 tan 2α＋1tan 2α＝sin 2αcos 2α＋cos 2αsin 2α＝sin 4α＋cos 4αsin 2αcos 2α＝2α＋cos 2α2－2sin 2αcos 2α14sin 22α＝1－12sin 22α14sin 22α ＝1－1245214452＝174. 【答案】 174二、解答题9．(2013·巢湖市质检)已知cos x ＝－255，x ∈(－π，0)．(1)求sin 2x 的值；(2)求tan(2x ＋π4)的值．【解】 (1)∵cos x ＝－255，x ∈(－π，0)，∴sin x ＝－55，∴sin 2x ＝2sin x cos x ＝45.(2)由(1)得，tan x ＝sin x cos x ＝12，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝43， ∴tan(2x ＋π4)＝tan 2x ＋tan π41－tan 2x tan π4＝－7.10．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求sin α及tan α的值． 【解】 由题意得sin 22α＋sin 2αcos α＝1＋cos 2α＝2cos 2α，∴2sin 2αcos 2α＋sin αcos 2α－cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)，∴cos α≠0，∴2sin 2α＋sin α－1＝0，即(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.∵sin α＋1≠0，∴2sin α－1＝0，∴sin α＝12.∵0＜α＜π2，∴α＝π6，∴tan α＝33.11．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值和最小值．【解】 (1)∵f (x )＝2sin(π－x )cos x＝2sin x cos x ＝sin 2x ，∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由－π6≤x ≤π2⇒－π3≤2x ≤π，∴－32≤sin 2x ≤1，∴f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值为1，最小值为－32.教师备课资源备选例题求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .【思路探究】 从左边入手，从角的构成看，化4A 为2A ，再化为A ，从函数名称构成看，化弦为切．从左、右两边的结构看，将左边分式化简为右边的整式形式．【自主解答】 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝(1－cos 2A 1＋cos 2A )2＝(2sin 2A 2cos 2A )2＝(tan 2A )2＝tan 4A ＝右边，∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .规律方法证明恒等式问题的两个原则：(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、变换式子结构‘变量集中’”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．变式训练求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ. 【证明】 要证1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ， 只需证1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ. 上式：左边＝－cos 4θ＋sin 4θ＋cos 4θ＋sin 4θ＝2sin 22θ＋2sin 2θcos 2θ2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ＝2sin 2θθ＋cos 2θ2cos 2θθ＋cos 2θ＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝右边．∴原等式成立．。

数学《二倍角的三角函数》教案【教学目标】1. 了解二倍角的定义及常用公式；2. 能够用二倍角公式化简三角函数表达式；3. 掌握二倍角公式的应用及解题方法。

【教学重点】1. 二倍角公式的掌握；2. 用二倍角公式化简三角函数表达式。

【教学难点】1. 二倍角公式的应用；2. 解题方法的掌握。

【教学过程】一、导入新知识教师出示一个直角三角形，以及较短的直角边a和斜边c，问同学们能否利用已知数据求出三角函数的值。

引导同学们思考，指导同学们简化计算公式，然后利用正弦函数和余弦函数进行计算。

让同学们探究计算公式的规律，引出二倍角的定义及常用公式。

二、讲解二倍角公式1. 二倍角的定义：正弦函数和余弦函数的二倍角定义如下：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos2θ - sin2θ2. 二倍角的常用公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos2θ - sin2θtan2θ =2tanθ / (1 - tan2θ)三、练习1. 让同学们观察黑板上的三角函数式子，然后使用二倍角公式化简，答案给出后再验证是否正确；2. 让同学们根据已知三角函数值，计算出未知的三角函数值，使用二倍角公式化简和三角函数表达式的正负性基本思路进行计算；3. 介绍一些常见的二倍角法则练习。

四、解题方法1. 让同学们提高使用二倍角公式化简三角函数表达式的能力；2. 强化运用三角函数表达式的正负性，通过根据三角函数所在的象限，对三角函数进行分类，从而使化简后的结果更加准确；3. 展示一些实例，教导同学们如何利用二倍角公式进行解题。

【课堂总结】1. 总结二倍角公式的应用；2. 确认同学们是否掌握了二倍角公式的应用及解题方法；3. 布置作业并提醒同学认真完成。

数学：3.2《二倍角的三角函数（一）》教案（苏教版必修4）第 6 课时：§3.2 二倍角的三角函数（一）【三维目标】：一、知识与技能1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用。

2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力.4.结合三角函数值域求函数值域问题。

二、过程与方法1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。

三、情感、态度与价值观1.通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质.【教学重点与难点】：重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用；难点：二倍角的理解及其灵活运用（公式的逆向运用及变式训练）。

【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教法：本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，运用现代多媒体教学手段，进行教学活动，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式；（通过设置问题让学生理解二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的）对于二倍角公式的灵活运用，采用讲、练结合的方式进行处理，让学生从实例中去理解,从而能灵活地运用二倍角公式解题。

高中高二数学二倍角的三角函数教案设计教案设计：高中高二数学二倍角的三角函数一、教学目标：1. 理解二倍角的概念，并掌握二倍角的性质。

2. 掌握二倍角的三角函数公式。

3. 能够运用二倍角的三角函数公式解决实际问题。

二、教学内容：1. 二倍角的概念和性质。

2. 二倍角的三角函数公式。

三、教学过程：步骤一：导入新知识1. 谈论平时的学习和应用中是否有用到过二倍角的概念和公式。

2. 引出本节课的学习内容：二倍角的三角函数。

步骤二：概念讲解和性质说明1. 给出二倍角的定义：在原角的基础上，角度扩大一倍后得到的角即为二倍角。

2. 分析二倍角的正弦、余弦、正切的性质，带入图像和具体数值进行说明。

步骤三：三角函数公式的推导与运用1. 讲解二倍角的三角函数公式的推导过程，并给出公式的表达形式。

2. 讲解公式中的特殊情况，如角度为0°、90°、180°等情况下的三角函数值。

3. 运用二倍角的三角函数公式解决一些实际问题，如角度为30°、45°、60°等情况下的三角函数值的计算。

步骤四：练习与巩固1. 设计一些针对二倍角的三角函数公式的练习题，让学生进行练习并互相交流解题方法。

2. 布置相关的课后习题，供学生进行巩固和拓展。

四、教学手段：1. 板书：绘制二倍角的三角函数公式推导过程和相关例题。

2. 多媒体：播放相关的视频和动画，引导学生更好地理解和掌握知识。

五、教学评价：1. 教师针对学生在课堂上的表现进行口头评价，并及时纠正和解答学生的问题。

2. 布置课后作业，检验学生对二倍角和三角函数公式的掌握情况。

六、教学延伸：可以设计更多的实际问题和练习题，帮助学生进一步巩固和应用二倍角的三角函数知识。

也可以引导学生研究更多二倍角的性质和相关公式。

《§3二倍角的三角函数》教学设计教材通过通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数，在温故知新中锻炼学生对知识的迁移能力。

【知识与能力目标】1、理解二倍角公式的推导；2、灵活掌握二倍角公式及其变形公式；3、能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。

【过程与方法目标】通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数。

【情感态度价值观目标】通过推导二倍角三角函数的过程，培养学生温故知新的能力。

【教学重点】二倍角公式的推导。

【教学难点】能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、复习导入。

回顾两角和的正弦、余弦、正切函数。

()sin αβ+=sin cos cos sin αβαβ+()cos αβ+=cos cos sin sin αβαβ-二、探究新知。

将上述公式里的β换成α，结果是什么？二倍角公式：对于 2C α 能否有其它表示形式？公式中的角是否为任意角？注意：①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。

②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。

因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。

凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。

③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。

三、例题解析。

12cos ,(,)sin cos tan 21322ααππααα=-∈已知，求，，的值。

例题1()tanαβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-sin 22sin cos ααα=22cos 2cos sin ααα=-22tan tan 2,()1tan 242k k ααααα=≠+≠+-πππ且πR α∈R α∈2cos 22cos 1αα=-2cos 212sin αα=-例题2求下列各式的值：四、巩固练习。

《二倍角的三角函数》教案教学目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明；引导学生发现数学规律,让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用,培养学生的创新意识。

教学重点:二倍角公式的推导及简单应用。

教学难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。

教学过程：Ⅰ.课题导入前一段时间,我们共同探讨了和角公式、差角公式,今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的。

当两角相等时，两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.先回忆和角公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ当α＝β时，sin(α＋β)＝sin2α＝2sinαcosα即：sin2α＝2sinαcosα（S2α)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ当α＝β时cos（α＋β）＝cos2α＝cos2α－sin2α即：cos2α＝cos2α－sin2α（C2α)tan（α＋β)＝错误!当α＝β时，tan2α＝错误!Ⅱ.讲授新课同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin 2α＋cos 2α＝1，公式C 2α还可以变形为：cos2α＝2cos 2α－1或:cos2α＝1－2sin 2α同学们是否也考虑到了呢?另外运用这些公式要注意如下几点：(1)公式S 2α、C 2α中，角α可以是任意角；但公式T 2α只有当α≠错误!＋kπ及α≠错误!＋错误! (k ∈Z )时才成立，否则不成立（因为当α＝错误!＋kπ，k ∈Z 时，tan α的值不存在;当α＝错误!＋错误!，k ∈Z 时tan2α的值不存在）.当α＝错误!＋kπ（k ∈Z ）时,虽然tan α的值不存在,但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式:即：tan2α＝tan2（错误!＋kπ）＝tan(π＋2kπ）＝tan π＝0 (2）在一般情况下，sin2α≠2sin α例如：sin 错误!＝错误!≠2sin 错误!＝1；只有在一些特殊的情况下,才有可能成立［当且仅当α＝kπ(k ∈Z )时，sin2α＝2sin α＝0成立］。

§3 二倍角的三角函数说课稿各位专家、评委：大家好！今天我说课的题目是《二倍角的三角函数》，内容选自北师大版教材必修4第三章第三节第一课时．下面我分别从教学内容的分析、教学目标的确定、教学过程的设计与实施,教学特点和效果分析四个方面来汇报这节课的教学．一、教学内容的分析1．教材所处的地位和作用本节课的主要内容包括二倍角公式的推导以及利用公式进行简单的化简，求值. 本节在学习了两角和与差的三角函数的基础上，进一步学习具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和与差的公式的特殊化，又为以后的学习提供了理论基础，它为今后运用公式进行简单的三角恒等变换打好基础.因此它起着承上启下的作用.2、学情分析学生在学习两角和差公式及其推导方法之后，已具备一定的逻辑推理能力及由特殊到一般的研究方法，初步认识了三角函数式的特征，为本节课学习做好准备3、教学目标分析知识与技能：以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用。

过程与方法：通过二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导，体会转化化归、由一般到特殊的数学思想方法。

情感、态度、价值观：通过学习，使同学对三角函数之间的关系有更深的认识，增强学生逻辑推理和综合分析能力。

4、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.二、教法和学法分析教法分析：根据新课程的教学理念，遵循教师为主导，学生为主体的指导思想，采用以启发式教学，及多媒体辅助教学。

教学中采用“问——思——行”的教学模式，适当加强归纳探求公式的过程，从而渗透有关的数学思想方法，注重引导学生参与探索，归纳公式的过程，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力.学法分析：根据学法指导自主性和差异性原则，让学生在“观察——归纳——检验——应用”的学习过程中，自主参与知识的发生、发展、形成的过程，使学生掌握知识.三、教学流程与教学内容（一）情景引入、复习导入生活中我们常常遇见这样一个现象：对于一件商品，刚出现的时候，价格会非常高，随着时间的推移，商品的价格会逐渐下降，甚至于出现打折的情况，反过来看其实就是原始价格是现在价格的多少倍。

二倍角的三角函数教学设计教学目标：-了解二倍角的概念和性质-掌握二倍角的三角函数公式-能够应用二倍角的概念和公式解决相关问题教学内容：1.引入二倍角的概念：-引导学生回忆正弦、余弦、正切的定义与性质。

-引导学生思考，如何利用已知的正弦、余弦、正切求解二倍角的值。

-引入二倍角的定义：“将已知的角度再乘以2，所得到的角度就是二倍角”。

2.探索二倍角的性质：-提供一些具体角度的例子，引导学生尝试计算它们的二倍角。

-通过比较原角和二倍角的正弦、余弦、正切值，引导学生发现二倍角公式的规律。

- 总结得出二倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ，cos2θ =cos^2(θ) - sin^2(θ)，tan2θ = 2tanθ / (1 - tan^2(θ))。

3.关联已学知识与二倍角的解题方法：-提供一些需要利用二倍角概念解决的实际问题，引导学生应用二倍角的公式进行求解。

-鼓励学生自己思考解题思路，并与同学讨论分享。

-指导学生如何将实际问题转化为数学问题，并运用二倍角的公式求解。

4.练习与巩固：-提供一系列练习题和应用题，让学生灵活掌握二倍角的应用方法。

-引导学生自行查找二倍角的公式，更加深入理解和掌握。

5.拓展与应用：-引导学生思考，如果已知二倍角的值，如何反推出原角的值。

-带领学生发现反二倍角公式的存在，并进行解释和证明。

-提供一些拓展题，让学生运用二倍角和反二倍角的公式解决更复杂的问题。

教学方法与策略：-情境导入法：通过引入实际问题，激发学生思考和探索的兴趣。

-合作学习法：鼓励学生进行小组讨论、合作解题，促进彼此思维碰撞和交流。

-探究式学习：通过引导学生发现规律，培养他们的发散思维和自主学习能力。

-提问引导法：引导学生通过思考和提问，主动参与到教学活动中。

教学过程安排：1.情境导入（10分钟）：- 提出一个实际问题，例如：“如果知道一个直角三角形的斜边长度为5cm，邻边长度为3cm，你能计算出这个直角三角形的角度吗？”-引导学生思考如何利用正弦、余弦、正切求解角度。

高中高一数学《二倍角的三角函数》教案设计一、教学目标1.知识与技能：掌握二倍角的正弦、余弦、正切函数公式，能够运用这些公式进行计算和化简。

2.过程与方法：通过探究、讨论、练习等方式，培养学生的数学思维能力，提高解题技巧。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的精神。

二、教学重点与难点1.教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切函数公式的推导与应用。

2.教学难点：二倍角公式的推导过程及运用过程中的符号变化。

三、教学过程1.导入新课（1）复习回顾：引导学生回顾初中阶段学习的正弦、余弦、正切函数的定义及性质。

（2）提出问题：如何利用已知的三角函数公式来推导二倍角的三角函数公式？2.探究新知（1）引导学生利用正弦、余弦、正切的定义，结合三角形的面积公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切函数公式。

（2）教师引导学生进行推导，并解释推导过程中的关键步骤。

3.应用练习（1）教师给出一些简单的二倍角问题，让学生运用新学的公式进行解答。

（2）学生互相交流，分享解题过程和心得。

（3）教师点评，指出学生解题过程中的优点和不足。

4.拓展延伸（1）引导学生探讨二倍角公式在解三角形、化简三角函数表达式等方面的应用。

（2）学生举例说明，教师点评。

（2）学生反馈学习过程中的疑问和收获。

6.作业布置（1）教材P页习题1、2、3。

（2）思考：如何利用二倍角公式化简三角函数表达式？四、教学反思1.本节课通过引导学生探究二倍角公式的推导过程，让学生体会到了数学的严谨性和美感，提高了学生的学习兴趣。

2.在应用练习环节，学生能够积极参与，互相交流，提高了解题技巧。

3.在拓展延伸环节，学生能够将二倍角公式应用于实际问题，培养了学生的数学思维能力。

4.教学过程中，部分学生对二倍角公式的符号变化掌握不够熟练，需要在课后加强练习。

5.教师在课堂上要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，提高教学效果。

五、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思维活跃度、合作交流情况等。

6.二倍角的三角函数（1）教学目标：1. 能从和角公式推导出倍角公式，再次体验化归思想；2. 能用二倍角公式进行简单的三角函数式的化简、求值、证明.教学过程：一、复习与引入1. 分别写出公式)()()(,,βαβαβα+++T C S ；2. 以上公式中令αβ=时可以得到另一组新的公式——二倍角公式.二、建构αααcos sin 22sin = )(2αSααα22sin cos 2cos -= )(2αCααα2tan 1tan 22tan -= )(2αT 其中公式α2C 可变为ααα22sin 211cos 22cos -=-=. )(2αC以上公式叫做二倍角公式.说明：①倍角公式是和角公式的特例；②有了倍角公式，就可以用α的三角函数表示α2的三角函数.三、运用例1 已知),2(,1312sin ππαα∈=，求ααα2tan ,2cos ,2sin .变式：（1） 已知)0,4(,542cosπαα-∈=，求αsin .反思：α相对于2α而言，也是倍角.（2） 已知)2,4(,13122sin ππαα∈=，求αsin ，αcos .说明：二倍角α2C 变式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα称为“降幂公式”，此公式很重要，也是今后常用公式.例2 化简απαπα222sin )6(sin )6(sin -++- （书P106 例3）说明：一般“平方式”先用“降幂公式”.例3 求证：θθθθθtan 2cos 2sin 12cos 2sin 1=++-+ （书P106 例2）四、小结五、作业。

课题：§3．2 二倍角的三角函数(1)【学习目标】1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；了解化归思想在推导中的作用．2．能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力． 【学习重点】二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用．【学习难点】二倍角的理解及其灵活运用（公式的逆向运用及变式训练）．【学习过程】 一、 问题情境1．这里，三角函数值为特殊值，可以先求出角再求解．若不是特殊值呢？ 2．π5(,π),sin ,sin 2212ααα∈=设求． 3．那么如何由一些已知的条件来求sin 2α 呢？通过观察，我们可以发现2ααα=+ ，因此可以在前面所学的基础上来研究这个问题（板书课题）．二、 复习巩固，建构数学sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=++=- 因此，在这些公式中，我们只要令 后，就可以得到角2α的三角函数值了．即22sin 22sin cos cos 2cossin αααααα==- (R)α∈ 22tan tan 21tan ααα=- 在三角里面还有一个非常重要的等式 ，用这个等式进行代换的话，二倍角的余弦公式又可以得到这样两个形式： 2cos 22cos 1αα=-π1(,π),sin ,sin 2?22ααα∈=设如何来求呢tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅π(,,π,)2k k Z αβαβ+≠+∈βα=(,)224k k k Z ππαπαπ≠+≠+∈且22sin cos 1αα+=2cos 212sin αα=-以上这些公式都叫做倍角公式，从上面的推导过程来看，倍角公式是和角公式的特例． 注意点：①对“二倍角”的认识，如2α是α的二倍，4α是2α的二倍，α是2α 的二倍，030是015的二倍，015的二倍是030等等．理解二倍角是相对的．②余弦二倍角公式有三种形式，要恰当地选择以便简化运算过程．③对二倍角公式要学会灵活应用（顺用、逆用、变用）．例15(,)sin ,sin 2,cos 2,tan 2.213παπαααα∈= 设求的值例2 求证：1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++．例3 ππ1πsin()sin(),(,π),sin 44462αααα-+=∈已知求的值.例 4 已知)40(135)4sin(πθθπ<<=-，求)4cos(,2cos θπθ+的值．例5．求94cos 92cos 9cosπππ的值．变式：求1322cos 2cos 2cos 2coscos -⋅⋅⋅n ααααα的值．(ααααααcos sin ,cos sin ,cos ,sin ⋅±之间的关系)例6 已知51cos sin =+θθ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈43,2ππθ，求θθc o s s i n ⋅，θ2sin ，θ2cos ，θθcos ,sin 的值．【课后作业】1．求下列各式的值． (1)sincos 88ππ (2)22cos sin 88ππ- (3)1－ 15sin 22 (4)15tan 115tan 22-(5)12cos 24cos 48cos 48sin8ππππ (6)sin10°sin30°sin50°sin70°(7) cos200cos400cos600cos800．2．若270°＜α＜360°，则α2cos 21212121++等于______________________．3．已知912cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα，322sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα，且20,2πβπαπ<<<<，求)cos(βα+的值．4．已知1tan 2,3α=求tan α的值．5．证明：①2sin()cos()sin 2ππααα+-= ②22cos cos 212=-+θθ③αααsin 2sin 2cos 1=- ④A A A 2tan 2cos 12cos 1=+-。

最新整理高二数学教案二倍角的三角函数（一）导学案二倍角的三角函数（一）导学案学习目标1、在倍角公式的推导中，领会从一般到特殊的数学思想方法，进一步增强数学化归意识；2、能利用和角公式推导出二倍角公式，理解公式特点并熟记公式；3、能够灵活运用公式进行简单的化简、求值。

学习重点二倍角公式推导及其应用。

学习难点关于二倍角的理解及公式应用学习过程一、预习自学1、复习：（1）424导学案二倍角的三角函数（一）424导学案二倍角的三角函数（一）424导学案二倍角的三角函数（一）（2）同角三角函数的基本关系：平方关系：商数关系：2、自学：阅读课本第124至125页内容，思考回答下列问题（1）用424导学案二倍角的三角函数（一）替换复习问题（1）中的424导学案二倍角的三角函数（一），试运用两角和的三角函数和同角三角函数的基本关系推导424导学案二倍角的三角函数（一），424导学案二倍角的三角函数（一），424导学案二倍角的三角函数（一）公式（2）思考二倍角公式左边的角与右边的角有何变化？幂指数又有何变化？由左到右角减半，幂指数；由右到左角增倍，幂指数；（3）试思考424导学案二倍角的三角函数（一）之间的三角函数关系是二倍角与单角间的三角函数关系吗？试写出其中一组角的三角函数关系。

二、合作探究问题1、不查表，求下列各式的值：（1）sin15°cos15°（2）424导学案二倍角的三角函数（一）（3）1-2sin215°（4）424导学案二倍角的三角函数（一）（4）424导学案二倍角的三角函数（一）问题2、已知424导学案二倍角的三角函数（一），求424导学案二倍角的三角函数（一）。

问题3、已知424导学案二倍角的三角函数（一），求424导学案二倍角的三角函数（一）的三角函数。

问题4、要把半径为R的半圆形木料裁成长方形，怎样裁取才能使长方形面积最大？三、达标检测1、已知424导学案二倍角的三角函数（一），求424导学案二倍角的三角函数（一）。

二倍角的三角函数（第1课时）一、教学目标：1.以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦，理解推导过程，掌握其应用.2. 灵活运用二倍角公式进行三角恒等变换，理解化归思想在公式推导中的作用。

二、重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦二倍角公式三、难点：推导出倍角公式，四、学法与教学用具学法：研讨式教学五、教学过程：一 问题情景：1 函数y=sinx 与y=sin2x 图象之间的位置关系。

2 角α的三角函数与角2α的三角函数之间有怎样的关系？二 学生活动：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），（二）公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=； ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．． 注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈三 数学建构：倍角公式：sin2α= （S 2α）；cos2α= = = （C 2α）；四 数学应用：例1 已知sin α=1312，α∈),2(ππ，求sin2α，cos2α，tan2α的值。

例2 求证：θθθθθtan 2cos 2sin 12cos 2sin 1=++-+ 分析 等式左端较繁，故对左边化简．并注意将２θ的三角函数化成θ的三角函数．例3 化简cos20o cos40o cos60o cos80o ;五练习：课本120页练习1，2，3，4思考：在一个圆的所有内接矩形中，怎样的矩形面积最大？六小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用七作业：课本113页习题1，2，3，8。